2015-2016学年海南省海南中学高一下学期期中考试数学试卷
海南省海南中学2015-2016学年高一数学下学期期中试卷(含解析)
2015-2016学年海南省海南中学高一(下)期中数学试卷一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的.)1.不等式x2<﹣2x+15的解集为()A.{x|﹣5<x<3}B.{x|x<﹣5}C.{x|x<﹣5或x>3}D.{x|x>3}2.若数列{a n}满足a n+1=,且a1=1,则a17=()A.12B.13C.15D.163.在△ABC中,a,b,c分别是A,B,C的对边,若==,则△ABC是()A.等边三角形B.锐角三角形C.任意三角形D.等腰直角三角形4.等差数列{a n}的前n项和为S n,若a2+a4+a6=12,则S7的值是()A.21B.24C.28D.75.已知a>b>c且a+b+c=0,则下列不等式恒成立的是()A.ab>bcB.ac>bcC.ab>acD.a|b|>|b|c6.在等比数列{a n}中T n表示前n项的积,若T5=1,则一定有()A.a1=1B.a3=1C.a4=1D.a5=17.已知x>y>0,则x+的最小值是()A.2B.3C.4D.98.设S n是等比数列{a n}的前n项和,,则等于()A. B. C. D.9.已知等比数列{a n}满足a n a n+1=4n,则其公比为()A.±4B.4C.±2D.210.△ABC各角的对应边分别为a,b,c,满足+≥1,则角A的范围是()A.(0,]B.(0,]C.[,π)D.[,π)11.已知a,b为正实数,且,若a+b﹣c≥0对于满足条件的a,b恒成立,则c的取值范围为()A. B.(﹣∞,3]C.(﹣∞,6]D.12.已知函数f(x)=m(x﹣2m)(x+m+3),g(x)=2x﹣2,若对于任一实数x,f(x)与g (x)至少有一个为负数,则实数m的取值范围是()A.(﹣4,﹣1)B.(﹣4,0)C.(0,)D.(﹣4,)二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.)13.等比数列,,,…前8项的和为.14.已知数列{a n}的前n项和为S n,且a1=1,a n+1=2S n,则数列{a n}的通项公式为.15.我舰在敌岛A处南偏西50°的B处,且A,B距离为12海里,发现敌舰正离开岛沿北偏西10°的方向以每小时10海里的速度航行.若我舰要用2小时追上敌舰,则其速度大小为海里/小时.16.关于x的不等式ax2﹣|x+1|+3a≥0的解集为(﹣∞,+∞),则实数a的取值范围是.三.解答题(本大题共6个小题,共70分)17.在△ABC中,角A、B,C所对的边为a,b,c,若(1)求角B的值;(2)求△ABC的面积.18.在数列{a n}中,.(Ⅰ)设,证明:数列{b n}是等差数列;(Ⅱ)求数列的前n项和S n.19.在△ABC中,三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且2bcosC=2a﹣c.(1)求角B;(2)若△ABC的面积S=,a+c=4,求b的值.20.阿海准备购买“海马”牌一辆小汽车,其中购车费用12.8万元,每年的保险费、汽油费约为0.95万元,年维修、保养费第一年是0.1万元,以后逐年递增0.1万元.请你帮阿海计算一下这种汽车使用多少年,它的年平均费用最少?21.已知f(x)=|ax﹣1|(a∈R),不等式f(x)>5的解集为{x|x<﹣3或x>2}.(1)求a的值;(2)解不等式f(x)﹣f()≤2.22.设S n是公差不为0的等差数列{a n}的前n项和,且S1,S2,S4成等比数列,a5=9.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)证明: ++…+<(n∈N*).2015-2016学年海南省海南中学高一(下)期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的.)1.不等式x2<﹣2x+15的解集为()A.{x|﹣5<x<3}B.{x|x<﹣5}C.{x|x<﹣5或x>3}D.{x|x>3}【考点】一元二次不等式的解法.【分析】把不等式化为(x+5)(x﹣3)<0,根据不等式对应方程的实数根为﹣5和3,写出解集即可.【解答】解:不等式x2<﹣2x+15可化为(x+5)(x﹣3)<0,且不等式对应方程的两个实数根为﹣5和3,所以该不等式的解集为{x|﹣5<x<3}.故选:A.2.若数列{a n}满足a n+1=,且a1=1,则a17=()A.12B.13C.15D.16【考点】数列递推式.【分析】a n+1=,可得a n+1﹣a n=,利用等差数列的通项公式即可得出.【解答】解:∵a n+1=,且a1=1,∴a n+1﹣a n=,∴数列{a n}是等差数列,公差为,则a17=1+×16=13.故选:B.3.在△ABC中,a,b,c分别是A,B,C的对边,若==,则△ABC是()A.等边三角形B.锐角三角形C.任意三角形D.等腰直角三角形【考点】正弦定理.【分析】根据正弦定理及条件即可得出sinB=cosB,sinC=cosC,于是B=C=,A=.【解答】解:∵由正弦定理得:,又==,∴sinB=cosB,sinC=cosC,∴B=C=,∴A=.∴△ABC是等腰直角三角形.故选:D.4.等差数列{a n}的前n项和为S n,若a2+a4+a6=12,则S7的值是()A.21B.24C.28D.7【考点】等差数列的性质;等差数列的前n项和.【分析】根据等差数列的性质由a2+a4+a6=12得到a4=4,然后根据等差数列的前n项和公式,即可得到结论.【解答】解:∵a2+a4+a6=12,∴a2+a4+a6=12=3a4=12,即a4=4,则S7=,故选:C.5.已知a>b>c且a+b+c=0,则下列不等式恒成立的是()A.ab>bcB.ac>bcC.ab>acD.a|b|>|b|c【考点】不等关系与不等式.【分析】a>b>c且a+b+c=0,可得a>0,c<0.再利用不等式的基本性质即可得出.【解答】解:∵a>b>c且a+b+c=0,∴a>0,c<0.∴ab>ac.故选:C.6.在等比数列{a n}中T n表示前n项的积,若T5=1,则一定有()A.a1=1B.a3=1C.a4=1D.a5=1【考点】等比数列的性质.【分析】由题意知T5=(a1q2)5=1,由此可知a1q2=1,所以一定有a3=1.【解答】解:T5=a1•a1q•a1q2•a1q3•a1q4=(a1q2)5=1,∴a1q2=1,∴a3=1.故选B.7.已知x>y>0,则x+的最小值是()A.2B.3C.4D.9【考点】基本不等式.【分析】由x+=x﹣y++y,利用基本不等式的性质求解即可.【解答】解:∵x>y>0,∴x+=x﹣y++y≥3•=3,当且仅当x=2,y=1时取等号,故x+的最小值是3,故选:B.8.设S n是等比数列{a n}的前n项和,,则等于()A. B. C. D.【考点】等比数列的前n项和;等比数列的性质.【分析】根据所给的前三项之和除以前六项之和,利用前n项和公式表示出来,约分整理出公比的结果,把要求的式子也做这种整理,把前面求出的公比代入,得到结果.【解答】解:∵∴s6=3s3∴3=∴1+q3=3,∴==故选B.9.已知等比数列{a n}满足a n a n+1=4n,则其公比为()A.±4B.4C.±2D.2【考点】等比数列的通项公式.【分析】由已知得q2===4, =4,由此能求出公比.【解答】解:∵等比数列{a n}满足a n a n+1=4n,∴q2===4,∴=4,∴q>0,∴q=2.故选:D.10.△ABC各角的对应边分别为a,b,c,满足+≥1,则角A的范围是()A.(0,]B.(0,]C.[,π)D.[,π)【考点】余弦定理.【分析】已知不等式去分母后,整理得到关系式,两边除以2bc,利用余弦定理变形求出cosA 的范围,即可确定出A的范围.【解答】解:由+≥1得:b(a+b)+c(a+c)≥(a+c)(a+b),化简得:b2+c2﹣a2≥bc,同除以2bc得,≥,即cosA≥,∵A为三角形内角,∴0<A≤,故选:A.11.已知a,b为正实数,且,若a+b﹣c≥0对于满足条件的a,b恒成立,则c的取值范围为()A. B.(﹣∞,3]C.(﹣∞,6]D.【考点】基本不等式.【分析】a+b=(a+b)()=(3++),利用基本不等式可求出a+b的最小值(a+b)min,要使a+b﹣c≥0对于满足条件的a,b恒成立,只要值(a+b)min﹣c≥0即可.【解答】解:a,b都是正实数,且a,b满足①,则a+b=(a+b)()=(3++)≥(3+2)=+,当且仅当即b=a②时,等号成立.联立①②解得a=,b=,故a+b的最小值为+,要使a+b﹣c≥0恒成立,只要+﹣c≥0,即c≤+,故c的取值范围为(﹣∞,+].故选A.12.已知函数f(x)=m(x﹣2m)(x+m+3),g(x)=2x﹣2,若对于任一实数x,f(x)与g (x)至少有一个为负数,则实数m的取值范围是()A.(﹣4,﹣1)B.(﹣4,0)C.(0,)D.(﹣4,)【考点】函数的零点与方程根的关系.【分析】f(x)与g(x)至少有一个为负数,则f(x)=m(x﹣2m)(x+m+3)<0在x≥1时恒成立,建立关于m的不等式组可得m的范围.【解答】解:∵g(x)=2x﹣2,当x≥1时,g(x)≥0,又∵∀x∈R,f(x)与g(x)至少有一个为负数,即f(x)<0或g(x)<0∴f(x)=m(x﹣2m)(x+m+3)<0在x≥1时恒成立所以二次函数图象开口只能向下,且与x轴交点都在(1,0)的左侧,即,解得﹣4<m<0;故选B二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.)13.等比数列,,,…前8项的和为.【考点】等比数列的前n项和.【分析】利用等比数列的前n项和公式求解.【解答】解:等比数列,,,…前8项的和:S8==.故答案为:.14.已知数列{a n}的前n项和为S n,且a1=1,a n+1=2S n,则数列{a n}的通项公式为.【考点】数列的概念及简单表示法.【分析】先看n≥2根据题设条件可知a n=2S n﹣1,两式想减整理得a n+1=3a n,判断出此时数列{a n}为等比数列,a2=2a1=2,公比为3,求得n≥2时的通项公式,最后综合可得答案.【解答】解:当n≥2时,a n=2S n﹣1,∴a n+1﹣a n=2S n﹣2S n﹣1=2a n,即a n+1=3a n,∴数列{a n}为等比数列,a2=2a1=2,公比为3,∴a n=2•3n﹣2,当n=1时,a1=1∴数列{a n}的通项公式为.故答案为:.15.我舰在敌岛A处南偏西50°的B处,且A,B距离为12海里,发现敌舰正离开岛沿北偏西10°的方向以每小时10海里的速度航行.若我舰要用2小时追上敌舰,则其速度大小为14 海里/小时.【考点】解三角形的实际应用.【分析】由题意推出∠BAC=120°,利用余弦定理求出BC=28,然后推出我舰的速度.【解答】解:依题意,∠BAC=120°,AB=12,AC=10×2=20,在△ABC中,由余弦定理,得BC2=AB2+AC2﹣2AB×AC×cos∠BAC=122+202﹣2×12×20×cos120°=784.解得BC=28.所以渔船甲的速度为=14海里/小时.故我舰要用2小时追上敌舰速度大小为:14海里/小时.故答案为:14.16.关于x的不等式ax2﹣|x+1|+3a≥0的解集为(﹣∞,+∞),则实数a的取值范围是[,+∞).【考点】其他不等式的解法.【分析】将不等式恒成立进行参数分类得到a≥,利用换元法将不等式转化为基本不等式的性质,根据基本不等式的性质求出的最大值即可得到结论.【解答】解:不等式ax2﹣|x+1|+3a≥0,则a(x2+3)≥|x+1|,即a≥,设t=x+1,则x=t﹣1,则不等式a≥等价为a≥==>0即a>0,设f(t)=,当|t|=0,即x=﹣1时,不等式等价为a+3a=4a≥0,此时满足条件,当t>0,f(t)==,当且仅当t=,即t=2,即x=1时取等号.当t<0,f(t)==≤,当且仅当﹣t=﹣,∴t=﹣2,即x=﹣3时取等号.∴当x=1,即t=2时,f max(t)==,∴要使a≥恒成立,则a,方法2:由不等式ax2﹣|x+1|+3a≥0,则a(x2+3)≥|x+1|,∴要使不等式的解集是(﹣∞,+∞),则a>0,作出y=a(x2+3)和y=|x+1|的图象,由图象知只要当x>﹣1时,直线y═|x+1|=x+1与y=a(x2+3)相切或相离即可,此时不等式ax2﹣|x+1|+3a≥0等价为不等式ax2﹣x﹣1+3a≥0,对应的判别式△=1﹣4a(3a﹣1)≤0,即﹣12a2+4a+1≤0,即12a2﹣4a﹣1≥0,(2a﹣1)(6a+1)≥0,解得a≥或a≤﹣(舍),故答案为:[,+∞)三.解答题(本大题共6个小题,共70分)17.在△ABC中,角A、B,C所对的边为a,b,c,若(1)求角B的值;(2)求△ABC的面积.【考点】正弦定理.【分析】(1)由A的度数求出sinA的值,再由a与b的长,利用正弦定理求出sinB的值,由a小于b,得到A小于B,利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数;(2)由A与B的度数,利用三角形的内角和定理求出C的度数,利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积.【解答】解:(1)∵a=2,b=6,A=30°,∴由正弦定理=得:sinB===,∵a<b,∴A<B,∴B=60°或B=120°;(2)当B=60°时,C=180°﹣30°﹣60°=90°,∴S△ABC=ab=×2×6=6;当B=120°时,C=180°﹣30°﹣120°=30°,∴S△ABC=absinC=×2×6×=3.18.在数列{a n}中,.(Ⅰ)设,证明:数列{b n}是等差数列;(Ⅱ)求数列的前n项和S n.【考点】数列的求和;等差关系的确定.【分析】(Ⅰ)依题意可求得b n+1=b n+1,由等差数列的定义即可得证数列{b n}是等差数列;(Ⅱ)可求得=3n﹣1,利用等比数列的求和公式即可求得数列的前n项和S n.【解答】解:(Ⅰ)由已知a n+1=3a n+3n得:b n+1===+1=b n+1,又b1=a1=1,因此{b n}是首项为1,公差为1的等差数列…(Ⅱ)由(1)得=n,∴=3n﹣1,…∴S n=1+31+32+…+3n﹣1==…19.在△ABC中,三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且2bcosC=2a﹣c.(1)求角B;(2)若△ABC的面积S=,a+c=4,求b的值.【考点】余弦定理;正弦定理.【分析】(1)已知等式利用正弦定理化简,利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式变形,根据sinC不为0求出cosB的值,即可确定出B的度数;(2)利用三角形面积公式列出关系式,将已知面积与sinB的值代入求出ac的值,利用余弦定理列出关系式,将cosB的值代入并利用完全平方公式变形,把a+c与ac的值代入即可求出b的值.【解答】解:(1)根据正弦定理化简2bcosC=2a﹣c,得:2sinBcosC=2sinA﹣sinC,即2sinBcosC=2sin(B+C)﹣sinC,整理得2sinCcosB=sinC,∵sinC≠0,∴cosB=,则B=;(2)∵△ABC的面积S=,sinB=,∴S=acsinB=,即ac=,∴ac=3,∵a+c=4,cosB=,∴由余弦定理得:b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣ac=(a+c)2﹣3ac=16﹣9=7,则b=.20.阿海准备购买“海马”牌一辆小汽车,其中购车费用12.8万元,每年的保险费、汽油费约为0.95万元,年维修、保养费第一年是0.1万元,以后逐年递增0.1万元.请你帮阿海计算一下这种汽车使用多少年,它的年平均费用最少?【考点】基本不等式在最值问题中的应用.【分析】由题意可得每年维修、保养费依次构成以0.1万元为首项,0.1万元为公差的等差数列,运用等差数列的求和公式,设汽车的年平均费用为y万元,则有y==1++0.05x(x>0),再由基本不等式即可得到所求最小值,及等号成立的条件.【解答】解:依题意知汽车每年维修、保养费依次构成以0.1万元为首项,0.1万元为公差的等差数列.因此汽车使用x年总的维修、保养费用为=0.05x(x+1)万元,设汽车的年平均费用为y万元,则有y==1++0.05x(x>0),由x>0,可得+0.05x≥2=1.6,当且仅当,即x=16时等号成立.则y≥2.6,当x=16时,取得最小值2.6.答:这种汽车使用16年时,它的年平均费用最少.21.已知f(x)=|ax﹣1|(a∈R),不等式f(x)>5的解集为{x|x<﹣3或x>2}.(1)求a的值;(2)解不等式f(x)﹣f()≤2.【考点】其他不等式的解法.【分析】(1)讨论a=0,a>0,a<0,由题意可得﹣3,2为|ax﹣1|=5的两根,运用绝对值不等式的解法,即可得到a=﹣2:(2)运用绝对值的含义,讨论x的范围可得或或,解不等式即可得到所求解集.【解答】解:(1)由|ax﹣1|>5,得到ax>6或ax<﹣4,当a=0时,不等式无解.当a<0时,或.由题意可得﹣3,2为|ax﹣1|=5的两根,则,解得a=﹣2.当a>0时,或.故,此时a无解.综上所述,a=﹣2.(2)f(x)=|﹣2x﹣1|,f(x)﹣f()≤2,即为:|2x+1|﹣|x+1|≤2⇔或或,即﹣2≤x<﹣1或或.故原不等式的解集为{x|﹣2≤x≤2}.22.设S n是公差不为0的等差数列{a n}的前n项和,且S1,S2,S4成等比数列,a5=9.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)证明: ++…+<(n∈N*).【考点】数列的求和;等差数列的通项公式.【分析】(1)由等比中项可知及等差数列通项公式,即可求得{a n}的首项和公差,即可写出数列{a n}的通项公式;(2)根据等差数列的前n项和公式,当n=1,,显然成立,当n≥2,采用放缩法及裂项法即可证明++…+=<.【解答】解:(1)由题意知.设{a n}的公差为d,则,…解得:.∴a n=1+2(n﹣1)=2n﹣1,故数列{a n}的通项公式是a n=2n﹣1.…(2)证明:由(1)知…当n=1时,左边=,故原不等式显然成立.…当n≥2时,因为,∴,=,=,=,即.…综上所述,.…。
海南省海南中学2017-2018学年高一数学下学期期中试题(含答案)
