(人教A版)高考数学复习：8.2《两直线的位置关系》ppt课件
高考数学一轮复习-82-空间点-线-面的位置关系课件-新人教A
解析 (1)法一 如图， 取 AC 的中点 P，连接 PM，PN，则 PM∥AB， 且 PM＝12AB，PN∥CD， 且 PN＝12CD， 所以∠MPN(或其补角)为
AB与CD所成的角．
则∠MPN＝60°或
∠MPN＝120°，
若∠MPN＝60°，
深度思考 求异面直线所 成的角常采用“平移直线 法”，你是不是用的这种 方法？但还可以有一种不 错的方法：补形法．将该 三椎锥放在长方体中，不 妨用这种方法试一试本题 第(1)问？
第2讲 空间点、线、面的位置关系
最新考纲 1.理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解 有关的可以作为推理依据的公理和定理；2.能运用公理、定 理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命 题．
课堂总结
知识梳理
1．平面的基本性质 (1)公理1：如果一条直线上的_两__点__在一个平面内，那么 这条直线在此平面内． (2)公理2：过_不__在__一__条__直__线__上__的三点，有且只有一个平 面． (3)公理3：如果两个不重合的平面有_一__个__公共点，那么 它们有且只有一条过该点的公共直线．
(1)梯形可以确定一个平面．
(√)
(2)圆心和圆上两点可以确定一个平面．
( ×)
(3)已知a，b，c，d是四条直线，若a∥b，b∥c，c∥d，
则a∥d.
(√ )
(4)两条直线a，b没有公共点，则a与b是异面直线． ( × )
课堂总结
2．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b ()
A．一定是异面直线 B．一定是相交直线 C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线 解析 由已知得直线c与b可能为异面直线也可能为相交 直线，但不可能为平行直线，若b∥c，则a∥b，与已知a， b为异面直线相矛盾． 答案 C
高考数学一轮复习 第二节 两直线的位置关系课件 理 新人教A版
＋y＝1 平行”的充要条件，故选 C .
3．经过两直线 l1：x－2y＋4＝0 和 l2：x＋y－2＝0 的交点 P，
且与直线 l3：3x－4y＋5＝0 垂直的直线 l 的方程为________．
解析：法一
由பைடு நூலகம்
方
程
组
x－2y＋4＝0， x＋y－2＝0，
得
x＝0， y＝2，
即
P(0,2)．
∵l⊥l3，∴直线 l 的斜率 k1＝－43，
第二节
两直线的位置关系
1．两直线的位置关系
斜截式
一般式
方程 y＝k1x＋b1 y＝k2x＋b2
A1x＋B1y＋C1＝0(A21＋B21≠0) A2x＋B2y＋C2＝0(A22＋B22≠0)
相交
k1≠k2
A1B2－A2B1≠0当A2B2≠0时，记为AA21≠BB12
垂直 k1＝－k12或k1k2＝－1
2．已知 p：直线 l1：x－y－1＝0 与直线 l2：x＋ay－2＝0 平行，
q：a＝－1，则 p 是 q 的
()
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
解析：由于直线 l1：x－y－1＝0 与直线 l2：x＋ay－2＝0 平行 的充要条件是 1×a－(－1)×1＝0，即 a＝－1.
k1＝k2 平行
且 b1≠b2
A1A2＋B1B2 ＝
0A当1BB2－1BA2≠20B时1＝，0，记为ABA11·1BAB222＝－－A21B 1 ＝0，
B2C1－B1C2≠0
或
A1C2－A2C1≠0
当A2B2C2≠0时，记为AA12＝BB12≠CC12
2．两直线的交点
2020高考数学总复习第八章解析几何8.2两直线的位置关系课件理新人教A版
解析：方法一 当 a＝1 时，l1：x＋2y＋6＝0， l2：x＝0，l1 不平行于 l2； 当 a＝0 时，l1：y＝－3， l2：x－y－1＝0，l1 不平行于 l2； 当 a≠1 且 a≠0 时，两直线可化为 l1：y＝－a2x－3，
l2：y＝1－1 ax－(a＋1)，
已知两直线一般方程的两直线位置关系的表示
提醒：当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存 在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注 意 x，y 的系数不能同时为零这一隐含条件．
(1)已知三条直线 2x－3y＋1＝0,4x＋3y＋5＝0，mx－y－1＝0 不能
构成三角形，则实数 m 的取值集合为( D )
①若直线与对称轴平行，则在直
2.轴对称问题的两种类型及求解方法
若两点 P1(x1，y1)与 P2(x2，y2)关于 直线 l：Ax＋By＋C＝0 对称，由
点关 方程组
于直 线对 称
Ax1＋2 x2＋By1＋2 y2＋C＝0， yx22－－yx11·－BA＝－1，
可得到点 P1 关于 l 对称的点 P2 的 坐标(x2，y2)(其中 B≠0，x1≠x2)
法二 设 P(x，y)为 l′上任意一点， 则 P(x，y)关于点 A(－1，－2)的对称点为 P′(－2－x，－4 －y)， ∵P′在直线 l 上， ∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0， 即 2x－3y－9＝0.
角度 4 线关于线的对称
直线 l1：2x＋y－4＝0 关于直线 l：x－y＋2＝0 对称的直线
(1)若动点 A，B 分别在直线 l1：x＋y－7＝0 和 l2：x＋y－5＝0 上移
动，则 AB 的中点 M 到原点的距离的最小值为( A )
人教a版高考数学(理)一轮课件：8.3空间点、直线、平面间的位置关系
空间点、直线、平面间的 位置关系
考纲展示
理解空间直线、平面位置关系的定义 , 并了 解以下可以作为推理依据的公理和定理. 公理 1: 如果一条直线上的两点在一个平面 内, 那么这条直线上所有的点都在此平面内. 公理 2:过不在同一条直线上的三点,有且只 有一个平面. 公理 3 : 如果两个不重合的平面有一个公共 点 ,那么它们有且只有一条过该点的公共直 线. 公理 4: 平行于同一条直线的两条直线平行. 定理 : 空间中如果一个角的两边与另一个角 的两边分别平行, 那么这两个角相等或互补.
)
A.空间中不同三点确定一个平面 B.空间中两两相交的三条直线确定一个平面 C.一条直线和一个点能确定一个平面 D.梯形一定是平面图形 【答案】D 【解析】空间中不共线的三点确定一个平面,A 错;空间中两两相交于不同 点的三条直线确定一个平面,B 错;经过直线和直线外一点确定一个平面,C 错;D 正确.
∵ E,F 分别是 AB,AA1 的中点,∴ EF∥BA1. 又 A1B∥D1C,∴ EF∥CD1.故 E,C,D1,F 四点共面. (2)∵ EF∥CD1,EF<CD1,∴ CE 与 D1F 必相交,设交点为 P,则由 P∈CE, CE⊂ 平面 ABCD,得 P∈平面 ABCD.同理 P∈平面 ADD1A1.又平面 ABCD∩ 平面 ADD1A1=DA,∴ P∈直线 DA.故 CE,D1F,DA 三线共点.
(填序号).
