方差分析和试验设计
实验设计的方差分析与正交试验
实验设计的方差分析与正交试验一、实验设计中的方差分析方差分析（analysis of variance，ANOVA）是一种统计方法，用于比较不同组之间的均值差异是否具有统计学上的显著性。
在实验设计中，方差分析主要被用来分析因变量（dependent variable）在不同水平的自变量（independent variable）中的变化情况。
通过比较不同组之间的方差，判断是否存在显著差异，并进一步分析差异的原因。
1. 单因素方差分析单因素方差分析是最简单的方差分析方法，适用于只有一个自变量的实验设计。
该方法通过比较不同组之间的方差来判断各组均值是否有差异。
步骤如下：（1）确定研究目的，选择合适的因变量和自变量。
（2）设计实验，确定各组的样本个数。
（3）进行实验，并收集数据。
（4）计算各组的平均值和总平均值。
（5）计算组内方差和组间方差。
（6）计算F值，通过计算F值来判断各组均值是否有显著差异。
2. 多因素方差分析多因素方差分析是在单因素方差分析的基础上，增加了一个或多个自变量的情况下进行的。
这种方法可以用来分析多个因素对因变量的影响，并判断各因素的主效应和交互效应。
步骤如下：（1）确定研究目的，选择合适的因变量和多个自变量。
（2）设计实验，确定各组的样本个数。
（3）进行实验，并收集数据。
（4）计算各组的平均值和总平均值。
（5）计算组内方差、组间方差和交互方差。
（6）计算F值，通过计算F值来判断各组均值是否有显著差异。
二、正交试验设计正交试验设计是一种设计高效实验的方法，可以同时考虑多个因素和各个因素之间的交互作用，并通过较少的试验次数得到较准确的结果。
1. 正交表的基本原理正交表的设计是基于正交原理，即每个因素和其他所有因素的交互效应都是独立的。
通过正交表设计实验，可以确保各因素和交互作用在样本中能够均匀地出现，从而减少误差来源，提高实验结果的可靠性。
2. 正交试验设计的步骤（1）确定要研究的因素和水平。
正交试验设计及其方差分析
例 9. 8 提高某化工产品转化率的试验 . 某种化工产品的转化率可能与反应温度A，反应时间B，某两 种原料之配比C和真空度D有关.为了寻找最优的生产条件，因此 考虑对 A ， B ，C ， D 这4个因素进行试验.根据以往的经验，确 定各个因素的3个不同水平，如表9-19所示 .分析各因素对产品的 转化率是否产生显著影响，并指出最好生产条件.
3
显然 T Tij ,j =1，2，3，4.此处 i 1
T11 大致反映了A1 对试验结果的影响, T21 大致反映了A2 对试验结果的影响, T31 大致反映了A3 对试验结果的影响, T12 , T22 和 T32 分别反映了B1 , B2 , B3 对试验结果的影响,
T13 , T23 和T33 分别反映了C1, C2 , C3 对试验结果的影响, T14 , T24 和 T34 分别反映了D1, D2 , D3 对试验结果的影响.
Rj 反映了第j列因素的水平改变对试验结果的影响大小, Rj 越大反映第j列因素影响越大.上述结果列表 of range) 由极差大小顺序排出因素的主次顺序:
这里, Rj值相近的两因素间用“、”号隔开,而Rj 值相差较 大的两因素间用“;”号隔开.由此看出,特别要求在生产过程中 控制好因素B，即反应时间.其次是要考虑因素A和D，即要控制 好反应温度和真空度.至于原料配比就不那么重要了.
(2 ) 表中任两列，其横向形成的有序数对出现的次数相同 . 如 表 L4 (23) 中任意两列，数字1 ， 2 间的搭配是均衡的 .
凡满足上述两性质的表都称为正交表(Orthogonal table).
