河北省邢台市2018届高三上学期第一次月考数学(理)试题 扫描版含答案
河北省邢台市2018届高三上学期第一次月考数学(理)试题Word版含答案

2017-2018学年高三(上)第一次月考数学试卷(理科)第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.复数41iz i -=+的共轭复数的虚部为( ) A . 52i - B .52- C .52i D .522.已知全集{|08}U x Z x =∈<≤,集合{|2}(28)A x Z x m m =∈<<<<,若U C A 的元素的个数为4,则m 的取值范围为( )A .(6,7]B .[6,7)C . [6,7]D .(6,7) 3.已知函数()lg f x x =,则“1a >”是“()1f a >”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件4.在等差数列{}n a 中,59a =,且3226a a =+,则1a =( ) A .-3 B .-2 C. 0 D .15.下列函数中,在[1,1]-上与函数cos y x =的单调性和奇偶性都相同的是( ) A .22x x y -=- B .||1y x =+ C.2(2)y x x =+ D .22y x =-+6.若sin cos 4sin 5cos αααα+=-,则cos 2α=( )A .2425-B .725- C. 2425 D .7257.已知变量x y ,满足约束条件2360,25100,60,x y x y x -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪-≤⎩,则目标函数z x y =+的最大值为( )A .12B .525 C. 465D .2 8.已知定义在(0,)+∞的函数()f x 的图象如图所示,则函数0.3()log ()g x f x =的单调递减区间为( )A .()a b ,B .(1)(3)a +∞,,, C.(,2)a D .(0,)a ,(,)b +∞ 9.将函数2()2sin (2)6f x x π=+的图象向右平移6π个单位后,得到新函数图象的对称轴方程为( )A .()424k x k Z ππ=+∈ B . ()412k x k Z ππ=-∈ C. ()412k x k Z ππ=+∈ D .()424k x k Z ππ=-∈ 10.在ABC ∆中,D 为BC 边上一点,且AD BC ⊥,向量AB AC +与向量AD 共线,若||10AC =||2BC =,0GA GB GC ++=,则||||AB CG =( )A .3 BC.2 D 11. 已知函数()1ln g x x x =-+,给出下列两个命题:命题:(0,)p x ∃∈+∞,244()x x g x -+=.命题:q 若(2)()a x g x +>对(0,)x ∈+∞恒成立,则0a >. 那么,下列命题为真命题的是( )A.p q ∧B.()p q ⌝∧C.()p q ∧⌝D.()()p q ⌝∧⌝12. 设n S 为正项数列{}n a 的前n 项和,12a =,11(21)n n n S S S ++-+3(1)n n S S =+,记21nn i i T a ==∑则310log (21)T +=( )A .10B .11 C.20 D .21第Ⅱ卷(共90分)二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.记函数y =2ln(6)y x x =--的定义域分别为A B ,,则A B =∩ . 14.已知向量(,2)m x x =+与向量(1,3)n x =是共线向量,则||n = .15.若sin αα+=(,)36ππα∈-,tan()43πβ+=,则tan()αβ-= .16.在Rt ABC ∆中,AC BC ⊥,3BC =,5AB =,点D E 、分别在AC AB 、边上,且//DE BC ,沿着DE 将ADE ∆折起至'A DE ∆的位置,使得平面'A DE ∆⊥平面BCDE ,其中点'A 为点A 翻折后对应的点,则当四棱锥'A BCDE -的体积取得最大值时,AD 的长为 .三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.在ABC ∆中,角A B C ,,的对边分别是a b c ,,,且2sin b a B =,tan 0A >. (1)求角A 的大小;(2)若1b =,c =ABC ∆的面积为S ,求aS. 18. 在ABC ∆中,角A B C ,,的对边分别是a b c ,,,已知4cos 3(cos cos )a A B b C =+. (1)证明:22232b c a bc +-=; (2)若6AB AC =•,求a 的最小值.19. 已知正项数列1}是公差为2的等差数列,且24是2a 与3a 的等比中项. (1)求数列的通项公式;(2)若(1)1n n b a -=,求数列{}n b 的前n 项和n S . 20. 设函数2()(1)ln x a x x ϕ=--,其中a R ∈. (1)讨论函数()x ϕ的单调性;(2)若关于x 的方程()0x a ϕ+=在[1,]x e ∈上有解,求a 的取值范围.21. 将函数sin y x =的图象的纵坐标不变,横坐标缩短为原来的14,得到函数()y f x =的图象.已知函数2()24g x x =-.(1)若函数()()p x g x kx =+在区间[1,2]上的最大值为5()24f π,求k 的值; (2)设函数()()()h x f x g x =-,证明:对任意(0,)λ∈+∞,都存在(0,)μ∈+∞,使得()0h x >在(,)4πλμ上恒成立.22.已知函数2()(22)xf x x x e =--.(1)求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程;(2)当0x >时,31()43f x x x a ≥-+恒成立,求a 的最大值;(3)设2()()(2)x F x xf x x x e =+-,若()F x 在5[,]2t t +的值域为18),求t的取值范围. 2.4≈,11.6≈)2017-2018学年高三(上)第一次月考数学试卷参考答案(理科)一、选择题1-5: DABAD 6-10: AABCB 11、12:BC二、填空题13.[3,2)--(或{32})x x -≤<-76-三、解答题17.解:(1)∵2sin b a B =,∴sin 2sin sin B A B =,sin 0B >, ∴1sin 2A =,∵tan 0A >,∴A 为锐角,∴6A π=.(2)∵2222cos a b c bc A =+-1127=+-=,∴a =又1sin 22S bc A ==,∴3a S =. 18. 解:(1)证明:由4cos 3(cos cos )a A c Bb C =+及正弦定理得,4sin cos A A 3(sin cos sin cos )C B B C =+3sin()B C =+=3sin A ,又sin 0A >,∴3cos 4A =,∴222324b c a bc +-=,即22232b c a bc +-=.(2)解:∵cos 6AB AC bc A ==,∴8bc =, 由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-322bc bc ≥-142bc ==,∴2a ≥,∴a 的最小值为2.19. 解:(1)∵1}数列是公差为2的等差数列,112(1)n =+-,∴2(22)n a n =,∴22(2a =,23(4a =+.又24是2a 与3a 的等比中项,∴22223(2(424a a ==,∴(224+=2=8=-不合舍去),故数列{}n a 的通项公式为24n a n =.(2)∵(1)1n n b a -=,∴211141n n b a n ==--1(21)(21)n n =-+111()22121n n --+, ∴1111(12335n S =-+-11)2121n n ++--+11(1)22121nn n =-=++. 20. 解:(1)1'()2x ax x ϕ=-221(0)ax x x-=>,当0a ≤时,'()0x ϕ<,函数()x ϕ在(0,)+∞上单调递减. 当0a >时,由'()0x ϕ=,解得x =x =(舍), ∴当x ∈时,'()0x ϕ<,函数()x ϕ单调递减;当)x ∈+∞时,'()0x ϕ>,函数()x ϕ单调递增.综上,当0a ≤时,()x ϕ在(0,)+∞上单调递减;当0a >时,()x ϕ在上单调递减,在)+∞上单调递增. (2)由()0x a ϕ+=得2ln xa x =, 设2ln ()(1)x g x x e x =≤≤,312ln '()xg x x -=,当1x ≤<时,'()0g x >x e ≤时,'()0g x <.∴max 1()2g x g e ==. 又(1)0g =,21()g e e =,∴1()[0,]2g x e ∈,∴a 的取值范围为1[0,]2e.21. 解:(1)由题可得()sin 4f x x =,551()sin2462f ππ==.2()24p x x kx =-+,224()2816k k x =--++,[1,2]x ∈,当128k <<即816k <<时,max ()()28k p x p ==21162k +=,此方程无实数解.当28k ≥即16k ≥时,max 1()(2)2142p x p k ==-=,∴294k =,又16k ≥,则294k =不合题意.当18k ≤即8k ≤时,max 1()(1)22p x p k ==-=,∴52k =. 综上,52k =.(2)∵()y g x =在(0,)4π上递减,()y f x =在(0,)8π上递增,在(,)84ππ上递减, 且(0)(0)f g <,()()44f g ππ>,∴()y f x =与()y g x =的图象只有一个交点.设这个交点的横坐标为0(0,)4x π∈,则由图可知,当0(0,)x x ∈时,()()f x g x <,∴()0h x <;当0(,)4x x π∈时,()()f x g x >,∴()0h x >.故对任意(0,)λ∈+∞,都存在0(0,)x μλ=∈+∞,使得()0h x >在(,)4πλμ上恒成立.22. 解:(1)∵2'()(4)xf x x e =-,∴'(0)4f =-,又(0)2f =-,∴所求切线方程为24y x +=-,即42y x =--. (2)当0x >时,31()43f x x x a ≥-+,即31()43a f x x x ≤-+恒成立, 设31()()4(0)3g x f x x x x =-+>, 22'()(4)4x g x x e x =--+2(4)(1)x x e =--,当02x <<时,'()0g x <,()g x 递减;当2x >时,'()0g x >,()g x 递增. ∴2min 16()(2)23g x g e ==-+, ∴21623a e ≤-+,a 的最大值为21623e -+. (3)32()(3)xF x x x e =-,3'()(6)xF x x x e =-,令'()0F x <得x <或0x << 令'()0F x >得0x <<或x >.∴当x =()f x 取得极小值,当0x =时,()f x 取得极大值.∵(6(3)F e =18)F =∴(0F F <<.令()0F x =得0x =或3x =.∴0.52t t ≤⎧⎪⎨+≥⎪⎩532t t ⎧+=⎪⎨⎪≤⎩,∴51,0]{}22t ∈∪.。
2023届河北省邢台市第二中学高三上学期第一次月考数学试题(解析版)

2023届河北省邢台市第二中学高三上学期第一次月考数学试题一、单选题1.设集合{}{}{}0,1,2,3,4,(3)0,24,U A x x x B x x x *==-==≤≤∈N ,则()U A B =( ) A .{2,4} B .{2,3,4} C .{2} D .{1,2,3,4}【答案】A【分析】解出集合A ,再进行补集交集运算即可. 【详解】12(3)00,3x x x x -=⇒==,则{}{}0,3,1,2,4UA A ==,又{}2,3,4B =,所以(){}24UA B =,.故选:A. 2.已知复数21iz =-,复数z 是复数z 的共轭复数,则z z ⋅=( )A .1BC .2D .【答案】C【分析】根据复数的运算性质,得到2z z z ⋅=,即可求解.【详解】根据复数的运算性质,可得2222221i 1i z z z ⎛⎫⋅==== ⎪ ⎪--⎝⎭. 故选;C .3.设1z 、2z 是复数,则下列说法中正确的是( ) A .若120z z +=,则12z z = B .若12z z +∈R ,则1z 、2z 互为共轭复数C .若12=z z ,则1122z z z z ⋅=⋅D .若12=z z ,则2212z z =【答案】C【分析】求出12z z =-可判断A 选项;利用共轭复数的定义可判断B 选项;利用复数的乘法可判断C 选项;利用特殊值法可判断D 选项.【详解】对于A 选项,若120z z +=,则120z z +=,可得12z z =-,A 错; 对于B 选项,设111i z a b =+,()2221212i ,,,z a b a a b b =+∈R ,则()()121212i z z a a b b +=+++,由题意可得120b b +=,则12b b =-, 但1a 、2a 不一定相等,故1z 、2z 不一定互为共轭复数,B 错;对于C 选项,设()i ,z a b a b =+∈R ,则i z a b =-,222z z a b z ∴⋅=+=,若12=z z ,22111222z z z z z z ⋅===⋅,C 对;对于D 选项,取11i z =+,21i z =-,则12z z =但()2211i 2i z =+=,()2221i 2i z =-=-,则2212z z ≠,D 错. 故选:C. 4.记函数2log 2xy x=-的定义域为集合A ,若“x A ∈”是关于x 的不等式()22200x mx m m +-<>成立”的充分不必要条件,则实数m 的取值范围是( )A .()2,+∞B .[)2,+∞C .()0,2D .(]0,2【答案】B【分析】求出函数2log 2x y x=-的定义域得集合A ,解不等式()22200x mx m m +-<>得m 的范围,根据充分不必要条件的定义可得答案.【详解】函数2log 2xy x =-有意义的条件为02x x>-,解得02x <<, 所以{}02A x x =<<,不等式()22200x mx m m +-<>,即()()20x m x m +-<,因为0m >,所以2m x m -<<,记不等式()22200x mx m m +-<>的解集为集合B ,所以A B ⊆,所以220≥⎧⎨-≤⎩m m ,得2m ≥.故选:B .5.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x +=-,且在区间()1,+∞上单调递增,则满足()()13f x f x ->+的x 的取值范围为( ) A .()1,-+∞ B .(),1-∞- C .()1,1- D .(),1-∞【答案】B【分析】先求出函数()f x 的对称轴,再根据单调性和对称性可知,自变量离对称轴越远,其函数值越大,由此结论列式可解得结果.【详解】因为函数()f x 满足()()2f x f x +=-,所以()f x 的图象关于直线1x =对称, 又()f x 在区间()1,+∞上单调递增,所以在(,1)-∞上单调递减, 因为()()13f x f x ->+,()()|11||31|x x -->+-, 即2x x ->+,平方后解得1x <-. 所以x 的取值范围为(,1)-∞-. 故选:B.6.如图,在△ABC 中,D 是AB 的中点,O 是CD 上一点,且2CO OD =,则下列说法中正确的个数是( )①0OA OB OC ++=;②过点O 作一条直线与边,AC BC 分别相交于点,E F ,若34CE CA =,CF CB μ=(01)μ≤≤,则34μ=; ③若△ABC 是边长为1的正三角形,M 是边AC 上的动点,则BM MD ⋅的取值范围是323,464⎡⎤--⎢⎥⎣⎦A .0个B .1个C .2个D .3个【答案】C【分析】由1122CD CA CB =+,2,3OC CD OA OD DA =-=+,OB OD DA =-,结合向量的运算判断①;由,,E O F 三点共线结合向量的数乘运算判断②;建立坐标系,利用坐标运算结合二次函数的性质判断③.【详解】对于①:1122CD CA CB =+,2,3OC CD OA OD DA =-=+,OB OD DB =+OD DA =-,故22220333OA OB OC CD OD CD CD ++=-+=-+=,故①正确;对于②:1351()34123OE OC CE CA CB CA CA CB =+=-++=-,111()333OF OC CF CA CB CB CA CB μμ⎛⎫=+=-++=-+- ⎪⎝⎭,因为,,E O F 三点共线,所以OF OEλ=,即511231133λμλ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩,解得4,355λμ=-=,故②错误;对于③:以点D 作为坐标原点,建立如下图所示的直角坐标系,113,0,,0,0,,(0,0)222A B C D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,13,,(1,0)22AC AB ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭,设,[0,1]AM t AC t =∈,因为1313,(1,0)1,2222BM AM AB t t t t ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,113113,0,,222222MD AD AM t t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,所以221113311222442BM MD t t t t t ⎛⎫⎛⎫⋅=---=-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,当1t =时,43BM MD ⋅=-,当38t =时,2364BM MD ⋅=-,即BM MD ⋅的取值范围是323,464⎡⎤--⎢⎥⎣⎦,故③正确;故选:C7.高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的美誉,用其名字命名的“高斯函数”:设x ∈R ,用[]x 表示不超过x 的最大整数,则[]y x =称为高斯函数,也称取整函数,例如:[ 3.7]4,[2.3]2-=-=.已知()[ln ]f x x x =,当()0f x =时,x 的取值集合为A ,则下列选项为x A ∈的充分不必要条件的是( ) A .(0,1)x ∈ B .e)x ∈C .(1,2)x ∈D .()2,e x ∈【答案】B【分析】令()ln g x x x =,根据高斯函数知()0f x =时,0()1g x ≤<,利用导数分析不等式的解集,即可得解.【详解】令()ln ,0g x x x x =>, 由题意()0f x =时,0()1g x ≤<,()ln 1g x x '=+,1e x ∴<时,()0g x '<,1e x >时,()0g x '>,所以()g x 在1(0,)e上单调递减,在1(,)e +∞上单调递增,显然1(0,)ex ∈时,()0g x <,又(1)0g =,所以0()1g x ≤<的解为0[1,)x x ∈,其中0()1g x =,因为(2)2ln 2ln 41g ==>,1g ==<,(e)eln e e 1g ==>,所以 0[1,)x ,故选:B8.