海南省海南中学2017~2018学年下学期高一期中考试数学试题(总分:150分;总时量:120分钟)第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题(本大题共12道小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的)1、已知在数列{a n }中,a 1=2,a 2=5,且21n n n a a a ++=+,则5a =( ) A .13 B. 15 C .17 D .192、不等式(x +3)2<1的解集是( )A .{x |x <-2}B .{x |x <-4}C .{x |-4<x <-2}D .{x |-4≤x ≤-2} 3是任意实数,且a b >,则下列不等式成立的是( ). C. 22a b > D. 33a b > 4=10,A =60°,则sin B =( )A .6 B. 4.3 D .25、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若1353a a a ++=,则5S =( ). A. 5 B. 7 C.6、若关于x 的不等式的解集为()0,2,则实数m 的值是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 47、在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若A =π3,a =3,b =1,则c =( )A .1 B. 2 C .3-1 D. 38、已知a >0,b >0,a +b =2,则y =1a +4b的最小值是( )A. 72 B .4 C. 92D .5 9、中国古代词中,有一道“八子分绵”的数学名题:“九百九十六斤绵,赠分八子做盘缠,次第每人多十七,要将第八数来言”.题意是:把996斤绵分给8个儿子作盘缠,按照年龄从大到小的顺序依次分绵,年龄小的比年龄大的多17斤绵,那么第8个儿子分到的绵是( ) A. 174斤 B. 184斤 C. 191斤 D. 201斤10、设对任意实数[]1,1x ∈-,不等式230x ax a +-<恒成立,则实数a 的取值范围是( )B. 0a >C. 0a >或12a <-D.11、已知等比数列{a n }的前n 项和为S n)12、设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,则()t an A B -的最大值为( )第II 卷(非选择题,共90分)二、填空题(本大题共4道小题,每小题5分,共20分.)13、在△ABC 中,角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ,若a ∶b ∶c =3∶1∶1,则角A 的大小为____________14、不等式x +1x≤3的解集为__________________.15、数列{}n a 的通项公式为2141n a n =-,则其前n 项和为_______________.16、等差数列{}n a 中,前n 项和为n S ,10a <,170S <,180S >,则当n =________时,n S 取得最小值。
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海南省海南中学09—1高一下学期期中考试(数学)一.选择题(3*12=36分)1, 不等式21x x -+≤的解集是( )A .(1)(12]-∞--,, B .(12]-, C .(1)[2)-∞-+∞,, D .[12]-, 2,在△ABC 中,三边长AB=7,BC=5,AC=6,则AB BC ∙的值为( ) A 、19B 、-14C 、-18D 、-193, 等比数列{}n a 中,2321=++a a a ,4654=++a a a ,则=++121110a a a ( )A. 32B. 16C. 12D. 8 4, 若角α,β满足-2π<α<β<2π,则2α-β的取值范围是( )A .(-2π,0)B .(-π,π)C .(-π23,23π) D .(-2π,2π) 5, 若四个正数a ,b ,c ,d 成等差数列,x 是a 和d 的等差中项,y 是b 和c 的等比中项,则x 和y 的大小关系是 ( )A .x<yB .x>yC .x=yD .x ≥y6,在△ABC 中,C cB b A a cos cos cos == ,则△ABC 一定是( )A 直角三角形 ,B 钝角三角形,C 等腰三角形,D 等边三角形7, 设a+b<0,且b>0,则( )A .b2>a2>ab B.a2>b2>-ab C. a2<-ab<b2 D. a2>-ab>b28,如图:D,C,B 三点在地面同一直线上,DC=a,从C,D 两点测得A 点仰角分别是β,α(α<β),则A 点离地面的高度AB 等于 A( )A .)sin(sin sin αββα-aB .)cos(sin sin βαβα-⋅aC .)sin(cos sin αββα-aD .)cos(sin cos βαβα-a D C B9, 设{}n a 是等差数列,n S是其前n 项和,且56678,,S S S S S <=>则下列结论错误的是( )0.;A d <70.;B a =95.;C S S >6.D S 和7S 均为nS 的最大值10, 设x,y ∈R+且xy-(x+y)=1, 则( )A .x y +≥+221()B .xy ≤+21C .x y +≤+()212D .xy ≥+221()11,已知数列{}n a 的前n 项和5(n n S t t =+是实数),下列结论正确的是 ( )A .t 为任意实数,{}n a 均是等比数列 B .当且仅当1t =-时,{}n a 是等比数列 C .当且仅当0t =时,{}n a 是等比数列 D .当且仅当5t =-时,{}n a 是等比数列12, 某工厂去年的产值为P ,计划在5年内每年比上一年产值增长10%,则从今年起5年内该工厂的总产值为( )A.P )11.1(115-B.P )11.1(114-C.P )11.1(105-D.P )11.1(104-二.填空题(3*4=12分)13, 若三角形中有一个角为60°,夹这个角的两边的边长分别是8和5,则它的外接圆半径等于________.14,已知函数=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-++=a x x bx ax y 则的定义域为311|)1(log 22______b=______α15, 各项都是正数的等比数列{ }的公比q≠1,且 , , 成等差数列,则5443a a a a ++= 。
数学---海南省海口市海南中学2015-2016学年高一下学期期末考试
海南省海南中学2015-2016学年高一下学期期末考试第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的)1.三直线ax +2y +8=0,4x +3y =10,2x -y =10相交于一点,则a 的值是( ) A.-2 B.-1 C.0 D.12.已知互相垂直的平面交于直线l ,若直线m,n 满足,则( )A.B.C.D.3、设x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x +y -7≤0,x -3y +1≤0,3x -y -5≥0,则z =2x -y 的最大值为( )A .10B .8C .3D .2 4、体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球面的表面积为( ) A. B.C. D. 5.用斜二测画法画出水平放置的边长为1的正方形的直观图,则直观图的面积是( ) A.1 B.12C. 2D.46.已知直线l 1的方程是ax -y +b =0,l 2的方程是bx -y -a =0(ab ≠0,a ≠b ),则下列各示意图形中,正确的是( )7.若动点),(),(2211y x B y x A 、分别在直线1l :07=-+y x 和2l :05=-+y x 上移动,则AB 中点M 到原点距离的最小值为( ) A .23 B .32 C .33 D .2412π323π8π4π8.如图,在正方体ABCD - A 1B 1C 1D 1中,点O 为线段BD 的中点,直线OC 与平面A 1BD 所成的角为α,则sin α的值是( ) A.33 B.36 C.322 D.19、若不等式组03434x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域被直线43y kx =+分为面积相等的两部分,则k =( )A .31B .2C .37D .310、在封闭的直三棱柱ABC -A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球,若AB ⊥BC ,AB =6,BC =8,AA 1=3,则V 的最大值是( ) A.4π B.92π C.6π D.323π11.已知点()()2,3,3,2P Q -,直线20ax y ++=与线段PQ 相交,则实数a 的取值范围是( )A .2134<<-a B .2134≤≤-a C .3421-<>a a 或 D . 3421-≤≥a a 或12.在空间中,过点A 作平面π的垂线,垂足为B ,记)(A f B π=.设βα,是两个不同的平面,对空间任意一点P ,)]([)],([21P f f Q P f f Q βααβ==,恒有21PQ PQ =,则( )A .平面α与平面β垂直B .平面α与平面β所成的(锐)二面角为045C .平面α与平面β平行D .平面α与平面β所成的(锐)二面角为060第II 卷 (非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.) 13、某几何体的三视图如图所示(单位:cm ),则该几何体的表面积是______cm 2,体积是______cm 3.14、过点(1,2)且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程 ; 15、某公司计划2016年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告,广告总费用不超过9万元,甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分和200元/分,假定甲、乙两个电视台为该公司所做的广告,每分钟能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元.问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间,才能使公司的收益最大,最大收益是 .16、平面a 过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A ,a //平面CB 1D 1,平面ABCD =m ,平面AB B 1A 1=n ,则m ,n 所成角的正弦值为 _______________.三、解答题(本大题共6个小题,共70分)17、(本小题满分10分)如图,DC ⊥平面ABC ,//EB DC ,22AC BC EB DC ====,0120ACB ∠=,,P Q 分别为,AE AB 的中点.(1)证明://PQ 平面ACD ;(2)求AD 与平面ABE 所成角的正弦值.18、(本小题满分12分)已知两条直线l 1:x +my +6=0与l 2:(m -2)x +3y +2m =0,m 为何值时,1l 与1l(1)相交;(2)平行;(3)垂直a ⋂a⋂19、(本小题满分12分)如图组合体中,三棱柱的侧面是圆柱的轴截面,是圆柱底面圆周上不与、重合一个点.(1)求证:无论点如何运动,平面平面; (2)当点是弧的中点时,求四棱锥与圆柱的体积比.20、(本小题满分12分) 如图,矩形中,,,、分别为、边上的点,且,,将沿折起至位置(如图所示),连结、,其中(1) 求证:平面; (2) 求点到平面的距离.111ABC A B C -11ABB A C A B C 1A BC ⊥1A AC C AB 111A BCC B -5ABCD 12AB =6AD =E F CD AB 3DE =4BF =BCE ∆BE PBE ∆6AP PF PF =PF ⊥ABED A PBE21、(本小题满分12分)已知ABC ∆的顶点(1,3)A ,AB 边上的中线CM 所在直线方程为2320x y -+=,AC 边上的高BH 所在直线方程为2390x y +-=.求:(1)直线BC 的方程;(2)ABC ∆的面积.22.(本题满分12分)如图,在三棱台ABC DEF -中,已知平面BCFE 平面ABC ,90ACB ∠=︒,1BE EF FC ===,2BC =,3AC =,(1)求证:ACFD BF ⊥平面 (2)求二面角--B AD F 的余弦值.参考答案一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的.)二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.) 13、80cm 2,40cm 3. 14、032=-+=y x x y 或 15、70万元16、三.解答题(本大题共6个小题,共70分) 17、证明:(1) ,P Q 分别为,AE AB 的中点∴/PQ EB又 //EB DC∴/PQ CD又 ACD CD ACD PQ 面,面⊂⊄//PQ 平面ACD .....5分(2)连接DP ,CQ,由(1)知/PQ CD ,PQ=CD∴四边形DPQC 是平行四边形 ∴/DP CQ又 /PQ CD ,DC ⊥平面ABC∴PQ ⊥平面ABC∴PQ ⊥CQ又 2AC BC ==,Q 为AB 的中点∴CQ ⊥AB∴CQ ⊥平面ABE ∴DP ⊥平面ABE∴AP 是AD 在平面ABE 内的射影∴DAP ∠是AD 与平面ABE 所成角在1,5===∆CQ DP AD ADP Rt 中,∴sin DAP ∠.....10分 18、解:当0=m 时,06:1=+x l ,032:2=+-y x l ,此时1l 与2l 相交.....2分当0≠m 时,32,6,32,12121m b m b m k m k -=-=--=-= 若1l 与2l 相交, 13,321,21-≠≠--≠-≠m m m m k k 且解得即.....4分 若1l 与2l 平行,2121,b b k k ≠=且13,321,21-==--=-=m m m m k k 或解得即由 由3326,21±≠-≠-≠m m m b b ,解得即 1l 与2l 平行时,1-=m .....8分若1l 与2l 垂直,1-321,121=--⋅--=⋅)(即m m k k ,解得21=m .....10分综上,当13-≠≠m m 且时,1l 与2l 相交; 当1-=m 时,1l 与2l 平行;当21=m 时,1l 与2l 垂直......12分 19、解:(1)∵侧面是圆柱的的轴截面,是圆柱底面圆周上不与、重合一个点,∴又圆柱母线 平面, 平面,∴ , 又,∴ 平面,∵ 平面,∴平面平面;.....6分(2)设圆柱的底面半径为,母线长度为,当点是弧的中点时,三角形的面11ABB A C A B AC BC ⊥1AA ABC BC ABC 1AA BC 1AA AC A =BC 1A AC BC 1A BC 1A BC ⊥1A AC r h C ABABC积为,三棱柱的体积为,三棱锥的体积为,四棱锥的体积为, 圆柱的体积为, ∴四棱锥与圆柱的体积比为....12分 20、.....6分.....12分21、解:(1)设AC 边所在直线方程为320x y c -+=,依题意得31230c ⨯-⨯+=即3c =,即AC 边所在直线方程为3230x y -+=......2分解方程组32302320x y x y -+=⎧⎨-+=⎩得1x y =-⎧⎨=⎩即C (-1,0).....4分设点B 的坐标为00(,)x y 则点M 的坐标为0013(,)22x y ++, 依题意得0013232022x y ++⨯-⨯+=即002330x y --=——① 又002390x y +-=——②2r 111ABC A B C -2r h 1A ABC -213r h 111A BCC B -2221233r h r h r h -=2r h π111A BCC B -2:3π(1)(2)联立①②解得003 1x y =⎧⎨=⎩即B(3,1) .....6分由两点式直线BC的方程为即410x y-+=.....8分(2)BC==.....9分点A到直线BC的距离d==.....10分11522ABCS BC d∆===.....12分22.解:(I)延长DA,BE,CF相交于一点K,如图所示.因为平面CFB E⊥平面CAB,且C CA⊥B,所以,CA⊥平面CB K,因此,F CB⊥A.又因为F//CE B,F FC1BE=E==,C2B=,所以C∆B K为等边三角形,且F为C K的中点,则F CB⊥K.所以FB⊥平面CFDA......6分(II)过点F作FQ⊥AK,连结QB.因为FB⊥平面CA K,所以FB⊥AK,则AK⊥平面QFB,所以QB⊥AK.所以,QF∠B是二面角D FB-A-的平面角.在Rt C∆A K中,C3A=,C2K=,得FQ=.在Rt QF∆B中,FQ=,FB=cos QF∠B=.所以,二面角D FB-A-.....12分。
海南省海南中学2015-2016学年高二下学期期中数学试卷(理科)Word版含解析
