1.6正切函数学案高中数学必修4(北师大版)

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北师大版高中数学必修四正切函数的图像与性质教案

§1-7.2 正切函数的图像与性质（2课时）一、教学目标：1、知识与技能（1）了解任意角的正切函数概念；（2）理解正切函数中的自变量取值范围；（3）掌握正切线的画法；（4）能用单位圆中的正切线画出正切函数的图像；（5）熟练根据正切函数的图像推导出正切函数的性质；（6）能熟练掌握正切函数的图像与性质；（7）掌握利用数形结合思想分析问题、解决问题的技能。

2、过程与方法类比正、余弦函数的概念，引入正切函数的概念；在此基础上，比较三个三角函数之间的关系；让学生通过类比，联系正弦函数图像的作法，通过单位圆中的有向线段得到正切函数的图像；能学以致用，结合图像分析得到正切函数的诱导公式和正切函数的性质。

3、情感态度与价值观使同学们对正切函数的概念有一定的体会；会用联系的观点看问题，建立数形结合的思想，激发学习的学习积极性；培养学生分析问题、解决问题的能力；让学生体验自身探索成功的喜悦感，培养学生的自信心；培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神。

二、教学重、难点重点: 正切函数的概念、诱导公式、图像与性质难点: 熟练运用诱导公式和性质分析问题、解决问题三、学法与教学用具我们已经知道正、余弦函数的概念是通过在单位圆中，以函数定义的形式给出来的，从而把锐角的正、余弦函数推广到任意角的情况；现在我们就应该与正、余弦函数的概念作比较，得出正切函数的概念；同样地，可以仿照正、余弦函数的诱导公式推出正切函数的诱导公式；通过单位圆中的正切线画出正切函数的图像，并从图像观察总结出正切函数的性质。

教学用具:投影机、三角板第一课时正切函数的定义、图像及性质一、教学思路【创设情境，揭示课题】常见的三角函数还有正切函数，在前两次课中，我们学习了任意角的正、余弦函数，并借助于它们的图像研究了它们的性质。

今天我们类比正弦、余弦函数的学习方法，在直角坐标系内学习任意角的正切函数，请同学们先自主学习课本P40。

【探究新知】1．正切函数的定义在直角坐标系中，如果角α满足：α∈R ，α≠2π＋k π(k∈Z)，那么，角α的终边与单位圆交于点P （a ，b ），唯一确定比值a b .根据函数定义，比值ab是角α的函数，我们把它叫作角α的正切函数，记作y ＝tan α，其中α∈R ，α≠2π＋k π，k∈Z.比较正、余弦和正切的定义，不难看出：tan α＝ααcos sin (α∈R ，α≠2π＋k π，k∈Z).由此可知，正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，我们统称为三角函数。

北师大版数学高一必修4练习 1.7 正切函数(1-3课时)

[A 基础达标]1．函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的定义域是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π2－3π8，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π2＋π8，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π2，k ∈Z 解析：选C.由2x ＋π4≠k π＋π2(k ∈Z)，得x ≠k π2＋π8(k ∈Z)． 2．若tan θ·sin θ<0，则θ位于( )A ．第一、二象限B ．第一、三象限C ．第二、三象限D ．第二、四象限解析：选C.依题意，tan θ·sin θ<0，所以tan θ与sin θ异号．当tan θ>0，sin θ<0时，θ为第三象限角．当tan θ<0，sin θ>0时，θ为第二象限角．3．函数y ＝|tan x |的周期为( )A.π2B ．πC ．2πD ．3π解析：选B.结合函数y ＝|tan x |的图像可知周期为π.4．关于x 的函数f (x )＝tan(x ＋φ)，下列说法不正确的是( )A ．对任意的φ，f (x )都是非奇非偶函数B ．不存在φ，使f (x )既是奇函数，又是偶函数C ．存在φ，使f (x )为奇函数D ．对任意的φ ，f (x )都不是偶函数解析：选A.当φ＝k π(k ∈Z)时，f (x )＝tan(x ＋k π)＝tan x 为奇函数．5．在下列函数中，同时满足以下三个条件的是( )(1)在⎝⎛⎭⎫0，π2上是递减的． (2)最小正周期为2π.(3)是奇函数．A ．y ＝tan xB ．y ＝cos xC ．y ＝sin(x ＋3π)D ． y ＝sin 2x解析：选C.y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上是递增的，不满足条件(1)． B ．函数y ＝cos x 是偶函数，不满足条件(3)．C ．函数y ＝sin(x ＋3π)＝－sin x ，满足三个条件．D ．函数y ＝sin 2x 的最小正周期T ＝π，不满足条件(2)．6．直线y ＝a (a 为常数)与函数y ＝tan x 2的图像相交，两相邻交点间的距离为．解析：结合图像可知(图略)，两相邻交点间的距离恰为一个最小正周期．答案：2π7．比较大小：tan 211° tan 392°.解析：tan 211°＝tan(180°＋31°)＝tan 31°.tan 392°＝tan(360°＋32°)＝tan 32°，因为tan 31°<tan 32°，所以tan 211°<tan 392°.答案：<8．函数f (x )＝tan x －1＋1－x 2的定义域为．解析：要使函数f (x )有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧tan x －1≥0，1－x 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧tan x ≥1，x 2≤1.解得⎩⎪⎨⎪⎧k π＋π4≤x <k π＋π2，k ∈Z ，－1≤x ≤1，故π4≤x ≤1. 答案：⎣⎡⎦⎤π4，1 9．化简：tan （2π－α）sin （－2π－α）cos （6π－α）sin ⎝⎛⎭⎫α＋3π2cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2.解：原式＝tan （－α）·sin （－α）·cos （－α）sin ⎣⎡⎦⎤2π－⎝⎛⎭⎫π2－α·cos ⎣⎡⎦⎤2π－⎝⎛⎭⎫π2－α ＝（－tan α）·（－sin α）·cos αsin ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π2－α ＝sin 2α－sin ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2－α ＝sin 2α－cos α·sin α＝－sin αcos α＝－tan α. 10．(1)求y ＝tan 2x ＋4tan x －1的值域；(2)若x ∈⎣⎡⎦⎤π6，π3时，y ＝k ＋tan ⎝⎛⎭⎫π3－2x 的值总不大于零，求实数k 的取值范围．解：(1)设t ＝tan x ，则y ＝t 2＋4t －1＝(t ＋2)2－5≥－5，所以y ＝tan 2x ＋4tan x －1的值域为[－5，＋∞)．(2)由y ＝k ＋tan ⎝⎛⎭⎫π3－2x ≤0，得k ≤－tan ⎝⎛⎭⎫π3－2x ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 因为x ∈⎣⎡⎦⎤π6，π3，所以2x －π3∈⎣⎡⎦⎤0，π3. 由正切函数的单调性，得0≤tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤3，所以要使k ≤tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3恒成立，只要k ≤0即可．所以k 的取值范围为(－∞，0]．[B 能力提升]1．已知函数f (x )＝tan ωx 在区间⎝⎛⎭⎫－π2，π2内是减函数，则ω的取值范围是( ) A ．[1，＋∞)B ．(－∞，－1]C ．[－1，0)D ．(0，1]解析：选C.根据题意可知，ω<0且函数f (x )＝tan ωx 的最小正周期T ＝π|ω|≥π，所以－1≤ω<0，故选C.2．已知f (x )＝a sin x ＋b tan x ＋1满足f ⎝⎛⎭⎫π5＝7，则f ⎝⎛⎭⎫995π＝．解析：依题意得f ⎝⎛⎭⎫π5＝a sin π5＋b tan π5＋1＝7，所以a sin π5＋b tan π5＝6，所以f ⎝⎛⎭⎫995π＝a sin 995π＋b tan 995π＋1 ＝a sin ⎝⎛⎭⎫995π－20π＋b tan ⎝⎛⎭⎫995π－20π＋1 ＝－a sin π5－b tan π5＋1 ＝－⎝⎛⎭⎫a sin π5＋b tan π5＋1 ＝－6＋1＝－5.答案：－53．已知函数f (x )＝sin x |cos x |. (1)求函数的定义域；(2)用定义判断f (x )的奇偶性；(3)在[－π，π]上作出f (x )的图像；(4)写出f (x )的最小正周期及单调性．解：(1)因为由cos x ≠0，得x ≠k π＋π2(k ∈Z)，所以函数的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z . (2)由(1)知函数的定义域关于原点对称．又因为f (－x )＝sin （－x ）|cos （－x ）|＝－sin x |cos x | ＝－f (x )，所以f (x )是奇函数．(3)f (x )＝⎩⎨⎧tan x ，－π2<x <π2，－tan x ，－π≤x <－π2或π2<x ≤π，则f (x )在其定义域上的图像如图所示．(4)f (x )的最小正周期为2π，递增区间是⎝⎛⎭⎫－π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z)，递减区间是⎝⎛⎭⎫π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z)． 4．(选做题)已知f (x )＝x 2＋2x ·tan θ－1，x ∈[－1，3]，其中θ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2. (1)当θ＝－π6时，求函数f (x )的最大值与最小值； (2)求θ的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－1， 3 ]上是单调函数．解：(1)当θ＝－π6时，f (x )＝x 2－233x －1＝⎝⎛⎭⎫x －332－43，x ∈[－1，3]，所以当x ＝33时，f (x )的最小值为－43，当x ＝－1时，f (x )的最大值为233. (2)因为f (x )＝x 2＋2x ·tan θ－1＝(x ＋tan θ)2－1－tan 2θ，所以原函数的图像的对称轴方程为x ＝－tan θ.因为y ＝f (x )在[－1，3]上是单调函数，所以－tan θ≤－1或－tan θ≥3，即tan θ≥1或tan θ≤－3，所以π4＋k π≤θ<π2＋k π或－π2＋k π<θ≤－π3＋k π， k ∈Z.又θ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，所以θ的取值范围是⎝⎛⎦⎤－π2，－π3∪⎣⎡⎭⎫π4，π2.。

数学北师大版高中必修4正切函数的性质与图像

复习回顾问题：正弦曲线是怎样画的？
练习：画出下列各角的正切线：
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的终边的终边
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的终边
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复习回顾问题：正弦曲线是怎样画的？
练习：画出下列各角的正切线：
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的终边
的终边
复习回顾问题：正弦曲线是怎样画的？
练习：画出下列各角的正切线：
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讲授新课
例1. 比较tan 13 与tan 17
4 5 的大小.
讲授新课
例2. 求下列函数的周期：
讲授新课
例3. 求函数 y tan 3x 的定义域、
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值域，指出它的周期性、单调性.
讲授新课
例3. 求函数 y tan 3x 的定义域、
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讲授新课Biblioteka y 4

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数学必修四北师大版正切函数的诱导公式教案

数学必修四北师大版正切函数的诱导公式教案教学剖析正切函数的诱导公式是高中阶段最后研讨的一个函数的压轴公式,它前承正、余弦函数,后有同角三角函数的基本关系,不只是对正、余弦诱导公式探求方法的一种再现,更是一种提升,同时又为以后研讨三角函数效果奠定了基石.教材布置上是开门见山,只给出正切函数图像,没有给出任何提示就直接得出诱导公式.教材这样处置很巧妙,说明正切函数与正弦、余弦函数在研讨方法上相似,先生完全可以运用类比的思想方法自己得出结论,这样处置开展了先生的思想,留给了先生一定的提示空间;这样不只发扬了先生的客观能动性,增强动脑、入手的才干,而且在此进程中,先生更会有一个回忆及发扬自己才干的时机.教学进程中,教员不要侵占了先生这一空间.我们曾经看出来,在正、余弦函数中,是先学诱导公式,再学图像与性质的,而在学正切函数时,却是先学图像与性质,再学诱导公式.普通来说,对函数性质的研讨总是先作图像,经过观察图像取得对函数性质的直观看法,然后再从代数的角度对性质作出严厉表述.但对正切函数,教科书换了一个新的角度,采取了先依据已有的知识如正切函数的定义、正切线等先来研讨图像和性质,再来研讨它的诱导公式.这样处置,主要是为了给先生提供研讨数学效果更多的视角,并使数形结合的思想表达得愈加片面.教员要在先生探求活动进程中引导先生体会这种处置效果的方法.三维目的1．知识与技艺了解正切函数的定义，了解正切线的概念，会画正切函数的图像．了解正切函数的性质，并能掌握正切函数的诱导公式．2．进程与方法经过正切函数的学习，培育先生运用数形结合思想剖析、处置效果的才干．3．情感、态度与价值观经过本节的学习，培育先生严谨的学习态度，培育先生类比推理效果的才干，从而构成从详细到笼统、从理性到理性的思想进程．重点难点教学重点:正切函数的概念、诱导公式及其运用.教学难点:熟练运用诱导公式和性质对三角函数停止求值、化简和比拟大小课时布置1课时教学进程一．导入新课思绪1.先让先生回想正弦、余弦函数诱导公式的探求进程,因是在学习正弦、余弦函数图像与性质前,所以是借助单位圆推得的.学过正弦、余弦函数图像后,你能从正弦、余弦函数图像上看出来吗？我们上节课曾经学过了正切函数的图像和性质,你能观察归结出正切函数的诱导公式吗？让先生画图归结正切函数的诱导公式,由此展开新课.思绪2.设置情形,先让先生画正切函数图像二．提出效果，新课引入观察图像失掉归结角①α与2π+α,2π-α,π-α,-α,π+α的正切函数值的关系.②角α与角2π±α有怎样的关系？ ③类比正弦、余弦诱导公式的记忆方法,怎样记忆正切函数的诱导公式？④学过三角函数诱导公式后,想一想,怎样将恣意角的三角函数效果转化为锐角三角函数的效果？活动:先生完成效果①的计算后,心中就曾经有了却论;然后教员让先生入手画出正切函数图像,以增强先生对正切函数图像的感知;实践上,先生画图的进程就是集中留意力对已有的猜想停止进一步观察、思索、归结、验证的进程.教员适时地演示课件,静态演示函数y ＝tanx 与y=tan(2π+x),y=tanx 与y=tan(-x),y=tanx 与y=tan(2π-x),y=tanx 与y=tan(π-x),y=tanx 与y=tan(π+x)的图像,让先生观察同一自变量的值所对应不同函数的函数值之间的关系,从而归结得出正切函数以下的诱导公式:图1tan(2π+α)＝tan α;tan(-α)=-tan α;tan(2π-α)＝-tan α;tan(π-α)＝-tan α;tan(π+α)＝tan α.以上公式都叫作正切函数的诱导公式，它们区分反映了-α, 2π+α,2π-α,π-α, π+α 的三角函数与α的三角函数之间的关系，你能概括一下这四组公式的共同特点和规律吗？提示：-α, 2π+α,2π-α,π-α, π+α的三角函数值等于α的同名函数值，再放上原函数的象限符号. 简化成〝函数名不变，符号看象限〞的口诀．我们可以验证,无论角α是哪个象限的角,下面的诱导公式都是正确的;应用我们学习过的诱导公式很容易证明以下公式 tan(2π+α)=cot α; tan(2π-α)=cot α. 以上六个公式都叫作正切函数的诱导公式,其中角α可以为使得等式两边都有意义的恣意角.这样,我们就可以应用诱导公式将恣意角的三角函数效果转化为锐角三角函数效果,应用三角函数诱导公式的变换顺序可用如下的框图来表示:要求先生熟记2π±α,-α,π±α,2π±α的正切函数的诱导公式,这些诱导公式可以协助我们把恣意角化到［0°,360°)范围内,进而找到锐角,应用这些熟知角停止化简、求值或证明等.让先生类比正弦、余弦函数诱导公式的记忆歌诀,自己得出正切函数诱导公式的记忆歌诀.我们最熟习的三角函数值是角在0°到90°之间,应用三角函数诱导公式,我们就能将0°到360°之内的角化为0°到90°之间的角来求它的三角函数值,关于任一0°到360°的角β,有四种能够(其中α为不大于90°的非负角),解题时可依据标题条件灵敏选用.β=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧︒︒∈-︒︒︒∈+︒︒︒∈-︒︒︒∈).360,270[,360),270,180[,180),180,90[,180),90,0[,βαβαβαβα当当当当小试身手 1.判别以下命题能否正确。

