2013届高考数学第一轮精讲精练复习教案4.doc
高考数学第一轮复习教案
高考数学第一轮复习教案（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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2013届高考数学第一轮数列专项复习教案1
一、选择题
1． 已知 an＋1－an－ 3＝0，则数列 { an} 是( )
A ．递增数列
B．递减数列
C． 常数项
D．不能确定
2．数列 1,3,6,10,15，…的递推公式是 ( )
A ． an＋ 1＝ an＋n，n∈N ＋
B ． an＝ an－ 1＋ n，n∈N＋， n≥2 C． an＋1＝ an＋ (n＋ 1)，n∈ N＋ ，n≥2 D． an＝ an－ 1＋ (n－ 1)， n∈ N＋ ，n≥2
函数与数列的联系与区别
一方面，数列是一种特殊的函数，因此在解决数列问题时，要善
于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法来解题，即用
共性来解决特殊问题． 另一方面， 还要注意数列的特殊性 ( 离散型 ) ，由于它的定义域是 N＋或它的子集 {1,2 ，…， n} ，因而它的图像是一系列孤立的点， 而不像我们前面所研究过的初等函数一般都是连续的曲线， 因此 在解决问题时，要充分利用这一特殊性，如研究单调性时，由数 列的图像可知，只要这些点每个比它前面相邻的一个高 ( 即 an>an － 1) ，则图像呈上升趋势，即数列递增，即 { an} 递增 ? an＋1>an 对任 意的 n ( n∈N＋) 都成立．类似地，有 { an} 递减 ? an＋1<an对任意的 n( n∈N＋) 都成立．
－1 n＝2k－1 ，
an＝ 1 n＝2k ，
其中 k∈N＋.
1.2 数列的函数特性
课时目标 1.了解数列的递推公式 ，明确递推公式与通项公式的 异同； 2.会根据数列的递推公式写出数列的前几项； 3.了解数列 和函数之间的关系 ，能用函数的观点研究数列．
1．如果数列 { an} 的第 1 项或前几项已知 ，并且数列 { an} 的任一项 an 与它的前一项 an－1(或前几项 )间的关系可以用一个式子来表 示 ，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式． 2．数列可以看作是一个定义域为 ____________(或它的有限子集 {1,2,3 ，…，n}) 的函数 ，当自变量按照从小到大的顺序依次取值 时 ，对应的一列 ________． 3．一般地 ，一个数列 { an} ，如果从 ________起，每一项都大于 它的前一项 ，即__________，那么这个数列叫做递增数列．如果 从 ________起，每一项都小于它的前一项 ，即__________，那么 这个数列叫做递减数列．如果数列 { an} 的各项 ________，那么这 个数列叫做常数列．
高考数学一轮复习教案
高考数学一轮复习教案教案标题：高考数学一轮复习教案教案目标：1. 确保学生对高考数学考试的各个知识点有全面的了解和掌握。
2. 帮助学生提高解题能力，培养分析和推理的能力。
3. 强化学生的数学思维和解题策略，提高应试能力。
教学内容：本教案主要围绕高考数学考试的各个知识点展开复习，包括代数、函数、几何、概率与统计等内容。
教学步骤：第一步：复习代数知识1. 复习一元二次方程的求根公式和应用。
2. 复习指数与对数的性质和运算法则。
3. 复习不等式的性质和解法。
第二步：复习函数知识1. 复习函数的定义和性质。
2. 复习函数的图像与性质，包括一次函数、二次函数、指数函数和对数函数等。
3. 复习函数的运算法则和复合函数的求解。
第三步：复习几何知识1. 复习平面几何的基本概念和性质。
2. 复习三角函数的定义和性质，包括正弦、余弦和正切等。
3. 复习平面几何中的相似三角形和勾股定理等。
第四步：复习概率与统计知识1. 复习概率的基本概念和计算方法。
2. 复习统计学中的数据收集、整理和分析方法。
3. 复习概率与统计在实际问题中的应用。
第五步：解题技巧和策略的讲解1. 教授解题的基本思路和步骤，包括审题、分析、解答和检查等。
2. 引导学生掌握解题中常用的技巧和策略，如代入法、逆向思维和分类讨论等。
3. 提供一些典型例题和解题方法的讲解和练习。
第六步：模拟考试和反馈1. 安排模拟考试，模拟高考数学试卷的形式和要求。
2. 收集学生的答卷并进行批改，给予详细的评价和建议。
3. 针对学生的错误和不足，进行有针对性的指导和讲解。
教学评估：1. 教师对学生的参与度和理解程度进行观察和评估。
2. 模拟考试的成绩和学生的答卷质量作为评估指标。
3. 学生对教学内容的反馈和问题的解答情况作为评估依据。
教学资源：1. 高考数学教材和辅助教材。
2. 高考数学模拟试卷和真题。
3. 多媒体设备和投影仪等。
教学延伸：1. 鼓励学生进行自主学习和拓展阅读，加深对数学知识的理解和应用能力。
2013高考数学(理)一轮复习教案：第六篇_数列第2讲_等差数列及其前n项和
第2讲 等差数列及其前n 项和泊头一中韩俊华 【2013年高考会这样考】1．考查运用基本量法求解等差数列的基本量问题（知三求二问题，知三求一问题）．2．考查等差数列的性质、前n 项和公式及综合应用． 【复习指导】1．掌握等差数列的定义与性质、通项公式、前n 项和公式等．2．掌握等差数列的判断方法，等差数列求和的方法．基础梳理1．等差数列的定义（1）文字定义：如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的差都等于 ，那么这个数列就叫做等差数列，这个叫做 等差数列的 ，通常用字母d 表示（2）符号定义： ①． ② 2．等差数列的通项公式：n a = ，变式：d = ()1n ≠或n a = ，变式：d = ()n m ≠（其中*,m n N ∈）或n a = 。
（函数的一次式） 3．等差中项如果A ＝a ＋b2A 叫做a 与b 的等差中项．4 等差数列的判定方法 ①定义法：②等差中项法： ③通项公式法： 4．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且m ＋n ＝p ＋q ，则 (m ，n ，p ，q ∈N *)．特别的若：m ＋n ＝2p ，则(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为 的等差数列(4)在有穷等差数列中与首末两项等距离的任意两项的和相等：即： (5)等差数列的单调性：若d ＞0,则数列{a n }为 若d=0,则数列{a n }为 若d ＜0,则数列{a n }为（6）等差数列中公差d= = (7)等差数列中a n =m ,a m =n 则a m+n =(8)若数列{a n } {b n }均为等差数列，则若{c a n +kb n }仍为 ，另外数列 (9)若项数为2n ，则 ①S S -=奇偶； ②S S =偶奇； ③2n S =（用1,n n a a +表示，1,n n a a +为中间两项） (10)若项数为21n +，则 ①S S -=奇偶； ②S S =奇偶； ③21n S +=（用1n a +表示，1n a +为中间项）(11)若等差数列{n a }，{n b }的前n 项和分别为n n S T ，，则2121n n nn a S b T --=（12）.23243m m m m m m m S S S S S S S --- ，，，，为等差数列。
2013届高考数学第一轮精讲精练复习教案2
2013高中数学精讲精练第二章函数【方法点拨】函数是中学数学中最重要，最基础的内容之一，是学习高等数学的基础．高中函数以具体的幂函数，指数函数，对数函数和三角函数的概念，性质和图像为主要研究对象，适当研究分段函数，含绝对值的函数和抽象函数；同时要对初中所学二次函数作深入理解．1.活用“定义法”解题．定义是一切法则与性质的基础，是解题的基本出发点．利用定义，可直接判断所给的对应是否满足函数的条件，证明或判断函数的单调性和奇偶性等．2.重视“数形结合思想”渗透．“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．当你所研究的问题较为抽象时，当你的思维陷入困境时，当你对杂乱无章的条件感到头绪混乱时，一个很好的建议：画个图像！利用图形的直观性，可迅速地破解问题，乃至最终解决问题．3.强化“分类讨论思想”应用．分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法．进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。
其中最重要的一条是“不漏不重”．4.掌握“函数与方程思想”．函数与方程思想是最重要，最基本的数学思想方法之一，它在整个高中数学中的地位与作用很高．函数的思想包括运用函数的概念和性质去分析问题，转化问题和解决问题．第1课 函数的概念【考点导读】1.在体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型的基础上，通过集合与对应的语言刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域．2.准确理解函数的概念，能根据函数的三要素判断两个函数是否为同一函数． 【基础练习】1．设有函数组：①y x =，y =y x =，y =；③y =，y =；④1(0),1(0),x y x >⎧=⎨-<⎩，x y x =；⑤lg 1y x =-，lg 10xy =．其中表示同一个函数的有___②④⑤___．2.设集合{02}M x x =≤≤，{02}N y y =≤≤，从M 到N 有四种对应如图所示：其中能表示为M 到N 的函数关系的有_____②③____． 3.写出下列函数定义域：(1) ()13f x x =-的定义域为______________； (2) 21()1f x x =-的定义域为______________；(3) 1()f x x =+的定义域为______________； (4) ()f x =_________________．4．已知三个函数:(1)()()P x y Q x =； (2)y =(*)n N ∈； (3)()log ()Q x y P x =．写出使各函数式有意义时，()P x ，()Q x 的约束条件：(1)______________________； (2)______________________； (3)______________________________．5.写出下列函数值域：(1) 2()f x x x =+，{1,2,3}x ∈；值域是{2,6,12}．x x xxR {1}x x ≠± [1,0)(0,)-⋃+∞ (,1)(1,0)-∞-⋃- ()0Q x ≠ ()0P x ≥ ()0Q x >且()0P x >且()1Q x ≠(2) 2()22f x x x =-+； 值域是[1,)+∞． (3) ()1f x x =+，(1,2]x ∈． 值域是(2,3]．【范例解析】例1.设有函数组：①21()1x f x x -=-，()1g x x =+；②()f x =，()g x =③()f x =()1g x x =-；④()21f x x =-，()21g t t =-．其中表示同一个函数的有③④．分析：判断两个函数是否为同一函数，关键看函数的三要素是否相同．解：在①中，()f x 的定义域为{1}x x ≠，()g x 的定义域为R ，故不是同一函数；在②中，()f x 的定义域为[1,)+∞，()g x 的定义域为(,1][1,)-∞-⋃+∞，故不是同一函数；③④是同一函数．点评：两个函数当它们的三要素完全相同时，才能表示同一函数．而当一个函数定义域和对应法则确定时，它的值域也就确定，故判断两个函数是否为同一函数，只需判断它的定义域和对应法则是否相同即可．例2.求下列函数的定义域：①12y x =+- ②()f x = 解：（1）① 由题意得：220,10,x x ⎧-≠⎪⎨-≥⎪⎩解得1x ≤-且2x ≠-或1x ≥且2x ≠，故定义域为(,2)(2,1][1,2)(2,)-∞-⋃--⋃⋃+∞．② 由题意得：12log (2)0x ->，解得12x <<，故定义域为(1,2)．例3.求下列函数的值域：（1）242y x x =-+-，[0,3)x ∈；（2）221x y x =+()x R ∈；（3）y x =-分析：运用配方法，逆求法，换元法等方法求函数值域．（1） 解：2242(2)2y x x x =-+-=--+，[0,3)x ∈，∴函数的值域为[2,2]-；（2） 解法一：由2221111x y x x ==-++，21011x <≤+，则21101x -≤-<+，01y ∴≤<，故函数值域为[0,1)．解法二：由221x y x =+，则21y x y =-，20x ≥，∴01yy≥-，01y ∴≤<，故函数值域为[0,1)．（3t =(0)t ≥，则21x t =-，2221(1)2y t t t ∴=--=--， 当0t ≥时，2y ≥-，故函数值域为[2,)-+∞．点评：二次函数或二次函数型的函数求值域可用配方法；逆求法利用函数有界性求函数的值域；用换元法求函数的值域应注意新元的取值范围．【反馈演练】1．函数f (x )＝x 21-的定义域是___________．2．函数)34(log 1)(22-+-=x x x f 的定义域为_________________． 3. 函数21()1y x R x=∈+的值域为________________． 4.函数23y x =-+的值域为_____________．5．函数)34(log 25.0x x y -=的定义域为_____________________．6.记函数f (x )=132++-x x 的定义域为A ，g (x )=lg [(x －a －1)(2a －x )](a <1) 的定义域为B ． (1) 求A ；(2) 若B ⊆A ，求实数a 的取值范围． 解：(1)由2－13++x x ≥0，得11+-x x ≥0，x <－1或x ≥1， 即A =(－∞，－1)∪[1，+ ∞) ． (2) 由(x －a －1)(2a －x )>0，得(x －a －1)(x －2a )<0．∵a <1，∴a +1>2a ，∴B=(2a ，a +1) ． ∵B ⊆A ， ∴2a ≥1或a +1≤－1，即a ≥21或a ≤－2，而a <1， ∴21≤a <1或a ≤－2，故当B ⊆A 时， 实数a 的取值范围是(－∞,－2]∪[21,1)．(,0]-∞ (1,2)(2,3)⋃ (0,1] (,4]-∞ 13[,0)(,1]44-⋃第2课 函数的表示方法【考点导读】1.会根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法，列表法，解析法）表示函数．2.求解析式一般有四种情况：（1）根据某个实际问题须建立一种函数关系式；（2）给出函数特征，利用待定系数法求解析式；（3）换元法求解析式；（4）解方程组法求解析式．【基础练习】1.设函数()23f x x =+，()35g x x =-，则(())f g x =_________；(())g f x =__________．2.设函数1()1f x x =+，2()2g x x =+,则(1)g -=_____3_______；[(2)]f g =17；[()]f g x =213x +． 3.已知函数()f x 是一次函数，且(3)7f =，(5)1f =-,则(1)f =__15___．4.设f (x )＝2|1|2,||1,1, ||11x x x x --≤⎧⎪⎨>⎪+⎩，则f [f (21)]＝_____________． 5.如图所示的图象所表示的函数解析式为__________________________． 【范例解析】例1.已知二次函数()y f x =的最小值等于4，且(0)(2)6f f ==，求()f x 的解析式． 分析：给出函数特征，可用待定系数法求解．第67x - 64x +413|1|2323--=x y (0≤x ≤2)解法一：设2()(0)f x ax bx c a =++>，则26,426,4 4.4c a b c ac b a⎧⎪=⎪⎪++=⎨⎪-⎪=⎪⎩解得2,4,6.a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩故所求的解析式为2()246f x x x =-+．解法二：(0)(2)f f =，∴抛物线()y f x =有对称轴1x =．故可设2()(1)4(0)f x a x a =-+>．将点(0,6)代入解得2a =．故所求的解析式为2()246f x x x =-+．解法三：设()() 6.F x f x =-，由(0)(2)6f f ==，知()0F x =有两个根0，2， 可设()()6(0)(2)F x f x a x x =-=--(0)a >，()(0)(2)6f x a x x ∴=--+， 将点(1,4)代入解得2a =．故所求的解析式为2()246f x x x =-+．点评：三种解法均是待定系数法，也是求二次函数解析式常用的三种形式：一般式，顶点式，零点式．例2.甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2km ，甲10时出发前往乙家．如图，表示甲从出发到乙家为止经过的路程y （km ）与时间x （分）的关系．试写出()y f x =的函数解析式．分析：理解题意，根据图像待定系数法求解析式． 解：当[0,30]x ∈时，直线方程为115y x =，当[40,60]x ∈时，1[0,30],15()2(30,40),1[40,60].210x x f x x x x ⎧⎪∈⎪∴=∈⎨⎪∈⎪-⎩点评：建立函数的解析式是解决实际问题的关键，把题中文字语言描述的数学关系用数学符号语言表达．要注意求出解析式后，一定要写出其定义域．【反馈演练】1．若()2x x e e f x --=，()2x xe e g x -+=，则(2)f x =（ D ）Ａ． 2()f x Ｂ．2[()()]f x g x + Ｃ．2()g xＤ． 2[()()]f x g x ⋅2．已知1(1)232f x x -=+，且()6f m =，则m 等于________．3. 已知函数f (x )和g (x )的图象关于原点对称，且f (x )＝x 2＋2x ．求函数g (x )的解析式． 解：设函数()y f x =的图象上任意一点()00,Q x y 关于原点的对称点为(),P x y ，x2 14-则0000,,2.0,2x xx x y y y y +⎧=⎪=-⎧⎪⎨⎨+=-⎩⎪=⎪⎩即∵点()00,Q x y 在函数()y f x =的图象上∴()22222,2y x x y x x g x x x -=-=-+=-+，即 故．第3课 函数的单调性【考点导读】1.理解函数单调性，最大（小）值及其几何意义；2.会运用单调性的定义判断或证明一些函数的增减性． 【基础练习】 1.下列函数中： ①1()f x x=； ②()221f x x x =++； ③()f x x =-； ④()1f x x =-．其中，在区间(0，2)上是递增函数的序号有___②___． 2.函数y x x =的递增区间是___ R ___． 3.函数y =的递减区间是__________． 4.已知函数()y f x =在定义域R 上是单调减函数，且(1)(2)f a f a +>，则实数a 的取值范围__________．5.已知下列命题：(,1]-∞- (1,)+∞①定义在R 上的函数()f x 满足(2)(1)f f >，则函数()f x 是R 上的增函数； ②定义在R 上的函数()f x 满足(2)(1)f f >，则函数()f x 在R 上不是减函数； ③定义在R 上的函数()f x 在区间(,0]-∞上是增函数，在区间[0,)+∞上也是增函数，则函数()f x 在R 上是增函数；④定义在R 上的函数()f x 在区间(,0]-∞上是增函数，在区间(0,)+∞上也是增函数，则函数()f x 在R 上是增函数．其中正确命题的序号有_____②______． 【范例解析】例 . 求证：（1）函数2()231f x x x =-+-在区间3(,]4-∞上是单调递增函数； （2）函数21()1x f x x -=+在区间(,1)-∞-和(1,)-+∞上都是单调递增函数． 分析：利用单调性的定义证明函数的单调性，注意符号的确定． 证明：（1）对于区间3(,]4-∞内的任意两个值1x ，2x ，且12x x <，因为22121122()()231(231)f x f x x x x x -=-+---+-2221122233x x x x =-+-1212()[32()]x x x x =--+，又1234x x <≤，则120x x -<，1232x x +<，得1232()0x x -+>， 故1212()[32()]0x x x x --+<，即12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <． 所以，函数2()231f x x x =-+-在区间3(,]4-∞上是单调增函数． （2）对于区间(,1)-∞-内的任意两个值1x ，2x ，且12x x <， 因为1212122121()()11x x f x f x x x ---=-++12123()(1)(1)x x x x -=++， 又121x x <<-，则120x x -<，1(1)0x +<，2(1)0x +<得，12(1)(1)0x x ++> 故12123()0(1)(1)x x x x -<++，即12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <．所以，函数21()1x f x x -=+在区间(,1)-∞-上是单调增函数．同理，对于区间(1,)-+∞，函数21()1x f x x -=+是单调增函数； 所以，函数21()1x f x x -=+在区间(,1)-∞-和(1,)-+∞上都是单调增函数． 点评：利用单调性定义证明函数的单调性，一般分三步骤：（1）在给定区间内任意取两值1x ，2x ；（2）作差12()()f x f x -，化成因式的乘积并判断符号；（3）给出结论．例2.确定函数()f x =分析：作差后，符号的确定是关键．解：由120x ->，得定义域为1(,)2-∞．对于区间1(,)2-∞内的任意两个值1x ，2x ，且12x x <，则12()()f x f x -===又120x x -<0+>，12()()0f x f x ∴-<，即12()()f x f x <．所以，()f x 在区间1(,)2-∞上是增函数．点评：运用有理化可以对含根号的式子进行符号的确定．【反馈演练】 1．已知函数1()21xf x =+，则该函数在R 上单调递__减__，（填“增”“减”）值域为_________．2．已知函数2()45f x x mx =-+在(,2)-∞-上是减函数，在(2,)-+∞上是增函数，则(1)f =__25___.3.函数y =1[2,]2--.4. 函数2()1f x x x =-+的单调递减区间为1(,1],[,1]2-∞-．(0,1)5. 已知函数1()2ax f x x +=+在区间(2,)-+∞上是增函数，求实数a 的取值范围． 解：设对于区间(2,)-+∞内的任意两个值1x ，2x ，且12x x <， 则12121211()()22ax ax f x f x x x ++-=-++2112(12)()0(2)(2)a x x x x --=<++，120x x -<，1(2)0x +>，2(2)0x +>得，12(2)(2)0x x ++>，120a ∴-<，即12a >．第4课 函数的奇偶性【考点导读】1.了解函数奇偶性的含义，能利用定义判断一些简单函数的奇偶性；2.定义域对奇偶性的影响：定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要但不充分条件；不具备上述对称性的，既不是奇函数，也不是偶函数．【基础练习】1.给出4个函数：①5()5f x x x =+；②421()x f x x -=；③()25f x x =-+；④()x x f x e e -=-．其中奇函数的有___①④___；偶函数的有____②____；既不是奇函数也不是偶函数的有____③____． 2. 设函数()()()xa x x x f ++=1为奇函数，则实数=a －1 ．3.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ A ） A .R x x y ∈-=,3 B .R x x y ∈=,sin C .R x x y ∈=, D .R x x y ∈=,)21(【范例解析】例1.判断下列函数的奇偶性：（1）2(12)()2x xf x +=； （2）()lg(f x x =；（3）221()lg lgf x x x =+； （4）()(1f x x =-（5）2()11f x x x =+-+； （6）22(0),()(0).x x x f x x x x⎧-+≥⎪=⎨<+⎪⎩分析：判断函数的奇偶性，先看定义域是否关于原点对称，再利用定义判断． 解：（1）定义域为x R ∈，关于原点对称；2222(12)2(12)()222x x x x x x f x ----+⋅+-===⋅2(12)()2x xf x +=, 所以()f x 为偶函数．（2）定义域为x R ∈，关于原点对称；()()lg(lg(lg10f x f x x x -+=-++==，()()f x f x ∴-=-，故()f x 为奇函数．（3）定义域为(,0)(0,)x ∈-∞⋃+∞，关于原点对称；()0f x =，()()f x f x ∴-=-且()()f x f x -=，所以()f x 既为奇函数又为偶函数．（4）定义域为[1,1)x ∈-，不关于原点对称；故()f x 既不是奇函数也不是偶函数． （5）定义域为x R ∈，关于原点对称；(1)4f -=，(1)2f =，则(1)(1)f f -≠且(1)(1)f f -≠-，故()f x 既不是奇函数也不是偶函数．（6）定义域为x R ∈，关于原点对称；22()()(0),()(0).()()x x x f x x x x ⎧--+-->⎪-=⎨-<-+-⎪⎩，22(0),()(0).x x x f x x x x ⎧-->⎪∴-=⎨<-⎪⎩又(0)0f =， 22(0),()(0).x x x f x x x x ⎧--<⎪∴-=⎨≥-⎪⎩()()f x f x ∴-=-，故()f x 为奇函数． 点评：判断函数的奇偶性，应首先注意其定义域是否关于原点对称；其次，利用定义即()()f x f x -=-或()()f x f x -=判断，注意定义的等价形式()()0f x f x -+=或()()0f x f x --=．例2. 已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数，且当0x >时，2()22f x x x =-+，求函数()f x 的解析式，并指出它的单调区间．分析：奇函数若在原点有定义，则(0)0f =． 解：设0x <，则0x ->，2()22f x x x ∴-=++．又()f x 是奇函数，()()f x f x ∴-=-，2()()22f x f x x x ∴=--=---． 当0x =时，(0)0f =．综上，()f x 的解析式为2222,0()0,0022,x x x f x x x x x ⎧-+>⎪==⎨⎪<---⎩．作出()f x 的图像，可得增区间为(,1]-∞-，[1,)+∞，减区间为[1,0)-，(0,1]． 点评：（1）求解析式时0x =的情况不能漏；（2）两个单调区间之间一般不用“⋃”连接；（3）利用奇偶性求解析式一般是通过“x -”实现转化；（4）根据图像写单调区间．【反馈演练】1．已知定义域为R 的函数()x f 在区间()+∞,8上为减函数，且函数()8+=x f y 为偶函数，则（ D ）A ．()()76f f >B ．()()96f f >C ．()()97f f >D ．()()107f f > 2. 在R 上定义的函数()x f 是偶函数，且()()x f x f -=2，若()x f 在区间[]2,1是减函数，则函数()x f （ B ）A.在区间[]1,2--上是增函数，区间[]4,3上是增函数B.在区间[]1,2--上是增函数，区间[]4,3上是减函数C.在区间[]1,2--上是减函数，区间[]4,3上是增函数D.在区间[]1,2--上是减函数，区间[]4,3上是减函数3. 设⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∈3,21,1,1α，则使函数αx y =的定义域为R 且为奇函数的所有α的值为____1，3 ___．4．设函数))((R x x f ∈为奇函数，),2()()2(,21)1(f x f x f f +=+=则=)5(f ________．5．若函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，在]0,(-∞上是减函数，且0)2(=f ，则使得0)(<x f 的x 的取 值范围是（－2，2）．6. 已知函数21()ax f x bx c+=+(,,)a b c Z ∈是奇函数．又(1)2f =，(2)3f <,求a ，b ，c的值；解：由()()f x f x -=-，得()bx c bx c -+=-+，得0c =．又(1)2f =，得12a b +=，25而(2)3f <，得4131a a +<+，解得12a -<<．又a Z ∈，0a ∴=或1． 若0a =，则12b Z =∉，应舍去；若1a =，则1b Z =∈．所以，1,1,0a b c ===．综上，可知()f x 的值域为{0,1,2,3,4}．第5 课 函数的图像【考点导读】1.掌握基本初等函数的图像特征，学会运用函数的图像理解和研究函数的性质；2.掌握画图像的基本方法：描点法和图像变换法． 【基础练习】1.根据下列各函数式的变换，在箭头上填写对应函数图像的变换：（1）2x y =12x y -= 123x y -=+； （2）2log y x = 2log ()y x =-2log (3)y x =-．2.作出下列各个函数图像的示意图：（1）31x y =-； （2）2log (2)y x =-； （3）21xy x -=-． 解：（1）将3x y =的图像向下平移1个单位，可得31x y =-的图像．图略； （2）将2log y x =的图像向右平移2个单位，可得2log (2)y x =-的图像．图略；（3）由21111x y x x -==---，将1y x =的图像先向右平移1个单位，得11y x =-的图像，再向下平移1个单位，可得21x y x -=-3.作出下列各个函数图像的示意图：x向右平移1个向上平移3个作关于y 轴对称的向右平移3个（1）12log ()y x =-； （2）1()2x y =-； （3）12log y x =； （4）21y x =-．解：（1）作12log y x =的图像关于y 轴的对称图像，如图1所示；（2）作1()2x y =的图像关于x 轴的对称图像，如图2所示；（3）作12log y x =的图像及它关于y 轴的对称图像，如图3所示；（4）作21y x =-的图像，并将x 轴下方的部分翻折到x 轴上方，如图4所示．4. 