求函数值域的几种方法

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函数值域的十种求法

1、通过定义域的极限来求函数值域：由于函数表示法中的变量x的取值范围是定义域，而函数值f(x)的取值范围则可以通过定义域极限的方法来求得。

2、通过函数定义关系来求函数值域：由于函数在定义域内有一定的定义关系，所以可以根据函数定义关系来求函数值域。

3、由于函数在定义域内有一定的性质，所以可以根据函数性质来求函数值域。

4、由于函数在定义域内有一定的对称性，所以可以根据函数的对称性来求函数值域。

5、由于函数在定义域内有一定的单调性，所以可以根据函数的单调性来求函数值域。

6、根据函数的奇偶性来求函数值域：如果函数在定义域内具有奇偶性，则可以根据函数的奇偶性来求函数值域。

7、由于函数在定义域内有一定的常数性，所以可以根据函数的常数性来求函数值域。

8、根据函数增减性来求函数值域：如果函数在定义域内具有增减性，则可以根据函数的增减性来求函数值域。

9、由于函数在定义域内有一定的循环性，所以可以根据函数的循环性来求函数值域。 10、根据函数的图像形状来求函数值域：如果函数在定义域内具有特定的图像形状，则可以根据函数的图像形状来求函数值域。

求函数值域的几种常用方法

函数的值域是指函数在定义域上所有可能的输出值的集合。求函数值

域的方法可以分为几种常用的途径，包括图像法、解析法、等价关系法和

数列法等。下面将详细介绍这些方法。

一、图像法

图像法是通过绘制函数的图像来确定函数的值域。具体步骤如下：

1.根据函数的定义域，确定合适的坐标系并绘制出函数的图像。

2.观察图像的上下边界，确定最小值和最大值，并将这些值确定为函

数的值域的下边界和上边界。

二、解析法

解析法是通过对函数进行化简和分析，找出函数的特性来确定值域。

具体步骤如下：

1.根据函数的定义表达式，观察函数的性质，例如函数的奇偶性、周

期性等。

2.利用函数的性质，找出函数的最小值和最大值，并将这些值确定为

函数的值域的下边界和上边界。

三、等价关系法

等价关系法是通过将函数与其他已知函数进行比较来确定函数的值域。具体步骤如下：

1.将函数的定义表达式进行变形，使其更容易与已知函数进行比较。

2.将函数与已知函数进行比较，找出它们的区别和相似之处。

3.根据已知函数的值域，可以确定函数的值域的下边界和上边界。

四、数列法

数列法是通过构造特定的数列来逼近函数的值域。

1.根据函数的定义域，构造一个数列，使得数列中的每一个数都在函数的定义域内。

2.计算函数在数列中每一个数的值，并将这些值确定为函数的值域的一部分。

3.根据数列的性质，可以逼近函数的值域的下边界和上边界。

需要注意的是，这些方法都只能对一些简单的函数有效，对于复杂的函数，求值域可能需要借助数学分析工具、数值计算方法或者计算机模拟来进行。此外，不同的方法可以结合使用，以增加求值域的准确性。