设a R ∈,函数()2229,1163,1x ax x f x x a x x ⎧-+≤⎪=⎨+->⎪⎩,若()f x 的最小值为()1f ,则实数a 的取值范围为( ) A .[]1,2 B .[]1,3C .[]0,2D .[]2,3【答案】A【分析】当1x >时,结合不等式求得其最小值为123a -,当1x ≤时,()()229f x x a a =-+-,根据函数()f x 的最小值为()1f ,列出不等式组,即可求解.【详解】当1x >时,221688333123x a x a a a x x x +-=++-≥=-, 当且仅当28x x=时,等号成立; 即当1x >时,函数()f x 的最小值为123a -, 当1x ≤时,()()222299f x x ax x a a =-+=-+-,要使得函数()f x 的最小值为()1f ,则满足()11102123a f a a ≥⎧⎨=-≤-⎩,解得12a ≤≤,即实数a 的取值范围是[]1,2. 故选:A.二、多选题9.下列命题正确的是( )A .函数2()ln f x mx x =-在(1,2)上单调递增的一个必要不充分条件是1|4m m ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭B .“2a b +>”是“2a b +>”充分不必要条件C .“1a > ”是“11a<”的必要不充分条件 D .命题“[]22,3,10x mx mx ∃∈-+≥”是假命题,则实数m 的取值范围为1{|}6m m ≤-【答案】AB【分析】求得1()2f x mx x '=-,转化为212mx x≥在(1,2)x ∈上恒成立,可判定A 正确;由绝对值三角不等式,结合充要条件的判定,可判定B 正确;由分式不等式的解法,结合充要条件的判定,可判定C 不正确;转化为命题“[]22,3,10x mx mx ∀∈-+<””是真命题,结合分离参数法,可判断D 错误.【详解】对于A 中,由函数2()ln f x mx x =-,可得1()2f x mx x'=-,若函数()f x 在(1,2)上单调递增,即当(1,2)x ∈时,1()20f x mx x'=-≥恒成立, 即212mx x ≥在(1,2)x ∈上恒成立, 又由当(1,2)x ∈时,max 211()22x <,即12m ≥, 函数()f x 在(1,2)上单调递增的一个必要不充分条件是1|4m m ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭,所以A 正确;对于B 中,由绝对值三角不等式,可得2a b a b +≥+>,所以充分性成立; 反之:例如:当1,3a b ==-时,满足2a b +>,此时2a b +=,即必要性不成立, 所以“2a b +>”是“2a b +>”充分不必要条件,所以B 正确; 对于C 中,由1110aa a--=<,解得1a >或0a <, 所以“1a > ”是“11a<”的充分不必要条件,所以C 不正确; 对于D 中,由命题“[]22,3,10x mx mx ∃∈-+≥”是假命题,可得命题“[]22,3,10x mx mx ∀∈-+<””是真命题,当[]2,3x ∈时,20x x ->恒成立,所以只需21m x x<--在[]2,3x ∈上恒成立, 当2x =时,min 211()3x x -=--,所以13m <-,所以D 错误. 故选:AB.10.用()C A 表示非空集合A 中元素的个数,定义()()*A B C A C B =-,已知集合()()2222,,,2x y y x a A x y B x y x y y x ⎧⎧+==+⎧⎫⎧⎫⎪==⎨⎨⎬⎨⎨⎬+==⎩⎭⎩⎭⎪⎩⎩∣∣,若*1A B =,则实数a 的取值可能为( ) A .14-B .21-C .1003D .2021【答案】BCD【分析】先求出()1C A =,从而得到()0C B =或()2C B =,利用()1C B =即方程有一个根得到14a =-,那么排除掉A 选项,其他三个选项为正确结果.【详解】由(){}1,1A =,可得()1C A =,若*1A B =,有()0C B =或()2C B =.当()1C B =时,方程组2,y x a y x=+⎧⎨=⎩中消去y 有:20x x a --=,则Δ140a =+=,解得:14a =-,可得若*1A B =,则实数a 的取值范围为14aa ⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭∣,可知选项为:BCD . 故选:BCD11.下列说法中错误的有( ) A .两个非零向量,a b ,若||||||a b a b ,则a 与b 共线且反向B .已知13(2,3),(,)24a b =-=-不能作为平面内所有向量的一个基底C .已知向量(2,1),(3,1)a b ==-,向量b 在向量a 上的投影向量是D .若非零向量a ,b 满足||||||a b a b ==-,则a 与a b +的夹角是60 【答案】CD【分析】由||||||a b a b 计算判断A ;由共线向量的坐标表示判断B ;求出向量b 在向量a 上的投影向量判断C ;求出向量a 与a b +的夹角判断D 作答. 【详解】对于A ,由||||||a b a b 两边平方得:||||a b a b -⋅=,而,a b 是非零向量,则a 与b 共线且反向,A 正确;对于B ,13(2,3),(,)24a b =-=-,且有312()(3)042⨯---⨯=,则//a b ,,a b 不能作为平面内所有向量的一个基底,B 正确;对于C ,向量(2,1),(3,1)a b ==-,向量b 在向量a 上的投影向量是2||a ba a a ⋅=-,C 错误; 对于D ,a ,b 是非零向量,作,OA a OB b ==,因||||||a b a b ==-,则OAB 是正三角形,如图,取线段AB 中点D ,则30DOA ∠=,有2+=a b OD ,即a 与a b +的夹角是30,D 错误. 故选:CD12.设函数()2101,0lg ,0x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩,若关于x 的方程()()f x a a R =∈有四个实数解1234,,,x x x x ,且1234x x x x <<<,则()()1234x x x x +-的值可能是( )A .0B .1C .99D .100【答案】BC【分析】首先根据题意画出图象,根据二次函数的性质得到1210x x +=-,根据对数函数的性质得到431x x =,从而得到()()123433110x x x x x x ⎛⎫+-=-- ⎪⎝⎭,再根据函数单调性求解即可.【详解】如图所示:因为关于x 的方程()()f x a a R =∈有四个实数解1234,,,x x x x ,且1234x x x x <<<, 所以01a <≤.2101y x x =++的对称轴为5x =-,所以1210x x +=-.因为34lg lg x x =,所以34lg lg 0x x +=,即341x x =,431x x=.因为3lg 1x ≤,所以31110x ≤<. 所以()()123433110x x x x x x ⎛⎫+-=-- ⎪⎝⎭,因为110y x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,1110x ≤<为减函数,所以()()(]1234330110,99x x x x x x ⎛⎫∈ ⎪⎭-⎝+-=-.故选:BC三、填空题13.已知向量a ,b ,c 满足,0a b c ++=,2a =,3b =,5c =,则⋅=a b _________. 【答案】6【分析】由0a b c ++=,得a b c +=-,两边平方化简可得答案 【详解】由0a b c ++=,得a b c +=-, 两边平方,得2222a a b b c +⋅+=, 因为235a b c ===,,, 所以42925a b +⋅+=,得·6a b =. 故答案为:6.14.若函数()f x 与()g x 同在一个区间内取同一个自变量时,同时取得相同的最小值,则称这两个函数为“兄弟函数”,已知函数()()2,f x x bx c b c =++∈R 与()21x x g x x-+=是定义在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的“兄弟函数”,那么()f x 在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是___________. 【答案】2【分析】利用基本不等式求出()g x 的最小值及对应的x 的值,根据“兄弟函数”的定义可知()f x 在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上最小值为()11f =,根据二次函数的性质求出b 、c 的值,即可得到()f x 的解析式,最后根据二次函数的性质计算可得;【详解】解:211()111x x g x x x x -+==+-≥=,当且仅当1x x=即1x =时取等号, ∴当1x =时,()g x 取最小值()11g =.函数()f x 与()g x 同在一个区间内取同一个自变量时,同时取得相同的最小值,则称这两个函数为“兄弟函数”,∴函数()f x 在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上最小值为()11f =.∴点()1,1为抛物线2()f x x bx c =++的顶点.∴212414b c b ⎧-=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩,∴22b c =-⎧⎨=⎩. 2()22f x x x ∴=-+.()y f x∴=在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,在区间[]1,2上单调递增.1524f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,()22f =, ()f x ∴在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是2.故答案为:2.15.已知0a >,0b >,下面四个结论:①22ab a b a b +≤+;②若0a b >>,则241()ab b b a b ++-的最小值为4;③若a b >,则22c c a b≤;④若11111a b +=++,则2+a b 的最小值为 其中正确结论的序号是______.(把你认为正确的结论的序号都填上) 【答案】①③④【分析】对于①,由222a b ab +≥,得2224a b ab ab ++≥,然后变形后判断,对于②,变形后利用基本不等式判断,对于③,由不等式的性质判断,对于④,将11(122)11a b a b ⎛⎫++++ ⎪++⎝⎭展开由基本不等式可推导出结果【详解】对于①,因为222a b ab +≥,所以2224a b ab ab ++≥,即2()4a b ab +≥,因为0a >,0b >,所以22ab a ba b +≤+,所以①正确, 对于②,因为0a b >>,所以0a b ->, 所以2224141()()()ab b b a b b b a b b b a b ⎛⎫++=++-+ ⎪--⎝⎭ 6≥=,当且仅当224b b =,1()()b a b b a b -=-,即a b ==②错误, 对于③,因为0a b >>,所以110a b <<,因为2c ≥0,所以22c c a b≤,所以③正确,对于④,因为112(1)1(122)3331111b a a b a b a b ++⎛⎫++++=++≥+=+ ⎪++++⎝⎭当且仅当2(1)111b a a b ++=++,即a b ==因为11111a b +=++,所以1223a b +++≥+2a b +≥,当且仅当a b ==④正确, 故答案为:①③④16.已知函数(),0ln ,0x e x f x x x ⎧≤=⎨>⎩,()()1g x f x mx =--,当实数m 的取值范围为________时,()g x 的零点最多. 【答案】210m e <<【分析】作出函数()f x 的图象,由()0g x =得() +1f x mx =,设+1y mx =,分0m =,0m <,>0m 分别讨论+1y mx =与()f x 的交点个数,当>0m 时,求得+1y mx =与xy e =相切时切线的斜率,+1y mx =与ln y x =相切时切线的斜率,由此可求得实数m 的取值范围.【详解】解:作出函数()f x 的图象如图: 由()0g x =得() +1f x mx =,设+1y mx =, 当0m =时,+1y mx =与()f x 有2个交点; 当0m <时,+1y mx =与()f x 有2个交点;. 当>0m 时,设+1y mx =与x y e =相切,切点为()11,x x e ,则'e x y =,所以切线的斜率为11x k e =,其切线方程为:()111x xy e e x x -=-,又因切线恒过点()01,,所以()11110x x e e x -=-,解得10x =,所以切线的斜率为011k e ==,当>0m 时,设+1y mx =与ln y x =相切,切点为()22,ln x x ,则'1y x=,所以切线的斜率为221k x =, 其切线方程为:()2221ln y x x x x -=-, 又因切线恒过点()01,,所以()22211ln 0x x x -=-,解得22x e =,所以切线的斜率为221k e =, 所以当m 1≥时,+1y mx =与()f x 有1个交点; 当211m e <<时,+1y mx =与()f x 有2个交点; 当21m e=时,+1y mx =与()f x 有3个交点; 当210m e <<时,+1y mx =与()f x 有4个交点; 所以实数m 的取值范围为210m e <<时,()g x 的零点最多, 故答案为:210m e <<.四、解答题17.已知函数()22f x x mx n =++的图象过点()1,1-,且满足()()23f f -=.(1)求函数()f x 的解析式:(2)求函数()f x 在[],2a a +上的最小值;(3)若0x 满足()00f x x =,则称0x 为函数()y f x =的不动点,函数()()g x f x tx t =-+有两个不相等且正的不动点,求t 的取值范围.【答案】(1)()2221f x x x =--;(2)()2min23263,,2331,,2221221,2a a a f x a a a a ⎧++≤-⎪⎪⎪⎡⎤=--<<⎨⎣⎦⎪⎪--≥⎪⎩;(3)1t >.【分析】(1)根据f (x )图像过点()1,1-,且满足()()23f f -=列出关于m 和n 的方程组即可求解;(2)讨论对称轴与区间的位置关系,即可求二次函数的最小值; (3)由题可知方程x =g (x )有两个正根,根据韦达定理即可求出t 的范围. 【详解】(1)∵()f x 的图象过点()1,1-, ∴21m n ++=-① 又()()23f f -=, ∴82183m n m n -+=++② 由①②解2m =-,1n =-,∴()2221f x x x =--;(2)()2213221222f x x x x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭,[],2x a a ∈+, 当122a +≤,即32a ≤-时,函数()f x 在[],2a a +上单调递减,∴()()2min 2263f x f a a a ⎡⎤=+=++⎣⎦;当122a a <<+,即3122a -<<时,函数()f x 在1,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,在1,22a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦单调递增,∴()min1322f x f ⎛⎫⎡⎤==- ⎪⎣⎦⎝⎭; 当12a ≥时,函数()f x 在[],2a a +上单调递增, ∴()()2min221f x f a a a ⎡⎤==--⎣⎦. 综上,()2min23263,,2331,,2221221,2a a a f x a a a a ⎧++≤-⎪⎪⎪⎡⎤=--<<⎨⎣⎦⎪⎪--≥⎪⎩.(3)设()()g x f x tx t =-+有两个不相等的不动点1x 、2x ,且1>0x ,20x >,∴()g x x =,即方程()22310x t x t -++-=有两个不相等的正实根1x 、2x .∴()()21212Δ3810,30,2102t t t x x t x x ⎧⎪=+-->⎪+⎪+=>⎨⎪-⎪=>⎪⎩,解得1t >. 18.在①323n n b T =+,②{}n b 为等比数列,且13b =,23143T T T =+这两组条件中任选一组,补充在下面横线处,并解答下列问题.已知数列21n a n =-,数列{}n b 的前n 项和是n T ,______. (1)求数列{}n b 的通项公式;(2)若数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n M ,证明:对任意n *∈N 均有1n M ≤恒成立.【答案】(1)3nn b =(2)证明见解析【分析】(1)若选①,利用退一相减法可得通项公式;若选②,直接可得数列的首项及公比,进而可得通项公式;(2)利用错位相减法可得n M ,进而得证.【详解】(1)解:若选①,当1n =时,11132323b T b =+=+,即13b =; 当2n ≥时,323n n b T =+,11323n n b T --=+, 作差可得1332n n n b b b --=,即13n n b b -=,所以数列{}n b 为等比数列,其首项为13b =,公比3q =,所以1333n nn b -=⨯=;若选②,23143T T T =+,则121231443b b b b b b +=+++,即323b b =, 又数列{}n b 为等比数列,所以3q =,且13b =,所以1333n nn b -=⨯=;(2)证明:由(1)得3nn b =,所以()2112133nn n n a n n b -⎛⎫==-⋅ ⎪⎝⎭,所以()()23111111135232133333n nn M n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,()()23411111113523213333313n n n n n M +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,则()2311111111122222133333233n nn n M n -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++⨯+⨯-- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()211112133112113313n n n -+⎡⎤⎛⎫⎛⎫⨯⨯-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+--⨯ ⎪⎝⎭- ()121121333n n n +⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()1212233n n +⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,所以()1113nn M n ⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭,又n *∈N ,所以()11113nn M n ⎛⎫=-+⋅< ⎪⎝⎭恒成立.19.