北师大版高中数学高一必修4学案第一章7.1-7.2正切函数的定义正切函数的图像

正切函数7．1&7.2正切函数的定义正切函数的图像与性质预习课本P36～38，思考并完成以下问题1．正切函数的定义是什么？2．正切函数与正弦、余弦函数有怎样的关系？3．正切值在各象限的符号是什么？4．正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性分别是什么？[新知初探]1．正切函数的定义(1)任意角的正切函数如果角α满足α∈R，α≠π2＋kπ(k∈Z)，那么，角α的终边与单位圆交于点P(a，b)，唯一确定比值ba，我们把它叫作角α的正切函数，记作y＝tan α，其中α∈R，α≠π2＋kπ，k∈Z(2)正切函数与正弦、余弦函数的关系根据定义知tan α＝sin αcos α⎝⎛⎭⎫α∈R，α≠kπ＋π2，k∈Z.(3)正切值在各象限的符号根据定义知，当角在第一和第三象限时，其正切函数值为正；当角在第二和第四象限时，其值为负．(4)正切线在单位圆中令A (1,0)，过A 作x 轴的垂线与角α的终边或终边的延长线相交于T ，称线段AT 为角α的正切线．[点睛] (1)若α＝π2＋k π(k ∈Z)，则角α的终边落在y 轴上，此时P (0，b )，比值b a 无意义，因此正切函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α∈R ，且α≠π2＋k π，k ∈Z . (2)正切函数tan α＝ba 是一个比值，这个比值的大小与在角α终边上所取的点的位置无关．2．正切函数的图像及特征(1)y ＝tan x ，x ∈R 且x ≠π2＋k π，k ∈Z 的图像(正切曲线)．(2)正切曲线的特征正切曲线是被相互平行的直线x ＝k π＋π2(k ∈Z)所隔开的无穷多支曲线组成的．这些直线叫作正切曲线各支的渐近线．[点睛] 正切曲线是被相互平行的直线x ＝k π＋π2(k ∈Z)所隔开的无穷多支曲线组成的，每支曲线都是上、下无限伸展的，故正切函数不同于正弦、余弦函数的有界性．3．正切函数的性质函数y ＝tan x定义域 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ∈R 且x ≠π2＋k π，k ∈Z值域 R周期性周期为k π(k ∈Z ，k ≠0)，最小正周期为π奇偶性奇函数单调性在⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π (k ∈Z)上是增加的[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)y ＝－tan x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z ( ) (2)正切函数在其定义域内为增函数( ) (3)若角α的终边在y ＝x 上则tan α＝1( ) 答案：(1)√ (2)× (3)√2．直线y ＝a 与y ＝tan x 的图像的相邻两个交点的距离是( )A.π2 B ．πC ．2πD ．与a 的值的大小有关解析：选B 由条件知相邻两个交点间的距离即为一个周期的长度，故为π. 3．函数y ＝tan x ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4的值域是________．答案：[0,1]4．函数f (x )＝1－2cos x ＋|tan x |是________函数(填“奇”或“偶”)．解析：f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠π2＋k π，k ∈Z ，且f (－x )＝1－2cos(－x )＋|tan(－x )|＝1－2cos x ＋|tan x |＝f (x )，∴f (x )是偶函数．答案：偶利用定义求正切值[典例] 如图，设A 是单位圆和x 轴正半轴的交点，P ，Q 是单位圆上的两点，O 是坐标原点，∠AOP ＝π6，∠AO Q ＝α，α∈[0，π)．(1)若已知角θ的终边与OP 所在的射线关于x 轴对称，求tan θ； (2)若已知Q ⎝⎛⎭⎫35，45，试求tan α.[解] (1)∵角θ的终边与OP 所在的射线关于x 轴对称，且P ⎝⎛⎭⎫32，12，故θ的终边与单位圆交于P ′⎝⎛⎭⎫32，－12，则tan θ＝－1232＝－33.(2)∵∠AO Q ＝α且Q ⎝⎛⎭⎫35，45，∴tan α＝4535＝43.利用定义求任意角的正切函数值的方法由正切函数的定义知：若点P 为角的终边(终边不与y 轴重合)与单位圆的交点，则该角的正切值为点P 的纵坐标与横坐标的比值；若点P 为角的终边(终边不与y 轴重合)上的任意一点(除坐标原点)，由相似三角形的性质知，其正切值仍为点P 的纵坐标与横坐标的比值．[活学活用] 已知P ⎝⎛⎭⎫x ，－32是角α终边上一点，且tan α＝－3，求x 的值．解：由题意得tan α＝－32x ＝－3，解得x ＝12，故x 的值是12.正切函数的定义域、值域[典例] (1)求函数f (x )＝3tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的定义域． (2)求下列函数的值域． ①y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x －π4，x ∈⎣⎡⎭⎫0，3π4；②y ＝tan 2x ＋4tan x －1.[解] (1)由题意知，2x －π3≠k π＋π2(k ∈Z)，∴x ≠k π2＋5π12(k ∈Z)，(2)①∵x ∈⎣⎡⎭⎫0，3π4，∴－π4≤x －π4＜π2， y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x －π4在⎣⎡⎭⎫0，34π上为增函数，且y ≥－1， ∴函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x －π4，x ∈⎣⎡⎭⎫0，34π的值域为[)－1，＋∞. ②令t ＝tan x ，则t ∈R ，y ＝t 2＋4t －1＝(t ＋2)2－5≥－5， ∴函数y ＝tan 2x ＋4tan x －1的值域为[)－5，＋∞.(1)求由正切函数构成的函数的定义域时，要特别注意使三角函数有意义．例如，若函数含有tan x ，需x ≠k π＋π2，k ∈Z.(2)求正切函数的值域常用的方法有：直接法、配方法、反解函数法、单调性法、分离常数法、换元法．[活学活用]1．函数y ＝3x －x 2tan x的定义域是A ．(0,3]B ．(0，π) C.⎝⎛⎭⎫0，π2∪⎝⎛⎦⎤π2，3 D.⎝⎛⎭⎫0，π2∪⎝⎛⎭⎫π2，3 解析：选C根据函数有意义的条件，得⎩⎪⎨⎪⎧3x －x 2≥0，tan x ≠0，x ≠k π＋π2，即⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤3，x ≠k π，x ≠k π＋π2，故0＜x ＜π2或π2＜x ≤3，即函数y ＝3x －x 2tan x 的定义域是⎝⎛⎭⎫0，π2∪⎝⎛⎦⎤π2，3，故选C.2．已知π4≤x ≤π3，函数f (x )＝－tan 2x ＋10tan x －1，求函数f (x )的最大值和最小值，并求出相应的x 的值．解：设tan x ＝t ， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π3， ∴t ∈[1，3]，∴f (x )＝－tan 2x ＋10tan x －1＝－t 2＋10t －1 ＝－(t －5)2＋24.∴当t ＝1，即x ＝π4时，f (x )min ＝8；当t ＝3，即x ＝π3时，f (x )max ＝103－4.正切函数的图像及其单调性题点一：正切函数图像的识别1．函数y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |在区间⎝⎛⎭⎫π2，3π2内的图像大致是( )解析：选D 法一：由题意，得y ＝⎩⎨⎧2tan x ，x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，2sin x ，x ∈⎣⎡⎭⎫π，3π2，作出该函数的大致图像，故选D.法二：当x 从右边无限接近π2时，tan x 趋向于－∞，故|tan x －sin x |趋向于＋∞，∴y 趋向于－∞.故选D. 题点二：利用正切函数图像求解不等式 2．解不等式：tan x ≥－1.解：作出函数y ＝tan x 在区间⎝⎛⎭⎫－π2，π2内的大致图像，如图． ∵tan ⎝⎛⎭⎫－π4＝－1， ∴在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内满足tan x ≥－1的x 的取值范围为⎣⎡⎭⎫－π4，π2. 由正切函数的周期性可知，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－π4＋k π≤x ＜π2＋k π，k ∈Z .题点三：求单调区间3．写出下列函数的单调区间．(1)y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x 2－π6； (2)y ＝|tan x |.解：(1)当k π－π2＜x 2－π6＜k π＋π2(k ∈Z)，即2k π－2π3＜x ＜2k π＋4π3(k ∈Z)时，函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x 2－π6单调递增．∴函数的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫2k π－2π3，2k π＋4π3(k ∈Z)． (2)y ＝|tan x |＝⎩⎨⎧tan x ，x ∈⎣⎡⎭⎫k π，k π＋π2，k ∈Z ，－tan x ，x ∈⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π，k ∈Z.可作出其图像(如下图)，由图像知函数y ＝|tan x |的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π(k ∈Z)，单调递增区间为⎣⎡⎭⎫k π，k π＋π2(k ∈Z)．解含有正切函数的简单三角不等式时，可先画出正切函数的一个周期的图像，由图像得到在一个周期内满足条件的x 的取值范围，然后加上周期的整数倍，即可得到满足不等式的解．正切函数的奇偶性与周期性[典例] 已知f (x )＝－a tan x (a ≠0)． (1)判断f (x )在x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π3上的奇偶性； (2)求f (x )的最小正周期； (3)求f (x )的单调区间．[解] (1)∵f (x )＝－a tan x (a ≠0)，x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π3， ∴f (－x )＝－a tan(－x )＝a tan x ＝－f (x )．又定义域⎣⎡⎦⎤－π3，π3关于原点对称， ∴f (x )为奇函数． (2)f (x )的最小正周期为π.(3)∵y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z)上单调递增， ∴当a >0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2上单调递减，当a <0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2上单调递增．(1)判断与正切函数有关的奇偶性问题时要注意其定义域是否关于原点对称．(2)注意正切函数的最小正周期为π. [活学活用]1．函数y ＝tan xa 的最小正周期是( )A ．πaB ．π|a | C.π aD.π |a |解析：选B T ＝π⎪⎪⎪⎪1a ＝π|a |. 2．下列函数中，同时满足条件①在⎝⎛⎭⎫0，π2上是增加的，②是奇函数，③是以π为最小正周期的函数的是( ) A ．y ＝tan x B ．y ＝cos x C ．y ＝tan x2D ．y ＝|sin x |解析：选A 验证知A 符合①②③.层级一学业水平达标1．若tan x ≥0，则( )A ．2k π－π2＜x ＜2k π(k ∈Z)B ．x ≤(2k ＋1)π(k ∈Z)C ．k π－π2＜x ≤k π(k ∈Z)D ．k π≤x ＜k π＋π2(k ∈Z)解析：选D 结合正切函数的图像知， k π≤x ＜k π＋π2(k ∈Z)．2．当－π2＜x ＜π2时，函数y ＝tan |x |的图像( )A ．关于原点对称B ．关于x 轴对称C ．关于y 轴对称D ．不是对称图形解析：选C 由题意得定义域关于原点对称，又tan|－x |＝tan |x |，故原函数是偶函数，其图像关于y 轴对称．3．已知角α的终边在直线y ＝2x 上，则tan α的值是( )A ．2B ．±2 C.25D ．±25解析：选A 在角α的终边上取一点(k,2k )(k ≠0)，则tan α＝2k k＝2. 4．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π4－x 的定义域是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠π4，x ∈R B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠－π4，x ∈R C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠k π＋π4，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋3π4，k ∈Z 解析：选D 由题意得π4－x ≠k ′π＋π2(k ′∈Z)，所以x ≠－k ′π－π4(k ′∈Z)，即x ≠k π＋3π4(k ∈Z)．5．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π2－x ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4，且x ≠0的值域为( ) A ．[－1,1] B ．(－∞，－1]∪[1，＋∞) C ．(－∞，1]D ．[－1，＋∞)解析：选B ∵－π4≤x ≤π4且x ≠0，∴π4≤π2－x ≤3π4且π2－x ≠π2.由函数y ＝tan x 的单调性，可得y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π2－x 的值域为(－∞，－1]∪[1，＋∞)．6．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－3x －π3的单调递减区间为__________．解析：由－π2＋k π＜－3x －π3＜π2＋k π，得－k π3－5π18＜x ＜－k π3＋π18(k ∈Z)，所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－3x －π3的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－k π3－5π18，－k π3＋π18(k ∈Z)．答案：⎝⎛⎭⎫－k π3－5π18，－k π3＋π18(k ∈Z) 7．tan 2与tan 3的大小关系是________(用“＜”连接)．解析：因为π2＜2＜3＜π，函数y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递增，所以tan 2＜tan 3. 答案：tan 2＜tan 38．函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6的最小正周期是π2，则ω＝________. 解析：由T ＝x |ω|＝π2，∴ω＝±2. 答案：±29．求函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )的定义域．解：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧tan x ＋1≥0，1－tan x ＞0，即－1≤tan x ＜1. 当x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2时，满足上述不等式的x 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－π4，π4.因为y ＝tan x 的周期为k π(k ∈Z ，k ≠0)，所以所求x 的范围是⎣⎡⎭⎫k π－π4，k π＋π4(k ∈Z)．即原函数的定义域为⎣⎡⎭⎫k π－π4，k π＋π4(k ∈Z)．10．已知函数f (x )＝sin x |cos x |. (1)求函数定义域；(2)用定义判断f (x )的奇偶性；(3)在[－π，π]上作出f (x )的图像；(4)写出f (x )的最小正周期及单调性．解：(1)∵由cos x ≠0，得x ≠k π＋π2(k ∈Z)， ∴函数的定义域是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π＋π2，k ∈Z . (2)由(1)知函数的定义域关于原点对称．又∵f (－x )＝sin (－x )|cos (－x )|＝－sin x |cos x |＝－f (x )， ∴f (x )是奇函数．(3)f (x )＝⎩⎨⎧tan x ，－π2＜x ＜π2，－tan x ，－π≤x ＜－π2或π2＜x ≤π.故f (x )(x ∈[－π，π])的图像如图所示．(4)由图像可知f (x )的最小正周期为2π，函数f (x )在⎝⎛⎭⎫－π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z)上是增加的；在⎝⎛⎭⎫π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z)上是减少的．层级二应试能力达标1．已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝－32且|φ|＜π2，则tan φ＝( ) A ．－33 B.33C ．－ 3D. 3解析：选D 由cos ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝－32得sin φ＝32，又|φ|＜π2，所以φ＝π3，所以tan φ＝tan π3＝ 3. 2．在区间⎝⎛⎭⎫－3π2，3π2内，函数y ＝tan x 与函数y ＝sin x 的图像交点个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 在同一坐标系中分别作出函数y ＝tan x 与函数y ＝sin x 的图像，可知它们交于点(－π，0)，(0,0)，(π，0)．3．若函数y ＝tan ωx (ω∈N *)的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫π6，0，则ω的最小值为( )A ．2B ．3C ．6D ．9解析：选B 由于正切函数f (x )＝tan x 的对称中心坐标为⎝⎛⎭⎫k π2，0(k ∈Z)，且函数y ＝tanωx (ω∈N *)的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫π6，0，所以ωπ6＝k π2(k ∈Z)，因此ω＝3k (k ∈Z)，因为ω∈N *，所以当k ＝1时，ω取得最小值3.4．函数y ＝cos x |tan x |⎝⎛⎭⎫0≤x ＜3π2，x ≠π2的图像大致是( )解析：选C 函数y ＝cos x |tan x |可化简为y ＝⎩⎨⎧ sin x ，x ∈⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫π，3π2，－sin x ，x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，在直角坐标系中作出该函数的图像，只有C 符合．5．已知P (1，y )为角α终边上的一点，且cos α＝13，则tan α＝________. 解析：∵r ＝|OP |＝1＋y 2， ∴cos α＝13＝11＋y 2；得y ＝±2 2. ∴tan α＝y ＝±2 2.答案：±2 26．已知函数y ＝tan ωx 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上是减函数，则ω的范围是________．解析：∵y ＝tan ωx 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上是减函数， ∴ω＜0且T ＝π|ω|≥π，∴ω＜0且|ω|≤1，即－1≤ω＜0. 答案：[－1,0)7．试讨论函数y ＝log a tan x 的单调性．解：①当a ＞1时，y ＝log a u 在u ∈(0，＋∞)上单调递增，当x ∈⎝⎛⎭⎫k π，π2＋k π(k ∈Z)时，u ＝tan x 是单调递增的， ∴y ＝log a tan x 在x ∈⎝⎛⎭⎫k π，π2＋k π(k ∈Z)上是增加的． ②当0＜a ＜1时，y ＝log a u 在u ∈(0，＋∞)上单调递减，当x ∈⎝⎛⎭⎫k π，π2＋k π(k ∈Z)时，u ＝tan x 是单调递增的， ∴y ＝log a tan x 在x ∈⎝⎛⎭⎫k π，π2＋k π(k ∈Z)上是减少的．故当a ＞1时，y ＝log a tan x 在x ∈⎝⎛⎭⎫k π，π2＋k π(k ∈Z)上是增加的；当0＜a ＜1时，y ＝log a tan x 在x ∈⎝⎛⎭⎫k π，π2＋k π(k ∈Z)上是减少的．8．已知函数f (x )＝x 2＋2x tan θ－1，x ∈[－1， 3 ]，其中θ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2. (1)当θ＝－π6时，求函数f (x )的最大值和最小值； (2)若函数f (x )在区间[－1， 3 ]上是单调函数，求θ的取值范围．解：(1)当θ＝－π6时， f (x )＝x 2－233x －1＝⎝⎛⎭⎫x －332－43. ∵x ∈[－1， 3 ]，∴当x ＝33时，f (x )取得最小值，为－43，当x ＝－1时，f (x )取得最大值，为233. (2)函数f (x )＝(x ＋tan θ)2－1－tan 2θ是关于x 的二次函数，它的图像的对称轴为直线x ＝－tan θ.∵函数f (x )在区间[－1， 3 ]上是单调函数，∴－tan θ≤－1或－tan θ≥3，即tan θ≥1或tan θ≤－ 3.∵θ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2， ∴θ的取值范围是⎝⎛⎦⎤－π2，－π3∪⎣⎡⎭⎫π4，π2.。

