河南省2016届高三考前冲刺卷(二)理数试题Word版含答案.doc

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2016年高考数学(理)冲刺卷(新课标Ⅱ卷) 06(解析版) Wo

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．若集合}3121|{≤+≤-=x x A ，}02|{≤-=xx x B ，则=B A （） A ．}01|{<≤-x x B ．}10|{≤<x x C ．}20|{≤≤x x D ．}10|{≤≤x x 【命题意图】本题主要考查不等式、分式不等式求解及集合运算，意在考查分析问题解决问题的能力. 【答案】B 【解析】由题意得，{|1213}{|11}A x x x x =-≤+≤=-≤≤，2{|0}{|02}x B x x x x-=≤=<≤，所以=B A }10|{≤<x x ，故选B. 2.已知复数23i1iz -=+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【命题意图】本题主要考查复数的概念和运算，意在考查运算求解能力. 【答案】C3.某学校有男学生400名，女学生600名．为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取男学生40名，女学生60名进行调查，则这种抽样方法是（） A ．抽签法 B ．随机数法 C ．系统抽样法 D ．分层抽样法【命题意图】本题考查分层抽样的概念，意在考查对概念的理解和运用能力. 【答案】D【解析】由题意知样本和总体中男、女生的比例都是2:3，所以这种抽样方法为分层抽样，故选D.4. 等差数列}{n a 中，20,873==a a ，若数列}1{1+n n a a 的前n 项和为254，则n 的值为（） A. 18 B. 16 C. 15 D. 14【命题意图】本题主要考查等差数列的通项公式和求和，意在考查考生的运算求解能力．【答案】B已知1x ，2x （12x x <）是函数1()ln 1f x x x =--的两个零点，若()1,1a x ∈，()21,b x ∈，则（）A ．()0f a <，()0f b <B ．()0f a >，()0f b >C ．()0f a >，()0f b <D ．()0f a <，()0f b >【命题意图】本题主要考查函数的零点，意在考查数形结合思想和运算求解能力. 【答案】C【解析】函数1()ln 1f x x x =--的零点即1()ln 01f x x x =-=-，所以1ln 1x x =-，分别作出1y l n 1x y x ==-与的图象，如图所示，由图可知1ln 1a a >-，1()lna 01f a a =->-，1ln 1b b <-， 1()l n 01f b b b =-<-，故选C.6. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．3πB ．103πC ．6πD ．83π【命题意图】本题主要简单几何体的三视图，意在考查数形结合思想和运算求解能力. 【答案】A已知圆()()111:22=-++y x C 与x 轴的公共点为A ，与y 轴的公共点为B ，设劣弧AB 的中点为M ，则过点M 的圆C 的切线方程是（）A ．22-+=x yB ．211-+=x y C ．22+-=x y D ．21-+=x y【命题意图】本题主要考查直线与圆的位置关系，意在考查数形结合思想和运算求解能力. 【答案】A【解析】由题意，M 为直线y x =-与圆的一个交点，代入圆的方程可得：()()22111x x ++--=，由题劣弧AB 的中点为M ，1,122x y ∴=-=-，由已知可知过点M 的圆C 的切线的斜率为1，∴过点M 的圆C 的切线方程是1122y x -+=-+，即22-+=x y .故选A. 7.执行如图所示的程序框图，若输出的S=88，则判断框内应填入的条件是（） A ．k ＞7 B ．k ＞6 C ．k ＞5 D ．k ＞4【命题意图】本题主要考查学生对程序框图的理解,意在考查简单的运算与判断能力.【答案】C已知三棱锥ABC P -中，4=PA ，32==AC AB ，6=BC ，ABC PA 面⊥，则此三棱锥的外接球的表面积为（）A ．π16B ．π32C ．π64D ．π128【命题意图】本题主要考查棱锥的外接球，球的表面积，意在考查化归思想、数形结合思想及分析问题解决问题的能力. 【答案】C如图所示的图形是由一个半径为2的圆和两个半径为1的半圆组成，它们的圆心分别是O ， 12,O O ，动点P 从A 点出发沿着圆弧按A O B C A D B →→→→→→的路线运动（其中12,,,,A O O O B 五点共线），记点P 运动的路程为x ，设21y O P =,y 与x 的函数关系为()y f x =，则()y f x =的大致图象是（）【命题意图】本题主要考查函数的性质及应用和平面向量及应用等知识，意在考查学生的综合应用能力和运算求解能力以及数形结合思想.【答案】A椭圆22:143x yC+=的上下顶点分别为12,A A，点P在C上且直线2PA斜率的取值范围是[]2,1--，那么直线1PA斜率的取值范围是（）A．13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦B．33,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦C．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D．3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦【命题意图】本题主要考查直线与椭圆的位置关系，意在考查学生的综合应用能力和运算求解能力以及数形结合思想.【答案】B【解析】由椭圆的标准方程可知，其上下顶点分别为)3,0(),3,0(21-A A .设点),(n m P ，则13422=+n m （1），则12PA PA n n k k m m==则12223PA PA n n n k k m m m-=⋅=，将（1）代入得1234PA PA k k =-，因为2PA 斜率的取值范围是[]2,1--，所以线1PA 斜率的取值范围是33,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选 B.8.设函数()()()222ln 2f x x a x a=-+-，其中0,x a R >∈，存在0x R ∈，使得()045f x ≤成立，则实数a 的值是（） A ．15 B ．25 C ．12D ．1 【命题意图】本题主要考查导数应用，不等式能成立问题，意在考查等价转化能力和运算求解能力. 【答案】A第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上）13.已知点O 为ABC ∆内一点，且0OA OB OC ++=则:ABC BOC S S ∆∆=________．【命题意图】本题主要考查向量的性质和运算，考查了考生运算求解能力与数形结合思想．【答案】3:1 【解析】如图330OA OB OC OA OA AB OA AC OA AB AC OA AD ++=++++=++=+=，即3A O A D =，又12A EA D =，所以有21,33AO AE OE AE ==即，则:ABC B O CS S ∆∆=3:1A E O E =:. 14.若实数x ，y 满足条件10300x y x y y -+≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩则133y x --的取值范围是_______________．【命题意图】本题主要考查线性规划等基础知识，考查考生的运算求解能力以及数形结合思想．【答案】⎥⎦⎤⎢⎣⎡31,7115.已知55104)1()1()1)(2(++⋅⋅⋅+++=-+x a x a a x x ，则=++531a a a ______.【命题意图】本题考查二项式定理的应用等基础知识，意在考查考生的转化和化归能力以及运算求解能力．【答案】1【解析】在已知式中，令0x =得40123452(1)2a a a a a a +++++=⨯-=①，令2x =-得0123450a a a a a a -+-+-=②，①－②得1352()2a a a ++=，所以1351a a a ++=． 16.数列{}n a 中，11a =，n S 为数列{}n a 的前n 项和，且对2n ∀≥，都有221nn n na a S S =-，则数列{}n a 的通项公式n a = .【命题意图】本题考查数列的通项公式等基础知识，考查学生转化与化归的思想. 和基本运算能力.【答案】1,12,2(1)n n a n n n =⎧⎪=⎨-≥⎪+⎩【解析】当2n ≥时，由221n n n na a S S =-，得2112()n n n n n n n S S a S S S S ---=-=-，所以1221n n S S --=，又122S =，所以2{}n S 是以2为首项，1 为公差的等差数列，21nn S =+，所以 21n S n =+，所以2221n a n n =-⋅+，2(1)n a n n =-+，又11a =不满足上式，所以1,12,2(1)n n a n n n =⎧⎪=⎨-≥⎪+⎩. 三、解答题（本大题共6小题,共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.（本小题满分12分）已知函数2ππ()sin()sin()2cos (R,0)662xf x x x x ωωωω=++--∈>. （1）求函数)(x f 的值域；（2）若π3x =是函数)(x f 的图像的一条对称轴且51<<ω，求)(x f 的单调递增区间．【命题意图】本题考查三角函数恒等变换，函数的单调性及其值域. 意在考查运算能力及分析问题、解决问题的能力．（本小题满分12分）在一次考试中，5名同学的数学、物理成绩如下表所示：（1）根据表中数据，求物理分y对数学分x的回归直线方程；（2）要从4名数学成绩在90分以上的同学中选出2名参加一项活动，以X表示选中的同学中物理成绩E高于90分的人数，求随机变量X的分布列及数学期望(X)附：回归方程ˆˆˆybx a =+，121()(y )ˆ()niii nii x x y b x x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-，其中x ，y 为样本平均数.【命题意图】本题主要考查回归分析和离散型随机变量的概率分布及其期望．意在考查数据分析与处理能力.（本小题满分12分）棱柱1111ABCD A B C D -的所有棱长都等于2，60ABC ∠=︒，平面11AAC C ⊥平面ABC D ，160A AC ∠=︒．（1）证明：1BD AA ⊥；（2）求二面角1D A A C --的平面角的余弦值；（3）在直线1CC 上是否存在点P ，使BP平面11DAC ？若存在，求出点P 的位置．【命题意图】本题主要考查直线与平面垂直、二面角、直线与平面平行的判定．意在考查逻辑推理能力及空间想象能力.（3）存在，点P 在1C C 的延长线上且1CP C C =，证明如下：延长1C C 到P 使1CP C C =，连接1,B C BP ，则1BPB C ，∴1BP A D ．又1A D ⊂平面11DAC ，BP ⊄平面11DAC ，∴BP平面11DAC ．（12分）18.（本小题满分12分）已知椭圆14:22=+y x E 的左，右顶点分别为B A ,，圆422=+y x 上有一动点P ，点P 在x 轴的上方，()0,1C ，直线PA 交椭圆E 于点D ，连接PB DC ,.（1）若︒=∠90ADC ，求△ADC 的面积S ；（2）设直线DC PB ,的斜率存在且分别为21,k k ，若21k k λ=，求λ的取值范围. 【命题意图】本题主要考查椭圆的方程与几何性质的应用，意在考查学生转化与化归能力，综合分析问题解决问题的能力，推理能力和运算能力．（2）设()22,y x D , 动点P 在圆422=+y x 上, ∴1-=⋅PA PB k k . 又21k k λ=, ∴1212222-⋅=+-x y x y λ, 即()()222212y x x -+-=λ=()()41122222x x x --+- =()()()222244112x x x --+-=21422--⋅x x =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+21142x . （8分）又由题意可知()2,22-∈x ,且12≠x , 则问题可转化为求函数()()()1,2,22114≠-∈⎪⎭⎫⎝⎛-+=x x x x f 且的值域. 由导数可知函数()x f 在其定义域内为减函数，∴函数()x f 的值域为()()3,00,⋃∞-，从而λ的取值范围为()()3,00,⋃∞-. （12分） 19.(本小题满分12分)已知函数21()ln()(0)2f x a x a x x a =--+<. （1）求()f x 的单调区间；（2）若12(ln 21)a -<<-，求证：函数()f x 只有一个零点0x ，且012a x a +<<+．【命题意图】本题主要考查导数的应用及不等式证明问题问题，同时考查转化与化归思想的应用.（2）证明：当12(ln 21)0a -<<-<时，由（1）知，()f x 的极小值为(0)f ，极大值为(1)f a +.因为(0)ln()0=->f a a ，2211(1)(1)(1)(1)022+=-+++=->f a a a a 且又由函数()f x 在(1,)a ++∞是减函数，可得()f x 至多有一个零点. （8分）又因为211(2)ln 2[2(ln 21)]022+=--=---<f a a a a a a ，所以函数()f x 只有一个零点0x ，且012a x a +<<+. （12分）请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一个题目计分．22.（本题满分10分）选修41-：几何证明选讲如图，ABC ∆内接于直径为BC 的圆O ，过点A 作圆O 的切线交CB 的延长线于点M ，BAC ∠的平分线分别交圆O 和BC 于点D ，E ，若5152MA MB ==.（1）求证：52AC AB =；（2）求AE ×DE 的值.【命题意图】本小题主要考查相似三角形的判断，切割线定理等基础知识，意在考查学生利用平面几何知识推理证明的能力和逻辑思维能力.23.（本题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为：1x y ϕϕ⎧=+⎪⎨=⎪⎩.（ϕ是参数，0ϕπ≤≤）.以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）直线1l 的极坐标方程是033)3sin(2=++πθρ，直线)(3:2R l ∈=ρπθ与曲线C 的交点为P ，与直线1l 的交点为Q ，求线段PQ 的长.【命题意图】本题主要考查参数方程、极坐标方程与普通方程的互化及三角恒等变换.意在考查转化能力运算能力.24.（本题满分10分）选修4－5：不等式选讲函数()f x =（1）若5a =，求函数()f x 的定义域A ；（2）设{}|12B x x =-<<，当实数,(())R a b BA ∈ð时，证明：124a b ab +<+．【命题意图】本题主要考查绝对值不等式的解法，意在考查代数变形能力. 【解析】（1）由1250x x +++-≥，得{}|41A x x x =≤-≥或；（5分）（2）∵()(1,1)R BA =-ð，∵,(1,1)a b ∈- ∴0)4)(4-(22>-b a ∴224()(4)a b ab +<+∴124a b ab+<+（10分）。

河南省郑州市2016届高三第二次模拟考试数学(理)试题 (word版)