常用的正交表有L9(34)， L8(27)，L16(45)等,见附表7. 用正 交表来安排试验的方法,就叫正交试验设计. 一般正交表)
实验设计及数据分析-方差分析
实验设计及数据分析-方差分析实验设计及数据分析方差分析一、方差分析的基本原理方差分析的核心思想是将观测值的总变异分解为不同来源的变异，然后通过比较不同来源变异的大小来判断因素对观测结果的影响是否显著。
总变异可以分解为组间变异和组内变异。
组间变异反映了不同组之间的差异，组内变异则反映了组内个体之间的随机误差。
如果组间变异显著大于组内变异，就说明不同组之间的均值存在显著差异，即所研究的因素对观测结果有显著影响。
二、实验设计要点1、确定研究因素和水平首先要明确研究的因素，以及每个因素的不同水平。
例如，研究不同肥料对作物产量的影响，肥料种类就是因素，不同的肥料品牌或配方就是水平。
2、选择合适的实验对象实验对象应具有代表性和随机性，以减少偏差。
3、控制无关变量在实验过程中，要尽量控制其他可能影响结果的无关变量，以确保结果的准确性。
4、确定样本量样本量的大小会影响统计检验的效力，一般来说，样本量越大，结果越可靠，但也要考虑实际操作的可行性和成本。
5、随机分组将实验对象随机分配到不同的组中，以保证各组之间的初始条件相似。
三、方差分析的类型1、单因素方差分析只考虑一个因素对观测结果的影响。
2、双因素方差分析同时考虑两个因素对观测结果的交互作用。
3、多因素方差分析涉及两个以上因素的情况。
四、数据分析步骤1、提出假设零假设（H0）：不同组之间的均值没有显著差异。
备择假设（H1）：不同组之间的均值存在显著差异。
2、计算统计量根据实验数据，计算出组间平方和、组内平方和、总平方和等，进而得到 F 统计量。
3、确定显著性水平通常选择 005 或 001 作为显著性水平。
4、查找临界值根据自由度和显著性水平，在 F 分布表中查找临界值。
5、做出决策如果计算得到的 F 统计量大于临界值，拒绝零假设，认为不同组之间的均值存在显著差异；否则，接受零假设。
五、结果解读1、查看 ANOVA 表ANOVA 表中会给出各项变异的来源、自由度、平方和、均方和 F 值等信息。
方差分析与试验设计
方差分析与试验设计方差分析是一种通过比较不同组之间的变差来判断均值差异是否显著的统计方法。
它通常用于试验设计中，用于分析不同处理组间的均值差异是否显著，从而评估不同处理的效果。
试验设计是科学研究中的一项重要工作，旨在通过科学的方法来验证研究假设。
试验设计涉及确定适当的样本大小、确定控制组和实验组、识别并控制潜在的影响因素等。
好的试验设计能够最大程度地减少偏差，提高实验的可靠性和准确性。
在方差分析中，我们通常将变量分为因素变量和响应变量。
因素变量是试验设置的处理组，例如不同的药物剂量或不同的施肥量。
响应变量是实验结果，可以是连续变量（如体重、收益等）或分类变量（如治疗成功与否）。
方差分析的基本原理是计算组内变差与组间变差之比，通过比较比值与理论的F分布来判断差异是否显著。
如果比值较大，则表明组间差异显著，即不同处理组的均值差异明显。
在进行方差分析时，我们需要满足一些前提条件，如独立性、正态性和方差齐性。
如果数据不符合这些条件，我们可以应用一些转换方法或进行非参数检验来处理。
完全随机设计是最简单的试验设计方法之一，它将实验对象随机分配到不同的处理组中。
这种设计方法适用于研究变量之间没有任何关系的情况，其优点是简单易行，但缺点是可能存在一些潜在的影响因素未被控制。
随机区组设计是一种常用的试验设计方法，它将实验对象分组后再随机分配到不同的处理组中。
这种设计方法能够控制部分潜在因素的影响，并提高实验的可靠性和准确性。
Latin square设计是一种更加复杂的试验设计方法，它在随机区组设计的基础上增加了均衡性。
Latin square设计通过交叉安排处理组和区块，使得每个处理出现在每个区块中，从而进一步控制潜在因素的影响。
除了上述常见的试验设计方法外，还有其他一些高级试验设计方法，如因子分析设计、回归分析设计等。
这些方法可以根据实验的具体要求来选择和应用。
综上所述，方差分析和试验设计是统计学中重要的概念和方法。
10方差分析与试验设计
10方差分析与试验设计方差分析是一种统计学方法，用于比较多个组之间的均值是否有显著差异。
在实验设计中，方差分析可以用来确定不同处理之间的差异是否由于实验因素的变化引起，同时还可以帮助研究人员确定实验因素对结果的影响程度。
方差分析的一个重要应用是试验设计。
试验设计是一种系统地操纵和控制实验因素的方法，旨在确定因素对结果的影响。
通过合理的试验设计和方差分析，研究人员可以确定实验因素对结果的作用，找出最佳的处理组合，并进一步进行优化和改进。
在试验设计中，常用的方差分析方法有单因素方差分析、多因素方差分析和混合设计方差分析。