第四届中国国际进口博览会于2021年11月5日至10日在上海举行.本届进博会有4000多项新产品、新技术、新服务.某跨国公司带来了高端空调模型参展,通过展会调研,中国甲企业计划在2022年与该跨国公司合资生产此款空调.生产此款空调预计全年需投入固定成本260万元,生产x 千台空调,需另投入资金R 万元,且2210,040901945010000,40x ax x R x x x x ⎧+≤<⎪=⎨-+≥⎪⎩.经测算,当生产10千台空调时需另投入的资金R =4000万元.现每台空调售价为0.9万元时,当年内生产的空调当年能全部销售完. (1)求2022年该企业年利润W (万元)关于年产量x (千台)的函数关系式; (2)2022年产量为多少时,该企业所获年利润最大?最大年利润为多少?注:利润=销售额-成本.【答案】(1)2210600260,040919010000,40x x x W x x x x ⎧-+-≤<⎪=⎨-+-≥⎪⎩(2)当2022年产量为100千台时,该企业的年利润最大,最大年利润为8990万元【分析】(1)由题意可知10x =时,R =4000,代入函数中可求出a ,然后由年利润等于销售总额减去投入资金,再减去固定成本,可求出年利润W (万元)关于年产量x (千台)的函数关系式,(2)分别当040x ≤<和40x ≥求出函数的最大值,比较即可得答案【详解】(1)由题意知,当10x =时,()21010104000R x a =⨯+=,所以a =300. 当040x ≤<时,()229001030026010600260W x x x x x =-+-=-+-;当40x ≥时,22901945010000919010000900260x x x x W x x x-+-+-=--=. 所以2210600260,040919010000,40x x x W x x x x ⎧-+-≤<⎪=⎨-+-≥⎪⎩,(2)当040x ≤<时,()210308740W x =--+,所以当30x =时,W 有最大值,最大值为8740;当40x ≥时,10000100009190291908990W x x x x ⎛⎫=-++≤-⋅+= ⎪⎝⎭, 当且仅当10000x x=,即x =100时,W 有最大值,最大值为8990. 因为87408990<,所以当2022年产量为100千台时,该企业的年利润最大,最大年利润为8990万元. 20.为了使更多人参与到冰雪运动中,某校组织了一次简易冰壶比赛.每场比赛由两支队伍对抗进行,每队由2名成员组成,共进行3局.每局比赛时,两队成员交替发球,每名成员只能从发球区(MN 左侧)掷冰壶一次.当所有成员全部掷完冰壶后,开始计分.若冰壶未到达营垒区,计1-分;若冰壶能准确到达营垒区,计2分,整场比赛累计得分多者获得比赛胜利.已知A 队两名成员甲、乙每次将冰壶投掷到营垒区的概率分别为12和13,B 队两名成员丙、丁每次将冰壶投掷到营垒区的概率均为12.假设两队投掷的冰壶在运动过程中无碰撞,每名成员投掷冰壶相互独立,每局比赛互不影响.(1)求A 队每局得分X 的分布列及期望;(2)若第一局比赛结束后,A 队得1分,B 队得4分,求A 队最终获得本场比赛胜利且总积分比B 队高3分的概率.【答案】(1)分布列见解析,期望为12;(2)43576.【分析】(1)根据题设写出X 的所有可能取值及对应概率,即可得到分布列,再根据分布列求期望即可;(2)同(1)写出B 的分布列,根据题设写出A 队获胜且总积分比B 队高3分所有可能情况,再求出各情况的概率,最后加总即可得结果.【详解】(1)由题设,X 的所有可能取值为2-,1,4,且X 的分布列如下:所以()21413262E X =-++=.(2)设B 队每局得分为Y ,同理Y 的分布列为记A 队、B 队在后两局总得分分别为x 、y ,则所包含的情况如下:()111111132,42362244576P x y ⎛⎫==-=⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭,()111115,122264224P x y ==-=⨯⨯⨯⨯⨯=, ()11111168,22662244576P x y ⎛⎫===⨯⨯⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭,故A 队最终获得本场比赛胜利且总积分比B 队高3分的概率为13164357624576576++=.21.如图所示:已知椭圆E :()222210x y a b a b +=>>的长轴长为4,离心率e =A 是椭圆的右顶点,直线l 过点()1,0M -交椭圆于C ,D 两点,交y 轴于点P ,PC CM λ=,PD DM μ=.记ACD △的面积为S .(1)求椭圆E 的标准方程; (2)求S 的取值范围; (3)求证:λμ+为定值. 【答案】(1)2214x y +=;(2)33; (3)证明见解析.【分析】(1)根据给定条件,求出半焦距c 及b 即可作答.(2)设出直线l 的方程,与椭圆E 的方程联立,结合韦达定理求出面积S 的表达式即可求解作答.(3)由(2)中信息,用点C ,D 的坐标表示出,λμ即可计算作答. 【详解】(1)令椭圆E 的半焦距为c ,依题意,2a =,3c e a ==3c =2221b a c =-=,所以椭圆E 的标准方程为2214x y +=.(2)依题意,直线l 不垂直于坐标轴,设直线l :1x ty =-,0t ≠,设1122(,),(,)C x y D x y ,由22144x ty x y =-⎧⎨+=⎩消去x 并整理得:22(4)230t y ty +--=,则12224t y y t +=+,12234y y t =-+, 2222121212122221243||()()4()44t t y y y y y y y y t t +--=+-+=++由(1)知(2,0)A,则有1216||||12S AM y y =⋅-==,令u >1y u u =+在)+∞则0S <<所以S的取值范围是. (3)由(2)知,1(0,)P t ,由PC CM λ=得111()y y tλ-=-,即111ty λ=-+,而PD DM μ=,同理211u ty =-+,因此,2121212221184222334t y y t t ty ty ty y t λμ+++=-++=-+=-+=--+, 所以83λμ+=-为定值.【点睛】思路点睛:圆锥曲线中的几何图形面积范围或最值问题,可以以直线的斜率、横(纵)截距、图形上动点的横(纵)坐标为变量,建立函数关系求解作答. 22.已知函数2()ln f x ax x x =--. (1)当1a =时,求()f x 的单调区间;(2)若函数()f x 在定义域内有两个不相等的零点12,x x . ①求实数a 的取值范围;②证明:()()12122ln +>-+f x x x x .【答案】(1)单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,)+∞ (2)① 01a <<;②证明见解析【分析】(1)求导得(21)(1)()x x f x x+-'=,判断导函数符号确定原函数单调性,注意函数定义域;(2)①利用参变分离得2ln x x a x +=,即y a =与2ln x x y x +=有两个交点,判断函数单调性理解计算;②()()12122ln +>-+f x x x x 等价于()()212122+-+>a x x x x ,借助于函数零点整理得()121212ln ln 2⎛⎫-+> ⎪-⎝⎭x x x x x x ,即证1ln 21t t t +⋅>-,构建函数结合导数证明.【详解】(1)当1a =时,函数2()ln f x x x x =--,定义域为(0,)+∞.2121(21)(1)()21x x x x f x x x x x--+-'=--==. 由()0f x '=,得1x =.当01x <<时,()0f x '<,当1x >时,()0f x '>,所以()f x 的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,)+∞. (2)①若函数()f x 在定义域内有两个不相等的零点12,x x , 则方程2ln 0ax x x --=有两个不等的实根. 即方程2ln x xa x +=有两个不等的实根. 记2ln ()(0)+=>x x g x x x ,则32(n )l 1x x xg x --'=,记()12ln (0)=-->m x x x x ,则()m x 在(0,)+∞上单减,且(1)0m =, ∴当01x <<时,()0,()0'>>m x g x ;当1x >时,()0,()0'<<m x g x , ∴()g x 在(0,1)上单调递增,在(1,)+∞单调递减. ∴max ()(1)1g x g ==.又∵10g e ⎛⎫< ⎪⎝⎭且当1x >时,()0>g x ,∴方程为()g x a =有两个不等的实根时,01a <<.∴当01a <<时函数()f x 在定义域内有两个不相等的零点12,x x . ②要证()()12122ln +>-+f x x x x ,只需证()()()()212121212ln 2ln +-+-+>-+a x x x x x x x x , 只需证()()212122+-+>a x x x x ,因为22111222ln 0,ln 0--=--=ax x x ax x x ,两式相减得: ()()()22121212ln ln 0-----=a x x x x x x .整理得()121212ln ln 1-+=+-x x a x x x x .所以只需证()()12121212ln ln 12⎛⎫-++-+> ⎪-⎝⎭x x x x x x x x ,即证()121212ln ln 2⎛⎫-+> ⎪-⎝⎭x x x x x x ,即1121221ln 21+⋅>-x x x xx x ,不妨设120x x <<,令12(01)x t t x =<<,第 21 页 共 21 页 只需证1ln 21t t t +⋅>-, 只需证(1)ln 2(1)0+--<t t t ,设()(1)ln 2(1)=+--n t t t t ,只需证当01t <<时,()0<n t 即可. ∵221111()ln 1,()0(01)-=+-='''-=<<<t n t t n t t t t t t, ∴()n t '在((0,1)单调递减,∴当01t <<时,()(1)0''>=n t n ,∴()n t 在(0,1)单调递增,当01t <<时()(1)0n t n <=, ∴原不等式得证.【点睛】在证明()()212122+-+>a x x x x ,利用函数零点得()121212ln ln 1-+=+-x x a x x x x ,代入消去a 得()121212ln ln 2⎛⎫-+> ⎪-⎝⎭x x x x x x ,进一步处理得1121221ln 21+⋅>-x x x x x x 换元分析.。
届高三数学(理)第一次月考模拟试卷及答案

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2018届高三数学(理)第一次月考模拟试卷题目一、选择题(本题共12道小题,每小题5分,共60分)1.已知全集U=R,A={x|x2﹣2x<0},B={x|x≥1},则A∪(∁UB)=( )A.(0,+∞)B.(﹣∞,1)C.(﹣∞,2)D.(0,1)2.已知集合A={1,2,3,4},B={y|y=3x﹣2,x∈A},则A∩B=()A.{1}B.{4}C.{1,3}D.{1,4}3.在△ABC中,“ >0”是“△ABC为锐角三角形”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.下列说法错误的是( )A.命题“若x2﹣4x+3=0,则x=3”的逆否命题是:“若x≠3,则x2﹣4x+3≠0”B.“x>1”是“|x|>0”的充分不必要条件C.若p且q为假命题,则p、q均为假命题D.命题p:“∃x∈R使得x2+x+1<0”,则¬p:“∀x∈R,均有x2+x+1≥0”5.已知0A.a2>2a>log2aB.2a>a2>log2aC.log2a>a2>2aD.2a>log2a>a26.函数y=loga(x+2)﹣1(a>0,a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny+1=0上,其中m>0,n>0,则 + 的最小值为( )A.3+2B.3+2C.7D.117.已知f(x)是定义在R上的偶函数,在[0,+∞)上是增函数,若a=f(sin ),b=f(cos ),c=f(tan ),则( )A.a>b>cB.c>a>bC.b>a>cD.c>b>a8.若函数y=f(x)对x∈R满足f(x+2)=f(x),且x∈[-1 ,1]时,f(x)=1﹣x2,g(x)= ,则函数h(x)=f(x)﹣g(x)在区间x∈[-5 ,11]内零点的个数为( ) A.8 B.10 C.12 D.149设f(x)是定义在R上的恒不为零的函数,对任意实数x,y∈R,都有f(x)•f(y)=f(x+y),若a1= ,an=f(n)(n∈N*),则数列{an}的前n 项和Sn的取值范围是( )A.[ ,2)B.[ ,2]C.[ ,1)D.[ ,1]10.如图所示,点P从点A处出发,按逆时针方向沿边长为a的正三角形ABC运动一周,O为ABC的中心,设点P走过的路程为x,△OAP的面积为f(x)(当A、O、P三点共线时,记面积为0),则函数f(x)的图象大致为( )A . B.C. D.11.设函数f(x)=(x﹣a)|x﹣a|+b,a,b∈R,则下列叙述中,正确的序号是( )①对任意实数a,b,函数y=f(x)在R上是单调函数;②对任意实数a,b,函数y=f(x)在R上都不是单调函数;③对任意实数a,b,函数y=f(x)的图象都是中心对称图象;④存在实数a,b,使得函数y=f(x)的图象不是中心对称图象.A.①③B.②③C.①④D.③④12.已知函数,如在区间(1,+∞)上存在n(n≥2)个不同的数x1,x2,x3,…,xn,使得比值= =…= 成立,则n的取值集合是( )A.{2,3,4,5}B.{2,3}C.{2,3,5}D.{2,3,4}第II卷(非选择题)二、填空题(本题共4道小题,每小题5分,共20分)13.命题:“∃x∈R,x2﹣x﹣1<0”的否定是 .14.定义在R上的奇函数f(x)以2为周期,则f(1)= .15.设有两个命题,p:x的不等式ax>1(a>0,且a≠1)的解集是{x|x<0};q:函数y=lg(ax2﹣x+a)的定义域为R.如果p∨q为真命题,p∧q为假命题,则实数a的取值范围是 .16.在下列命题中①函数f(x)= 在定义域内为单调递减函数;②已知定义在R上周期为4的函数f(x)满足f(2﹣x)=f(2+x),则f(x)一定为偶函数;③若f(x)为奇函数,则 f(x)dx=2 f(x)dx(a>0);④已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),则a+b+c=0是f(x)有极值的充分不必要条件;⑤已知函数f(x)=x﹣sinx,若a+b>0,则f(a)+f(b)>0.其中正确命题的序号为 (写出所有正确命题的序号).三、解答题(本题共7道小题,第1题12分,第2题12分,第3题12分,第4题12分,第5题12分,第6题10分,第7题10分,共70分)17.已知集合A={x|x2﹣4x﹣5≤0},函数y=ln(x2﹣4)的定义域为B.(Ⅰ)求A∩B;(Ⅱ)若C={x|x≤a﹣1},且A∪(∁RB)⊆C,求实数a的取值范围.18.已知关于x的不等式ax2﹣3x+2≤0的解集为{x|1≤x≤b}.(1)求实数a,b的值;(2)解关于x的不等式: >0(c为常数).19.已知函数f(x)= 是定义在(﹣1,1)上的奇函数,且f( )= .(1)确定函数f(x)的解析式;(2)证明f(x)在(﹣1,1)上是增函数;(3)解不等式f(t﹣1)+f(t)<0.20.已知关于x的不等式x2﹣(a2+3a+2)x+3a(a2+2)<0(a∈R).(Ⅰ)解该不等式;(Ⅱ)定义区间(m,n)的长度为d=n﹣m,若a∈R,求该不等式解集表示的区间长度的最大值.21.设关于x的方程2x2﹣ax﹣2=0的两根分别为α、β(α<β),函数(1)证明f(x)在区间(α,β)上是增函数;(2)当a为何值时,f(x)在区间[α,β]上的最大值与最小值之差最小.选做第22或23题,若两题均选做,只计第22题的分。
河北省邢台市2014届高三第一次模拟考试数学(理)试题(扫描版)

2014年邢台市普通高考模拟考试理科数学参考答案及评分标准(Ⅱ)记BAM θ∠=,其中203θπ<<由正弦定理得12sin sin()sin 33ac AM ππθθ==+,4sin()3c πθ∴=+,8sin a θ=………8分8sin 4sin())3a c πθθθα∴+=++=+,其中cos α=sin α= ……10分 θα∴+可以取到2π)a c θα∴+=+≤ 因此a c +的最大值为 ……………………12分 18.解析:(Ⅰ)第二组的频率为1(0.040.040.030.020.01)50.3-++++⨯=,所以高为0.30.065= 频率分布直方图如下:第一组的人数为1202000.6=,频率为0.0450.2⨯=,所以20010000.2n == 第二组的频率为0.3,所以第二组的人数为10000.3300⨯=,所以1950.65300p == 第四组的频率为0.0350.15⨯=,第四组的人数为10000.15150⨯=所以1500.460a =⨯= ………………6分(Ⅱ)因为[)40,45岁年龄段的“低碳族”与[)45,50岁年龄段的“低碳族”的比值为60:30=2:1,所以采用分层抽样法抽取18人,[)40,45岁中有12人,[)45,50岁中有6人,随机变量X 服从超几何分布。