2016年郑州市高中毕业年级第二次质量预测理科数学试题卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考试时间120分钟，满分150分．考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效．交卷时只交答题卡．第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题,每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．） 1．已知集合A ＝{x ｜y ＝4x －}，B ＝{x ｜－1≤2x －1≤0}，则C R A ∩B ＝A ．（4，＋∞）B ．[0，12] C ．（12，4] D ．（1，4] 2．命题“0x ∃≤0，使得20x ≥0”的否定是A ．x ∀≤0，2x ＜0B ．x ∀≤0，2x ≥0C ．0x ∃＞0，20x ＞0D ．0x ∃＜0，20x ≤03．定义运算,,a b c d ＝ad －bc ，则符合条件,1,2z ii i＋－＝0的复数z 对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限4．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是A ．2014B ．2015C ．2016D ．20175．曲线f （x ）＝3x －x ＋3在点P 处的切线平行于直线y ＝2x －1，则P 点的坐标为 A ．（1，3） B ．（－1，3） C ．（1，3）和（－1，3） D ．（1，－3） 6．经过点（2，1），且渐近线与圆22(2)x y ＋－＝1相切的双曲线的标准方程为A ．22111113x y －＝B ．2212x y －＝ C ．22111113y x －＝ D ．22111113y x －＝ 7．将函数f （x ）＝sin （2x －2π）的图象向右平移4π个单位后得到函数g （x ），则g （x ）具有性质A ．最大值为1，图象关于直线x ＝2π对称 B ．在（0，4π）上单调递减，为奇函数 C ．在（38π－，8π）上单调递增，为偶函数D ．周期为π，图象关于点（38π，0）对称8．设数列{n a }满足：a 1＝1，a 2＝3，且2n n a ＝（n －1）1n a －＋（n ＋1）1n a ＋，则a 20的值是 A ．415 B ．425 C ．435 D ．4459．如图是正三棱锥V －ABC 的正视图、侧视图和俯视图，则其侧视图的面积是A ．4B ．5C ．6D ．710．已知定义在R 上的奇函数y ＝f （x ）的图像关于直线x ＝1对称，当－1≤x ＜0时，f （x ）＝－12log ()x －，则方程f （x ）－12＝0在（0，6）内的零点之和为A ．8B ．10C ．12D ．1611．对α∀∈R ，n ∈[0，2]，向量c ＝（2n ＋3cos α，n －3sin α）的长度不超过6的概率为 A ．510 B ．2510 C ．3510 D ．25512．已知A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，向量m 满足｜m ｜＝62，且m ＝（2s i n 2B C ＋，c o s 2B C－），若A 最大时，动点P 使得｜PB uu r ｜、｜BC uu u r ｜、｜PC uu u r ｜成等差数列，则PA BCuu r uu u r的最大值是 A ．233 B ．223 C ．24D ．324 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13—21题为必考题,每个试题考生都必须作答．第22－24题为选考题．考生根据要求作答．二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分．） 13．已知{n a }为等差数列，公差为1，且a 5是a 3与a 11的等比中项，n S 是{n a }的前n 项和，则S 12的值为__________．14．已知正数x ，y 满足2x ＋2xy －3＝0，则2x ＋y 的最小值是___________．15．已知x ，y 满足2,4,20,x x y x y m ⎧⎪⎨⎪⎩≥＋≤－－≤若目标函数z ＝3x ＋y 的最大值为10，则z 的最小值为____________．16．在正三棱锥V —ABC 内，有一半球，其底面与正三棱锥的底面重合，且与正三棱锥的三个侧面都相切，若半球的半径为2，则正三棱锥的体积最小时，其高等于__________．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足cos2C －cos2A ＝2sin （3π＋C ）·sin （3－C ）．（Ⅰ）求角A 的值；（Ⅱ）若a ＝3且b ≥a ，求2b －c 的取值范围．18．（本小题满分12分）为了解人们对于国家新颁布的“生育二胎放开”政策的热度，现在某市进行调查，随机抽调了50人，他们年龄的频数分布及支持“生育二胎”人数如下表：（Ⅰ）由以上统计数据填下面2乘2列联表，并问是否有99％的把握认为以45岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异；（Ⅱ）若对年龄在[5，15），[35，45）的被调查人中各随机选取两人进行调查，记选中的4人中不支持“生育二胎”人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望．参考数据：19．（本小题满分12分）如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ＝DC ＝CB ＝1，∠BCD ＝120°，四边形BFED 为矩形，平面BFED ⊥ 平面ABCD ，BF ＝1．（Ⅰ）求证：AD ⊥平面BFED ；（Ⅱ）点P 在线段EF 上运动，设平面PAB 与平面ADE所成锐二面角为θ，试求θ的最小值．20．（本小题满分12分）已知曲线C 的方程是221mx ny ＋＝（m ＞0，n ＞0）,且曲线C 过A （24，22），B （66，33）两点，O 为坐标原点．（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）是曲线C 上两点，且OM ⊥ON ，求证：直线MN 恒与一个定圆相切．21．（本小题满分12分）已知函数f （x ）＝21xe x mx －＋．（Ⅰ）若m ∈（－2，2），求函数y ＝f （x ）的单调区间；（Ⅱ）若m ∈（0，12]，则当x ∈[0，m ＋1]时，函数y ＝f （x ）的图象是否总在直线y ＝x 上方?请写出判断过程．请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，正方形ABCD 边长为2，以A 为圆心、DA 为半径的圆弧与以BC 为直径的半圆O 交于点F ，连结BF 并延长交 CD 于点E ．（Ⅰ）求证：E 为CD 的中点；（Ⅱ）求EF ·FB 的值． 23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程平面直角坐标系xOy 中，曲线C ：22(1)1x y －＋＝．直线l 经过点P （m ，0），且倾斜角为6．以O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系．（Ⅰ）写出曲线C的极坐标方程与直线l的参数方程；（Ⅱ）若直线l与曲线C相交于A，B两点，且｜PA｜·｜PB｜＝1，求实数m的值．24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数f（x）＝｜x＋6｜－｜m－x｜（m∈R）．（Ⅰ）当m＝3时，求不等式f（x）≥5的解集；（Ⅱ）若不等式f（x）≤7对任意实数x恒成立，求m的取值范围．2016年高中毕业年级第二次质量预测数学理科参考答案一、选择题BABDC ABDCC CA二、填空题 13.54, 14.3, 15.5, 16.23 三、解答题17．解：（1）由已知得222sin 2sin A C -=22312cos sin 44C C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，………2分化简得3sin 2A =，故233A ππ=或．………………………………5分（2）由正弦定理2sin sin sin b c aB C A===，得2sin ,2sin b B c C ==，…7分故224sin 2sin 4sin 2sin()3b c B C B B π-=-=--=3sin 3cos B B - 23sin().6π=-B ……………………………9分因为b a ≥，所以233B ππ≤<，662B πππ≤-<，………11分所以223sin()[3,23)6b c B π-=-∈． ………12分18.解：(Ⅰ)2乘2列联表年龄不低于45岁的人数年龄低于45岁的人数合计支持 3a = 29c = 32 不支持 7b =11d =18 合计104050………………………………………………2分()()()()2250(311729) 6.27372911329711K ⨯⨯-⨯=≈++++＜6.635…………………4分所以没有99%的把握认为以45岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异.………………………………………………5分(Ⅱ)所有可能取值有0, 1,2,3, ………………………6分ξ22842251062884(0),1045225C C P C C ζ==⋅=⨯=()211128824422225105104286161041,10451045225C C C C C P C C C C ζ==⨯+⨯=⨯+⨯=()1112282442222251051041661352,10451045225C C C C C P C C C C ζ==⨯+⨯=⨯+⨯=124222510412(3),1045225C C P C C ζ==⋅=⨯=……………………10分所以的分布列是0 1 2 384225104225 35225 2225 所以的期望值是10470640.2252252255E ζ=+++=………………………12分 19.解：(1)在梯形ABCD 中，∵AB ∥CD ，1,AD DC CB ===o120,∠=BCD∴ 2.AB =∴2222cos60 3.oBD AB AD AB AD =+-⋅⋅=………………………2分∴222,AB AD BD =+∴.AD BD ⊥∵平面BFED ⊥平面,ABCD平面BFED ⋂平面,ABCD BD =DE ⊂平面BEFD ，,DE DB ⊥ ∴,DE ABCD ⊥平面………………………4分∴,DE AD ⊥又,DE BD D ⋂= ∴.AD BFED ⊥平面………………………6分(2)由(1)可建立分别以直线,,DA DB DE 为x 轴，y 轴，z 轴的，如图所示的空间直角坐标ξP ξξ系，令EP λ= (0≤λ≤3),则()0,0,0,D ()1,0,0,A ()0,3,0,B ()0,,1,P λ∴(1,3,0),AB =-u u u r (0,3,1),BP λ=-u u r………………………8分设1(,,)n x y z =u r为平面PAB 的一个法向量，由0,0,1⎧=⎪⎨=⎪⎩n AB n BP 1u r uu u r g u r uu r g 得30,(3)0,λ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩x y y z 取1,y =则1(3,1,3),n λ=-u r………………………10分∵()20,1,0n =u u r是平面ADE 的一个法向量,∴()()12221211cos .313134n n n n θλλ⋅===++-⨯-+u r u u r u r u u r ∵0≤λ≤3,∴当λ=3时，cos θ有最大值12. ∴θ的最小值为3π………………………12分 20.解：（1）由题可得：111,82111,63⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩m n m n 解得4, 1.m n ==所以曲线C 方程为1422=+x y . ………………………4分（2）由题得：,142121=+x y ,142222=+x y 02121=+y y x x ………………………6分原点O 到直线MN 的距离222222221122112222222212121212()()()()()()OA OB x y x y x y x y d ABx x y y x x y y ⋅++++===+++-+-)(329)(31)(32)31)(31(22212221222122212221x x x x x x x x x x +-++-=+---=………………………8分由02121=+y y x x 得：)41)(41(222122212221x x y y x x --==2221222116)(41x x x x ++-= 所以151)(15422212221-+=x x x x 2222121222121223()()5523()x x x x d x x -++++=-+=2212221223()555.23()5x x x x -+=-+………………………11分所以直线MN 恒与定圆5122=+y x 相切.………………………12分 21.解：（1）函数定义域为,R 2'2222(12)(1)(1)()(1)(1)x x e x mx x m e x x m f x x mx x mx -+-+---==-+-+ ………………………1分①'11,0()0,()m m f x f x +==≥当即时，此时在R 上单调递增 ②11,02m m +><<当即时，'(,1)()0,()x f x f x ∈-∞>时，此时单调递增，'(1,1)()0,()x m f x f x ∈+<时，此时单调递减，'(1,)()0,()x m f x f x ∈++∞>时，此时单调递增.③11,0m m +<<<当即-2时，'(,1)()0,()x m f x f x ∈-∞+>时，此时单调递增，'(1,1)()0,()x m f x f x ∈+<时，此时单调递减，'(1,)()0,()x f x f x ∈+∞>时，此时单调递增.………………………4分综上所述，①0()m f x =当时，在R 上单调递增,②02m <<当时，()(,1)(1,)f x m -∞++∞在和上单调递增，()(1,1)f x m +在上单调递减，③0m <<当-2时，()(,1)(1,)f x m -∞++∞在和上单调递增，()(1,1)f x m +在上单调递减.……………………5分（2）当102m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，时，由（1）知()(0,1)f x 在上单调递增，(1,1)m +在上单调递减.令()g x x =.① 当[0,1]x ∈时，min max ()(0)1,()1f x f g x ===，所以函数()f x 图象在()g x 图象上方.………………………6分 ② 当[]1,1x m ∈+时，函数()f x 单调递减，所以其最小值为1(1)2m e f m m ++=+，()g x 最大值为1m +，所以下面判断(1)f m +与1m +的大小，即判断x e 与x x )1(+的大小，其中311,2x m ⎛⎤=+∈ ⎥⎝⎦ ， ………………………8分令x x e x m x )1()(+-=，12)('--=x e x m x ，令'()()h x m x =，则'()2x h x e =- 因311,2x m ⎛⎤=+∈ ⎥⎝⎦所以'()20x h x e =->，)('x m 单调递增；所以03)1('<-=e m ，04)23(23'>-=e m 故存在⎥⎦⎤ ⎝⎛∈23,10x 使得012)(00'0=--=x e x m x ………………………10分所以)(x m 在()0,1x 上单调递减，在⎪⎭⎫ ⎝⎛23,0x 单调递增所以112)()(020*********++-=--+=--=≥x x x x x x x e x m x m x 所以⎥⎦⎤ ⎝⎛∈23,10x 时，01)(0200>++-=x x x m 即x x e x )1(+>也即(1)1f m m +>+ 所以函数f (x )的图象总在直线y x =上方. ………………………12分22．解：（Ⅰ）由题可知»BD 是以为A 圆心，DA 为半径作圆，而ABCD 为正方形，∴ED 为圆A 的切线依据切割线定理得2ED EF EB =⋅ ………………………………2分 ∵圆O 以BC 为直径，∴EC 是圆O 的切线，同样依据切割线定理得2EC EF EB =⋅……………………………4分故EC ED =∴E 为CD 的中点. ……………………………5分（Ⅱ）连结CF ，∵BC 为圆O 的直径，∴CF BF ⊥ ………………………………6分由BF CE BE BC S BCE ⋅=⋅=∆21211122BCE S BC CE BE CF ∆=⨯=⨯ 得122555CF ⨯==…………………………8分又在Rt BCE ∆中，由射影定理得24.5EF FB CF ⋅==……………………10分 23．解：(1)C 曲线的普通方程为:2222(1)1,2,x y x y x -+=+=即即22cos ρρθ=,:2cos C ρθ=即曲线的极坐标方程为. …………2分32().12x m t l t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩直线的参数方程为为参数 …………5分 (2)12,,,A B t t l 设两点对应的参数分别为将直线的参数方程代入222,x y x +=中 22(33)20,t m t m m +-+-=得2122t t m m =-所以, …………8分 2|2|1,1,1212m m m -==+-由题意得得或 …………10分24．解：（1）当3m =时，()5f x ≥即|6||3|5x x +--≥，①当6x <-时，得95-≥，所以x φ∈；②当63x -≤≤时，得635x x ++-≥，即1x ≥，所以13x ≤≤；③当3x >时，得95≥，成立，所以3x >.…………………………………4分故不等式()5f x ≥的解集为{}|1x x ≥.…………………………………5分（Ⅱ）因为|6||||6|x m x x m x +--≤++-＝|6|m + 由题意得67m +≤，则767m -≤+≤，…………8分解得131m -≤≤,故m 的取值范围是[13,1]-.……………………………………………10分。

2016届河南省郑州市高三第二次模拟考试数学(理)试题(解析版)

2016届河南省郑州市高三第二次模拟考试数学（理）试题一、选择题1．已知集合{}4-==x y x A ，{}0121≤-≤-=x x B ，则=B A C U （） A ．),4(+∞ B ．]21,0[ C ．]4,21( D ．]4,1( 【答案】B【解析】试题分析：所以。

【考点】本题主要考查集合的关系．2．命题“00≤∃x ，使得020≥x ”的否定是（）A ．0,02<≤∀x xB ．0,02≥≤∀x xC ．00>∃x ，020>xD ．00<∃x ，020≤x【答案】A.【解析】试题分析：根据特称命题的否定是全称命题可知选A ，故选A ．【考点】本题主要考查特称命题的否定． 3．定义运算bc ad d c b a -=,,，则符合条件02,1,=-+ii iz 的复数z 对应的点在（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】B.【解析】试题分析：由题意得，(1)12[(1)]222i i iz i i i zi -+--+⇒==--，∴1122z i =-+，故在第二象限，故选B ．【考点】本题主要考查复数的计算与复平面的概念．4．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（）A ．2014B ．2015C ．2016D ．2017 【答案】D.【解析】试题分析：分析程序框图可知，当i 为偶数时，2017S =，当i 为奇数时，2016S =，而程序在0i =时跳出循环，故输出2017S =，故选D ．【考点】本题主要考查程序框图．5．曲线3)(3+-=x x x f 在点P 处的切线平行于直线12-=x y ，则P 点的坐标为（） A ．)3,1( B ．)3,1(- C ．)3,1(和)3,1(- D ．)3,1(- 【答案】C.【解析】试题分析：2'()31f x x =-，令'()2f x =，23121x x -=⇒=或1-，∴(1,3)P 或(1,3)-，经检验，点(1,3)，(1,3)-均不在直线21y x =-上，故选C ．【考点】本题主要考查导数的运用．6．经过点)1,2(，且渐近线与圆1)2(22=-+y x 相切的双曲线的标准方程为（）A ．11131122=-y x B ．1222=-y x C ．11131122=-x y D ．13111122=-x y 【答案】A.【解析】试题分析：设双曲线的方程为221(0)mx ny mn +=<，其渐近线方程为y =， ∵渐近线方程与圆22(2)1x y +-=13m n =⇒=-①，又∵双曲线过点(2,1)，∴41m n +=②，联立①②，可得311111m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴双曲线的标准方程为22111113x y -=，故选A ．【考点】本题主要考查双曲线的标准方程与直线与圆的位置关系． 7．将函数)22sin()(π-=x x f 的图象向右平移4π个单位后得到函数)(x g ，则)(x g 具有性质（）A ．最大值为1，图象关于直线2π=x 对称B ．在)4,0(π上单调递减，为奇函数C ．在)8,83(ππ-上单调递增，为偶函数 D ．周期为π，图象关于点)0,83(π对称【答案】B.【解析】试题分析：由题意得，()sin[2()]sin(2)sin 242g x x x x πππ=--=-=-， A ：最大值为1正确，而()02g π=，不关于直线2x π=对称，故A 错误；B ：当(0,)4x π∈时，2(0,)2x π∈，满足单调递减，显然()g x 也是奇函数，故B 正确；C ：当3(,)88x ππ∈-时，32(,)44x ππ∈-，不满足单调递增，也不满足偶函数，故C 错误；D ：周期22T ππ==，3()8g π=，故不关于点3(,0)8π对称，故选B ．【考点】本题主要考查三角函数的图象变换与三角函数的性质．8．设数列{}n a 满足3,121==a a ，且11)1()1(2+-++-=n n n a n a n na ，则20a 的值是（） A ．514B ．524C ．534D ．544 【答案】D.【解析】试题分析：∵112(1)(1)n n n na n a n a -+=-++，∴数列{}n na 是以11a =为首项，2125a a -=为公差的等差数列，∴202024420151996455a a =+⋅=⇒==，故选D ．【考点】本题主要考查数列的通项公式．9．如图是正三棱锥ABC V -的正视图、侧视图和俯视图，则其侧视图的面积是（）A ．4B ．5C ．6D ．7 【答案】C.【解析】试题分析：由三视图可知，正三棱锥的侧棱长为4，底面边长为h ==162S =⨯=，故选C ．【考点】本题主要考查空间几何体的三视图．10．已知定义在R 上的奇函数)(x f y =的图象关于直线1=x 对称，当01<≤-x 时，)(log )(21x x f --=，则方程021)(=-x f 在)6,0(内的零点之和为（） A ．8 B ．10 C ．12 D ．16 【答案】C.【解析】试题分析：∵奇函数()f x 关于直线1x =对称，∴()(2)()f x f x f x =-=--，即()(2)(4)f x f x f x =-+=+，∴()f x 是周期函数，其周期4T =，又∵当[1,0)x ∈-时，12()log ()f x x =--，故()f x 在(0,6)上的函数图象如下图所示，∴可知方程1()02f x -=在(0,6)的根共有4个，其和为123421012x x x x +++=+=，故选C ．【考点】本题主要考查函数与方程．11．对]2,0[,∈∈∀n R α，向量)sin 3,cos 32(αα-+=n n 的长度不超过6的概率为（） A ．105 B ．1052 C ．1053 D ．552 【答案】C. 【解析】试题分析：||c ===，∴要使||6c ≤对任意R α∈都成立，6≤成立即可，即25936n n ++≤⇒≤ 又∵[0,2]n ∈，∴05n ≤≤，故所求概率为0520=-A ．【考点】本题主要考查平面向量的模长与几何概型．12．已知C B A ,,为ABC ∆的三个内角，向量m 满足26=，且)2c o s ,2s i n 2(CB C B -+=，若A 最大时，动点P成等差的最大值是（）A ．332 B ．322 C ．42 D ．423 【答案】A.【解析】试题分析：m ===， ∴222313cos2cos [0,1]cos 222424B C A A -=-∈⇒≤≤，又∵(0,)22A π∈，∴12cos 22262333A A A ππππ≤≤⇒≤≤⇒≤≤，故A 的最大值为23π，取到最大值时6B C π==，又∵||PB ，||BC ，||PC 成等差数列，∴2||||||BC PB PC =+ ，故P 点的轨迹是以B ，C 为焦点的椭圆，如下图所示建立平面直角坐标系，不妨设2AB AC ==，∴22||a BC a ==⇒=c =3b ，∴椭圆的标准方程是221129x y +=，∴||P A =4==≤，当且仅当3y =-时，等号成立，∴max ||()||PA BC ==A ．【考点】本题主要考查：1.三角恒等变换；2.椭圆的标准方程及其性质；3.函数最值．二、填空题13．已知{}n a 为等差数列，公差为1，且5a 是3a 与11a 的等比中项，n S 是{}n a 的前n 项和，则12S 的值为_____. 【答案】54.【解析】试题分析：由题意得，2253111111(4)(2)(10)1a a a a a a a =⇒+=++⇒=-，∴12121112(1)1542S ⋅=⋅-+⋅=，故填：54. 【考点】本题主要考查等差数列与等比数列的性质及其运算．14．已知正数y x ,满足0322=-+xy x ，则y x +2的最小值是_______. 【答案】3. 【解析】试题分析：由题意得，232x y x-=，∴223333122()3222x x x y x x x x x-++=+==+≥，当且仅当1x y ==时，等号成立，故填：3. 【考点】本题主要考查基本不等式求最值.15．已知y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤--≤+≥0242m y x y x x ，若目标函数y x z +=3的最大值为10，则z 的最小值为______. 【答案】5.【解析】试题分析：如下图所示，画出不等式组所表示的区域，作直线l ：30x y +=，平移l ，从而可知取到最大值时，310341x y x x y y +==⎧⎧⇒⎨⎨+==⎩⎩，∴23105m m ⋅--=⇒=，∴当2x =，2251y =⋅-=-时，min 3215z =⋅-=，故填：5.【考点】本题主要考查线性规划．16．在正三棱锥ABC V -内，有一半球，其底面与正三棱锥的底面重合，且与正正三棱锥的三个侧面都相切，若半球的半径为2，则正三棱锥的体积最小时，其高等于______.【答案】【解析】试题分析：由题意，设侧棱长为a ，底面边长为b ，∴211132332V ABC V -==⨯⨯，化简可得4222363(48)b b a b -=-， ∴113232V ABCV -=⨯⨯==，令2480b t -=>，3(48)()t f t t+=，∴23223(48)(48)2(48)(24)'()t t t t t f t t t +-++-==，故可知min ()(24)f t f =，即当22482472b b -=⇒=时，三棱锥体积取到最小值，此时高422236363(48)b b a b -==-，h === 【考点】本题主要考查球的性质与导数的运用．17．如图，在梯形ABCD 中，CD AB ∥，1===CB DC AD ， 120=∠BCD ，四边形BFED 为梯形，平面⊥BFED 平面ABCD ，1=BF .（1）求证：⊥AD 平面BFED ；（2）求点P 在线段EF 上运动，设平面PAB 与平面ADE 所成锐二面角为θ，试求θ的最小值.【答案】（1）证明详见解析；（2）.【解析】试题分析：本题主要考查线面垂直的判定与性质、二面角的求解等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力. 第一问，在ABD ∆中，利用余弦定理可推出222AB AD BD =+，由勾股定理得AD BD ⊥，又由面面垂直的性质得DE DB ⊥，所以由线面垂直的判定定理得到结论；第二问，建立空间直角坐标系，先计算出平面PAB 和平面ADE 的法向量，再由夹角公式计算cos θ，最后利用配方法求最值. 试题解析：（1）在梯形中，∵∥，∴∴∴∴∵平面平面平面平面，∴∴又∴（2）由（1）可建立分别以直线为轴，轴，轴的，如图所示的空间直角坐标系，令（≤≤）,则∴设为平面的一个法向量，由得取则∵是平面的一个法向量,∴∵≤≤,∴当=时，有最大值．∴的最小值为【考点】本题主要考查：1.线面垂直的判定与性质；2.二面角的求解.三、解答题18．在A B C ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且满足)3s i n ()3s i n (22c o s 2c o s C C A C -+=-ππ.（1）求角A 的值；（2）若3=a 且a b ≥，求c b -2的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：本题主要考查正弦定理、余弦定理、三角恒等变换等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力. 第一问，先利用倍角公式和两角和与差的正弦公式将已知变形，可化简出，即可求出角A 的大小；第二问，利用正弦定理将b 和c 转化成角，利用两角和的正弦公式化简表达式，再由角B 的范围求值域.试题解析：（1）由已知得，化简得，故．（2）由正弦定理，得，故因为，所以，，所以．【考点】本题主要考查：1.正余弦定理解三角形；2.三角恒等变换.19．为了解人们对于国家新颁布的“生育二胎放开”政策的热度，现在某市进行调查，（1）由以上统计数据填下面2乘2列联表，并问是否有的把握认为以岁为分（2）若对年龄在)45,35[),15,5[的的被调查人中各随机选取两人进行调查，记选中的4人不支持“生育二胎”人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望. 参考数据：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=【答案】（1）没有把握；（2）分布列详见解析，45E ξ=. 【解析】试题分析：本题主要考查独立性检验、离散型随机变量的概率的分布列和数学期望等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，先根据题目中出现的数据填写列联表，再由2k 的公式计算，最后与表中的数据作比较判断出结论；第二问，先分析出ξ的所有可能取值，再分别计算出概率，列出分布列后，利用11n n E P P ξξξ=++ 计算数学期望. 试题解析：（Ⅰ）2乘2列联表＜所以没有99%的把握认为以45岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异．（Ⅱ）所有可能取值有0, 1,2,3,所以的分布列是所以的期望值是考点: 本题主要考查：1.独立性检验；2.离散型随机变量的概率分布及其期望. 20．已知曲线C 的方程是)0,0(122>>=+n m ny mx ，且曲线C 过点)33,66(),22,42(B A 两点，O 为坐标原点. （1）求曲线C 的方程；（2）设),(),,(2211y x N y x M 是曲线C 上两点，且ON OM ⊥，求证：直线MN 恒与一个定圆相切.【答案】（1）2241y x +=；（2）证明详见解析.【解析】试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆的位置关系、椭圆中的定值问题等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力. 第一问，由曲线C 过A,B 两点，知A,B 在曲线上，代入方程中，解方程组即可；第二问，数形结合得出点O 到直线MN 的距离为||||||OA OB d AB =，用坐标关系代换得到5d =，所以可得到直线恒与定圆相切.试题解析：（1）由题可得：解得所以曲线方程为．（2）由题得：原点到直线的距离由得：所以=所以直线恒与定圆相切。

