现代控制理论中线性变换矩阵的构造方法
《自动控制原理》线性定常系统的线性变换及结构分解 (2)
y = 0
2
1
xc x
c
3．系统按可观测性得结构分解
系统按可观测性结构分解的所有结论，都对偶于系统按可控性
结构分解的结果。设不可观测系统的动态方程为
•
x = Ax + Bu, y = Cx
（9－201）
其中，x为n维状态向量；u为p维输入向量；y为q维输出向量。系统
得可观测性矩阵为
C
V
=
CA
xcTo
xT co
xT co
xT co
，相应地使原动态方程中的A, B,C 矩阵变换成某种标
准构造的形式。
结构分解的过程或方法可先从整个系统的可控性分解开始，将可控
与不可控的状态变量分离开，继而分别对可控和不可控子系统进行
可观测性分解，便可以分离出四类状态变量及四类子系统。当然，
结构分解的过程也可以从系统的可观测性分解开始。下面着重介绍
整个系统的输出响应
y(t)
均与不可控子系统的状态
x c
有关。
3)由于选取非奇异变换阵 P−1 的列向量s1, s2 ,, sr 及sr+1,, sn的非惟 一性，虽然系统可控性规范分解的形式不变，但诸系数阵不相同， 故可控性规范分解不是惟一的。 设一个可控性规范分解系统为（ A, B,C ），（书Ver6没有）
xco
可控
可观
x
co 可控 不可观
x co
不可控
可观
x co
不可控
不可观
由对应状态变量构成的子空间也分为四类，因而系统也对应分成了四
类子系统，称为系统的结构分解，也有的参考文献称此为系统的规范分解。
研究结构分解可以更明显地揭示系统的内部结构特性和传递特性。
现代控制理论线性变换
1.6 状态方程的线性变换 如前所述，一个 阶系统必有 个状态变量。然而， 阶系统必有n个状态变量 如前所述，一个n阶系统必有 个状态变量。然而，这n个状 个状 态变量的选择却不是唯一的。但它们之间存在着线性变换关系。 态变量的选择却不是唯一的。但它们之间存在着线性变换关系。 1.6.1 状态向量的线性变换 1. 定义：状态 与 ~ 的变换，称为状态的线性变换。 定义：状态x与 x 的变换，称为状态的线性变换。 由于状态变量是状态空间中的一组基底. 因此， 由于状态变量是状态空间中的一组基底. 因此，状态变换 的实质就是状态空间基底（坐标）的变换。线性变换关系为： 的实质就是状态空间基底（坐标）的变换。线性变换关系为：
R
u (t )
L
C
y (t )
解：根据电路原理，得基本方程 根据电路原理，
di L dt + Ri + uc = ur C duc = i dt
16
1. 选x1 = i, x2 = uc
R 1 1 & i = − L i − L uc + L ur u = 1 i &c C
6
例: 已知系统的传递函数
4s + 8 G(s) = 3 2 s + 8s + 19 s + 12
求其状态空间表达式. 求其状态空间表达式. 解:
4 1 s+2 G ( s) = × × s +1 s + 3 s + 4
给出其模拟结构图(板书) 并给出其状态空间表达式. 给出其模拟结构图(板书), 并给出其状态空间表达式.
17
பைடு நூலகம்
% % & 2.取 x1 = uc , x2 = uc
现代控制理论 4-2 非奇异线性变换的不变特性
c⎡ 1
⎢ ⎢
s
−
λ1
y ( ) sI
−
A
−1 b
=
⎢ ⎢
⎢
⎢
tc ⎢
⎢⎣
1 s − λ2
O
1
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥
⎡α1 ⎢⎢α 2 ⎢M ⎢⎣α n
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
=
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢
α1
s − λ1 α2
s − λ2 M αn
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥
=
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢
y = CPP−1(sI − A)−1PP−1B + D tc = C(sI − A)−1B + D = G(s)
A = P−1AP, B = P−1B, C = CP, D = D
系统可控性 不变！
e[ ] rank S′ = rank B AB A2B L An−1B [ a ] ( ) ( ) = rank P−1B P−1APP−1B P−1AP 2 P−1B L P−1AP n−1P−1B c[ ] = rank P−1B P−1AB P−1A2B L P−1An−1B y [ ] = rank P−1 B AB A2B L An−1B tc [ ] = rank B AB A2B L An−1B = rank S
a 可控、可观性、传递函数 不变！ 不可控！
前页
c( ) sI − A −1b
返回
tcy =
⎡ ⎢ ⎢ ⎢
s
α01 − λ1 α2
⎢ ⎢ ⎢ ⎢
s
− λ2 M αn
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥
=
提取最小公分母
(s −1λ1) (s − λ11)(s − λ2 )L(s − λn
(整理)05 第五节 线性变换的矩阵表示.