【创新设计】2022-2021学年高一数学北师大版必修4学案：1.7 正切函数 Word版含答案

§7 正切函数[学习目标] 1.能依据正、余弦函数的定义类比得正切函数的定义.2.了解正切函数图像的画法，能利用正切函数的图像及性质解决有关问题.3.能依据正弦、余弦函数的诱导公式推出正切函数的诱导公式．[学问链接]1．正切函数的定义域是什么？用区间如何表示？答 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z ， x ∈⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z ) 2．如何作正切函数的图像？答类似于正、余弦函数的“五点法”作图，正切曲线的简图可用“三点两线法”，这里的三点分别为(k π，0)，⎝⎛⎭⎫k π＋π4，1，⎝⎛⎭⎫k π－π4，－1，其中k ∈Z ，两线分别为直线x ＝k π＋π2(k ∈Z )，x ＝k π－π2(k ∈Z )． 3．依据相关诱导公式，你能推断正切函数是周期函数吗？其最小正周期为多少？答由诱导公式tan(x ＋π)＝tan x ，可知正切函数是周期函数，最小正周期是π 4．依据相关诱导公式，你能推断正切函数具有奇偶性吗？答从正切函数的图像来看，正切曲线关于原点对称；从诱导公式来看，tan(－x )＝－tan x ．故正切函数是奇函数． [预习导引] 1．正切函数的定义在直角坐标系中(如图所示)，假如角α满足：α∈R ，α≠π2＋k π(k ∈Z )，那么，角α的终边与单位圆交于点P (a ，b )，唯一确定比值b a .依据函数的定义，比值ba 是角α的函数，我们把它叫作角α的正切函数，记作y ＝tan α，其中α∈R ，α≠π2＋k π，k ∈Z .2．函数y ＝tan x 的性质与图像见下表：⎧⎫π3.正切函数的诱导公式 tan(x ＋k π)＝tan_x (k ∈Z )； tan(2π＋x )＝tan_x ； tan(－x )＝－tan_x ； tan(2π－x )＝－tan_x ； tan(π－x )＝－tan_x ； tan(π＋x )＝tan_x .要点一正切函数的定义域例1 求函数y ＝tan x －1tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的定义域．解依据题意，得⎩⎨⎧tan x ≥1，tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π6≠0，x ＋π6≠π2＋k π，解得⎩⎪⎨⎪⎧π4＋k π≤x <π2＋k π，x ≠－π6＋k π，x ≠π3＋k π.所以函数的定义域为⎣⎡⎭⎫π4＋k π，π3＋k π∪⎝⎛⎭⎫π3＋k π，π2＋k π(k ∈Z )．规律方法求定义域时，要留意正切函数自身的限制条件，另外解不等式时要充分利用三角函数的图像或三角函数线．跟踪演练1 求函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )的定义域．解由题意得⎩⎪⎨⎪⎧tan x ＋1≥0，1－tan x >0，即－1≤tan x <1.在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内，满足上述不等式的x 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－π4，π4.又y ＝tan x 的周期为π，所以函数定义域是⎣⎡⎭⎫k π－π4，k π＋π4(k ∈Z )．要点二正切函数的单调性及应用例2 (1)求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4的单调区间； (2)比较tan 1、tan 2、tan 3的大小．解 (1)y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4＝－tan ⎝⎛⎭⎫12x －π4，由k π－π2<12x －π4<k π＋π2(k ∈Z )，得2k π－π2<x <2k π＋32π，k ∈Z ，∴函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4的单调递减区间是 ⎝⎛⎭⎫2k π－π2，2k π＋32π，k ∈Z .(2)∵tan 2＝tan(2－π)，tan 3＝tan(3－π)，又∵π2<2<π，∴－π2<2－π<0.∵π2<3<π，∴－π2<3－π<0，明显－π2<2－π<3－π<1<π2，且y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内是增函数， ∴tan (2－π)<tan (3－π)<tan 1，即tan 2<tan 3 <tan 1.规律方法正切型函数单调性求法与正弦、余弦型函数求法一样，接受整体代入法，但要留意区间为开区间且只有单调增区间或单调减区间．利用单调性比较大小要把角转化到同一单调区间内．跟踪演练2 (1)求函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π4－2x 的单调递减区间； (2)比较tan 65π与tan ⎝⎛⎭⎫－137π的大小．解 (1)y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π4－2x ＝－3tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4，令－π2＋k π<2x －π4<π2＋k π，则－π8＋k π2<x <3π8＋k π2，k ∈Z ，从而函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－π8＋k π2，3π8＋k π2，k ∈Z ，故函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π4－2x 的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－π8＋k π2，3π8＋k π2，k ∈Z .(2)tan 65π＝tan ⎝⎛⎭⎫π＋π5＝tan π5， tan ⎝⎛⎭⎫－137π＝－tan 137π＝－tan ⎝⎛⎭⎫2π－π7 ＝－tan ⎝⎛⎭⎫－π7＝tan π7， ∵－π2<π7<π5<π2，y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上单调递增， ∴tan π7<tan π5，即tan 65π>tan ⎝⎛⎭⎫－137π. 要点三正切函数图像与性质的综合应用例3 设函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫x 2－π3.(1)求函数f (x )的定义域、周期、单调区间及对称中心； (2)求不等式－1≤f (x )≤3的解集； (3)作出函数y ＝f (x )在一个周期内的简图．解 (1)由x 2－π3≠π2＋k π(k ∈Z )得x ≠5π3＋2k π，∴f (x )的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠5π3＋2k π，k ∈Z .∵ω＝12，∴周期T ＝πω＝π12＝2π.由－π2＋k π<x 2－π3<π2＋k π(k ∈Z )得－π3＋2k π<x <5π3＋2k π(k ∈Z )．∴函数f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫－π3＋2k π，5π3＋2k π(k ∈Z )．由x 2－π3＝k π2(k ∈Z )得x ＝k π＋23π，故函数f (x )的对称中心是⎝⎛⎭⎫k π＋23π，0，k ∈Z . (2)由－1≤tan ⎝⎛⎭⎫x 2－π3≤3，得－π4＋k π≤x 2－π3≤π3＋k π(k ∈Z )．解得π6＋2k π≤x ≤4π3＋2k π(k ∈Z )．∴不等式－1≤f (x )≤3的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪π6＋2k π≤x ≤4π3＋2k π，k ∈Z .(3)令x 2－π3＝0，则x ＝2π3.令x 2－π3＝π2，则x ＝5π3. 令x 2－π3＝－π2，则x ＝－π3. ∴函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x 2－π3的图像与x 轴的一个交点坐标是⎝⎛⎭⎫2π3，0，在这个交点左、右两侧相邻的两条渐近线方程分别是x ＝－π3，x ＝5π3.从而得函数y ＝f (x )在一个周期⎝⎛⎭⎫－π3，5π3内的简图(如图)．规律方法对于形如y ＝tan(ωx ＋φ)(ω、φ为非零常数)的函数性质和图像的争辩，应以正切函数的性质与图像为基础，运用整体思想和换元法求解．假如ω<0，一般先利用诱导公式将x 的系数化为正数，再进行求解．跟踪演练3 画出函数y ＝|tan x |的图像，并依据图像推断其单调区间、奇偶性、周期性．解由y ＝|tan x |得，y ＝⎩⎨⎧tan x ，k π≤x <k π＋π2(k ∈Z )，－tan x ，－π2＋k π<x <k π(k ∈Z ).其图像如图．由图像可知，函数y ＝|tan x |是偶函数，单调递增区间为⎣⎡⎭⎫k π，π2＋k π(k ∈Z )，单调递减区间为⎝⎛⎦⎤－π2＋k π，k π(k ∈Z )，周期为π.要点四正切函数的诱导公式应用例4 求证：tan (2π－α)cos ⎝⎛⎭⎫3π2－αcos (6π－α)sin ⎝⎛⎭⎫α＋3π2cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2＝－tan α.证明左边＝tan (－α)·(－sin α)·cos (－α)sin ⎣⎡⎦⎤2π－⎝⎛⎭⎫π2－α·cos ⎣⎡⎦⎤2π－⎝⎛⎭⎫π2－α＝(－sin α)·(－sin α)sin ⎣⎡⎦⎤ －⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin 2α－sin ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin 2α－cos α·sin α＝－sin αcos α＝－tan α＝右边． ∴原等式成立．规律方法利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的机敏应用，其证明的常用方法有：(1)从一边开头，使得它等于另一边，一般由繁到简．(2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子．(3)凑合法：即针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消退其差异，简言之，即化异为同．跟踪演练4 已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，α是第三象限角，求sin ⎝⎛⎭⎫－α－32π⎝⎛⎭⎫cos 32π－αcos ⎝⎛⎭⎫π2－αsin ⎝⎛⎭⎫π2＋α·tan 2(π－α)的值．解方程5x 2－7x －6＝0的两根为x 1＝－35，x 2＝2，由α是第三象限角，得sin α＝－35，则cos α＝－45，∴sin ⎝⎛⎭⎫－α－32πcos ⎝⎛⎭⎫32π－αcos ⎝⎛⎭⎫π2－αsin ⎝⎛⎭⎫π2＋α·tan 2(π－α)＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－α·cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin α·cos α·tan 2α＝cos α·(－sin α)sin α·cos α·tan 2α＝－tan 2α＝－sin 2αcos 2α＝－916.1．函数y ＝3tan(2x ＋π4)的定义域是( )A ．{x |x ≠k π＋π2，k ∈Z }B ．{x |x ≠k 2π－3π8，k ∈Z }C ．{x |x ≠k 2π＋π8，k ∈Z }D ．{x |x ≠k2π，k ∈Z }答案 C2．函数f (x )＝tan(x ＋π4)的单调递增区间为( )A ．(k π－π2，k π＋π2)，k ∈ZB ．(k π，(k ＋1)π)，k ∈ZC ．(k π－3π4，k π＋π4)，k ∈ZD ．(k π－π4，k π＋3π4)，k ∈Z答案 C3．在下列函数中同时满足：①在⎝⎛⎭⎫0，π2上递增；②以2π为周期；③是奇函数的是( ) A ．y ＝tan x B ．y ＝cos x C ．y ＝tan x2D ．y ＝－tan x答案 C4．方程tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝3在区间[0,2π)上的解的个数是( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 答案 B解析由tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝3解得 2x ＋π3＝π3＋k π(k ∈Z )，∴x ＝k π2(k ∈Z )，又x ∈[0,2π)，∴x ＝0，π2，π，3π2.故选B.1.正切函数的图像正切函数有很多多条渐近线，渐近线方程为x ＝k π＋π2，k ∈Z ，相邻两条渐近线之间都有一支正切曲线，且单调递增．2．正切函数的性质(1)正切函数y ＝tan x 的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π2，k ∈Z ，值域是R .(2)正切函数y ＝tan x 的最小正周期是π，函数y ＝A tan(ωx ＋φ) (Aω≠0)的周期为T ＝π|ω|.(3)正切函数在⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )上递增，不能写成闭区间．正切函数无单调减区间.一、基础达标1．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π5，x ∈R 且x ≠310π＋k π，k ∈Z 的一个对称中心是( ) A ．(0,0)B.⎝⎛⎭⎫π5，0 C.⎝⎛⎭⎫45π，0D ．(π，0)答案 C2．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－3x ＋π4的单调减区间为( ) A.⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2，k ∈Z B ．(k π，(k ＋1)π)，k ∈Z C.⎝⎛⎭⎫k π3－π12，k π3＋π4，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎫k π－π4，k π＋3π4，k ∈Z 答案 C3．在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos(2x ＋π6)，④y ＝tan(2x －π4)中，最小正周期为π的全部函数为( )A ．②④B ．①③④C ．①②③D ．①③答案 C解析 ①y ＝cos|2x |＝cos 2x ，T ＝π. ②由图像知，函数的周期T ＝π. ③T ＝π. ④T ＝π2.综上可知，最小正周期为π的全部函数为①②③. 4．下列各式中正确的是( ) A ．tan 735°>tan 800° B ．tan 1>－tan 2 C ．tan 5π7<tan 4π7D ．tan9π8<tan π7答案 D5．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图像的相邻两支截直线y ＝π4所得线段长为π4，则f ⎝⎛⎭⎫π4的值是( ) A ．0 B ．1 C ．－1D.π4答案 A解析由题意，T ＝πω＝π4，∴ω＝4.∴f (x )＝tan 4x ，f ⎝⎛⎭⎫π4＝tan π＝0.6．下列关于函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的说法正确的是( ) A ．在区间⎝⎛⎭⎫－π6，5π6上单调递增 B ．最小正周期是πC ．图像关于点⎝⎛⎭⎫π4，0成中心对称 D ．图像关于直线x ＝π6成轴对称答案 B解析令k π－π2<x ＋π3<k π＋π2，解得k π－5π6<x <k π＋π6，k ∈Z ，明显⎝⎛⎭⎫－π6，5π6不满足上述关系式，故A 错误；易知该函数的最小正周期为π，故B 正确；令x ＋π3＝k π2(k ∈Z )，解得x ＝k π2－π3，k ∈Z ，任取k 值不能得到x＝π4，故C 错误；正切曲线没有对称轴，因此函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图像也没有对称轴，故D 错误．故选B. 7．求函数y ＝－tan 2x ＋4tan x ＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4的值域．解 ∵－π4≤x ≤π4，∴－1≤tan x ≤1.令tan x ＝t ，则t ∈[－1,1]． ∴y ＝－t 2＋4t ＋1＝－(t －2)2＋5. ∴当t ＝－1，即x ＝－π4时，y min ＝－4，当t ＝1，即x ＝π4时，y max ＝4.故所求函数的值域为[－4,4]．二、力量提升8．设a ＝sin 33°，b ＝cos 55°，c ＝tan 35°，则( ) A ．a >b >c B ．b >c >a C ．c >b >aD ．c >a >b答案 C解析 ∵a ＝sin 33°，b ＝cos 55°＝sin 35°，c ＝tan 35°＝sin 35°cos 35°，又0<cos 35°<1，∴c >b >a .9．函数y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |在区间⎝⎛⎭⎫π2，3π2内的图像是( )答案 D解析当π2<x <π，tan x <sin x ，y ＝2tan x <0；当x ＝π时，y ＝0；当π<x <3π2时，tan x >sin x ，y ＝2sin x ．故选D.10．函数y ＝3tan(ωx ＋π6)的最小正周期是π2，则ω＝________.答案 ±2解析 T ＝π|ω|＝π2，∴ω＝±2.11．已知函数f (x )＝x 2＋2x ·tan θ－1，x ∈[－1，3]，θ∈(－π2，π2)．(1)当θ＝－π6时，求函数f (x )的最大值和最小值．(2)求θ的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－1，3]上是单调函数．解 (1)当θ＝－π6时，f (x )＝x 2－233x －1＝(x －33)2－43(x ∈[－1，3])，∴当x ＝33时，f (x )min ＝－43；当x ＝－1时，f (x )max ＝233. (2)函数f (x )＝(x ＋tan θ)2－1－tan 2θ的图像的对称轴为直线x ＝－tan θ. ∵y ＝f (x )在区间[－1，3]上是单调函数， ∴－tan θ≤－1或－tan θ≥ 3. ∴tan θ≥1或tan θ≤－ 3.解得θ的取值范围是[π4，π2)∪(－π2，－π3]．12．设函数f (x )＝tan(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π2)，已知函数y ＝f (x )的图像与x 轴相邻两交点的距离为π2，且图像关于点M (－π8，0)对称，求f (x )的解析式．解由题意可知，函数f (x )的最小正周期T ＝π2，即πω＝π2，∴ω＝2. 从而f (x )＝tan(2x ＋φ)．∵函数y ＝f (x )的图像关于点M (－π8，0)对称，∴2×(－π8)＋φ＝k π或π2＋k π，k ∈Z ，即φ＝k π＋π4或φ＝k π＋3π4(k ∈Z )．∵0<φ<π2，∴φ只能取π4.故f (x )＝tan(2x ＋π4)．三、探究与创新13．函数y ＝sin x 与y ＝tan x 的图像在区间[0,2π]上交点的个数是多少？解由于当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，tan x >x >sin x ，所以当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，y ＝sin x 与y＝tan x 没有公共点，因此函数y＝sin x与y＝tan x在区间[0,2π]内的图像如图所示：观看图像可知，函数y＝tan x与y＝sin x在区间[0,2π]内有3个交点．。

【北师大版】高中数学必修四全册学案(全册共340页附答案)