0312126126331818515(0),(1)20468C C C C P X P X C C ======, 21301261263318183355(2),(3)68204C C C C P X P X C C ====== 所以随机变量的分布列为………10分∴数学期望5153355012322046868204EX =⨯+⨯+⨯+⨯= ………………12分19.(Ⅰ)证明:由四边形ABCD 为菱形,60ABC ∠= ,可得△ABC 为正三角形. 因为E 为BC 的中点,所以AE BC ⊥.又BC AD ,因此AE AD ⊥.………2分因为PA ABCD ⊥平面,AE ABCD ⊂平面,所以PA AE ⊥.而PA PAD ⊂平面,· · · · ·………………2分AD PAD ⊂平面且PA AD A = ,所以AE PAD ⊥平面,又PD PAD ⊂平面. 所以AE PD ⊥ …………………4分 (Ⅱ)解:H 为PD 上任意一点,连接,AH EH .由(Ⅰ)知AE PAD ⊥平面, 则EHA ∠为直线EH 与平面PAD 所成的角.Rt EAH AE 在△中,所以 当AH 最短时,EHA ∠最大, 即 当AH PD ⊥时,EHA ∠最大.此时 tan AE EHA AH ∠==AH =又2AD =,所以45ADH ∠= 所以 2PA = ………6分解法一:因为PA ABCD ⊥平面,PA PAC ⊂平面, 所以 PAC ABCD ⊥平面平面.过E 作EO AC ⊥于O ,则EO PAC ⊥平面,过O 作OS AF ⊥于S ,连接ES ,则ESO ∠为二面角E AF C --的平面角, ………8分在Rt △AOE 中, sin 30EO AE =⋅= ,3cos302AO AE =⋅=, (10)分又F 是PC 的中点,在Rt △ASO 中,sin 45SO AO =⋅=,又SE ===在Rt △ESO 中,cos SO ESO SE ∠==……………12分 解法二:由(Ⅰ)知,,AE AD AP 两两垂直,以A 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,又,E F 分别为,BC PC 的中点,所以(0,0,0),1,0),A B C -,1(0,2,0),(0,0,2),,1)2D PE F,所以1,1)2AE AF==………8分设平面AEF的一个法向量为111(,,),x y z=m11110,0,10,0.2AEAF x y z=⎧⋅=⎪⎨⋅=++=⎪⎩则因此mm11,(0,2,1)z=-=取则m………10分,BD PA PA AC A⊥=因为所以BD AFC⊥平面,故BD为平面AFC的一个法向量.又(BD=,所以cos,BDBDBD⋅==⋅mmm因为二面角E AF C--………12分20解:(Ⅰ)设椭圆E的方程为22221(0)x ya ba b+=>>,则22441a b+=,①∵抛物线2y=-的焦点为1F,∴c=,② (2)分又222a b c=+,③由①、②、③得2212,6a b==,所以椭圆E的方程为221126x y+=……………………4分(Ⅱ)依题意,直线OC的斜率为-1,由此设直线l的方程为y x m=-+,代入椭圆E的方程,得22342120x mx m-+-=,由△2221612(212)8(18)0m m m=--=->,得218m< (6)分记11(,)A x y、22(,)B x y,则212124212,33m m x x x x -+==, 圆P 的圆心为1212(,)22x x y y ++,半径r =, …………8分当圆P 与y 轴相切时,122x x r +=, 即222(212)439m m -=,2918,3m m =<=±, ……………….10分当3m =时,直线l 的方程为3y x =-+, 此时,124x x +=,圆心为(2,1),半径为2, 圆P 的方程为()()22214x y -+-=;同理,当3m =-时,直线l 的方程为3y x =--, 此时,124x x +=-,圆心为(-2,-1),半径为2,222(1)4P x y +++=圆的方程为() ……………………………………12分21.解:(Ⅰ)()f x 的定义域为(0,)+∞2233111()a ax x f x x x x x--'=--= …………2分当0a ≤时,()0f x '<,则()f x 在(0,)+∞内单调递减 …………4分当0a >时,x ∈,()0f x '<,()f x 单调递减;)x ∈+∞,()0f x '>,()f x 单调递增 (6)分(Ⅱ)当2a =时,由(1)可知()f x 在(0,1)内单调递减,在(1,)+∞内单调递增 min 3()(1)2f x f ∴==,21132ln 22x x x ++≥ ………8分即2132ln 22x x x ++≥,232ln 22x x x ∴--≤-令2()(1)2,02xx g x x e x x -=--+>而()(2)(1)x g x x e -'=-+,易知2x =时,()g x 取得最大值,即21()(2)2g x g e ≤=+ ………10分∴ 222132(1)22ln 2ln (1)()22223xx x x x e x x x x x e x e ----++--=+--<+-< (12)分22.解:(Ⅰ) 由PA 是圆O 的切线,因此PAD ∠=ACD ∠,在等腰OCD ∆中,OD OC =,可得ACD CDE ∠=∠,所以PAD CDE ∠=∠. ……………… 5分(Ⅱ) EC PBD PEC ∆∆连结,由与相似可知,PB BDPE CE=,由切割线定理可知, 2PA PB PC =⋅,则2PA PB PC =,又EC AD =,可得2PA BDPC PE AD=⋅. ……10分 23. 解:(Ⅰ)曲线C 的普通方程为221324x y +=直线l的参数方程为8cos ()2sin x t y t ααα=+⎧⎨=+⎩为参数 ……………………………5分 (Ⅱ)将l 的参数方程为代入曲线C 的方程得:()228+cos 8(2sin )32t t αα++=第 11 页 共 11 页 1212264||||[8,64]17sin PM PM t t α∴⋅==∈+ ……………………………………10分 24.解: (Ⅰ)当1a =时,不等式为3135x x -++≤当13x ≤时,不等式即1335x x -++≤,12x ≥- 1123x ∴-≤≤ 当13x >时,不等式即3135x x -++≤,34x ≤ 1334x ∴<≤ 综上,不等式的解集为1324x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭……………………………………5分 (Ⅱ)1(3)23()3131(3)43a x x f x x ax a x x ⎧++≥⎪⎪=-++=⎨⎪-+<⎪⎩当3a <-时,()f x 单调递减,无最小值;当33a -≤≤时,()f x 在区间1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减,在1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增, 13x ∴=处取得最小值 当3a >时,()f x 单调递增,无最小值;综上,33a -≤≤ …………………………………………………………10分。
02或且非命题的真假判断-2018版高人一筹之高二数学特色训练(2-1)含解析

一、选择题1.【河北省邢台市2018届高三上学期第二次月考】已知()2x f x e ax =-.命题:p 对1a ∀≥, ()y f x =有三个零点,命题:q a R ∃∈,使得()0f x ≤恒成立.则下列命题为真命题的是( )A 。
p q ∧B . ()()p q ⌝∧⌝C 。
()p q ⌝∧D .()p q ∧⌝【答案】B2.【北京市海淀首经贸2016-2017学年高二上学期期中】若命题“且”为假,且“”为假,则( ).A 。
或为假B . 为假C 。
为真D 。
为假【答案】D【解析】“”为假,则为真, 又“且”为假,为真, 故为假, 故选.3.【北京市西城鲁迅中学2016-2017学年高二上学期期中】命题的值不超过,命题是无理数,则( ).A. 命题“”是假命题B. 命题“"是假命题C。
命题“”是假命题D. 命题“”是真命题【答案】B【解析】命题为假,,命题为真,是无理数,“”为真命题,“”为真命题,“”为假命题,“”为假命题.故选.点睛:若要判断一个含有逻辑联结词的命题的真假,需先判断构成这个命题的每个简单命题的真假,再依据“或”:一真即真,“且”:一假即假,“非":真假相反,做出判断即可。
以命题真假为依据求参数的取值范围时,首先要对两个简单命题进行化简,然后依据“p∨q”“p∧q”“非p”形式命题的真假,列出含有参数的不等式(组)求解即可。
4.【北京西城13中2016—2017学年高二上期期中】已知互不重合的三个平面α,β,γ,命题p:若αβ⊥, γβ⊥,则αγ;命题q:若α上不共线的三点到β的距离相等,则αβ,下列结论中正确的是().A。
命题“p且q”为真B. 命题“p或q⌝"为假C。
命题“p或q”为假D。
命题“p且q⌝”为假【答案】C5.【甘肃省会宁县第一中学2018届高三上学期第二次月考】已知命题,命题,若命题“"是真命题,则实数的取值范围是()A. B。
2024-2025学年高三上学期第一次联考(9月月考) 数学试题[含答案]
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2024~2025学年高三第一次联考(月考)试卷数学考生注意:1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分,考试时间120分钟.2.答题前,考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时,请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效,在试题卷、草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围:集合、常用逻辑用语、不等式、函数、导数及其应用.一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,,则集合的真子集的个数为(){}4,3,2,0,2,3,4A =---{}2290B x x =-≤A B ⋂A.7B.8C.31D.322.已知,,则“,”是“”的( )0x >0y >4x ≥6y ≥24xy ≥A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件3.国家速滑馆又称“冰丝带”,是北京冬奥会的标志性场馆,拥有亚洲最大的全冰面设计,但整个系统的碳排放接近于零,做到了真正的智慧场馆、绿色场馆,并且为了倡导绿色可循环的理念,场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统,已知过滤过程中废水的污染物数量与时间(小时)的关系为()mg /L N t (为最初污染物数量,且).如果前4个小时消除了的污染物,那么污染物消0e kt N N -=0N 00N >20%除至最初的还需要( )64%A.3.8小时 B.4小时C.4.4小时D.5小时4.若函数的值域为,则的取值范围是()()()2ln 22f x x mx m =-++R m A.B.()1,2-[]1,2-C.D.()(),12,-∞-⋃+∞(][),12,-∞-⋃+∞5.已知点在幂函数的图象上,设,(),27m ()()2n f x m x =-(4log a f =,,则,,的大小关系为( )()ln 3b f =123c f -⎛⎫= ⎪⎝⎭a b c A.B.c a b <<b a c<<C. D.a c b <<a b c<<6.已知函数若关于的不等式的解集为,则的()()2e ,0,44,0,x ax xf x x a x a x ⎧->⎪=⎨-+-+≤⎪⎩x ()0f x ≥[)4,-+∞a 取值范围为( )A.B. C. D.(2,e ⎤-∞⎦(],e -∞20,e ⎡⎤⎣⎦[]0,e 7.已知函数,的零点分别为,,则( )()41log 4xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()141log 4xg x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭a b A. B.01ab <<1ab =C.D.12ab <<2ab ≥8.已知,,,且,则的最小值为( )0a >0b >0c >30a b c +-≥6b a a b c ++A. B. C. D.29495989二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.下列说法正确的是( )A.函数是相同的函数()f x =()g x =B.函数6()f x =C.若函数在定义域上为奇函数,则()313xx k f x k -=+⋅1k =D.已知函数的定义域为,则函数的定义域为()21f x +[]1,1-()f x []1,3-10.若,且,则下列说法正确的是()0a b <<0a b +>A. B.1a b >-110a b+>C. D.22a b <()()110a b --<11.已知函数,则下列说法正确的是( )()()3233f x x x a x b=-+--A.若在上单调递增,则的取值范围是()f x ()0,+∞a (),0-∞B.点为曲线的对称中心()()1,1f ()y f x =C.若过点可作出曲线的三条切线,则的取值范围是()2,m ()()3y f x a x b =+-+m ()5,4--D.若存在极值点,且,其中,则()f x 0x ()()01f x f x =01x x ≠1023x x +=三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.__________.22lg 2lg3381527log 5log 210--+⋅+=13.已知函数称为高斯函数,表示不超过的最大整数,如,,则不等式[]y x =x []3.43=[]1.62-=-的解集为__________;当时,的最大值为__________.[][]06x x <-0x >[][]29x x +14.设函数,若,则的最小值为__________.()()()ln ln f x x a x b =++()0f x ≥ab 四、解答题:本题共5小题、共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分13分)已知全集,集合,.U =R {}231030A x x x =-+≤{}220B x xa =+<(1)若,求和;8a =-A B ⋂A B ⋃(2)若,求的取值范围.()UA B B ⋂= a 16.(本小题满分15分)已知关于的不等式的解集为.x 2280ax x --<{}2x x b-<<(1)求,的值;a b (2)若,,且,求的最小值.0x >2y >-42a bx y +=+2x y +17.(本小题满分15分)已知函数.()()()211e 2x f x x ax a =--∈R (1)讨论的单调性;()f x (2)若对任意的恒成立,求的取值范围.()e x f x x ≥-[)0,x ∈+∞a 18.(本小题满分17分)已知函数是定义在上的奇函数.()22x xf x a -=⋅-R(1)求的值,并证明:在上单调递增;a ()f x R (2)求不等式的解集;()()23540f x x f x -+->(3)若在区间上的最小值为,求的值.()()442x x g x mf x -=+-[)1,-+∞2-m 19.(本小题满分17分)已知函数.()()214ln 32f x x a x x a =---∈R (1)若,求的图像在处的切线方程;1a =()f x 1x =(2)若恰有两个极值点,.()f x 1x ()212x x x <(i )求的取值范围;a (ii )证明:.()()124ln f x f x a+<-数学一参考答案、提示及评分细则1.A 由题意知,又,所以{}2290B x x ⎡=-=⎢⎣∣ {}4,3,2,0,2,3,4A =---,所以的元素个数为3,真子集的个数为.故选.{}2,0,2A B ⋂=-A B ⋂3217-=A 2.A 若,则,所以“”是“”的充分条件;若,满足4,6x y 24xy 4,6x y 24xy 1,25x y ==,但是,所以“”不是“”的必要条件,所以“”是24xy 4x <4,6x y 24xy 4,6x y “”的充分不必要条件.故选A.24xy 3.B 由题意可得,解得,令,可得4004e 5N N -=44e 5k -=20004e 0.645t N N N -⎛⎫== ⎪⎝⎭,解得,所以污染物消除至最初的还需要4小时.故选B.()248e e ek kk---==8t =64%4.D 依题意,函数的值域为,所以,解得()()2ln 22f x x mx m =-++R ()2Δ(2)420m m =--+ 或,即的取值范围是.故选D.2m 1m - m ][(),12,∞∞--⋃+5.C 因为是軍函数,所以,解得,又点在函数的图()()2nf x m x =-21m -=3m =()3,27()n f x x =象上,所以,解得,所以,易得函数在上单调递增,又273n=3n =()3f x x =()f x (),∞∞-+,所以.故选C.1241ln3lne 133log 2log 2->==>=>=>a c b <<6.D 由题意知,当时,;当时,;当时,(),4x ∞∈--()0f x <[]4,0x ∈-()0f x ()0,x ∞∈+.当时,,结合图象知;当时,,当()0f x 0x ()()()4f x x x a =-+-0a 0x >()e 0x f x ax =- 时,显然成立;当时,,令,所以,令,解0a =0a >1e x x a (),0e x x g x x =>()1e xxg x -='()0g x '>得,令0,解得,所以在上单调递增,在上单调递减,所以01x <<()g x '<1x >()g x ()0,1()1,∞+,所以,解得综上,的取值范围为.故选D.()max 1()1e g x g ==11e a0e a < a []0,e 7.A 依题意得,即两式相减得4141log ,41log ,4a b a b ⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎪⎨⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩441log ,41log ,4a ba b ⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-= ⎪⎪⎝⎭⎩.在同一直角坐标系中作出的图()44411log log log 44a ba b ab ⎛⎫⎛⎫+==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4141log ,log ,4xy x y x y ⎛⎫=== ⎪⎝⎭象,如图所示:由图象可知,所以,即,所以.故选A.a b >1144ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()4log 0ab <01ab <<8.C 因为,所以,所以30a b c +- 30a b c +> 11911121519966399939911b a b a b b b b a b c a b a b a a a a ⎛⎫++=+=++--=-= ⎪+++⎝⎭++ ,当且仅当,即时等号成立,所以的最小值为.故选C.1911991b b a a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭+29b a =6b aa b c ++599.AD 由解得,所以,由,解得10,10x x +⎧⎨-⎩ 11x - ()f x =[]1,1-210x -,所以的定义域为,又,故函数11x - ()g x =[]1,1-()()f x g x ===与是相同的函数,故A 正确;,()f x ()g x ()6f x ==当且仅当方程无解,等号不成立,故B 错误;函数=2169x +=在定义域上为奇函数,则,即,即()313x x k f x k -=+⋅()()f x f x -=-331313x xx x k k k k ----=-+⋅+⋅,即,整理得,即,()()33313313x x xxxxk k k k ----=-+⋅+⋅313313x x x x k kk k ⋅--=++⋅22919x x k k ⋅-=-()()21910x k -+=所以,解得.当时,,该函数定义域为,满足,210k -=1k =±1k =()1313xx f x -=+R ()()f x f x -=-符合题意;当时,,由可得,此时函数定义域为1k =-()13311331x x xxf x --+==--310x -≠0x ≠,满足,符合题意.综上,,故C 错误;由,得{}0x x ≠∣()()f x f x -=-1k =±[]1,1x ∈-,所以的定义域为,故D 正确.