第五节 线性变换的矩阵表示分布图示★ 线性变换的矩阵表示式★ 线性变换在给定基下的矩阵★ 线性变换与其矩阵的关系★ 例1 ★ 例2 ★ 例3★ 线性变换在不同基下的矩阵 ★ 例4★ 内容小结 ★ 课堂练习★ 习题6-5内容要点一、线性变换在给定基下的矩阵定义1 设T 是线性空间n V 中的线性变换，在n V 中取定一个基,,,,21n ααα 如果这个基在变换T 下的象为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯+++=+++=,)(,)(,)(22112222112212211111n nn n n n n n n n a a a T a a a T a a a T αααααααααααα 记 )),(,),(),((),,,(2121n n T T T T αααααα = 则上式可表示为A T n n ),,,(),,,(2121αααααα =，其中A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nn n n n n a a a a a a a a a 212222111211, 那末，则称A 为线性变换T 在基n ααα,,,21 下的矩阵. 显然，矩阵A 由基的象)(,),(),(21n T T T ααα 唯一确定.二、线性变换与其矩阵的关系设A 是线性变换T 在基n ααα,,21 ，下的矩阵，即基n ααα,,,21 在变换T 下的象为 ),,,(21n T ααα =A n ),,,(21ααα ,结论 在n V 中取定一个基后，由线性变换T 可唯一地确定一个矩阵A ，由一个矩阵A 也可唯一地确定一个线性变换T . 故在给定基的条件下，线性变换与矩阵是一一对应的.三、线性变换在不同基下的矩阵已知同一个线性变换在不同的基下有不同的矩阵，那么这些矩阵之间有什么关系呢？ 定理1 设线性空间n V 中取定两个基n ααα,,,21 ；n βββ ,,21，由基n ααα,,,21 到基n βββ ,,21的过渡矩阵为P ，n V 中的线性变换T 在这两个基下的矩阵依次为A 和B ，则AP P B 1-=.定理表明：B 与A 相似，且两个矩阵之间的过渡矩阵P 就是相似变换矩阵. 定义2 线性变换T 的象空间)(n V T 的维数，称为线性变换T 的秩.结论 (ⅰ) 若A 是T 的矩阵，则T 的秩就是)(A r .(ⅱ) 若T 的秩为r ，则T 的核r S 的维数为r n -.例题选讲线性变换与其矩阵的关系例1 (E01) 在3][x P 中, 取基1p =3x ,2p =2x ,3p =x ,4p =1,求微分运算D 的矩阵.解 ,03003002020001100000432124432134321243211⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++==+++==+++==+++==p p p p x Dp p p p p x Dp p p p p Dp p p p p Dp 所以D 在这组基下的矩阵为=A .0000300002000010⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛例2 (E02) 实数域R 上所有一元多项式的集合，记作][x P ,][x P 中次数小于n 的所有一元多项式(包括零多项式)组成的集合记作n x P ][, 它对于多项式的加法和数与多项式的乘法，构成R 上的一个线性空间。
线性变换的矩阵
线性变换可以用矩阵表示，矩阵 的行数和列数分别与输入和输出 空间的维数相等。
线性变换的性质
01
02
03
线性变换具有齐次性，即对于任 意标量k和任意向量x，有 kT(x)=T(kx)。
线性变换具有加法性质，即对于 任意两个向量x和y，有 T(x+y)=T(x)+T(y)。
线性变换具有数乘性质，即对于 任意标量k和任意向量x，有 T(kx)=kT(x)。
04
线性变换的矩阵表示方法
