1.分式的概念
1.分式的概念与基本性质(整理)
2 x 10x 2x 2 x( x 5) 2 x 5 ( x 5)(x 5) x 25
3 x 15x 3x 3x( x 5) 2 x 5 ( x 5)(x 5) x 25
2
2
x 与 (3) 2 4 2 x 4 x
解： （3）最简公分母是
x x-2
x-1 4x+1
练习：当x取什么值时,下列分式无意义 ?
3 x 1 , x 1 . x 2 x 5
当m取何值时,下列分式的值为零?
m m 1 1 2 m2 4m 1 m 1 m 2 3 m2
分式 当y 当y
当y
y +2 y-3
，
时，分式有意义； 时，分式没有意义；
分式的通分
与分数的通分类似，也可以利用 分式的基本性质，使分子和分母同乘 适当的整式，不改变分式的值，把 分式变形叫做分式的通分。
2a b 和 2 化成相同分母的分式，这样的 a ab ab
把各分式化成相同 3 分母的分式叫做 a b （ 1） 2 2 b 与 a 2 c 分式的通分. a b 1 x 2x 3x 与 2 （ 2） x 5 与 (3) 4 2 x 4 x5 x
2 1 , 已知分式 3 x 2 12 x 2，其中m是这两个分式中分母的公因式，n是
这两个分式的最简公分母，且则x= .
时，分式的值为0。
1、分式的概念； 2、什么情况下分式有意义、 无意义？ 3、什么情况下分式的值为零？
分式的基本性质 ------约分
与通分
分式的基本性质
分式的分子与分母同乘（或除以） 一个不等于０的整式，分式的值不变。
用式子表示为：
分式讲义(一))
分式讲义（一）一、知识点： 1．分式的概念：（1）分式的定义：一般地A ，B 是两个_______，且_____中含有字母，那么BA 叫分式（2）分式有意义的条件是___________不等于0 （3）分式无意义的条件是___________等于0（4）分式为零的条件是________不等于0，且_________等于0 2．分式的基本性质：（1）分式的分子分母同乘（或除以）一个__________________，分式的值_________ （2）分子，分母的公因式,系数的_________与各______因式的_________的积（3）各分式的最简公分母，各分母系数的___________与_______因式___________的积 3．分式的运算法则：（1）乘法法则________________________________________ （2）除法法则________________________________________ 二、范例讲解：题型一：考查分式的定义【例1】下列代数式中：yx y x yx yxba b a y x x -++-+--1,,,21,22π，是分式的有： .题型二：考查分式有意义的条件【例2】当x 有何值时，下列分式有意义（1）44+-x x （2）232+xx （3）122-x（4）3||6--x x （5）xx 11-题型三：考查分式的值为0的条件【例3】当x 取何值时，下列分式的值为0.（1）31+-x x （2）42||2--xx （3）653222----x xx x题型四：考查分式的值为正、负的条件【例4】（1）当x 为何值时，分式x-84为正；（2）当x 为何值时，分式2)1(35-+-x x 为负；（3）当x 为何值时，分式32+-x x 为非负数.练习：1．当x 取何值时，下列分式有意义：（1）3||61-x （2）1)1(32++-x x （3）x111+2．当x 为何值时，下列分式的值为零：（1）4|1|5+--x x （2）562522+--x x x（二）分式的基本性质及有关题型1．分式的基本性质：MB M A MB M A B A ÷÷=⨯⨯=2．分式的变号法则：ba ba ba ba =--=+--=--题型一：化分数系数、小数系数为整数系数【例1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数.（1）yx yx 41313221+-（2）ba b a +-04.003.02.0题型二：分数的系数变号【例2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.（1）yx y x --+- （2）ba a ---（3）ba ---题型三：化简求值题【例3】已知：511=+y x ，求yxy x y xy x +++-2232的值.【例4】已知：21=-xx ，求221xx +的值.【例5】若0)32(|1|2=-++-x y x ，求yx 241-的值.练习：1．不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的系数化为整数.（1）yx y x 5.008.02.003.0+- （2）ba ba 10141534.0-+2．已知：31=+xx ，求1242++x xx 的值. 3．已知：311=-ba，求aab b b ab a ---+232的值.4．若0106222=+-++b b a a ，求ba b a 532+-的值.（三）分式的运算1．确定最简公分母的方法：①最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数； ②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂.2．确定最大公因式的方法：①最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数；②取分子、分母相同的字母因式的最低次幂.题型一：约分【例2】约分： （1）322016xyy x -； （3）nm mn--22； （3）6222---+x xx x题型二：通分【例1】将下列各式分别通分. （1）cb ac a bab c225,3,2--； （2）ab bb a a22,--；（3）22,21,1222--+--x xx x xx x ； （4）aa -+21,2三、作业：⒈当x 时，分式1223+-x x 有意义；当x 时，分式xx --112的值等于零.⒉分式ab c32、bc a3、acb25的最简公分母是 ；化简：242--x x ＝ .⒊xx 231--=32(_____)-x =－32____)-x （⒋当x 、y 满足关系式________时，)(2)(5y x x y --=－255．若使下列各分式值为零，x 的值分别为：（1）2213xx +-，则x = ；（2）1233--x x ，则x = ；（3）)2)(3(2+--x x x ，则x = ；（4）)1)(3(1+--x x x ，则x = ．6、分式xx ---112的结果是________.7、2241ba 与cab x36的最简公分母是__________.8、b a 1,1,31通分后,它们分别是_________, _________,________. 9、acb b ac c b a 107,23,5422的最简公分母是______,通分时,这三个分式的分子分母依次乘以______, ， 。
1.分式的概念
第十六章 分式 NO.1 从分数到分式主编：雷 杨 审核：初二年级数学组 班别： 姓名： 学习目标:1、能判断一个代数式是否分式，会区别分式和整式。
2、理解和掌握判断一个分式有意义、无意义的方法。
3、分式的值是0的求法。
学习重点：分式的概念学习难念：理解和掌握判断一个分式有意义、无意义的方法。
【复习】1、 判断下列各式是否整式，并说明理由 （1）533+x （2）41-y （3）45+x （4）54+x （5）112-+x x2、求下列函数有意义的x 取值范围 （1）23+=x y （2）142--=x y （3）4352-+=x x y （4）8489++=x x y【新课探究】 思考：（1）如果长方形的面积是S ，长是a ，那么宽是（2）一项工作，如果小李用了()2+x 小时完成，那么小李的工作效率是 （3）AB 两码头相距100km ，船在静水中的速度是20km/h,水流速度是y km/h,那么船顺流航行的时间是 ，逆流航行的时间是上面的答案里，有什么相同点？ 1、 都是两个整式相分式BA 中，A 叫做分子，B 叫做分母。
注意：分式是不同于整式的另一类式子。
分式的分母中一定要含有字母。
练习1、在下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？（1）、5x-7 ；（2）、3x 2-1 ；（3）123+-a b ；（4）、7)(p n m +；（5）、—5 ；（6）、1222-+-x yxy x 。
（7）、72；（8）、cb +54。
其中整式有：分式有：由于字母可以代表不同的数，所以分式比分数更有一般性。
我们小学的时候学过，分数有意义的条件是 ，那么我们今天学习的分式有意义的条件是 例1、填空 （1）要使得分式x 32有意义，必须x （2）要使得分式1-x x 有意义，必须x（3）要使得分式y 351-有意义，必须y（4）要使得分式yx y x -+有意义，必须例2、x 为何值时，下列分式的值为0？ （1）、11+-x x ；（2）、392+-x x ；（3）、112+-a a （4）11--x x解：要求分式的值为0，必须 1、 分子等于0 2、 分母不能等于0【本课小结】1、分式的概念是2、分式有意义的条件是3、分式等于0的条件是【课后作业】 1、下列各式中，（1）yx y x -+（2）132+x （3）xx 13-（4）π22yxy x ++（5）14.3--πba （6）0.整式是 ，分式是 。
§17.1.1 分式的概念奇哥OK2
第十七章 分式 第1课时分式的概念教案编写 张思奇 审定 胥洪军教学目标知识与技能目标 使学生经历分式概念的形成过程,了解分式、整式、有理式的概念以及它们区别与联系.过程与方法目标 使学生掌握分式有意义的条件,认识事物的联系与制约关系.情感与态度目标 培养学生对事物用类比的思想方法进行探索分析.教学重点 了解分式的形式 （A 、B 是整式）并理解分式概念中的“一个特点”：分母含有字母；“一个要求”：字母的取值要使分母的值不能为零；教学难点 理解分式中的分母含有字母以及字母的取值要使分母的值不能为零.教学用具 小黑板 教学过程一、创设情境引入新课 ：做一做（1）面积为2平方米的长方形一边长3米，则它的另一边长为_____米； （2）面积为S 平方米的长方形一边长a 米，则它的另一边长为_____米； （3）一箱苹果售价p 元，总重m 千克，箱重n 千克，则每千克苹果的售价是___。
二、合作交流自主探究：形如B A (A 、B 是整式，且B 中含有字母，B ≠0)的式子，叫做分式.其中A 叫做分式的分子,B 叫做分式的分母.注意：在分式中，分母的值不能是零。
整式和分式统称有理式。