2016年河南省郑州市高考数学二模试卷(理科)(解析版)

2016年河南省郑州市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合A＝{x|y＝}，B＝{x|﹣1≤2x﹣1≤0}，则∁R A∩B＝（）A．（4，+∞）B．[0，]C．（，4]D．（1，4）2．（5分）命题“∃x0≤0，使得x02≥0”的否定是（）A．∀x≤0，x2＜0B．∀x≤0，x2≥0C．∃x0＞0，x02＞0D．∃x0＜0，x02≤03．（5分）定义运算＝ad﹣bc，则符合条件＝0的复数对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．C第三象限D．第四象限4．（5分）某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（）A．2014B．2015C．2016D．20175．（5分）曲线f（x）＝x3﹣x+3在点P处的切线平行于直线y＝2x﹣1，则P点的坐标为（）A．（1，3）B．（﹣1，3）C．（1，3）和（﹣1，3）D．（1，﹣3）6．（5分）经过点（2，1），且渐近线与圆x2+（y﹣2）2＝1相切的双曲线的标准方程为（）A．﹣＝1B．﹣y2＝1C．﹣＝1D．﹣＝17．（5分）将函数f（x）＝sin（2x﹣）的图象向右平移个单位后得到函数g（x），则g（x）具有性质（）A．最大值为1，图象关于直线x＝对称B．在（0，）上单调递减，为奇函数C．在（﹣，）上单调递增，为偶函数D．周期为π，图象关于点（，0）对称8．（5分）若数列{a n}中，满足：a1＝1，a2＝3，且2na n＝（n﹣1）a n﹣1+（n+1）a n+1，则a10的值是（）A．4B．4C．4D．49．（5分）如图是正三棱锥V﹣ABC的正视图、侧视图和俯视图，则其侧视图的面积是（）A．4B．5C．6D．710．（5分）已知定义在R上的奇函数y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称，当﹣1≤x＜0时，f（x）＝﹣（﹣x），则方程f（x）﹣＝0在（0，6）内的零点之和为（）A．8B．10C．12D．1611．（5分）对∀α∈R，n∈[0，2]，向量＝（2n+3cosα，n﹣3sinα）的长度不超过6的概率为（）A ．B ．C ．D ．12．（5分）已知A、B、C为△ABC的三个内角，向量满足||＝，且＝（sin，cos），若A最大时，动点P使得||、||、||成等差数列，则的最大值是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题：（本题共4小题，每题5分，共20分）13．（5分）已知{a n}为等差数列，公差为1，且a6是a3与a11的等比中项，S n是的前n项和，则S12的值为．14．（5分）已知正数x，y满足x2+2xy﹣3＝0，则2x+y的最小值是．15．（5分）已知满足，若目标函数z＝3x+y的最大值为10，则z的最小值为．16．（5分）在正三棱锥V﹣ABC内，有一半球，其底面与正三棱锥的底面重合，且与正正三棱锥的三个侧面都相切，若半球的半径为2，则正三棱锥的体积最小时，其高等于．三、简答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足cos2C﹣cos2A＝2sin （+C）•sin （﹣C）．（1）求角A的值；（2）若a ＝且b≥a，求2b﹣c的取值范围．18．（12分）为了解人们对于国家新颁布的“生育二胎放开”政策的热度，现在某市进行调查，随机调查了50人，他们年龄的频数分布及支持“生育二胎”人数如表：（1）由以上统计数据填下面2乘2列联表，并问是否有的99%把握认为以45岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异：（2）若对年龄在[5，15），[35，45）的被调查人中各随机选取两人进行调查，记选中的4人不支持“生育二胎”人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望；参考数据：K2＝．19．（12分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝1，∠BCD＝120°，四边形BFED为矩形，平面BFED⊥平面ABCD，BF＝1（Ⅰ）求证：AD⊥平面BFED；（Ⅱ）点P是线段EF上运动，设平面P AB与平面ADE成锐角二面角为θ，试求θ的最小值．20．（12分）已知曲线C的方程是mx2+ny2＝1（m＞0mn＞0），且曲线C过A（，），B（，）两点，O为坐标原点（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2）是曲线C上两点，且OM⊥ON，求证：直线MN恒与一个定圆相切．21．（12分）已知函数f（x）＝（Ⅰ）若m∈（﹣2，2），求函数y＝f（x）的单调区间；（Ⅱ）若m∈（0，]，则当x∈[0，m+1）时，函数y＝f（x）的图象是否总存在直线y＝x 上方？请写出判断过程．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，正方形ABCD边长为2，以A为圆心、DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆O交于点F，连接BF并延长交CD于点E．（1）求证：E是CD的中点；（2）求EF•FB的值．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．平面直角坐标系xOy中，曲线C：（x﹣1）2+y2＝1．直线l经过点P（m，0），且倾斜角为．以O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立坐标系．（Ⅰ）写出曲线C的极坐标方程与直线l的参数方程；（Ⅱ）若直线l与曲线C相交于A，B两点，且|P A|•|PB|＝1，求实数m的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）＝|x+6|﹣|x﹣m|）（m∈R）（Ⅰ）当m＝3时，求不等式f（x）≥5的解集；（Ⅱ）若不等式f（x）≤7对任意实数x恒成立，求m的取值范围．2016年河南省郑州市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

P 2016年河南省八市重点高中高考数学二模试卷(理科)(解析版)

2016年河南省八市重点高中高考数学二模试卷（理科）答案与解析一、选择题1．若集合A={x|＞﹣1}，集合B={x|1＜3x＜9}，则（∁R A）∩B=（）A．（0，1] B．[1，2）C．（1，2）D．（0，1）解：由＞﹣1=，得0＜x+1＜2，∴﹣1＜x＜1，则A={x|＞﹣1}=（﹣1，1），∴∁R A=（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞），又B={x|1＜3x＜9}=（0，2），∴（∁R A）∩B=[1，2）．选B2．实数（a为实数）的共轭复数为（）A．1 B．﹣5 C．﹣1 D．﹣i解：==为实数，∴=0，解得a=﹣2．∴实数=﹣1的共轭复数为﹣1．选C3．等比数列{a n}中，a2=9，a5=243，则a1与a7的等比中项为（）A．±81 B．81 C．﹣81 D．27解：设等比数列{a n}的公比q，∵a2=9，a5=243，∴243=9×q3，解得q=3．又a1•a7=，∴a1与a7的等比中项为±a4=±=±9×32=±81．选A4．以下四个命题中①为了了解800名学生的成绩，打算从中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔k为40；②线性回归直线=x+恒过样本点的中心（，）；③随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2）（σ＞0），若在（﹣∞，1）内取值的概率为0.1，则在（2，3）内的概率为0.4；④概率值为零的事件是不可能事件．其中真命题个数是（）解：①为了了解800名学生的成绩，打算从中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔k为800÷40=20；故①错误，②线性回归直线=x+恒过样本点的中心（，）；正确，故②正确，③随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2）（σ＞0），若在（﹣∞，1）内取值的概率为0.1，则在（1，2）内取值的概率为0.5﹣0.1=0.4，则在（2，3）内的概率为在（1，2）内取值的概率为0.4；故③正确，④不可能事件的概率为0，但概率值为零的事件是不可能事件不一定正确．比如在几何概型中，往圆形区域内随机扔石子扔到圆心的概率=圆心的面积除以圆的面积圆心面积为零，因此扔到圆心的概率P=0，但是扔到圆心也是可能发生的，不是不可能事件，故④错误。

2016年河南省高考理科数学试题与答案

2016年河南省高考理科数学试题与答案（word 版）（满分150分，时间120分）注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合2{|430}A x x x =-+<，{|230}B x x =->，则A B =（A ）3(3,)2-- （B ）3(3,)2- （C ）3(1,)2 （D ）3(,3)2（2）设(1i)1i x y +=+，其中x ，y 是实数，则i =x y + （A ）1 （B 2 （C 3（D ）2（3）已知等差数列{}n a 前9项的和为27，10=8a ，则100=a（A ）98 （B ）99 （C ）100 （D ）97（4）某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（A ）31 （B ）21 （C ）32 （D ）43 （5）已知方程表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是（A ）(0,3) （B ）(–1,3) （C ）(–1,3)（D ）(0,3)（6）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是，则它的表面积是（A ）20π （B ）18π（C ）17π （D ）28π（7）函数y =2x 2–e |x |在[–2,2]的图像大致为（A ）（B ）（C ）（D ）（8）若101a b c >><<，，则（A ）log log b a a c b c < （B ）c c ab ba <（C ）c ca b <（D ）log log a b c c <（9）执行右面的程序框图，如果输入的0,1,x y ==n =1,则输出,x y 的值满足（A ）4y x =（B ）3y x =（C ）2y x =（D ）5y x =(10)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点，交C 的标准线于D 、E 两点.已知|AB |=2|DE|=5C 的焦点到准线的距离为(A)2 (B)4 (C)6 (D)8(11)平面a 过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A ，a //平面CB 1D 1，a ⋂平面ABCD =m ，a ⋂平面ABA 1B 1=n ，则m 、n 所成角的正弦值为(A) 33 (B )22 (C) 32(D)13 12.已知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-，为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图像的对称轴，且()f x 在51836ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调，则ω的最大值为（A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分(13) 设向量a=(m ，1)，b=(1，2)，且|a+b|2=|a|2+|b|2，则m=______. (14) 5(2)x x +的展开式中，x 3的系数是__________.（用数字填写答案）（15）设等比数列满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则a 1a 2…a n 的最大值为___________。

2016届高考数学(理)冲刺卷(新课标Ⅱ卷)03(考试版)

绝密★启用前2016年高考冲刺卷（3）（新课标Ⅱ卷）理科数学试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+===12|,|222y x x N x y y M ，则=⋂N M （） A ．{})1,1(),1,1(- B ．{}1 C ．]2,0[ D ．[]1,0 2. 复数1z ，2z 在复平面内对应的点关于直线y x =对称，且132z i =+，则2z =（）A ．32i -B ．23i -C ．32i --D ．23i +3．已知等差数列{}n a 的公差为2，若1a 、3a 、4a 成等比数列，则6a 等于（）A ．－2B ．－4C ．0D ．24．已知向量a ，b 满足()2a b a ⋅+=，且||1a =，||2b =，则a 与b 的夹角为（）A ．6πB ．5πC ．4πD ．3π5．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果是（）A．．0CD ．33366．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )第8题图A．7+ B．7+．4+ D．4+7．两圆222240x y ax a +++-=和2224140x y by b +--+=恰有三条公切线，若,a R b R ∈∈且0ab ≠，则2211a b +的最小值为（） A ．1 B ．3 C ．19 D ．498. 已知x ，y 满足约束条件1,1,49,3,x y x y x y ≥⎧⎪≥-⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩，若24m ≤≤，则目标函数+z y mx =的最大值的变化范围是（）A ．[]1,3B ．[]4,6C ．[]4,9D ．[]5,99. 若函数2(2)()m x f x x m-=+的图象如图所示，则m 的范围为（） O-11y xA ．)1,(--∞B ．)2,1(-C ．)2,0(D ．)2,1(10. 已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的右焦点为()3,0F ，过点F 的直线交椭圆E 于,A B 两点，若AB 的中点坐标为（1，-1），则E 的方程为（） A ．2214536x y += B ．2213627x y += C ．2212718x y += D ．221189x y +=11．已知在三棱锥P ABC -中，P ABC V -=4APC π∠=，3BPC π∠=，PA AC ⊥，PB BC ⊥，且平面PAC ⊥平面PBC ，那么三棱锥P ABC -外接球的体积为( )A ．43πB D ．323π 12. 已知函数()=x a f x x e -+，()()ln 24a x g x x e -=+-，其中e 为自然对数的底数，若存在实数0x ，使00()()3f x g x -=成立，则实数a 的值为（）A ．ln 21--B ．1+ln2-C ．ln 2-D ．ln 2第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．曲线2y x =与直线y x =所围成的封闭图形的面积为．14．若21()n x x-展开式的二次项系数之和为128，则展开式中2x 的系数为．15．已知x ，R y ∈，满足22246x xy y ++=，则224z x y =+的最小值为．16．对R α∀∈，[0,2]n ∈，(23cos ,3sin )e n n αα=+-的长度不超过6的概率为________．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. （本小题满分12分）已知函数()2sin()(0,||)f x x ωϕωϕπ=+><经过点7(,2),(,2)1212ππ-，且在区间7(,)1212ππ上为单调函数．（Ⅰ）求,ωϕ的值；（Ⅱ）设*()()3n n a nf n N π=∈，求数列{}n a 的前30项和30S ．18. （本小题满分12分）甲、乙两位同学从A B C D 、、、共(2,)n n n N +≥∈所高校中，任选两所参加自主招生考试（并且只能选两所高校），但同学特别喜欢A 高校，他除选A 高校外，再在余下的1n -所中随机选1所；同学乙对n 所高校没有偏爱，在n 所高校中随机选2所．若甲同学未选中D 高校且乙选中D 高校的概率为310．（I ）求自主招生的高校数n ；（II ）记X 为甲、乙两名同学中未参加D 高校自主招生考试的人数，求X 的分布列和数学期望．19.（本小题满分12分）如图，菱形ABCD 与正三角形BCE 的边长均为2，它们所在平面互相垂直，FD ⊥平面ABCD ，且FD =．（I ）求证：//EF 平面ABCD ；（II ）若060CBA ∠=，求钝二面角A FB E --的余弦值．20.（本小题满分12分）已知12,F F 分别为椭圆22122:1y x C a b+=的上、下焦点，1F 是抛物线22:4C x y =的焦点，点M 是1C 与2C 在第二象限的交点，且15||3MF =．（I ）求椭圆1C 的方程；（II ）与圆22(1)1x y ++=相切的直线:(),0l y k x t kt =+≠交椭圆1C 于,A B ，若椭圆1C 上一点P 满足OA OB OP λ+=，求实数λ的取值范围． 21. （本小题满分12分）已知函数221()x ax bx f x e++=（e 为自然对数的底数）. （I ）若21=a ，求函数)(x f 的单调区间；（II ）若1)1(=f ，且方程1)(=x f 在)1,0(内有解，求实数a 的取值范围.请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．22.（本题满分10分）选修41-：几何证明选讲如图，O 的半径OC 垂直于直径AB ，M 为BO 上一点，CM 的延长线交O 于N ，过N 点的切线交AB 的延长线于P ．（I ）求证：2PM PB PA =⋅；（II ）若O 的半径为，OB =，求：MN 的长．23. （本题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程是8y =，圆C 的参数方程是22cos 2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求直线l 和圆C 的极坐标方程；（Ⅱ）射线:OM θα=（其中02πα<<）与圆C 交于O ，P 两点，与直线l 交于点M ，射线:2ON πθα=+与圆C 交于O ，Q 两点，与直线l 交于点N ，求OPOQOM ON ⋅的最大值．24. （本题满分10分）选修4－5：不等式选讲（I ）已知函数()13f x x x =-++，求x 的取值范围，使()f x 为常函数；（II ）若222,,z R,x 1x y y z ∈++=，求m =++的最大值.。

2016年高考考前15天终极冲刺数学试题(理新课标Ⅱ卷含答案和解释)