【北师大版】高中数学必修四全册学案（全册共340页附答案）目录§1周期现象§2角的概念的推广§3弧度制4．1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义4．2 单位圆与周期性4.3 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质4．4 单位圆的对称性与诱导公式(一)4.4 单位圆的对称性与诱导公式(二)5．1 正弦函数的图像5.2 正弦函数的性质§6余弦函数的图像与性质7．1 正切函数的定义7．2 正切函数的图像与性质7.3 正切函数的诱导公式§8函数y＝A sin(ωx＋φ)的图像与性质(一)§8函数y＝A sin(ωx＋φ)的图像与性质(二)§9三角函数的简单应用章末复习课第二章平面向量§1从位移、速度、力到向量2．1 向量的加法2.2 向量的减法3．1 数乘向量3.2 平面向量基本定理§4平面向量的坐标§5从力做的功到向量的数量积§1周期现象内容要求 1.了解周期现象，能判断简单的实际问题中的周期(重点).2.初步了解周期函数的概念，能判断简单的函数的周期性(难点)．知识点周期现象(1)概念：相同间隔重复出现的现象．(2)特点：①有一定的规律；②不断重复出现．【预习评价】1．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)地球上一年春、夏、秋、冬四季的变化是周期现象．(√)(2)钟表的分针每小时转一圈，它的运行是周期现象．(√)2．观察“2,0,1,7,2,0,1,7,2,0,1,7，…”寻找规律，则第25个数字是________．解析观察可知2,0,1,7每隔四个数字重复出现一次，具有周期性，故第25个数字为2. 答案 2题型一周期现象的判断【例1】判断下列现象是否为周期现象，并说明理由．(1)地球的自转；(2)连续抛掷一枚骰子，朝上一面的点数；(3)钟表的秒针的转动；(4)某段高速公路每天通过的车辆数．解(1)地球每天自转一圈，并且每一天内的任何时段总会重复前一天内相同时段的动作，因此是周期现象．(2)连续抛掷一枚骰子，朝上一面的点数有可能为1,2，…，6，并且前一次出现的点数，下一次可能出现，也可能不出现，故出现的点数是随机的，因此不是周期现象．(3)钟表的秒针的转动，每一分钟转一圈，并且每分钟总是重复前一分钟的动作，因此是周期现象．(4)某段高速公路每天通过的车辆数，会因时间、天气、交通状况等因素而发生变化，没有一个确定的规律，因此不是周期现象．规律方法周期现象的判断关键：首先要认真审题，明确题目的实际背景，然后应牢牢抓住“间隔相同，现象(或值)重复出现”这一重要特征进行判断．【训练1】判断下列现象是否为周期现象：(1)每届奥运会的举办时间；(2)北京天安门广场的国旗，日出时升旗，日落时降旗，则其每天的升旗时间；(3)中央电视台每晚7：00的新闻联播．解(1)奥运会每4年一届，所以其举办时间呈周期现象．(2)北京每天的日出、日落随节气变化，并非恒定，相邻两天的升旗时间间隔是变化的，不是常数，所以不是周期现象．(3)每24小时，新闻联播重复一次，所以是周期现象．题型二周期现象的应用【例2】一个地区不同日子里白昼的时长是不同的，所给表是某地一年中10天测量的白昼时间统计表(时间近似到0.1小时)：坐标系中画出这些数据的散点图，并估计该地区一年中大约有多少天白昼时间大于15.9小时．(2)白昼时间的变化是否具有周期现象？你估计该地区来年6月21日的白昼时间是多少？解(1)散点图如图所示，因为从4月27日至8月13日的白昼时间均超过15.9小时，所以该地区一年白昼时间超过15.9小时的大约有3＋31＋30＋31＋12＝107(天)．(2)由散点图可知，白昼时间的变化是周期现象，该地区来年6月21日的白昼时间为19.4小时．规律方法收集数据、画散点图，分析、研究数据特点从而得出结论是用数学方法研究现实问题的常用方法．【训练2】受日月的引力，海水会发生涨落，这种现象叫做潮汐．已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：时)的函数，记作y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：几次？时间最长的一次是什么时候？有多长时间？解由题中表可知，一天内能开放三次，时间最长的一次是上午9时至下午3时，共6个小时．【例3】2017年5月1日是星期一，问2017年10月1日是星期几？解按照公历记法，2017年5、7、8这三个月份都是31天，6、9月份各30天．从2017年5月1日到2017年10月1日共有153天，因为每星期有7天，故由153＝22×7－1知，从2017年5月1日再过154天恰好与5月1日相同都是星期一，这一天是公历2017年10月2日，故2017年10月1日是星期日．【迁移1】试确定自2017年5月1日再过200天是星期几？解由200＝28×7＋4知自2017年5月1日再过200天是星期五．【迁移2】从2017年5月1日到2017年10月1日经过了几个星期五？几个星期一？解因为从2017年5月1日到2017年10月1日的153天中有21个完整的周期零6天，在每个周期中有且仅有一个星期五和一个星期一，故共经过了22个星期五，21个星期一．【迁移3】试确定自2017年5月1日再过7k＋3(k∈Z)天后那一天是星期几？解每隔七天，周一至周日依次循环，故7k天后为周一，7k＋3天后为星期四．规律方法应用周期性解决实际问题的两个要点特别提醒计算两个日期的间隔时间时要注意有的月份30天，有的月份31天，二月份有28天(或29天)．课堂达标1．下列自然现象：月亮东升西落，气候的冷暖，昼夜变化，火山爆发．其中是周期现象的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个解析月亮东升西落及昼夜变化为周期现象；气候的冷暖与火山爆发不是周期现象，故选B.答案 B2．如果今天是星期五，则58天后的那一天是星期( )A．五B．六C．日D．一解析每隔七天循环一次，58＝7×8＋2，故58天后为周日．答案 C3．共有50架飞机组成编队，按侦察机、直升机、轰炸机、歼击机的顺序轮换编队，则最后一架飞机是________飞机．解析周期为4,50＝12×4＋2，所以最后一架是直升机．答案直升机4．某物体作周期运动，如果一个周期为0.4秒，那么运动4秒，该物体经过了________个周期．解析4÷0.4＝10，所以经过了10个周期．答案105．某班有48名学生，每天安排4名同学进行卫生值日，按一周上五天课，一学期二十周计算，该班每位同学一学期要值日几次？解共有48名学生，每天安排4名，则12个上课日就轮完一遍．一学期有5×20＝100(个)上课日，而12×8＝96(个)上课日，所以一个学期内该班每位同学至少值日8次，有部分同学要值日9次．课堂小结1．对于某些具有重复现象的事件，研究其规律，可预测未来在一定时间该现象发生的可能性及发生规律，具有一定的研究价值．2．利用散点图可以较直观地分析两变量之间的某种关系，然后再利用这种关系选择一种合适的函数去拟合这些散点，从而可以避免因盲目选择函数模型而造成的不必要的失误.基础过关1．下列是周期现象的为( ) ①闰年每四年一次；②某交通路口的红绿灯每30秒转换一次； ③某超市每天的营业额； ④某地每年6月份的平均降雨量． A ．①②④B ．②④C ．①②D ．①②③解析 ①②是周期现象；③中每天的营业额是随机的，不是周期现象；④中每年6月份的降雨量也是随机的，不是周期现象．答案 C2．把17化成小数，小数点后第20位是( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析 17＝0.1·42857·，小数点后“142857”呈周期性变化，且周期为 6.∵20＝3×6＋2，∴第20位为4. 答案 C3．按照规定，奥运会每4年举行一次.2016的夏季奥运会在巴西举办，那么下列年份中不举办夏季奥运会的应该是( ) A ．2020 B ．2024 C ．2026D ．2028解析 C 中2026不是4的倍数，选C. 答案 C4．把一批小球按2个红色，5个白色的顺序排列，第30个小球是________色．解析周期为7,30＝4×7＋2，所以第30个小球与第2个小球颜色相同，为红色．答案红5．如图所示，变量y与时间t(s)的图像如图所示，则时间t至少隔________ s时y＝1会重复出现1次．答案 26．若今天是星期一，则第7天后的那一天是星期几？第120天后的那一天是星期几？(注：今天是第一天)解每星期有7天，从星期一到星期日，呈周期性变化，其周期为7.∴第7天后的那一天是星期一．∵120＝17×7＋1，∴第120天后的那一天是星期二．7．水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，假设水车5分钟转一圈，计算1小时内最多盛水多少升？解因为1小时＝60分钟＝12×5分钟，且水车5分钟转一圈，所以1小时内水车转12圈．又因为水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，所以每转一圈，最多盛水16×10＝160(升，)所以水车1小时内最多盛水160×12＝1 920(升)．能力提升8．钟表分针的运动是一个周期现象，其周期为60分钟，现在分针恰好指在2点处，则100分钟后分针指在( )A．8点处B．10点处C．11点处D．12点处解析由于100＝1×60＋40，所以100分钟后分针所指位置与40分钟后分针所指位置相同，现在分针恰好指在2点处，经过40分钟分针应指在10点处，故选B.答案 B9．设钟摆每经过1.8秒回到原来的位置．在图中钟摆达到最高位置A点时开始计时，经过1分钟后，钟摆的大致位置是( )A．点A处B．点B处C．O、A之间D．O、B之间解析钟摆的周期T ＝1.8 秒，1分钟＝(33×1.8＋0.6)秒，又T 4＜0.6＜T2，所以经过1分钟后，钟摆在O 、B 之间．答案 D10．今天是星期六，再过100天后是星期________．解析 100＝14×7＋2，∴再过100天是星期一．答案一11．一个质点，在平衡位置O 点附近振动，如果不考虑阻力，可将此振动看作周期运动，从O 点开始计时，质点向左运动第一次到达M 点用了0.3 s ，又经过0.2 s 第二次通过M 点，则质点第三次通过M 点，还要经过的时间可能是________ s.解析质点从O 点向左运动，O →M 用了0.3 s ，M →A →M 用了0.2 s ，由于M →O 与O →M 用时相同，因此质点运动半周期T2＝0.2＋0.3×2＝0.8(s)，从而当质点第三次经过M 时用时应为M →O →B →O →M ，所用时间为0.3×2＋0.8＝1.4(s)．答案 1.412．游乐场中的摩天轮匀速旋转，每转一圈需要12分钟，其中心O 距离地面40.5米，半径40米．如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请解答下列问题：(1)你与地面的距离随时间的变化而变化，这个现象是周期现象吗？ (2)转四圈需要多少时间？(3)你第四次距地面最高需要多少时间？ (4)转60分钟时，你距离地面是多少？解 (1)是周期现象，周期12分钟/圈． (2)转四圈需要时间为4×12＝48(分钟)．(3)第1次距离地面最高需122＝6(分钟)，而周期是12分钟，所以第四次距地面最高需12×3＋6＝42(分钟)．(4)∵60÷12＝5，∴转60分钟时你距离地面与开始时刻距离地面相同，即40.5－40＝0.5(米)．13．(选做题)下面是一个古希腊的哲学家、数学家、天文学家毕达哥拉斯的故事：有一次毕达哥拉斯处罚学生，让他来回数在黛安娜神庙的七根柱子(这七根柱子的标号分别为A，B，C，…，G)，如图所示，一直到指出第1 999个数的柱子的标号是哪一个才能够停止．你能帮助这名学生尽快结束这个处罚吗？解通过观察可发现规律：数“2,3,4，…，1 997,1 998，1 999”按标号为“B，C，D，E，F，G，F，E，D，C，B，A”这12个字母循环出现，因此周期是12.先把1去掉，(1 999－1)÷12＝166……6，因此第1 999个数的柱子的标号与第167个周期的第6个数的标号相同，故数到第1 999个数的柱子的标号是G.§2角的概念的推广内容要求 1.理解正角、负角、零角与象限角的概念(知识点1 角的概念(1)角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点O从一个位置OA旋转到另一个位置OB 所形成的图形．点O是角的顶点，射线OA，OB分别是角α的始边和终边．(2)按照角的旋转方向，分为如下三类：(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)按逆时针方向旋转所成的角是正角(√)(2)按顺时针方向旋转所成的角是负角(√)(3)没有作任何旋转就没有角对应(×)(4)终边和始边重合的角是零角(×)(5)经过1小时时针转过30°(×)知识点2 象限角如果角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．【预习评价】1．锐角属于第几象限角？钝角又属于第几象限角？提示锐角属于第一象限角，钝角属于第二象限角．2．第二象限的角比第一象限的角大吗？提示不一定．如120° 是第二象限的角，390°是第一象限的角，但120°＜390°.知识点3 终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角的整数倍的和．【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)终边相同的角一定相等(×)(2)相等的角终边一定相同(√)(3)终边相同的角有无数多个(√)(4)终边相同的角它们相差180°的整数倍(×)题型一角的概念的推广【例1】写出下图中的角α，β，γ的度数．解要正确识图，确定好旋转的方向和旋转的大小，由角的概念可知α＝330°，β＝－150°，γ＝570°.规律方法 1.理解角的概念的三个“明确”2．表示角时的两个注意点(1)字母表示时：可以用希腊字母α，β等表示，“角α”或“∠α”可以简化为“α”．(2)用图示表示角时：箭头不可以丢掉，因为箭头代表了旋转的方向，也即箭头代表着角的正负．【训练1】(1)图中角α＝________，β＝________；(2)经过10 min，分针转了________．解析(1)α＝－(180°－30°)＝－150°β＝30°＋180°＝210°.(2)分针按顺时针过了周角的16，即－60°.答案(1)－150°210°(2)－60°题型二终边相同的角【例2】已知α＝－1 910°.(1)把α写成β＋k×360°(k∈Z,0°≤β＜360°)的形式，并指出它是第几象限角；(2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ＜0°.解(1)－1 910°＝250°－6×360°，其中β＝250°，从而α＝250°＋(－6)×360°，它是第三象限角．(2)令θ＝250°＋k×360°(k∈Z)，取k＝－1，－2就得到满足－720°≤θ＜0°的角，即250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°.所以θ为－110°，－470°.规律方法将任意角化为α＋k·360°(k∈Z，且0°≤α＜360°)的形式，关键是确定k.可用观察法(α的绝对值较小时适用)，也可用除以360°的方法．要注意：正角除以360°，按通常的除法进行，负角除以360°，商是负数，且余数为正值．【训练2】写出终边在阴影区域内(含边界)的角的集合．解终边在直线OM 上的角的集合为M ＝{α|α＝45°＋k ·360°，k ∈Z }∪{α|α＝225°＋k ·360°，k ∈Z }＝{α|α＝45°＋2k ·180°，k ∈Z }∪{α|α＝45°＋(2k ＋1)·180°，k ∈Z } ＝{α|α＝45°＋n ·180°，n ∈Z }．同理可得终边在直线ON 上的角的集合为{α|α＝60°＋n ·180°，n ∈Z }，所以终边在阴影区域内(含边界)的角的集合为 {α|45°＋n ·180°≤α≤60°＋n ·180°，n ∈Z }．【探究1】在四个角－20°，－400°，－2 000°，1 600°中，第四象限角的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析－20°是第四象限角，－400°＝－360°－40°与－40°终边相同，是第四象限角，－2 000°＝－6×360°＋160°与160°终边相同，是第二象限角，1 600°＝4×360°＋160°与160°终边相同，是第二象限角，故第四象限角有2个．答案 C【探究2】写出终边落在第一象限和第二象限内的角的集合．解根据终边相同的角一定是同一象限的角，又可以先写出第一象限锐角范围和第二象限钝角的范围，再加上360°的整数倍即可．所以表示为：第一象限角的集合：S ＝{β|β＝k ·360°＋α，0°＜α＜90°，k ∈Z }，或S ＝{β|k ·360°＜β＜k ·360°＋90°，k ∈Z }．第二象限角的集合：S ＝{β|β＝k ·360°＋α，90°＜α＜180°，k ∈Z }，或S ＝{β|k ·360°＋90°＜β＜k ·360°＋180°，k ∈Z }．【探究3】已知α为第二象限角，那么2α，α2分别是第几象限角？解 ∵α是第二象限角，∴90＋k ×360°＜α＜180°＋k ×360°，180°＋2k ×360°＜2α＜360°＋2k ×360°，k ∈Z .∴2α是第三或第四象限角，或是终边落在y 轴的非正半轴上的角．同理45°＋k 2×360°＜α2＜90°＋k2×360°，k ∈Z .当k 为偶数时，不妨令k ＝2n ，n ∈Z ，则45°＋n ×360°＜α2＜90°＋n ×360°，此时，α2为第一象限角；当k 为奇数时，令k ＝2n ＋1，n ∈Z ，则225°＋n ×360°＜α2＜270°＋n ×360°，此时，α2为第三象限角．∴α2为第一或第三象限角．【探究4】已知α为第一象限角，求180°－α2是第几象限角．解 ∵α为第一象限角，∴k ·360°＜α＜k ·360°＋90°，k ∈Z ， ∴k ·180°＜α2＜k ·180°＋45°，k ∈Z ， ∴－45°－k ·180°＜－α2＜－k ·180°，k ∈Z ，∴135°－k ·180°＜180°－α2＜180°－k ·180°，k ∈Z .当k ＝2n (n ∈Z )时，135°－n ·360°＜180°－α2＜180°－n ·360°，为第二象限角；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，－45°－n ·360°＜180°－α2＜－n ·360°，为第四象限角．∴180°－α2是第二或第四象限角．规律方法 1.象限角的判定方法(1)根据图像判定．利用图像实际操作时，依据是终边相同的角的概念，因为0°～360°之间的角与坐标系中的射线可建立一一对应的关系．(2)将角转化到0°～360°范围内，在直角坐标平面内，0°～360°范围内没有两个角终边是相同的．2．α，2α，α2等角的终边位置的确定方法不等式法：(1)利用象限角的概念或已知条件，写出角α的范围． (2)利用不等式的性质，求出2α，α2等角的范围．(3)利用“旋转”的观点，确定角终边的位置．例如，如果得到k ×120°＜α3＜k ×120°＋30°，k ∈Z ，可画出0°＜α3＜30°所表示的区域，再将此区域依次逆时针或顺时针转动120°(如图所示)．易错警示由α的范围确定2α的范围时易忽视终边在坐标轴上的情况.课堂达标1．－361°的终边落在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析因为－361°的终边和－1°的终边相同，所以它的终边落在第四象限，故选D. 答案 D2．设A ＝{θ|θ为锐角}，B ＝{θ|θ为小于90°的角}，C ＝{θ|θ为第一象限的角}，D ＝{θ|θ为小于90°的正角}，则下列等式中成立的是( ) A ．A ＝B B ．B ＝C C ．A ＝CD ．A ＝D解析直接根据角的分类进行求解，容易得到答案．答案 D3．将－885°化为α＋k ·360°(0°≤α<360°，k ∈Z )的形式是________________．答案 195°＋(－3)×360°4．与－1 692°终边相同的最大负角是________．解析 ∵－1 692°＝－5×360°＋108°， ∴与108°终边相同的最大负角为－252°. 答案－252°5.如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合．解设终边落在阴影部分的角为α，角α的集合由两部分组成．①{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}．②{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}．∴角α的集合应当是集合①与②的并集：{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°，或(2k＋1)·180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}＝{α|n·180°＋30°≤α<n·180°＋105°，n∈Z}．课堂小结1．对角的理解，初中阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动”的观点下定义，理解这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转量”决定角的“绝对值大小”．2．区域角的表示形式并不唯一，如第二象限角的集合，可以表示为{α|90°＋k×360°＜α＜180°＋k×360°，k∈Z}，也可以表示为{α|－270°＋k×360°＜α＜－180°＋k×360°，k∈Z}.基础过关1．下列各组角中，终边相同的是( )A．495°和－495°B．1 350°和90°C．－220°和140°D．540°和－810°解析－220°＝－360°＋140°，∴－220°与140°终边相同．答案 C2．设A＝{小于90°的角}，B＝{锐角}，C＝{第一象限角}，D＝{小于90°而不小于0°的角}，那么有( )A．B C A B．B A CC．D A∩C) D．C∩D＝B解析锐角、0°～90°的角、小于90°的角及第一象限角的范围，如下表所示.答案 D3．若α是第四象限角，则180°－α是( )A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角解析可以给α赋一特殊值－60°，则180°－α＝240°，故180°－α是第三象限角．答案 C4．已知角α＝－3 000°，则与角α终边相同的最小正角是______．解析∵－3 000°＝－9×360°＋240°，∴与－3 000°角终边相同的最小正角为240°.答案240°5．在－180°～360°范围内，与2 000°角终边相同的角是______．解析因为2 000°＝200°＋5×360°，2 000°＝－160°＋6×360°，所以在－180°～360°范围内与2 000°角终边相同的角有－160°，200°两个．答案－160°，200°6．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.解(1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角．7．写出与25°角终边相同的角的集合，并求出该集合中满足不等式－1 080°≤β＜－360°的角β.解与25°角终边相同的角的集合为S＝{β|β＝k·360°＋25°，k∈Z}．令k＝－3，则有β＝－3×360°＋25°＝－1 055°，符合条件；令k＝－2，则有β＝－2×360°＋25°＝－695°，符合条件；令k ＝－1，则有β＝－1×360°＋25°＝－335°，不符合条件．故符合条件的角有－1 055°，－695°.能力提升8．以下命题正确的是( ) A ．第二象限角比第一象限角大B ．A ＝{α|α＝k ·180°，k ∈Z }，B ＝{β|β＝k ·90°，k ∈Z }，则ABC ．若k ·360°<α<k ·360°＋180°(k ∈Z )，则α为第一或第二象限角D ．终边在x 轴上的角可表示为k ·360°(k ∈Z ) 解析 A 不正确，如－210°<30°.在B 中，当k ＝2n ，k ∈Z 时，β＝n ·180°，n ∈Z . ∴AB ，∴B 正确．又C 中，α为第一或第二象限角或在y 轴的非负半轴上， ∴C 不正确．显然D 不正确．答案 B9．集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k ·180°2±45°，k ∈Z ，P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k ·180°4±90°，k ∈Z ，则M 、P之间的关系为( ) A ．M ＝P B ．M P C ．M PD ．M ∩P ＝∅解析对集合M 来说，x ＝(2k ±1)·45°，即45°的奇数倍；对集合P 来说，x ＝(k ±2)·45°，即45°的倍数．答案 B10．已知角α、β的终边相同，那么α－β的终边在________．解析 ∵α、β终边相同， ∴α＝k ·360°＋β(k ∈Z )．∴α－β＝k ·360°，故α－β终边会落在x 轴非负半轴上．答案 x 轴的非负半轴上11．若α为第一象限角，则k ·180°＋α(k ∈Z )的终边所在的象限是第________象限．解析 ∵α是第一象限角，∴k 为偶数时，k ·180°＋α终边在第一象限；k 为奇数时，k ·180°＋α终边在第三象限．答案一或三12．求终边在直线y ＝x 上的角的集合S .解因为直线y ＝x 是第一、三象限的角平分线，在0°～360°之间所对应的两个角分别是45°和225°，所以S ＝{α|α＝k ·360°＋45°，k ∈Z }∪{α|α＝k ·360°＋225°，k∈Z }＝{α|α＝2k ·180°＋45°，k ∈Z }∪{α|α＝(2k ＋1)·180°＋45°，k ∈Z }＝{α|α＝n ·180°＋45°，n ∈Z }．13．(选做题)已知角α、β的终边有下列关系，分别求α、β间的关系式： (1)α、β的终边关于原点对称； (2)α、β的终边关于y 轴对称．解 (1)由于α、β的终边互为反向延长线，故α、β相差180°的奇数倍(如图1)，于是α－β＝(2k －1)·180°(k ∈Z )．(2)在0°～360°内，设α的终边所表示的角为90°－θ，由于α、β关于y 轴对称(如图2)，则β的终边所表示的角为90°＋θ.于是α＝90°－θ＋k 1·360°(k 1∈Z )，β＝90°＋θ＋k 2·360°(k 2∈Z )．两式相加得α＋β＝(2k ＋1)·180°(k ∈Z )．§3 弧度制内容要求 1.了解弧度制的意义，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度数(重点).2.掌握弧度制下的弧长公式，会用弧度解决一些实际问题(难点)．知识点1 弧度制 (1)角度制与弧度制的定义(2)如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么角α的弧度数的绝对值是|α|＝lr. 【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位(√) (2)1°的角是周角的1360，1 rad 的角是周角的12π(√)(3)1°的角比1 rad 的角要大(×)(4)1 rad 的角的大小和所在圆的半径的大小有关(×) 知识点2 角度制与弧度制的换算常见角度与弧度互化公式如下：请填充完整下表，一些特殊角的角度数与弧度数的对应关系有：设扇形的半径为R ，弧长为l ，α(0<α<2π)为其圆心角，则1.一个扇形的半径为2 cm ，圆心角为π6，则该扇形所对的弧长l ＝________cm.答案π32.一个扇形的半径为2 cm ，其对应的弧长为2.则该扇形的面积为________cm 2. 答案 2知识点4 利用弧度制表示终边相同的角在弧度制下，与α终边相同的角连同α在内可以表示为2k π＋α(k ∈Z )，其中α的单位必须是弧度．【预习评价】1.与30°终边相同的角为( ) A ．2k π＋π3(k ∈Z )B ．2k π＋π6(k ∈Z )C ．360°k ＋π3(k ∈Z )D ．2k π＋30°(k ∈Z )答案 B2.终边在x 轴上的角的集合用弧度制表示为________．答案 {α|α＝k π，k ∈Z }题型一角度与弧度的互化【例1】将下列角度与弧度进行互化： (1)20°；(2)－15°；(3)7π12；(4)－115π.解 (1)20°＝20×π180 rad ＝π9 rad.(2)－15°＝－15×π180 rad ＝－π12 rad.(3)712π rad ＝712×180°＝105°. (4)－115π rad ＝－115×180°＝－396°.规律方法角度制与弧度制互化的原则、方法以及注意点(1)原则：牢记180°＝π rad ，充分利用1°＝π180rad 和1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°进行换算．(2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n ，则α rad ＝α·180°；n °＝n ·π180rad.(3)注意点：①用“弧度”为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”可以省略不写；②用“弧度”为单位度量角时，“常常把弧度数写成多少π的形式，如无特别要求，不必把π写成小数；③度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度．【训练1】将下列各角度与弧度互化： (1)512π；(2)－76π；(3)－157°30′. 解 (1)512π＝512×180°＝75°；(2)－76π＝－76×180°＝－210°；(3)－157°30′＝－157.5°＝－157.5×π180rad＝－78π rad.题型二用弧度制表示终边相同的角【例2】 (1)把－1 480°写成α＋2k π(k ∈Z )的形式，其中0≤α＜2π； (2)若β∈[－4π，0)，且β与(1)中α终边相同，求β. 解 (1)∵－1 480°＝－74π9＝－10π＋16π9，0≤16π9＜2π，∴－1 480°＝16π9－2×5π＝16π9＋2×(－5)π.(2)∵β与α终边相同，∴β＝2k π＋16π9，k ∈Z .又∵β∈[－4π，0)，∴β1＝－2π9，β2＝－209π.【训练2】用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合(包括边界)并判断 2 015°是不是这个集合的元素．解因为150°＝5π6.所以终边在阴影区域内角的集合为S ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫β⎪⎪⎪5π6＋2k π≤β≤3π2＋2k π，k ∈Z . 因为2 015°＝215°＋5×360°＝43π36＋10π，又5π6＜43π36＜3π2.所以2 015°＝43π36∈S ，即2 015°是这个集合的元素．方向1 求弧长【例3－1】已知扇形OAB 的圆心角α为120°，半径长为6.求的长；解 ∵α＝120°＝23π，r ＝6，∴的长l ＝23π×6＝4π.方向2 求圆心角【例3－2】已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角．解设圆心角是θ，半径是r ，则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋r θ＝10，12θ·r 2＝4⇒⎩⎪⎨⎪⎧r ＝4，θ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，θ＝8(舍)．故扇形圆心角为12.方向3 求面积的最值【例3－3】已知一扇形的周长为40 cm ，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解设扇形的圆心角为θ，半径为r ，弧长为l ，面积为S ，则l ＋2r ＝40，∴l ＝40－2r . ∴S ＝12lr ＝12×(40－2r )r ＝20r －r 2＝－(r －10)2＋100.∴当半径r ＝10 cm 时，扇形的面积最大，最大值为100 cm 2，此时θ＝l r ＝40－2×1010rad ＝2 rad.∴当扇形的圆心角为2 rad ，半径为10 cm 时，扇形的面积最大为100 cm 2.规律方法灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求解是解决此类问题的关键，有时运用函数思想、转化思想解决扇形中的有关最值问题，将扇形面积表示为半径的函数，转化为r 的二次函数的最值问题.课堂达标1．与120°角终边相同的角为( ) A ．2k π－2π3(k ∈Z )B.11π3C ．2k π－10π3(k ∈Z )D ．(2k ＋1)π＋2π3(k ∈Z )解析 120°＝2π3且2k π－10π3＝(2k －4)π＋2π3(k ∈Z )，∴120°与2k π－10π3(k ∈Z )，终边相同．答案 C2．－23π12化为角度应为( )A ．－345°B ．－15°C ．－315°D ．－375°解析－23π12＝－2312×180°＝－345°.答案 A3．已知扇形的半径为12，弧长为18，则扇形圆心角为________．解析由弧长公式l ＝αR 得α＝l R ＝1812＝32.答案 324．下列结论不正确的是________(只填序号)．①π3 rad ＝60°；②10°＝π18 rad ；③36°＝π5 rad ；④5π8 rad ＝115°. 解析5π8 rad ＝58×180°＝112.5°，∴④错．答案 ④5．一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数．解设扇形的半径为R ，弧长为l ，则2R ＋l ＝4， ∴l ＝4－2R ，根据扇形面积公式S ＝12lR ，得1＝12(4－2R )·R ，∴R ＝1，∴l ＝2，∴α＝l R ＝21＝2，即扇形的圆心角为2 rad.课堂小结1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π rad”这一关系式． 3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要注意角的单位取弧度.基础过关1．在半径为10的圆中，240°的圆心角所对弧长为( )A.403πB.203π C.2003π D.4003π 解析 240°＝240×π180 rad ＝43π rad ，∴弧长l ＝|α|·r ＝43π×10＝403π，故选A.答案 A2．下列与9π4的终边相同的角的表达式中，正确的是( )A ．2k π＋45°(k ∈Z )B ．k ·360°＋9π4(k ∈Z )C ．k ·360°－315°(k ∈Z )D ．k π＋5π4(k ∈Z )答案 C3．若α＝－3，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析 ∵－π＜－3＜－π2，∴－3是第三象限角．答案 C4．若三角形三内角之比为4∶5∶6，则最大内角的弧度数是____________．答案 25π5．如果一扇形的弧长变为原来的32倍，半径变为原来的一半，则该扇形的面积为原扇形面积的________．解析由于S ＝12lR ，若l ′＝32l ，R ′＝12R ，则S ′＝12l ′R ′＝12×32l ×12R ＝34S .答案 346．把下列各角化为2k π＋α(0≤α＜2π，k ∈Z ) 的形式且指出它是第几象限角，并写出与它终边相同的角的集合．(1)－46π3；(2)－1 485°；(3)－20.解 (1)－46π3＝－8×2π＋2π3，它是第二象限角，终边相同的角的集合为。

