温州市杨府山高复学校文科数学(十三)

温州市杨府山高复学校文科数学（十三）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.1、已知集合{}1-==x y x M ，{})2(log 2x y x N -==，则=)(N M C R （ ）A ． [1,2)B ．),2[)1,(+∞-∞C ． [0,1]D ． ),2[)0,(+∞-∞ 2、在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，设命题p ：AcC b B a sin sin sin ==，命题q ： ABC ∆是等边三角形，那么命题p 是命题q 的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件． C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3、 已知直线l 、m 与平面α、β，βα⊂⊂m l ,，则下列命题中正确的是A ．若m l //，则必有βα//B ．若m l ⊥，则必有βα⊥C ．若β⊥l ，则必有βα⊥D ．若βα⊥，则必有α⊥m4、 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的体积是 （ ）A ．3B ．33 C ．2 D ．32 5、已知函数()=ln f x x ，则函数()=()'()g x f x f x -的零点所在的区间是（ ）A ．（0,1）B ．（1,2） C. （2,3） D. （3,4） 6、为得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（ ） A ．向左平移5π12个长度单位B ．向右平移5π12个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位7、过双曲线12222=-by a x 的左焦点F 作⊙O : 222a y x =+的两条切线，记切点为A,B ,双曲线左顶点为C ，若120=∠ACB ,则双曲线的渐近线方程为 （ ） A ． x y 3±= B ． x y 33±= C ．x y 2±= D ．x y 22±=8、已知数列}{n a 满足条件：112a =，()111n n n a a n N a +++=∈-，则对n 20≤的正整数，611=++n n a a 的概率为 （ ）A.201 B.41 C.51D ．09、在等差数列{}n a 中，若11101a a <-，且它的前n 项和n S 有最小值，那么当n S 取得最小正值时，n =（ ）A ．18B ．19C ．20D ．2110、函数)(x f 的定义域为D ，若对于任意D x x ∈21,，当21x x <时都有)()(21x f x f ≤，则称函数)(x f 在D上为非减函数，设)(x f 在[]1,0上为非减函数，且满足以下条件：).(1)1()3(:)(21)3()2(:0)0()1(x f x f x f x f f -=-==则=+)81()31(f f （ ）A ．43 B.21 C ．1 D ．32非选择题部分二、填空题11、设i i z (-1=是虚数单位），则=+z z2212某校高三文科班从甲、乙两个班各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如右图，其中甲班学生成绩的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83，则x +y 的值为________ 13、如果执行下面的程序框图，那么输出的k 的值为_________14、已知实数,x y 满足24020y x y x y ≥⎧⎪++≥⎨⎪--≤⎩，则22y x +的最小值为15、 已知,a b均为单位向量，且它们的夹角为60°，当||()a b R λλ+∈ 取最小值时，λ=___16、过点)1,0(P 作直线l 交圆4:22=+y x C 与两点，过其中任一点A 作直线l 的垂线交圆于点B ，当直线l 绕点P 转动时，则AB 最长为___________17、连续抛掷两枚正方体骰子（它们的六个面分别标有数字1,2,3,4,5,6），记所得朝上的面的点数分别为,x y ，过坐标原点和点(3,3)P x y --的直线的倾斜角为θ，则60>θ的概率为___________（P 与坐标原点重合算不满足）。

三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

(18) (本题满分14分) 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且cos B cos C ＝－b2a ＋c .（Ⅰ）求角B 的大小； （Ⅱ）若b ＝13，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积．(19)(本题满分14分)已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且25a =-，520S =-． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求使不等式n n S a >成立的n 的最小值．第13题图 （12题）乙甲y x 611926118056798(20) (本题满分14分)如图所示，已知圆O 的直径AB 长度为4，点D 为线段AB 上一点，且13AD DB =，点C 为圆O上一点，且BC =．点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D ，PD BD =． （Ⅰ）求证：CD ⊥平面PAB ；（Ⅱ）求PD 与平面PBC 所成的角的正弦值。