例如，在分式aS 中，a ≠0；在分式nm -9中，m ≠n. 一般的，对分式B A 都有：分式有意义 B ≠0. 分式没有意义 B=0. 分式的值为0A=0且B ≠0.三、随堂练习巩固新知：例1、下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？（1）x 1； （2）2x ； （3）y x xy +2； （4）33y x -.例2、 当x 取什么值时，下列分式有意义？ （1）2-x x ； （2）141+-x x . (3) 32522-+-x x x分析(3) : 对分式32522-+-x x x ，要使这个分式有意义，就必须满足x 2＋2x －3≠0，即 (x －1)(x ＋3)≠0，∴ x ≠1且x ≠－3,当x ≠1且x ≠－3时,分式32522-+-x x x 才有意义．例3、当x 是什么数时，分式522-+x x 的值是零？四、目标检测形成练习：练习1．下列各式分别回答哪些是整式？哪些是分式？ 52+x ， m n ， 2a-3b, 32-y y , )2)(1(92---x x x ,53- 练习2 分式 23y y +-，当y 时，分式有意义， 当y 时，分式没有意义；当y 时，分式的值为0。
分式(1)(分式概念、基本性质)
分式（1）（分式概念、基本性质） 一、基础知识梳理：1.分式的概念：一般地，如果A ，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子BA做分式。
A 叫做分子，B 叫做分母. 分式的概念要注意以下几点：（1）分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线则可以理解为除号，还含有括号的作用；（2）分式的分子可以含字母，也可以不含字母，但分母必须含有字母；（3）分式有意义的条件是分母不能为0.2.分式的基本性质：分式的分子分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变.3.分式的约分(1)约分的概念：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分． (2)分式约分的依据：分式的基本性质．(3)分式约分的方法：把分式的分子与分母分解因式，然后约去分子与分母的公因式． 4.最简分式的概念：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式． 二、针对性练习： （一）、填空题： 1.对于分式122x x -+（1）当________时，分式的值为0 ；（2）当________时，分式的值为1；（3）当________时，分式无意义； （4）当________时，分式有意义.2．填充分子，使等式成立；()222(2)a a a -=++； ()22233x x x -=-+- 3．填充分母，使等式成立：()2223434254x x x x -+-=--- ； ()21a a a c ++=（a ≠0）. 4．化简：233812a b c a bc =_______；6425633224a b c a b c = ；224488a ba b-=- ；223265a a a a ++=++ ；()()x y a y x a --322= . 5.不改变分式的值，把下列各式的分子和分母中各项系数都化为整数：0.010.50.30.04x y x y -=+ ；y x y x 6.02125.054-+= ；=-+b a ba 41323121 . 6.不改变分式的值，使下列各分式的分子、分母中最高次项的系数都是正数：（1）2211x x x y +++-= ； （2）343223324x x x x -+---= .7.（1）已知：34y x =，则2222352235x xy y x xy y-++-= . （2）已知0345x y m==≠，则x y m x y m +++-= . 8.若||x x x x -+-=+123132成立，则x 的取值范围是 . （二）、选择题：9.在下列有理式221121a x x m n x y x y ya b ，，，，++-+-()()中，分式的个数是（ ） A. 1B. 2C. 3D. 410.把分式xx y+（x ≠0，y ≠0）中的分子、分母的x ，y 同时扩大2倍，那么分式的值 （ ） A ．扩大2倍 B ．缩小2倍 C ．改变 D ．不改变 11．下列等式正确的是 （ ）A ．22b b a a =B ．1a b a b -+=--C ．0a b a b +=+D ．0.10.330.22a b a ba b a b--=++12.与分式a ba b-+--相等的是 （ ）A ．a b a b +- B ．a b a b -+ C ．a b a b +-- D a ba b--+ 13．下列等式从左到右的变形正确的是 （ ）A ．b a ＝11b a ++B b bm a am =C ．2ab b a a= D ．22b b a a =14．不改变分式的值，使21233xx x --+-的分子、分母中的最高次项的系数都是正数，则分式可化为 （ ）A ．22133x x x -+- B ．22133x x x +++ C ．22133x x x ++- D ．22133x x x --+ 15．将分式253xyx y -+的分子和分母中的各项系数都化为整数，应为 （ ）A ．235x y x y -+ B ．151535x y x y -+ C ．1530610x y x y -+ D ．253x yx y-+16．下列各式正确的是 （ ）A ．c c a b a b -=-++ B ．c c a b b a -=-+- C ．c c a b a b -=-++ D ．c ca b a b-=-+- 17．不改变分式的值，分式22923a a a ---可变形为 （ ）A ．31a a ++ B ．31a a -- C ．31a a +- D ．31a a -+ 18．不改变分式的值，把分式23427431a a a a a a -++--+-中的分子和分母按a 的升幂排列，是其中最高项系数为正，正确的变形是 （ ）A ．23437431a a a a a a -++-+- B ．23347413a a a a a a -+--++C ．23434731a a a a a a +-+--+-D ．23347413a a a a a a -++--++19.已知a b ，为有理数，要使分式ab的值为非负数，a b ，应满足的条件是（ ） A. a b ≥≠00， B. a b ≤<00，C. a b ≥>00，D. a b ≥>00，，或a b ≤<00，20.已知113a b-=，求2322a ab b a ab b ----的值（ ） A. 12 B. 23 C. 95D. 4（三）、解答题：21.已知：3x y -=20，求x xy y x xy y 2222323-++-的值.22.已知：x x 210--=，求x x441+的值. 23.化简：x x x x x x 32325396512++-++-. 24.把分式1882483222a b ab a b++++化为一个整式和一个分子为常数的分式的和，并且求出这个整式与分式的乘积等于多少？25. 已知：x y y y +=--=22402，，求y xy-的值.26. 已知：a b c ++=0，求a b c b c a c a b()()()1111113++++++的值. 27.已知：,ac zc b y b a x -=-=-求z y x ++的值.28.已知：,0,1=++=++z cy b x a c z b y a x 求222222cz b y a x ++的值.。
分式1 分式定义和分式的基本性质
分式定义和分式的基本性质一、基础知识：1. 分式定义:（1）、代数式：用运算符号（包括加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连结而成的式子叫做代数式；单独一个数或一个字母 代数式；（2）、单项式：只含 运算的代数式叫做单项式；单独一个数或一个字母 单项式； 单项式中的叫做单项式的系数，单项式中所有字母指数的叫做单项式的次数；（3）、多项式：几个 的和叫做多形式；多形式中的每个单项式叫做多形式的 ，多形式里含有几项，就把这个多形式叫做 ，其中次数最高的项的次数叫做这个多形式的 ，不含字母的项叫做 ； （4）、整式： 和 统称为整式；（5）、分式:一般地，如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有 ，那么代数式 叫做分式，其中A 是分式的分子，B 是分式的分母。
2.分式的基本性质：（1）、分式的基本性质：分式的分子和分母都乘（或除以） 一个不等于 的整式，分式的值 ； 即A B =A×CB×C , A B =A÷CB÷C （其中C 是不等于0的整式）； （2）、有关概念：①分式的约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子和分母分别除以它们的 ，叫做分式的约分；约分的目的是把分式 ；②最简分式：分子和分母没有 的分式叫做最简分式；③分式的通分：根据分式的基本性质，把几个 分母的分式变形成 分母的分式，叫做分式的通分，变形后的分母叫做这几个分式的公分母；④最简公分母：几个分式中各分母系数（都是整数）的最小 与所有字母的最高次幂的 叫做这几个分式的最简公分母。
二、经典例题： 题型一：考查分式的定义例1、下列代数式中：yx yx y x y x b a b a y x x -++-+--1,,,21,22π，分式有： 个。