2015-2016学年海南省海南中学高二(下)期中数学试卷(理科)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.把十进制的23化成二进制数是()A.00 110(2)B.10 111(2)C.10 1111(2)D.11 101(2)的方程为=)A.(1,0)B.(2,2)C.(,)D.(3,1)3.利用随机数表法对一个容量为500编号为000,001,002,…,499的产品进行抽样检验,抽取一个容量为10的样本,若选定从第12行第5列的数开始向右读数,(下面摘取了随机数表中的第11行至第15行),根据下图,读出的第3个数是()A.841 B.114 C.014 D.1464.某单位有840名职工,现采用系统抽样方法,抽取42人做问卷调查,将840人按1,2,…,840随机编号,则抽取的42人中,编号落入区间[481,720]的人数为()A.11 B.12 C.13 D.145.某算法的程序框图如图所示,如果输出的结果为5,57,则判断框内应为()A.k≤6?B.k≤5?C.k>5?D.k>4?6.对一批产品的长度(单位:毫米)进行抽样检测,如图为检测结果的频率分布直方图.根据标准,产品长度在区间[20,25)上为一等品,在区间[15,20)和[25,30)上为二等品,在区间[10,15)和[30,35]上为三等品.用频率估计概率,现从该批产品中随机抽取1件,则其为二等品的概率是()A.0.09 B.0.20 C.0.25 D.0.457.如图所示,样本A和B分别取自两个不同的总体,它们的样本平均数分别为、,样本标准差分别为S A,S B,则()A.>,S A>S B B.<,S A>S BC.>,S A<S B D.<,S A<S B8.执行如图所示的程序框图,若输出的S为4,则输入的x应为()A.﹣2 B.16 C.﹣2或8 D.﹣2或169.我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中,有5架歼﹣15飞机准备着舰.如果甲、乙两机必须相邻着舰,而丙、丁两机不能相邻着舰,那么不同的着舰方法有()A.12 B.18 C.24 D.4810.在()n的展开式中,只有第5项的二项式系数最大,则展开式的常数项为()A.﹣7 B.7 C.﹣28 D.2811.现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动,每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一,每项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车但能从事其他三项工作,丙丁戊都能胜任四项工作,则不同安排方案的种数是()A.152 B.126 C.90 D.5412.现有甲、乙、丙、丁四名义工到三个不同的社区参加公益活动.若每个社区至少一名义工,则甲、乙两人被分到不同社区的概率为()A.B.C.D.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.如图,在边长为1的正方形OABC中任取一点P,分数以O、B为圆心,半径为画圆弧,点P在两圆之外的概率为.14.已知x5=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+a3(1+x)3+a4(1+x)4+a5(1+x)5,则a0+a2+a4=.15.(必做题)为调查长沙市中学生平均每人每天参加体育锻炼时间(单位:分钟),按锻炼时间分下一列四种情况统计:①0~10分钟;②11~20分钟;③21~30分钟;④30分钟以上.有l0 000名中学生参加了此项活动,如图是此次调查中某一项的流程图,其输出的结果是6 200,则平均每天参加体育锻炼时间在0~20分钟内的学生的频率是.16.将5位志愿者分成3组,其中两组各2人,另一组1人,分赴世博会的三个不同场馆服务,不同的分配方案有种(用数字作答).三.解答题(本大题共6小题,共70分)17.甲、乙两艘轮船都要停靠在同一个泊位,它们可能在一昼夜内任意时刻到达,甲、乙两船停靠泊位的时间分别为4小时与2小时,求一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率.18.给出最小二乘法下的回归直线方程=x+系数公式:=,=﹣b,有如表的统计资料:(1)线性回归直线方程;(2)根据回归直线方程,估计使用年限为12年时,维修费用是多少?19.对甲、乙两名篮球运动员分别在100场比赛中的得分情况进行统计,做出甲的得分频率()估计甲在一场比赛中得分大于等于分的概率.(2)判断甲、乙两名运动员哪个成绩更稳定.(结论不要求证明)(3)试利用甲的频率分布直方图估计甲每场比赛的平均得分.20.从某学校高三年级共800名男生中随机抽取50名测量身高,测量发现被测学生身高全部介于155cm和195cm之间,将测量结果按如下方式分成八组:第一组[155,160)、第二组[160,165);…第八组[190,195],右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分,已知第一组与第八组人数相同,第六组、第七组、第八组人数依次构成等差数列.(1)估计这所学校高三年级全体男生身高180cm以上(含180cm)的人数;(2)求第六组、第七组的频率并补充完整频率分布直方图;(3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生,记他们的身高分别为x、y,求满足|x﹣y|≤5的事件概率.21.每年的三月十二日,是中国的植树节,林管部门在植树前,为保证树苗的质量,都会在植树前对树苗进行检测.现从甲、乙两批树苗中各抽测了10株树苗的高度,规定高于128厘米的为“良种树苗”,测得高度如下(单位:厘米)甲:137,121,131,120,129,119,132,123,125,133乙:110,130,147,127,146,114,126,110,144,146(Ⅰ)根据抽测结果,完成答题卷中的茎叶图,并根据你填写的茎叶图,对甲、乙两批树苗的高度作比较,写出对两种树苗高度的统计结论;(Ⅱ)设抽测的10株甲种树苗高度平均值为,将这10株树苗的高度依次输入按程序框图进行运算,(如图)问输出的S大小为多少?并说明S的统计学意义.22.某种产品的质量以其质量指标值衡量,质量指标值越大表明质量越好,且质量指标值大于或等于102的产品为优质品.现用两种新配方(分别称为A配方和B配方)做试验,各生产了100件这种产品,并测量了每件产品的质量指标值,得到下面试验结果:(2)已知用B配方生产的一件产品的利润y(单位:元)与其质量指标值t的关系式为y=估计用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率,并求用B配方生产的上述100件产品平均一件的利润.2015-2016学年海南省海南中学高二(下)期中数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.把十进制的23化成二进制数是()A.00 110(2)B.10 111(2)C.10 1111(2)D.11 101(2)【考点】进位制.【分析】利用“除k取余法”是将十进制数除以2,然后将商继续除以2,直到商为0,然后将依次所得的余数倒序排列即可得到答案.【解答】解:23÷2=11 (1)11÷2=5 (1)5÷2=2 (1)2÷2=1 01÷2=0 (1)故23(10)=10111(2).故选:B.的方程为=x)A.(1,0)B.(2,2)C.(,)D.(3,1)【考点】线性回归方程.【分析】求出、,根据线性回归方程一定经过样本中心点,即可得出结论.【解答】解:由题意可知n=6,=×(1+2+3+4+5+6)=,=×(0+2+1+3+3+4)=,根据线性回归方程一定经过样本中心点,所以l一定经过的点为(,).故选:C.3.利用随机数表法对一个容量为500编号为000,001,002,…,499的产品进行抽样检验,抽取一个容量为10的样本,若选定从第12行第5列的数开始向右读数,(下面摘取了随机数表中的第11行至第15行),根据下图,读出的第3个数是()A.841 B.114 C.014 D.146【考点】简单随机抽样.【分析】从随机数表12行第5列数开始向右读,最先读到的1个的编号是389,再向右三位数一读,将符合条件的选出,不符合的舍去,继续向右读取即可.【解答】解:最先读到的1个的编号是389,向右读下一个数是775,775它大于499,故舍去,再下一个数是841,舍去,再下一个数是607,舍去,再下一个数是449,再下一个数是983.舍去,再下一个数是114.读出的第3个数是114.故选B.4.某单位有840名职工,现采用系统抽样方法,抽取42人做问卷调查,将840人按1,2,…,840随机编号,则抽取的42人中,编号落入区间[481,720]的人数为()A.11 B.12 C.13 D.14【考点】系统抽样方法.【分析】根据系统抽样方法,从840人中抽取42人,那么从20人抽取1人.从而得出从编号481~720共240人中抽取的人数即可.【解答】解:使用系统抽样方法,从840人中抽取42人,即从20人抽取1人.所以从编号1~480的人中,恰好抽取=24人,接着从编号481~720共240人中抽取=12人.故:B.5.某算法的程序框图如图所示,如果输出的结果为5,57,则判断框内应为()A.k≤6?B.k≤5?C.k>5?D.k>4?【考点】程序框图.【分析】分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是利用循环计算k,S值并输出,模拟程序的运行过程,即可得到答案.【解答】解:模拟执行程序,可得:S=0,k=1S=1,不满足条件,执行循环体,可得:k=2,S=4,不满足条件,执行循环体,可得:k=3,S=11,不满足条件,执行循环体,可得:k=4,S=26,不满足条件,执行循环体,可得:k=5,S=57,满足条件,由题意,此时应该结束循环体并输出k,S的值为5,57,所以判断框应该填入的条件为:k>4?故选:D.6.对一批产品的长度(单位:毫米)进行抽样检测,如图为检测结果的频率分布直方图.根据标准,产品长度在区间[20,25)上为一等品,在区间[15,20)和[25,30)上为二等品,在区间[10,15)和[30,35]上为三等品.用频率估计概率,现从该批产品中随机抽取1件,则其为二等品的概率是()A.0.09 B.0.20 C.0.25 D.0.45【考点】古典概型及其概率计算公式;频率分布直方图.【分析】根据频率分布直方图,分别求出对应区间[15,20)和[25,30)上的频率即可.【解答】解:由频率分布直方图可知,对应区间[15,20)和[25,30)上的频率分别为0.04×5=0.20和0.05×5=0.25,∴二等品的频率为0.20+0.25=0.45.故从该批产品中随机抽取1件,则其为二等品的概率是0.45.故选:D.7.如图所示,样本A和B分别取自两个不同的总体,它们的样本平均数分别为、,样本标准差分别为S A,S B,则()A.>,S A>S B B.<,S A>S BC.>,S A<S B D.<,S A<S B【考点】用样本的数字特征估计总体的数字特征;频率分布折线图、密度曲线;极差、方差与标准差.【分析】从图形中可以看出样本A的数据均不大于10,而样本B的数据均不小于10,由图可知A中数据波动程度较大,B中数据较稳定,得到结论.【解答】解:∵样本A的数据均不大于10,而样本B的数据均不小于10,显然<,由图可知A中数据波动程度较大,B中数据较稳定,∴s A>s B.故选:B.8.执行如图所示的程序框图,若输出的S为4,则输入的x应为()A.﹣2 B.16 C.﹣2或8 D.﹣2或16【考点】程序框图.【分析】算法的功能是求S=的值,分当x≤1时和当x>1时两种情况,求输出S=4时的x值.【解答】解;由程序框图知:算法的功能是求S=的值,当x≤1时,输出的S=4⇒2﹣x=4⇒x=﹣2;当x>1时,输出的S=4⇒log2x=4⇒x=16.故选:D.9.我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中,有5架歼﹣15飞机准备着舰.如果甲、乙两机必须相邻着舰,而丙、丁两机不能相邻着舰,那么不同的着舰方法有()A.12 B.18 C.24 D.48【考点】排列、组合及简单计数问题.【分析】分两大步:把甲、乙看作1个元素和戊全排列,调整甲、乙,共有种方法,再把丙、丁插入到刚才“两个”元素排列产生的3个空位种,有种方法,由分步计算原理可得答案.【解答】解:把甲、乙看作1个元素和戊全排列,调整甲、乙,共有种方法,再把丙、丁插入到刚才“两个”元素排列产生的3个空位种,有种方法,由分步计算原理可得总的方法种数为:=24故选C10.在()n的展开式中,只有第5项的二项式系数最大,则展开式的常数项为()A.﹣7 B.7 C.﹣28 D.28【考点】二项式系数的性质.【分析】利用二项展开式的中间项的二项式系数最大,列出方程求出n;利用二项展开式的通项公式求出通项,令x的指数为0求出常数项.【解答】解:依题意, +1=5,∴n=8.二项式为()8,其展开式的通项令解得k=6故常数项为C86()2(﹣)6=7.故选B11.现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动,每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一,每项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车但能从事其他三项工作,丙丁戊都能胜任四项工作,则不同安排方案的种数是()A.152 B.126 C.90 D.54【考点】排列、组合的实际应用.【分析】根据题意,按甲乙的分工情况不同分两种情况讨论,①甲乙一起参加除了开车的三项工作之一,②甲乙不同时参加一项工作;分别由排列、组合公式计算其情况数目,进而由分类计数的加法公式,计算可得答案.【解答】解:根据题意,分情况讨论,①甲乙一起参加除了开车的三项工作之一:C31×A33=18种;②甲乙不同时参加一项工作,进而又分为2种小情况;1°丙、丁、戊三人中有两人承担同一份工作,有A32×C32×A22=3×2×3×2=36种;2°甲或乙与丙、丁、戊三人中的一人承担同一份工作:A32×C31×C21×A22=72种;由分类计数原理,可得共有18+36+72=126种,故选B.12.现有甲、乙、丙、丁四名义工到三个不同的社区参加公益活动.若每个社区至少一名义工,则甲、乙两人被分到不同社区的概率为()A.B.C.D.【考点】古典概型及其概率计算公式.【分析】分别有排列组合的知识求得,两种情况所对应的方法种数,然后由古典概型的公式可得.【解答】解:因为甲、乙两名义工分配到同一个社区有A33=3×2=6种排法;将四名义工分配到三个不同的社区,每个社区至少分到一名义工有C42•A33=36种排法;故有甲、乙两人分配到不同社区共有有36﹣6=30种排法;故所求概率为:=.故选B二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.如图,在边长为1的正方形OABC中任取一点P,分数以O、B为圆心,半径为画圆弧,点P在两圆之外的概率为1﹣.【考点】定积分.【分析】先求出阴影部分的面积,再根据根据几何概型的概率公式求得点P在两圆之外的概率.=1×1﹣×【解答】解:如图阴影部分的面积为正方形的面积减去两个扇形的面积,即S阴影π×=1﹣,根据几何概型的概率公式得点P在两圆之外的概率为=1﹣,故答案为:1﹣14.已知x5=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+a3(1+x)3+a4(1+x)4+a5(1+x)5,则a0+a2+a4=﹣16.【考点】二项式定理的应用.【分析】分别令x=0、令x=﹣2,可得两个式子,再把这两式相加除以2,可得a0+a2+a4的值.【解答】解:∵x5=[﹣1+(x+1)]5=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+a3(1+x)3+a4(1+x)4+a5(1+x)5,令x=0,可得a0+a1+a2+a3+a4=+a5=0,令x=﹣2,可得a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5=﹣32,两式相加除以2,可得a0+a2+a4=﹣16,故答案为:﹣16.15.(必做题)为调查长沙市中学生平均每人每天参加体育锻炼时间(单位:分钟),按锻炼时间分下一列四种情况统计:①0~10分钟;②11~20分钟;③21~30分钟;④30分钟以上.有l0 000名中学生参加了此项活动,如图是此次调查中某一项的流程图,其输出的结果是6 200,则平均每天参加体育锻炼时间在0~20分钟内的学生的频率是0.38.【考点】程序框图.【分析】本题考查循环结构,由图可以得出,此循环结构的功能是统计出运动时间超过20分钟的人数,由此即可解出每天运动时间不超过20分钟的人数,从而计算出事件“平均每天参加体育锻炼时间在0~20分钟内的学生的”频率.【解答】解:由图知输出的S的值是运动时间超过20分钟的学生人数,由于统计总人数是10000,又输出的S=6200,故运动时间不超过20分钟的学生人数是3800事件“平均每天参加体育锻炼时间在0~20分钟内的学生的”频率是=0.38故答案为:0.38.16.将5位志愿者分成3组,其中两组各2人,另一组1人,分赴世博会的三个不同场馆服务,不同的分配方案有90种(用数字作答).【考点】排列、组合的实际应用.【分析】根据分组分配问题的思路,先将5人分成3组,计算可得其分组情况,进而将其分配到三个不同场馆,由排列公式可得其情况种数,由分步计数原理计算可得答案.【解答】解:根据题意,首先将5人分成3组,由分组公式可得,共有=15种不同分组方法,进而将其分配到三个不同场馆,有A33=6种情况,由分步计数原理可得,不同的分配方案有15×6=90种,故答案为90.三.解答题(本大题共6小题,共70分)17.甲、乙两艘轮船都要停靠在同一个泊位,它们可能在一昼夜内任意时刻到达,甲、乙两船停靠泊位的时间分别为4小时与2小时,求一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率.【考点】几何概型.【分析】分析知如两船到达的时间间隔超过了停泊的时间则不需要等待,要求一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率即计算一船到达的时间恰好另一船还没有离开,此即是所研究的事件.【解答】解:设甲船在x点到达,乙船在y点到达,必须等待的事件需要满足如下条件如图所以p(A)=1﹣=一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率是18.给出最小二乘法下的回归直线方程=x+系数公式:=,=﹣bx y,有如表的统计资料:(1)线性回归直线方程;(2)根据回归直线方程,估计使用年限为12年时,维修费用是多少?【考点】线性回归方程.【分析】(1)根据数据,求得使用年限x及维修费用y的平均数,根据最小二乘法认真做出线性回归方程的系数,即可求得线性回归方程.(2)当x=12时,带入回归直线方程,求得,即可求得使用年限为12年时,维修费用.x i y i=4,=5;=90═==1.23,…于=﹣=5﹣1.23×4=0.08.…所以线性回归直线方程为=1.23x+0.08.…(2)当x=12时,=1.23×12+0.08=14.84(万元),即估计使用12年时,维修费用是14.84万元. (12)19.对甲、乙两名篮球运动员分别在100场比赛中的得分情况进行统计,做出甲的得分频率(2)判断甲、乙两名运动员哪个成绩更稳定.