向量空间中的线性变换
线性变换的定义
线性变换是向量空间中一种保持向量加法和标量乘法不变的映射。
线性变换的性质
线性变换具有传递性、加法性质、数乘性质和结合性质。
线性变换的分类
根据映射的性质，线性变换可以分为可逆线性变换和不可逆线性 变换。
向量空间中的矩阵表示
矩阵的定义
矩阵是数学中一个重要的概 念，它由数字组成，按照一 定的排列顺序形成。
线性变换的几何意义
线性变换可以理解为在向量空间中，将一个向量 进行平移、旋转、缩放等几何变换。
线性变换可以用来描述物理现象，如力的合成与 分解、速度和加速度的合成等。
线性变换可以用来解决实际问题，如图像处理、 信号处理、控制系统等领域。
02
矩阵与线性变换的关系
矩阵表示线性变换
01
矩阵是线性变换的一种简洁表示形式，可以将线性变换中的 变换关系用矩阵的形式表示出来。
矩阵乘法的结果是一个新的向量，这个向量的坐标值是原向量在新的基下 的坐标值。
线性变换的矩阵表示
01
对于一个给定的线性变换，可 以找到一个矩阵，使得该矩阵 左乘任意向量时，等价于对该 向量进行该线性变换。
现代控制理论 4-1 状态空间表达式的线性变换
2
⎥ ⎦
P −1
=
⎡2 ⎢⎣1
1⎤ 1⎥⎦
cΛ = P−1AP
=
⎡−1 ⎢
⎣
⎤ − 2⎥⎦
b = P−1b
=
⎡2 ⎢⎣1
1⎤ ⎡0⎤ 1⎥⎦ ⎢⎣1⎥⎦
=
⎡1⎤ ⎢⎣1⎥⎦
tcy c = cP
= [1
1]⎢⎣⎡−11
−1⎤ 2 ⎥⎦
=
[0
1]
d = d = 0 返回
前页
4
⎡ ⎢ ⎣
x&1 (t )⎤ x&2 (t)⎥⎦
O O
⎤
⎥
⎥
1⎥
λ1
⎥ ⎦
⇒ ⎪⎪⎪⎨L(λ1I − A)p2 = −p1 ⎪⎩(λ1I − A)pm = −pm−1
pm+1,L, pn 为互异实特征值对应的特征向量，满足：
tc Api = λipi (i = m +1,L,n)
返回
(2) A为友矩阵，有m重实特征值 λ1 ，对应1个独立的 实特征向量 p1；另外有n-m个互异实特征值 λm+1,L, λn
时只有1个独立的实特征向量 p1
返回
10
非奇异线性变换矩阵
[ ] P = p1 p2 L pm | pm+1 L pn J = P−1AP
e p2,L,pm 为广义实特征向量，满足：
a A[p1 p2 L pm]=
⎧(λ1I − A)p1 = 0
c y [p1
p2
L
⎡λ1 ⎢
p
m
]⎢
⎢
⎢
⎣
1 λ1
=
⎡2 ⎢⎣1
1⎤ ⎡− 1⎤ 1⎥⎦⎢⎣ 1 ⎥⎦
线性变换的矩阵和线性空间的同构
(1,2,3)
T
及T(
)基1
,
2
,
下的坐标
3
;
(3)向量
及T(
)基1,
2
,
下的坐标
3
.
解：(1)通过计算求得T(1) 1 1 2 ,
T(2 ) 2 1 2 3,
T(3 ) 3 1 22 3.
1 1 1
因此T在基1,
2
,
下的矩
3
阵表示A
1
1
2 .
0 1 1
(2)设
k1
的行列式
-a11 a12 |I-A|= a21 -a22
令N(A)={ F n|A 0},R(A)={ F n| =A , F n},
则1)dim N (T ) dim N ( A); 2)dim R(T ) dim R( A) r( A); 3)(亏加秩)dim N ( A) dim R( A) n.
定理5 设T L(V,V),则T在不同基下的矩阵相似.
,
映射T：R
2
R 3由下式子确定
1
T ( ) B , R2.
求T在基1 (1,0)T，2 (0,1)T 与基1 (1,0,0)T， 2 (0,1,0)T , 3 (0,0,1)T 下的矩阵表示A.
解T(1) (1,1,0)T 1 2, T(2 ) (2,1,1)T 21 2 3.
线性映射的性质：
(1) T(0)=0.
s
s
(2) T( kii )= kiT (i )
i1
i1
(3)1, ,s线性相关，则T(1),
,T (s )也线性相关
注意：1, ,s线性无关，则T(1), ,T (s )不一定线性无关.