函数()|1|f x x =-的图象是（ B ）例1.作出函数2()223f x x x =-++及()f x -，()f x -，(2)f x +，()f x ，()f x 的图像．分析：根据图像变换得到相应函数的图像． 解：()y f x =-与()y f x =的图像关于y 轴对称；()y f x =-与()y f x =的图像关于x 轴对称；将()y f x =的图像向左平移2个单位得到(2)y f x =+的图像；xxx图3图4保留()y f x =的图像在x 轴上方的部分，将x 轴下方的部分关于x 轴翻折上去，并去掉原下方的部分；将()y f x =的图像在y 轴右边的部分沿y 轴翻折到y 轴的左边部分替代原y 轴左边部分，并保留()y f x =在y 轴右边部分．图略．点评：图像变换的类型主要有平移变换，对称变换两种．平移变换：左“+”右“－”，上“+”下“－”；对称变换：()y f x =-与()y f x =的图像关于y 轴对称；()y f x =-与()y f x =的图像关于x 轴对称；()y f x =--与()y f x =的图像关于原点对称；()y f x =保留()y f x =的图像在x 轴上方的部分，将x 轴下方的部分关于x 轴翻折上去，并去掉原下方的部分；()y f x =将()y f x =的图像在y 轴右边的部分沿y 轴翻折到y 轴的左边部分替代原y轴左边部分，并保留()y f x =在y 轴右边部分．例2.设函数54)(2--=x x x f .（1）在区间]6,2[-上画出函数)(x f 的图像；（2）设集合{}),6[]4,0[]2,(,5)(∞+-∞-=≥= B x f x A . 试判断集合A 和B 之间的关系，并给出证明.分析：根据图像变换得到)(x f 的图像，第（3）问实质是恒成立问题． 解：（1）（2）方程5)(=x f 的解分别是4,0,142-和142+，由于)(x f 在]1,(-∞-和]5,2[上单调递减，在]2,1[-和),5[∞+上单调递增，因此(][)∞++-∞-=,142]4,0[142, A .由于A B ⊂∴->-<+,2142,6142.【反馈演练】B ）xxxx2. 为了得到函数x y )31(3⨯=的图象，可以把函数x y )31(=的图象向右平移1个单位长度得到．3．已知函数kx y x y ==与41log 的图象有公共点A ，且点A 的横坐标为2，则k =14-． 4．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且y =f (x )的图象关于直线21=x 对称，则f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)+ f (5)=_____0____ ． 5. 作出下列函数的简图：（1）2(1)y x x =-+； （2）21x y =-； （3）2log 21y x =-．第6课 二次函数【考点导读】1.理解二次函数的概念，掌握二次函数的图像和性质；2.能结合二次函数的图像判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系．【基础练习】1. 已知二次函数232y x x =-+,则其图像的开口向__上__；对称轴方程为32x =；顶点坐标为 31(,)24-，与x 轴的交点坐标为(1,0),(2,0)，最小值为14-．2. 二次函数2223y x mx m =-+-+的图像的对称轴为20x +=,则m =__－2___，顶点坐标为(2,3)-，递增区间为(,2]-∞-，递减区间为[2,)-+∞． 3. 函数221y x x =--的零点为11,2-． 4. 实系数方程20(0)ax bx c a ++=≠两实根异号的充要条件为0ac <；有两正根的充要条件为0,0,0b c a a ∆≥->>；有两负根的充要条件为0,0,0b ca a∆≥-<>．5. 已知函数2()23f x x x =-+在区间[0,]m 上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是__________．【范例解析】例1.设a 为实数，函数1||)(2+-+=a x x x f ，R x ∈．[1,2]（1）讨论)(x f 的奇偶性；（2）若2a =时，求)(x f 的最小值． 分析：去绝对值．解：（1）当0=a 时，函数)(1||)()(2x f x x x f =+-+-=- 此时，)(x f 为偶函数．当0≠a 时，1)(2+=a a f ，1||2)(2++=-a a a f ，)()(a f a f -≠，)()(a f a f --≠．此时)(x f 既不是奇函数，也不是偶函数．（2）⎪⎩⎪⎨⎧<+-≥-+=2123)(22x x x x x x x f由于)(x f 在),2[+∞上的最小值为3)2(=f ，在)2,(-∞内的最小值为43)21(=f ． 故函数)(x f 在),(∞-∞内的最小值为43． 点评：注意分类讨论；分段函数求最值，先求每个区间上的函数最值，再确定最值中的最值．例2.函数()f x 212ax x a =+-()a R ∈在区间2]的最大值记为)(a g ，求)(a g 的表达式．分析：二次函数在给定区间上求最值，重点研究其在所给区间上的单调性情况．解：∵直线1x a =-是抛物线()f x 212ax x a =+-的对称轴，∴可分以下几种情况进行讨论：（1）当0>a 时，函数()y f x =，2]x ∈的图象是开口向上的抛物线的一段，由10x a=-<知()f x在2]x ∈上单调递增，故)(a g (2)f =2+=a ； （2）当0=a 时，()f x x =，2]x ∈，有)(a g =2；（3）当0<a 时，，函数()y f x =，2]x ∈的图象是开口向下的抛物线的一段，若1x a=-]2,0(∈即22-≤a 时，)(a g f ==， 若1x a =-]2,2(∈即]21,22(--∈a 时，)(a g 11()2f a a a=-=--， 若1x a =-),2(+∞∈即)0,21(-∈a 时，)(a g (2)f =2+=a ．综上所述，有)(a g =⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-≤-≤<---->+)22(2)2122(,21)21(2a a a a a a ．点评：解答本题应注意两点：一是对0a =时不能遗漏；二是对0a ≠时的分类讨论中应同时考察抛物线的开口方向，对称轴的位置及()y f x =在区间2]上的单调性．【反馈演练】1．函数[)()+∞∈++=,02x c bx x y 是单调函数的充要条件是0b ≥．2．已知二次函数的图像顶点为(1,16)A ，且图像在x 轴上截得的线段长为8，则此二次函数的解析式为2215y x x =-++．3. 设0>b ，二次函数122-++=a bx ax y 的图象为下列四图之一：则a 的值为 （ B ） A ．1B ．－1C ．251-- D ．251+- 4．若不等式210x ax ++≥对于一切1(0,)2x ∈成立，则a 的取值范围是5[,)2-+∞． 5.若关于x 的方程240x mx -+=在[1,1]-有解，则实数m 的取值范围是(,5][5,)-∞-⋃+∞．6.已知函数2()223f x x ax =-+在[1,1]-有最小值，记作()g a ． （1）求()g a 的表达式； （2）求()g a 的最大值．解：（1）由2()223f x x ax =-+知对称轴方程为2a x =，当12a≤-时，即2a ≤-时，()(1)25g a f a =-=+； 当112a-<<，即22a -<<时，2()()322a a g a f =-=-；当12a≥，即2a ≥时，()(1)52g a f a ==-； 综上，225,(2)()3,(22)252,(2)a a a g a a a a +≤-⎧⎪⎪=--<<⎨⎪-≥⎪⎩．（2）当2a ≤-时，()1g a ≤；当22a -<<时，()3g a ≤；当2a ≥时，()1g a ≤．故当0a =时，()g a 的最大值为3．7. 分别根据下列条件,求实数a 的值：（1）函数2()21f x x ax a =-++-在在[0,1]上有最大值2； （2）函数2()21f x ax ax =++在在[3,2]-上有最大值4．解：（1）当0a <时，max ()(0)f x f =，令12a -=，则1a =-； 当01a ≤≤时，max ()()f x f a =，令()2f a =，a ∴= 当1a >时，max ()(1)f x f =，即2a =． 综上，可得1a =-或2a =．（2）当0a >时，max ()(2)f x f =，即814a +=，则38a =； 当0a <时，max ()(1)f x f =-，即14a -=，则3a =-．综上，38a =或3a =-． 8. 已知函数2(),()f x x a x R =+∈．（1）对任意12,x x R ∈，比较121[()()]2f x f x +与12()2x x f +的大小；（2）若[1,1]x ∈-时，有()1f x ≤，求实数a 的取值范围． 解：（1）对任意1x ，2x R ∈，212121211[()()]()()0224x x f x f x f x x ++-=-≥ 故12121[()()]()22x x f x f x f ++≥．（2）又()1f x ≤，得1()1f x -≤≤，即211x a -≤+≤，得2max 2min (1),[1,1](1),[1,1]a x x a x x ⎧≥--∈-⎪⎨≤-+∈-⎪⎩，解得10a -≤≤．第7课 指数式与对数式【考点导读】1.理解分数指数幂的概念，掌握分数指数幂的运算性质；2.理解对数的概念，掌握对数的运算性质；3.能运用指数，对数的运算性质进行化简，求值，证明，并注意公式成立的前提条件；4.通过指数式与对数式的互化以及不同底的对数运算化为同底对数运算． 【基础练习】1.写出下列各式的值：(0,1)a a >≠=3π-； 238=____4____； 3481-=127； log 1a =___0_____； log a a =____1____；4=__－4__．2.化简下列各式：(0,0)a b >>（1）2111333324()3a b a b ---÷-=6a -；（2）2222(2)()a a a a ---+÷-=2211a a -+．3.求值：（1）354)⨯=___－38____；（2）33(lg 2)3lg 2lg 5(lg 5)+⋅+=____1____；（3）234567log 3log 4log 5log 6log 7log 8⨯⨯⨯⨯⨯=_____3____． 【范例解析】 例1. 化简求值：（1）若13a a -+=，求1122a a --及442248a a a a --+-+-的值；（2）若3log 41x =，求332222x xx x--++的值． 分析：先化简再求值．解：（1）由13a a -+=，得11222()1a a --=，故11221a a--=±；又12()9a a -+=，227a a -+=；4447a a -∴+=，故44224438a a a a --+-=-+-．（2）由3log 41x =得43x=；则33227414223x x x xx x---+=-+=+． 点评：解条件求值问题：（1）将已知条件适当变形后使用；（2）先化简再代入求值．例2.（1）求值：11lg 9lg 240212361lg 27lg 35+-+-+； （2）已知2log 3m =，3log 7n =，求42log 56． 分析：化为同底．解：（1）原式=lg10lg 3lg 240136lg10lg 9lg 5+-+-+1lg810lg8=+=；（2）由2log 3m =，得31log 2m=；所以33342333log 563log 2log 73log 56log 4213log 2log 71mnm mn++===++++． 点评：在对数的求值过程中，应注意将对数化为同底的对数． 例3. 已知35a b c ==，且112a b+=，求c 的值．分析：将a ，b 都用c 表示． 解：由35a b c ==，得1log 3c a =，1log 5c b =；又112a b+=，则log 3log 52c c +=，得215c =．0c >，c ∴= 点评：三个方程三个未知数，消元法求解．【反馈演练】1．若21025x =，则10x -=15． 2．设lg 321a =，则lg 0.321=3a -． 3．已知函数1()lg1xf x x-=+，若()f a b =，则()f a -=－b ．4．设函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-0,0,12)(,21x xx x f x 若1)(0>x f ，则x 0的取值范围是（－∞，－1）∪（1，+∞）．5．设已知f (x 6) = log 2x ，那么f (8)等于12． 6．若618.03=a ，)1,[+∈k k a ，则k =__－1__．7．已知函数21(0)()21(1)xc cx x c f x c x -+⎧⎪=⎨⎪+≤⎩＜＜＜，且89)(2=c f ． （1）求实数c 的值； （2）解不等式182)(+＞x f ． 解：（1）因为01c <<，所以2c c <， 由29()8f c =，即3918c +=，12c =． （2）由（1）得：4111022()12112x x x f x x -⎧⎛⎫+<< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+< ⎪⎪⎝⎭⎩≤由()1f x >+得，当102x <<12x <<． 当112x <≤时，解得1528x <≤，所以()1f x >的解集为58x ⎫⎪<<⎬⎪⎭．第8课 幂函数、指数函数及其性质【考点导读】1.了解幂函数的概念，结合函数y x =，2y x =，3y x =，1y x=，12y x =的图像了解它们的变化情况；2.理解指数函数的概念和意义，能画出具体指数函数的图像，探索并理解指数函数的单调性；3.在解决实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型． 【基础练习】1.指数函数()(1)x f x a =-是R 上的单调减函数，则实数a 的取值范围是(1,2)．2.把函数()f x 的图像分别沿x 轴方向向左，沿y 轴方向向下平移2个单位，得到()2x f x =的图像，则()f x =222x -+．3.函数220.3x x y --=的定义域为___R __；单调递增区间1(,]2-∞-；值域14(0,0.3]．4.已知函数1()41x f x a =++是奇函数，则实数a 的取值12-． 5.要使11()2x y m -=+的图像不经过第一象限，则实数m 的取值范围2m ≤-． 6.已知函数21()1x f x a -=-(0,1)a a >≠过定点，则此定点坐标为1(,0)2． 【范例解析】例1.比较各组值的大小：（1）0.20.4，0.20.2，0.22， 1.62；（2）b a -，b a ，a a ，其中01a b <<<；（3）131()2，121()3．分析：同指不同底利用幂函数的单调性，同底不同指利用指数函数的单调性． 解：（1）0.20.200.20.40.41<<=，而0.2 1.6122<<， 0.20.20.2 1.60.20.422∴<<<．（2）01a <<且b a b -<<，b a b a a a -∴>>．（3）111322111()()()223>>．点评：比较同指不同底可利用幂函数的单调性，同底不同指可利用指数函数的单调性；另注意通过0，1等数进行间接分类．例2.已知定义域为R 的函数12()2x x bf x a +-+=+是奇函数,求,a b 的值；解：因为()f x 是奇函数，所以(0)f =0，即111201()22xx b b f x a a +--=⇒=∴=++ 又由f （1）= －f （－1）知11122 2.41a a a --=-⇒=++例3.已知函数2()(1)1x x f x a a x -=+>+，求证：（1）函数()f x 在(1,)-+∞上是增函数； （2）方程()0f x =没有负根． 分析：注意反证法的运用．证明：（1）设121x x -<<，122112123()()()(1)(1)x x x x f x f x a a x x --=-+++，1a >，210x x a a ∴->，又121x x -<<，所以210x x ->，110x +>，210x +>，则12()()0f x f x -<故函数()f x 在(1,)-+∞上是增函数．（2）设存在00x <0(1)x ≠-，满足0()0f x =，则00021x x a x -=-+．又001x a <<，002011x x -∴<-<+ 即0122x <<，与假设00x <矛盾，故方程()0f x =没有负根． 点评：本题主要考察指数函数的单调性，函数和方程的内在联系．【反馈演练】1．函数)10()(≠>=a a a x f x 且对于任意的实数y x ,都有（ C ） A ．)()()(y f x f xy f =B ．)()()(y f x f xy f +=C ．)()()(y f x f y x f =+D ．)()()(y f x f y x f +=+2．设713=x ，则（ A ） A ．－2<x <－1B ．－3<x <－2C ．－1<x <0D ．0<x <13．将y =2x 的图像 ( D ) 再作关于直线y =x 对称的图像，可得到函数2log (1)y x =+的图像．A ．先向左平行移动1个单位B ．先向右平行移动1个单位C ．先向上平行移动1个单位D ． 先向下平行移动1个单位4．函数b x a x f -=)(的图象如图，其中a 、b 为常数，则下列结论正确的是（ CA ．0,1<>b aB ．0,1>>b aC ．0,10><<b aD ．0,10<<<b a5．函数x a y =在[]1,0上的最大值与最小值的和为3，则a 的值为___2__． 6．若关于x 的方程4220x x m ++-=有实数根，求实数m 的取值范围．x4题解：由4220x x m ++-=得，219422(2)224x x x m =--+=-++<，(,2)m ∴∈-∞ 7．已知函数2()()(0,1)2x xa f x a a a a a -=->≠-． （1）判断()f x 的奇偶性；（2）若()f x 在R 上是单调递增函数，求实数a 的取值范围．解：（1）定义域为R ，则2()()()2x xa f x a a f x a --=-=--，故()f x 是奇函数． （2）设12x x R <∈，12121221()()()(1)2x x x x a f x f x a a a a-+-=-+-，当01a <<时，得220a -<，即01a <<；当1a >时，得220a ->，即a >综上，实数a 的取值范围是(0,1))⋃+∞．第9课 对数函数及其性质【考点导读】1.理解对数函数的概念和意义，能画出具体对数函数的图像，探索并理解对数函数的单调性；2.在解决实际问题的过程中，体会对数函数是一类重要的函数模型；3.熟练运用分类讨论思想解决指数函数，对数函数的单调性问题． 【基础练习】1. 函数)26(log 21.0x x y -+=的单调递增区间是1[,2)4．2. 函数2()log 21f x x =-的单调减区间是1(,)2-∞． 【范例解析】例1. （1）已知log (2)a y ax =-在[0,1]是减函数，则实数a 的取值范围是_________． （2）设函数2()lg()f x x ax a =+-，给出下列命题：①)(x f 有最小值； ②当0=a 时，)(x f 的值域为R ； ③当40a -<<时，)(x f 的定义域为R ；④若)(x f 在区间),2[+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是4-≥a ． 则其中正确命题的序号是_____________． 分析：注意定义域，真数大于零． 解：（1）0,1a a >≠，2ax ∴-在[0,1]上递减，要使log (2)a y ax =-在[0,1]是减函数，则1a >；又2ax -在[0,1]上要大于零，即20a ->，即2a <；综上，12a <<．（2）①)(x f 有无最小值与a 的取值有关；②当0=a 时，2()lg f x x R =∈，成立； ③当40a -<<时，若)(x f 的定义域为R ，则20x ax a +->恒成立，即240a a +<，即40a -<<成立；④若)(x f 在区间),2[+∞上单调递增，则2,2420.aa a ⎧-≤⎪⎨⎪+->⎩解得a ∈∅，不成立．点评：解决对数函数有关问题首先要考虑定义域，并能结合对数函数图像分析解决． 例3.已知函数xxx x f -+-=11log 1)(2，求函数)(x f 的定义域，并讨论它的奇偶性和单调性. 分析：利用定义证明复合函数的单调性．解：x 须满足,11011,0110<<->-+⎪⎩⎪⎨⎧>-+≠x x x xx x 得由所以函数)(x f 的定义域为（－1，0）∪（0，1）.因为函数)(x f 的定义域关于原点对称，且对定义域内的任意x ，有)()11log 1(11log 1)(22x f xx x x x x x f -=-+--=+---=-，所以)(x f 是奇函数. 研究)(x f 在（0，1）内的单调性，任取x 1、x 2∈（0，1），且设x 1<x 2 ，则,0)112(log )112(log ,011)],112(log )112([log )11(11log 111log 1)()(1222211222212222112121>----->------+-=-++--+-=-x x x x x x x x x x x x x x x f x f 由得)()(21x f x f ->0，即)(x f 在（0，1）内单调递减， 由于)(x f 是奇函数，所以)(x f 在（－1，0）内单调递减.点评：本题重点考察复合函数单调性的判断及证明，运用函数性质解决问题的能力． 【反馈演练】1．给出下列四个数：①2(ln 2)；②ln(ln 2)；③ln ；④ln 2.其中值最大的序号是___④___.2．设函数()log ()(0,1)a f x x b a a =+>≠的图像过点(2,1)，(8,2)，则a b +等于___5_ _．3．函数log (3)1(0,1)a y x a a =+->≠的图象恒过定点A ，则定点A 的坐标是(2,1)--．4．函数]1,0[)1(log )(在++=x a x f a x 上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为12． 5．函数()⎩⎨⎧>+-≤-=1,341,442x x x x x x f 的图象和函数()x x g 2log =的图象的交点个数有___3___个.6．下列四个函数：①lg y x x =+； ②lg y x x =-；③lg y x x =-+；④lg y x x =--.其中，函数图像只能是如图所示的序号为___②___.第6题7．求函数22()log 2log 4x f x x =⋅,1[,4]2x ∈的最大值和最小值． 解：2222()log 2log (log 1)(log 2)4xf x x x x =⋅=+-222log log 2x x =-- 令2log t x =，1[,4]2x ∈，则[1,2]t ∈-，即求函数22y t t =--在[1,2]-上的最大值和最小值． 故函数()f x 的最大值为0，最小值为94-． 8．已知函数()log ax bf x x b+=-(0,1,0)a a b >≠>． （1）求()f x 的定义域；（2）判断()f x 的奇偶性；（3）讨论()f x 的单调性，并证明．解：（1）解：由 0x bx b +>-，故的定义域为()(,)b b -∞-⋃+∞． （2）()log ()()a x bf x f x x b-+-==---，故()f x 为奇函数．（3）证明：设12b x x <<，则121221()()()()log ()()ax b x b f x f x x b x b +--=+-，12212121()()2()10()()()()x b x b b x x x b x b x b x b +---=>+-+-．当1a >时，12()()0f x f x ∴->，故)(x f 在(,)b +∞上为减函数；同理)(x f 在(,)b -∞-上也为减函数；当01a <<时，12()()0f x f x ∴-<，故)(x f 在(,)b +∞，(,)b -∞-上为增函数．第10课 函数与方程【考点导读】1.能利用二次函数的图像与判别式的正负，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，了解函数零点与方程根的联系．2.能借助计算器用二分法求方程的近似解，并理解二分法的实质．3.体验并理解函数与方程的相互转化的数学思想方法． 【基础练习】1.函数2()44f x x x =++在区间[4,1]--有_____1 ___个零点．2.已知函数()f x 的图像是连续的，且x 与()f x 有如下的对应值表：则()f x 在区间[1,6]上的零点至少有___3__个．【范例解析】例1.()f x 是定义在区间[－c ，c ]上的奇函数，其图象如图所示：令()()g x af x b =+，则下列关于函数()g x 的结论：①若a <0，则函数()g x 的图象关于原点对称；②若a =－1，－2<b <0，则方程()g x =0有大于2的实根； ③若a ≠0，2b =，则方程()g x =0有两个实根； ④若0a ≠，2b =，则方程()g x =0有三个实根．其中，正确的结论有___________． 分析：利用图像将函数与方程进行互化．解：当0a <且0b ≠时，()()g x af x b =+是非奇非偶函数，①不正确；当2a =-，0b =时，()2()g x f x =-是奇函数，关于原点对称，③不正确；当0a ≠，2b =时，2()f x a=-，由图知，当222a -<-<时，2()f x a=-才有三个实数根，故④不正确；故选②． 点评：本题重点考察函数与方程思想，突出考察分析和观察能力；题中只给了图像特征，因此，应用其图，察其形，舍其次，抓其本．例2.设2()32f x ax bx c =++，若0a b c ++=，(0)0f >，(1)0f >． 求证：（1）0a >且12-<<-ab； （2）方程()0f x =在(0,1)内有两个实根．分析：利用0a b c ++=，(0)0f >，(1)0f >进行消元代换． 证明：（1）(0)0f c =>，(1)320f a b c =++>，由0a b c ++=，得b a c =--，代入(1)f 得：0a c ->，即0a c >>，且01c a <<，即1(2,1)b ca a=--∈--，即证． （2）11()024f a =-<，又(0)0f >，(1)0f >．则两根分别在区间1(0,)2，1(,1)2内，得证．点评：在证明第（2）问时，应充分运用二分法求方程解的方法，选取(0,1)的中点12来考察1()2f 的正负是首选目标，如不能实现1()02f <，则应在区间内选取其它的值．本题也可选3ba-，也可利用根的分布来做．【反馈演练】1．设123)(+-=a ax x f ，a 为常数．若存在)1,0(0∈x ，使得0)(0=x f ，则实数a2．设函数2,0,()2,0.x bx c x f x x ⎧++≤=⎨>⎩若(4)(0)f f -=，(2)2f -=-，则关于x 的方程()f x x =解的个数为（ C ） A ．1 B ．2C ．3D ．43．已知2()(0)f x ax bx c a =++≠，且方程()f x x =无实数根，下列命题： ①方程[()]f f x x =也一定没有实数根；②若0a >，则不等式[()]f f x x >对一切实数x 都成立；。
2013届高考数学第一轮专项复习教案50
