第六章 概率分布@

5.正态分布可以转化为标准正态分布曲线（μ=0，σ2=1）。
三、标准正态分布

对于任何一个服从正态分布N(μ,σ2)的随机变量x，都 可以通过标准化变换：z=(x-μ)／σ；将标准分数代入 正态曲线函数，并且，令σ＝1，则公式变换为标准正态 分布函数：
Y
◆
1 2
e

Z
2
2
标准正态分布的μ=0,σ2=1，
（二）经验分布与理论分布

依分布函数的来源，可将概率分布分为经验分布与理 论分布。 经验分布（empirical distribution）是指根据观察或实 验所获得的数据而编制的次数分布或相对频率分布。


理论分布（theoretical distribution）是按某种数学模
型计算出的概率分布。
在心理与教育研究中,常常遇到等级评定的结果。但是 不同评定者的评定标准往往不一致，无法综合他们的评定结 果;而且等级分数不是等距数据，不同事物的评定结果不能 直接比较。将等级评定的结果转化为数量结果，就可解决这 些问题。

（例6－2）
具体方法

根据各等级被评者的数目求各等级的人数比率； 求各等级比率值的中间值；
2 2
其中μ为平均数，σ2为方差，称随机变量x服从正态 分布 ， 记为x～N(μ,σ2)。
二、 正态分布 的特征
1.正态分布是对称的曲线，对称轴为x=μ；M=Md＝Mo，y(max) ＝0.3989 2.正态曲线的拐点为正负1个标准差处。 3.正态曲线下的面积为1，左右两边相等＝0.5
4.正态分布随平均数μ与标准差σ的变化而变化。

从表可看出，随着实验次数的增多， 1个人发生从
众行为这个事件的概率越来越稳定地接近0.7，我
们就把0.7作为这个事件的概率。

在一般情况下，随机事件的概率 p 是不可能 准确得到的。通常以试验次数n充分大时随机事件A 的频率作为该随机事件概率的近似值。

即 P（A）=p≈m/n
（n充分大）
（二）先验概率（古典概率）

（例6－3）

例：今有1000人参加一项数学能力测验,欲将测验结 果评为六个等级。问各等级评定的人数应是多少？
（四）以标准分数表示考试成绩
★比较学生的考试成绩时，使用原始分数有其 不合理之处：
⑴原始分制度没有提示考生成绩在考生团体成绩中的位置。
⑵由于各科命题难度不同，导致各科原始分之间不能直接比较，
1.随机事件的频率 ——在相同条件下进行n次重复试验，如果随机事件A发生的 次数为m ，那么m/n称为随机事件A的频率； W ( A ) 2.随机事件的概率 ——当n无限增大时，随机事件A的频率会稳定在一个常数P， 这个常数就是随机事件A的概率。
P A Lim m n
m n
n
这样定义的概率称为后验概率或统计概率。
四、正态分布表的使用(P166)

统计学家已编制好了标准正态分布表，使其使 用非常方便。
表中仅列有标准正态曲线下的面积，因此，查 表前应先将原始变量Ｘ转换为Ｚ。

Z
X X S
1.已知Z值求概率P
(1)求Z分数与平均数（Z=0）之间的概率； (2)求Z分数以上或以下的概率；
(3)求两个Z分数之间的概率。

解：考试成绩服从正态分布，根据题意招生人数的 概率为P(Z≥Z0) = 150/2800 = 0.05357 P(0<Z< Z0) = 0.5－0.05357 = 0.44643 查正态分布表，得Z0 = 1.6112 X0= 75 + 1.6112×8 = 87.8894 ≈ 88
五、正态分布理论在测验中的应用 （一）化等级评定为测量数据
（三）基本随机变量分布与抽样分布

依所描述的数据的样本特性，可将概率分布分为 基本随机变量分布与抽样分布（sampling distribution）。
基本随机变量分布是随机变量各种不同取值情况 的概率分布；（二项分布、正态分布）