故选AD.[]211,3x +∈-()f x []1,3-10.AC 因为,且,所以,所以,即,故A 正确;0a b <<0a b +>0b a >->01a b <-<10ab -<<因为,所以,故В错误;因为,所以,0,0b a a b >->+>110a ba b ab ++=<0a b <<,a a b b =-=由可得,所以,故C 正确;因为当,此时,故0a b +>b a >22a b <11,32a b =-=()()110a b -->D 错误.故选AC.11.BCD 若在上单调递增,则在上佰成立,所以()f x ()0,∞+()23630f x x x a '=-+- ()0,x ∞∈+,解得,即的取值范围是,故A 错误;因为()min ()13630f x f a '==--'+ 0a a (],0∞-,所以,又()()32333(1)1f x x x a x b x ax b =-+--=---+()11f a b =--+,所以点()()()332(21)21(1)1222f x f x x a x b x ax b a b -+=-----++---+=--+为曲线的对称中心,故B 正确;由题意知,所以()()1,1f ()y f x =()()3233y f x a x b xx =+-+=-,设切点为,所以切线的斜率,所以切线的方程为236y x x =-'()32000,3x x x -20036k x x =-,所以,整理得()()()3220000336y x x x x x x --=--()()()322000003362m xx x x x --=--.记,所以3200029120x x x m -++=()322912h x x x x m =-++()26h x x '=-,令,解得或,当时,取得极大值,当时,1812x +()0h x '=1x =2x =1x =()h x ()15h m =+2x =取得极小值,因为过点可作出曲线的三条切线,所以()h x ()24h m=+()2,m ()()3y f x a x b =+-+解得,即的取值范围是,故C 正确;由题意知()()150,240,h m h m ⎧=+>⎪⎨=+<⎪⎩54m -<<-m ()5,4--,当在上单调递增,不符合题意;当,()223633(1)f x x x a x a =-+-=--'()0,a f x (),∞∞-+0a >令,解得,令,解得在()0f x '>1x <-1x >+()0f x '<11x -<<+()f x 上单调递增,在上单调递堿,在上单调递增,因为,1∞⎛- ⎝1⎛+ ⎝1∞⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭存在极值点,所以.由,得,令,所以,()f x 0x 0a >()00f x '=()2031x a-=102x x t+=102x t x =-又,所以,又,()()01f x f x =()()002f x f t x =-()()32333(1)1f x x x a x b x ax b =-+--=---+所以,又,所以()()()330000112121x ax b t x a t x b ---+=-----+()2031x a-=,化简得()()()()()()()322320000000013112121312x x x b x x b t x x t x b----=----=------,又,所以,故D 正确.故选BCD.()()20330t x t --=010,30x x x t ≠-≠103,23t x x =+=12. 由题意知10932232862log 184163381255127log 5log 210log 5log 121027---⎛⎫+⋅+=+⋅-+ ⎪⎝⎭62511411410log 5log 2109339339=-⋅+=-+=13.(2分)(3分) 因为,所以,解得,又函数[)1,616[][]06x x <-[][]()60x x -<[]06x <<称为高斯函数,表示不超过的最大整数,所以,即不等式的解集为.当[]y x =x 16x < [][]06x x <-[)1,6时,,此时;当时,,此时01x <<[]0x =[]2[]9x x =+1x []1x ,当且仅当3时等号成立.综上可得,当时,的[][][]2119[]96x x x x ==++[]x =0x >[]2[]9x x +最大值为.1614. 由题意可知:的定义域为,令,解得令,解21e -()f x (),b ∞-+ln 0x a +=ln ;x a =-()ln 0x b +=得.若,当时,可知,此时,不合题1x b =-ln a b -- (),1x b b ∈--()ln 0,ln 0x a x b +>+<()0f x <意;若,当时,可知,此时,不合ln 1b a b -<-<-()ln ,1x a b ∈--()ln 0,ln 0x a x b +>+<()0f x <题意;若,当时,可知,此时;当ln 1a b -=-(),1x b b ∈--()ln 0,ln 0x a x b +<+<()0f x >时,可知,此时,可知若,符合题意;若[)1,x b ∞∈-+()ln 0,ln 0x a x b ++ ()0f x ln 1a b -=-,当时,可知,此时,不合题意.综上所ln 1a b ->-()1,ln x b a ∈--()ln 0,ln 0x a x b +<+>()0f x <述:,即.所以,令,所以ln 1a b -=-ln 1b a =+()ln 1ab a a =+()()ln 1h x x x =+,令,然得,令,解得,所以在()ln 11ln 2h x x x '=++=+()0h x '<210e x <<()0h x '>21e x >()h x 上单调递堿,在上单调递增,所以,所以的最小值为.210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭21,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭min 2211()e e h x h ⎛⎫==- ⎪⎝⎭ab 21e -15.解:(1)由题意知,{}2131030,33A x x x ⎡⎤=-+=⎢⎥⎣⎦∣ 若,则,8a =-{}()22802,2B x x =-<=-∣所以.(]1,2,2,33A B A B ⎡⎫⋂=⋃=-⎪⎢⎣⎭(2)因为,所以,()UA B B ⋂= ()UB A ⊆ 当时,此时,符合题意;B =∅0a 当时,此时,所以,B ≠∅0a <{}220Bx x a ⎛=+<= ⎝∣又,U A ()1,3,3∞∞⎛⎫=-⋃+ ⎪⎝⎭13解得.209a -< 综上,的取值范围是.a 2,9∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭16.解:(1)因为关于的不等式的解集为,x 2280ax x --<{2}xx b -<<∣所以和是关于的方程的两个实数根,且,所以2-b x 2280ax x --=0a >22,82,b a b a⎧=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩解得.1,4a b ==(2)由(1)知,所以1442x y +=+()()()221141422242241844242y xx y x y x y x y y x ⎡⎤+⎛⎫⎡⎤+=++-=+++-=+++-⎢⎥ ⎪⎣⎦++⎝⎭⎣⎦,179444⎡⎢+-=⎢⎣ 当且仅当,即时等号成立,所以.()2242y x y x +=+x y ==2x y +74-17.解:(1)由题意知,()()e e x x f x x ax x a=-=-'若,令.解得,令,解得,所以在上单调递琙,在0a ()0f x '<0x <()0f x '>0x >()f x (),0∞-上单调递增.()0,∞+若,当,即时,,所以在上单调递增;0a >ln 0a =1a =()0f x ' ()f x (),∞∞-+当,即时,令,解得或,令,解得,ln 0a >1a >()0f x '>0x <ln x a >()0f x '<0ln x a <<所以在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增;()f x (),0∞-()0,ln a ()ln ,a ∞+当,即时,令,解得或,令,解得,ln 0a <01a <<()0f x '>ln x a <0x >()0f x '<ln 0a x <<所以在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增.()f x (),ln a ∞-()ln ,0a ()0,∞+综上,当时,在上单调递减,在上单调递增;当时,在0a ()f x (),0∞-()0,∞+01a <<()f x 上单调递增,在上单调递减,在上单调递增当时,在上(,ln )a ∞-()ln ,0a ()0,∞+1a =()f x (),∞∞-+单调递增;当时,在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增.1a >()f x (),0∞-()0,ln a ()ln ,a ∞+(2)若对任意的恒成立,即对任意的恒成立,()e xf x x - [)0,x ∞∈+21e 02xx ax x -- [)0,x ∞∈+即对任意的恒成立.1e 102x ax -- [)0,x ∞∈+令,所以,所以在上单调递增,当()1e 12x g x ax =--()1e 2x g x a=-'()g x '[)0,∞+,即时,,所以在上单调递增,所以()10102g a =-' 2a ()()00g x g '' ()g x [)0,∞+,符合题意;()()00g x g = 当,即时,令,解得,令,解得,所()10102g a =-<'2a >()0g x '>ln 2a x >()0g x '<0ln 2a x < 以在上单调递减,()g x 0,ln 2a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭所以当时,,不符合题意.0,ln 2a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()00g x g <=综上,的取值范围是.a (],2∞-18.(1)证明:因为是定义在上的奇函数,所以,()f x R ()010f a =-=解得,所以,1a =()22x xf x -=-此时,满足题意,所以.()()22x x f x f x --=-=-1a =任取,所以12x x <,()()()()211122121211122222122222222122x x x x x x x x x x x x f x f x x x --⎛⎫--=---=--=-+ ⎪++⎝⎭又,所以,即,又,12x x <1222x x <12220x x -<121102x x ++>所以,即,所以在上单调递增.()()120f x f x -<()()12f x f x <()f x R (2)解:因为,所以,()()23540f x x f x -+->()()2354f x x f x ->--又是定义在上的奇函数,所以,()f x R ()()2354f x x f x ->-+又在上单调递增,所以,()f x R 2354x x x ->-+解得或,即不等式的解集为.2x >23x <-()()23540f x x f x -+->()2,2,3∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭(3)解:由题意知,令,()()()44244222xxxxxxg x mf x m ---=+-=+--322,,2x x t t ∞-⎡⎫=-∈-+⎪⎢⎣⎭所以,所以.()2222442x xxxt --=-=+-()2322,,2y g x t mt t ∞⎡⎫==-+∈-+⎪⎢⎣⎭当时,在上单调递增,所以32m -222y t mt =-+3,2∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭,解得,符合题意;2min317()323224g x m m ⎛⎫=-++=+=- ⎪⎝⎭2512m =-当时,在上单调递减,在上单调递增,32m >-222y t mt =-+3,2m ⎛⎫- ⎪⎝⎭(),m ∞+所以,解得或(舍).222min ()2222g x m m m =-+=-=-2m =2m =-综上,的值为或2.m 2512-19.(1)解:若,则,所以,1a =()214ln 32f x x x x =---()14f x x x =--'所以,又,()14112f =--='()1114322f =--=所以的图象在处的切线方程为,即.()f x 1x =()1212y x -=-4230x y --=(2)(i )解:由题意知,()22444a x a x x x af x x x x x '---+=--==-又函数恰有两个极值点,所以在上有两个不等实根,()f x ()1212,x x x x <240x x a -+=()0,∞+令,所以()24h x x x a =-+()()00,240,h a h a ⎧=>⎪⎨=-<⎪⎩解得,即的取值范围是.04a <<a ()0,4(ii )证明:由(i )知,,且,12124,x x x x a +==04a <<所以()()2212111222114ln 34ln 322f x f x x a x x x a x x ⎛⎫⎛⎫+=---+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()2212121214ln ln 62x x a x x x x =+-+-+-,()()()21212121214ln 262x x a x x x x x x ⎡⎤=+--+--⎣⎦()116ln 1626ln 22a a a a a a =----=-+要证,即证,只需证.()()124ln f x f x a+<-ln 24ln a a a a -+<-()1ln 20a a a -+-<令,所以,()()()1ln 2,0,4m a a a a a =-+-∈()11ln 1ln a m a a a a a -=-++=-'令,所以,所以即在上单调递减,()()h a m a ='()2110h a a a =--<'()h a ()m a '()0,4又,所以,使得,即,()()1110,2ln202m m '-'=>=<()01,2a ∃∈()00m a '=001ln a a =所以当时,,当时,,所以在上单调递增,在()00,a a ∈()0m a '>()0,4a a ∈()0m a '<()m a ()00,a 上单调递减,所以.()0,4a ()()()max 00000000011()1ln 2123m a m a a a a a a a a a ==-+-=-+-=+-令,所以,所以在上单调递增,所以()()13,1,2u x x x x =+-∈()2110u x x =->'()u x ()1,2,所以,即,得证.()000111323022u a a a =+-<+-=-<()0m a <()()124ln f x f x a +<-。
高三数学上学期第一次月考试题 文扫描 试题

HY中学2021届高三数学上学期第一次月考试题文〔扫描版〕创作人:历恰面日期:2020年1月1日一中第一期联考文科数学答案命题、审题组老师 杨昆华 彭力 杨仕华 王佳文 张波 毛孝宗 丁茵 易孝荣 江明 李春宣一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案BCBCDADDCAAB1. 解析:由题意,因为集合{}1>=x x A ,所以=B A {}31<<x x ,选B . 2. 解析:因为2i 12i i i)i)(1(1i)i(1i 1i 2+=-=-+-=+,选C . 3. 解析:18=0.4540,选B . 4. 解析:由得54)cos(-=--αβα,即54cos )cos(-==-ββ,又πβ(∈,)23π,所以0sin <β,且53cos 1sin 2-=--=ββ,选C .5. 解析:在长、宽、高分别为2,1,1的长方体中截得该三棱锥A DBC -,那么最长棱为2222116AB =++=,选D .6. 解析:对于B ,函数的周期是π,不是π4;对于C ,函数在3π=x 时不取最值;对于D ,当∈x 65(π-,)6π时,34(32ππ-∈+x ,)32π,函数不是单调递增,选A . 7. 解析:因为()()11f x f x -=+,所以()f x 的图象关于直线1x =对称,选D .8. 解析:由垂径定理可知直线CM 的斜率为2-,所以直线CM 的方程是)2(21--=+x y ,即032=-+y x ,选D .9. 解析:设外接球的半径为R ,因为PA ⊥平面ABC ,所以BC PA ⊥,又BC AB ⊥,所以BC PB ⊥,设PC 的中点为O ,易知:OA OB OC OP ===,故O 为四面体P ABC -的外接球的球心,又2PA AB BC ===,所以22AC =,23PC =,半径3R =,四面体P ABC -的外接球的外表积为()24312ππ=,选C .10. 解析:由()y f x =,()01f =-排除B ,()f x 是偶函数排除C,()20f =和()40f =排除D ,选A .11. 解析:由题设得3=ab,2)(12=+=a b e ,所以b e a +2362322323322=≥+=+=aa a a ,选A . 12. 解析:由余弦定理及22b ac a -=得,22222cos b a c ac B a ac =+-=+,所以有2cos c a B a =+,因此sin 2sin cos sin C A B A =+,故有()sin 2sin cos sin A B A B A +=+,即()sin sin A B A =-,因为三角形ABC 为锐角三角形,所以A B A =-,即2B A =,所以022A π<<,所以04A π<<,又3B A A +=,所以32A ππ<<,所以63A ππ<<,综上,64A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭, 所以()sin sin 22cos 2,3sin sin B At A A A===∈,选B .二、填空题13. 解析:由22a b a b -=+解得0a b ⋅=,所以向量a 与b 夹角为90︒. 14. 解析:N=126+146+96+136=288⨯⨯⨯⨯.15. 解析:由图知,直线4z y x =-过()1,0时,4y x -有最小值1-. 16. 解析:由得()()22log 1933f x x x -=+++,所以()()6f x f x +-=,因为2lg 3⎛⎫ ⎪⎝⎭与3lg 2⎛⎫⎪⎝⎭互为相反数,所以23lg lg 632f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以3lg 22f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 三、解答题〔一〕必考题17. 解:〔1〕证明:设1122n n nn a a d ---=那么122n n n a a d --= 所以1122n n n a a d ++-=,11122222n n n n n n a a da a d++--==-所以}{12n na a +-是首项为4,公比为2的等比数列. ………6分〔2〕因为{}2n n a 是等差数列,所以1221122=-=a a d ,所以11(1)22n n a a n d =+-⨯ , 所以1()22nn a n =-所以123113531222...