2016年高考考前15天终极冲刺数学试题(理新课标Ⅱ卷含答案和解释)2016新课标Ⅱ高考终极指南数学理本试卷分第I卷和第II卷两部分．第I卷1至3页，第II卷4至6页，满分150．考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的准考号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2．第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第II卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效． 3．考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并交回．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.在复平面内，复数z与的对应点关于虚轴对称，则z=（） A．2�i B．�2�i C．2+i D．�2+i 2.已知集合A={y|y=x2}，B={x|y=lg（1�x）}，则A∩B=（） A．[0，1] B．[0，1） C．（�∞，1） D．（�∞，1] 3.已知f（x）=3sinx�πx，命题p：∀x∈（0，），f（x）＜0，则（） A．p是假命题，�Vp：∀x∈（0，），f（x）≥0 B．p是假命题，�Vp：∃x0∈（0，），f（x0）≥0 C．p是真命题，�Vp：∀x∈（0，），f（x）＞0 D．p是真命题，�Vp：∃x0∈（0，），f（x0）≥0 中&华&资*源%库4.下列函数中是奇函数，且在区间（0，+∞）上单调递增的是（） A．y=2x B．y=�x2 C．y=x3 D．y=�3x 5.一个几何体的三视图及其尺寸如下图所示，其中正视图是直角三角形，侧视图是半圆，俯视图是等腰三角形，则这个几何体的表面积为( ) （A）（B）（C）（D） 6.设实数x，y满足约束条件，则z= 的取值范围是（） A．[ ，1] B．[ ， ] C．[ ， ] D．[ ， ] 7.将函数的图像沿轴向右平移个单位后，得到的图像关于原点对称，则的一个可能取值为（▲ ） A. B. C. D. 8.执行如图所示的程序框图，如果输入a=2，b=2，那么输出的a值为（）A．14 B．15 C．16 D．17 9.双曲线（a＞0，b＞0），M、N为双曲线上关于原点对称的两点，P为双曲线上的点，且直线PM、PN斜率分别为k1、k2，若k1•k2= ，则双曲线离心率为（） A． B． C．2 D． 10.设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且Sn满足�2（3n2�n）=0，n∈N*．则数列{an}的通项公式是（） A．an=3n�2 B．an=4n�3 C．an=2n�1 D．an=2n+1 11.已知a，b∈R+，函数f （x）=alog2x+b的图象经过点（4，1），则的最小值为（） A． B．6 C． D．8 12.定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）= ，则关于x的函数F（x）=f（x）�a（0＜a＜1）的所有零点之和为（）A．3a�1 B．1�3a C．3�a�1 D．1�3�a 二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上） 13.已知x 与y之间的一组数据： x 1 2 3 4 y 1 3 5 7 则y与x的线性回归方程为必过点． 14.已知的展开式中，常数项为14，则a= （用数字填写答案）． 15.已知点A（�1，1）、B（0，3）、C（3，4），则向量在方向上的投影为． 16.已知函数y=f（x）是定义在R 上的偶函数，对于x∈R，都有f（x+4）=f（x）+f（2）成立，当x1，x2∈[0，2]且x1≠x2时，都有＜0，给出下列四个命题：①f（�2）=0；②直线x=�4是函数y=f（x）的图象的一条对称轴；③函数y=f（x）在[4，6]上为增函数；④函数y=f（x）在（�8，6]上有四个零点．其中所有正确命题的序号为．三，解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.已知函数（1）求函数f （x）的单调递增区间；（2）△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，b=1，，且a＞b，试求角B和角C． 18.为了解甲、乙两校高三年级学生某次期末联考地理成绩情况，从这两学校中分别随机抽取30名高三年级的地理成绩（百分制）作为样本，样本数据的茎叶图如图所示：（Ⅰ）若乙校高三年级每位学生被抽取的概率为0.15，求乙校高三年级学生总人数；（Ⅱ）根据茎叶图，分析甲、乙两校高三年级学生在这次联考中地理成绩；（Ⅲ）从样本中甲、乙两校高三年级学生地理成绩不及格（低于60分为不及格）的学生中随机抽取2人，求至少抽到一名乙校学生的概率． 19.已知在四棱锥S�ABCD中，四边形ABCD是菱形，SD⊥平面ABCD，P为SB的中点，Q为BD上一动点．AD=2，SD=2，∠DAB= ．（Ⅰ）求证：AC⊥PQ；（Ⅱ）当PQ∥平面SAC时，求四棱锥P�AQCD的体积． 20.（本小题满分12分）已知椭圆Cl的方程为，椭圆C2的短轴为C1的长轴且离心率为。

2016年河南省八市重点高中高考数学二模试卷(理科)(解析版)

2016年河南省八市重点高中高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）若集合A＝{x|＞﹣1}，集合B＝{x|1＜3x＜9}，则（∁R A）∩B＝（）A．（0，1]B．[1，2）C．（1，2）D．（0，1）2．（5分）实数（a为实数）的共轭复数为（）A．1B．﹣5C．﹣1D．﹣i3．（5分）等比数列{a n}中，a2＝9，a5＝243，则a1与a7的等比中项为（）A．±81B．81C．﹣81D．274．（5分）以下四个命题中①为了了解800名学生的成绩，打算从中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔k为40；②线性回归直线＝x+恒过样本点的中心（，）；③随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2）（σ＞0），若在（﹣∞，1）内取值的概率为0.1，则在（2，3）内的概率为0.4；④概率值为零的事件是不可能事件．其中真命题个数是（）A．0B．1C．2D．35．（5分）已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若﹣4+3＝0，则＝（）A．3B．4C．5D．66．（5分）由曲线y＝x2﹣2x与直线x+y＝0所围成的封闭图形的面积为（）A．B．C．D．7．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的n的值为（）A．10B．11C．12D．138．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S6＞S7＞S5，则满足S n＜0的正整数n的最小值为（）A．12B．13C．14D．159．（5分）某四面体的三视图如图所示，则该四面体的体积是（）A．2B．8C．D．10．（5分）设当x＝θ时，函数f（x）＝2cos x﹣3sin x取得最小值，则tanθ等于（）A．B．﹣C．﹣D．11．（5分）已知双曲线﹣＝1的左、右焦点分别为F1、F2，过F1作圆x2+y2＝a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且|BC|＝|CF2|，则双曲线的渐近线方程为（）A．y＝±3x B．y＝±2x C．y＝±（+1）x D．y＝±（﹣1）x12．（5分）定义在（﹣1，+∞）上的单调函数f（x），对于任意的x∈（﹣1，+∞），f[f（x）﹣xe x]＝0恒成立，则方程f（x）﹣f′（x）＝x的解所在的区间是（）A．（﹣1，﹣）B．（0，）C．（﹣，0）D．（）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）若函数f（x）＝奇函数，则a的值为．14．（5分）若x，y满足约束条件，则的最小值为．15．（5分）4个半径为1的球两两相切，该几何体的外切正四面体的高是．16．（5分）已知数列{a n}的通项公式a n＝n22n，则数列{a n}的前n项和S n＝．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足sin A+sin B＝（cos A+cos B）sin C．（Ⅰ）求证：△ABC为直角三角形；（Ⅱ）若a+b+c＝1+，求△ABC面积的最大值．18．（12分）如图，P A⊥平面ADE，B，C分别是AE，DE的中点，AE⊥AD，AD＝AE＝AP ＝2．（Ⅰ）求二面角A﹣PE﹣D的余弦值；（Ⅱ）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长．19．（12分）某农庄抓鸡比赛，笼中有16只公鸡和8只母鸡，每只鸡被抓到的机会相等，抓到鸡然后放回，若累计3次抓到母鸡则停止，否则继续抓鸡直到第5次后结束．（Ⅰ）求抓鸡3次就停止的事件发生的概率；（Ⅱ）记抓到母鸡的次数为ξ，求随机变量ξ的分布列及其均值．20．（12分）如图，F1，F2是椭圆C：的左、右两个焦点，|F1F2|＝4，长轴长为6，又A，B分别是椭圆C上位于x轴上方的两点，且满足＝2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求直线AF1的方程；（Ⅲ）求平行四边形AA1B1B的面积．21．（12分）已知函数f（x）＝1﹣x+lnx（Ⅰ）求f（x）的最大值；（Ⅱ）对任意的x1，x2∈（0，+∞）且x2＜x1是否存在实数m，使得﹣﹣x1lnx1+x2lnx2＞0恒成立；若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由：（Ⅲ）若正数数列{a n}满足＝，且a1＝，数列{a n}的前n项和为S n，试比较2与2n+1的大小并加以证明．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，已知AB是⊙O的弦，P是AB上一点．（Ⅰ）若AB＝6，P A＝4，OP＝3，求⊙O的半径；（Ⅱ）若C是圆O上一点，且CA＝CB，线段CE交AB于D．求证：△CAD～△CEA．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），以原点O为起点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知点P的极坐标为（2，﹣），直线l 的极坐标方程为ρcos（+θ）＝6．（Ⅰ）求点P到直线l的距离；（Ⅱ）设点Q在曲线C上，求点Q到直线l的距离的最大值．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）＝|x+a|﹣|x+1|．（Ⅰ）当a＝﹣时，解不等式：f（x）≤2a；（Ⅱ）若对任意实数x，f（x）≤2a都成立，求实数a的最小值．2016年河南省八市重点高中高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）若集合A＝{x|＞﹣1}，集合B＝{x|1＜3x＜9}，则（∁R A）∩B＝（）A．（0，1]B．[1，2）C．（1，2）D．（0，1）【解答】解：由＞﹣1＝，得0＜x+1＜2，∴﹣1＜x＜1，则A＝{x|＞﹣1}＝（﹣1，1），∴∁R A＝（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞），又B＝{x|1＜3x＜9}＝（0，2），∴（∁R A）∩B＝[1，2）．故选：B．2．（5分）实数（a为实数）的共轭复数为（）A．1B．﹣5C．﹣1D．﹣i【解答】解：＝＝为实数，∴＝0，解得a＝﹣2．∴实数＝﹣1的共轭复数为﹣1．故选：C．3．（5分）等比数列{a n}中，a2＝9，a5＝243，则a1与a7的等比中项为（）A．±81B．81C．﹣81D．27【解答】解：设等比数列{a n}的公比q，∵a2＝9，a5＝243，∴243＝9×q3，解得q＝3．又a1•a7＝，∴a1与a7的等比中项为±a4＝±＝±9×32＝±81．故选：A．4．（5分）以下四个命题中①为了了解800名学生的成绩，打算从中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔k为40；②线性回归直线＝x+恒过样本点的中心（，）；③随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2）（σ＞0），若在（﹣∞，1）内取值的概率为0.1，则在（2，3）内的概率为0.4；④概率值为零的事件是不可能事件．其中真命题个数是（）A．0B．1C．2D．3【解答】解：①为了了解800名学生的成绩，打算从中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔k为800÷40＝20；故①错误，②线性回归直线＝x+恒过样本点的中心（，）；正确，故②正确，③随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2）（σ＞0），若在（﹣∞，1）内取值的概率为0.1，则在（1，2）内取值的概率为0.5﹣0.1＝0.4，则在（2，3）内的概率为在（1，2）内取值的概率为0.4；故③正确，④不可能事件的概率为0，但概率值为零的事件是不可能事件不一定正确．比如在几何概型中，往圆形区域内随机扔石子扔到圆心的概率＝圆心的面积除以圆的面积圆心面积为零，因此扔到圆心的概率P＝0，但是扔到圆心也是可能发生的，不是不可能事件，故④错误，故选：C．5．（5分）已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若﹣4+3＝0，则＝（）A．3B．4C．5D．6【解答】解：＝＝；∴，∴，∴．故选：A．6．（5分）由曲线y＝x2﹣2x与直线x+y＝0所围成的封闭图形的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，曲线y＝x2﹣2x与直线x+y＝0的交点坐标为（0，0），（1，﹣1）∴曲线y＝x2﹣2x与直线x+y＝0所围成的封闭图形的面积为＝（）＝故选：D．7．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的n的值为（）A．10B．11C．12D．13【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S＝++…+的值，∵S＝++…+＝＝1﹣≥⇒n≥11，∴跳出循环体的n值为11+1＝12，∴输出n＝12．故选：C．8．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S6＞S7＞S5，则满足S n＜0的正整数n的最小值为（）A．12B．13C．14D．15【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵S6＞S7＞S5，∴a7＜0，a6+a7＞0，∴S12＝＝6（a6+a7）＞0，S13＝＝13a7＜0，∴则满足S n＜0的正整数n的最小值为13．故选：B．9．（5分）某四面体的三视图如图所示，则该四面体的体积是（）A．2B．8C．D．【解答】解：如图所示，该几何体为三棱锥A﹣CB1D1∴该四面体的体积V＝23﹣＝．故选：C．10．（5分）设当x＝θ时，函数f（x）＝2cos x﹣3sin x取得最小值，则tanθ等于（）A．B．﹣C．﹣D．【解答】解：∵当x＝θ时，函数f（x）＝2cos x﹣3sin x＝（cos x﹣sin x）＝﹣（﹣cos x+sin x）＝﹣cos（x﹣θ）（其中，cosθ＝﹣，sinθ＝）取得最小值，则tanθ＝＝﹣，故选：C．11．（5分）已知双曲线﹣＝1的左、右焦点分别为F1、F2，过F1作圆x2+y2＝a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且|BC|＝|CF2|，则双曲线的渐近线方程为（）A．y＝±3x B．y＝±2x C．y＝±（+1）x D．y＝±（﹣1）x【解答】解：∵过F1作圆x2+y2＝a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且|BC|＝|CF2|，∴|BF1|＝2a，设切点为T，B（x，y），则利用三角形的相似可得∴x＝，y＝∴B（，）代入双曲线方程，整理可得b＝（+1）a，∴双曲线的渐近线方程为y＝±（+1）x，故选：C．12．（5分）定义在（﹣1，+∞）上的单调函数f（x），对于任意的x∈（﹣1，+∞），f[f（x）﹣xe x]＝0恒成立，则方程f（x）﹣f′（x）＝x的解所在的区间是（）A．（﹣1，﹣）B．（0，）C．（﹣，0）D．（）【解答】解：由题意，可知f（x）﹣xe x是定值，不妨令t＝f（x）﹣xe x，则f（x）＝xe x+t，又f（t）＝te t+t＝0，解得t＝0，所以有f（x）＝xe x，所以f′（x）＝（x+1）e x，令F（x）＝f（x）﹣f′（x）﹣x＝xe x﹣（x+1）e x﹣x＝﹣e x﹣x，可得F（﹣1）＝1﹣＞0，F（﹣）＝﹣＜0即F（x）的零点在区间（﹣1，﹣）内∴方程f（x）﹣f′（x）＝x的解所在的区间是（﹣1，﹣），故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）若函数f（x）＝奇函数，则a的值为﹣2．【解答】解：解1﹣x2＞0得，﹣1＜x＜1；∴|x﹣2|＝2﹣x；∴；∵f（x）为奇函数；∴f（﹣x）＝﹣f（x）；即；∴2+x+a＝﹣（2﹣x+a）；∴2+a＝﹣2﹣a；∴a＝﹣2．故答案为：﹣2．14．（5分）若x，y满足约束条件，则的最小值为．【解答】解：＝1+，做出平面区域如图：有图可知当过点（1，﹣1）的直线经过点C（4，0）时，斜率最小为，∴的最小值为1+＝．故答案为．15．（5分）4个半径为1的球两两相切，该几何体的外切正四面体的高是4+．【解答】解：由题意知，底面放三个球，上再落一个球．于是把球的球心连接，则又可得到一个棱长为2的小正四面体，则不难求出这个小正四面体的高为，且由正四面体的性质可知：正四面体的中心到底面的距离是高的，且小正四面体的中心和正四面体容器的中心应该是重合的，∴小正四面体的中心到底面的距离是×＝，正四面体的中心到底面的距离是+1，所以可知正四面体的高的最小值为（+1）×4＝4+，故答案为：4+．16．（5分）已知数列{a n}的通项公式a n＝n22n，则数列{a n}的前n项和S n＝（n2﹣2n+3）•2n+1﹣6．【解答】解：∵a n＝n22n，则数列{a n}的前n项和S n＝2+22×22+32×23+…+n2•2n，∴2S n＝22+22×23+…+（n﹣1）2•2n+n2•2n+1，∴﹣S n＝2+3×22+5×23+…+（2n﹣1）•2n﹣n2•2n+1，设数列{（2n﹣1）•2n}的前n项和为T n，则T n＝2+3×22+5×23+…+（2n﹣1）×2n，2T n＝22+3×23+…+（2n﹣3）×2n+（2n﹣1）×2n+1，∴﹣T n＝2+2×（22+23+…+2n）﹣（2n﹣1）×2n+1＝﹣2﹣（2n﹣1）×2n+1＝（3﹣2n）•2n+1﹣6，∴T n＝（2n﹣3）•2n+1+6，∴﹣S n＝（2n﹣3）•2n+1+6﹣n2•2n+1＝（2n﹣3﹣n2）•2n+1+6，∴S n＝（n2﹣2n+3）•2n+1﹣6．故答案为：（n2﹣2n+3）•2n+1﹣6．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足sin A+sin B＝（cos A+cos B）sin C．（Ⅰ）求证：△ABC为直角三角形；（Ⅱ）若a+b+c＝1+，求△ABC面积的最大值．【解答】（Ⅰ）证明：在△ABC中，因为sin A+sin B＝（cos A+cos B）sin C，所以由正、余弦定理，得a+b＝c…（2分）化简整理得（a+b）（a2+b2）＝（a+b）c2因为a+b＞0，所以a2+b2＝c2…（4分）故△ABC为直角三角形，且∠C＝90°…（6分）（Ⅱ）解：因为a+b+c＝1+，a2+b2＝c2，所以1+＝a+b+≥2+＝（2+）•当且仅当a＝b时，上式等号成立，所以≤．…（8分）故S△ABC＝ab≤×≤…（10分）即△ABC面积的最大值为…（12分）18．（12分）如图，P A⊥平面ADE，B，C分别是AE，DE的中点，AE⊥AD，AD＝AE＝AP ＝2．（Ⅰ）求二面角A﹣PE﹣D的余弦值；（Ⅱ）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长．【解答】解：以{，，}为正交基底建立空间直角坐标系Axyz，则各点的坐标为B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2）（Ⅰ）∵AD⊥平面P AB，∴是平面P AB的一个法向量，＝（0，2，0）．∵＝（1，1，﹣2），＝（0，2，﹣2）．设平面PED的法向量为＝（x，y，z），则•＝0，•＝0，即，令y＝1，解得z＝1，x＝1．∴＝（1，1，1）是平面PCD的一个法向量，计算可得cos＜，＞＝＝，∴二面角A﹣PE﹣D的余弦值为；（Ⅱ）∵＝（﹣1，0，2），设＝λ＝（﹣λ，0，2λ）（0≤λ≤1），又＝（0，﹣1，0），则＝+＝（﹣λ，﹣1，2λ），又＝（0，﹣2，2），∴cos＜，＞＝＝，设1+2λ＝t，t∈[1，3]，则cos2＜，＞＝＝≤，当且仅当t＝，即λ＝时，|cos＜，＞|的最大值为．因为y＝cos x在（0，）上是减函数，此时直线CQ与DP所成角取得最小值，又∵BP＝＝，∴BQ＝BP＝19．（12分）某农庄抓鸡比赛，笼中有16只公鸡和8只母鸡，每只鸡被抓到的机会相等，抓到鸡然后放回，若累计3次抓到母鸡则停止，否则继续抓鸡直到第5次后结束．（Ⅰ）求抓鸡3次就停止的事件发生的概率；（Ⅱ）记抓到母鸡的次数为ξ，求随机变量ξ的分布列及其均值．【解答】解：（Ⅰ）由题意，抓到母鸡的概率为，抓鸡3次就停止，说明前三次都抓到了母鸡，则抓鸡3次就停止的事件发生的概率为P＝＝…（4分）（Ⅱ）依题意，随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，3，P（ξ＝0）•＝，P（ξ＝1）＝••＝，P（ξ＝2）＝••＝，P（ξ＝3）＝•+•••+•••＝…（8分）随机变量ξ的分布列为…．（10分）随机变量ξ的均值为E（ξ）＝×0+×1+×2+×3＝…（12分）20．（12分）如图，F1，F2是椭圆C：的左、右两个焦点，|F1F2|＝4，长轴长为6，又A，B分别是椭圆C上位于x轴上方的两点，且满足＝2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求直线AF1的方程；（Ⅲ）求平行四边形AA1B1B的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵F1，F2是椭圆C：的左、右两个焦点，|F1F2|＝4，长轴长为6，∴由题意知2a＝6，2c＝4，∴a＝3，c＝2，∵，∴b2＝5…（2分）∴椭圆方程为…（4分）（Ⅱ）设直线AF1的方程为y＝k（x+2），且交椭圆于A（x1，y1），A1（x2，y2）两点．由题意知，即，△＞0，，①，，②…（6分）∵，∴y1＝﹣2y2③联立①②③消去y1y2，得．∴直线AF1的方程为…（8分）（Ⅲ）∵AA1B1B是平行四边形，∴…（10分）＝∴四边形AA1B1B的面积为．…（12分）21．（12分）已知函数f（x）＝1﹣x+lnx（Ⅰ）求f（x）的最大值；（Ⅱ）对任意的x1，x2∈（0，+∞）且x2＜x1是否存在实数m，使得﹣﹣x1lnx1+x2lnx2＞0恒成立；若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由：（Ⅲ）若正数数列{a n}满足＝，且a1＝，数列{a n}的前n项和为S n，试比较2与2n+1的大小并加以证明．【解答】解：（Ⅰ）由题意得：．当x∈（0，1）时，f'（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，f'（x）＜0，因此，f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∝）上单调递减．所以f（x）max＝f（1）＝0，即函数f（x）的最大值为0；（Ⅱ）若恒成立，则恒成立，设φ（x）＝mx2+xlnx，又0＜x2＜x1，则只需ϕ（x）在（0，+∞）上单调递减，故ϕ′（x）＝2mx+1+lnx≤0在（0，+∞）上成立，得：2m≤，记t（x）＝，则，于是可知t（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，故[t（x）]min＝t（1）＝﹣1，因此存在m≤，使恒成立；（Ⅲ）由＝＝•+得：＝，又，知，＝，即有a n＝．结论：＞2n+1．证明如下：因为a n∈（0，1），由（1）知x＞0时x﹣1＞lnx，则x＞﹣1时x＞ln（x+1）．所以a n＞ln（a n+1）＝＝ln（2n+1）﹣ln（2n﹣1+1）故S n＝a1+a2+…+a n＞[ln（21+1）﹣ln（20+1）]+[ln（22+1）﹣ln（21+1）]…[ln（2n+1）﹣ln（2n﹣1+1）]＝ln（2n+1）﹣ln（20+1）＝，即＞2n+1．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，已知AB是⊙O的弦，P是AB上一点．（Ⅰ）若AB＝6，P A＝4，OP＝3，求⊙O的半径；（Ⅱ）若C是圆O上一点，且CA＝CB，线段CE交AB于D．求证：△CAD～△CEA．【解答】解：（Ⅰ）连接OA，设OA＝r取AB中点F，连接OF，则OF⊥AB，∵，∴，∴．…（2分）又OP＝3，Rt△OFP中，OF2＝OP2﹣FP2＝9﹣2＝7，…（4分）Rt△OAF中，，…（6分）∴r＝5证明：（Ⅱ）∵CA＝CB，∴∠CAD＝∠B又∵∠B＝∠E，∴∠CAD＝∠E…（8分）∵∠ACE为公共角，∴△CAD∽△CEA…（10分）[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），以原点O为起点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知点P的极坐标为（2，﹣），直线l 的极坐标方程为ρcos（+θ）＝6．（Ⅰ）求点P到直线l的距离；（Ⅱ）设点Q在曲线C上，求点Q到直线l的距离的最大值．【解答】解：（Ⅰ）点的直角坐标为，即．由直线l，得．则l的直角坐标方程为：，点P到l的距离．（Ⅱ）可以判断，直线l与曲线C无公共点，设，则点Q到直线的距离为，∴当时，d max＝9．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）＝|x+a|﹣|x+1|．（Ⅰ）当a＝﹣时，解不等式：f（x）≤2a；（Ⅱ）若对任意实数x，f（x）≤2a都成立，求实数a的最小值．【解答】解：（Ⅰ）当a＝时，不等式化为：，当x≤﹣1时，，得，所以x∈Φ．…（2分）当时，，得，所以成立．…（4分）当时，，得≤0，所以成立．综上，原不等式的解集为…（6分）（Ⅱ）∵|x+a|﹣|x+1|≤|（x+a）﹣（x+1）|＝|a﹣1|，∴f（x）＝|x+a|﹣|x+1|的最大值为|a﹣1|…（8分）由题意知：|a﹣1|≤2a，即﹣2a≤a﹣1≤2a，解得：a≥，所以实数a的最小值为…（10分）。