求函数值域的方法大全

1、极限法：极限法是求函数值域的一种重要技术，可以用来求函数

的极值。原理是找到函数的变量的极限，在此极限处求函数的极值。求极

限的方法有四种：求不等式的极限，求一元函数的极限，求二元函数的极限，求多元函数的极限。

2、求导法：求导法是求函数的最值的经典方法。原理是求函数的导数，当导数当0的时候，其点处就会是极值点，可以分别求函数的一次导

数和二次导数，分析二次导数的符号可以判断函数的极值点属性，从而有

效解决函数求极值问题。

3、几何法：几何法是求函数最值问题的一种有效方法。原理是利用

函数的图象特征，以图形分析的方法在实值空间中求解函数的极值、拐点，从而求函数的最值。因为函数图象的研究具有直观性，使用几何法能够比

较快速地解决函数最值问题。

4、范数法：范数法是求函数值域的一种重要方法，可以用来求函数

的最大值和最小值。这种方法利用范数的基本性质，即大于等于零、对称

性以及三角不等式，一般使用二范数求解，其核心思想是将函数转化为范

数的格式，得出最值的解。

5、参数法：参数法是求函数值域的一种重要方法，可以用来求函数

的最大值和最小值。

求函数值域的几种常见方法详解

函数的值域是指函数在定义域内所有可能的输出值的集合。求函数值

域的方法有几种常见的途径，包括图像法、公式法、定义域分析法和求导

数法等。下面详细介绍这几种方法：

1.图像法：

通过绘制函数的图像，我们可以直观地看出函数的值域。通过观察图

像的上下界限以及函数的单调性，我们可以大致确定函数的值域。这种方

法适用于简单的函数，特别是连续的函数。但对于复杂的函数，这种方法

可能不太可行。

2.公式法：

有些函数可以通过一些数学公式来表示，例如多项式函数、指数函数、对数函数等。通过观察这些公式的特点，我们可以得到函数的值域。例如，指数函数的值域是(0,+∞)，对数函数的值域是(-∞,+∞)等。通过数学推

导和分析，我们可以得到更复杂函数的值域。

3.定义域分析法：

通过分析函数的定义域和性质，我们可以推断出函数的值域。例如，

当函数的定义域为有界闭区间时，值域也是有界闭区间。当函数的定义域

是无界，但函数是有界的，值域也是有界的。当函数具有对称性或周期性时，我们可以根据这些性质来推断函数的值域。

4.求导数法：

对于可导的函数，我们可以通过求导数来研究函数的单调性。通过研

究导数的正负情况以及极值点，我们可以确定函数的值域。当导数为正时，

函数递增，值域是无穷大。当导数为负时，函数递减，值域是无穷小。当导数的正负变化时，函数具有极值点，这些点可能是函数值域的边界。

在求函数值域时，我们还可以结合使用以上多种方法，以得到更准确和完整的结果。同时，需要注意的是，有些函数的值域是无法用简单的数学方法来确定的，这时我们可以利用数值计算和逼近方法来估算函数的值域。

函数值域的十五种求法

1. 直接观察法

对于一些比较简单的函数，通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域

例1. 求函数的值域。

解：∵∴

显然函数的值域是：

2. 配方法

配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例2. 求函数的值域。

解：将函数配方得：

∵

由二次函数的性质可知：当x=1时，，当x=-1时，

故函数的值域是：[4，8]

3. 判别式法

例3. 求函数的值域。

解：两边平方整理得：（1）

∵∴

解得：

但此时的函数的定义域由，得

由，仅保证关于x的方程：在实数集R有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由

求出的范围可能比y的实际范围大，故不能确定此函数的值域为。

可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。

∵∴

∴代入方程（1）

解得：即当时，

原函数的值域为：

注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。

4. 反函数法

直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。

例4. 求函数值域。

解：由原函数式可得：

则其反函数为：，其定义域为：

故所求函数的值域为：

5. 函数有界性法

直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。例5. 求函数的值域。

解：由原函数式可得：

，可化为：

即

∵∴

即解得：

故函数的值域为

6. 函数单调性法

例6. 求函数的值域。

解：令则在[2，10]上都是增函数所以在[2，10]上是增函数

当x=2时，

当x=10时，

故所求函数的值域为：

例7. 求函数的值域。

解：原函数可化为：

几种常用的求值域方法

求值域是指函数在定义域上所能取得的所有可能的值的集合。在数学中，我们经常需要求出一个函数的值域。下面是几种常用的求值域方法：

1.图像法：对于一些简单的函数，我们可以通过绘制函数的图像来直观地确定函数的值域。通过观察函数的图像，我们可以判断出函数在定义域上所能取得的最大值和最小值，从而确定函数的值域。