高中数学北师大版必修4《7.2正切函数的图像与性质》课件

.
值域 R.
单调性在（1 k , 1 k 5）上是增函数； 3 18 3 18
奇偶性非奇非偶函数；
周期性最小正周期是 π . 3
3.解不等式（1）1 tan x 0；
（2）
tan(x ) 3 . 63
答案:（1）
x
k
4
x
k
2
,
k
；
（2）
x
k
3
x
k
2 3
,
k
又y tan x在(0，2)是增函数，
tan tan 2 ，
4
5
tan(11 ) tan(13 ).
4
5
例2.解不等式 tan x 3.
解：(方法一)利用正切线
y
3
T
由图形可知：原不等式的解集为：
x
k
3
, k
2
(k
)
A
0
x
(方法二)利用正切曲线由图形可知：原不等式的解集为:
3 x
2
正切曲线是由被相互平行的直线 x= k, k Z 所隔开的 2
无穷多支曲线组成的.这些直线叫作正切曲线各支的渐进线.
正切函数图像的草图画法：三点两线法.
“三点”:
“两线”:
y
1
3
O
2
2
2
-1
3 2
x
探究点5 正切函数的性质
O
1.定义域 2.值域 3.周期性 4.单调性 5.奇偶性 6.对称性 7.渐近线方程
谢谢大家
作法: (1) 等分
(2) 作正切线，平移 o1
(3) 连线
y
2

北师大版高中数学(必修4)1.6《正切函数》word教案

§6 正切函数（2课时）一、教学目标：1、知识与技能（1）了解任意角的正切函数概念；（2）理解正切函数中的自变量取值范围；（3）掌握正切线的画法；（4）能用单位圆中的正切线画出正切函数的图像；（5）熟练根据正切函数的图像推导出正切函数的性质；（6）能熟练掌握正切函数的图像与性质；（7）掌握利用数形结合思想分析问题、解决问题的技能。

今天我们类比正弦、余弦函数的学习方法，在直角坐标系内学习任意角的正切函数，请同学们先自主学习课本P40。

【探究新知】正切函数的定义在直角坐标系中，如果角α满足：α∈R，α≠＋kπ(k∈Z)，那么，角α的终边与单位圆交于点P（a，b），唯一确定比值.根据函数定义，比值是角α的函数，我们把它叫作角α的正切函数，记作y＝tanα，其中α∈R，α≠＋kπ，k∈Z.比较正、余弦和正切的定义，不难看出：tanα＝(α∈R，α≠＋kπ，k∈Z).由此可知，正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，我们统称为三角函数。

2020-2021学年数学北师大版必修4教学教案：3.2.3两角和与差的正切函数

两角和与差的正切函数一、教学目标1、知识与技能：（1）能够利用两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式；（2）能够运用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明；（3）揭示知识背景，引发学生学习兴趣；（4）创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识.2、过程与方法：借助两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式，让学生进一步体会各个公式之间的联系及结构特点；讲解例题，总结方法，巩固练习.3、情感态度价值观：通过本节的学习，使同学们对两角和与差的三角函数有了一个全新的认识；理解掌握两角和与差的三角的各种变形，提高逆用思维的能力.二、教学重、难点：重点: 公式的应用. 难点: 公式的推导. 三、学法与教学用具学法：(1)自主性学习+探究式学习法：通过通过类比分析、探索、掌握两角和与差的正切公式的推导过程。

(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距。

教学用具:电脑、投影机四、教学过程【探究新知】1．两角和与差的正切公式 T α+β ,T α-β问：在两角和与差的正、余弦公式的基础上，你能用tan α，tan β表示tan(α+β)和tan(α-β)吗？（让学生回答） [展示投影] ∵cos (α+β)≠0 tan(α+β)=βαβαβαβαβαβαsin sin cos cos sin cos cos sin )cos()sin(-+=++ 当cos αcos β≠0时分子分母同时除以cos αcos β得：tan(α+β)=βαβαtan tan 1tan tan -+以-β代β得： 2．运用此公式应注意些什么？（让学生回答）[展示投影] 注意：1︒必须在定义域范围内使用上述公式。

