初二数学培优班练习题(八)

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初二数学最值培优专练

初二最值培优专练类型1：将军饮马1、如图，E 为正方形A BCD 边A B 上一点，BE＝3AE＝3，P 为对角线B D 上一个动点，则 PA＋PE 的最小值是.2、在边长为2cm 的正方形A BCD 中，点Q为B C 边的中点，点P为对角线A C 上一动点，连接 PB、PQ，则△PBQ 周长的最小值为cm．3、如图所示，正方形A BCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E在正方形A BCD 内，在对角线 AC 上有一点 P，使 PD＋PE 的和最小，则这个最小值为 .第1题图第2题图第3题图4、如图，△ABC 中，∠ACB＝90°，以AC 为底边在△ABC 外作等腰△ACD，过点D 作∠A DC 的平分线分别交AB、AC 于点E、F.若AC＝12cm，BC＝5cm，点P 是直线DE 上的一个动点，则△PBC 的周长的最小值是cm．5、如图，在R t△ABC 中，∠C=90°，∠B=60°，点D是B C 边上的点，CD=1，将△ABC 沿直线A D 翻折，使点C落在A B 边上的点E处，若点P是直线A D 上的动点，则△PEB 的周长的最小值是．第4题图第5题图6、如图，在△ABC 中，AC=BC=2，∠ACB=90°，D 是B C 边的中点，E 是A B 边上一动点，则 EC+ED 的最小值是．7、如图，△ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝CB＝4，BE＝1，P 是A C 上一动点．则P B＋PE 的最小值是．8、如图，在边长为2的等边△ABC 中，D 为B C 的中点，E 是A C 边上一点，则B E+DE 的最小值为.第6题图第7题图第8题图9、点A、B 均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上，建立平面直角坐标系如图所示．若P是x 轴上使得PA PB 的值最大的点，Q 是y轴上使得Q A+QB 的值最小的点，则O P•OQ= ．10、如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB 的顶点A在x轴的正半轴上．顶点B的坐标为（3，3 ），点C的坐标为（1，0），且∠AOB=30°，点P为斜边O B 上的一个动点，则P A+PC的最小值为．第9题图第10 题图11、（拓展）如图，在平面直角坐标系x oy 中，A（0，4），B（-2，0），C（0，1），将线段B C 向右平移t个单位，当A B+AC 最小时，t= .类型2：邮差送信1、如图，点P是∠AOB 内任意一点，OP=5cm，点M和点N分别是射线O A 和射线O B 上的动点，△PMN 周长的最小值是5cm，则∠AOB 的度数是（）A．25°B．30°C．35°D．40°2、如图，四边形A BCD 中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，在B C、CD 上分别找一点M、N，使△AMN 周长最小时，则∠AMN+∠ANM 的度数为（）A．130°B．120°C．110°D．100°第1题图第2题图yACBO xCA3、如图，∠AOB=60°，点 P 是半径为 2 的弧 A B 上一动点，点 M 、N 分别在半径 O A 、OB 上，则△PMN 的周长最小值是（）A.2B. 2 3C.4D. 4 34、如图，已知∠MON= 45，A 是∠MON 内一点，OA=4，B 、C 分别在 OM 、ON 上，则△ ABC 周长的最小值为 .NAMPON BOB M第 3 题图第 4 题图5、如图，草地边缘 O B 与小河河岸 O A 在 O 处形成 60o 的夹角，牧马人从 C 地出发，先让马吃草，再去河边饮水，最后回到 D 地，已知 O C=2，OD=3，∠COD=30o 则整个形成最短是.6、如图，∠AOB ＝30°，点 M 、N 分别在边 O A 、OB 上，且 O M ＝1，ON ＝3，点 P 、Q 分别在边 OB 、OA 上，则 M P ＋PQ ＋QN 的最小值是 .OA第 5 题图第 6 题图BCD7、如图，已知三角形木块A BC，∠A=30°，∠B=90°，AC=10cm，一只蚂蚁在A C、AB 间往返爬行.当蚂蚁从木块A C 边的中点O出发，爬行到A B 边上任意一点P后，又爬回到A C 边上的任意一点Q 后，再爬行到点B，在这一过程中这只蚂蚁爬行的最．短．距．离．为． 8、如图，已知矩形A BCD，AB=12,AD=3，EF 分别是A B,CD 上的点，则AF+EF+EC 的最小值为第7题图第8题图8、在边长为4的等边△ABC 中、点D、E、F 分别为B C、AB、AC 边长的动点，则△DEF 的周长的最小值为.9、如图，在等边△ABC 中，AB=4，点P是B C 边上的动点，点P关于直线A B，AC 的对称点分别为M，N，则线段M N 长的取值范围是.AB D C第8题图第9题图EF10、在△ABC 中，∠A= 45o ，AB=7，AC= 4 2 ，D 、E 、 F 分别是 A B 、BC 、AC 边上的动点.求 △DEF 的最小周长为 .11、已知 A （2，4）、B （4，2）．C 在 y 轴上，D 在 x 轴上，则四边形 A BCD 的周长最小值为，此时 C 、D 两点的坐标分别为．ABEC第 10 题图第 11 题图12、如图，已知正比例函数 ykx k 0的图像与 x 轴相交所成的锐角为 700，定点A 的坐标为（0, 4），P 为 y 轴上一个动点，M 、N 为函数 yk （x k0）的图像上的两个动点，则 AM MP PN 的最小值为DFy A P N MOxyABOxC类型 3：三角形三边关系1、如图，在 R t △ABC 中，∠ACB=90°，将△ABC 绕顶点 C 逆时针旋转得到△A'B'C ，M 是 BC 的中点，P 是 A'B'的中点，连接 P M ．若 B C=2，∠BAC=30°，则线段 P M 的最大值是（） A ．4B ．3C ．2D ．1 2、如图，∠MON=90°，斜边为 2 的直角三角形 A BC 的顶点 A 、B 分别在边 O M ，ON 上当 B 在边 O N 上运动时，A 随之在边 O M 上运动，直角的形状保持不变，运动过程中，点 C 到点 O 的最大距离为 .MAOBN第 1 题图第 2 题图3、如图，∠MON=90°，边长为 2 的等边三角形 A BC 的顶点 A 、B 分别在边 O M ，ON 上当 B 在边 O N 上运动时，A 随之在边 O M 上运动，等边三角形的形状保持不变，运动过程中，点 C 到点 O 的最大距离为 .4、如图， MON 90 ，已知△ABC ，AC=BC=5，AB=6，三角形 ABC 的顶点 A . B 分别在边 O M ，ON 上当 B 在边 O N 上运动时，A 随之在边 O M 上运动，三角形 A BC 的形状保持不变，在运动过程中，点 C 到点 O 的最大距离为 .第 3 题图第 4 题图5、如图，∠MON=90°，矩形A BCD 的顶点A、B 分别在边O M，ON 上，当B在边O N 上运动时， A 随之在边OM 上运动，矩形 ABCD 的形状保持不变，其中 AB=2，BC=1，运动过程中，点 D 到点 O 的最大距离为.6、如图，MON 90 ，矩形 ABCD 的顶点A. B 分别在边O M，ON 上，当B在边O N 上运动时，A 随之在边O M 上运动，矩形A BCD 的形状保持不变，其中A B=8，BC=3，运动过程中，点D到点O 的最大距离为.第5题图第6题图7、如图，MON 90，已知△ABC 中，AC=BC=13，AB=10，△ABC 的顶点 A、B 分别在边OM，ON 上，当点B 在边ON 上运动时，A 随之在CM 上运动，△ABC 的形状始终保持不变，在运动过程中，点 C 到点 O 的最小距离为（）A.5B.7C.12D.CMAN O B268、等腰直角△ABC 中，∠C＝90°，AC＝BC＝4，D 为线段A C 上一动点，连接B D，过点C作C H⊥BD 于H，连接A H，则A H 的最小值为．9、如图，Rt△ABC 中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P 是△ABC 内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段C P 长的最小值为.第8题图第9题图10、如图，矩形A BCD 的两边A B＝5，AD＝12，以B C 为斜边作R t△BEC，F 为C D 的中点，则 EF 的最大值为.11、如图，点P是正方形A BCD 的对角线B D 上的一个动点（不与B、D 重合），连结A P，过点B作直线A P 的垂线，垂足为H，连结D H，若正方形的边长为4，则线段D H 长度的最小值是．第10 题图第11 题图C12、如图，在正方形 A BCD 中，动点 E 、F 分别从 D 、C 两点同时出发，以相同的速度在边 D C 、CB 上移动，连接 A E 和 D F 交于点 P ，由于点 E 、F 的移动，使得点 P 也随之运动.若，线段 C P 的最小值是 .13、（拓展）如图，在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，以 B C 为边的△BCD 是等边三角形，则线段 AD 的最大值是.14、（拓展）在△ABC 中，BC= 2 ，AC=1，以A B 为边作等腰直角三角形 A BD （B 为直角顶点，C 、D 两点在直线 A B 的两侧）.当∠ACB 变化时，线段 C D 长的最大值为 .DAABB C第 13 题图第 14 题图15、（拓展）在△AEB 中，AE=2，EB= 2 ，以 A B 为边作正方形 A BCD ，连接 D E ，求 D E 的最大值 .ADEBCD类型4：立体图形展开图1、底面周长为12，高为8的圆柱体上有一只小蚂蚁要从A点爬到B点，则蚂蚁爬行的最短距离是（）A．10 B．8 C．5 D．42、如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm 的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为cm3、如图，一个高16m，底面周长8m 的圆柱形水塔，现制造一个螺旋形登梯，为了减小坡度，要求登梯绕塔环绕一周半到达顶端，登梯长度最小值为.第1题图第2题图第3题图4、如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B到点C的距离为5，如果一只蚂蚁要沿着长方体的表面从点A爬到点B，那么它需要爬行的最短距离是（）A．5 B．25 C．15 D．355、在一个长为2 米，宽为1 米的矩形草地上，如图堆放着一根长方体的木块，它的棱长和场地宽AD 平行且大于 AD，木块的正视图是边长为 0.2 米的正方形，一只蚂蚁从点 A 处，到达 C 处需要走的最短路程是米．（精确到 0.01 米）6、在一个长为8分米，宽为5分米，高为7分米的长方体上，截去一个长为6分米，宽为5 分米，深为2分米的长方体后，得到一个如图所示的几何体．一只蚂蚁要从该几何体的顶点A处，沿着几何体的表面到几何体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是分米．第5题图第6题图7、如图，有一棱长为2dm 的正方体盒子，现要按图中箭头所指方向从点A到点D拉一条捆绑线绳，使线绳经过 ABFE、BCGF、EFGH、CDHG 四个面，则所需捆绑线绳的长至少为dm．D类型 5：点到直线的距离1、如图，在 R t △ABC 中，∠A ＝90°，BD 平分∠ABC 交 A C 于 D 点，AB ＝4，BC ＝5，点 P 是线段 B C 上的一动点，则 P D 的最小值是.2、如图，在锐角△ABC 中，AB=4，∠BAC=45°，∠BAC 的平分线交 B C 于点 D ，M 、N 分别是 AD 和 A B 上的动点，则 B M+MN 的最小值是．ABPC第 1 题图第 2 题图3、如图，正方形 A BCD 的边长是 4，∠DAC 的平分线交 D C 于点 E ，若点 P 、Q 分别是 A D 和 A E 上的动点，则 DQ+PQ 的最小值．4、如图，△ABC 中，AB=AC=13，BC=10，AD 是 B C 边上的中线，F 是 A D 上的动点，E 是 A C 边上的动点，则 C F+EF 的最小值为 .第 3 题图第 4 题图5、如图， R t ABC 中，ABC 90， A B ＝8 ， B C ＝6 ，CA ＝10 ， A D 平分 BAC ，点 P 、Q 分别为 AD 、AB 上的动点，则 B P ＋PQ 的最小值是． 6、如图，△ABC 中，AB ＝17，BC ＝10，CA ＝21，AM 平分∠BAC ，点 D 、E 分别为 A M 、 AB 上的动点，则 B D ＋DE 的最小值是．AQPBDC第 5 题图第 6 题图7、如图，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC=2，O 为 A C 中点，若点 D 在直线 BC 上运动，连接 O E ，则在点 D 运动过程中，线段 O E 的最小值是为（）A ．B ．C．1 D ．8、如图，边长为 2a 的等边三角形 A BC 中，M 是高 C H 所在直线上的一个动点，连接 M B ，将线段 B M 绕点 B 逆时针旋转 60°得到 B N ，连接 H N ．则在点 M 运动过程中，线段 H N 长度的最小值是．第 7 题图第 8 题图9、如图，∠BAC=30°，M 为A C 上一点，AM=2，点P是A B 上的一动点，PQ⊥AC，垂足为点Q，则P M+PQ的最小值为．10、如图，在矩形ABCD 中，AD=6，AE⊥BD，垂足为E，∠ADB=30°，点P、Q 分别在BD，AD 上，则AP+PQ 的最小值为（）A． 2 2 B． 2 C．2 3 D． 3 3第9题图第10 题图11、如图，∠MON=90o，OB=2，点A是直线O M 上的一个动点，连结A B，作∠MAB 与∠ABN 的角平分线A F 与B F，两角平分线所在的直线交于点F，求点A在运动过程中线段B F 的最小值为.12、△ABC 是边长为4的等边三角形，点D是边B C 上一定点，CD=1，点E从点B出发向点 C 运动，同时点 F 从点 A 出发，以相同的速度向 C 运动，当点 E 到达点 C 时，运动停止，AE 和 BF 相交于点 O，连接DO，则运动过程中线段D O 长度的最小值为.AB E D CFO313、如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（0，4），直线y=4x﹣3 与x轴、y 轴分别交于点A，B，点M是直线A B 上的一个动点，则P M 长的最小值为．14、在平面直角坐标系中，点P 的坐标为（0, 2），点为实数），当PM 的长最小时，m 的值为（）M 的坐标为（m -1，-3m -9）（其中m4 4 A．125B．75C．3 D．415、如图，三角形△ABC 中，∠OAB＝∠AOB＝15°，点B在x轴的正半轴，坐标为B（6 3 ，0）．O C平分∠AOB，点M在O C 的延长线上，点N为边O A 上的点，则M A＋MN 的最小值是．类型6：费马点1、如图，四边形 ABCD 是菱形，AB=4，且∠ABC=60°，△ABE 是等边三角形，M 为对角线 BD（不含 B 点）上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM，则AM+BM+CM 的最小值为．2、在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=1，BC= ，点 O 为Rt△ABC 内一点，连接 AO、BO、CO，且∠AOC=∠COB=∠BOA=120°，则O A+OB+OC= ．第1题图第2题图3、如图，在四边形A BCD 中， B 60，AB=BC=3，AD=4，BAD 90，点P是形内一点，则P A+PB+PD 的最小值为.APDB C第3题图4、如图，点P是矩形A BCD 对角线B D 上的一个动点，已知，，则的最小值是.5、如图，菱形A BCD 的对角线A C 上有一动点P，BC＝6，∠ABC＝150°，则线段 AP＋BP＋PD 的最小值为.第4题图第5题图6、（拓展）如图，在矩形A BCD 中，AB=4，BC=6，矩形内有一动点P，过点P做P E⊥AD 于E，连接P B，PC，则P E+PB+PC的最小值为.A E DB C7、如图1，在△ABC 中，∠ACB=90°，点P为△ABC 内一点．（1）连接P B，PC，将△BCP 沿射线C A 方向平移，得到△DAE，点B，C，P 的对应点分别为点D，A，E，连接C E．①依题意，请在图2中补全图形；②如果B P⊥CE，BP=3，AB=6，求C E 的长．（2）如图3，连接P A，PB，PC，求P A+PB+PC 的最小值．小慧的作法是：以点A为旋转中心，将△ABP 顺时针旋转60°得到△AMN，那么就将P A+PB+PC 的值转化为CP+PM+MN 的值，连接C N，当点P落在C N 上时，此题可解．请你参考小慧的思路，在图3中证明PA+PB+PC=CP+PM+MN．并直接写出当A C=BC=4 时，PA+PB+PC 的最小值．P8、如图，在R t△AOC 中，∠A=30°，点O（0，0），C（1，0），点A在y轴正半轴上，以AC 为一边做等腰直角△ACP，使得点P在第一象限。

初二数学培优训练8

A．1B．2C．3D．4
二、填空题
8．若当x满足条件___________，分式有意义。
9.在方程组中，若未知数x、y满足x+y＞0，则m的取值范围是.
10.如果关于的分式方程无解,则的值为．
11．已知反比例函数（x<0），当m时，y随x的增大而增大。
12．若关于x的方程有增根，则m=。
（1）若m＞0，只有当m＝时，有最小值；
若m＞0，只有当m＝时，2 有最小值。
（2）如图，已知直线L1：与x轴交于点A，过点A的另一直线L2与双曲线相交于点B（2，m），求直线L2的解析式。
（3）在（2）的条件下，若点C为双曲线上任意一点，作CD∥y轴交直线L1于点D，试求当线段CD最短时，点A、B、C、D围成的四边形面积。
A.ｘ＞2 B.ｘ＞2或－1＜ｘ＜0 C.－1＜ｘ＜2 D.ｘ＞2或ｘ＜－1
4．在代数式① ；② ；③ ；④ 中，属于分式的有（）
A、①②B、①③C、①③④D、①②③④
5．如图所示,点P是反比例函数y= 图象上一点,过点P分别作x轴、y轴的垂线,如果构成的矩形面积是4,那么反比例函数的解析式是( )
（3）若反比例函数（x＞0）的图象与△MNB有公共点，请直接写出m的取值范围．
26.我市花石镇组织10辆汽车装运完A、B、C三种不同品质的湘莲共100吨到外地销售，按计划10辆汽车都要装满，且每辆汽车只能装同一种湘莲，根据下表提供的信息，解答以下问题：
湘莲品种
A
B
C
每辆汽车运载量（吨）
12
10
8
每吨湘莲获利（万元）
3
4
2
（1）设装运A种湘莲的车辆数为x，装运B种湘莲的车辆数为y，求y与x之间的函数关系式；

初二数学培优试题集

目录培优卷二 ............................................................................................................................................. 培优卷三 .............................................................................................................................................培优卷一1.已知，如图（），点（ 1， 3）在函数y = k （ x＞0）的图像上，矩形 ABCD 的边 BC 在 xx轴上， E 是对角线 BD 的中点，函数y =k（ x＞0）的图像又经过A、 E 两点，点 E 的横坐标x为 m，解答以下问题：砂啦在2010 GradeEightMathDesignedByHuZheyang砂啦在（1）求 k 的值（2）求点 C 的坐标（用 m 表示）（3）当∠ ABD=45°时，求 m 的值2.如图 (1.2) ，BD=CD，AE:DE=1:2,延伸 BE交 AC于 F，且 AF=5cm，求 AC 长。

13.如图（），已知一次函数y = 3 x + 1图像与x轴、y轴分别交于A、B 两点，点C、D 都在 x 轴正半轴， C 为 OD 的中点， D 点坐标为（ 2， 0），若两钝角∠ ABD=∠ BCD。

（1）说明 BD2 = DC ·DA（2）求直线BC的分析式1（3）若P为直线BD上一点，且S△CDP=2S△CDB，求P点的坐标。

培优卷二4.已知，△ ABC，AB=10。

（1）如图（），若 D、 E 分别是 AC、 BC 边的中点，求DE长（2）如图（），若 A1 2把 AC 边三平分，过1、A2作 AB 边的平行线，分别交BC边于、 A A点 B1 2 1122、B，求 AB+AB（3）如图（ 1.6 ），若 A1、A2、、 A10把 AC 边十一平分，过各点作AB 边的平行线，分别交BC 边于点 B1、B2、、 B10，依据你所发现的规律，直接写出A1B1+A2 B2 ++A10B105.如图（），四边形 ABCD中，AD=CD，∠ DAB=∠ ACB=90°，过点 D 作 DE⊥ AC，垂足为 F，DE 与 AB 订交于点 E。