变式训练：下列各式中哪些是分式：9x+4, x 7 , 209y +, 54-m , 238y y -，91-x题型二：考查分式有意义的条件 例2、当x 有何值时，下列分式有意义（1）44+-x x （2）122-x （3）xx 11-变式训练：当x 有何值时，下列分式有意义 （1）232+x x（2）3||6--x x题型三：考查分式的值为0的条件 例3、当x 取何值时，下列分式的值为0. （1）31+-x x（2）42||2--x x （3）653222----x x x x变式训练：当x 取何值时，下列分式的值为0. （1）x x 37+ （2）xx 3217- （3）x 2−1x 2−x题型四：考查分式的值为正、负的条件例4、（1）当x 时，分式x-84为正； （2）当x 时，分式2)1(35-+-x x 为负；变式训练：当x 时，分式32+-x x 为非负数. 题型五：化分数系数、小数系数为整数系数例5、不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数. （1）y x yx 41313221+- （2）ba ba +-04.003.02.0变式训练：不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数. yx yx 5.008.02.003.0+-题型六：分数的系数变号例6、不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号. （1）yx yx --+- （2）ba a---（3）b a ---变式训练：不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号.(1) 233ab y x -- (2) 2317ba ---题型七：约分例7、将下列各式 化为最简分式：（1）c ab bc a 2321525- （2）96922++-x x x （3）yx y xy x 33612622-+-变式训练：将下列各式 化为最简分式：（1）ac bc 2 （2）22)(y x xyx ++ (3)b a b ab a +++36922题型八：通分例8、通分：（1）xab ,yac ; (2)yx (y +1) ,xy (y +1); (3)aab−b ,bab +a.变式训练：通分:（1）cb ac a b ab c 225,3,2--； （2）a b b b a a 22,--；题型九：化简求值题例9、已知：511=+y x ，求yxy x yxy x +++-2232的值. 变式训练：已知：311=-b a ，求a ab b b ab a ---+232的 ;例10、已知：21=-x x ，求221xx +的值. 变式训练：已知：31=+x x ，求1242++x x x 的值.例11、若0)32(|1|2=-++-x y x ，求yx 241-的值.变式训练：若0106222=+-++b b a a ，求ba ba 532+-的值.三、巩固练习：1．当x 取何值时，下列分式有意义：（1）3||61-x（2）1)1(32++-x x2．当x 为何值时，下列分式的值为零： （1）4|1|5+--x x（2）562522+--x x x3．解下列不等式 （1）012||≤+-x x （2）03252>+++x x x4．不改变分式的值，把分式b a ba 10141534.0-+的分子、分母的系数化为整数. 5．如果21<<x ，试化简x x --2|2|xx x x |||1|1+---.6.分式11−x ,11+x ,12x1+x 的最简公分母为四、课后作业：1．当x 取何值时，分式x111+有意义：2当x 为何值时，分式 的值为零x x x --213.约分： （1）2)(xy yy x + （2）222)(y x y x --（3）b a abc ab 22369+ (4)122362+-x x4.通分：（1）22,21,1222--+--x x x x xx x ； （2）aa -+21,25．已知：31=+x x ，求1242++x x x 的值.。
八上数学第一章知识点总结
第１章 分式一、分式的概念１、分式的定义：如果Ａ、Ｂ表示两个整式，并且Ｂ中含有字母，那么式子叫做分式。
３、分式有意义、无意义的条件（１）分式有意义的条件：分式的分母不等于０；（２）分式无意义的条件：分式的分母等于０。
４、分式的值为０的条件：当分式的分子等于０，而分母不等于０时，分式的值为０。
即，使的条件是：Ａ＝０，Ｂ≠０。
二、分式的基本性质通分：利用分式的基本性质，使分子和分母都乘以适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母分式化成同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。
通分的关键是：确定几个分式的最简公分母。
确定最简公分母的一般方法是：（１）如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数、相同字母的最高次幂、所有不同字母及指数的积。
（２）如果各分母中有多项式，就先把分母是多项式的分解因式，再参照单项式求最简公分母的方法，从系数、相同因式、不同因式三个方面去确定。
约分：根据分式的基本性质，约去分式的分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。
在约分时要注意：（１）如果分子、分母都是单项式，那么可直接约去分子、分母的公因式，即约去分子、分母系数的最大公约数，相同字母的最低次幂；（２）如果分子、分母中至少有一个多项式就应先分解因式，然后找出它们的公因式再约分；（３）约分一定要把公因式约完。
三、分式的符号法则：（１）；（２）四、分式的乘除法两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，分母相乘的积作为积的分母；两个分式相除，把除式的分子、分母颠倒位置后再与被除式相乘．即：应用法则时要注意：（１）分式中的符号法则与有理数乘除法中的符号法则相同，即“同号得正，异号得负，多个负号出现看个数，奇负偶正”；（２）当分子分母是多项式时，应先进行因式分解，以便约分；（３）分式乘除法的结果要化简到最简的形式。
八上数学第一章知识点总结１、定义：任何不等于零的实数的零次幂都等于１，即ａ°＝１（ａ≠０）。
第3章 分式(第1—2节)
例6、如果把分式 中的x、y的值都扩大2倍，那么分式的值（）
A.扩大2倍B.扩大6倍C.扩大3倍D.不变
【思路分析】分子分母中的各项都扩大相同的倍数，实际就是将分子和分母同时乘以相同的数（不为零），分式的值不变.
解：D
方法与规律：理解分式的基本性质是解决问题的关键.
考点三：分式的乘除法
例7、计算：（1）
教师：_万老师_____学生：______时间:_____年___月___日段
课题：分式
授课目的与考点分析：1、分式的基本性质，相关概念及运算。2、正确运用分式乘除法则进行分式的乘除运算。
重、难点：1、分式的概念和分式的基本性质的理解和运用。
2、正确找出分式的分子、分母的最高公因式，用约分运算化简分式。
2、分式的基本性质：
（1） 分子、分母同时乘以c（c≠0）
分式的分子与分母都乘以这个c（c≠0）整式，分式的值没有改变，根据这条性质可以对分式进行变形.
（2） 分子、分母同时除以c（c≠0）
分式的分子与分母都除以这个c（c≠0）整式，分式的值没有改变，根据这条性质可以对分式进行变形.
分式的约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分.
最简分式：分式的分子与分母没有公因式的分式称为最简分式.
注意：化简分式时，通常要使结果成为最简分式或者整式.
3、分式的乘除法：
分式的乘法运算法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作积的分子，把分母相乘的积作积的分母.如果分式的分子与分母都是多项式，先给它们分解因式，约分，然后相乘.
分式的除法法则：两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.
解：－1
方法与规律：分式值为零的条件是分子=0，分母≠0.
分式及其运算
分式及其运算
一、分式的概念
分式是用一个数除以另一个非零数所得的商。
分式由分子和分母两部分组成,用斜线"/"或水平线"—"隔开,如3/5或3—5。
其中,分子是被除数,分母是除数。
二、分式的基本运算
1. 分式的加减法
- 同分母分式的加减法:只需将分子相加或相减,分母保持不变。
- 异分母分式的加减法:先通分,使分母相同,再将分子相加或相减。
2. 分式的乘法
- 分式相乘时,分子相乘,分母相乘。
3. 分式的除法
- 分式除法可以通过乘以另一个分式的倒数来实现。
4. 分式的化简
- 分子和分母都除以它们的最大公因数,可以化简分式。
三、分式的应用
分式在日常生活和学习中有广泛的应用,例如:
1. 计算比例和百分比
2. 表示概率
3. 解决实际问题(如分配任务、计算利息等)
通过掌握分式的运算规则和应用技巧,我们可以更好地理解和处理涉及分数的各种情况。
分式必考知识点总结(1)(2)
考点卡片1．分式的定义（1）分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．（2）因为0不能做除数，所以分式的分母不能为0．（3）分式是两个整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分数线可以理解为除号，还兼有括号的作用．（4）分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即从形式上看是AB的形式，从本质上看分母必须含有字母，同时，分母不等于零，且只看初始状态，不要化简．（5）分式是一种表达形式，如x+1x+2是分式，如果形式都不是AB的形式，那就不能算是分式了，如：（x+1）÷（x+2），它只表示一种除法运算，而不能称之为分式，但如果用负指数次幂表示的某些代数式如（a+b）﹣2，y﹣1，则为分式，因为y﹣1=1y仅是一种数学上的规定，而非一种运算形式．2．分式有意义的条件（1）分式有意义的条件是分母不等于零．（2）分式无意义的条件是分母等于零．（3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号．（4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号．3．分式的值为零的条件分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．4．分式的值分式求值历来是各级考试中出现频率较高的题型，而条件分式求值是较难的一种题型，在解答时应从已知条件和所求问题的特点出发，通过适当的变形、转化，才能发现解题的捷径．5．约分（1）约分的定义：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．（2）确定公因式要分为系数、字母、字母的指数来分别确定．①分式约分的结果可能是最简分式，也可能是整式．②当分子与分母含有负号时，一般把负号提到分式本身的前面．③约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式．（3）规律方法总结：由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分．6．分式的乘除法（1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母．（2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．（3）分式的乘方法则：把分子、分母分别乘方．（4）分式的乘、除、乘方混合运算．运算顺序应先把各个分式进行乘方运算，再进行分式的乘除运算，即“先乘方，再乘除”．（5）规律方法总结：①分式乘除法的运算，归根到底是乘法的运算，当分子和分母是多项式时，一般应先进行因式分解，再约分．②整式和分式进行运算时，可以把整式看成分母为1的分式．③做分式乘除混合运算时，要注意运算顺序，乘除法是同级运算，要严格按照由左到右的顺序进行运算，切不可打乱这个运算顺序．7．分式的加减法（1）同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．（2）异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减．