①没有公共点的两条直线是异面直线; ②分别和两条异面直线都相交的两直线异面; ③一条直线和两条异面直线中的一条平行,则它和另一条直线不可能平行; ④一条直线和两条异面直线都相交,则它们可以确定两个平面. 【答案】①② 【解析】没有公共点的两条直线平行或异面,故命题①错;命题②错,此时两 直线有可能相交;命题③正确,因为若直线 a 和 b 异面,c∥a,则 c 与 b 不可能 平行,用反证法证明如下:若 c∥b,又 c∥a,则 a∥b,这与 a,b 异面矛盾,故 c b; 命题④也正确,若 c 与两异面直线 a,b 都相交,由公理 3 可知,a,c 可以确定一 个平面,b,c 也能确定一个平面,这样,a,b,c 共可确定两个平面.
2015高考数学(理)一轮复习考点突破课件：8.2两条直线的位置关系
(2)因为两直线 l1： mx＋8y＋n＝0 与 l2： 2x＋my－1＝0 相交， 因此， n 1 当 m＝0 时，l1 的方程为 y＝－ ，l2 的方程为 x＝ ，两直线相交， 8 2 此时，实数 m、n 满足的条件为 m＝0，n∈R；当 m≠0 时，∵两 直线相交， m 8 ∴ 2 ≠m，解得 m≠± 4，此时，实数 m、n 满足的条件为 m≠± 4，n ∈R. 【答案】 (1)x＋2y＝0 (2)m≠± 4，n∈R
的值为 A. 2 C. 2－1 B．2－ 2 D. 2＋1 ( )
|m－1＋2| |m＋1| 解析：d＝ ＝ ＝1， 2 2 ∴m＝－1± 2. 又∵m＞0，∴m＝ 2－1. 答案：C
(2)已知直线 l1 与 l2： x＋y－1＝0 平行， 且 l1 与 l2 之间的距离是 2， 则直线 l1 的方程为________． 解析：设 l1 的方程为 x＋y＋m＝0 |m＋1| 利用平行线之间的距离 d＝ ＝ 2. 2 ∴m＝1 或 m＝－3. ∴直线 l1 的方程为 x＋y＋1＝0 或 x＋y－3＝0. 答案：x＋y＋1＝0 或 x＋y－3＝0
• 【归纳提升】 (1)当直线的方程中存在字母参数时，不仅要考虑到 斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还 要注意x、y的系数不能同时为零这一隐含条件． • (2)在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间 的关系得出结论．
针对训练
• 1．“a＝1”是“直线x＋y＝0和直线x－ay＝0相互垂直”的 • ( A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 )
1．两条直线平行与垂直的判定
• (1)两条直线平行 • 对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，则有 l1 ∥ l2 ⇔ ，特别地，当直线l1、l2的斜率都不存在时，l1与l2的 关系为 ．
第8章 第2讲两条直线的位置关系-2021版高三数学(新高考)一轮复习课件共55张PPT
∴另一条直角边的方程为 y－156＝－12(x－358)，即 x＋2y－14＝0，故选 C、D．
第八章 解析几何
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(1)当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜 率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y的系数 不能同时为零这一隐含条件．
a＝2
或
a＝－3，
又“a＝2”是“a＝2 或 a＝－3，的充分不必要条件，
即“a＝2”是“两直线 ax＋3y＋2a＝0 和 2x＋(a＋1)y－2＝0 平行”的充分不必
要条件，故选 A．
第八章 解析几何
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第八章 解析几何
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第八章 解析几何
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知识点一 两条直线的位置关系 平面内两条直线的位置关系包括__平__行__、__相__交__、__重__合____三种情况． (1)两条直线平行 对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l1∥l2⇔k1＝k2，且b1≠b2. 对于直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0， l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)． (2)两条直线垂直 对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l1⊥l2⇔k1·k2＝－1. 对于直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1⊥l2⇔ _A_1_A_2＋__B__1B__2＝__0_.
2012届高考数学(文)一轮复习课件：两直线的位置关系(人教A版)
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[解] (1) 解法一 : 当a = 1时, l1：x + 2y + 6 = 0, l2：x = 0, l1不平行于l2 ; 当a = 0时, l1：y = −3, l2：x − y − 1 = 0, l1不平行于l2 ; 当a ≠ 1且a ≠ 0时, 两直线可化为 a 1 l1：y = − x − 3, l2：y = x − (a + 1), 2 1− a 1 a , − = l1 //l2 ⇔ 2 1 − a 解得a = −1, −3 ± −(a + 1), 综上可知, 当a = −1时, l1 //l2 , 否则l1与l2不平行.
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[分析]可以把直线化成斜截式,运用斜率或截距的数量关系 分析]可以把直线化成斜截式, 来判断求解,但由于直线的斜率可能不存在, 来判断求解,但由于直线的斜率可能不存在,就必须进行分 类讨论;也可以运用一般式方程中的关系来判断或求解,这 类讨论;也可以运用一般式方程中的关系来判断或求解, 样可以避免讨论. 样可以避免讨论.
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4.已知P 是直线l:f(x,y)=0上的一点,P l:f(x,y)=0上的一点 4.已知P1(x1,y1)是直线l:f(x,y)=0上的一点,P2(x2,y2)是直 已知 )=0表示的直 线l外一点,由方程f(x,y)+f(x1,y1)+f(x2,y2)=0表示的直 外一点,由方程f(x,y)+f(x 线与直线l的位置关系是( 线与直线l的位置关系是( A.互相重合 A.互相重合 C.互相垂直 C.互相垂直 答案:B 答案:B ) B.互相平行 B.互相平行 D.互相斜交 D.互相斜交
第三十八讲 两直 线的位置关系
共 65 页
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2024年高考数学总复习第八章《立体几何与空间向量》8
2024年高考数学总复习第八章《立体几何与空间向量》§8.2空间点、直线、平面之间的位置关系最新考纲 1.借助长方体模型，在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出空间线、面位置关系的定义.2.了解可以作为推理依据的公理和定理.3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题．1．四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．2．直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点(2)异面直线所成的角①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．，π2.3．直线与平面的位置关系有直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况．4．平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．5．等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．概念方法微思考1．分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线吗？提示不一定．因为异面直线不同在任何一个平面内．分别在两个不同平面内的两条直线可能平行或相交．2．空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角一定相等吗？