第五章 线性变换 S2 线性变换的矩阵
§5.2.2 线性变换在不同基底下矩阵的关系
设线性空间V中线性变换T在两组基底[1, 2,…, n] 和[1, 2,…, n]下的矩阵为A和B，且由基底[1, 2,…, n] 到[1, 2,…, n]的过渡矩阵为M，即
[T1,T2, ,Tn] 1,2, ,n A
T1,T2, ,Tn 1,2, ,n B
0 1
0 1
=E21+E22
(T+S)(E22)=T(E22)+S(E22)=E22N+ME22
0 1
01 =E21–E22
23 23
(T S )( E11 ) 2E11 E12 2E21
即
(T (T
S S
)( )(
E12 E21
) )
E11
2E22 E21 E22
(T S )( E22 )
唯一. 且
x11 x2 2 xn n
又T是线性变换，（保持线性组合不变）必有
2
2
T T ( x11 x2 2 xn n )
x1T1 x2T 2 xnT n
(1)
这说明当已知 T1,T 2 , ,T n 时，每个向量的象 由(1)确定，即线性变换被完全确定.
定理1 设[1, 2,…, n]是线性空间V的一个基底，T是V 上的线性变换. 则线性变换T被该基底的象T1, T2,…, Tn所确定.
由定理1知道T是唯一的，因此我们找到了所求
的线性变换T——其在基底[1, 2,…, n]下的矩阵恰为
任意的n阶矩阵A.
定理2 对于每个n阶矩阵A，在n维线性空间V中必存
在唯一的线性变换T，使得T在V中给定的基底
下的矩阵为A.
9
9
矩阵的线性变换与应用
矩阵的线性变换与应用矩阵是线性代数中一个重要的概念，它在各个领域都有着广泛的应用。
矩阵的线性变换是指通过矩阵对向量进行变换的操作，它在几何学、物理学、计算机科学等学科领域起着重要作用。
本文将从线性变换的基本定义开始，介绍矩阵的线性变换以及其在实际应用中的一些例子。
一、线性变换的基本定义线性变换是指在向量空间中，通过一个矩阵对向量进行变换的运算。
设有一个向量空间V，定义一个矩阵A，对于任意的向量v1、v2∈V和任意的标量c，满足以下条件：1. A(v1 + v2) = Av1 + Av2（向量的加法）2. A(cv1) = c(Av1)（向量的数乘）满足以上两个条件的变换称为线性变换，对应的矩阵A称为线性变换的矩阵。
二、矩阵的线性变换矩阵的线性变换可以看作是向量空间中的一种操作，它通过矩阵与向量的乘法来实现对向量的变换。
给定一个矩阵A和向量v，线性变换的结果可以通过以下公式计算得到：Av = [a11 a12 ... a1n] * [v1][v2][...][vn]其中，A是一个m×n的矩阵，v是一个n维的列向量。
通过矩阵-向量相乘，可以实现对向量的缩放、旋转、投影等多种变换操作。
三、线性变换的应用矩阵的线性变换在实际应用中起着重要的作用，下面我们将介绍一些常见的应用领域及其例子。
1. 几何学应用在几何学中，线性变换被广泛应用于平面和空间的变换。
例如，通过矩阵的线性变换可以实现平移、旋转、缩放等操作，这对于计算机图形学中的三维模型变换、计算机辅助设计等领域具有重要意义。
2. 物理学应用在物理学中，线性变换经常用于描述物理量的变换规律。
例如，通过矩阵的线性变换可以描述电阻、电容、电感等电路元件的关系，也可以描述光线的折射和反射等现象。
3. 计算机科学应用在计算机科学中，矩阵的线性变换被广泛应用于图像处理、机器学习等领域。
例如，通过矩阵的线性变换可以实现图像的旋转、平移、缩放等操作，也可以实现特征提取、分类器训练等机器学习算法。
现代控制原理1-4线性变换
R 1 1 & x1 = − L x1 − L x2 − L ur 即 x = 1 x &2 1 C
则
1 R 1 − L − L & x = x + L ur 1 0 0 C y = [ 0 1] x
现代控制理论基础
1