2.分析法：对于一些复杂的函数，我们可以通过分析函数的特点来求出它的值域。例如，对于一个多项式函数，我们可以通过求导数和求极值来确定函数的值域。对于一个有理函数，我们可以通过求解不等式来确定函数的值域。

3.奇偶性：对于一些具有特定奇偶性质的函数，我们可以通过观察函数的奇偶性来确定函数的值域。例如，对于一个奇函数，它的值域将关于原点对称；对于一个偶函数，它的值域将关于y轴对称。

4.上下界：如果一个函数的定义域有上下界，那么函数的值域也会有上下界。我们可以通过求解极限来确定函数的上下界，并进而确定函数的值域。

5.距离法：对于一个与其他对象之间存在一定距离关系的函数，我们可以通过计算函数值与目标值之间的距离来确定函数的值域。例如，对于一个平面上的点到原点的距离函数，它的值域将为非负实数集。

这些求值域的方法在不同的情况下都可以起到一定的作用。在实际问题中，我们可以根据具体的函数形式和给定的条件选择合适的方法来求解函数的值域。

求函数值域的几种方法

要找一个函数的值域，可以使用以下几种方法：

1.分析函数的图像：首先，将函数的图像绘制在坐标系中。观察图像的上下界限，以确定函数值域的大致范围。由于图像上每一个点的纵坐标就是函数的函数值，所以函数图像的纵坐标的取值范围即为函数的值域。

2.分析函数的定义域和特征：根据函数的定义和特征，分析函数值的变化规律。例如，对于一个线性函数，它的定义域为整个实数集，值域也是整个实数集。对于一个二次函数，可以根据开口方向和平移情况，确定它的最值，从而确定值域。

3.利用函数的性质和定理：对于特定类型的函数，可以利用其性质和定理来求解值域。例如，对于连续函数，可以使用最大值最小值定理来求解值域。对于周期函数，可以观察一个周期内的函数值，然后根据周期性将其延伸到整个定义域。

4.确定函数的反函数：对于能找到反函数的函数，可以通过求反函数的定义域来确定原函数的值域。反函数的定义域就是原函数的值域。

5.求函数的极限：对于无法直接求解的函数，可以分析函数的极限情况来求解值域。特别地，当函数的$x$趋近于无穷大时，如果函数的极限存在，那么该极限即为函数的值域的上界或下界。

6.利用函数的性质和图像变化关系：一些类型的函数具有特殊的性质和图像变化关系，可以通过分析这些性质和关系来求解值域。例如，对于单调递增或递减函数，其值域可以直接从其定义域得出；对于有界函数，其值域也是有界的。

总之，求一个函数的值域需要根据函数的特点和性质进行分析和求解，可以结合图像、定义域、反函数、极限、函数的性质和定理等各种方法来

求函数值域的12种方法

函数的值域即为函数的输出值的集合。在数学中，可以用多种方法来确定函数的值域。

1.输入法：根据函数的解析式，将不同的输入带入函数中，找出函数的输出值。例如，对于函数$f(x)=x^2$，将不同的$x$值带入函数中，得到$f(1)=1$，$f(2)=4$，$f(3)=9$，...，通过这种方法可以找出函数的值域为正整数集合。

2. 虚拟增量法：给定函数的定义域，通过逐渐增加函数的输入值，观察函数的输出值是否有变化。例如，对于函数$g(x) = \sqrt{x}$，可以从定义域中的最小值开始逐渐增加$x$的值，观察$\sqrt{x}$的变化，直到无法再增加$x$的值为止。通过这种方法可以找出函数值域为非负实数集合。

3. 图像法：画出函数的图像，通过观察图像的高度范围找出函数的值域。例如，对于函数$h(x) = \sin x$，可以画出其图像，观察图像的高度范围为$[-1, 1]$，则函数的值域为闭区间$[-1, 1]$。

4. 函数属性法：通过函数的性质推断出函数的值域。例如，对于函数$f(x) = \frac{1}{x}$，可以通过观察函数的分母$x$的取值范围，推断出函数的值域为除去零的实数集合。

