对一类周期边值问题解存在的讨论

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一类分数阶微分方程边值问题多个正解的存在性

一
类分数阶微分方程边值问题多个正解的存在性
周
（安徽大学
玲，宗福周
２００）３６１
数学科学学院，合肥
摘要：用锥压拉不动点定理和Ｌｇｅｔｌａｓ不动点定理，ｅｇｔＷｉｉ — ｌｍ以及一些分析的技巧研究了一类分数阶微分方程边值问题正解的存在性，得到了这类边值问题其正解存在的充分条件，从而推广了该类方程解的性态．
ｓｌｔｏｓｆｒｔｓｃａｓｏｙｔｍｓｏｕｉｎｈｉｌｓｆｓｓｅ．ｏＫｅｒｓｐｏｉｉｅｓｌｉｎｙｗｏｄ：ｓｔｏｕｔｓ；ｆａｔｏｌｏｄｅ；ｂｕａａｕｒｂｌｍｖｏｒｃｉｎａｒｒｏｎｄｒｖｌｅｐｏｅｙ
关键词：解；数阶；值问题正分边中图分类号：１５０７文献标识码：Ａ文章编号：６３１２２１）２００－４１７ — ６Ｘ（０２０－０５０
ＰｒｂｅｆＰｏｉｉｅＳｌｔｏｏｕａｙｏｌｍｏｓｔｖｏｕｉｎｓｆｒＢｏｎｄｒＶａｕｅＮｏｉｅｒＦｒｃｉｎｌＤｉｅｅｔａｕｔｏｓｌｎｌａａｔｏａｆｒｎｉｌＥｑａｉｎｎ
ｎｎｉｅｒｆｃｉｎｌｄｆｒｎｉｌｅｕｔｎ．Ｗｅｏｔｉｏｕｃｅｔｏｄｔｎｆｘｓｅｃｆｏｉｖｏｌａａｔａｉｅｅｔｑａｉｓｎｒｏｆａｏｂａｎｓｍｅｓｆｉｎｎｉｏｓｏｉｔｎｅｏｓｔｅｉｃｉｅｐｉ

一类分数阶微分方程反周期边值问题解的存在性

关键词：数阶微分方程；周期边值问题；动点定理分反不中图分类号：７．Ｏ１５８文献标识码：Ａ文章编号：６２７５２１）３０７Ｏｌ７ — ５Ｘ（０１０ —０Ｏ一３
ＥｘｓｅｅＲｅｕｔｏｉｔｎｃｓｌｓｆｒＡｎｔ— ｅｉｄｃＢｏｎｄｒｌｅＰｒｂｅｓｉｐｒＯｉｕａｙＶａｕｏｌｍＩｏｖｎｇＦｒｃｉｎａｉｆｒｎｔａｎｖｌｉａｔｏｌＤｆｅｅｉｌＥｑｕｔｏａｉｎｓ
ＢａｃＳｓａｅｆｘｄｐｏｎｔｔｅｒｍｎｄＳｃｅｆ ’ ｈｅｒｍ，ｔｅｕｎｑｕｎｓｘｉｔｎｅａｄｎａｈ’ ｐｃｉｅｉｈｏｅａｈａｆｏｒＳｔｏｅｈｉｅｅｓｏｆｅｓｅｃｎｓｆｃｅｔｃｎｄｔｏｎｏｔｌａｔｏｎｏｕｔｏｏｒａｉｐｅｉｄｉｏｕａｙｖｌｒｌｍｓａｅｏｂｕｆｉｉｎｏｉｉｓｆｒａｅｓｅｓｌｉｎｆｎｔ— ｒｏｃｂｎｄｒａｕｅｐｏｂｅｒ —
其中为ＣｐｔＤａｕｏ型微分，ＥＣ（Ｒ）厂Ｊ，。
ｕ
１准备知识
定义１ Ⅲ 设函数ｆＥＣ（Ｒ）则其ＣｐｔＪ，，ａｕｏ型的分数阶积分为，＞Ｏｑ：
∽一一ｑ南ｓ１－
定义２设函数ｆＥＣ（Ｒ）则其Ｃｐｔ的分数阶导数为，＞ＯＥＪ，，ａｕｏ型ｑ：

一类二阶边值系统周期解的存在性

基金项目：湛江师范学院青年科研基金资助项目（ＯＯ）ＱＩ５１．作者简介：．１７－）女，山东莱芜人，江师范学院讲师，士，石Ｋ￣（９４，湛硕从事非线性分析与应用研究
．
维普资讯
８
湛江师范学院学报（自然科学）
对于系统（）献利用极小作用原理已在次二次嘲，１文强制［，次可加Ⅲ 等若干条件下２］
本文主要在次线性条件下利用极小作用原理获得系统（）（）１和２的周期解的存在性
．
，
讨论了周期解存在性．
收稿日期：０７１ｌ２０ —０～ｌ
Ｆ（，满足：１￡）存在Ｉ￡ ∈Ｌ（，Ｒ，得存在ｆ，ＥＬ（，Ｒ及口０１，得Ｆ（，Ｉ）ｌ０丁；）使ｌ（ｇ０Ｔ；） ∈［，］使￡）
对ａｅｔ０明关于．是凸的；．． ∈［，２７
在Ｈｉｅｔ间Ｈ｝中的临界点的问题（明见［］，中：ｌｒ空ｂ证１）其
Ｈ｛：Ｏ丁一Ｒ “绝对连续，（）（、ｄ ∈Ｌ（，Ｒ）具有范数一 “ ［，］Ｉ “ ０一“ 了）洲ｚＯ丁；）
ＩＩ广Ｉ（ＩｔｒＪ（Ｊｔ－ＩＩ１ “￡＋ｊ￡）ｚ “ 一（２）ｄ２）ｚ／ｄ
ＪｔＪａＪ）（）Ｊ，（Ｆ（）Ｇｔ６￡，ＶＦ（，Ｊ “ Ｊ）（）ｔ）（Ｉ６
（）１
，￡Ｏ “ ∈ｒ，

一阶微分方程周期边值问题最优正解的存在性

在本文中，令
Ｘ＝｛ｔ：ｔ∈Ｃ［，］［，）ｕＯ＝ｕＴ｝（）（）（０Ｔ， ∞），（）（），０Ｉ＝ｓｐｔ（），ＥＸ｝１ｕＩｆｌｕ，
…
则按ｌｌＢｎｃ空间．ｌＪａｈ是ａ
［中图分类号】Ｏ７１５
［文献标识码】Ａ
［文章编号】１０ — ７Ｘ２０）５００ — ２０８１８（０８０ — ０１０
