Green函数对Lamb问题的广泛表达形式
§11.3 格林(Green)公式
下面证明 如图,
A(x0 , y0 )
B(x,y) M(x+Dx,y)
O
G
x
2. 平面上曲线积分与路径无关的等价条件
类似可证
y
A(x0 , y0 )
B(x,y) M(x+Dx,y)
O
G
x
( ξ 介于 x 与 x +Dx 之间 )
2. 平面上曲线积分与路径无关的等价条件
如果存在某一函数 u (x, y) 使 du = Pdx + Qdy,则
任取起点为 A,终点为 B 的路径 L1 与 L2,若总有
y
G
B
L1
Байду номын сангаас
则称在 G 内曲线积分
A
L2
与路径无关.
O
x
2. 平面上曲线积分与路径无关的等价条件
定理 设开区域 G 是平面单连通区域,函数 P (x, y) , Q (x, y) 在 G 内具有一阶连续偏导数,则下面各命题是等 价的. 在G内:
沿
x
y
u(x, y)
x0 P( x, y0 )dx
Q( x, y)dy
y0
沿
2. 平面上曲线积分与路径无关的等价条件
例1 验证在 xOy 面内 是某个函数 u (x, y) 的全微分,并求 u (x, y)。 y 解
格林函数法
第四章格林函数法
拉普拉斯方程边值问题的求解方法
调和函数: 1 拉普拉斯(Laplace )方程的基本解
§4.1 格林(Green )公式及其应用
具有二阶连续偏导数的调和方程的连续解;或满足Laplace 方程的函数。 三维Laplace 方程的基本解:
2
2
2
00011
(,,)()()()
MM u x y z r x x y y z z =
=
-+-+-特点:除 点外,任一点满足Laplace 方程。 0000(,,)M x y z 同学们自己验证。
二维Laplace 方程的基本解:
2
2
0011
(,)ln
ln
()()
MM u x y r x x y y ==-+-特点:除 点外,任一点满足Laplace 方程。
000(,)M x y 同学们自己验证。
问题:基本解是否为整个区域内的解?
2 Green 公式
(1)奥-高公式(高斯公式):设 是有界区域, 是其边界曲面且足够光滑, 在 上连续,在 内有连续偏导数,则
ΩΓΩ+Γ(,,),(,,),(,,)P x y z Q x y z R x y z Ω
()(cos cos cos )P Q R d P Q R dS x y z αβγΩ
Γ
∂∂∂++Ω=++∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰
推导:令 其中 是 的外法线方向。
{cos ,cos ,cos }n αβγ=Γ(2)第一Green 公式:设 是有界区域, 是其边界曲面且足够光滑, 及其一阶偏导数在 上连续,在 内有二阶连续偏导数,则
ΩΓΩ+Γ(,,),(,,)u x y z v x y z Ω()v u v u v u v
《数学物理方程》第4章 Laplace方程的Green函数法
意义 初始时刻位于各点的瞬间源产生的温度场的无限和
格林函数+积分式
格林函数法也称为点源法
调和函数 二阶偏导数连续,且满足 2 u 0
§2 Poisson方程解的积分表达式
一 无限空间Laplace方程基本解 v0 (M, M0 )
3维空间
2
定点 M ( x , y , z ), 动点 M ( x , y , z ) 0 0 0 0
x , y , z
1 1
0
v ( M M ) 0 0
物理含义
v ( M , M ) 0 0 2 2 2 4 r ( x x ) ( y y ) ( z z ) M M 4
0 0 0
1 单位正电荷位于 M 处 , 其电场于 M 点的电位为 0 4 r M M
u 2. 第二边值问题 u ( M ) M f ( M )( 2 ) n Neumann 牛曼问题 狄内、牛内 3. 内部问题和外部问题 n 指向 外
狄外、牛外
外问题 是无穷区域,无限远条 件limu (M ) 0
着重讨论内部问题
M
二 Green第二公式
2
z
M (x0, y0, z0) 0
电象法构造green函数
x 任取 M ( x ,y , z ), z 0 , 置 e 电荷 0 0 0 0 0
格林函数方法