()2()222222n n n S n n -=⨯+⨯+⨯++-+-① 2311333222...()2()22222n n n S n n +=⨯+⨯++-+-②由①-②得23111=2+2+2...2()222n n n S n +-⨯++-- 13=(n-)232n n S ++. ………12分18. 解:〔1〕 选派B 同学参加比拟适宜.理由如下:1(7580808385909295)858A x =+++++++=,1(7879818284889395)858B x =+++++++=,22222221[(7885)(7985)(8185)(8285)(8485)(8885)8B S =-+-+-+-+-+-+22(9385)(9585)]35.5-+-=,22222221[(7585)(8085)(8085)(8385)(8585)(9085)8A S =-+-+-+-+-+-+22(9285)(9585)]41-+-=,从A B x x =,22B A S S <可以看出:A ,B 两位同学的平均程度一样而B 的成绩较稳定,所以选派B 参加比拟适宜. ………7分〔2〕任选派两人有(,)A B ,(,)A C ,(,)A D ,(,)A E ,(,)B C ,(,)B D ,(,)B E ,(,)C D ,(,)C E ,(,)D E 一共10种情况;所以A ,B ,C 三人中至多有一人参加英语口语竞赛有7种情况; 所以710P =. ………12分19. 解:〔1〕在直角梯形ABCD 中,2BC AD AB ⋅=,即AB ADBC AB=, 因为90DAB PBC ∠=∠=, 所以tan AB ACB BC ∠=,tan ADABD AB∠=, 所以ABD ACB ∠=∠,又因为90ACB BAC ∠+∠=, 所以90ABD BAC ∠+∠=,即AC BD ⊥图2的四棱锥1P ABCD -中,1P A AB ⊥,由题知1P A AD ⊥,那么1P A ⊥平面ABCD , 所以1BD P A ⊥,又1P AAC A =所以BD ⊥平面1P AC . ………6分(2)在图1中,因为AB =,1AD =,2BC AD AB ⋅=,所以3BC =因为PAD ∆∽PBC ∆,所以13PA AD PA PB BC ==⇒=,即1P A = 由〔1〕知1P A ⊥平面ABCD ,那么1C P BD V -1P CBD V -=1P CBD V -=111111133332324CBD S P A BC AB P A ∆⋅⋅=⨯⋅⋅=⨯⨯=. ………12分20. 解:〔1〕由椭圆定义知,224AF BF AB a ,又222AF BF AB ,得43ABa ,l 的方程为y x c ,其中22c a b .设11(,)A x y ,22(,)B x y ,将y x c 代入22221x y a b 得,2222222()2()0a b x a cx a c b . 那么212222-a c x x a b ,2221222)a cb x x a b (.因为直线AB 的倾斜角为4π,所以212122()4ABx x x x ,由43AB a 得,222443a ab a b ,即222a b .所以C的离心率2222c a b e a a. ………6分 (2) 设AB 的中点为0,0()N x y ,由〔1〕知,2120222--23x x a c c x a b ,003cy x c .由PA PB 得,PN 的斜率为-1,即001-1y x ,解得,3c ,32a ,3b .所以椭圆C 的方程为221189x y . ………12分21. 解:〔1〕()f x 的定义域为(,)-∞+∞,因为()e x f x a '=+,由(0)0f '=,得1a =-, 所以()e 2x f x x =--,由()e 10x f x '=->得0x >,由()e 10x f x '=-<得0x <,所以()f x 的单调递增区间为(0,)+∞,单调递减区间为(,0)-∞. ………6分 (2) 因为0x >,所以()e 1e 1xxm x -<+可化为e 1e 1x x x m +<-,令e 1()e 1x x x F x +=-,那么()2e (e 2)()e 1x x x x F x --'=-, 由〔1〕得()e 2x f x x =--在(0,)+∞上单调递增,而(1)e 30f =-<,2(2)e 40f =->,所以()f x 在(1,2)上存在唯一的0x , 使0()0f x =,所以()F x 在0(0,)x 上单调递减,在0(,)x +∞上单调递增, 所以0()F x 是()F x 00e 20x x --=得00e 2x x =+, 所以00000000e 1(2)1()11e 1x x x x x F x x x +++===++-, 又因为012x <<,所以02()3F x <<,所以[]max 2m =. ………12分 〔二〕选考题:第22、23题中任选一题做答。
湖南省2025届高三上学期第一次月考数学试题含答案

2025届高三月考试卷(一)数学(答案在最后)命题人:高三数学备课组审题人:高三数学备课组时量:120分钟满分:150分一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,1.已知{}()260,{lg 10}A x x xB x x =+-≤=-<∣∣,则A B = ()A.{}32xx -≤≤∣ B.{32}xx -≤<∣C.{12}xx <≤∣ D.{12}xx <<∣【答案】D 【解析】【分析】通过解一元二次不等式和对数函数的定义域,求出集合,A B ,再求交集.【详解】集合{}()32,{lg 10}{12}A x x B x x x x =-≤≤=-<=<<∣∣∣,则{12}A B xx ⋂=<<∣,故选:D .2.若复数z 满足()1i 3i z +=-+(i 是虚数单位),则z 等于()A.2B.54C.D.2【答案】C 【解析】【分析】由复数的除法运算计算可得12i z =-+,再由模长公式即可得出结果.【详解】依题意()1i 3i z +=-+可得()()()()3i 1i 3i 24i12i 1i 1i 1i 2z -+--+-+====-+++-,所以z ==.故选:C3.已知平面向量()()5,0,2,1a b ==- ,则向量a b + 在向量b 上的投影向量为()A.()6,3- B.()4,2- C.()2,1- D.()5,0【答案】A 【解析】【分析】根据投影向量的计算公式即可求解.【详解】()()7,1,15,a b a b b b +=-+⋅=== 所以向量a b +在向量b 上的投影向量为()()236,3||a b b b b b +⋅==- .故选:A4.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,若396714,63a a a a +==,则7S =()A.21 B.19C.12D.42【答案】A 【解析】【分析】根据等差数列的性质,即可求解公差和首项,进而由求和公式求解.【详解】{}n a 是等差数列,396214a a a ∴+==,即67a =,所以67769,a a a a ==故公差76162,53d a a a a d =-=∴=-=-,()767732212S ⨯∴=⨯-+⨯=,故选:A5.某校高二年级下学期期末考试数学试卷满分为150分,90分以上(含90分)为及格.阅卷结果显示,全年级1200名学生的数学成绩近似服从正态分布,试卷的难度系数(难度系数=平均分/满分)为0.49,标准差为22,则该次数学考试及格的人数约为()附:若()2,X N μσ~,记()()p k P k X k μσμσ=-≤≤+,则()()0.750.547,10.683p p ≈≈.A.136人B.272人C.328人D.820人【答案】B 【解析】【分析】首先求出平均数,即可得到学生的数学成绩2~(73.5,22)X N ,再根据所给条件求出(5790)P X ≤≤,即可求出(90)P X ≥,即可估计人数.【详解】由题得0.4915073.5,22μσ=⨯==,()()(),0.750.547p k P k X k p μσμσ=-≤≤+≈ ,()5790P X ∴≤≤()0.750.547p =≈,()()900.510.5470.2265P X ≥=⨯-=,∴该校及格人数为0.22651200272⨯≈(人),故选:B .6.已知()π5,0,,cos ,tan tan 426αβαβαβ⎛⎫∈-=⋅= ⎪⎝⎭,则αβ+=()A.π6 B.π4C.π3D.2π3【答案】D 【解析】【分析】利用两角差的余弦定理和同角三角函数的基本关系建立等式求解,再由两角和的余弦公式求解即可.【详解】由已知可得5cos cos sin sin 6sin sin 4cos cos αβαβαβαβ⎧⋅+⋅=⎪⎪⎨⋅⎪=⋅⎪⎩,解得1cos cos 62sin sin 3αβαβ⎧⋅=⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩,,()1cos cos cos sin sin 2αβαβαβ∴+=⋅-⋅=-,π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,()0,παβ∴+∈,2π,3αβ∴+=,故选:D .7.已知12,F F 是双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的左、右焦点,以2F 为圆心,a 为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于,A B 两点,若123AB F F >,则双曲线的离心率的取值范围是()A.1,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B.1,5⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C.(D.(【答案】B 【解析】【分析】根据双曲线以及圆的方程可求得弦长AB =,再根据不等式123AB F F >整理可得2259c a <,即可求得双曲线的离心率的取值范围.【详解】设以()2,0F c 为圆心,a 为半径的圆与双曲线的一条渐近线0bx ay -=交于,A B 两点,则2F 到渐近线0bx ay -=的距离d b ==,所以AB =,因为123AB F F >,所以32c ⨯>,可得2222299a b c a b ->=+,即22224555a b c a >=-,可得2259c a <,所以2295c a <,所以5e <,又1e >,所以双曲线的离心率的取值范围是1,5⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.故选:B8.已知函数()220log 0x a x f x x x ⎧⋅≤=⎨>⎩,,,,若关于x 的方程()()0f f x =有且仅有两个实数根,则实数a 的取值范围是()A.()0,1 B.()(),00,1-∞⋃ C.[)1,+∞ D.()()0,11,+∞ 【答案】C 【解析】【分析】利用换元法设()u f x =,则方程等价为()0f u =,根据指数函数和对数函数图象和性质求出1u =,利用数形结合进行求解即可.【详解】令()u f x =,则()0f u =.①当0a =时,若()0,0u f u ≤=;若0u >,由()2log 0f u u ==,得1u =.所以由()()0ff x =可得()0f x ≤或()1f x =.如图所示,满足()0f x ≤的x 有无数个,方程()1f x =只有一个解,不满足题意;②当0a ≠时,若0≤u ,则()20uf u a =⋅≠;若0u >,由()2log 0f u u ==,得1u =.所以由()()0ff x =可得()1f x =,当0x >时,由()2log 1f x x ==,可得2x =,因为关于x 的方程()()0ff x =有且仅有两个实数根,则方程()1f x =在(,0∞-]上有且仅有一个实数根,若0a >且()(]0,20,xx f x a a ≤=⋅∈,故1a ≥;若0a <且()0,20xx f x a ≤=⋅<,不满足题意.综上所述,实数a 的取值范围是[)1,+∞,故选:C .二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分9.如图,在正方体111ABCD A B C D -中,E F M N ,,,分别为棱111AA A D AB DC ,,,的中点,点P 是面1B C 的中心,则下列结论正确的是()A.E F M P ,,,四点共面B.平面PEF 被正方体截得的截面是等腰梯形C.//EF 平面PMND.平面MEF⊥平面PMN【答案】BD 【解析】【分析】可得过,,E F M 三点的平面为一个正六边形,判断A ;分别连接,E F 和1,B C ,截面1C BEF 是等腰梯形,判断B ;分别取11,BB CC 的中点,G Q ,易证EF 显然不平行平面QGMN ,可判断C ;EM ⊥平面PMN ,可判断D.【详解】对于A :如图经过,,E F M 三点的平面为一个正六边形EFMHQK ,点P 在平面外,,,,E F M P ∴四点不共面,∴选项A 错误;对于B :分别连接,E F 和1,B C ,则平面PEF 即平面1C BEF ,截面1C BEF 是等腰梯形,∴选项B 正确;对于C :分别取11,BB CC 的中点,G Q ,则平面PMN 即为平面QGMN ,由正六边形EFMHQK ,可知HQ EF ,所以MQ 不平行于EF ,又,EF MQ ⊂平面EFMHQK ,所以EF MQ W = ,所以EF I 平面QGMN W =,所以EF 不平行于平面PMN ,故选项C 错误;对于D :因为,AEM BMG 是等腰三角形,45AME BMG ∴∠=∠=︒,90EMG ∴∠=︒,EMMG ∴⊥,,M N 是,AB CD 的中点,易证MN AD ∥,由正方体可得AD ⊥平面11ABB A ,MN ∴⊥平面11ABB A ,又ME ⊂平面11ABB A ,EM MN ∴⊥,,MG MN ⊂ 平面PMN ,EM ∴⊥平面GMN ,EM ⊂ 平面MEF ,∴平面MEF ⊥平面,PMN 故选项D 正确.故选:BD .10.已知函数()5π24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,则()A.()f x 的一个对称中心为3π,08⎛⎫ ⎪⎝⎭B.()f x 的图象向右平移3π8个单位长度后得到的是奇函数的图象C.()f x 在区间5π7π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D.若()y f x =在区间()0,m 上与1y =有且只有6个交点,则5π13π,24m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦【答案】BD 【解析】【分析】代入即可验证A ,根据平移可得函数图象,即可由正弦型函数的奇偶性求解B ,利用整体法即可判断C ,由5πcos 242x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭求解所以根,即可求解D.【详解】对于A ,由35π3π2π0848f ⎛⎫⎛⎫=+⨯=≠⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故A 错误;对于B ,()f x 的图象向右平移3π8个单位长度后得:3π3π5ππ228842y f x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦,为奇函数,故B 正确;对于C ,当5π7π,88x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,则5π5π2,3π42x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦,由余弦函数单调性知,()f x 在区间5π7π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,故C 错误;对于D ,由()1f x =,得5πcos 242x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,解得ππ4x k =+或ππ,2k k +∈Z ,()y f x =在区间()0,m 上与1y =有且只有6个交点,其横坐标从小到大依次为:ππ5π3π9π5π,,,,,424242,而第7个交点的横坐标为13π4,5π13π24m ∴<≤,故D 正确.故选:BD11.已知定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()21f x g x ++-=,则()A.()f x 的图象关于点()2,1对称B.()f x 是以8为周期的周期函数C.()20240g =D.20241(42)2025k f k =-=∑【答案】ABC 【解析】【分析】根据函数奇偶性以及所满足的表达式构造方程组可得()()222f x f x ++-=,即可判断A 正确;利用对称中心表达式进行化简计算可得B 正确,可判断()g x 也是以8为周期的周期函数,即C 正确;根据周期性以及()()42f x f x ++=计算可得20241(42)2024k f k =-=∑,可得D 错误.【详解】由题意()()()(),f x f x g x g x -=-=-,且()()()00,21g f x g x =++-=,即()()21f x g x +-=①,用x -替换()()21f x g x ++-=中的x ,得()()21f x g x -+=②,由①+②得()()222f x f x ++-=,所以()f x 的图象关于点2,1对称,且()21f =,故A 正确;由()()222f x f x ++-=,可得()()()()()42,422f x f x f x f x f x ++-=+=--=-,所以()()()()82422f x f x f x f x ⎡⎤+=-+=--=⎣⎦,所以()f x 是以8为周期的周期函数,故B 正确;由①知()()21g x f x =+-,则()()()()882121g x f x f x g x +=++-=+-=,故()()8g x g x +=,因此()g x 也是以8为周期的周期函数,所以()()202400g g ==,C 正确;又因为()()42f x f x ++-=,所以()()42f x f x ++=,令2x =,则有()()262f f +=,令10x =,则有()()10142,f f +=…,令8090x =,则有()()809080942f f +=,所以1012(2)(6)(10)(14)(8090)(8094)2222024f f f f f f ++++++=+++=个所以20241(42)(2)(6)(10)(14)(8090)(8094)2024k f k f f f f f f =-=++++++=∑ ,故D 错误.故选:ABC【点睛】方法点睛:求解函数奇偶性、对称性、周期性等函数性质综合问题时,经常利用其中两个性质推得第三个性质特征,再进行相关计算.三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.6(31)x y +-的展开式中2x y 的系数为______.