单因素方差分析是用于比较一个处理因素对结果的影响是否显著。
在单因素方差分析中，研究人员将被试随机分配到不同的处理组中，并对各组进行实验。
通过方差分析，可以检验不同组之间均值是否存在差异，从而确定处理因素的显著性。
多因素方差分析是用于比较两个或更多处理因素对结果的影响是否显著，并确定各因素之间以及因素与交互作用之间的关系。
在多因素方差分析中，研究人员将被试随机分配到多个处理组中，并对各组进行实验。
通过方差分析，可以判断不同因素和因素交互作用对结果的影响是否显著，并进一步分析因素之间的关系。
混合设计方差分析是将固定效应和随机效应结合起来分析的一种方法，适用于同时考虑因子固定效应和随机效应的情况。
在混合设计方差分析中，研究人员将被试随机分配到不同的处理组中，并对各组进行实验。
通过方差分析，可以确定因子的固定效应和随机效应对结果的影响是否显著，并进一步分析这些效应的大小和方向。
方差分析和试验设计在很多领域中都有广泛的应用。
例如，在医学研究中，可以使用方差分析和试验设计方法来比较不同药物的疗效；在工程领域中，可以用于优化生产过程和改进产品质量；在社会科学研究中，可以用于分析不同因素对人们行为的影响。
总之，方差分析和试验设计是统计学中重要的方法，可以帮助研究人员确定因素对结果的影响，找出最优解，并加以优化和改进。
正交试验设计中的方差分析
目的
通过方差分析，可以确定不同组之间 的平均值差异是否由随机误差引起， 还是由处理因素或自变量引起。
方差分析的数学模型
数学模型
方差分析使用数学模型来描述数据之间的关系，特别是不同组之间的平均值差异。模型通常包括组间差异和组内 差异两部分。
医学研究
通过正交试验设计中的方差分析，研究不同治疗方案、药物剂量等因素对疾病治疗效果的影响，为临床 治疗提供科学依据。
方差分析的局限性
04
方差分析对数据的要求
独立性
数据必须是相互独立的，不存 在相互关联或依赖关系。
正态性
数据应符合正态分布，才能保 证统计推断的准确性。
同方差性
各组数据的方差应相等，否则 可能导致误判。
制定试验方案
根据正交表设计试验方案，确定每个因素的每个 水平。
实施试验
按照试验方案进行试验，记录每个试验的结果。
方差分析
利用方差分析法对试验结果进行分析，确定各因 素对试验结果的影响程度和显著性。
优化方案
根据方差分析结果，优化试验方案，进行下一步试验。
方差分析的基本原理
02
方差分析的定义与目的
定义
拉丁方设计方差分
析
适用于需要控制试验条件的试验， 通过拉丁方设计平衡试验条件和 试验误差。
正交试验设计中的方差分析步骤
确定试验因素和水平
根据研究目的和实际情况确定试验因 素和水平。
制定正交表
根据试验因素和水平选择合适的正交 表。
安排试验
按照正交表进行试验，记录试验数据。
方差分析
对试验数据进行方差分析，包括自由 度、离均平方和、均方、F值等计算。
方差分析与实验设计
方差分析与实验设计方差分析（Analysis of Variance，简称ANOVA）是一种统计方法，用于比较两个或多个样本均值之间的差异是否显著。
它是实验设计中常用的一种方法，可以帮助研究者确定实验结果是否受到不同因素的影响，并进一步分析这些因素对实验结果的贡献程度。
实验设计是科学研究中的重要环节，它涉及到如何选择实验对象、确定实验因素、设计实验方案等问题。
合理的实验设计可以提高实验的可靠性和有效性，减少误差的影响，从而得到更准确的结论。
一、方差分析的基本原理方差分析的基本原理是通过比较组间变异与组内变异的大小来判断不同因素对实验结果的影响是否显著。
组间变异是指不同组之间的差异，组内变异是指同一组内部的差异。
如果组间变异显著大于组内变异，说明不同组之间的差异是由于实验因素的影响，而不是由于随机误差的影响。
二、方差分析的步骤方差分析的步骤主要包括：确定实验因素、选择实验对象、设计实验方案、收集数据、计算方差、进行假设检验和结果解释等。
1. 确定实验因素：首先需要明确研究的目的和问题，确定需要研究的实验因素。
实验因素是指可能对实验结果产生影响的变量，比如不同处理、不同时间、不同地点等。
2. 选择实验对象：根据实验因素的不同水平，选择适当的实验对象。
实验对象应该具有代表性，能够反映出实验因素对实验结果的影响。
3. 设计实验方案：根据实验因素的不同水平，设计实验方案。
常用的实验设计方法有完全随机设计、随机区组设计、因子设计等。
4. 收集数据：按照实验方案进行实验，收集实验数据。
数据的收集应该准确、全面、可靠。
5. 计算方差：根据收集到的数据，计算组间变异和组内变异的大小。
常用的方差计算方法有单因素方差分析、双因素方差分析等。
6. 进行假设检验：根据计算得到的方差值，进行假设检验。
常用的假设检验方法有F检验、t检验等。
7. 结果解释：根据假设检验的结果，解释实验结果。