提示不一定．如果这两个角开口方向一致，则它们相等，若反向则互补．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果两个不重合的平面α，β有一条公共直线a，就说平面α，β相交，并记作α∩β＝a.(√)(2)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．(×)(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．(×)(4)经过两条相交直线，有且只有一个平面．(√)(5)没有公共点的两条直线是异面直线．(×)(6)若a，b是两条直线，α，β是两个平面，且a⊂α，b⊂β，则a，b是异面直线．(×)题组二教材改编2．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成角的大小为()A．30°B．45°C．60°D．90°答案C解析连接B1D1，D1C，则B1D1∥EF，故∠D1B1C即为所求的角．又B1D1＝B1C＝D1C，∴△B1D1C为等边三角形，∴∠D1B1C＝60°.3．如图，在三棱锥A—BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则(1)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为菱形；(2)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为正方形．答案(1)AC＝BD(2)AC＝BD且AC⊥BD解析(1)∵四边形EFGH为菱形，∴EF＝EH，∴AC＝BD.(2)∵四边形EFGH为正方形，∴EF＝EH且EF⊥EH，∵EF∥AC，EH∥BD，且EF＝12AC，EH＝12BD，∴AC＝BD且AC⊥BD.题组三易错自纠4．α是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，若m⊄α，n⊂α，且A∈m，A∈α，则m，n的位置关系不可能是()A．垂直B．相交C．异面D．平行答案D解析依题意，m∩α＝A，n⊂α，∴m与n可能异面、相交(垂直是相交的特例)，一定不平行．5.如图，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且C∉l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过()A．点AB．点BC．点C但不过点MD．点C和点M答案D解析∵AB⊂γ，M∈AB，∴M∈γ.又α∩β＝l，M∈l，∴M∈β.根据公理3可知，M在γ与β的交线上．同理可知，点C也在γ与β的交线上．6.如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面的对数为______．答案3解析平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则AB，CD，EF和GH在原正方体中，显然AB与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线，而AB与EF相交，CD与GH 相交，CD与EF平行．故互为异面的直线有且只有3对．题型一平面基本性质的应用例1如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点．证明(1)如图，连接EF，CD1，A1B.∵E，F分别是AB，AA1的中点，∴EF∥BA1.又A1B∥D1C，∴EF∥CD1，∴E，C，D1，F四点共面．(2)∵EF∥CD1，EF<CD1，∴CE与D1F必相交，设交点为P，如图所示．则由P∈CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直线DA，∴CE，D1F，DA三线共点．思维升华共面、共线、共点问题的证明(1)证明共面的方法：①先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；②证两平面重合．(2)证明共线的方法：①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；②直接证明这些点都在同一条特定直线上．(3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．跟踪训练1如图，在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，G ，H 分别在BC ，CD 上，且BG ∶GC ＝DH ∶HC ＝1∶2.(1)求证：E ，F ，G ，H 四点共面；(2)设EG 与FH 交于点P ，求证：P ，A ，C 三点共线．证明(1)∵E ，F 分别为AB ，AD 的中点，∴EF ∥BD .∵在△BCD 中，BG GC ＝DH HC ＝12，∴GH ∥BD ，∴EF ∥GH .∴E ，F ，G ，H 四点共面．(2)∵EG ∩FH ＝P ，P ∈EG ，EG ⊂平面ABC ，∴P ∈平面ABC .同理P ∈平面ADC .∴P 为平面ABC 与平面ADC 的公共点．又平面ABC ∩平面ADC ＝AC ，∴P ∈AC ，∴P ，A ，C 三点共线．题型二判断空间两直线的位置关系例2(1)若直线l 1和l 2是异面直线，l 1在平面α内，l 2在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是()A ．l 与l 1，l 2都不相交B ．l 与l 1，l 2都相交C ．l 至多与l 1，l 2中的一条相交D ．l 至少与l 1，l 2中的一条相交答案D 解析由直线l 1和l 2是异面直线可知l 1与l 2不平行，故l 1，l 2中至少有一条与l 相交．故选D.(2)如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别在A 1D ，AC 上，且A 1E ＝2ED ，CF ＝2FA ，则EF 与BD 1的位置关系是()A．相交但不垂直B．相交且垂直C．异面D．平行答案D解析连接D1E并延长，与AD交于点M，由A1E＝2ED，可得M为AD的中点，连接BF并延长，交AD于点N，因为CF＝2FA，可得N为AD的中点，所以M，N重合，所以EF和BD1共面，且MEED1＝12，MFBF＝12，所以MEED1＝MFBF，所以EF∥BD1.思维升华空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定．异面直线可采用直接法或反证法；平行直线可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理；垂直关系往往利用线面垂直或面面垂直的性质来解决．跟踪训练2(1)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析若直线a和直线b相交，则平面α和平面β相交；若平面α和平面β相交，那么直线a 和直线b可能平行或异面或相交，故选A.(2)如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM 与CC 1是相交直线；②直线AM 与BN 是平行直线；③直线BN 与MB 1是异面直线；④直线AM 与DD 1是异面直线．其中正确的结论为________．(注：把你认为正确的结论序号都填上)答案③④解析因为点A 在平面CDD 1C 1外，点M 在平面CDD 1C 1内，直线CC 1在平面CDD 1C 1内，CC 1不过点M ，所以AM 与CC 1是异面直线，故①错；取DD 1中点E ，连接AE ，则BN ∥AE ，但AE 与AM 相交，故②错；因为B 1与BN 都在平面BCC 1B 1内，M 在平面BCC 1B 1外，BN 不过点B 1，所以BN 与MB 1是异面直线，故③正确；同理④正确，故填③④.题型三求两条异面直线所成的角例3(2019·青岛模拟)如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝2，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为()A.15B.25C.35D.45答案D 解析连接BC 1，易证BC 1∥AD 1，则∠A 1BC 1即为异面直线A 1B 与AD 1所成的角．连接A 1C 1，由AB ＝1，AA 1＝2，易得A 1C 1＝2，A 1B ＝BC 1＝5，故cos ∠A 1BC 1＝A 1B 2＋BC 21－A 1C 212×A 1B ×BC 1＝45，即异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为45.引申探究将上例条件“AA 1＝2AB ＝2”改为“AB ＝1，若异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为910”，试求AA 1AB 的值．