河南省开封市2016届高三下学期5月冲刺卷数学(理) Word版含答案

2016年数学三摸试题（理）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，其中第II 卷第（22）-（23）题为选考题，其他题为必考题。

考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1、答题前，考生务必先将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2、选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。

3、请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。

4、保持卷面清洁，不折叠，不破损。

5、做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

参考公式：样本数据n x x x ,,21的标准差锥体体积公式s =13V Sh =其中x 为样本平均数其中S 为底面面积，h 为高柱体体积公式球的表面积，体积公式V Sh = 24S R π= 343V R π=其中S 为底面面积，h 为高其中R 为球的半径第I 卷选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 一、选择题1. 已知复数z 满足iz=i+z ，则z= C A.-12+12I B. -12-12I C. 12-12i D. 12+12i2. 集合{||1|1},{|A x N x B x y =∈-≤==，则A B ⋂的子集个数为（）B （A ）2个（B ）4个（C ）8个（D ）16个3. 下列结论正确的是 CA.命题P: ∀x>0，都有 x 2>0，则⌝p ：∃x 0≤0，使得x 02≤0；B.若命题p 和p ∨q 都是真命题，则命题q 也是真命题；C.在△ABC 中，a ，b ，c 是角A, B, C 的对边，则a b <的充要条件是cosA>cosB ；D.命题“若x 2+x-2=0，则x=-2或x=1”的逆否命题是“x≠-2或x≠1，则x 2+x-2≠0” 4. 已知数列{}n b 是等比数列，9b 是1和3的等差中项，则216b b =（）D A ．16B ．8C ．2D ．45. 已知12sin α﹣5cos α=13，则tan α=（）BA ．﹣B ．﹣C ．±D ．±6. 按如下程序框图，若输出结果为S=170，则判断框内应补充的条件为 AA ．B ．C ．D ．7. 已知函数f （x ）=sin ωx （x ∈R ，ω＞0）的最小正周期为π，为了得到函数的图象，只要将y=f （x ）的图象（）CA ．向左平移个单位长度B ．向右平移个单位长度C ．向左平移个单位长度 D ．向右平移个单位长度8. 甲乙两名篮球运动员近几场比赛得分统计成茎叶图如图，甲乙两人的平均数与中位数分别相等，则:x y 为（）D（A ）3:2 （B ）2:3 （C ）3:1 或5:3 （D ）3:2 或7:59.若椭圆221x y m +==1(m>1)与双曲线221(0)x y n n-=>有共同的焦点F 1,F 2,P 是两曲线的一个交点，则△F 1PF 2的面积是 BA. 3B. 1C.13D. 1210.如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的四个侧面中面积最小的一个侧面的面积为 AA ．．6 C ．8 D ．11．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 所对应三角形的边长，若4a BC +2b CA +3c AB =0，则cosB= DA.2936 B. - 2936 C. 1124 D. -112412. 设函数f(x)在R 上存在导数f'(x), ∀x∈R ,有f(-x)+f(x)=x², 且在(0,+∞)上f'(x)<x ，若f(4-m)-f(m)≥8-4m, 则实数m 的取值范围为 BA.[-2，2]B.[2，+∞)C.[0，+∞)D.{- ∞,-2}∪[2，+∞)第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答，第（22）题~第（24）题为选考题，考试根据要求做答。

河南省郑州一中2016届高三数学考前冲刺卷(二)文

河南省郑州一中2016届高三数学考前冲刺卷（二）文第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}062≤-+=x x x A ，集合B 为函数11-=x y 的定义域，则=B A （） A ．)2,1( B ．]2,1[ C ．)2,1[ D ．]2,1( 2.已知复数iz -=11，则z z -对应的点所在的象限为（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3.平面向量,共线的充要条件是（） A ．,的方向相同B ．b a ,中至少有一个为零向量 CD 02=+λ2，焦距为32，则此双曲线的离心率为A ．23A ．b a b a b a lg lg )lg(),,0(,+≠++∞∈∀B ．R ∈∃ϕ，使得函数)2sin()(ϕ+=x x f 是偶函数C ．R ∈∃βα,，使得βαβαcos cos )cos(+=+D ．R m ∈∃，使342)1()(+-⋅-=m mx m x f 是幂函数，且在),0(+∞上递减6.若将函数)sin()(ϕω+=x x f 的图象向左平移2π个单位长度后所得图象与原图象重合，则ω的值不可能为（）A ．4B ．6C ．8D ．127.在等差数列{}n a 中，首项01=a ，公差0≠d ，若721a a a a k +⋅⋅⋅++=，则=k （） A ．22 B ．23 C ．24 D ．25 8.执行如图所示的算法，则输出的结果是（） A ．1 B ．34 C ．45D ．2cm ），则此几何体的体积为（） A 22．316cm D ．312cm10.若函数x y 2=的图象上存在点),(y x 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≤-+,,032,03m x y x y x 则实数m 的最大值是（）A ．2B ．23C ．1D ．2111.已知ABC ∆的外心O 满足)(31+=，则=A cos （）A ．21 B ．23 C ．31- D ．33 12.设F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点，P 是双曲线上的点，若它的渐近线上存在一点Q （在第一象限内），使得PQ FQ 2=，则双曲线的离心率的取值范围是（） A ．)3,1( B ．),3(+∞ C ．)2,1( D ．),2(+∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知函数)(x f 是R 上的奇函数，且)2(+x f 为偶函数，若1)1(=f ，则=+)9()8(f f ____.14.气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天的日平均温度均不低于22℃.”现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数，单位：℃）： ①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22； ②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24；③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.2. 则肯定进入夏季的地区有____个.15.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a,b,c ，且2ccosB=2a+b ，若△ABC 的面积为c 23，则ab 的最小值为______.16.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<-+≥=1),)(2(1,1,ln )(x a x x ex x x f （a 为常数，e 为自然对数的底数）的图象在点A （e,1）处的切线与该函数的图象恰好有三个公共点，则实数a 的取值范围是_____.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和2)1(nn a n S +=，且11=a . （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令n n a b ln =，是否存在),2(N k k k ∈≥，使得21,,++k k k b b b 成等比数列？若存在，求（1）从被检测的5辆甲品牌车中任取2辆，则至少有一辆2CO 排放量超过130km g /的概率是多少？（2）若13090<<x ，试比较甲、乙两个牌车2CO 排放量的稳定性. 19.（本小题满分12分）如图所示，在三棱柱111C B A ABC -中，⊥B A 1平面ABC ，AB⊥AC. （1）求证：1BB AC ⊥；（2）若P 是棱11C B 的中点，求平面PAB 将三棱柱111C B A ABC -分成的两部分体积之比.20.（本小题满分12分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x E 的焦距为32，且经过点)23,1(.（1）求椭圆E 的方程；（2）A 是椭圆E 与y 轴正半轴的交点，椭圆E 上是否存在两点M ，N ，使得△AMN 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请说明有几个；若不存在，请说明理由. 21.（本小题满分12分）已知函数x e ax x x g x x x f )3()(,ln )(2-+-==（a 为实数）. （1）当a =5时，求函数)(x g y =在1=x 处的切线方程；（2）求)(x f 在区间)0](2,[>+t t t 上的最小值；（3）若方程)(2)(x f e x g x=存在两个不等实根],1[,21e ex x ∈，求实数a 的取值范围.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲已知△ABC 中，AB=AC ，D 为△ABC 外接圆劣弧AC 上的点（不与点A ，C 重合），延长BD 至E ，延长AD 交BC 的延长线于F ，如图所示.（1）求证：EDF CDF ∠=∠；（2）求证：FB FC AD DF AC AB ⋅⋅=⋅⋅.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧=-=ty t x 3,（t 为参数），当1=t 时，曲线1C 上的点为A ，当1-=t 时，曲线1C 上点为B.以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为θρ2sin 546+=.（1）求B A ,的极坐标；（2）设M 是曲线2C 上的动点，求22MB MA +的最大值. 24.（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲已知21,,,x x b a 均为正实数，且1=+b a .（1）求422b a +的最小值；（2）求证：212121))((x x ax bx bx ax ≥++.数学（文科）试卷（二）参考答案1-5DBDAA 6-12BAABC AA13.1 14.2 15.12 16.)32,223()223,(+----∞ 17.（1）当2≥n 时，22)1(11---+=-=n n n n n na a n S S a ，即)2(11≥-=-n n an a n n ，所以数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a n 是首项为111=a 的常数列. 所以1=na n，即)(*∈=N n n a n . 所以数列{}n a 的通项公式为)(*∈=N n n a n .（2）假设存在),2(N k k k ∈≥，使得21,,++k k k b b b 成等比数列，则212++=k k k b b b ，因为)2(ln ln ≥==n n a b n n ，所以212222222)1ln(]2)1ln([]2)2ln(]2)2ln(ln [)2ln(ln ++=+=+<+=++<+⋅=k k k b k k k k k k k k b b ，这与212++=k k k b b b 矛盾.故不存在),2(N k k k ∈≥，使得21,,++k k k b b b 成等比数列.设“至少有一辆2CO 排放量超过130km g /”为事件A ，则事件A 包含以下7种不同的结果： 80,140；80,150；110,140；110,150；120,140；120,150；140,150. 所以7.0107)(==A P .（2）由题可知，220120=+==y x x x ，乙甲.所以3000120150120140120120120110120805222222=++++=）（）（）（）（）（甲-----S ，2222222212012020001201601201201201201201005）（）（）（）（）（）（）（乙-y -x --y -x --S ++=++++=.令t x =-120，因为90<x<130，所以1030<<-t .所以222)20(20005+++=t t S 乙.所以0)10)(30(260040255222<-+=-+=-t t t t S S 甲乙.因为22120甲乙乙甲，S S x x <==，所以乙品牌车2CO 排放量的稳定性好. 19.（1）在三棱柱111C B A ABC -中，因为⊥B A 1平面ABC ，⊂B A 1平面11A ABB ，所以平面11A ABB ⊥平面ABC.因为平面 11A ABB 平面ABC=AB ，AB ⊥AC ，所以AC ⊥平面11A ABB . 所以1BB AC ⊥.因为P 为棱11C B 的中点，所以Q 为棱11C A 的中点，连h ，体积为V ，则Sh=V 。

河南省郑州市高三数学第二次模拟考试试题理(扫描版)

河南省郑州市2016届高三数学第二次模拟考试试题理（扫描版）2016年高中毕业年级第二次质量预测数学理科参考答案一、选择题 BABDC ABDCC CA二、填空题 13.54, 14.3, 15.5, 16.三、解答题17．解：（1）由已知得222sin 2sin A C -=22312cos sin 44C C ⎛⎫-⎪⎝⎭，………2分化简得sin A =，故233A ππ=或．………………………………5分（2）由正弦定理2sin sin sin b c a B C A===，得2sin ,2sin b B c C ==，…7分故224sin 2sin 4sin 2sin()3b c B C B B π-=-=--=3sin B B).6π=-B ……………………………9分因为b a ≥，所以233B ππ≤<，662B πππ≤-<，………11分所以2)6b c B π-=-∈． ………12分18.解：(Ⅰ)2乘2列联表………………………………………………2分()()()()2250(311729) 6.27372911329711K ⨯⨯-⨯=≈++++＜6.635…………………4分所以没有99%的把握认为以45岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异.………………………………………………5分(Ⅱ)所有可能取值有0, 1,2,3, ………………………6分22842251062884(0),1045225C C P C C ζ==⋅=⨯=()211128824422225105104286161041,10451045225C C C C C P C C C C ζ==⨯+⨯=⨯+⨯=()1112282442222251051041661352,10451045225C C C C C P C C C C ζ==⨯+⨯=⨯+⨯=ξ124222510412(3),1045225C C P C C ζ==⋅=⨯=……………………10分所以的分布列是0 1 2 384225104225 35225 2225 所以的期望值是0.2252252255E ζ=+++=………………………12分19.解：(1)在梯形ABCD 中，∵AB ∥CD ，1,AD DC CB ===o120,∠=BCD∴ 2.AB =∴2222cos60 3.oBD AB AD AB AD =+-⋅⋅=………………………2分 ∴222,AB AD BD =+∴.AD BD ⊥∵平面BFED ⊥平面,ABCD 平面BFED ⋂平面,ABCD BD =DE ⊂平面BEFD ，,DE DB ⊥ ∴,DE ABCD ⊥平面………………………4分∴,DE AD ⊥又,DE BD D ⋂= ∴.AD BFED ⊥平面………………………6分 (2)由(1)可建立分别以直线,,DA DB DE 为x 轴，y 轴，z 轴的，如图所示的空间直角坐标系，令EP λ= (0≤λ≤3),则()0,0,0,D ()1,0,0,A ()0,3,0,B ()0,,1,P λ∴(1,3,0),AB =-uu u r (0,3,1),BP λ=-u u r………………………8分设1(,,)n x y z =u r为平面PAB 的一个法向量，由0,0,1⎧=⎪⎨=⎪⎩n AB n BP 1u r uu u r g u r uu r g 得30,(3)0,λ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩x y y z 取1,y =则1(3,1,3),n λ=-u r (10)分∵()20,1,0n =u u r是平面ADE 的一个法向量,∴()()122212cos .313134n n n n θλλ⋅===++-⨯-+u r u u r u r u u r ξP ξξ∵0≤λλcos θ有最大值12. ∴θ的最小值为3π………………………12分 20.解：（1）由题可得：111,82111,63⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩m n m n 解得4, 1.m n ==所以曲线C 方程为1422=+x y . ………………………4分（2）由题得：,142121=+x y ,142222=+x y 02121=+y y x x ………………………6分原点O 到直线MN 的距离OA OB d AB⋅=== )(329)(31)(32)31)(31(22212221222122212221x x x x x x x x x x +-++-=+---=………………………8分由02121=+y y x x 得：)41)(41(222122212221x x y y x x --==2221222116)(41x x x x ++-= 所以151)(15422212221-+=x x x xd =5=………………………11分所以直线MN 恒与定圆5122=+y x 相切。