即：tan α，tan β，tan(α±β)只要有一个不存在就不能使用这个公式，只能（也只需）用诱导公式来解；2︒注意公式的结构，尤其是符号。

高中数学必修四学案 1.4.3 正切函数的性质与图象

1．4.3 正切函数的性质与图象学习目标1.会求正切函数y＝tan(ωx＋φ)的周期.2.掌握正切函数y＝tan x的奇偶性，并会判断简单三角函数的奇偶性.3.掌握正切函数的单调性，并掌握其图象的画法．知识点一正切函数的性质思考1 正切函数的定义域是什么？[答案] ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ∈R 且x ≠π2＋k π，k ∈Z . 思考2 诱导公式tan(π＋x )＝tan x ，x ∈R 且x ≠π2＋k π，k ∈Z 说明了正切函数的什么性质？[答案] 周期性．思考3 诱导公式tan(－x )＝－tan x ，x ∈R 且x ≠π2＋k π，k ∈Z 说明了正切函数的什么性质？[答案] 奇偶性．思考4 从正切线上看，在⎝⎛⎭⎫0，π2上正切函数值是增大的吗？ [答案] 是．梳理函数y ＝tan x ⎝⎛⎭⎫x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z 的图象与性质见下表：知识点二正切函数的图象思考1 利用正切线作正切函数图象的步骤是什么？[答案] 根据正切函数的定义域和周期，首先作出区间⎝⎛⎭⎫－π2，π2上的图象．作法如下： (1)作平面直角坐标系，并在平面直角坐标系y 轴的左侧作单位圆． (2)把单位圆的右半圆分成8等份，分别在单位圆中作出正切线． (3)描点(横坐标是一个周期的8等分点，纵坐标是相应的正切线的长度)． (4)连线，得到如图①所示的图象．(5)根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，就可以得到正切函数y ＝tan x ，x ∈R 且x ≠π2＋k π(k ∈Z )的图象，把它称为正切曲线(如图②所示)．可以看出，正切曲线是被相互平行的直线x ＝π2＋k π，k ∈Z 所隔开的无穷多支曲线组成的．思考2 我们能用“五点法”简便地画出正弦函数、余弦函数的简图，你能类似地画出正切函数y ＝tan x ，x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2的简图吗？怎样画？ [答案] 能，三个关键点：⎝⎛⎭⎫π4，1，(0,0)，⎝⎛⎭⎫－π4，－1，两条平行线：x ＝π2，x ＝－π2. 梳理 (1)正切函数的图象(2)正切函数的图象特征正切曲线是被相互平行的直线x ＝π2＋k π，k ∈Z 所隔开的无穷多支曲线组成的．1．函数y ＝tan x 在其定义域上是增函数．( × )提示 y ＝tan x 在开区间⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )上是增函数，但在其定义域上不是增函数． 2．函数y ＝tan x 的图象的对称中心是(k π，0)(k ∈Z )．( × ) 提示 y ＝tan x 图象的对称中心是⎝⎛⎭⎫12k π，0(k ∈Z )． 3．正切函数y ＝tan x 无单调递减区间．( √ ) 4．正切函数在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π2上单调递增．( × )提示正切函数在区间⎝⎛⎭⎫－π2，π2上是增函数，不能写成闭区间，当x ＝±π2时，y ＝tan x 无意义.类型一正切函数的定义域、值域问题例1 (1)函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π6－x 4的定义域为________． [考点] 正切函数的定义域、值域 [题点] 正切函数的定义域[答案] ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠－4π3－4k π，k ∈Z [解析] 由π6－x 4≠π2＋k π，k ∈Z ，得x ≠－4π3－4k π，k ∈Z ，即函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠－4π3－4k π，k ∈Z . (2)求函数y ＝tan 2⎝⎛⎭⎫3x ＋π3＋tan ⎝⎛⎭⎫3x ＋π3＋1的定义域和值域． [考点] 正切函数的定义域、值域 [题点] 正切函数的值域解由3x ＋π3≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠k π3＋π18，k ∈Z ，所以函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π3＋π18，k ∈Z . 设t ＝tan ⎝⎛⎭⎫3x ＋π3，则t ∈R ，y ＝t 2＋t ＋1＝⎝⎛⎭⎫t ＋122＋34≥34，所以原函数的值域是⎣⎡⎭⎫34，＋∞. 反思与感悟 (1)求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件，另外解不等式时，要充分利用三角函数的图象或三角函数线．(2)处理正切函数值域时，应注意正切函数自身值域为R ，将问题转化为某种函数的值域求解．跟踪训练1 求函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )的定义域． [考点] 正切函数的定义域、值域 [题点] 正切函数的定义域解由题意得⎩⎪⎨⎪⎧tan x ＋1≥0，1－tan x >0，即－1≤tan x <1.在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内，满足上述不等式的x 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－π4，π4. 又y ＝tan x 的周期为π，所以函数的定义域是⎣⎡⎭⎫k π－π4，k π＋π4(k ∈Z )．类型二正切函数的单调性问题命题角度1 求正切函数的单调区间例2 求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4的单调区间及最小正周期． [考点] 正切函数的单调性 [题点] 判断正切函数的单调性解 y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4＝－tan ⎝⎛⎭⎫12x －π4，由k π－π2<12x －π4<k π＋π2(k ∈Z )，得2k π－π2<x <2k π＋32π(k ∈Z )，所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫2k π－π2，2k π＋32π，k ∈Z ，周期T ＝π⎪⎪⎪⎪－12＝2π. 反思与感悟 y ＝tan(ωx ＋φ)(ω>0)的单调区间的求法是把ωx ＋φ看成一个整体，解－π2＋k π<ωx ＋φ<π2＋k π，k ∈Z 即可．当ω<0时，先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间．跟踪训练2 (2017·太原高一检测)求函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π4－2x 的单调区间． [考点] 正切函数的单调性 [题点] 判断正切函数的单调性解 y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π4－2x ＝－3tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4，由－π2＋k π<2x －π4<π2＋k π，k ∈Z ，得－π8＋k π2<x <3π8＋k π2(k ∈Z )，所以y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π4－2x 的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－π8＋k π2，3π8＋k π2(k ∈Z )．命题角度2 利用正切函数的单调性比较大小例3 比较大小：(1)tan 32°________tan 215°； (2)tan 18π5________tan ⎝⎛⎭⎫－28π9. [考点] 正切函数的单调性 [题点] 正切函数的单调性的应用 [答案] (1)< (2)<[解析] (1)tan 215°＝tan(180°＋35°)＝tan 35°， ∵y ＝tan x 在(0°，90°)上单调递增，32°<35°， ∴tan 32°<tan 35°＝tan 215°.(2)tan 18π5＝tan ⎝⎛⎭⎫4π－2π5＝tan ⎝⎛⎭⎫－2π5， tan ⎝⎛⎭⎫－28π9＝tan ⎝⎛⎭⎫－3π－π9＝tan ⎝⎛⎭⎫－π9， ∵y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上单调递增，且－2π5<－π9， ∴tan ⎝⎛⎭⎫－2π5<tan ⎝⎛⎭⎫－π9，即tan 18π5<tan ⎝⎛⎭⎫－28π9. 反思与感悟运用正切函数的单调性比较大小的步骤 (1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内； (2)运用单调性比较大小关系．跟踪训练3 比较大小：tan ⎝⎛⎭⎫－7π4_______tan ⎝⎛⎭⎫－9π5.[考点] 正切函数的单调性 [题点] 正切函数的单调性的应用 [答案] >[解析] ∵tan ⎝⎛⎭⎫－7π4＝－tan ⎝⎛⎭⎫2π－π4＝tan π4， tan ⎝⎛⎭⎫－9π5＝－tan ⎝⎛⎭⎫2π－π5＝tan π5. 又0＜π5＜π4＜π2，y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫0，π2内单调递增， ∴tan π5＜tan π4，∴tan ⎝⎛⎭⎫－7π4＞tan ⎝⎛⎭⎫－9π5.类型三正切函数综合问题例4 设函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫x 2－π3.(1)求函数f (x )的最小正周期，对称中心； (2)作出函数f (x )在一个周期内的简图． [考点] 正切函数的综合应用 [题点] 正切函数的综合应用解 (1)∵ω＝12，∴最小正周期T ＝πω＝π12＝2π.令x 2－π3＝k π2(k ∈Z )，得x ＝k π＋2π3(k ∈Z )， ∴f (x )的对称中心是⎝⎛⎭⎫k π＋2π3，0(k ∈Z )． (2)令x 2－π3＝0，则x ＝2π3；令x 2－π3＝π4，则x ＝7π6；令x 2－π3＝－π4，则x ＝π6；令x 2－π3＝π2，则x ＝5π3；令x 2－π3＝－π2，则x ＝－π3. ∴函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x 2－π3的图象与x 轴的一个交点坐标是⎝⎛⎭⎫2π3，0，在这个交点左，右两侧相邻的两条渐近线方程分别是x ＝－π3，x ＝5π3，从而得到函数y ＝f (x )在一个周期⎝⎛⎭⎫－π3，5π3内的简图(如图)．反思与感悟熟练掌握正切函数的图象和性质是解决正切函数综合问题的关键，正切曲线是被相互平行的直线x ＝π2＋k π，k ∈Z 隔开的无穷多支曲线组成，y ＝tan x 的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2，0，k ∈Z .跟踪训练4 画出f (x )＝tan |x |的图象，并根据其图象判断其单调区间、周期性、奇偶性．[考点] 正切函数的综合应用[题点] 正切函数的综合应用解 f (x )＝tan |x |化为f (x )＝⎩⎨⎧ tan x ，x ≠k π＋π2，x ≥0(k ∈Z )，－tan x ，x ≠k π＋π2，x <0(k ∈Z )，根据y ＝tan x 的图象，作出f (x )＝tan |x |的图象，如图所示，由图象知，f (x )不是周期函数，是偶函数，单调增区间为⎣⎡⎭⎫0，π2，⎝⎛⎭⎫k π＋π2，k π＋3π2(k ∈N )；单调减区间为⎝⎛⎦⎤－π2，0，⎝⎛⎭⎫k π－3π2，k π－π2(k ＝0，－1，－2，…).1．函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的单调递增区间为( ) A.⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2，k ∈Z B ．(k π，(k ＋1)π)，k ∈ZC.⎝⎛⎭⎫k π－3π4，k π＋π4，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎫k π－π4，k π＋3π4，k ∈Z [考点] 正切函数的单调性[题点] 判断正切函数的单调性[答案] C2．函数y ＝tan x ＋1tan x是( ) A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数[考点] 正切函数的周期性、对称性[题点] 正切函数的奇偶性[答案] A[解析] 函数的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠12k π，k ∈Z ，且tan(－x )＋1tan (－x )＝－tan x －1tan x ＝－⎝⎛⎭⎫tan x ＋1tan x ，所以函数y ＝tan x ＋1tan x是奇函数． 3．将tan 1，tan 2，tan 3按大小排列为________．(用“<”连接)[考点] 正切函数的单调性[题点] 正切函数单调性的应用[答案] tan 2<tan 3<tan 1[解析] tan 2＝tan(2－π)，tan 3＝tan(3－π)，∵－π2<2－π<3－π<1<π2，且y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上单调递增， ∴tan(2－π)<tan(3－π)<tan 1，即tan 2<tan 3<tan 1.4．(2017·西安高一检测)函数y ＝4tan ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6的最小正周期为________． [考点] 正切函数的周期性、对称性[题点] 正切函数的周期性[答案] π3[解析] T ＝π|ω|＝π3. 5．函数y ＝tan x ⎝⎛⎭⎫π4≤x ≤3π4，且x ≠π2的值域是________________． [考点] 正切函数的定义域、值域[题点] 正切函数的值域[答案] (－∞，－1]∪[1，＋∞)[解析] 函数y ＝tan x 在⎣⎡⎭⎫π4，π2上单调递增，在⎝⎛⎦⎤π2，3π4上也单调递增，所以函数的值域是(－∞，－1]∪[1，＋∞)．1．正切函数的图象正切函数有无数多条渐近线，渐近线方程为x ＝k π＋π2，k ∈Z ，相邻两条渐近线之间都有一支正切曲线，且单调递增．2．正切函数的性质(1)正切函数y ＝tan x 的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z ，值域是R . (2)正切函数y ＝tan x 的最小正周期是π，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(Aω≠0)的最小正周期为T ＝π|ω|. (3)正切函数在⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )上单调递增，不能写成闭区间，正切函数无单调减区间.。

(北师大版)必修四：1.7.1-2《正切函数的定义、正切函数的图像与性质》课件

t在开区间
-

2

k
,

2

k
（ k

Z）上是增加的，
所以

2

k

x

4

2

k，k

Z
解得 3 k x k，k Z
4
4
所以函数在区间

k

3
4
,
k

4

,
k

Z 上是增加的.
1. 已知 a tan1,b tan 2, c tan 3,则( C )
a
角α的正切值不存在.
这里的角是指的角的弧度数.
由此可知，正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们统称它们为三角函数.
根据正切函数的定义，我们知道：当角在第一和第三象限时，其正切函数值为正；当角在第二和第四象限时，其正切函数值为负.
探究点2 正切线和正切函数的周期正切线
最小正周期是π
例1．若 tanα ＝ 2 ，借助三角函数定义求角α 的正弦函 3
数值和余弦函数值.
解：因为 tanα＝ 2 ＞0，所以α是第一象限或第三象限的角. 3
(1)如果α是第一象限的角，则由 tanα＝ 2 可知，角α终边上必有一点 3
P（3，2）.所以 x＝3，y＝2. 因为 r＝|OP|＝ 13 , 所以 sinα＝ y ＝ 2 13 ， r 13
§7 正切函数 7.1 正切函数的定义 7.2 正切函数的图像与性质
在前两节中，我们学习了任意角的正、余弦函数，并借助于它们的图像研究了它们的性质.