解设AA 1AB＝t (t >0)，则AA 1＝tAB .∵AB ＝1，∴AA 1＝t .∵A 1C 1＝2，A 1B ＝t 2＋1＝BC 1，∴cos ∠A 1BC 1＝A 1B 2＋BC 21－A 1C 212×A 1B ×BC 1＝t 2＋1＋t 2＋1－22×t 2＋1×t 2＋1＝910.∴t ＝3，即AA 1AB ＝3.思维升华用平移法求异面直线所成的角的三个步骤(1)一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角；(2)二证：证明作出的角是异面直线所成的角；(3)三求：解三角形，求出所作的角．跟踪训练3(2018·全国Ⅱ)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CC 1的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为()A.22 B.32 C.52 D.72答案C 解析如图，因为AB ∥CD ，所以AE 与CD 所成角为∠EAB .在Rt △ABE 中，设AB ＝2，则BE ＝5，则tan ∠EAB ＝BE AB ＝52，所以异面直线AE 与CD 所成角的正切值为52.立体几何中的线面位置关系直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题．例如图所示，四边形ABEF 和ABCD 都是梯形，BC ∥AD 且BC ＝12AD ，BE ∥FA 且BE ＝12FA ，G ，H 分别为FA ，FD 的中点．(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形；(2)C ，D ，F ，E 四点是否共面？为什么？(1)证明由已知FG ＝GA ，FH ＝HD ，可得GH ∥AD 且GH ＝12AD .又BC ∥AD 且BC ＝12AD ，∴GH ∥BC 且GH ＝BC ，∴四边形BCHG 为平行四边形．(2)解∵BE ∥AF 且BE ＝12AF ，G 为FA 的中点，∴BE ∥FG 且BE ＝FG ，∴四边形BEFG 为平行四边形，∴EF ∥BG .由(1)知BG ∥CH .∴EF ∥CH ，∴EF 与CH 共面．又D ∈FH ，∴C ，D ，F ，E 四点共面．素养提升平面几何和立体几何在点线面的位置关系中有很多的不同，借助确定的几何模型，利用直观想象讨论点线面关系在平面和空间中的差异．1．四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定的平面个数为()A ．4B ．3C ．2D ．1答案A 解析首尾相连的四条线段每相邻两条确定一个平面，所以最多可以确定四个平面．2．a ，b ，c 是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是()A．若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面B．若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交C．若a∥b，则a，b与c所成的角相等D．若a⊥b，b⊥c，则a∥c答案C解析若直线a，b异面，b，c异面，则a，c相交、平行或异面；若a，b相交，b，c相交，则a，c相交、平行或异面；若a⊥b，b⊥c，则a，c相交、平行或异面；由异面直线所成的角的定义知C正确．故选C.3.如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C∉l，则平面ABC与平面β的交线是()A．直线ACB．直线ABC．直线CDD．直线BC答案C解析由题意知，D∈l，l⊂β，所以D∈β，又因为D∈AB，所以D∈平面ABC，所以点D在平面ABC与平面β的交线上．又因为C∈平面ABC，C∈β，所以点C在平面β与平面ABC的交线上，所以平面ABC∩平面β＝CD.4.如图所示，ABCD－A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确是()A．A，M，O三点共线B．A，M，O，A1不共面C．A，M，C，O不共面D．B，B1，O，M共面答案A 解析连接A 1C 1，AC ，则A 1C 1∥AC ，∴A 1，C 1，A ，C 四点共面，∴A 1C ⊂平面ACC 1A 1，∵M ∈A 1C ，∴M ∈平面ACC 1A 1，又M ∈平面AB 1D 1，∴M 在平面ACC 1A 1与平面AB 1D 1的交线上，同理A ，O 在平面ACC 1A 1与平面AB 1D 1的交线上．∴A ，M ，O 三点共线．5．(2017·全国Ⅱ)已知直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，∠ABC ＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为()A.32 B.155 C.105 D.33答案C解析方法一将直三棱柱ABC －A 1B 1C 1补形为直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1，如图①所示，连接AD 1，B 1D 1，BD .图①由题意知∠ABC ＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1，所以AD 1＝BC 1＝2，AB 1＝5，∠DAB ＝60°.在△ABD 中，由余弦定理知BD 2＝AB 2＋AD 2－2×AB ×AD ×cos ∠DAB ＝22＋12－2×2×1×cos 60°＝3，所以BD ＝3，所以B 1D 1＝3.又AB 1与AD 1所成的角即为AB 1与BC 1所成的角θ，所以cos θ＝AB 21＋AD 21－B 1D 212×AB 1×AD 1＝5＋2－32×5×2＝105.故选C.方法二以B 1为坐标原点，B 1C 1所在的直线为x 轴，垂直于B 1C 1的直线为y 轴，BB 1所在的直线为z 轴建立空间直角坐标系，如图②所示．图②由已知条件知B 1(0，0，0)，B (0，0，1)，C 1(1，0，0)，A (－1，3，1)，则BC 1→＝(1，0，－1)，AB 1→＝(1，－3，－1)．所以cos 〈AB 1→，BC 1→〉＝AB 1，→·BC 1→|AB 1→||BC 1→|＝25×2＝105.所以异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为105.故选C.6．正方体AC 1中，与面ABCD 的对角线AC 异面的棱有________条．答案6解析如图，在正方体AC 1中，与面ABCD 的对角线AC 异面的棱有BB 1，DD 1，A 1B 1，A 1D 1，D 1C 1，B 1C 1，共6条．7．(2019·东北三省三校模拟)若直线l ⊥平面β，平面α⊥平面β，则直线l 与平面α的位置关系为________．答案l ∥α或l ⊂α解析∵直线l ⊥平面β，平面α⊥平面β，∴直线l ∥平面α，或者直线l ⊂平面α.8．在三棱锥S －ABC 中，G 1，G 2分别是△SAB 和△SAC 的重心，则直线G 1G 2与BC 的位置关系是________．答案平行解析如图所示，连接SG 1并延长交AB 于M ，连接SG 2并延长交AC 于N ，连接MN .由题意知SM为△SAB的中线，且SG1＝23SM，SN为△SAC的中线，且SG2＝23SN，∴在△SMN中，SG1SM＝SG2SN，∴G1G2∥MN，易知MN是△ABC的中位线，∴MN∥BC，∴G1G2∥BC.9.如图，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为________．答案2解析取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C1D，AD，因为C是圆柱下底面弧AB的中点，所以AD∥BC，所以直线AC1与AD所成的角即为异面直线AC1与BC所成的角，因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，所以C1D垂直于圆柱下底面，所以C1D⊥AD.因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，所以C1D＝2AD，所以直线AC1与AD所成角的正切值为2，所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为2.10.如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，①GH与EF平行；②BD与MN为异面直线；③GH与MN成60°角；④DE与MN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是________．答案②③④解析还原成正四面体A －DEF ，其中H 与N 重合，A ，B ，C 三点重合．易知GH 与EF 异面，BD 与MN 异面．连接GM ，∵△GMH 为等边三角形，∴GH 与MN 成60°角，易证DE ⊥AF ，又MN ∥AF ，∴MN ⊥DE .