2012_2016新课标卷高考题理科分类——三角函数

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2016理科数学高考真题分类第三单元三角函数

第三单元三角函数C1 角的概念及任意角的三角函数C2 同角三角函数的基本关系式与诱导公式5．C2、C6[2016·全国卷Ⅲ] 若tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝( )A.6425B.4825C ．1 D.16255．A [解析] cos 2α＋2sin 2α＝cos 2α＋4sin αcos αcos 2α＋sin 2α＝1＋4tan α1＋tan 2α＝1＋4³341＋⎝⎛⎭⎫342＝6425. 16．C2，C7，C8[2016·山东卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2(tan A ＋tan B )＝tan A cos B ＋tan B cos A.(1)证明：a ＋b ＝2c ； (2)求cos C 的最小值．16．解：(1)证明：由题意知2（sin A cos A ＋sin B cos B ）＝sin A cos A cos B ＋sin Bcos A cos B ，化简得2(sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin A ＋sin B ，即2sin(A ＋B )＝sin A ＋sin B . 因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ，从而sin A ＋sin B ＝2sin C . 由正弦定理得a ＋b ＝2c . (2)由(1)知c ＝a ＋b2，所以cos C ＝a 2＋b 2－c22ab ＝a 2＋b 2－a ＋b 222ab＝38（a b ＋b a ）－14≥12，当且仅当a ＝b 时，等号成立．故cos C 的最小值为12.C3 三角函数的图象与性质 5．E1，C3，B6，B7[2016·北京卷] 已知x ，y ∈R ，且x >y >0，则( ) A.1x －1y>0 B ．sin x －sin y >0 C.12x －12y <0 D ．ln x ＋ln y >05．C [解析] 选项A 中，因为x >y >0，所以1x <1y ，即1x －1y <0，故结论不成立；选项B中，当x ＝5π6，y ＝π3时，sin x －sin y <0，故结论不成立；选项C 中，函数y ＝12x 是定义在R 上的减函数，因为x >y >0，所以12x <12y ，所以12x －12y <0；选项D 中，当x ＝e －1，y ＝e －2时，结论不成立．9．C3[2016·江苏卷] 定义在区间[0，3π]上的函数y ＝sin 2x 的图像与y ＝cos x 的图像的交点个数是________．9．7 [解析] 方法一：令sin 2x ＝cos x ，即2sin x cos x ＝cos x ，解得cos x ＝0或sin x ＝12，即x ＝k π＋π2或x ＝2k π＋π6或x ＝2k π＋56π(k ∈Z )，又x ∈[0，3π]，故x ＝π2，3π2，5π2或x ＝π6，5π6，13π6，17π6，共7个解，故两个函数的图像有7个交点． 7个．3．C3[2016·四川卷] 为了得到函数y ＝sin(2x －π3)的图像，只需把函数y ＝sin 2x 的图像上所有的点( )A ．向左平行移动π3个单位长度B ．向右平行移动π3个单位长度C ．向左平行移动π6个单位长度D ．向右平行移动π6个单位长度3．D [解析] 由题可知，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝sin 2⎝⎛⎭⎫x －π6，则只需把y ＝sin 2x 的图像向右平移π6个单位长度．7．C3[2016·全国卷Ⅱ] 若将函数y ＝2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度，则平移后图像的对称轴为( )A ．x ＝k π2－π6(k ∈Z )B ．x ＝k π2＋π6(k ∈Z )C ．x ＝k π2－π12(k ∈Z )D ．x ＝k π2＋π12(k ∈Z )7．B [解析] 平移后的图像对应的解析式为y ＝2sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π12，令2⎝⎛⎭⎫x ＋π12＝k π＋π2(k ∈Z )，得对称轴方程为x ＝k π2＋π6(k ∈Z )． 7．C7，C3[2016·山东卷] 函数f (x )＝(3sin x ＋cos x )·(3cos x －sin x )的最小正周期是( )A.π2 B ．π C.3π2D ．2π 7．B [解析] f (x )＝2sin x cos x －3sin 2x ＋3cos 2x ＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2sin(2x ＋π3)，故T ＝2π2＝π.5．C3[2016·浙江卷] 设函数f (x )＝sin 2x ＋b sin x ＋c ，则f (x )的最小正周期( ) A ．与b 有关，且与c 有关 B ．与b 有关，但与c 无关 C ．与b 无关，且与c 无关 D ．与b 无关，但与c 有关5．B [解析] 若b ＝0，则f (x )＝sin 2x ＋c ＝1－cos 2x 2＋c ＝－12cos 2x ＋12＋c 的最小正周期是π；若b ≠0，则f (x )＝sin 2x ＋b sin x ＋c 的最小正周期是2π，故选B.C4 函数sin()y A x ωϕ=+的图象与性质7．C4[2016·北京卷] 将函数y ＝sin （2x －π3）图像上的点P （π4，t ）向左平移s (s >0)个单位长度得到点P ′.若P ′位于函数y ＝sin 2x 的图像上，则( )A ．t ＝12，s 的最小值为π6B ．t ＝32，s 的最小值为π6C ．t ＝12，s 的最小值为π3D ．t ＝32，s 的最小值为π37．A [解析] 因为P （π4，t ）在函数y ＝sin （2x －π3）的图像上，所以t ＝sin （2³π4－π3）＝sin π6＝12.因为s >0，y ＝sin （2x －π3）＝sin 2（x －π6），所以函数y ＝sin （2x －π3）的图像至少向左平移π6个单位长度可以得到函数y ＝sin 2x 的图像，所以s 的最小值为π6.12．C4[2016·全国卷Ⅰ] 已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)（ω>0，|φ|≤π2），x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图像的对称轴，且f (x )在π18，5π36单调，则ω的最大值为( )A ．11B ．9C ．7D ．512．B [解析] 由已知可得－π4ω＋φ＝k π，k ∈Z ，π4ω＋φ＝m π＋π2，m ∈Z ，两式相加，得2φ＝(k ＋m )π＋π2.因为|φ|≤π2，所以k ＋m ＝0或k ＋m ＝－1，即φ＝±π4，两式相减得ω＝2(m －k )＋1，即ω为正奇数．因为函数f (x )在区间（π18，5π36）单调，所以只要该区间位于函数f (x )图像的两条相邻对称轴之间即可，且5π36－π18≤12³2πω，即ω≤12.(1)当φ＝π4时，f (x )＝sin （ωx ＋π4），则k π－π2≤π18ω＋π4且5π36ω＋π4≤k π＋π2，k ∈Z ，解得36k －272≤ω≤36k ＋95.由于ω≤12，故k 最大取1，此时4.5≤ω≤9，此时ω的最大值为9.(2)当φ＝－π4时，f (x )＝sin （ωx －π4），则k π－π2≤π18ω－π4且5π36ω－π4≤k π＋π2，k ∈Z ，解得36k －92≤ω≤36k ＋275.由于ω≤12，故k 最大取0，此时ω≤275，此时ω的最大值为5.综上可知，ω的最大值为9. 14．C4[2016·全国卷Ⅲ] 函数y ＝sin x －3cos x 的图像可由函数y ＝sin x ＋3cos x 的图像至少向右平移________个单位长度得到．14.2π3 [解析] 函数y ＝sin x －3cos x ＝2sin （x －π3）的图像可由函数y ＝sin x ＋3cosx ＝2sin （x ＋π3）的图像至少向右平移2π3个单位长度得到．10．C4[2016·浙江卷] 已知2cos 2x ＋sin 2x ＝A sin (ωx ＋φ)＋b (A >0)，则A ＝________，b ＝________．10.2 1 [解析] 2cos 2x ＋sin 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1＝2sin(2x ＋π4)＋1，故A ＝2，b＝1.12．C4，F3[2016·上海卷] 在平面直角坐标系中，已知A (1，0)，B (0，－1)，P 是曲线y ＝1－x 2上一个动点，则BP →²BA →的取值范围是________．12．[0，1＋2] [解析] 由题意得y ＝1－x 2表示以原点为圆心，1为半径的上半圆，设P (cos α，sin α)，α∈[0，π]，则BA →＝(1，1)，BP →＝(cos α，sin α＋1)，所以BP →²BA →＝cos α＋sin α＋1＝2sin(α＋π4)＋1，因为α∈[0，π]，所以0≤BP →²BA →≤1＋ 2.13．C4[2016·上海卷] 设a ，b ∈R ，c ∈[0，2π)．若对任意实数x 都有2sin(3x －π3)＝a sin(bx ＋c )，则满足条件的有序实数组(a ，b ，c )的组数为________．13．4 [解析] 根据题意a ＝±2，b ＝±3.若a ＝2，则当b ＝3时，c ＝5π3，当b ＝－3时，c ＝4π3；若a ＝－2，则当b ＝3时，c ＝2π3，当b ＝－3时，c ＝π3.所以满足条件的有序实数组(a ，b ，c )的组数为4.C5 两角和与差的正弦、余弦、正切15．C5，C8[2016·北京卷] 在△ABC 中，a 2＋c 2＝b 2＋2ac . (1)求∠B 的大小；(2)求2cos A ＋cos C 的最大值． 15．解：(1)由余弦定理及题设得 cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2ac 2ac ＝22.又因为0<∠B <π，所以∠B ＝π4.(2)由(1)知∠A ＋∠C ＝3π4.2cos A ＋cos C ＝2cos A ＋cos 3π4－A＝2cos A －22cos A ＋22sin A ＝22cos A ＋22sin A ＝cos A －π4.因为0<∠A <3π4，所以当∠A ＝π4时，2cos A ＋cos C 取得最大值1.15．C8、C5[2016·江苏卷] 在△ABC 中，AC ＝6，cos B ＝45，C ＝π4.(1)求AB 的长；(2)求cos A －π6的值．15．解：(1)因为cos B ＝45，0<B <π，所以sin B ＝1－cos 2B ＝1－452＝35，由正弦定理知AC sin B ＝ABsin C ，所以AB ＝AC ²sin C sin B ＝6³2235＝5 2.(2)在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，所以A ＝π－(B ＋C )，于是cos A ＝－cos(B ＋C )＝－cos(B ＋π4)＝－cos B cos π4＋sin B sin π4，又cos B ＝45，sin B ＝35，故cos A ＝－45³22＋35³22＝－210.因为0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝7210，因此cos(A －π6)＝cos A cos π6＋sin A sin π6＝－210³32＋7210³12＝72－620.C6 二倍角公式5．C2、C6[2016·全国卷Ⅲ] 若tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝( )A.6425B.4825C ．1 D.16255．A [解析] cos 2α＋2sin 2α＝cos 2α＋4sin αcos αcos 2α＋sin 2α＝1＋4tan α1＋tan 2α＝1＋4³341＋⎝⎛⎭⎫342＝6425. 11．C6[2016·四川卷] cos 2π8－sin 2π8＝________．11.22 [解析] 由题可知，cos 2π8－sin 2π8＝cos π4＝22. 9．C6[2016·全国卷Ⅱ] 若cos （π4－α）＝35，则sin 2α＝( )A.725B.15 C ．－15 D ．－7259．D [解析] ∵cos （π4－α）＝35，∴sin 2α＝cos （π2－2α）＝2cos 2（π4－α）－1＝－725. 7．C6，C7[2016·上海卷] 方程3sin x ＝1＋cos 2x 在区间[0，2π]上的解为________． 7.π6或5π6[解析] 由3sin x ＝1＋cos 2x ，得3sin x ＝2－2sin 2x ，所以2sin 2x ＋3sin x －2＝0，解得sin x ＝12或sin x ＝－2(舍去)，所以原方程在区间[0，2π]上的解为π6或5π6.C7 三角函数的求值、化简与证明7．C7，C3[2016·山东卷] 函数f (x )＝(3sin x ＋cos x )·(3cos x －sin x )的最小正周期是( )A.π2 B ．π C.3π2D ．2π 7．B [解析] f (x )＝2sin x cos x －3sin 2x ＋3cos 2x ＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2sin(2x ＋π3)，故T ＝2π2＝π.16．C2，C7，C8[2016·山东卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2(tan A ＋tan B )＝tan A cos B ＋tan B cos A.(1)证明：a ＋b ＝2c ； (2)求cos C 的最小值．16．解：(1)证明：由题意知2（sin A cos A ＋sin B cos B ）＝sin A cos A cos B ＋sin Bcos A cos B ，化简得2(sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin A ＋sin B ，即2sin(A ＋B )＝sin A ＋sin B . 因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ，从而sin A ＋sin B ＝2sin C . 由正弦定理得a ＋b ＝2c . (2)由(1)知c ＝a ＋b2，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 2－a ＋b 222ab＝38（a b ＋b a ）－14≥12，当且仅当a ＝b 时，等号成立．故cos C 的最小值为12.7．C6，C7[2016·上海卷] 方程3sin x ＝1＋cos 2x 在区间[0，2π]上的解为________． 7.π6或5π6[解析] 由3sin x ＝1＋cos 2x ，得3sin x ＝2－2sin 2x ，所以2sin 2x ＋3sin x －2＝0，解得sin x ＝12或sin x ＝－2(舍去)，所以原方程在区间[0，2π]上的解为π6或5π6.C8 解三角形15．C5，C8[2016·北京卷] 在△ABC 中，a 2＋c 2＝b 2＋2ac .(1)求∠B 的大小；(2)求2cos A ＋cos C 的最大值． 15．解：(1)由余弦定理及题设得 cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2ac 2ac ＝22.又因为0<∠B <π，所以∠B ＝π4.(2)由(1)知∠A ＋∠C ＝3π4.2cos A ＋cos C ＝2cos A ＋cos 3π4－A＝2cos A －22cos A ＋22sin A＝22cos A ＋22sin A ＝cos A －π4.因为0<∠A <3π4，所以当∠A ＝π4时，2cos A ＋cos C 取得最大值1.14．C8、E6[2016·江苏卷] 在锐角三角形ABC 中，若sin A ＝2sin B sin C ，则tan A tan B tan C 的最小值是________．14．