高中数学课时跟踪检测(九)正切函数的定义正切函数的图像与性质北师大版必修4-北师大版高一必修4数

课时跟踪检测（九）正切函数的定义正切函数的图像与性质一、基本能力达标 1．若tan x ≥0，则( )A ．2k π－π2＜x ＜2k π(k ∈Z) B ．x ≤(2k ＋1)π(k ∈Z)C ．k π－π2＜x ≤k π(k ∈Z)D ．k π≤x ＜k π＋π2(k ∈Z)解析：选D 结合正切函数的图像知，k π≤x ＜k π＋π2(k ∈Z)． 2．当－π2＜x ＜π2时，函数y ＝tan |x |的图像( )A ．关于原点对称B ．关于x 轴对称C ．关于y 轴对称D ．不是对称图形解析：选C 由题意得定义域关于原点对称，又tan|－x |＝tan |x |，故原函数是偶函数，其图像关于y 轴对称．3．已知角α的终边在直线y ＝2x 上，则tan α的值是( ) A ．2 B ．±2 C.25D ．±25解析：选A 在角α的终边上取一点(k,2k )(k ≠0)，则tan α＝2kk＝2.4．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的定义域是( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠π4，x ∈RB.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠－π4，x ∈RC.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π4，k ∈ZD.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋3π4，k ∈Z解析：选D 由题意得π4－x ≠k ′π＋π2(k ′∈Z)，所以x ≠－k ′π－π4(k ′∈Z)，即x ≠k π＋3π4(k ∈Z)． 5．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫π2－x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，且x ≠0的值域为( )A ．[－1,1]B ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)C ．(－∞，1]D ．[－1，＋∞) 解析：选B ∵－π4≤x ≤π4且x ≠0，∴π4≤π2－x ≤3π4且π2－x ≠π2.由函数y ＝tan x 的单调性，可得y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x 的值域为(－∞，－1]∪[1，＋∞)．6．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3x －π3的单调递减区间为__________．解析：由－π2＋k π＜－3x －π3＜π2＋k π，得－k π3－5π18＜x ＜－k π3＋π18(k ∈Z)，所以函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3x －π3的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－k π3－5π18，－k π3＋π18(k ∈Z)．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－k π3－5π18，－k π3＋π18(k ∈Z) 7．tan 2与tan 3的大小关系是________(用“＜”连接)．解析：因为π2＜2＜3＜π，函数y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递增，所以tan 2＜tan 3. 答案：tan 2＜tan 38．函数y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的最小正周期是π2，则ω＝________.解析：由T ＝π|ω|＝π2，∴ω＝±2.答案：±29．已知函数f (x )＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3.(1)求f (x )的定义域、值域；(2)讨论f (x )的周期性、奇偶性和单调性．解：(1)由12x －π3≠π2＋k π，k ∈Z ，得x ≠2k π＋5π3，k ∈Z ，∴f (x )的定义域为x |x ≠5π3＋2k π，k ∈Z ，值域为R.(2)f (x )为周期函数，由于f (x )＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3＋π＝3tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(x ＋2π)－π3＝f (x ＋2π)，所以最小正周期T ＝2π.易知f (x )为非奇非偶函数．由－π2＋k π<12x －π3<π2＋k π，k ∈Z ，得－π3＋2k π<x <5π3＋2k π，k ∈Z ，∴函数的递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋2k π，5π3＋2k π，k ∈Z.10．已知函数f (x )＝sin x|cos x |.(1)求函数定义域；(2)用定义判断f (x )的奇偶性； (3)在[－π，π]上作出f (x )的图像； (4)写出f (x )的最小正周期及单调性．解：(1)∵由cos x ≠0，得x ≠k π＋π2(k ∈Z)，∴函数的定义域是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π＋π2，k ∈Z .(2)由(1)知函数的定义域关于原点对称．又∵f (－x )＝sin (－x )|cos (－x )|＝－sin x|cos x |＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．(3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧tan x ，－π2＜x ＜π2，－tan x ，－π≤x ＜－π2或π2＜x ≤π.故f (x )(x ∈[－π，π])的图像如图所示．(4)由图像可知f (x )的最小正周期为2π，函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z)上是增加的；在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z)上是减少的．二、综合能力提升1．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝－32且|φ|＜π2，则tan φ＝( ) A ．－33B.33C ．－3D. 3 解析：选D 由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝－32得sin φ＝32，又|φ|＜π2，所以φ＝π3，所以tan φ＝tan π3＝ 3.2．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，3π2内，函数y ＝tan x 与函数y ＝sin x 的图像交点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 在同一坐标系中分别作出函数y ＝tan x 与函数y ＝sin x 的图像，可知它们交于点(－π，0)，(0,0)，(π，0)．3．若函数y ＝tan ωx (ω∈N *)的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，则ω的最小值为( )A ．2B ．3C ．6D ．9解析：选B 由于正切函数f (x )＝tan x 的对称中心坐标为⎝⎛⎭⎪⎫k π2，0(k ∈Z)，且函数y ＝tan ωx (ω∈N *)的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，所以ωπ6＝k π2(k ∈Z)，因此ω＝3k (k ∈Z)，因为ω∈N *，所以当k ＝1时，ω取得最小值3.4．函数y ＝cos x |tan x |⎝⎛⎭⎪⎫0≤x ＜3π2，x ≠π2的图像大致是( )解析：选C 函数y ＝cos x |tan x |可化简为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫π，3π2，－sin x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，在直角坐标系中作出该函数的图像，只有C 符合．5．已知P (1，y )为角α终边上的一点，且cos α＝13，则tan α＝________.解析：∵r ＝|OP |＝1＋y 2，∴cos α＝13＝11＋y 2；得y ＝±2 2. ∴tan α＝y ＝±2 2. 答案：±2 26．已知函数y ＝tan ωx 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上是减函数，则ω的X 围是________．解析：∵y ＝tan ωx 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上是减函数， ∴ω＜0且T ＝π|ω|≥π， ∴ω＜0且|ω|≤1，即－1≤ω＜0. 答案：[－1,0)7．试讨论函数y ＝log a tan x (a >0，且a ≠1)的单调性．解：①当a ＞1时，y ＝log a u 在u ∈(0，＋∞)上单调递增，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫k π，π2＋k π(k ∈Z)时，u ＝tan x 是单调递增的， ∴y ＝log a tan x 在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫k π，π2＋k π(k ∈Z)上是增加的．②当0＜a ＜1时，y ＝log a u 在u ∈(0，＋∞)上单调递减，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫k π，π2＋k π(k ∈Z)时，u ＝tan x 是单调递增的，∴y ＝log a tan x 在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫k π，π2＋k π(k ∈Z)上是减少的．故当a ＞1时，y ＝log a tan x 在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫k π，π2＋k π(k ∈Z)上是增加的；当0＜a ＜1时，y＝log a tan x 在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫k π，π2＋k π(k ∈Z)上是减少的．8．已知函数f (x )＝x 2＋2x tan θ－1，x ∈[－1， 3 ]，其中θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2.(1)当θ＝－π6时，求函数f (x )的最大值和最小值；(2)若函数f (x )在区间[－1， 3 ]上是单调函数，求θ的取值X 围．解：(1)当θ＝－π6时，f (x )＝x 2－233x －1＝⎝⎛⎭⎪⎫x －332－43. ∵x ∈[－1， 3 ]， ∴当x ＝33时，f (x )取得最小值，为－43，当x ＝－1时，f (x )取得最大值，为233.(2)函数f (x )＝(x ＋tan θ)2－1－tan 2θ是关于x 的二次函数，它的图像的对称轴为直线x ＝－tan θ.∵函数f (x )在区间[－1， 3 ]上是单调函数，∴－tan θ≤－1或－tan θ≥3，即tan θ≥1或tan θ≤－ 3.∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2， ∴θ的取值X 围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－π2，－π3∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2.。

北师大版高中数学必修四正切函数教案

今天我们类比正弦、余弦函数的学习方法，在直角坐标系内学习任意角的正切函数，请同学们先自主学习课本P40。

高中数学必修4北师大版正切函数学案1

课堂导学三点剖析1.正切的性质及诱导公式【例1】求函数y=tan(3x-3π)的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性. 思路分析：把3x-3π看作一个整体，利用tanx 的单调性. 解：由3x-3π≠kπ+2π，得x≠3πk +185π, ∴所求定义域为{x|x ∈R ,且x≠3πk +185π,k ∈Z }，值域为R ，周期T=3π，是非奇非偶函数. 由于y=tanx,x ∈(kπ-2π,kπ+2π)(k ∈Z )是增函数， ∴kπ-2π＜3x-3π＜kπ+2π(k ∈Z ), 即3πk -18π＜x ＜3πk +185π(k ∈Z ). 因此，函数的单调递增区间为（3πk -18π,3πk +185π）(k ∈Z ). 友情提示y=Atan (ωx+φ)（其中A≠0,ω＞0）的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答.列不等式的原则是：（1）把“ωx+φ(ω＞0)”看为一个“整体”；（2）A ＞0(A ＜0)时，y=tanx(x≠2π+kπ)的单调区间对应的不等式相同（反）.各个击破类题演练 1求下列函数的周期：（1）y=tan 37x ； (2)y=tan(2x+3π). 解析：（1）y=tan37x =tan(37x +π)=tan ［37(x+73π)］ ∴T=73π. (2)y=tan(2x+3π)=tan(2x+3π+π) =tan ［2(x+2π)+3π］, ∴T=2π. 变式提升 1试判断下列函数的奇偶性.(1)f(x)=1-2cosx+|tanx|;(2)f(x)=x 2tanx-sin 2x.解析:(1)因为该函数的定义域是{x|x≠2π+kπ,k ∈Z },关于原点对称,且f(-x)=1-2cos(-x)+|tan(-x)|=1-2cosx+|tanx|=f(x),所以函数f(x)为偶函数.(2)因为函数f(x)的定义域是{x|x≠2π+kπ,k ∈Z },关于原点对称,又f(-x)=(-x)2tan(-x)-sin 2(-x)=-x 2tanx-sin 2x,f(-x)≠f(x)且f(-x)≠-f(x),所以函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数.2.正切函数的图象和性质的综合应用【例2】作出函数y=|tanx|的图象，并根据图象求其单调区间.思路分析:要作出函数y=|tanx|的图象，可先作出y=tanx 的图象，然后将它在x 轴上方的图象保留，而将其在x 轴下方的图象向上翻折（即作出关于x 轴对称的图象）就可得到y=|tanx|的图象.解析：由于y=|tanx|=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-∈-+∈),,2(,tan ),2,[,tan ππππππk k x x k k x x (k ∈Z ),所以其图象如下图所示，单调增区间为［kπ,kπ+2π）(k ∈Z )；单调减区间为（kπ-2π,kπ］(k ∈Z).友情提示利用正切函数的图象过（-4π,-1）(4π,1)(0,0)三点且以x=-2π,x=2π为渐近线，根据这三点两线可以大体勾画出y=tanx 的图象，再利用图象变换得到题目要求的图象，推导出函数性质.类题演练 2 分别作出32π和-43π的正弦线,余弦线和正切线. 解析:(1)在直角坐标系中作单位圆如右图,以Ox 轴正方向为始边作32π的终边与单位圆交于P 点,作PM ⊥Ox 轴,垂足为M,由单位圆与Ox 正方向的交点A 作Ox 轴的垂线与OP 的反向延长线交于T 点,则sin32π=MP,cos 32π=OM,tan 32π=A T. 即32π的正弦线为MP,余弦线为OM,正切线为A T.(2)同理可作出-43π的正弦线,余弦线和正切线,如右图中sin(-43π)=M′P′,co s(-43π)=OM′,tan(-43π)=AT′. 即-43π的正弦线为M′P′,余弦线为OM′,正切线为AT′. 变式提升 2已知点P(tanα,cosα)在第四象限,则在(0,2π)内α的取值范围是________.解析:由⎩⎨⎧<>0cos ,0tan αα得α是第三象限角.又∵0<α<2π,∴π<α<23π. 答案:π<α<23π. 3.正切函数定义域与值域【例3】求下列函数的定义域 (1)y=tan(2x-3π); (2)y=x tan 3-; (3)y=xtan 11+; (4)y=tan(sinx).思路分析:定义域是使各个解析式有意义的自变量x 的取值范围.(1)只要使2x-3π≠2π+kπ,k ∈Z 即可;(2)只要满足⎪⎩⎪⎨⎧∈+≠≥-Z k k x x ,2,0tan 3ππ即可;(3)只要满足1+tanx≠0即可;(4)只要sinx≠kπ+2π,k ∈Z 即可. 解:(1)函数的自变量x 应满足: 2x-3π≠kπ+2π,k ∈Z , 即x≠2πk +125π(k ∈Z ).所以,函数的定义域为{x|x≠2πk +125π,k ∈Z }. (2)∵⎪⎩⎪⎨⎧∈+≠≥-Z k k x x ,2,0tan 3ππ ∴tanx≤3,∴kπ-2π<x≤kπ+3π(k ∈Z ). ∴函数的定义域为{x|kπ-2π<x≤kπ+3π,k ∈Z }. (3)要使函数y=x tan 11+有意义, 则有⎪⎩⎪⎨⎧∈+≠≠+Z k k x x ,2,,0tan 1ππ 即x≠kπ-4π,且x≠kπ+2π(k ∈Z ). ∴函数的定义域为,{x|x ∈R 且x≠kπ-4π,x≠kπ+2π,k ∈Z }. (4)∵无论x 取何值,-1≤sinx≤1,tan(sinx)总有意义.∴原函数的定义域为R .友情提示把正切函数的定义域当成R,或者认为y=tanx 在R 上单调递增都是错误的. 类题演练 3求函数y=)6tan(1tan π+-x x 的定义域. 解析:由题得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+≠+≠≠++<≤+⇒⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+≠+≠+≠+≥236242260)6tan(1tan ππππππππππππππππk x k x k x k x k k x k x x x ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+≠+≠-≠+<≤+⇒.2,3,6,24ππππππππππk x k x k x k x k 所以定义域为［kπ+4π,kπ+3π)∪(kπ+3π,kπ+2π)(k ∈Z ). 变式提升 3（1）求函数f(x)=tanxcosx 的定义域与值域；（2）求函数f(x)=|tanx|的定义域与值域.。

北师大版数学必修四：《正切函数的图像与性质及其应用》导学案（含解析）

北师大版数学必修四：《正切函数的图像与性质及其应用》导学案（含解析）第7课时正切函数的图像与性质及其应用1.了解利用正切线画出正切函数图像的方法.2.了解正切曲线的特征,能利用正切曲线解决简单的问题.3.掌握正切函数的性质.常见的三角函数还有正切函数,前面我们利用单位圆中的正弦线和余弦线,研究了正弦、余弦函数的图像,利用正弦曲线、余弦曲线探讨了它们的性质,今天我们使用类似的方法来探讨正切函数的图像及性质.问题1:正切函数及相关概念(1)正切函数的定义在直角坐标系中,角α满足:α∈R,且α≠,角α的终边与单位圆交于点P(a,b),则比值叫作角α的正切函数,记作y=tanα(α∈R,且α≠+kπ,k∈Z).(2)正切函数与正、余弦函数的关系tanα=(α∈R,且α≠+kπ,k∈Z).(3)正切线的定义在直角坐标系中,设单位圆与x轴正半轴的交点为A(1,0),过点A作x轴的垂线,与角α的相交于T点,则称为角α的正切线.问题2:正切曲线的图像及其特点(1)y=tan x(x∈R,且x≠+kπ,k∈Z)的图像.(2)正切曲线不是连续的一条曲线,而是由一些相互平行的直线所隔开的无穷多支曲线组成的,它不具有有界性,向上和向下都是无限延伸的.问题3:(1)作正切函数在一个周期内的图像的方法:类似于“五点法”的“三点两线法”作简图,这里三个点为,,,两线为直线、(其中k∈Z),作出这三个点和这两条渐近线,便可得到y=tan x在一个周期上的简图.(2)正切曲线的对称性:正切函数的图像关于原点对称,正切曲线是中心对称图形,其对称中心坐标是.正切函数对称轴.问题4:正切函数的性质(1)正切函数y=tan x的定义域是,值域为.(2)正切函数y=tan x的图像与x轴的交点的横坐标是.(3)正切函数y=tan x在每一个开区间内单调递增,但不能说在整个定义域上是单调递增函数.(4)正切函数y=tan x在定义域上是函数.1.已知角α的终边与单位圆交于点(,-),则tanα等于()A.B.-C.-D.-2.如果x∈(0,2π),则函数y=+的定义域是()A.{x|0<x<π}< p="">B.{x|<x<π}< p="">C.{x|<x≤π}< p="">D.{x|<x<2π}< p="">3.已知-tan(+α)=8,则tan(--α)的值为.4.观察正切曲线写出满足tan x>0的x的取值范围.正切型函数的定义域、值域问题函数f(x)=的定义域是.解含正切函数的不等式及求三角函数值解不等式tan x≤.正切型函数的单调性问题求函数y=tan(-3x-)的单调区间.求函数y=tan(x+)的定义域.已知角α终边上一点坐标为(3,-4),求的值.求函数y=tan(x+)的单调区间.1.函数y=tan(+x)的定义域是().A.{x|x≠,x∈R}B.{x|x≠-,x∈R}C.{x|x≠kπ+,x∈R}D.{x|x≠kπ+,x∈R}2.函数y=sin x·tan x是().A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既是奇函数又是偶函数3.tan2与tan3的大小关系是.4.求函数y=-2tan(3x+)的定义域、值域,并指出它的奇偶性和单调性.(2010年·全国大纲卷)记cos(-80°)=k,那么tan100°等于().A.B.-C.D.-考题变式(我来改编):第7课时正切函数的图像与性质及其应用知识体系梳理问题1:(1)+kπ(k∈Z)(2)(3)终边或终边的延长线线段AT问题2:(2)x=kπ+(k∈Z)问题3:(1)(kπ,0)(kπ+,1)(kπ-,-1)x=kπ+x=kπ-(2)(,0)(k∈Z)无问题4:(1){x|x∈R,x≠+kπ,k∈Z}R(2)kπ(k∈Z)(3)(kπ-,kπ+)(4)奇基础学习交流1.C由正切函数的定义可知tanα==-.2.C由得又x∈(0,2π),解得<x≤π,故选c.< p="">3.8∵-tan(+α)=-tan(π++α)=-tan(+α)=tan(--α),∴tan(--α)=8.4.解:画出y=tan x在(-,)上的图像,不难看出在此区间上满足tan x>0的x的范围为0<x<,< p="">结合周期性,可知在x∈R,且x≠kπ+(k∈Z)上满足tan x>0的x的取值范围为(kπ,kπ+)(k∈Z).重点难点探究探究一:【解析】要使函数有意义,应有即x≠+kπ,且x≠+kπ(k∈Z).即定义域为{x|x∈R,且x≠+kπ,x≠+kπ,k∈Z}.【答案】{x|x∈R,且x≠+kπ,x≠+kπ,k∈Z}【小结】求正切函数的定义域,注意y=tan x的定义域是{x|x∈R,x≠+kπ,k∈Z}.探究二:【解析】在同一坐标系中,作出y=tan x,x∈(-,)和y=的图像,如图所示,它们的交点为(,),满足tan x≤的x的取值范围为(-,].∴原不等式的解为{x|-+kπ<x≤+kπ,k∈z}.< p="">【小结】解三角不等式可运用单位圆或三角函数图像,注意数形结合的思想和方法的应用,对于正切函数,一定要注意其定义域.探究三:【解析】y=tan(-3x-),由-+kπ<-3x-<+kπ,得--<x<-+(k∈z).< p="">所以函数y=tan(-3x-)的单调递减区间为(--,-+)(k∈Z).[问题]求函数y=A tan(ωx+φ)的单调区间时,注意了A、ω的符号对单调性的影响吗?[结论]注意此处x的系数为负.于是,正确解答如下:y=tan(-3x-)=-tan(3x+).由-+kπ<3x+<+kπ,得-<x<+(k∈z).< p="">所以函数y=tan(-3x-)的单调递减区间为(-,+)(k∈Z).【小结】有关复合函数的单调性问题应注意把握原则,即“同增异减”.思维拓展应用应用一:由x+≠kπ+(k∈Z)得,x≠kπ+(k∈Z),∴y=tan(x+)的定义域为{x|x∈R且x≠kπ+,k∈Z}.应用二:∵α终边上一点的坐标为(3,-4),∴tanα=-,∴====-tanα=.应用三:由x+≠kπ+(k∈Z)得,x≠kπ+(k∈Z),∴y=tan(x+)的定义域为{x|x∈R且x≠kπ+,k∈Z}.又由y=tan x在每个区间(kπ-,kπ+)(k∈Z)上是增函数可知,当kπ-<x+<kπ+,即kπ-<x< p="">∴y=tan(x+)的单调递增区间为(kπ-,kπ+)(k∈Z).基础智能检测1.D由+x≠+kπ得,x≠+kπ(k∈Z),故选D.2.B f(-x)=sin(-x)·tan(-x)=(-sin x)·(-tan x)=sin x tan x=f(x),故f(x)是偶函数,故选B.3.tan2<tan3由于<2<3<,所以tan2<tan3.< p="">4.解:由3x+≠kπ+得,x≠+(k∈Z),∴所求的函数定义域为{x|x≠+,k∈Z,x∈R},值域为R,它既不是奇函数,也不是偶函数,在区间(-,+)(k∈Z)上是单调递减函数.全新视角拓展B∵cos(-80°)=cos80°=k>0,∴tan100°=-tan80°=-.思维导图构建{x|x∈R,x≠+kπ,k∈Z}(kπ-,kπ+)(k∈Z)(,0)(k∈Z)T=π</tan3由于<2<3<,所以tan2<tan3.<></x+<kπ+,即kπ-<x<></x<+(k∈z).<></x<-+(k∈z).<></x≤+kπ,k∈z}.<></x<,<></x≤π,故选c.<></x<2π}<></x≤π}<></x<π}<></x<π}<>。