(结论不要求证明)(3)试利用甲的频率分布直方图估计甲每场比赛的平均得分.【考点】频率分布直方图;众数、中位数、平均数.【分析】(1)根据频率分布直方图,计算甲在一场比赛中得分不低于20分的频率即可;(2)根据甲乙运动员得分的分布情况,即可判断甲、乙两名运动员成绩稳定的稳定性,(3)根据平均数的计算公式,即可得到结论.【解答】解:(1)根据频率分布直方图可知甲在一场比赛中得分大于等于的频率为0.048×10+0.024×10=0.48+0.24=0.72.即甲在一场比赛中得分不低于的概率为0.72.(2)根据甲的频率分布直方图可知,甲的成绩主要集中在[20,30),乙的成绩比较分散,所以甲更稳定.(3)因为组距为10,所以甲在区间[0,10),[10,20),[20,30),[30,40)上得分频率值分别为,,,,设甲的平均得分为S,则S=(5×8+15×20+25×48+35×24)=23.80.20.从某学校高三年级共800名男生中随机抽取50名测量身高,测量发现被测学生身高全部介于155cm和195cm之间,将测量结果按如下方式分成八组:第一组[155,160)、第二组[160,165);…第八组[190,195],右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分,已知第一组与第八组人数相同,第六组、第七组、第八组人数依次构成等差数列.(1)估计这所学校高三年级全体男生身高180cm以上(含180cm)的人数;(2)求第六组、第七组的频率并补充完整频率分布直方图;(3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生,记他们的身高分别为x、y,求满足|x﹣y|≤5的事件概率.【考点】频率分布直方图;等可能事件的概率.【分析】(1)由频率分布直方图分析可得后三组的频率,再根据公式:频率=,计算可得答案.(2)由等差数列可算出第六组、第七组人数,再算出小矩形的高度即可补图;(3)本小题是属于古典概型的问题,算出事件|x﹣y|≤5所包含的基本事件个数m,和基本事件的总数n,那么事件的概率P(A)=.【解答】解:(1)由频率分布直方图知,前五组频率为(0.008+0.016+0.04+0.04+0.06)×5=0.82,后三组频率为1﹣0.82=0.18,人数为0.18×50=9人这所学校高三男生身高在180cm以上(含180cm)的人数为800×0.18=144人(2)由频率分布直方图得第八组频率为0.008×5=0.04,人数为0.04×50=2人,设第六组人数为m,则第七组人数为9﹣2﹣m=7﹣m,又m+2=2(7﹣m),所以m=4,即第六组人数为4人,第七组人数为3人,频率分别为0.08,0.06,频率除以组距分别等于0.016,0.012,见图(3)由(2)知身高在[180,185]内的人数为4人,设为a,b,c,d.身高在[190,195]的人数为2人,设为A,B.若x,y∈[180,185]时,有ab,ac,ad,bc,bd,cd共六种情况.若x,y∈[190,195]时,有AB共一种情况.若x,y分别在[180,185],[190,195]内时,有aA,bA,cA,dA,aB,bB,cB,dB共8种情况所以基本事件的总数为6+8+1=15种事件|x﹣y|≤5所包含的基本事件个数有6+1=7种,故21.每年的三月十二日,是中国的植树节,林管部门在植树前,为保证树苗的质量,都会在植树前对树苗进行检测.现从甲、乙两批树苗中各抽测了10株树苗的高度,规定高于128厘米的为“良种树苗”,测得高度如下(单位:厘米)甲:137,121,131,120,129,119,132,123,125,133乙:110,130,147,127,146,114,126,110,144,146(Ⅰ)根据抽测结果,完成答题卷中的茎叶图,并根据你填写的茎叶图,对甲、乙两批树苗的高度作比较,写出对两种树苗高度的统计结论;(Ⅱ)设抽测的10株甲种树苗高度平均值为,将这10株树苗的高度依次输入按程序框图进行运算,(如图)问输出的S大小为多少?并说明S的统计学意义.【考点】程序框图;茎叶图;众数、中位数、平均数.【分析】(I)将数据填入茎叶图,然后计算两组数据的平均数进行比较,计算中位数从而可得甲、乙两种树苗高度的统计结论;(II)根据流程图的含义可知S表示10株甲树苗高度的方差,是描述树苗高度离散程度的量,根据方差公式解之可得S.【解答】解(Ⅰ)茎叶图略.﹣﹣﹣统计结论:①甲种树苗的平均高度小于乙种树苗的平均高度;②甲种树苗比乙种树苗长得更整齐;③甲种树苗的中位数为127,乙种树苗的中位数为128.5;④甲种树苗的高度基本上是对称的,而且大多数集中在均值附近,乙种树苗的高度分布较为分散.﹣﹣﹣(每写出一个统计结论得2分)(Ⅱ).﹣﹣﹣﹣,S表示10株甲树苗高度的方差,是描述树苗高度离散程度的量.S值越小,表示长得越整齐,S值越大,表示长得越参差不齐.﹣﹣﹣﹣22.某种产品的质量以其质量指标值衡量,质量指标值越大表明质量越好,且质量指标值大于或等于102的产品为优质品.现用两种新配方(分别称为A配方和B配方)做试验,各生产了100件这种产品,并测量了每件产品的质量指标值,得到下面试验结果:(2)已知用B配方生产的一件产品的利润y(单位:元)与其质量指标值t的关系式为y=估计用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率,并求用B配方生产的上述100件产品平均一件的利润.【考点】离散型随机变量的期望与方差.【分析】(1)由试验结果先求出用A配方生产的产品中优质品的频率和用B配方生产的产品中优质品的频率,由此能分别估计用A配方,B配方生产的产品的优质品率.(2)由条件知,用B配方生产的一件产品的利润大于0,当且仅当其质量指标值t≥94.由试验结果知,质量指标值t≥94的频率为0.96.由此能求出用B配方生产的产品平均一件的利润.【解答】解:(1)由试验结果知,用A配方生产的产品中优质品的频率为=0.3,所以用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3.由试验结果知,用B配方生产的产品中优质品的频率为=0.42,所以用B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42.(2)由条件知,用B配方生产的一件产品的利润大于0,当且仅当其质量指标值t≥94.由试验结果知,质量指标值t≥94的频率为0.96.所以用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率估计值为0.96.用B配方生产的产品平均一件的利润为×[4×(﹣2)+54×2+42×4]=2.68(元).2016年8月4日。
海南省海南中学高一下学期期中考试数学试卷
海南省海南中学高一下学期期中考试数学试卷高一数学试题(必修5、选修4--5)(总分:150;总时量:120分钟)第一卷(选择题,共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,总分60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.请将所选答案填涂在答题卡相应位置.) 1.已知数列}{n a 满足:1111,1n na a a +==+,则5a 的值是( ) A.32 B.53C.85D.1382.在ABC ∆中,a=15,b=10,A=60°,则cos B =( ) A.63 B.-63 C. 223 D.-2233.不等式311x ≥+的解集是( ) A .(1)(12]-∞--,, B .[12]-, C .(1)[2)-∞-+∞,, D .(12]-, 4.已知等差数列}{n a 的前13项之和为39,则876a a a ++等于( ) A .6 B.9 C .12D .185.设a b ,是非零实数,若b a <,则下列不等式成立的是( ) A .11a b > B .b a ab 22< C .ba ab 2211< D .b a a b < 6.某人朝正东方向走了x km 后,向左转150︒后,再向前走了3 km ,结果他离出发点恰 好3km ,那么x =( )A.3或23B.3C.23D.以上答案都不对7.某公司一年购买某种货物200吨,分成若干次均匀购买,每次购买的运费为2万元,一年存储费用恰好为每次的购买吨数(单位:万元),要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则每次应购买( )A.10吨B. 20吨C.30吨D.40吨8.在△ABC 中 ,角 A, B, C 的对边分别为,,,c b a 且满足(2)cos 0.c a cosB b A --=则角B 的值为( ) A.6π B.3π C.2π D.23π 9.已知(),0,x y ∈+∞,则114x y y x ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值是( )A .6B .8C .9D .1210.已知数列{}n a 满足2112n n n a a a +=+-,且112a =,则该数列的前2017项的和为( )A .110082B .2017C .1512D .11512211.E ,F 是等腰直角△ABC 斜边AB 上的三等分点,则tan ECF ∠=( )A. 1627B. 23C. 33 D. 3412.设0a b >>,则()211a ab a a b ++-的最小值是( ) A.4 B.3 C.2 D.1第二卷(非选择题,共90分)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 13.设S n 等比数列{a n }的前n 项和,0265=+a a ,则=13a S . 14. 已知集合{}|1A x x a =-≤,{}2540B x x x =-+≥.若A B =∅,则实数a 的取值范围是 . 15.在等式191+=的两个里各填入一个正数,使这两个正数的和最小,则这两个正数分别是 、 .16.在△ABC 中,三个内角,,A B C 所对边分别为,,a b c 已知223a c ac +-=;3b =,则2c a +的最大值为 .三.解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)在△ABC 中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,已知2a =,3c =,1cos 4B =. (1)求b 的值; (2)求sin C 的值.18.(本小题满分12分)已知函数f(x)=|2x +1|,g(x)=|x -4|. (1)求不等式f(x)>2的解集;(2)不等式f(x)-g(x)≥m +1的解集为R ,求实数m 的取值范围.19. (本小题满分12分) 已知等差数列{}n a 的首项11a =,公差0d ≠,等比数列{}n b 满 足112253,,a b a b a b ===.(1) 求数列{}n a 和{}n b 的通项公式; (2) 令()*11n n n c n N a a +=∈,数列{}n c 的前n 项和为n S ,若n n a S λ≥对任意正整数n 都成立,求实数λ的取值范围.20.(本小题满分12分)已知向量()1sin ,,3cos sin ,12a x b x x ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭,函数b a x f ⋅=)(,△ABC 三个内角A,B,C 的对边分别为,,a bc .(1) 求()f x 的单调递增区间;(2) 若1,3,12B C f a b +⎛⎫=== ⎪⎝⎭,求△ABC 的面积S.21.(本小题满分12分)(1)已知,a b 是正常数,a b ≠,,(0,)x y ∈+∞,求证:222()a b a b xyx y++≥+,指出等号成立的条件;(2)利用(1)的结论求函数29()12f x x x=+-(1(0,)2x ∈)的最小值,指出取最小值时x 的值.22.(本小题满分12分)已知数列1*11{}:2,332().n n n n n a a a a n N ++==+-∈满足(I )设2,3nn n na b -=证明:数列{}n b 为等差数列,并求数列{}n a 的通项公式; (II )求数列{}n n a n S 的前项和; (III )设**1(),,n n n k na C n N k N C C a +=∈∈≤是否存在使得对一切正整数n 均成立,并说明理由。
上海海南中学数学高一下期中经典练习卷(答案解析)
一、选择题1.(0分)[ID :12426]已知m ,n 表示两条不同直线,α表示平面,下列说法正确的是( ) A .若//,//,m n αα则//m nB .若m α⊥,n α⊂,则m n ⊥C .若m α⊥,m n ⊥,则//n αD .若//m α,m n ⊥,则n α⊥2.(0分)[ID :12424]圆224470x y x y +--+=上的动点P 到直线0x y +=的最小距离为( )A .1B .221-C .22D .23.(0分)[ID :12412]一正四面体木块如图所示,点P 是棱VA 的中点,过点P 将木块锯开,使截面平行于棱VB 和AC ,则下列关于截面的说法正确的是( ).A .满足条件的截面不存在B .截面是一个梯形C .截面是一个菱形D .截面是一个三角形 4.(0分)[ID :12411]已知m ,n 是空间中两条不同的直线,α,β为空间中两个互相垂直的平面,则下列命题正确的是( )A .若m α⊂,则m β⊥B .若m α⊂,n β⊂,则m n ⊥C .若m α⊄,m β⊥,则//m αD .若m αβ=,n m ⊥,则n α⊥ 5.(0分)[ID :12405]三棱锥P -ABC 中,P A ⊥平面ABC ,AB ⊥BC ,P A =2,AB =BC =1,则其外接球的表面积为( )A .6πB .5πC .4πD .3π6.(0分)[ID :12376]设α表示平面,a ,b 表示直线,给出下列四个命题:①a α//,a b b α⊥⇒//;②a b //,a b αα⊥⇒⊥;③a α⊥,a b b α⊥⇒⊂;④a α⊥,b a b α⊥⇒//,其中正确命题的序号是( ) A .①② B .②④ C .③④ D .①③7.(0分)[ID :12354]已知圆M:x 2+y 2−2ay =0(a >0)截直线x +y =0所得线段的长度是2√2,则圆M 与圆N:(x −1)2+(y −1)2=1的位置关系是( )A .内切B .相交C .外切D .相离 8.(0分)[ID :12345]若某几何体的三视图(单位:cm )如图所示,则该几何体的体积等于( )A .310cmB .320cmC .330cmD .340cm9.(0分)[ID :12395]正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中,E ,F 分别是AD ,DD 1的中点,AB =4,则过B ,E ,F 的平面截该正方体所得的截面周长为( )A .62+45B .62+25C .32+45D .32+2510.(0分)[ID :12390]已知实数,x y 满足250x y ++=,那么22x y +的最小值为( )A .5B .10C .25D .21011.(0分)[ID :12366]已知直三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都相等,M 为11A C 的中点,则AM 与1BC 所成角的余弦值为( )A .153B .53C .64D .10412.(0分)[ID :12339]某几何体的三视图如图所示,图中的四边形都是边长为4的正方形,两条虚线互相垂直且相等,则该几何体的体积是( )A .1763B .1603C .1283D .3213.(0分)[ID :12363]若圆锥的高等于底面直径,则它的底面积与侧面积之比为 A .1∶2B .13C .15D 3214.(0分)[ID :12361]如图,正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1,线段B 1D 1上有两个动点E 、F ,且EF=12.则下列结论中正确的个数为①AC ⊥BE ;②EF ∥平面ABCD ;③三棱锥A ﹣BEF 的体积为定值;④AEF ∆的面积与BEF ∆的面积相等,A .4B .3C .2D .115.(0分)[ID :12360]如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实(虚)线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的体积为( )A .64B .643C .16D .163二、填空题16.(0分)[ID :12477]已知棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E ,F ,M 分别是线段AB 、AD 、AA 1的中点,又P 、Q 分别在线段A 1B 1、A 1D 1上,且A 1P =A 1Q =x (0<x <1).设平面MEF ∩平面MPQ=l ,现有下列结论:①l ∥平面ABCD ;②l ⊥AC ;③直线l 与平面BCC 1B 1不垂直;④当x 变化时,l 不是定直线.其中不成立的结论是________.(写出所有不成立结论的序号)17.(0分)[ID :12485]三棱锥P ABC -中,5PA PB ==,2AC BC ==,AC BC ⊥,3PC =,则该三棱锥的外接球面积为________.18.(0分)[ID :12484]已知圆O :224x y +=, 则圆O 在点(1,3)A 处的切线的方程是___________.19.(0分)[ID :12467]已知,m n 为直线,,αβ为空间的两个平面,给出下列命题:①,//m n m n αα⊥⎧⇒⎨⊥⎩;②,////m n m n αβαβ⊂⎧⎪⊂⇒⎨⎪⎩;③,//m m ααββ⊥⎧⇒⎨⊥⎩;④,//m m n n ββ⊥⎧⇒⎨⊥⎩.其中的正确命题为_________________. 20.(0分)[ID :12464]如图,在△ABC 中,AB=BC=2,∠ABC=120°.若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ,满足PD=DA ,PB=BA ,则四面体PBCD 的体积的最大值是 .21.(0分)[ID :12449]若直线l :-3y kx =与直线23-60x y +=的交点位于第一象限,则直线l 的倾斜角的取值范围是___________.22.