八年级初二数学数学二次根式的专项培优练习题(附解析

一、选择题1．下列式子中，属于最简二次根式的是（）A．9B．13C．20D．72．如图，在矩形ABCD中无重叠放入面积分别为16cm2和12cm2的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（）A．（8﹣3cm2B．（4﹣3cm2C．（16﹣3cm2D．（﹣3）cm232的倒数是（）A2B．22C．2-D．22-4．下列各式是二次根式的是（）A3B1-C35D4π-5．已知：x3，y31，求x2﹣y2的值（）A．1 B．2 C3D．36．设a3535+-b633633+-21b a-的值为（）A621+B621+C621D621 7．下面有四个命题：①两条直线被第三条直线所截，同位角相等；②0.1的算术平方根是0.013323)＝5；④如果点P（3－2n，1）到两坐标轴的距离相等，那么n＝1，其中假命题的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．以下运算错误的是（）A3535⨯=B．2222⨯=C169+169D2342a b ab b=a＞0）9．使式子212 4xx+-x的取值范围是（）A．x≥﹣2 B．x＞﹣2 C．x＞﹣2，且x≠2D．x≥﹣2，且x≠210．x ≥3是下列哪个二次根式有意义的条件（） A ．3x +B ．13x - C ．13x + D ．3x -二、填空题11．已知2216422x x ---=，则22164x x -+-=________．12．设四边形ABCD 是边长为1的正方形，以对角线AC 为边作第二个正方形ACEF ，再以对角线AE 为边作第二个正方形AEGH ，如此下去……．⑴记正方形ABCD 的边长为11a =，按上述方法所作的正方形的边长依次为234,,,,n a a a a ，请求出234,,a a a 的值；⑵根据以上规律写出n a 的表达式．13．若a ，b ，c 是实数，且21416210a b c a b c ++=-+-+--，则2b c +=________．14．对于任何实数a ，可用[a]表示不超过a 的最大整数，如[4]=4，[3]=1．现对72进行如下操作：72[72]=8[8]=2[2]=1，类似地，只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是________． 15．已知72x =-，a 是x 的整数部分，b 是x 的小数部分，则a-b=_______ 16．将1、2、3、6按右侧方式排列.若规定(m ，n )表示第m 排从左向右第n 个数，则(5，4)与(9，4)表示的两数之积是______.17．=_______．18．mn ＝________．19．n 为________．20．能合并成一项，则a =______．三、解答题21．计算(1)2213113a a a a a a +--+-+-;(2)已知a 、b +b ＝0.求a 、b 的值 (3)已知abc ＝1，求111a b cab a bc b ac c ++++++++的值【答案】（1）22223a a a ----；（2）a =－3，b ；（3）1. 【分析】（1）先将式子进行变形得到()()113113a a a a a a +--+-+-，此时可以将其化简为1113a a a a ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭，然后根据异分母的加减法法则进行化简即可；（2）根据二次根式及绝对值的非负性得到2a +6=0，b =0，从而可求出a 、b ；（3）根据abc ＝1先将所求代数式转化：11b ab abbc b abc ab a ab a ==++++++，2111c abc ac c a bc abc ab ab a ==++++++，然后再进行分式的加减计算即可.【详解】解：（1）原式=()()113113a a a a a a +--+-+- =1113a a a a ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭=1113a a --+- =()()()()3113a a a a -++-+-=22223a a a ----；（20b =，∴2a +6=0，b =0，∴a =－3，b ；（3）∵abc ＝1， ∴11b ab ab bc b abc ab a ab a ==++++++，2111c abc ac c a bc abc ab ab a ==++++++，∴原式=1111a ab ab a ab a ab a ++++++++=11a ab ab a ++++=1.【点睛】本题考查了分式的化简求值和二次根式、绝对值的非负性，分式中一些特殊求值题并非一味的化简，代入，求值，熟练掌握转化、整体思想等解题技巧是解答这类题目的关键.22．（112=3=4=；……写出④ ；⑤ ；（2）归纳与猜想．如果n 为正整数，用含n 的式子表示这个运算规律；（3）证明这个猜想．【答案】（12=5==；（2=3）证明见解析. 【解析】【分析】(1)根据题目中的例子直接写出结果； (2)根据(1)中的特例，可以写出相应的猜想；(3)根据(2)中的猜想，对等号左边的式子进行化简，即可得到等号右边的式子，从而可以解答本题. 【详解】解：（1）由例子可得，④5=25，（2）如果n 为正整数，用含nn，（3）证明：∵n 是正整数，故答案为5=256；(3)证明见解析. 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算、数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件.23．已知m ，n 满足m 4n=3+.【答案】12015【解析】【分析】由43m n +=2﹣2）﹣3＝0，将，代入计算即可．【详解】解：∵4m n +＝3，)22﹣2）﹣3＝0，）2﹣23＝0，+13）＝0，＝﹣13，∴原式＝3-23+2012＝12015．【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的运用及二次根式性质．24．计算：（1﹣（2）（3）244x -﹣12x -．【答案】（1）2（3）-12x + 【解析】分析：（1）根据二次根式的运算，先把各二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可；（2）根据乘法的分配律以及二次根式的性质进行计算即可；（3）根据异分母的分式的加减，先因式分解，再通分，然后按同分母的分式进行加减计算，再约分即可.详解：（1（2）（3）24142x x --- =41(2)(2)2x x x -+--= 42(2)(2)(2)(2)x x x x x +-+-+-=2(2)(2)xx x -+-=12x -+ 点睛：此题主要考查了二次根式的运算和分式的加减运算，熟练应用运算法则和运算律以及二次根式的性质进行计算是解题关键.25．先化简再求值：4y x ⎛- ⎝，其中30x -=．【答案】(2x - 【分析】先根据二次根式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再利用非负数的性质得出x ，y 的值，继而将x 、y 的值代入计算可得答案．【详解】解：4y x ⎛- ⎝ ((=-(2x =-∵ 30x - ∴ 3,4x y == 当3,4x y ==时原式(23=-==【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，解题的关键是掌握非负数的性质和二次根式的混合运算顺序和法则．26．观察下列一组等式，然后解答后面的问题1)1=，1=，1=，1=⋯⋯（1）观察以上规律，请写出第n 个等式： (n 为正整数）．（2（3【答案】（1）1=；（2）9；（3【分析】(1)根据规律直接写出,(2)先找出规律，分母有理化，再化简计算.(3)先对两个式子变形，分子有理化，变为分子为1，再比大小. 【详解】解：（1）根据题意得：第n 个等式为1=；故答案为1=；（2）原式111019==-=；（3-==，<∴>．【点睛】本题是一道利用规律进行求解的题目，解题的关键是掌握平方差公式.27．计算下列各题（1）⎛÷ ⎝（2）2-【答案】(1)1;(2)．【分析】(1)先把二次根式化为最简二次根式，然后把括号内合并后进行二次根式的除法运算即可； (2)利用完全平方公式和平方差公式展开，然后再进行合并即可. 【详解】(1)原式=1；(2)原式+2)．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式混合运算的运算顺序以及运算法则是解题的关键.28．先阅读下面的解题过程，然后再解答.a ，b ，使a b m +=，ab n =，即22m +==0)a b ==±>.这里7m =，12n =，由于437+=，4312⨯=，所以22+==，2===.. 【答案】见解析【分析】应先找到哪两个数的和为13，积为42．再判断是选择加法，还是减法．【详解】根据题意，可知13m =，42n =，由于7613+=，7642⨯=，所以2213+=，====【点睛】此题考查二次根式的性质与化简，解题关键在于求得13m =，42n =.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】根据直角二次根式满足的两个条件进行判断即可．【详解】被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故选项A 错误；3=被开方数中含分母，不是最简二次根式，故选项B 错误；=被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故选项C 错误；是最简二次根式，故选项D 正确. 故选D ．【点睛】本题考查的是最简二次根式的概念，满足（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式两个条件的二次根式是最简二次根式．2．D解析：D 【分析】根据正方形的面积求出边长AB ＝4cm ，BC ＝（）cm ，利用四边形ABCD 的面积减去两个阴影的面积即可列式求出答案. 【详解】∵两张正方形纸片的面积分别为16cm 2和12cm 2，4cm＝cm，∴AB＝4cm，BC＝（+4）cm，∴空白部分的面积＝（）×4﹣12﹣16，＝﹣12﹣16，＝（﹣）cm2，故选：D.【点睛】此题考查正方形的性质，二次根式的化简，二次根式的混合计算，正确理解图形中空白面积的计算方法是解题的关键.3．B解析：B【分析】根据倒数的定义，即可得到答案.【详解】，；2故选：B.【点睛】本题考查了倒数的定义和化为最简二次根式，解题的关键是熟记倒数的定义进行解题. 4．A解析：A【分析】根据二次根式定义和有意义的条件：被开方数是非负数，即可判断．【详解】解：A、符合二次根式有意义条件，符合题意；B、-1＜0B选项不符合题意；C、是三次根式，所以C选项不符合题意；D、π-4＜0D选项不符合题意．故选：A．【点睛】a≥0．5．D解析：D【分析】先根据x 、y 的值计算x y +、x y -的值，再将所求式子利用平方差公式进行化简，然后代入求值即可．【详解】∵1,1x y ==，∴11112x y x y +==-=-=，则22()()2x y x y y x -=+-==故选：D ．【点睛】本题考查了代数式的化简求值、二次根式的加减法与乘法，利用平方差公式对代数式进行化简是解题关键．6．B解析：B【分析】首先分别化简所给的两个二次根式，分别求出a 、b 对应的小数部分，然后化简、运算、求值，即可解决问题．【详解】∴a ，∴b ，∴21b a -，故选：B ．【点睛】该题主要考查了二次根式的化简与求值问题；解题的关键是灵活运用二次根式的运算法则来分析、判断、解答．7．D解析：D【分析】利用平行线的性质、算术平方根的定义、实数的运算及点的坐标的性质分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：①两条平行线直线被第三条直线所截，同位角相等，故错误；②0.01的算术平方根是0.1，故错误；)＝17322+=，故错误；④如果点P（3-2n，1）到两坐标轴的距离相等，则n=1或n=2，故错误，故选D．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是熟悉平行线的性质、算术平方根的定义、实数的运算及点的坐标的性质，难度一般．8．C解析：C【分析】利用二次根式的乘法法则对A、B进行判断；利用二次根式的化简对C、D进行判断．【详解】A．原式=所以A选项的运算正确；B．原式＝所以，B选项的运算正确；C．原式==5，所以C选项的运算错误；D．原式＝2，所以D选项的运算正确．故选C．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．9．C解析：C【分析】根据分式和二次根式有意义的条件（分式的分母不为零，二次根式的被开方数为非负数）即可得到结果.【详解】解：由题意得：2x-40≠,2x∴≠±,又∵20x +≥,∴x ≥-2.∴x 的取值范围是：x>-2且2x ≠.故选C.【点睛】本题考查了分式和二次根式有意义的条件，解不等式，是基础题.10．D解析：D【分析】根据二次根式有意义的条件逐项求解即可得答案.【详解】A 、x+3≥0，解得：x≥-3，故此选项错误；B 、x-3＞0，解得：x ＞3，故此选项错误；C 、x+3＞0，解得：x ＞-3，故此选项错误；D 、x-3≥0，解得：x≥3，故此选项正确，故选D ．【点睛】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，二次根式的被开方数是非负数．分式的分母不能等于0．二、填空题11．3【解析】设，则可化为：，∴，两边同时平方得：，即：，∴，解得：，∴.故答案为：.点睛：本题的解题要点是：设原式中的，从而使原式结构变得简单，这样应用二次根式的相关运算法则化简变形解析：【解析】设24x a -====两边同时平方得：128a a +=++4=，∴3216a =，解得：12a =，===故答案为：点睛：本题的解题要点是：设原式中的24x a -=，从而使原式结构变得简单，这样应用二次根式的相关运算法则化简变形即可求得a 的值，使问题得到解决.12．（1）a2＝，a3＝2，a4＝2；（2）an ＝（n 为正整数）．【解析】（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ＝1，∠B ＝90°．∴在Rt △ABC 中，AC ＝＝＝．同理：AE ＝2，EH ＝2，解析：（1）a 2，a 3＝2，a 4＝；（2）a n n 为正整数）．【解析】（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ＝1，∠B ＝90°．∴在Rt △ABC 中，ACAE ＝2，EH ＝，…，即a 2a 3＝2，a 4＝（2）an n 为正整数）．13．21【分析】结合态，根据完全平方公式的性质，将代数式变形，即可计算得，，的值，从而得到答案．【详解】∵∴∴∴∴∴∴∴．【点睛】本题考查了二次根式、完全平方公式的知识；解题的解析：21【分析】结合态，根据完全平方公式的性质，将代数式变形，即可计算得a ，b ，c 的值，从而得到答案．【详解】∵10a b c ++=∴100a b c ---=∴2221490⎡⎤⎡⎤⎡⎤-+-+-=⎣⎦⎣⎦⎣⎦∴2221)2)3)0++=∴123===∴111429a b c -=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩∴2511a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴2251121b c +=⨯+=．【点睛】本题考查了二次根式、完全平方公式的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式、完全平方公式、一元一次方程的性质，从而完成求解．14．255【解析】解：∵[]=1，[]=3，[]=15，所以只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255．故答案为255．点睛：本题考查了估算无理数的大小的应用，主要考查学生的阅读能力和解析：255【解析】解：]=1，=3，=15，所以只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255．故答案为255．点睛：本题考查了估算无理数的大小的应用，主要考查学生的阅读能力和逆推思维能力．15．【分析】先把x 分母有理化求出x= ，求出a 、b 的值，再代入求出结果即可．【详解】∵∴∴∴【点睛】本题考查了分母有理化和估算无理数的大小的应用，解此题的关键是求a 、b 的值．解析：6【分析】先把x 分母有理化求出2 ，求出a 、b 的值，再代入求出结果即可．【详解】2x === ∵23<<∴425<< ∴4,242a b ==-=∴42)6a b -=-=【点睛】本题考查了分母有理化和估算无理数的大小的应用，解此题的关键是求a 、b 的值．16．【解析】试题解析：（5，4）表示第5排从左向右第4个数是：，（9，4）表示第9排从左向右第4个数，可以看出奇数排最中间的一个数都是1，第9排是奇数排，最中间的也就是这排的第5个数是1，那么第解析：【解析】试题解析：（5，4）表示第5排从左向右第4，（9，4）表示第9排从左向右第4个数，可以看出奇数排最中间的一个数都是1，第9排是奇数排，最中间的也就是这排的第5个数是1，那么第4，∴(5，4)与(9，4)故答案为17．【分析】设，将等式的两边平方，然后根据完全平方公式和二次根式的性质化简即可得出结论．【详解】解：设，由算术平方根的非负性可得t≥0，则．故答案为：．【点睛】此题考查的是二【分析】t=，将等式的两边平方，然后根据完全平方公式和二次根式的性质化简即可得出结论．【详解】t=，由算术平方根的非负性可得t≥0，则244t=+=+8=+8=+81)=+62=1)∴=．1t．【点睛】此题考查的是二次根式的化简，掌握完全平方公式和二次根式的性质是解题关键．18．21【分析】根据二次根式及同类二次根式的定义列出方程组即可求出答案.【详解】∵最简二次根式与是同类二次根式，∴ ，∴故答案为21.解析：21【分析】根据二次根式及同类二次根式的定义列出方程组即可求出答案.【详解】∴1221343nm m-=⎧⎨-=-⎩，解得，73mn=⎧⎨=⎩，∴7321.mn=⨯=故答案为21.19．7【分析】把28分解因数，再根据二次根式的定义判断出n的最小值即可．【详解】解:∵28=4×7，4是平方数，∴若是整数，则n的最小正整数值为7，故答案为7．【点睛】本题考查了二次根式解析：7【分析】把28分解因数，再根据二次根式的定义判断出n的最小值即可．【详解】解:∵28=4×7，4是平方数，n的最小正整数值为7，故答案为7．【点睛】本题考查了二次根式的定义，把28分解成平方数与另一个数相乘的形式是解题的关键．20．4【分析】根据二次根式能合并，可得同类二次根式，根据最简二次根式的被开方数相同，可得关于a的方程，根据解方程，可得答案．解：=2，由最简二次根式与能合并成一项，得a-1=3．解解析：4【分析】根据二次根式能合并，可得同类二次根式，根据最简二次根式的被开方数相同，可得关于a的方程，根据解方程，可得答案．【详解】能合并成一项，得a-1=3．解得a=4．故答案为：4．【点睛】本题考查同类二次根式和最简二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式．三、解答题21．无22．无23．无24．无25．无26．无27．无28．无。

初二下数学培优试卷答案

一、选择题（每题3分，共15分）1. 下列各数中，有理数是（）A. √2B. πC. -1/2D. 无理数答案：C解析：有理数是可以表示为两个整数比的数，因此选项C正确。

2. 若a、b、c是等差数列，且a+b+c=0，则下列等式中正确的是（）A. a+c=2bB. a+b=2cC. a-b=2cD. b-c=2a答案：A解析：等差数列的性质是相邻两项之差相等，所以a+c=2b。

3. 已知函数f(x)=2x-1，则函数g(x)=f(x+1)的解析式是（）A. g(x)=2x+1B. g(x)=2x-3C. g(x)=2x+3D. g(x)=2x-1答案：B解析：将f(x)中的x替换为x+1，得到g(x)=2(x+1)-1=2x+2-1=2x+1。

4. 在直角坐标系中，点A(2,3)、B(4,5)、C(6,7)构成的三角形是（）A. 等腰直角三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 不等边三角形答案：C解析：计算AB、BC、AC的长度，发现它们分别是√5、√5、√5，因此三角形ABC是直角三角形。

5. 已知等腰三角形ABC的底边AB=8，腰AC=BC=6，则底角B的度数是（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°答案：B解析：等腰三角形的底角相等，因此底角B的度数为45°。