(21) (本题满分15分)设函数21()ln ().2a f x x ax x a R -=+-∈ （Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的极值；（Ⅱ）当1a >时，讨论函数()f x 的单调性.（Ⅲ）若对任意(3,4)a ∈及任意12,[1,2]x x ∈，恒有212(1)ln 2()()2a m f x f x -+>- 成立，求实数m 的取值范围.(22) (本题满分15分) 已知椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>的右焦点与抛物线22:4C y x =的焦点F 重合, 椭圆1C 与抛物线2C 在第一象限的交点为P ,53PF =. (1)求椭圆1C 的方程；（2）若过点()1,0A -的直线与椭圆1C 相交于M 、N 两点，求使FM FN FR +=成立的动点R 的轨迹方程；（3）若点R 满足条件（2），点T 是圆()2211x y -+=上的动点，求RT 的最大值.温州市杨府山高复学校文科数学（十三）数学卷（文） 参考答案一、选择题：BCCAB AABCA二、填空题：11.1; 12.8; 13.65; 14.4; 15. -1/2; 16.2; 17.5/9 三、解答题：18. 解（Ⅰ）由正弦定理，可得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，将上式代入已知的cos B cos C ＝－b 2a ＋c ，得cos B cos C ＝－sin B2sin A ＋sin C ，……（3分）即2sin Acos B ＋sin Ccos B ＋cos Csin B ＝0，即2sin Acos B ＋sin(B ＋C)＝0.A B C π++= ，因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(B ＋C )＝sin A ，故2sin A cos B ＋sin A ＝0.因为sin A ≠0，故cos B ＝－12，又因为B 为三角形的内角，所以B ＝23π. ……………… （7分）方法二 由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab .将上式代入cos B cos C ＝－b2a ＋c，得a 2＋c 2－b 22ac ×2ab a 2＋b 2－c 2＝－b 2a ＋c，整理得a 2＋c 2－b 2＝－ac ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－ac 2ac ＝－12，因为B 为三角形内角，所以B ＝23π.（Ⅱ）将b ＝13，a ＋c ＝4，B ＝23π代入余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 的变形式：b 2＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B . ………………（9分）所以13＝16－2ac ⎝⎛⎭⎫1－12，即得ac ＝3，所以S △ABC ＝12ac sin B ＝343.…………（14分）. 19解：设{}n a 的公差为d ，依题意，有 21515,51020a a d S a d =+=-=+=- …2分联立得11551020a d a d +=-⎧⎨+=-⎩解得161a d =-⎧⎨=⎩ ………5分所以6(1)17n a n n =-+-⋅=- ………………7分 （II ）因为7n a n =-，所以1(13)22n n a a n n S n +-== ………………9分 令(13)72n n n ->-，即215140n n -+> ………………11分 解得1n <或14n >又*N n ∈，所以14n >所以n 的最小值为15 ……14分 20. 解: （Ⅰ）连接CO ，由3AD DB =知，点D 为AO 的中点，又∵AB 为圆O 的直径，∴AC CB ⊥BC =知，60CAB ∠=，∴ACO ∆为等边三角形，从而CD AO ⊥．-----------------3分∵点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D ，∴PD ⊥平面ABC ， 又CD ⊂平面ABC ，∴PD CD ⊥，-----------------5分 由PD AO D = 得，CD ⊥平面PAB ．-----------------6分（Ⅱ）法1：过D 作⊥DH 平面PBC 交平面于点H ，连接PH ，则DPH ∠即为所求的线面角。