4.10 三角函数的应用●知识梳理1.三角函数的性质和图象变换.2.三角函数的恒等变形.三角函数的化简、求值、证明多为综合题，突出对数学思想方法的考查.3.三角函数与其他数学知识的联系.特别要注意三角与几何、三角与平面向量的联系. ●点击双基1.已知sin x +cos x =51，0≤x ≤π，则tan x 等于A.－34或－43B.－34C.－43D.34或43解析：原式两边平方得2sin x cos x =－2524⇒－2sin x cos x =2524⇒1－2sin x cos x =2549⇒sin x －cos x =57， 可得sin x =54，cos x =－53.∴tan x =－34.答案：B2.（2001年春季北京）若A 、B 是锐角△ABC 的两个内角，则点P （cos B －sin A ，sin B －cos A ）在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：∵△ABC 为锐角三角形，∴A +B ＞2π.∴A ＞2π－B ，B ＞2π－A.∴sin A ＞cos B ，sin B ＞cosA.∴P 在第二象限. 答案：B3.（2004年北京西城区一模题）设0＜|α|＜4π，则下列不等式中一定成立的是A.sin2α＞sin αB.cos2α＜cos αC.tan2α＞tan αD.cot2α＜cot α解析：由0＜|α|＜4π，知0＜2|α|＜2π且2|α|＞|α|， ∴cos2|α|＜cos|α|.∴cos2α＜cos α. 答案：B4.（2003年上海）若x =3π是方程2cos （x +α）=1的解，其中α∈（0，2π），则α=_________.解析：∵x =3π是方程2cos （x +α）=1的解，∴2cos （3π+α）=1，即cos （3π+α）=21.又α∈（0，2π），∴3π+α∈（3π，3π7）.∴3π+α=3π5.∴α=3π4.答案：3π45.（2004年北京西城区二模题，理）函数y =sin x ·（sin x +3cos x ）（x ∈R ）的最大值是____________.解析：原式=sin 2x +3sin x cos x =22cos 1x +23sin2x =23sin2x －21cos2x +21=sin （2x －6π）+21，其最大值为1+21=23. 答案：23●典例剖析【例1】 化简cos （313+k π+α）+cos （313-k π－α）（k ∈Z ）.剖析：原式=cos （k π+3π+α）+cos （k π－3π－α）=cos ［k π+（3π+α）］+cos ［k π－（3π+α）］.解：原式=cos ［k π+（3π+α）］+cos ［k π－（3π+α）］=2cos kπcos （3π+α）=2（－1）k （cos 3πcos α－sin 3πsin α）=（－1）k （cos α－3sin α），k∈Z .【例2】 已知sin （α+β）=32，sin （α－β）=51，求βαtan tan 的值.解：由已知得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+②①，.51sin cos cos sin 32sin cos cos sin βαβαβαβα所以sin αcos β=3013，cos αsin β=307.从而βαtan tan =βαβαsin cos cos sin =713.思考讨论由①②不解sin αcos β、cos αsin β，能求βαtan tan 吗?提示：①÷②，弦化切即可，读者不妨一试. 【例3】 求函数y =x x x x sin 42cos 3sin 1sin 2+--）（，x ∈（0，2π）的值域.剖析：将原函数中三角函数都化成单角的正弦函数，再换元将其转化为一元函数求解.解：y =xx x x sin 4sin 213sin 1sin 22+---）（）（=1sin 2sin sin sin 22+++-x x x x .设t =sin x ，则由x ∈（0，2π）⇒t ∈（0，1）. 对于y =1222+++-t t t t =2212131）（）（）（+-+++-t t t =－1+13+t －212）（+t ，令11+t =m ，m ∈（21，1），则y =－2m 2+3m －1=－2（m －43）2+81.当m =43∈（21，1）时，y max =81， 当m =21或m =1时，y =0. ∴0＜y ≤81，即y ∈（0，81］.评述：本题的解法较多，但此方法主要体现了换元转化的思想，在换元时要注意变量的范围.●闯关训练 夯实基础1.（2002年春季北京）若角α满足条件sin2α＜0，cos α－sin α＜0，则α在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：∵sin2α＜0，∴2α在第三、四象限. ∴α在第二、四象限.又∵cos α－sin α＜0， ∴α在第二象限. 答案：B2.（2002年春季上海）在△ABC 中，若2cos B ·sin A =sin C ，则△ABC 的形状一定是A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形解析：∵2cos B ·sin A =sin C =sin （A +B ）⇒sin （A －B ）=0， 又A 、B 、C 为三角形的内角，∴A =B .答案：C3.（2005年启东市高三年级第二次调研考试题）在斜△ABC 中，sin A =－cos B cos C 且tan B tan C =1－3，则∠A 的值为 A.6πB.3πC.3π2D.6π5解析：由A =π－（B +C ），sin A =－cos B cos C 得sin （B +C ）=－cos B cos C ，即sin B cos C +cos B sin C =－cos B cos C . ∴tan B +tan C =－1.又tan （B +C ）=CB CB tan tan 1tan tan -+=3tan tan C B +=31-=－33，∴－tan A =－33，tan A =33. 又∵0＜A ＜π，∴A =6π.答案：A4.函数y =sin x －cos x 的图象可由y =sin x +cos x 的图象向右平移_______个单位得到.解析：由y 1=sin x +cos x =2sin （x +4π），得x 1=－4π（周期起点）.由y 2=sin x －cos x =2sin （x －4π），得x 2=4π（周期起点）.答案：2π5.函数y =21sin （4π－32x ）的单调递减区间及单调递增区间分别是__________.解析：y =21sin （4π－32x ）=－21sin （32x －4π）.故由2k π－2π≤32x －4π≤2k π+2π⇒3k π－8π3≤x ≤3k π+8π9（k ∈Z ），为单调减区间；由2k π+2π≤32x －4π≤2k π+2π3⇒3k π+8π9≤x ≤3k π+8π21（k ∈Z ），为单调增区间.答案：［3k π－8π3，3k π+8π9］（k ∈Z ）；［3k π+8π9，3k π+8π21］（k ∈Z ）6.已知0≤x ≤2π，则函数y =42sin x cos x +cos2x 的值域是________.解析：可化为y =3sin （2x +ϕ），其中cos ϕ=322，sin ϕ=31，且有ϕ≤2x +ϕ≤π+ϕ.∴y max =3sin 2π=3，y min =3sin （π+ϕ）=－3sin ϕ=－1.∴值域是［－1，3］. 答案：［－1，3］ 培养能力7.设a =（sin x －1，cos x －1），b =（22，22）.（1）若a 为单位向量，求x 的值；（2）设f （x ）=a ·b ，则函数y =f （x ）的图象是由y =sin x 的图象按c 平移而得，求c .解：（1）∵|a |=1，∴（sin x －1）2+（cos x －1）2=1，即sin x +cos x =1，2sin （x +4π）=1，sin （x +4π）=22，∴x =2k π或x =2k π+2π，k ∈Z .（2）∵a ·b =sin （x +4π）－2.∴f （x ）=sin （x +4π）－2，由题意得c =（－4π，－2）.8.求半径为R 的圆的内接矩形周长的最大值.解：设∠BAC =θ，周长为P ，则P =2AB +2BC =2（2R cos θ+2R sin θ）=42R sin（θ+4π）≤42R ，当且仅当θ=4π时，取等号.∴周长的最大值为42R .探究创新9.（2004年北京东城区高三第一次模拟考试）在△ABC 中，若sin C （cos A +cos B ）=sin A +sin B .（1）求∠C 的度数；（2）在△ABC 中，若角C 所对的边c =1，试求内切圆半径r 的取值范围.解：（1）∵sin C （cos A +cos B ）=sin A +sin B ， ∴2sin C cos 2B A +·cos 2B A -=2sin 2B A +·cos 2B A -.在△ABC 中，－2π＜2B A -＜2π.∴cos 2B A -≠0.∴2sin 22C cos 2C =cos 2C ，（1－2sin 22C ）cos 2C =0.∴（1－2sin 22C ）=0或cos 2C =0（舍）.∵0＜C ＜π，∴∠C =2π.（2）设Rt △ABC 中，角A 和角B 的对边分别是a 、b ，则有a =sin A ，b =cos A .∴△ABC 的内切圆半径r =21（a +b －c ）=21（sin A +cos A －1）=22sin （A +4π）－21≤212-. ∴△ABC 内切圆半径r 的取值范围是0＜r ≤212-. ●思悟小结三角函数是中学教材中一种重要的函数，它的定义和性质有许多独特的表现，是高考中对基础知识和基本技能考查的重要内容之一，同时，由于三角函数和代数、几何知识联系密切，它又是研究其他各类知识的重要工具，因此应重视对知识理解的准确性，加强对三角知识工具性的认识.●教师下载中心 教学点睛1.因本节是三角函数的应用，建议教学中让学生自己总结一下三角函数本身有哪些应用，使知识能条理化并形成一个网络.2.总结本章涉及的数学思想方法，以及与三角相关联的一些知识点.拓展题例【例1】 已知cos B =cos θ·sin A ，cos C =sin θsin A . 求证：sin 2A +sin 2B +sin 2C =2.分析：本题为条件恒等式的证明，要从条件与要证的结论之间的联系入手，将结论中的sin 2B 、sin 2C 都统一成角A 的三角函数.证法一：sin 2A +sin 2B +sin 2C =sin 2A +［1－（cos θsin A ）2］+［1－（sin θsin A ）2］=sin 2A +1－cos 2θsin 2A +1－sin 2θsin 2A =sin 2A （1－sin 2θ）+1－cos 2θsin 2A +1 =sin 2A cos 2θ－sin 2A cos 2θ+2=2. ∴原式成立.证法二：由已知式可得cos θ=AB sin cos ，sin θ=AC sin cos .平方相加得cos 2B +cos 2C =sin 2A ⇒22cos 1B ++22cos 1C +=sin 2A⇒cos2B +cos2C =2sin2A －2.1－2sin 2B +1－2sin 2C =2sin 2A －2，∴sin 2A +sin 2B +sin 2C =2. 【例2】 函数f （x ）=1－2a －2a cos x －2sin 2x 的最小值为g （a ），a ∈R ，（1）求g （a ）；（2）若g （a ）=21，求a 及此时f （x ）的最大值.解：（1）f （x ）=1－2a －2a cos x －2（1－cos 2x ）=2cos 2x －2a cos x －1－2a=2（cos x －2a）2－22a －2a －1.若2a ＜－1，即a ＜－2，则当cos x =－1时，f （x ）有最小值g （a ）=2（－1－2a）2－22a －2a －1=1；若－1≤2a ≤1，即－2≤a ≤2，则当cos x =2a 时，f （x ）有最小值g （a ）=－22a －2a －1；若2a ＞1，即a ＞2，则当cos x =1时，f （x ）有最小值g （a ）=2（1－2a）2－22a －2a －1=1－4a .∴g （a ）=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≤≤-----<.24122122212）（），（），（a aa a aa（2）若g （a ）=21，由所求g （a ）的解析式知只能是－22a －2a－1=21或1－4a =21.由⇒⎪⎩⎪⎨⎧=---≤≤-21122222a a a a =－1或a =－3（舍）.由⇒⎪⎩⎪⎨⎧=->21412a a a =81（舍）. 此时f （x ）=2（cos x +21）2+21，得f （x ）max =5.∴若g （a ）=21，应a =－1，此时f （x ）的最大值是5.。
2013届高考数学第一轮专项复习教案25
第九章直线、平面、简单几何体●网络体系总览直线平面与简单几何体空间两条直线平 面空间两个平面空间向量简单几何体空间向量及有关概念棱 柱空间向量的运算及运算律棱 锥空间向量的坐标运算多面体和正多面体空间直线与平面平行直线线在面内线面平行线面相交平行公理定义等角定理判定所成的角、距离判定定理性质定理判定(性质)定理判定(性质)定理直交斜交直交两平面间距离二面角及平面角斜交平行相交异面直线相交直线平面的概念、性质、表示、画法线面间距离三垂线定理,线面成角判定(性质)定理,点到面的距离球、●考点目标定位1.直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系.2.线线、线面、面面的平行与垂直的判定和性质，三垂线定理.3.两条异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角的平面角.4.点到平面的距离，线面距离，平行平面的距离，异面直线的距离，两点间的球面距离.5.空间向量及其加法、减法，空间向量的坐标表示，空间向量的数量积.6.直棱柱、平行六面体及正棱锥的性质，球的体积及表面积的计算.●复习方略指南1.立体几何不外乎两大问题，一类是空间位置关系的论证，这类问题应熟练掌握公理、定理、定义或用空间向量来论证，位置关系的论证要注意其间的转化.如线面平行可转化为线线平行等；另一类问题是空间量（空间角、距离、体积、侧面积）的计算，如线面角、二面角的求解.2.立体几何在高考中，选择题、填空题一般出中等难度的题，解答题中可能会有难题.3.归纳总结，理线串点，从知识上可分为：（1）平面的基本性质；（2）两个特殊的位置关系，即线线、线面、面面的平行与垂直；（3）三个角、三个距离.根据每部分内容选择典型的例题，总结出解题方法，对于空间位置关系的论证及空间角与距离的求解，还要注意把空间向量贯彻、渗透其中，通过一题多解，使学生把所学知识真正学活、会用.4.抓主线攻重点，可以针对一些重点内容进行训练，平行和垂直是位置关系的核心，而线面垂直又是核心中的核心，线面角、二面角、距离均与线面垂直密切相关.因此对于这部分内容复习中要强化，并要注意用空间向量去解空间位置关系及空间量的求解.5.复习中要加强数学思想方法的总结与提炼，立体几何中蕴涵着丰富的思想方法，如割补思想、降维转化思想即化空间问题到平面图形中去解决，又如证线面间的位置关系常需经过多次转换才能获得解决，又如可把空间位置关系及空间量的求解转化为空间向量的运算，这些无不体现着化归转化的思想.因此自觉地学习和运用数学思想方法去解题，常能收到事半功倍的效果.9.1平面、空间两条直线●知识梳理1.平面的基本性质，即三个公理及推论.2.公理4及等角定理.3.空间两条直线的位置关系有且只有三种，即平行、相交及异面.4.两条异面直线所成的角及距离，求作异面直线所成的角时，往往取题中的特殊点.●点击双基1.若a，b是异面直线，则只需具备的条件是A.a⊂平面α，b⊄平面α，a与b不平行B.a⊂平面α，b⊂平面β，α∩β=l，a与b无公共点C.a∥直线c，b∩c=A，b与a不相交D.a⊥平面α，b是α的一条斜线答案：C2.如下图，直线a、b相交于点O且a、b成60°角，过点O与a、b都成60°角的直线有A.1条B.2条C.3条D.4条解析：在a、b所确定的平面内有一条，平面外有两条.答案：C3.（2004年北京朝阳区模拟题）如下图，正四面体S—ABC中，D为SC的中点，则BD与SA所成角的余弦值是A.33 B.32 C.63 D.62 解析：取AC 的中点E ，连结DE 、BE ，则DE ∥SA ，∴∠BDE 就是BD 与SA 所成的角.设SA =a ，则BD =BE =23a ，DE =21a ，cos ∠BDE =DE BD BE DE BD ⋅-+2222=63. 答案：C4.如下图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，那么（1）哪些棱所在直线与直线BA 1成异面直线？______________________.（2）直线BA 1与CC 1所成角的大小为________.（3）直线BA 1与B 1C 所成角的大小为________.（4）异面直线BC 与AA 1的距离为________.（5）异面直线BA 1与CC 1的距离是________.答案：（1）D 1C 1、D 1D 、C 1C 、C 1B 1、DC 、AD（2）45°（3）60°（4）a （5）a5.（2002年全国）正六棱柱ABCDEF —A 1B 1C 1D 1E 1F 1的底面边长为1，侧棱长为2，则这个棱柱的侧面对角线E 1D 与BC 1所成的角是_____________.解析：连结FE 1、FD ，则由正六棱柱相关性质可得FE 1∥BC 1，在△EFD 中，EF =ED =1，∠FED =120°，∴FD =o 120cos 222⋅⋅-+ED EF ED EF =3.在△EFE 1和△EE 1D 中，易得E 1F =E 1D =1)2(2+=3，∴△E 1FD 是等边三角形，∠FE 1D =60°.而∠FE 1D 即为E 1D 与BC 1所成的角.答案：60°说明：本题主要考查正六棱柱的性质及异面直线所成角的求法.●典例剖析【例1】如下图，四面体ABCD 中，E 、G 分别为BC 、AB 的中点，F 在CD 上，H 在AD 上，且有DF ∶FC =2∶3，DH ∶HA =2∶3.求证：EF 、GH 、BD 交于一点.证明：连结GE 、HF ，∵E 、G 分别为BC 、AB 的中点，∴GE ∥AC .又∵DF ∶FC =2∶3，DH ∶HA =2∶3，∴HF ∥AC .∴GE ∥HF .故G 、E 、F 、H 四点共面.又∵EF 与GH 不能平行，∴EF 与GH 相交，设交点为O .则O ∈面ABD ，O ∈面BCD ，而平面ABD ∩平面BCD =BD .∴EF 、GH 、BD 交于一点. 评述：证明线共点，常采用证两直线的交点在第三条直线上的方法，而第三条直线又往往是两平面的交线.【例2】A 是△BCD 平面外的一点，E 、F 分别是BC 、AD 的中点，（1）求证：直线EF 与BD 是异面直线；（2）若AC ⊥BD ，AC =BD ，求EF 与BD 所成的角.（1）证明：用反证法.设EF 与BD 不是异面直线，则EF 与BD 共面，从而DF 与BE 共面，即AD 与BC 共面，所以A 、B 、C 、D 在同一平面内，这与A 是△BCD 平面外的一点相矛盾.故直线EF 与BD 是异面直线.（2）解：取CD 的中点G ，连结EG 、FG ，则EG ∥BD ，所以相交直线EF 与EG 所成的锐角或直角即为异面直线EF 与BD 所成的角.在Rt △EGF 中，求得∠FEG =45°，即异面直线EF 与BD 所成的角为45°.特别提示①证明两条直线是异面直线常用反证法；②求两条异面直线所成的角，首先要判断两条异面直线是否垂直，若垂直，则它们所成的角为90°；若不垂直，则利用平移法求角，一般的步骤是“作（找）—证—算”.注意，异面直线所成角的范围是（0，2π］. 【例3】长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知AB =a ，BC =b ，AA 1=c ，且a >b ，求：（1）下列异面直线之间的距离：AB 与CC 1；AB 与A 1C 1；AB 与B 1C .（2）异面直线D 1B 与AC 所成角的余弦值.（1）解：BC 为异面直线AB 与CC 1的公垂线段，故AB 与CC 1的距离为b .AA 1为异面直线AB 与A 1C 1的公垂线段，故AB 与A 1C 1的距离为c .过B 作BE ⊥B 1C ，垂足为E ，则BE 为异面直线AB 与B 1C 的公垂线，BE =C B BC BB 11⋅=22c b bc +，即AB 与B 1C 的距离为22c b bc+.（2）解法一：连结BD 交AC 于点O ，取DD 1的中点F ，连结OF 、AF ，则OF ∥D 1B ，∴∠AOF 就是异面直线D 1B 与AC 所成的角.∵AO =222b a +，OF =21BD 1=2222c b a ++，AF =2422c b +， ∴在△AOF 中，cos ∠AOF =OF AO AF OF AO ⋅-+2222=))((2222222c b a b a b a +++-. 解法二：如下图，在原长方体的右侧补上一个同样的长方体，连结BG 、D 1G ，则AC ∥BG ，∴∠D 1BG （或其补角）为D 1B 与AC 所成的角.BD 1=222c b a ++，BG =22b a +，D 1G =224c a +，在△D 1BG 中，cos ∠D 1BG =BG B D G D BG B D ⋅-+1212212=－))((2222222c b a b a b a +++-，故所求的余弦值为))((2222222c b a b a b a +++-.深化拓展利用中位线平移和利用补形平移是处理长方体中异面直线所成角的重要方法.●闯关训练夯实基础1.两条相交直线l 、m 都在平面α内且都不在平面β内.命题甲：l 和m 中至少有一条与β相交，命题乙：平面α与β相交，则甲是乙的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.非充分非必要条件解析：若l 和m 中至少有一条与β相交，不妨设l ∩β=A ，则由于l α，∴A ∈α.而A ∈β，∴α与β相交.反之，若α∩β=a ，如果l 和m 都不与β相交，由于它们都不在平面β内，∴l ∥β且m ∥β.∴l ∥a 且m ∥a ，进而得到l ∥m ，与已知l 、m 是相交直线矛盾.因此l 和m 中至少有一条与β相交.答案：C2.（2004年天津，6）如下图，在棱长为2的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 是底面ABCD 的中心，E 、F 分别是CC 1、AD 的中点，那么异面直线OE 和FD 1所成的角的余弦值等于A.510 B.515 C.54 D.32 解法一：取面CC 1D 1D 的中心为H ，连结FH 、D 1H .在△FHD 1中， FD 1=25，FH =23，D 1H =22. 由余弦定理，得∠D 1FH 的余弦值为515. 解法二：取BC 的中点G .连结GC 1∥FD 1，再取GC 的中点H ，连结HE 、OH ，则∠OEH 为异面直线所成的角. 在△OEH 中，OE =23，HE =45，OH =45. 由余弦定理，可得cos ∠OEH =515. 答案：B3.如下图，四面体ABCD 中，E 、F 分别是AC 、BD 的中点，若CD =2AB =2，EF ⊥AB ，则EF 与CD 所成的角等于_____________.解析：取AD 的中点G ，连结EG 、FG ，易知EG =1，FG =21. 由EF ⊥AB 及GF ∥AB 知EF ⊥FG .在Rt △EFG 中，求得∠GEF =30°，即为EF 与CD 所成的角.答案：30°4.（2003年上海）在正四棱锥P —ABCD 中，若侧面与底面所成二面角的大小为60°，则异面直线PA 与BC 所成角的大小等于_____________.（结果用反三角函数值表示）答案：arctan25.如下图，设不全等的△ABC 与△A 1B 1C 1不在同一平面内，且AB ∥A 1B 1，BC ∥B 1C 1，CA ∥C 1A 1.求证：AA 1、BB 1、CC 1三线共点.证明：不妨设AB ≠A 1B 1，AA 1∩BB 1=S ，∵BC ∥B 1C 1，∴BB 1面BCC 1B 1，S ∈面BBC 1B 1.同理，S ∈面ACC 1A 1.∴S ∈CC 1，即AA 1、BB 1、CC 1三线共点于S .6.在三棱锥A —BCD 中，AD =BC =2a ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，EF =3a ，求AD 与BC 所成的角.解：取AC 的中点M ，连结ME 、MF ，则ME ∥BC ，MF ∥AD ，所以∠EMF （或其补角）是直线AD 与BC 所成的角.在△EMF 中，ME =21BC =a ，MF =21AD =a ，EF =3a ，cos ∠EMF =222223aa a a -+=－21，∠EMF =120°，因此异面直线AD 与BC 所成的角为60°. 培养能力7.如下图，在三棱锥P —ABC 中，AB =AC ，PB =PC ，E 、F 分别是PC 和AB 上的点且PE ∶EC =AF ∶FB =3∶2.（1）求证：PA ⊥BC ；（2）设EF 与PA 、BC 所成的角分别为α、β，求证：α+β=90°.证明：（1）取BC 的中点D ，连结AD 、PD .则BC ⊥平面ADP ，AP ⊂平面ADP ，（2）在AC 上取点G ，使AG ∶GC =3∶2，连结EG 、FG ，则EG ∥PA ，FG ∥BC ，从而∠EGF 为PA 与BC 所成的角，由（1）知∠EGF =90°，而∠GEF 、∠GFE 分别是EF 与PA 、EF 与BC 所成的角α、β，∴α+β=90°.8.如下图，设△ABC 和△A 1B 1C 1的三对对应顶点的连线AA 1、BB 1、CC 1相交于一点O ，且1OA AO =1OB BO =1OC CO =32.试求111C B A ABC S S ∆∆的值.解：依题意，因为AA 1、BB 1、CC 1相交于一点O ，且1OA AO =1OB BO =1OC CO ，所以AB ∥A 1B 1，AC ∥A 1C 1，BC ∥B 1C 1.由平移角定理得∠BAC =∠B 1A 1C 1，∠ABC =∠A 1B 1C 1，△ABC ∽△A 1B 1C 1，所以111C B A ABC S S ∆∆=（32）2=94. 说明：利用平移定理，可证明空间两个角相等或两个三角形相似、全等；利用平行公理，可证明空间两条直线平行，从而解决相关问题.探究创新9.如下图，已知空间四边形ABCD 的对角线AC =10，BD =6，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，MN =7，求异面直线AC 与BD 所成的角.解：取BC 的中点E ，连结EN 、EM ，∴∠MEN 是异面直线AC 与BD 所成的角或其补角.在△EMN 中，EN =2BD =3，EM =2AC =5，MN =7，cos ∠MEN =－21，∴∠MEN =120°.∴异面直线AC 与BD 所成的角是60°.●思悟小结1.本节重点问题是证明三点共线、三线共点以及求异面直线所成的角.2.证明三点均在两个平面的交线上，可以推证三点共线；求异面直线所成的角，一般先取一个特殊点作它们的平行线，作出所求的角或其补角，再解三角形.●教师下载中心首先要使学生掌握本节的重点内容：平面的基本性质、异面直线的定义及判断、异面直线所成的角，其次结合例题讲清求异面直线所成的角的方法步骤.拓展题例【例1】设异面直线a 与b 所成的角为50°，O 为空间一定点，试讨论，过点O 与a 、b 所成的角都是θ（0°≤θ≤90°）的直线l 有且仅有几条?解：过点O 作a 1∥a ，b 1∥b ，则相交直线a 1、b 1确定一平面α.a 1与b 1夹角为50°或130°，设直线OA 与a 1、b 1均为θ角，作AB ⊥面α于点B ，BC ⊥a 1于点C ，BD ⊥b 1于点D ，记∠AOB =θ1，∠BOC =θ2（θ2=25°或65°），则有cos θ=cos θ1·cos θ2.因为0°≤θ1≤90°，所以0≤cos θ≤cos θ2.当θ2=25°时，由0≤cos θ≤cos25°，得25°≤θ≤90°；当θ2=65°时，由0≤cos θ≤cos65°，得65°≤θ≤90°.故当θ<25°时，直线l 不存在；当θ=25°时，直线l 有且仅有1条；当25°<θ<65°时，直线l 有且仅有2条；当θ=65°时，直线l 有且仅有3条；当65°<θ<90°时，直线l 有且仅有4条；当θ=90°时，直线l 有且仅有1条.说明：异面直线所成的角就是选点、平移后的平面角.上述解答首先将问题转化为：求过点O 与a 1、b 1均成θ角的直线的条数，进而通过讨论θ的范围去确定直线l 的条数.【例2】已知空间四边形ABCD ，E 、H 分别是AB 、AD 的中点，F 、G 分别是边BC 、DC 的三等分点（如下图），求证：（1）对角线AC 、BD 是异面直线；（2）直线EF 和HG 必交于一点，且交点在AC 上.证明：（1）假设对角线AC 、BD 在同一平面α内，则A 、B 、C 、D 都在平面α内，这与ABCD 是空间四边形矛盾，∴AC 、BD 是异面直线.（2）∵E 、H 分别是AB 、AD 的中点，∴EH 21BD . 又F 、G 分别是BC 、DC 的三等分点，∴FG 32BD .∴EH ∥FG ，且EH ＜FG . ∴FE 与GH 相交.设交点为O ，又O 在GH 上，GH 在平面ADC 内，∴O 在平面ADC 内.同理，O 在平面ABC 内.从而O 在平面ADC 与平面ABC 的交线AC 上.。
2013届高考数学第一轮专项复习教案10
10.5二项式定理●知识梳理1.二项展开式的通项公式是解决与二项式定理有关问题的基础.2.二项展开式的性质是解题的关键.3.利用二项式展开式可以证明整除性问题，讨论项的有关性质，证明组合数恒等式，进行近似计算等.●点击双基1.已知（1－3x）9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9，则｜a0｜+｜a1｜+｜a2｜+…+｜a9｜等于A.29B.49C.39D.1解析：x的奇数次方的系数都是负值，∴｜a0｜+｜a1｜+｜a2｜+…+｜a9｜=a0－a1+a2－a3+…－a9.∴已知条件中只需赋值x=－1即可.答案：B2.（2004年江苏，7）（2x+x）4的展开式中x3的系数是A.6B.12C.24D.48解析：（2x+x）4=x2（1+2x）4，在（1+2x）4中，x的系数为·22=24.C24答案：C1）7的展开式中常数项是3.（2004年全国Ⅰ，5）（2x3－xA.14B.－14C.42D.－42解析：设（2x 3－x1）7的展开式中的第r +1项是T 1+r =C r7（2x 3）r-7（－x1）r =C r72r -7·（－1）r·x)7(32x r-+-，当－2r +3（7－r ）=0，即r =6时，它为常数项，∴C 67（－1）6·21=14. 答案：A4.（2004年湖北，文14）已知（x 23+x 31-）n 的展开式中各项系数的和是128，则展开式中x 5的系数是_____________.（以数字作答）解析：∵（x 23+x 31-）n 的展开式中各项系数和为128， ∴令x =1，即得所有项系数和为2n =128.∴n =7.设该二项展开式中的r +1项为T 1+r =C r7（x 23）r-7·（x 31-）r=C r 7·x61163r -，令61163r -=5即r =3时，x 5项的系数为C 37=35.答案：355.若（x +1）n =x n +…+ax 3+bx 2+cx +1（n ∈N *），且a ∶b =3∶1，那么n =_____________.解析：a ∶b =C 3n ∶C 2n =3∶1，n =11.答案：11 ●典例剖析 【例1】如果在（x +421x）n 的展开式中，前三项系数成等差数列，求展开式中的有理项.解：展开式中前三项的系数分别为1，2n ，8)1(-n n ， 由题意得2×2n =1+8)1(-n n ，得n =8.设第r +1项为有理项，T 1+r =C r8·r21·x4316r -，则r 是4的倍数，所以r =0，4，8.有理项为T 1=x 4，T 5=835x ，T 9=22561x.评述：求展开式中某一特定的项的问题常用通项公式，用待定系数法确定r .【例2】求式子（｜x ｜+||1x －2）3的展开式中的常数项. 解法一：（｜x ｜+||1x －2）3=（｜x ｜+||1x －2）（｜x ｜+||1x －2）（｜x ｜+||1x －2）得到常数项的情况有：①三个括号中全取－2，得（－2）3；②一个括号取｜x ｜，一个括号取||1x ，一个括号取－2，得C 13C 12（－2）=－12，∴常数项为（－2）3+（－12）=－20. 解法二：（|x |+||1x －2）3=（||x －||1x ）6.设第r +1项为常数项，则T 1+r =C r6·（－1）r ·（||1x ）r ·|x |r -6=（－1）6·C r6·|x |r 26-，得6－2r =0，r =3.∴T 3+1=（－1）3·C 36=－20.思考讨论（1）求（1+x +x 2+x 3）（1－x ）7的展开式中x 4的系数； （2）求（x +x4－4）4的展开式中的常数项；（3）求（1+x ）3+（1+x ）4+…+（1+x ）50的展开式中x 3的系数.解：（1）原式=xx --114（1－x ）7=（1－x 4）（1－x ）6，展开式中x 4的系数为（－1）4C 46－1=14.（2）（x +x 4－4）4=442)44(x x x +-=48)2(x x -，展开式中的常数项为C 4482·（－1）4=1120. （3）方法一：原式=1)1(]1)1[()1(483-+-++x x x =x x x 351)1()1(+-+.展开式中x 3的系数为C 451.方法二：原展开式中x 3的系数为C 33+C 34+C 35+…+C 350=C 44+C 34+…+C 350=C 45+C 35+…+C 350=…=C 451.评述：把所给式子转化为二项展开式形式是解决此类问题的关键.【例3】设a n =1+q +q 2+…+q 1-n （n ∈N *，q ≠±1），A n =C 1n a 1+C 2n a 2+…+C n n a n .（1）用q 和n 表示A n ； （2）（理）当－3<q <1时，求lim ∞→n nn A 2.解：（1）因为q ≠1，所以a n =1+q +q 2+…+q 1-n =qq n --11.