Green函数对Lamb问题的广泛表达形式

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， h 是源点在 z 轴上离开原点的距离。 （8）式中 k 为 Bassel 参
J kr a z h k 2 2e A 2 e iK a R 2 （ ） kJ 0 kr 1 dk e 2 r r R r a 0
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动力学方程的解

收稿日期： 修订日期： 基金项目：国家自然科学基金资助项目（11172268） 作者简介：丁伯阳（1949—） ，男，浙江绍兴人，教授，硕士生导师 (联系人. E-mail: dingboyang@).
经典的弹性动力学方程是[1]：
2 u ( ) u 2 u/t 2
(15)
2 2 把（12） （13）代入（15）并利用关系式 K 能得到：

ur
1 a zh b z h e e k 2 J1 kr dk 2 4πrK 0


(16)
2 2 2 1 1 k a k r a z h k 2 e b z h uz e J 0 kr kdk 2 4π K a r b 0
2
(5)
如 Green 函数矩阵柱坐标表达式写为：
Grr G( R / )=G( R1 , R2 / ) G r G zr
Gr G Gz
Grz G z Gzz
（6）
G ji ( R / ) 物理涵义为作用于源点 i 向（径向，切向或竖向）的单位力在场点的 j 向（径向，切向或竖 向）产生的位移谱。 G ( R1 , R2 / ) 轴对称柱坐标表达式是： 4π 2 G ( R / )
式中 函数形式为：
(1)
, 是 lame 系数，u 是位移， 为物质密度，t 为时间变量。式（1）的 Stockes 解答的 Green
4π2 Gki ( R / ) ( Ie ( IeB ) ( Ie A )
iK R
/ R) ( IeiK R / R)
引
言
1885 年 Boussinesq 得到了半空间经典解答。 1904 年 Lamb[1]求得了简谐荷载下均质弹性半空间的 表面位移，也就是经典动力学的 Boussinesq 问题。之后，它成了动力基础半空间理论、地球物理波场 正反演理论的基础[2]。一系列相关的研究也在不断地继续，如：Pekeris[3]研究了在表面垂直点源力作用 下的均质弹性半空间的瞬态问题；王贻荪[4]利用 Pekeris 解，由 Laplace 变换获得复杂 Lamb 问题的闭 合解；Paul[5-6] (1976a,1976b)首次应用 Biot 理论，采用 Helmholtz 分解及 Hankel 变换与 Cagniard 方 法，研究了饱和弹性半空间的 Lamb 问题，得到了表面荷载和点荷载作用下的解答。另外，对于线扭转 问题，国内外学者也都做了很多工作。德国学者 Reissner[7]（1937）最早开始研究土体在扭转振动荷载 作用下的动力响应，他在假定刚体底部半空间表面介质反力均匀分布下，得到了均质弹性半空间上刚体 圆柱垂直振动的近似解。 在 1944 年 Reissner 和 Sagoci[8]又研究了弹性土体表面圆板的扭转振动， 推导 了在复合边界条件下土体中的应力及位移，以及刚性体扭矩与土体扭转角的关系。Bycroft[9]（1956）也 研究过 Reissner 和 Sagoci 的问题，他详细分析了无限弹性半空间上刚性圆板的竖向、摇摆、扭转和水 平振动的解答。以至于直到今天，国内外仍有不少工程学家对上述问题在作进一步的完善与发展。如近 年来 M.Rahman（2000）发展了 Reissner 和 Sagoci 的问题，研究了弹性半空间内部埋置刚性板的振 动；Kontoni，Manolis，Padro′等人研究的一些其他较复杂形式的振动问题 [10- 20]。应该说 100 多年来 借助于 Lamb 解答，土动力学，地球物理学在相关领域都取得了极大的进展[21]。但也应该看到上述相关 的 Lamb 问题解答在数学方法上基本利用积分变换， 一个问题一个解答， 以致至今没有广泛的表达形式。 本文根据经典弹性动力学方程 Stockes 解答的 Green 函数形式，通过柱坐标下的波场矢量分析与 Sommerfild 公式，求的了无限空间轴对称问题的 Green 函数解答。利用附加影响场与自由表面应力条 件， 得到了 Lamb 动力学问题解答的 Green 函数的广泛表达形式。 除了竖向位移 u z z 及径向位移 u r z 外， 还给出了线扩张源位移 u r r 与线扭转位移 u 的解答。虽然这些结果能同已有的 Lamb 的结果相互映 证，但 Lamb 动力学问题解答的广泛表达形式一个前人未曾涉及的问题。这对 Lamb 动力学问题研究的 深化与发展，动力学理论的综合与统一，新问题的分析与求解，会有新的意义。
(3)
e iK R I R
(4)
由 u u u 可再得：
2 1 2 r z2 iK R e I 0 R 2 1 r zr 1 2 r rz iK R 1 e 0 2 r R 2 1 0 2 r r2 0
GREEN 函数对动力学 LAMB 问题的广泛表达形式
丁伯阳，陈军，徐庭
(浙江工业大学减灾防护工程研究所 浙江杭州 310014) 摘要： 根据经典弹性动力学方程 Stockes 解答的 Green 函数形式， 通过柱坐标下的波场矢量分析与 Sommerfild 公式，求得了无限空间轴对称问题柱坐标下的 Green 函数解答。再利用附加影响场与自由表面应力条件，作者 得到了 Green 函数对动力学 Lamb 问题的广泛表达形式， 即： 除了竖向位移 u zz 以及径向位移 urz 能同经典 Lamb 的结果相互映证外，广泛表达形式还给出了线扩张源 urr 与线扭转源 u 的解答。一些计算结果的图形也在文 中给出。 关键词：GREEN 函数; LAMB 问题; 广泛表达形式 中图分类号：TU435 文献标识码：A
1 rk 2 a zh beb z h J0 kr kdk a r 1 2 e 2 4π r 0 a
(13)
Grr ( R / ) Grr
(14)
2
轴对称坐标系的 Green 函数的位移与应力表达式
2 2 eA eB 2eB 2 e 0 2 A 2 rz rrz rz 1 1 0 2 eA 2 2 eB 0 r r 2 2 2 eB eA eB 2 0 e 2 A rrz rr2 rr
R x = R1 R2 r 2 z 2
而：
1 2 2 r z 0 1 2 r z r 0 1 2 r 0 1 2 r r z e iK R 0 R 1 2 r r 2
1 e a z h e b z h 2 r 0 a b
2.2 应力谱表达式
轴对称问题本构方程为：