1.6 状态方程的线性变换 如前所述，一个 阶系统必有 个状态变量。然而， 阶系统必有n个状态变量 如前所述，一个n阶系统必有 个状态变量。然而， 个状态变量的选择却不是唯一的。 这n个状态变量的选择却不是唯一的。但它们之间存在 个状态变量的选择却不是唯一的 着线性变换关系。 着线性变换关系。 1.6.1状态向量的线性变换 1.6.1状态向量的线性变换 1.定义 状态x与 x 的变换，称为状态的线性变换。 定义： 1.定义：状态 与 ~ 的变换，称为状态的线性变换。 由于状态变量是状态空间中的一组基底。因此， 由于状态变量是状态空间中的一组基底。因此， 状态变换的实质就是状态空间基底（坐标）的变换。 状态变换的实质就是状态空间基底（坐标）的变换。 线性变换关系为： 线性变换关系为： w
得 λ2 = 7, λ1 = −1
15
1.6.3 化系统矩阵为对角标准形或约当标准形 1. 化A阵为对角标准形 阵 定理1-1 线性定常系统，若A的特征值λ1 , λ2 , … , 线性定常系统， 定理 的 λn 互不相同，则必存在一非奇异阵P，使A阵化为对角 互不相同，则必存在一非奇异阵 ， 阵化为对角 阵化 标准形： 标准形：
6
% % & 2.取 x1 = uc , x2 = uc
现代控制理论 状态向量的线性变换：约当规范型
《现代控制理论》MOOC课程1.3状态向量的线性变换三. 状态空间表达式的对角规范型和约当规范型1.3状态向量的线性变换特征根的代数重数和几何重数设λi 为系统矩阵A 的特征值,若λi 的重根数为，则称的代数重数为。
σi σi λi 设V 为n 维线性空间，为系统矩阵A 的特征值，则的特征子空间λi λi V λi ={p i ∈V|Ap i =λi p i }的维数αi , 称为λi 特征值的几何重数。
αi =n −rank(λi I −A )的几何重数也就是线性无关特征向量的个数。
λi λi αi三. 状态空间表达式的对角规范型和约当规范型1.3状态向量的线性变换解：A =12332300−1例：求系统矩阵相异特征值的代数重数和几何重数。
=(λ+1)2(λ−4)=0λI −A =λ−1−2−3−3λ−2−300λ+1可得：λ1=−1，−1λ2=4故的代数重数分别为λ1、λ2σ1=2、σ2=1的几何重数λ1α1=3−rank （λ1I −A ）=3−rank −2−2−3−3−3−3000=3−2=1的几何重数λ2α2=3−rank （λ2I −A ）=3−rank 3−2−3−32−3004=3−2=11.3状态向量的线性变换三. 状态空间表达式的对角规范型和约当规范型系统的广义特征向量p iλi k对于n×n维矩阵A，若存在一个不为零的n维向量和一个标量，为正整数，使得：൝(A−λi I)k p i=0(A−λi I)k−1p i≠0成立，则称p i为矩阵A的特征值λi所对应的k级广义特征向量。
约当规范型对于给定的n维线性定常系统x=Ax+Bu。
设系统的特征值为：z=Q−1AQz+Q−1Bu=J1⋱J lz+ഥB uλ1(σ1α1代数重，几何重)，λ2(σ2α2代数重，几何重)，⋯，λl(σlαl代数重，几何重) (σ1+ σ2+⋯+σl=n),则存在由各特征值的广义特征向量组成的变换阵Q，通过变换，可将状态方程化为如下的约当规范型：z=Q−1x其中，ഥA=Q−1AQ=J1⋱J l,ഥB=Q−1Bz =J 1⋱J i⋱J lz +ഥBu J i =J i1⋱J ik⋱J iαiJ ik =λi1λi⋱⋱1λir i1+ r i2+⋯+r iαi =σi特征值对应的约当块矩阵由个约当子块矩阵组成。
线性变换及其矩阵ppt课件
定理 设V 是数域 P 上的 n 维线性空间，1,2 , ,n 是V 的一个基，又 1, 2 , , n 是V 中的任意 n 个向量，则 存在唯一的一个线性变换T ，使得
T (1 ) 1 ，T (2 ) 2 ， ,T ( n ) n
证明 先证存在性．
n
任取 V ，且 ki i ．定义V 的一个变换T ： i 1 n T ( ) ki i i 1
推论 在线性空间V 中，存在某个基使线性变换T 在该基 下的矩阵是对角阵的充要条件是矩阵 A 可对角化，其中 A 为T