：说明：①分式的通分必须注意整个分子和整个分母，分母是多项式时，必须先分解因式，分子是多项式时，要把分母所乘的相同式子与这个多项式相乘，而不能只同其中某一项相乘．②通分是和约分是相反的一种变换．约分是把分子和分母的所有公因式约去，将分式化为较简单的形式；通分是分别把每一个分式的分子分母同乘以相同的因式，使几个较简单的分式变成分母相同的较复杂的形式．约分是对一个分式而言的；通分则是对两个或两个以上的分式来说的．8．分式的化简求值先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．【规律方法】分式化简求值时需注意的问题1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式=…”．2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．9．零指数幂零指数幂：a0=1（a≠0）由a m÷a m=1，a m÷a m=a m﹣m=a0可推出a0=1（a≠0）注意：00≠1．10．解一元一次方程（1）解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x=a形式转化．（2）解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号．（3）在解类似于“ax+bx=c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a+b）x=c．使方程逐渐转化为ax=b的最简形式体现化归思想．将ax=b系数化为1时，要准确计算，一弄清求x时，方程两边除以的是a还是b，尤其a 为分数时；二要准确判断符号，a、b同号x为正，a、b异号x为负．11．分式方程的解求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．12．解分式方程（1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．（2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验：①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解．②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解．所以解分式方程时，一定要检验．13．分式方程的增根（1）增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根．（2）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根．（3）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根．14．分式方程的应用1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度=路程时间；工作量问题：工作效率=工作量工作时间等等．列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．15．一元一次不等式的应用（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案．（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．（3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．②根据题中的不等关系列出不等式．③解不等式，求出解集．④写出符合题意的解．。
中考数学一轮复习专题解析—分式的运算
中考数学一轮复习专题解析—分式的运算复习目标1.了解分式的概念2.会利用分式的基本性质进行约分和通分。
3.会进行分式的加、减、乘、除、乘方运算4.能够根据具体问题数量关系列出简单的分式方程5.会解简单的可化为一元一次方程的分式方程；考点梳理一、分式的有关概念及性质1．分式设A、B表示两个整式．如果B中含有字母，式子就叫做分式．注意分母B的值不能为零，否则分式没有意义.2.分式的基本性质（M为不等于零的整式）.3．最简分式分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．如果分子分母有公因式，要进行约分化简.【归纳总结】分式的概念需注意的问题：（1）分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线则可以理解为除号，还含有括号的作用；（2）分式中，A和B均为整式，A可含字母，也可不含字母，但B中必须含有字母且不为0；（3）判断一个代数式是否是分式，不要把原式约分变形，只根据它的原有形式进行判断．（4）分式有无意义的条件：在分式中，①当B ≠0时，分式有意义；当分式有意义时，B ≠0．②当B =0时，分式无意义；当分式无意义时，B =0．③当B ≠0且A =0时，分式的值为零．例1、若把x ，y 的值同时缩小x 为原来的13倍，则下列分式的值保持不变的是（）A ．xy x y+B ．22y x ++C ．()22x y x +D ．222x y x -【答案】C 【解析】A.1111333==11333x y xyxy x y x y x y⨯⨯+++，选项说法错误，不符合题意；B.61263=3616233y y x x y x +++=+++，选项说法错误，不符合题意；C.22222222111()()()33311()()33x y x y x y x x x ⎛⎫++ ⎪+⎝⎭==，选项说法正确，符合题意；D.22222213112261())(33()3xx xy x y x y x ⨯==---⨯，选项说法错误，不符合题意故选C二、分式的运算1．基本运算法则分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下:（1）加减运算±=同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.；异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算.（2）乘法运算两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.（3）除法运算两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.（4）乘方运算（分式乘方）分式的乘方，把分子分母分别乘方．2．零指数.3．负整数指数4．分式的混合运算顺序先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的．5．约分把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．6．通分根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分．例2、计算22111m mm m----的结果是（）A．1m+B．1m-C．2m-D．2m--【答案】B【解析】解：()222121211 1111mm m m m mm m m m---+-===-----；故选B．【归纳总结】约分需明确的问题：(1)对于一个分式来说，约分就是要把分子与分母都除以同一个因式，使约分前后分式的值相等；(2)约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式，其思考过程与分解因式中提取公因式时确定公因式的思考过程相似；在此，公因式是分子、分母系数的最大公约数和相同字母最低次幂的积．【特别提醒】通分注意事项(1)通分的关键是确定最简公分母；最简公分母应为各分母系数的最小公倍数与所有因式的最高次幂的积．(2)不要把通分与去分母混淆，本是通分，却成了去分母，把分式中的分母丢掉．(3)确定最简公分母的方法：最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；最简公分母的字母，取各分母所有字母因式的最高次幂的积.三、分式方程及其应用1．分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2．分式方程的解法解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程．3．分式方程的增根问题验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解．4．分式方程的应用列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解．另外，还要注意从多角度思考、分析、解决问题，注意检验、解释结果的合理性．【特别提醒】1.解分式方程注意事项(1)去分母化成整式方程时不要与通分运算混淆；(2)解完分式方程必须进行检验，验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解．2.列分式方程解应用题的基本步骤(1)审——仔细审题，找出等量关系；(2)设——合理设未知数；(3)列——根据等量关系列出方程；(4)解——解出方程；(5)验——检验增根；(6)答——答题．例3、随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周6000件提高到8400件，平均每人每周比原来多投递80件，若快递公司的快递人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件x件，根据题意可列方程为（）A．6000x＝840080x+B．6000x+80＝8400xC．8400x＝6000x﹣80D．6000x＝840080x-【答案】A【解析】解：设原来平均每人每周投递快件x件，则更换交通工具后平均每人每周投递快件（x+80）件，依题意得：6000x＝840080x+，故选：A．综合训练1．（2022·全国九年级课时练习）若代数式13x x -+有意义，则x 的取值范围是（）A ．3x ≠B ．1x ≠C ．3x ≥-D ．3x ≠-【答案】D【分析】根据分式有意义的条件分析即可．【详解】 数式13x x -+有意义，30x ∴+≠，解得3x ≠-．故选D ．2．（2022·老河口市教学研究室九年级月考）化简2b a ba a a ⎛⎫+-÷ ⎪⎝⎭的结果是（）A ．-a bB ．a b +C ．1a b-D ．1a b+【答案】A【分析】直接将括号里面通分，进而分解因式，再利用分式的除法运算法则计算得出答案．【详解】解：2b a ba a a ⎛⎫+-÷⎪⎝⎭=22a b aa a b-⨯+=()()a b a b aaa b+-⨯+=-a b ．故选：A ．3．