格林函数方法
1、格林函数
格林函数(Green's function)是指由著名数学家.格林(Green)提出的数学方法,它是一种可以求解各种微分方程的技术。格林函数的定义是对于任意给定的初值问题,在区间上的解的和等于给定的数值13。
其用法主要有两种:一种是用于求解某些有定型的初值问题;另一种是求解某些微分方程的积分解。格林函数的结果可以用来解决复杂的初值问题和理解复杂的微分方程以及系统的时间变化。
2、格林函数的原理
格林函数可以用来解决一类有特定初值条件的常微分方程组。它的原理是基于一种叫做拉普拉斯变换(Laplacetransform)的数学变换理论,它是一种将微分方程组变换成求积分方程组的方法,从而可以使原本困难的初值问题变得容易解决,其在解决物理学中不变解中特别有用。
3、格林函数的计算
对于特定的初值条件,可以使用格林函数计算出拉普拉斯变换得到的积分方程的结果,从而计算得到解析解。计算过程比较复杂,需要用到积分变换和methods。
总之,格林函数是一种可以求解复杂常微分方程的有效数学方法,它基于拉普拉斯变换的原理,对于特定的初值问题,运用格林函数,可以计算出相应的解析解。
常微分方程的达朗贝尔公式和Green公式
常微分方程的达朗贝尔公式和Green公式常微分方程(Ordinary Differential Equations, ODEs)是数学的一个分支,研究的是只依赖于一维自变量的函数和它们的导数。常微分方程是各个领域中最重要的数学工具之一,广泛应用于物理、工程、经济和生物等领域。
在解常微分方程时,达朗贝尔公式和Green公式是两个非常重要的公式。本文将对它们的定义、性质和应用进行详细介绍。
达朗贝尔公式
达朗贝尔公式(D'Alembert's formula)是解一维波动方程(Wave Equation)的经典公式。一维波动方程是描述一维波动传播的方程,形式为:
$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=c^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$
其中,$u(x,t)$是波函数,$c$是波速,$x$和$t$分别表示空间和时间。由于常微分方程只有一个自变量,因此我们需要对时间或空间变量进行临时的剖分才能解决这类方程。
达朗贝尔公式给出了波函数在任意时刻和任意位置的解析表达式,形式为:
$$u(x,t)=\frac{1}{2}[f(x+ct)+f(x-ct)]+\frac{1}{2c}\int_{x-
ct}^{x+ct}g(y)dy$$
其中,$f(x)$是初始波形(Initial Waveform),$g(x)$是初始速度(Initial Velocity),$c$是波速。这个公式的第一项表示波源在$t=0$时刻释放的波形在$x$处的振幅随时间的变化,第二项表示波源在$t=0$时刻释放的波速在$x$处的振幅随时间的变化。
第七章 Green 函数法 - 数学物理方法
数学物理方法Mathematical Method in Physics
西北师范大学物理与电子工程学院
豆福全
第七章Green函数法
Green Function method
引言
前面几章我们系统的讨论了求解数学物理方法的几种典型方法:分离变量法,行波法以及积分变换法。分离变量法主要适用于求解各种有界区域内的定解问题,行波法则主要适用于求解无界区域内的波动问题,而积分变换法也主要适用于求解无界区域内的定解问题,然而不受方程类型的限制。同时,分离变量法,积分变换法这两种方法所给出的解,一般具有无穷级数与无穷积分的形式。
本章介绍求解数学物理方程的另一重要方法——Green函数法。所不同的是,该法给出的是一种有限积分的解,便于人们进行理论分析与研究。Green函数的特点是它仅与定解问题所定义的区域的形状及边界条件类型有关,而与定解条件及方程非齐次项所给出的具体形式无关。特别是一些用分离变量法较难处理的非齐次方程的定解问题,Green函数法更能显示出其优越性。
从物理上看,一个数学物理方程在大多数情况下,往往表示一种特定的“场”和产生这种场的“源”之间的关系。如热导方程表示的是温度场与点源之间的关系,泊松方程表示的是静电场和电荷分布之间的关系等。这样,当源被分解成许多点源的叠加时,如果通过某一种方法知道各点源产生的场,然后再利用叠加原理,就可以求出同样边界条件下任意源的场,这种求解数理方程的方法被称为Green函数法,而点源产生的场就是Green函数。