因此正确命题的序号是②③④.11.如图所示，A 是△BCD 所在平面外的一点，E ，F 分别是BC ，AD 的中点．(1)求证：直线EF 与BD 是异面直线；(2)若AC ⊥BD ，AC ＝BD ，求EF 与BD 所成的角．(1)证明假设EF 与BD 不是异面直线，则EF 与BD 共面，从而DF 与BE 共面，即AD 与BC 共面，所以A ，B ，C ，D 在同一平面内，这与A 是△BCD 所在平面外的一点相矛盾．故直线EF 与BD 是异面直线．(2)解取CD 的中点G ，连接EG ，FG ，则AC ∥FG ，EG ∥BD ，所以相交直线EF 与EG 所成的角，即为异面直线EF 与BD 所成的角．又因为AC ⊥BD ，则FG ⊥EG .在Rt △EGF 中，由EG ＝FG＝12AC ，求得∠FEG ＝45°，即异面直线EF 与BD 所成的角为45°.12.如图，在三棱锥P －ABC 中，PA ⊥底面ABC ，D 是PC 的中点．已知∠BAC ＝π2，AB ＝2，AC ＝23，PA ＝2.求：(1)三棱锥P －ABC 的体积；(2)异面直线BC 与AD 所成角的余弦值．解(1)S △ABC ＝12×2×23＝23，三棱锥P －ABC 的体积为V ＝13S △ABC ·PA ＝13×23×2＝433.(2)如图，取PB 的中点E ，连接DE ，AE ，则ED ∥BC ，所以∠ADE (或其补角)是异面直线BC 与AD 所成的角．在△ADE 中，DE ＝2，AE ＝2，AD ＝2，cos ∠ADE ＝AD 2＋DE 2－AE 22×AD ×DE ＝22＋22－22×2×2＝34.故异面直线BC 与AD 所成角的余弦值为34.13．平面α过正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的顶点A ，α∥平面CB 1D 1，α∩平面ABCD ＝m ，α∩平面ABB 1A 1＝n ，则m ，n 所成角的正弦值为()A.32 B.22 C.33 D.13答案A解析如图所示，设平面CB 1D 1∩平面ABCD ＝m 1，∵α∥平面CB 1D 1，则m 1∥m ，又∵平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1，平面CB 1D 1∩平面A 1B 1C 1D 1＝B 1D 1，∴B 1D 1∥m 1，∴B 1D 1∥m ，同理可得CD 1∥n .故m ，n 所成角的大小与B 1D 1，CD 1所成角的大小相等，即∠CD 1B 1的大小．又∵B 1C ＝B 1D 1＝CD 1(均为面对角线)，∴∠CD 1B 1＝π3，得sin ∠CD 1B 1＝32，故选A.14.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB ⊥EF ；②AB 与CM 所成的角为60°；③EF 与MN 是异面直线；④MN ∥CD .以上四个命题中，正确命题的序号是________．答案①③解析如图，①AB ⊥EF ，正确；②显然AB ∥CM ，所以不正确；③EF 与MN 是异面直线，所以正确；④MN 与CD 异面，并且垂直，所以不正确，则正确的是①③.15.如图，正方形ACDE 与等腰直角三角形ACB 所在的平面互相垂直，且AC ＝BC ＝4，∠ACB ＝90°，F ，G 分别是线段AE ，BC 的中点，则AD 与GF 所成的角的余弦值为________．答案36解析取DE 的中点H ，连接HF ，GH .由题设，HF ∥AD 且HF ＝12AD ，∴∠GFH 为异面直线AD 与GF 所成的角(或其补角)．在△GHF 中，可求HF ＝22，GF ＝GH ＝26，∴cos ∠GFH ＝HF 2＋GF 2－GH 22×HF ×GF ＝(22)2＋(26)2－(26)22×22×26＝36.16.如图所示，三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面是边长为2的正三角形，侧棱A 1A ⊥底面ABC ，点E ，F 分别是棱CC 1，BB 1上的点，点M 是线段AC 上的动点，EC ＝2FB ＝2.(1)当点M 在何位置时，BM ∥平面AEF?(2)若BM ∥平面AEF ，判断BM 与EF 的位置关系，说明理由；并求BM 与EF 所成的角的余弦值．解(1)方法一如图所示，取AE 的中点O ，连接OF ，过点O 作OM ⊥AC 于点M .因为EC ⊥AC ，OM ，EC ⊂平面ACC 1A 1，所以OM ∥EC .又因为EC ＝2FB ＝2，EC ∥FB ，所以OM ∥FB 且OM ＝12EC ＝FB ，所以四边形OMBF 为矩形，BM ∥OF .因为OF ⊂平面AEF ，BM ⊄平面AEF ，故BM ∥平面AEF ，此时点M 为AC 的中点．方法二如图所示，取EC 的中点P ，AC 的中点Q ，连接PQ ，PB ，BQ .因为EC ＝2FB ＝2，所以PE ∥BF 且PE ＝BF ，所以PB ∥EF ，PQ ∥AE ，又AE ，EF ⊂平面AEF ，PQ ，PB ⊄平面AEF ，所以PQ ∥平面AFE ，PB ∥平面AEF ，因为PB ∩PQ ＝P ，PB ，PQ ⊂平面PBQ ，所以平面PBQ ∥平面AEF .又因为BQ ⊂平面PBQ ，所以BQ ∥平面AEF .故点Q 即为所求的点M ，此时点M 为AC 的中点．(2)由(1)知，BM 与EF 异面，∠OFE (或∠MBP )就是异面直线BM 与EF 所成的角或其补角．易求AF ＝EF ＝5，MB ＝OF ＝3，OF ⊥AE ，所以cos ∠OFE ＝OF EF ＝35＝155，所以BM 与EF 所成的角的余弦值为155.。
8.2 两直线的位置关系课件-2023届广东省高职高考数学第一轮复习第八章平面解析几何
解方程组xx－ ＋yy＋ ＋11＝ ＝00，得xy＝＝0－1，即交点为(－1，0)
设与 2x－y＋3＝0 垂直的直线为 x＋2y＋C＝0，
把(－1，0)代入 x＋2y＋C＝0 得 C＝1，故所求直线方程为 x＋2y＋1
＝0. 【答案】 x＋2y＋1＝0.
【融会贯通】 (1)直线 l1 与直线 x＋3y＋3＝0 垂直， 直线 l1 的斜率 k1＝___3___． (2) 经 过 点 A(2 ， 1) 且 与 直 线 x ＋ 2y － 3 ＝ 0 垂 直 的 直 线 方 程 为 __2_x_－__y_－__3_＝__0__．
【融会贯通】 已知点 A(5，2)，B(4，3)，则线段 AB 的垂直平分线 的方程为___x_－__y_－__2_＝__0____． 【解析】 已知 A(5，2)，B(4，3)，则 AB 的中点坐标为5＋2 4，2＋2 3， 即92，52，AB 的斜率 kAB＝34－ －25＝－1，线段 AB 的垂直平分线的斜率
知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 知识点5
4．两平行线间的距离公式 两平行直线 Ax＋By＋C1＝0 和 Ax＋By＋C2＝0，它们之间的距离 为 d，则 d＝ |CA1－2＋CB2|2.
知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 知识点5
5．“曲线关于点或线对称”的几种特殊位置的对称 已知曲线f(x，y)＝0，则它： (1)关于x轴对称的曲线是f(x，－y)＝0； (2)关于y轴对称的曲线是f(－x，y)＝0； (3)关于原点对称的曲线是f(－x，－y)＝0； (4)关于直线y＝x对称的曲线是f(y，x)＝0.
2 5，解得 a＝－3 或 7，又∵点 P 位于第二象限，∴a＜0，∴a＝－3，
2024届高考一轮复习数学课件(新教材人教A版)：两条直线的位置关系
√A.4
B.－4
C.1
D.－1
因为直线 2x＋my＋1＝0 与直线 3x＋6y－1＝0 平行，所以23＝m6 ≠－11， 解得 m＝4.
教材改编题
3.直线x－2y－3＝0关于x轴对称的直线方程为_x_＋__2_y_－__3_＝__0_.
直线 x－2y－3＝0 的斜率为 k＝12且与 x 轴交于点(3,0)， 故所求直线的斜率为－12，且过点(3,0)， 其方程为 y＝－12(x－3)， 即x＋2y－3＝0.
跟踪训练1 (1)(2023·襄阳模拟)设a，b，c分别为△ABC中角A，B，C所对
边的边长，则直线xsin A＋ay＋c＝0与bx－ysin B＋sin C＝0的位置关系是
A.相交但不垂直 C.平行
√B.垂直
D.重合
由题意可知，直线 xsin A＋ay＋c＝0 与 bx－ysin B＋sin C＝0 的斜率 分别为－sina A，sinb B， 又在△ABC 中，sina A＝sinb B， 所以－sina A·sinb B＝－1， 所以两条直线垂直.
(2)(2022·桂林模拟)已知直线l1：ax＋(a－1)y＋3＝0，l2：2x＋ay－1＝0，
若l1⊥l2，则实数a的值是
√A.0或－1
B.－1或1
C.－1
D.1
由题意可知l1⊥l2，故2a＋a(a－1)＝0， 解得a＝0或a＝－1，经验证，符合题意.
思维升华
判断两条直线位置关系的注意点 (1)斜率不存在的特殊情况. (2)可直接利用直线方程系数间的关系得出结论.