如果差异显著，则说明实验因素对实验结果有显著影响；如果差异不显著，则说明实验因素对实验结果没有显著影响。
第九章方差分析报告与实验设计
3. 四个样本的均值越接近，推断四个总体均值相 等的证据也就越充分
4. 样本均值越不同，推断总体均值不同的证据就 越充分
如果原假设成立，即H0: m1 = m2 = m3 = m4 四个行业被投诉次数的均值都相等 意味着每个样本都来自均值为、差为2的
同一正态总体
f(X)
X
1 2 3 4
若备择假设成立，即H1: mi (i=1，2，3，4)不全 相等
至少有一个总体的均值是不同的 四个样本分别来自均值不同的四个正态总体
f(X)
X
3 1 2 4
四、问题的一般提法
1. 设因素有k个水平，每个水平的均值分别用 1、 2、 、 k 表示
第1步：选择【工具】下拉菜单，并选择【数据分析】选项，
第2步：在分析工具中选择【单因素方差分析】，然后单击 【确定】 ，
第3步：当对话框出现时， 在【输入区域】方框内输入数据单元格区域A3：D9。 在【a】方框内输入0.05（可根据需要确定。 在【输出选项】中选择优输出区域。
结果如图9-6
图9-6 用XExcel 进行方差分析的步骤
i1
组 内 平
旅游业：
6
(x2i x2)2 924
i1
SSE=700+924 +434+650
=2708
方
和
5
航空公司： (x3i x3)2 434
i1
家电制造业： 5 (x4i x4)2 650
i1
于是： ST=SSE+SSA
（4）计算统计量
SST的自由度为n-1； SSA的自由度为k-1； SSE的自由度为n-k。
第9章 方差分析与正交试验设计
由上面讨论,我们找到了一种检验H0A和H0B方法: 选取统计量 SSA (r 1) SSB (s 1) FA FB SSE (r 1)(s 1) SSE (r 1)(s 1) H0A拒绝域为
i 1 j 1 r ni
记
X ij i ij ij 1 i ni 1 N 1 ij , N j 1
ni
N (0, )
2
i 1 j 1
r
ni
ij
n
i 1 i
r
i
则
X i i i
r ni i 1 j 1
r
X
r ni i 1 j 1
SSE (i ij i i )2 ( ij i )2
SSR ni ( i i )2
SST ( i ij )2
i 1 j 1
i 1 r
ni
并且
E (SSE ) E ( ( ij i )2 ) (ni 1) 2 ( N r ) 2
本例中灯丝的品种, 我们称之为因子,而选取了 四个品种,我们之为因子的四个水平.这种情况,我们 称为单因子四水平试验.对这种试验的分析称为单 因子方差分析.一般单因子r水平试验数据可列表如 下
水平水平 A1 A2
Ar
试验结果
x11 , x12 , , x1n1 x21 , x22 , , x2n2
A A1(不施氮肥) A2(施50公斤氮肥) B B1(不施磷肥) 300kg 400kg B2(施50公斤磷肥) 450kg 700kg
利用SPSS进行方差分析以及正交试验设计
利用SPSS进行方差分析以及正交试验设计方差分析是一种常见的统计方法，用于比较两个或多个组之间的差异。
正交试验设计是一种实验设计方法，能够同时考虑多个因素对结果的影响。
本文将利用SPSS进行方差分析和正交试验设计的步骤介绍，并讨论如何解读分析结果。
首先，我们将介绍方差分析的步骤。
方差分析的基本思想是比较组间和组内的变异程度。
假设我们有一个因变量和一个自变量，自变量有两个或多个水平。
下面是方差分析的步骤：1.导入数据：将数据导入SPSS软件，并确保每个变量都已正确标记。
2.选择统计分析：点击SPSS菜单栏上的"分析"，然后选择"方差"，再选择"单因素"。
3.设置因变量和自变量：在弹出的对话框中，将需要进行方差分析的因变量拖放到因素列表框中，然后将自变量也拖放到因素列表框中。
4.点击"设定"按钮：点击"设定"按钮，设置方差分析的参数，例如是否需要进行正态性检验、多重比较等。
然后点击"确定"。
5.查看结果：SPSS将输出方差分析的结果，包括各组之间的F值、p值等统计指标。
可以根据p值判断各组之间是否存在显著差异。
接下来，我们将介绍正交试验设计的步骤。
正交试验设计是一种多因素独立变量的实验设计方法，可以在较小的实验次数内获得较高的信息量。
下面是正交试验设计的步骤：1.设计矩阵：根据研究目的和独立变量的水平，构建正交试验的设计矩阵。
2.导入数据：将设计矩阵导入SPSS软件，并将每个变量的水平标注为自变量。
3.选择统计分析：点击SPSS菜单栏上的"分析"，然后选择"一般线性模型"，再选择"多元方差分析"。
4.设置因变量和自变量：在弹出的对话框中，将因变量拖放到因子列表框中，然后将自变量也拖放到因子列表框中。