二、填空题（每题5分，共25分）1. 若x^2-5x+6=0，则x的值为__________。

答案：2，3解析：因式分解x^2-5x+6=(x-2)(x-3)，所以x的值为2或3。

2. 若sinα=√2/2，则cosα的值为__________。

答案：√2/2解析：在单位圆上，sinα=√2/2对应的角度是45°，所以cosα的值也是√2/2。

3. 若一个正方形的边长为a，则它的面积是__________。

答案：a^2解析：正方形的面积是边长的平方，所以面积为a^2。

2022-2023学年初二数学第二学期培优专题08 菱形中的最值问题

2022-2023学年初二数学第二学期培优专题08 菱形中的最值问题【例题讲解】如图，菱形ABCD 的边长是6，∠A ＝60°，E 是AD 的中点，F 是AB 边上一个动点，EG ＝EF 且∠GEF ＝60°，则GB +GC 的最小值是_____ 解：连接BD ∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝AD ，∵∠A ＝60°，∴△ABD 是等边三角形，∵E 是AD 的中点，∴BE ⊥AD ，取AB 与CD 的中点M ，N ，连接MN ，∴点B 关于MN 的对称点是E ，连接EC ，此时CE 的长就是GB +GC 的最小值；∵MN ∥AD ，∴HM ＝12AE ，∵HB ⊥HM ，AB ＝6，∠A ＝60°，∴MB ＝3，∠HMB ＝60°，∴HM ＝1.5，∴AE ＝3，∵∠AEB ＝∠MHB ＝90°，∴∠CBE ＝90°，在Rt △EBC 中，EB ＝33，BC ＝6，∴EC ＝37，故答案为37．【综合演练】1．如图，在边长为6的菱形ABCD 中，60DAB ∠=︒，E 为AB 的中点，F 是AC 上的一动点，则EF BF +的最小值为（）A ．33B ．6C ．3D ．322．如图，在菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，AB ＝1，E 为BC 的中点，则对角线BD 上的动点P 到E 、C 两点的距离之和的最小值为（）A ．34B ．33C ．32D ．123．如图，在菱形ABCD 中，AB=4，∠A=120°，点P ，Q ，K 分别为线段BC ，CD ，BD 上的任意一点，则PK+QK 的最小值为（）A ．2B ．23C ．4D ．23+24．如图，在菱形ABCD 中，120ABC ∠=︒，4AB =，E 、F 分别为AB 、BC 的中点，P 是AC 上的一个动点，则PE PF +的最小值是（）A ．3B ．33C ．4D ．435．如图，菱形ABCD 的边长为2，且∠DAB ＝60°，E 是BC 的中点，P 为BD 上一点且△PCE 的周长最小，则△PCE 的周长的最小值为（）A ．31+B ．71+C ．231+D ．271+6．如图，菱形ABCD 的边长为23,60DAB ︒∠=，点E 为BC 边的中点，点P 为对角线上一动点，则PB PE +的最小值为__________．7．如图，四边形ABCD 为菱形，以AD 为斜边的Rt AED △的面积为3，2DE =，点E ，C 在BD 的同侧，点P 是BD 上的一动点，则PE PC +的最小值是_____________．8．如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则△PMN周长的最小值是_______．AP+PD 9．如图，菱形ABCD的边长为6，∠B＝120°．点P是对角线AC上一点（不与端点A重合），则12的最小值为_____．10．如图，菱形ABCD中，∠ABC=56°，点E，F分别在BD，AD上，当AE+EF的值最小时，则∠AEF=___度．11．如图，菱形ABCD的边长为4，∠ADC=120°，点E是AD上一动点（不与点A，D重合），点F是CD 上一动点，且AE+CF=4，则△BEF面积的最小值为______________.12．如图，在菱形ABCD 中，E ，F 分别是边CD ，BC 上的动点，连接AE ，EF ，G ，H 分别为AE ，EF 的中点，连接GH ．若45B ∠=︒，23BC =，则GH 的最小值为___________．13．如图，菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，边长为3，P 是对角线BD 上的一个动点，则12BP PC +的最小值是______．14．如图，菱形ABCD 的边长为1，60ABC ∠=︒，点E 是边AB 上任意一点(端点除外)，线段CE 的垂直平分线交BD ，CE 分别于点F ，C ，AE ，EF 的中点分别为M ，N ．(1)求证：AF EF =；(2)求MN NG +的最小值．15．如图，菱形ABCD 的边长是6，∠A ＝60°，E 是AD 的中点，F 是AB 边上一个动点，EG ＝EF 且∠GEF ＝60°，则GB +GC 的最小值是_____答案与解析【例题讲解】如图，菱形ABCD 的边长是6，∠A ＝60°，E 是AD 的中点，F 是AB 边上一个动点，EG ＝EF 且∠GEF ＝60°，则GB +GC 的最小值是_____ 解：连接BD ∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝AD ，∵∠A ＝60°，∴△ABD 是等边三角形，∵E 是AD 的中点，∴BE ⊥AD ，取AB 与CD 的中点M ，N ，连接MN ，∴点B 关于MN 的对称点是E ，连接EC ，此时CE 的长就是GB +GC 的最小值；∵MN ∥AD ，∴HM ＝12AE ，∵HB ⊥HM ，AB ＝6，∠A ＝60°，∴MB ＝3，∠HMB ＝60°，∴HM ＝1.5，∴AE ＝3，∵∠AEB ＝∠MHB ＝90°，∴∠CBE ＝90°，在Rt △EBC 中，EB ＝33，BC ＝6，∴EC ＝37，故答案为37．【综合演练】1．如图，在边长为6的菱形ABCD 中，60DAB ∠=︒，E 为AB 的中点，F 是AC 上的一动点，则EF BF +的最小值为（）A ．33B ．6C ．3D ．32【答案】A【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分，点B 关于AC 的对称点是点D ，连接ED ，EF +BF 最小值等于ED 的长，然后解直角三角形即可求解．【解答】解：如图，连接BD ，∵菱形ABCD中，∠DAB=60°，∴△ABD是等边三角形，∵在菱形ABCD中，AC与BD互相垂直平分，∴点B、D关于AC对称，如图，连接ED，则ED的长就是所求的EF+BF的最小值，∵E为AB的中点，∠DAB=60°，∴DE⊥AB，∴ED=22226333AD AE-=-=，∴EF+BF的最小值为33．故选：A．【点评】本题主要考查了菱形的性质和解直角三角形，关键是判断出ED的长就是所求的EF+BF的最小值．2．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝1，E为BC的中点，则对角线BD上的动点P到E、C两点的距离之和的最小值为（）A3B3C 3D．12【答案】C【分析】根据菱形的性质，得知A、C关于BD对称，根据轴对称的性质，将PE+PC转化为PE+ AP，再根据两点之间线段最短得知AE为PE+PC的最小值,进而求AE的值即可得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，∴A、C关于BD对称，∴连AE交BD于P，则PE+PC＝PE+AP＝AE，根据两点之间线段最短，AE 的长即为PE +PC 的最小值．∵∠ABC ＝60°，AB=BC∴△ABC 为等边三角形，又∵BE ＝CE 12BC =， ∴AE ⊥BC ，11,2AB BE == ∴AE ＝22AB BE -＝32．故选：C ．【点评】本题主要考查最短距离问题，掌握勾股定理，等边三角形的性质及菱形的对称性是解题的关键．3．如图，在菱形ABCD 中，AB=4，∠A=120°，点P ，Q ，K 分别为线段BC ，CD ，BD 上的任意一点，则PK+QK 的最小值为（）A ．2B ．23C ．4D ．23+2【答案】B【解答】解：作点P 关于BD 的对称点P′，作P′Q ⊥CD 交BD 于K ，交CD 于Q ，∵AB=4，∠A=120°，∴点P′到CD 的距离为4×32=23， ∴PK+QK 的最小值为23，故选B ．【点评】本题考查轴对称-最短路线问题；菱形的性质． 4．如图，在菱形ABCD 中，120ABC ∠=︒，4AB =，E 、F 分别为AB 、BC 的中点，P 是AC 上的一个动点，则PE PF +的最小值是（）A ．3B ．33C ．4D ．43 【答案】C【分析】作E 点关于AC 的对称点点G ，连接GF 交AC 于点P ，连接PE ，当P 、G 、F 三点共线时，PE +PF 有最小值，最小值为GF ，求出GF 即可．【解答】解：作E 点关于AC 的对称点点G ，连接GF 交AC 于点P ，连接PE ，连接PE ，由对称性可得PG =PE ，AG =AE ，∴PE +PF =PG +PF ⩾GF ，当P 、G 、F 三点共线时，PE +PF 有最小值，∵点E 是AB 的中点，∴点G 是AD 的中点，1=2AG AD ∴， ∵F 是BC 的中点，1=2BF BC ∴，又∵四边形ABCD 是菱形，∴AG BF ∥，AD =BC ，=AG BF ∴，∴四边形ABFG 是平行四边形，∴GF =AB =4，∴PE +PF 的最小值为4，故选：C ．【点评】本题考查了轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，菱形的性质是解题的关键．5．如图，菱形ABCD的边长为2，且∠DAB＝60°，E是BC的中点，P为BD上一点且△PCE的周长最小，则△PCE的周长的最小值为（）A．31+B．71+C．231+D．271+【答案】B【分析】由菱形的性质可得点A与点C关于BD对称，则△PCE的周长＝PC＋PE＋CE＝AE＋CE，此时△PCE的周长最小，过点E作EG⊥AB交AB延长线于点G，由∠BAD＝60°，可求∠EBG＝60°，则BG＝12，EG＝32，在Rt△AEG中，求出AE＝2213(2)()722++=，则△PCE的周长＝AE＋CE＝7＋1，即为所求．【解答】解：∵菱形ABCD，∴点A与点C关于BD对称，连接AE交BD于点P，连接PC，则PE＋PC＝P A＋PC＝AE，∴△PCE的周长＝PC＋PE＋CE＝AE＋CE，此时△PCE的周长最小，∵E是BC的中点，菱形ABCD的边长为2，∴BE＝1，AB＝2，过点E作EG⊥AB交AB延长线于点G，∵∠BAD＝60°，∴∠ABC＝120°，∴∠EBG＝60°，∴BG＝12，EG＝32，在Rt△AEG中，AE2＝AG2＋EG2，∴AE ＝2213(2)()722++=， ∴△PCE 的周长＝AE ＋CE ＝7＋1，∴△PCE 的周长的最小值为7＋1，故选：B ．【点评】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握菱形的性质，将所求问题转化为求AE 的长是解题的关键． 6．如图，菱形ABCD 的边长为23,60DAB ︒∠=，点E 为BC 边的中点，点P 为对角线上一动点，则PB PE +的最小值为__________．【答案】3【分析】找出B 点关于AC 的对称点D ，连接DE 交AC 于P ，则DE 就是PB PE +的最小值，求出即可．【解答】解：连接BD ，交AC 于O ，连接DE 交AC 于P ，由菱形的对角线互相垂直平分，可得B 、D 关于AC 对称，则PD PB =，PE PB PE PD DE ∴+=+=，即DE 就是PE PB +的最小值．四边形ABCD 是菱形，60DCB DAB ∴∠=∠=︒，23DC BC ==，DCB ∴∆是等边三角形，3BE CE ==，DE AB ⊥∴（等腰三角形三线合一的性质）．在Rt DE B ∆中，2222(23)(3)3DE BD BE =-=-=．即PB PE +的最小值为3．故答案为3．【点评】本题主要考查轴对称—最短路线问题，菱形的性质，勾股定理等知识点，确定P点的位置是解答本题的关键．7．如图，四边形ABCD为菱形，以AD为斜边的Rt AED△的面积为3，2DE=，点E，C在BD的同侧，点P是BD上的一动点，则PE PC+的最小值是_____________．【答案】3【分析】根据菱形的轴对称性可得A、C关于BD对称，当A、P、E三点共线时，PE PC+的值最小为AE，再根据三角形的面积即可得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD菱形，∴A、C关于BD对称，∵点E，C在BD的同侧，∴当A、P、E三点共线时，PE PC+的值最小，且最小值为AE；∵以AD为斜边的Rt AED△的面积为3，2DE=，∴1123 22⨯=⨯=AE DE AE，∴AE=3，∴PE PC+的最小值是3故答案为：3．【点评】本题考查了菱形的性质、最短问题、面积法等知识，解题的关键是利用轴对称解决最值问题，是中考常考题型．8．如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则△PMN周长的最小值是_______．【答案】9【分析】要求PM＋PN的最小值，PM、PN不能直接求，可考虑通过作辅助线转化PN、PM的值，从而找出其最小值,即可求出△PMN 周长的最小值．【解答】解：如图：连接MN ，作ME ⊥AC 交AD 于E ，连接EN ，则EN 就是PM ＋PN 的最小值，∵菱形ABCD ，M 、N 分别是AB 、BC 的中点，∴BN ＝BM ＝AM ，MN=118422AC =⨯= ∵ME ⊥AC 交AD 于E ，∴AE ＝AM ，∴AE ＝BN ，AE ∥BN ，∴四边形ABNE 是平行四边形，∴EN ＝AB ，EN ∥AB ，而由题意可知，可得AB ＝()()226282÷+÷＝5，∴EN ＝AB ＝5，∴PM ＋PN 的最小值为5．∵MN 不变，当PM ＋PN 的最小值时，△PMN 周长最小，∴△PMN 周长最小=9故答案为：9．【点评】本题考查菱形的性质、轴对称、平行四边形的判定及勾股定理等知识的综合应用．综合运用这些知识是解决本题的关键．9．如图，菱形ABCD 的边长为6，∠B ＝120°．点P 是对角线AC 上一点（不与端点A 重合），则12AP+PD 的最小值为_____．【分析】过点P作PE⊥AB于点E，过点D作DF⊥AB于点F，根据四边形ABCD是菱形，且∠B＝120°，∠DAC＝∠CAB＝30°，可得PE＝12AP，当点D，P，E三点共线且DE⊥AB时，PE+DP的值最小，最小值为DF的长，根据勾股定理即可求解．【解答】解：如图，过点P作PE⊥AB于点E，过点D作DF⊥AB于点F,∵四边形ABCD是菱形，且∠B＝120°,∴∠DAC＝∠CAB＝30°,∴PE＝12AP;∵∠DAF＝60°,∴∠ADF＝30°,∴AF＝12AD＝12×6＝3;∴DF＝33;∵12AP+PD＝PE+PD,∴当点D，P，E三点共线且DE⊥AB时,PE+DP的值最小，最小值为DF的长,∴12AP+PD的最小值为33.故答案为：33.【点评】本题考查了菱形的性质，结合直角三角形、等边三角形的判定与性质知识点，准确判断最小值的判定.10．如图，菱形ABCD中，∠ABC=56°，点E，F分别在BD，AD上，当AE+EF的值最小时，则∠AEF=___度．【分析】连接AC，过点C作CF⊥AD，交BD于点E，交AD于点F，连接AE，根据菱形的性质和垂线段最短可得此时AE＋EF的值最小，且最小值即为CF的长，然后根据等腰三角形的性质、直角三角形的性质和三角形外角的性质即可求出结论．【解答】解：连接AC，过点C作CF⊥AD，交BD于点E，交AD于点F，连接AE∵四边形ABCD为菱形，∠ABC=56°∴菱形ABCD是以BD所在直线为对称轴的轴对称图形，∠ADC=∠ABC=56°，DA=DC∴AE=CE，∠DAC=∠DCA=1（180°－∠ADC）=62°2∴此时AE＋EF=CE＋EF=CF，∠EAC=∠ECA根据垂线段最短可知：此时AE＋EF的值最小，且最小值即为CF的长∵CF⊥AD∴∠AFC=90°∴∠ECA=90°－∠DAC=28°∴∠EAC=28°∴∠AEF=∠EAC＋∠ECA=56°故答案为：56．【点评】此题考查的是菱形的性质、垂线段最短的应用、直角三角形的性质和等腰三角形的性质，掌握菱形的性质、垂线段最短、直角三角形的两个锐角互余和等边对等角是解决此题的关键．11．如图，菱形ABCD的边长为4，∠ADC=120°，点E是AD上一动点（不与点A，D重合），点F是CD 上一动点，且AE+CF=4，则△BEF面积的最小值为______________.【答案】33【分析】首先证明△BEF 是等边三角形，当BE ⊥AD 时面积最小．【解答】解：连接BD ，∵菱形ABCD 边长为4，∠ADC =120°，∴∠BAD =60°，∴△ABD 与△BCD 都为等边三角形，∴∠FDB =∠EAB =60°，∵AE +CF =4，而DF +CF =4，∴AE =DF ，∵AB =BD ，∴△BDF ≌△BAE （SAS ），∴BE =BF ，∠ABE =∠DBF ，∴∠EBF =∠ABD =60°，∴△BEF 是等边三角形，∴当BE ⊥AD 时，△BEF 的面积最小，在Rt △ABE 中，AE =12AB =2，由勾股定理得BE =23，同理可得等边△BEF 的边BE 上的高为32×23=3， △BEF 面积的最小值=33．故答案为：33．【点评】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定和性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．12．如图，在菱形ABCD 中，E ，F 分别是边CD ，BC 上的动点，连接AE ，EF ，G ，H 分别为AE ，EF 的中点，连接GH ．若45B ∠=︒，23BC =GH 的最小值为___________．【答案】6 2【分析】连接AF，利用三角形中位线定理，可知GH =12AF，求出AF的最小值即可解决问题．【解答】连接AF，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，AB= BC= 23∵G，H分别为AE，EF的中点，∴GH是△AEF的中位线，GH =12AF，当AF⊥BC时，AF最小，GH得到最小值，则∠AFB = 90°，∵∠B= 45°，∴△ABF是等腰直角三角形，∴AF=22AB=22×23=6，∴GH =6 2即GH的最小值为6 2故答案为：6 2【点评】本题考查了菱形的性质、三角形的中位线定理、等腰直角三角形的判定与性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．13．如图，菱形ABCD中，60ABC∠=︒，边长为3，P是对角线BD上的一个动点，则12BP PC+的最小值是______．【答案】332【分析】求两条线段之和的最小值问题，通常转化为两点之间的距离，在平面中，两点间的距离最短．【解答】解：如图所示：过点P 作PE AB ⊥交AB 于点E ，过点C 作CF AB ⊥交AB 于点F ，四边形ABCD 是菱形，60ABC ∠=︒，∴∠ABP =30°，12PE BP ∴=， 12BP PC PE PC ∴+=+，由垂线段最短可知，PE PC +的最小值为CF 的长，33sin 3sin 602CF BC ABC ∴=⨯∠=⨯︒=，即12BP PC +的最小值是：332，故答案是：332．【点评】本题考查了动点中的最短路径问题，解题的关键是：通过等量代换，转化为两点之间的距离． 14．如图，菱形ABCD 的边长为1，60ABC ∠=︒，点E 是边AB 上任意一点(端点除外)，线段CE 的垂直平分线交BD ，CE 分别于点F ，C ，AE ，EF 的中点分别为M ，N ．(1)求证：AF EF =；(2)求MN NG +的最小值．【答案】(1)见解析(2)12【分析】（1）连接CF ，根据FG 垂直平分CE 和菱形的对称性即可得到CF EF =，CF AF =，从而求证结论；（2）利用M 和N 分别是AE 和EF 的中点，点G 为CE 的中点，即可得到1(2)AF F MN N C G +=+，当点F 与菱形ABCD 对角线交点O 重合时，AF CF +最小，此时MN NG +最小，结合已知推断ABC 为等边三角形，即可求解．（1）证明：连接CF ，FG 垂直平分CE ，CF EF ∴=，四边形ABCD 为菱形，A ∴和C 关于对角线BD 对称，CF AF ∴=，AF EF ∴=；（2）解：连接AC ，M 和N 分别是AE 和EF 的中点，点G 为CE 中点，11,22MN AF NG CF ∴==，即 1(2)AF F MN N C G +=+ 当点F 与菱形ABCD 对角线交点O 重合时，AF CF +最小，即此时MN NG +最小，菱形ABCD 边长为1，60ABC ∠=︒，ABC ∴为等边三角形，1AC AB ==，即MN NG +的最小值为12．【点评】本题考查了菱形的性质，中位线的性质、等边三角形性质的知识，关键在于熟悉各个知识点在本题的灵活运用．。

初二数学培优练习题推荐

初二数学培优练习题推荐数学是一门重要而又关键的学科，对于初中生来说，打好数学基础非常重要。

为了帮助初二学生提高数学水平，本文将介绍一些培优练习题，旨在让学生更好地理解数学知识，提高解题能力。

一、整数运算整数运算是数学中的基础内容之一，熟练掌握整数的四则运算对于后续学习其他数学知识至关重要。

以下是一道整数运算的练习题：题目：计算以下表达式的值：-8 + 5 - (-3) - 2解析：在这道练习题中，我们需要按照运算的优先级进行计算。

首先，计算括号内的表达式-(-3)，由于减负得正，所以结果为3。

然后，按照从左到右的顺序进行计算，得到的结果为-8 + 5 + 3 - 2 = -2。

二、代数方程代数方程作为数学中的重要概念，在初二数学中也占据着重要地位。

通过解代数方程，学生能够培养逻辑思维和解决实际问题的能力。

以下是一道代数方程的练习题：题目：解方程2x - 5 = 7解析：将方程转化为x的形式，得到2x = 7 + 5，即2x = 12。

再将方程两边都除以2，得到x = 6。

因此，方程的解为x = 6。

三、几何图形初二数学中，学生开始接触几何图形的性质和计算方法。

几何图形的学习可以培养学生的观察力和空间想象力。

以下是一道几何图形的练习题：题目：已知ABCD为矩形，且AB = 6 cm，BC = 4 cm，求矩形的面积。

解析：矩形的面积等于矩形的长乘以宽。

已知长为AB = 6 cm，宽为BC = 4 cm，因此矩形的面积为6 cm × 4 cm = 24 cm²。

四、比例与相似比例与相似作为初中数学中的重要内容之一，是后续学习代数和几何的基础。

熟练运用比例与相似的概念和计算方法，有助于学生解决实际问题。

以下是一道比例与相似的练习题：题目：已知一支杆的长度为3 m，投影在地面上的长度为2 m，求杆与地面的夹角。

解析：根据比例关系，杆的长度与其投影在地面上的长度的比值等于杆与地面间的夹角的正弦值。

初二数学第一学期培优练习(8)