8 [解析] 方法一：∵sin A ＝2sin B sin C ，sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ，∴sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B sin C ，两边同除以cos B cos C ，可得tan B ＋tan C ＝2tan B tan C ，tan A tan B tan C ＝－tan(B ＋C )tan B tan C ＝－tan B ＋tan C1－tan B tan C²tan B tan C ＝2（tan B tan C ）2tan B tan C －1，由三角形为锐角三角形得tan B >0，tan C >0，tan A ＝tan B ＋tan Ctan B tan C －1>0，即tan B tan C －1>0.令tan B tan C －1＝t (t >0)，则tan A tan B tan C ＝2（t ＋1）2t ＝2t ＋1t＋2≥8，当t ＝1，即tan B tan C ＝2时取等号．方法二：同方法一可得tan B ＋tan C ＝2tan B tan C ，又tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A ＋(1－tan B tan C )·tan(B ＋C )＝tan A －tan A ＋tan A tan B tan C ＝tan A tan B tan C ，所以tan A tan B tan C ＝tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A ＋2tan B tan C ≥22tan A tan B tan C ⇒tan A tan B tan C ≥8，当且仅当tan A ＝2tan B tan C ＝4时取等号．15．C8、C5[2016·江苏卷] 在△ABC 中，AC ＝6，cos B ＝45，C ＝π4.(1)求AB 的长；(2)求cos A －π6的值．15．解：(1)因为cos B ＝45，0<B <π，所以sin B ＝1－cos 2B ＝1－452＝35，由正弦定理知AC sin B ＝ABsin C ，所以AB ＝AC ²sin C sin B ＝6³2235＝5 2.(2)在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，所以A ＝π－(B ＋C )，于是cos A ＝－cos(B ＋C )＝－cos(B ＋π4)＝－cos B cos π4＋sin B sin π4，又cos B ＝45，sin B ＝35，故cos A ＝－45³22＋35³22＝－210.因为0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝7210，因此cos(A －π6)＝cos A cos π6＋sin A sin π6＝－210³32＋7210³12＝72－620.17．C8[2016·全国卷Ⅰ] △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos C (a cosB ＋b cos A )＝c .(1)求C ；(2)若c ＝7，△ABC 的面积为332，求△ABC 的周长．17．解：(1)由已知及正弦定理，得 2cos C (sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin C ，即2cos C sin(A ＋B )＝sin C ，故2sin C cos C ＝sin C ，可得cos C ＝12，所以C ＝π3.(2)由已知，得12ab sin C ＝332.又C ＝π3，所以ab ＝6.由已知及余弦定理得，a 2＋b 2－2ab cos C ＝7，故a 2＋b 2＝13，从而(a ＋b )2＝25，所以△ABC 的周长为5＋7.8．C8[2016·全国卷Ⅲ] 在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则cos A ＝( )A.31010B.1010C ．－1010D ．－310108．C [解析] 如图所示，作AD ⊥BC 交BC 于点D ，设BC ＝3，则AD ＝BD ＝1，AB＝2，AC ＝ 5.由余弦定理得32＝(2)2＋(5)2－2³2³5³cos A ，解得cos A ＝－1010.13．C8[2016·全国卷Ⅱ] △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b ＝________．13.2113 [解析] ∵cos A ＝45，cos C ＝513，且A ，C 为三角形的内角，∴sin A ＝35，sin C ＝1213， ∴sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝6365.由正弦定理得b sin B ＝a sin A ，解得b ＝2113.16．C2，C7，C8[2016·山东卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2(tan A ＋tan B )＝tan A cos B ＋tan Bcos A.(1)证明：a ＋b ＝2c ； (2)求cos C 的最小值．16．解：(1)证明：由题意知2（sin A cos A ＋sin B cos B ）＝sin A cos A cos B ＋sin Bcos A cos B ，化简得2(sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin A ＋sin B ，即2sin(A ＋B )＝sin A ＋sin B . 因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ，从而sin A ＋sin B ＝2sin C . 由正弦定理得a ＋b ＝2c . (2)由(1)知c ＝a ＋b2，所以cos C ＝a 2＋b 2－c22ab ＝a 2＋b 2－a ＋b 222ab＝38（a b ＋b a ）－14≥12，当且仅当a ＝b 时，等号成立．故cos C 的最小值为12.3．C8[2016·天津卷] 在△ABC 中，若AB ＝13，BC ＝3，∠C ＝120°，则AC ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．A [解析] 设AC ＝x ，由余弦定理得cos 120°＝x 2＋9－132·x ·3＝－12，则x 2－4＝－3x ⇒x 2＋3x －4＝0，解得x ＝1或x ＝－4(舍)，∴AC ＝1.16．C8[2016·浙江卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b ＋c ＝2a cos B .(1)证明：A ＝2B ；(2)若△ABC 的面积S ＝a 24，求角A 的大小．16．解：(1)证明：由正弦定理得sin B ＋sin C ＝2sin A cos B ，故2sin A cos B ＝sin B ＋sin(A ＋B )＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ，于是sin B ＝sin(A －B )．又A ，B ∈(0，π)，故0<A －B <π，所以 B ＝π－(A －B )或B ＝A －B ，因此A ＝π(舍去)或A ＝2B ，所以A ＝2B .(2)由S ＝a 24，得12ab sin C ＝a 24，故有sin B sin C ＝12sin 2B ＝sin B cos B ，由sin B ≠0，得sin C ＝cos B .又B ，C ∈(0，π)，所以C ＝π2±B .当B ＋C ＝π2时，A ＝π2；当C －B ＝π2时，A ＝π4.综上，A ＝π2或A ＝π4. 9．C8[2016·上海卷] 已知△ABC 的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于________． 9.733 [解析] 利用余弦定理可求得最大边所对角的余弦值为32＋52－722³3³5＝－12，所以此角的正弦值为32，设外接圆半径为R ，则由正弦定理得2R ＝732，所以R ＝733. C9 单元综合17．C9[2016·四川卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且cos A a ＋cos B b＝sin C c. (1)证明：sin A sin B ＝sin C ；(2)若b 2＋c 2－a 2＝65bc ，求tan B . 17．解：(1)证明：根据正弦定理，可设a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝k (k >0)，则a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C ，代入cos A a ＋cos B b ＝sin C c 中，有 cos A k sin A ＋cos B k sin B ＝sin C k sin C，变形可得 sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin(A ＋B )．在△ABC 中，由A ＋B ＋C ＝π，有sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ，所以sin A sin B ＝sin C .(2)由b 2＋c 2－a 2＝65bc 及余弦定理，得 cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝35，所以sin A ＝1－cos 2A ＝45. 由(1)知，sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ，所以45sin B ＝45cos B ＋35sin B ，故tan B ＝sin B cos B＝4. 15．C9[2016·天津卷] 已知函数f (x )＝4tan x sin （π2－x ）cos （x －π3）－ 3. (1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)讨论f (x )在区间[－π4，π4]上的单调性． 15．解：(1)f (x )的定义域为{x|x ≠π2＋k π，k ∈Z}.f (x )＝4tan x cos x cos （x －π3）－3＝4sin x cos （x －π3）－3＝4sin x （12cos x ＋32sin x ）－3＝2sin x cos x ＋23sin 2x －3＝sin 2x ＋3(1－cos 2x )－3＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin （2x －π3），所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)令z ＝2x －π3，函数y ＝2sin z 的单调递增区间是[－π2＋2k π，π2＋2k π]，k ∈Z . 由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z . 设A ＝[－π4，π4]，B ＝{x|－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π}，k ∈Z ，易知A ∩B ＝[－π12，π4]. 所以当x ∈[－π4，π4]时，f (x )在区间[－π12，π4]上单调递增，在区间[－π4，－π12)上单调递减．6．[2016·大理一模] 函数f (x )＝sin 2x －sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的最小值为( ) A ．0 B ．－1 C ．－ 2 D. －26．B [解析] f (x )＝sin 2x －12sin 2x －32cos 2x ＝12sin 2x －32cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，故所求最小值为－1.11．[2016·宿州一检] 函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的部分图像如图K161所示，为了得到函数y ＝cos ωx 的图像，只需把函数y ＝f (x )的图像( )A ．向右平移π6个单位长度 B ．向左平移π6个单位长度 C ．向右平移π12个单位长度 D ．向左平移π12个单位长度 11．D [解析] 根据已知得14³2πω＝7π12－π3＝π4，解得ω＝2，又f ⎝⎛⎭⎫7π12＝sin ⎝⎛⎭⎫2³7π12＋φ＝－1，所以φ＝2k π＋3π2－7π6＝2k π＋π3，k ∈Z .因为|φ|<π2，所以φ＝π3，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，只要把函数y ＝f (x )的图像向左平移π12个单位长度，便可得到y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π12＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝cos 2x 的图像． 5．[2016·宜宾诊断] 已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若sin(B－A )＋sin(B ＋A )＝3sin 2A ，且c ＝7，C ＝π3，则△ABC 的面积是( ) A.334 B.736C.213D. 334或7365．D [解析] 由sin(B －A )＋sin(B ＋A )＝3sin 2A ，得2sin B cos A ＝6sin A cos A ，所以cosA ＝0或sinB ＝3sin A .若cos A ＝0，则A ＝π2，在Rt △ABC 中，C ＝π3，所以b ＝c tan C ＝213，此时△ABC 的面积S ＝12bc ＝12³213³7＝736；若sin B ＝3sin A ，即b ＝3a ，由余弦定理得7＝a 2＋9a 2－2·a ·3a ·12，得a ＝1，所以b ＝3，此时△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12³1³3³32＝334. 15．[2016·贵阳模拟] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足b cos A ＝(2c ＋a )cos(A ＋C )．(1)求角B 的大小；(2)求函数f (x )＝2cos 2x ＋cos(2x －B )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值及对应x 的值． 15．解：(1)由已知得b cos A ＝()2c ＋a cos ()π－B ，即sin B cos A ＝－()2sin C ＋sin A cos B ，即sin ()A ＋B ＝－2sin C cos B ，∴sin C ＝－2sin C cos B ， ∴cos B ＝－12，即B ＝2π3. (2)f ()x ＝2cos 2x ＋cos 2x cos 2π3＋sin 2x sin 2π3＝ 32cos 2x ＋32sin 2x ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，由x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2知2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤π3，4π3. 当2x ＋π3＝4π3，即x ＝π2时，f ⎝⎛⎫π2＝3³⎝⎛⎭⎫－32＝－32，所以函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为－32，此时x ＝π2. 17．[2016·安庆二模] 如图K183所示，D 是直角三角形ABC 斜边BC 上一点，AC ＝3DC .(1)若∠DAC ＝30°，求角B 的大小；(2)若BD ＝2DC ，且AD ＝22，求DC 的长．图K18417．解：(1)在△ADC 中，由AC sin ∠ADC ＝DC sin ∠DAC，及AC ＝3DC ，得sin ∠ADC ＝3sin ∠DAC ＝32. 又∠ADC ＝B ＋∠BAD ＝B ＋60°>60°，所以∠ADC ＝120°.于是C ＝180°－120°－30°＝30°，所以B ＝60°.(2)设DC ＝x ，则BD ＝2x ，BC ＝3x ，AC ＝3x ，AB ＝6x .于是sin B ＝AC BC ＝33，所以cos B ＝63. 在△ABD 中， AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos B ，即(22)2＝6x 2＋4x 2－2³6x ²2x ²63＝2x 2 ，得x ＝2. 故DC ＝2.。