5.点击"设定"按钮：点击"设定"按钮，设置正交试验设计的参数，例如交互作用是否显著、多重比较等。
实验设计与方差分析
试验设计与方差分析SPSS操作一、试验设计与方差分析的关系试验设计并不是一种统计方法，而是一组统计方法的统称，其主要用途在于分析自变量x的值与因变量y值之间的关系。
此外，还用于降低背景变量对理解x值与y值之间关系时的影响。
试验设计使用的最主要的统计工具是方差分析，因此，许多教材将试验设计与方差分析设计为同一部分，使用共同的概念和术语。
其实方差分析并不仅仅在试验设计领域使用，也可以用来分析观察数据。
二、基本术语例：影响某温室水果产量的主要因素有三个：施肥量、浇水量、温度。
如果想通过控制三个因素的量，找出一个最优组合来提高产量，就是实验设计与方差分析问题。
相关的术语有：自变量（因子、因素、输入变量、过程变量）：可以控制的、影响因变量的变量。
本例为施肥量、浇水量、温度。
因变量（反应变量、输出变量）：我们所关心的、承载试验结果的变量。
本例为产量。
背景变量（噪声、噪声变量、潜伏变量）：能观察但不可控的因子或因素，影响较小、达不到自变量水平。
本例可能有测量误差等。
水平（设置）：自变量的不同等级。
水平数通常不多，连续型变量需离散化取值。
如本例：施肥设1000克、1100克、1200克三个量，浇水量设200千克、220千克两个量，温度设18度、20度、22度三个量。
处理：各因子按设定水平的一个组合。
如本例：施肥1000克、浇水200千克、温度18度为一个处理。
试验单元：试验载体的最小单位。
如本例的一个温室或由一个温室分割形成的房间。
主效应与交互效应：两因子及以上试验时，各因子可能对因变量有影响，因子间的相互作用也可能对因变量有影响。
于是就有了上述概念。
有时，交互效应比主效应更重要。
如本例：施肥固定在1000克，浇水固定在200千克，18度、20度、22度三个温度条件下产量的差异，可以理解为温度的主效应；而同一温度条件下，不同的施肥量、浇水量造成的产量差异，就是交互效应。
三、试验设计的三个基本原则第一，随机化。
即采取机会均等的措施，将各种条件完全随机地配置在试验单元上。
第九章 方差分析与实验设计
第十章 方差分析与实验设计一、填空题1、在方差分析中所要检验的对象称为 。
2、在方差分析中所要检验的对象称为 ，其不同表现称为 。
3、从两个总体中分别抽取17n =和26n =的两个独立随机样本。
经计算得到下面的方差分析表：其中“A ”单元格内的结果是_________________。
4、在方差分析中，设因素的水平个数为k ，全部观测值的个数为n ，总平方和的自由度为 。
5、在方差分析中，设用于检验的行因素为R ，列因素为C ，行因素有k 个水平，列因素有r 个水平，并假设两个因素没有交互作用，残差平方和的自由度是____________。
6、在单因素方差分析中，涉及到两个变量，一个是 ，另一个是 。
7、完全随机化实验设计，必须符合 要求，必须符合 原则。
8、接受“处理”的对象或实体称为 。
9、搜集样本的计划称为 。
10、在方差分析中用于检验的统计量是 。
11、从三个总体中选取了4个观测值，得到组间方差平方和SSA=536，组内平方和SSE=828，组间均方与组内均方分别为 和 。
二、单项选择题1、在方差分析中，设用于检验的行因素为R ，列因素为C ，并假设两个因素没有交互作用，用于检验因素R 的统计量是 ( )。
A 、 SSR F SSC =B 、MSR F MSC = C 、MSR F MSE =D 、MSRF MST= 2、在双因素方差分析中，度量两个分类自变量对因变量影响的统计量是2R ，其计算公式为 （ ）。
A 、2SSR SSC R SST +=B 、2MSR MSC R MST += C 、2SSR R SST =D 、2SSC R SST=3、一次涉及因子A 的4个水平与因子B 的3个水平以及3次重复的因子试验得到的结果为SST=280，SSA=26，SSB=23，SSAB=175，在0.05α=的显著性水平下，检验因子A 的显著性，即检验假设0H ：因子A 不显著，得到的结论是（ ）。
正交实验设计与方差分析2024
引言概述正交实验设计与方差分析是一种常用于实验设计和数据分析的统计方法。
这种方法能够帮助研究人员系统地设计实验、收集数据，并通过方差分析对数据进行统计分析。
正交实验设计适用于多因素实验设计，能够探究多个因素对结果变量的影响，并确定各个因素对结果变量的相对重要性。
方差分析则是用来比较不同组别之间的均值差异是否显著，并推断这些差异是否由于随机因素引起。