【答案】180-【解析】【分析】根据题意,由条件可得展开式中2x y 的系数为213643C C (1)⋅-,化简即可得到结果.【详解】在6(31)x y +-的展开式中,由()2213264C C 3(1)180x y x y ⋅⋅-=-,得2x y 的系数为180-.故答案为:180-.13.已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数,当0x >时,()()2f x f x '->,且()10f =,则不等式()0f x >的解集为__________.【答案】()()1,01,-⋃+∞【解析】【分析】根据函数奇偶性并求导可得()()f x f x ''-=,因此可得()()2f x f x '>,可构造函数()()2xf x h x =e并求得其单调性即可得()f x 在()1,+∞上大于零,在()0,1上小于零,即可得出结论.【详解】因为()f x 为奇函数,定义域为R ,所以()()f x f x -=-,两边同时求导可得()()f x f x ''--=-,即()()f x f x ''-=且()00f =,又因为当0x >时,()()2f x f x '->,所以()()2f x f x '>.构造函数()()2xf x h x =e,则()()()22xf x f x h x '-'=e,所以当0x >时,()()0,h x h x '>在()0,∞+上单调递增,又因为()10f =,所以()()10,h h x =在()1,+∞上大于零,在()0,1上小于零,又因为2e 0x >,所以()f x 在()1,+∞上大于零,在()0,1上小于零,因为()f x 为奇函数,所以()f x 在(),1∞--上小于零,在()1,0-上大于零,综上所述,()0f x >的解集为()()1,01,-⋃+∞.故答案为:()()1,01,-⋃+∞14.已知点C 为扇形AOB 的弧AB 上任意一点,且60AOB ∠=,若(),R OC OA OB λμλμ=+∈,则λμ+的取值范围是__________.【答案】231,3⎡⎢⎣⎦【解析】【分析】建系设点的坐标,再结合向量关系表示λμ+,最后应用三角恒等变换及三角函数值域求范围即可.【详解】方法一:设圆O 的半径为1,由已知可设OB 为x 轴的正半轴,O 为坐标原点,过O 点作x 轴垂线为y 轴建立直角坐标系,其中()()13,,1,0,cos ,sin 22A B C θθ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,其中π,0,3BOC θθ⎡⎤∠=∈⎢⎥⎣⎦,由(),R OC OA OB λμλμ=+∈,即()()13cos ,sin ,1,022θθλμ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭,整理得1cos ,sin 22λμθλθ+==,解得cosλμθ==-,则323ππcos cos sin ,0,3333λμθθθθθ⎛⎫⎡⎤+=-=+=+∈ ⎪⎢⎝⎭⎣⎦,ππ2ππ,,sin 33332θθ⎤⎡⎤⎛⎫+∈+∈⎥⎪⎢⎣⎦⎝⎭⎣⎦所以231,3λμ⎡+∈⎢⎣⎦.方法二:设k λμ+=,如图,当C 位于点A 或点B 时,,,A B C 三点共线,所以1k λμ=+=;当点C 运动到AB 的中点时,123332k λμ=+==,所以231,3λμ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦故答案为:231,3⎡⎢⎣⎦四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知22cos a b c B +=.(1)求角C ;(2)若角C 的平分线CD 交AB 于点,313,13D AD DB ==CD 的长.【答案】(1)2π3C =(2)3CD =【解析】【分析】(1)利用正弦定理及两角和的正弦定理整理得到()2cos 1sin 0C B +=,再利用三角形的内角及正弦函数的性质即可求解;(2)利用正弦定理得出3b a =,再由余弦定理求出4a =,12b =,再根据三角形的面积建立等式求解.【小问1详解】由22cos a b c B +=,根据正弦定理可得2sin sin 2sin cos A B C B +=,则()2sin sin 2sin cos B C B C B ++=,所以2sin cos 2cos sin sin 2sin cos B C B C B C B ++=,整理得()2cos 1sin 0C B +=,因为,B C 均为三角形内角,所以(),0,π,sin 0B C B ∈≠,因此1cos 2C =-,所以2π3C =.因为CD 是角C的平分线,AD DB ==所以在ACD 和BCD △中,由正弦定理可得,,ππsin sin sin sin 33AD CD BD CDA B ==,因此sin 3sin B ADA BD==,即sin 3sin B A =,所以3b a =,又由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+-,即222293a a a =++,解得4a =,所以12b =.又ABC ACD BCD S S S =+△△△,即111sin sin sin 222ab ACB b CD ACD a CD BCD ∠∠∠=⋅⋅+⋅⋅,即4816CD =,所以3CD =.16.已知1ex =为函数()ln af x x x =的极值点.(1)求a 的值;(2)设函数()ex kxg x =,若对()120,,x x ∀∈+∞∃∈R ,使得()()120f x g x -≥,求k 的取值范围.【答案】(1)1a =(2)(]()10,-∞-+∞ ,【解析】【分析】(1)直接根据极值点求出a 的值;(2)先由(1)求出()f x 的最小值,由题意可得是求()g x 的最小值,小于等于()f x 的最小值,对()g x 求导,判断由最小值时的k 的范围,再求出最小值与()f x 最小值的关系式,进而求出k 的范围.【小问1详解】()()111ln ln 1a a f x ax x x x a x xα--=='+⋅+,由1111ln 10e e e a f a -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭'⎭⎝,得1a =,当1a =时,()ln 1f x x ='+,函数()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,在1,e∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增,所以1ex =为函数()ln af x x x =的极小值点,所以1a =.由(1)知min 11()e e f x f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭.函数()g x 的导函数()()1exg x k x -=-'①若0k >,对()1210,,x x k ∞∀∈+∃=-,使得()()12111e 1e k g x g f x k ⎛⎫=-=-<-<-≤ ⎪⎝⎭,即()()120f x g x -≥,符合题意.②若()0,0k g x ==,取11ex =,对2x ∀∈R ,有()()120f x g x -<,不符合题意.③若0k <,当1x <时,()()0,g x g x '<在(),1∞-上单调递减;当1x >时,()()0,g x g x '>在1,+∞上单调递增,所以()min ()1ek g x g ==,若对()120,,x x ∞∀∈+∃∈R ,使得()()120f x g x -≥,只需min min ()()g x f x ≤,即1e ek ≤-,解得1k ≤-.综上所述,k 的取值范围为(](),10,∞∞--⋃+.17.已知四棱锥P ABCD -中,平面PAB ⊥底面,ABCD AD ∥,,,2,2BC AB BC PA PB AB BC AD E ⊥====为AB 的中点,F 为棱PC 上异于,P C 的点.(1)证明:BD EF ⊥;(2)试确定点F 的位置,使EF 与平面PCD 所成角的余弦值为14.【答案】(1)证明见解析(2)F 位于棱PC 靠近P 的三等分点【解析】【分析】(1)连接,,PE EC EC 交BD 于点G ,利用面面垂直的性质定理和三角形全等,即可得证;(2)取DC 的中点H ,以E 为坐标原点,分别以,,EB EH EP 所在直线为,,x y z 轴建立,利用线面角公式代入即可求解.【小问1详解】如图,连接,,PE EC EC 交BD 于点G .因为E 为AB 的中点,PA PB =,所以PE AB ⊥.因为平面PAB ⊥平面ABCD ,平面PAB ⋂平面,ABCD AB PE =⊂平面PAB ,所以PE ⊥平面ABCD ,因为BD ⊂平面ABCD ,所以PE BD ⊥.因为ABD BCE ≅ ,所以CEB BDA ∠∠=,所以90CEB ABD ∠∠+= ,所以BD EC ⊥,因为,,PE EC E PE EC ⋂=⊂平面PEC ,所以BD ⊥平面PEC .因为EF ⊂平面PEC ,所以BD EF ⊥.【小问2详解】如图,取DC 的中点H ,以E 为坐标原点,分别以,,EB EH EP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系,设2AB =,则2,1,BC AD PA PB ====则()()()()0,0,1,1,2,0,1,1,0,0,0,0P C D E -,设(),,,(01)F x y z PF PC λλ=<<,所以()(),,11,2,1x y z λ-=-,所以,2,1x y z λλλ===-,即(),2,1F λλλ-.则()()()2,1,0,1,2,1,,2,1DC PC EF λλλ==-=-,设平面PCD 的法向量为(),,m a b c =,则00DC m PC m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,,即2020a b a b c +=⎧⎨+-=⎩,,取()1,2,3m =--,设EF 与平面PCD 所成的角为θ,由cos 14θ=,得sin 14θ=.所以314sin cos ,14m EF m EF m EF θ⋅====,整理得2620λλ-=,因为01λ<<,所以13λ=,即13PF PC = ,故当F 位于棱PC 靠近P 的三等分点时,EF 与平面PCD 所成角的余弦值为7014.18.在平面直角坐标系xOy 中,抛物线21:2(0)C y px p =>的焦点到准线的距离等于椭圆222:161C x y +=的短轴长,点P 在抛物线1C 上,圆222:(2)E x y r -+=(其中01r <<).(1)若1,2r Q =为圆E 上的动点,求线段PQ 长度的最小值;(2)设()1,D t 是抛物线1C 上位于第一象限的一点,过D 作圆E 的两条切线,分别交抛物线1C 于点,M N .证明:直线MN 经过定点.【答案】(1(2)证明见解析【解析】【分析】(1)根据椭圆的短轴可得抛物线方程2y x =,进而根据两点斜率公式,结合三角形的三边关系,即可由二次函数的性质求解,(2)根据两点坐标可得直线,MN DM 的直线方程,由直线与圆相切可得,a b 是方程()()()2222124240rx r x r -+-+-=的两个解,即可利用韦达定理代入化简求解定点.【小问1详解】由题意得椭圆的方程:221116y x +=,所以短半轴14b =所以112242p b ==⨯=,所以抛物线1C 的方程是2y x =.设点()2,P t t ,则111712222PQ PE -≥-=-=≥,所以当232ι=时,线段PQ 长度取最小值12-.【小问2详解】()1,D t 是抛物线1C 上位于第一象限的点,21t ∴=,且()0,1,1t D >∴.设()()22,,,M a a N b b ,则:直线()222:b a MN y a x a b a --=--,即()21y a x a a b -=-+,即()0x a b y ab -++=.直线()21:111a DM y x a --=--,即()10x a y a -++=.由直线DMr =,即()()()2222124240r a r a r -+-+-=.同理,由直线DN 与圆相切得()()()2222124240r b r b r -+-+-=.所以,a b 是方程()()()2222124240r x r x r -+-+-=的两个解,22224224,11r r a b ab r r --∴+==--.代入方程()0x a b y ab -++=得()()222440x y r x y +++---=,220,440,x y x y ++=⎧∴⎨++=⎩解得0,1.x y =⎧⎨=-⎩∴直线MN 恒过定点()0,1-.【点睛】圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法:先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量,再研究变化的量与参数何时没有关系,找到定点.(2)特殊到一般法:先根据动点或动线的特殊情况探索出定点,再证明该定点与变量无关.技巧:若直线方程为()00y y k x x -=-,则直线过定点()00,x y ;若直线方程为y kx b =+(b 为定值),则直线过定点()0,.b 19.龙泉游泳馆为给顾客更好的体验,推出了A 和B 两个套餐服务,顾客可选择A 和B 两个套餐之一,并在App 平台上推出了优惠券活动,下表是该游泳馆在App 平台10天销售优惠券情况.日期t 12345678910销售量千张1.91.982.22.362.432.592.682.762.70.4经计算可得:10101021111 2.2,118.73,38510i i i i i i i y y t y t =======∑∑∑.(1)因为优惠券购买火爆,App 平台在第10天时系统出现异常,导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少,已知销售量y 和日期t 呈线性关系,现剔除第10天数据,求y 关于t 的经验回归方程结果中的数值用分数表示;(2)若购买优惠券的顾客选择A 套餐的概率为14,选择B 套餐的概率为34,并且A 套餐可以用一张优惠券,B 套餐可以用两张优惠券,记App 平台累计销售优惠券为n 张的概率为n P ,求n P ;(3)记(2)中所得概率n P 的值构成数列{}()N n P n *∈.①求n P 的最值;②数列收敛的定义:已知数列{}n a ,若对于任意给定的正数ε,总存在正整数0N ,使得当0n N >时,n a a ε-<,(a 是一个确定的实数),则称数列{}n a 收敛于a .根据数列收敛的定义证明数列{}n P 收敛.参考公式:()()()1122211ˆˆ,n niii ii i nni i i i x x y y x y nx yay bx x xx nx====---==---∑∑∑∑.【答案】(1)673220710001200y t =+(2)433774nn P ⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭(3)①最大值为1316,最小值为14;②证明见解析【解析】【分析】(1)计算出新数据的相关数值,代入公式求出 ,ab 的值,进而得到y 关于t 的回归方程;(2)由题意可知1213,(3)44n n n P P P n --=+≥,其中12113,416P P ==,构造等比数列,再利用等比数列的通项公式求解;(3)①分n 为偶数和n 为奇数两种情况讨论,结合指数函数的单调性求解;②利用数列收敛的定义,准确推理、运算,即可得证.【小问1详解】解:剔除第10天的数据,可得 2.2100.42.49y ⨯-==新,12345678959t ++++++++==新,则9922111119.73100.4114,73,38510285i i i i t y t ==⎛⎫⎛⎫=-⨯==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑新新,所以912922119114,7395 2.4673ˆ2859560009i i i i t y t y b t t ==⎛⎫- ⎪-⨯⨯⎝⎭===-⨯⎛⎫- ⎪⎝⎭∑∑新新新新新,可得6732207ˆ 2.4560001200a=-⨯=,所以6732207ˆ60001200y t =+.【小问2详解】解:由题意知1213,(3)44n n n P P P n --=+≥,其中12111313,444416P P ==⨯+=,所以11233,(3)44n n n n P P P P n ---+=+≥,又由2131331141644P P +=+⨯=,所以134n n P P -⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项为1的常数列,所以131,(2)4n n P P n -+=≥所以1434(2)747n n P P n --=--≥,又因为1414974728P -=-=-,所以数列47n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为928-,公比为34-的等比数列,故1493(7284n n P --=--,所以1934433(()2847774n n n P -=--+=+-.【小问3详解】解:①当n 为偶数时,19344334()(28477747n n n P -=--+=+⋅>单调递减,最大值为21316P =;当n 为奇数时,19344334()(28477747n n n P -=--+=-⋅<单调递增,最小值为114P =,综上可得,数列{}n P 的最大值为1316,最小值为14.②证明:对任意0ε>总存在正整数0347[log ()]13N ε=+,其中[]x 表示取整函数,当347[log ()]13n ε>+时,347log ()34333333()()()7747474n n n P εε-=⋅-=⋅<⋅=,所以数列{}n P 收敛.【点睛】知识方法点拨:与新定义有关的问题的求解策略:1、通过给出一个新的定义,或约定一种新的运算,或给出几个新模型来创设新问题的情景,要求在阅读理解的基础上,依据题目提供的信息,联系所学的知识和方法,实心信息的迁移,达到灵活解题的目的;2、遇到新定义问题,应耐心读题,分析新定义的特点,弄清新定义的性质,按新定义的要求,“照章办事”,逐条分析、运算、验证,使得问题得以解决.方法点拨:与数列有关的问题的求解策略:3、若新定义与数列有关,可得利用数列的递推关系式,结合数列的相关知识进行求解,多通过构造的分法转化为等差、等比数列问题求解,求解过程灵活运用数列的性质,准确应用相关的数列知识.。
高一上学期第一次月考数学试卷(新题型:19题)(基础篇)(解析版)

2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试卷(基础篇)参考答案与试题解析第I卷(选择题)一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的。