（2022·厦门市第九中学九年级二模）港珠澳大桥是我国桥梁建筑史上的又一伟大奇迹，东接香港，西接珠海、澳门，全程55千米．通车前需走水陆两路共约170千米，通车后，约减少时间3小时，平均速度是原来的2.5倍，如果设原来通车前的平均时速为x 千米/小时，则可列方程为（）A ．1705532.5x x-=B ．5517032.5x x-=C ．17055 2.53x x ⨯-=D ．1705532.5x x-=【答案】D【分析】设原来通车前的平均时速为x 千米/小时，所以通车后，的平均时速为2.5x 千米/小时，根据它们行驶的时间差为3小时列出分式方程．【详解】解：设原来通车前的平均时速为x 千米/小时，所以通车后，的平均时速为2.5x 千米/小时，依题意得：1705532.5x x-=故选D ．4．（2022·哈尔滨市第十七中学校）分式方程1x x +12x +-＝1的解是（）A ．x ＝1B ．x ＝﹣1C ．x ＝3D ．x ＝﹣3【答案】A【分析】观察可得最简公分母是x （x ﹣2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解即可．【详解】解：112x x x ++-＝1，去分母，方程两边同时乘以x （x ﹣2）得：（x +1）（x ﹣2）+x ＝x （x ﹣2），x 2﹣x ﹣2+x ＝x 2﹣2x ，x ＝1，经检验，x ＝1是原分式方程的解．故选：A ．5．（2022·四川九年级期中）关于x 的方程244x ax x -=++有增根，则a 的值为（）A ．－4B ．－6C ．0D ．3【答案】B【分析】将分式方程转化为整式方程，根据方程有增根求得4x =-，代入整式方程即可．【详解】解：244x ax x -=++两边同时乘4x +得：2x a -=①∵244x ax x -=++有增根∴4x =-代入方程①得：6a =-故答案为B ．6．（2022·全国）已知实数a ，b 满足1a b ⋅=，那么221111a b +++的值为（）A ．14B ．12C ．1D ．2【答案】C【分析】把所求分式通分，再把已知条件代入求解．【详解】解：∵•1a b =，∴()2221a b ab ==，∴22222222112111a b a b a b b a +++=+++++2222211a b b a ++=+++1=．故选：C ．7．（2022·日照市田家炳实验中学九年级一模）已知关于x 的方程2222x mm x x+=--无解，则m 的值是___．【答案】12或1【分析】分方程有增根，增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母20x -=，得到2x =，然后代入化为整式方程的方程算出m 的值和方程没有增根两种情况进行讨论.【详解】解：①当方程有增根时方程两边都乘2x -，得22(2)x m m x -=-，∴最简公分母20x -=，解得2x =，当2x =时，1m =故m 的值是1，②当方程没有增根时方程两边都乘2x -，得22(2)x m m x -=-，解得221mx m =-，当分母为0时，此时方程也无解，∴此时210m -=，解得12m =，∴综上所述，当12m =或1时，方程无解.故答案为：12或1.8．（2022·山东滨州市·九年级其他模拟）已知关于x 的分式方程3522x mx x=+--的解为非负数，则m 的取值范围为______．【答案】10m ≥-且6≠-m 【分析】根据解分式方程，可得分式方程的解，根据分式方程的解为负数，可得不等式，解不等式，可得答案．【详解】解：3522x m x x=+--去分母，得：35(2)x m x =-+-，移项、合并，得：210x m=+系数化为1得：102mx +=∵分式方程的解为非负数，∴1002m +≥且1022m +≠，解得：10m ≥-且6≠-m ，故答案为：10m ≥-且6≠-m ．9．（2022·云南九年级期末）先化简，再求值：212(1)11x x x ++÷+-，其中2x =．【答案】x -1，1【分析】根据分式的混合运算法则化简原式然后代值计算即可．【详解】解：原式=2111()12x x x x ++-⨯++=2(1)(1)12x x x x x ++-⨯++=1x -，∵2x =，∴原式=211-=．10．（2022·河南三门峡市·）下面是小锐同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务．229216926x x x x x -+-+++()()()()23321233x x x x x +-+=-++…第一步()321323x x x x -+=-++…第二步()()()23212323x x x x -+=-++…第三步()()262123x x x --+=+…第四步()262123x x x --+=+…第五步526x =-+…第六步（1）填空：①以上化简步骤中，第______步是进行分式的通分，通分的依据是______；②第______步开始出现错误，这一步错误的原因是__________．（2）请从出现错误的步骤开始继续进行该分式的化简；（3）除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需注意的事项给其他同学提一条建议．【答案】（1）①三，分式的基本性质；②五，括号前面是“-”，去掉括号后，括号里面的第二项没有变号；（2）见解析；（3）最后结果应化为最简分式或整式【分析】（1）①分式的通分是把异分母的分式化为同分母的分式，通分的依据是分式的基本性质，据此即可进行判断；②根据分式的运算法则可知：第五步开始出现错误，然后根据去括号法则解答即可；（2）根据分式的混合运算法则解答；（3）可从分式化简的最后结果或通分时应注意的事项等进行说明．【详解】解：（1）①在以上化简步骤中，第三步是进行分式的通分，通分的依据是分式的基本性质（或分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变）；②第五步开始出现错误，这一步错误的原因是：括号前面是“-”，去掉括号后，括号里面的第二项没有变号；（2）原式()262172326x x x x ---==-++；（3）答案不唯一．如：最后结果应化为最简分式或整式；约分，通分时，应根据分式的基本性质进行变形；分式化简不能与解分式方程混淆等．。
1.分式基本概念和计算
分式基本概念和计算1. 分式的基本概念一般地，如果A ，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子BA叫做分式，A 为分子，B 为分母。
2. 与分式有关的条件①分式有意义：分母不为0（0B ≠） ②分式无意义：分母为0（0B =） ③分式值为0：分子为0且分母不为0（⎩⎨⎧≠=0B A ）④分式值为正或大于0：分子分母同号（⎩⎨⎧>>00B A 或⎩⎨⎧<<00B A ）⑤分式值为负或小于0：分子分母异号（⎩⎨⎧<>00B A 或⎩⎨⎧><0B A ）⑥分式值为1：分子分母值相等（A=B ）⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0）3. 分式的基本性质分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
字母表示：C B C ••=A B A ，CB C÷÷=A B A ，其中A 、B 、C 是整式，C ≠0。
拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即BB A B B --=--=--=AA A 注意：在应用分式的基本性质时，要注意C ≠0这个限制条件和隐含条件B ≠0。
4. 分式的通分与约分（1）分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。
注：分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定。
（2）最简公分母的定义：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。
（3）确定最简公分母的一般步骤：Ⅰ 取各分母系数的最小公倍数；Ⅱ 单独出现的字母（或含有字母的式子）的幂的因式连同它的指数作为一个因式； Ⅲ 相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最大的。
Ⅳ 保证凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取。
注意：分式的分母为多项式时，一般应先因式分解。
（4）分式的约分定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。
湘教版八年级数学第1章《分式》 知识清单
第1章分式1.1分式知识点1 分式的概念1.分式的定义:类似地，一个整式f 除以一个非零整式g（g 中含有字母），所得的商记作fg,把代数式f g叫作分式，其中f是分式的分子，g是分式的分母，g≠0. 分式的三要素：（1）形如fg的式子；（2）f为整式，g为非0整式；（3）分母g中含有字母2.分式与分数、整式的关系：（1）分式中分母含有字母，由于字母表示不同的数，因此分式比分数更具有一般性。
分数是分式中字母取特定值时的特殊情况. （2）分式与整式的根本区别是分式的分母中含有字母.知识点2 分式的值存在、不存在的条件1.分式的值存在（分式有意义）的条件：分式的分母表示除数，由于除数不能为0，因此分式的分母不能为即当g≠0时，分式fg才有意义.分式的分母不为0，并不是说分母中的字母不能为0，而是表示分母的整式的值不能为0.2.分式的值不存在（分式无意义）的条件：分式的分母为0，即g＝0时，分式fg无有意义.求法：当分式的值不存在时，根据分式中分母的值为0的条件转化为解方程问题.知识点3 分式的值为0的条件分式的值为0的条件：1.当分式的分子等于0且分母不等于0时，分式的值为0.即对于分式fg，当f＝0且g≠0时，fg=0.2.对于分式fg，常见的特殊分式值的情况讨论：（1）若fg的值为1，则f=g,且g≠0；反过来若f=g,且g≠0，则fg的值为1.（2）若fg的值为-1，则f=-g,且g≠0；反过来若f=-g,且g≠0，则fg的值为-1.知识点4 分式的基本性质1.分式的基本性质：（1）分式的分子与分母都乘同一个非零整式，所得分式与原分式相等，即对于分式fg，有fg=f·ℎg·ℎ(h≠0).（2）分式得分子与分母都除以他们的一个公因数，所得分式与原分式相等.3.分式的符号法则:分式的分子、分母与分式本身的符号，同时改变其中两个，分式的值不变.用字母表示如下：（1）fg = −f−g= −f−g=−−fg（2）−fg= −−f−g= −fg= f−g知识点5 分式的约分1.分式的约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去（即分子与分母都除以他们的公因式），叫作分式的约分.2.