抽样分布是从同一总体内抽取的不同样本的统计 量的概率分布。（平均数、量平均数之差、方差、 相关系数等）
X X
n X

n! X ! n X !
p
X
q
n X
例6－4
b X . n . p ：n次试验中某事件出 现X次，每次试验出现 的概率为P,不出现的 概率为q.
例：从男生占２/５的学校中随机抽取６个学生，问正 好抽到４个男生的概率是多少？最多抽到２个男生的 概率是多少？ 解：将n=6，p=2/5，q=3/5，X=4代入公式，则恰好抽到4 个男生的概率为：
通过，应聘录取和落聘……
二、二项分布
二项分布：是指试验仅有两种不同性质结果的概率分布。 具体定义：有n次试验，各次试验彼此独立，每次试验某事件出 现的概率都是P，某事件不出现的概率都是q(1-P),则对于某 事件出现X次（0,1,2,…n）的概率分布为：
b X .n . p C n p q
第二节 正态分布

正态分布（normal distribution）也称为常态分 布，是连续型随机变量概率分布的一种，是在数理 统计的理论与实际应用中占有最重要地位的一种理 论分布，也称高斯分布。
一、正态分布曲线函数
正态分布曲线函数又称概率密度函数，其一般 公式为 X 1 2 Y e 2
三、概率分布类型

概率分布（probability distribution）是指对随机
变量取不同值时的概率分布情况用函数进行描述。

依不同的标准，对概率分布可作不同的分类。
（一）离散型分布与连续型分布

依随机变量的类型（是否具有连续性），可将概率分布分 为离散型概率分布与连续型概率分布。

心理与教育统计学中最常用的离散型分布是二项分布，最 常用的连续型分布是正态分布。
如果随机试验满足两个条件：

⑴ 试验的所有可能结果是有限的； ⑵ 每一种可能结果出现的可能性相等。 含有m个基本事件，则事件A的概率为m/n，即
——设样本空间由n个等可能的基本事件所构成，其中事件A包
P（A）=m/n
这样定义的概率称为先验概率或古典概率。 如，投掷硬币、抽扑克牌等P157
二、概率的基本性质
350
目前我国一些省在高考中采用标准分数表示
考生的成绩，为了使分数更适合一般习惯， 对标准分数进一步做转换:
T 500 100 Z
第三节 二项分布
二项分布（bionimal
distribution）是一
种具有广泛用途的离散型随机变量的概 率分布，它是由贝努里创始的，因此又
称为贝努里分布。
例如，为了确定1个人发生从众行为这个事件的概率，
在表中列出了人们从众行为实验的记录。
ห้องสมุดไป่ตู้
试验人数 100 n 具有从众 65 行为人数 m
200
300
400
500
600
700
155
204
274
349
419
489
频率 m/n
0.650 0.675 0.680 0.685 0.698 0.6983 0.6986
造成分数解释上的困难。
⑶科目性质不同，直接把各科原始分相加不合理。
例题：下表是两名高考学生的成绩，试分析哪一位考生 的成绩更好？
科目
语文 政治
原始成绩 甲 85 70 乙 89 62
全体考生 平均分 70 65 标准差 10 5
外语
数学 理化
68
53 72
72
40 87
69
50 75
8
6 8
Σ
348

例2：从30个白球和20个黑球共50个球中随机抽取两 次（放回抽样），问抽出一个黑球和一个白球的概率 是多少？

抽出一个白球的概率为3／5,抽出一个黑球的概率 为2／5。

抽出一个黑球和一个白球的情况应包括先抽出一 个黑球、后抽出一个白球和先抽出一个白球、后 抽出一个黑球两种情况。因此：
P 3 5 2 5 2 5 3 5 0 . 48
记作u～N(0，1)
6.标准差与面积之间的关系

关于标准正态分布，以下几种概率应当熟记：
P（-1≤Z ≤ 1）=0.6826 P（-2≤Z ≤ 2）=0.9545 P（-3≤Z ≤ 3）=0.9973 P（-1.96≤Z ≤ 1.96）=0.95 P (-2.58≤Z ≤ 2.58)=0.99
2 5 )
b ( 4 ,6 ,
C6 p q
4 4
2
2 3 4 ! 2 ! 5 5 6!