全国新课标2016届高三考前冲刺数学理科试题(二)含答案

开始 10n S ==，S p <是输入p结束输出n ，SnS S 3+=否1n n =+全国卷W 科数学模拟试题二第Ⅰ卷一选择题：本题共12题，每小题5分，共60.在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的.1．已知复数11222,34,z z m i z i z =+=-若为实数，则实数m 的值为（） A ．83 B ．32C ．—83D ．—322若椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为32，则双曲线22221x y a b-=的渐近线方程为（）A ．12y x =±B ．2y x =±C ．4y x =±D ．14y x =±3.某程序的框图如图所示, 执行该程序，若输入的p 为24，则输出的,n S 的值分别为A. 4,30n S ==B. 4,45n S ==C. 5,30n S ==D. 5,45n S ==4.数列{n a }的前n 项和12-=n n S （n ∈N+），则22212n a a a +++等于（）A ．2)12(-n B ．)12(31-n C ．14-nD ．)14(31-n5. 已知)(,13)(R x x x f ∈+=，若a x f <-|4)(|的充分条件是b x <-|1|，)0,(>b a ，则b a ,之间的关系是（）．（A ）3b a ≤（B ）3a b ≤ （C ）3a b > （D ）3b a > 6.已知等比数列{}n a 的公比1q ≠，则下面说法中不正确的是（）A ．{}2n n a a ++是等比数列B ．对于k *∈N ，1k >，112k k k a a a -++≠C ．对于n *∈N ，都有20n n a a +>D ．若21a a >，则对于任意n *∈N ，都有1n n a a +> 7. 对于x ∈R ，恒有)21()21(x f x f --=+成立，则f(x)的表达式可能是( )．（A ）x x f πcot )(= （B ）()x x f πtan = （C ）x x f πcos )(= （D ）()x x f πsin =8.已知函数22,0()42,0x f x x x x ≥⎧=⎨++<⎩的图象与直线(2)2y k x =+-恰有三个公共点,则实数k 的取值范围是（）（）A ．()02，B ．(]02，C ．()-2∞，D ．()2+∞，9.有能力互异的3人应聘同一公司，他们按照报名顺序依次接受面试，经理决定“不录用第一个接受面试的人，如果第二个接受面试的人比第一个能力强，就录用第二个人，否则就录用第三个人”，记公司录用到能力最强的人的概率为p ，录用到能力最弱的人的概率为q ，则(),p q =（）11.,22A ⎛⎫ ⎪⎝⎭11.,33B ⎛⎫ ⎪⎝⎭11.,66C ⎛⎫ ⎪⎝⎭11.,26D ⎛⎫ ⎪⎝⎭10.已知抛物线22y px =的焦点F 到其准线的距离是8，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上且||2||AK AF =，则AFK ∆的面积为A 32B 16C 8D 411.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，令nS S S T nn +⋅⋅⋅++=21，称n T 为数列1a ,2a ,…,n a 的理想数．已知1a ,2a ,3a ,…, 500a 的理想数为2004，那么数列1,7a ,2a ,3a ,…, 500a 的理想数为（）A 2005B 2006C 2007 D200812.已知定义域为R 的奇函数的导函数为，当时，，若，则的大小关系正确的是（）A.B.C.D.第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分。

河南省高考数学冲刺试卷(理科)(2).docx

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作2016年河南省高考数学冲刺试卷（理科）（2）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数z=||﹣i（i为虚数单位），则复数z的共轭复数为（）A．2﹣i B．2+i C．4﹣i D．4+i2．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0}，B={x|log2（x2﹣x）＞1}则A∩B=（）A．（2，3）B．（2，3]C．（﹣3，﹣2）D．[﹣3，﹣2）3．下列各点中，位于不等式（x+2y+1）（x﹣y+4）＜0表示的平面区域内的是（）A．（0，0）B．（﹣2，0）C．（﹣1，0）D．（2，3）4．已知语句p：函数y=f（x）的导函数是常数函数；语句q：函数y=f（x）是一次函数，则语句p是语句q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件5．设某几何体的三视图如图所示（尺寸的长度单位为m），则该几何体的体积为（）A ．12m 3B ．C ．4m 3D ．8m 36．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S 为（）A ．2B ．C ．﹣3D ．7．已知θ是△ABC 的一个内角，且sin θ+cos θ=，则方程x 2sin θ﹣y 2cos θ=1表示（） A ．焦点在x 轴上的双曲线 B ．焦点在y 轴上的双曲线C ．焦点在x 轴上的椭圆D ．焦点在y 轴上的椭圆8．已知等差数列{a n }中，|a 3|=|a 9|，公差d ＜0；S n 是数列{a n }的前n 项和，则（） A ．S 5＞S 6 B ．S 5＜S 6 C ．S 6=0 D ．S 5=S 69．若函数f （x ）=log a （x 2﹣ax +）有最小值，则实数a 的取值范围是（）A ．（0，1）B ．（0，1）∪（1，）C ．（1，）D ．[，+∞） 10．直角坐标系xOy 中，，分别是与x ，y 轴正方向同向的单位向量．在直角三角形ABC中，若=2+， =3+k ，则k 的可能值个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．411．用1，2，3这三个数字组成四位数，规定这三个数字必须都使用，但相同的数字不能相邻，以这样的方式组成的四位数共有（）A ．9个B ．18个C ．12个D ．36个12．在△ABC 中，若∠C=60°，则=（）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知0＜A ＜π，且满足，则= ．14．已知球O 的半径为1，A ，B ，C 三点都在球面上，且每两点间的球面距离为，则球心O 到平面ABC 的距离为15．若P（2，﹣1）为圆x2+y2﹣2x﹣24=0的弦AB的中点，则直线AB的方程．16．在（x+1）9的二项展开式中任取2项，p i表示取出的2项中有i项系数为奇数的概率．若用随机变量ξ表示取出的2项中系数为奇数的项数i，则随机变量ξ的数学期望Eξ=．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．数列{a n}中，a1=4，前n项和S n满足：S n=a n+n．+1（Ⅰ）求a n；（Ⅱ）令b n=，数列{b n2}的前n项和为T n．求证：∀n∈N*，T n＜．18．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=1，∠BAC=90°，且异面直线A1B与B1C1所成的角等于60°，设AA1=a．（1）求a的值；（2）求平面A1BC1与平面B1BC1所成的锐二面角的大小．19．东莞市政府要用三辆汽车从新市政府把工作人员接到老市政府，已知从新市政府到老市政府有两条公路，汽车走公路①堵车的概率为，不堵车的概率为；汽车走公路②堵车的概率为p，不堵车的概率为1﹣p．若甲、乙两辆汽车走公路①，丙汽车由于其他原因走公路②，且三辆车是否堵车相互之间没有影响．（1）若三辆汽车中恰有一辆汽车被堵的概率为，求走公路②堵车的概率；（2）在（1）的条件下，求三辆汽车中被堵车辆的个数ξ的分布列和数学期望．20．如图，椭圆长轴端点为A，B，O为椭圆中心，F为椭圆的右焦点，且=1，|OF|=1．（1）求椭圆的标准方程；（2）记椭圆的上顶点为M，直线l交椭圆于P，Q两点，是否存在直线l，使点F恰为△PQM 的垂心？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．21．设f（x）=ln（x+1）++ax+b（a，b∈R，a，b为常数），曲线y=f（x）与直线y=x 在（0，0）点相切．（I）求a，b的值；（II）证明：当0＜x＜2时，f（x）＜．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA 交△ABC的外接圆于点F，连接FB、FC．（1）求证：FB=FC；（2）求证：FB2=FA•FD；[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系中，坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l上两点M，N的极坐标分别为（2，0），（，）．圆C的参数方程为，（θ为参数）．（Ⅰ）设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；（Ⅱ）判断直线l与圆C的位置关系．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+2|﹣|x﹣1|．（Ⅰ）试求f（x）的值域；（Ⅱ）设若对∀s∈（0，+∞），∀t∈（﹣∞，+∞），恒有g（s）≥f（t）成立，试求实数a的取值范围．2016年河南省高考数学冲刺试卷（理科）（2）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数z=||﹣i（i为虚数单位），则复数z的共轭复数为（）A．2﹣i B．2+i C．4﹣i D．4+i【考点】复数求模．【分析】化简复数z，写出z的共轭复数即可．【解答】解：复数z=||﹣i=﹣i=2﹣i，∴复数z的共轭复数为=2+i．故选：D．2．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0}，B={x|log2（x2﹣x）＞1}则A∩B=（）A．（2，3）B．（2，3]C．（﹣3，﹣2）D．[﹣3，﹣2）【考点】交集及其运算．【分析】求出A，B中x的范围确定出A，B，再求出两集合的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣3）（x+1）≤0，解得：﹣1≤x≤3，即A=[﹣1，3]，由log2（x2﹣x）＞1，得到x2﹣x﹣2＞0，即x＜﹣1或x＞2，∴B=（﹣∞，﹣1）∩（2，+∞），由B中则A∩B=（2，3]，故选：B．3．下列各点中，位于不等式（x+2y+1）（x﹣y+4）＜0表示的平面区域内的是（）A．（0，0）B．（﹣2，0）C．（﹣1，0）D．（2，3）【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．【分析】分别将点的坐标代入不等式，满足不等式即可．【解答】解：A．当x=0，y=0时，1×4＜0不成立，B．当x=﹣2，y=0时，（﹣2+1）（﹣2+4）=﹣2＜0成立C．当x=﹣1，y=0时，（﹣1+1）（﹣1+4）=0＜0不成立D．当x=2，y=3时，（2+6+1）（2﹣3+4）=9×3=27＜0不成立，故选：B4．已知语句p：函数y=f（x）的导函数是常数函数；语句q：函数y=f（x）是一次函数，则语句p是语句q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由一次函数的定义域为R可知函数y=f（x）的导函数是常数函数，函数y=f（x）不一定是一次函数．【解答】解：“函数y=f（x）是一次函数”⇒“函数y=f（x）的导函数是常数函数”，反之取f（x）=2x，（x＞0），f′（x）=2为常数函数，但是f（x）不是一次函数．5．设某几何体的三视图如图所示（尺寸的长度单位为m），则该几何体的体积为（）A．12m3B．C．4m3D．8m3【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，根据底面积乘高再乘，即可得到该几何体的体积．【解答】解：根据三视图得三棱锥，底面为等腰三角形，高为：2．底面积为：（3+1）×3=6，∴体积：6×2=4故选：C6．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S为（）A．2 B． C．﹣3 D．【考点】循环结构．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是根据条件循环计算并输出S的值．【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：是否继续循环S i循环前/2 1第一圈是﹣3 2第二圈是﹣ 3第三圈是 4第四圈是 2 5第五圈是﹣3 6…依此类推，S的值呈周期性变化：2，﹣3，﹣，，2，﹣3，…第2010圈是﹣2011第2011圈否故最终的输出结果为：﹣，故答案为：﹣．7．已知θ是△ABC的一个内角，且sinθ+cosθ=，则方程x2sinθ﹣y2cosθ=1表示（）A．焦点在x轴上的双曲线 B．焦点在y轴上的双曲线C．焦点在x轴上的椭圆D．焦点在y轴上的椭圆【考点】曲线与方程．【分析】首先利用三角关系的恒等式求出sinθ＞﹣cosθ＞0，进一步确定圆锥曲线的方程．【解答】解：∵sinθ+cosθ=，∴sinθcosθ=﹣，∵θ为三角形的一个内角，∴sinθ＞0，cosθ＜0，∴sinθ＞﹣cosθ＞0，∴＞＞0，∴方程x2sinθ﹣y2cosθ=1是焦点在y轴上的椭圆．故选：D．8．已知等差数列{a n}中，|a3|=|a9|，公差d＜0；S n是数列{a n}的前n项和，则（）A．S5＞S6B．S5＜S6C．S6=0 D．S5=S6【考点】等差数列的性质．【分析】先根据d＜0，|a3|=|a9|确定a3＞0，a9＜0，且a3+a9=0，进而根据等差中项性质可知a6=0，进而可推断a5＞0，a7＜0；最后根据S6=S5+a6进而推断出S6=S5【解答】解：∵d＜0，|a3|=|a9|，∴a3＞0，a9＜0，且a3+a9=0，∴a6=0，a5＞0，a7＜0；∴S5=S6．故选D9．若函数f（x）=log a（x2﹣ax+）有最小值，则实数a的取值范围是（）A．（0，1）B．（0，1）∪（1，）C．（1，）D．[，+∞）【考点】复合函数的单调性．【分析】令u=x2﹣ax+=+﹣，则u有最小值，欲满足题意，须log a u递增，且u的最小值﹣＞0，由此可求a的范围．【解答】解：令u=x2﹣ax+=+﹣，则u有最小值﹣，欲使函数f（x）=log a（x2﹣ax+）有最小值，则须有，解得1＜a＜．