在现有的关于一阶非线性微分方程周期边值问题的文献中，大多数都是用上下解的方法来处理，本文将利用格林函数的正性和更一般的锥不动点定理来给出下面微分方程一个正解的最优存在条件．
Ｊ（）口ｔｎｔ＝ｔｆ）－ｔ＋（）（），），吐（
【（）（．ｕ０：）
ｒ１１、
一
其中，（）（０Ｔ，，）ｆ［，］０南）［，）口ｔ∈ｃ［，］（ ∞），Ｅｃ０Ｔ ×［，，０ ∞）．０（
定义算子：）ｔ＝ＪＧｔｓｓｓ）．（（）。（，），）（
显然是全连续算子．
令Ｋ＝｛ ∈Ｘ，ｔ≥０ｕｔｚ ‘ （），（）
不难验证是一个锥．
［收稿日期】２Ｏ — ５１Ｏ８０ — ０
ｌ｝ｌＩｌ，ｕ
＞），
＜），
＜ｃ；ｔ㈤
＞）．
引理ｌ设＝，ｌ『是Ｂｎｃ空间，是中的一个锥，，（ｌ１・）ａａｈｒＲ是常数，＜ｒ．０＜Ｒ设：ｎ｛ ∈Ｘ，Ｉ『＜Ｒ｝Ｉｌ是全连续算子，满足下列条件：；（）ｎｉ￣果存在 ∈Ｋ＼Ｏ，ｉ｛｝使得 ≠ ＋， ∈［，］ｎａ，００１， ∈ Ｒ＞，则在ｎ｛ ∈ ：＜ｌ『＜有一个不动点．ｒＩｌＲ｝注１引理１中条件（）：与条件（ｉ换成下面情况：ｉ）（） ≠ｉ＞，ｉｔｘ ∈［，］ｎａ，ｑ０１， ∈ ｎ月（如果存在 ∈Ｋ＼０使得 ≠ ＋，）｛｝ ∈Ｋｎａ，０＞，则在ｎ｛：＜ｌｌ＜Ｒ｝ ∈ ｒｌｌ有一个不动点．

一致分数阶时滞微分方程边值问题解的存在性与唯一性

第61卷第5期吉林大学学报(理学版)V o l .61 N o .52023年9月J o u r n a l o f J i l i nU n i v e r s i t y (S c i e n c eE d i t i o n )S e p2023d o i :10.13413/j .c n k i .jd x b l x b .2023011一致分数阶时滞微分方程边值问题解的存在性与唯一性张敏,周文学,黎文博(兰州交通大学数理学院,兰州730070)摘要:用L e r a y -S c h a u d e r 度理论和B a n a c h 压缩映射原理研究一致分数阶时滞微分方程边值问题D β0+u (t )=f (t ,u (t -τ)), t ɪ[0,1],u (t )=φ(t ), t ɪ[-τ,0],u (0)+u ᶄ(0)=0, u (1)+u ᶄ(1)=ìîíïïïï0解的存在性与唯一性.在非线性项满足增长性条件和L i p s c h i t z 条件下,分别得到了该边值问题解的存在性与唯一性结果,并举例说明所得结果的适用性.关键词:一致分数阶导数;时滞;边值问题;L e r a y -S c h a u d e r 度理论;B a n a c h 压缩映射原理中图分类号:O 175.8 文献标志码:A 文章编号:1671-5489(2023)05-1007-07E x i s t e n c e a n dU n i q u e n e s s o f S o l u t i o n s f o rB o u n d a r y Va l u eP r ob l e m s o fC o n f o r m a b l eF r ac t i o n a lD e l a y D i f f e r e n t i a l E qu a t i o n s Z H A N G M i n ,Z HO U W e n x u e ,L IW e n b o(S c h o o l o f M a t h e m a t i c s a n dP h y s i c s ,L a n z h o u J i a o t o n g U n i v e r s i t y ,L a n z h o u 730070,C h i n a )A b s t r a c t :B y u s i n g L e r a y -S c h a u d e rd e g r e et h e o r y a n d B a n a c h c o n t r a c t i o n m a p p i n g p r i n c i p l e ,w e s t u d i e dt h e e x i s t e n c