5. 求导法：对于可导函数，可以通过求导数来确定函数的值域。例如，对于函数$f(x) = x^3 + 1$，求导得到$f'(x) = 3x^2$，由于

$f'(x)$是一个二次函数，且开口向上，因此可以推断出函数$f(x)$的值域为$(-\infty, +\infty)$。

6. 函数复合法：对于复合函数，可以通过将函数复合起来，找出函

求函数值域常见的五种方法

求函数的值域是函数学习的一个难点，求值域时涉及到的知识和方法较多，下面介绍几种常用的方法供参考．

一、判别式法

思路：将函数式整理成一元二次方程的形式，借用判别式求值域．

例1 求函数的4

312--=x x y 值域．解：原式整理成01432

=---y yx yx ， )4()41()1(∞+⋃-⋃--∞∈，，，x ，且0≠y ，

∴0)14(492≥++=∆y y y .

解得0≥y 或25

4-≤y ．当 25

4-=y 时，)41(23，-∈=x ．又0≠y ， ∴所求函数的值域是),0(]25

4--+∞⋃∞，（．二、配方法

例2 求函数x x y 21-+=的值域．解：由已知得2

121)21(21+-+--=x x y 1)121(2

12+---=x

∴所求函数的值域是

]1-，（∞．三、单调性法

思路：利用函数的图象和性质求解.

例3 当)0,2

1(-∈x 时，求函数)1lg()1lg(x x y -++=的值域．

解：由已知得)1lg(2

x y -=， ∵)0,2

1(-∈x ，∴)41,0(2∈x ．又2x -在)0,2

1(-∈x 上递增， ∴)1,43(12

∈-x ．又u y lg =在)1,4

3(上递增， ∴)0,43(lg )1lg(2∈-x ，原函数的值域为)0,4

3(lg ．四、反函数法

例4 求函数x

x y -+=11的值域．解：∵函数的定义域是{}1,0|≠≥x x x 且，由原函数变形得01

1≥+-=y y x ， ∴1≥y 或1-

求函数值域的12种方法

函数是中学数学的重要的基本概念之一，它与代数式、方程、不等式、三角函数、微积分等内容有着密切的联系，应用十分广泛。函数的基础性强、概念多，其中函数的定义域、值域、奇偶性等是难点之一，是高考的常见的题型。下面就函数的值域的求法，举例说如下。

一．观察法

通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。

例1求函数y=3+√(2－3x)的值域。

点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x)的值域。

解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0，

故3+√(2－3x)≥3。

∴函数的知域为.

点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。

本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。

练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝）

二．反函数法

当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。

例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。

点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。

解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。

点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。

练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。（答案：函数的值域为｛y∣y<－1或y>1｝）三．配方法

函数求值域的15种方法

1. 通过图像观察函数的值域

2. 分析函数的定义域和性质来求值域

3. 使用函数的极限来求值域

4. 使用反函数来求值域

5. 使用微积分方法求值域

6. 利用代数方法求值域

7. 使用函数的导数来求值域

8. 使用平移、伸缩和反转等变换来求值域

9. 使用图像变换方法来求值域

10. 利用函数的周期性来求值域

11. 利用函数的分段定义来求值域

12. 使用函数的周期性来求值域

13. 利用对称性来求值域

14. 使用级数和级数收敛性来求值域

15. 利用函数的特殊性质和特殊值来求值域

求函数值域的几种方法

函数的值域由函数的定义域和对应关系完全确定，但因函数千变万化，形式各异，值域的求法也各式各样，因此求函数的值域就存在一定的困难，解题时，若方法适当，能起到事半功倍的作用．求函数值域的常用方法有配方法、换元法、分离常数法、基本不等式法、单调性法、判别式法、数形结合法等．

1．数形结合法

利用函数所表示的几何意义，借助于图象的直观性来求函数的值域，是一种常见的方法，如何将给定函数转化为我们熟悉的模型是解答此类问题的关键．

[典例1] 对a ，b ∈R ，记max|a ，b |＝⎩⎪⎨

⎪⎧ a ，a ≥b ，b ，a

[解析] f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ |x ＋1|，x ≥12，|x －2|，x <12，