正文内容1.正交实验设计的基本原理1.1.因素和水平1.2.正交实验设计的完备性和平衡性1.3.主效应和交互效应的概念1.4.正交表和正交实验设计的选择1.5.正交实验设计的优点和局限性2.正交实验设计的建立步骤2.1.确定要研究的因素和水平2.2.选择适当的正交表2.3.构建试验方案2.4.进行实验和数据收集2.5.数据分析和结果解释3.方差分析的基本原理3.1.单因素方差分析3.2.多因素方差分析3.3.方差分析中的假设检验3.4.方差分析的效应量和效应大小3.5.方差分析结果的解释和报告4.正交实验设计与方差分析的应用领域4.1.医学研究4.2.工程设计4.3.农业实验4.4.社会科学研究4.5.生产过程优化5.正交实验设计与方差分析的案例分析5.1.一个药物疗效评价的正交实验设计案例5.2.一个工程设计的正交实验设计案例5.3.一个农业实验的正交实验设计案例5.4.一个社会科学研究的正交实验设计案例5.5.一个生产过程优化的正交实验设计案例总结正交实验设计与方差分析是一种重要的统计方法，在实验设计和数据分析中具有广泛的应用。
通过正交实验设计，研究人员能够系统地探究多个因素对结果变量的影响，并确定各个因素的相对重要性。
方差分析则用于比较不同组别之间的均值差异，并推断这些差异是否显著。
正交实验设计与方差分析能够帮助研究人员有效地设计实验、收集数据并进行统计分析，为科学研究和应用提供有力支持。
在不同领域，如医学研究、工程设计、农业实验、社会科学研究和生产过程优化等方面都有广泛的应用。
实验设计与数据处理：2方差分析（09级温淑平修正均值为μ）
实验设计与数据处理：2⽅差分析（09级温淑平修正均值为µ）第2章⽅差分析2.1 概述⽅差分析（analysis of variance）是数理统计的基本⽅法之⼀，是分析试验数据的⼀种有效⼯具。
⽅差分析是在20世纪20年代初由英国统计学家费歇尔（R.A.Fisher）所创，最早⽤于⽣物学和农业实验，后在⼯业⽣产和科学研究中的许多领域⼴泛应⽤，取得良好的效果。
⼀、⽅差分析的必要性在第1章中，我们已经讨论了两个正态总体均值相等的假设检验问题。
但在实际⽣产中，经常遇到检验多个正态总体均值是否相等的问题。
例2-1 以淀粉为原料⽣产葡萄糖的过程中，残留有许多糖蜜，可作为⽣产酱⾊的原料。
在⽣产酱⾊之前应尽可能彻底除杂，以保证酱⾊质量。
为此，对除杂⽅法进⾏选择。
在试验中选⽤五种不同的除杂⽅法，每种⽅法做四次试验，即重复四次，结果见表2-1。
表2-1 不同除杂⽅法的除杂量(g/kg)本试验的⽬的是判断不同的除杂⽅法对除杂量是否有显著影响，以便确定最佳除杂⽅法。
我们可以认为，同⼀除杂⽅法重复试验得到的4个数据的差异是由随机误差造成的，⽽随机误差常常是服从正态分布的，这时除杂量应该有⼀个理论上的均值。
⽽对不同的除杂⽅法，除杂量应该有不同的均值。
这种均值之间的差异是由于除杂⽅法的不同造成的。
于是我们可以认为，五种除杂⽅法所得数据是来⾃五个均值不同的五个正态总体，且由于试验中其它条件相对稳定，因⽽可以认为每个总体的⽅差是相等的，即五个总体具有⽅差齐性。
这样，判断除杂⽅法对除杂效果是否有显著影响的问题，就转化为检验五个具有相同⽅差的正态总体均值是否相同的问题了，即检验假设H0: µ1=µ2=µ3=µ4=µ5对于这种多个总体样本均值的假设检验，第1章介绍的⽅法不再适⽤，须采⽤⽅差分析⽅法。
⼆、⽅差分析的基本思想⽅差分析的实质就是检验多个正态总体均值是否相等。
那么，如何检验呢？从表2-1可见，20个试验数据（除杂量）是参差不齐的。
试验设计与分析
1.2双因素试验的方差分析
-有交互作用
1.2双因素试验的方差分析
-有交互作用
1.2双因素试验的方差分析
-有交互作用
1.2双因素试验的方差分析
-有交互作用
一元线性
回归分析
一元线性回归
• 变量之间的相互关系：
确定性关系:即变量之间的关系可以用精确的函数
关系来表达；
非确定性关系, 称为相关关系
回归分析：处理变量之间相互关系的统计方法。
• 相关关系是一种统计关系，在大量的观察
下，往往呈现一定的规律性，可以借助散
点图或相应的函数式表达出来，这种函数
称为回归函数或回归方程。
• 回归分析：一元回归分析；
•
多元回归分析。
• （或者）回归分析：线性回归分析；
•
非线性回归分析。
三.有交互作用的正交试验设计
例6 某产品的产量取决于3 个因素A, B, C, 每个因素都有两个水平, 具体数值
如表例6.13 所示.每两个因素之间都有交互作用, 必须考虑. 试验指标为产量,
越高越好. 试安排试验, 并分析试验结果, 找出最好的方案.
第五章 稳健性设计
• 5.1 概述
• 2.
第四章 正交试验设计-等水平正交表
（2）多指标分析法
1）综合平衡法
例 2 为提高某产品质量, 要对生产该产品的原料进行配方试验. 要检验3 项指标:
抗压强度、落下强度 和裂纹度, 前两个指标越大越好, 第3 个指标越小越好.
根据以往的经验, 配方中有3 个重要因素: 水份、粒度和碱度. 它们各有3 个水平,
值。
• .