1.(5分)(24-25高一上·河北廊坊·开学考试)下列各组对象能构成集合的是()A.2023年参加“两会”的代表B.北京冬奥会上受欢迎的运动项目C.π的近似值D.我校跑步速度快的学生【解题思路】根据集合的定义依次判断各个选项即可.【解答过程】对于A:2023年参加“两会”的代表具有确定性,能构成集合,故A正确;对于B:北京冬奥会上受欢迎的运动项目,没有明确的标准,即对象不具有确定性,不能构成集合,故B 错误;对于C:π的近似值,没有明确的标准,即对象不具有确定性,不能构成集合,故C错误;对于D:我校跑步速度快的学生,没有明确的标准,即对象不具有确定性,不能构成集合,故D错误;故选:A.2.(5分)(23-24高一上·北京·期中)命题pp:∀xx>2,xx2−1>0,则¬pp是()A.∀xx>2,xx2−1≤0B.∀xx≤2,xx2−1>0C.∃xx>2,xx2−1≤0D.∃xx≤2,xx2−1≤0【解题思路】全称量词命题的否定为存在量词命题,求解即可.【解答过程】因为命题pp:∀xx>2,xx2−1>0,所以¬pp:∃xx>2,xx2−1≤0.故选:C.3.(5分)(23-24高二下·福建龙岩·阶段练习)下列不等式中,可以作为xx<2的一个必要不充分条件的是()A.1<xx<3B.xx<3C.xx<1D.0<xx<1【解题思路】利用必要不充分条件的意义,逐项判断即得.【解答过程】对于A,1<xx<3是xx<2的不充分不必要条件,A不是;对于B,xx<3是xx<2的一个必要不充分条件,B是;对于C,xx<1是xx<2的一个充分不必要条件,C不是;对于D,0<xx<1是xx<2的一个充分不必要条件,D不是.故选:B.4.(5分)(24-25高三上·山西晋中·阶段练习)下列关系中:①0∈{0},②∅ {0},③{0,1}⊆{(0,1)},④{(aa,bb)}= {(bb,aa)}正确的个数为()A.1 B.2 C.3 D.4【解题思路】根据元素与集合、集合与集合之间的关系分析判断.【解答过程】对于①:因为0是{0}的元素,所以0∈{0},故①正确;对于②:因为空集是任何非空集合的真子集,所以∅ {0},故②正确;对于③:因为集合{0,1}的元素为0,1,集合{(0,1)}的元素为(0,1),两个集合的元素全不相同,所以{0,1},{(0,1)}之间不存在包含关系,故③错误;对于④:因为集合{(aa,bb)}的元素为(aa,bb),集合{(bb,aa)}的元素为(bb,aa),两个集合的元素不一定相同,所以{(aa,bb)},{(bb,aa)}不一定相等,故④错误;综上所述:正确的个数为2.故选:B.5.(5分)(24-25高三上·江苏南通·阶段练习)若变量x,y满足约束条件3≤2xx+yy≤9,6≤xx−yy≤9,则zz=xx+2yy的最小值为()A.-7 B.-6 C.-5 D.-4【解题思路】利用整体法,结合不等式的性质即可求解.【解答过程】设zz=xx+2yy=mm(2xx+yy)+nn(xx−yy),故2mm+nn=1且mm−nn=2,所以mm=1,nn=−1,故zz=xx+2yy=(2xx+yy)−(xx−yy),由于3≤2xx+yy≤9,6≤xx−yy≤9,所以3+(−9)≤2xx+yy−(xx−yy)≤9+(−6),−6≤xx+2yy≤3,故最小值为−6,此时xx=4,yy=−5,故选:B.6.(5分)(23-24高二下·云南曲靖·期末)已知全集UU={1,3,5,7,9},MM=�xx|xx>4且xx∈UU},NN={3,7,9},则MM∩(∁UU NN)=()A.{1,5}B.{5}C.{1,3,5}D.{3,5}【解题思路】先求出MM,∁UU NN,再求MM∩(∁UU NN),【解答过程】因为UU={1,3,5,7,9},MM=�xx|xx>4且xx∈UU},所以MM={5,7,9},因为UU={1,3,5,7,9},NN={3,7,9},所以∁UU NN={1,5},所以MM∩(∁UU NN)={5}.故选:B.7.(5分)(23-24高一上·陕西渭南·期末)已知不等式aaxx2+bbxx+2>0的解集为{xx∣xx<−2或xx>−1},则不等式2xx2+bbxx+aa<0的解集为()A.�xx�−1<xx<12�B.{xx∣xx<−1或xx>12}C.�xx�−1<xx<−12�D.{xx∣xx<−2或xx>1}【解题思路】根据给定的解集求出aa,bb,再解一元二次不等式即得.【解答过程】由不等式aaxx2+bbxx+2>0的解集为{xx∣xx<−2或xx>−1},得−2,−1是方程aaxx2+bbxx+2=0的两个根,且aa>0,因此−2+(−1)=−bb aa,且−2×(−1)=2aa,解得aa=1,bb=3,不等式2xx2+bbxx+aa<0化为:2xx2+3xx+1<0,解得−1<xx<−12,所以不等式2xx2+bbxx+aa<0为{xx|−1<xx<−12}.故选:C.8.(5分)(24-25高三上·江苏徐州·开学考试)已知aa>bb≥0且6aa+bb+2aa−bb=1,则2aa+bb的最小值为()A.12 B.8√3C.16 D.8√6【解题思路】根据题意可知2aa+bb=32(aa+bb)+12(aa−bb),根据乘1法结合基本不等式运算求解. 【解答过程】因为aa>bb≥0,则aa+bb>0,aa−bb>0,且2aa+bb=32(aa+bb)+12(aa−bb),则2aa+bb=�32(aa+bb)+12(aa−bb)��6aa+bb+2aa−bb�=10+3(aa−bb)aa+bb+3(aa+bb)aa−bb≥10+2�3(aa−bb)aa+bb⋅3(aa+bb)aa−bb=16,当且仅当3(aa−bb)aa+bb=3(aa+bb)aa−bb,即aa=8,bb=0时,等号成立,所以2aa+bb的最小值为16.故选:C.二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分,在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目的要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。
河北省邢台市2014—2015学年高二上学期期末考试数学(理)试题 扫描版含答案

高二年级理科数学试题参考答案一.选择题 BACBD DCDBA AC二、填空题 13. 20 14.6?k <或5?k ≤(不写问号不得分) 15.②③ 16.35 三、解答题17. 解:程序框图表示的分段函数为22log ,2()1,2x x y f x x x >⎧==⎨-≤⎩…………………………………..4分 因为命题00:,()p x f x m ∃≤为假命题,所以命题:,()q x f x m ∀>为真命题,……………6分 即,()x f x m ∀>恒成立, 即()f x 的最小值大于m ,又()y f x =的最小值为1-, ……………………..8分 所以1m <-. ……………………..10分 18. 解:(Ⅰ)依题意得,10(20.0050.020.04)1a ⨯+++=,解得0.03a = …….4分 这100名学生的数学平均分为:550.05650.4750.3850.2950.0573⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=(分) …………6分(Ⅱ)语文成绩在[50,60)的人数为:41000.0545⨯⨯=(人) …………7分 语文成绩在[60,70)的人数为:1000.440⨯=(人) …………8分语文成绩在[70,80)的人数为:51000.3503⨯⨯=(人) …………9分 语文成绩在[80, 90)的人数为:11000.245⨯⨯=(人) …………10分所以语文成绩在[50,90)之外的人数为:1004504042----=(人) ……12分 19. 解:(Ⅰ) a 和b 的组合有:(2,2),(2,2),(2,3),(1,2),(1,2),(1,3),--------(2,2),(2,2),(2,3),(3,2),(3,2),(3,3)--,其中符合题意的有9个基本事件.……………2分设使函数ay x b=在R 上是减函数的事件为A ,则A 包含的基本事件(2,2),(2,3),(1,2),(1,3),----(2,2),(3,2)--共有6个, ……4分所以,62(A)93P ==. ……………6分 (Ⅱ)实数,k b 满足条件101111k b k b +-≤⎧⎪-≤≤⎨⎪-≤≤⎩的区域如图所示,……………8分要使函数的图象过一、三、四象限,则0,0k b ><,故使函数图象过一、三、四象限的(,)k b 的区域为第四象限的阴影部分, ……………10分 ∴所求事件的概率为27p =. ……………12分 20. 解:(Ⅰ)SA ⊥底面ABCD ,所以,SA AD SA AB ⊥⊥ 底面ABCD 是正方形,所以AB AD ⊥ ……………2分 以点A 为坐标原点,AS AD AB ,,所在的直线分别为z y x ,,轴,建立空间直角坐标系,则(0,0,0)A ,(2,0,0)B ,(0,0,2)S ,(2,2,0)C ,(0,2,0)D ,(1,1,1)E ……………4分所以(1,1,1)DE =-,(2,2,0)AC =,0DE AC ⋅=所以异面直线DE 与AC 所成角为90︒. ……………6分 (Ⅱ)由题意可知,(2,0,2)SB =-,(2,2,2)SC =- 设平面BSC 的法向量为),,(1111z y x n =,则11111110n SC x y z n SB x z ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩,令11=z ,则)1,0,1(1=n , ……………8分 (0,2,2)DS =-,(2,0,0)DC =设平面SCD 的法向量为),,(2222z y x n =,则222220n DC x n DS z y ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩,令12=y ,则)1,1,0(2=n ……………10分 设二面角D SC B --的平面角为α,则21221cos =⨯==α. 显然二面角D SC B --的平面角为α为钝角,所以120=α即二面角B SC D --的大小为120︒. ……………12分 21. (Ⅰ)设常饮酒的人有x 人,24,6x x +== ……………2分……4分由已知数据可求得:2230(61824)8.5237.8791020822K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯. 因此有99.5%的把握认为患肝病与常饮酒有关. ……………………6分 (Ⅱ)设常饮酒且患肝病的男生为A 、B 、C 、D,女生为E 、F,则任取两人有AB,AC,AD,AE,AF,BC,BD,BE,BF,CD,CE,CF,DE,DF,EF,共15种. ………8分 其中一男一女有AE,AF,BE,BF,CE,CF, DE,DF,共8种. ………10分 故抽出一男一女的概率是815p =. ………12分 说明:用排列组合求解,参照上述解法给分.22.(Ⅰ)由题意得2c a = 2221()321a b+= 222=a b c +解得=21a b =, 所以椭圆的标准方程为2214x y +=. ………4分 (Ⅱ)法一:设直线QA 的方程为(2)(0)y k x k =-≠,则直线QB 的方程为1(2)y x k=--. …………5分 将直线QA 的方程为(2)(0)y k x k =-≠代入椭圆方程整理可得()222214161640k xk x k +-+-=2222(16)4(14)(164)10k k k ∆=-⋅+⋅-=> …………6分设A 点坐标为(,)A A x y ,B 点坐标为(,)B B x y ,则22164214A k x k-=+ 所以228214A k x k -=+ 24(2)14A Ak y k x k -=-=+ …………7分 同理可得222824,44B B k kx y k k-==++ 所以25=4(1)A B AB A B y y k k x x k -=--故直线AB 的方程为:22224582()144(1)14k k k y x k k k -+=-+-+ , …………8分22222455(82)144(1)4(1)(14)k kx k k y k k k k -+=-+--+222224(14)(1)16(1)5(14)5(82)k k y k k k k x k k +-+-=+-- 22224(14)(1)5(14)6(14)k k y k k x k k +-=+-+ 24(1)(56)k y k x -=-显然当65x =时,0y =, …………10分 当0k =时,直线QA 为x 轴,点A 为椭圆的左顶点;直线QB 垂直于x 轴,点B 和点Q 重合,直线AB 即为x 轴,过定点6(,0)5.所以无论k 取何值,直线AB 必过定点6(,0)5. …………12分 法二:令直线QA 的斜率分别为1和则直线QB 的斜率分别为1-…………5分得到直线AB 的方程为66)55x y x ==-和 …………6分 两直线的交点为6(,0)5P 由法一得222222824824(,).(,)141444k k k kA B k k k k ---++++ …………8分 计算可得2255,4(1)4(1)PA PBk kk k k k ==-- 所以PA PB k k =,即A 、B 、P 三点共线,因此直线AB 过定点6(,0)5…………10分当0k =时,直线QA 为x 轴,点A 为椭圆的左顶点;直线QB 垂直于x 轴,点B 和点Q 重合,直线AB 即为x 轴,过定点6(,0)5.所以无论k 取何值,直线AB 必过定点6(,0)5. …………12分。
河北省邢台市2018届高三数学上学期第一次月考(开学考试)试题文

2015级高三上学期第1次月考数学(文)试卷一,选择题每题5分,共60分1、若5sin 13α=,且α为第二象限角,则tan α的值等于( )A. 125B. 125-C. 512D. 512-2、已知向量,满足=1,||=2,⊥,则向量与向量夹角的余弦值为( )A .B .C .D .3、在△ABC 中,已知sinA :sinB :sinC=5:7:8,则∠B 的大小为( )A .B .C .D .4、在等差数列{a n }中,a 3+3a 8+a 13=120,则a 8=( ) A .24 B .22 C .20 D .255、若函数f (x )=ax 2+ax -1在R 上满足f (x )<0恒成立,则a 的取值范围是( ) A .a ≤0 B .a <-4 C .-4<a <0 D .-4<a ≤06、幂函数)(x f y =的图象经过点)2(),21,4(f 则=( )A .41B .21-C .22 D .27、已知曲线2ax f x =x+1()在点()()1,1f 处切线的斜率为1,则实数a 的值为( ) A. 32 B. 32- C. 34- D. 438、函数()log f x x x=-+21的零点所在区间是( )(A )()0,1 (B )()1,2 (C )()2,3 (D )()3,49、已知函数f (x )=3sin ωx (ω>0)的周期是π,将函数f (x )的图象沿x 轴向右平移π8个单位,得到函数y =g (x )的图象,则函数g (x )的解析式为( ) A .g (x )=3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π8 B .g (x )=3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π4 C .g (x )=-3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π8 D .g (x )=-3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x +π410、已知sin2α=,则cos 2(α+)=( )A .B .C .D .11、已知数列{}n a 满足12a =,111n n na a a ++=-(n ∈N *),则连乘积12320122013a a a a a L 的值为( )A .6-B .3C .2D .1 12、若函数()(,)y f x a b =的导函数在区间上的图象关于直线2ba x +=对称,则函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象可能是( )A .①B .②C .③D .③④填空题,每题5分共20分 13、设,则“”是“”的_________条件.(从“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”、“充要”中选择). 14、设函数()y f x =的图象与2x a y -=的图象关于直线y x=-对称,且()()241f f -+-=,则a =__________.15、已知tan α=﹣,cos β=,β∈(0,),则tan (α+β)= .16在中,角,,A B C所对的边分别为222,,,sin sin sin sin sin a b c A B C A B C ++=,且2a =,则的外接圆半径R = .解答题(17题10分,其余每题12分) 17、已知等差数列{}n a 中,131,3a a ==-. (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)若数列{}n a 的前k 项和35k S =-,求k 的值.18、(1)求值sin2120°+cos180°+tan45°﹣cos2(﹣330°)+sin(﹣210°)(2)已知,求sinα﹣cosα的值.19、已知A(2,0),B(0,2),C(cosα,sinα),(0<α<π)。
河北省邢台市2021-2022学年高二上学期第一次月考联考(10月) 数学 Word版含答案

2021~2022学年高二(上)第一次月考数学注意事项:1.答题前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
回答非选择题时,将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
4.本试卷主要考试内容:人教版选择性必修第一册第一章,第二章2.3结束。
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.+y +1=0的倾斜角是 A.3π B.6πC.56πD.23π2.已知直线l 的方向向量为(1,2,3),平面α的法向量为(2,m ,6),若l ⊥α,则m = A.-10 B.3 C.4 D.53.直线l :(2a -3)x -ay +2=0不过第二象限,则a 的取值范围为 A.(-∞,0] B.[0,3) C.[3,+∞) D.(-∞,0]∪(3,+∞)4.已知空间任意一点O 和不共线的三点A ,B ,C ,若OD mOA nOB pOC =++(m ,n ,p ∈R),则“|m +n +p|=1”是“A ,B ,C ,D 四点共面”的A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 5.已知直线l 1:ax +2y +6=0,l 2:x +(a -1)y +3=0,若l 1//l 2,则a = A.-1 B.2 C.23D.2或-1 6.在正四面体DABC 中,点O 是△ABC 的中心,若DO xDA yDB zDC =++,则 A.x =y =z =14 B.x =y =z =13 C.x =y =x =12D.x =y =z =1 7.已知等腰直角三角形三个顶点A(0,0),B(2,0)和C(0,2),P 为AB 的中点,一质点从点P 出发,经BC ,CA 反射后又回到点P(如图),则△PRQ 的周长为A.22B.3C.10D.48.PA ,PB ,PC 是从点P 出发的三条线段,每两条线段的夹角均为60°,PA =PB =PC =1,若M 满足PM PA 2PB 3PC =++,则点M 到直线AB 的距离为 A.3 B.3 C.23 D.32二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。