e a n d u n i q u e n e s s o fs o l u t i o n sf o r b o u n d a r y va l u e p r ob l e m s o fc o n f o r m a b l e f r a c t i o n a lde l a y d if f e r e n t i a l e qu a t i o n s D β0+u (t )=f (t ,u (t -τ)), t ɪ[0,1],u (t )=φ(t ), t ɪ[-τ,0],u (0)+u ᶄ(0)=0, u (1)+u ᶄ(1)=0ìîíïïïï,w h e n t h en o n l i n e a r t e r ms a t i s f i e d t h e g r o w t hc o n d i t i o na n d t h eL i ps c h i t z c o n d i t i o n ,w eo b t a i n e d t h e r e s u l t s o f e x i s t e n c e a n du n i q u e n e s s o f s o l u t i o n f o r t h eb o u n d a r y v a l u e p r o b l e mr e s p e c t i v e l y ,a n d g a v e a ne x a m p l e t o i l l u s t r a t e t h e a p p l i c a b i l i t y of t h e o b t a i n e d r e s u l t s .K e y w o r d s :c o n f o r m a b l e f r a c t i o n a l d e r i v a t i v e ;d e l a y ;b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m ;L e r a y -S c h a u d e r d e g r e e t h e o r y ;B a n a c hc o n t r a c t i o nm a p p i n gp r i n c i pl e 收稿日期:2023-01-04. 网络首发日期:2023-07-13.第一作者简介:张敏(1998 ),女,汉族,硕士研究生,从事分数阶微分方程的研究,E -m a i l :m z h a n g 20222022@126.c o m.通信作者简介:周文学(1976 ),男,汉族,博士,教授,从事非线性分析问题的研究,E -m a i l :w x z h o u 2006@126.c o m.基金项目:国家自然科学基金(批准号:11961039;11801243)和兰州交通大学校青年科学基金(批准号:2017012).网络首发地址:h t t ps ://k n s .c n k i .n e t /k c m s 2/d e t a i l /22.1340.o .20230713.1056.001.h t m l .Copyright ©博看网. All Rights Reserved.0 引言分数阶微分方程的边值问题是分数阶微分系统理论的重要课题.目前,对分数阶微分方程边值问题的研究已取得了丰富成果,其中最主要的是基于R i e m a n n -L i o u v i l l e 和C a p u t o 分数阶导数的定义[1-9].但这两种导数均不满足经典链式法则,并且这两种导数的某些性质使得分数阶导数的应用很困难.因此,K h a l i l 等[10]提出了一种新的分数阶导数和分数阶积分的定义,称为一致分数阶导数和积分.这种新的分数阶导数的定义可满足经典的分数阶导数不能满足的一些性质,如乘积法则㊁商法则㊁链式法则㊁罗尔定理和中值定理等,并且其在生物物理学㊁电容理论㊁控制理论和实验数据拟合等领域应用广泛[11-13].