-----8分由（Ⅰ）可知CD =3PD DB ==，∴111113333232P BDC BDC V S PD DB DC PD -∆=⋅=⋅⋅⋅=⨯⨯=--------10分PB=PC ==BC =∴PBC ∆为等腰三角形，则122PBC S ∆=⨯=． 由P BDC D PBC V V --=得，553=DH ----12分∴55sin ==∠PD DH DPH -------14分 法2：由（Ⅰ）可知CD =3PD DB ==，过点D 作DE CB ⊥，垂足为E ，连接PE ，再过点D 作DF PE ⊥，垂足为F ．-----8分∵PD ⊥平面ABC ，又CB ⊂平面ABC ，∴PD CB ⊥，又PD DE D = ， ∴CB ⊥平面PDE ，又DF ⊂平面PDE ，∴CB DF ⊥，又CB PE E = ， ∴DF ⊥平面PBC ，故DPF ∠为所求的线面角--------10分 在Rt DEB ∆中，3sin 302DE DB =⋅=，PE ==， 55sin sin ==∠=∠PE DE DPE DPF -----------14分 21.解(Ⅰ)函数的定义域为(0,)+∞.当1a =时，'11()ln ,()1,x f x x x f x x x-=-=-=（2分） 当01x <<时，'()0;f x <当1x >时，'()0.f x > ()=(1)1,f x f ∴=极小值无极大值.（4分）（Ⅱ）'1()(1)f x a x a x =-+-2(1)1a x ax x-+-= 1(1)()(1)1a x x a x----= （5分） 当111a =-，即2a =时，2'(1)()0,x f x x -=-≤ ()f x 在定义域上是减函数； 当111a <-，即2a >时，得101x a <<-或1;x >令'()0,f x >得1 1.1x a <<- 当111a >-，即12a <<时，得01x <<或1;1x a >-令'()0,f x >得11.1x a <<- 综上，当2a =时，()f x 在(0,)+∞上是减函数；当2a >时，()f x 在1(0,)1a -和(1,)+∞单调递减，在1(,1)1a -上单调递增； 当12a <<时，()f x 在(0,1)和1(,)1a +∞-单调递减，在1(1,)1a -上单调递增； （9分） （Ⅲ）由（Ⅱ）知，当(3,4)a ∈时，()f x 在[1,2]上单减，(1)f 是最大值，(2)f 是最小值.123()()(1)(2)ln 222a f x f x f f ∴-≤-=-+， (11分)∴2(1)ln 22a m -+>3ln 222a -+,而0a >经整理得231a m a ->-， 由34a <<得2310115a a -<<-，所以1.15m ≥ (15分) 22解：（本小题满分15分）(1抛物线22:4C y x =的焦点F 的坐标为()1,0，准线为1x =-， 设点P 的坐标为()00,x y ，依据抛物线的定义， 由53PF =，得01x +53=， 解得023x =.…………… 1分∵ 点P 在抛物线2C 上，且在第一象限， ∴ 2002443y x ==⨯，解得0y =. ∴点P的坐标为23⎛⎝⎭. …………… 2分 ∵点P 在椭圆22122:1x y C a b+=上， ∴2248193a b +=. …… 3分又1c =，且22221a b c b =+=+， …………… 4分解得224,3a b ==. ∴椭圆1C 的方程为22143x y +=. ………… 5分 (2)设点M()11,x y 、()22,N x y 、(),R x y ，则()()()11221,,1,,1,FM x y FN x y FR x y =-=-=-.∴()12122,FM FN x x y y +=+-+.∵ FM FN FR += ,∴121221,x x x y y y +-=-+=. ① ………… 6分∵M 、N 在椭圆1C 上， ∴222211221, 1.4343x y x y +=+= 上面两式相减得()()()()12121212043x x x x y y y y +-+-+=.②把①式代入②式得()()()12121043x x x y y y +--+=.当12x x ≠时，得()1212314x y y x x y+-=--. ③ ……… 7分 设FR 的中点为Q ，则Q 的坐标为1,22x y +⎛⎫⎪⎝⎭. ∵M 、N 、Q 、A 四点共线， ∴MNAQ k k =, 即121221312yy y y x x x x -==+-++. ④ …… 8分 把④式代入③式，得()3134x y x y+=-+，化简得()2243430y x x +++=.… 9分 当12x x =时，可得点R 的坐标为()3,0-，经检验，点()3,0R -在曲线()2243430y x x +++=上. ∴动点R 的轨迹方程为()2243430y x x +++=. ……… 10分(3)解: 由(2)知点R ()x y ,的坐标满足()2243430y x x +++=,即()224343y x x =-++, 20y ≥,得()23430x x -++≥,解得31x -≤≤-.11分∵圆()2211x y -+=的圆心为()10F ,,半径1r =,∴RF ==12=…………… 12分∴当3x =-时,4RF max=, …………… 13分此时,415RT max=+=. ………… 15分。