于是A n =qq --11C1n+qq --112C2n+…+qq n--11C n n=q-11［（C 1n +C 2n +…+C n n ）－（C 1n q +C 2n q 2+…+C n n q n）］=q -11{（2n －1）－［（1+q ）n －1］} =q-11［2n －（1+q ）n ］.（2）nn A 2=q-11［1－（21q+）n ］. 因为－3<q <1，且q ≠－1， 所以0<|21q+|<1. 所以lim ∞→n nn A 2=q-11.●闯关训练 夯实基础1.一串装饰彩灯由灯泡串联而成，每串有20个灯泡，只要有一只灯泡坏了，整串灯泡就不亮，则因灯泡损坏致使一串彩灯不亮的可能性的种数为A.20B.219C.220D.220－1解析：C 120+C 220+…+C 2020=220－1. 答案：D2.（2004年福建，文9）已知（x －xa）8展开式中常数项为1120，其中实数a 是常数，则展开式中各项系数的和是A.28B.38C.1或38D.1或28解析：T 1+r =C r 8·x 8－r ·（－ax －1）r =（－a ）r C r8·x 8－2r .令8－2r =0，∴r =4.∴（－a）4C48=1120.∴a=±2.当a=2时，令x=1，则（1－2）8=1.当a=－2时，令x=－1，则（－1－2）8=38.答案：C3.（2004年全国Ⅳ，13）（x－x1）8展开式中x5的系数为_____________.解析：设展开式的第r+1项为T1+r =C r8x8－r·（－x1）r=（－1）r C r8x238r-.令8－23r=5得r=2时，x5的系数为（－1）2·C28=28.答案：284.（2004年湖南，理15）若（x3+xx1）n的展开式中的常数项为84，则n=_____________.解析：T1+r =C rn（x3）n－r·（x23-）r=C rn·x rn293-.令3n－29r=0，∴2n=3r.∴n必为3的倍数，r为偶数.试验可知n=9，r=6时，C rn =C69=84.答案：95.已知（x x lg+1）n展开式中，末三项的二项式系数和等于22，二项式系数最大项为20000，求x的值.解：由题意C2-nn ＋C1-nn＋C nn=22，即C2n ＋C1n＋C0n=22，∴n=6.∴第4项的二项式系数最大.∴C36（x x lg）3=20000，即x3lg x=1000.∴x=10或x=101.培养能力6.若（1+x）6（1－2x）5=a0+a1x+a2x2+…+a11x11.求：（1）a1+a2+a3+…+a11；（2）a0+a2+a4+…+a10.解：（1）（1+x）6（1－2x）5=a0+a1x+a2x2+…+a11x11.令x=1，得a0+a1+a2+…+a11=－26，①又a0=1，所以a1+a2+…+a11=－26－1=－65.（2）再令x=－1，得a0－a1+a2－a3+…－a11=0.②①+②得a0+a2+…+a10=21（－26+0）=－32.评述：在解决此类奇数项系数的和、偶数项系数的和的问题中常用赋值法，令其中的字母等于1或－1.7.在二项式（ax m+bx n）12（a＞0，b＞0，m、n≠0）中有2m+n=0，如果它的展开式里最大系数项恰是常数项.（1）求它是第几项；（2）求ba的范围.解：（1）设T1r =C r12（ax m）12－r·（bx n）r=C r12a12－r b r x m（12－r）+nr为常数项，则有m （12－r ）+nr =0，即m （12－r ）－2mr =0，∴r =4，它是第5项.（2）∵第5项又是系数最大的项，C 412a 8b 4≥C 312a 9b 3，① C 412a 8b 4≥C 512a 7b 5.②由①得2349101112⨯⨯⨯⨯⨯a 8b 4≥23101112⨯⨯⨯a 9b 3，∵a ＞0，b ＞0，∴49b ≥a ，即ba≤49.由②得b a ≥58，∴58≤b a≤49.8.在二项式（x +421x）n 的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项.分析：根据题意列出前三项系数关系式，先确定n ，再分别求出相应的有理项.解：前三项系数为C 0n ，21C 1n ，41C 2n ，由已知C 1n =C 0n +41C 2n ，即n 2－9n +8=0，解得n =8或n =1（舍去）.T 1+r =C r8（x ）8－r（24x ）－r=C r8·r21·x434r -.∵4－43r ∈Z 且0≤r ≤8，r ∈Z ，∴r =0，r =4，r =8.∴展开式中x 的有理项为T 1=x 4，T 5=835x ，T 9=2561x －2.评述：展开式中有理项的特点是字母x 的指数4－43r ∈Z 即可，而不需要指数4－43r ∈N.∴探究创新 9.有点难度哟！求证：2<（1+n1）n <3（n ≥2，n ∈N *）.证明：（1+n 1）n =C 0n +C 1n ×n 1+C 2n （n1）2+…+C nn （n1）n =1+1+C 2n ×21n +C 3n ×31n +…+C nn×n n 1=2+!21×2)1(n n n -+!31×3)2)(1(n n n n --+…+!1n ×nnn n 12)1(⨯⨯⨯-⨯ <2+!21+!31+!41+…+!1n <2+21+221+321+…+121-n =2+211])21(1[211---n =3－（21）1-n <3.显然（1+n1）n =1+1+C 2n ×21n +C 3n ×31n +…+C n n ×nn 1>2.所以2<（1+n1）n <3.●思悟小结1.在使用通项公式T 1+r =C r nr n a -br时，要注意：（1）通项公式是表示第r ＋1项，而不是第r 项.（2）展开式中第r +1项的二项式系数C r n 与第r +1项的系数不同. （3）通项公式中含有a ，b ，n ，r ，T 1+r 五个元素，只要知道其中的四个元素，就可以求出第五个元素.在有关二项式定理的问题中，常常遇到已知这五个元素中的若干个，求另外几个元素的问题，这类问题一般是利用通项公式，把问题归纳为解方程（或方程组）.这里必须注意n 是正整数，r 是非负整数且r ≤n .2.证明组合恒等式常用赋值法. ●教师下载中心 教学点睛1.要正确理解二项式定理，准确地写出二项式的展开式.2.要注意区分项的系数与项的二项式系数.3.要注意二项式定理在近似计算及证明整除性中的应用.4.通项公式及其应用是二项式定理的基本问题，要熟练掌握.拓展题例【例题】求（a－2b－3c）10的展开式中含a3b4c3项的系数.解：（a－2b－3c）10=（a－2b－3c）（a－2b－3c）…（a－2b－3c），从10个括号中任取3个括号，从中取a；再从剩余7个括号中任取4个括号，从中取－2b；最后从剩余的3个括号中取－3c，得含a3b4c3的项为C310a3C47·（－2b）4C33（－3c）3=C310C47C4332（－3）3a3b4c3.所以含a3b4c3项的系数为－C310C47×16×27.。
2013届高考数学(理)一轮复习教案：第三篇 导数及其应用专题一 高考函数与导数命题动向(人教A版)
2013届高考数学（理）一轮复习教案：第三篇导数及其应用专题一高考函数与导数命题动向高考命题分析函数是数学永恒的主题，是中学数学最重要的主干知识之一；导数是研究函数的有力工具，函数与导数不仅是高中数学的核心内容，还是学习高等数学的基础，而且函数的观点及其思想方法贯穿于整个高中数学教学的全过程，高考对函数的考查更多的是与导数的结合，发挥导数的工具性作用，应用导数研究函数的性质、证明不等式问题等，体现出高考的综合热点．所以在高考中函数知识占有极其重要的地位，是高考考查数学思想、数学方法、能力和素质的主要阵地．高考命题特点函数与导数在高考试卷中形式新颖且呈现出多样性，既有选择题、填空题，又有解答题．其命题特点如下：(1)全方位：近年新课标的高考题中，函数的知识点基本都有所涉及，虽然高考不强调知识点的覆盖率，但函数知识点的覆盖率依然没有减小．(2)多层次：在近年新课标的高考题中，低档、中档、高档难度的函数题都有，且题型齐全．低档难度题一般仅涉及函数本身的内容，诸如定义域、值域、单调性、周期性、图象等，且对能力的要求不高；中、高档难度题多为综合程度较高的试题，或者函数与其他知识结合，或者是多种方法的渗透．(3)巧综合：为了突出函数在中学数学中的主体地位，近年高考强化了函数与其他知识的渗透，加大了以函数为载体的多种方法、多种能力(甚至包括阅读能力、理解能力、表述能力、信息处理能力)的综合程度．(4)变角度：出于“立意”和创设情景的需要，函数试题设置问题的角度和方式也不断创新，重视函数思想的考查，加大了函数应用题、探索题、开放题和信息题的考查力度，从而使函数考题显得新颖、生动、灵活．(5)重能力：以导数为背景与其他知识(如函数、方程、不等式、数列等)交汇命题．利用导数解决相关问题，是命题的热点，而且不断丰富创新．解决该类问题要注意函数与方程、转化与化归、分类讨论等数学思想的应用．综合考查学生分析问题、解决问题的能力和数学素养．高考动向透视函数的概念和性质函数既是高中数学中极为重要的内容，又是学习高等数学的基础．函数的基础知识涉及函数的三要素、函数的表示方法、单调性、奇偶性、周期性等内容．纵观全国各地的高考试题，可以发现对函数基础知识的考查主要以客观题为主，难度中等偏下，在解答题中主要与多个知识点交汇命题，难度中等．【示例1】►(2011·安徽)设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，则f (1)＝( )．A ．－3B ．－1C ．1D ．3解析 法一 ∵f (x )是定义在R 上的奇函数，且x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，∴f (1)＝－f (－1)＝－2×(－1)2＋(－1)＝－3.故选A.法二 设x ＞0，则－x ＜0，∵f (x )是定义在R 上的奇函数，且x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，∴f (－x )＝2(－x )2－(－x )＝2x 2＋x ，又f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝－2x 2－x ，∴f (1)＝－2×12－1＝－3，故选A.答案 A本题考查函数的奇偶性和函数的求值，解题思路有两个：一是利用奇函数的性质，直接通过f (1)＝－f (－1)计算；二是利用奇函数的性质，先求出x ＞0时f (x )的解析式，再计算f (1)．指数函数、对数函数、幂函数指数函数在新课标高考中占有十分重要的地位，因此高考对指数函数的考查有升温的趋势，重点是指数函数的图象和性质，以及函数的应用问题．对于幂函数应重点掌握五种常用幂函数的图象及性质，此时，幂的运算是解决有关指数问题的基础，也要引起重视．对数函数在新课标中适当地降低了要求，因此高考对它的考查也会适当降低难度，但它仍是高考的热点内容，重点考查对数函数的图象和性质及其应用．【示例2】►(2011·天津)已知a ＝5log 23.4，b ＝5log 43.6，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15log 30.3，则( )． A ．a ＞b ＞c B ．b ＞a ＞c C ．a ＞c ＞b D ．c ＞a ＞b解析因为c＝5－log30.3＝5log3103，又log23.4＞log33.4＞log3103＞1＞log43.6＞0，且指数函数y＝5x是R上的增函数，所以a＞c＞b.故选C.答案 C本题主要考查指数函数单调性的应用、对数式的大小比较．一般是利用指数函数单调性进行比较．对数式的比较类似指数式的比较，也可以寻找中间量．函数的应用函数的应用历来是高考重视的考点，新课标高考更是把这个考点放到了一个重要的位置．相对于大纲的高考，新课标高考无论在考查内容上还是力度上都有所加强，这主要体现在函数与方程方面，函数与方程已经成为新课标高考的一个命题热点，值得考生重视．【示例3】►(2011·山东)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x ＜2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为()．A．6 B．7 C．8 D．9解析由f(x)＝0，x∈[0,2)可得x＝0或x＝1，即在一个周期内，函数的图象与x 轴有两个交点，在区间[0,6)上共有6个交点，当x＝6时，也是符合要求的交点，故共有7个不同的交点．故选B.答案 B本小题考查对周期函数的理解与应用，考查三次方程根的求法、转化与化归思想及推理能力，难度较小．求解本题的关键是将f(x)＝x3－x进行因式分解，结合周期函数的性质求出f(x)＝0在区间[0,6]上的根，然后将方程f(x)＝0的根转化为函数图象与x轴的交点问题．导数的概念及运算从近两年的高考试题来看，利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程是高考的热点问题，解决该类问题必须熟记导数公式，明确导数的几何意义是曲线在某点处切线的斜率，切点既在切线上又在曲线上．【示例4】►已知点P在曲线f(x)＝x4－x上，曲线在点P处的切线平行于直线3x －y＝0，则点P的坐标为________．解析由题意知，函数f(x)＝x4－x在点P处的切线的斜率等于3，即f′(x0)＝4x30－1＝3，∴x0＝1，将其代入f(x)中可得P(1,0)．答案(1,0)本题主要考查导数的几何意义及简单的逻辑推理能力．利用导数求函数的单调区间、极值、最值从近两年的高考试题来看，利用导数研究函数的单调性和极、最值问题已成为高考考查的热点．解决该类问题要明确：导数为零的点不一定是极值点，导函数的变号零点才是函数的极值点；求单调区间时一定要注意函数的定义域；求最值时需要把极值和端点值逐一求出，比较即可．【示例5】►已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点x＝1处的切线l不过第四象限且斜率为3，又坐标原点到切线l的距离为1010，若x＝23时，y＝f(x)有极值．(1)求a，b，c的值；(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值和最小值．解(1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，得f′(x)＝3x2＋2ax＋b.当x＝1时，切线l的斜率为3，可得2a＋b＝0.①当x＝23时，y＝f(x)有极值，则f′⎝⎛⎭⎪⎫23＝0，可得4a＋3b＋4＝0②由①②解得a＝2，b＝－4. 设切线l的方程为y＝3x＋m由原点到切线l的距离为10 10，则|m|32＋1＝1010，解得m＝±1.∵切线l不过第四象限∴m＝1，由于切点的横坐标为x＝1，∴f(1)＝4，∴1＋a＋b＋c＝4∴c＝5.(2)由(1)可得f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，∴f′(x)＝3x2＋4x－4.令f′(x)＝0，得x＝－2，x＝2 3.f(x)和f′(x)的变化情况如下表：在x＝23处取得极小值f⎝⎛⎭⎪⎫23＝9527.又f(－3)＝8，f(1)＝4，∴f(x)在[－3,1]上的最大值为13，最小值为95 27.在解决类似的问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别．求解函数的最值时，要先求函数y＝f(x)在[a，b]内所有使f′(x)＝0的点，再计算函数y＝f(x)在区间内所有使f′(x)＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得．突出以函数与导数为主的综合应用高考命题强调“以能力立意”，就是以数学知识为载体，从问题入手，把握数学学科的整体意义，加强对知识的综合性和应用性的考查．中学数学的内容可以聚合为数和形两条主线，其中数是以函数概念来串联代数、三角和解析几何知识，我们可以把方程看作函数为零，不等式看成两个函数值的大小比较、数列、三角则是特殊的一类函数．所以，高考试题中涉及函数的考题面很广．新课标高考对有关函数的综合题的考查，重在对函数与导数知识理解的准确性、深刻性，重在与方程、不等式、数列、解析几何等相关知识的相互联系，要求考生具备较高的数学思维能力和综合分析问题能力以及较强的运算能力，体现了以函数为载体，多种能力同时考查的命题思想．【示例6】►(2011·福建)已知a，b为常数，且a≠0，函数f(x)＝－ax＋b＋ax ln x，f(e)＝2(e＝2.718 28…是自然对数的底数)．(1)求实数b的值；(2)求函数f(x)的单调区间．(3)当a＝1时，是否同时存在实数m和M(m＜M)，使得对每一个t∈[m，M]，直线y ＝t 与曲线y ＝f (x )⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 都有公共点？若存在，求出最小的实数m 和最大的实数M ；若不存在，说明理由．解 (1)由f (e)＝2得b ＝2.(2)由(1)可得f (x )＝－ax ＋2＋ax ln x .从而f ′(x )＝a ln x .因为a ≠0，故①当a ＞0时，由f ′(x )＞0得x ＞1，由f ′(x )＜0得0＜x ＜1；②当a ＜0时，由f ′(x )＞0得0＜x ＜1，由f ′(x )＜0得x ＞1.综上，当a ＞0时，函数f (x )的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)；当a ＜0时，函数f (x )的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)．(3)当a ＝1时，f (x )＝－x ＋2＋x ln x ，f ′(x )＝ln x .由(2)可得，当x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 内变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：又2－2e ＜2，所以函数f (x )⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 的值域为[1,2]．据此可得，若⎩⎨⎧m ＝1，M ＝2.则对每一个t ∈[m ，M ]，直线y ＝t 与曲线y ＝f (x )⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 都有公共点； 并且对每一个t ∈(－∞，m )∪(M ，＋∞)，直线y ＝t 与曲线y ＝f (x )⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 都没有公共点．综上，当a ＝1时，存在最小的实数m ＝1，最大的实数M ＝2，使得对每一个t∈[m ，M ]，直线y ＝t 与曲线y ＝f (x )⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 都有公共点．本题主要考查函数、导数等基础知识．考查推理论证能力、抽象概括能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想．。
高考数学第一轮复习教案 专题4立体几何
专题四立体几何一、考试内容平面及其基本性质．平面图形直观图的画法．平行直线．对应边分别平行的角．异面直线所成的角．异面直线的公垂线．异面直线的距离．直线和平面平行的判定与性质．直线和平面垂直的判定与性质．点到平面的距离．斜线在平面上的射影．直线和平面所成的角．三垂线定理及其逆定理．平行平面的判定与性质．平行平面间的距离．二面角及其平面角．两个平面垂直的判定与性质．多面体．正多面体．棱柱．棱锥．球．二、考试要求（1）掌握平面的基本性质，会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图;能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形，能够根据图形想像它们的位置关系．（2）掌握两条直线平行与垂直的判定定理和性质定理，掌握两条直线所成的角和距离的概念，对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离．（3）掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理；掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理；掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念掌握三垂线定理及其逆定理．（4）掌握两个平面平行的判定定理和性质定理，掌握二面角、二面角的平面角、两个平行平面间的距离的概念，掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理．（5）会用反证法证明简单的问题．（6）了解多面体、凸多面体的概念，了解正多面体的概念．（7）了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图．（8）了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质，会画正棱锥的直观图．（9）了解球的概念，掌握球的性质，掌握球的表面积、体积公式．三、命题热点高考对立体几何的考查主要有两个方面：一是考查空间几何体的结构特征、直观图与三视图；二是考查空间点、线、面之间的位置关系，线面平行、垂直关系的证明等；在高考试卷中，一般有1~2个客观题和一个解答题.多为容易题和中档题.四、知识回顾（一）、平面.1. 经过不在同一条直线上的三点确定一个面.注：两两相交且不过同一点的四条直线必在同一平面内.2. 两个平面可将平面分成3或4部分.（①两个平面平行，②两个平面相交）3. 过三条互相平行的直线可以确定1或3个平面.（①三条直线在一个平面内平行，②三条直线不在一个平面内平行）[注]：三条直线可以确定三个平面，三条直线的公共点有0或1个.4. 三个平面最多可把空间分成 8 部分.（X 、Y 、Z 三个方向）（二）、空间直线.1. 空间直线位置分三种：相交、平行、异面.相交直线：有且仅有一个公共点；平行直线：共面，没有公共点；异面直线：不同在任一平面内，没有公共点[注]：①两条异面直线在同一平面内射影一定是相交的两条直线.（×）（可能两条直线平行，也可能是点和直线等）②直线在平面外，指的位置关系：平行或相交③若直线a 、b 异面，a 平行于平面α，b 与α的关系是相交、平行、在平面α内. ④两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直线或两条平行线或两点.⑤在平面内射影是直线的图形一定是直线.（×）（射影不一定只有直线，也可以是其他图形） ⑥在同一平面内的射影长相等，则斜线长相等.（×）（并非是从平面外一点．．向这个平面所引的垂线段和斜线段）⑦b a ,是夹在两平行平面间的线段，若b a =，则b a ,的位置关系为相交或平行或异面.2. 异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线.（不在任何一个平面内的两条直线）3. 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.4. 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等（如下图）.（二面角的取值范围[) 180,0∈θ） （直线与直线所成角(] 90,0∈θ） （斜线与平面成角() 90,0∈θ） （直线与平面所成角[] 90,0∈θ）（向量与向量所成角])180,0[ ∈θ推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角（或直角）相等.5. 两异面直线的距离：公垂线的长度.空间两条直线垂直的情况：相交（共面）垂直和异面垂直.21,l l 是异面直线，则过21,l l 外一点P ，过点P 且与21,l l 都平行平面有一个或没有，但与21,l l 距离相等的点在同一平面内. （1L 或2L 在这个做出的平面内不能叫1L 与2L 平行的平面）（三）、直线与平面平行、直线与平面垂直.1. 空间直线与平面位置分三种：相交、平行、在平面内.2. 直线与平面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.（“线线平行，线面平行”）[注]：①直线a 与平面α内一条直线平行，则a ∥α. （×）（平面外一条直线） ②直线a 与平面α内一条直线相交，则a 与平面α相交. （×）（平面外一条直线） ③若直线a 与平面α平行，则α内必存在无数条直线与a 平行. （√）（不是任意一条直线，12方向相同12方向不相同可利用平行的传递性证之）④两条平行线中一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面. （×）（可能在此平面内）⑤平行于同一直线的两个平面平行.（×）（两个平面可能相交）⑥平行于同一个平面的两直线平行.（×）（两直线可能相交或者异面）⑦直线l 与平面α、β所成角相等，则α∥β.（×）（α、β可能相交）3. 直线和平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.（“线面平行，线线平行”）4. 直线与平面垂直是指直线与平面任何一条直线垂直，过一点有且只有一条直线和一个平面垂直，过一点有且只有一个平面和一条直线垂直.● 若PA ⊥α，a ⊥AO ，得a ⊥PO （三垂线定理）， 得不出α⊥PO . 因为a ⊥PO ，但PO 不垂直OA .● 三垂线定理的逆定理亦成立.直线与平面垂直的判定定理一：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这两条直线垂直于这个平面.（“线线垂直，线面垂直”）直线与平面垂直的判定定理二：如果平行线中一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.推论：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.[注]：①垂直于同一平面．．．．的两个平面平行.（×）（可能相交，垂直于同一条直线．．．．．的两个平面平行）②垂直于同一直线的两个平面平行.（√）（一条直线垂直于平行的一个平面，必垂直于另一个平面）③垂直于同一平面的两条直线平行.（√）5. ⑴垂线段和斜线段长定理：从平面外一点．．向这个平面所引的垂线段和斜线段中，①射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段较长；②相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段射影较长；③垂线段比任何一条斜线段短.[注]：垂线在平面的射影为一个点. [一条直线在平面内的射影是一条直线.（×）]⑵射影定理推论：如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上（四）、平面平行与平面垂直.1. 空间两个平面的位置关系：相交、平行.2. 平面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，哪么这两个平面平行.（“线面平行，面面平行”）推论：垂直于同一条直线的两个平面互相平行；平行于同一平面的两个平面平行.[注]：一平面间的任一直线平行于另一平面.3. 两个平面平行的性质定理：如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们交线平行.（“面面平行，线线平行”）4. 两个平面垂直性质判定一：两个平面所成的二面角是直二面角，则两个平面垂直.两个平面垂直性质判定二：如果一个平面与一条直线垂直，那么经过这条直线的平面垂直于这个平面.（“线面垂直，面面垂直”）注：如果两个二面角的平面对应平面互相垂直，则两个二面角没有什么关系.5. 两个平面垂直性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面.推论：如果两个相交平面都垂直于第三平面，则它们交线垂直于第三平面. P OA a P αβθM AB O证明：如图，找O 作OA 、OB 分别垂直于21,l l ，因为ααββ⊥⊂⊥⊂OB PM OA PM ,,,则OB PM OA PM ⊥⊥,.6. 两异面直线任意两点间的距离公式：θcos 2222mn d n m l +++=（θ为锐角取加，θ为钝取减，综上，都取加则必有⎥⎦⎤ ⎝⎛∈2,0πθ） 7. ⑴最小角定理：21cos cos cos θθθ=（1θ为最小角，如图）⑵最小角定理的应用（∠PBN 为最小角）简记为：成角比交线夹角一半大，且又比交线夹角补角一半长，一定有4条.成角比交线夹角一半大，又比交线夹角补角小，一定有2条.成角比交线夹角一半大，又与交线夹角相等，一定有3条或者2条.成角比交线夹角一半小，又与交线夹角一半小，一定有1条或者没有.（五）、棱锥、棱柱.1. 棱柱.⑴①直棱柱侧面积：Ch S =（C 为底面周长，h 是高）该公式是利用直棱柱的侧面展开图为矩形得出的.②斜棱住侧面积：l C S 1=（1C 是斜棱柱直截面周长，l 是斜棱柱的侧棱长）该公式是利用斜棱柱的侧面展开图为平行四边形得出的.⑵{四棱柱}⊃{平行六面体}⊃{直平行六面体}⊃{长方体}⊃{正四棱柱}⊃{正方体}. {直四棱柱}⋂{平行六面体}={直平行六面体}.⑶棱柱具有的性质：①棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等；直棱柱的各个侧面都是矩形．．．．．．．．；正棱柱的各个侧面都是全等的矩形．．．．．. ②棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等．．多边形. ③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形.注：①棱柱有一个侧面和底面的一条边垂直可推测是直棱柱. （×）（直棱柱不能保证底面是钜形可如图）②（直棱柱定义）棱柱有一条侧棱和底面垂直.⑷平行六面体：定理一：平行六面体的对角线交于一点．．．．．．．．．．．．．，并且在交点处互相平分. [注]：四棱柱的对角线不一定相交于一点.定理二：长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和.推论一：长方体一条对角线与同一个顶点的三条棱所成的角为γβα,,，则1c o s c o s c o s 222=++γβα.推论二：长方体一条对角线与同一个顶点的三各侧面所成的角为γβα,,，则2c o s c o s c o s 222=++γβα.[注]：①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱.（×）（斜四面体的两个平行的平面可以为矩形） ②各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱.（×）（应是各侧面都是正方形的直．棱柱才行） 图1θθ1θ2图2③对角面都是全等的矩形的直四棱柱一定是长方体.（×）（只能推出对角线相等，推不出底面为矩形） ④棱柱成为直棱柱的一个必要不充分条件是棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直. （两条边可能相交，可能不相交，若两条边相交，则应是充要条件）2. 