但对带有时滞的分数阶微分方程边值问题的研究目前报道较少[14-16].Y a n g 等[17]利用S c h a e f e r 不动点定理和K r a s n o s e l s k i i s 不动点定理研究了一类非线性分数阶微分方程边值问题cD α0+u (t )=f (t ,u (t ),u ᶄ(t )),u (0)+u ᶄ(0)=0, u (1)+u ᶄ(1)={正解的存在性,其中0<t <1,1<αɤ2,f :[0,1]ˑ[0,+ɕ)ˑℝң[0,+ɕ)是连续函数,c D α0+是α阶C a p u t o 分数阶导数.X u [18]利用B a n a c h 压缩映射原理㊁L e r a y -S c h a u d e r 度理论和K r a s n o s e l s k i i s 不动点定理研究了一类分数阶微分方程边值问题cD q x (t )=f (t ,x (t )), t ɪ[0,1],x (1)=μʏ1x (s )d s , x ᶄ(0)+x ᶄ(1)={解的存在唯一性,其中1<q <2,f :[0,1]ˑX ңX 是连续函数,c D q 是q 阶C a p u t o 分数阶导数.基于上述研究,本文利用L e r a y -S c h a u d e r 度理论和B a n a c h 压缩映射原理考虑如下一类一致分数阶时滞微分方程边值问题:D β0+u (t )=f (t ,u (t -τ)), t ɪ[0,1],u (t )=φ(t ), t ɪ[-τ,0],u (0)+u ᶄ(0)=0, u (1)+u ᶄ(1)=ìîíïïïï0(1)解的存在性与唯一性,其中1<βɤ2,τ>0,f :[0,1]ˑℝңℝ是连续函数,D β0+是阶数为β的一致分数阶导数.1 预备知识定义1[10] 假设函数f :[0,ɕ)ңℝ,则f 的βɪ(n ,n +1]阶一致分数阶导数定义为D βf (t )=l i m εң0f (β⌉-1)(t +εt β⌉-β)-f (β⌉-1)(t )ε, t >0,(2)其中β是大于等于β的最小整数.式(2)右端极限存在,此时称函数f 是β阶可微的.特别地,当βɪ(1,2]时,D βf (t )=l i m εң0f ᶄ(t +εt 2-β)-f ᶄ(t )ε, t >0.(3) 注1 如果函数f 在(0,b )(b >0)上是β阶可微的,并且l i m t ң0+D βf (t )存在,则D βf (0)=l i m t ң0+D βf (t).注2 由一致分数阶导数定义可知,当β=1时,一致分数阶导数定义即为传统的一阶导数定义.引理1[10] 当βɪ(n ,n +1]并且f 在t >0处n +1阶可微时,有D βf (t )=t β⌉-βf(β⌉)(t ).(4) 证明:令k =εt β⌉-β,则ε=t β-β⌉k ,因此由定义1可得D βf (t )=l i m εң0f (β⌉-1)(t +εt β⌉-β)-f (β⌉-1)(t )ε=l i m k ң0t β⌉-βf (β⌉-1)(t +k )-f (β⌉-1)(t )k=t β⌉-βf (β⌉)(t ). 定义2[19]假设函数f :[0,ɕ)ңℝ,则f 的βɪ(n ,n +1]阶一致分数阶积分定义为8001 吉林大学学报(理学版) 第61卷Copyright ©博看网. All Rights Reserved.I βf (t )=1n!ʏt 0(t -s )n s β-n -1f (s )d s .(5)特别地,当βɪ(1,2]时,I βf (t )=ʏt 0(t -s )s β-2f (s )d s .引理2[19] 假设函数f :[0,ɕ)ңℝ连续,并且βɪ(n ,n +1],则有D βI βf (t )=f (t ).(6) 引理3[19]假设f :[0,ɕ)ңℝ是β阶可微函数,并且βɪ(n ,n +1],则有I βD βf (t )=f (t )+a 0+a 1t + +a nt n ,(7)其中a i ɪℝ,i =0,1,2, ,n .