方差分析和试验设计

6方差分析与试验设计

在研究一个或多个分类型自变量与一个数值型因变量之间的关系时，方差分析就是其中主要方法之一。检验多个总体均值是否相等的统计方法。

所要检验的对象称为因素。因素的不同表现称为水平。每个因子水平下得到的样本数据称为观测值。

随机误差：在同一行业（同一总体）下，样本的各观测值是不同的。抽样随机性造成。

系统误差：在不同一行业（不同一总体）下，样本的各观测值也是不同的。抽样随机性和行业本身造成的。

组内误差：衡量因素在同一行业（同一总体）下样本数据的误差。只包含随机误差。

组间误差：衡量因素在不同一行业（不同一总体）下样本数据的误差。包含随机误差、系统误差。

方差分析的三大假设：

每个总体服从正态分布；

每个总体的方差必须相同；

观测值是独立的；

单因素方差分析（F分布）

数据结构：表示第i个水平（总体）的第j个的观测值。（i列j行）分析步骤：

1提出假设。自变量对因变量没有显著影响

不完全相等自变量对因变量有显著影响 2构造检验的统计量

计算因素各水平的均值（各水平样本均值）

计算全部观测值的总均值（总体均值）

计算误差平方和：

总误差平方和SST：全部观测值与总平均值得误差平方和。

水平项误差平方和SSA：各组平均值与总平均值得误差平方和。组间平方和。

误差项平方和SSE：各样本数据与其组平均值误差的平方和。组内平方和。

SST=SSA+SSE

A B C D E F G 1

误差来源

平方和自由度均方F 值P 值

F 临界值2SS df MS 3组间（因素

来源）SSA k-1MSA MSA/MSE

4组内（误差）SSE n-k MSE 5

总和

SST

n-1

计算统计量

各平方和除以它们对应的自由度，这一结果称为均方。 SST 的自由度为（n-1），其中n 为全部观测值的个数。 SSA 的自由度为（k-1），其中k 为因素水平的个数。（组数-1）

SSE 的自由度为（n-k ）。

SSA 的均方（组间均方）为 SSE 的均方（组内均方）为

3统计决策

在给定的显著性水平α下，查表得临界值 若，有显著影响； 若，无显著影响； 4方差分析表

方差分析中的多重比较（T分布）

检测哪些均值之间不相等？哪些行业之间？

最小显著差异方法LSD的检验步骤：

1提出假设，即

2计算检验统计量||

3计算LSD，

4根据显著性水平α决策：如果||>LSD，拒绝原假设，反之接受。

双因素方差分析

１数据结构

R行因素共有k个水平 ； C列因素共有r个水平。

是行因素的第i个水平下各观测值的平均值。

是列因素的第j个水平下各观测值的平均值。

是全部kr个样本数据的总平均值。

2分析步骤

提出假设：

对行因素提出假设：

自变量对因变量没有显著影响

不完全相等自变量对因变量有显著影响对列因素提出假设：

自变量对因变量没有显著影响

不完全相等自变量对因变量有显著影响构造检验的统计量：

总误差平方和SST：全部观测值与总平均值得误差平方和。

行误差平方和SSR：

列误差平方和SSC：

随机误差项平方和SSE：

SST=SSR+SSC+SSE

计算均方：

总误差平方和SST的自由度为（kr-1）

行因素的误差平方和SSR的自由度为（k-1）

列因素的误差平方和SSC的自由度为（r-1）

随机误差平方和SSE的自由度为（k-1）*（r-1）

行因素均方MSR=

A B C D E F G 1

误差来

源

误差平方和自由度均方F 值P 值

F 临界值SS df MS

2行因素SSR k-1MSR MSR/MSE 3列因素SSC r-k MSC MSC/MSE 4误差

SSE (k-1)*(r-1)MSE 5

总和

SST

Kr-

列因素均方MSC=

随机误差项的均方MSE=

检验行因素对因变量的影响是否显著：

检验列因素对因变量的影响是否显著：

统计决策：

根据给定的显著性水平α和两个自由度下，查表得出临界值，将和、比较。

若>，拒绝原假设，有显著影响。 若>，拒绝原假设，有显著影响。双因素方差分析表

7相关与回归分析

相关关系与函数关系

当一个或几个相互联系的变量取一定数值时，与之相对应的另一个变量的值虽然不确定，但它仍然按某种规律在一定范围内变化，变量间的这种关系，被称为相关关系。

变量之间的函数关系和相关关系在一定条件下可以相互转化。

相关关系与函数关系的区别

函数关系是变量之间的一种严格、完全确定性的关系，即一个变量的数值完全由另一个（或一组）变量的数值所决定、控制。函数关系通常可以用数学公式确切地表示出来。

相关关系难以像函数关系那样，用数学公式去准确表达。

相关关系与函数关系的联系

由于客观上常会出现观察或测量上的误差等原因，函数关系在实际工作中往往通过相关关系表现出来。当人们对某些现象内部规律有较深刻认识时，相关关系可能变为函数关系。

为此，在研究相关关系时，又常常使用函数关系作为工具，用一定的函数关系表现相关关系的数量联系。

相关系数的种类：

涉及变量的个数：单相关、复相关

表现形式的不同：线性相关、非线性相关

现象变化的方向：正相关、负相关

相关程度的不同：完全相关、不完全相关、不相关

相关关系的描述：相关表、相关图

相关系数：总体相关系数ρ，样本相关系数γ

1简单线性相关系数

相关系数的特点：

1）相关系数的取值[-1,1]。

2）γ=0时，x、y没有线性相关系数。

3）0<|γ|<1，x、y存在一定线性相关系数；γ>0正相关，

γ<0负相关。

4）|γ|=1，x、y完全线性相关系数；γ=1,完全正相关，

γ=-1完全负相关。

使用相关系数分析相关关系时的注意：

1）x和y都是相互对称的随机变量，即。

2）相关系数只反映变量间的线性相关程度，不能说明非线性