棱锥：棱锥是一个面为多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形.[注]：①一个棱锥可以四各面都为直角三角形.②一个棱柱可以分成等体积的三个三棱锥；所以棱柱棱柱3V Sh V ==.⑴①正棱锥定义：底面是正多边形；顶点在底面的射影为底面的中心.[注]：i. 正四棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形.（不是等边三角形）ii. 正四面体是各棱相等，而正三棱锥是底面为正△侧棱与底棱不一定相等iii. 正棱锥定义的推论：若一个棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形（即侧棱相等）；底面为正多边形. ②正棱锥的侧面积：'Ch 21S =（底面周长为C ，斜高为'h ） ③棱锥的侧面积与底面积的射影公式：αcos 底侧S S =（侧面与底面成的二面角为α） 附： 以知c ⊥l ，b a =⋅αcos ，α为二面角b l a --.则l a S ⋅=211①，b l S ⋅=212②，b a =⋅αcos ③ ⇒①②③得αcos 底侧S S =.注：S 为任意多边形的面积（可分别多个三角形的方法）.⑵棱锥具有的性质：①正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（它叫做正棱锥的斜高）.②正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形.⑶特殊棱锥的顶点在底面的射影位置：①棱锥的侧棱长均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.②棱锥的侧棱与底面所成的角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心. ③棱锥的各侧面与底面所成角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心. ④棱锥的顶点到底面各边距离相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心.⑤三棱锥有两组对棱垂直，则顶点在底面的射影为三角形垂心.⑥三棱锥的三条侧棱两两垂直，则顶点在底面上的射影为三角形的垂心.⑦每个四面体都有外接球，球心0是各条棱的中垂面的交点，此点到各顶点的距离等于球半径；⑧每个四面体都有内切球，球心I 是四面体各个二面角的平分面的交点，到各面的距离等于半径.[注]：i. 各个侧面都是等腰三角形，且底面是正方形的棱锥是正四棱锥.（×）（各个侧面的l ab c B等腰三角形不知是否全等）ii. 若一个三角锥，两条对角线互相垂直，则第三对角线必然垂直.简证：A B ⊥CD ，AC ⊥BD ⇒ BC ⊥AD. 令===,, 得-=⋅⇒=-=-=,，已知()()0,0=-⋅=-⋅c a b b c a0=-⇒c b c a 则0=⋅AD BC . iii. 空间四边形OABC 且四边长相等，则顺次连结各边的中点的四边形一定是矩形.iv. 若是四边长与对角线分别相等，则顺次连结各边的中点的四边是一定是正方形. 简证：取AC 中点'O ，则⊥⇒⊥'⊥'AC AC O B AC o o ,平面=∠⇒⊥⇒'FGH BO AC B O O 90°易知EFGH 为平行四边形⇒EFGH 为长方形.若对角线等，则EFGH FG EF ⇒=为正方形.3. 球：⑴球的截面是一个圆面.①球的表面积公式：24R S π=. ②球的体积公式：334R V π=. ⑵纬度、经度：①纬度：地球上一点P 的纬度是指经过P .②经度：地球上B A ,两点的经度差，是指分别经过这两点的经线与地轴所确定的二个半平面的二面角的度数，特别地，当经过点A 的经线是本初子午线时，这个二面角的度数就是B 点的经度.附：①圆柱体积：h r V 2π=（r 为半径，h 为高）②圆锥体积：h r V 231π=（r 为半径，h 为高） ③锥形体积：Sh V 31=（S 为底面积，h 为高）4. ①内切球：当四面体为正四面体时，设边长为a ，a h 36=，243a S =底，243a S =侧 得a a a R R a R a a a 46342334/424331433643222=⋅==⇒⋅⋅+⋅=⋅. 注：球内切于四面体：h S R S 313R S 31V 底底侧AC D B ⋅=⋅+⋅⋅⋅=- ②外接球：球外接于正四面体，可如图建立关系式.（六）. 空间向量.1. （1）共线向量：共线向量亦称平行向量，指空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合.注：①若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线.（×） [当0=b 时，不成立] ②向量c b a ,,共面即它们所在直线共面.（×） [可能异面]③若a ∥b ，则存在小任一实数λ，使b a λ=.（×）[与0=b 不成立]F E HG B C D A O'O rOR④若a 为非零向量，则00=⋅a .（√）[这里用到)0(≠b b λ之积仍为向量]（2）共线向量定理：对空间任意两个向量)0(,≠b b a ，a ∥b 的充要条件是存在实数λ（具有唯一性），使b a λ=.（3）共面向量：若向量a 使之平行于平面α或a 在α内，则a 与α的关系是平行，记作a ∥α.（4）①共面向量定理：如果两个向量b a ,不共线，则向量P 与向量b a ,共面的充要条件是存在实数对x 、y 使b y a x P +=.②空间任一点．．．O ．和不共线三点．．．．．．A ．、．B ．、．C ．，则)1(=++++=z y x OC z OB y OA x OP 是P ABC 四点共面的充要条件.（简证：→+==++--=AC z AB y AP OC z OB y OA z y OP )1(P 、A 、B 、C 四点共面）注：①②是证明四点共面的常用方法.2. 空间向量基本定理：如果三个向量．．．．c b a ,,不共面．．．，那么对空间任一向量P ，存在一个唯一的有序实数组x 、y 、z ，使c z b y a x p ++=.推论：设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对空间任一点P , 都存在唯一的有序实数组x 、y 、z 使 z y x ++=(这里隐含x+y+z≠1).注：设四面体ABCD 的三条棱，,,,d AD c AC b AB ===其中Q 是△BCD 的重心，则向量)(31++=用+=3. （1）空间向量的坐标：空间直角坐标系的x 轴是横轴（对应为横坐标），y 轴是纵轴（对应为纵轴），z 轴是竖轴（对应为竖坐标）.①令a =(a 1,a 2,a 3),),,(321b b b =，则),,(332211b a b a b a ±±±=+))(,,(321R a a a ∈=λλλλλ332211b a b a b a ++=⋅ a ∥)(,,332211R b a b a b a ∈===⇔λλλλ332211b a b a b a ==⇔ 0332211=++⇔⊥b a b a b a 222321a a a ++==(=⇒⋅=)232221232221332211||||,cos b b b a a a b a b a b a b a b a b a ++⋅++++=⋅⋅>=< ②空间两点的距离公式：212212212)()()(z z y y x x d -+-+-=.DB（2）法向量：若向量所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作α⊥，如果α⊥那么向量叫做平面α的法向量.（3）用向量的常用方法：①利用法向量求点到面的距离定理：如图，设n 是平面α的法向量，AB 是平面α的一条射线，其中α∈A ，则点B 到平面α②利用法向量求二面角的平面角定理：设21,n n 分别是二面角βα--l 中平面βα,的法向量，则21,n 所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小（21,n 方向相同，则为补角，21,n 反方，则为其夹角）.③证直线和平面平行定理：已知直线≠⊄a 平面α，α∈⋅∈⋅D C a B A ,，且CDE 三点不共线，则a ∥α的充要条件是存在有序实数对μλ⋅使CE CD AB μλ+=.（常设CE CD AB μλ+=求解μλ,若μλ,存在即证毕，若μλ,不存在，则直线AB 与平面相交）.AB（七）、常用结论、方法和公式1. 对照平面几何中的三角形，我们不难得到立体几何中的四面体的类似性质：①四面体的六条棱的垂直平分面交于一点，这一点叫做此四面体的外接球的球心；②四面体的四个面组成六个二面角的角平分面交于一点，这一点叫做此四面体的内接球的球心；③四面体的四个面的重心与相对顶点的连接交于一点，这一点叫做此四面体的重心，且重心将每条连线分为3︰1；④12个面角之和为720°，每个三面角中任两个之和大于另一个面角，且三个面角之和为180°.2. 直角四面体：有一个三面角的三个面角均为直角的四面体称为直角四面体，相当于平面几何的直角三角形. （在直角四面体中，记V 、l 、S 、R 、r 、h 分别表示其体积、六条棱长之和、表面积、外接球半径、内切球半径及侧面上的高），则有空间勾股定理：S 2△ABC +S 2△BCD +S 2△ABD =S 2△ACD.3. 等腰四面体：对棱都相等的四面体称为等腰四面体，好象平面几何中的等腰三角形.根据定义不难证明以长方体的一个顶点的三条面对角线的端点为顶点的四面体是等腰四面体，反之也可以将一个等腰四面体拼补成一个长方体.（在等腰四面体ABCD 中，记BC = AD =a ，AC = BD = b ，AB = CD = c ，体积为V ，外接球半径为R ，内接球半径为r ，高为h ），则有 ①等腰四面体的体积可表示为22231222222222c b a b a c a c b V -+⋅-+⋅-+=； O A BCD②等腰四面体的外接球半径可表示为22242c b a R ++=； ③等腰四面体的四条顶点和对面重心的连线段的长相等，且可表示为22232c b a m ++=； ④h = 4r.4、空间正余弦定理.空间正弦定理：sin ∠ABD/sin ∠A-BC-D=sin ∠ABC/sin ∠A-BD-C=sin ∠CBD/sin ∠C-BA-D 空间余弦定理：cos ∠ABD=cos ∠ABCcos ∠CBD+sin ∠ABCsin ∠CBDcos ∠A-BC-D5.从一点O 出发的三条射线OA 、OB 、OC ，若∠AOB=∠AOC ，则点A 在平面∠BOC 上的射影在∠BOC 的平分线上；6. 已知:直二面角M －AB －N 中，AE ⊂ M ，BF ⊂ N,∠EAB=1θ,∠ABF=2θ，异面直线AE 与BF 所成的角为θ，则;cos cos cos 21θθθ=7.立平斜公式：如图，AB 和平面所成的角是1θ，AC 在平面内，BC 和AB 的射影BA 1成2θ，设∠ABC=3θ,则cos 1θcos 2θ=cos 3θ；8.异面直线所成角的求法：（1）平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线；（2）补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系；9.直线与平面所成的角斜线和平面所成的是一个直角三角形的锐角，它的三条边分别是平面的垂线段、斜线段及斜线段在平面上的射影。
2013届高考数学第一轮精讲精练复习教案9
2012高中数学精讲精练第九章圆锥曲线【方法点拨】解析几何是高中数学的重要内容之一，也是衔接初等数学和高等数学的纽带。
而圆锥曲线是解析几何的重要内容，因而成为高考考查的重点。
研究圆锥曲线，无外乎抓住其方程和曲线两大特征。
它的方程形式具有代数的特性，而它的图像具有典型的几何特性，因此，它是代数与几何的完美结合。
高中阶段所学习和研究的圆锥曲线主要包括三类：椭圆、双曲线和抛物线。
圆锥曲线问题的基本特点是解题思路比较简单清晰，解题方法的规律性比较强，但是运算过程往往比较复杂，对学生运算能力，恒等变形能力，数形结合能力及综合运用各种数学知识和方法的能力要求较高。
1. 一要重视定义，这是学好圆锥曲线最重要的思想方法，二要数形结合，既熟练掌握方程组理论，又关注图形的几何性质.2.着力抓好运算关，提高运算与变形的能力，解析几何问题一般涉及的变量多，计算量大，解决问题的思路分析出来以后，往往因为运算不过关导致半途而废，因此要寻求合理的运算方案，探究简化运算的基本途径与方法，并在克服困难的过程中，增强解决复杂问题的信心，提高运算能力.3.突出主体内容，要紧紧围绕解析几何的两大任务来学习：一是根据已知条件求曲线方程，其中待定系数法是重要方法，二是通过方程研究圆锥曲线的性质，往往通过数形结合来体现，应引起重视.4.重视对数学思想如方程思想、函数思想、数形结合思想的归纳提炼，达到优化解题思维、简化解题过程第1课椭圆A【考点导读】1. 掌握椭圆的第一定义和几何图形,掌握椭圆的标准方程,会求椭圆的标准方程,掌握椭圆简单的几何性质;2. 了解运用曲线方程研究曲线几何性质的思想方法；能运用椭圆的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题. 【基础练习】1．已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆2213x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是 2.椭圆1422=+y x 的离心率为233.已知椭圆中心在原点，一个焦点为F （－23，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是221164x y += 4. 已知椭圆19822=++y k x 的离心率21=e ，则k 的值为544k k ==-或 【范例导析】 例1.（1）求经过点35(,)22-，且229445x y +=与椭圆有共同焦点的椭圆方程。
提升高考数学第一轮专项复习教案4.4 两角和与差、二倍角的公式(三)
高考数学第一轮专项复习教案4.4 两角和与差、二倍角的公式（三）18.南州六月荔枝丹1．字音字形zēnɡ zǐ 耀xiāo xū niè dàn lǐ lào 迁2．词语积累(1)吹嘘：_________________________________________________________________________________________________。
(2)迁怒：___________________________________________ ______________________________________________________。
(3)渣滓：_________________________________________。
(4)________：一天走两天的路。
(5)________：一个挨一个地。
(6)钻牛角尖：______________________________________ 。
(7)不了了之：______________________________________ ______________________________________________________。
次第比喻费力钻研无法解决、得不到结果的问题指把没有办完的事情或需要解决的问题，放在一边不去管它，就算完事夸大地或无中生有地说自己或别人的优点；夸张地宣扬把对甲的怒气发到乙身上，或自己不如意时跟别人生气课文指精选提炼后的残渣兼程3．文意感知本文是著名科普作家贾祖璋写的一篇科普作品，文章准确、翔实地说明了荔枝的______________________ ，对荔枝的____________________等作了一般性介绍；把丰富的科学知识、历史知识和文学知识融为一体，有着高度的思想性、科学性、艺术性。
果形、果实以及贮运习性、产地、栽培史要点1 文题解读明陈辉蕴藉含蓄，引人入胜“南州六月荔枝丹”是______朝______《荔枝》一诗中的句子。
2013届高考数学第一轮专项复习教案32
第八章圆锥曲线的方程●网络体系总览圆锥曲线椭圆定义双曲线定义抛物线定义标准方程标准方程标准方程几何性质几何性质几何性质作图作图作图第二定义第二定义直线与圆锥曲线的位置关系统一定义●考点目标定位1.掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程.2.掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质.3.掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质.4.能够根据具体条件利用各种不同的工具画椭圆、双曲线、抛物线的图形，了解它们在实际问题中的初步应用.5.结合所学内容，进一步加强对运动变化和对立统一等观点的认识.●复习方略指南本章主要内容有椭圆、双曲线、抛物线的定义，标准方程，简单几何性质.它们作为研究曲线和方程的典型问题，成了解析几何的主要内容，在日常生活、生产实践和科学技术上有着广泛的应用.因此在高考中，圆锥曲线成为命题的热点之一.分析近几年高考试题，有下面几个显著特点：1.注重双基保持稳定圆锥曲线在题型、题量、难度等方面风格独特，每年的试卷中客观题2至3道，主观题1道，分值占全卷的15%左右，“难、中、易”层次分明，既有基础题，又有能力题.2.全面考查重点突出试题中，圆锥曲线的内容几乎全部涉及，考查的知识点约占圆锥曲线总知识点的四分之三，通过知识的重新组合，考查学生系统掌握课程知识的内在联系，重点仍在直线与圆锥曲线的位置关系上.3.考查能力探究创新试题具有一定的综合性，重点考查学生画图、数形结合、等价转换、分类讨论、逻辑推理、合理运算以及综合运用知识的能力.在今后的高考中，圆锥曲线仍将考查圆锥曲线的概念和性质、求曲线方程、直线和圆锥曲线的位置关系、解析几何中的定值最值问题.其中直线和圆锥曲线的位置关系仍是命题的热点，解析几何中的定值及最值问题也会有所加强.圆锥曲线内容的“应用性问题”和“探索性问题”将会出现在今后的高考中.学好本章的关键在于正确理解和掌握由曲线求方程和由方程讨论曲线的性质这两个问题.为此建议在学习中做到：1.搞清概念（对概念定义应“咬文嚼字”）；2.熟悉曲线（会“速写”出符合题目数量特征要求的曲线）；3.熟练运用代数、三角、几何、向量的知识；4.处理问题时要在“大处着眼”（即在整体上把握问题的综合信息和处理问题的数学思想）“小处着手”（即在细节上能熟练运用各种数学知识和方法）.8.1椭圆定义 1.到两个定点F 1、F 2的距离之和等于定长（＞|F 1F 2|）的点的轨迹 2.到定点F 与到定直线l 的距离之比等于常数e （∈（0，1））的点的轨迹方程1.22a x +22b y =1（a ＞b ＞0），c =22b a -，焦点是F 1（－c ，0），F 2（c ，0） 2.22a y +22bx =1（a ＞b ＞0），c =22b a -，焦点是F 1（0，－c ），F 2（0，c ） x =a cos θ， y =b sin θ性质E ：22a x +22by =1（a ＞b ＞0）1.范围：|x |≤a ，|y |≤b2.对称性：关于x ，y 轴均对称，关于原点中心对称3.顶点：长轴端点A 1（－a ，0），A 2（a ，0）；短轴端点B 1（0，－b ），B 2（0，b ）4.离心率：e =a c∈（0，1） 5.准线：l 1：x =－c a 2，l 2：x =ca 26.焦半径：P （x ，y ）∈E r 1=|PF 1|=a +ex ，r 2=|PF 2|=a －ex对于焦点在y 轴上的椭圆22a y +22b x =1（a ＞b ＞0），其性质如何？焦半径公式怎样推导？●点击双基1.（2003年北京宣武区模拟题）已知F 1、F 2是椭圆162x +92y =1的两个焦点，过F 1的直线与椭圆交于M 、N 两点，则△MNF 2的周长为A.8B.16C.25D.32解析：利用椭圆的定义易知B 正确. 答案：B 2.（2004年湖北，6）已知椭圆162x +92y =1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在椭圆上，若P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为3.参数A.59B.3C.779 D.49 解析：由余弦定理判断∠P <90°，只能∠PF 1F 2或∠PF 2F 1为直角.由a =4，b =3得c =7，∴|y P |=49. 答案：D x =4+5cos ϕ， y =3sin ϕA.（0，0），（0，－8）B.（0，0），（－8，0）C.（0，0），（0，8）D.（0，0），（8，0）解析：消参数ϕ得椭圆25)4(2-x +92y =1，∴c =4.易得焦点（0，0），（8，0）.答案：D4.如果方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴的椭圆，那么实数k 的取值范围是____________. 解析：椭圆方程化为22x +ky 22=1.焦点在y 轴上，则k2>2，即k <1.又k >0，∴0<k <1.答案：0＜k ＜15.点P 在椭圆252x +92y =1上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P的横坐标是____________.解析：利用第二定义.答案：1225●典例剖析【例1】已知F 1为椭圆的左焦点，A 、B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，P 为椭圆上的点，当PF 1⊥F 1A ，PO ∥AB （O 为椭圆中心）时，求椭圆的离心率.剖析：求椭圆的离心率，即求ac，只需求a 、c 的值或a 、c 用同一个量表示.本题没有具体数值，因此只需把a 、c 用同一量表示，由PF 1⊥F 1A ，PO ∥AB 易得b =c ，a =2b .解：设椭圆方程为22a x +22b y =1（a ＞b ＞0），F 1（－c ，0），c 2=a 2－b 2，则P （－c ，b 221ac -），即P （－c ，a b 2）.∵AB ∥PO ，∴k AB =k OP ，即－a b =acb 2-.∴b =c .3.（2003年春季北京）（ϕ为参数）的焦点坐又∵a =22c b +=2b ， ∴e =a c =bb 2=22. 评述：由题意准确画出图形，利用椭圆方程及直线平行与垂直的性质是解决本题的关键.【例2】如下图，设E ：22a x +22b y =1（a ＞b ＞0）的焦点为F 1与F 2，且P ∈E ，∠F 1PF 2=2θ.求证：△PF 1F 2的面积S =b 2t an θ.剖析：有些圆锥曲线问题用定义去解决比较方便.如本题，设|PF 1|=r 1，|PF 2|=r 2，则S =21r 1r 2sin2θ.若能消去r 1r 2，问题即获解决.证明：设|PF 1|=r 1，|PF 2|=r 2，则S =21r 1r 2sin2θ，又|F 1F 2|=2c ， 由余弦定理有（2c ）2=r 12+r 22－2r 1r 2cos2θ=（r 1+r 2）2－2r 1r 2－2r 1r 2cos2θ=（2a ）2－2r 1r 2（1+cos2θ），于是2r 1r 2（1+cos2θ）=4a 2－4c 2=4b 2.所以r 1r 2=θ2cos 122+b .这样即有S =21·θ2cos 122+b sin2θ=b 2θθθ2cos 2cos sin 2=b 2t an θ.评述：解与△PF 1F 2（P 为椭圆上的点）有关的问题，常用正弦定理或余弦定理，并结合|PF 1|+|PF 2|=2a 来解决.特别提示 我们设想点P 在E 上由A 向B 运动，由于△PF 1F 2的底边F 1F 2为定长，而高逐渐变大，故此时S 逐渐变大.所以当P 运动到点B 时S 取得最大值.由于b 2为常数，所以t an θ逐渐变大.因2θ为三角形内角，故2θ∈（0，π），θ∈（0，2π）.这样，θ也逐渐变大，当P 运动到B 时，∠F 1PF 2取得最大值.故本题可引申为求最值问题，读者不妨一试.【例3】若椭圆ax 2+by 2=1与直线x +y =1交于A 、B 两点，M 为AB 的中点，直线OM （O 为原点）的斜率为22，且OA ⊥OB ，求椭圆的方程. 剖析：欲求椭圆方程，需求a 、b ，为此需要得到关于a 、b 的两个方程，由OM 的斜率为22.OA ⊥OB ，易得a 、b 的两个方程.解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），M （221x x +，221y y +）. x +y =1，ax 2+by 2=1，∴221x x +=b a b +，221y y +=1－221x x +=b a a +.∴M （b a b +，b a a +）.∵k OM =22，∴b =2a . ①∵OA ⊥OB ，∴11x y ·22x y=－1.∴x 1x 2+y 1y 2=0. ∵x 1x 2=ba b +-1，y 1y 2=（1－x 1）（1－x 2）， ∴y 1y 2=1－（x 1+x 2）+x 1x 2=1－b a b +2+b a b +-1=ba a +-1.∴b a b +-1+b a a +-1=0.∴a +b =2. ② 由①②得a =2（2－1），b =22（2－1）. ∴所求方程为2（2－1）x 2+22（2－1）y 2=1.评述：直线与椭圆相交的问题，通常采取设而不求，即设出A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），但不是真的求出x 1、y 1、x 2、y 2，而是借助于一元二次方程根与系数的关系来解决问题.由OA ⊥OB 得x 1x 2+y 1y 2=0是解决本题的关键.●闯关训练 夯实基础1.（2004年全国Ⅰ，7）椭圆42x +y 2=1的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则|2PF |等于A.23B.3C.27D.4解法一：（如下图）设椭圆的右焦点为F 1，左焦点为F 2，过F 1垂直于x 轴的直线与椭圆在第一象限的交点为P .∵42x+y 2=1，∴a =2，b =1，c =3. ∴F 1（3，0）.设P （3，y P ）代入42x +y 2=1，得y P =21，由 ∴（a +b ）x 2－2bx +b －1=0.∴P （3，21），|PF 1|=21. 又∵|PF 2|+|PF 1|=2a =4，∴|PF 2|=4－|PF 1|=4－21=27.解法二：椭圆的左准线方程为x =－c a 2=－334.∵|)334(3|||2--PF =e =23，∴|PF 2|=27.解法三：由解法一得P （3，21）， 又F 2（－3，0），∴|PF 2|=22)021()]3(3[-+--=27.答案：C评述：解法一和解法三为基本解法.解法二使用第二定义甚为巧妙.2.（2003年昆明市模拟题）设F 1、F 2为椭圆的两个焦点，以F 2为圆心作圆F 2，已知圆F 2经过椭圆的中心，且与椭圆相交于M 点，若直线MF 1恰与圆F 2相切，则该椭圆的离心率e 为A.3－1B.2－3C.22D.23 解析：易知圆F 2的半径为c ，（2a －c ）2+c 2=4c 2，（a c ）2+2（a c ）－2=0，ac=3－1.答案：A3.（2005年春季北京，10）椭圆252x +92y =1的离心率是____________，准线方程是____________.解析：由椭圆方程可得a =5，b =3，c =4，e =54，准线方程为x =±452=±425.答案：54x =±4254.已知P 是椭圆22a x ＋22b y ＝1（a ＞b ＞0）上任意一点，P 与两焦点连线互相垂直，且P 到两准线距离分别为6、12，则椭圆方程为____________.解析：利用椭圆的两个定义结合勾股定理来求．答案：452x ＋202y ＝15.椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是3，求这个椭圆方程.解：由题设条件可知a =2c ，b =3c ，又a －c =3，解得a 2=12，b 2=9.∴所求椭圆的方程是122x +92y =1或92x +122y =1.6.直线l 过点M （1，1），与椭圆42x +32y =1相交于A 、B 两点，若AB 的中点为M ，试求直线l 的方程.解：设A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），则421x +321y =1，①422x +322y =1. ②①－②，得4))((2121x x x x +-+3))((2121y y y y +-=0.∴2121x x y y --=－43·2121y y x x ++.又∵M 为AB 中点，∴x 1+x 2=2，y 1+y 2=2.∴直线l 的斜率为－43.∴直线l 的方程为y －1=－43（x －1），即3x +4y －7=0.培养能力7.已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在坐标轴上，直线y =x +1与椭圆相交于点P 和点Q ，且OP ⊥OQ ，|PQ |=210，求椭圆方程. 解：设椭圆方程为mx 2+ny 2=1（m >0，n >0），设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），解方程组y =x +1， mx 2+ny 2=1.y ，整理得（m +n ）x 2+2nx +n －1=0.Δ=4n 2－4（m +n ）（n －1）>0，即m +n －mn >0，OP ⊥OQ ⇒x 1x 2+y 1y 2=0， 即x 1x 2+（x 1+1）（x 2+1）=0，2x 1x 2+（x 1+x 2）+1=0， ∴n m n +-)1(2－n m n -2+1=0.∴m +n =2.①由弦长公式得2·2)()(4n m mn n m +-+=（210）2，将m +n =2代入，得m ·n =43.② m =21，m =23， n =23n =21. ∴椭圆方程为22x +23y 2=1或23x 2+22y =1.解①或8.（2003年南京市模拟题）设x 、y ∈R ，i 、j 为直角坐标平面内x 、y 轴正方向上的单位向量，若向量a =x i +（y +2）j ，b =x i +（y －2）j ，且|a |+|b |=8.（1）求点M （x ，y ）的轨迹C 的方程.（2）过点（0，3）作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，设OP =OA +OB ，是否存在这样的直线l ，使得四边形OAPB 是矩形？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，试说明理由.（1）解法一：∵a =x i +（y +2）j ，b =x i +（y －2）j ，且|a |+|b |=8，∴点M （x ，y ）到两个定点F 1（0，－2），F 2（0，2）的距离之和为8.∴轨迹C 为以F 1、F 2为焦点的椭圆，方程为122x +162y =1.