(0分)[ID :12503]在平面直角坐标系xoy 中,ABC ∆的坐标分别为()1,1A --,()2,0B ,()1,5C ,则BAC ∠的平分线所在直线的方程为_______23.(0分)[ID :12432]如图所示,二面角l αβ--为60,,A B 是棱l 上的两点,,AC BD 分别在半平面内,αβ,且AC l ⊥,,4,6,8AB AC BD ===,则CD 的长______.24.(0分)[ID :12482]已知圆225x y +=和点()1,2A ,则过点A 的圆的切线方程为______25.(0分)[ID :12494]已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的半焦距为c ,过右焦点且斜率为1的直线与双曲线的右支交于两点,若抛物线y 2=4cx 的准线被双曲线截得的弦长是2√23be 2(e 为双曲线的离心率),则e 的值为__________.三、解答题26.(0分)[ID :12572]如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为正方形,PA ⊥平面ABCD ,PA AB =,AC 与BD 交于点O ,E ,F 分别为AB ,PC 的中点.(Ⅰ)求证:EF ∥平面PAD ;(Ⅱ)求证:AF ⊥平面POD .27.(0分)[ID :12543]在正方体1111ABCD A B C D -中,AB=3,E 在1CC 上且12CE EC =.(1)若F 是AB 的中点,求异面直线1C F 与AC 所成角的大小;(2)求三棱锥1B DBE -的体积.28.(0分)[ID :12534]如图,在三棱锥P ABC -中,PA ⊥平面ABC ,且2PA AB BC ===,2 2.AC =(1)证明:三棱锥P ABC -为鳖臑;(2)若D 为棱PB 的中点,求二面角D AC P --的余弦值.注:在《九章算术》中鳖臑是指四面皆为直角三角形的三棱锥.29.(0分)[ID :12537]如图,四棱锥P ABCD -中,AP ⊥平面1,//,,,2PCD AD BC AB BC AD E F ==分别为线段,AD PC 的中点.(1)求证://AP 平面BEF ;(2)求证:平面BEF ⊥平面PAC30.(0分)[ID :12535]如图所示,直角梯形ABCD 中,//AD BC ,,AD AB ⊥22,AB BC AD ===四边形EDCF 为矩形,2DE =,平面EDCF ⊥ABCD .(1)求证://DF 平面ABE ;(2)求二面角B EF D --二面角的正弦值;(3)在线段BE 上是否存在点P ,使得直线AP 与平面BEF 6存在,求出线段BP 的长,若不存在,请说明理由.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题1.B2.B3.C4.C5.A6.B7.B8.B9.A10.A11.D12.B13.C14.B15.D二、填空题16.④【解析】【详解】连接BDB1D1∵A1P=A1Q=x∴PQ∥B1D1∥BD∥EF则PQ∥平面ME F又平面MEF∩平面MPQ=l∴PQ∥ll∥EF∴l∥平面ABCD故①成立;又EF⊥AC∴l⊥AC故17.【解析】【分析】由已知数据得两两垂直因此三棱锥外接球直径的平方等于这三条棱长的平方和【详解】∵∴∴又以作长方体则长方体的外接球就是三棱锥的外接球设外接球半径为则球表面积为故答案为:【点睛】本题考查球18.【解析】【分析】先求出kOA=从而圆O在点处的切线的方程的斜率由此能出圆O在点处的切线的方程【详解】kOA=∴圆O在点处的切线的方程的斜率∴圆O在点A处的切线的方程整理得即答案为【点睛】本题考查圆的19.③④【解析】关于①也会有的结论因此不正确;关于②也会有异面的可能的结论因此不正确;容易验证关于③④都是正确的故应填答案③④20.【解析】中因为所以由余弦定理可得所以设则在中由余弦定理可得故在中由余弦定理可得所以过作直线的垂线垂足为设则即解得而的面积设与平面所成角为则点到平面的距离故四面体的体积设因为所以则(1)当时有故此时因21.【解析】若直线与直线的交点位于第一象限如图所示:则两直线的交点应在线段上(不包含点)当交点为时直线的倾斜角为当交点为时斜率直线的倾斜角为∴直线的倾斜角的取值范围是故答案为22.【解析】【分析】设的平分线与交于根据角平分线与面积关系求出利用共线向量坐标关系求出点坐标即可求解【详解】设的角平分线与交于解得所以的平分线方程为故答案为:【点睛】本题考查角平分线方程向量共线坐标应用23.【解析】【分析】推导出两边平方可得的长【详解】二面角为是棱上的两点分别在半平面内且的长故答案为:【点睛】本题考查线段长的求法考查空间中线线线面面面间的位置关系等基础知识考查运算求解能力考查函数与方程24.【解析】【分析】先由题得到点A在圆上再设出切线方程为利用直线和圆相切得到k的值即得过点A的圆的切线方程【详解】因为所以点在圆上设切线方程为即kx-y-k+2=0因为直线和圆相切所以所以切线方程为所以25.62【解析】试题分析:由题意得抛物线的准线为x=-c它正好经过双曲线的左焦点所以准线被双曲线截得的弦长为2b2a所以2b2a=223be2即ba=23 e2所以整理得2e4-9e2+1=0解得e=62三、解答题26.27.28.29.30.2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1.B解析:B【解析】试题分析:线面垂直,则有该直线和平面内所有的直线都垂直,故B正确.考点:空间点线面位置关系.2.B解析:B【解析】【分析】先求出圆心到直线0x y +=的距离,根据距离的最小值为d r -,即可求解.【详解】由圆的一般方程可得22(2)(2)1x y -+-=, 圆心到直线的距离|22|222d +== 所以圆上的点到直线的距离的最小值为221-.故选B.【点睛】本题主要考查了点到直线的距离,圆的方程,属于中档题.3.C解析:C【解析】【分析】取AB 的中点D ,BC 的中点E ,VC 的中点F ,连接,,,PD PF DE EF ,易得即截面为四边形PDEF ,且四边形PDEF 为菱形即可得到答案.【详解】取AB 的中点D ,BC 的中点E ,VC 的中点F ,连接,,,PD PF DE EF ,易得PD ∥VB 且12PD VB =,EF ∥VB 且12EF VB =,所以PD ∥EF ,PD EF =, 所以四边形PDEF 为平行四边形,又VB ⊄平面PDEF ,PD ⊂平面PDEF ,由线面平行 的判定定理可知,VB ∥平面PDEF ,AC ∥平面PDEF ,即截面为四边形PDEF ,又1122DE AC VB PD ===,所以四边形PDEF 为菱形,所以选项C 正确. 故选:C【点睛】本题考查线面平行的判定定理的应用,考查学生的逻辑推理能力,是一道中档题.4.C解析:C【解析】由题设,,αβ⊥ 则A. 若m α⊂,则m β⊥,错误;B. 若m α⊂,n β⊂,则m n ⊥ 错误;D. 若m αβ⋂=,n m ⊥,当n β⊄ 时不能得到n α⊥,错误.故选C.5.A解析:A【解析】分析:将三棱锥的外接球转化为以,,AP AB BC 为长宽高的长方体的外接球,从而可得球半径,进而可得结果.详解:因为PA ⊥平面AB ,,AB BC ⊂平面ABC ,PA BC ∴⊥,,PA AB AB BC ⊥⊥,所以三棱锥的外接球,就是以,,AP AB BC 为长宽高的长方体的外接球,外接球的直径等于长方体的对角线,即2R ==246R ππ=,故选A.点睛:本题主要考查三棱锥外接球表面积的求法,属于难题.要求外接球的表面积和体积,关键是求出求的半径,求外接球半径的常见方法有:①若三条棱两垂直则用22224R a b c =++(,,a b c 为三棱的长);②若SA ⊥面ABC (SA a =),则22244R r a =+(r 为ABC ∆外接圆半径) ③可以转化为长方体的外接球;④特殊几何体可以直接找出球心和半径.6.B解析:B【解析】【分析】【详解】①a ∥α,a ⊥b ⇒b 与α平行,相交或b ⊂α,故①错误;②若a ∥b ,a ⊥α,由直线与平面垂直和判定定理得b ⊥α,故②正确;③a ⊥α,a ⊥b ⇒b 与α平行,相交或b ⊂α,故③错误;④若a ⊥α,b ⊥α,则由直线与平面垂直的性质得a ∥b ,故④正确.故选B .7.B解析:B【解析】化简圆M:x 2+(y −a)2=a 2⇒M(0,a),r 1=a ⇒M 到直线x +y =0的距离d =a√2⇒ (a √2)2+2=a 2⇒a =2⇒M(0,2),r 1=2,又N(1,1),r 2=1⇒|MN|=√2⇒|r 1−r 2|<|MN|< |r 1+r 2|⇒两圆相交. 选B8.B解析:B 【解析】 【分析】 【详解】试题分析:. 由三视图知几何体为三棱柱削去一个三棱锥如图:棱柱的高为5;底面为直角三角形,直角三角形的直角边长分别为3、4, ∴几何体的体积V =×3×4×5﹣××3×4×5=20(cm 3). 考点:1.三视图读图的能力;2.几何体的体积公式.9.A解析:A 【解析】 【分析】利用线面平行的判定与性质证明直线1BC 为过直线EF 且过点B 的平面与平面11BCC B 的交线,从而证得1,,,B E F C 四点共面,然后在正方体中求等腰梯形1BEFC 的周长即可. 【详解】 作图如下:因为,E F 是棱1,AD DD 的中点, 所以11////EF AD BC ,因为EF ⊄平面11BCC B ,1BC ⊂平面11BCC B , 所以//EF 平面11BCC B , 由线面平行的性质定理知,过直线EF 且过点B 的平面与平面11BCC B 的交线l 平行于直线EF , 结合图形知,l 即为直线1BC ,过B ,E ,F 的平面截该正方体所得的截面即为等腰梯形1BEFC , 因为正方体的棱长AB =4,所以11EF BE C F BC ====所以所求截面的周长为+ 故选:A 【点睛】本题主要考查多面体的截面问题和线面平行的判定定理和性质定理;重点考查学生的空间想象能力;属于中档题.10.A解析:A 【解析】(,)x y 到坐标原点的距离,又原点到直线250x y ++=的距离为d ==A.11.D解析:D 【解析】 【分析】取AC 的中点N ,连接1C N ,则1//AM C N ,所以异面直线AM 与1BC 所成角就是直线AM 与1C N 所成角,在1BNC ∆中,利用余弦定理,即可求解.【详解】由题意,取AC 的中点N ,连接1C N ,则1//AM C N , 所以异面直线AM 与1BC 所成角就是直线AM 与1C N 所成角,设正三棱柱的各棱长为2,则11C N BC BN === 设直线AM 与1C N 所成角为θ,在1BNC ∆中,由余弦定理可得cos θ==,即异面直线AM 与1BC 所成角的余弦值为104,故选D .【点睛】本题主要考查了异面直线所成角的求解,其中解答中把异面直线所成的角转化为相交直线所成的角是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.12.B解析:B 【解析】该几何体为一个正方体去掉一个倒四棱锥,其中正方体棱长为4,倒四棱锥顶点为正方体中心,底面为正方体上底面,因此体积是32116042433-⨯⨯=,选B. 点睛: 1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图.2.三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”,因此,可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据.13.C解析:C 【解析】 【分析】由已知,求出圆锥的母线长,进而求出圆锥的底面面积和侧面积,可得答案 【详解】设圆锥底面半径为r ,则高h =2r ,∴其母线长l =r .∴S 侧=πrl =πr 2,S 底=πr 故选C . 【点睛】本题考查的知识点是旋转体,圆锥的表面积公式,属于基础题.14.B解析:B 【解析】试题分析:①中AC ⊥BE ,由题意及图形知,AC ⊥面DD1B1B ,故可得出AC ⊥BE ,此命题正确;②EF ∥平面ABCD ,由正方体ABCD-A1B1C1D1的两个底面平行,EF 在其一面上,故EF 与平面ABCD 无公共点,故有EF ∥平面ABCD ,此命题正确;③三棱锥A-BEF 的体积为定值,由几何体的性质及图形知,三角形BEF 的面积是定值,A 点到面DD1B1B 距离是定值,故可得三棱锥A-BEF 的体积为定值,此命题正确;④由图形可以看出,B 到线段EF 的距离与A 到EF 的距离不相等,故△AEF 的面积与△BEF 的面积相等不正确 考点:1.正方体的结构特点;2.空间线面垂直平行的判定与性质15.D解析:D 【解析】根据三视图知几何体是:三棱锥D ABC -为棱长为4的正方体一部分,直观图如图所示:B 是棱的中点,由正方体的性质得,CD ⊥平面,ABC ABC ∆的面积12442S =⨯⨯=,所以该多面体的体积1164433V =⨯⨯=,故选D.二、填空题16.④【解析】【详解】连接BDB1D1∵A1P =A1Q =x ∴PQ ∥B1D1∥BD ∥EF 则PQ ∥平面ME F 又平面MEF∩平面MPQ =l ∴PQ ∥ll ∥EF ∴l ∥平面ABCD 故①成立;又EF ⊥AC ∴l ⊥AC 故 解析:④ 【解析】 【详解】连接BD ,B 1D 1,∵A 1P =A 1Q =x ,∴PQ ∥B 1D 1∥BD ∥EF ,则PQ ∥平面MEF , 又平面MEF ∩平面MPQ =l ,∴PQ ∥l ,l ∥EF , ∴l ∥平面ABCD ,故①成立; 又EF ⊥AC ,∴l ⊥AC ,故②成立;∵l ∥EF ∥BD ,故直线l 与平面BCC 1B 1不垂直,故③成立; 当x 变化时,l 是过点M 且与直线EF 平行的定直线,故④不成立. 即不成立的结论是④.17.【解析】【分析】由已知数据得两两垂直因此三棱锥外接球直径的平方等于这三条棱长的平方和【详解】∵∴∴又以作长方体则长方体的外接球就是三棱锥的外接球设外接球半径为则球表面积为故答案为:【点睛】本题考查球 解析:7π【解析】 【分析】由已知数据得,,CA CB CP 两两垂直,因此三棱锥外接球直径的平方等于这三条棱长的平方和. 【详解】∵5PA PB ==2AC BC ==3PC =,∴222222,PC CB PB PC CA PA +=+=,∴,PC CB PC CA ⊥⊥,又CA CB ⊥,以,,CA CB CP 作长方体,则长方体的外接球就是三棱锥P ABC -的外接球.设外接球半径为R ,则2222(2)7R CA CB CP =++=,72R =, 球表面积为22744(7.S R πππ==⨯= 故答案为:7π. 【点睛】本题考查球的表面积,解题关键是确定,,CA CB CP 两两垂直,以,,CA CB CP 作长方体,则长方体的外接球就是三棱锥P ABC -的外接球.18.【解析】【分析】先求出kOA=从而圆O 在点处的切线的方程的斜率由此能出圆O 在点处的切线的方程【详解】kOA=∴圆O 在点处的切线的方程的斜率∴圆O 在点A 处的切线的方程整理得即答案为【点睛】本题考查圆的 33430x y +-=【解析】 【分析】先求出k OA ,从而圆O 在点(处的切线的方程的斜率k = ,由此能出圆O在点A 处的切线的方程. 【详解】k OA =O 在点(处的切线的方程的斜率k =,∴圆O 在点A (处的切线的方程1y x =-) ,30y +-=.30y +-=. 【点睛】本题考查圆的切线方程的求法,属中档题.19.③④【解析】关于①也会有的结论因此不正确;关于②也会有异面的可能的结论因此不正确;容易验证关于③④都是正确的故应填答案③④解析:③④ 【解析】关于①,也会有n ⊂α的结论,因此不正确;关于②,也会有,m n 异面的可能的结论,因此不正确;容易验证关于③④都是正确的,故应填答案③④.20.【解析】中因为所以由余弦定理可得所以设则在中由余弦定理可得故在中由余弦定理可得所以过作直线的垂线垂足为设则即解得而的面积设与平面所成角为则点到平面的距离故四面体的体积设因为所以则(1)当时有故此时因解析:12【解析】 ABC ∆中,因为2,120AB BC ABC ==∠=,所以30BAD BCA ∠==.由余弦定理可得2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅2222222cos12012=+-⨯⨯=,所以AC =设AD x =,则0t <<DC x =.在ABD ∆中,由余弦定理可得2222cos BD AD AB AD AB A =+-⋅22222cos30x x =+-⋅24x =-+.故BD =在PBD ∆中,PD AD x ==,2PB BA ==.由余弦定理可得2222222(234)3cos 2222PD PB BD x x x BPD PD PB x +-+--+∠===⋅⋅⋅, 所以30BPD ∠=.过P 作直线BD 的垂线,垂足为O .设PO d = 则11sin 22PBD S BD d PD PB BPD ∆=⨯=⋅∠, 2112342sin 3022x x d x -+=⋅, 解得2234d x x =-+.而BCD ∆的面积111sin (23)2sin 30(23)222S CD BC BCD x x =⋅∠=⋅=. 设PO 与平面ABC 所成角为θ,则点P 到平面ABC 的距离sin h d θ=. 故四面体PBCD 的体积211111sin (23)33332234BcD BcD BcD V S h S d S d x x x θ∆∆∆=⨯=≤⋅=⨯-+ 21(23)6234x x x x -=-+设22234(3)1t x x x =-+=-+023x ≤≤12t ≤≤.则231x t -=-(1)当03x ≤≤时,有2331x x t ==-故231x t =-此时,221(31)[23(31)]t t V -----=21414()66t t t t-=⋅=-. 214()(1)6V t t=--',因为12t ≤≤,所以()0V t '<,函数()V t 在[1,2]上单调递减,故141()(1)(1)612V t V ≤=-=.(2)当323x <≤时,有2331x x t -=-=-,故231x t =+-.此时,221(31)[23(31)]6t t V t +--+-=21414()66t t t t-=⋅=-. 由(1)可知,函数()V t 在(1,2]单调递减,故141()(1)(1)612V t V <=-=. 综上,四面体PBCD 的体积的最大值为12. 21.