由图象知函数的值域为⎣⎢⎡⎭

⎪⎫32，＋∞. [答案] ⎣⎢⎡⎭

⎪⎫32，＋∞

[题后悟道]

利用函数所表示的几何意义求值域(最值)，通常转化为以下两种类型：

(1)直线的斜率：y x 可看作点(x ，y )与(0,0)连线的斜率；y －b x －a

可看作点(x ，y )与点(a ，b )连线的斜率．

(2)两点间的距离： x －x 1 2＋ y －y 1 2

可看作点(x ，y )与点(x 1，y 1)之间的距离．

针对训练

1．函数y ＝ x ＋3 2＋16＋ x －5 2＋4的值域为________．

解析：函数y ＝f (x )的几何意义为：平面内一点P (x,0)到两点A (－

3,4)和B (5,2)距离之和．由平面几何知识，找出B 关于x 轴的对称点B ′(5，－2)．连接AB ′交x 轴于一点P 即为所求的点，最小值y ＝|AB ′|

函数求值域15种方法

方法一：对于已知函数，可以通过求函数的表达式来确定函数的值域。例如对于f(x)=x^2+1需要求值域，可以将其表示为y=x^2+1，然后观察x

和y的关系，可以得到y的值域为[1,+∞)。

方法二：对于一些简单的函数，可以使用数学知识来确定其值域。例

如对于 f(x) = sin(x)，由于正弦函数的值域为[-1, 1]，因此 f(x) 的

值域也是[-1, 1]。

方法三：对于复合函数，可以通过将内部函数的值域代入外部函数中

来确定整个函数的值域。例如对于f(x)=√(x^2+1)，内部函数

g(x)=x^2+1的值域为[1,+∞)，将值域代入外部函数，可以得到f(x)的值

域也是[1,+∞)。

方法四：对于分段函数，可以分别求解不同区间上函数的值域，然后

将这些值域合并得到整个函数的值域。例如对于f(x)={x,x<0;x^2,x≥0}，可以分别求解x<0和x≥0的情况，得到f(x)的值域为(-∞,0]∪[0,+∞)。

方法五：利用函数的奇偶性来确定函数的值域。如果函数是奇函数，

即f(-x)=-f(x)，那么函数的值域关于原点对称；如果函数是偶函数，即

f(-x)=f(x)，那么函数的值域关于y轴对称。根据函数的奇偶性可以推断

出函数的值域。

方法六：利用函数的周期性来确定函数的值域。如果函数有周期T，

那么函数的值域在一个周期内是相同的。可以通过观察函数的图像或者函

数的性质来确定函数的周期，并进一步确定函数的值域。

方法七：利用函数的极限来确定函数的值域。可以求函数在正无穷和

负无穷的极限，根据极限的性质来确定函数的值域。如果函数在正无穷的

求函数值域的十三种方法

求函数值域是数学中常见的问题，通过求函数值域可以了解函数的取值范围，对于解决实际问题和理论分析都有重要意义。下面将介绍求函数值域的十三种方法。

一、观察法

观察法是最直观的方法，通过观察函数的定义域和性质，可以初步确定函数的值域。例如，对于一个关于实数的二次函数，如果其开口向上，则可以判断其值域为大于等于最低点的y坐标的实数集合。

二、代数法

代数法是通过运用代数运算的方法求函数值域。例如，对于一个有理函数，可以通过求其对应的分式函数的极限来确定函数的值域。

三、图像法

图像法是通过绘制函数的图像来求函数值域。通过观察图像的变化趋势，可以确定函数的值域。例如，对于一个周期函数，可以通过绘制其一个周期内的图像，然后根据图像的波动范围确定函数的值域。