即a的取值范围为（1，）．故选C．10．直角坐标系xOy中，，分别是与x，y轴正方向同向的单位向量．在直角三角形ABC中，若=2+，=3+k，则k的可能值个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；平面向量的坐标运算．【分析】由向量的运算可得，分三种情况∠A=90°或∠B=90°或∠C=90°利用向量的数量积等于零，建立关系式，再解方程求得所有可能k的值．【解答】解：∵若=2+，=3+k，∴==+（k﹣1），∵△ABC为直角三角形，（1）当∠A=90°时，=6+k=0，解得k=﹣6；（2）当∠B=90°时，=2+k﹣1=0，解得k=﹣1；（3）当∠C=90°时，=3+k（k﹣1）=0，方程无实解；综上所述，k=﹣6或﹣1故选B11．用1，2，3这三个数字组成四位数，规定这三个数字必须都使用，但相同的数字不能相邻，以这样的方式组成的四位数共有（）A．9个B．18个C．12个D．36个【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】若有两个1，则他们在13，14或24位，其他两位是2和3，可以颠倒，所以有两个1时有3×2=6个，由理两个2或两个3式也是6个，由此能得到结果．【解答】解：若有两个1，则他们在13，14或24位，其他两位是2和3，可以颠倒，则1在13位有两个，14和24为也是两个，所以有两个1时有3×2=6个，则两个2或两个3式也是6个，所以一共6×3=18个．故选B．12．在△ABC中，若∠C=60°，则=（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】余弦定理的应用．【分析】先将所要求的式子通分，然后根据余弦定理找到a，b，c的关系式a2+b2=ab+c2，代入即可得到答案．【解答】解：==（*），∵∠C=60°，∴a2+b2﹣c2=2abcosC=ab，∴a2+b2=ab+c2，代入（*）式得=1故选A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知0＜A ＜π，且满足，则= ．【考点】同角三角函数间的基本关系．【分析】先对所给的式子两边平方后求出，2sinAcosA 的值再判断出A 的具体范围，进而判断出sinA ﹣cosA 的符号，再由sinA ±cosA 与2sinAcosA 的关系求出sinA ﹣cosA 的值，再求出A 的正弦值和余弦值，代入所求的式子进行求解．【解答】解：将两边平方得，2sinAcosA=＜0，∵0＜A ＜π，∴，∴sinA ﹣cosA ＞0∴sinA ﹣cosA==，再由，解得，sinA=，cosA=，∴==．故答案为：．14．已知球O 的半径为1，A ，B ，C 三点都在球面上，且每两点间的球面距离为，则球心O 到平面ABC 的距离为【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】根据题意可知：球心O 与A ，B ，C 三点构成正三棱锥O ﹣ABC ，且OA=OB=OC=R=1，∠AOB=∠BOC=∠AOC=90°，故AO ⊥面BOC ．所以此题可以根据体积法求得球心O 到平面ABC 的距离．【解答】解：球心O 与A ，B ，C 三点构成正三棱锥O ﹣ABC ，如图所示，已知OA=OB=OC=R=1，∠AOB=∠BOC=∠AOC=90°，由此可得AO ⊥面BOC ．∵，．∴由V A ﹣BOC =V O ﹣ABC ，得．故答案为：15．若P（2，﹣1）为圆x2+y2﹣2x﹣24=0的弦AB的中点，则直线AB的方程．【考点】直线与圆相交的性质．【分析】求出圆的圆心和半径，由弦的性质可得CP⊥AB，求出CP的斜率，可得AB的斜率，由点斜式求得直线AB的方程．【解答】解：圆x2+y2﹣2x﹣24=0即（x﹣1）2+y2=25，表示以C（1，0）为圆心，以5为半径的圆．由于P（2，﹣1）为圆x2+y2﹣2x﹣24=0的弦AB的中点，故有CP⊥AB，CP的斜率为=﹣1，故AB的斜率为1，由点斜式求得直线AB的方程为y+1=x﹣2，即x﹣y﹣3=0，故答案为x﹣y﹣3=0．16．在（x+1）9的二项展开式中任取2项，p i表示取出的2项中有i项系数为奇数的概率．若用随机变量ξ表示取出的2项中系数为奇数的项数i，则随机变量ξ的数学期望Eξ=．【考点】离散型随机变量的期望与方差．【分析】写出二项展开式的系数，共有十项，写出组合数对应的数字，后面的问题转化为离散型随机变量的概率和期望问题，在求三个变量的概率时，应用古典概型的公式．【解答】解：（x+1）9的二项展开式的系数分别是C90，C91，C92，C93，C94，C95，C96，C97，C98，C99，变化为数字分别是1，9，36，84，126，126，84，36，9，1P0==P1==，P2==∴Eξ=×1+×2=故答案为：三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．数列{a n}中，a1=4，前n项和S n满足：S n=a n+n．+1（Ⅰ）求a n；（Ⅱ）令b n =，数列{b n 2}的前n 项和为T n ．求证：∀n ∈N *，T n ＜．【考点】数列的求和；数列与不等式的综合．【分析】（Ⅰ）根据S n =a n +1+n ，利用a n =S n ﹣S n ﹣1，能求出数列{a n }的通项a n ．（Ⅱ）由已知条件推导出b 1=，b n =，（n ≥2），从而得到当k ≥2时，＜，由此能够证明对于任意的n ∈N *，都有T n．【解答】（Ⅰ）解：数列{a n }中，∵a 1=4，前n 项和S n 满足：S n =a n +1+n ，∴当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=a n +1+n ﹣a n ﹣（n ﹣1）， ∴a n +1=2a n ﹣1，a n +1﹣1=2（a n ﹣1），（n ≥2），又∵a 1=S 1=a 2+1，a 1=4，解得a 2=3， ∴a n ﹣1=（a 2﹣1）•2n ﹣2=2n ﹣1， ∴a n =2n ﹣1+1，n ≥2，综上，数列{a n }的通项a n =．（Ⅱ）证明：∵a n =，b n =，∴=，b n ==，n ≥2，则当k ≥2时，有=，∴当n ≥2时，+[（1﹣）+（）+…+（﹣）]=．又n=1时，=，∴对于任意的n ∈N *，都有T n．18．在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB=AC=1，∠BAC=90°，且异面直线A 1B 与B 1C 1所成的角等于60°，设AA 1=a ．（1）求a 的值；（2）求平面A 1BC 1与平面B 1BC 1所成的锐二面角的大小．【考点】平面与平面之间的位置关系．【分析】（1）将B1C1平移到BC，∠A1BC就是异面直线A1B与B1C1所成的角，在三角形A1BA内建立等式，解之即可；（2）取A1B的中点E，连接B1E，过E作EF⊥BC1于F，连接B1F，B1E⊥A1B，A1C1⊥B1E，得到∠B1FE就是平面A1BC1与平面B1BC1所成的锐二面角的平面角，在△B1EF中解出此角即可．【解答】解：（1）∵BC∥B1C1，∴∠A1BC就是异面直线A1B与B1C1所成的角，即∠A1BC=60°，连接A1C，又AB=AC，则A1B=A1C∴△A1BC为等边三角形，由AB=AC=1，∠BAC=90°，∴；（2）取A1B的中点E，连接B1E，过E作EF⊥BC1于F，连接B1F，B1E⊥A1B，A1C1⊥B1E⇒B1E⊥平面A1BC1⇒B1E⊥BC1又EF⊥BC1，所以BC1⊥平面B1EF，即B1F⊥BC1，所以∠B1FE就是平面A1BC1与平面B1BC1所成的锐二面角的平面角．在△B1EF中，∠B1EF=90°，，，∴⇒∠B1FE=60°，因此平面A1BC1与平面B1BC1所成的锐二面角的大小为60°．19．东莞市政府要用三辆汽车从新市政府把工作人员接到老市政府，已知从新市政府到老市政府有两条公路，汽车走公路①堵车的概率为，不堵车的概率为；汽车走公路②堵车的概率为p，不堵车的概率为1﹣p．若甲、乙两辆汽车走公路①，丙汽车由于其他原因走公路②，且三辆车是否堵车相互之间没有影响．（1）若三辆汽车中恰有一辆汽车被堵的概率为，求走公路②堵车的概率；（2）在（1）的条件下，求三辆汽车中被堵车辆的个数ξ的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）三辆车是否堵车相互之间没有影响三辆汽车中恰有一辆汽车被堵，是一个独立重复试验，走公路②堵车的概率为p，不堵车的概率为1﹣p，根据独立重复试验的概率公式写出关于P的方程，解出P的值，得到结果（2）三辆汽车中被堵车辆的个数ξ，由题意知ξ可能的取值为0，1，2，3，结合变量对应的事件和相互独立事件同时发生的概率写出变量的分布列，做出期望．【解答】解：（1）三辆车是否堵车相互之间没有影响三辆汽车中恰有一辆汽车被堵，是一个独立重复试验，走公路②堵车的概率为p，不堵车的概率为1﹣p，得即3p=1，则即p的值为．（2）由题意知ξ可能的取值为0，1，2，3∴ξ的分布列为：∴Eξ=20．如图，椭圆长轴端点为A，B，O为椭圆中心，F为椭圆的右焦点，且=1，|OF|=1．（1）求椭圆的标准方程；（2）记椭圆的上顶点为M，直线l交椭圆于P，Q两点，是否存在直线l，使点F恰为△PQM 的垂心？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）设椭圆的标准方程为，则c=1．由，即（a+c）•（a﹣c）=1=a2﹣c2，可得a2，b2=a2﹣c2，即可得出．（2）假设存在直线l交椭圆于P，Q两点，且F恰为△PQM的垂心，设P（x1，y1），Q（x2，y2），k PQ=1．可设直线l的方程为y=x+m．与椭圆方程联立得3x2+4mx+2m2﹣2=0．又F为△PQM的垂心，可得MP⊥FQ．∴=0，利用根与系数的关系即可得出．【解答】解：（1）设椭圆的标准方程为，则c=1．又∵，即（a+c）•（a﹣c）=1=a2﹣c2，∴a2=2，b2=1．故椭圆的标准方程为．（2）假设存在直线l交椭圆于P，Q两点，且F恰为△PQM的垂心，设P（x1，y1），Q（x2，y2），∵M（0，1），F（1，0），∴k PQ=1．∴设直线l的方程为y=x+m．由，得3x2+4mx+2m2﹣2=0．又F为△PQM的垂心，∴MP⊥FQ．∴．又y i=x i+m（i=1，2），∴x1（x2﹣1）+（x2+m）（x1+m﹣1）=0，即．由根与系数的关系，得．解得或m=1（舍去），经检验符合条件．故存在直线l，使点F恰为△PQM的垂心，且直线l的方程为．21．设f（x）=ln（x+1）++ax+b（a，b∈R，a，b为常数），曲线y=f（x）与直线y=x在（0，0）点相切．（I）求a，b的值；（II）证明：当0＜x＜2时，f（x）＜．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（I）由y=f（x）过（0，0），可求b的值，根据曲线y=f（x）与直线在（0，0）点相切，利用导函数，可求a的值；（II）由（I）知f（x）=ln（x+1）+，由均值不等式，可得，构造函数k（x）=ln（x+1）﹣x，可得ln（x+1）＜x，从而当x＞0时，f（x）＜，记h（x）=（x+6）f（x）﹣9x，可证h（x）在（0，2）内单调递减，从而h（x）＜0，故问题得证．【解答】（I）解：由y=f（x）过（0，0），∴f（0）=0，∴b=﹣1∵曲线y=f（x）与直线在（0，0）点相切．∴y′|x=0=∴a=0；（II）证明：由（I）知f（x）=ln（x+1）+由均值不等式，当x＞0时，，∴①令k（x）=ln（x+1）﹣x，则k（0）=0，k′（x）=，∴k（x）＜0∴ln（x+1）＜x，②由①②得，当x＞0时，f（x）＜记h（x）=（x+6）f（x）﹣9x，则当0＜x＜2时，h′（x）=f（x）+（x+6）f′（x）﹣9＜＜=∴h（x）在（0，2）内单调递减，又h（0）=0，∴h（x）＜0∴当0＜x＜2时，f（x）＜．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA 交△ABC的外接圆于点F，连接FB、FC．（1）求证：FB=FC；（2）求证：FB2=FA•FD；【考点】圆內接多边形的性质与判定；相似三角形的性质．【分析】（I）根据角平分线得到两个角相等，根据圆内接四边形得到四边形的一个外角等于不相邻的一个内角，得到两个角相等，根据同弧所对的圆周角相等和对顶角相等，根据等量代换得到∠FBC=∠FCB，三角形是一个等腰三角形，得到两边相等．（II）根据两个三角形对应角相等，得到两个三角形相似，根据相似三角形对应边成比例，得到比例式，不比例式化成乘积式，得到结果．【解答】解：（Ⅰ）∵AD平分∠EAC，∴∠EAD=∠DAC．∵四边形AFBC内接于圆，∴∠DAC=∠FBC．∵∠EAD=∠FAB=∠FCB，∴∠FBC=∠FCB，∴FB=FC．（Ⅱ）∵∠FAB=∠FCB=∠FBC，∠AFB=∠BFD，∴△FBA∽△FDB．∴，∴FB2=FA•FD．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系中，坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l上两点M，N的极坐标分别为（2，0），（，）．圆C的参数方程为，（θ为参数）．（Ⅰ）设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；（Ⅱ）判断直线l与圆C的位置关系．【考点】点的极坐标和直角坐标的互化；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；（Ⅱ）求出圆的圆心与半径，判断圆心与直线的距离与半径的关系，即可判断直线l与圆C 的位置关系．【解答】解：（Ⅰ）M，N的极坐标分别为（2，0），（，），所以M、N的直角坐标分别为：M（2，0），N（0，），P为线段MN的中点（1，），直线OP的平面直角坐标方程y=x；（Ⅱ）圆C的参数方程（θ为参数）．它的直角坐标方程为：（x﹣2）2+（y+3）2=4，圆的圆心坐标为（2，﹣3），半径为2，直线l上两点M，N的直角坐标分别为M（2，0），N（0，），方程为x+y﹣2=0，圆心到直线的距离为：=＞2，所以，直线l与圆C相离．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+2|﹣|x﹣1|．（Ⅰ）试求f（x）的值域；（Ⅱ）设若对∀s∈（0，+∞），∀t∈（﹣∞，+∞），恒有g（s）≥f（t）成立，试求实数a的取值范围．【考点】函数恒成立问题；函数的值域．【分析】（1）将含有绝对值的函数转化为分段函数，再求分段函数的值域；（2）恒成立问题转化成最小值最大值问题，即g（x）min≥f（x）max．【解答】解：（Ⅰ）函数可化为，∴f（x）∈[﹣3，3]（Ⅱ）若x＞0，则，即当ax2=3时，，又由（Ⅰ）知∴f（x）max=3若对∀s∈（0，+∞），∀t∈（﹣∞，+∞），恒有g（s）≥f（t）成立，即g（x）min≥f（x）max，∴，∴a≥3，即a的取值范围是[3，+∞）．2016年10月13日。