命题点1 点关于点的对称问题
例 3 直线 3x－2y＝0 关于点13，0对称的直线方程为
A.2x－3y＝0 C.x－y＝0
高考数学---两条直线的位置关系PPT复习课件
|P1P2|＝ x2－x12＋y2－y12
d＝|Ax0＋A2B＋y0B＋2 C|
d＝
|C1－C2| A2＋B2
33
本例题也可通过对称直线和原直线平行，设出所求直 线，然后利用点M到两直线的距离相等求解．
34
轴对称问题(关于直线对称)
轴对称问题的两个类型及求解方法
(1)点关于直线的对称
若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，
A×x1＋2 x2＋B×y1＋2 y2＋C＝0， 由方程组 yx22－ －yx11×－AB＝－1，
41
1.已知入射光线经过点M(－3,4)，被直线l：x－y＋3＝
0反射，反射光线经过点N(2,6)，则反射光线所在直线的方程
为
．
42
6x－y－6＝0 [设点M(－3,4)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点 为M′(a，b)，则反射光线所在直线过点M′，所以
a－b－－43＝－1， －32＋a－b＋2 4＋3＝0，
16
已知两直线l1：mx＋8y＋n＝0和l2：2x＋my－1＝0，试 确定m，n的值，使
(1)l1与l2相交于点P(m，－1)； (2)l1∥l2； (3)l1⊥l2，且l1在y轴上的截距为－1.
17
[解] (1)由题意得m2m2－－8m＋－n1＝＝00，， 解得mn＝＝71.， 即m＝1，n＝7时，l1与l2相交于点P(m，－1)． (2)∵l1∥l2，∴m2 ＝m8 ≠－n1 解得mn≠＝－4，2， 或mn≠＝2－. 4， 即m＝4，n≠－2或m＝－4，n≠2时，l1∥l2.
高考数学一轮总复习课件：两直线的位置关系
例1 (1)(2021·江西八校联考)已知直线l1：kx＋y＋3＝0， l2：x＋ky＋3＝0，且l1∥l2，则k的值为__－__1____．
【思路】 根据两直线平行列关于k的方程，解出k的值，然后 代入两直线方程进行验证是否满足l1∥l2，即可得出实数k的值．
【解析】 ∵直线l1：kx＋y＋3＝0，l2：x＋ky＋3＝0，且l1 ∥l2，
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×
＝0.若2．l1∥(课l2本，习则题a的改值编为)已_－_知_12_直__线__l，1：若axl1＋⊥yl＋2，5则＝a0的，值l2：为x－2y＋7 _____2___．
3．直线y＝kx－k－2恒过定点__(_1，__－__2)_．
解析 y＝kx－k－2＝k(x－1)－2.当x＝1，y＝－2时恒成立， ∴直线恒过定点(1，－2)．
【解析】 要使点P到直线x－y－4＝0有最小距离， 只需点P为曲线与直线x－y－4＝0平行的切线的切点， 即点P为曲线上斜率为1的切线的切点，设P(x0，y0)，x0>0， y＝x2－lnx，y′|x＝x0＝2x0－x10＝1，解得x0＝1或x0＝－12(舍去)， 点P(1，1)到直线x－y－4＝0的距离为|1－12－4|＝2 2， 所以曲线y＝x2－lnx上任一点到直线x－y－4＝0的距离的最小 值为2 2.
【思路】 结合图形，根据点到直线的距离公式求解．
【解析】 (1)过点P的直线l与原点的距离为2，而点P的坐 标为(2，－1)，显然，过点P(2，－1)且垂直于x轴的直线满足条 件，
此时l的斜率不存在，其方程为x＝2. 若斜率存在，设l的方程为y＋1＝k(x－2)， 即kx－y－2k－1＝0. 由已知得|－k22k＋－11|＝2，解得k＝34. 此时l的方程为3x－4y－10＝0.
高考数学(理科)复习第八单元 第42讲 两直线的位置关系
(4)易知最小值就是由该点向直线所作的垂线段的
长,即点到直线的距离.
课前双基巩固
2.[教材改编] 直线 2x+2y+1=0 与直线 x+y+2=0 之
间的距离是
.
[答案]
32 4
[解析] 先将 2x+2y+1=0 化为
x+y+12=0,则两平行线间的距离 d=|2-212|=342.
课前双基巩固
即 4x+3y-6=0.
方法二:∵直线 l 过直线 l1 和 l2 的交点,∴设直线 l 的方程为 x-2y+4+λ(x+y-2)=0,即(1+λ)x+(λ-2)y+4-2λ=0.∵l⊥l3,∴ 3(1+λ)-4(λ-2)=0,解得 λ=11,∴直线 l 的方程为 12x+9y-18=0,
即 4x+3y-6=0.
直线 x+y+1=0 垂直,则 l 的方程
是
.
[答案] x-y+3=0
[解析] 易知圆 x2+(y-3)2=4 的圆心坐标为 (0,3),直线 x+y+1=0 的斜率为-1,则所求直线 的斜率为 1,所以所求直线的方程为 y=x+3, 即 x-y+3=0.
课前双基巩固
5.光线沿直线 y=2x+1 射到直线 y=x 上,被 y=x 反射后
l(不包括直线
3x+2y-5=0)恒过定点 A(1,1).又|PA|= (-2-1)2 + (-1-1)2= 13,
且|3×(-2)3+22+×2(2-1)-5|= 13,即 PA 与直线 3x+2y-5=0 垂直,所以点 P 到直线 l 的距离 d∈[0, 13).故选 A.(2)由直线 m 与直线 l 平
高考数学一轮总复习第8章平面解析几何8.2两直线的位置关系模拟演练课件理
解 (1)设 A 关于直线 l 的对称点为 A′(m，n)，则
mn－ －02＝－2， m＋ 2 2－2·n＋ 2 0＋8＝0，
解得nm＝ ＝8－ ，2，
故 A′(－2,8)． P 为 直 线 l 上 的 一 点 ， 则 |PA| ＋ |PB| ＝ |PA′| ＋ |PB|≥|A′B|，当且仅当 B，P，A′三点共线时，|PA|＋|PB| 取得最小值，为|A′B|，点 P 即是直线 A′B 与直线 l 的交 点，解xx＝ －－ 2y＋ 2，8＝0， 得xy＝ ＝－ 3，2， 故所求的点 P 的坐标 为(－2，3)．
再由两点式可得 l′的方程为 2x－3y－9＝0. 解法二：∵l∥l′， ∴设 l′的方程为 2x－3y＋C＝0(C≠1)． ∵点 A(－1，－2)到两直线 l，l′的距离相等， ∴由点到直线的距离公式，得 |－22＋2＋6＋ 32C|＝|－22＋2＋6＋ 32 1|，解得 C＝－9，
∴l′的方程为 2x－3y－9＝0. 解法三：设 P(x，y)为 l′上任意一点， 则 P(x，y)关于点 A(－1，－2)的对称点为 P′(－2－x，－4－y)．∵点 P′在直线 l 上， ∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0， 即 2x－3y－9＝0.
(2)A，B 两点在直线 l 的同侧，P 是直线 l 上的一点， 则||PB|－|PA||≤|AB|，当且仅当 A，B，P 三点共线时，||PB| －|PA||取得最大值，为|AB|，点 P 即是直线 AB 与直线 l 的
交点，又直线 AB 的方程为 y＝x－2，解yx＝ －x2－ y＋2， 8＝0， 得
＝0，l1 与 l2 重合．∴a＝－1，故选 B.
高考数学 8-2直线的焦点与距离公式课件 新人教A
第四模块 平面向量、数系的扩充与复数的引入
数学
高考总复习人教A版 · (理)
5．k为何值时，直线l1：y＝kx＋3k－2与直线l2：x＋4y －4＝0的交点在第一象限．
数学
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解析：两平行线间的距离为 d＝ |31－＋11| ＝ 2，如右图 所示，可知直线 m 与 l1、l2 的夹角为 30°，l1、l2 的倾斜 角为 45°，所以直线 m 的倾斜角等于 30°＋45°＝75°或 45° －30°＝15°.故填①⑤.