四、导数法

导数法是通过求函数的导数来求函数值域。通过分析导数的增减性和极值点，可以确定函数的值域。例如，对于一个单调递增函数，其值域为整个定义域；对于一个有界函数，其值域为一个闭区间。

五、反函数法

反函数法是通过求函数的反函数来求函数值域。通过求反函数的定义域，可以得到函数的值域。例如，对于一个严格单调增函数，其反函数的定义域即为函数的值域。

六、极限法

极限法是通过求函数的极限来求函数值域。通过分析函数的极限可以确定函数的趋势和边界，从而确定函数的值域。例如，对于一个无界函数，可以通过求其极限来确定函数的值域。

七、积分法

积分法是通过求函数的积分来求函数值域。通过分析函数的积分可以确定函数的曲线下面积，从而确定函数的值域。例如，对于一个连续非负函数，可以通过求其积分来确定函数的值域。

函数求值域种方法

求函数的值域是数学中一个重要的问题，可以通过多种方法来确定。以下介绍几种常用的方法。

1.分析函数的性质：

-如果函数是线性函数，其值域是整个实数轴。

-如果函数是常数函数，其值域只有一个数。

-如果函数是多项式函数，其值域可能是整个实数轴，也可能是一段连续的实数区间。

-如果函数是有理函数，可以通过寻找分母为零的点、分子的极限等来确定值域。

-如果函数是指数函数或对数函数，可以通过对函数进行平移、缩放等变换来确定值域。

2.制作函数的图像：

-绘制函数的图像可以直观地看出函数的值域。通过观察函数图像的变化趋势，可以确定函数的最大值、最小值和值域。

3.寻找函数的极限：

-通过求函数的左右极限，可以确定函数在特定点的值域。例如，当函数的极限是无穷大时，可以确定函数的值域包含正无穷或负无穷。

4.利用函数的导数：

-如果函数在一些区间上是单调递增或单调递减的，并且函数的导数存在且不为零，那么函数的值域是该区间上的一个连续的实数区间。

5.利用函数的性质和已知值域：

-如果已知函数的一些子函数的值域，可以通过推导出函数的其他子函数的值域来确定整个函数的值域。

以上是几种常用的方法，但并不是全部。求函数的值域需要根据具体函数的性质和给定条件来选择合适的方法，有时也需要通过使用多个方法的组合来求解。在实际问题中，可能需要使用更加复杂的方法和技巧来确定函数的值域。

求值域的五种方法及例题

求值域的五种方法如下：

1. 集合法：将函数的所有可能输出值组成一个集合。

例题：对于函数 f(x) = x^2，求其值域。

解答：可以发现，x^2 的结果只能是大于等于 0 的数，因此值域为[0, +∞)。

2. 平移法：通过将函数的图像在纵轴方向上进行平移来确定值域。

例题：对于函数 f(x) = x^2 + 1，求其值域。

解答：函数 x^2 + 1 的图像是一个向上开口的抛物线，平移后的抛物线的顶点就是值域的最小值，因此值域为[1, +∞)。

3. 导数法：通过求函数的导数，判断其单调性，进而找到值域的最大值和最小值。

例题：对于函数 f(x) = x^3，求其值域。

解答：f'(x) = 3x^2，可以看出当 x > 0 时，f'(x) > 0，即函数是单调递增的。当 x < 0 时，f'(x) < 0，即函数是单调递减的。因此，最小值为负无穷，最大值为正无穷，值域为 (-∞, +∞)。

4. 逢边法：对于有界区间上的函数，将端点的函数值作为值域

的边界。

例题：对于函数 f(x) = sin(x)，求其在区间[0, π] 上的值域。

解答：f(0) = 0，f(π) = sin(π) = 0，在区间[0, π] 上，sin(x) 的最小值和最大值都为 0，因此值域为 [0, 0]，即 {0}。

5. 图像法：通过观察函数的图像来确定其值域。

例题：对于函数f(x) = √x，求其值域。

解答：可以发现，√x 的结果只能是大于等于 0 的数，因此值域为[0, +∞)。