【解析】若直线与直线的交点位于第一象限如图所示:则两直线的交点应在线段上(不包含点)当交点为时直线的倾斜角为当交点为时斜率直线的倾斜角为∴直线的倾斜角的取值范围是故答案为解析:(,)62ππ 【解析】若直线:3l y kx =-与直线2360x y +-=的交点位于第一象限,如图所示:则两直线的交点应在线段AB 上(不包含,A B 点), 当交点为()0,2A 时,直线l 的倾斜角为2π,当交点为()3,0B 时,斜率(033303k -==-,直线l 的倾斜角为6π ∴直线的倾斜角的取值范围是,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭. 故答案为,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭ 22.【解析】【分析】设的平分线与交于根据角平分线与面积关系求出利用共线向量坐标关系求出点坐标即可求解【详解】设的角平分线与交于解得所以的平分线方程为故答案为:【点睛】本题考查角平分线方程向量共线坐标应用 解析:0x y -=【解析】 【分析】设BAC ∠的平分线与BC 交于D ,根据角平分线与面积关系求出||||CD DB ,利用共线向量坐标关系,求出D 点坐标,即可求解. 【详解】设BAC ∠的角平分线与BC 交于(,)D a b ,1||||sin ||210||221||||10||||sin 2ACD ABD AC AD CAD S AC CD S AB DB AB AD BAD ⋅⋅∠∴=====⋅⋅∠, 2,(1,5)2(2,)CD DB a b a b ∴=--=--,解得55,33a b ==,55(,)33D ∴,所以BAC ∠的平分线AD 方程为0x y -=.故答案为:0x y -=.【点睛】本题考查角平分线方程、向量共线坐标,应用角平分线性质是解题的关键,属于中档题.23.【解析】【分析】推导出两边平方可得的长【详解】二面角为是棱上的两点分别在半平面内且的长故答案为:【点睛】本题考查线段长的求法考查空间中线线线面面面间的位置关系等基础知识考查运算求解能力考查函数与方程解析:217 【解析】 【分析】推导出CD CA AB BD =++,两边平方可得CD 的长. 【详解】二面角l αβ--为60︒,A 、B 是棱l 上的两点,AC 、BD 分别在半平面α、β内, 且AC l ⊥,BD l ⊥,4AB =,6AC =,8BD =,∴CD CA AB BD =++,∴22()CD CA AB BD =++2222CA AB BD CA BD =+++361664268cos12068=+++⨯⨯⨯︒=, CD ∴的长||68217CD ==.故答案为:217.【点睛】本题考查线段长的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是中档题.24.【解析】【分析】先由题得到点A 在圆上再设出切线方程为利用直线和圆相切得到k 的值即得过点A 的圆的切线方程【详解】因为所以点在圆上设切线方程为即kx-y-k+2=0因为直线和圆相切所以所以切线方程为所以 解析:25x y +=【解析】 【分析】先由题得到点A 在圆上,再设出切线方程为2(1),y k x -=-利用直线和圆相切得到k 的值,即得过点A 的圆的切线方程. 【详解】因为22125+=,所以点()1,2A 在圆上,设切线方程为2(1),y k x -=-即kx-y-k+2=0, 222152(1)k k k -+=∴=-+-,所以切线方程为112022x y --++=, 所以切线方程为25x y +=,故答案为:25x y += 【点睛】(1)本题主要考查圆的切线方程的求法,意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 点00(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离0022Ax By C d A B++=+.25.62【解析】试题分析:由题意得抛物线的准线为x=-c 它正好经过双曲线的左焦点所以准线被双曲线截得的弦长为2b2a 所以2b2a=223be2即ba=23e2所以整理得2e4-9e2+1=0解得e=62解析:√62【解析】试题分析:由题意,得抛物线的准线为x =−c ,它正好经过双曲线的左焦点,所以准线被双曲线截得的弦长为2b 2a,所以2b 2a=2√23be 2,即ba=√23e 2,所以,整理,得2e 4−9e 2+1=0,解得e =√62或e =√3.又过焦点且斜率为1的直线与双曲线的右支交于两点,所以e =√62. 考点:1、抛物线与双曲线的几何性质;2、直线与双曲线的位置关系.【方法点睛】关于双曲线的离心率问题,主要是有两类试题:一类是求解离心率的值,一类是求解离心率的范围.基本的解题思路是建立椭圆和双曲线中a,b,c 的关系式,求值问题就是建立关于a,b,c 的等式,求取值范围问题就是建立关于a,b,c 的不等式.三、解答题 26.(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ)证明见解析. 【解析】 【分析】(Ⅰ)取PD 中点G ,连接AG 、FG ,由题意结合中位线性质可得//FG AE 且FG AE =,即可得四边形FGAE 为平行四边形,进而可得//FE AG ,再由线面平行的判定即可得证;(Ⅱ)由线面垂直的性质和正方形的性质可得DO ⊥平面PAC ,进而可得DO AF ⊥,由平面几何知识可得AF PO ⊥,再由线面垂直的判定即可得证. 【详解】(Ⅰ)证明:取PD 中点G ,连接AG 、FG ,E ,F 分别为AB ,PC 的中点,底面ABCD 为正方形∴//FG CD 且12FG CD =,//AE CD 且12AE CD =,∴//FG AE 且FG AE =,∴四边形FGAE 为平行四边形, ∴//FE AG ,又FE ⊄平面PAD ,AG ⊂平面PAD , ∴//EF 平面PAD .(Ⅱ)证明:底面ABCD 为正方形,PA ⊥平面ABCD ,∴PA DO ⊥,AC DO ⊥,PA AC A =,∴DO ⊥平面PAC ,∴DO AF ⊥,在PAC 中,设POAF H =,如图,由题知90PAC ∠=, O ,F 分别为AC ,PC 的中点,∴AF FC =即CAFFCA ,设PA a =,则2AC a =,2AO =, ∴APO ACP ∽,∴APO PCA ,∴90AHP ∠=即AF PO ⊥,又POOD O =,∴AF ⊥平面POD .【点睛】本题考查了线面平行和线面垂直的判定,考查了空间思维能力,属于中档题.27.(1)4π (2) 92 【解析】 【分析】(1)连接AC ,11A C ,由11ACAC 知11FC A ∠ (或其补角)是异面直线1C F 与AC 所成角,由余弦定理解三角形即可(2)根据11B DBE D BEB V V --=,且三棱锥1D BEB -的高为DC ,底面积为1BEB ∆的面积.【详解】(1)连接AC ,11A C ,∵1111,ACAC FC A ∴∠(或其补角)是异面直线1C F 与AC 所成角在11FC A ∆中,111192A C A F C F ===222119()22cos 9222FC A +-∠==⨯∴异面直线1C F 与AC 所成角为4π. (2)由题意得, 1111119333=3322B DBE D BEB BEB V V S DC --∆==⋅=⋅⋅⋅⋅.【点睛】本题主要考查了异面直线所成的角,三棱锥的体积,属于中档题.28.(1)见解析;(2【解析】 【分析】(1)由条件已经知道ABC PAB ∆∆、,PAC ∆均为直角三角形,只需证PBC ∆为直角三角形即可得证.(2)利用空间向量求得两个面的法向量,求得cos ,m n 即可. 【详解】(1)∵2AB BC ==,AC =222AB BC AC +=, ∴AB BC ⊥,ABC ∆为直角三角形.∵PA ⊥平面ABC ,∴PA BC ⊥,PA AB ⊥,PAB ∆,PAC ∆均为直角三角形. ∵AB PA A ⋂=,∴BC ⊥平面PAB .又PB ⊂平面PAB ,∴BC PB ⊥,PBC ∆为直角三角形. 故三棱锥P ABC -为鳖臑.(2)解:以B 为坐标原点,建立空间直角坐标系B xyz -, 如图所示,则()2,0,0A ,()0,2,0C ,()1,0,1D , 则()1,0,1AD =-,()2,2,0AC =-. 设平面ACD 的法向量为(),,n x y z =,则0,220,n AD x z n AC x y ⎧⋅=-+=⎨⋅=-+=⎩令1x =,则()1,1,1n =.易知平面PAC 的一个法向量为()1,1,0m =,则26cos ,332m n ==⨯. 由图可知二面角D AC P --为锐角,则二面角D AC P --的余弦值为63.【点睛】本题考查线面垂直的证明,考查四面体是否为鳖臑的判断与求法,考查二面角的求法,考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力,考查空间向量的应用,是中档题.29.(1)证明见详解(2)证明见详解 【解析】 【分析】(1)设,AC BE 交点为O ,连接OF ,则可根据OF 是APC ∆中位线求证OF AP ,进而得证;(2)由线段关系可证BE CD ∥,又由AP ⊥平面PCD 可得AP CD ⊥,进而可得BE AC ⊥,再结合四边形ABCE 是菱形可得BE AC ⊥,即可求证;【详解】 (1)设,AC BE 交点为O ,连接OF ,又1,2AB BC AD ==BC AE ∴=, 又//AD BC ,所以四边形ABCE 是菱形,则O 是AC 中点, 又F 为PC 中点,∴OF 是APC ∆中位线,OF AP ∴,AP ⊄平面BEF ,OF ⊂平面BEF ,∴//AP 平面BEF ;(2)由(1)可知四边形ABCE 是菱形,BE AC ∴⊥,又AP ⊥平面PCD 可得AP CD ⊥,E 为AD 中点可得BC ED =,又//AD BC ,∴四边形BCDE 为平行四边形,CD BE ,AP BE ∴⊥,ACAP A =,BE ∴⊥平面PAC ,又BE ⊂平面BEF ,∴平面BEF ⊥平面PAC【点睛】本题考查线面平行面面垂直的证明,属于中档题30.(1)证明见解析;(2)23;(3)存在,3BP =或23BP = 【解析】 【分析】(1)以,,DA DG DE 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系,DF AE AB =+,得到证明. (2)平面DEF 的一个法向量为()12,1,0n =,平面BEF 的一个法向量为()12,1,2n =,计算夹角得到答案.(3)假设存在点P 满足条件,设BP BE λ=,设线AP 与平面BEF 所成角为θ,22cos AP n AP n θ⋅=⋅,解得答案.【详解】(1)取BC 中点G ,连接DG ,易知DA DG ⊥,平面EDCF ⊥ABCD ,四边形EDCF 为矩形,故ED ⊥平面ABCD . 以,,DA DG DE 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系,则()0,0,0D ,()1,2,2F -,()1,0,0A ,()1,2,0B ,()1,2,0C -,()0,0,2E .()1,2,2DF =-,()1,0,2AE =-,()0,2,0AB =,故DF AE AB =+,故//DF 平面ABE .(2)设平面DEF 的一个法向量为()1,,n x y z =,则110n DE n DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即20220z x y z =⎧⎨-++=⎩, 取1y =,则()12,1,0n =.设平面BEF 的一个法向量为()2,,n a b c =,则2200n EF n EB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即20220x y x y z -+=⎧⎨+-=⎩,取1y =,则()12,1,2n =.则1212125cos ,3n n n n n n ⋅==⋅,故二面角B EF D --二面角的正弦值为23. (3)假设存在点P 满足条件,设BP BE λ=,则()1,22,2P λλλ--,(),22,2AP λλλ=--,()12,1,2n =,设线AP 与平面BEF 所成角为θ,则()()2222226cos 63222AP n AP n θλλλ⋅===⋅+-+,解得23λ=或29λ=. 故3BP BE λλ==,故3BP =或23BP =.【点睛】本题考查了线面平行,二面角,线面夹角,意在考查学生的计算能力和空间想象能力.。
海南省海南中学2015-2016学年高二下学期期中考试文科数学试卷 含答案
2015-2016学年海南中学第二学期期中考试高二数学试题卷(文科)数学试题卷(文科)共6页。
满分150分。
考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题共60分)一.选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 请将正确答案的代号填涂在答题卡上。
1.一个年级有12个班,每个班有50名同学,随机编号1,2,…,50,为了了解他们在课外的兴趣,要求每班第40号同学留下来进行问卷调查,这里运用的抽样方法是()A.抽签法B.有放回抽样C.随机数法D.系统抽样2。
如下图所示,4个散点图中,最不适合用线性回归模型拟合其中两个变量的是()3.下面是调查某地区男女中学生是否喜欢理科的等高条形图,从右图可以看出该地区的中学生()A.性别与是否喜欢理科无关B.女生中喜欢理科的比为80%C.男生比女生喜欢理科的可能性大D.男生中喜欢理科的比例为80%4.设复数z=a+b i(a、b∈R),若错误!=2-i成立,则复数z对应的点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限5.|错误!|=()A.22B.错误!C.2 D.16.程序:INPUT xIF 9〈x AND x〈100 THENa=x\10b=x MOD 10x =10*b+aPRINT xEND上述程序如果输入的值是51,则运行结果是( )A .51B .15C .105D .5017.复数z =(m 2+m )+m i(m ∈R ,i 为虚数单位)是纯虚数,则实数m 的值为( )A .0或-1B .0C .1D .-18.为研究悬挂重量x(单位:克)与某物体长度y(单位:厘米)的关系,进行了6次实验,数 据如右表所示,求得线性 回归方程为:y =0。
183x +6.285。
由以上数据计算此回归方程的相关指数:R 2=∑∑---=212)()ˆ(1y y yy i n i i i ≈0.999,根据以上计算结果,以下说法正确的。
海南省高一数学下学期期中题 文(含解析)
2016—2017学年度第二学期中考高一数学试题卷文科数学参考公式:柱体的体积公式:(其中表示底面积,表示高)锥体的体积公式:球的表面积公式:(其中表示球的半径)球的体积公式:一、选择题(每小题5分,共60分,请把您的答案填在答题卡相应的位置上.)1. 设全集,集合,,则()A. B. C. D.【答案】B【解析】本题选择B选项.2. 下列描述不能看作算法的是()A. 做米饭需要刷锅,淘米,添水,加热这些步骤B. 洗衣机的使用说明书C. 利用公式计算半径为4的圆的面积,就是计算D. 解方程【答案】D【解析】A,B,C都说明了按一定规则解决某一类问题的明确、有限的步骤,而D只是提出了问题,故D不是算法。
本题选择D选项.3. 如图所示的程序框图,输出的结果是,则输入的值为()A. B. C. D.【答案】D【解析】 .本题选择D选项.4. 一个四棱锥的侧棱长都相等,底面是正方形,且其正视图为如图所示的等腰三角形,则该四棱锥的体积是()A. B. C. D.【答案】A【解析】由正视图可知,四棱锥的底面正方形棱长为2,四棱锥的高为,所以其体积为本题选择A选项.5. 若输入5,如图中所示程序框图运行后,输出的结果是()A. B. C. D.【答案】A【解析】输入5>0,所以y=-1。
本题选择C选项.6. 用简单随机抽样方法从有25名女生和35名男生的总体中,推选5名学生参加健美操活动,则某名女生被抽到的机率是()A. B. C. D.【答案】C【解析】某名女生被抽到的机率是本题选择C选项.点睛:一个试验是否为古典概型,在于这个试验是否具有古典概型的两个特点——有限性和等可能性,只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型.7. 我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1524石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷56粒,则这批米内夹谷约为()A. 1365石 B. 336石 C. 168石 D. 134石【答案】B【解析】试题分析:由题意得,这批米内夹谷约为石,选C.考点:样本估计总体的实际应用.8. 如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图,甲、乙两人这几场比赛得分的平均数分别为,;标准差分别是,,则有()A. <,<B. <,>C. >,<D. >,>【答案】B【解析】由茎叶图得到甲的数据位于茎叶图的左上方,乙的数据位于茎叶图的右下方,甲的数据相对分散,乙的数据相对集中,∵茎叶图中的数据越往下越大,∴ <,>.本题选择B选项.点睛:茎叶图、频率分布表和频率分布直方图都是用来描述样本数据的分布情况的.茎叶图由所有样本数据构成,没有损失任何样本信息,可以随时记录;而频率分布表和频率分布直方图则损失了样本的一些信息,必须在完成抽样后才能制作.9. 在100个球中有红球20个,从中抽取10个球进行分析,如果用分层抽样的方法对其进行抽样,则应抽取红球()A. B. C. D.【答案】D【解析】用分层抽样的方法对其进行抽样,则应抽取红球本题选择D选项.10. 已知集合,,在集合中任取一个元素,则该元素是集合中的元素的概率为()A. B. C. D.【答案】D【解析】,∴在集合中任取一个元素,则该元素是集合中的元素的概率为本题选择D选项.11. (课本69页例3改编)如图,是的直径,垂直于所在平面,是圆周上不同于两点的任意一点,且,,则二面角的大小为()A. B. C. D.【答案】C【解析】∵垂直于所在平面,∴∠PCA即为直线与底面所成的角。
【精品】2015-2016学年海南省北师大万宁附中高一(下)期中数学试卷
植密度和单株产量统计如图:
根据上表所提供信息,第
号区域的总产量最大,该区域种植密度为
株 /m 2.