2012高考试题分类汇编：三角函数

2012高考试题分类汇编：三角函数2012高考试题分类汇编：三角函数一、选择题1.【2012高考安徽文7】要得到函数)12cos(+=x y 的图象，只要将函数x y 2cos =的图象（A ）向左平移1个单位（B ）向右平移1个单位（C ）向左平移 12个单位（D ）向右平移12个单位【答案】C2.【2012高考新课标文9】已知ω>0，πϕ<<0，直线4π=x 和45π=x 是函数f (x )=sin(ωx +φ)图像的两条相邻的对称轴，则φ=（A ）π4 （B ）π3 （C ）π2 （D ）3π4【答案】A3.【2012高考山东文8】函数2sin (09)63x y x ππ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭的最大值与最小值之和为(A)2 (B)0 (C)－1(D)1-- 【答案】A4.【2012高考全国文3】若函数()sin ([0,2])3x f x ϕϕπ+=∈是偶函数，则=ϕ（A ）2π （B ）32π （C ）23π（D ）35π【答案】C5.【2012高考全国文4】已知α为第二象限角，3sin 5α=，则sin 2α=（A ）2524- （B ）2512-（C ）2512 （D ）2524 【答案】B6.【2012高考重庆文5】sin 47sin17cos30cos17-o o oo（A）B ）12-（C ）12（D【答案】C7.【2012高考浙江文6】把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图像是【答案】A8.【2012高考上海文17】在△ABC 中，若222sin sin sin A B C+<，则△ABC的形状是（）A 、钝角三角形B 、直角三角形C 、锐角三角形D 、不能确定【答案】A9.【2012高考四川文5】如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使1AE =，连接EC 、ED 则sin CED ∠=（）（1B 、C 、D 【答案】B10.【2012高考辽宁文6】已知sin cos αα-=，α∈(0，π)，则sin 2α=(A) -1(B)(C)(D) 1 【答案】A【点评】本题主要考查三角函数中的倍角公式以及转化思想和运算求解能力，属于容易题。

2016年高考数学理真题分类汇编：三角函数 Word版(学生版)

2016年高考数学理试题分类汇编三角函数一、选择题1、（2016年北京高考）将函数sin(2)3y x π=-图象上的点(,)4P t π向左平移s （0s >）个单位长度得到点'P ，若'P 位于函数sin 2y x =的图象上，则（）A.12t =，s 的最小值为6πB.t = ，s 的最小值为6πC.12t =，s 的最小值为3π D.t =，s 的最小值为3π2、（2016年山东高考）函数f （x ）=x +cos x ）x –sin x ）的最小正周期是（A ）2π （B ）π （C ）23π （D ）2π3、（2016年四川高考）为了得到函数πsin(2)3y x =-的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点（A ）向左平行移动π3个单位长度（B ）向右平行移动π3个单位长度（C ）向左平行移动π6个单位长度（D ）向右平行移动π6个单位长度4、（2016年天津高考）在△ABC 中，若AB ，120C ∠= ,则AC = （）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）45、（2016年全国I 高考）已知函数ππ()sin()(0),24f x x+x ，ωϕωϕ=>≤=-为()f x 的零点，π4x =为()y f x =图像的对称轴，且()f x 在π5π()1836，单调，则ω的最大值为（A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）56、（2016年全国II 高考）若将函数2sin 2y x =的图像向左平移12π个单位长度，则平移后图象的对称轴为（）（A ）()26k x k Z ππ=-∈ （B ）()26k x k Z ππ=+∈ （C ）()212k x k Z ππ=-∈ （D ）()212k x k Z ππ=+∈7、（2016年全国III 高考）若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+= (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)16258、（2016年全国III 高考）在ABC △中，π4B =，BC 边上的高等于13BC ,则cos A =（A （B （C ）- （D ）- 9、（2016年浙江高考）设函数2()sin sin f x x b x c =++，则()f x 的最小正周期A ．与b 有关，且与c 有关B ．与b 有关，但与c 无关C ．与b 无关，且与c 无关D ．与b 无关，但与c 有关10、（2016年全国II 高考）若3cos()45πα-=，则sin 2α=（）（A ）725 （B ）15 （C ）15- （D ）725-二、填空题1、（2016年上海高考）方程3sin 1cos 2x x =+在区间[]π2,0上的解为___________2、（2016年上海高考）已知ABC ∆的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________3、（2016年四川高考）cos 2π8–sin 2π8= . 4、（2016年全国II 高考）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若4cos 5A =，5cos 13C =，1a =，则b = ．5、（2016年全国III 高考）函数sin y x x =的图像可由函数sin y x x =的图像至少向右平移_____________个单位长度得到．6、（2016年浙江高考）已知2cos 2x +sin 2x =Asin(ωx +φ)+b (A >0)，则A =______，b =________．三、解答题1、（2016年北京高考）在∆ABC 中，222+=+a c b .（1）求B ∠ 的大小；（2cos cos A C + 的最大值.2、（2016年山东高考）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知tan tan 2(tan tan ).cos cos A B A B B A+=+ （Ⅰ）证明：a +b =2c ;（Ⅱ）求cos C 的最小值.3、（2016年四川高考）在△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,且cos cos sin A B C a b c +=. （I ）证明：sin sin sin A B C =；（II ）若22265b c a bc +-=，求tan B .4、（2016年天津高考）已知函数f(x)=4tanxsin(2x π-)cos(3x π-(Ⅰ)求f (x )的定义域与最小正周期；（Ⅱ）讨论f(x)在区间[,44ππ-]上的单调性.5、（2016年全国I 高考）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos (cos cos ).C a B +b A c = （I ）求C ；（II ）若c ABC △=的面积为2ABC △的周长．6、（2016年浙江高考）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 已知b +c =2a cosB.（I ）证明：A =2B ；（II ）若△ABC 的面积2=4a S ，求角A 的大小.。

2012高考理科数学三角函数 (答案详解)

2012理科数学三角函数专题题目一、选择题1.（湖南卷6）函数)6cos(sin )(π+-=x x x f 的值域为（）A ．]2,2[-B ．]3,3[-C ．]1,1[-D ．]23,23[- 2．（新课标全国卷9）已知0>ω，函数()⎪⎭⎫⎝⎛+=4sin πωx x f 在⎪⎭⎫⎝⎛ππ,2上单调递减。

则ω的取值范围是（）（A ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡45,21 （B ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡43,21 （C ）⎥⎦⎤ ⎝⎛21,0 (D)(]2,03.（山东卷7）若⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,4ππθ， 8732sin =θ，则=θsin （D ）（A ）53（B ）54（C ）47（D ）43 4. （陕西卷9）在A B C ∆中，角A 、B 、C 边长分别为c b a ,,，若2222c b a =+，则C co s 的最小值为( ) （A ）23 （B ） 22（C ） 21 （D ） 21-5.（辽宁卷7）已知sin cos (0,)αααπ-∈，则tan α=（）（A ）1-（B ）-（C （D ）16.（全国卷7）已知α为第二象限角，sin cos αα+=，则cos 2α=（）（A ）3-（B ）9- （C ）9 （D ）37.（上试卷16）在ABC ∆中，若222sin sin sin A B C +<，则ABC ∆的形状是（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定8.（天津卷2）设R ϕ∈，则“=0ϕ”是“()=cos(+)f x x ϕ()x R ∈为偶函数”的（）（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分与不必要条件9.（天津卷6）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别是,,a b c ，已知8=5b c ，=2C B ，则cos C =（）（A ）725 （Ｂ）725- （Ｃ）725± （Ｄ）242510.（重庆理5）设tan ,tan αβ是方程2320x x -+=的两个根，则tan()αβ+的值为（A ）-3 （B ）-1 （C ）1 （D ）3 二、填空题11.(广东卷9)函数)20(2cos sin π≤≤+=x x x y 的值域是12．（湖北卷11）设ABC ∆的内角，，所对的边分别为，，. 若，则角13.（福建卷13）已知ABC ∆14．（北京卷11）在ABC ∆中，若2a =，7b c +=，1cos 4B =-，则b = 15.（江苏卷11）设α为锐角，若4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则)122sin(π+a 值为16.（上海卷4）若(2,1)n =-是直线l 的一个法向量，则l 的倾斜角的大小为：（结果用反三角函数值表示）。