在任一个基下的矩阵．
13
例 4 设三维线性空间 R3 中的两个基1 (1,0,0) ， 2 (0,1,0) ， 3 (0,0,1) 与1 (1,1,1) ，2 (1,0,1) ，3 (0,1,1) ，
T (1 ), T ( 2 ), ,T ( m ) 也线性相关．
注意 性质3的逆命题不成立，即线性变换可能将线性无
关向量组变成线性相关向量组．例如，零变换把任何线性无
关向量组都变成线性相关向量组．
4
1.3.2 线性变换的运算
L(V ) 表示数域 P 上线性空间V 上的一切线性变换的集合．
定义 设V 是数域 P 上的线性空间，Ti L(V ) （ i 1,2 ），
7.3线性变换的矩阵
§3 线性变换的矩阵设V 是数域P 上n 维线性空间，12,,,n εεε是V 的一组基，现在我们来建立线性变换与矩阵的关系。
空间V 中任一向量ξ可以被基12,,,n εεε表示出，即有关系式1122n n x x x ξεεε=+++， （1）其中系数是唯一确定的，它们就是ξ在这组基下的坐标。
由于线性变换保持线性关系不变，因而在ξ的象A ξ与基的象12,,,n A A A εεε之间也必然有相同的关系：)(2211n n x x x A A εεεξ+++=)()()(2211n n A x A x A x εεε+++= （2）上式表明，如果我们知道了基12,,,n εεε的象，那么线性空间中任意一个向量ξ的象也就知道了，或者说1．设12,,,n εεε是线性空间V 的一组基。
如果线性变换A 与B 在这组基上的作用相同，即ni B A i i ,,2,1, ==εε，那么A =B 。
证明 A 与B 相等的意义是它们对每个向量的作用相同。
因此，我们就是要证明对任一向量ξ，等式A B ξξ=成立。
而由（2）及假设，即得ξεεεεεεξB B x B x B x A x A x A x A n n nn =+++=+++= 22112211结论1的意义就是，一个线性变换完全被它在一组基上的作用所决定。
下面我们进一步指出，基向量的象完全可以是任意的，也就是说，2．设12,,,n εεε是线性空间V 的一组基。
对于任意一组向量12,,,n ααα一定有一个线性变换A 使,1,2,,i i A i n εα== （3）证明 我们来作出所要的线性变换。
设∑==ni ii x 1εξ是线性空间V 的任意一个向量，我们定义V 的变换A 为1ni ii A x ξα==∑ （4）下面来证明变换A 是线性的。
在V 中任取两个向量， ∑∑====ni ii n i i i c b 11,εγεβ。
于是∑=+=+ni ii i c b 1)(ελβ，Pk kb k ni i i ∈=∑=,1εβ。
7.3线性变换的矩阵(第一讲)
证：设 , 为两个线性变换，它们在基 1, 2 , , n
下的矩阵分别为A、B，即
1,2, ,n 1,2, ,n A
1,2, ,n 1,2, ,n B
①
1,2, ,n
1,2, ,n 1,2, ,n
上述过程写出
1,2, ,n
1, 2 , , n
a11 a12
=
1，
，
2
， n
a21 a22
an1 an2
注： ① A的第i列是 ( i ) 在基 1, 2 , , n下的坐标，
它是唯一的. 故 在取定一组基下的矩阵是唯一的.
验证 i = i 是否成立即可.
课本282页结论2
2．设 1, 2 , , n 是线性空间V的一组基，对V中
任意n个向量 1,2 , ,n , 都存在线性变换 使
( i ) i , i 1, 2, , n
V
V
基
1 2
1 2
n
n
分析： V
＝x1 1 x2 2 xn n
由已知，即得 ＝ ，
.
V
?
结论1表明，一个线性变换完全被它在一组基 上的作用所决定.
解答： 取标准基1=(1,0,0), 2 (0,1,0), 3 (0,0,1)
§7.3 线性变换的矩阵
一、线性变换与基 二、线性变换与矩阵 三、相似矩阵
线性变换除了用花体拉丁字母A 等表示，
还常用字母“，”表示.