本章首先复习Laplace方程边值问题的几种类型,然后由Green公式建立起Green函数的概念,并通过Green函数得到一般的泊松方程边值问题解的积分表达式,最后在几个特殊区域上讨论Green函数及Laplace方程的第一边值问题具体的求解过程。
green 公式 外法向量形式
green 公式外法向量形式
Green公式是微积分中的重要定理,它以外法向量形式表达了曲线线积分和曲面面积分之间的关系。在本文中将详细介绍Green公式的概念、推导过程以及应用。
Green公式是由英国数学家George Green在19世纪提出的,它是微积分中的一个重要定理。它建立了曲线线积分和曲面面积分之间的联系,通过它我们可以将曲线上的线积分转化为曲面上的面积分,从而简化问题的求解过程。
我们来看一下Green公式的具体表达形式。设D是一个有界闭区域,其边界为C,C是一个分段光滑的曲线,方向为逆时针方向,f(x,y)和g(x,y)是D上的连续可微函数,则Green公式可以表达为以下形式:
∮C (f(x,y)dx + g(x,y)dy) = ∬D (∂g/∂x - ∂f/∂y)dA
其中,∮C表示沿曲线C的闭合积分,∬D表示在区域D上的面积分,dA表示面积元素,(dx, dy)表示位移元素。
接下来,我们来推导一下Green公式的证明过程。首先,我们可以将曲线C分成若干小段,记第i段的长度为Δs_i,方向为ΔC_i。在每一小段上,我们将f(x,y)dx和g(x,y)dy分别展开为:
f(x,y)dx = f(x_i,y_i)Δx_i = f(x_i,y_i)cosθ_iΔs_i
g(x,y)dy = g(x_i,y_i)dy_i = g(x_i,y_i)sinθ_iΔs_i
其中,(x_i,y_i)是第i段的起点坐标,(Δx_i,Δy_i)是位移矢量,θ_i是位移矢量与x轴的夹角。
然后,我们将上述展开式代入到Green公式中,得到:
第四章 Green函数法(all)
G0 表示 M0 点处放一 0
电荷在空间中产生的场,
G0满足
也用 G( r ,r0 ) 表示。
以 u 乘 [ G G] 0 的两端
n
[u G Gu] 0 ……………③
n
以 G( r , r0 )
乘 [ u u]
n
的两端得
[G u Gu] G
n
……………④
③减④得
[u G G u] 1 G n n
可得Poisson方程第三边值问题的解
心, ε为半径的小球 k作体积分,
k G0dV 1
由Green公式, 上式左端
例k2 . G二0d维VPoissonGn方0 d程S 的 基本G解r0为dS:
则得
C1
G0(0r2, r0)r (2C1r1
1 , 从而
)lnr 2 |
sin1dd
r r0 |
4
4C1
一般情形
G0(r )
1
4
1 r
(x) m (x a)
(2) δ函数不是普通意义下的函数, 需在积分意义 下理解它的性质
( x) lim 1 sin kx k x
(x)
1 lim
0
2
x2
2 δ函数的性质
(1)对任意的连续函数 f (x) 有:
f ( x) ( x)dx f (0), f ( x) ( x x0 )dx f ( x0 )
偏微分方程green公式
偏微分方程green公式
偏微分方程green公式是一种重要的数学工具,它可以用于解决各种复杂的常微分方程。Green公式是由英国数学家 George Green 于1828年提出的,自那时起,它已经在解决众多复杂数学问题方面发挥了重要作用。
Green公式的最早版本是由一组独立变量构成,它基于偏微分方程式求解非常复杂的多元双曲线。Green公式描述了如何根据自变量对导数进行计算,以解出未知量。它可以为连续函数求解定积分,以及求解离散型函数的最优解。
Green公式拥有多样的应用前景,它可以用于计算弦线,波动,曲线的曲率,以及复杂的偏微分方程式。Green公式同样适用于众多其他领域,包括金融工程,分析和逻辑推导,以及计算物理,特别是非线性激励动力学中的应用。Green公式在求解复杂的微分方程方面有着广泛的应用,它非常实用。