初二数学第一学期培优练习（8）
班级姓名
Bˊ处，DBˊ，EBˊ分别交边AC于点F，G，若∠ADF=80°，求∠EGC的度数
2.如图，矩形纸片ABCD的边长AB=4，AD=2．将矩形纸片沿EF折叠，使点A与点C重合，折叠后在其一面着色．
（1）GC的长为
（2）求FG的长．
（3）求阴影部分面积．
3.如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．
（1）△COD是什么三角形？说明理由；
（2）若AO=n2+1，AD=n2-1，OD=2n（n为大于1的整数），求α的度数；
（3）当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？
4.己知：正方形ABCD．
（1）如图1，点E、点F分别在边AB和AD上，且AE=AF．此时，线段BE、DF的数量关系和位置关系分别是什么？请直接写出结论．
（2）如图2，等腰直角三角形FAE绕直角顶点A顺时针旋转∠α，当0°＜α＜90°时，连接BE、DF，此时（1）中的结论是否成立，如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．
（3）如图3，等腰直角三角形FAE绕直角顶点A顺时针旋转∠α，当α=90°时，连接BE、DF，猜想当AE与AD满足什么数量关系时，直线DF垂直平分BE．
多少？
求边AC的长．。

八年级(下)期中数学培优练习

A ．B ．C ．D ．初二数学第二学期期中培优试题一、选择题(把正确答案的选项填在下面答题栏内)1．在x1、21、212+x、yx +3、ma 1+中分式的个数有A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 2反比例函数k y x=在第一象限的图象如图所示，则k 的值可能是（）A ．1B ．2C ．3D ．4 3．如果分式2x x-的值为0，那么x 为A ．－2B ．0C ．1D ．24．如图，正五边形FGHMN 是由正五边形ABCDE 经过位似变换得到的，若AB ∶FG=2∶3，则下列结论正确的是 A ．2DE=3MN B ．3DE=2MN C ．3∠A=2∠F D ．2∠A=3∠F5．不等式组x 5332x 1⎧⎨⎩＋≥－≥－的解集表示在数轴上正确的6．下列各式中，正确的是 A ．22b b a a=B．22a b a b a b+=++ C ．22y y x yx y=++ D ．11x yx y=--+-7．美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．如图，某女士身高165cm ，下半身长x 与身高l 的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为 A ．4cmB ．6cmC ．8cmD ．10cm8．下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是9．若点00()x y ，在函数k y x=（x <0）的图象上，且003x y =-,则它的图象大致是10．将三角形纸片△ABC 按如图所示的方式折叠，使点B 落在边AC 上，记为点B ′，折痕为EF ．已知AB＝AC ＝6，BC ＝8，若以点B ′，F ，C 为顶点的三角形与△ABC 相似，那么BF的长度是 A ．724 B．4 C ．712或2 D ．4或724二、填空题．11．在下列三个不为零的式子 44,2,4222+---x x x x x 中，任选两个你喜欢的式子组成一个分式是，把这个分式化简所得的结果是． 12．当m = 时，关于x 的方程255+-=-x m x x 会产生增根13．已知两个相似多边形的一组对应边分别是23cm 和15cm ，较小多边形的周长为60cm ，则较大多边形的周长是 cm ． 14．代数式41＋2x 的值不大于8－2x 的值，那么x 的正整数解是．15．直线6+-=x y 与函数)0(4>=x xy 的图象交于A 、B 两点，设A(x ，y )，那么长为x ，宽为y 的矩形的面积= ；周长= 16．已知一次函数1+-=x y 与反比例函数y 2-=， x 与y 的对应值如下表：则：方程xx 21-=+-的解为；不等式xx 21-〉+-的解集为 .17．如图，A 、B 是双曲线 y = kx (k >0) 上的点， A 、B 两点的横坐标分别是a 、2a ，线段AB 的延长线交x 轴于点C ，若S △AOC =6．则k= ____. 18．已知：M(4，1)，N(4，8)两点，反比例函数xk y =与线段MN 相交，过反比例函数xk y =上任意一点P 作y 轴的垂线PG,G 为垂足，O 为坐标原点，则△OGP 的面积S 的取值范围是_______________．EAB ′F三、解答题 19．(6分)先化简211()1122x x x x -÷-+-，然后从2，1，－1中选取一个你认为合适．．的数作为x 的值代入求值.20．(6分) 解不等式组⎩⎨⎧-<--<-52310932x x x x 21．(6分)解分式方程2143222-=-++x x x x22．(6分)等腰△ABC,AB=AC=８,∠BAC=120°,P 为BC 的中点,小慧拿着含30°角的透明三角板,使30°角的顶点落在点P ，三角板绕P 点旋转．（1）如图a ，当三角板的两边分别交AB 、AC 于点E 、F 时．求证：△BPE ～△CFP ；（2）操作：将三角板绕点P 旋转到图b 情形时，三角板的两边分别交BA 的延长线、边AC 于点E 、F ．探究１：△BPE 与△CFP 还相似吗？（只需写出结论）探究２：连结EF ，△BPE 与△PFE 是否相似？请说明理由；设EF=m ，△EPF 的面积为S ，试用m 的代数式表示S ．图b图a23．(6分) 绿谷商场“家电下乡”指定型号冰箱、彩电的进价和售价如右表所示：(1) 按国家政策，农民购买“家电下乡”产品可享受售价13%的政府补贴.农民田大伯到该商场购买了冰箱、彩电各一台，可以享受多少元的政府补贴？(2)为满足农民需求,商场决定用不超过85 000元采购冰箱、彩电共40台, 且冰箱的数量不少于彩电数量的65. ①请你帮助该商场设计相应的进货方案；②哪种进货方案商场获得利润最大(利润=售价-进价)，最大利润是多少？24．(8分)●探究 (1) 在图1中，已知线段AB ，CD ，其中点分别为E ，F ． ①若A (-1，0)， B (3，0)，则E 点坐标为__________； ②若C (-2，2)， D (-2，-1)，则F 点坐标为__________；(2)在图2中，已知线段AB 的端点坐标为A(a ，b) ，B(c ，d)，求出图中AB 中点D 的坐标（用含a ，b ，c ，d 的代数式表示），并给出求解过程．●归纳无论线段AB 处于直角坐标系中的哪个位置，当其端点坐标为A(a ，b)，B(c ，d)， AB 中点为D(x ，y) 时， x=____，y=____．（不必证明）●运用在图2中，一次函数2-=x y 与反比例函数xy 3=的图象交点为A ，B ．①求出交点A ，B 的坐标；②若以A ，O ，B ，P 为顶点的四边形是平行四边形，请利用上面的结论求出顶点P 的坐标．25．如图，一条直线与反比例函数k y x=的图象交于A(1，5)，B(5，n)两点，与x 轴交于D 点， AC ⊥x 轴，垂足为C ．(1)如图甲，①求反比例函数的解析式；②求n 的值及D 点坐标；(2)如图乙，若点E 在线段AD 上运动，连结CE ，作∠CEF=45°，EF 交AC 于F 点． ①试说明△CDE ∽△EAF ；②当△ECF 为等腰三角形时，请求出F 点的坐标．xy y =x3y =x -2ABO图3。

北师大版八年级上数学培优及答案

O y (微克/毫升) x (时)3 14 8 4八年级数学上册试题一、填空题1、设∆ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，其中a ，b 满足0)2(42=+-+-+b a b a ，则第三边的长c 的取值范围是．2、函数34+-=x y 的图象上存在点P ，点P 到x 轴的距离等于4，则点P 的坐标是________。

3、在△ABC 中，∠B 和∠C 的平分线相交于O ，若∠BOC=α，则∠A=_________。

4、直角三角形两锐角的平分线交角的度数是。

5、已知直线()42-+--=a x x a y 不经过第四象限，则a 的取值范围是。

6、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角度数为__ _________。

7、如图，折线ABCDE 描述了一辆汽车在某一直线上行驶过程中，汽车离出发地的距离s(km)和行驶时间t(h)之间的函数关系，根据图中提供的信息，给出下列说法：①汽车共行驶了120km ；②汽车在行驶途中停留了0.5h ；③汽车在整个行驶过程中的平均速度为803km ；④汽车自出发后3h-4.5h 之间行驶的速度在逐渐减少。

其中正确的说法有_______________.8、放假了，小明和小丽去蔬菜加工厂社会实践，•两人同时工作了一段时间后，休息时小明对小丽说：“我已加工了28千克，你呢？”小丽思考了一会儿说：“我来考考，左图、右图分别表示你和我的工作量与工作时间关系，你能算出我加工了多少千克吗？”小明思考后回答：“你难不倒我，你现在加工了___D_____千克．” 二、选择题1、等腰三角形腰上的高与底边的夹角为Cm °则顶角度数为( )A.m °B.2m °C.(90-m)°D.(90-2m)°2、药品研究所开发一种抗菌素新药，经过多年的动物实验之后，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y (微克/毫升)与服药后时间x (时)之间的函数关系如图所示，则当1≤x ≤6时，y 的取值范围是（） A ． 8 3≤y ≤ 64 11 B ． 64 11≤y ≤8 C ． 8 3≤y ≤8 D ．8≤y ≤163、水池有2个进水口，1个出水口，每个进水口进水量与时间的关系如图甲所示，出水口出水量与时间的关系如图乙所示．某天0点到 6点，该水池的蓄水量与时间的关系如图丙所示．下列论断：①0点到1点，打开两个进水口，关闭出水口；②1点到3点，同时关闭两个进水口和—个出水口；③3点到4点，关闭两个进水口，打开出水口；④5点到6点．同时打开两个进水口和一个出水口．其中，可能正确的论断是( )A ．①③ B.①④ C.②③ D.②④4、将长为15cm 的木棒截成长度为整数的三段，使它们构成一个三角形的三边，则不同的截法有( )A.5种B. 6种C. 7种D.8种 5、在△ABC 中，适合条件C B A ∠=∠=∠4131，则△ABC 中是（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定6、直线l 1：y ＝k 1x ＋b 与直线l 2：y ＝k 2x ＋c 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于 x 的不等式k 1x ＋b ＜k 2x ＋c 的解集为（）．A .x ＞1B .x ＜1C .x ＞－2D .x ＜－27、如图，把直线2y x =-向上平移后得到直线AB ，直线AB 经过点()a b ，，且26a b +=，则直线AB 的解析式是（） A.23y x =-- B.26y x =-- C.23y x =-+ D.26y x =-+ 8、已知一次函数b kx y +=，当x 增加3时，y 减少2，则k 的值是（）A.32B.23C.32-D.23- 动点P 沿9、如图，平面直角坐标系中，在边长为1的正方形ABCD 的边上有一A B C D A →→→→运动一周，则P 的纵坐标y 与点P 走过的路程s 之间的函数关系用图象表示大致是（）O 1xy－2y ＝k 2x ＋c y ＝k 1x ＋bxyOBA2y x =-10、一件工作，甲、乙两人合做5小时后，甲被调走，剩余的部分由乙继续完成，设这件工作的全部工作量为1，工作量与工作时间之间的函数关系如图所示，那么甲、乙两人单独完成这件工作，下列说法正确的是（）A.甲的效率高B.乙的效率高C.两人的效率相等D.两人的效率不能确定11、直线y=x －1与坐标轴交于A 、B 两点，点C 在坐标轴上，△ABC 为等腰三角形，则满足条件的点C 最多有（） A.5个 B.6个 C.7个 D.8个12、已知一次函数()1-=x k y ，若y 随x 的增大而减小，则该函数的图像经过（）A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限C.第二、三、四象限D.第一、三、四象限三、解答题1、李明从蚌埠乘汽车沿高速公路前往A 地，已知该汽车的平均速度是100千米/小时，它行驶t 小时后距．蚌埠的路程．．．．．为s 1千米. ⑴请用含t 的代数式表示s 1；⑵设另有王红同时从A 地乘汽车沿同一条高速公路回蚌埠，已知这辆汽车距．蚌埠的路程．．．s 2（千米）与行驶时间t （时）之间的函数关系式为s 2=kt ＋b (k 、t 为常数，k ≠0)，若李红从A 地回到蚌埠用了9小时，且当t=2时，s 2=560. ①求k 与b 的值；②试问在两辆汽车相遇之前，当行驶时间t 的取值在什么范围内，两车的距离小于288千米？2、在一次远足活动中，某班学生分成两组，第一组由甲地匀速步行到乙地后原路返回，第二组由甲地匀速步行经乙地继续前行到丙地后原路返回，两组同时出发，设步行的时间为t （h ），两组离乙地的距离分别为S 1（km ）和S 2(km)，图中的折线分别表示S 1、S 2与t 之间的函数关系．（1）甲、乙两地之间的距离为 km ，乙、丙两地之间的距离为 km ；（2）求第二组由甲地出发首次到达乙地及由乙地到达丙地所用的时间分别是多少？（3）求图中线段AB 所表示的S 2与t 间的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围．3、某洗衣机在洗涤衣服时，经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量y(升)与时间x(分钟)之间的关系如折线图所示：根据图象解答下列问题：（1）洗衣机的进水时间是多少分钟？清洗时洗衣机中的水量是多少升？（2）已知洗衣机的排水速度为每分钟19升， ① 求排水时y 与x 之间的关系式。

初二数学培优试卷及答案

一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知方程x^2 - 4x + 3 = 0，那么它的解是（）A. x1 = 1，x2 = 3B. x1 = 2，x2 = 2C. x1 = 3，x2 = 1D. x1 = -1，x2 = -32. 若a > 0，b < 0，那么下列不等式中正确的是（）A. a > bB. a < bC. -a > -bD. -a < -b3. 下列函数中，自变量x的取值范围是全体实数的是（）A. y = √(x - 1)B. y = √(x^2 - 1)C. y = √(x + 1)D. y = √(x^2 + 1)4. 已知一次函数y = kx + b，其中k ≠ 0，若函数图象经过点(2, 3)，则k和b 的值分别为（）A. k = 2，b = 1B. k = 1，b = 2C. k = -2，b = 1D. k = -1，b = 25. 已知等腰三角形ABC中，AB = AC，且∠BAC = 40°，则∠B和∠C的度数分别为（）A. ∠B = ∠C = 50°B. ∠B = ∠C = 70°C. ∠B = ∠C = 40°D. ∠B = ∠C = 30°6. 下列各数中，能被3整除的是（）A. 729B. 256C. 1234D. 9877. 已知直角三角形ABC中，∠C = 90°，AB = 5cm，BC = 12cm，那么AC的长度为（）A. 13cmB. 15cmC. 17cmD. 19cm8. 若一个数x满足不等式2x - 1 < 5，那么x的取值范围是（）A. x < 3B. x ≤ 3C. x > 3D. x ≥ 39. 已知二次函数y = ax^2 + bx + c（a ≠ 0），若函数图象开口向上，则a的取值范围是（）A. a > 0B. a < 0C. a ≥ 0D. a ≤ 010. 在平面直角坐标系中，点P(2, 3)关于x轴的对称点Q的坐标是（）A. (2, -3)B. (-2, 3)C. (2, 3)D. (-2, -3)二、填空题（每题5分，共50分）1. 若方程2x - 3 = 5的解为x = 3，则方程3x + 4 = 11的解为x = _______。

湘教版初二上数学培优试卷

1. 下列各组数中，成等差数列的是（）A. 1，3，5，7，9B. 2，4，8，16，32C. 1，2，4，8，16D. 3，6，9，12，152. 已知函数f(x) = x^2 - 2x + 1，那么f(x)的对称轴是（）A. x = -1B. x = 0C. x = 1D. x = 23. 若a，b，c是等差数列，且a + b + c = 15，a + c = 9，则b的值为（）A. 3B. 4C. 5D. 64. 下列各式中，正确的是（）A. a^2 + b^2 = (a + b)^2B. (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2C. (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2D. a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)5. 已知函数f(x) = 2x - 3，那么f(-2)的值为（）A. -7B. -5C. -3D. 16. 在△ABC中，∠A = 45°，∠B = 60°，那么∠C的度数为（）A. 45°B. 60°C. 75°D. 90°7. 已知一元二次方程x^2 - 4x + 3 = 0，那么方程的解为（）A. x = 1，x = 3B. x = 2，x = 3C. x = 1，x = 2D. x = 3，x = 48. 若x^2 + 2x + 1 = 0，那么x的值为（）A. -1B. 1C. 0D. 无法确定9. 在等腰三角形ABC中，若AB = AC，那么底角∠B的度数为（）A. 45°B. 60°C. 90°D. 120°10. 下列各式中，正确的是（）A. 2a^2 + 3b^2 = 5(a^2 + b^2)B. a^2 + b^2 = (a + b)^2C. a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)D. a^2 + b^2 = (a - b)^2二、填空题（每题5分，共50分）11. 若等差数列的前三项分别为a_1，a_2，a_3，且a_1 + a_3 = 8，a_2 = 4，则公差d = __________。

初二数学培优试题及答案

初二数学培优试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项是方程x^2 - 5x + 6 = 0的解？A. x = 2B. x = 3C. x = 1D. x = 42. 一个数的平方根是2，那么这个数是：A. 4B. -4C. 2D. -23. 一个等腰三角形的两边长分别为3和4，那么它的周长是：A. 10B. 11C. 12D. 134. 计算下列式子的结果：\(\frac{2}{3} \times \frac{3}{4} \times \frac{4}{5} \times \ldots \times \frac{9}{10}\)A. 2B. 3C. 4D. 55. 一个圆的直径是10厘米，那么它的面积是：A. 25π平方厘米B. 50π平方厘米C. 100π平方厘米D. 200π平方厘米6. 一个数的相反数是-5，那么这个数是：A. 5B. -5C. 0D. 107. 一个数的绝对值是5，那么这个数可以是：A. 5B. -5C. 5或-5D. 08. 一个数的立方根是2，那么这个数是：A. 8B. -8C. 2D. -29. 一个直角三角形的两个直角边长分别是3和4，那么它的斜边长是：A. 5B. 6C. 7D. 810. 一个数的平方是25，那么这个数是：A. 5B. -5C. 5或-5D. 0二、填空题（每题4分，共20分）1. 一个数的立方是27，那么这个数是______。