15.(5 分)直线 x+2y=0 被曲线 x2+y2﹣6x﹣ 2y﹣15=0 所截得的弦长等于
.
16.( 5 分)如图所示,在确定的四面体 ABCD中,截面 EFGH平行于对棱 AB 和
CD.
( 1)若 AB⊥CD,则截面 EFGH与侧面 ABC垂直;
故选: D.
【点评】 本题考查圆的方程的求法,解题时要认真审题,注意圆的方程的求法,
是基础题.
5.(5 分)如图,△ O′ A′是B水′平放置的△ OAB的直观图,则△ OAB的面积是( )
A.6 B.3 C.6 D.12 【分析】 由直观图和原图的之间的关系, 由直观图画法规则, 还原△ OAB是一个 直角三角形,直角边 OA=6, OB=4,直接求解其面积即可. 【解答】解:由直观图画法规则, 可得△ OAB是一个直角三角形, 直角边 OA=6, OB=4,
( 2)当截面四边形 EFGH面积取得最大值时, E 为 AD 中点;
( 3)截面四边形 EFGH的周长有最小值;
( 4)若 AB⊥ CD,AC⊥BD,则在四面体内存在一点 P 到四面体 ABCD六条棱的中
点的距
离相等.上述说法正确的是
.
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三、解答题(本大题共 6 道小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤) 17.( 10 分)如图,建造一个容积为 16m3,深为 2m,宽为 2m 的长方体无盖水 池,如果池底的造价为 120 元/m 2,池壁的造价为 80 元/m 2,求水池的总造价.
4.(5 分)圆心为( 1, 1)且过原点的圆的方程是(
海南中学数学高一下期中经典测试题(培优专题)
一、选择题1.(0分)[ID :12425]设曲线31x y x +=-在点25(,)处的切线与直线10ax y +-=平行,则a=( ) A .-4B .14-C .14D .42.(0分)[ID :12424]圆224470x y x y +--+=上的动点P 到直线0x y +=的最小距离为( ) A .1B .221-C .22D .23.(0分)[ID :12381]对于平面、β、γ和直线a 、b 、m 、n ,下列命题中真命题是( )A .若,,,,a m a n m n αα⊥⊥⊂⊂,则a α⊥B .若//,a b b α⊂,则//a αC .若//,,,a b αβαγβγ==则//a bD .若,,//,//a b a b ββαα⊂⊂,则//βα 4.(0分)[ID :12378]已知平面//α平面β,直线mα,直线nβ,点A m ∈,点B n ∈,记点A 、B 之间的距离为a ,点A 到直线n 的距离为b ,直线m 和n 的距离为c ,则 A .b a c ≤≤ B .a c b ≤≤C . c a b ≤≤D .c b a ≤≤5.(0分)[ID :12374]如图是某四面体ABCD 水平放置时的三视图(图中网格纸的小正方形的边长为1,则四面体ABCD 外接球的表面积为A .20πB .1256π C .25π D .100π6.(0分)[ID :12348]已知圆O :2224110x y x y ++--=,过点()1,0M 作两条相互垂直的弦AC 和BD ,那么四边形ABCD 的面积最大值为( ) A .42B .24C .212D .67.(0分)[ID :12329]设直线,a b 是空间中两条不同的直线,平面,αβ是空间中两个不同的平面,则下列说法正确的是( ) A .若a ∥α,b ∥α,则a ∥bB .若a ∥b ,b ∥α,则a ∥αC .若a ∥α,α∥β,则a ∥βD .若α∥β,a α⊂,则a ∥β8.(0分)[ID :12371]若方程21424x kx k +-=-+ 有两个相异的实根,则实数k 的取值范围是( )A .13,34⎛⎤ ⎥⎝⎦B .13,34⎛⎫⎪⎝⎭C .53,124⎛⎫⎪⎝⎭D .53,1249.(0分)[ID :12369]某锥体的三视图如图所示(单位:cm ),则该锥体的体积(单位:cm 3)是( )A .13B .12C .16D .110.(0分)[ID :12367]如图所示,在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中,E 是棱1DD 的中点,F 是侧面11CDD C 上的动点,且1//B F 面1A BE ,则F 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度是( )A .aB .2a C 2aD .22a 11.(0分)[ID :12418]如图,正四面体ABCD 中,,E F 分别是线段AC 的三等分点,P 是线段AB 的中点,G 是线段BD 的动点,则( )A .存在点G ,使PG EF ⊥成立B .存在点G ,使FG EP ⊥成立C .不存在点G ,使平面EFG ⊥平面ACD 成立D .不存在点G ,使平面EFG ⊥平面ABD 成立12.(0分)[ID :12406]圆心在x +y =0上,且与x 轴交于点A (-3,0)和B (1,0)的圆的方程为( ) A .22(1)(1)5x y ++-= B .22(1)(1)5x y -++= C .22(1)(1)5x y -++=D .22(1)(1)5x y ++-=13.(0分)[ID :12397]若函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---≤⎧=⎨>⎩单调递增,则实数a 的取值范围是( )A .9,34⎛⎫⎪⎝⎭B .9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭C .()1,3D .()2,314.(0分)[ID :12337]若圆的参数方程为12cos ,32sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩(θ为参数),直线的参数方程为21,61x t y t =-⎧⎨=-⎩(t 为参数),则直线与圆的位置关系是( )A .相交且过圆心B .相交但不过圆心C .相切D .相离15.(0分)[ID :12332]长方体的三个相邻面的面积分别为2,3,6,则该长方体外接球的表面积为( ) A .72π B .56π C .14π D .64π二、填空题16.(0分)[ID :12462]若一个圆柱的侧面展开图是边长为2的正方形,则此圆柱的体积为 .17.(0分)[ID :12458]已知圆22(1)16x y ++=,点(1,0),(1,0)E F -,过(1,0)E -的直线1l 与过(1,0)F 的直线2l 垂直且圆相交于,A C 和,B D ,则四边形ABCD 的面积的取值范围是_________.18.(0分)[ID :12470]已知平面α,β,γ是空间中三个不同的平面,直线l ,m 是空间中两条不同的直线,若α⊥γ,γ∩α=m ,γ∩β=l ,l⊥m,则 ①m⊥β;②l⊥α;③β⊥γ;④α⊥β.由上述条件可推出的结论有________(请将你认为正确的结论的序号都填上). 19.(0分)[ID :12452]将一张坐标纸折叠一次,使点(10,0)与点(6,8)-重合,则与点(4,2)-重合的点是______.20.(0分)[ID :12449]若直线l :-3y kx =与直线23-60x y +=的交点位于第一象限,则直线l 的倾斜角的取值范围是___________. 21.(0分)[ID :12505]小明在解题中发现函数()32x f x x -=-,[]0,1x ∈的几何意义是:点(),x x []()0,1x ∈与点()2,3连线的斜率,因此其值域为3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦,类似地,他研究了函数()32x g x x -=-,[]0,1x ∈,则函数()g x 的值域为_____ 22.(0分)[ID :12500]如图,AB 是底面圆O 的直径,点C 是圆O 上异于A 、B 的点,PO 垂直于圆O 所在的平面,且1,2PO OB BC ===,点E 在线段PB 上,则CE OE +的最小值为________.23.(0分)[ID :12498]函数2291041y x x x +-+_________. 24.(0分)[ID :12497]直线10x y --=与直线20x ay --=互相垂直,则a =__________.25.(0分)[ID :12431]已知棱长等于31111ABCD A B C D -,它的外接球的球心为O ﹐点E 是AB 的中点,则过点E 的平面截球O 的截面面积的最小值为________.三、解答题26.(0分)[ID :12592]如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,AD ⊥平面1A BC ,其垂足D 落在直线1A B 上.(Ⅰ)求证:1BC A B ⊥; (Ⅱ)若P 是线段AC 上一点,3,2AD AB BC ===,三棱锥1A PBC -的体积为33,求AP PC 的值.27.(0分)[ID :12578]在三棱锥S ABC -中,平面SAB ⊥平面SBC ,AB BC ⊥,AS AB =,过A 作AF SB ⊥,垂足为F ,点E ,G 分别是棱SA ,SC 的中点.(1)求证:平面EFG ∥平面ABC . (2)求证:BC SA ⊥.28.(0分)[ID :12544]已知圆()22:14C x y -+=内有一点1,12P ⎛⎫ ⎪⎝⎭,过点P 作直线l 交圆C 于,A B 两点.(1)当点P 为AB 中点时,求直线l 的方程; (2)当直线l 的倾斜角为45时,求弦AB 的长.29.(0分)[ID :12530]在ABC ∆中,已知()1,2A ,()3,4C ,点B 在x 轴上,AB 边上的高线CD 所在直线的方程为220x y --=. (1)求B 点坐标; (2)求ABC ∆面积.30.(0分)[ID :12598]如图,正方形ABCD 所在平面与三角形CDE 所在平面相交于CD ,AE ⊥平面CDE ,且1AE =,2AB =. (Ⅰ)求证:AB ⊥平面ADE ; (Ⅱ)求凸多面体ABCDE 的体积.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案**科目模拟测试一、选择题1.D2.B3.C4.D5.C6.B7.D8.D9.A10.D11.C12.A13.B14.B二、填空题16.2π【解析】试题分析:设圆柱的底面半径为r高为h底面积为S体积为V则有2πr=2⇒r=1π故底面面积S=πr2=π×(1π)2=1π故圆柱的体积V=Sh=1π×2=2π考点:圆柱的体积17.【解析】【分析】由题可知而过的弦过圆心时最长与垂直时最短据此则可以确定四边形的面积的取值范围【详解】由题知直线过圆心故设圆心到直线的距离为则所以所以四边形的面积;故答案为:【点睛】本题主要考查直线与18.②④【解析】【分析】对每一个选项分析判断得解【详解】根据已知可得面β和面γ可成任意角度和面α必垂直所以直线m可以和面β成任意角度①不正确;l⊂γl⊥m所以l⊥α②正确;③显然不对;④因为l⊂βl⊥α19.【解析】【分析】先求得点的垂直平分线的方程然后根据点关于直线对称点的求法求得的对称点由此得出结论【详解】已知点点可得中点则∴线段AB的垂直平分线为:化为设点关于直线的对称点为则解得∴与点重合的点是故20.【解析】若直线与直线的交点位于第一象限如图所示:则两直线的交点应在线段上(不包含点)当交点为时直线的倾斜角为当交点为时斜率直线的倾斜角为∴直线的倾斜角的取值范围是故答案为21.【解析】【分析】根据斜率的几何意义表示函数图象上的点与点连线的斜率数形结合即可求解【详解】为点与点连线的斜率点在函数图像上在抛物线图象上的最大值为最小值为过点与图象相切的切线斜率设为切线方程为代入得22.【解析】【分析】首先求出即有将三棱锥展开当三点共线时值最小可证为中点从而可求从而得解【详解】在中所以同理所以在三棱锥中将侧面绕旋转至平面使之与平面共面如图所示当共线时取得最小值又因为所以垂直平分即为23.【解析】【分析】将变形为设则即轴上的一动点到的距离之和作点关于轴的对称点即可求出距离和的最小值;【详解】解:设则即轴上的一动点到的距离之和作点关于轴的对称点连接则即为距离和的最小值故答案为:【点睛】24.【解析】【分析】根据直线垂直的条件计算即可【详解】因为直线与直线互相垂直所以解得故填【点睛】本题主要考查了两条直线垂直的条件属于中档题25.【解析】【分析】当过球内一点的截面与垂直时截面面积最小可求截面半径即可求出过点的平面截球的截面面积的最小值【详解】解:棱长等于的正方体它的外接球的半径为3当过点的平面与垂直时截面面积最小故答案为:【三、解答题27. 28. 29. 30.2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1.D 解析:D 【解析】 【分析】求出原函数的导函数,得到函数在2x =时的导数,再由两直线平行与斜率的关系求得a 值. 【详解】解:由31x y x +=-,得()()2213411x x y x x ---=---'=, ∴2'|4x y ==-, 又曲线31x y x +=-在点25(,)处的切线与直线10ax y +-=平行, ∴4a -=-,即4a =. 故选D . 【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程,考查两直线平行与斜率的关系,是中档题.解析:B 【解析】 【分析】先求出圆心到直线0x y +=的距离,根据距离的最小值为d r -,即可求解. 【详解】由圆的一般方程可得22(2)(2)1x y -+-=, 圆心到直线的距离|22|222d +== 所以圆上的点到直线的距离的最小值为221-. 故选B. 【点睛】本题主要考查了点到直线的距离,圆的方程,属于中档题.3.C解析:C 【解析】 【分析】 【详解】 若由线面垂直的判定定理知,只有当和为相交线时,才有错误;若此时由线面平行的判定定理可知,只有当在平面外时,才有错误;由面面平行的性质定理:若两平面平行,第三个平面与他们都相交,则交线平行,可判断,若//αβ,a αγ⋂=,b βγ=,则//a b 为真命题, 正确;若此时由面面平行的判定定理可知,只有当、为相交线时,才有//,D βα错误. 故选C.考点:考查直线与直线,直线与平面,平面与平面的位置关系.4.D解析:D 【解析】 【分析】根据平面与平面平行的判断性质,判断c 最小,再根据点到直线距离和点到直线上任意点距离判断a 最大. 【详解】由于平面//α平面β,直线m 和n 又分别是两平面的直线,则c 即是平面之间的最短距离.而由于两直线不一定在同一平面内,则b 一定大于或等于c ,判断a 和b 时, 因为B 是上n 任意一点,则a 大于或等于b . 故选D. 【点睛】本题主要考查面面平行的性质以及空间距离的性质,考查了空间想象能力,意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力,属于中档题.5.C解析:C 【解析】 【分析】 【详解】由三视图可知,这是三棱锥的三视图,如下图所示,三角形BCD 为等腰直角三角形, 其外心为BD 中点1O ,设O 为AD 中点, 则O 为外接球球心,半径长度为1522AD =, 所以表面积为25π.6.B解析:B 【解析】 【分析】设圆心到AC ,BD 的距离为1d ,2d ,则222128d d MO +==,22121216162S AC BD d d =⋅=--,利用均值不等式得到最值. 【详解】 2224110x y x y ++--=,即()()221216x y ++-=,圆心为()1,2O -,半径4r =.()1,0M 在圆内,设圆心到AC ,BD 的距离为1d ,2d ,则222128d d MO +==.222222121211222161622S AC BD r d r d d d =⋅=⨯--=--2212161624d d ≤-+-=,当22121616d d -=-,即122d d ==时等号成立. 故选:B .【点睛】本题考查了圆内四边形面积的最值,意在考查学生的计算计算能力和转化能力.7.D解析:D【解析】【分析】利用空间直线和平面的位置关系对每一个选项逐一分析判断得解.【详解】A. 若a ∥α,b ∥α,则a 与b 平行或异面或相交,所以该选项不正确;B. 若a ∥b ,b ∥α,则a ∥α或a α⊂,所以该选项不正确;C. 若a ∥α,α∥β,则a ∥β或a β⊂,所以该选项不正确;D. 若α∥β,a α⊂,则a ∥β,所以该选项正确.故选:D【点睛】本题主要考查空间直线平面位置关系的判断,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.8.D解析:D【解析】【分析】由题意可得,曲线22(1)4(1)x y y +-=与直线4(2)y k x -=-有2个交点,数形结合求得k 的范围.【详解】如图所示,化简曲线得到22(1)4(1)x y y +-=,表示以(0,1)为圆心,以2为半径的上半圆,直线化为4(2)y k x -=-,过定点(2,4)A ,设直线与半圆的切线为AD ,半圆的左端点为(2,1)B -,当AD AB k k k <,直线与半圆有两个交点,AD 221k =+,解得512AD k =,4132(2)4AB k -==--,所以53,124k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦. 故选:D【点睛】本题考查直线与圆的位置关系,属于中档题.9.A解析:A【解析】【分析】根据三视图知该几何体对应的三棱锥,结合图中数据求得三棱锥的体积.【详解】由题意可知三棱锥的直观图如图:三棱锥的体积为:111211323⨯⨯⨯⨯=. 故选:A .【点睛】本题考查了利用三视图求几何体体积的应用问题,考查了空间想象能力,是基础题.10.D解析:D 【解析】【分析】设H ,I 分别为1CC 、11C D 边上的中点,由面面平行的性质可得F 落在线段HI 上,再求HI 的长度即可.【详解】解:设G ,H ,I 分别为CD 、1CC 、11C D 边上的中点,则ABEG 四点共面, 且平面1//A BGE 平面1B HI ,又1//B F 面1A BE ,F ∴落在线段HI 上,正方体1111ABCD A B C D -中的棱长为a ,1122HI CD ∴==, 即F 在侧面11CDD C 2. 故选D .【点睛】本题考查了面面平行的性质及动点的轨迹问题,属中档题.11.C解析:C【解析】【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系对选项进行一一验证,即可得答案.【详解】正四面体ABCD中,,E F分别是线段AC的三等分点,P是线段AB的中点,G是直线BD的动点,⊥成立,故A错误;在A中,不存在点G,使PG EF⊥成立,故B错误;在B中,不存在点G,使FG EP在C中,不存在点G,使平面EFG⊥平面ACD成立,故C正确;在D中,存在点G,使平面EFG⊥平面ABD成立,故D错误.故选:C.【点睛】本题考查命题真假的判断、考查空间中线线、线面、面面间的位置关系,考查转化与化归思想,考查空间想象能力.12.A解析:A【解析】【分析】由题意得:圆心在直线x=-1上,又圆心在直线x+y=0上,故圆心M 的坐标为(-1,1),再由点点距得到半径。