引理4 设函数f :[0,1]ˑℝңℝ是连续的,u (t )是边值问题(1)的解,则u (t )=ʏ10G (t ,s )f (s ,u (s -τ))d s ,t ɪ[0,1],φ(t ),t ɪ[-τ,0{],(8)其中格林函数G (t ,s)为G (t ,s )=(1-s )(2-t )sβ-2,0ɤs ɤt ɤ1,(1-t )(2-s )sβ-2,0ɤt ɤs ɤ1{.(9) 证明:由引理3知,有u (t )=I β0+f (t ,u (t -τ))-a 0-a 1t =ʏt 0(t -s )s β-2f (s ,u (s -τ))d s -a 0-a 1t ,(10)从而u ᶄ(t )=ʏts β-2f (s ,u (s -τ))d s -a 1.根据u (0)+u ᶄ(0)=0,有a 0+a 1=0;(11)根据u (1)+u ᶄ(1)=0,有a 0+2a 1-ʏ10(2-s )s β-2f (s ,u (s -τ))d s =0.(12)结合式(11),(12)可得a 0=-ʏ10(2-s )s β-2f (s ,u (s -τ))d s , a 1=ʏ10(2-s )s β-2f (s ,u (s -τ))d s .(13)将式(13)代入式(10)可得u (t )=ʏt 0(t -s )s β-2f (s ,u (s -τ))d s +ʏ10(2-s )s β-2f (s ,u (s -τ))d s -t ʏ1(2-s )s β-2f (s ,u (s -τ))d s =ʏt 0(1-s )(2-t )s β-2f (s ,u (s -τ))d s +ʏ1t(1-t )(2-s )sβ-2f (s ,u (s -τ))d s =ʏ10G (t ,s )f (s ,u (s -τ))d s . 引理5(A r z e l a -A s c o l i 定理)[20] 集合P ⊂C ([a ,b ])列紧的充分必要条件为:1)集合P 有界,即存在常数ψ,使得对∀u ɪP ,有u (t )ɤψ(∀t ɪ[a ,b ]);2)集合P 等度连续,即对∀ε>0,始终存在σ=σ(ε)>0,使得对于∀t 1,t 2ɪ[a ,b ],只要t 1-t 2<σ,即有u (t 1)-u (t 2)<ε(∀u ɪP ).2 主要结果设A 为C ([-τ,1],ℝ)按范数 u =m a x t ɪ[-τ,1]u (t )构成的B a n a c h 空间,在A 上定义一个算子Q ,Q u (t )=ʏ10G (t ,s )f (s ,u (s -τ))d s ,t ɪ[0,1],φ(t ),t ɪ[-τ,0]{. 假设条件:(H 1)函数f ɪC ([0,1]ˑℝ,ℝ),并且φɪC ([-τ,0],ℝ);9001 第5期张敏,等:一致分数阶时滞微分方程边值问题解的存在性与唯一性 Copyright ©博看网. All Rights Reserved.(H 2)存在常数α,B >0,使得∀(t ,u )ɪ[0,1]ˑℝ,有f (t ,u )ɤαu +B ;(H 3)存在函数η(t )ɪL 1/2([0,1],ℝ+),使得∀t ɪ[0,1],当任取u ,v ɪℝ时,有f (t ,u )-f (t ,v )ɤη(t )u -v ,其中 η =ʏ10η2(s )d ()s 1/2.为方便,引入记号:Λ1=β+2β(β-1),Λ2=1(β-1)(2β-1)(2β-3),Λ3=2β2-β+1(β-1)(2β-1)(2β-3),32<βɤ2.定理1 如果条件(H 1)和(H 2)成立,并且αɪ(0,Λ-11),则边值问题(1)至少存在一个解.证明:由函数G (t ,s ),f (s ,u (s -τ))的连续性可知算子Q 是连续的,并且易证Q (A )⊂A .设P 是A 中的一个有界集,则存在常数M >0,使得对任意的u ɪP ,有 u ɤM .下面利用L e r a y -S c h a u d e r 度理论证明边值问题(1)正解的存在性,分以下3个步骤.1)证明算子Q (P )是一致有界的.