2012年全国各省市高考题(三角函数)

2012高考试题分类汇编：三角函数1.【2012新课标文9】已知ω>0，πϕ<<0，直线4π=x 和45π=x 是函数f (x )=sin(ωx +φ)图像的两条相邻的对称轴，则φ=（）（A ）π4 （B ）π3 （C ）π2 （D ）3π42.【2012山东文8】函数2sin (09)63x y x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭的最大值与最小值之和为（）(A)2 (B)0 (C)－1(D)1-3.【2012浙江文6】把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图像是（）4.【2012四川文5】如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使1AE =，连接EC 、ED 则sin CED ∠=（）A、B 、CD5.【2012辽宁文6】已知sin cos αα-=，α∈(0，π)则sin 2α=（）(A) -1 (B)(D) 17.【2012江西文9】已知2()sin ()4f x x π=+若a =f （lg5），1(lg )5b f =则（） A.a+b=0 B.a-b=0 C.a+b=1 D.a-b=18.【2012湖北文8】△ABC 中，若三边的长为连续的三个正整数，且A ＞B ＞C ，3b=20acosA ，则sinA ∶sinB ∶sinC 为（）A.4∶3∶2B.5∶6∶7C.5∶4∶3D.6∶5∶49.【2012天津文科7】将函数f(x)=sin x ω（其中ω>0）的图像向右平移4π个单位长度，所得图像经过点（34π，0），则ω的最小值是（）（A ）13（B ）1 C ）53（D ）210.【2012陕西13】在三角形ABC 中，若a=2 ，B=6π，b= .11.【2012重庆13】△ABC 中，且1cos 4a b C ==1，=2，，则sin B =12.【2012江苏11】设α为锐角，若4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则)122sin(π+a 的值为．13.【2012全国15】当函数sin (02)y x x x π=≤<取得最大值时，x =______14.【2012浙江18】在△ABC 中，。

2012年高考真题汇编理科数学(解析版)5：三角函数

2012高考真题分类汇编：三角函数一、选择题1.【2012高考真题重庆理5】设tan ,tan αβ是方程2320x x -+=的两个根，则tan()αβ+的值为（A ）-3 （B ）-1 （C ）1 （D ）3 【答案】A【解析】因为βαtan ,tan 是方程2320x x -+=的两个根，所以3tan tan =+βα，2tan tan =βα，所以3213tan tan 1tan tan )tan(-=-=-+=+βαβαβα，选A.2.【2012高考真题浙江理4】把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图像是【答案】A【解析】根据题设条件得到变化后的函数为)1cos(+=x y ，结合函数图象可知选项A 符合要求。

故选A. 3.【2012高考真题新课标理9】已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减.则ω的取值范围是（）()A 15[,]24 ()B 13[,]24()C 1(0,]2 ()D (0,2]【答案】A【解析】函数)4sin()(πω+=x x f 的导数为)4cos()('πωω+=x x f ，要使函数)4sin()(πω+=x x f 在),2(ππ上单调递减，则有0)4cos()('≤+=πωωx x f 恒成立，则πππωππk x k 223422+≤+≤+，即ππωππk x k 24524+≤≤+，所以Z k k x k ∈+≤≤+，ωπωπωπωπ2424，当0=k 时，ωπωπ454≤≤x ，又ππ<<x 2，所以有πωππωπ≥≤45,24，解得45,21≤≥ωω，即4521≤≤ω，选A. 4.【2012高考真题四川理4】如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使1AE =，连接EC 、ED 则sin CED ∠=（）ABCD【答案】B【解析】2EB EA AB =+=，EC =3424EDC EDA ADC πππ∠=∠+∠=+=，由正弦定理得sin sin CED DC EDC CE ∠===∠，所以3sin sin sin 55410CED EDC π∠=∠==5.【2012高考真题陕西理9】在ABC ∆中，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，若2222a b c +=，则co s C 的最小值为（）A.B. 2C. 12D. 12-【答案】C.【解析】由余弦定理知214242)(212cos 222222222=≥+=+-+=-+=ab ab ab b a ab b a b a ab c b a C ，故选Ｃ．6.【2012高考真题山东理7】若42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，sin 2θ，则sin θ=（A ）35 （B ）45 （C（D ）34 【答案】D【解析】因为]2,4[ππθ∈，所以],2[2ππθ∈，02cos <θ，所以812sin 12cos 2-=--=θθ，又81sin 212cos 2-=-=θθ，所以169sin 2=θ，43sin =θ，选D.7.【2012高考真题辽宁理7】已知sin cos αα-=，α∈(0，π)，则tan α=(A) -1 (B) 2- (C) 2(D) 1 【答案】A【解析一】sin cos )sin()144ππαααα-=-=∴-=3(0),,tan 14παπαα∈∴=∴=- ，，故选A【解析二】2sin cos (sin cos )2,sin 21,ααααα--=∴=-33(0,),2(0,2),2,,tan 124ππαπαπααα∈∴∈∴=∴=∴=- ，故选A 【点评】本题主要考查三角函数中的和差公式、倍角公式、三角函数的性质以及转化思想和运算求解能力，难度适中。

高考真题理科三角函数

2012年高考理科数学试题精选---三角函数1.【2012高考新课标理17】（本小题满分12分）已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C的对边，cos sin 0a C C b c --= （1）求A （2）若2a =，ABC ∆的面积为3；求,b c . 【答案】（1）由正弦定理得：cos sin 0sin cos sin sin sin a C C b c A C A C B C --=⇔=+sin cos sin sin()sin 1cos 1sin(30)2303060A C A C a C C A A A A A ︒︒︒︒⇔+=++⇔-=⇔-=⇔-=⇔=（2）1sin 42S bc A bc ==⇔= 2222cos 4a b c bc A b c =+-⇔+=2.【2012高考湖北理17】（本小题满分12分）已知向量(c o s s i n ,s i nx xx ωωω=-a，(cos sin ,)x x x ωωω=--b ，设函数()f x λ=⋅+a b ()x ∈R 的图象关于直线πx =对称，其中ω，λ为常数，且1(,1)2ω∈.（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）若()y f x =的图象经过点π(,0)4，求函数()f x 在区间3π[0,]5上的取值范围.【答案】（Ⅰ）因为22()sin cos cos f x x x x x ωωωωλ=-+⋅+cos 22x x ωωλ=-++π2sin(2)6x ωλ=-+.由直线πx =是()y f x =图象的一条对称轴，可得πsin(2π)16ω-=±，所以ππ2ππ()62k k ω-=+∈Z ，即1()23k k ω=+∈Z ．又1(,1)2ω∈，k ∈Z ，所以1k =，故56ω=.所以()f x 的最小正周期是6π5.（Ⅱ）由()y f x =的图象过点π(,0)4，得π()04f =，即5πππ2sin()2sin 6264λ=-⨯-=-=，即λ=故5π()2sin()36f x x =-由3π05x ≤≤，有π5π5π6366x -≤-≤，所以15πsin()1236x -≤-≤，得5π12sin()236x --故函数()f x 在3π[0,]5上的取值范围为[12-.3.【2012高考安徽理16】）(本小题满分12分)设函数2()cos(2)sin 24f x x x π=++。

三角函数选择题分类大全

2012高考真题分类汇编：三角函数一、选择题1、【2012高考真题湖南理6】函数f （x ）=sinx-cos(x+6π)的值域为A ．2、【2012高考真题全国卷理7】已知α为第二象限角，33cos sin =+αα，则cos2α=(A) （B ）9 (D)33、【2012高考真题天津理6】在A B C ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别是c b a ,,，已知8b=5c ，C=2B ，则cosC=（A ）257 （B ）257- （C ）257± （D ）25244、【2012高考真题重庆理5】设tan ,tan αβ是方程2320x x -+=的两个根，则tan()αβ+的值为（A ）-3 （B ）-1 （C ）1 （D ）35、【2012高考真题上海理16】在ABC ∆中，若C B A 222sin sin sin <+，则ABC ∆的形状是（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定6、【2012高考真题江西理4】若tan θ+1tan θ=4,则sin2θ= A ．15 B. 14 C. 13 D. 127、【2012高考真题辽宁理7】已知sin cos αα-=α∈(0，π)，则tan α=(A) -1 (B) 2- (C) 2(D) 18、【2012高考真题山东理7】若42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，sin 2=8θ，则sin θ=（A ）35 （B ）45 （C （D ）349、【2012高考真题陕西理9】在ABC ∆中，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，若2222a b c +=，则cos C 的最小值为（）B. 2C. 12D. 12-10、【2012高考真题四川理4】如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使1AE =，连接EC 、ED 则sin CED ∠=（）A B C11、【2012高考真题新课标理9】已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减.则ω的取值范围是（）()A 15[,]24 ()B 13[,]24 ()C 1(0,]2()D (0,2]12、【2012高考真题浙江理4】把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图像是13、【2012高考真题天津理2】设,R ∈ϕ则“0=ϕ”是“))(cos()(R x x x f ∈+=ϕ为偶函数”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分与不必要条件二、填空题14、【2012高考真题上海理4】若)1,2(-=是直线l 的一个法向量，则l 的倾斜角的大小为（结果用反三角函数值表示）。

2012年全国高考数学试题分类汇编——三角函数及解三角形

A 的值．
6、（辽宁理 17)(本小题满分 12 分)在 ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a，b，c。角 A，B，C 成等差数列。 (Ⅰ)求 cos B 的值； (Ⅱ)边 a，b，c 成等比数列，求 sin A sin C 的值。
7、（北京理 15）（本小题共 13 分）已知函数
ABC 内的概
△ABC 内的概率为 4 。
（安徽理 15）设 ABC 的内角 A, B, C 所对的边为 a, b, c ；则下列命题正确的是___①②③ ①若 ab c ；则
2 3 3 3
C

3 C
② 若 a b 2c ；则

2 C
C

3 C
③若 a b c ；则
12
分 )
函数
x 62 c o s 2
在一个周期内的图象如图所示， A 为
图象的最高点， B 、 C 为图象与 x 轴的交点，且 ABC 为正三角形。（Ⅰ）求的值及函数 f ( x) 的值域；（Ⅱ）若
f ( x0 )
10 2 8 3 x0 ( , ) 3 3 ，求 f ( x0 1) 的值。 5 ，且
(1,f (1) ) a f ( x) 1 2
ABC
重庆（ 13 ）设
的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ，且
3 5 cos A , cos B , b 3, 5 13 则c
三、解答题 1、（湖北理 17）（满分 12 分）已知向量 a= b= 直线 x=π 对称，其中，设函数 f（x） =a²b+ 为常数，且，的图像关于
7 A 25