求各等级中点以上（或以下）的累积比率；
用累积比率查正态分布表； 求被评者所得评定等级的数量化值的平均值。
（二）确定测验题目的难易度P171
（三）在能力分组或等级评定时确定人数

如要将某种能力的分数分成等距的几个等级，在确定各等级 人数时，可将正态分布基线上Z＝－3至Z＝＋3之间6个标准 差的距离分成相等的几份，然后查表求出各段Z值之间的面 积，再乘以总人数，即为各等级人数。
抽，则４个学生都抽到试题1的概率是多少？
抽到第一题或第二题的概率应为抽到第一题
的概率和抽到第二题的概率之和，即
P A B P A P B 1 5 1 5 2 5
四个学生都抽到第一题即四个学生同时抽
到第一题，其概率应为抽到第一题的概率 的乘积，即
P A1 A 2 A 3 A 4 1 5 1 5 1 5 1 5 1 625
P( A A
1 2 A n )
P A P A P A
1 2
n

如，两次抽到扑克牌方块K的概率。例6-1
练习题

例1：某一学生从５个试题中任意抽取一题，
进行口试。如果抽到每一题的概率为1／5，则
抽到试题１或试题２的概率是多少？ 如果前
一个学生把抽过的试题还回后，后一个学生再
第六章
概率分布
★为何要学习概率分布？
推测

研究的目的：样本———————总体：推论统计 需要指出推论结果的可能性大小，即概率。 概率分布理论是推论统计的基础。
第一节
概率的基本概念
一、什么是概率
——表明随机事件出现可能性大小的客观指标。
在一定条件下可能出现也可能不出现的 事件或现象。
（一）后验概率（或统计概率）
（一）概率的公理系统
1.任何随机事件Ａ的概率都是非负，即 0 ≤ P（A）≤1 2.必然事件的概率等于1，即 P（A）= 1 3.不可能事件的概率等于零，即 P（A）= 0
(二)概率的加法定理
◆若事件Ａ发生，则事件Ｂ就一定不发生，这样的两个事件为
互不相容事件。

两互不相容事件和的概率，等于这两个事件概率之和，即
P( A B ) P A P B
P( A
A2 An )
1
P A
1

P A
2

P A
n

(三)概率的乘法定理

若事件Ａ发生不影响事件Ｂ是否发生，这样的两个事件为 互相独立事件。
两个互相独立事件积的概率，等于这两个事件概率的乘积， 即

P( A B ) P A P B
一、二项试验
满足以下4个条件的试验称为二项试验：
1.一次试验只有两种可能的结果；
2.共有n次试验，n是事先给定的任一整数； 3.各次试验相互独立，即各次试验之间互不影响； 4.某种结果出现的概率在任何一次试验中都是固定的，即 某个事件每次出现的概率都相等。
如:抛硬币（正面/反面），判断（对/错），考试通过和不
★记住:
Z=1或-1时，P=0.341;
Z=1.96或-1.96时, P=0.475;
Z=2.58或-2.58时, P=0.495
2.已知概率P求Z分数
（1）已知从平均数开始的P值，求Z； （2）已知两端的概率值P，求z； （3）已知正态曲线中央部分的概率P，求Z。
3.已知概率Ｐ或Z值，求概率密度Y
Z＝(650-500)/100=1.5
查正态分布表, 当Z=1.5时，p=0.433 从低分到高分的顺序中他处于93.3%的位置 从高分到低分的顺序中他处于6.7%的位置

例：某市参加数学奥林匹克业余学校入学考试的人 数为2800人，只录取学生150人，该次考试的平均分 为75分，标准差为8，问录取分数应定为多少？


直接查正态分布表就能得到相应的概率密度Ｙ值。
如果由概率Ｐ求Ｙ值，要注意区分已知概率是位于
正态曲线的中间部分，还是两尾端部分，才能通过
查表求得正确的概率密度。

例：在某年高考的平均分数为500，标准差为100的正态总体 中，某考生得到650分。设当年高考录取率为10％，问该生成
绩能否入围？

解：该生的标准分数为