课本281页结论1
1．设 1, 2 , , n 是线性空间V的一组基， , 为
7.3线性变换的矩阵
一、内容分布
7.3.1 线性变换的矩阵 7.3.2 坐标变换 7.3.3 矩阵唯一确定线性变换 7.3.4 线性变换在不同基下的矩阵----相似矩阵
二、教学目的:
1．熟练地求出线性变换关于给定基的矩阵Ａ，以及给定n 阶矩阵Ａ和基，求出关于这个基的矩阵为Ａ的线性变换． 2．由向量α关于给定基的坐标，求出σ(α)关于这个基的坐 标． 3．已知线性变换关于某个基的矩阵，熟练地求出σ关于另 一个基的矩阵.
练习:教材P284---习题第1题
由此可知: 取定F上n维向量空间V的一个基之后，对于V的每
一个线性变换σ，都有唯一确定的n阶矩阵A与之对
应．这样一来，从L(V)到Mn(F)必然存在着一个对
应关系----映射，不妨记为
f : A
7.3.2 坐标变换
设V 是数域F上一个n 维向量空间, { , , , } 1 2 n x , x , , x ), 是V 的一个基, ξ关于这个基的坐标是 ( 而 1 2 n ( y ,y , , y ) ( y ,y , , y ). σ(ξ)的坐标是 问 : 和 1 2 n 1 2 n ( x , x , , x ), 之间有什么关系呢? 1 2 n
证 设σ可逆。令 1 关于所取定的基的矩阵是B。 由（7），
1 A . B
然而单位变换关于任意基的矩阵都是单位矩阵 I . 1 所以AB = I . 同理 BA = I . 所以 B A .
例１ 在 F[x} 中 ,{1,x,x ,x } 是 一 个 基 , 线 性
3 变 换 : f ( x ) f ( x ), 其 中 f ( x ) 2 x 3 x 7
2
3
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统在某一方面的特性 ，或者可以简化问题 的分析计算。因此 ，基底 的变换是系统状态分析方法中广泛采用 的一种手段 。所以 ， 有必要研究一下常用非奇异线性变换矩阵 Ｐ的构造方法。
２ Ａ矩 阵的约 当规范化
令 ＝Ｐ 则 ： Ａ：Ｐ Ｆｑ Ｊ
约 矩 求 首 把 为ｓｉ标 ＝ （，（ ，， ］ … 为 当 阵 的 法：先 一 化 ｍｈ 准 ｔ ［ ｄ … （ 。 ，，， ）２ ） ）设 的 异 征 ， 复 域 ＝ （，（ ，， 】 解 一 因 的 积 相特值在数将 ［ ｄ … ）分 为 次 式 幂 ）２ ） （
统 特 值 项 为 ｄ（－）ｄ（—） ＋ ＋ ＋ 口 则 的 征 多 式 ：ｅＭ ＝ｅｓ ＝ 口 … 口 。 ｔ ｔ ｌ ＋
１
尸 ｃ 。 ，， ＝ ６ ６， 一， ６ …
口
－ ： ：
４ 把系统化 为能观测标 准型
４ ｘ： － 则 ： ： － ｐＩ 。 ：Ｐ６， ： Ｐ Ｉ ， Ｃ －。能观测标准型为 ： ＝Ａ ｂ ，Ｙ＝ — Ｘ＋ ｕ
其 系 的 征 多 式 ：ｅｓ Ａ＝ｅ 一） 口 十 十１ 口 则 中 统 特 值 项 为 ｄ（－）ｄ（ ＝ 一 ａ＋０ ： ｔ ｌ ｔ ＋ ８ 。
ｆ ， ｌ口 ＰＪ ：
Ｉ ： ：
０ …
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一 ：
齐 齐 哈 尔 大 学 学 报
曹伟 ，乔金 杰
（． １ 齐齐哈尔大学计算机与控制工程学院 ，黑龙江 齐齐哈尔 １１０ ； ６０６ ２ ． 哈尔大学经济管理学院 ， 齐齐 黑龙江 齐齐哈尔 １１０ ） ６０６