2012-2016年高考国家课标(I)卷分析与启示——以三角函数与解三角形为例

些与测量和几何计算有关的实际问题．纵观近年
２０１６年第１Ｏ期
福建中学数学
函数导数（主
目标）
９
来全国课标（Ｉ）卷的三角试题，既注重知识覆盖
又突出重点内容；题量、分值与出现位置都非常稳定；大题容易而小题梯度分明，三角常作为选择或填空的最后一题．学生对三角内容基本上是“ 感觉不
错，问题不少 ” ，利用数形结合、整体思想等解决问题的意识与能力亟待提高．
ｌ６
函数中含有ｓｉｎｘ，用导数求函数酌量
值
较难
与理
解三角形：用正宗弦ｌ７定理，三角形面积公式求角爱边长函数较易
题１７为姐
（２）“ 垂直”是高考试题的灵魂
的引导学生回归教材，注意挖掘教材中典型例题、
课后习题中所蕴涵的数学思想方法．
课标课程的立体几何内容包括两个体系，一个
是传统的综合几何体系，另一个是空间向量的体
系．全国卷近几年的解答题为兼顾两个体系的考查，往往在第一步有意设计有垂直条件或垂直结论的问题，以便为第二步建立空间坐标系，利用空间向量求解空间角等问题做铺垫．（３）“ 垂直”是问题解决的突破口通过对立体几何试题的命题特点分析可知，垂直条件往往是问题的关键 “ 题眼 ” ．解题时，若发现题目有多个已知条件，可优先考虑垂直条件；作辅助线，可优先考虑作垂线或垂面；面对转化关系，可优先考虑用垂直关系来促进转化．３构建定理模型网络，提升复习效果 “ 语言是交流思想的工具” ，立体几何是数学语

2012年高考真题汇编——理科数学(解析版)5：三角函数

故选A.3.【2012高考真题新课标理9】已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减.则ω的取值范围是（）()A 15[,]24 ()B 13[,]24()C 1(0,]2 ()D (0,2]【答案】A【解析】函数)4sin()(πω+=x x f 的导数为)4c o s ()('πωω+=x x f ，要使函数)4sin()(πω+=x x f 在),2(ππ上单调递减，则有0)4cos()('≤+=πωωx x f 恒成立，则πππωππk x k 223422+≤+≤+，即ππωππk x k 24524+≤≤+，所以Z k k x k ∈+≤≤+，ωπωπωπωπ2424，当0=k 时，ωπωπ454≤≤x ，又ππ<<x 2，所以有πωππωπ≥≤45,24，解得45,21≤≥ωω，即4521≤≤ω，选A. 4.【2012高考真题四川理4】如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使1AE =，连接EC 、ED 则sin CED ∠=（）ABCD【答案】B【解析】2EB EA AB =+=，EC =3424EDC EDA ADC πππ∠=∠+∠=+=，由正弦定理得sin sin 5CED DC EDC CE ∠===∠，所以3sin sin sin 4CED EDC π∠=∠==5.【2012高考真题陕西理9】在ABC ∆中，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，若2222a b c +=，则cos C 的最小值为（）A.2B. 2C. 12D. 12-【答案】C.【解析】由余弦定理知214242)(212cos 222222222=≥+=+-+=-+=ab ab ab b a ab b a b a ab c b a C ，故选Ｃ．6.【2012高考真题山东理7】若42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，sin 2θ，则sin θ=（A ）35 （B ）45 （C ）4（D ）34 【答案】D【解析】因为]2,4[ππθ∈，所以],2[2ππθ∈，02cos <θ，所以812s i n 12c o s 2-=--=θθ，又81s i n 212c o s 2-=-=θθ，所以169sin 2=θ，43sin =θ，选D.7.【2012高考真题辽宁理7】已知sin cos αα-=，α∈(0，π)，则tan α=(A) -1 (B) - (C) (D) 1 【答案】A【解析一】sin cos )sin()144ππαααα-=-=∴-=3(0),,tan 14παπαα∈∴=∴=- ，，故选A【解析二】2sin cos (sin cos )2,sin 21,ααααα-=∴-=∴=-33(0,),2(0,2),2,,tan 124ππαπαπααα∈∴∈∴=∴=∴=- ，故选A 【点评】本题主要考查三角函数中的和差公式、倍角公式、三角函数的性质以及转化思想和运算求解能力，难度适中。

2012-2019年新课标全国卷理——三角函数

新课标全国卷三角函数（2012课标全国卷）9．已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减．则ω的取值范围是( ) A ．15[,]24B ．13[,]24C ．1(0,]2D ．(0,2]17．(本小题满分12分)已知,,a b c 分别为△ABC 三个内角,,A B C 的对边，cos 3sin 0a C a C b c +--= (1)求A(2)若2a =，△ABC 的面积为3；求,b c ．（2013课标全国I 卷）15、设当x =θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cosθ=______17、（本小题满分12分）如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB= 3 ，BC=1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°(1)若PB=12，求PA ；(2)若∠APB ＝150°，求tan ∠P BA（2013课标全国II 卷）（15）设θ 为第二象限角，若tan(θ + π4 ) = 12 ，则sin θ + cos θ = . （17）（本小题满分12分）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a = b cos C + c sin B . （Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若b =2，求△ABC 面积的最大值.（2014课标全国Ⅰ卷）6. 如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则y =()f x 在[0,π]上的图像大致为8. 设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，且1sin tan cos βαβ+=，则 A .32παβ-=B .22παβ-=C .32παβ+=D .22παβ+=16. 已知,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边，a =2，且(2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-，则ABC ∆面积的最大值为 .（2014课标全国Ⅱ卷）4.钝角三角形ABC 的面积是12，AB=1，BC=2 ，则AC=( )A. 5B.5C. 2D. 112.设函数()3sin x f x m π=.若存在()f x 的极值点0x 满足()22200x f x m +<⎡⎤⎣⎦，则m 的取值范围是（）A. ()(),66,-∞-⋃∞B. ()(),44,-∞-⋃∞C. ()(),22,-∞-⋃∞D.()(),14,-∞-⋃∞ 14.函数()()()sin 22sin cos f x x x ϕϕϕ=+-+的最大值为_________. (无三角解答题)（2015课标全国Ⅰ卷）（2）sin20°cos10°-con160°sin10°= （A ）32-（B ）32 （C ）12- （D ）12(8)函数()cos()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为(A)13(,),44k k k Z ππ-+∈ (B) 13(2,2),44k k k Z ππ-+∈(C)13(,),44k k k Z -+∈(D) 13(2,2),44k k k Z -+∈（16）在平面四边形ABCD 中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB 的取值范围是(无三角解答题) （2015课标全国Ⅱ卷）10.如图，长方形ABCD 的边AB=2，BC=1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP=x ．将动点P 到A 、B 两点距离之和表示为x 的函数f （x ），则f （x ）的图像大致为（17）∆ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，∆ABD 是∆ADC 面积的2倍。

2012年高考真题汇编——理科数学(解析版)5：三角函数

2 sin
cos
1 3 0, cos
，所以
2s i n c o s
2 3
0 ，因为已知 α 为第二象限角，所以 sin 2 3 5 3 15 3 15 3
0 ，
sin
cos
1 2 sin
cos
1
，
所
以
c
2
c o
2
so s
2
(i s
sc n )
io s (
n )= s ic
a ，则另两边为 a
2
2 a,2 a .
2
所以最大角余弦
cos
2a 2a
2
4a 2a
2 4
3 5
，
19.【 2012 高考真题重庆理
13】设
ABC 的内角 A , B , C 的对边分别为 a , b, c ，且 cos A
cos B
5 13
,b
3则 c
【答案】
14 5 3 5 5 13 4 5 12 13
2
, ) 上单调递减，则有 3 2k
，即
f ' (x) 2k
cos( x x x
，选 A.
4 5 4
，又
)
0 恒成立， 2k x
，所以
2 2k
4 2k
2 ，k 1 2
4 0 时，
4 4 2 4 ,
4
，解得
Z ，当 k 5 4
，即
5 4
4. 【 2012 高考真题四川理
2 4 4 】如图，正方形 ABCD 的边长为 1 ，延长 BA 至 E ，使 AE
(B) [
1 3 , ] 2 4

2012年高考数学理科试题分类汇编：三角函数

2012年高考数学理科试题分类汇编：三角函数2012年高考真题理科数学解析分类汇编5 三角函数一、选择题 1.【2012高考重庆理5】设是方程的两个根，则的值为（A）-3 （B）-1 （C）1 （D）3 【答案】A 【解析】因为是方程的两个根，所以，，所以，选A. 2.【2012高考浙江理4】把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图像是【答案】A 【解析】把函数y＝cos2x＋1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得：y1＝cosx＋1，向左平移1个单位长度得：y2＝cos(x+1)＋1，再向下平移1个单位长度得：y3＝cos(x+1)．令x＝0，得：y3＞0；x＝，得：y3＝0；观察即得答案． 3.【2012高考新课标理9】已知，函数在上单调递减.则的取值范围是（）【答案】A 【解析】法1：函数的导数为，要使函数在上单调递减，则有恒成立，则，即，所以，当时，，又，所以有，解得，即，选A. 法2：选不合题意排除合题意排除另：，得：4.【2012高考四川理4】如图，正方形的边长为，延长至，使，连接、则（） A、 B、 C、 D、【答案】B 【解析】，，，由正弦定理得，所以 . [点评]注意恒等式sin2α+cos2α=1的使用，需要用α的的范围决定其正余弦值的正负情况. 5.【2012高考陕西理9】在中，角所对边长分别为，若，则的最小值为（）A. B. C. D. 【答案】C. 【解析】由余弦定理知，故选Ｃ． 6.【2012高考山东理7】若，，则（A）（B）（C）（D）【答案】D 【解析】法1：因为，所以，，所以，又，所以，，选D. 法2：由及可得，而当时，结合选项即可得 .答案应选D。

7.【2012高考辽宁理7】已知， (0，π)，则 = (A) 1 (B) (C) (D) 1 【答案】A 【解析一】，故选A 【解析二】，故选A 【点评】本题主要考查三角函数中的和差公式、倍角公式、三角函数的性质以及转化思想和运算求解能力，难度适中。