答案：①⑤
第四模块 平面向量、数系的扩充与复数的引入
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第四模块 平面向量、数系的扩充与复数的引入
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1.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点
考纲要求
坐标． 2．掌握两点间的距离公式、点到直线的距离
公式，会求两条平行直线间的距离.
1.高考卷中小题、大题均有涉及对本节内容的 考查，难度多为中档．
解析：由对称性知，所求直线方程设为 2x＋3y＋C＝ 0.
又(1，－1)到两直线距离相等， ∴|2－223＋－362|＝|2－223＋＋3C2 |，解得 C＝8(C＝－6 舍去)．
答案：2x＋3y＋8＝0
第四模块 平面向量、数系的扩充与复数的引入
数学
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4．已知点 P 在直线 2x－y＋4＝0 上，且到 x 轴的距 离是 y 轴距离的2 3，则点 P 的坐标为__________．
高考数学一轮复习全套课时作业8-2两直线的位置关系
作业8.2两直线的位置关系一、单项选择题1．设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．若直线mx＋4y－2＝0与直线2x－5y＋n＝0垂直，垂足为(1，p)，则实数n的值为()A．－12B．－2C．0D．103．若l1：x＋(1＋m)y＋(m－2)＝0，l2：mx＋2y＋6＝0平行，则实数m的值是()A．m＝1或m＝－2B．m＝1C．m＝－2D．m的值不存在4．已知直线l1：x＋2y－1＝0，l2：2x＋ny＋5＝0，l3：mx＋3y＋1＝0，若l1∥l2且l1⊥l3，则m＋n的值为A．－10B．10C．－2D．25．(2021·吉林高一期中)点A(cosθ，sinθ)到直线3x＋4y－4＝0的距离的最大值为()A.1 5B.45C．1 D.956．已知直线3x＋y－1＝0与直线23x＋my＋3＝0平行，则它们之间的距离是() A．1 B.54C．3D．47．已知点P(m，n)在直线2x＋y＋1＝0上运动，则m2＋n2的最小值为()A.5 5B.5C.15D．5二、多项选择题8．已知直线l1：ax－y＋1＝0，l2：x＋ay＋1＝0，a∈R，以下结论正确的是()A．不论a为何值时，l1与l2都互相垂直B．当a变化时，l1与l2分别经过定点A(0，1)和B(－1，0)C．不论a为何值时，l1与l2都关于直线x＋y＝0对称D．如果l1与l2交于点M，则|MO|的最大值是2(O为坐标原点)9．已知集合A＝{(x，y)y－3x－2＝a＋1}，B＝{(x，y)|(a2－1)x＋(a－1)y＝15}，若A∩B＝∅，则a的值可能为A．－4或52B．1C．－1D．0三、填空题与解答题10．已知直线l过点P(3，4)且与点A(－2，2)，B(4，－2)等距离，则直线l的方程为________．11．若函数y＝ax＋8与y＝－12x＋b的图象关于直线y＝x对称，则a＋b＝________．12．如图所示，已知A(4，0)，B(0，4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是________．13．已知点M(a，b)在直线3x＋4y＝15上，则a2＋b2的最小值为________．14．光线从A(－4，－2)点射出，射到直线y＝x上的B点后被直线y＝x反射到y轴上的C点，又被y轴反射，这时反射光线恰好过点D(－1，6)，求BC所在的直线方程．15．在△ABC中，BC边上的高所在直线l1的方程为x－2y＋1＝0，∠A的平分线所在的直线l2的方程为y ＝0，若点B的坐标为(1，2)，求点A，C的坐标．16．(2021·江西赣州模拟)若动点A(x1，y1)，B(x2，y2)分别在直线l1：x＋y－7＝0，l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点距离的最小值为()A．32B．23C．33D．4217．(2021·试题调研)已知点A(3，0)，B(0，3)，M(1，0)，O为坐标原点，P，Q分别在线段AB，BO上运动，则△MPQ的周长的最小值为()A．4B．5C．25 D.3418．在平面直角坐标系中，定义两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)之间的直角距离为：d(P，Q)＝|x1－x2|＋|y1－y2|.现有以下命题：①若P，Q是x轴上的两点，则d(P，Q)＝|x1－x2|；②已知P(2，3)，Q(sin2α，cos2α)，则d(P，Q)为定值；③原点O与直线x－y＋1＝0上任意一点P之间的直角距离d(O，P)的最小值为2 2；④若|PQ|表示P，Q两点间的距离，那么|PQ|≥22d(P，Q)．其中真命题是________(写出所有真命题的序号)．作业8.2两直线的位置关系参考答案1．答案A 解析若两直线平行，则a(a ＋1)＝2，即a 2＋a －2＝0，∴a ＝1或－2，故a ＝1是两直线平行的充分不必要条件．2．答案A解析由2m －20＝0，得m ＝10.由垂足(1，p)在直线mx ＋4y －2＝0上，得10＋4p －2＝0.∴p ＝－2.又垂足(1，－2)在直线2x －5y ＋n ＝0上，则解得n ＝－12.3．答案A解析方法一：据已知若m ＝0，易知两直线不平行，若m ≠0，则有1m ＝1＋m 2≠m －26⇒m ＝1或m ＝－2.方法二：由1×2＝(1＋m)m ，得m ＝－2或m ＝1.当m ＝－2时，l 1：x －y －4＝0，l 2：－2x ＋2y ＋6＝0，l 1与l 2平行．当m ＝1时，l 1：x ＋2y －1＝0，l 2：x ＋2y ＋6＝0，l 1与l 2平行．4．答案C解析因为l 1∥l 2且l 1⊥l 3，所以n －4＝0，且m ＋6＝0，解得n ＝4，m ＝－6，所以m ＋n ＝－6＋4＝－2.故选C.5．答案D 解析点A(cos θ，sin θ)到直线3x ＋4y －4＝0的距离d ＝|3cos θ＋4sin θ－4|32＋42，化简得d ＝|5sin （θ＋φ）－4|5，其中φ满足tan φ＝34，当sin(θ＋φ)＝－1时d 取得最大值，即d ＝95.故选D.6．答案B解析由题意直线3x ＋y －1＝0与直线23x ＋my ＋3＝0平行，则323＝1m⇒m ＝2，即23x ＋2y ＋3＝0，则直线3x ＋y －1＝0可化为23x ＋2y －2＝0，所以两直线之间的距离为d ＝|3＋2|（23）2＋22＝54，故选B.7．答案C解析∵点P(m ，n)是直线2x ＋y ＋1＝0上的任意一点，又m 2＋n 2的几何意义为直线上的点到原点距离的平方，∴m 2＋n 2的最小值为原点到直线距离的平方，∴所求最小值为(122＋122＝15，故选C.8．答案ABD解析对于A ，a ×1＋(－1)×a ＝0恒成立，l 1与l 2互相垂直恒成立，故正确．