2. 一个数的倒数是\(\frac{1}{4}\)，那么这个数是______。

3. 一个数的绝对值是10，那么这个数可以是______或______。

4. 一个圆的半径是5厘米，那么它的直径是______厘米。

5. 一个数的平方根是3，那么这个数是______。

三、解答题（每题10分，共50分）1. 已知一个矩形的长是10厘米，宽是5厘米，求这个矩形的面积。

2. 已知一个直角三角形的两个直角边长分别是6厘米和8厘米，求这个直角三角形的斜边长。

初二数学培优题

初二数学培优题1.某种鲸的体重约为51.3610⨯㎏，关于这个近似数，下列说法正确的是（） A ．它精确到百位； B ．它精确到0.01；C ．它精确到千分位；D ．它精确到千位；2.若x ＜y ＜0，则222y xy x +-＋222y xy x ++=（）A 、2xB 、2yC 、－2xD 、－2y 3.若0＜x ＜1，则4)1(2+-xx －4)1(2-+xx 等于（） A 、x 2 B 、－x2C 、－2xD 、2x 4.当a ＜0，b ＜0时，－a ＋2ab －b 可变形为（）A 、2)(b a +B 、－2)(b a -C 、2)(b a -+-D 、2)(b a ---5.把y x x 823化为最简二次根式得____________，若xx x x --=--3232成立，则x 满足_____________6.已知最简二次根式2-+b a 和b a -2能够合并，则a-b=_________,把aa 1-中根号外面的因式移到根号内的结果是________________7.，则x －y 的值为_________1的最小值是_________ 8.若3的整数部分是a ，小数部分是b ，则=-b a 3若a －3＜0，则化简aa a -++-4962的结果是________9.已知直角三角形两边x 、y 的长满足｜x 2－4｜＋652+-y y ＝0，则第三边长为_________ 10.若1a b -+互为相反数，则()2005_____________a b -=11.x 与y 的值分别是_____ _______12.已知a a a =-+-20102009，则49020092+-a 的平方根是___________13.已知是a 的一个平方根，b 是平方根等于本身的数，c 是的整数部分，则____________2()x y =+14.已知79+与79-的小数部分分别为x 、y ，则3x+2y 的值为________ 15.已知m 满足m m m =-+-20152014，则22014-m 的值是________16.如图，在△ABC 和△BDE 中，点C 在边BD 上，边AC 交边BE 于点F ．若AC=BD ，AB=ED ，BC=BE ，则∠ACB 等于（）A ．∠EDB B ．∠BEDC ．∠AFBD ．2∠ABF（第16题）（第17题）17.将一张宽为4cm 的长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，则这个三角形面积的最小值是（）A ．cm 2B ．8cm 2C ．cm 2 D ．16cm 218.如图，△ABC 中，AB ＝AC ，DE 垂直平分AB ，BE ⊥AC ，AF ⊥BC ，则∠EFC ＝°19.如图，正方形ABDE 、CDFI 、EFGH 的面积分别为25、9、16，△AEH 、△BDC 、△GFI 的面积分别为S 1、S 2、S 3，则S 1＋S 2＋S 3＝．20.如图是由9个等边三角形拼成的六边形，若已知中间的小等边三角形的边长是2，则六边形的周长是．（第19题）（第20题）21.如图，△ABC 中，D 是BC 上一点，AC =AD =DB ，∠BAC =105°，则∠ADC ＝°． 22.如图，在等边△ABC 中，点D 、E 分别在边BC 、AB 上，且DE ∥AC ，过点E 作EF ⊥DE ，交CB 的延长线于点F ，若BD =2，则EF 2＝_______．23.如图是单位长度为1的网格图，A 、B 、C 、D 是4个网格线的交点，以其中两点为端点的线段中，任意取3条，能够组成个直角三角形．第22题图第23题图第24题图FEABCDFEOPA BCD ABD C（第21题）（第18题）24.如图，矩形ABCD 中，AB =8，BC =6，P 为AD 上一点，将△ABP 沿BP 翻折至△EBP ，PE 与CD 相交于点O ，且OE =OD ，则AP 的长为________.25.如图，在△ABC 中，CE ⊥BA 的延长线于E ，BF ⊥CA 的延长线于F ，M 为BC 的中点，分别连接ME 、MF 、EF .（1）若EF ＝3，BC ＝8，求△EFM 的周长；（2）若∠ABC ＝28°，∠ACB ＝48°，求△EFM 的三个内角的度数．26.如图，点N 是△ABC 的边BC 延长线上的一点，∠ACN =2∠BAC ，过点A 作AC 的垂线交CN 于点P .（1）若∠APC =30°，求证：AB =AP ；（2）若AP =8，BP =16，求AC 的长；（3）若点P 在BC 的延长线上运动，∠APB 的平分线交AB 于点M.你认为∠AMP 的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出∠AMP 的大小.F BBB ADQ图2B AD图1B AD图328.在△ABC 和△DEC 中，AC =BC ，DC =EC ，∠ACB =∠ECD =90°．（1）如图1，当点A 、C 、D 在同一条直线上时，AC =12，EC =5．①求证：AF ⊥BD ， ②求AF 的长度；（2）如图2，当点A 、C 、D 不在同一条直线上时．求证：AF ⊥BD ；（3）如图3，在（2）的条件下，连接CF 并延长CF 交AD 于点G ，∠AFG 是一个固定的值吗？若是，求出∠AFG 的度数，若不是，请说明理由．29.如图，△ABC 中，AB=BC=AC=12cm ，现有两点M 、N 分别从点A 、点B 同时出发，沿三角形的边运动，已知点M 的速度为1cm/s ，点N 的速度为2cm/s ．当点N 第一次到达B 点时，M 、N 同时停止运动．（1）点M 、N 运动几秒后，M 、N 两点重合？（2）点M 、N 运动几秒后，可得到等边三角形△AMN？（3）当点M 、N 在BC 边上运动时，能否得到以MN 为底边的等腰三角形△AMN？如存在，请求出此时M 、N 运动的时间．GF EDCBAABCDEFFEDCBA图1 图2 图3。

初二数学培优试题

初二数学培优试题学校:___________姓名：___________班级：__________一、单选题（5分一题，共20分）1．如图①是一个直角三角形纸片，30A ∠=︒，4BC cm =，将其折叠，使点C 落在斜边上的点C '处，折痕为BD ，如图②，再将②沿DE 折叠，使点A 落在DC '的延长线上的点A '处，如图③，则折痕DE 的长为()A ．83cmB ．23C ．22D ．3cm2．设2222222211111111111112233499100++++++++ 则不大于S 的最大整数[S]等于()A ．98B ．99C ．100D ．1013．如图，在等腰直角△ABC 中，∠ACB=90°，点O 为斜边AB 的中点，点D 、E 分别在直角边AC 、BC 上，且∠DOE=90°，DE 交OC 于点P ，则下列结论：①图中全等三角形有三对；②△ABC 的面积等于四边形CDOE 2③DE 2+2CD•CE=2OA 2；④AD 2+BE 2=2OP•OC ．正确的有（）个．A ．1B ．2C ．3D ．44．如图，在等边△ABC 中，BF 是AC 边上的中线，点D 在BF 上，连接AD ，在AD 的右侧作等边△ADE ，连接EF ，当△AEF 周长最小时，∠CFE 的大小是()A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°二、填空题（5分一题，共50分）5．若m，则m 3﹣m 2﹣2017m +2015＝_____．6．已知实数,x y 满足(2008x y =，则2232332007x y x y -+--的值为______.7．如图，在矩形ABCD 中，4AB =，6BC =，M 是AB 边上的中点，N 是B 边上的一动点．连接MN ，将BMN ∆沿MN 折叠，点B 的对应点为点E ，连接EC ．当ENC △为直角三角形时，BN 的长为________．8．如图，长方形ABCD 中，3AD =，5AB =，点E 为射线DC 上一动点(不与D 重合)，将ADE V 沿AE 折叠得到D AE ' ，连接D B '，若ABD '△为直角三角形，则AE =________9．计算1111111111(1...)(...(...)(1...)2201423201523201422015++++++-+++++=.10．已知222246140x y z x y z ++-+-+=，则()2002x y z --=_______．11．如图，在ABC 中，A m ∠=︒，ABC ∠和ACD ∠的平分线交于点1A ，得11,A A BC ∠∠和1A CD ∠的平分线交于点2A ，得22020,,A A BC ∠∠ 和2020A CD ∠的平分线交于点2021A ，得20212021,A A BC ∠∠和2021A CD ∠的平分线交于点2022A ，得2022A ∠，则2022A ∠=________度．12．已22(1)(2)12x A B C x x x x x x +=++++++，则23A B C ++的值是__________．13．如图，在ABC 中，901CAB AB AC ∠=︒==，，P 是ABC 内一点，求PA PB PC ++的最小值为______．14．设x ，y 满足()3140442022x y -+=，()3140446066y x -+=，则()3x y +=______．三、解答题（12+12+13+13，共50分）15．如图，在平面有角坐标系中，已知(),0A a 、()0,B b 分别在坐标轴的正半轴上．(1)如图1．若a 、b 满足()240a -=，以B 为直角顶点，AB 为直角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC ，求点C 的坐标；(2)如图2，若a b =，点D 是OA 的延长线上一点，以D 为直角顶点，BD 为直角边在第一象限作等腰直角BDE △，连接AE ，求证：ABD AED ∠=；(3)如图3，设AB c ABO =∠，的平分线过点()33D -，，请问a b c -+的值是否为定值，请说明理由．16．两个边长分别为a 和b 的正方形如图放置（图①），其未叠合部分（阴影）面积为1S ；若再在图①中大正方形的右下角摆放一个边长为b 的小正方形（如图②），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为2S ．（1）用含a 、b 的代数式分别表示1S 、2S ；（2）若8a b -=，13ab =，求12S S +的值；（3）用a 、b 的代数式表示3S ；并当1234S S +=时，求出图③中阴影部分的面积3S ．17．（1）问题发现：如图1，△ABC与△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，则线段AE、BD的数量关系为_______，AE、BD所在直线的位置关系为________；（2）深入探究：在（1）的条件下，若点A，E，D在同一直线上，CM为△DCE中DE 边上的高，请判断∠ADB的度数及线段CM，AD，BD之间的数量关系，并说明理由；（3）解决问题：如图3，已知△ABC中，AB=7，BC=3，∠ABC=45°，以AC为直角边作等腰直角△ACD，∠CAD=90°，AC=AD，连接BD，求BD的长度．18．阅读下列材料，然后回答问题．①在进行二次根式的化简与运算时，可以将其进一步化简：===1)2-=1以上这种化简的步骤叫做分母有理化．②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知a +b =2，ab =-3，求22a b +．我们可以把a +b 和ab 看成是一个整体，令x =a +b ，y =ab ，则2222 224610()a b a b ab x y +=+-=-=+=．这样，我们不用求出a ，b ，就可以得到最后的结果．(1)...(2)m 是正整数，a b 222182322019a ab b ++=．求m ．(3)1=。

初二数学上册培优练习题

初二数学上册培优练习题一、选择题1. 下列选项中，不是图像的几何变换的是（）。

A. 平移B. 旋转C. 缩放D. 折射2. 以下哪个式子代表了一个比例关系？（）A. 3x + 4 = 10B. 2x - 7 = 5C. 5x = 20D. x + 2 = 33. 铅垂线是指（）。

A. 与水平线垂直的线B. 与直线平行的线C. 与某线段垂直的线D. 与某线段平行的线4. 下列等式中，哪一个属于二元一次方程？（）A. 2x - 3 = 0B. 4x^2 + 5 = 0C. 3x - 2y = 5D. 2x - 3y + 4z = 105. 在平行四边形中，对角线互相平分对方的是（）。

A. 对立边B. 相邻边C. 对称边D. 反对称边二、填空题1. 已知AB是⊙O的直径，如果∠ACB = 45°，则∠ABC =___________度。

2. 三个数的比是3：5：7，如果最小的数是15，则最大的数是__________。

3. 直线l与平面P交于点A，若点A在线段BC的中点上，则BC的位置关系是__________。

4. 等边三角形的内角度数是__________度。

5. 在一组数据中，若减去最大的数后，剩下的数的平均数是15，那么在这组数据中最大的数是__________。

三、解答题1. 如下图所示，在△ABC中，AD是边BC的中线，若AD = 6cm，BC = 10cm，求AB的长度。

2. 用两个相同的正方形拼成一个长方形，其中正方形的边长为2cm，长方形的周长是多少？3. 某商品的原价是200元，现以8折的优惠活动进行促销，求打折后的价格是多少？4. 找出满足下列等式的x与y的值：3x + 5y = 23，x - 2y = 45. 甲、乙两个人一起种了一块地，甲种的速度是每小时15亩，乙种的速度是每小时12亩，如果两人同时种，种完这块地需要多少时间？文章结尾。