2012年高考真题理科数学解析分类汇编5三角函数

2012年高考真题理科数学解析分类汇编5 三角函数一、选择题1.【2012高考重庆理5】设tan ,tan αβ是方程2320x x -+=的两个根，则tan()αβ+的值为（A ）-3 （B ）-1 （C ）1 （D ）3 【答案】A【解析】因为βαtan ,tan 是方程2320x x -+=的两个根，所以3tan tan =+βα，2tan tan =βα，所以3213tan tan 1tan tan )tan(-=-=-+=+βαβαβα，选A.2.【2012高考浙江理4】把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图像是【答案】A【解析】把函数y ＝cos2x ＋1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得：y 1＝cos x ＋1，向左平移1个单位长度得：y 2＝cos(x +1)＋1，再向下平移1个单位长度得：y 3＝cos(x+1)．令x ＝0，得：y 3＞0；x ＝12-π，得：y 3＝0；观察即得答案． 3.【2012高考新课标理9】已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减.则ω的取值范围是（）()A 15[,]24 ()B 13[,]24()C 1(0,]2 ()D (0,2]【答案】A【解析】法1：函数)4s i n()(πω+=x x f 的导数为)4c o s ()('πωω+=x x f ，要使函数)4s i n ()(πω+=x x f 在),2(ππ上单调递减，则有0)4cos()('≤+=πωωx x f 恒成立，则πππωππk x k 223422+≤+≤+，即ππωππk x k 24524+≤≤+，所以Z k k x k ∈+≤≤+，ωπωπωπωπ2424，当0=k 时，ωπωπ454≤≤x ，又ππ<<x 2，所以有πωππωπ≥≤45,24，解得45,21≤≥ωω，即4521≤≤ω，选A. 法2：选A592()[,]444x πππωω=⇒+∈ 不合题意排除()D351()[,]444x πππωω=⇒+∈ 合题意排除()()B C另：()22πωππω-≤⇔≤，3()[,][,]424422x ππππππωωπω+∈++⊂ 得：315,2424224πππππωπωω+≥+≤⇔≤≤ 4.【2012高考四川理4】如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使1AE =，连接EC 、ED 则sin CED ∠=（）A、10 B、10 C、10 D、15【答案】B【解析】2EB EA AB =+=，EC =3424EDC EDA ADC πππ∠=∠+∠=+=，由正弦定理得sin sin CED DC EDC CE ∠===∠，所以3sin sin sin 55410CED EDC π∠=∠==[点评]注意恒等式sin 2α+cos 2α=1的使用，需要用α的的范围决定其正余弦值的正负情况.5.【2012高考陕西理9】在ABC ∆中，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，若2222a b c +=，则cos C 的最小值为（）A.B. C. 12 D. 12-【答案】C.【解析】由余弦定理知214242)(212cos 222222222=≥+=+-+=-+=ab ab ab b a ab b a b a ab c b a C ，故选Ｃ．6.【2012高考山东理7】若42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，sin 2θ，则sin θ=（A ）35 （B ）45 （C ）4（D ）34 【答案】D【解析】法1：因为]2,4[ππθ∈，所以],2[2ππθ∈，02cos <θ，所以812sin 12cos 2-=--=θθ，又81sin 212cos 2-=-=θθ，所以169sin 2=θ，43sin =θ，选D.法2：由42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，及sin 2=8θ可得434716776916761687312sin 1cos sin +=++=+=+=+=+θθθ，而当42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时θθcos sin >，结合选项即可得47cos ,43sin ==θθ.答案应选D ·7.【2012高考辽宁理7】已知sin cos αα-=α∈(0，π)，则tan α=(A) -1 (B) (C) (D) 1 【答案】A【解析一】sin cos )sin()144ππαααα-=-=∴-=3(0),,tan 14παπαα∈∴=∴=-，，故选A【解析二】2sin cos (sin cos )2,sin 21,ααααα--=∴=-33(0,),2(0,2),2,,tan 124ππαπαπααα∈∴∈∴=∴=∴=-，故选A 【点评】本题主要考查三角函数中的和差公式、倍角公式、三角函数的性质以及转化思想和运算求解能力，难度适中·8.【2012高考江西理4】若tan θ+1tan θ=4,则sin2θ= A ．15 B. 14 C. 13 D. 12【答案】D【命题立意】本题考查三角函数的倍角公式以及同角的三角函数的基本关系式·【解析】由4t an 1t an =+θθ得， 4cos sin cos sin sin cos cos sin 22=+=+θθθθθθθθ，即42s i n 211=θ，所以212s i n =θ，选D. 【点评】本题需求解正弦值，显然必须切化弦，因此需利用公式sin tan cos θθθ=转化；另外，22sin cos θθ+在转化过程中常与“1”互相代换，从而达到化简的目的；关于正弦、余弦的齐次分式，常将正弦、余弦转化为正切，即弦化切，达到求解正切值的目的. 体现考纲中要求理解三角函数的基本关系式，二倍角公式.来年需要注意二倍角公式的正用，逆用等. 9.【2012高考湖南理6】函数f （x ）=sinx-cos(x+6π)的值域为A ．2 , 2] 【答案】B【解析】f （x ）=sinx-cos(x+6π)1sin sin )26x x x x π=+=-， []sin()1,16x π-∈-，()f x ∴值域为【点评】利用三角恒等变换把()f x 化成sin()A x ωϕ+的形式，利用[]sin()1,1x ωϕ+∈-，求得()f x 的值域.10.【2012高考上海理16】在ABC ∆中，若C B A 222sin sin sin <+，则ABC ∆的形状是（） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不能确定【答案】C【解析】根据正弦定理可知由C B A 222sin sin sin <+,可知222c b a <+，在三角形中02c o s 222<-+=abc b a C ，所以C 为钝角，三角形为钝角三角形，选C.【点评】本题主要考查正弦定理及其推理、余弦定理的运用.主要抓住所给式子的结构来选择定理，如果出现了角度的正弦值就选择正弦定理，如果出现角度的余弦值就选择余弦定理.本题属于中档题. 11.【2012高考天津理2】设,R ∈ϕ则“0=ϕ”是“))(cos()(R x x x f ∈+=ϕ为偶函数”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分与不必要条件【答案】A【命题意图】本试题主要考查了三角函数的奇偶性的判定以及充分条件与必要条件的判定.【解析】函数)cos()(ϕ+=x x f 若为偶函数，则有Z k k ∈=,πϕ,所以“0=ϕ”是“)cos()(ϕ+=x x f 为偶函数”的充分不必要条件，选A.12.【2012高考天津理6】在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别是c b a ,,，已知8b=5c ，C=2B ，则cosC=（A ）257 （B ）257- （C ）257± （D ）2524【答案】A【命题意图】本试题主要考查了正弦定理、三角函数中的二倍角公式. 考查学生分析、转化与计算等能力.【解析】因为B C 2=,所以B B B C co s sin 2)2sin (sin ==,根据正弦定理有BbC c sin sin =，所以58sin sin ==B C b c ，所以545821s i n 2s i n c o s =⨯==B C B ·又1cos 2)2cos(cos 2-==B B C ，所以2571251621cos 2cos 2=-⨯=-=B C ，选A.13.【2012高考全国卷理7】已知α为第二象限角，33cos sin =+αα，则cos2α=(A) （B ） (C) 【答案】A【命题意图】本试题主要考查了三角函数中两角和差的公式以及二倍角公式的运用·首先利用平方法得到二倍角的正弦值，然后然后利用二倍角的余弦公式，将所求的转化为单角的正弦值和余弦值的问题· 【解析】因为33cos sin =+αα所以两边平方得31cos sin 21=+αα，所以032cos sin 2<-=αα，因为已知α为第二象限角，所以0c o s,0s i n <>αα，31535321cos sin 21cos sin ==+=-=-αααα，所以)s i n )(co s s i n (c o s s i n c o s 2c os 22ααααααα+-=-==3533315-=⨯-，选A.二、填空题14.【2012高考湖南理15】函数f （x ）=sin (x ωϕ+)的导函数()y f x '=的部分图像如图4所示，其中，P 为图像与y 轴的交点，A,C 为图像与x 轴的两个交点，B 为图像的最低点.（1）若6πϕ=，点P 的坐标为（0，则ω= ; （2）若在曲线段ABC 与x 轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC 内的概率为 .【答案】（1）3；（2）4π【解析】（1）()y f x '=cos()x ωωϕ=+，当6πϕ=，点P 的坐标为（0）时cos36πωω=∴=；（2）由图知222T AC ππωω===，122ABCS AC πω=⋅=，设,A B 的横坐标分别为,a b . 设曲线段ABC与x 轴所围成的区域的面积为S则()()sin()sin()2bbaaS f x dx f x a b ωϕωϕ'===+-+=⎰，由几何概型知该点在△ABC 内的概率为224ABCSP Sππ===. 【点评】本题考查三角函数的图像与性质、几何概型等，（1）利用点P 在图像上求ω，（2）几何概型，求出三角形面积及曲边形面积，代入公式即得.15.【2012高考湖北理11】设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若()()a b c a b c ab +-++=，则角C = ．【答案】32π 考点分析：考察余弦定理的运用.【解析】222222a =-a -ab 12cos =,2223a b c ba b c C C ab ab π+-+-==-∠=由（+b-c ）(a+b-c)=ab,得到根据余弦定理故16.【2012高考北京理11】在△ABC 中，若a =2，b+c=7，cosB=41-，则b=_______· 【答案】4【解析】在△ABC 中，利用余弦定理cb c b c ac b c a B 4))((4412cos 222-++=-⇒-+= c b c 4)(74-+=，化简得：0478=+-b c ，与题目条件7=+c b 联立，可解得⎪⎩⎪⎨⎧===243a b c .17.【2012高考安徽理15】设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边为,,a b c ；则下列命题正确的是_____①若2ab c >；则3C π<②若2a b c +>；则3C π<③若333a b c +=；则2C π<④若()2a b c ab +<；则2C π>⑤若22222()2a b c a b +<；则3C π>【答案】①②③【命题立意】本题解三角形的知识，主要涉及余弦定理与基本不等式的运算· 【解析】正确的是_____①222221cos 2223a b c ab ab ab c C C ab ab π+-->⇒=>=⇒< ②2222224()()12cos 2823a b c a b a b a b c C C ab ab π+-+-++>⇒=>≥⇒< ③当2C π≥时，22232233c a b c a c b c a b ≥+⇒≥+>+与333a b c +=矛盾④取2,1a b c ===满足()2a b c ab +<得：2C π<⑤取2,1a b c ===满足22222()2a b c a b +<得：3C π<18.【2012高考福建理13】已知△ABC_________. 【答案】42-．【命题立意】本题考查了解三角形和等比数列的相关知识，难度适中．【解析】设最小边长为a ，则另两边为a a 2,2.所以最大角余弦422242cos 222-=⋅-+=aa a a a α 19.【2012高考重庆理13】设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,abc ，且53co s =A ，135cos =B ,3=b 则c =【答案】514 【解析】因为53cos =A ,135cos =B ,所以54s i n=A ，1312sin =B ，655653131213554)sin(sin =⨯+⨯=+=B A C ,根据正弦定理C c B b sin sin =得655613123c =,解得514=c . 20.【2012高考上海理4】若)1,2(-=是直线l 的一个法向量，则l 的倾斜角的大小为（结果用反三角函数值表示）· 【答案】2arctan【解析】设倾斜角为α，由题意可知，直线的一个方向向量为（1,2），则2tan =α， ∴α=2arctan ·【点评】本题主要考查直线的方向向量、直线的倾斜角与斜率的关系、反三角函数的表示.直线的倾斜角的取值情况一定要注意，属于低档题，难度较小. 21.【2012高考全国卷理14】当函数取得最大值时，x=___________.【答案】65π=x 【命题意图】本试题主要考查了三角函数性质的运用，求解值域的问题·首先化为单一三角函数，然后利用定义域求解角的范围，从而结合三角函数图像得到最值点· 【解析】函数为)3sin(2cos 3sin π-=-=x x x y ，当π20<≤x 时，3533πππ<-≤-x ，由三角函数图象可知，当23ππ=-x ，即65π=x 时取得最大值，所以65π=x . 22.【2012高考江苏11】（5分）设α为锐角，若4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则)122sin(π+a 的值为 ▲ ．【考点】同角三角函数，倍角三角函数，和角三角函数· 【解析】∵α为锐角，即02<<πα，∴2=66263<<πππππα++·∵4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴3sin 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭·∴3424sin 22sin cos =2=3665525αααπππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭·∴7cos 2325απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭·∴sin(2)=sin(2)=sin 2cos cos 2sin 12343434a a a a πππππππ⎛⎫⎛⎫++-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2427217==2252550-三、解答题23.【2012高考新课标理17】（本小题满分12分）已知,,a bc 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 的对边，cos sin 0a C C b c --= （1）求A （2）若2a =，ABC ∆的面积为3；求,b c .【答案】（1）由正弦定理得：cos sin 0sin cos sin sin sin a C C b c A C A C B C --=⇔=+sin cos sin sin()sin 1cos 1sin(30)2303060A C A C a C CA A A A A ︒︒︒︒⇔+=++⇔-=⇔-=⇔-=⇔=（2）1sin 42S bc A bc ==⇔= 2222cos 4a b c bc A b c =+-⇔+=24.【2012高考湖北理17】（本小题满分12分）已知向量(c os s in x x x ωωω=-a ，(cos sin ,)x x x ωωω=--b ，设函数()f x λ=⋅+a b ()x ∈R 的图象关于直线πx =对称，其中ω，λ为常数，且1(,1)2ω∈.