Green公式也可以用于研究动力系统,主要是因为它有着优秀的分析能力。Green公式可以用来推导出某一物理系统的建模方程,以及其他复杂的微分方程。另外,Green公式也能够提供有效的数值解决方案,包括计算物理系统中各种参数的值。Green公式可以帮助研究机械,电子和声学系统,以及其他处理复杂问题的应用领域。
Green公式的应用也在不断的发展,它可以用于研究复杂的经济,社会和生态系统。Green公式可以被应用到风险评估,密切关注和处理环境问题,分析公司业务模式及其状况,以及预测市场行为等等方
面。总之,Green公式可以被用于处理多种多样的数学任务,以及众多非常重要的实际应用。
green公式法
green公式法
Green公式是数学分析中常用的一个重要定理,是微积分中的一种
基本方法。它的原理是通过将一个区域内的曲线或曲面的积分转化为
该区域内的区域积分,从而简化计算过程。在本文中,我们将介绍Green公式的定义、推导过程以及一些应用案例。
1. Green公式的定义
给定一个平面区域D,边界为C。设函数P(x, y)和Q(x, y)在D上具
有连续的偏导数,那么Green公式可以表示为:
∬D ( ∂Q/∂x - ∂P/∂y) dA = ∮C (P dx + Q dy)
其中,∂Q/∂x 和∂P/∂y 分别表示Q(x, y)和P(x, y)对x和y的偏导数,∬D 表示对D上的区域积分,∮C 表示对C上的曲线积分。
2. Green公式的推导
为了推导Green公式,我们先假设区域D是简单闭合区域,即边界
C是一个简单闭合曲线。然后,将区域D划分为无穷多个小的区域,
每个小区域都可看作是矩形区域。
通过对小矩形区域应用散度定理,我们可以得到:
∬D ( ∂Q/∂x - ∂P/∂y) dA = ∭V (∂^2Q/∂x^2 + ∂^2P/∂x∂y ) dV
其中,∬D ( ∂Q/∂x - ∂P/∂y) dA 可以看作是在D上的曲面积分,∭V (∂^2Q/∂x^2 + ∂^2P/∂x∂y ) dV 则是在D的内部体积上的体积积分。
由于无穷小小矩形区域趋近于零,所以体积积分项在推导过程中可
以忽略。因此,我们可以得到:
∬D ( ∂Q/∂x - ∂P/∂y) dA = ∮C (P dx + Q dy)
通过以上推导,我们成功地得到了Green公式。
green公式法
green公式法
摘要:
1.引言
2.Green 公式法的定义和原理
3.Green 公式法的应用领域
4.Green 公式法的优缺点
5.结论
正文:
1.引言
Green 公式,又称Green 恒等式,是由英国数学家George Green 在1828 年提出的。这个公式在数学、物理以及工程领域中有着广泛的应用,尤其在解决一些偏微分方程和波动方程的问题时,具有重要的意义。
2.Green 公式法的定义和原理
Green 公式法是一种求解偏微分方程的数值方法。其基本原理是将偏微分方程中的积分操作用离散求和来代替,从而将偏微分方程转化为一个巨大的线性方程组,进而求解。
具体来说,对于一个在区域D 上的函数f(x, y),如果它在区域D 上有一个连续的一阶偏导数,那么可以通过Green 公式法来求解该函数在区域D 上的值。公式如下:
D f(x, y) dA = D f(x, y)/n * dA,
其中,n 为区域D 的边界单位法向量,dA 为区域D 的面积元素。
3.Green 公式法的应用领域
Green 公式法在许多领域都有广泛的应用,如在电磁场问题的求解、热传导问题的求解、波动方程的求解等。特别是在求解无界区域上的偏微分方程时,Green 公式法具有独特的优势。
4.Green 公式法的优缺点
Green 公式法的优点在于它将复杂的偏微分方程转化为一个线性方程组,求解起来更加简便。同时,它适用于许多不同的应用领域,具有较强的通用性。
然而,Green 公式法也存在一些缺点。首先,它的适用性依赖于函数的一阶偏导数存在。其次,当区域D 的边界形状复杂或者边界条件复杂时,求解难度会大大增加。
格林函数法
格林函数法
格林函数(Green's Function)是描述物理系统状态之间相互转换和
其它类型的转换的一种函数,用来解决系统的边界值问题。它可以通过物
理系统的差分方程来解释,也可以用来表征物理系统的任意状态之间的相