以上是初二数学上册的培优练习题，包括选择题、填空题和解答题。

八年级初二数学数学勾股定理的专项培优练习题(含答案

八年级初二数学数学勾股定理的专项培优练习题(含答案一、选择题1．如图，点A 的坐标是(2)2，，若点P 在x 轴上，且APO △是等腰三角形，则点P 的坐标不可能是（）A ．（2，0）B ．（4，0）C ．（－22，0）D ．（3，0） 2．如图，在矩形纸片ABCD 中，AD ＝9，AB ＝3，将其折叠，使点D 与点B 重合，折痕为EF ，那么折痕EF 的长为（）A ．3B ．6C ．10D ．9 3．如图，在Rt ABC ∆中，90, 5 ,3ACB AB cm AC cm ︒∠=== ，动点P 从点B 出发，沿射线BC 以1 /cm s 的速度移动，设运动的时间为t 秒，当∆ABP 为等腰三角形时，t 的值不可能为（）A ．5B ．8C ．254D ．2584．已知三角形的三边长分别为a ，b ，c ，且a+b=10，ab=18,c=8，则该三角形的形状是（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形5．如图，AB ＝AC ，∠CAB ＝90°，∠ADC=45°，AD ＝1，CD ＝3，则BD 的长为（）A ．3B ．11C ．23D ．46．如图，P 为等边三角形ABC 内的一点，且P 到三个顶点A ，B ，C 的距离分别为3，4，5，则△ABC 的面积为（）A ．2539+B ．2539+C ．18253+D ．25318+ 7．三个正方形的面积如图，正方形A 的面积为（）A ．6B ．36C ．64D ．88．我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的三角形，如图所示，已知90A ∠=︒正方形ADOF 的边长是2，4BD =，则CF 的长为（）A ．6B ．2C ．8D ．109．如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE=10，BE=24，则EF 的长是（）A ．14B ．13C ．143D ．14210．如图，在Rt △ABC 中，∠A=90°，AB=6，AC=8，现将Rt △ABC 沿BD 进行翻折，使点A 刚好落在BC 上，则CD 的长为（）A ．10B ．5C ．4D ．3二、填空题11．如图，AB ＝12，AB ⊥BC 于点B ， AB ⊥AD 于点A ，AD ＝5，BC ＝10，E 是CD 的中点，则AE 的长是____ ___．12．如图，在△ABC 中，OA ＝4，OB ＝3，C 点与A 点关于直线OB 对称，动点P 、Q 分别在线段AC 、AB 上(点P 不与点A 、C 重合)，满足∠BPQ ＝∠BAO.当△PQB 为等腰三角形时，OP 的长度是_____．13．以直角三角形的三边为边向外作正方形P ，Q ，K ，若S P =4，S Q =9，则K S =___14．如图所示，“赵爽弦图”是由8个全等的直角三角形拼接而成的，记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为123,,S S S ，已知12310S S S ++=,则2S 的值是____.15．已知x ，y 为一个直角三角形的两边的长，且（x ﹣6）2=9，y =3，则该三角形的第三边长为_____．16．如图，P 是等边三角形ABC 内的一点，且PA=3，PB=4，PC=5，以BC 为边在△ABC 外作△BQC ≌△BPA ，连接PQ ，则以下结论中正确有_____________ (填序号)①△BPQ 是等边三角形 ②△PCQ 是直角三角形 ③∠APB=150° ④∠APC=135°17．如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =5，BC =4，斜边AB 的垂直平分线DE 交边BC 于点D ，连接AD ，线段CD 的长为_________．18．在ABC 中，12AB AC ==，30A ∠=︒，点E 是AB 中点，点D 在AC 上，32DE =，将ADE 沿着DE 翻折，点A 的对应点是点F ，直线EF 与AC 交于点G ，那么DGF △的面积=__________．19．如图的实线部分是由Rt ABC ∆经过两次折叠得到的.首先将Rt ABC ∆沿高CH 折叠，使点B 落在斜边上的点B '处，再沿CM 折叠，使点A 落在CB '的延长线上的点A '处.若图中90ACB ∠=︒，15cm BC =，20cm AC =，则MB '的长为______.20．如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，底边BC 上的高AD ＝6cm ，腰AC 上的高BE ＝4m ，则△ABC 的面积为_____cm 2．三、解答题21．如图，在矩形ABCD 中，AB=8，BC=10，E 为CD 边上一点，将△ADE 沿AE 折叠，使点D 落在BC 边上的点F 处．（1）求BF 的长；（2）求CE 的长．22．定义：如图1，点M 、N 把线段AB 分割成AM 、MN 和BN ，若以AM 、MN 、BN 为边的三角形是一个直角三角形，则称点M 、N 是线段AB 的勾股分割点．（1）已知点M 、N 是线段AB 的勾股分割点，若2AM =，3MN =，求BN 的长；（2）如图2，在Rt ABC △中，AC BC =，点M 、N 在斜边AB 上，45MCN ∠=︒，求证：点M 、N 是线段AB 的勾股分割点（提示：把ACM 绕点C 逆时针旋转90︒）；（3）在（2）的问题中，15ACM ∠=︒，1AM =，求BM 的长．23．已知ABC ∆中，如果过项点B 的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为ABC ∆的关于点B 的二分割线．例如：如图1，Rt ABC ∆中，90A ︒∠=，20C ︒∠=，若过顶点B 的一条直线BD 交AC 于点D ，若20DBC ︒∠=，显然直线BD 是ABC ∆的关于点B 的二分割线．（1）在图2的ABC ∆中，20C ︒∠=，110ABC ︒∠=．请在图2中画出ABC ∆关于点B 的二分割线，且DBC ∠角度是；（2）已知20C ︒∠=，在图3中画出不同于图1，图2的ABC ∆，所画ABC ∆同时满足:①C ∠为最小角；②存在关于点B 的二分割线．BAC ∠的度数是；（3）已知C α∠=，ABC ∆同时满足：①C ∠为最小角；②存在关于点B 的二分割线．请求出BAC ∠的度数（用α表示）．24．如图，△ABC 中AC =BC ，点D ，E 在AB 边上，连接CD ，CE ．(1)如图1，如果∠ACB =90°，把线段CD 逆时针旋转90°，得到线段CF ，连接BF ， ①求证：△ACD ≌△BCF ；②若∠DCE =45°，求证：DE 2=AD 2+BE 2；(2)如图2，如果∠ACB =60°，∠DCE =30°，用等式表示AD ，DE ，BE 三条线段的数量关系，说明理由．25．如图， ABD 为边长不变的等腰直角三角形，AB AD =，90BAD ∠=︒，在 ABD 外取一点 E ，以A 为直角顶点作等腰直角AEP △，其中 P 在ABD 内部，90EAP ∠=︒，2AE AP ==E 、P 、D 三点共线时，7BP =下列结论：①E 、P 、D 共线时，点B 到直线AE 5②E 、P 、D 共线时， 13ADP ABP S S ∆∆+==532ABD S ∆+③； ④作点 A 关于 BD 的对称点 C ，在 AEP 绕点 A 旋转的过程中，PC 的最小值为5+232-；⑤AEP △绕点A 旋转,当点E 落在AB 上，当点P 落在AD 上时，取BP 上一点N ，使得AN BN =，连接 ED ，则AN ED ⊥．其中正确结论的序号是___．26．我国古代数学家赵爽曾用图1证明了勾股定理，这个图形被称为“弦图”.2002年在北京召开的国际数学家大会(ICM 2002)的会标(图2)，其图案正是由“弦图”演变而来.“弦图”是由4个全等的直角三角形与一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形请你根据图1解答下列问题:(1)叙述勾股定理(用文字及符号语言叙述);(2)证明勾股定理;(3)若大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,求()2a b +的值.27．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，把△ABC 沿直线DE 折叠，使△ADE 与△BDE 重合．(1)若∠A ＝35°，则∠CBD 的度数为________；(2)若AC ＝8，BC ＝6，求AD 的长；(3)当AB ＝m(m>0)，△ABC 的面积为m ＋1时，求△BCD 的周长．(用含m 的代数式表示)28．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB 经过点C （a ，a ），且交x 轴于点A （m ，0），交y 轴于点B （0，n ），且m ，n 6m -n ﹣12）2＝0．（1）求直线AB 的解析式及C 点坐标；（2）过点C 作CD ⊥AB 交x 轴于点D ，请在图1中画出图形，并求D 点的坐标；（3）如图2，点E （0，﹣2），点P 为射线AB 上一点，且∠CEP ＝45°，求点P 的坐标．29．如图1，点E 是正方形ABCD 边CD 上任意一点，以DE 为边作正方形DEFG ，连接BF ，点M 是线段BF 中点，射线EM 与BC 交于点H ，连接CM ．（1）请直接写出CM 和EM 的数量关系和位置关系．（2）把图1中的正方形DEFG 绕点D 顺时针旋转45︒，此时点F 恰好落在线段CD 上，如图2，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由．（3）把图1中的正方形DEFG 绕点D 顺时针旋转90︒，此时点E 、G 恰好分别落在线段AD 、CD 上，连接CE ，如图3，其他条件不变，若2DG =，6AB =，直接写出CM 的长度．30．在平面直角坐标系中，点A （0，4），B （m ，0）在坐标轴上，点C ，O 关于直线AB 对称，点D 在线段AB 上．（1）如图1，若m ＝8，求AB 的长；（2）如图2，若m ＝4，连接OD ，在y 轴上取一点E ，使OD ＝DE ，求证：CE ＝2DE ；（3）如图3，若m ＝43，在射线AO 上裁取AF ，使AF ＝BD ，当CD +CF 的值最小时，请在图中画出点D 的位置，并直接写出这个最小值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【详解】解：（1）当点P在x轴正半轴上，①以OA为腰时，∵A的坐标是（2，2），∴∠AOP=45°，OA=22，∴P的坐标是（4，0）或（22，0）；②以OA为底边时，∵点A的坐标是（2，2），∴当点P的坐标为：（2，0）时，OP=AP；（2）当点P在x轴负半轴上，③以OA为腰时，∵A的坐标是（2，2），∴OA= 22∴OA=AP=2∴P的坐标是（-220）．故选D．2．C解析：C【分析】做点F 做FH AD ⊥交AD 于点H ，因此要求出EF 的长，只要求出EH 和HF 即可；由折叠的性质可得BE=DE=9-AE ，在Rt ABE △中应用勾股定理求得AE 和BE ，同理在Rt BC F 'Rt ABE △中应用勾股定理求得BF ，在Rt EFH 中应用勾股定理即可求得EF ．【详解】过点F 做FH AD ⊥交AD 于点H ．∵四边形EFC B '是四边形EFCD 沿EF 折叠所得，∴ED=BE ，CF=C F '，3BC CD '==∵ED=BE ，DE=AD-AE=9-AE∴BE=9-AE∵Rt ABE △，AB=3，BE=9-AE∴()22293AE AE -=+∴AE=4∴DE=5∴9C F BC BF BF '=-=-∴Rt BC F '，3BC '=,9C F BF '=-∴()22293BF BF -+=∴BF=5，EH=1∵Rt EFH ，HF=3，EH=1 ∴22223110EF EH HF =+=+故选：C ．【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 3．C解析：C【分析】根据ABP △为等腰三角形，分三种情况进行讨论，分别求出BP 的长度，从而求出t 值即可．【详解】在Rt ABC 中，222225316BC AB AC =-=-=，4BC cm ∴=，①如图，当AB BP =时， 5 ,5BP cm t ==；②如图，当AB AP =时，∵AC BP ⊥，∴28 BP BC cm ==，8t =；③如图，当BP AP =时，设AP BP xcm ==，则4,3( )CP x cm AC cm =-=，∵在Rt ACP 中，222AP AC CP =+，∴()22234x x =+-，解得：258x =， ∴258t =，综上所述，当ABP △为等腰三角形时，5t =或8t =或258t =．故选：C ．【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，注意分类讨论．4．B解析：B【解析】【分析】根据完全平方公式利用a+b=10，ab=18求出22a b +，即可得到三角形的形状.【详解】∵a+b=10，ab=18，∴22a b +=（a+b ）2-2ab=100-36=64，∵,c=8，∴2c =64，∴22a b +=2c ，∴该三角形是直角三角形，故选：B.【点睛】此题考查勾股定理的逆定理，完全平方公式，能够利用完全平方公式由已知条件求出22a b +是解题的关键.5．B解析：B【分析】过点A 作AE ⊥AD 交CD 于E ，连接BE ，利用SAS 可证明△BAE ≌△CAD ，利用全等的性质证得∠BED=90°，最后根据勾股定理即可求出BD.【详解】解：如图，过点A 作AE ⊥AD 交CD 于E ，连接BE.∵∠DAE=90°，∠ADE=45°，∴∠ADE=∠AED=45°，∴AE=AD=1，∴在Rt △ADE 中，22112+=∵∠DAE=∠BAC=90°，∴∠DAE+∠EAC=∠BAC+∠EAC ，即∠CAD=∠BAE ，又∵AB=AC,∴△BAE ≌△CAD(SAS)，∴CD=BE=3，∠AEB=∠ADC=45°，∴∠BED=90°，∴在Rt △BED 中，()22223211BE DE +=+=故选B.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键.6．A解析：A【解析】分析：将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，根据旋转的性质得BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°，则△BPE为等边三角形，得到PE=PB=4，∠BPE=60°，在△AEP中，AE=5，延长BP，作AF⊥BP于点F．AP=3，PE=4，根据勾股定理的逆定理可得到△APE为直角三角形，且∠APE=90°，即可得到∠APB的度数，在直角△APF中利用三角函数求得AF和PF的长，则在直角△ABF中利用勾股定理求得AB的长，进而求得三角形ABC的面积．详解：∵△ABC为等边三角形，∴BA=BC，可将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，连EP，且延长BP，作AF⊥BP于点F．如图，∴BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°，∴△BPE为等边三角形，∴PE=PB=4，∠BPE=60°，在△AEP中，AE=5，AP=3，PE=4，∴AE2=PE2+PA2，∴△APE为直角三角形，且∠APE=90°，∴∠APB=90°+60°=150°．∴∠APF=30°，∴在直角△APF中，AF=12AP=32，PF=3AP=332．∴在直角△ABF中，AB2=BF2+AF2=（4+332）2+（32）2=25+123．则△ABC的面积是3•AB2=3•（25+12）253故选A．点睛：本题考查了等边三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理以及旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．7．B解析：B【分析】根据直角三角形的勾股定理，得：两条直角边的平方等于斜边的平方．再根据正方形的面积公式，知：以两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积．【详解】解：A的面积等于100-64=36；故选：B．【点睛】本题主要考查勾股定理的证明：以两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积．8．A解析：A【分析】设CF=x，则AC=x+2，再由已知条件得到AB=6，BC=6+x，再由AB2+AC2=BC2得到62+（x+2）2=（x+4）2，解方程即可．【详解】设CF=x，则AC=x+2，∵正方形ADOF的边长是2，BD=4，△BDO≌△BEO，△CEO≌△CFO，∴BD=BE，CF=CE，AD=AF=2，∴AB=6，BC=6+x，∵∠A=90°，∴AB2+AC2=BC2，∴62+（x+2）2=（x+4）2，解得：x=6，即CF=6，故选：A．【点睛】考查正方形的性质、勾股定理，解题关键是设CF=x，则AC=x+2，利用勾股定理得到62+（x+2）2=（x+4）2．9．D解析：D【分析】24和10为两条直角边长时，求出小正方形的边长14，即可利用勾股定理得出EF的长．【详解】解：∵AE=10，BE=24，即24和10为两条直角边长时，小正方形的边长=24-10=14，∴EF=22+=．1414142故选D．【点睛】本题考查了勾股定理、正方形的性质；熟练掌握勾股定理是解决问题的关键．10．B解析：B【分析】根据“在Rt△ABC中”和“沿BD进行翻折”可知，本题考察勾股定理和翻折问题，根据勾股定理和翻折的性质，运用方程的方法进行求解．【详解】∵∠A=90°，AB=6，AC=8，∴BC=2286+=10，根据翻折的性质可得A′B=AB=6，A′D=AD，∴A′C=10-6=4．设CD=x，则A′D=8-x，根据勾股定理可得x2-（8-x）2=42，解得x=5，故CD=5．故答案为：B．【点睛】本题考察勾股定理和翻折问题，根据勾股定理把求线段的长的问题转化为方程问题是解决本题的关键．二、填空题11．5【详解】解：如图，延长AE交BC于点F，∵点E是CD的中点,∴DE=CE，,∵AB⊥BC，AB⊥AD,∴AD∥BC,∴∠ADE=∠BCE且DE=CE，∠AED=∠CEF,∴△AED≌△FEC（ASA）,∴AD=FC=5，AE=EF,∴BF=BC-FC=5,∴在Rt △ABF 中，13AF ==,6.52AF AE == 故答案为：6.5．12．1或78【分析】分为三种情况：①PQ BP =，②BQ QP =，③BQ BP =，由等腰三角形的性质和勾股定理可求解．【详解】解：分为3种情况：①当PB PQ =时，4=OA ，3OB =，∴5BC AB ===， C 点与A 点关于直线OB 对称，BAO BCO ∴∠=∠，BPQ BAO ∠=∠，BPQ BCO ∴∠=∠，APB APQ BPQ BCO CBP ∠=∠+∠=∠+∠，APQ CBP ∴∠=∠，在APQ 和CBP 中，BAO BCP APQ B PQ B P C P ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨=⎪⎩， ()APQ CBP AAS ∴△≌△，∴5AP BC ==，1OP AP OA ∴=-=；②当BQ BP =时，BPQ BQP ∠=∠，BPQ BAO ∠=∠，BAO BQP ∴∠=∠，根据三角形外角性质得：BQP BAO ∠>∠，∴这种情况不存在；③当QB QP =时，QBP BPQ BAO ∠=∠=∠，PB PA ∴=，设OP x =，则4PB PA x ==-在Rt OBP △中，222PB OP OB =+，222(4)3x x ∴-=+，解得：78x =； ∴当PQB △为等腰三角形时，1OP =或78；【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，解题的关键是熟练掌握所学的性质进行解题，注意分类讨论．13．5或13【分析】根据已知可得题意中的图是一个勾股图，可得S P +S Q =S K 为从而易求S K ．【详解】解：如下图所示，若A=S P =4．B=S Q =9，C=S K ，根据勾股定理，可得A+B=C ，∴C=13．若A=S P =4．C=S Q =9，B=S K ，根据勾股定理，可得A+B=C ，∴B=9-4=5．∴S K 为5或13．故答案为：5或13．【点睛】本题考查了勾股定理．此题所给的图中，以直角三角形两直角边为边所作的正方形的面积和等于以斜边为边所作的正方形的面积．14．103. 【分析】根据八个直角三角形全等，四边形ABCD ，EFGH ，MNKT 是正方形，得出CG=NG ，CF=DG=NF ，再根据()21S CG DG =+，22S GF =，()23S NG NF =-，12310S S S ++=，即可得出答案.【详解】∵八个直三角形全等，四边形ABCD ，EFGH ，MNKT 是正方形∴CG=NG ，CF=DG=NF∴()2222122S CG DG CG DG CG DG GF CG DG =+=++=+ 22S GF =()22232S NG NF NG NF NG NF =-=+-∴2222212322310S S S GF CG DG GF NG NF NG NF GF ++=+⋅+++-⋅== ∴2103GF =故2103S = 故答案为103. 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，用到的知识点由勾股定理和正方形、全等三角形的性质.15．【解析】【详解】∵（x-6）2=9，∴x-6=±3，解得：x 1=9，x 2=3，∵x ，y 为一个直角三角形的两边的长，y=3，∴当x=3时，x 、y =；当x=9时，x 、y =；当x=9时，x 为斜边、y 为直角边，则第三边为263922=-.故答案为：【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，正确分类讨论是解决问题的关键，解题时注意一定不要漏解．16．①②③【解析】【详解】解：∵△ABC 是等边三角形，60ABC ∴∠=，∵△BQC ≌△BPA ，∴∠BPA =∠BQC ，BP =BQ =4，QC =PA =3，∠ABP =∠QBC ，60PBQ PBC CBQ PBC ABP ABC ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=，∴△BPQ 是等边三角形，①正确.∴PQ =BP =4，2222224325,525PQ QC PC +=+===，222PQ QC PC ∴+=，90PQC ∴∠=，即△PQC 是直角三角形，②正确.∵△BPQ 是等边三角形，60PBQ BQP ∴∠=∠=，∵△BQC ≌△BPA ，∴∠APB =∠B QC ，6090150BPA BQC ∴∠=∠=+=，③正确.36015060150APC QPC QPC ∴∠=---∠=-∠，90PQC PQ QC ∠=≠，，45QPC ∴∠≠，即135APC ∠≠，④错误.故答案为①②③.17．78．【解析】∵∠C =90°，AB =5，BC =4，∴AC ．∵AB 的垂直平分线DE 交边BC 于点D ，∴BD =AD ．