1.3.5利用回归方程进行预报
1.4多元线性回归
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6方差分析与试验设计在研究一个或多个分类型自变量与一个数值型因变量之间的关系时，方差分析就是其中主要方法之一。
检验多个总体均值是否相等的统计方法。
所要检验的对象称为因素。
因素的不同表现称为水平。
每个因子水平下得到的样本数据称为观测值。
随机误差：在同一行业（同一总体）下，样本的各观测值是不同的。
抽样随机性造成。
系统误差：在不同一行业（不同一总体）下，样本的各观测值也是不同的。
抽样随机性和行业本身造成的。
组内误差：衡量因素在同一行业（同一总体）下样本数据的误差。
只包含随机误差。
组间误差：衡量因素在不同一行业（不同一总体）下样本数据的误差。
包含随机误差、系统误差。
方差分析的三大假设：每个总体服从正态分布；每个总体的方差必须相同；观测值是独立的；单因素方差分析（F分布）数据结构：表示第i个水平（总体）的第j个的观测值。
（i列j行）分析步骤：1提出假设。
自变量对因变量没有显著影响不完全相等自变量对因变量有显著影响 2构造检验的统计量计算因素各水平的均值（各水平样本均值）计算全部观测值的总均值（总体均值）计算误差平方和：总误差平方和SST：全部观测值与总平均值得误差平方和。
水平项误差平方和SSA：各组平均值与总平均值得误差平方和。
组间平方和。
误差项平方和SSE：各样本数据与其组平均值误差的平方和。
组内平方和。
SST=SSA+SSEA B C D E F G 1误差来源平方和自由度均方F 值P 值F 临界值2SS df MS 3组间（因素来源）SSA k-1MSA MSA/MSE4组内（误差）SSE n-k MSE 5总和SSTn-1计算统计量各平方和除以它们对应的自由度，这一结果称为均方。
SST 的自由度为（n-1），其中n 为全部观测值的个数。
SSA 的自由度为（k-1），其中k 为因素水平的个数。
（组数-1）SSE 的自由度为（n-k ）。
SSA 的均方（组间均方）为 SSE 的均方（组内均方）为3统计决策在给定的显著性水平α下，查表得临界值 若，有显著影响； 若，无显著影响； 4方差分析表方差分析中的多重比较（T分布）检测哪些均值之间不相等？哪些行业之间？最小显著差异方法LSD的检验步骤：1提出假设，即2计算检验统计量||3计算LSD，4根据显著性水平α决策：如果||>LSD，拒绝原假设，反之接受。
双因素方差分析 １数据结构R行因素共有k个水平 ； C列因素共有r个水平。
是行因素的第i个水平下各观测值的平均值。
是列因素的第j个水平下各观测值的平均值。
是全部kr个样本数据的总平均值。
2分析步骤提出假设：对行因素提出假设：自变量对因变量没有显著影响不完全相等自变量对因变量有显著影响对列因素提出假设：自变量对因变量没有显著影响不完全相等自变量对因变量有显著影响构造检验的统计量：总误差平方和SST：全部观测值与总平均值得误差平方和。
行误差平方和SSR：列误差平方和SSC：随机误差项平方和SSE：SST=SSR+SSC+SSE计算均方：总误差平方和SST的自由度为（kr-1）行因素的误差平方和SSR的自由度为（k-1）列因素的误差平方和SSC的自由度为（r-1）随机误差平方和SSE的自由度为（k-1）*（r-1）行因素均方MSR=A B C D E F G 1误差来源误差平方和自由度均方F 值P 值F 临界值SS df MS2行因素SSR k-1MSR MSR/MSE 3列因素SSC r-k MSC MSC/MSE 4误差SSE (k-1)*(r-1)MSE 5总和SSTKr-列因素均方MSC=随机误差项的均方MSE=检验行因素对因变量的影响是否显著：检验列因素对因变量的影响是否显著：统计决策：根据给定的显著性水平α和两个自由度下，查表得出临界值，将和、比较。
若>，拒绝原假设，有显著影响。
若>，拒绝原假设，有显著影响。
双因素方差分析表7相关与回归分析相关关系与函数关系当一个或几个相互联系的变量取一定数值时，与之相对应的另一个变量的值虽然不确定，但它仍然按某种规律在一定范围内变化，变量间的这种关系，被称为相关关系。
变量之间的函数关系和相关关系在一定条件下可以相互转化。
相关关系与函数关系的区别函数关系是变量之间的一种严格、完全确定性的关系，即一个变量的数值完全由另一个（或一组）变量的数值所决定、控制。
函数关系通常可以用数学公式确切地表示出来。
相关关系难以像函数关系那样，用数学公式去准确表达。
相关关系与函数关系的联系由于客观上常会出现观察或测量上的误差等原因，函数关系在实际工作中往往通过相关关系表现出来。
当人们对某些现象内部规律有较深刻认识时，相关关系可能变为函数关系。
为此，在研究相关关系时，又常常使用函数关系作为工具，用一定的函数关系表现相关关系的数量联系。
相关系数的种类：涉及变量的个数：单相关、复相关表现形式的不同：线性相关、非线性相关现象变化的方向：正相关、负相关相关程度的不同：完全相关、不完全相关、不相关相关关系的描述：相关表、相关图相关系数：总体相关系数ρ，样本相关系数γ1简单线性相关系数相关系数的特点：1）相关系数的取值[-1,1]。
2）γ=0时，x、y没有线性相关系数。
3）0<|γ|<1，x、y存在一定线性相关系数；γ>0正相关，γ<0负相关。