解法二：由题知，22)2(++y x +22)2(-+y x =8， 移项，得22)2(++y x =8－22)2(-+y x ，两边平方，得x 2+（y +2）2=x 2+（y －2）2－1622)2(-+y x +64， 整理，得222)2(-+y x =8－y ，两边平方，得4［x 2+（y －2）2］=（8－y ）2， 展开，整理得122x +162y =1.（2）∵l 过y 轴上的点（0，3），若直线l 是y 轴，则A 、B 两点是椭圆的顶点.∵OP =OA +OB =0，∴P 与O 重合，与四边形OAPB 是矩形矛盾.∴直线l 的斜率存在.设l 方程为y =kx +3，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， y =kx +3，122x+162y =1， （－21）＞0恒成立，且x 1+x 2=－23418k k +，x 1x 2=－23421k +. ∵OP =OA +OB ，∴四边形OAPB 是平行四边形.若存在直线l ，使得四边形OAPB 是矩形，则OA ⊥OB ，即OA ·OB =0.∵OA =（x 1，y 1），OB =（x 2，y 2）， ∴OA ·OB =x 1x 2+y 1y 2=0， 即（1+k 2）x 1x 2+3k （x 1+x 2）+9=0， 即（1+k 2）·（－23421k +）+3k ·（－23418kk +）+9=0，即k 2=165，得k =±45. 由 消y 得（4+3k 2）x 2+18kx －21=0.此时，Δ=（18k 2）－42∴存在直线l ：y =±45x +3，使得四边形OAPB 是矩形. 探究创新9.已知常数a ＞0，在矩形ABCD 中，AB =4，BC =4a ，O 为AB 的中点，点E 、F 、G分别在BC 、CD 、DA 上移动，且BC BE =CD CF =DADG，P 为GE 与OF 的交点（如下图）.问是否存在两个定点，使P 到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由.分析：根据题设条件首先求出P 点坐标满足的方程，据此可判断是否存在两点，使得点P 到两定点距离的和为定值.解：按题意，有A （－2，0），B （2，0），C （2，4a ），D （－2，4a ）. 设BC BE =CD CF =DADG =k （0≤k ≤1）， 由此有E （2，4ak ），F （2－4k ，4a ），G （－2，4a －4ak ）. 直线OF 的方程为2ax +（2k －1）y =0. ① 直线GE 的方程为－a （2k －1）x +y －2a =0. ② 由①②消去参数k ，得点P （x ，y ）满足方程2a 2x 2+y 2－2ay =0.整理得212x +22)(aa y -=1. 当a 2=21时，点P 的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点.当a 2≠21时，点P 的轨迹为椭圆的一部分，点P 到该椭圆焦点的距离的和为定长.当a 2＜21时，点P 到椭圆两个焦点（－221a -，a ），（221a -，a ）的距离之和为定值2.当a 2＞21时，点P 到椭圆两个焦点（0，a －212-a ），（0，a +212-a ）的距离之和为定值2a .评注：本题主要考查根据已知条件求轨迹的方法，椭圆的方程和性质，利用方程判定曲线的性质，曲线与方程关系等解析几何的基本思想和综合解题能力.在解题过程中蕴涵着方程思想、分类讨论思想和构造法.●思悟小结1.椭圆的定义是解决问题的出发点，尤其是第二定义，如果运用恰当可收到事半功倍之效（如关于求焦半径的问题）.2.要明确参数a 、b 、c 、e 的相互关系、几何意义及与一些概念的联系.灵活运用它们之间的关系可使问题顺利解决.3.椭圆参数的几何意义，如下图所示：（1）|PF 1|+|PF 2|=2a ，||||11PM PF =||||22PM PF =e ； （2）|A 1F 1|=|A 2F 2|=a －c ，|A 1F 2|=|A 2F 1|=a +c ； （3）|BF 2|=|BF 1|=a ，|OF 1|=|OF 2|=c ； （4）|F 1K 1|=|F 2K 2|=p =cb 2，|PM 2|+|PM 1|=ca 22.●教师下载中心 教学点睛本节的重点是椭圆的定义、方程、几何性质.难点是理解参数a 、b 、c 、e 的关系，及利用第二定义解决问题，关键是注意数形结合，函数与方程的思想，等价转化的运用.为此建议在教学中注意以下几点：（1）椭圆中有一个十分重要的三角形OF 1B 2（如下图），它的三边长分别为a 、b 、c .易见c 2=a 2－b 2，且若记∠OF 1B 2=θ，则cos θ=ac=e .（2）应理解椭圆是平面内到两个定点距离之和等于定长的点的轨迹，本质上，它与坐标系无关，而坐标系是研究的手段.实际上，人们研究圆锥曲线的记录早于笛卡儿发明坐标系，从而椭圆本身所固有的性质并不依赖于坐标系，这些性质不因坐标系的选择而改变.例如上述的△OF 1B 2、公式cos θ=e 等，均不因坐标系的改变而改变.（3）椭圆的定义中应注意常数大于|F 1F 2|.因为当平面内的动点与定点F 1、F 2的距离之和等于|F 1F 2|时，其动点轨迹就是线段F 1F 2；当平面内的动点与定点F 1、F 2的距离之和小于|F 1F 2|时，其轨迹不存在.（4）椭圆标准方程中两个参数a 和b 确定了椭圆的形状和大小.两种标准方程中，总有a ＞b ＞0；椭圆的焦点位置决定标准方程的类型；a 、b 、c 的关系是c 2=a 2－b 2；在方程Ax 2+By 2=C 中，只要A 、B 、C 同号，就是椭圆方程.（5）当题目中出现椭圆上的点与焦点的距离，焦点弦长相关时，常利用椭圆的第二定义，转化为点到准线的距离来研究，即正确应用焦半径公式.（6）使用椭圆的第二定义时，一定要注意动点P 到焦点的距离与对应准线距离之比为常数e .若使用的焦点与准线不是对应的，则上述之比就不再是常数了.拓展题例【例1】（2003年太原市模拟题）如下图，已知△OFQ 的面积为S ，且OF ·FQ =1.（1）若21＜S ＜2，求向量OF 与FQ 的夹角θ的取值范围； （2）设|OF |=c （c ≥2），S =43c ，若以O 为中心，F 为一个焦点的椭圆经过点Q ，当|OQ |取最小值时，求椭圆的方程.解：（1）由已知，得（π－θ）=S ， θ=1.∴t an θ=2S .∵21＜S ＜2，∴1＜t an θ＜4. 则4π＜θ＜arc t an4. （2）以O 为原点，OF 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系.设椭圆方程为22a x +22by =1（a ＞b ＞0），Q （x ，y ）. OF =（c ，0），则FQ =（x －c ，y ）.∵21|OF |·y =43c ，∴y =23. 又∵OF ·FQ =c （x －c ）=1，∴x =c +c 1. 则|OQ |=22y x +=49)1(2++c c （c ≥2）. 可以证明：当c ≥2时，函数t =c +c1为增函数， ∴当c =2时， |OQ |min =49)212(2++=234，此时Q （25，23）.将Q 的坐标代入椭圆方程，2425a +249b =1，a 2=10， a 2－b 2=4.b 2=6.∴椭圆方程为102x +62y =1. 【例2】（2002年春季全国）已知某椭圆的焦点是F 1（－4，0）、F 2（4，0），过点F 2，并垂直于x 轴的直线与椭圆的一个交点为B ，且｜F 1B ｜＋｜F 2B ｜＝10．椭圆上不同的两点A （x 1，y 1）、C （x 2，y 2）满足条件：｜F 2A ｜、｜F 2B ｜、｜F 2C ｜成等差数列.（1）求该椭圆的方程；（2）求弦AC 中点的横坐标；（3）设弦AC 的垂直平分线的方程为y ＝kx ＋m ，求m 的取值范围.（1）解：由椭圆定义及条件知2a ＝｜F 1B ｜＋｜F 2B ｜＝10，得a ＝5.又c ＝4，所以b ＝22c a -＝3．故椭圆方程为252x ＋92y ＝1． （2）解：由点B （4，y B ）在椭圆上，得｜F 2B ｜＝｜y B ｜＝59． 方法一：因为椭圆右准线方程为x ＝425，离心率为54． 根据椭圆定义，有｜F 2A ｜＝54（425－x 1），｜F 2C ｜＝54（425－x 2）． 由｜F 2A ｜、｜F 2B ｜、｜F 2C ｜成等差数列，得54（425－x 1）＋54（425－x 2）＝2×59． 由此得出x 1＋x 2＝8．设弦AC 的中点为P （x 0，y 0），则x 0＝221x x +＝28＝4． 方法二：由｜F 2A ｜、｜F 2B ｜、｜F 2C ｜成等差数列，得2121)4(y x +-＋2222)4(y x +-＝2×59， ① 由A （x 1，y 1）在椭圆252x ＋92y ＝1上，得y 12＝259（25－x 12）， 得解所以2121)4(y x +-=)25(25916821121x x x -++- ＝21)545(x -＝51（25－4x 1）. ② 同理可得2222)4(y x +-＝51（25－4x 2）． ③ 将②③代入①式，得51（25－4x 1）＋51（25－4x 2）＝518． 所以x 1＋x 2＝8．设弦AC 的中点为P （x 0，y 0），则x 0＝221x x +＝28＝4． （3）解法一：由A （x 1，y 1），C （x 2，y 2）在椭圆上，得 9x 12＋25y 12＝9×25， ④ 9x 22＋25y 22＝9×25． ⑤ 由④－⑤得9（x 12－x 22）＋25（y 12－y 22）＝0， 即9（221x x +）＋25（221y y +）（2121x x y y --）＝0（x 1≠x 2）. 将221x x +＝x 0=4，221y y +＝y 0，2121x x y y --＝－k 1（k ≠0）代入上式，得 9×4＋25y 0（－k 1）＝0（k ≠0）． 由上式得k ＝3625y 0（当k ＝0时也成立）. 由点P （4，y 0）在弦AC 的垂直平分线上，得y 0＝4k ＋m ，所以m ＝y 0－4k ＝y 0－925y 0＝－916y 0． 由P （4，y 0）在线段BB ′（B ′与B 关于x 轴对称）的内部，得－59＜y 0＜59. 所以－516＜m ＜516． 评述：在推导过程中，未写明“x 1≠x 2”“k ≠0”“k ＝0时也成立”及把结论写为“－516≤m ≤516”也可以. 解法二：因为弦AC 的中点为P （4，y 0），所以直线AC 的方程为y －y 0＝－k1（x －4）（k ≠0）. ⑥ 将⑥代入椭圆方程252x +92y ＝1，得 （9k 2＋25）x 2－50（ky 0＋4）x ＋25（ky 0＋4）2－25×9k 2＝0．所以x 1＋x 2＝259)4(5020++k ky ＝8． 解得k ＝3625y 0（当k ＝0时也成立）. 以下步骤同解法一.。
2013届高考数学第一轮专项复习教案43
6.3不等式的证明（二）●知识梳理1.用综合法证明不等式：利用不等式的性质和已证明过的不等式以及函数的单调性导出待证不等式的方法叫综合法，概括为“由因导果”.2.用分析法证明不等式：从待证不等式出发，分析并寻求使这个不等式成立的充分条件的方法叫分析法，概括为“执果索因”.3.放缩法证明不等式.4.利用单调性证明不等式.5.构造一元二次方程利用“Δ”法证明不等式.6.数形结合法证明不等式.7.反证法、换元法等.特别提示不等式证明方法多，证法灵活，其中比较法、分析法、综合法是基本方法，要熟练掌握，其他方法作为辅助，这些方法之间不能截然分开，要综合运用各种方法.●点击双基1.（2005年春季北京，8）若不等式（－1）na ＜2+nn 11+-）（对任意n ∈N *恒成立，则实数a 的取值范围是A.［－2，23）B.（－2，23）C.［－3，23）D.（－3，23）解析：当n 为正偶数时，a ＜2－n1，2－n1为增函数，∴a ＜2－21=23.当n 为正奇数时，－a ＜2+n1，a ＞－2－n1.而－2－n1为增函数，－2－n1＜－2，∴a ≥－2.故a ∈［－2，23）.答案：A2.（2003年南京市质检题）若a1＜b1＜0，则下列结论不正确．．．的是 A.a 2＜b 2B.ab ＜b 2C.ab +ba ＞2D.|a |+|b |＞|a +b |解析：由a1＜b1＜0，知b ＜a ＜0.∴A 不正确. 答案：A3.分析法是从要证的不等式出发，寻求使它成立的 A.充分条件 B.必要条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件答案：A4.（理）在等差数列{a n }与等比数列{b n }中，a 1=b 1＞0，a n =b n ＞0，则a m 与b m 的大小关系是____________.解析：若d =0或q =1，则a m =b m .若d ≠0，画出a n =a 1+（n －1）d 与b n =b 1·q n －1的图象，易知a m ＞b m ，故a m ≥b m . 答案：a m ≥b m（文）在等差数列{a n }与等比数列{b n }中，a 1=b 1＞0，a 2n +1=b 2n +1＞0（n =1，2，3，…），则a n +1与b n +1的大小关系是____________.解析：a n +1=2121++n a a ≥121+n a a =121+n b b =b n +1.答案：a n +1≥b n +1 5.若a ＞b ＞c ，则b a -1+c b -1_______ca -3.（填“＞”“=”“＜”）解析：a ＞b ＞c ，（b a -1+c b -1）（a －c ）=（b a -1+cb -1）［（a －b ）+（b －c ）］≥2））（（c b b a --1·2））（（c b b a --=4.∴b a -1+c b -1≥ca -4＞ca -3.答案：＞ ●典例剖析【例1】设实数x 、y 满足y ＋x 2＝0，0＜a ＜1.求证：log a （a x ＋a y ）＜log a 2＋81.剖析：不等式左端含x 、y ，而右端不含x 、y ，故从左向右变形时应消去x 、y .证明：∵a x ＞0，a y ＞0， ∴a x ＋a y ≥2yx a +＝22xx a -.∵x －x2＝41－（x －21）2≤41，0＜a ＜1，∴a x ＋a y ≥241a ＝2a 81.∴log a （a x＋a y）＜log a 2a 81＝log a 2＋81.评述：本题的证题思路可由分析法获得.要证原不等式成立，只要证a x ＋a y≥2·a 81即可．【例2】已知a 、b 、c ∈R +，且a +b +c =1.求证： （1+a ）（1+b ）（1+c ）≥8（1－a ）（1－b ）（1－c ）.剖析：在条件“a +b +c =1”的作用下，将不等式的“真面目”隐含了，给证明不等式带来困难，若用“a +b +c ”换成“1”，则还原出原不等式的“真面目”，从而抓住实质，解决问题.证明：∵a 、b 、c ∈R +且a +b +c =1， ∴要证原不等式成立，即证［（a +b +c ）+a ］·［（a +b +c ）+b ］［（a +b +c ）+c ］≥8［（a +b +c ）－a ］·［（a +b +c ）－b ］·［（a +b +c ）－c ］.也就是证［（a +b ）+（c +a ）］［（a +b ）+（b +c ）］·［（c +a ）+（b +c ）］≥8（b +c ）（c +a ）（a +b ）.①∵（a +b ）+（b +c ）≥2））（（c b b a ++＞0， （b +c ）+（c +a ）≥2））（（a c c b ++＞0， （c +a ）+（a +b ）≥2））（（b a a c ++＞0， 三式相乘得①式成立. 故原不等式得证.【例3】已知a ＞1，n ≥2，n ∈N *. 求证：n a －1＜na 1-.证法一：要证n a －1＜na 1-，即证a ＜（na 1-+1）n .令a －1=t ＞0，则a =t +1.也就是证t +1＜（1+nt ）n .∵（1+nt ）n =1+C 1n nt +…+C n n （nt）n ＞1+t ，即n a －1＜na 1-成立. 证法二：设a =x n，x ＞1.于是只要证nx n 1-＞x －1， 即证11--x x n ＞n .联想到等比数列前n 项和1+x +…+xn －1=11--x x n ，① 倒序x n －1+xn －2+ (1)11--x x n .②①+②得2·11--x x n =（1+x n －1）+（x +x n －2）+…+（x n －1+1） ＞21-n x +21-n x +…+21-n x ＞2n .∴11--x x n ＞n . 思考讨论本不等式是与自然数有关的命题，用数学归纳法可以证吗?读者可尝试一下.●闯关训练 夯实基础1.已知a 、b 是不相等的正数，x =2b a +，y =b a +，则x 、y 的关系是A.x ＞yB.y ＞xC.x ＞2yD.不能确定解析：∵x 2=21（a +b ）2=21（a +b +2ab），y 2=a +b =21（a +b +a +b ）＞21（a +b +2ab）=x 2，又x ＞0，y ＞0.∴y ＞x .答案：B2.对实数a 和x 而言，不等式x 3+13a 2x ＞5ax 2+9a 3成立的充要条件是____________.解析：（x 3+13a 2x ）－（5ax 2+9a 3） =x 3－5ax 2+13a 2x －9a 3 =（x －a ）（x 2－4ax +9a 2） =（x －a ）［（x －2a ）2+5a 2］＞0.∵当x ≠2a ≠0时，有（x －2a ）2+5a 2＞0.由题意故只需x －a ＞0即x ＞a ，以上过程可逆.答案：x ＞a3.已知a ＞b ＞c 且a +b +c =0，求证：acb -2＜3a .证明：要证acb -2＜3a ，只需证b 2－ac ＜3a 2，即证b 2+a （a +b ）＜3a 2，即证（a －b ）（2a +b ）＞0， 即证（a －b ）（a －c ）＞0.∵a ＞b ＞c ，∴（a －b ）·（a －c ）＞0成立. ∴原不等式成立.4.已知a +b +c =0，求证：ab +bc +ca ≤0.证法一：（综合法）∵a +b +c =0，∴（a +b +c ）2＝0. 展开得ab +bc +ca =－2222c b a ++，∴ab +bc +ca ≤0.证法二：（分析法）要证ab +bc +ca ≤0， ∵a +b +c =0，故只需证ab +bc +ca ≤（a +b +c ）2，即证a 2+b 2+c 2+ab +bc +ca ≥0， 亦即证21［（a +b ）2＋（b ＋c ）2＋（c ＋a ）2］≥0．而这是显然的，由于以上相应各步均可逆， ∴原不等式成立.证法三：∵a +b +c =0，∴－c =a +b . ∴ab +bc +ca =ab +（b +a ）c =ab －（a +b ）2 ＝－a 2－b2－ab ＝－［（a ＋2b）2＋432b ］≤0．∴ab +bc +ca ≤0. 培养能力5.设a +b +c =1，a 2+b 2+c 2=1且a ＞b ＞c . 求证：－31＜c ＜0.证明：∵a 2+b 2+c 2=1， ∴（a +b ）2－2ab +c 2=1.∴2ab =（a +b ）2+c 2－1=（1－c ）2+c 2－1=2c 2－2c . ∴ab =c 2－c .又∵a +b =1－c ，∴a 、b 是方程x 2+（c －1）x +c 2－c =0的两个根，且a ＞b ＞c .令f （x ）=x 2+（c －1）x +c 2－c ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><<-⇒>->.0031210）（c f c c c Δ 6.已知acb 22-=1，求证：方程ax 2+bx +c =0有实数根.证明：由a cb 22-=1，∴b =22c a +.∴b 2=（2a +2c ）2=22a +2ac +2c 2=4ac +（2a －2c ）2≥4ac .∴方程ax 2+bx +c =0有实数根. 7.设a 、b 、c 均为实数，求证：a21+b 21+c21≥c b +1+ac +1+ba +1. 证明：∵a 、b 、c 均为实数，∴21（a21＋b 21）≥ab21≥ba +1，当a =b 时等号成立；21（b 21＋c 21）≥bc 21≥c b +1，当b =c 时等号成立；21（c 21＋a 21）≥ca21≥a c +1． 三个不等式相加即得a21+b21+c21≥cb +1+ac +1+ba +1，当且仅当a =b =c 时等号成立.探究创新8.已知a 、b 、c 、d ∈R ，且a +b =c +d =1，ac +bd ＞1. 求证：a 、b 、c 、d 中至少有一个是负数. 证明：假设a 、b 、c 、d 都是非负数，∵a +b =c +d =1，∴（a +b ）（c +d ）=1.∴ac +bd +bc +ad =1≥ac +bd .这与ac +bd ＞1矛盾.所以假设不成立，即a 、b 、c 、d 中至少有一个负数. ●思悟小结1.综合法就是“由因导果”，从已知不等式出发，不断用必要条件替换前面的不等式，直至推出要证的结论.2.分析法就是“执果索因”，从所证不等式出发，不断用充分条件替换前面的不等式，直至找到成立的不等式.3.探求不等式的证法一般用分析法，叙述证明过程用综合法较简，两法结合在证明不等式中经常遇到.4.构造函数利用单调性证不等式或构造方程利用“Δ≥0”证不等式，充分体现相关知识间的联系.●教师下载中心教学点睛1.在证明不等式的过程中，分析法和综合法是不能分离的，如果使用综合法证明不等式难以入手时，常用分析法探索证题途径，之后用综合法的形式写出它的证明过程，以适应学生习惯的思维规律.有时问题证明难度较大，常使用分析综合法，实现两头往中间靠以达到证题目的.2.由于高考试题不会出现单一的不等式的证明题，常常与函数、数列、三角、方程综合在一起，所以在教学中，不等式的证明除常用的三种方法外，还需介绍其他方法，如函数的单调性法、判别式法、换元法（特别是三角换元）、放缩法以及数学归纳法等.拓展题例【例1】已知a、b为正数，求证：x＞（1）若a+1＞b，则对于任何大于1的正数x，恒有ax+x-1b成立；x＞b成立，则a+1（2）若对于任何大于1的正数x，恒有ax+-1x＞b.分析：对带条件的不等式的证明，条件的利用常有两种方法：①证明过程中代入条件；②由条件变形得出要证的不等式.证明：（1）ax +1-x x=a （x －1）+11-x +1+a ≥2a +1+a =（a +1）2.∵a +1＞b （b ＞0），∴（a +1）2＞b 2.（2）∵ax +1-x x＞b 对于大于1的实数x 恒成立，即x ＞1时，［ax +1-x x］min ＞b ， 而ax +1-x x=a （x －1）+11-x +1+a ≥2a +1+a =（a +1）2， 当且仅当a （x －1）=11-x ，即x =1+a1＞1时取等号.故［ax +1-x x ］min =（a +1）2.则（a +1）2＞b ，即a +1＞b .评述：条件如何利用取决于要证明的不等式两端的差异如何消除.【例2】求证：||1||b a b a +++≤||1||a a ++||1||b b +.剖析：|a +b |≤|a |+|b |，故可先研究f （x ）=xx+1（x ≥0）的单调性. 证明：令f （x ）=xx+1（x ≥0），易证f （x ）在［0，+∞）上单调递增.|a +b |≤|a |+|b |，∴f （|a +b |）≤f （|a |+|b |）， 即||1||b a b a +++≤||||1||||b a b a +++=||||1||||||1||b a b b a a +++++≤||1||||1||b b a a +++.思考讨论1.本题用分析法直接去证可以吗?2.本题当|a +b |=0时，不等式成立；当|a +b |≠0时，原不等式即为||111b a ++≤||1||||1||b b a a +++.再利用|a+b|≤|a|+|b|放缩能证吗?读者可以尝试一下!。
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第六章不等式●网络体系总览不等式的性质 绝对值及其性质不等式的证明：比较法、分析法、综合法、放缩法等含绝对值的不等式不等式的解法不等式的应用：比较大小，函数的定义域、值域，方程根的分布，取值范围问题，实际应用问题等●考点目标定位1.理解不等式的性质及应用.2.掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单地应用.3.掌握比较法、分析法、综合法证明简单的不等式.4.掌握不等式的解法.5.理解不等式|a|－|b|≤|a±b|≤|a|+|b|.●复习方略指南本章内容在高考中，以考查不等式的性质、证明、解法和最值方面的应用为重点，多数是与函数、方程、三角、数列、几何综合在一起被考查，单独考查不等式的问题较少，尤其是不等式的证明题.借助不等式的性质及证明，主要考查函数方程思想、等价转化思想、数形结合思想及分类讨论思想等数学思想方法.含参数不等式的解法与讨论，不等式与函数、数列、三角等内容的综合问题，仍将是今后高考命题的热点.本章内容理论性强，知识覆盖面广，因此复习中应注意：1.复习不等式的性质时，要克服“想当然”和“显然成立”的思维定势，要以比较准则和实数的运算法则为依据.2.不等式的证明方法除比较法、分析法、综合法外，还有反证法、换元法、判别式法、构造法、几何法，这些方法可作了解，但要控制量和度，切忌喧宾夺主.3.解（证）某些不等式时，要把函数的定义域、值域和单调性结合起来.4.注意重要不等式和常用思想方法在解题中的作用.5.利用平均值定理解决问题时，要注意满足定理成立的三个条件：一“正”、二“定”、三“相等”.6.对于含有绝对值的不等式（问题），要紧紧抓住绝对值的定义实质，充分利用绝对值的几何意义.7.要强化不等式的应用意识，同时要注意到不等式与函数方程的对比与联系.6.1不等式的性质●知识梳理1.比较准则：a －b ＞0⇔a ＞b ； a －b =0⇔a =b ；a －b ＜0⇔a ＜b .2.基本性质：（1）a ＞b ⇔b ＜a . （2）a ＞b ，b ＞c ⇒a ＞c .（3）a ＞b ⇔a +c ＞b +c ；a ＞b ，c ＞d ⇒a +c ＞b +d .（4）a ＞b ，c ＞0⇒ac ＞bc ；a ＞b ，c ＜0⇒ac ＜bc ；a ＞b ＞0，c ＞d ＞0⇒ac ＞bd .（5）a ＞b ＞0⇒n a ＞n b （n ∈N ，n ＞1）；a ＞b ＞0⇒a n ＞b n （n ∈N ，n ＞1）.3.要注意不等式性质成立的条件.例如，重要结论：a ＞b ，ab ＞0⇒a1＜b1，不能弱化条件得a ＞b ⇒a1＜b1，也不能强化条件得a ＞b＞0⇒a1＜b1.4.要正确处理带等号的情况.如由a ＞b ，b ≥c 或a ≥b ，b ＞c 均可得出a ＞c ；而由a ≥b ，b ≥c 可能有a ＞c ，也可能有a =c ，当且仅当a =b 且b =c 时，才会有a =c .5.性质（3）的推论以及性质（4）的推论可以推广到两个以上的同向不等式.6.性质（5）中的指数n 可以推广到任意正数的情形.特别提示不等式的性质从形式上可分两类：一类是“⇒”型；另一类是“⇔”型.要注意二者的区别.●点击双基1.若a ＜b ＜0，则下列不等式不能．．成立的是 A.a1＞b1B.2a ＞2bC.|a |＞|b |D.（21）a ＞（21）b解析：由a ＜b ＜0知ab ＞0，因此a ·ab1＜b ·ab1，即a1＞b1成立； 由a ＜b ＜0得－a ＞－b ＞0，因此|a |＞|b |＞0成立.又（21）x 是减函数，所以（21）a ＞（21）b 成立.故不成立的是B.答案：B2.（2004年春季北京，7）已知三个不等式：ab ＞0，bc －ad ＞0，a c－bd ＞0（其中a 、b 、c 、d 均为实数），用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是A.0B.1C.2D.3解析：由ab ＞0，bc －ad ＞0可得出ac －bd ＞0. bc －ad ＞0，两端同除以ab ，得ac －bd ＞0.同样由ac －bd ＞0，ab ＞0可得bc －ad ＞0.⇒⎪⎩⎪⎨⎧>->-⇒⎪⎩⎪⎨⎧>->-0000abad bc ad bc b da c ad bc ab ＞0. 答案：D3.设α∈（0，2π），β∈［0，2π］，那么2α－3β的范围是A.（0，6π5）B.（－6π，6π5）C.（0，π）D.（－6π，π）解析：由题设得0＜2α＜π，0≤3β≤6π.∴－6π≤－3β≤0.∴－6π＜2α－3β＜π.答案：D4.a ＞b ＞0，m ＞0，n ＞0，则ab ，ba ，ma mb ++，nb n a ++的由大到小的顺序是____________.解析：特殊值法即可 答案：ba ＞nb n a ++＞ma mb ++＞ab5.设a =2－5，b =5－2，c =5－25，则a 、b 、c 之间的大小关系为____________.解析：a =2－5=4－5＜0，∴b ＞0.c =5－25=25－20＞0.b －c =35－7=45－49＜0.∴c ＞b ＞a . 答案：c ＞b ＞a ●典例剖析【例1】已知－1＜a +b ＜3且2＜a －b ＜4，求2a +3b 的取值范围. 剖析：∵a +b ，a －b 的范围已知，∴要求2a +3b 的取值范围，只需将2a +3b 用已知量a +b ，a －b 表示出来.可设2a +3b =x （a +b ）+y （a －b ），用待定系数法求出x 、y .解：设2a +3b =x （a +b ）+y （a －b ），∴⎩⎨⎧=-=+.32y x y x ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==2125y x ，∴－25＜25（a +b ）＜215，－2＜－21（a －b ）＜－1.∴－29＜25（a +b ）－21（a －b ）＜213，即－29＜2a +3b ＜213.评述：解此题常见错误是：－1＜a +b ＜3，①2＜a －b ＜4.②①+②得1＜2a ＜7.③由②得－4＜b －a ＜－2.④①+④得－5＜2b ＜1，∴－215＜3b ＜23.⑤③+⑤得－213＜2a +3b ＜217.思考讨论1.评述中解法错在何处?2.该类问题用线性规划能解吗?并试着解决如下问题：已知函数f （x ）=ax 2－c ，满足－4≤f （1）≤－1，－1≤f （2）≤5，求f （3）的最大值和最小值.答案：20－1【例2】（2004年福建，3）命题p ：若a 、b ∈R ，则|a |+|b |＞1是|a +b |＞1的充分而不必要条件；命题q ：函数y =2|1|--x 的定义域是（－∞，－1］∪［3，+∞），则A.“p 或q ”为假B.“p 且q ”为真C.p 真q 假D.p 假q 真剖析：只需弄清命题p 、q 的真假即可.解：∵|a +b |≤|a |+|b |，若|a |+|b |＞1不能推出|a +b |＞1， 而|a +b |＞1一定有|a |+|b |＞1，故命题p 为假. 又函数y =2|1|--x 的定义域为|x －1|－2≥0，∴|x －1|≥2.∴x ≤－1或x ≥3.∴q 为真. 答案：D【例3】比较1+log x 3与2log x 2（x ＞0且x ≠1）的大小. 剖析：由于要比较的两个数都是对数，我们联系到对数的性质，以及对数函数的单调性.解：（1+log x 3）－2log x 2=log x 43x .当⎪⎩⎪⎨⎧<<<<143010x x ，或⎪⎩⎪⎨⎧>>，，1431x x 即0＜x ＜1或x ＞34时，有log x 43x ＞0，1+log x 3＞2log x 2.