互作用。格林函数可以概括地表示为:当系统处于某一特定状态时,其他
状态的影响,及它们之间的相互作用,以及系统当前状态的演变。
格林函数法可以分为两种:一种是无限空间的,这种方法是通过求解
无限空间的格林函数的衍生值来处理边界值问题;另一种是有限空间的,
这种方法是通过求解有限空间的格林函数的衍生值来处理边界值问题。格
林函数法可以用来研究物理系统中多种形式的边界值问题,包括边界条件、初始条件、响应函数、激励函数、反应函数等。此外,它还可以用来估计
未知量、估计系统参数、构造信号处理过程和对边界条件进行约束等。
Green公式及其应用
2 a π 2 π. 2 a
2
平面线积分与路径无关的条件
平面线积分与路径无关是指: 对任意两条以A为起点, B为终点的曲线 L1, L2 均有:
L1
Pdx Qdy Pdx Qdy
L2
定理2 设 P , Q C 1 D , 则以下四个命题等价:
P Q (1) 在D 内恒成立。 y x
Green 公式及其应用
1.单(复)连通区域及其正向边界
设D为一平面区域 , 如果D内任意一条闭曲线 所围的有界区域都属于 D, 则称D是平面单连通区 域 , 不是单连通的平面区域 称为复连通区域 .
D D
单连通区域
复连通区域
单连通区域就是没有“洞”的区域.
设D是xOy平面上的闭区域 , 规定D的边界曲线 的正向如下 :
(4)计算曲线方程未知的曲线积分
xdy ydx 计算 2 例6 2 , 其中L为一条无重点, 分段光 x y L 滑且不经过原点的连续 闭曲线, 方向为逆时针方向. y x P ( x , y ) 2 Q( x , y ) 2 解: 2, 2. x y x y 当( x , y ) (0,0)时,
由被积函数的分母可知, 若能将积分路径 L改 解: 为椭圆 4 x 2 y 2 a 2 (a为某个正数 ), 则可简化计算
Q y2 4 x2 P 由于 , ( x , y ) (0,0) 2 2 x ( 4 x y ) y
格林(Green)公式及其应用
解决偏微分方程的实例
总结词
格林公式还可以用于解决偏微分方程的问题,通过将 偏微分方程转化为等价的积分方程,可以简化求解过 程。
详细描述
在求解偏微分方程时,可以利用格林公式将偏微分方程 转化为等价的积分方程。具体地,对于二阶线性偏微分 方程$frac{partial^2 u}{partial x^2} + frac{partial^2 u}{partial y^2} = f(x,y)$,如果存在连续的一阶导数 $P(x,y)$和$Q(x,y)$,使得$P_y = Q_x$,则该偏微分 方程可以转化为等价的积分方程$int_C Pdu + Qvdt = int_D (Q_x - P_y)u(x,y)dxdy$。通过求解积分方程,可 以得到偏微分方程的解。
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面积分计算
总结词
面积分是格林公式的另一个重要应用,通过格林公式可 以将面积分化为更简单的形式。
详细描述
在计算面积分时,可以利用格林公式将面积分化为更简单 的形式。具体地,设$P(x,y)$和$Q(x,y)$是定义在有界闭平 面区域D上的连续函数,且对任意$(x,y)$属于D,都有 $P_y = Q_x$,则面积分$int_D Pdx + Qdy$等于零。
此外,我们也可以进一步研究格 林公式的各种推广和变体,如高 维空间的格林公式、非线性格林 公式等。这些推广和变体将有助 于解决更广泛的问题,推动数学 和其他学科的发展。
非一致椭圆型方程的广义green函数
非一致椭圆型方程的广义green函数广义Green函数是解偏微分方程的一种方法,它可以通过椭圆型方程的积分表示来表示非一致椭圆型方程的解。本文将详细介绍广义Green函数的定义、性质和表示方法。
首先,我们来定义非一致椭圆型方程。非一致椭圆型方程是指不满足Laplace方程的椭圆型方程。它可以表示为:
\[Lu=f(x)\]
其中,\(L\)是一个椭圆型的偏微分算子,\(u\)是未知函数,
\(f(x)\)是给定函数。通常,非一致椭圆型方程的最常见形式是Poisson 方程:
\[\Delta u = f(x)\]
其中\(\Delta\)表示Laplace算子。