设CD =x ，则AD =BD =4-x ，在Rt △ACD 中，2223(4)x x +=- ，解得：78x =．故答案为：78．18．9或9【分析】通过计算E 到AC 的距离即EH 的长度为3，所以根据DE 的长度有两种情况：①当点D 在H 点上方时，②当点D 在H 点下方时，两种情况都是过点E 作EH AC ⊥交AC 于点E ，过点G 作GQ AB ⊥交AB 于点Q ，利用含30°的直角三角形的性质和勾股定理求出AH,DH 的长度，进而可求AD 的长度，然后利用角度之间的关系证明AG GE =，再利用等腰三角形的性质求出GQ 的长度，最后利用2DGF AED AEG SS S =-即可求解．【详解】①当点D 在H 点上方时，过点E 作EH AC ⊥交AC 于点E ，过点G 作GQ AB ⊥交AB 于点Q ，12AB = ，点E 是AB 中点，162AE AB ∴== ． ∵EH AC ⊥，90AHE ∴∠=︒ ．30,6A AE ∠=︒=，132EH AE ∴== ， 22226333AH AE EH ∴=-=-=． 32DE =，2222(32)33DH DE EH ∴=-=-= ， DH EH ∴=，333AD AH DH =-=， 45EDH ∴∠=︒，15AED EDH A ∴∠=∠-∠=︒ ．由折叠的性质可知，15DEF AED ∠=∠=︒， 230AEG AED ∴∠=∠=︒ ，AEG A ∴∠=∠，AG GE ∴= ．又GQ AE ⊥ ，132AQ AE ∴== ． 30A ∠=︒ ，12GQ AG ∴=． 222GQ AQ AG += ，即2223(2)GQ GQ +=， 3GQ ∴= ．2DGF AED AEG S S S =- ，112(333)36363922DGF S ∴=⨯⨯-⨯-⨯⨯=-； ②当点D 在H 点下方时，过点E 作EH AC ⊥交AC 于点E ，过点G 作GQ AB ⊥交AB 于点Q ，12AB = ，点E 是AB 中点，162AE AB ∴== ． ∵EH AC ⊥，90AHE ∴∠=︒．30,6A AE ∠=︒= ，132EH AE ∴== ， 22226333AH AE EH ∴=-=-=．32DE =，2222(32)33DH DE EH ∴=-=-= ，DH EH ∴=，3AD AH DH =+=，45DEH ∴∠=︒ ，90105AED A DEH ∴∠=︒-∠+∠=︒ ．由折叠的性质可知，105DEF AED ∠=∠=︒，218030AEG AED ∴∠=∠-︒=︒ ，AEG A ∴∠=∠，AG GE ∴= ．又GQ AE ⊥ ，132AQ AE ∴== ． 30A ∠=︒，12GQ AG ∴= ． 222GQ AQ AG += ，即2223(2)GQ GQ +=，GQ ∴= ．2DGF AED AEG S S S =- ，1123)36922DGF S ∴=⨯⨯⨯-⨯=，综上所述，DGF △的面积为9或9．故答案为：9或9．【点睛】本题主要考查折叠的性质，等腰三角形的判定及性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，含30°的直角三角形的性质，能够作出图形并分情况讨论是解题的关键． 19．3【分析】根据题意利用折叠后图形全等，并利用等量替换和等腰三角形的性质进行综合分析求解.【详解】解：由题意可知','ACM A CM BCH B CH ≅≅,∵15cm BC =，20cm AC =，∴'15,'20,BC B C cm AC A C cm ====''20155A B cm =-=，∵90ACB ∠=︒，∴'A M AB ⊥(等量替换)，CH AB ⊥（三线合一），∴25,AB cm = 利用勾股定理假设MB '的长为m ，'257AM AM m ==-，则有222(257)5m m +-=，解得3m =，所以MB '的长为3.【点睛】本题考查几何的翻折问题，熟练掌握并综合利用等量替换和等腰三角形的性质以及勾股定理分析是解题的关键.20．【分析】根据三角形等面积法求出32AC BC = ，在Rt△ACD 中根据勾股定理得出AC 2=14BC 2+36，依据这两个式子求出AC 、BC 的值.【详解】 ∵AD 是BC 边上的高，BE 是AC 边上的高， ∴12AC•BE＝12BC•AD， ∵AD＝6，BE ＝4， ∴AC BC ＝32， ∴22AC BC ＝94， ∵AB＝AC ，AD⊥BC，∴BD＝DC ＝12BC ， ∵AC 2﹣CD 2＝AD 2，∴AC 2＝14BC 2+36， ∴221364BC BC +＝94，整理得，BC 2＝3648⨯，解得：BC＝∴△ABC 的面积为12×cm 2故答案为：【点睛】本题考查了三角形的等面积法以及勾股定理的应用，找出AC 与BC 的数量关系是解答此题的关键．三、解答题21．（1）BF长为6；（2）CE长为3，详细过程见解析．【分析】（1）由矩形的性质及翻折可知，∠B=90°，AF=AD=10，且AB=8，在Rt△ABF中，可由勾股定理求出BF的长；（2）设CE=x，根据翻折可知，EF=DE=8-x，由（1）可知BF=6，则CF=4，在Rt△CEF中，可由勾股定理求出CE的长．【详解】解：（1）∵四边形ABCD为矩形，∴∠B=90°，且AD=BC=10，又∵AFE是由ADE沿AE翻折得到的，∴AF=AD=10，又∵AB=8，在Rt△ABF中，由勾股定理得：，故BF的长为6．（2）设CE=x ，∵四边形ABCD为矩形，∴CD=AB=8，∠C=90°，DE=CD-CE=8-x，又∵△AFE是由△ADE沿AE翻折得到的，∴FE=DE=8-x，由（1）知：BF=6，故CF=BC-BF=10-6=4，CF+CE=EF，在Rt△CEF中，由勾股定理得：222∴2224+x=(8-x)，解得：x=3，故CE的长为3．【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等，利用勾股定理求解是本题的关键．22．（12）见解析；（3）2【分析】（1）分两种分割法利用勾股定理即可解决问题；（2）如图，过点A作AD⊥AB，且AD=BN．只要证明△ADC≌△BNC，推出CD=CN，∠ACD=∠BCN，再证明△MDC≌△MNC，可得MD=MN，由此即可解决问题；（3）过点B作BP⊥AB，使得BP=AM=1，根据题意可得△CPB≌△CMA，△CMN≌△CPN，利用全等性质推出∠BNP=30°，从而得到NB和NP的长，即得BM.【详解】解：（1）当MN最长时，，当BN最长时，（2）证明：如图，过点A作AD⊥AB，且AD=BN，在△ADC和△BNC中，AD BN DAC B AC BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADC ≌△BNC （SAS ），∴CD=CN ，∠ACD=∠BCN ，∵∠MCN=45°，∴∠DCA+∠ACM=∠ACM+∠BCN=45°，∴∠MCD=∠MCN ，在△MDC 和△MNC 中，CD CN MCD MCN CM CM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△MDC ≌△MNC （SAS ），∴MD=MN在Rt △MDA 中，AD 2+AM 2=DM 2，∴BN 2+AM 2=MN 2，∴点M ，N 是线段AB 的勾股分割点；（3）过点B 作BP ⊥AB ，使得BP=AM=1，根据（2）中过程可得：△CPB ≌△CMA ，△CMN ≌△CPN ，∴∠AMC=∠BPC=120°，AM=PB=1，∠CMN=∠CPN=∠A+∠ACM=45°+15°=60°，∴∠BPN=120°-60°=60°，∴∠BNP=30°，∴NP=2BP=2=MN ，∴BN=22213-=，∴BM=MN+BN=23+.【点睛】本题是三角形的综合问题，考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．23．（1）作图见解析，20DBC ∠=︒；（2）作图见解析，35BAC ∠=︒；（3）∠A =45°或90°或90°－2α或1452α︒-，或α＝45°时45°＜∠BAC ＜90°．【分析】（1）根据二分割线的定义，只要把∠ABC 分成90°角和20°角即可；（2）可以画出∠A=35°的三角形；（3）设BD 为△ABC 的二分割线，分以下两种情况．第一种情况：△BDC 是等腰三角形，△ABD 是直角三角形；第二种情况：△BDC 是直角三角形，△ABD 是等腰三角形分别利用直角三角形的性质、等腰三角形的性质和三角形的内角和定理解答即可．【详解】解：（1）ABC ∆关于点B 的二分割线BD 如图4所示，20DBC ∠=︒；故答案为：20°；（2）如图所示：∠BAC=35°；（3）设BD 为△ABC 的二分割线，分以下两种情况．第一种情况：△BDC 是等腰三角形，△ABD 是直角三角形，易知∠C 和∠DBC 必为底角， ∴∠DBC ＝∠C ＝α．当∠A ＝90°时，△ABC 存在二分分割线；当∠ABD ＝90°时，△ABC 存在二分分割线，此时∠A ＝90°－2α；当∠ADB ＝90°时，△ABC 存在二分割线，此时α＝45°且45°＜∠A ＜90°；第二种情况：△BDC 是直角三角形，△ABD 是等腰三角形，当∠DBC ＝90°时，若BD ＝AD ，则△ABC 存在二分割线，此时1809014522A αα︒-︒-∠==︒-；当∠BDC ＝90°时，若BD ＝AD ，则△ABC 存在二分割线，此时∠A ＝45°，综上，∠A=45°或90°或90°－2α或1452α︒-，或α＝45°时，45°＜∠BAC＜90°．【点睛】本题考查的是二分割线的理解与作图，属于新定义题型，主要考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质和三角形的内角和定理等知识，正确理解二分割线的定义、熟练掌握等腰三角形和直角三角形的性质是解答的关键．24．（1）①详见解析；②详见解析；（2）DE2=EB2+AD2+EB·AD，证明详见解析【分析】（1）①根据旋转的性质可得CF=CD，∠DCF=90°，再根据已知条件即可证明△ACD≌△BCF；②连接EF，根据①中全等三角形的性质可得∠EBF=90°，再证明△DCE≌△FCE得到EF=DE 即可证明；（2）根据（1）中的思路作出辅助线，通过全等三角形的判定及性质得出相等的边，再由勾股定理得出AD，DE，BE之间的关系．【详解】解：（1）①证明：由旋转可得CF=CD，∠DCF=90°∵∠ACD=90°∴∠ACD=∠BCF又∵AC=BC∴△ACD≌△BCF②证明：连接EF，由①知△ACD≌△BCF∴∠CBF=∠CAD=∠CBA=45°，∠BCF=∠ACD，BF=AD∴∠EBF=90°∴EF2=BE2+BF2，∴EF2=BE2+AD2又∵∠ACB=∠DCF=90°，∠CDE=45°∴∠FCE=∠DCE=45°又∵CD=CF，CE=CE∴△DCE≌△FCE∴EF=DE∴DE2= AD2+BE2⑵DE2=EB2+AD2+EB·AD理由：如图2，将△ADC 绕点C 逆时针旋转60°，得到△CBF ，过点F 作FG ⊥AB ，交AB 的延长线于点G ，连接EF ，∴∠CBE=∠CAD ，∠BCF=∠ACD ， BF=AD∵AC=BC ，∠ACB=60°∴∠CAB=∠CBA =60°∴∠ABE=120°，∠EBF=60°，∠BFG=30°∴BG=12BF ，FG=3BF ∵∠ACB=60°，∠DCE=30°，∴∠ACD+∠BCE=30°，∴∠ECF=∠FCB+∠BCE=30°∵CD=CF ，CE=CE∴△ECF ≌△ECD∴EF=ED在Rt △EFG 中，EF 2=FG 2+EG 2又∵EG=EB+BG∴EG=EB+12BF ， ∴EF 2=（EB+12BF ）2+（3BF ）2 ∴DE 2= （EB+12AD ）2+（3AD ）2 ∴DE 2= EB 2+AD 2+EB ·AD【点睛】本题考查了全等三角形的性质与旋转模型，解题的关键是找出全等三角形，转换线段，并通过勾股定理的计算得出线段之间的关系．25．②③⑤【分析】①先证得ABE ADP ≅，利用邻补角和等腰直角三角形的性质求得90PEB ∠=︒，利用勾股定理求出BE ，即可求得点B 到直线AE 的距离；②根据①的结论，利用APD ABP ABE APB S S S S ∆∆∆+=+AEP BEP S S ∆∆=+即可求得结论； ③在Rt AHB 中，利用勾股定理求得2AB ，再利用三角形面积公式即可求得ABD S ∆；④当A P C 、、共线时，PC 最小，利用对称的性质，AB BC =的长，再求得AC 的长，即可求得结论；⑤先证得ABP ADE ≅，得到ABP ADE ∠=∠，根据条件得到ABP NAB ∠=∠，利用互余的关系即可证得结论．【详解】①∵ABD 与AEP 都是等腰直角三角形，∴90BAD ∠=︒，90EAP ∠=︒，AB AD =，AE AP =，45APE AEP ∠=∠=︒， ∴EAB PAD ∠=∠， ∴()ABE ADP SAS ≅，∴180********AEB APD APE ∠=∠=︒-∠=︒-︒=︒，∴1354590PEB AEB AEP ∠=∠-∠=︒-︒=︒，∴222PE BE PB +=，∵2AE AP ==，90EAP ∠=︒， ∴22PE AE ==，∴()22227BE +=，解得：3BE =，作BH ⊥AE 交AE 的延长线于点H ，∵45AEP ∠=︒，90PEB ∠=︒， ∴180180904545HEB PEB AEP ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，∴26sin 453HB BE =︒==， ∴点B 到直线AE 6，故①错误； ②由①知：ABE ADP ≅，2EP =，3BE =∴APD ABP ABE APB S S S S ∆∆∆∆+=+AEP BEP S S ∆∆=+1122AE AP PE EB =⨯⨯+⨯⨯112223 22=⨯⨯+⨯⨯13=+，故②正确；③在Rt AHB中，由①知：6EH HB==，∴62AH AE EH=+=+，2222225662322AB AH BH⎛⎫⎛⎫=+=++=+⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭，21153222ABDS AB AD AB∆=⋅==+，故③正确；④因为AC是定值，所以当A P C、、共线时，PC最小，如图，连接BC，∵A C、关于BD的对称，∴523AB BC==+∴225231043AC BC==+=+∴minPC AC AP=-，10432=+⑤∵ABD与AEP都是等腰直角三角形，∴90BAD∠=︒，90EAP∠=︒，AB AD=，AE AP=，在ABP和ADE中，AB ADBAP DAEAP AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ABP ADE SAS≅，∴ABP ADE∠=∠，∵AN BN=，∴ABP NAB∠=∠，∴EAN ADE∠=∠，∵90EAN DAN∠+∠=︒，∴90ADE DAN ∠+∠=︒，∴AN DE ⊥，故⑤正确；综上，②③⑤正确，故答案为：②③⑤．【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，三角形的面积公式，综合性强，全等三角形的判定和性质的灵活运用是解题的关键．26．（1）见解析；（2）证明见解析；（3）25.【分析】（1）直接叙述勾股定理的内容，并用字母表明三边关系；（2）利用大正方形面积、小正方形面积和4个直角三角形的面积和之间的关系列式整理即可证明；（3）将原式利用完全平方公式展开，由勾股定理的内容可得出()2a b +为大正方形面积和4个直角三角形的面积和，根据已知条件即可求得.【详解】解：（1）勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．在直角三角形中，两条直角边分别为 a 、b ，斜边为 c ，a 2+b 2= c 2．（2）∵ S 大正方形=c 2，S 小正方形=(b-a)2，4 S Rt △=4×12ab=2ab ， ∴ c 2=2ab+(b-a)2=2ab+b 2-2ab+a 2=a 2+b 2，即 a 2+b 2= c 2．（3）∵ 4 S Rt △= S 大正方形- S 小正方形=13-1=12,∴ 2ab=12.∴ (a+b)2= a 2+b 2+2ab=c 2+2ab=13+12=25.【点睛】本题考查勾股定理的内容及勾股定理的几何验证，利用等面积法证明勾股定理及运用勾股定理是解答此题的关键.27．（1）∠CBD=20°；（2）AD=164；(3) △BCD 的周长为m+2 【分析】（1）根据折叠可得∠1=∠A=35°，根据三角形内角和定理可以计算出∠ABC=55°，进而得到∠CBD=20°；（2）根据折叠可得AD=DB，设CD=x，则AD=BD=8-x，再在Rt△CDB中利用勾股定理可得x2+62=（8-x）2，再解方程可得x的值，进而得到AD的长；（3）根据三角形ACB的面积可得11 2AC CB m=+，进而得到AC•BC=2m+2，再在Rt△CAB中，CA2+CB2=BA2，再把左边配成完全平方可得CA+CB的长，进而得到△BCD的周长．【详解】（1）∵把△ABC沿直线DE折叠，使△ADE与△BDE重合，∴∠1=∠A=35°，∵∠C=90°，∴∠ABC=180°-90°-35°=55°，∴∠2=55°-35°=20°，即∠CBD=20°；（2）∵把△ABC沿直线DE折叠，使△ADE与△BDE重合，∴AD=DB，设CD=x，则AD=BD=8-x，在Rt△CDB中，CD2+CB2=BD2，x2+62=（8-x）2，解得：x= 74，AD=8-74=164；（3）∵△ABC 的面积为m+1，∴12AC•BC=m+1，∴AC•BC=2m+2，∵在Rt△CAB中，CA2+CB2=BA2，∴CA2+CB2+2AC•BC=BA2+2AC•BC，∴（CA+BC）2=m2+4m+4=（m+2）2，∴CA+CB=m+2，∵AD=DB，∴CD+DB+BC=m+2．即△BCD的周长为m+2．【点睛】此题主要考查了图形的翻折变换，以及勾股定理，完全平方公式，关键是掌握勾股定理，以及折叠后哪些是对应角和对应线段．28．（1）y＝－2x＋12，点C坐标（4，4）；（2）画图形见解析，点D坐标（－4，0）；（3）点P的坐标（143-，643）【分析】（1）由已知的等式可求得m、n的值，于是可得直线AB的函数解析式，把点C的坐标代入可求得a的值，由此即得答案；（2）画出图象，由CD⊥AB知1AB CDk k=-可设出直线CD的解析式，再把点C代入可得CD的解析式，进一步可求D点坐标；（3）如图2，取点F（－2，8），易证明CE⊥CF且CE＝CF，于是得∠PEC＝45°，进一步求出直线EF的解析式，再与直线AB联立求两直线的交点坐标，即为点P.【详解】解：（1）∵6m-＋（n﹣12）2＝0，∴m＝6，n＝12，∴A（6，0），B（0，12），设直线AB解析式为y＝kx＋b，则有1260bk b=⎧⎨+=⎩，解得212kb=-⎧⎨=⎩，∴直线AB解析式为y＝－2x＋12，∵直线AB过点C（a，a），∴a＝－2a＋12，∴a＝4，∴点C坐标（4，4）．（2）过点C作CD⊥AB交x轴于点D，如图1所示，设直线CD解析式为y＝12x＋b′，把点C（4，4）代入得到b′＝2，∴直线CD解析式为y＝12x＋2，∴点D坐标（－4，0）．（3）如图2中，取点F （－2，8），作直线EF 交直线AB 于P ，图2∵直线EC 解析式为y ＝32x －2，直线CF 解析式为y ＝－23x ＋203， ∵32×（－23）＝－1， ∴直线CE ⊥CF ，∵EC ＝13CF ＝13∴EC ＝CF ，∴△FCE 是等腰直角三角形，∴∠FEC ＝45°，∵直线FE 解析式为y ＝－5x －2，由21252y x y x =-+⎧⎨=--⎩解得143643x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴点P 的坐标为（1464,33-）. 【点睛】本题是一次函数的综合题，综合考查了坐标系中两直线的垂直问题、两条直线的交点问题和求特殊角度下的直线解析式，并综合了勾股定理和等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是熟知坐标系中两直线垂直满足121k k =-，一次函数的交点与对应方程组的解的关系.其中，第（3）小题是本题的难点，寻找到点F （－2，8）是解题的突破口.29．（1）,CM ME CM EM =⊥；（2）见解析；（3）25CM =【解析】【分析】(1)证明ΔFME ≌ΔAMH ，得到HM=EM ，根据等腰直角三角形的性质可得结论. （2）根据正方形的性质得到点A 、E 、C 在同一条直线上,利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知. （3）如图3中，连接EC ，EM ，由（1）（2）可知，△CME 是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质解决问题即可．【详解】解：（1）结论：CM ＝ME ，CM ⊥EM ．理由：∵AD ∥EF ，AD ∥BC ，∴BC ∥EF ，∴∠EFM ＝∠HBM ，在△FME 和△BMH 中，EFM MBH FM BMFME BMH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△FME ≌△BMH （ASA ），∴HM ＝EM ，EF ＝BH ，∵CD ＝BC ，∴CE ＝CH ，∵∠HCE ＝90°，HM ＝EM ，∴CM ＝ME ，CM ⊥EM ．（2）如图2，连接BD ，∵四边形ABCD 和四边形EDGF 是正方形，∴45,45FDE CBD ︒︒∠=∠=∴点B E D 、、在同一条直线上，∵90,90BCF BEF ︒︒∠=∠=，M 为BF 的中点， ∴12CM BF =，12EM BF =，∴CM ME =， ∵45EFD ∠=︒，∴135EFC ∠=︒，∵CM FM ME ==，∴,MCF MFC MFE MEF ∠=∠∠=∠∴135MCF MEF ∠+∠=︒，∴36013513590CME ∠=︒-︒-︒=︒，∴CM ME ⊥．（3）如图3中，连接EC ，EM ．由（1）（2）可知，△CME是等腰直角三角形，∵22=+=EC26210∴CM＝EM＝25【点睛】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定定理和性质定理以及直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．30．（1）AB＝45；（2）见解析；（3）CD+CF的最小值为47.【分析】（1）根据勾股定理可求AB的长；（2）过点D作DF⊥AO，根据等腰三角形的性质可得OF＝EF，根据轴对称的性质等腰直角三角形的性质可得AF＝DF，设OF＝EF＝x，AE＝4﹣2x，根据勾股定理用参数x表示DE，CE的长，即可证CE＝2DE；（3）过点B作BM⊥OB，在BM上截取BM＝AO，过点C作CN⊥BM，交MB的延长线于点N，根据锐角三角函数可得∠ABO＝30°，根据轴对称的性质可得AC＝AO＝4，BO＝BC ＝43，∠ABO＝∠ABC＝30°，∠OAB＝∠CAB＝60°，根据“SAS”可证△ACF≌△BMD，可得CF＝DM，则当点D在CM上时，CF+CD的值最小，根据直角三角形的性质可求CN，BN的长，根据勾股定理可求CM的长，即可得CF+CD的最小值．【详解】（1）∵点A（0，4），B（m，0），且m＝8，∴AO＝4，BO＝8，在Rt△ABO中，AB＝2245+=AO BO（2）如图，过点D作DF⊥AO，∵DE＝DO，DF⊥AO，∴EF＝FO，∵m＝4，∴AO＝BO＝4，∴∠ABO＝∠OAB＝45°，。