当⎪⎩⎪⎨⎧><<，，14310x x ①或⎪⎩⎪⎨⎧<<>14301x x ，②时，log x 43x ＜0.解①得无解，解②得1＜x ＜34，即当1＜x ＜34时，有log x 43x ＜0，1+log x 3＜2log x 2.当43x =1，即x =34时，有log x 43x =0.∴1+log x 3=2log x 2.综上所述，当0＜x ＜1或x ＞34时，1+log x 3＞2log x 2；当1＜x ＜34时，1+log x 3＜2log x 2；当x =34时，1+log x 3=2log x 2.评述：作差看符号是比较两数大小的常用方法，在分类讨论时，要做到不重复、不遗漏.深化拓展函数f （x ）=x 2+（b －1）x +c 的图象与x 轴交于（x 1，0）、（x 2，0），且x 2－x 1＞1.当t ＜x 1时，比较t 2+bt +c 与x 1的大小.提示：令f （x ）=（x －x 1）（x －x 2）， ∴x 2+bx +c =（x －x 1）（x －x 2）+x . 把t 2+bt +c 与x 1作差即可. 答案：t 2+bt +c ＞x 1. ●闯关训练 夯实基础1.（2004年辽宁，2）对于0＜a ＜1，给出下列四个不等式： ①log a （1+a ）＜log a （1+a1）；②log a （1+a ）＞log a （1+a1）；③a1+a＜a1a11+；④a1+a＞a a11+.其中成立的是 A.①③B.①④C.②③D.②④解析：∵0＜a ＜1，∴a ＜a1，从而1+a ＜1+a1.∴log a （1+a ）＞log a（1+a1）.又∵0＜a ＜1，∴a 1+a ＞a a11+.故②与④成立.答案：D 2.若p =a +21-a （a ＞2），q =2242-+-a a ，则A.p ＞qB.p ＜qC.p ≥qD.p ≤q解析：p =a －2+21-a +2≥4，而－a 2+4a －2=－（a －2）2+2＜2，∴q ＜4.∴p ＞q .答案：A3.已知－1＜2a ＜0，A =1+a 2，B =1－a 2，C =a +11，D =a-11则A 、B 、C 、D 按从小到大的顺序排列起来是____________.解析：取特殊值a =－31，计算可得A =910，B =98，C =23，D =43.∴D ＜B ＜A ＜C . 答案：D ＜B ＜A ＜C4.若1＜α＜3，－4＜β＜2，则α－|β|的取值范围是____________.解析：∵－4＜β＜2，∴0≤|β|＜4.∴－4＜－|β|≤0.∴－3＜α－|β|＜3.答案：（－3，3）5.已知a ＞2，b ＞2，试比较a +b 与ab 的大小. 解：∵ab －（a +b ）=（a －1）（b －1）－1， 又a ＞2，b ＞2，∴a －1＞1，b －1＞1.∴（a －1）（b －1）＞1，（a －1）（b －1）－1＞0.∴ab ＞a +b . 6.设A =x n +x －n ，B =x n －1+x 1－n ，当x ∈R +，n ∈N 时，求证：A ≥B. 证明：A －B =（x n +x －n ）－（x n －1+x 1－n ）=x －n （x 2n +1－x 2n －1－x ） =x －n ［x （x 2n －1－1）－（x 2n －1－1）］=x －n （x －1）（x 2n －1－1）. 由x ∈R +，x －n ＞0，得当x ≥1时，x －1≥0，x 2n －1－1≥0；当x ＜1时，x －1＜0，x 2n －1＜0，即x －1与x 2n －1－1同号.∴A －B ≥0.∴A ≥B .培养能力7.设0＜x ＜1，a ＞0且a ≠31，试比较|log 3a （1－x ）3|与|log 3a （1+x ）3|的大小.解：∵0＜x ＜1，∴①当3a ＞1，即a ＞31时，|log 3a （1－x ）3|－|log 3a （1+x ）3|=|3log 3a （1－x ）|－|3log 3a （1+x ）|=3［－log 3a （1－x ）－log 3a （1+x ）］=－3log 3a （1－x 2）. ∵0＜1－x 2＜1，∴－3log 3a （1－x 2）＞0. ②当0＜3a ＜1，即0＜a ＜31时，|log 3a （1－x ）3|－|log 3a （1+x ）3|=3［log 3a （1－x ）+log 3a （1+x ）］ =3log 3a （1－x 2）＞0.综上所述，|log 3a （1－x ）3|＞|log 3a （1+x ）3|. 8.设a 1≈2，令a 2=1+111a +.（1）证明2介于a 1、a 2之间；（2）求a 1、a 2中哪一个更接近于2； （3）你能设计一个比a 2更接近于2的一个a 3吗？并说明理由.（1）证明：（2－a 1）（2－a 2）=（2－a 1）·（2－1－111a +）=1211221a a +--））（（＜0.∴2介于a 1、a 2之间.（2）解：|2－a 2|=|2－1－111a +|=|111221a a +--））（（| =1112a +-|2－a 1|＜|2－a 1|. ∴a 2比a 1更接近于2. （3）解：令a 3=1+211a +，则a 3比a 2更接近于2. 由（2）知|2－a 3|=2112a +-|2－a 2|＜|2－a 2|. 探究创新 9.已知x ＞－1，n ≥2且n ∈N *，比较（1+x ）n 与1+nx 的大小. 解：设f （x ）=（1+x ）n －（1+nx ），则f '（x ）=n （1+x ）n －1－n =n ［（1+x ）n －1－1］.由f '（x ）=0得x =0.当x ∈（－1，0）时，f '（x ）＜0，f （x ）在（－1，0）上递减. 当x ∈（0，+∞）时，f '（x ）＞0，f （x ）在（0，+∞）上递增. ∴x =0时，f （x ）最小，最小值为0，即f （x ）≥0.∴（1+x ）n ≥1+nx .评述：理科学生也可以用数学归纳法证明.●思悟小结1.不等式的性质是解、证不等式的基础，对任意两实数a 、b 有a －b ＞0⇔a ＞b ，a －b =0⇔a =b ，a －b ＜0⇔a ＜b ，这是比较两数（式）大小的理论根据，也是学习不等式的基石.2.一定要在理解的基础上记准、记熟不等式的性质，并注意解题中灵活、准确地加以应用.3.对两个（或两个以上）不等式同加（或同乘）时一定要注意不等式是否同向（且大于零）.4.对于含参问题的大小比较要注意分类讨论.●教师下载中心教学点睛1.加强化归意识，把比较大小问题转化为实数的运算.2.通过复习要强化不等式“运算”的条件.如a ＞b 、c ＞d 在什么条件下才能推出ac ＞bd .3.强化函数的性质在大小比较中的重要作用，加强知识间的联系. 拓展题例【例1】已知f （x ）=|log 2（x +1）|，m ＜n ，f （m ）=f （n ）.（1）比较m +n 与0的大小；（2）比较f （n m n m -+）与f （mn n m -+）的大小. 剖析：本题关键是如何去掉绝对值号，然后再判断差的符号. 解：（1）∵f （m ）=f （n ），∴|log 2（m +1）|=|log 2（n +1）|. ∴log 22（m +1）=log 22（n +1）.∴［log 2（m +1）+log 2（n +1）］［log 2（m +1）－log 2（n +1）］=0， log 2（m +1）（n +1）·log 211++n m =0. ∵m ＜n ，∴11++n m ≠1.∴log 2（m +1）（n +1）=0. ∴mn +m +n +1=1.∴mn +m +n =0.当m 、n ∈（－1，0］或m 、n ∈［0，+∞）时，由函数y =f （x ）的单调性知x ∈（－1，0］时，f （x ）为减函数，x ∈［0，+∞）时，f （x ）为增函数，f （m ）≠f （n ）.∴－1＜m ＜0，n ＞0.∴m ·n ＜0.∴m +n =－mn ＞0.（2）f （n m n m -+）=|log 2n m m -2|=－log 2n m m-2=log 2mn m 2-， f （m n n m -+）=|log 2m n n -2|=log 2mn n -2. m n m 2-－mn n -2=）（）（m n m mn n m ----242=－）（）（m n m n m -+22＞0. ∴f （n m n m -+）＞f （mn n m -+）. 【例2】某家庭准备利用假期到某地旅游，有甲、乙两家旅行社提供两种优惠方案，甲旅行社的方案是：如果户主买全票一张，其余人可享受五五折优惠；乙旅行社的方案是：家庭旅游算集体票，可按七五折优惠.如果甲、乙两家旅行社的原价相同，请问该家庭选择哪家旅行社外出旅游合算？解：设该家庭除户主外，还有x 人参加旅游，甲、乙两旅行社收费总金额分别为y 1和y 2.一张全票价格为a 元，那么y 1=a +0.55ax ，y 2=0.75（x +1）a .∴y 1－y 2=a +0.55ax －0.75a （x +1）=0.2a （1.25－x ）.∴当x ＞1.25时，y 1＜y 2；当x ＜1.25时，y 1＞y 2.又因x 为正整数，所以当x =1，即两口之家应选择乙旅行社；当x ≥2（x ∈N ），即三口之家或多于三口的家庭应选择甲旅行社.。
2013高考数学教案和学案(有答案)--第1章__学案1
第1章集合与常用逻辑用语学案1 集合的概念与运算导学目标：1.能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.3.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.4.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.5.能使用Venn 图表达集合的关系及运算．自主梳理1．集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．2．元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．3．集合的表示法：列举法、描述法、图示法、区间法．4．集合间的基本关系对任意的x∈A，都有x∈B，则A⊆B(或B⊇A)．若A⊆B，且在B中至少有一个元素x∈B，但x∉A，则A B(或B A)．若A⊆B且B⊆A，则A＝B.5．集合的运算及性质设集合A，B，则A∩B＝{x|x∈A且x∈B}，A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．设全集为S，则∁SA x x S x∉AA∩∅＝∅，A∩B⊆A，A∩B⊆B，A∩B＝A⇔A⊆B.A∪∅＝A，A∪B⊇A，A∪B⊇B，A∪B＝B⇔A⊆B.A∩∁U A＝∅；A∪∁U A＝U.自我检测1．(2011·无锡高三检测)下列集合表示同一集合的是________(填序号)．①M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)}；②M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}；③M＝{4,5}，N＝{5,4}；④M＝{1,2}，N＝{(1,2)}．答案③2．(2009·辽宁改编)已知集合M＝{x|－3<x≤5}，N＝{x|－5<x<5}，则M∩N＝________.答案{x|－3<x<5}解析画数轴，找出两个区间的公共部分即得M∩N＝{x|－3<x<5}．3．(2010·湖南)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2，m，4}，A∩B＝{2,3}，则m＝________.答案 3解析∵A∩B＝{2,3}，∴3∈B，∴m＝3.4．(2010·常州五校联考)集合M＝{y|y＝x2－1，x∈R}，集合N＝{x|y＝9－x2，x∈R}，则M∩N＝________. 答案[－1,3]解析∵y＝x2－1≥－1，∴M＝[－1，＋∞)．又∵y＝9－x2，∴9－x2≥0.∴N＝[－3,3]．∴M∩N＝[－1,3]．5．已知集合A＝{1，3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，且B⊆A，则a＝________.答案－1或2解析由a2－a＋1＝3，∴a＝－1或a＝2，经检验符合．由a2－a＋1＝a，得a＝1，但集合中有相同元素，舍去，故a＝－1或2.探究点一集合的基本概念例1 若a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝{0，b a，b }，求b －a 的值．解题导引 解决该类问题的基本方法为：利用集合中元素的特点，列出方程组求解，但解出后应注意检验，看所得结果是否符合元素的互异性．解 由{1，a ＋b ，a }＝{0，b a，b }可知a ≠0，则只能a ＋b ＝0，则有以下对应法则：⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，ba ＝a ，b ＝1①或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，b ＝a ，ba ＝1.②由①得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1，符合题意；②无解．∴b －a ＝2.变式迁移1 设集合A ＝{1，a ，b }，B ＝{a ，a 2，ab }，且A ＝B ，求实数a ，b . 解 由元素的互异性知，a ≠1，b ≠1，a ≠0，又由A ＝B ，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝1，ab ＝b ，或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b ，ab ＝1，解得a ＝－1，b ＝0. 探究点二 集合间的关系例2 设集合M ＝{x |x ＝5－4a ＋a 2，a ∈R }，N ＝{y |y ＝4b 2＋4b ＋2，b ∈R }，则M 与N 之间有什么关系？解题导引 一般地，对于较为复杂的两个或两个以上的集合，要判断它们之间的关系，应先确定集合中元素的形式是数还是点或其他，属性如何．然后将所给集合化简整理，弄清每个集合中的元素个数或范围，再判断它们之间的关系．解 集合M ＝{x |x ＝5－4a ＋a 2，a ∈R }＝{x |x ＝(a －2)2＋1，a ∈R }＝{x |x ≥1}，N ＝{y |y ＝4b 2＋4b ＋2，b ∈R }＝{y |y ＝(2b ＋1)2＋1，b ∈R }＝{y |y ≥1}．∴M ＝N .变式迁移2 设集合P ＝{m |－1<m <0}，Q ＝{m |mx 2＋4mx －4<0对任意实数x 恒成立，且m ∈R }，则集合P 与Q 之间的关系为________． 答案 P Q解析 P ＝{m |－1<m <0}，Q ：⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝16m 2＋16m <0，或m ＝0.∴－1<m ≤0.∴Q ＝{m |－1<m ≤0}．∴P Q . 探究点三 集合的运算例3 设全集是实数集R ，A ＝{x |2x 2－7x ＋3≤0}，B ＝{x |x 2＋a <0}． (1)当a ＝－4时，求A ∩B 和A ∪B ； (2)若(∁R A )∩B ＝B ，求实数a 的取值范围．解题导引 解决含参数问题的集合运算，首先要理清题目要求，看清集合间存在的相互关系，注意分类讨论、数形结合思想的应用以及空集的特殊性． 解 (1)A ＝{x |12≤x ≤3}．当a ＝－4时，B ＝{x |－2<x <2}， ∴A ∩B ＝{x |12≤x <2}，A ∪B ＝{x |－2<x ≤3}．(2)∁R A ＝{x |x <12或x >3}．当(∁R A )∩B ＝B 时，B ⊆∁R A ， 即A ∩B ＝∅.①当B ＝∅，即a ≥0时，满足B ⊆∁R A ； ②当B ≠∅，即a <0时，B ＝{x |－－a <x <－a }，要使B ⊆∁R A ，需－a ≤12，解得－14≤a <0.综上可得，a 的取值范围为a ≥－14.变式迁移3 已知A ＝{x ||x －a |<4}，B ＝{x ||x －2|>3}．(1)若a ＝1，求A ∩B ；(2)若A ∪B ＝R ，求实数a 的取值范围． 解 (1)当a ＝1时，A ＝{x |－3<x <5}，B ＝{x |x <－1或x >5}．∴A ∩B ＝{x |－3<x <－1}． (2)∵A ＝{x |a －4<x <a ＋4}，B ＝{x |x <－1或x >5}，且A ∪B ＝R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －4<－1a ＋4>5⇒1<a <3. ∴实数a 的取值范围是(1,3)．分类讨论思想在集合中的应用例 (14分)(1)若集合P ＝{x |x 2＋x －6＝0}，S ＝{x |ax ＋1＝0}，且S ⊆P ，求由a 的可取值组成的集合； (2)若集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，且B ⊆A ，求由m 的可取值组成的集合． 【答题模板】解 (1)P ＝{－3,2}．当a ＝0时，S ＝∅，满足S ⊆P ；[2分] 当a ≠0时，方程ax ＋1＝0的解为x ＝－1a,[4分]为满足S ⊆P 可使－1a ＝－3或－1a＝2，即a ＝13或a ＝－12.[6分]故所求集合为{0，13，－12}．[7分](2)当m ＋1>2m －1，即m <2时，B ＝∅，满足B ⊆A ；[9分]若B ≠∅，且满足B ⊆A ，如图所示，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≤2m －1，m ＋1≥－2，2m －1≤5，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，m ≥－3，m ≤3，∴2≤m ≤3.[13分]故m <2或2≤m ≤3，即所求集合为{m |m ≤3}．[14分] 【突破思维障碍】在解决两个数集关系问题时，避免出错的一个有效手段即是合理运用数轴帮助分析与求解，另外，在解含有参数的不等式(或方程)时，要对参数进行讨论，分类时要遵循“不重不漏”的分类原则，然后对于每一类情况都要给出问题的解答． 【易错点剖析】(1)容易忽略a ＝0时，S ＝∅这种情况．(2)想当然认为m ＋1<2m －1忽略“>”或“＝”两种情况．解答集合问题时应注意五点：1．注意集合中元素的性质——互异性的应用，解答时注意检验．2．注意描述法给出的集合的元素．如{y |y ＝2x }，{x |y ＝2x }，{(x ，y )|y ＝2x }表示不同的集合． 3．注意∅的特殊性．在利用A ⊆B 解题时，应对A 是否为∅进行讨论．4．注意数形结合思想的应用．在进行集合运算时要尽可能借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化，一般地，集合元素离散时用Venn 图表示，元素连续时用数轴表示，同时注意端点的取舍．5．注意补集思想的应用．在解决A ∩B ≠∅时，可以利用补集思想，先研究A ∩B ＝∅.的情况,然后取补集.(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．(2010·北京改编)集合P ＝{x ∈Z |0≤x <3}，M ＝{x ∈Z |x 2≤9}，则P ∩M ＝________. 答案 {0,1,2}解析 由题意知：P ＝{0,1,2}，M ＝{－3，－2，－1,0,1,2,3}，∴P ∩M ＝{0,1,2}．2．(2011·南京模拟)设P 、Q 为两个非空集合，定义集合P ＋Q ＝{a ＋b |a ∈P ，b ∈Q }．若P ＝{0,2,5}，Q ＝{1,2,6}，则P ＋Q ＝________________.答案 {1,2,3,4,6,7,8,11}解析 P ＋Q ＝{1,2,3,4,6,7,8,11}．3．满足{1} A ⊆{1,2,3}的集合A 的个数是________． 答案 3解析 A ＝{1}∪B ，其中B 为{2,3}的子集，且B 非空，显然这样的集合A 有3个，即A ＝{1,2}或{1,3}或{1,2,3}．4．(2010·天津改编)设集合A ＝{x ||x －a |<1，x ∈R }，B ＝{x |1<x <5，x ∈R }．若A ∩B ＝∅，则实数a 的取值范围是______________． 答案 a ≤0或a ≥6解析 由|x －a |<1得－1<x －a <1， 即a －1<x <a ＋1.由图可知a ＋1≤1或a －1≥5，所以a ≤0或a ≥6. 5．设全集U 是实数集R ，M ＝{x |x 2>4}，N ＝{x |2x －1≥1}，则如图中阴影部分所表示的集合是________．答案 {x |1<x ≤2}解析 题图中阴影部分可表示为(∁U M )∩N ，集合M 为{x |x >2或x <－2}，集合N 为 {x |1<x ≤3}，由集合的运算，知(∁U M )∩N ＝{x |1<x ≤2}．6．(2011·泰州模拟)设集合A ＝{1,2}，则满足A ∪B ＝{1,2,3}的集合B 的个数为________． 答案 4解析 由题意知B 的元素至少含有3，因此集合B 可能为{3}、{1,3}、{2,3}、{1,2,3}．7．(2009·天津)设全集U ＝A ∪B ＝{x ∈N *|lg x <1}，若A ∩(∁U B )＝{m |m ＝2n ＋1，n ＝0,1,2,3,4}，则集合B ＝______________.答案 {2,4,6,8}解析 A ∪B ＝{x ∈N *|lg x <1}＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，A ∩(∁U B )＝{1,3,5,7,9}，∴B ＝{2,4,6,8}． 8．(2010·江苏)设集合A ＝{－1,1,3}，B ＝{a ＋2，a 2＋4}，A ∩B ＝{3}，则实数a ＝____. 答案 1解析 ∵3∈B ，由于a 2＋4≥4，∴a ＋2＝3，即a ＝1. 二、解答题(共42分)9．(14分)集合A ＝{x |x 2＋5x －6≤0}，B ＝{x |x 2＋3x >0}，求A ∪B 和A ∩B . 解 ∵A ＝{x |x 2＋5x －6≤0} ＝{x |－6≤x ≤1}．(3分)B ＝{x |x 2＋3x >0}＝{x |x <－3或x >0}．(6分)如图所示，∴A ∪B ＝{x |－6≤x ≤1}∪{x |x <－3或x >0}＝R .(10分)A ∩B ＝{x |－6≤x ≤1}∩{x |x <－3或x >0}＝{x |－6≤x <－3，或0<x ≤1}．(14分)10．(14分)(2011·南通模拟)已知集合A ＝{x |0<ax ＋1≤5}，集合B ＝{x |－12<x ≤2}．若B ⊆A ，求实数a的取值范围．解 当a ＝0时，显然B ⊆A ；(2分)当a <0时， 若B ⊆A ，如图，则⎩⎪⎨⎪⎧4a ≤－12，－1a >2，(6分)∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≥－8，a >－12.∴－12<a <0；(8分)当a >0时，如图，若B ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧－1a ≤－12，4a ≥2，(11分)∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，a ≤2.∴0<a ≤2.(13分) 综上知，当B ⊆A 时，－12<a ≤2.(14分)11．(14分)已知集合A ＝{x |x －5x ＋1≤0}，B ＝{x |x 2－2x －m <0}， (1)当m ＝3时，求A ∩(∁R B )；(2)若A ∩B ＝{x |－1<x <4}，求实数m 的值．解 由x －5x ＋1≤0，所以－1<x≤5，所以A＝{x|－1<x≤5}．(3分) (1)当m＝3时，B＝{x|－1<x<3}，则∁R B＝{x|x≤－1或x≥3}，(6分)所以A∩(∁R B)＝{x|3≤x≤5}．(10分)(2)因为A＝{x|－1<x≤5}，A∩B＝{x|－1<x<4}，(12分)所以有42－2×4－m＝0，解得m＝8.此时B＝{x|－2<x<4}，符合题意，故实数m的值为8.(14分)。
2013届高考数学第一轮例题专项复习教案14
一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)1．已知命题：“若k 1a ＋k 2b ＝0，则k 1＝k 2＝0”是真命题，则下面对a 、b 的判断正确的是( )A ．a 与b 一定共线B ．a 与b 一定不共线C ．a 与b 一定垂直D ．a 与b 中至少有一个为0解析：由平面向量基本定理可知，当a 、b 不共线时，k 1＝k 2＝0.答案：B2．已知四边形ABCD 的三个顶点A (0,2)，B (－1，－2)，C (3,1)，且BC ＝2AD ，则顶点D 的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，72 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－12 C ．(3,2) D ．(1,3)解析：设D (x ，y )，AD ＝(x ，y －2)，BC ＝(4,3)，又BC ＝2AD ，∴⎩⎨⎧ 4＝2x ，3＝y －，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝72，即点D 坐标为(2，72)． 答案：A 3．已知向量a ＝(1，－m )，b ＝(m 2，m )，则向量a ＋b 所在的直线可能为( )A ．x 轴B ．第一、三象限的角平分线C ．y 轴D ．第二、四象限的角平分线解析：a ＋b ＝(1，－m )＋(m 2，m )＝(m 2＋1,0)，其横坐标恒大于零，纵坐标等于零，故向量a ＋b 所在的直线可能为x 轴．答案：A4．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP ＝2PC ，点Q 是AC 的中点，若PA ＝(4,3)，PQ ＝(1,5)，则BC ＝( )A ．(－2,7)B ．(－6,21)C ．(2，－7)D ．(6，－21)解析：AQ ＝PQ －PA ＝(－3,2)，∴AC ＝2AQ ＝(－6,4)． PC ＝PA ＋AC ＝(－2,7)，∴BC ＝3PC ＝(－6,21)．答案：B5．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F .若AC ＝a ，BD ＝b ，则AF ＝( )A.14a ＋12b B.23a ＋13b C.12a ＋14b D.13a ＋23b 解析：由已知得DE ＝13EB ， 又△DEF ∽△BEA ，∴DF ＝13AB ， 即DF ＝13DC ，∴CF ＝23CD ， ∴CF ＝23CD ＝23(OD －OC ) ＝23(12b －12a )＝13b －13a ， ∴AF ＝AC ＋CF ＝a ＋13b －13a ＝23a ＋13b . 答案：B6．已知向量OA ＝(1，－3)，OB ＝(2，－1)，OC ＝(k ＋1，k －2)，若A 、B 、C 三点不能构成三角形，则实数k 应满足的条件是( )A ．k ＝－2B ．k ＝12C ．k ＝1D ．k ＝－1解析：若点A 、B 、C 不能构成三角形，则向量AB ，AC 共线，∵AB ＝OB －OA ＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)， AC ＝OC －OA ＝(k ＋1，k －2)－(1，－3)＝(k ，k ＋1)，∴1×(k ＋1)－2k ＝0，解得k ＝1.答案：C二、填空题(共3个小题，每小题5分，满分15分)7．在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCD 的边AB ∥DC ，AD ∥BC .已知A (－2,0)，B (6,8)，C (8,6)，则D 点的坐标为________．解析：设D 点的坐标为(x ，y )，由题意知BC ＝AD ，即(2，－2)＝(x ＋2，y )，所以x ＝0，y ＝－2，∴D (0，－2)．答案：(0，－2)8．已知点A (1，－2)，若点A 、B 的中点坐标为(3,1)，且AB 与向量a ＝(1，λ)共线，则λ＝________.解析：由A 、B 的中点坐标为(3,1)可知B (5,4)，所以AB ＝(4,6)，又∴AB ∥a ，∴4λ－1×6＝0，∴λ＝32. 答案：329．已知向量集合M ＝{a |a ＝(1,2)＋λ1(3,4)，λ1∈R}，N ＝{b |b ＝(－2，－2)＋λ2(4,5)，λ2∈R}，则M ∩N ＝________.解析：由(1,2)＋λ1(3,4)＝(－2，－2)＋λ2(4,5)，得⎩⎨⎧ 1＋3λ1＝－2＋4λ22＋4λ1＝－2＋5λ2，解得⎩⎨⎧ λ1＝－1λ2＝0，∴M ∩N ＝{(－2，－2)}．答案：{(－2，－2)}三、解答题(共3个小题，满分35分)10．已知A (1，－2)，B (2,1)，C (3,2)和D (－2,3)，以AB 、AC 为一组基底来表示AD ＋BD ＋CD .解：由已知得：AB ＝(1,3)，AC ＝(2,4)， AD ＝(－3,5)，BD ＝(－4,2)，CD ＝(－5,1)，∴AD ＋BD ＋CD ＝(－3,5)＋(－4,2)＋(－5,1)＝(－12,8)．设AD ＋BD ＋CD ＝λ1AB ＋λ2AC ，则(－12,8)＝λ1(1,3)＋λ2(2,4)，∴⎩⎨⎧ λ1＋2λ2＝－12，3λ1＋4λ2＝8，解得⎩⎨⎧ λ1＝32，λ2＝－22，∴AD ＋BD ＋CD ＝32AB －22AC .11．已知A (1,1)、B (3，－1)、C (a ，b )．(1)若A 、B 、C 三点共线，求a 、b 的关系式；(2)若AC ＝2AB ，求点C 的坐标．解：(1)由已知得AB ＝(2，－2)，AC ＝(a －1，b －1)，∵A 、B 、C 三点共线，∴AB ∥AC ，∴2(b －1)＋2(a －1)＝0，即a ＋b ＝2.(2)∵AC ＝2AB ，∴(a －1，b －1)＝2(2，－2)，∴⎩⎨⎧ a －1＝4b －1＝－4，解得⎩⎨⎧ a ＝5b ＝－3，∴点C 的坐标为(5，－3)．12．△ABC 中内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(2sin B ，－3)，n ＝(cos2B,2cos 2B 2－1)，且m ∥n . (1)求锐角B 的大小；(2)如果b ＝2，求S △ABC 的最大值．解：(1)∵m ∥n ，∴2sin B (2cos 2B 2－1)＝－3cos2B ， ∴sin2B ＝－3cos2B ，即tan2B ＝－ 3.又∵B 为锐角，∴2B ∈(0，π)，∴2B ＝2π3，∴B ＝π3. (2)∵B ＝π3，b ＝2，由余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac， 得a 2＋c 2－ac －4＝0.又a 2＋c 2≥2ac ，代入上式，得ac ≤4，当且仅当a ＝c ＝2时等号成立． S △ABC ＝12ac sin B ＝34ac ≤3， 当且仅当a ＝c ＝2时等号成立，即S △ABC 的最大值为 3.。
2013届高考数学第一轮专项复习教案48