广义Green函数可以用于求解非一致椭圆型方程的边界值问题。边界值问题是指在给定边界条件下求解方程的特解。对于非一致椭圆型方程,广义Green函数的定义如下:
\[L_x G(x,y) = \delta(x-y) - \frac{1}{,\Omega,}\]
其中,\(L_x\)是关于\(x\)的椭圆型偏微分算子,\(G(x,y)\)是Green函数,\(\delta(x-y)\)是Dirac Delta函数,\(,\Omega,\)是定义域\(\Omega\)的体积。
广义Green函数的性质如下:
1. 广义Green函数是关于\(x\)的椭圆型方程的唯一解。
2. 广义Green函数在定义域\(\Omega\)内满足边界条件。
3. 广义Green函数在边界\(\partial \Omega\)上满足约束方程。
接下来,我们介绍用积分方法来表示广义Green函数的方法。
第五章Green函数法
1 这就表明 ( )的Fourier逆变换为 f (t ) u (t ) i
一些常见函数的广义Fourier变换: 1 1.u( t )和 ( )构成一个Fourier 变换对. i
u( t )的积分表达式在 t 0时,可写为
1 1 u( t ) 2
研究这类现象产生的问题都要涉及到下面介绍的函数若取金属线的总质量为1且集中分布在x0处则更一般的流强度现在要确定电路上的电进入一单位电量的脉冲设为中某一瞬时在原来电流为零的电路即累积电量电荷函数为止通过导体截面的表示上述电路中到时刻数对时间的变化率即由于电流强度是电荷函这个导数则得如果我们从形式上计算在这一点导数不存在从而在普通导数的意义是不连续的由于显然上例中的电流强度无法用一个普通函数来表示为了确定这类工程中常见的函数必须引入广义函数简记为函数
f (t ) [ (t )]dt
i 1
k
k
ti
t i
f (t ) [ (t )]dt
ti
f ( )
i 1
t i
[ (t )]dt
最后一步用了中值定理,其中 ti i ti ]
当
0时, i ti
1 δ函数的引入
设在x轴上有一金属线,则在任意点处金属线的密度为
m ( x) lim x0 x
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1 e a z h e b z h 2 r 0 a b
2.2 应力谱表达式
轴对称问题本构方程为:
(17)
2 k J1 kr dk
z e 2
u z z
u u rz r + z z r
(2)
iK R iK R 其中 e A e / R , e B e / R 。而 K 、 K 分别是纵波与横波波数, i 是虚数单位, I 是二 阶单位矩阵。如果圆柱坐标为 R ( ,其中 r,,z 分别为径向,切向与竖向坐标;且有 i r,,z)
x x1 1 r cos , y x2 2 r sin , z x3 3 。对于场点 x 到源点 ς 的距离 R 有:
2
(5)
如 Green 函数矩阵柱坐标表达式写为:
Grr G( R / )=G( R1 , R2 / ) G r G zr
Gr G Gz
Grz G z Gzz
(6)
G ji ( R / ) 物理涵义为作用于源点 i 向(径向,切向或竖向)的单位力在场点的 j 向(径向,切向或竖 向)产生的位移谱。 G ( R1 , R2 / ) 轴对称柱坐标表达式是: 4π 2 G ( R / )
式中 函数形式为:
(1)
, 是 lame 系数,u 是位移, 为物质密度,t 为时间变量。式(1)的 Stockes 解答的 Green
4π2 Gki ( R / ) ( Ie ( IeB ) ( Ie A )
iK R
/ R) ( IeiK R / R)
(7)
Sommerfeld 公式给出:
e i K R R J 0 kr e a z h R 0 iK R R b z -h e R J 0 kr e 0 k dk a k dk b
(8)
其中: a= k K ,b= k K 数,因此:
1
动力学方程的解
收稿日期: 修订日期: 基金项目:国家自然科学基金资助项目(11172268) 作者简介:丁伯阳(1949—) ,男,浙江绍兴人,教授,硕士生导师 (联系人. E-mail: dingboyang@zjut.edu.cn).