（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）若()y f x =的图象经过点π(,0)4，求函数()f x在区间3π[0,]5上的取值范围.【答案】（Ⅰ）因为22()sin cos cos f x x x x xωωωωλ=-+⋅+cos22x x ωωλ=-+π2sin(2)6x ωλ=-+.由直线πx =是()y f x =图象的一条对称轴，可得πsin(2π)16ω-=±，所以ππ2ππ()62k k ω-=+∈Z ，即1()23k k ω=+∈Z ．又1(,1)2ω∈，k ∈Z ，所以1k =，故56ω=.所以()f x 的最小正周期是6π5.（Ⅱ）由()y f x =的图象过点π(,0)4，得π()04f =，即5πππ2sin()2sin 6264λ=-⨯-=-=，即λ=故5π()2sin()36f x x =-由3π05x ≤≤，有π5π5π6366x -≤-≤，所以15πsin()1236x -≤-≤，得5π12sin()236x --≤故函数()f x 在3π[0,]5上的取值范围为[12-.25.【2012高考安徽理16】）(本小题满分12分)设函数2())sin 4f x x x π=++· （I ）求函数()f x 的最小正周期；（II ）设函数()g x 对任意x R ∈，有()()2g x g x π+=，且当[0,]2x π∈时， 1()()2g x f x =-，求函数()g x 在[,0]π-上的解析式·【答案】本题考查两角和与差的三角函数公式、二倍角公式、三角函数的周期等性质、分段函数解析式等基础知识，考查分类讨论思想和运算求解能力·【解析】2111())sin cos 2sin 2(1cos 2)24222f x x x x x x π=++=-+- 11sin 222x =-，（I ）函数()f x 的最小正周期22T ππ== （2）当[0,]2x π∈时，11()()sin 222g x f x x =-=当[,0]2x π∈-时，()[0,]22x ππ+∈ 11()()sin 2()sin 22222g x g x x x ππ=+=+=- 当[,)2x ππ∈--时，()[0,)2x ππ+∈ 11()()sin 2()sin 222g x g x x x ππ=+=+=得函数()g x 在[,0]π-上的解析式为1sin 2(0)22()1sin 2()22x x g x x x πππ⎧--≤≤⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩·26.【2012高考四川理18】(本小题满分12分)函数2()6cos3(0)2xf x x ωωω=+->在一个周期内的图象如图所示，A 为图象的最高点，B 、C 为图象与x 轴的交点，且ABC ∆为正三角形· （Ⅰ）求ω的值及函数()f x 的值域；（Ⅱ）若0()5f x =，且0102(,)33x ∈-，求0(1)f x +的值·【答案】本题主要考查三角函数的图像与性质、同角三角函数的关系、两角和差公式，倍角公式等基础知识，考查基本运算能力，以及数形结合思想，化归与转化思想. [解析]（Ⅰ）由已知可得：2()6cos3(0)2xf x x ωωω=+->=3cosωx+)3sin(32sin 3πωω+=x x又由于正三角形ABC 的高为23，则BC=4 所以，函数482824)(πωωπ===⨯=，得，即的周期T x f所以，函数]32,32[)(-的值域为x f ·……………………6分（Ⅱ）因为，由538)(0=x f （Ⅰ）有，538)34(sin 32)(00=+=ππx x f 54)34(s i n 0=+ππx 即由x 0)2,2()34x (323100ππππ-∈+-∈），得，（所以，53)54(1)34(cos 20=-=+ππx 即故=+)1(0x f =++)344(sin 320πππx ]4)34(sin[320πππ++x)22532254(324sin)34cos(4cos )34([sin 3200⨯+⨯=+++=ππππππx x567=………………………………………………………12分 27.【2012高考陕西理16】（本小题满分12分）函数()sin()16f x A x πω=-+（0,0A ω>>）的最大值为3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为2π，（1）求函数()f x 的解析式；（2）设(0,)2πα∈，则()22f α=，求α的值· 【解析】（Ⅰ）∵函数()f x 的最大值是3，∴13A +=，即2A =·∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为2π，∴最小正周期T π=，∴2ω=· 故函数()f x 的解析式为()2sin(2)16f x x π=-+·（Ⅱ）∵()2f α2sin()126πα=-+=，即1sin()62πα-=， ∵02πα<<，∴663πππα-<-<，∴66ππα-=，故3πα=·28.【2012高考广东理16】（本小题满分12分）已知函数)6cos(2)(πω+=x x f ，（其中ω＞0，x ∈R ）的最小正周期为10π．（1）求ω的值；（2）设]2,0[,πβα∈，56)355(-=+παf ，1716)655(=-πβf ，求cos （α＋β）的值．【答案】本题考查三角函数求值，三角恒等变换，利用诱导公式化简三角函数式与两角和的余弦公式求值，难度较低· 【解析】（1）21105T ππωω==⇔=（2）56334(5)cos()sin ,cos 352555f ππαααα+=-⇔+=-⇔== 516815(5)cos ,sin 6171717f πβββ-=⇔== 4831513cos()cos cos sin sin 51751785αβαβαβ+=-=⨯-⨯=-29.【2012高考山东理17】（本小题满分12分）已知向量(sin ,1),(3cos ,cos 2)(0)3Am x n A x x A ==>，函数()f x m n =⋅的最大值为6. （Ⅰ）求A ；（Ⅱ）将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象.求()g x 在5[0,]24π上的值域. 解：（Ⅰ）()=⋅f x m nsin cos cos 2212cos 2)2sin(2)A x x xA x x A x π=+=+=+6因为 0A >，由题意知 6A =．（Ⅱ）由（I ）()6sin(2)f x x π=+6将()y f x =的图象向左平移π12个单位后得到6sin[2()]6sin(2)y x x πππ=++=+1263的图象；再将得到图象上各点横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到6sin(4)y x π=+3的图象．因此()6sin(4)g x x π=+3，因为5[0,]x π∈24，所以74[,]x πππ+∈336，所以1sin(4)[,1]2x π+∈-3，所以()g x 在5[0,]π24上的值域为[3,6]-．30.【2012高考北京理15】（本小题共13分）已知函数xxx x x f sin 2sin )cos (sin )(-=·（1）求)(x f 的定义域及最小正周期；（2）求)(x f 的单调递减区间· 解（1）：si n 0()x x k k Z π≠⇔≠∈得：函数()f x 的定义域为{,}x x k k Z π≠∈(sin cos )sin 2()(sin cos )2cos sin x x xf x x x x x-==-⨯sin 2(1cos 2))14x x x π=-+=--得：)(x f 的最小正周期为22T ππ==；（2）函数sin y x =的单调递增区间为[2,2]()22k k k Z ππππ-+∈ 则322224288k x k k x k πππππππππ-≤-≤+⇔-≤≤+得：)(x f 的单调递增区间为3[,),(,]()88k k k k k Z ππππππ-+∈ 31.【2012高考重庆理18】（本小题满分13分（Ⅰ）小问8分（Ⅱ）小问5分）设)2cos(sin )6cos(4)(x x x x x f +--=ωωπω，其中.0>ω（Ⅰ）求函数)(x f y = 的值域（Ⅱ）若)(x f y =在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,23πx 上为增函数，求 ω的最大值.解：（1）()14sin sin cos 22f x x x x x ωωωω⎫=++⎪⎪⎝⎭222cos 2sin cos sin x x x x x ωωωωω=++-21x ω=+因1sin 21x ω-≤≤，所以函数()y f x =的值域为1⎡⎣（2）因s i n y x =在每个闭区间()2,222k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦上为增函数，故()21f x x ω=+()0ω>在每个闭区间(),44k k k Z ππππωωωω⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦上为增函数· 依题意知3,22ππ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦,44k k ππππωωωω⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦对某个k Z ∈成立，此时必有0k =，于是 32424ππωππω⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得16ω≤，故ω的最大值为16· 32.【2012高考浙江理18】(本小题满分14分)在∆ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知cos A ＝23，sin BC ．(Ⅰ)求tan C 的值；(Ⅱ)若a∆ABC 的面积．【答案】本题主要考查三角恒等变换，正弦定理，余弦定理及三角形面积求法等知识点· (Ⅰ)∵cos A ＝23＞0，∴sin A，C ＝sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋sin C cos Acos C ＋23sin C ．整理得：tan C(Ⅱ)由图辅助三角形知：sin C又由正弦定理知：sin sin a cA C=，故c = (1)对角A 运用余弦定理：cos A ＝222223b c a bc +-=． (2)解(1) (2)得：b =or b 舍去)．∴∆ABC 的面积为：S ． 33.【2012高考辽宁理17】(本小题满分12分)在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ·角A ，B ，C 成等差数列· (Ⅰ)求cos B 的值；(Ⅱ)边a ，b ，c 成等比数列，求sin sin A C 的值·【命题意图】本题主要考查等差数列、等比数列概念、正余弦定理应用，是容易题.【解析】（1）由已知12=+,++=,=,cos =32B AC A B C B B ππ∴ ……6分（2）解法一：2=b ac ，由正弦定理得23sin sin =sin =4A C B解法二：2=b ac ，222221+-+-=cos ==222a c b a c ac B ac ac ，由此得22+-=,a c ac ac 得=a c所以===3A B C π，3sin sin =4A C ……12分【点评】本题主要考查三角形的正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理及等差、等比数列的定义，考查转化思想和运算求解能力，属于容易题·第二小题既可以利用正弦定理把边的关系转化为角的关系，也可以利用余弦定理得到边之间的关系，再来求最后的结果· 34.【2012高考江西理17】（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ,B ,C 的对边分别为a ，b ，c ·已知,sin()sin()444A b C cB a πππ=+-+=（1）求证： 2B C π-=（2）若a =△ABC 的面积·解：（1）证明：由 sin()sin()44b Cc B a ππ+-+=及正弦定理得：sin sin()sin sin()sin 44B C C B A ππ+-+=，即sin (sin )sin ()22222B C C C B B +-+=整理得：sin cos cos sin 1B C B C -=，所以sin()1B C -=，又30,4B C π<< 所以2B C π-=（2）由（1）及34B C π+=可得5,88B C ππ==，又,4A a π== 所以sin 5sin 2sin ,2sin sin 8sin 8a B a Cbc A A ππ====，所以三角形ABC 的面积151sin sin cos 28888242bc A πππππ===== 【点评】本题考查解三角形，三角形的面积，三角恒等变换、三角和差公式以及正弦定理的应用.高考中，三角解答题一般有两种题型：一、解三角形：主要是运用正余弦定理来求解边长，角度，周长，面积等；二、三角函数的图像与性质：主要是运用和角公式，倍角公式，辅助角公式进行三角恒等变换，求解三角函数的最小正周期，单调区间，最值（值域）等.来年需要注意第二种题型的考查.35.【2012高考全国卷理17】（本小题满分10分）三角形ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知cos （A-C ）＋cosB=1，a=2c ，求c.【命题意图】本试题主要考查了解三角形的运用，给出两个公式，一个是边的关系，一个角的关系，而求解的为角，因此要找到角的关系式为好· 【解析】由()A B C B A C ππ++=⇔=-+，由正弦定理及2a c =可得sin 2sin A C =所以cos()cos cos()cos(())cos()cos()A C B A C A C A C A C π-+=-+-+=--+cos cos sin sin cos cos sin sin 2sin sin A C A C A C A C A C =+-+=故由cos()cos 1A C B -+=与sin 2sin A C =可得22sin sin 14sin 1A C C =⇒= 而C 为三角形的内角且2a c c =>，故02C π<<，所以1sin 2C =，故6C π=· 【点评】该试题从整体来看保持了往年的解题风格，依然是通过边角的转换，结合了三角形的内角和定理的知识，以及正弦定理和余弦定理，求解三角形中的角的问题·试题整体上比较稳定，思路也比较容易想，先将三角函数关系式化简后，得到,A C 角关系，然后结合2a c =，得到两角的二元一次方程组，自然很容易得到角C 的值· 36.【2012高考天津理15】（本小题满分13分）已知函数.,1cos 2)32sin()32sin()(2R x x x x x f ∈-+-++=ππ（Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期；（Ⅱ）求函数)(x f 在区间]4,4[ππ-上的最大值和最小值.【解析】（1）2()=sin (2+)+sin(2)+2cos 133f x x x x ππ--2sin 2coscos 2)34x x x ππ=+=+ 函数()f x 的最小正周期为22T ππ==（2）32sin(2)11()444444x x x f x ππππππ-≤≤⇒-≤+≤⇒≤+≤⇔-≤≤当2()428x x πππ+==时，()max f x 2()444x x πππ+=-=-时，min ()1f x =-【点评】该试题关键在于将已知的函数表达式化为=sin (+)y A x ωϕ的数学模型，再根据此三角模型的图像与性质进行解题即可.37.【2012高考江苏15】（14分）在ABC ∆中，已知3AB AC BA BC =．（1）求证：tan 3tan B A =；（2）若cos C =求A 的值．【答案】解：（1）∵3AB AC BA BC =，∴cos =3cos AB AC A BA BC B ，即cos =3cos AC A BC B ·由正弦定理，得=sin sin AC BCB A，∴sin cos =3sin cos B A A B · 又∵0<A B <π+，∴cos 0 cos 0A >B >，·∴sin sin =3cos cos B AB A即tan 3tan B A =·（2）∵ cos 0C <C <π=，∴sin C =·∴tan 2C =· ∴()tan 2A B π⎡-+⎤=⎣⎦，即()tan 2A B +=-·∴tan tan 21tan tan A BA B+=--·由（1），得24tan 213tan AA=--，解得1tan =1 tan =3A A -，· ∵cos 0A >，∴tan =1A ·∴=4A π·【考点】平面微量的数量积，三角函数的基本关系式，两角和的正切公式，解三角形·【解析】（1）先将3AB AC BA BC =表示成数量积，再根据正弦定理和同角三角函数关系式证明·（2）由cos C =可求tan C ，由三角形三角关系，得到()tan A B π⎡-+⎤⎣⎦，从而根据两角和的正切公式和（1）的结论即可求得A 的值·。