北师版数学高一北师大版必修4学案 1.7 正切函数

明目标、知重点 1.能根据正弦、余弦函数的定义类比得正切函数的定义.2.了解正切函数图像的画法，理解、掌握正切函数的性质.3.能利用正切函数的图像及性质解决有关问题.4.能根据正弦、余弦函数的诱导公式推出正切函数的诱导公式．1．正切函数的定义在直角坐标系中(如图所示)，如果角α满足：α∈R ，α≠π2＋k π(k ∈Z )，那么，角α的终边与单位圆交于点P (a ，b )，唯一确定比值ba .根据函数的定义，比值ba 是角α的函数，我们把它叫作角α的正切函数，记作y＝tan α，其中α∈R ，α≠π2＋k π，k ∈Z .2．函数y ＝tan x 的性质与图像见下表函数y ＝tan x图像定义域 {x |x ∈R ，且x ≠k π＋π2，k ∈Z }值域R周期最小正周期为π奇偶性奇函数单调性在开区间⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2 (k ∈Z )内递增对称性对称中心(k π2，0)(k ∈Z )，无对称轴3.tan(x ＋k π)＝tan x (k ∈Z )(1.15)； tan(2π＋x )＝tan x (1.16)； tan(－x )＝－tan x (1.17)； tan(2π－x )＝－tan x (1.18)； tan(π－x )＝－tan x (1.19)； tan(π＋x )＝tan x (1.20)．[情境导学] 三角函数包括正弦、余弦函数和正切函数，我们已经研究了正弦、余弦函数的图像和性质，因此，进一步研究正切函数的性质与图像就成为学习的必然．你能否根据研究正弦、余弦函数的图像和性质的经验，以同样的方法研究正切函数的图像及性质？探究点一正切函数的图像思考1 类比正弦函数图像的作法，可以利用正切线作正切函数在区间⎝⎛⎭⎫－π2，π2的图像，具体应如何操作？答类比正弦函数图像的作法，作正切函数y ＝tan x ，x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2图像的步骤： (1)建立平面直角坐标系，在x 轴的负半轴上任取一点O 1，以O 1为圆心作单位圆． (2)把单位圆中的右半圆平均分成8份，并作出相应终边的正切线．(3)在x 轴上，把⎝⎛⎭⎫－π2，π2这一段分成8等份，依次确定单位圆上7个分点在x 轴上的位置． (4)把角x 的正切线向右平移，使它的起点与x 轴上对应的点x 重合．(5)用光滑的曲线把正切线的终点连接起来，就得到y ＝tan x ，x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2的图像，如图所示．思考2 直线x ＝π2和x ＝－π2与正切函数y ＝tan x 图像的位置关系如何？结合正切函数的周期性，如何画出正切函数在整个定义域内的图像？答直线x ＝π2和x ＝－π2是正切函数图像的渐近线．我们作出了正切函数一个周期⎝⎛⎭⎫－π2，π2上的图像，根据正切函数的周期性，把图像向左、右延拓，得到正切函数y ＝tan x (x ∈R ，且x ≠π2＋k π，k ∈Z )的图像，我们把它叫作“正切曲线”(如下图所示)，它是被无数条直线x ＝k π＋π2(k ∈Z )所隔开的无数条曲线组成的．思考3 一条平行于x 轴的直线与正切曲线相邻两支曲线的交点的距离为多少？答一条平行于x 轴的直线与相邻两支正切曲线的交点的距离为此函数的一个周期．探究点二正切函数的性质思考1 根据相关诱导公式，你能判断正切函数是周期函数吗？其最小正周期为多少？一般地，函数y ＝tan(ωx ＋φ) (ω>0)的周期是多少？答由诱导公式tan(x ＋π )＝tan x ，可知正切函数是周期函数，最小正周期是π. ∵y ＝A tan(ωx ＋φ)＝A tan(ωx ＋φ＋π)＝A tan ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫x ＋πω＋φ，∴周期T ＝πω. 思考2 根据相关诱导公式，你能判断正切函数具有奇偶性吗？正切函数图像有何对称性？答从正切函数的图像来看，正切曲线关于原点对称；从诱导公式来看，tan(－x )＝－tan x ．故正切函数是奇函数．正切函数图像是中心对称图形，对称中心有无数多个，它们的坐标为⎝⎛⎭⎫k π2，0(k ∈Z )．思考3 观察下图中的正切线，当角x 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内增加时，正切函数值发生什么变化？由此反映出一个什么性质？当x 大于－π2且无限接近－π2时，正切值如何变化？当x 小于π2且无限接近π2时，正切值又如何变化？由此分析，正切函数的值域是什么？答正切函数值随着增加，反映了函数的单调性．当x →－π2时，tan x →－∞；当x →π2时，tan x →＋∞.所以y ＝tan x 可以取任意实数值，但没有最大值和最小值，故正切函数的值域为R . 思考4 结合正切函数的周期性，正切函数的单调性如何？正切函数在整个定义域内是增函数吗？正切函数会不会在某一区间内是减函数？答正切函数在每一个开区间⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )上都是增函数．正切函数在整个定义域内不是增函数，而是在每一个开区间⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )上都是增函数，正切函数不会在某一区间内是减函数．例1 求函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )的定义域．解由题意得⎩⎪⎨⎪⎧tan x ＋1≥01－tan x >0，即－1≤tan x <1.在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内，满足上述不等式的x 的取值范围是 ⎣⎡⎭⎫－π4，π4.又y ＝tan x 的周期为π，所以所求x 的取值范围是⎣⎡⎭⎫k π－π4，k π＋π4 (k ∈Z )．即函数的定义域为⎣⎡⎭⎫k π－π4，k π＋π4 (k ∈Z )．反思与感悟求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件，另外解不等式时要充分利用三角函数的图像或三角函数线．跟踪训练1 求下列函数的定义域： (1)y ＝11＋tan x ；(2)y ＝lg(3－tan x )．解 (1)要使函数y ＝11＋tan x有意义，只需⎩⎪⎨⎪⎧1＋tan x ≠0，x ≠π2＋k π(k ∈Z ).∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R ，x ≠k π＋π2且x ≠k π－π4，k ∈Z .(2)由3－tan x >0，得tan x < 3.根据正切函数图像，得－π2＋k π<x <π3＋k π (k ∈Z )，∴函数的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－π2＋k π<x <π3＋k π，k ∈Z .例2 求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4的单调区间及最小正周期．解 y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4＝－tan ⎝⎛⎭⎫12x －π4，由k π－π2<12x －π4<k π＋π2 ，k ∈Z ，得2k π－π2<x <2k π＋32π，k ∈Z ，∴函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4的单调递减区间是 ⎝⎛⎭⎫2k π－π2，2k π＋32π，k ∈Z .最小正周期T ＝π⎪⎪⎪⎪－12＝2π.反思与感悟 y ＝tan(ωx ＋φ)(ω>0)的单调区间的求法即是把ωx ＋φ看成一个整体，解－π2＋k π<ωx ＋φ<π2＋k π，k ∈Z 即可．当ω<0时，先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间．跟踪训练2 求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调区间．解 ∵y ＝tan x 在x ∈⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )上是增函数，∴－π2＋k π<2x －π3<π2＋k π，k ∈Z . 即－π12＋k π2<x <5π12＋k π2，k ∈Z .∴函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间是 ⎝⎛⎭⎫－π12＋k π2，5π12＋k π2(k ∈Z )．探究点三正切函数性质的应用例3 利用正切函数的单调性比较下列两个函数值的大小：(1)tan ⎝⎛⎭⎫－65π与tan ⎝⎛⎭⎫－137π； (2)tan 2与tan 9.解 (1)∵tan ⎝⎛⎭⎫－65π＝tan ⎝⎛⎭⎫－π－π5＝tan ⎝⎛⎭⎫－π5， tan ⎝⎛⎭⎫－137π＝tan ⎝⎛⎭⎫－2π＋π7＝tan π7，又函数y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上是增函数，而－π2<－π5<π7<π2.∴tan ⎝⎛⎭⎫－π5<tan π7，即tan ⎝⎛⎭⎫－65π<tan ⎝⎛⎭⎫－137π. (2)∵tan 9＝tan(9－2π)，而π2<2<9－2π<π.由于函数y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫π2，π上是增函数， ∴tan 2<tan(9－2π)，即tan 2<tan 9.反思与感悟比较两个函数值的大小，只需将所涉及的两个角通过诱导公式转化到同一个单调区间内，再借助单调性即可．正切函数的单调递增区间为(－π2＋k π，π2＋k π)，k ∈Z .故在⎝⎛⎭⎫－π2，π2和⎝⎛⎭⎫π2，3π2上都是增函数．跟踪训练3 比较下列两组函数值的大小． (1)tan(－1 280°)与tan 1 680°； (2)tan 1，tan 2，tan 3.解 (1)∵tan(－1 280°)＝tan(－4×360°＋160°) ＝tan(180°－20°)＝tan(－20°)， tan 1 680°＝tan(4×360°＋240°) ＝tan(180°＋60°)＝tan 60°，而函数y ＝tan x 在()－90°，90°上是增函数， ∴tan(－20°)<tan 60°，即tan(－1 280°)<tan 1 680°.(2)∵tan 2＝tan(2－π)，tan 3＝tan(3－π)，又∵π2<2<π，∴－π2<2－π<0，∵π2<3<π，∴－π2<3－π<0，显然－π2<2－π<3－π<1<π2，且y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内是增函数， ∴tan(2－π)<tan(3－π)<tan 1，即tan 2<tan 3<tan 1.1．函数y ＝3tan(2x ＋π4)的定义域是( )A ．{x |x ≠k π＋π2，k ∈Z }B ．{x |x ≠k 2π－3π8，k ∈Z }C ．{x |x ≠k 2π＋π8，k ∈Z }D ．{x |x ≠k2π，k ∈Z }答案 C2．函数f (x )＝tan(x ＋π4)的单调递增区间为( )A ．(k π－π2，k π＋π2)，k ∈ZB ．(k π，(k ＋1)π)，k ∈ZC ．(k π－3π4，k π＋π4)，k ∈ZD ．(k π－π4，k π＋3π4)，k ∈Z答案 C3．在下列函数中同时满足：①在⎝⎛⎭⎫0，π2上递增；②以2π为周期；③是奇函数的是( ) A ．y ＝tan x B ．y ＝cos x C ．y ＝tan x2D ．y ＝－tan x答案 C4．函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的对称中心的坐标是．答案 ⎝⎛⎭⎫k π2－π3，0(k ∈Z )解析由x ＋π3＝k π2 (k ∈Z )，得x ＝k π2－π3(k ∈Z )．∴对称中心的坐标为⎝⎛⎭⎫k π2－π3，0(k ∈Z )． [呈重点、现规律]1．正切函数y ＝tan x 的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π2，k ∈Z ，值域是R .2．正切函数y ＝tan x 的最小正周期是π，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(Aω≠0)的周期为T ＝π|ω|.3．正切函数在⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )上递增，不能写成闭区间．正切函数无单调减区间．一、基础过关1．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π5，x ∈R 且x ≠310π＋k π，k ∈Z 的一个对称中心是( ) A ．(0,0) B.⎝⎛⎭⎫π5，0 C.⎝⎛⎭⎫45π，0 D ．(π，0)答案 C2．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π3在一个周期内的图像是( )答案 A3．在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos(2x ＋π6)，④y ＝tan(2x －π4)中，最小正周期为π的所有函数为( ) A ．②④ B ．①③④ C ．①②③ D ．①③答案 C解析 ①y ＝cos|2x |＝cos 2x ，T ＝π. ②由图象知，函数的周期T ＝π. ③T ＝π. ④T ＝π2.综上可知，最小正周期为π的所有函数为①②③. 4．下列各式中正确的是( ) A ．tan 735°>tan 800° B ．tan 1>－tan 2 C ．tan 5π7<tan 4π7D ．tan9π8<tan π7答案 D5．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图像的相邻两支截直线y ＝π4所得线段长为π4，则f ⎝⎛⎭⎫π4的值是( ) A ．0 B ．1 C ．－1 D.π4答案 A解析由题意，T ＝πω＝π4，∴ω＝4.∴f (x )＝tan 4x ，f ⎝⎛⎭⎫π4＝tan π＝0.6．函数y ＝tan x －1的定义域是．答案 [k π＋π4，k π＋π2)，k ∈Z7．求函数y ＝－tan 2x ＋4tan x ＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4的值域．解 ∵－π4≤x ≤π4，∴－1≤tan x ≤1.令tan x ＝t ，则t ∈[－1,1]． ∴y ＝－t 2＋4t ＋1＝－(t －2)2＋5. ∴当t ＝－1，即x ＝－π4时，y min ＝－4，当t ＝1，即x ＝π4时，y max ＝4.故所求函数的值域为[－4,4]．二、能力提升8．设a ＝sin 33°，b ＝cos 55°，c ＝tan 35°，则( ) A ．a >b >c B ．b >c >a C ．c >b >a D ．c >a >b答案 C解析 ∵a ＝sin 33°，b ＝cos 55°＝sin 35°，c ＝tan 35°＝sin 35°cos 35°，又0<cos 35°<1，∴c >b >a .9．函数y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |在区间⎝⎛⎭⎫π2，3π2内的图像是( )答案 D解析当π2<x <π时，tan x <sin x ，y ＝2tan x <0；当x ＝π时，y ＝0；当π<x <3π2时，tan x >sin x ，y ＝2sin x ．故选D.10．函数y ＝3tan(ωx ＋π6)的最小正周期是π2，则ω＝ .答案 ±2解析 T ＝π|ω|＝π2，∴ω＝±2.11．已知函数f (x )＝x 2＋2x ·tan θ－1，x ∈[－1，3]，θ∈(－π2，π2)．(1)当θ＝－π6时，求函数f (x )的最大值和最小值；(2)求θ的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－1，3]上是单调函数．解 (1)当θ＝－π6时， f (x )＝x 2－233x －1＝(x －33)2－43(x ∈[－1，3])， ∴当x ＝33时，f (x )min ＝－43；当x ＝－1时，f (x )max ＝23 3. (2)函数f (x )＝(x ＋tan θ)2－1－tan 2θ的图像的对称轴为直线x ＝－tan θ.∵y ＝f (x )在区间[－1，3]上是单调函数，∴－tan θ≤－1或－tan θ≥ 3.∴tan θ≥1或tan θ≤－ 3.解得θ的取值范围是[π4，π2)∪(－π2，－π3]． 12．设函数f (x )＝tan(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π2)，已知函数y ＝f (x )的图像与x 轴相邻两交点的距离为π2，且图像关于点M (－π8，0)对称，求f (x )的解析式．解由题意可知，函数f (x )的最小正周期T ＝π2，即πω＝π2，∴ω＝2. 从而f (x )＝tan(2x ＋φ)．∵函数y ＝f (x )的图像关于点M (－π8，0)对称， ∴2×(－π8)＋φ＝k π2，k ∈Z ，即φ＝k π2＋π4(k ∈Z )． ∵0<φ<π2，∴φ只能取π4. 故f (x )＝tan(2x ＋π4)．三、探究与拓展13．(1)函数y ＝sin x 与y ＝tan x 的图像在区间[0,2π]上交点的个数是多少？(2)求函数y ＝|tan x |的最小正周期．解 (1)因为当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，tan x >x >sin x ，所以当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，y ＝sin x 与y ＝tan x 没有公共点，因此函数y ＝sin x 与y ＝tan x 在区间[0,2π]内的图像如图所示：观察图像可知，函数y ＝tan x 与y ＝sin x 在区间[0,2π]内有3个交点．(2)当k π≤x <k π＋π2，k ∈Z 时，tan x ≥0，则f (x )＝tan x ；当k π－π2<x <k π，k ∈Z 时，tan x <0，则f (x )＝－tan x ，则有f (x )＝⎩⎨⎧ tan x ，k π≤x <k π＋π2，k ∈Z ，－tan x ，k π－π2<x <k π，k ∈Z ，其图像如图所示．由图知函数y ＝|tan x |的最小正周期为π.。

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