经典的弹性动力学方程是[1]:
2 u ( ) u 2 u/t 2
1 r
2
(19)
(+2 ) e
0
2 2
a z h
e
b z h
k 2 J kr dk
1
2
rz
a z h b z h k 2 a2 e k 2 +b 2 e k a k J kr dk 2 4π K r a r b a zh b z h 2 1 e e 3 3 k J kr dk r b a
2.1 位移谱表达式
由(7)式可得在 z 向作用单位集中力的轴对称坐标系 Green 函数位移表达式
[11-12]
:
ur Grr 0 u 0 G u G z zr 0
Grz 0 Grz 0 0 0 Gzz 1 Gzz
2
2
2
2
, h 是源点在 z 轴上离开原点的距离。 (8)式中 k 为 Bassel 参
J kr a z h k 2 2e A 2 e iK a R 2 ( ) kJ 0 kr 1 dk e 2 r r R r a 0
R x = R1 R2 r 2 z 2
而:
1 2 2 r z 0 1 2 r z r 0 1 2 r 0 1 2 r r z e iK R 0 R 1 2 r r 2
(3)
e iK R I R
(4)
由 u u u 可再得:
2 1 2 r z2 iK R e I 0 R 2 1 r zr 1 2 r rz iK R 1 e 0 2 r R 2 1 0 2 r r2 0
1 4 π 2 r
e
0
a zh
+e b z h k 2 J 1 kr d k
(12)
Gzz ( R / ) Gzz
1 k 2 a 2 1 a z h 1 b z h 3 e e 2 k J 0 kr dk 4π r a b 0 1 1 a z h 1 b z h 2 e e k J 1 kr kdk r 0a b
GREEN 函数对动力学 LAMB 问题的广泛表达形式
丁伯阳,陈军,徐庭
(浙江工业大学减灾防护工程研究所 浙江杭州 310014) 摘要: 根据经典弹性动力学方程 Stockes 解答的 Green 函数形式, 通过柱坐标下的波场矢量分析与 Sommerfild 公式,求得了无限空间轴对称问题柱坐标下的 Green 函数解答。再利用附加影响场与自由表面应力条件,作者 得到了 Green 函数对动力学 Lamb 问题的广泛表达形式, 即: 除了竖向位移 u zz 以及径向位移 urz 能同经典 Lamb 的结果相互映证外,广泛表达形式还给出了线扩张源 urr 与线扭转源 u 的解答。一些计算结果的图形也在文 中给出。 关键词:GREEN 函数; LAMB 问题; 广泛表达形式 中图分类号:TU435 文献标识码:A
(15)
2 2 把(12) (13)代入(15)并利用关系式 K 能得到:
ur
1 a zh b z h e e k 2 J1 kr dk 2 4πrK 0
(16)
2 2 2 1 1 k a k r a z h k 2 e b z h uz e J 0 kr kdk 2 4π K a r b 0
(9)
iK R 2e B 2 e b zh ( ) J 0 kr e kd k 2 2 z z R z 0
bJ kr e
0 0
1
b zh
kd k
(10)
iK R 2e B e ( ) r z r z R r
引
言