4）|γ|=1，x、y完全线性相关系数；γ=1,完全正相关，γ=-1完全负相关。
使用相关系数分析相关关系时的注意：1）x和y都是相互对称的随机变量，即。
2）相关系数只反映变量间的线性相关程度，不能说明非线性相关关系。
3）相关系数只能反映变量间线性相关的程度，不能确定变量的因果关系。
4）相关系数受变量取值区间大小及观测值个数的影响较大。
相关系数检验：检验总体相关系数是否等于零；检验总体相关系数是否等于某个不等于零的特点数值；1）提出假设双侧T检验2）计算统计量3）判断|t|> ,拒绝原假设； |t|< ,接受原假设。
2Spearman等级相关系数一元线性回归分析根据已知的或固定的自变量的数值，去估计因变量的总体平均值。
只有当变量间存在相当程度的相关系数时，进行回归分析去寻求变量间相关的具体数学形式才有实际的意义。
回归分析是寻求变量间联系的具体数学形式。
回归分析是变量因果关系分析的基础上研究其中的自变量的变动对因变量的具体影响。
1）总体回归函数PRF条件期望变现形式：个别值表现形式：2）样本回归函数SRFy的样本观测值的条件期望随自变量x而变动的轨迹，称为样本回归线。
使得样本回归函数的参数α、β“尽可能接近”总体回归函数的参数，即普通最小二乘法估计1一元线性回归的基本假设：1）零均值假定。
2）同方差假设。
在给定x的条件下，的条件方差为某个常数。
3）无自相关假设。
随机扰动项u的逐次值互不相关。
4）随机扰动与自变量不相关的假定。
5）正态性假设。
2普通最小二乘法准则：求参数：方差的估计：拟合优度的度量样本观测值聚集在样本回归线周围的密集程度。
总离差平方和SST：样本观测值与其平均值的离差平方和。
回归平方和SSR：样本估计值与其平均值的离差平方和。
残差平方和SSE：变量观测值与估计值之差的平方和。
SST=SSR+SSE可决系数（判定系数）回归平方和占总离差平方和的比例大小。
的特点：1可决系数是非负的统计量；2取值范围[0,1]；3可决系数是随抽样而变动的随机变量；4在一元线性回归中，可决系数在数值上是简单线性相关系数的平方；5趋于1，说明回归方程拟合的越好。
线性回归系数显著性t检验1提出假设。
2计算统计量。
3给定显著性水平α，确定临界值。
4检验判断结果。
回归统计Multiple相关系数R SquareAdjusted R标准误差观测值n方差分析Df自由度SS误差和MS均方差F SignificanceF回归分析K-1SSR MSR=SSR/(K-1)MSR/MSE残差N-2SSE MSE=SSE/(N-2)总计N-1SSTCoefficient具体数值标准误差T stat P-valuelower upperIntercept α截距X Variable β斜率5检验假设参数估计是利用样本信息推断未知的总体参数，而检验假设则是先对总体参数提出一个假设值，然后利用样本信息判断这一假设是否成立。
1原假设和备择假设是一个完备事件组，而且相互对立。
2先确定备择假设，然后再确定原假设。
3再假设检验中，等号“=”总是放在原假设上。
4假设检验的目的主要是收集证据拒绝原假设。
假设双侧检验单侧检验左侧检验右侧检验原假设备择假设拒绝域就是由显著性水平α所围成的区域。
根据给定的显著性水平确定的拒绝域的边界值，称为临界值。
1利用P值进行决策P值反映的实际观测到的数据与原假设之间不一致程度的一个概率值。
P值越小，说明实际观测到的数据与原假设之间不一致的程度就越大，检验的结果也就越显著。
P<α，拒绝；P>α，接受2一个总体参数的检验总体均值µ检验、总体比率π检验、总体方差1）总体均值µ检验大样本。
n≥30、总体均值正态分布双侧检验左侧检验右侧检验假设形式，，，检验统计量，α与拒绝域|z|>z<-z>P值决策准则P<α，拒绝小样本。
n<30 t分布双侧检验左侧检验右侧检验假设形式，，，检验统计量，（）α与拒绝域P值决策准则P<α，拒绝2）总体比率的检验正态分布双侧检验左侧检验右侧检验假设形式，，，检验统计量α与拒绝域P值决策准则P<α，拒绝3）总体方差的检验 X分布双侧检验左侧检验右侧检验假设形式，，，检验统计量α与拒绝域4参数估计参数估计：用样本统计量去估计总体的参数。
估计量：用来估计总体参数的统计量的名称。
估计值：用来估计总体参数时计算出来的估计量的具体数值。
点估计和区间估计点估计：用样本估计量的值直接作为总体参数的估计值。
区间估计：点估计值与总体参数的真实值接近的程度。
置信区间：由样本统计量所构造的总体参数的估计区间。
有置信下限和置信上限。
1-置信系数：置信区间中包含总体参数真值的次数所占的比率称为置信水平，或置信系数。
评价估计量的标准：（解答题）1无偏性。
估计量抽样分布的数学期望等于被估计的总体参数。
即。
2有效性。
对同一总体参数的两个无偏点估计量，有更小标准差的估计量更有效。
3一致性。
随着样本量的增大，点估计量的值越来越接近被估总体的参数。
区间估计参数点估计量（值）标准误差（1-α）的置信区间假定条件µ总体均值1)σ已知2)大样本（n≥30)1）σ未知2) 大样本（n≥30)1） 正态总体2） σ未知3） 小样本（n<30）自由度n-1π总体比率1） 二项总体2） 大样本（n≥30)总体方差正态总体自由度n-1不要求样本量的确定总体均值样本量E代表所希望达到的允许误差总体比率样本量2统计数据的描述统计数据的分类品质数据（做分类整理）定类数据分类的标准为定类尺度，定类数据不区分顺序。