全国教师资格考试高中数学(供参考)

2015年下半年中小学教师资格考试

数学学科知识与教学能力（高级中学）

一、选择题

1.若多项式()432341

f x x x x x

=+---和()321

g x x x x

=+--，则f(x)和g(x)的公因式为

A.x+l

B.x+3

C.x-1

D.X-2

【解析】A：由辗转相除法可得

2.已知变换矩A=[

3

],阵则A将空间曲面(x−1)2+(y−2)2+

(Z−1)2=1变成

A.球面

B. 椭球线

C. 抛物线

D. 双曲线

【解析】B：由已知的条件设曲面经矩阵A变化后为

[

3][

x

y

z

]=[

x

2y

3z

]=

[

x＇

y＇

z＇]

, 则x= x＇, y=1

2

y＇, z=1

3

y＇故其方程为

(x−1)2+(1

2y−2)

2

+(1

3

Z−1)

2

=1；

3.为研究7至10岁少圭牢手儿嚣的身高情况，甲、乙两名研究人员分别随机抽取了某城市100名和1000名两组调查样本，若甲、乙抽取的两组样本平均身高分别记为α、β(单位:cm阴阳、严的大小关系为

A. α＞β

B. α＜β

C. α=β

D.不能确定

【解析】D:随机抽样的结果之间关系无法确定；

4.已知数列{a n}与数列{b n}，n=1,2,3…则下列结论不正确的是

A．若对任意的整数n,有a n≤b n，lim

n→∞

b n=b,且b<0,则a<0;

B ． 若lim n→∞

a n =a,lim n→∞

b n =b,且a

C ． 若lim n→∞a n =a,lim n→∞b n =b,且存在正整数N ，使得当n>N 时，a n ≥b n 则

a >b

D ． 若对任意的正整数n,有a n ≥b n ，lim n→∞a n =a,lim n→∞

b n =b,且

b>0,则a>0

【解析】B:取a n =1n ,b n =1−1

n ,lim n→∞a n =0,lim n→∞b n =b,0<1,而a 1=1>

b 1=0, a 1=b 1=12，因此结论不正确；

5. 下列关系不正确的是

C.(a ⃗∙b ⃗⃗)2+(a

⃗×b ⃗⃗)2

=a ⃗2b ⃗⃗2

D. (a ⃗×b ⃗⃗)×c ⃗=(a ⃗∙c ⃗)b ⃗⃗+(b ⃗⃗∙c ⃗)a ⃗

【解析】B: 由向量积的性质可得(a ⃗+c ⃗)×b ⃗⃗=a ⃗×b ⃗⃗+c ⃗×b

⃗⃗ A.(-3，3) B.(−13,13］ C.［−13,1

3） D. [-3,3] 7. 20世纪初对国际数学教育产生重要影响的是

A ．贝利-克莱因运动 B.大众教学

C ．新数学运动 D.PISA 项目

【解析】A: 第一次数学课程改革发生在20世纪初，史部"克菜园-贝利运动'.英国数学家贝利提出"数学教育应该面向大众"、"数学教育必须重视应用"的改革指导思想；德国数学家克莱因认为，数学教育的意义、内容、教材、方法等，必须紧跟时代步伐，结合近代数学和教育学的新进展，不断进行改革。

8. 《普通高中数学课程标准（实验）》提出了五种基本能力，其中不包括

A. 抽象概括

B. 推理论证

C. 观察操作

D. 数据处理

【解析】C: 《普通高中数学课程标准(实验)》提出了五项基本能力，包括:抽象概括、推理论证、数据处理、空间想象、运算求解；

二、 简答题

9. 一条光线斜射在一水平放置的平面上，入射角为6π

，请建立空间直角坐标系，并求出反射光线的方程. 若将反射光线绕平面镜的法线旋转一周，求出旋转曲面的方程。

[解析] 以此光线与平面的交点为原点建立空间直角坐标系，如下图:

则入射光线所在直线过原点且在yoz 坐标面上，所以入射光线的直线方程为

若将反射光线绕法线旋转一周，也就是绕z 轴旋转一周，则得出旋转曲面的方

11122233,a b v a v b a b ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

1323c v c c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 线性无关。

[解析]（1）若向量11122233,a b v a v b a b ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

1323c v c c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭线性无关时，满足方程组的系数矩

阵的秩等于增广矩阵的秩相等这一条件，则方程组有解。

先证明唯一性：设方程组有两个解：

即111213212223,(1),(2)x v y v z v d x v y v z v d ++=++=

两式作差得()()()1211221230x x v y y v z z v -+-+-=

因为11122233,a b v a v b a b ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

1323c v c c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭线性无关

所以1212120x x y y z z -=-=-=

11122233,a b v a v b a b ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

1323c v c c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭线性相关，所以存在不全为0的实数使得

1112130x v y v z v ++=，

组有唯一解矛盾。

11122233,a b v a v b a b ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

1323c v c c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭线性无关。

11. 某飞行表演队由甲乙两队组成。甲队有喷红色雾和绿色雾的飞机组成，各3架.乙队仅有3架喷红色雾的飞机。在一次表演中，需要从甲队抽3架到乙队组合混合表演队，并且任意指定一架为领飞机，求领飞机是绿色雾的概率。

第一步: 选出甲中喷绿色烟雾的飞机，设X 为选出的喷绿色烟雾的飞机的数量