对于B ，直线l 1：ax －y ＋1＝0，当a 变化时，x ＝0，y ＝1恒成立，所以l 1恒过定点A(0，1)；l 2：x ＋ay ＋1＝0，当a 变化时，x ＝－1，y ＝0恒成立，所以l 2恒过定点B(－1，0)，故正确．对于C ，在l 1上任取点(x ，ax ＋1)，关于直线x ＋y ＝0对称的点的坐标为(－ax －1，－x)，代入l 2：x ＋ay ＋1＝0，则左边不恒等于0，故不正确．对于D ，联立ax －y ＋1＝0，x ＋ay ＋1＝0，解得x ＝－a －1a 2＋1，y ＝－a ＋1a 2＋1，即M(－a －1a 2＋1，－a ＋1a 2＋1)，所以|MO|＝（－a －1a 2＋1）2＋（－a ＋1a 2＋1）2＝2a 2＋1≤2，所以|MO|的最大值是2，故正确．故选ABD.9．答案ABC解析由题意当a ＝1时，B ＝∅，满足题意，当a ≠1时，集合B 表示一条直线，集合A 也表示一条直线y －3＝(a ＋1)(x －2)，即(a ＋1)x －y －2a ＋1＝0(去掉点(2，3))，若直线(a 2－1)x ＋(a －1)y ＝15过点(2，3)，则2(a 2－1)＋3(a －1)＝15，解得a ＝－4或a ＝52，若两直线平行，则(a 2－1)＋(a －1)(a ＋1)＝0(a ≠1)，解得a ＝－1，∴a 的可能值为－4，52，－1，1.故选ABC.10．答案2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝0解析由题设可知直线l 斜率存在．设所求直线方程为y －4＝k(x －3)，即kx －y ＋4－3k ＝0，由已知，得|－2k －2＋4－3k|1＋k 2＝|4k ＋2＋4－3k|1＋k 2.∴k ＝2或k ＝－23.∴所求直线l 的方程为2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝0.11．答案2解析直线y ＝ax ＋8关于y ＝x 对称的直线方程为x ＝ay ＋8，所以x ＝ay ＋8与y ＝－12x ＋b 为同一直线，故得a ＝－2，b ＝4.所以a ＋b ＝2.12．答案210解析由题意，求出P 关于直线x ＋y ＝4及y 轴的对称点分别为P 1(4，2)，P 2(－2，0)，由物理知识知，光线所经路程即为|P 1P 2|＝210.13．答案3解析∵M(a ，b)在直线3x ＋4y ＝15上，∴3a ＋4b ＝15.而a 2＋b 2的几何意义是原点到M 点的距离|OM|，∴(a 2＋b 2)min ＝|－15|32＋42＝3.14．答案10x －3y ＋8＝0解析作出草图，如图所示，设A 关于直线y ＝x 的对称点为A ′，D 关于y 轴的对称点为D ′，则易得A ′(－2，－4)，D ′(1，6)．由入射角等于反射角可得A ′D ′所在直线经过点B 与C.故BC 所在的直线方程为y ＋46＋4＝x ＋21＋2.即10x －3y ＋8＝0.15．答案A(－1，0)，C(5，－6)解析如图，设C(x 0，y 0)，由题意知l 1∩l 2＝A，则－2y ＋1＝0，＝0＝－1，＝0.即A(－1，0)．又∵l 1⊥BC ，∴k BC ·kl 1＝－1.∴k BC ＝－1kl 1＝－112＝－2.∴由点斜式可得BC 的直线方程为y －2＝－2(x －1)，即2x ＋y －4＝0.又∵l 2：y ＝0(x 轴)是∠A 的平分线，∴B 关于l 2的对称点B ′在直线AC 上，易得点B ′的坐标为(1，－2)，由两点式可得直线AC 的方程为x ＋y ＋1＝0.由C(x 0，y 0)在直线AC 和BC 上，0＋y 0＋1＝0，0＋y 0－4＝00＝5，0＝－6.即C(5，－6)．16．答案A解析由题意知，点M 所在直线与l 1，l 2平行且与两直线距离相等．设该直线的方程为x ＋y ＋c ＝0，则|c ＋7|2＝|c ＋5|2，解得c ＝－6.点M 在直线x ＋y －6＝0上．点M 到原点距离的最小值就是原点到直线x ＋y －6＝0的距离，即d ＝|－6|2＝3 2.故选A.17．答案C解析过A(3，0)，B(0，3)两点的直线方程为x ＋y －3＝0，设M(1，0)关于直线x ＋y －3＝0对称的点为N(x ，y)，1，＋12y －3＝0，＝3，＝2，即N(3，2)，同理可求M(1，0)关于直线OB 的对称点为E(－1，0)，当N ，P ，Q ，E 四点共线时，△MPQ 的周长MQ ＋PQ ＋PM ＝EQ ＋PQ ＋NP ，取得最小值为NE ＝（3＋1）2＋4＝25，故选C.18．答案①②④解析①因为P ，Q 是x 轴上的两点，故|y 1－y 2|＝0，则d(P ，Q)＝|x 1－x 2|，正确；②根据定义d(P ，Q)＝|2－sin 2α|＋|3－cos 2α|，因为sin 2α∈[0，1]，cos 2α∈[0，1]，故d(P ，Q)＝2－sin 2α＋3－cos 2α＝4，正确；③根据定义d(O ，P)＝|x|＋|y|＝|x|＋|x ＋1|≥|x －(x ＋1)|＝1，当且仅当x(x ＋1)≤0时，取得最小值，错误；④因为|PQ|＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2，d(P ，Q)＝|x 1－x 2|＋|y 1－y 2|,由不等式2(a 2＋b 2)≥(a ＋b)2，即可得|PQ|≥22d(P ，Q)，正确．。
高三数学总复习《两条直线的位置关系、交点坐标与距离公式》
3两 条 平 行 直 线 的 距 离 .
l1:AxByC10与 l2:AxByC20的 距 离 d|C1C2|
A2B2
注意:应用此公式要把两平行直线化为一般形式且使 x,y的系数分别相等.
考点训练
1.(2009·上海)已知直线l1:(k-3)x+(4-k)y+1=0与l2:2(k-3)x2y+3=0平行,则k的值是( )
第四十七讲 两条直线的位置关 系、交点坐标与距离公式
走进高考第一关 考点关 回归教材 1.两条直线的位置关系 (1)两条直线平行 两条不重合直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2(b1≠b2),若l1∥l2,则 k1=k2,反之;若k1=k2,则l1∥l2,如果l1,l2的斜率都不存在,那么它 们的倾斜角都是90°,从而它们互相平行.
说明:判断两条直线平行时,要注意,两条直线的斜率,当两条直 线都与x轴垂直时,平行,当两条直线不与x轴垂直时,只要它们 的斜率相等,截距不等就平行.
(2)两条直线垂直
设直线l1:y=k1x+b1,直线l2:y=k2x+b2 若l1⊥l2,则k1k2=-1;反之,若k15k2=-1,则l1⊥l2. 特别地,对于直线l1:x=a,l2:y=b,l1⊥l2.
变式2:过点(-2,3)且垂直于直线x-2y+3=0的直线方程为.
答案:2x+y+1=0
解 析 :直 线 x2y30的 斜 率 为 k1,则 所 求 直 线 的 2
斜 率 为 2,
故 所 求 直 线 方 程 为 y32x2,即 2xy10.
题型二 两条直线的交点 例3求过两直线3x+y-1=0与x+2y-7=0的交点,并且与第一条 直线垂直的直线方程.