2012年高考真题理科数学解析汇编：三角函数

20 ．（ 2012 年高考（北京理））在 △ABC 中 , 若 a 2 , b c 7 ,
cos B
1 ,则 4
b __ _________.
21．（2012 年高考（安徽理））设 ABC 的内角 A, B, C 所对的边为 a, b, c ;则下列命题正确的
18．（2012 年高考（福建理））已知 ABC 得三边长成公比为
2 的等比数列,则其最大角的
余弦值为_________.
19 ．（ 2012 年高考（大纲理））当函数
y sin x 3 cos x(0 x 2 ) 取得最大值
时, x _______________.
2012 年高考真题理科数学解析汇编：三角函数
一、选择题 1 ．（2012 年高考（天津理））在 ABC 中,内角
A , B , C 所对的边分别是 a,b,c ,已知
（）
8b =5c , C =2 B ,则 cos C 7 7 A． B． 25 25
C．
7 25
D．
24 25
1 2
（）
11．（2012 年高考（湖南理））函数 f(x)=sinx-cos(x+

6
)的值域为
A．[ -2 ,2] 学科网]
B．[- 3 , 3 ]
C．[-1,1 ]
[D．
3 , 2
3 ][来源: 2
12 ．（ 2012 年高考（大纲理））已知为第二象限角 , sin
9 ．（2012 年高考（辽宁理））已知 sin
cos 2 , (0,π),则 tan =

高考数学真题汇编 5三角函数理

2012高考真题分类汇编：三角函数一、选择题1.【2012高考真题重庆理5】设tan ,tan αβ是方程2320x x -+=的两个根，则tan()αβ+的值为（A ）-3 （B ）-1 （C ）1 （D ）3 【答案】A2.【2012高考真题浙江理4】把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图像是【答案】A3.【2012高考真题新课标理9】已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减.则ω的取值范围是（）()A 15[,]24 ()B 13[,]24()C 1(0,]2 ()D (0,2]【答案】A4.【2012高考真题四川理4】如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使1AE =，连接EC 、ED 则sin CED ∠=（）A B【答案】B5.【2012高考真题陕西理9】在ABC ∆中，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，若2222a b c +=，则cos C 的最小值为（）B. 2C. 12D. 12-【答案】C.6.【2012高考真题山东理7】若42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，sin 2θ，则sin θ=（A ）35 （B ）45 （C ）4（D ）34 【答案】D7.【2012高考真题辽宁理7】已知sin cos αα-α∈(0，π)，则tan α=(A) -1 (B) (D) 1 【答案】A8.【2012高考真题江西理4】若tan θ+1tan θ=4,则sin2θ= A ．15 B. 14 C. 13 D. 12【答案】D9.【2012高考真题湖南理6】函数f （x ）=sinx-cos(x+6π)的值域为A ．【答案】B10.【2012高考真题上海理16】在ABC ∆中，若C B A 222sin sin sin <+，则ABC ∆的形状是（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定【答案】C11.【2012高考真题天津理2】设,R ∈ϕ则“0=ϕ”是“))(cos()(R x x x f ∈+=ϕ为偶函数”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分与不必要条件【答案】A12.【2012高考真题天津理6】在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别是c b a ,,，已知8b=5c ，C=2B ，则cosC=（A ）257 （B ）257-（C ）257± （D ）2524 【答案】A13.【2012高考真题全国卷理7】已知α为第二象限角，33cos sin =+αα，则cos2α=(A) （B ）【答案】A二、填空题14.【2012高考真题湖南理15】函数f （x ）=sin (x ωϕ+)的导函数()y f x '=的部分图像如图4所示，其中，P 为图像与y 轴的交点，A,C 为图像与x 轴的两个交点，B 为图像的最低点.（1）若6πϕ=，点P 的坐标为（0，2），则ω= ; （2）若在曲线段ABC 与x 轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC 内的概率为 .【答案】（1）3；（2）4π【点评】本题考查三角函数的图像与性质、几何概型等，（1）利用点P 在图像上求ω，（2）几何概型，求出三角形面积及曲边形面积，代入公式即得.15.【2012高考真题湖北理11】设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若()()a b c a b c ab +-++=，则角C = ．【答案】16.【2012高考真题北京理11】在△ABC 中，若a =2，b+c=7，cosB=41-，则b=_______。

2012人教版高考数学(理科)题型复习：三角函数(解答题第一题)

设 ABC 是锐角三角形， a,b, c 分别是内角 A, B,C 所对边长，并且
sin A sin( B) sin( B)
2
(Ⅰ)求角 A 的值；
3
3
sin B 。
2
(Ⅱ)若 AB AC 12,a 2 7 ，求b, c （其中b c ）。
9
102 教育
3.（2009浙江理）（本题满分 14分）在 ABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b, c ，且
满足 cos A 2
25 5 ， AB AC
3．
（I）求 ABC 的面积；
（II）若b c 6 ，求 a 的值．
10
练习：
1. (2011年高考重庆卷理科 6)若 ABC 的内角 A, B,C 所对的边 a,b, c 满足
(a b)2 c2 4
（A） 3
(C)1
4 ，且C
60 0 ，则 ab 的值为
(B) 8 4 3
2 (D) 3
2.（2009北京理）在 ABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c, B 3，
（1）求 sinC的值
（2）若 a2+b2=4(a+b)-8，求边 c 的值
8
102 教育
余弦定理与向量综合问题
1.
ABC 的面积是 30，内角 A, B,C 所对边长分别为 a,b, c ， cos A12 13 Nhomakorabea。
(Ⅰ)求 AB AC ； (Ⅱ)若 c b 1，求 a 的值。
2、（2010安徽理数）16、（本小题满分 12分）
cos A 4 ,b 3 。 5
（Ⅰ）求sinC 的值；
（Ⅱ）求 ABC 的面积.
5

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