2016年河南省顶级名校高考数学二模试卷(理科)解析

2016年河南省顶级名校高考数学二模试卷（理科）、选择题：本大题共 12个小题，每小题5分，共60分•在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.(5 分)已知集合 A={x| - 2$<3} , B={X |X 2+2X - 8>0}，则 A uB ()A . ( 2, 3]B . (- ^,- 4)U [ - 2, +〜C . [ - 2, 2)D . (- ^, 3] U( 4, +〜2.(5分)已知(「- 1+3i ) (2 - i ) =4+3i (其中i 是虚数单位，匚是z 的共轭复数)，则z 的虚部为( )A . 1B .- 1C . iD . - i3. 4. JI 1 JI（5分）已知 sin （x+——）= ，贝U cosx+cos （——-x ）的值为（33 3-"B .- C. — D.-3 33（5分）某几何体的三视图如图所示， 3则该几何体的体积是（正视團侧视團俯视图 2 -I B -2 n~ 25. （5分）在如图所示的正方形中随机投掷 1）的密度曲线）的点的个数的估计值（附若X 〜N （卩，a 2）,贝U10000个点，则落入阴影部分（曲线）C 为正态分布N （- 1,1 1P (卩-o< X w ■+ d) =0.6826 .A. 1193B. 1359C. 2718 D . 34136. （5分）某学校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责.每次献爱心活动均需该组织4位同学参加.假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、都能收到.则甲冋学收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率为（随机地发给4位同学，且所发信息）r2x+y<107. （5分）设实数x, y满足r十2y<14，则xy的最大值为（）2 2& （5分）已知椭圆一+丄==1 （a > b >0）的左焦点F （ - c , 0）关于直线bx+cy=O 的对称点P 在椭圆上, 则椭圆的离心率是（）A ._B . 一C . 一 D."44 3 29. （5分）据气象部门预报，在距离某码头正西方向 400km 处的热带风暴中心正以 20km/h 的速度向东北方向移动，距风暴中心 300km 以内的地区为危险区，则该码头处于危险区内的时间为（）A . 9hB . 10hC . 11hD . 12h10. （5分）已知四面体 ABCD 的顶点A , B , C , D 在空间直角坐标系中的坐标分别为-亠 --■ , O 为坐标原点，则在下列命题中,33丿）ABC B .直线OB //平面ACDC .直线AD 与OB 所成的角是45 ° D .是双曲线在第一象限上的点，直线PO , PF 2分别交双曲线 C 左、右支于另一点 M , N , |PF 1|=2|PF 2|，且/ MF 2N=60° ,则双曲线C 的离心率为（）A ."： B . 「C . 一 D .注312. （5分）设直线y=t 与曲线C : y=x （x - 3） 2的三个交点分别为 A （a , t ）, B （ b , t ）, C （c , t ）,且a v bv c .现给出如下结论：① abc 的取值范围是（0, 4）; ② a 2+b 2+c 2为定值； ③ c - a 有最小值无最大值. 其中正确结论的个数为（）A . 0B . 1C . 2D . 3二、填空题（每题 5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.（5分）已知向量 .=（1, 2）, - = （ 1, 0）, = （ 3,4）,若入为实数，（入.+ * ）丄，则入的值为 ____ .14. ______________________________________________________________________________ （5分）在（x+y ）（x+1 ） 4的展开式中x 的奇数次幕项的系数之和为 32,则y 的值是 ______________________ .15. ____________________________________________________ （ 5 分）三棱锥 P - ABC 中，平面 PAC 丄平面 ABC , PA=PC=AB=2 ■:, AC=4，/ BAC=30° .若三棱锥P -ABC 的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 _________________________________________________________ . 16.（5分）已知第…"亠，删除数列{a n }中所有能被2整除的数，剩下的数从小到大排成数列 {b n },贝U b 51= __25 ~2B .C . 12D . 14(0, 1, 0), (0T 0, 1),(壬(b Q, 0),正确的为（ A . OD 丄平面面角D - OB - A 为45 ° 2 211. （5分）已知双曲线C :二一 -'=1/ b 2（a >0, b >0）的左、右焦点分别为F 1, F 2 , O 为坐标原点，P三、解答题（本大题共5小题，共70分•解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤•）17. （12分）在△ ABC中，角A , B , C的对边分别为a, b, c,且a=2b,又si nA , sin C, si nB成等差数列.(I)求cos (B+C )的值；(n)若.. —_二求c的值.318. (12分)某城市随机抽取一年内100天的空气质量指数(AQI )的监测数据，结果统计如表:API[0,50](50,100](100,150](150,200](200,300]> 300空气质量优良轻度污染轻度污染中度污染重度污染天数61418272015(I)若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为严重污染•根据提供的统计数据，完成下面的2X2列联表，并判断是否有95%的把握认为该城市本年的空气严重污染与供暖有关”？非重度污染严重污染合计供暖季非供暖季合计100O 0<x<100(n)已知某企业每天的经济损失y (单位：元)与空气质量指数x的关系式为y= 400, 100^x<3002000, />300试估计该企业一个月(按30天计算)的经济损失的数学期望.参考公式：K2= -(a+b) (c+d) (a+c) (b+d)2P ( K2沫) 0.1000.0500.0250.0100.001k 2.706 3.841 5.024 6.63510.82819. (12分)已知在多面体SP— ABCD中，底面ABCD为矩形，AB=PC=1 , AD=AS=2，且AS // CP且AS丄面ABCD , E为BC的中点.(1)求证：AE //面SPD;(2 )求二面角B —PS —D的余弦值.2CT20. (12分)已知抛物线E: y=2px (p> 0)上一点M ( x o, 4)到焦点F的距离|MF|=' x°.(I)求E的方程；(n)过F的直线I与E相交于A, B两点，AB的垂直平分线l与E相交于C, D两点，若「- '=0, 求直线I的方程.21. (12分)设函数f (x) =e x—a (x+1 ) (e是自然对数的底数，e=2.71828…).(1 )若f (0) =0,求实数a的值，并求函数f (x)的单调区间；(2 )设g (x) =f (x) +2，且 A ( X i, g (X i)), B ( X2, g (X2)) (X i v x?)是曲线y=g ( x)上任意两e K点，若对任意的aw- 1,恒有g (x2) - g (x1)> m (x2- x1)成立，求实数m的取值范围；(3)求证：1n+3n+- + (2n - 1) n v— , : --;/：•e _ 1请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分•解答时请写清题号•［选修4-1 :几何证明选讲］22. (10分)如图，△ ABC是内接于O 0，AB=AC，直线MN切O O于点C，弦BD // MN，AC与BD 相交于点E.(1)求证：△ ABE ◎△ ACD ;(2 )若AB=6，BC=4，求AE .［选修4-4:坐标系与参数方程］.23. 将圆x2+y2=1上每一点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的3倍，得曲线r(I)写出r的参数方程；(H)设直线l: 3x+2y - 6=0与r的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与I垂直的直线的极坐标方程.［选修4-5 :不等式选讲］.24. 已知函数f (x) =|x+a|+|x —2|(1 )当a=- 3时，求不等式f (x)绍的解集；(2 )若f (x) Wx|-4|的解集包含［1，2］，求a的取值范围.解：由三视图可知该几何体为圆柱挖去一个四棱锥得到的，圆柱的底面半径为正方形，边长为,棱锥的高为1, 几何体的体积 v=nX 12& —'=2 n-….选 A■_1一、选择题 1 . 2016年河南省顶级名校高考数学二模试卷（理科）答案与解析已知集合 A={x| - 2纟<3}, B={x|x 2+2x - 8>0}，贝U A uB ( ) (2, 3] B . (- a, - 4)U [ - 2, +a) C . [ - 2, 2) D . (- a, 3] U( 4, +*) 由B 中不等式变形得：(x - 2) ( x+4)> 0, a, - 4) U (2, +a), 解：解得：x V - 4 或 x > 2，即 B=(- •- A=[ - 2, 3],A u B= (- a, - 4)U [ - 2, + s),选B 2.已知（二-1+3i ）（2 - i ） =4+3i （其中i 是虚数单位，是z 的共轭复数），则z 的虚部为（ A . 1 B .- 1C . iD . - i解：厂 1+3i ）（2-i ） =4+3i ，可得一一亠n =上’+1 - 3i= =2 - i ,5z=2+i ，复数的虚部为：1选A 3.已知sin JT i Jr(x ^^—)=…，贝U cosx+cos ^ — - x )的值为( B.-3 解: cosx+cos CI ； D . 二-x )3 =cosx+ 二 cosx+sin x= 一 cosx 2 2 2 +丄上sinx=/「sin (x+^—)= ，选 B 2 3 3 4.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（俯视團2 A . 2 n —…B .3n- ' C .D . 2 n- 2331，高为2，棱锥的底面为10000个点，则落入阴影部分(曲线 C 为正态分布N (- 1, 1 )的)P (卩-o< X w 衣(T ) =0.6826 . p (厂 2 o< X w 衣2(T ) =0.9544 .■ Q■ XA . 1193B . 1359C . 2718D . 3413解：正态分布的图象如下图:其概率为丄汽P (卩-2cV X W^ +2>- P (厂 o< X W^ +行］=丄 X (0.9544 - 0.6826) =0.1359 ;2 2即阴影部分的面积为 0.1359; 所以点落入图中阴影部分的概率为p=…〔上」=0.1359 ;投入10000个点，落入阴影部分的个数期望为10000X0.1359=1359 .选B6.某学校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责.每次献爱心活动均需该组织学参加.假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给收到.则甲冋学收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率为(2 m 12 16 4B .C .D.—25 255解：设A 表示甲同学收到李老师所发活动信息 ”，设B 表示甲同学收到张老师所发活动信息”,由题意 P (A ) = • = ：： , P ( B )=-:,10 5 10 5甲冋学收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率为： p (A+B ) =P (A ) +P ( B )- P (A ) P ( B ) —「：选 C5.在如图所示的正方形中随机投掷密度曲线)的点的个数的估计值( 附若X 〜N (卩，a 2),贝U4位同4位同学，且所发信息都能 )正态分布N (-f2x+y<107.设实数x , y 满足r 十2y<14，则xy 的最大值为()A .B . 一C . 12D . 142 2解：法1：作出不等式组对应的平面区域如图由图象知y w 10- 2x , 则 xy <x (10 - 2x ) =2x (5 - x )) W2 严'-* ) 2=竺2 2 '当且仅当x=H , y=5时，取等号，2经检验(一，5)在可行域内，2故xy 的最大值为，2法2 :设z=xy ，则y='为双曲线，x要使z=xy 最大，则z > 0,•••由图象可知当z=xy 与2x+y=10相切时，z=xy 取得最大值, ••• 2x+工=10X即 2x 2 - 10x+z=0 ,由判别式 △ =100 - 8z=0，得x=山 =,32圆的离心率是( 2 2&已知椭圆二T +'' .=1 (a > b > 0)的左焦点 F b 2 (-c , 0)关于直线bx+cy=0的对称点 P 在椭圆上，则椭即xy 的最大值为一―，选A2A A/2D V3A. B. _—44m+c b解：设P ( m, n),由题意可得* ,卜号严m= ---------- -- , n=- —，代入椭圆一+^—=1,2 2 2 1 2a a a b解得e2(4e4- 4e2+i) +4e2=1,可得，4e6+e2-仁0.即4e6- 2e4+2e4- e2+2e2- 1=0,可得(2e2- 1) (2e4 +e2+1) =0解得e= •.选D29. 据气象部门预报，在距离某码头正西方向400km处的热带风暴中心正以20km/h的速度向东北方向移动，距风暴中心300km以内的地区为危险区，则该码头处于危险区内的时间为( )A. 9hB. 10hC. 11hD. 12h解：设码头为A ,风暴中心开始位置为B,码头开始受风暴影响时风暴中心为C,码头结束风暴影响时风暴中心为D,则AB=400 , AC=AD=300 , / B=45 ,过 A 作AE 丄BD 于E,贝U AE=ABsinB=200 匚,•CE= —=100，•CD=2CE=200 ,•••码头受风暴影响时间为=10h.选B2010. 已知四面体ABCD的顶点A , B , C, D在空间直角坐标系中的坐标分别为: ................... 二••二'. —',O为坐标原点，则在下列命题中,正确的为( )A . OD丄平面ABCB .直线OB //平面ACDC .直线AD与OB所成的角是45 °D .二面角D - OB - A为45 °解：在A中：•••四面体ABCD的顶点A , B , C, D在空间直角坐标系中的坐标分别为: ................... ・一，'■' , O为坐标原点，•- 1= ( - = • £■ 4)，1-' = (- 1，1，0)，- '=( - 1, 0, 1),-■ =I , ■ ■ = Il =0,3 3^u u3 3••• OD 丄 AB , OD 丄 AC ，又 ABA AC=A , ••• OD 丄平面ABC ，故A 正确；在 B 中：vOB =(0, 1,0), AC = (- 1,0, 1), AD =(-殳，一丄，-1),33 3设平面ACD 的法向量-,=(x , y , z ),AC=- i+z=0_jA 11 ，取 x =1，得口 = ( 1 ,- 5,〔),n w AD= _y _yy _y z=0.：= - 5工0 •直线OB //平面ACD 不成立，故B 错误;解：由题意,|PF 1|=2|PF 2| , |PF 1|- |PF 2|=2a ,在C 中: 1, 0)"(-• cos v 亓丁〉=一一 -LI'-.-..==-..而丨・|15丨15 ~r ~•直线AD 与OB 所成的角不是45°故C 错误;在 D 中: 1= (0, 1 0), ■■= (1, 0, 0),"=(-设平面AOB 的in p O(B=b=O i m ・ OA=a=0设平面AOD 的p ・0A=x 1=0 则， _____ 1p ・0 E)二一尹J取 y 1=1,得：■= (0 , 1 ,1),cos v面角D - OB - A 为135° ,故D 错误.选A11.2已知双曲线C:—- aI,(a > 0 , b > 0)的左、右焦点分别为F 1 , F 2 , O 为坐标原点，P 是双曲线在第一象限上的点, 直线PO , PF ?分别交双曲线C 左、右支于另一点 M , N , |PF 1 |=2|PF 2|,且/ MF N=60° ,则双曲线C 的离心率为(A .: B . ； C .2^3 3•••|PF i|=4a, |PF2|=2a,•••/ MF2N=60° ,F I PF2=60°,由余弦定理可得4c2=l6a2+4a2- 2?4a?2a?cos60；• c=f a, • e==选Ba12. 设直线y=t与曲线C: y=x (x - 3) 2的三个交点分别为 A (a, t),B ( b, t),C ( c, t),且a v b<c.现给出如下结论：①abc的取值范围是(0, 4);②a2+b2+c2为定值；③ c - a有最小值无最大值.其中正确结论的个数为( )A . 0B . 1 C. 2 D . 3解：令f (x) =x (x - 3) 2=x3- 6X2+9X , f'( x) =3x2- 12x+9，令f'( x) =0 得x=1 或x=3 . 当X v 1 或X >3 时，f'( x)> 0,当1 v x v 3 时，f'( X )v 0.• f (x)在(-8, 1)上是增函数，在(1, 3) 上是减函数，在(3, +8)上是增函数，当X=1时，f ( X )取得极大值f ( 1) =4,当X=3时，f ( X )取得极小值f (3) =0.作出函数f (X)的图象如图所示：•••直线y=t与曲线C: y=x (X - 3) 2有三个交点，• 0v t v 4.令g (X) =X (X - 3) 2- t=x3- 6X2+9X - t,则a, b, c 是g (x)的三个实根.•abc=t, a+b+c=6, ab+bc+ac=9,a +b +c = (a+b+c) - 2 (ab+bc+ac) =18.由函数图象可知f (X)在(0, 1) 上的变化率逐渐减小，在(3, 4) 上的变化率逐渐增大，•c- a的值先增大后减小，故c- a存在最大值，不存在最小值.故①，②正确，选C、填空题13. ______________________________________________________________________________________ 已知向量a= (1, 2), b = ( 1, 0), c = (3, 4)，若入为实数，(入且+ B )丄c，贝U入的值为 __________________ 解：由题意可得入•+},= (1+入，2入)-(入-.-I+\<)丄，…(入.-I.+h)? =0，代入数据可得3 (1+入)+4X 2入=,解之可得入=丄1114. 在（x+y）（x+1）4的展开式中x的奇数次幕项的系数之和为32,则y的值是 _ .解：•••（x+y）（x+1）4 =（x+y）（x4+4x3+6x2+4x+1）=x5+4x4+6x3+4x2+x+y?x4 +4yx'+6yx 2+4yx+y ,•••展开式中x的奇数次幕项的系数之和为1+6+1+4y+4y=32 , A y=3 ,15. 三棱锥P- ABC 中，平面PAC丄平面ABC , PA=PC=AB=2 二，AC=4，/ BAC=30°.若三棱锥P-ABC的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 __________ .解：••• AB=2 7, AC=4，/ BAC=30 ,• BC=「m ：：：：：■/：：：，;'?=2，•三角形ABC的外接圆直径AC=4 ,设球心为O, AC的中点为D,球的半径为R,则PD=2匚--R= （2公1—R）+4,则有该三棱锥的外接球的半径只=上辽2•••该三棱锥的外接球的表面积为S=4nR2=4 nX （赳2）2=18兀216. 已知a n=J—，删除数列｛a n｝中所有能被2整除的数，剩下的数从小到大排成数列｛b n｝，则•••养二二一”，删除数列｛a n｝中所有能被2整除的数，剩下的数从小到大排成数列｛b n｝,• b51=a101= =5151 .三、解答题在厶ABC 中，角A ，B ， C 的对边分别为 a ，b ， c ，且a=2b ，又sinA ，sinC ，sinB 成等差数列. cos (B+C )的值；OJT 求C 的值. 17. ([)求 (n)若■/ si nA , si nC , si nB 成等差数列，/• si nA+si nB=2s inC , 解：(I) 由正弦定理得a+b=2c , 又a=2b ，可得；，—- 342,2 16 2 丄 2 - 2 ~rc +c ~ —c [ b +c a 9 9 _ _ 1 ••一上T A+B+C n ,二 B+C=t — A , (n)由一― '，得- •..亠—■：工二'一 — • - ，解得:二4厂 12 c 3 4T—;—，2 ^ 715 _715 218.某城市随机抽取一年内 100天的空气质量指数(AQI )的监测数据，结果统计如表:若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有 8天为严重污染.根据提供的统计数据，完成下面的 2X2列联表，并判断是否有 95%的把握认为该城市本年的空气严重污染与供暖有关 ”？ O o<x<ioo(n)已知某企业每天的经济损失y (单位：元)与空气质量指数X 的关系式为y= 400, 100<x<3002000, i>300试估计该企业一个月(按 30天计算)的经济损失的数学期望. 参考公式:K 2=n(ad _ be)2 (a+b) (c+d) (a+c) (b+d)2 P ( K 2沫)0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 k2.7063.8415.0246.635 10.828 解：(I)根据题设中的数据得到如下 2疋列联表:非严重污染严重污染总计供暖季 228 30 非供暖季 63 7 70 总计8515100将2X2列联表中的数据代入公式计算，得:100(22X 7- 63X8)2 S5X1&X 30X 70•/ 4.575 > 3.841•••由95%的把握认为：该城市本年的空气严重污染与供暖有关 (n )任选一天，设该天的经济损失为 X 元，则： P (X=0 ) =P (0 w x w 1)0= 1513P (X=4OO ) =P (1OO v x w 300 = ,3 P (X=2000 ) =P (x > 300)= 20••• E (X ) =0X_+400X+2000X=560 .520 2019. 已知在多面体 SP — ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，AB=PC=1 , AD=AS=2，且AS // CP 且AS 丄面 ABCD , E 为BC 的中点.(1)求证：AE //面 SPD ;(2 )求二面角B — PS — D 的余弦值.证明：(1)取SD 的中点F ,连接PF ,过F 作FQ 丄面ABCD ，交AD 于Q ,连接QC , ••• AS 丄面ABCD , • AS // FQ ,QF 为SD 的中点，• Q 为AD 的中点， FQ 」AS , PC^-AS , • FQ=PC ，且 FQ / PC , • CPFQ 为平行四边形，• PF // CQ ,又••• AQ //// EC , AQ=EC , •四边形 AECQ 为平行四边形，• AE // CQ , 又 PF // CQ , • AE // PF ,K 2=~ 4.575•该企业一个月(按 30天计算)的经济损失的数学期望为30 XE (X ) =16800 元.••• PF?面 SPD , AE?面 SPD , ••• AE //面 SPD . 解：(2)分别以AB , AD , AS 所在的直线为x , y , z 轴，以A 点为坐标原点建立空间直角坐标系A - xyz ,则 B (1, 0, 0), D (0, 2, 0), S (0, 0, 2), P (1, 2, 1),SP = (1, 2, - 1), SB = (1 , 0,- 2)，命=(0, 2,- 2),设面BPS 与面SPD 的法向量分别为'=(x , y , z ), ,= (a , b , c ), 我厂曰取z_2，得匸(4,- 1, 2),s 1 2z=0a+2b_C=°, 取 c=1,得齐(-1, 1, 1),2b - 2c=0两平面的法向量所成的角的余弦值为:4X (- 1) + (- 1) X 1+2X1_7•••二面角B - PS -D为钝角，•该二面角的余弦值为:.20. 已知抛物线E : y 2_2px (p > 0) 上一点M ( x o , 4)到焦点F 的距离|MF|_'‘X o .(I)求E 的方程；(H)过F 的直线I 与E 相交于A , B 两点，AB 的垂直平分线I 与E 相交于C , D 两点，若八i_0, 求直线I 的方程.2 R解：(I)抛物线 E : y 2_2px (p > 0) 上一点 M (X 0, 4)到焦点 F 的距离 |MF|_ ' x °. 可得 x 0+ —_ X 0 ,2 4又 16_2px 0, 解得p_2,则E 的方程为y 2_4x ；(n)由题意可得，直线I 和坐标轴不垂直，y 2_4x 的焦点F (1, 0),设I 的方程为x_my+1 (m^0), 代入抛物线方程可得 y 2- 4my - 4=0,显然判别式 △ =16m +16 > 0, y i +y 2=4m , y i ?y 2= - 4. 可得AB 的中点坐标为 G ( 2m 2+i , 2m ),選弓二0,即.SB -1(1=0亘壬,即L SD弦长|AB|= L?|y i-y2|=肓？“一厂=4（『+1）.又直线I的斜率为-m,可得直线I的方程为x= -一y+2m2+3.ID过F的直线I与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线I与E相交于C, D两点,把I的方程代入抛物线方程可得y2+—y- 4 （2m2+3）=0,m可得y3+y4= - ' , y3?y4= - 4 （2m +3）.ID故线段CD的中点H的坐标为（一+2m2+3 ,-一）,io2* —*由「'？小=0，故ACBD四点共圆等价于|AH|=|BH|=—|CD|,2即丄AB2+GH2= CD2,44可得 4 （m2+i）2 +（2m+ 二）2+ （亠+2）2=（「；「.」「）2,川即巳ID化简可得m2-仁0,即m=± i,可得直线I的方程为x - y -仁0,或x+y -仁0.2i.设函数f (x) =e x- a (x+i) (e是自然对数的底数，e=2.7i828…).(1 )若f (0) =0,求实数a的值，并求函数f (x)的单调区间；(2 )设g (x) =f (x) +—，且 A ( X i, g (X i)), B ( X2, g (X2)) (X i v x?)是曲线y=g ( x)上任意两e点，若对任意的aw- i,恒有g (x2) - g (x i) > m (x2- x i)成立，求实数m的取值范围；(3)求证：i n+3n+- + (2n - i) n v— I，- :--：/：.e ~ 1解：(i)：f (x) =e x- a (x+i),••• f' (x) =e x- a,•/ f'( 0) =i - a=0,• a=i, • f ( x) =e x- i,由 f ' (x) =e x- i>0，得x>0；由f ' (x) =e x- i v 0,得x v 0,•••函数f (x )的单调增区间为(0, +8),单调减区间为 (-8, 0).(2)由 > m , (x i v X 2)变形得：g (X 2)- mx 2> g (xj — mx i , x2~ Z 1令函数F (x ) =g ( x )— mx ，则F (x )在R 上单调递增， • F' (x ) =g' (x ) — m>0,即 me g ( x )在 R 上恒成立，故 m<3.•实数m 的取值范围是(- 8, 3].证明：(3)由(1 )知 e x > x+1_ i取――(i=1 , 3，…，2n — 1)得，：—<_『卞2n2n［选修4-1 :几何证明选讲］22. 如图，△ ABC 是内接于O O , AB=AC ，直线 MN 切O O 于点C ,弦BD // MN , AC 与BD 相交于点 E . (1)求证：△ ABE ◎△ ACD ; (2 )若 AB=6 , BC=4，求 AE .(1)证明：在△ ABE 和厶ACD 中,•/ AB=AC , / ABE= / ACD 又 / BAE= / EDC •/ BD // MN • / EDC= / DCN •••直线是圆的切线， • / DCN= / CAD2n- 11 2n1 累加+ e•••/ BAE= / CAD •••△ ABE ◎△ ACD(2)解：I / EBC= / BCM / BCM= / BDC •••/ EBC= / BDC= / BACBC=CD=4又 / BEC= / BAC+ / ABE= / EBC+ / ABE= / ABC= / ACB • BC=BE=4设 AE=x ，易证△ ABE s\ DEC ...応 li 1x AB 6又 AE?EC=BE?ED EC=6-x •4Xw• x =: • • x= -3［选修4-4:坐标系与参数方程］. 23. 将圆x 2+y 2=1上每一点的横坐标变为原来的 2倍，纵坐标变为原来的3倍，得曲线 r(I)写出r 的参数方程；(H)设直线1: 3x+2y - 6=0与r 的交点为P i , P 2,以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与I 垂直的直线的极坐标方程.2 2根据，得_ ||| :,即曲线T 的方程为•-:解：(1)设点根据题意，得(xi , y i )为圆上的任意一点, 在已知变换下变为T 上点(x , y ),即要求的AE 的长是所以，曲线T的参数方程为' (t为参数).ly=3sint/ y 2(2)联立方程组,解得(煜或严3x+2y- 6=0 1冋 I 尸彳不妨设点P i (2, 0), P 2 (0, 3),则线段的中点坐标为(1 , 2),2所求直线的斜率k= _，于是所求直线方程为：y -二丄(x - 1),22 3即 4x - 6y+5=0 , 将此化为极坐标方程，得到 4 p cos - 6 p sin+伍=0 .［选修4-5 :不等式选讲］.24. 已知函数 f (x ) =|x+a|+|x - 2|(1 )当a=- 3时，求不等式f (x )绍的解集；(2 )若f (x ) Q-4|的解集包含［1 , 2］,求a 的取值范围.解①可得X W1,解②可得x € ?，解③可得x >4把①、②、③的解集取并集可得不等式的解集为 {x|x w 或x >4}.(2)原命题即f (x ) w |- 4在［1 , 2］上恒成立，等价于|x+a|+2 - x <4- x 在［1等价于|x+a| w,2等价于-2< x+a w, - 2 - x < a <- x 在［1 , 2］上恒成立. 故当1<x w 时，-2-x 的最大值为-2 - 1= - 3, 2- x 的最小值为0,故a 的取值范围为［-3, 0］. 解: (1) 当 a= - 3 时，f (x )》3即 |x - 3|+|x - 2|》3 即①*,2］上恒成立,。