1885 年 Boussinesq 得到了半空间经典解答。 1904 年 Lamb[1]求得了简谐荷载下均质弹性半空间的 表面位移,也就是经典动力学的 Boussinesq 问题。之后,它成了动力基础半空间理论、地球物理波场 正反演理论的基础[2]。一系列相关的研究也在不断地继续,如:Pekeris[3]研究了在表面垂直点源力作用 下的均质弹性半空间的瞬态问题;王贻荪[4]利用 Pekeris 解,由 Laplace 变换获得复杂 Lamb 问题的闭 合解;Paul[5-6] (1976a,1976b)首次应用 Biot 理论,采用 Helmholtz 分解及 Hankel 变换与 Cagniard 方 法,研究了饱和弹性半空间的 Lamb 问题,得到了表面荷载和点荷载作用下的解答。另外,对于线扭转 问题,国内外学者也都做了很多工作。德国学者 Reissner[7](1937)最早开始研究土体在扭转振动荷载 作用下的动力响应,他在假定刚体底部半空间表面介质反力均匀分布下,得到了均质弹性半空间上刚体 圆柱垂直振动的近似解。 在 1944 年 Reissner 和 Sagoci[8]又研究了弹性土体表面圆板的扭转振动, 推导 了在复合边界条件下土体中的应力及位移,以及刚性体扭矩与土体扭转角的关系。Bycroft[9](1956)也 研究过 Reissner 和 Sagoci 的问题,他详细分析了无限弹性半空间上刚性圆板的竖向、摇摆、扭转和水 平振动的解答。以至于直到今天,国内外仍有不少工程学家对上述问题在作进一步的完善与发展。如近 年来 M.Rahman(2000)发展了 Reissner 和 Sagoci 的问题,研究了弹性半空间内部埋置刚性板的振 动;Kontoni,Manolis,Padro′等人研究的一些其他较复杂形式的振动问题 [10- 20]。应该说 100 多年来 借助于 Lamb 解答,土动力学,地球物理学在相关领域都取得了极大的进展[21]。但也应该看到上述相关 的 Lamb 问题解答在数学方法上基本利用积分变换, 一个问题一个解答, 以致至今没有广泛的表达形式。 本文根据经典弹性动力学方程 Stockes 解答的 Green 函数形式,通过柱坐标下的波场矢量分析与 Sommerfild 公式,求的了无限空间轴对称问题的 Green 函数解答。利用附加影响场与自由表面应力条 件, 得到了 Lamb 动力学问题解答的 Green 函数的广泛表达形式。 除了竖向位移 u z z 及径向位移 u r z 外, 还给出了线扩张源位移 u r r 与线扭转位移 u 的解答。虽然这些结果能同已有的 Lamb 的结果相互映 证,但 Lamb 动力学问题解答的广泛表达形式一个前人未曾涉及的问题。这对 Lamb 动力学问题研究的 深化与发展,动力学理论的综合与统一,新问题的分析与求解,会有新的意义。
0
J 0 kr e b z h kd k
J kr e
0
b zh
k 2dk
(11)
由 Bassel 函数性质知 h 0 时, 1 ; h<0 时, 1 把(9) (10) (11)式代入(7)式得到:
G zr ( R / ) G zr
1 rk 2 a zh beb z h J0 kr kdk a r 1 2 e 2 4π r 0 a
(13)
Grr ( R / ) Grr
(14)
2来自百度文库
轴对称坐标系的 Green 函数的位移与应力表达式
(18)
其中 e 为体应变。把(16) (17)代入(18)可以得到:
z
1 1 J0 kr kdk +2 k 2 a2 ea zh - -2 ea zh +eb zh k 2 2 4πK 0 r
2 2 eA eB 2eB 2 e 0 2 A 2 rz rrz rz 1 1 0 2 eA 2 2 eB 0 r r 2 2 2 eB eA eB 2 0 e 2 A rrz rr2 rr