5.3 两点间距离公式、线段的定比分点与图形的平移●知识梳理1.设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 则AB =（x 2－x 1，y 2－y 1）.∴|AB |=212212）（）（y y x x -+-. 2.线段的定比分点是研究共线的三点P 1，P ，P 2坐标间的关系.应注意：（1）点P 是不同于P 1，P 2的直线P 1P 2上的点；（2）实数λ是P 分有向线段21P P 所成的比，即P 1→P ，P →P 2的顺序，不能搞错；（3）定比分点的坐标公式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=λλλλ112121y y y x x x ，（λ≠－1）.3.点的平移公式描述的是平移前、后点的坐标与平移向量坐标三者之间的关系，⎩⎨⎧+='+='.k y y h x x ，特别提示1.定比分点的定义：点P 为21P P 所成的比为λ，用数学符号表达即为P P 1=λ2PP .当λ＞0时，P 为内分点；λ＜0时，P 为外分点.2.定比分点的向量表达式： P 点分21P P 成的比为λ，则OP =λ+111OP +λλ+12OP （O 为平面内任一点）.3.定比分点的应用：利用定比分点可证共线问题. ●点击双基1.（2004年东北三校联考题）若将函数y =f （x ）的图象按向量a 平移，使图象上点的坐标由（1，0）变为（2，2），则平移后的图象的解析式为A.y =f （x +1）－2B.y =f （x －1）－2C.y =f （x －1）+2D.y =f （x +1）+2解析：由平移公式得a =（1，2），则平移后的图象的解析式为y =f （x －1）+2.答案：C2.（2004年湖北八校第二次联考）将抛物线y 2=4x 沿向量a 平移得到抛物线y 2－4y =4x ，则向量a 为A.（－1，2）B.（1，－2）C.（－4，2）D.（4，－2）解析：设a =（h ，k ），由平移公式得⎩⎨⎧-'=-'=⇒⎩⎨⎧=-'=-'，，k y y h x x k y y h x x 代入y 2=4x 得（y '－k ）2=4（x '－h ），y '2－2k y '=4x '－4h －k 2， 即y 2－2ky =4x －4h －k 2，∴k =2，h =－1.∴a =（－1，2）. 答案：A思考讨论本题不用平移公式代入配方可以吗? 提示：由y 2－4y =4x ，配方得 （y －2）2=4（x +1），∴h =－1，k =2.（知道为什么吗?）3.设A 、B 、C 三点共线，且它们的纵坐标分别为2、5、10，则A 点分BC 所得的比为A.83B.38C.－83D.－38解析：设A 点分BC 所得的比为λ，则由2=λλ+1+105，得λ=－83. 答案：C4.若点P 分AB 所成的比是λ（λ≠0），则点A 分BP 所成的比是____________.解析：∵AP =λPB ，∴AP =λ（－AP +AB ）.∴（1+λ）AP =λAB .∴AB =λλ+1AP .∴BA =－λλ+1AP .答案：－λλ+15.（理）若△ABC 的三边的中点坐标为（2，1）、（－3，4）、（－1，－1），则△ABC 的重心坐标为____________.解析：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），则⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧-=+-=+=+-=+=+=+.121242321222323231312121yy xx y y x x y y x x ，，，，，∴⎩⎨⎧=++-=++42321321y y y x x x ∴重心坐标为（－32，34）.答案：（－32，34）（文）已知点M 1（6，2）和M 2（1，7），直线y =mx －7与线段M 1M 2的交点M 分有向线段21M M 的比为3∶2，则m 的值为____________.解析：设M （x ，y ），则x =231236++=515=3，y =2312372+⨯+=5214+=5，即M （3，5），代入y =mx －7得5=3m －7，∴m =4.答案：4 ●典例剖析【例1】 已知点A （－1，6）和B （3，0），在直线AB 上求一点P ，使|AP |=31|AB |.剖析：|AP |=31|AB |，则AP =31AB 或AP =31BA .设出P （x ，y ），向量转化为坐标运算即可.解：设P 的坐标为（x ，y ），若AP =31AB ，则由（x +1，y －6）=31（4，－6），得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+.26341y x ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==.431y x ，此时P 点坐标为（31，4）. 若AP =－31AB ，则由（x +1，y －6）=－31（4，－6）得⎪⎩⎪⎨⎧=--=+.26341y x ，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=.837y x ，∴P （－37，8）. 综上所述，P （31，4）或（－37，8）.深化拓展本题亦可转化为定比分点处理.由AP =31AB ，得AP =21PB ，则P 为AB 的定比分点，λ=21，代入公式即可；若AP =－31AB ，则AP =－41PB ，则P 为AB 的定比分点，λ=－41.由两种方法比较不难得出向量的运算转化为坐标运算，是解决向量问题的一般方法.【例2】 已知△ABC 的三个顶点坐标分别是A （4，1），B （3，4），C （－1，2），BD 是∠ABC 的平分线，求点D 的坐标及BD 的长.剖析：∵A 、C 两点坐标为已知，∴要求点D 的坐标，只要能求出D 分AC 所成的比即可.解：∵|BC |=25，|AB |=10，∴D分AC 所成的比λ=22==BC AB DC AD .由定比分点坐标公式，得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=++=-=+-⨯+=.2221212592211224D D y x ，）（∴D 点坐标为（9－52，2）.∴|BD |=22423259）（）（-+--=268104-.评述：本题给出了三点坐标，因此三边长度易知，由角平分线的性质通过定比分点可解出D 点坐标，适当利用平面几何知识，可以使有些问题得以简化.深化拓展本题也可用如下解法：设D （x ，y ），∵BD 是∠ABC 的平分线， ∴〈BA ，BD 〉=〈BC ，BD 〉. ∴||||||||BD BC BD BC BD BA BD BA ⋅⋅=⋅，即||BA BD BA ⋅=||BC BD BC ⋅.又BA =（1，－3），BD =（x －3，y －4），BC =（－4，－2）， ∴101233+--y x =2082124+-+-y x .∴（4+2）x +（2－32）y +92－20=0.①又A 、D 、C 三点共线，∴AD ，AC 共线. 又AD =（x －4，y －1），AC =（x +1，y －2）， ∴（x －4）（y －2）=（x +1）（y －1）.②由①②可解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=.2259y x ， ∴D 点坐标为（9－52，2），|BD |=268104-.思考讨论若BD 是AC 边上的高，或BD 把△ABC 分成面积相等的两部分，本题又如何求解?请读者思考.【例3】 已知在□ABCD 中，点A （1，1），B （2，3），CD 的中点为E （4，1），将□ABCD 按向量a 平移，使C 点移到原点O .（1）求向量a ；（2）求平移后的平行四边形的四个顶点的坐标.解：（1）由□ABCD 可得AB =DC ，设C （x 3，y 3），D （x 4，y 4）， 则⎩⎨⎧=-=-②①，.214343y y x x又CD 的中点为E （4，1），则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+④③，.12424343y y x x由①－④得⎪⎩⎪⎨⎧==，，22933y x ⎪⎩⎪⎨⎧==，，02744y x 即C （29，2），D （27，0）.∴a =（－29，－2）.（2）由平移公式得A ′（－27，－1），B ′（－25，1），C ′（0，0），D ′（－1，－2）.●闯关训练 夯实基础1.（2004年福州质量检查题）将函数y =sin x 按向量a =（－4π，3）平移后的函数解析式为A.y =sin （x －4π）+3B.y =sin （x －4π）－3C.y =sin （x +4π）+3D.y =sin （x +4π）－3解析：由⎩⎨⎧-'=-'=，，k y y h x x 得⎪⎩⎪⎨⎧-'=+'=.34πy y x x ，∴y '－3=sin （x '+4π）.∴y '=sin （x '+4π）+3，即y =sin （x +4π）+3.答案：C2.（2003年河南调研题）将函数y =2sin2x 的图象按向量a 平移，得到函数y =2sin （2x +3π）+1的图象，则a 等于A.（－3π，1）B.（－6π，1）C.（3π，－1）D.（6π，1）解析：由y =2sin （2x +3π）+1得y =2sin2（x +6π）+1，∴a =（－6π，1）.答案：B3.（2004年东城区模拟题）已知点P 是抛物线y =2x 2+1上的动点，定点A （0，－1），若点M 分PA 所成的比为2，则点M 的轨迹方程是____________，它的焦点坐标是____________.解析：设P （x 0，y 0），M （x ，y ）.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==3230y y x x ⇒⎩⎨⎧+==，，23300y y x x 代入y 0=2x 02+1得3y +2=18x 2+1，即18x 2=3y +1，x 2=61y +181=61（y +31），∴p =121，焦点坐标为（0，－247）. 答案：x 2=61（y +31） （0，－247） 4.把函数y =2x 2－4x +5的图象按向量a 平移后，得到y =2x 2的图象，且a ⊥b ，c =（1，－1），b ·c =4，则b =____________.解析：a =（0，0）－（1，3）=（－1，－3）.设b =（x ，y ），由题意得⎩⎨⎧=-=--，，403y x y x ⎩⎨⎧-==，，13y x 则b =（3，－1）.答案：（3，－1）5.已知向量OA =（3，1），OB =（－1，2），OC ⊥OB ，BC ∥OA .试求满足OD +OA =OC 的OD 的坐标.解：设OD =（x ，y ），则OC =（x ，y ）+（3，1）=（x +3，y +1），BC =OC －OB =（x +3，y +1）－（－1，2）=（x +4，y －1），则⎩⎨⎧=--+=+++-.01340123）（）（，）（）（y x y x所以⎩⎨⎧==，，611y x OD =（11，6）.6.已知A （2，3），B （－1，5），且满足AC =31AB ，AD =3AB ，AE =－41AB ，求C 、D 、E 的坐标.解：用向量相等或定比分点坐标公式均可，读者可自行求解.C （1，311），D （－7，9），E （411，25）. 培养能力7.（2004年福建，17）设函数f （x ）=a ·b ，其中a =（2cos x ，1），b =（cos x ，3sin2x ），x ∈R .（1）若f （x ）=1－3，且x ∈［－3π，3π］，求x ；（2）若y =2sin2x 的图象按向量c =（m ，n ）（|m |＜2π）平移后得到函数y =f （x ）的图象，求实数m 、n 的值.解：（1）依题设f （x ）=2cos 2x +3sin2x =1+2sin （2x +6π），由1+2sin （2x +6π）=1－3，得sin （2x +6π）=－23.∵|x |≤3π，∴－2π≤2x +6π≤6π5.∴2x +6π=－3π，即x =－4π.（2）函数y =2sin2x 的图象按向量c =（m ，n ）平移后得到函数y =2sin2（x －m ）+n 的图象，即y =f （x ）的图象.由（1）得f （x ）=2sin2（x +12π）+1.又|m |＜2π，∴m =－12π，n =1.8.有点难度哟！（2004年广州综合测试）已知曲线x 2+2y 2+4x +4y +4=0按向量a =（2，1）平移后得到曲线C .（1）求曲线C 的方程；（2）过点D （0，2）的直线与曲线C 相交于不同的两点M 、N ，且M 在D 、N 之间，设DM =λMN，求实数λ的取值范围.解：（1）原曲线即为（x +2）2+2（y +1）2=2，则平移后的曲线C 为x 2+2y 2=2，即22x +y 2=1.（2）设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+=.1212121λλλλy y x x ，由于点M 、N 在椭圆x 2+2y 2=2上，则⎪⎩⎪⎨⎧=+=+，，222222222121y x y x 即⎪⎩⎪⎨⎧=+=++++.222122122222222y x y x ，）（）（λλλλ消去x 22得，2λ2+8λy 2+8=2λ2+4λ+2，即y 2=λλ432-.∵－1≤y 2≤1，∴－1≤λλ432-≤1.又∵λ＞0，故解得λ≥21.故λ的取值范围为［21，+∞）.思考讨论本题若设出直线l 的方程y =kx +2，然后与x 2+2y 2=2联立，利用韦达定理能求解吗?（不要忘记讨论斜率不存在的情况）读者可尝试一下.探究创新9.甲船由A 岛出发向北偏东45°的方向做匀速直线航行，速度为152n mile/h ，在甲船从A 岛出发的同时，乙船从A 岛正南40 n mile处的B 岛出发，朝北偏东θ（θ=arctan 21）的方向作匀速直线航行，速度为105n mile/h.（如下图所示）（1）求出发后3 h 两船相距多少海里?（2）求两船出发后多长时间相距最近?最近距离为多少海里? 解：以A 为原点，BA 所在直线为y 轴建立如下图所示的坐标系.设在t 时刻甲、乙两船分别在P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），则⎪⎩⎪⎨⎧===︒=.151545cos 215111t x y t t x ，由θ=arctan 21，可得cos θ=552，sin θ=55，x 2=105t sin θ=10t ，y 2=105t cos θ－40=20t －40.（1）令t =3，P 、Q 两点的坐标分别为（45，45），（30，20）.|PQ |=2220453045）－（）（+-=850=534，即两船出发后3 h 时，两船相距534n mile.（2）由（1）的解法过程易知|PQ |=212212）（）（y y x x -+- =221540201510）（）（t t t t --+-=1600400502+-t t =8004502+-）（t ≥202.∴当且仅当t =4时，|PQ |的最小值为202，即两船出发4 h 时，相距202n mile 为两船最近距离.●思悟小结1.理解线段的定比分点公式时应注意以下问题：（1）弄清起点、分点、终点，并由此决定定比λ；（2）在计算点分有向线段所成比时，首先要确定是内分点，还是外分点，然后相应地把数量之比转化为长度之比.也可直接由定义PP获解.P1=λ2P2.线段的定比分点的坐标表示，强化了坐标运算的应用，确定λ的值是公式应用的关键.3.关于平面图形的平移，主要确定的是平移向量.注意公式正、逆使用，并特别注意分清新旧函数解析式.4.配凑法、待定系数法、对应点代入法是确定平移向量的重要方法.●教师下载中心教学点睛1.线段的定比分点公式PPP，该式中已知P1、P2及λ可求P1=λ2分点P的坐标，并且还要注意公式的变式在P1、P2、P、λ中知三可求第四个量.2.定比分点坐标公式要用活不要死记.可设出坐标利用向量相等列方程组.该解法充分体现了向量（形）与数之间的转化具有一般性.3.平移前后坐标之间的关系极易出错，要引导学生弄清知识的形成过程不要死记硬背.拓展题例【例1】（2004年豫南三市联考）已知f（A，B）=sin22A+cos22B －3sin2A－cos2B+2.（1）设△ABC 的三内角为A 、B 、C ，求f （A ，B ）取得最小值时，C 的值；（2）当A +B =2π且A 、B ∈R 时，y =f （A ，B ）的图象按向量p 平移后得到函数y =2cos2A 的图象，求满足上述条件的一个向量p .解：（1）f （A ，B ）=（sin2A －23）2+（cos2B －21）2+1，由题意⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==，，212cos 232sin B A 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===.6π3π6πB A A ，或∴C =3π2或C =2π.（2）∵A +B =2π，∴2B =π－2A ，cos2B =－cos2A .∴f （A ，B ）=cos2A －3sin2A +3=2cos （2A +3π）+3=2cos2（A +6π）+3.从而p =（6π，－3）（只要写出一个符合条件的向量p 即可）.【例2】 设曲线C 的方程是y =x 3－x ，将C 沿x 轴、y 轴正向分别平移t 、s 单位长度后，得到曲线C 1.（1）写出曲线C 1的方程；（2）证明：曲线C 与C 1关于点A （2t ，2s ）对称.（1）解：C 1：y －s =（s －t ）3－（x －t ）.①（2）分析：要证明曲线C 1与C 关于点A （2t ，2s ）对称，只需证明曲线C 1上任意一个点关于A 点的对称点都在曲线C 上，反过来，曲线C 上任意一个点关于A 点的对称点都在曲线C 1上即可.证明：设P 1（x 1，y 1）为曲线C 1上任意一点，它关于点A （2t ，2s）的对称点为P （t －x 1，s －y 1），把P 点坐标代入曲线C 的方程，左=s －y 1，右=（t －x 1）3－（t －x 1）.由于P 1在曲线C 1上，∴y 1－s =（x 1－t ）3－（x 1－t ）.∴s －y 1=（t －x 1）3－（t －x 1），即点P （t －x 1，s －y 1）在曲线C 上.同理可证曲线C 上任意一点关于点A 的对称点都在曲线C 1上. 从而证得曲线C 与C 1关于点A （2t ，2s ）对称.。
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2013高中数学精讲精练第四章平面向量与复数【知识图解】Ⅰ.平面向量知识结构表Ⅱ.复数的知识结构表【方法点拨】由于向量融形、数于一体，具有几何形式与代数形式的“双重身份”，使它成为了中学数学知识的一个重要交汇点，成为联系众多知识内容的媒介。
所以，向量成为了“在知识网络交汇处设计试题”的很好载体。
从高考新课程卷来看，对向量的考查力度在逐年加大，除了直接考查平面向量外，将向量与解析几何、向量与三角等内容相结合，在知识交汇点处命题，既是当今高考的热点，又是重点。
复习巩固相关的平面向量知识，既要注重回顾和梳理基础知识，又要注意平面向量与其他知识的综合运用，渗透用向量解决问题的思想方法，从而提高分析问题与综合运用知识解决问题的能力，站在新的高度来认识和理解向量。
1.向量是具有大小和和方向的量，具有“数”和“形”的特点，向量是数形结合的桥梁，在处理向量问题时注意用数形结合思想的应用.2.平面向量基本定理是处理向量问题的基础，也是平面向量坐标表示的基础，它表明同一平面内任意向量都可以表示为其他两个不共线向量的线性组合.3.向量的坐标表示实际上是向量的代数形式，引入坐标表示，可以把几何问题转化为代数问题解决.4.要了解向量的工具作用，熟悉利用向量只是解决平面几何及解析几何中的简单问题的方法.第1课 向量的概念及基本运算【考点导读】1. 理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示.2. 掌握向量的加法、减法、数乘的运算，并理解其几何意义.3. 了解平面向量基本定理及其意义. 【基础练习】1.出下列命题：①若=a b ，则=a b ；②若A 、B 、C 、D 是不共线的四点，则DCAB =是四边形为平行四边形的充要条件；③若,==a b b c ，则=a c ；④=a b 的充要条件是=a b 且//a b ；⑤若//a b ，//b c ，则//a c 。
其中，正确命题材的序号是②③2. 化简AC - BD + CD - AB得03.在四边形ABCD 中，AB =a +2b ，BC =－4a －b ，CD =－5a －3b ，其中a 、b 不共线，则四边形ABCD 为梯形4.如图，设点P 、Q 是线段AB 的三等分点，若OA ＝a ，OB ＝b ，则OP ＝2133+a b ，OQ ＝1233+a b (用a 、b 表示)【范例导析】例1 .已知任意四边形ABCD 的边AD 和BC 的中点分别为E 、F ，求证：2AB DC EF +=.分析:构造三角形,利用向量的三角形法则证明. 证明：如图，连接EB 和EC ，由EA AB EB += 和EF FB EB += 可得，EA AB EF FB +=+（1）由ED DC EC += 和EF FC EC += 可得，ED DC EF FC +=+（2） （1）+（2）得， 2EA ED AB DC EF FB FC +++=++（3） ∵E 、F 分别为AD 和BC 的中点，∴0EA ED += ，0FB FC +=，例1代入（3）式得，2AB DC EF +=点拨:运用向量加减法解决几何问题时,需要发现或构造三角形或平行四边形.例2.已知,OA OB不共线，OP aOA bOB =+ ,求证：A,P,B 三点共线的充要条件是1a b +=分析：证明三点共线可以通过向量共线来证明.解：先证必要性：若A,P,B 三点共线，则存在实数λ，使得AP AB λ=,即()OP OA OB OA λ-=- ,∴()1,OP OA OB λλ=-+ ∵OP aOA bOB =+,∴1,a b λλ=-=，∴ 1.a b +=再证充分性：若 1.a b +=则AP OP OA =- =()()1a OA bOB b OB OA -+=- =bAB,∴AP 与AB共线，∴A,P,B 三点共线.点拨:向量共线定理是向量知识中的一个基本定理,通常可以证明三点共线、直线平行等问题. 【反馈练习】1．已知向量a 和b 反向，则下列等式成立的是（C ）A. |a |－|b |=|a －b |B. |a |－|b |=|a +b |C.|a |＋|b |=|a －b |D. |a |＋|b |=|a +b |2.设四边形ABCD 中，有1,2DC AB AD BC ==则这个四边形是（C ）A.平行四边形B.矩形C.等腰梯形D.菱形 3.设A 、B 、C 、D 、O 是平面上的任意五点，试化简：①AB BC CD ++ ， ②DB AC BD ++， ③OA OC OB CO --+- 。
解析：①原式= ()AB BC CD AC CD AD ++=+=； ②原式= ()0DB BD AC AC AC ++=+=；③原式= ()()()0OB OA OC CO AB OC CO AB AB -+--=-+=+=。
4.设x 为未知向量， a 、b 为已知向量，x 满足方程2x -(5a +3x -4b )+21a -3b =0， 则x =92a b -+（用a 、b 表示） 5.在四面体O-ABC 中，OA ,OB ,OC ,D a b c ===为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE =111244a b c ++（用a ，b ，c 表示）6如图平行四边形OADB 的对角线OD,AB 相交于点C ，线段BC 上有一点M 满足BC=3BM,线段CD 上有一点N 满足CD ＝3CN,设OA ,OB ,,OM,ON,MN a b a b ==试用表示解：()()11111BM=BC=BA,BM=BA=OA-OB =36666a b ∴-15OM=OB+BM 66a b ∴=+ . OD CD ON CD CN 3234,31==∴=()()222ON=OD=OA+OB 333a b ∴=+ 11MN=ON-OM 26a b ∴=-第2课 向量的数量积【考点导读】1. 理解平面向量数量积的含义及几何意义.2. 掌握平面向量数量积的性质及运算律.3. 掌握平面向量数量积的坐标表达式.4. 能用平面向量数量积处理有关垂直、角度、长度的问题.【基础练习】1.已知,a b 均为单位向量，它们的夹角为060，那么3+=a b 132.在直角坐标系xOy 中，,i j 分别是与x 轴，y 轴平行的单位向量，若直角三角形ABC 中，2=+ AB i j ，3=+AC i kj ，则k 的可能值个数为2个3. 若1=a ,2=b ，a 与b 的夹角为060，若(3+5)⊥a b ()-ma b ，则m 的值为2384.若||1,||2,===+a b c a b ，且⊥c a ，则向量a 与b 的夹角为 120° 【范例导析】例1.已知两单位向量a 与b 的夹角为0120，若2,3=-=-c a b d b a ，试求c 与d 的夹角的余弦值。
分析:利用22=a a 及cos θ⋅=⋅a ba b求解. 解：由题意，1==a b ，且a 与b 的夹角为0120，所以，1cos1202⋅=︒=-a b a b，第6题()()22222447=⋅=-⋅-=-⋅+= c c c a b a b a a bb ∴=c ，同理可得∴= 而⋅=c d 2217(2)(3)7322-⋅-=⋅--=-a b b a a b b a ，设θ为c 与d的夹角，则cos 182θ==-点评：向量的模的求法和向量间的乘法计算可见一斑。
例2.已知平面上三个向量a 、b 、c 的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°， （1）求证：()-a b ⊥c ；（2）若||1++>ka b c )(R k ∈，求k 的取值范围. 分析:问题（1）通过证明()0-⋅=a b c 证明()-⊥a b c ,问题（2）可以利用()22||++=++ka b c ka b c 解：（1）∵ ||||||1===a b c ，且a 、b 、c 之间的夹角均为120°， ∴ 00()||||cos120||||cos1200-⋅=⋅-⋅=-=a b c a c b c a c b c∴ ()0-⋅=a b c （2）∵ ||1++>k a b c ，即2||1++>ka b c 也就是22222221+++⋅+⋅+⋅>k a b c ka b ka c b c∵ 12⋅=⋅=⋅=-a b b c a c ，∴022>-k k所以 0<k 或2>k ．解:对于有关向量的长度、夹角的求解以及垂直关系的判断通常是运用平面向量的数量积解决.例 3.如图，在直角△ABC 中，已知BC a =，若长为2a 的线段PQ 以点A 为中点，问BC PQ 与的夹角θ取何值时CQ BP ⋅的值最大？并求出这个最大值分析:本题涉及向量较多,可通过向量的加减法则得()()BP CQ AP AB AQ AC ⋅=-⋅-,再结合直角三角形和各线段长度特征法解决问题解：,0.AB AC AB AC ⊥∴⋅= ,,,()()AP AQ BP AP AB CQ AQ AC BP CQ AP AB AQ AC =-=-=-∴⋅=-⋅-222222()1212cos .AP AQ AP AC AB AQ AB ACa AP AC AB APa AP AB AC a PQ BCa PQ BCa a θ=⋅-⋅-⋅+⋅=--⋅+⋅=--⋅-=--⋅=--⋅=-- 2cos 0,(),..2PQ BC BP CQ a πθθ==⋅-故当即与方向相同时最大其最大值为点拨:运用向量的方法解决几何问题,充分体现了向量的工具性,对于大量几何问题,不仅可以用向量语言加以叙述,而且完全可以借助向量的方法予以证明和求解,从而把抽象的问题转化为具体的向量运算. 【反馈练习】 1.已知向量a,b 满足14,2a =,b a b == 且,则a 与b 的夹角为3π2.如图，在四边形ABCD 中，||||||4,AB BD DC →→→++=0,AB BD BD DC →→→→⋅=⋅=→→→→=⋅+⋅4||||||||DC BD BD AB ，则→→→⋅+AC DC AB )(的值为43.若向量a,b 满足=1a =b ,a,b 的夹角为60°，则a a +a b=324.若向量12,2a =,b a b ==且-,则a b =+5.已知| a |=4,|b |=5,|a +b |=21 ,求：① a ·b ；②(2a －b ) ·(a +3b )解：（1）|a +b |2=（a +b ）2=a 2+2a b +b 2=|a |2+2a ·b +|b |2，∴222102a b a ba b +--==-（2）（2a －b ）·（a +3b ）=2a 2+5a ·b －3b 2=2|a |2+5a ·b －3|b |2=2×42+5×（－10）－3×52=－93.6.已知a 与b 都是非零向量，且a +3b 与7a-5b 垂直，a －4b 与7a －2b 垂直，求a 与b 的夹角.解：∵且a +3b 与7a-5b 垂直，a －4b 与7a －2b 垂直，∴（a +3b ）·（7a-5b ）=0，（a －4b ）·（7a －2b ）=0 ∴7a 2＋16 a ·b －15 b 2=0，7a 2－30 a ·b ＋8 b 2=0，∴b 2=2 a ·b ，|a |=|b | ∴1cos 2a b a b θ⋅==⋅ ∴60θ=例3第2题第3课 向量的坐标运算【考点导读】1. 掌握平面向量的正交分解及坐标表示.2. 会用坐标表示平面向量的加减及数乘、数量积运算.3.掌握平面向量平行的充要条件的坐标表示,并利用它解决向量平行的有关问题. 【基础练习】1若=)8,2(，=)2,7(-，则31=(3,2)-- 2平面向量,a b 中，若(4,3)=-a ，b =1，且5⋅=a b ，则向量b =43(,)55-3.已知向量(,12),(4,5),(,10)OA k OB OC k ===- ，且A 、B 、C 三点共线，则k=23-4.已知平面向量(3,1)=a ，(,3)=-b x ，且⊥a b ，则x =1 【范例导析】例1.平面内给定三个向量()()()3,2,1,2,4,1==-=a b c ，回答下列问题： （1）求满足=+a mb nc 的实数m ,n ； （2）若()()//2+-a kc b a ，求实数k ； （3）若d 满足()()//-+d c a b，且-=d c ，求d分析:本题主要考察向量及向量模的坐标表示和向量共线的充要条件.解：（1）由题意得()()()1,42,12,3n m +-=所以⎩⎨⎧=+=+-2234n m n m ，得⎪⎩⎪⎨⎧==9895n m （2）()()2,52,2,43-=-++=+k k k()()()1316,025432-=∴=+--+⨯∴k k k （3）设(),d x y =，则()()4,2,1,4=+--=-b a y x c d由题意得()()()()⎩⎨⎧=-+-=---5140124422y x y x 得⎩⎨⎧-==13y x 或⎩⎨⎧==35y x ∴()()3,153d =-或，点拨:根据向量的坐标运算法则及两个向量平等行的充要条件、模的计算公式，建立方程组求解。