找公因式的方法：（1）当分子、分母都是单项式时，先找分子、分母系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂，它们的积就是公因式.（2）当分子、分母都是多项式时，先把多项式分解因式，再按（1）中的方法找公因式.3.约分的方法（1）若分式的分子、分母都是单项式，就直接约去分子、分母的公因式；（2）若分子或分母含有多项式，应先分解因式，再确定公因式并约去.4.最简分式分子与分母没有公因式的分式叫作最简分式.注意事项：①约分式针对分式的分子和分母整体进行的，而不是针对其中的某些项，因此约分前一定要确认分子和分母都是乘积形式；②约分一定要彻底，其结果必须是最简分式或整式；③注意发现分式的分子与分母的一些隐藏的公因式（如互为相反数的式子）④当分式的分子或分母的系数是负数时，可利用分式的基本性质，把负号提到分式的前面.1.2分式的乘法和除法知识点1分式的乘法1.分式的乘法运算法则：分式乘分式，把分子乘分子、分母乘分母分别作为积的分子、分母.即fg·uv= fugv2.法则的运用方法：（1）若分子、分母都是单项式，可直接利用乘法运算法则运算后再约分；（2）若分子、分母有多项式，可先对分子、分母因式分解，约分后，再进行乘法运算；（3）若分式乘整式，可把整式看成分母为1的“分式”进行运算. （4）运算的结果应为最简分式或整式.3.分式乘法运算的基本步骤：第一步：确定积的符号，写在积中分式的前面.第二步：运用法则，将分子与分母分别相乘，多项式要带扩号；第三步：约分，将结果化成最简分式或正式.知识点2 分式的除法1.分式的除法运算法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即f g÷ u v= f g× v u=fv gu（u ≠0）.2. 法则的运用方法：（1）分式的除法需转化成乘法，再利用分式乘法运算法则计算； （2）当除式是整式时，可以将整式看成分母是1的“分式”进行运算.3.分式除法运算的基本步骤：第一步：将分子、分母是多项式的进行因式分解，并约分； 第二步：将除法转化成乘法；第三步：利用分式的乘法运算法则计算。
第一章 分式
第一章 分 式知识结构与要点：★★★1、分式的概念一般地，如果f 、g 分别表示两个整式，并且g 中含有字母，那么代数式f g叫分式。
注意：分母一定含有字母。
（1）分式的判断例1 判断下列各式哪些是整式，哪些是分式？9x+4, x 7 , 209y +, 54-m , 238yy -，xxy x ，91- （2）分式有意义的条件（分母不等于零） 例2 当x 取什么值时，分式223x x --（1）无意义，（2）有意义。
（3）分式的值为零的条件（分子为零，分母不等于零） 例3 求分式56x x -+的值，（1）x=3, (2)x=25-⎧⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎧⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩分式的概念约分分式的性质通分分式的符号变号法则分式乘除法分式的运算乘方加减法分式方程的解法分式方程分式方程的应用★★★2 分式的基本性质分式的分子和分母都乘以或除以一个相同的非零多项式，分式值不变。
分式的分子与分母约去公因式，分式的值不变。
用式子表示为：设0≠h ,则f f hg g h⋅=⋅。
（1） 分式的约分---约去分子分母的公因式而把分式化简例4 把下列分式中分子分母的公因式约去（1）4322016xyy x -；（2）44422+--x x x✔✔方法总结：先要找到公因式，然后把分子分母分别写成公因式乘以一个适当的式子。
如果分子分母是多项式，还要注意先分解因式，再找公因式。
练一练：把下列分式中分子分母的公因式约去（1）)(3)(2b a b b a a ++-； （2）32)()(a x x a --； （3）y xy x 242+-.（2）分式符号的变换：分式的分子、分母、分式本身三个符号任意改变两个，值不变。
例5．不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号.(1) 233ab y x -- (2) 2317b a --- （3) 2135x a -- (4) m b a 2)(--★★★★3分式的运算 （1）分式的乘除法则分式乘分式，把分子乘分子，分母乘分母，分别作为积的分子、分母，然后约去分子、分母的公因式。
第1部分 第1章 第4节 分式
第四节分式知识点考点分值考频等级考查难度常见题型分式分式的有关概念3～4分☆☆☆易选择题、填空题分式有意义、无意义的条件3～4分☆☆☆☆☆易选择题、填空题分式的基本性质3～4分☆☆☆易选择题、填空题分式的有关运算3～6分☆☆☆☆☆易、中选择题、填空题、解答题考点一：分式的有关概念核心点拨1．分式定义：一般地，形如AB(A，B是整式，且B中含有字母)的式子叫做分式．其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母．判断分式的关键：看分母是否有字母．考点二：分式有意义、无意义的条件核心点拨2．分式有无意义的条件(1)分式有意义的条件：分母不等于0．分式是否有意义，关键是看分母：分母为0，则无意义，反之有意义．(2)分式无意义的条件：分母等于0．(3)分式值等于0的条件：①分子等于0，②分母不等于0．分式是否有意义，关键是看分母：分母为0，则无意义，反之有意义．考点三：分式的基本性质核心点拨3．分式的基本性质(1)基本性①语言叙述：分式的分子与分母都乘(或除以)同一个不等于分式的基本性质是分式约分和通分的理论基础．示：a b ±c b ＝a ±cb ．②异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减．用式子表示：a b ±d c ＝ac bc ±bdbc ＝ac ±bd bc ．1 分式有意义及分式的值为0的条件 基础点考向1| 分式有意义的条件(2022·新泰月考)要使分式1x ＋2有意义，x 的取值应满足( ) A ．x ≠0 B ．x ≠－2 C ．x ≥－2D ．x >－2根据分母不等于0，求x 的取值范围． B 解析：∵ 分式1x ＋2有意义， ∴ x ＋2≠0． ∴ x ≠－2．故选B ．1－1 (2022·泰山区模拟)若分式13－x有意义，则x 的取值范围是________． x ≠3 解析：∵ 3－x ≠0， ∴ x ≠3．故答案为x ≠3．考向2| 若分式的值为0的条件若分式x 2－4x ＋2的值为0，则( )A ．x ＝－2B ．x ＝±2C ．x ＝2D ．x ＝0分子等于0，且分母不等于0．C 解析：x 2－4x ＋2＝0，即x 2－4＝0且x ＋2≠0，得x ＝±2，且x ≠－2，所以x＝2．故选C ．2－1 (2022·北部湾经济区)当x ＝________时，分式2xx ＋2的值为零．0 解析：由题意得2x ＝0，且x ＋2≠0，解得x ＝0． 故答案为0．2 最简分式 基础点 下列分式中，最简分式是( )A ．x 2－1x 2＋1B ．x ＋1x 2－1C ．x 2－2xy ＋y 2x 2－xyD ．x 2－362x ＋12(1)分子、分母能因式分解的先因式分解； (2)观察分子、分母是否有公因式．A 解析：A ．x 2－1x 2＋1是最简分式，符合题意．B ．x ＋1x 2－1＝x ＋1(x ＋1)(x －1)＝1x －1，此项不是最简分式，不符题意． C ．x 2－2xy ＋y 2x 2－xy ＝(x －y )2x (x －y )＝x －yx ，此项不是最简分式，不符题意． D ．x 2－362x ＋12＝(x ＋6)(x －6)2(x ＋6)＝x －62，此项不是最简分式，不符题意．故选A ．3－1 (2022·岱岳区月考)下列分式属于最简分式的是( ) A ．6xy5x 2 B ．x －yy －xC ．x 2＋y 2x ＋yD ．x 2－9y 2x ＋3yC 解析：A ．原式＝6xy 5x 2＝6y5x ，不符合题意； B ．原式＝－1，不符合题意； C ．符合题意；D ．x 2－9y 2x ＋3y＝x －3y ，不符合题意．故选C ．3 分式的运算 能力点考向1| 分式的乘除(2022·宁阳检测)化简⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a －1÷a 2a 2－1的结果是( )A ．a ＋1B ．a ＋1aC ．a －1aD ．a ＋1a 2(1)先通分再因式分解，变除法为乘法；(2)分子、分母约分．B解析：原式＝a－1＋1a－1·(a＋1)(a－1)a2＝aa－1·(a＋1)(a－1)a2＝a＋1a．故选B．4－1(2022·东平月考)化简x2－1x÷(1－1x)的结果为()A．x＋1 B．x－1 xC．x D．1 xA解析：原式＝(x＋1)(x－1)x÷x－1x＝(x＋1)(x－1)x·xx－1＝x＋1．故选A．考向2| 分式的加减(2022·新泰模拟)化简a2a－1－a－1的结果是( )A．1a－1B．－1a－1C．2a－1a－1D．－2a－1a－1(1)把－a－1看成－a＋11，再通分；(2)按照同分母分式的减法法则运算．A 解析：a 2a －1－a －1＝a 2－a 2＋1a －1＝1a －1．故选A ．5－1 (2022·山西)化简1a －3－6a 2－9的结果是( ) A ．1a ＋3B ．a －3C ．a ＋3D ．1a －3A 解析：1a －3－6a 2－9＝a ＋3(a ＋3)(a －3)－6(a ＋3)(a －3)＝a ＋3－6(a ＋3)(a －3)＝a －3(a ＋3)(a －3)＝1a ＋3．故选A ． 5－2 (2022·怀化)计算x ＋5x ＋2－3x ＋2＝__________．1 解析：x ＋5x ＋2－3x ＋2＝x ＋5－3x ＋2＝x ＋2x ＋2＝1． 故答案为1．考向3| 分式的混合运算(2021·滨州)计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 2－4x ＋4－x ＋2x 2－2x ÷x －4x －2．(1)将括号内的式子通分；(2)将括号外的除法转化为乘法，再约分． 答案：－1x 2－2x解析：原式＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x －1(x －2)2－x ＋2x (x －2)·x －2x －4＝x 2－x －x 2＋4x (x －2)2·x －2x －4＝－(x －4)x (x －2)·1x －4＝－1x 2－2x．6－1 (2021·济宁)计算a 2－4a ÷⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1－5a －4a 的结果是( ) A ．a ＋2a －2B ．a －2a ＋2C ．(a －2)(a ＋2)a D ．a ＋2aA 解析：原式＝a 2－4a ÷[a (a ＋1)－(5a －4)a ]＝(a ＋2)(a －2)a ÷a 2＋a －5a ＋4a＝(a ＋2)(a －2)a ·a(a －2)2 ＝a ＋2a －2．