摘要：现代控制理论是 利用 状态空 问法 ， 对系统进行分析和综合 。而利用状态空问法对系统进行 分析和综合时 ， 经常用到状态空问的基底 变换 ，如对 系统 的系数矩阵的对角化 ，约当规范化 ，把系统化 为能控标 准型和能观标准
２０ ０ ７年
Ｐ —
， ， ．．．．．，． ．．．．．。
５ 系统 的能控性分解
令 ＝ － ￣ ： ＝ ｅ＇ ｌ 一 ｘ
Ｉ Ｉ
一 － 咧 Ｉ
・ ＝ ， ＝ Ｐ 设其能控矩阵的秩为ｒＩ ， 。 ， Ｐｂ Ｃ － 。 ？ 从能控性矩阵中选 ）
＼、●， ●● ●一 、 、
ｄ（）（－ （一 …（一 ） ） ） “ ： ．
（） （一ｉ － 一 …（一 ： ， （ ） ）， Ｉ ）
收稿 臼期 ：２ ０．】 ０ ０６１． ３ 作者简介 ：曹伟 （ ９７ ，男 ，吉林省人，助教，哈尔滨工程大学在读硕士研究生 ，主要从事控制理论与控制工 程研究 。 １７一）
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第 ２ 卷第 ２ ３ 期
２０ ０ ７年 ３ 月
齐 齐 哈 尔 大 学 学 报
Ｊ ｕ ａ ｆ ｑｈ ｒＵｎ ｍ ｉ ｏ ｍ Ｉ ｉａ ￣ｅ ｔ ｏ Ｑｉ ｙ
Ｖ０ ．３ Ｎ ． １ ．ｏ２ ２ Ｍａ ｃ ，０ ７ ｒｈ２ ０
现代控 制理 论 中线性变换矩 阵 的构 造方法
设ｒ ｌ 维线性时不变系统为
＝ ＋６ ． Ｙ＝ Ｃ Ｘ
１
矩 阵的对角化
Ａ矩阵的对角化的充分必要条件是 ＝ ｒｎ （，一 ＝ ，其中 为 的几何重复度 ，ｍ为 的 一 ａｋ２ ） ， ． Ｉ
，
一
，舯
＝
．
．
卜 一 氲值 分 胧
对应的特征向 量为Ｐ，：． 非奇异变换矩阵Ｐ＝ ， ） ， ，， 所以 Ｐ ．Ｐ ． （， …，
，
一
中每一个初等因子 （ 一 对应的 的约当子块 。 ）
非 异 换 阵 的 法： Ａ 册 ＝ 。 尸 （，，， ） Ｊ （，， ） 则 奇 变 矩 尸 求 由 ＝ 甘 尸 令 ＝ …Ｐ ， ＝Ｊ，… ， ｌ２ ＿
）
３ 把系统化 为能控标准 型
令 ： — ，则 ： ： － Ｐ，－ Ｐ Ｘ Ｐ￣ Ａ ｂ ＝Ｐｌ ， ＝ Ｐ。能控标准行为： ｂ Ｃ ＝Ａ ｂ ，Ｙ＝ 。其中系 … Ｘ＋ ｕ
出ｒ 个线性无关列向量， 再附加上任意尽可能简单的（一 ） 刀 ｒ个列向量， 构造出非奇异的 变换矩阵。令 ｒ 一
， ●
● ●
，
＿ ● ●
，
●
● ，
● ，
Ｐ Ｐ
尸
数重复度 ，而 ＝
［． 为值小ＬＪ其 ］特约 ，中 三 征当 ２２ ・ 块，， 的的， ∥。 …… ＝
（，，， ）（，，， ）。 … ） …ｐ ＝ … （， ，
） ） 解上述方程组 ，选取适当的 ， …， 即可解得 尸矩阵。 ， 尸
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导 至 Ｕ
，●●●●●●● ｆ１● ●●●●Ｌ ● ●
第２ 期
现代控制理论 中线性变换矩阵的构造方 法
，－二 ，，ｌ ， １
Байду номын сангаасＰ
＝ ＝
，●． 、
・ ７・ ６
＝
；
（） （— （一 …（一 ＝ ） ）： ） － － －
型；对系统进行能控性分解和能观性分解。其中非奇异线性变换矩阵的构造是一个难点。
关键词：线性变换 ； 现代控制；初等因子
中图分类号 ： Ｐ ３ Ｔ １ 文献标识 码 ： Ａ 文章编号 ：１ ７９４ （ ０） － ０６０ ０ — ８Ｘ２ ７ ２０６－４ ０ ０ ０ －
在实际应用中，经常对系统加以研究 ，如工程系统 、生物系统 、经济系统 和社会系统等等 。但系统状 态变量的选取不是唯一的，这在数学上的表现是一个状态向量对于其所在状态空问中的不同基底有着不同