【同步测试】《2.3.1 椭圆的参数方程》同步练习1

4．曲线xy＝ ＝3tt2－－12， 与 x 轴交点的坐标是______________．
答案：(1,0)，(－5,0) 解析：将曲线的参数方程化为普通方程：(x＋2)2＝9(y＋1)，令 y＝0，得 x＝1 或 x
＝－5.
5．曲线x＝t2－1 (t 为参数)的焦点坐标为________． y＝2t＋1
θ
－
3sin θ －3|
＝4 5 52cosθ ＋π3 －3
当 cosθ ＋π3 ＝1 时，dmin＝4 5 5，此时所求点为(2，－3)．
综合提高
7．若点 P(3，m)在以点 F 为焦点的抛物线x＝4t2 y＝4t
(t 为参数)上，则|PF|等于
()
A．2
B．3
C．4
D．5
答案：C
解析：抛物线为 y2＝4x，准线为 x＝－1，|PF|为 P(3，m)到准线 x＝－1 的距离，
答案：(－4,0)
x2 y2 解析：题中二次曲线的普通方程为25＋ 9 ＝1 左焦点为(－4,0)．
10．已知曲线x＝2pt2 y＝2pt
(t 为参数，p 为正常数)上的两点 M，N 对应的参数分别
为 t1 和 t2，且 t1＋t2＝0，那么|MN|＝________. 答案：4p|t1|
解析：显然线段 MN 垂直于抛物线的对称轴，即 x 轴，
答案：(0,1)
解析：将参数方程化为普通方程(y－1)2＝4(x＋1)，∴焦点坐标为(0,1)．
x2 y2 6．在椭圆16＋12＝1
上找一点，使这一点到直线
x－2y－12＝0
的距离的最小
值．
解：设椭圆的参数方程为xy＝ ＝42co3s
θ， sin θ
，
d＝|4cos θ －4
3sin 5
θ
－12| 4 5 ＝ 5 |cos
|MN|＝2p|t1－t2|＝2p|2t1|＝4p|t1|. 11．设抛物线 y2＝4x 有内接△OAB，其垂心恰为抛物线的焦点，求这个三角形的周
长．
解：抛物线 y2＝4x 的焦点为 F(1,0)，F 为△OAB 的垂心，所以 x 轴⊥AB，A、B 关于
x 轴对称．
设 A(4t2,4t)(t＞0)，则 B(4t2，－4t)，
(t 为参数 α 为倾斜角)
将其代入椭圆方程得
t2(16cos2α ＋25sin2α )＋2t(16cos α ＋25sin α )－359＝0.
∵M 为弦的中点，∴tM＝t1＋2 t2＝0.
∴16cos α ＋25sin α ＝0，得 tan α ＝－2156.
故此弦所在直线的方程为 16x＋25y－98＝0.
12．(创新拓展)过点 M(3,2)作椭圆
x－ 25
2 y－ ＋ 16
2
＝1 的弦．
(1)求以 M 为中心的弦所在直线的方程； (2)如果弦的倾斜角不大于 90°，且 M 到此弦的中心距离为 1，求此弦所在直线的 方程． 解：(1)设过点 M(3,2)的直线参数方程为
x＝3＋t·cos α y＝2＋t·sin α
即为 4.
8．椭圆xy＝ ＝41＋ ＋25csoisn
θ θ
(θ 为参数)的焦距为
()
A. 21
B．2 21
C. 29 答案：B
D．2 29
解析：由椭圆的参数方程知：a＝5，b＝2，∴c＝ 25－4＝ 21.
∴2c＝2 21
9．二次曲线xy＝ ＝53csoisn
θ θ
(θ 是参数)的左焦点的坐标是________．
《2.3.1 椭圆的参数方程》同步练习 1
基础达标
1．当参数 θ 变化时，动点 P(2cos θ ，3sin θ )所确定的曲线必过
A．点(2,3)
B．点(2,0)
()
C．点(1,3) 答案：B
D．点0，π2
解析：设 P(x，y)，令xy＝ ＝23csoisn
θ θ
，
x2 y2 ⇒ 4 ＋ 9 ＝1.∴曲线经过点(2,0)．
所以 kAF＝4t42－t 1，kOB＝－44tt2＝－1t.
因为 AF⊥OB，所以，kAF·kOB＝4t42－t 1·－1t＝－1.
所以 t2＝54，由 t＞0 得 t＝ 25，
所以 A(5,2 5)，B(5，－2 5)，所以|AB|＝4 5，
|OA|＝|OB|＝3 5，
这个三角形的周长为 10 5.
(2)∵点 M 到弦中点的距离为|t1＋2 t2|，且 0≤α ≤π2 ，
∴1166ccooss2αα
＋25sin α ＋25sin2α
＝1，
即 16cos α ＋25sin α ＝16cos2α ＋25sin2α .
∵cos α ≥cos2α ，sin α ≥sin2α ，
∴等式成立的充要条件是 cos α ＝cos2α ，且 sin α ＝sin2α ，从而倾斜角 α 只
的最大值为
()
A．36
B．6
C．26
D．25
答案：A 解析：借助于曲线的参数方程，(x－5)2＋(y＋4)2 ＝(cosα －3)2＋(sinα ＋4)2 ＝－6cosα ＋8sinα ＋26 ＝10sin(α －φ )＋26， ∵sin(α －φ )∈[－1,1]， ∴(x－5)2＋(y＋4)2 的最大值为 36.
2．下列在曲线xy＝＝scions
2θ θ ＋sin
θ
(θ 为参数B.－34，12
C．(2， 3)
D．(1， 3)
答案：B
解析：转化为普通方程：y2＝1＋x (|y|≤ 2)，把选项 A、B、C、D 代入验证得，
选 B.
3．P(x，y)是曲线xy＝ ＝2s＋incoαs α ， (α 为参数)上任意一点，则(x－5)2＋(y＋4)2
能为 0°到 90°，故此时过点 M(3,2)的弦所在直线的方程分别为 y＝2 或 x＝3.