青海海南市数学高一下期中经典测试题(含解析)
一、选择题1.(0分)[ID :12425]设曲线31x y x +=-在点25(,)处的切线与直线10ax y +-=平行,则a=( )A .-4B .14-C .14D .42.(0分)[ID :12421]设l 为直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是( ) A .若//l α,//l β,则//αβB .若l α⊥,l β⊥,则//αβC .若l α⊥,//l β,则//αβD .若αβ⊥,//l α,则l β⊥ 3.(0分)[ID :12420]若四棱锥的三视图如图,则此四棱锥的四个侧面的面积中最大值为( )A .3B .13C .32D .334.(0分)[ID :12382]已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上,SC 为球O 的直径,且SC OA ⊥,SC OB ⊥,OAB 为等边三角形,三棱锥S ABC -的体积为433,则球O 的半径为( ) A .3 B .1 C .2 D .45.(0分)[ID :12356]在我国古代数学名著 九章算术 中,将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑,如图,在鳖臑ABCD 中, AB ⊥平面BCD ,且AB BC CD ==,则异面直线AC 与BD 所成角的余弦值为( )A .12B .12-C 3D .3 6.(0分)[ID :12351]已知一个三棱锥的三视图如图所示,其中俯视图是等腰直角三角形,则该三棱锥的外接球表面积为 ( )A .3πB .23πC .43πD .12π 7.(0分)[ID :12349]已知三棱锥S ABC -的每个顶点都在球O 的表面上,ABC ∆是边长为43的等边三角形,SA ⊥平面ABC ,且SB 与平面ABC 所成的角为6π,则球O 的表面积为( )A .20πB .40πC .80πD .160π8.(0分)[ID :12340]某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A .12B .18C .24D .309.(0分)[ID :12330]椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别是1F 、2F ,以2F 为圆心的圆过椭圆的中心,且与椭圆交于点P ,若直线1PF 恰好与圆2F 相切于点P ,则椭圆的离心率为( )A .312B 31C .22D .51210.(0分)[ID :12395]正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中,E ,F 分别是AD ,DD 1的中点,AB =4,则过B ,E ,F 的平面截该正方体所得的截面周长为( )A .25B .25C .25D .2511.(0分)[ID :12428]在长方体1111ABCD A B C D -中,2AB BC ==,1AC 与平面11BB C C 所成的角为30,则该长方体的体积为( )A .8B .62C .82D .8312.(0分)[ID :12347]若直线20ax y +-=和直线()2140x a y +-+=平行,则a 的值为( )A .1-或2B .1-C .2D .不存在13.(0分)[ID :12337]若圆的参数方程为12cos ,32sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩(θ为参数),直线的参数方程为21,61x t y t =-⎧⎨=-⎩(t 为参数),则直线与圆的位置关系是( ) A .相交且过圆心 B .相交但不过圆心 C .相切 D .相离14.(0分)[ID :12334]如图,在三棱柱111ABC A B C -中,1CC ⊥平面ABC ,ABC 是等腰三角形,BA BC =,123AC CC ==,,D 是AC 的中点,点F 在侧棱1A 上,若要使1C F ⊥平面BDF ,则1AF FA 的值为( )A .1B .12或2C .22或2D .13或3 15.(0分)[ID :12363]若圆锥的高等于底面直径,则它的底面积与侧面积之比为 A .1∶2B .1∶3C .1∶5D .3∶2二、填空题16.(0分)[ID :12492]已知平面α与正方体的12条棱所成角相等,设所成角为θ,则sin θ=______.17.(0分)[ID :12475]如图,在正方体1111—ABCD A B C D 中,M N ,分别为棱111C D C C ,的中点,有以下四个结论:①直线AM 与1CC 是相交直线;②直线AM 与BN 是平行直线;③直线BN 与1MB 是异面直线;④直线AM 与1DD 是异面直线.其中正确的结论的序号为________.18.(0分)[ID :12526]直线y =x +1与圆x 2+y 2+2y −3=0交于A , B 两点,则|AB |=________.19.(0分)[ID :12516]已知正三棱锥P -ABC ,点P ,A ,B ,C 都在半径为3的求面上,若PA ,PB ,PC 两两互相垂直,则球心到截面ABC 的距离为________.20.(0分)[ID :12483]已知三棱锥P ABC -的四个顶点在球O 的球面上,PA PB PC ==,ABC △是边长为2正三角形,,E F 分别是,PA AB 的中点,90CEF ︒∠=,则球O 的体积为_________________。
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第 1 页 共 8 页海南中学2015-2016学年第二学期中段考试高 一 数 学 试 题 卷第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的.)17. 不等式2215x x <-+的解集为( )A.{53}x x -<<B.{5}x x <-C.{53}x x x <->或D.{3}x x > 18. 若数列{}n a 满足1434n n a a ++=,且11a =,则17a =( ) A.12 B.13 C.15 D.16 19. 在ABC ∆中,,,a b c 分别是,,A B C 的对边,若sin cos cos a b cA B C==,则ABC ∆是( )A.等边三角形B.锐角三角形C.任意三角形D.等腰直角三角形20. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若246=12a a a ++,则7S =( ) A.21 B.24 C.28 D.721. 已知a b c >>且0a b c ++=,则下列不等式恒成立的是( ) A. ab bc > B. ac bc > C. ab ac > D. a b b c >22. 在等比数列{}n a 中,n T 表示{}n a 的前n 项的乘积,若51T =,则( ) A. 11a = B. 31a = C. 41a = D. 51a = 23. 已知0x y >>,则()1x x y y+-的最小值是( )A.2B.3C.4D.9 24. 设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和,若3613S S =,则612SS =( ) A.310 B. 13 C. 15 D. 1925. 已知等比数列{}n a 满足14nn n a a +=,则其公比为( )A. 4±B. 4C. 2±D. 226. ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别是,,a b c ,满足1b c a c a b+≥++,则角A 的范围是( )A. (0,]6π B. (0,]3π C. [,)6ππ D. [,)3ππ 27. 已知a b 、为正实数,且122a b+=.若不等式a b c +≥对满足条件的a b 、恒成立,则c 的取值范围是( )A. (,3]-∞B. 3(,2-∞ C. (,6]-∞ D. (,3-∞+ 28. 已知函数()(2)(3)f x m x m x m =-++,()22xg x =-,若对于任一实数x ,()f x 与()g x 至少有一个为负数,则实数m 的取值范围是( )A. (4,0)-B. 1(4,)2- C. 1(0,)2D. (4,1)--第II 卷 (非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.)29. 等比数列111,,,248前8项的和为___________30. 数列{}n a 的前n 项和为n S ,且11a =,12n n a S +=,则{}n a 的通项公式为___________31. 我舰在敌岛A 处南偏西50的B 处,且,A B 距离为12海里,发现敌舰正离开岛沿北偏西10的方向以每小时10海里的速度航行.若我舰要用2小时追上敌舰,则其速度大小为___________海里/小时.32. 关于x 的不等式2130ax x a -++≥的解集为(,)-∞+∞,则实数a 的取值范围是_______三.解答题(本大题共6个小题,共70分)33. (本小题满分10分)在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别是,,a b c .已知a =6b =,30A =,求角B 及ABC ∆的面积S .34. (本小题满分12分)在数列{}n a 中,11a =,133nn n a a +=+.(1)设13nn n a b -=,证明:数列{}n b 是等差数列; (2)求数列{}n a 的前n 项和n S .35. (本小题满分12分)在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别是,,a b c ,且2cos 2b C a c =-. (1)求角B 的大小; (2)若ABC ∆的面积4S =,4a c +=,求边b 的值.36. (本小题满分12分)阿海准备购买“海马”牌一辆小汽车,其中购车费用12.8万元,每年的保险费、汽油费约为0.95万元,年维修、保养费第一年是0.1万元,以后逐年递增0.1万元。
请你帮阿海计算一下这种汽车使用多少年,它的年平均费用最少?37. (本小题满分12分)已知()1()f x ax a R =-∈,不等式()5f x >的解集为{}32x x x <->或. (1)求a 的值;(2)解不等式()()22x f x f -≤.38. (本小题满分12分)设n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和,且124,,S S S 成等比数列,59a =.(1)求数列{}n a 的通项公式; (2)证明:*2311113()4n n N S S S ++++<∈.海南中学2015-2016学年第二学期中段考试高 一 数 学 参 考 答 案一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.)ABDCC BBCDB BA二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.)13、______255256_______; 14、_____21,123,1n n n a n -=⎧=⎨⋅>⎩________;15、_______14________; 16、______1[,)2+∞__________;三.解答题(本大题共6个小题,共70分)39. (本小题满分10分)在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别是,,a b c .已知a =6b =,30A =,求角B 及ABC ∆的面积S .解析:在ABC ∆中,sin sin 2b A B a ==0180B <<60120B ∴=或…………………………………………4分当60B =时,90C =,此时12S ab ==7分 当120B =时,30C =,此时1sin 2S ab C ==………………………………………10分40. (本小题满分12分)在数列{}n a 中,11a =,133nn n a a +=+.(1)设13nn n a b -=,证明:数列{}n b 是等差数列; (2)求数列{}n a 的前n 项和n S .解析:(1)证明:()1111333313333nn nn n n n n n n n n na a a a a ab b +++-+---=-===,所以{}n b 是等差数列.………………………………4分 (2)由(1)知{}n b 是公差为1的等差数列,且11b =.故n b n =,进而有13n n a n -=⋅…………………………6分01211323333*n n S n -∴=⋅+⋅+⋅++⋅……()1211323(1)33**n n n S n n -=⋅+⋅++-⋅⋅3+?…()***()-()得,121131113333331322n n nn n n S n n n --⎛⎫=++++-⋅=-⋅=-- ⎪-⎝⎭-211()3244n n n S ∴=-⋅+…………………………………12分41. (本小题满分12分)在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别是,,a b c ,且2cos 2b C a c =-. (1)求角B 的大小; (2)若ABC ∆的面积S =,4a c +=,求边b 的值. 解析:(1)2sin cos 2sin sin 2sin()sin B C A C B C C =-=+-2cos sin sin B C C ∴=……………………4分0sin 0C C π<<∴≠1cos 2B ∴=………………………………………………5分 0B π<<又3B π∴=…………………………6分(2)1sin 2S ac B =1422ac ∴= 3ac ∴=又22222cos ()37b a c ac B a c ac =+-=+-=b ∴=12分注:第(1)问用余弦定理求解亦可.42. (本小题满分12分)阿海准备购买“海马”牌一辆小汽车,其中购车费用12.8万元,每年的保险费、汽油费约为0.95万元,年维修、保养费第一年是0.1万元,以后逐年递增0.1万元。
请你帮阿海计算一下这种汽车使用多少年,它的年平均费用最少?解析:依题意知汽车每年维修、保养费依次构成以0.1万元为首项,0.1万元为公差的等差数列.因此,汽车使用x 年总的维修、保养费用为(0.10.1)2x x +万元.………4分设汽车的年平均费用为y 万元,则有(0.10.1)12.80.95212.80.11(0)2x x x y xxx x +++==++>…………………………………………8分0x >,12.80.1 1.62x x ∴+≥=当且仅当12.80.12xx =,即x=16时等号成立. 2.6y ∴≥,此时x=16.故x=16时,y 取得最小值.答:这种汽车使用16年时,它的年平均费用最少. ………………………………12分43. (本小题满分12分)已知()1()f x ax a R =-∈,不等式()5f x >的解集为{}32x x x <->或. (1)求a 的值;(2)解不等式()()22xf x f -≤.解析:(1)由15ax ->,得到6ax >或4ax <-……………………2分 当0a =时,不等式无解. 当0a <时,6x a <或4x a>-. 故6342a a⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩,解得2a =-.当0a >时,6x a >或4x a<-. 故6243aa⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩,此时a 无解.综上所述,2a =-.………………………………6分(2)2112x x +-+≤⇔12x x <-⎧⎨-≤⎩或112322x x ⎧-≤<-⎪⎨⎪--≤⎩或122x x ⎧≥-⎪⎨⎪≤⎩……………9分即21x -≤<-或112x -≤<-或122x -≤≤. 故原不等式的解集为{22}x x -≤≤……………………12分.44. (本小题满分12分)设n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和,且124,,S S S 成等比数列,59a =.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)证明:*2311113()4n n N S S S ++++<∈. 解析:(1)由题意知21459S S S a =⎧⎨=⎩.设{}n a 的公差为d ,则21111(2)(46)49a d a a d a d ⎧+=+⎨+=⎩,…………2分解得112a d =⎧⎨=⎩.()12121n a n n ∴=+-=-,故数列{}n a 的通项公式是21n a n =-.…………………………4分(2)证明:由(1)知2n S n =………………………………5分当1n =时,左边211344S ==<,故原不等式显然成立. ………………6分 当2n ≥时,因为()2111111n n n n n<=---, 所以,23411111n S S S S +++++()222211112341n =+++++()21111223341n n <++++⨯⨯⨯+21111111223341n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭2111221n =+-+ 314134n =-+<即2311113(2)4n n S S S ++++<≥. ………………………11分综上所述,*2311113()4n n N S S S ++++<∈.…………12分。