故选A ．1．分数线除了具有除法的作用，还具有括号的作用．进行分式的加减时，通分后，要把每个分式的分子添上括号，再进行加减，这样可避免出现符号错误．2．分式与整式加减时，可把整式看作是分母是1的式子． 3．最后的结果要化成最简分式，并且不带括号．4 分式的化简求值 综合点例 7 (2021·威海)先化简⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－1a －3－a －1÷a ＋1a 2－6a ＋9，然后从－1,0,1,3中选一个合适的数作为a 的值代入求值．(1)小括号内进行通分，对多项式进行因式分解； (2)除法转化为乘法，化简约分；(3)由分式有意义的条件得到a 的取值，代入求值． 答案：2a －6 －4或－6解析：原式＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 2－1a －3－(a ＋1)÷a ＋1(a －3)2 ＝a 2－1－(a ＋1)(a －3)a －3·(a －3)2a ＋1＝2(a ＋1)a －3·(a －3)2a ＋1＝2(a －3)＝2a －6．∵ a ＝－1或3时，原式无意义，∴ a 只能取1或0． 当a ＝1时，原式＝2－6＝－4； 当a ＝0时，原式＝0－6＝－6．7－1 (2022·肥城模拟)先化简，再求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1－3a －1÷a 2＋4a ＋4a －1，其中a＝tan 45°＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1－π0．答案：a －2a ＋20 解析：(a ＋1－3a －1)÷a 2＋4a ＋4a －1＝(a 2－1a －1－3a －1)÷(a ＋2)2a －1＝a 2－4a －1÷(a ＋2)2a －1 ＝(a ＋2)(a －2)a －1·a －1(a ＋2)2＝a －2a ＋2．∵ a ＝tan 45°＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1－π0＝1＋2－1＝2， ∴ 原式＝a －2a ＋2＝2－22＋2＝0．分式命题点1| 分式的相关概念1．(2022·怀化)代数式25x ，1π，2x 2＋4，x 2－23，1x ，x ＋1x ＋2中，属于分式的有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个B 解析：分母中含有字母的是2x 2＋4，1x ，x ＋1x ＋2，∴ 分式有3个．故选B ．2．(2022·肥城检测)要使分式1x ＋2有意义，x 的取值应满足( ) A ．x ≠0 B ．x ≠－2 C ．x ≥－2 D ．x ＞－2B 解析：要使分式1x ＋2有意义， 则x ＋2≠0．解得x ≠－2．故选B ． 3．(2021·桂林)若分式x －2x ＋3的值等于0，则x 的值是( ) A ．2B ．－2C．3D．－3A解析：∵x－2x＋3＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x－2＝0，x＋3≠0.解得x＝2．故选A．4．若ab＝13，则分式ab－a的值为______．12解析：∵ab＝13，∴b＝3a．∴ab－a＝a3a－a＝a2a＝12．故答案为12．命题点2| 分式的基本性质1．(2022·北京)若x，y的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是()A．2＋xx－yB．2xx－yC．2＋xxy D．x2x＋yB解析：A．2＋3x3x－3y≠2＋xx－y，不符合题意．B．2×3x3x－3y＝2xx－y，符合题意．C．2＋3x3x×3y≠2＋xxy，不符合题意．D．(3x)23x＋3y≠x2x＋y，不符合题意．故选B．2．(2022·东平模拟)将分式5m2x210mx2约分时，分子分母同时除以()A．5m B．5mxC．mx D．5mx2D解析：5m2x2和10mx2的公因式为5mx2．故选D．3．(2022·宁阳检测)化简1－xx2－1的结果是()A．－1x＋1B．1x－1C．1x＋1D．11－xA解析：1－xx2－1＝－(x－1)(x＋1)(x－1)＝－1x＋1．故选A．4．下列分式中是最简分式的是()A．a2－b2a＋bB．1510xC．4ab10a2D．xx＋yD解析：A．a2－b2a＋b＝(a＋b)(a－b)a＋b＝a－b，故此选项不是最简分式；B．1510x＝32x，故此选项不是最简分式；C．4ab10a2＝2b5a，故此选项不是最简分式；D．xx＋y的分子与分母没有公因式，故此选项是最简分式．故选D．命题点3| 分式的有关运算1．(2021·贵阳)计算xx＋1＋1x＋1的结果是()A．xx＋1B．1x＋1C．1D．－1C解析：xx＋1＋1x＋1＝x＋1x＋1＝1．故选C．2．(2022·山西)化简1a－3－6a2－9的结果是()A ．1a ＋3B ．a －3C ．a ＋3D ．1a －3 A 解析：1a －3－6a 2－9 ＝a ＋3(a ＋3)(a －3)－6(a ＋3)(a －3) ＝a ＋3－6(a ＋3)(a －3)＝a －3(a ＋3)(a －3) ＝1a ＋3．故选A ． 3．(2022·新泰检测)计算(a －1b )÷(1a －b )的结果是( )A ．－a bB ．a bC ．－b aD ．b aA 解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1b ÷⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＝ab －1b ÷1－ab a ＝ab －1b ·a －(ab －1)＝－a b ．故选A ． 4．(2022·自贡)化简：a －3a 2＋4a ＋4·a 2－4a －3＋2a ＋2＝________． a a ＋2 解析：a －3a 2＋4a ＋4·a 2－4a －3＋2a ＋2＝a －3(a ＋2)2·(a ＋2)(a －2)a －3＋2a ＋2＝a －2a ＋2＋2a ＋2＝a a ＋2．故答案为aa＋2．5．(2021·沈阳)化简：(1x－4－8x2－16)·(x＋4)＝________．1解析：(1x－4－8x2－16)·(x＋4)＝[x＋4(x＋4)(x－4)－8(x＋4)(x－4)]·(x＋4)＝x－4(x＋4)(x－4)·(x＋4)＝1．故答案为1．6．(2021·包头)化简：(2mm2－4＋12－m)÷1m＋2＝______．1解析：(2mm2－4＋12－m)÷1m＋2＝[2m(m＋2)(m－2)－m＋2(m＋2)(m－2)]÷1m＋2＝1m＋2·(m＋2)＝1．故答案为1．。
1.1.1分式的概念
f 且g中含有字母，那么代数式 g 叫做 分式 ，
分母 分子 其中f是分式的 ，g是分式的 ,且g≠0.
一个代数式是分式的两个必要条件: (1)分子与分母都是整式; (2)分母必须含有字母。
小试牛刀
下列代数式哪些是分式？哪些是整式？
x 3 x 1 a a b 5 , , , , , , 2a x 1 a 3 5 a b
新课导入
1.把3个大小一样的苹果分给4位小朋友，每 位小朋友能分到多少个苹果？像这个问题 用算术式子表示的话就是 3÷4 ，如果用 3 分数来表示的话就是 4 ，这个数叫做 分数。 2.像
3 x4 , , … 这样的代数式 a x
叫做什么呢？这就是我们这节课所学的内容。
自主学习
P2-3
自主学习
2k 2k 1
。（用含k 的代数式表示）
课堂小结
这节课你学到了什么？
作业：P6T1 P7T2
3x 1 3.求下列条件下分式 2 x 1 的值：
1 （1）x= ; 2
(2)x= -3
.
2 4.填空：（1）若分式 有意义，则a的取值范围 a 1
是 。
x 1 （2）若 x 2 的值为0，则x=
2.分式无意义的条件是 分母等于零 ；
3.分式的值为零的条件是 分子等于零，分母不等于零 。
例1
x2 当x取什么值时，分式 2 x 3 （1）有意
义；（2)无意义？（3）分式的值为0.
解：（1)当2x-3≠0,
3 该分式有意义。 即x≠Βιβλιοθήκη 2 时，（2）当2x-3=0,
3 即x= 时， 该分式无意义. 2
2
八年级数学上册第1章分式1.1分式第1课时分式的概念教案湘教版
第1章分式1。
1 分式第1课时分式的概念【知识与技能】1.了解分式的概念，明确分式和整式的区别。
2。
使学生能够求出分式有意义的条件.【过程与方法】让学生经历用字母表示实际问题中数量关系的过程,体会分式是表示现实世界中的一类量的数学模型。
【情感态度】培养学生观察、归纳、类比的思维,让学生学会自主探索,合作交流。
【教学重点】理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件.【教学难点】能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件。
一、情景导入，初步认知下列式子中哪些是整式？【教学说明】因为分式概念的学习是学生通过观察，比较分式与整式的区别从而获得的，所以必须熟练掌握整式的概念．二、思考探究,获取新知 1.思考：(1）某长方形画的面积为Sm 2，长为8m ，则它的宽为____m. (2）某长方形画的面积为Sm 2，长为xm ，则它的宽为____m 。
(3）如果两块面积为x 公顷，y 公顷的稻田，分别产稻谷akg ，bkg,那么这两块稻田平均每公顷产稻谷_____kg.【教学说明】要给学生一定的思考时间,让学生积极投身于问题情景中，根据学生的情况，教师可以给予适当的提示和引导.2.讨论内容：前面出现的代数式如下,它们有什么共同特征？它们与整式有什么不同？【教学说明】让学生通过观察、归纳、总结出整式与分式的异同，从而得出分式的概念．【归纳结论】 一般地，一个整式f 除以一个非零整式g （g中含有字母)所得的商记作f g ,那么代数式f g 叫做分式．3.当x 取什么值时,分式223x x --的值满足下列条件:(1）不存在；（2)等于0。
解：（1）当分母2x-3=0时，即x=32时，分子的值为32－2≠0，因此x=32时,分式223x x --的值不存在。
（2）当x —2=0，即x=2时，分式223x x --的值等于0。
【教学说明】让学生通过观察，归纳、总结出整式与分式的异同,从而得到分式的概念。
三、运用新知，深化理解1.下列各式中，哪些是整式？哪些是分式?解：(2）、（4)是整式，（1）、(3）是分式． 2.若分式13x -有意义，则x 的取值范围是（ ）A.x ≠3 B 。
1.分式的概念
巩固概念
判断下列代数式是否为分式
（1） 2x y
是
（2）
x 1 (x 1)2
是
否 （3）x2 2
4
（4）
x
4
否
（5）1 1 是 （6） 5 否
x
4
关于分式的几点说明
整式和分式统称有理式。
分数线有除号和括号的作用，如：
x1 x3
可表示为（x -1) ÷ (x -3) .