初二数学数学全全等三角形截长补短的专项培优练习题(及答案

初二数学数学全全等三角形截长补短的专项培优练习题(及答案一、全等三角形截长补短1．已知ABC 是等边三角形，6AB =．（1）如图1，点M 是BC 延长线上一点，60AMN ∠=︒，MN 交ABC 的外角平分线于点N ，求CN CM -的值；（2）如图2，过点A 作AD BC ⊥于点D ，点P 是直线AD 上一点，以CP 为边，在CP 的下方作等边CPQ ，连接DQ ，求DQ 的最小值．2．（1）问题背景：如图1：在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝120°，∠B ＝∠ADC ＝90°，E 、F 分别是BC ，CD 上的点且∠EAF ＝60°，探究图中线段BE 、EF 、FD 之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD 到点G ．使DG ＝BE ．连结AG ，先证明 ABE ≌ADG ，再证明AEF ≌AGF ，可得出结论，他的结论应是______________；（2）探索延伸：如图2，若在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B +∠D ＝180°．E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且∠EAF 12=∠BAD ，上述结论是否仍然成立，并说明理由；（3）实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O 处）北偏西30°的A 处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B 处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以45海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50°的方向以60海里/小时的速度前进，2小时后，指挥中心观测到甲、乙两地分别到达E 、F 处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．3．阅读题：如图1，OM 平分AOB ∠，以O 为圆心任意长为半径画弧，交射线OA ，OB 于C ，D 两点，在射线OM 上任取一点E （点O 除外），连接CE ，DE ，可证OCE ODE △△≌，请你参考这个作全等的方法，解答下列问题：（1）如图2，在ABC 中，2A B ∠=∠，CD 平分ACB ∠交AB 于点D ，试判断BC 与AC 、AD 之间的数量关系；（2）如图3，在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，10BC CD ==，20AB =，8AD =，求ABC 的面积．4．通过类比联想、引申拓展典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整．（解决问题）如图，点E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，45EAF ∠=︒，连接EF ，则EF BE DF =+，试说明理由．证明：延长CD 到G ，使DG BE =，在ABE △与ADG 中，90AB AD B ADG BE DG =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴ABE ADG ≌理由：（SAS ）进而证出：AFE △≌___________，理由：（__________）进而得EF BE DF =+．（变式探究）如图，四边形ABCD 中，AB AD =，90BAD ∠=︒点E 、F 分别在边BC 、CD 上，45EAF ∠=︒．若B 、D ∠都不是直角，则当B 与D ∠满足等量关系________________时，仍有EF BE DF =+．请证明你的猜想．（拓展延伸）如图，若AB AD =，90≠︒∠BAD ，45EAF ∠≠︒，但12EAF BAD ∠=∠，90B D ∠=∠=︒，连接EF ，请直接写出EF 、BE 、DF 之间的数量关系．5．如图1．在平面直角坐标系中，四边形OBCD 是正方形，(0,3)D ，点E 是OB 延长线上一点，M 是线段OB 上一动点（不包括O 、B ），作MN DM ⊥，交CBE ∠的平分线于点N ．（1）直接写出点C 的坐标；（2）求证：MD MN =；（3）如图2，若(2, 0)M ，在OD 上找一点P ，使四边形MNCP 是平行四边形，求直线PN 的解析式．6．（1）方法选择如图①，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，连接AC ，BD ，AB BC AC ==，求证：BD AD CD =+．小颖认为可用截长法证明：在DB 上截取DM AD =，连接AM ……小军认为可用补短法证明：延长CD 至点N ，使得DN AD =……请你选择一种方法证明．（2）类比探究探究1如图②，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，连接AC ，BD ，若BC 是⊙O 的直径，AB AC =，试用等式表示线段AD ，BD ，CD 之间的数量关系，并证明你的结论．探究2如图③，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，连接AC ，BD ．若BC 是⊙O 的直径，::::BC AC AB a b c =，则线段AD ，BD ，CD 之间的等量关系式是______．7．如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 均为中点，连接AF 、DE 交于点P ，连接PC ，证明：2PE PF PC +=．8．如图，在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠B =∠D =90°，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF =12∠BAD ．求证：EF =BE +FD ．9．已知，在ABCD 中，AB BD AB BD E ⊥=，，为射线BC 上一点，连接AE 交BD 于点F .（1）如图1，若E 点与点C 重合，且25AF =AD 的长；（2）如图2，当点E 在BC 边上时，过点D 作DG AE ⊥于G ，延长DG 交BC 于H ，连接FH .求证：AF DH FH =+．（3）如图3，当点E 在射线BC 上运动时，过点D 作DG AE ⊥于G M ，为AG 的中点，点N 在BC 边上且1BN =，已知42AB =，请直接写出MN 的最小值．10．阅读下面材料，完成（1）﹣（3）题数学课上，老师出示了这样一道题：如图，四边形ABCD ，AD ∥BC ，AB =AD ，E 为对角线AC 上一点，∠BEC =∠BAD =2∠DEC ，探究AB 与BC 的数量关系．某学习小组的同学经过思考，交流了自己的想法：小柏：“通过观察和度量，发现∠ACB =∠ABE ”；小源：“通过观察和度量，AE 和BE 存在一定的数量关系”；小亮：“通过构造三角形全等，再经过进一步推理，就可以得到线段AB 与BC 的数量关系”．……老师：“保留原题条件，如图2， AC 上存在点F ，使DF =CF =k AE ，连接DF 并延长交BC 于点G ，求AB FG的值”．（1）求证：∠ACB =∠ABE ；（2）探究线段AB 与BC 的数量关系，并证明；（3）若DF =CF =k AE ，求AB FG的值（用含k 的代数式表示）．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、全等三角形截长补短1．（1）6；（2）32【分析】（1）在CN 上截取点H ，使CH=CM ，先证出△CMH 为等边三角形，然后利用ASA 证出△AMC ≌△NMH ，从而得出AC=NH ，从而求出结论；（2）连接BQ ，利用SAS 证出△QCB ≌△PCA ，从而得出∠CBQ=∠CAP ，然后根据三线合一和等量代换即可求出∠CBQ=30°、∠ABQ =90°，从而判断出点Q 的运动轨迹，然后根据垂线段最短即可得出当DQ ⊥BQ 时，DQ 最短，然后利用30°所对的直角边是斜边的一半即可得出结论．【详解】解：（1）在CN 上截取点H ，使CH=CM ，连接MH∵△ABC 为等边三角形∴∠ACB=60°，AC=AB=6∴∠ACM=180°－∠ACB=120°∵CN 平分∠ACM∴∠MCN=12∠ACM=60° ∴△CMH 为等边三角形 ∴CM=HM ，∠CMH=∠CHM=60°∴∠NHM=180°－∠CHM=120°，∠AMC ＋∠AMH=60°∴∠ACM=∠NHM∵60AMN ∠=︒∴∠NMH ＋∠AMH=60°∴∠AMC=∠NMH在△AMC 和△NMH 中AMC NMH CM HMACM NHM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△AMC ≌△NMH∴AC=NH∴CN CM -=CN －CH=NH=AC=6（2）连接BQ∵△ABC 和△CPQ 都是等边三角形∴BC=AC ，QC=PC ，∠PCQ =∠ACB=∠ABC=∠BAC =60°∴∠PCQ －∠PCB=∠ACB －∠PCB∴∠QCB=∠PCA在△QCB 和△PCA 中BC AC QCB PCA QC PC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△QCB ≌△PCA∴∠CBQ=∠CAP∵AD BC ⊥∴∠CAP=12∠BAC=30°，BD=12BC=3 ∴∠CBQ=30°∴∠ABQ=∠ABC ＋∠CBQ=90°∴点Q 在过点B 作AB 的垂线上运动根据垂线段最短可得：当DQ ⊥BQ 时，DQ 最短此时在Rt △BDQ 中，∠QBD=30°∴DQ=12BD=32即DQ 的最小值为32．【点睛】此题考查的是全等三角形的判定及性质、等边三角形的判定及性质、直角三角形的性质和垂线段最短的应用，掌握构造全等三角形的方法、全等三角形的判定及性质、等边三角形的判定及性质、30°所对的直角边是斜边的一半和垂线段最短是解决此题的关键． 2．（1）EF ＝BE +DF ；（2）结论EF ＝BE +DF 仍然成立；（3）此时两舰艇之间的距离是210海里【分析】（1）延长FD 到点G ，使DG=BE ．连结AG ，即可证明ABE≌ADG ，可得AE=AG ，再证明AEF ≌AGF ，可得EF=FG ，即可解题；（2）延长FD 到点G ，使DG=BE ．连结AG ，即可证明ABE≌ADG ，可得AE=AG ，再证明AEF ≌AGF ，可得EF=FG ，即可解题；（3）连接EF ，延长AE 、BF 相交于点C ，然后与（2）同理可证．【详解】解：（1）EF ＝BE +DF ，证明如下：在ABE 和ADG 中， DG BE B ADG AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴ABE ≌ADG （SAS ），∴AE ＝AG ，∠BAE ＝∠DAG ，∵∠EAF 12=∠BAD ， ∴∠GAF ＝∠DAG +∠DAF ＝∠BAE +∠DAF ＝∠BAD ﹣∠EAF ＝∠EAF ，∴∠EAF ＝∠GAF ，在AEF 和GAF 中，AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴AEF ≌AGF （SAS ），∴EF ＝FG ，∵FG ＝DG +DF ＝BE +DF ，∴EF ＝BE +DF ；故答案为 EF ＝BE +DF ．（2）结论EF ＝BE +DF 仍然成立；理由：延长FD 到点G ．使DG ＝BE ．连结AG ，如图2，在ABE 和ADG 中，DG BE B ADG AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴ABE ≌ADG （SAS ），∴AE ＝AG ，∠BAE ＝∠DAG ，∵∠EAF 12=∠BAD ， ∴∠GAF ＝∠DAG +∠DAF ＝∠BAE +∠DAF ＝∠BAD ﹣∠EAF ＝∠EAF ，∴∠EAF ＝∠GAF ，在AEF 和GAF 中，AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴AEF ≌AGF （SAS ），∴EF ＝FG ，∵FG ＝DG +DF ＝BE +DF ，∴EF ＝BE +DF ；（3）如图3，连接EF ，延长AE 、BF 相交于点C ，∵∠AOB ＝30°+90°+（90°﹣70°）＝140°，∠EOF ＝70°，∴∠EOF 12=∠AOB ，又∵OA ＝OB ，∠OAC +∠OBC ＝（90°﹣30°）+（70°+50°）＝180°，∴符合探索延伸中的条件，∴结论EF ＝AE +BF 成立，即EF ＝2×（45+60）＝210（海里）．答：此时两舰艇之间的距离是210海里．【点睛】本题考查了全等三角形的判定以及全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△AEF ≌△AGF 是解题的关键．3．（1）BC=AC+AD ；（2）△ABC 的面积为80．【分析】（1）在CB 上截取CE=CA ，则由题意可得AD=DE ，∠CED=∠A ，再结合∠A=2∠B 可得DE=BE ，从而得到BC=AD+AC ；（2）在AB 上截取AE=AD ，连结CE ，过C 作CF ⊥AB 于F 点，由题意可得EC=BC ，从而得到EF 的长度，再由勾股定理根据EC 、EF 的长度求得CF 的长度，最后根据面积公式可以得到解答．【详解】解：（1）如图，在CB 上截取CE=CA ，则由题意得：△CAD ≌△CED ，∴AD=DE ，∠CED=∠A ，∵∠A=2∠B ，∴∠CED=2∠B ，又∠CED=∠B+∠EDB ，∴∠B+∠EDB=2∠B ，∴∠EDB=∠B ，∴DE=BE ，∴BC=BE+CE=DE+CE=AD+AC ；（2）如图，在AB 上截取AE=AD ，连结CE ，过C 作CF ⊥AB 于F 点，∴由题意可得：△CDA ≌△CEA ，∴EC=CD=BC=10，AE=AD=8，∵CF ⊥AB ，∴EF=FB=208622AB AE --==， ∴22221068CF EC EF =--=，∴112088022ABC S AB CF =⨯=⨯⨯=．【点睛】本题考查三角形全等的综合运用，熟练掌握三角形全等的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理是解题关键．4．（1）AFE AFG △≌△，理由：SAS ；（2）180B D ∠+∠=︒，证明见解析；（3）BE+DF=EF ．【分析】（1）在前面已证的基础上，得出结论AE AG =，进而证明AFE AFG △≌△，从而得出结论；（2）利用“解决问题”中的思路，同样去构造AFE AFG △≌△即可；（3）利用前面两步的思路，证明全等得出结论即可．【详解】（1）ABE ADG ≌，,,AE AG BAE DAG BE DG ∴=∠=∠=，则BAE FAD FAD ADG FAG ∠+∠=∠+∠=∠，45EAF ∠=︒，45FAG ∴∠=︒，在AFG 与AFE △中，AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ AFE AFG ∴△≌△，理由：（SAS ）EF FG FD DG FD BE ∴==+=+；（2）满足180B D ∠+∠=︒即可，证明如下：如图，延长FD 至G ，使BE DG =，180B ADF ∠+∠=︒，180ADF ADG ∠+∠=︒，B ADG ∴∠=∠，在ABE △与ADG 中，AB AD B ADG BE DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ABE ADG SAS ∴≌，,,AE AG BAE DAG BE DG ∴=∠=∠=，则BAE FAD FAD ADG FAG ∠+∠=∠+∠=∠，45EAF ∠=︒，45FAG ∴∠=︒，在AFG 与AFE △中，AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠AFE AFG ∴△≌△，理由：（SAS ）EF FG FD DG FD BE ∴==+=+；（3）BE+DF=EF ．证明如下：如图，延长FD 至G ，使BE DG =，在ABE △与ADG 中，90AB AD B ADG BE DG =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩()ABE ADG SAS ∴≌，,AE AG BAE DAG ∴=∠=∠，则BAE FAD FAD ADG FAG ∠+∠=∠+∠=∠， 12EAF BAD ∠=∠，12FAG EAD FAE ∴∠=∠=∠，在AFG 与AFE △中，AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ AFE AFG ∴△≌△，理由：（SAS ）EF FG FD DG FD BE ∴==+=+；．【点睛】本题考查了截长补短的方法构造全等三角形，能够理解前面介绍的方法并继续探究是解决问题的关键．5．（1）(3,3)C ；（2）证明见解析；（3）115y x =+ 【分析】（1）由正方形的性质求得点C 的坐标；（2）在OD 上取OH=OM ，连接HM ，只要证明△DHM ≌△MBN 即可．（3）作NE ⊥OB 于E ，只要证明△DMO ≌△MNE 即可求得点N 的坐标．由平行四边形的对边相互平行且相等的性质求得点P 的坐标，然后由待定系数法确定函数解析式．【详解】（1）∵四边形OBCD 是正方形，(0,3)D∴(3,3)C故答案为：(3,3)C（2）如图，在OD 上截取OH OM =，连接HM ．∵OD=OB ，OH=OM ，∴HD=MB ，∠OHM=∠OMH ，∴∠DHM=180°−45°=135°，∵NB 平分∠CBE ，∴∠NBE=45°∴∠NBM=180°−45°=135°∴∠DHM=∠NBM ，∵∠DMN=90°∴∠DMO+∠NMB=90°∵∠HDM+∠DMO=90°∴∠HDM=∠NMB ，在△DHM 和△MBN 中， HDM NME DH MB DHM NBM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴DHM MBN ∆∆≌∴MD MN =．（3）如图，作NE OB ⊥于E ，由M(2,0)知OM=2，∵∠DMN=90°∴∠DMO+∠NME=90°，∠NME+∠MNE=90°∴∠DMO=∠MNE ，在△DMO 和△MNE 中，90DOM NEM DMO MNEDM MN ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DMO ≌△MNE∴ME=DO=3，NE=OM=2，∴OE=OM+ME=3+2=5，∴点N 坐标(5,2)，∵四边形MNCP 是平行四边形，C(3,3)，∴P(0,1)设直线PN 的解析式为：y=kx+b(k≠0)则b 152k b =⎧⎨+=⎩解得b 115k =⎧⎪⎨=⎪⎩故直线PN 的解析式为：y=15x+1；故答案为：115y x =+ 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形和正方形的性质，及用待定系数法求一次函数解析式，本题是一次函数和几何问题的综合． 6．（1）见解析；（2）①2BD CD =+，见解析，②c a BD CD AD b b=+ 【分析】（1）根据题中所给的截长法或补短法思路解题，利用全等三角形的性质解题即可．（2）探究1 要求AD 、BD 、CD 之间的数量关系，结合（1）中所给方法，在BD 上截取BM CD =，再利用全等三角形及等腰直角三角形的性质进行求解．探究2 要求AD 、BD 、CD 之间的数量关系，以AD 为边构造直角三角形，再利用相似的性质求解．【详解】（1）截长法证明：如图①-1，在DB 上截取DM AD =，连接AM ，AB BC AC ==，ABC ∴是等边三角形，60ABC ACB BAC ∴∠=∠=∠=︒．60ADB ACB ∴∠=∠=︒，DM AD =，AMD ∴△是等边三角形，60MAD ∴∠=︒，AM AD =．BAM CAD ∴∠=∠，()BAM CAD SAS ∴△≌△，BM CD ∴=，BD DM BM AD CD ∴=+=+；补短法证明：如图①-2，延长CD 至点N ，使得DN AD =，DAN DNA ∴∠=∠．AB AC BC ==，ABC ∴为等边三角形，60ABC ACB BAC ∠=∠=∠=︒．60ADB ACB ∴∠=∠=︒，60BDC BAC ∠=∠=︒，18060ADN BDC ADB ∴∠=︒-∠-∠=︒，ADN ∴为等边三角形，AD AN =，60DAN ∠=︒．BAD CAN ∴∠=∠．在BAD 和CAN △中，AB AC BAD CAN AD AN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BAD CAN SAS ∴△≌△，BD CN ∴=，又CN CD DN CD AD =+=+，BD CD AD ∴=+．（2）探究1 解：2BD AD CD =+；证明：如图②，在BD 上截取BM CD =，连接AM ，BC 是O 的直径，AB AC =，90BAC ∴∠=︒，45ABC ACB ∠=∠=︒．45ADM ACB ∴∠=∠=︒，在BAM 和CAD 中，,AB AC ABM ACD BM CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()BAM CAD SAS ∴△≌△，AM AD ∴=，BAM CAD ∠=∠．45AMD ADM ∴∠=∠=︒，90MAD ∠=︒．AMD ∴△是等腰直角三角形，2MD AD ∴=．BD MD BM =+，2BD AD CD ∴=+；探究2 解：c a BD CD AD b b=+．如图③，过点A 作AM AD ⊥交BD 于点M ，BC 是O 的直径，90BAC ∴∠=︒，BAC MAD ∴∠=∠，BAM CAD ∴∠=∠，ABM DCA ∠=∠，BAM CAD ∴△∽△，BM AB c CD AC b ∴==，c BM CD b ∴=，又ADM ACB ∠=∠，MAD BAC ∠=∠，ADM ACB ∴△∽△，DM BC a AD AC b ∴==，a DM AD b∴=， BD BM MD =+，c a BD CD AD b b∴=+．【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，正确作出辅助线，熟练运用图形的性质是解题的关键．7．见解析【分析】延长DE 至N ，使得EN PF =，连接CN ，先证明()ADF DCE SAS △≌△，可得AFD DEC ∠=∠，即CFP CEN ∠=∠，再通过证明()CEN CFP SAS △≌△，可得CN CP =，ECN PCF ∠=∠，即可证明NCP 是等腰直角三角形，即2PN PE NE PC =+=，从而得证2PE PF PC +=．【详解】证明：如图，延长DE 至N ，使得EN PF =，连接CN ，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，CE DF ∴=，在ADF 和DCE 中，,90,,AD CD ADF DCE DF CE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩()ADF DCE SAS ∴△≌△，AFD DEC ∴∠=∠，CFP CEN ∴∠=∠，在CEN 和CFP 中，,,,CE CF CEN CFP EN PF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()CEN CFP SAS ∴△≌△，CN CP ∴=，ECN PCF ∠=∠，90PCF BCP ∠+∠=︒，90ECN BCP NCP ∴∠+∠=∠=︒，NCP ∴△是等腰直角三角形， 2PN PE NE PC ∴=+=．即2PE PF PC +=．【点睛】本题考查了正方形的性质和全等三角形的综合问题，掌握全等三角形的性质以及判定定理是解题的关键．8．证明见解析．【分析】延长EB 到G ，使BG =DF ，连接AG ．先说明△ABG ≌△ADF ，然后利用全等三角形的性质和已知条件证得△AEG ≌△AEF ，最后再运用全等三角形的性质和线段的和差即可解答．【详解】延长EB 到G ，使BG =DF ，连接AG ．∵∠ABG =∠ABC =∠D =90°，AB =AD ，∴△ABG ≌△ADF ．∴AG =AF ，∠1=∠2．∴∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF =12∠BAD ． ∴∠GAE =∠EAF ．又∵AE =AE ，∴△AEG ≌△AEF ．∴EG =EF ．∵EG =BE +BG ．∴EF =BE +FD【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，做出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键． 9．（1）42AD =；（2）见解析；（3）MN 的最小值为3．【分析】（1）如图1中，利用等腰三角形的性质可得90ABD ∠=︒，利用平行四边形的性质可得F 为BD 中点，在Rt ABF ∆中，由勾股定理可求得BF ，则可求得AB ，在Rt ABD ∆中，再利用勾股定理可求得AD ；（2）如图2中，在AF 上截取AK HD =，连接BK ，可先证明ABK DBH ∆≅∆，再证明BFK BFH ∆≅∆，可证得结论；（3）连接AN 并延长到Q ，使NQ AN =，连接GQ ，取AD 的中点O ，连接OG ，得到90AGD ∠=︒，于是得到点G 的轨迹是以O 为圆心，以OG 为半径的弧，且4OG =，求得GQ 最小值为6，根据三角形的中位线定理即可得到结论．【详解】（1）45AB BD BAD =∠=︒,，45BDA BAD ∴∠=∠=︒90 ABD ∴∠=︒，四边形ABCD 是平行四边形，∴当点E 与点C 重合时，1122BF BD AB == 在Rt ABF 中，222AF AB BF =+()()222252BF BF ∴=+ 24BF AB ∴==,Rt ABD ∴中，42AD =.（2）证明：如图2中，在AF 上截取AK HD =，连接BK ，23AFD ABF FGD ∠=∠+∠=∠+∠，90ABF FGD ∠=∠=︒，23∴∠=∠，在ABK 和DBH ∆中，23AB BD AK HD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ABK DBH ∴∆≅∆，BK BH ∴=，61∠=∠，AK DH =，四边形ABCD 是平行四边形，//AD BC ∴，41645∴∠=∠=∠=︒，5645ABD ∴∠=∠-∠=︒，51∴∠=∠，在FBK ∆和FBH ∆中，51BF BF BK BH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， FBK FBH ∴∆≅∆，KF FH ∴=，AF AK KF =+，AF DH FH ∴=+；()3解：连接AN 并延长到Q ，使NQ AN =，连接GQ ，取AD 的中点O ，连接OG ，作AK ⊥BC ，交BC 延长线于点K ，作QP ⊥AD ，交AD 延长线于点P ．90AGD ∠=︒，∴点G 的轨迹是以O 为圆心，以OG 为半径的弧，且4OG =，根据△ABD 为等腰直角三角形，可得AD 228AB BD +=, ∴AO=142AD =，根据△ABK 为等腰直角三角形，可得AK =BK =4，可得QE =PE =4，∴PQ =8，∵BK=4,BN =1，∴KN =5，∴KE=AP =10，∴OP =6，10OQ ∴=，4OG =，GQ ∴最小值为6，MN 是AGQ ∆的中位线，MN ∴的最小值为3．【点睛】本题考查四边形综合题、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、中位线定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形．10．（1）见解析；（2）CB=2AB ；（3）23AB k FG = 【分析】（1）利用平行线的性质以及角的等量代换求证即可；（2）在BE 边上取点H ，使BH=AE ，可证明△ABH ≌△DAE ，△ABE ∽△ACB ，利用相似三角形的性质从而得出结论；（3）连接BD 交AC 于点Q ，过点A 作AK ⊥BD 于点K ，得出12AD DK CB DB ==，通过证明△ADK ∽△DBC 得出∠BDC=∠AKD=90°，再证DF=FQ ，设AD=a ，因此有DF=FC=QF=ka ，再利用相似三角形的性质得出AC=3ka ，3AB ka =，1122FG DF ka ==，从而得出答案．【详解】解：（1）∵∠BAD=∠BEC∠BAD=∠BAE+∠EAD∠BEC=∠ABE+BAE∴∠EAD=∠ABE∵AD ∥BC∴∠EAD=∠ACB∴∠ACB=∠ABE（2）在BE 边上取点H ，使BH=AE∵AB=AD∴△ABH ≌△DAE∴∠AHB=∠AED∵∠AHB+∠AHE=180°∠AED+∠DEC=180°∴∠AHE=∠DEC∵∠BEC=2∠DEC∠BEC=∠HAE+∠AHE∴∠AHE=∠HAE∴AE=EH∴BE=2AE∵∠ABE=∠ACB∠BAE=∠CAB∴△ABE ∽△ACB ∴EB AE CB AB= ∴CB=2AB ；（3）连接BD 交AC 于点Q ，过点A 作AK ⊥BD 于点K∵AD=AB∴12DK BD =∠AKD=90°∵12AB AD BC == ∴12AD DK CB DB == ∵AD ∥BC∴∠ADK=∠DBC∴△ADK ∽△DBC∴∠BDC=∠AKD=90°∵DF=FC∴∠FDC=∠DFC∵∠BDC=90°∴∠FDC+∠QDF=90°∠DQF+∠DCF=90°∴DF=FQ设AD=a∴DF=FC=QF=ka∵AD ∥BC∴∠DAQ=∠QCB∠ADQ=∠QBC∴△AQD ∽△CQB ∴12AD QA BC CQ== ∴AQ=ka=QF=CF∴AC=3ka∵△ABE ∽△ACB ∴AE AB AB AC= ∴AB =同理△AFD ∽△CFG12DF AF FG FC == ∴1122FG DF ka ==AB FG = 【点睛】本题是一道关于相似的综合题目，难度较大，根据题目作出合适的辅助线是解此题的关键，解决此题还需要较强的数形结合的能力以及较强的计算能力．。