(17)
2 k J1 kr dk
z e 2
u z z
u u rz r + z z r
(2)
iK R iK R 其中 e A e / R ， e B e / R 。而 K 、 K 分别是纵波与横波波数， i 是虚数单位， I 是二 阶单位矩阵。如果圆柱坐标为 R （ ，其中 r，，z 分别为径向，切向与竖向坐标；且有 i r，，z）
x x1 1 r cos ， y x2 2 r sin ， z x3 3 。对于场点 x 到源点 ς 的距离 R 有：
(18)
其中 e 为体应变。把（16） （17）代入（18）可以得到：
z
1 1 J0 kr kdk +2 k 2 a2 ea zh - -2 ea zh +eb zh k 2 2 4πK 0 r
(7)
Sommerfeld 公式给出：
e i K R R J 0 kr e a z h R 0 iK R R b z -h e R J 0 kr e 0 k dk a k dk b
(8)
其中： a= k K ，b= k K 数，因此：
(9)
iK R 2e B 2 e b zh （ ） J 0 kr e kd k 2 2 z z R z 0

bJ e
0 0
1
b zh
kd k
(10)
iK R 2e B e （ ） r z r z R r


0
J 0 kr e b z h kd k
J kr e
0
b zh
k 2dk
(11)
由 Bassel 函数性质知 h 0 时， 1 ； h<0 时， 1 把（9） （10） （11）式代入（7）式得到：
G zr ( R / ) G zr
1 4 π 2 r

e
0
a zh
+e b z h k 2 J 1 kr d k

(12)
Gzz ( R / ) Gzz
1 k 2 a 2 1 a z h 1 b z h 3 e e 2 k J 0 kr dk 4π r a b 0 1 1 a z h 1 b z h 2 e e k J 1 kr kdk r 0a b