想一想
分式的分母可以为零吗? 为什么？
分式是两个整式相除的商式。 对于任意一个分式，分母都不为零。
1、分式分母中的字母原本可以代替任 何数的，当这些字母表示某一具体数时， 分式就表示一个分数。
2、当分数分母为0时，无意义。
所以分式的分母不能为0，否则分式无 意义。
也就是说，分母非零分式才有意义。
例1
当x取何值时，分式
x2
2、当a满足____________时，3aa2
5 1
的值为非负数？
3、当y满足____________时，2|yy|1 的值为非正数？
5、若
6 1 m
的值为正整数，求整数m的值。
小结
• 本节阐述了分式的定义，要求掌握根 据定义判断代数式是为分式。
• 掌握分式有意义的条件，明白未知数 取何值时分式有意义。
x
来表示。
60
60÷(x-6)可以用式子
x 6来表示。
(2) n公顷麦田共收小麦m吨,
m
平均每公顷产量可以用式子 n 吨来表示.
3、甲、乙两人做某种机器零件。已知甲 每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时 间与乙做60个所用的时间相等。求甲、 乙每小时各做多少个？
第1讲 分式的意义和基本性质(精品)
第十章 第1讲 分式知识精要(一)分式的意义 1.分式的概念两个整式B A 、相除，可以表示为B A .如果B 中含有字母，那么BA叫做分式，A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母.当B 为非零常数时，BA是整式，整式和分式统称为有理式.分式有无意义的条件：由于分式的分母表示除数，而除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当0≠B 时，分式B A 才有意义.或者说当0=B 时，分式BA没有意义.2.分式的值分式值为零的条件：分子为零，且分母不为零，注意是“同时”. (二)分式的基本性质 3.分式的基本性质分式的分子与分母同乘以(或除以)一个不等于0的整式，分子的值不变，即 N B NA MB M A B A ÷÷=⨯⨯= 其中N M 、为整式，且000≠≠≠N M B 、、. 4.约分根据分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去的过程，叫做分式的约分. 5.最简分式如果一个分式的分子与分母没有相同的因式(1除外)，那么这个分式叫做最简分式.化简分式时，如果分式的分子和分母都是单项式，约分时约去它们系数的最大公因数，相同因式的最低次幂。
如果分子、分母是多项式，先分解因式，再约分。
化简分式时，要将分式化成最简分式或整式。
6.通分利用分式的基本性质，把几个异分母的分式化成同分母的分式，叫做分式的通分。
经典题型精讲 (一)分式的意义例1.下列代数式中，哪些是分式?哪些是整式?21x +π，3122+-+x x x ，y x 322-，y x y x +-23，y x x -2，532+m .例2.当x 取什么值时，下列分式有意义?(1)23+x x (2)34-x (3)3422++x x x (4)43622-+-x x x (5)2432+-x x (6)121--+x x例3.分式22yx yx +-有意义的条件是( ) A .0≠xB .0≠yC .0≠x 或0≠yD .0≠x 且0≠y例4.当x 为何值时，下列分式的值为零?(1)22+-x x (2)392--x x (3)65)32(222+---x x x x (4)1322--+x x x例5.(1)当21-=a 时，求分式1242-+a a 的值.(2)若y x 43=)0(≠y ，求2222y y x -的值.(3)已知432zy x ==，且0≠xyz ，求分式222z y x zx yz xy ++++的值.例6.(1)当x ___________时，分式652-+-x x x 有意义； (2)当x ___________时，分式4162+-x x 的值为0；(3)当x ___________时，分式122+-x x 的值为负数； (4)当x ___________时，分式122--x x 的值为正数.例7.设32<<x ，则=+--+--xxx x x x 3322_________．例8.已知054222=++-+y x y x ，则=+xy 14_________．例9.某种长途电话的收费如下：接通电话的第一分钟收费a 元，之后的每一分钟收费b 元。
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的形式，
若分母中含有字
母，那么 A 叫做
分式。 B
分母≠0
①分子=0 ②代入分母≠0 ③最后答案
讨论：
若分式
| x | 3 x2 2x 3
的值为0，则x的值是多少？
解： ① |x|－3 = 0
|x| = 3 ∴x =±3 ②把x= - 3 代入，分母为0，分式没有意义 把x=3代入，分母等于12≠0 . ∴当x = 3时，此分式值为0。
课后作业： 书 P5-6 习题16.1 第1、2、3题
5、当y取什么值时,分式 1 y2 值为负？
6、x取什么值时，分式 x 1 的值为正？
3x 2
1、我们学习了什么新知识？ 2、你有什么收获？ 3、本节课你的最大疑惑是什么？
小结 分式
（1）分式有意义条件:分母不为0； （2）分式无意义条件:分母为0； （3）分式值为0条件:分子为0且分母不为0； （4）分式值为正(负)数条件:分子分母同号时，分 式值为正；分子分母异号时，分式值为负
(2)分式的分子可以含有字母，也可以不含有字母， 但分母必须含有字母
(3)分式分母的值不能为零．如果分母的值为零， 那么分式就无意义．
例2 (1)当x为何值时,分式 x 有意义? x 1
(2)当x为何值时,分式 x 2 有意义? 2x 3
要使分式有意义，必须且只须分母不等于零。
(1) 分母 x 1 0 , 即 x 1.
有理式
多项式
分式
到本节课,我们一共学习了哪些 代数式呢?请同学们讨论一下!
整式和分式统称为有理式。
例1：下列代数式，哪些是整式？哪些是分式？
①
1 x2
,②
1 (x 5
y),③
3 ，④ 0,⑤
x
ab 1 , 2c
⑥ x y,⑦ x y ,⑧ 5x 1 ,⑨ 2x y ,⑩ 1 2,
2
2
3
a
⑾ a ,⑿ 1 (x y),⒀ 4
33
x
②④ ⑥⑦ ⑧ ⑨⑾ ⑿
①③⑤
⑩⒀
1、判断一个有理式是不是分式，
关键看是否符合下式：
A(整式) B(整式)
且B中含有字母,
B
0.
分母是否含字母
2、整式包括单项式和多项式，单个字母 或数字是单项式。
从分式的意义中，应注意以下三点：
(1)分式是两个整式相除的商，分数线可以理解 为除号，并含有括号的作用；
例4
2y 1 当y取什么值时，分式 4y - 1 的值是零？
解：①使得分式的值为0，则2y+1=0 ∴y = 1
②使得分式2有意义，则4y－1≠0 ∴y ≠ 1
4
∴当y = 1 时，此分式的值是零。
2
友情提示：
分式的定义 分式有意义 分式的值为0
整式A、B相除可
写为
A B
自主练习：
1、当x为何值时，代数式
x1 x 1 有意义？
2、当x为何值时，分式
x2 2 x1 x2 2 x1
无意义？
3、 x分别取哪些范围值时，下列分式值为0？
(2) (3) 1 x2 1 x 1
x2 4 x2
x2 2 x1 x2 2x3
4、当x为何值时， 12 的值为整数， x 1 y2
一、我们在小学学习分数时，把两个整数相
除，如2÷3，可表示为
2 3
的形式，并把
2 3
叫做
分数。类似地，如果用A、B表示两个整式，
A÷B可表示成
A B
的形式，若B中含有字母，
且B≠0，式子 A叫做分式。
B
分式的概念：即形如
A（A、B是整式，
B
且B中含有字母，B≠0）的式子叫分式。
二、代数式分类：
单项式 整式
第16章 分式
洪雅实验中学 代廷君
要装配30台机器，在装配好6台后，采用了新的技 术，工作效率提高了一倍，结果总共用了3天就完成了 任务。原来每天能装配多少台？
设原来每天能装配x台。
6 30 6 3 x 2x
两个整数相除,不能
整除时结果可用分
请你来ห้องสมุดไป่ตู้一填:
数表示,当两个整式
(1)面积为2平方米的长方形一边不长能3整米除,则时它,它的们另的一
所以， 当 x 1时， 分式 x 有意义。
(2)
分母
2
x
3
0
,
即
2x
x 1 3, x
3
.
2
所以， 当 x 3 时， 分式 x 2 有意义。
2
2x 3
例3 当x为何值时,分式 x 1 无意义? 3x 2
分母 3x 2 0 ,即3x 2 , x 2 . 3
2
商怎么表示呢?
边长为____3___米;
(2)面积为S平方米的长方形一边长a米,则它的另一 s
边长为___a____米;
a
(3)已知正方形的周长是 a cm，则一边的长是__4__cm，
a2
面积是___1_6___cm2； (4)一箱苹果售价P元,总重m千克,箱重n千克,则每
p
千克苹果的售价是_m___n__元.
所以， 当 x 2 时， 分式 x 1 无意义。
3
3x 2
请你来做一做：
1、当x为何值时，代数式 1有意义？
1 x
x 2
2
2、当x为何值时，分式 x 2有意1义？
x 1
1 x
3、当x为何值时，分式 x2 有1意义？
x 1
x 1
当x为何值时，上面这些代数式无意义呢?
分式的概念
问：在上面所列出的代数式中，哪些是整式？ 哪些不是？它们之间有什么区别？ 答：整式有①③④ ，整式的特点是分母不含字 母；②⑤，这两个代数式不同于前面学过的整 式，是两个分母含有字母的代数式．在实际应 用中，某些数量关系只用整式来表示是不够的， 因此，我们需要学习新的式子，以满足解决实 际问题的需求．