对任意的u ɪP ,有Q u (t)=ʏ10G (t ,s )f (s ,u (s -τ))d s ɤʏ10G (t ,s )㊃f (s ,u (s -τ))d s ɤ(αu +B )ʏ10G (t ,s )d s ɤ(αM +B )ʏ10(2-s )(1-t )s β-2d s +ʏt(t -s )s β-2d []s =(αM +B )β+1β(β-1)(1-t )+1β(β-1)㊃t éëêêùûúúβɤ(αM +B )β+1β(β-1)+1β(β-1éëêêùûúú)=(αM +B )Λ1,因此,算子Q (P )是一致有界的.2)证明算子Q (P )是等度连续的.对任意的u ɪP ,t 1,t 2ɪ[-τ,1]且t 1<t 2:①当0ɤt 1<t 2ɤ1时,有Q u (t 2)-Q u (t 1)=ʏ10G (t 2,s )f (s ,u (s -τ))d s -ʏ1G (t 1,s )f (s ,u (s -τ))d s ɤʏ10G (t 2,s )-G (t 1,s )㊃f (s ,u (s -τ))d s ɤ(αu +B )ʏ10G (t 2,s )-G (t 1,s )d s ɤ (αM +B )ʏt 10G (t 2,s )-G (t 1,s )d s +ʏt 2t 1G (t 2,s )-G (t 1,s )d s +ʏ1t 2G (t 2,s )-G (t 1,s )d []s = (αM +B )ʏt 10{[(2-s )(1-t 2)s β-2-(2-s )(1-t 1)s β-2]+[(t 2-s )s β-2-(t 1-s )s β-2]}d s + (αM +B )ʏt 2t 1{[(2-s )(1-t 2)s β-2-(2-s )(1-t 1)s β-2]+(t 2-s )s β-2}d s + (αM +B )ʏ1t 2[(2-s )(1-t 2)s β-2-(2-s )(1-t 1)s β-2]d s =(αM +B )ʏt 10(t 1-t 2)(2-s )s β-2d s +ʏt 10(t 2-t 1)s β-2d s +ʏt 2t 1(t 1-t 2)(2-s )s β-2d [s + ʏt 2t 1(t 2-s )s β-2d s +ʏ1t 2(t 1-t 2)(2-s )s β-2d ]s ɤ(αM +B )(t β2-t β1)-(β+1)(t 2-t 1)β(β-1); ②当-τɤt 1<t 2ɤ0时,有Q u (t 2)-Q u (t 1)ɤφ(t 2)-φ(t 1);③当-τɤt 1<0<t 2ɤ1时,有Q u (t 2)-Q u (t 1)ɤQ u (t 2)-Q u (0)+Q u (0)-Q u (t 1)ɤʏ10G (t 2,s )-G (0,s )㊃f (s ,u (s -τ))d s +φ(0)-φ(t 1)ɤ(αM +B )ʏ10G (t 2,s )d s +φ(0)-φ(t 1)ɤ0101 吉林大学学报(理学版) 第61卷Copyright ©博看网. All Rights Reserved.(αM +B )t β2β(β-1)+φ(0)-φ(t 1)ɤ(αM +B )t β2-t β1β(β-1)+φ(0)-φ(t 1). 在上面3种情形中,当t 1ңt 2时,总有Q u (t 2)-Q u (t 1)ң0,表明Q (P )是等度连续的.故由引理5可知,Q (P )是列紧的,从而算子Q :A ңA 是全连续的.3)利用L e r a y -S c h a u d e r 度理论证明问题(1)正解的存在性.定义范数 φ [-τ,0]=m a x t ɪ[-τ,0]φ(s ).假设当γɪ[0,1],u ɪA 时,u =γQ u ,则u (t )=γQ u (t )ɤQ u (t)ɤʏ10G (t ,s )㊃f (s ,u (s -τ))d s ,t ɪ[0,1],φ(t ),t ɪ[-τ,0{],ɤʏ10G (t ,s )(αu +B )d s ,t ɪ[0,1],φ(t ),t ɪ[-τ,0{],ɤ(αu +B )ʏ10(2-s )(1-t )s β-2d s +ʏt 0(t -s )s β-2d []s ,t ɪ[0,1],φ(t ),t ɪ[-τ,0{],ɤ(α u +B )Λ1,t ɪ[0,1], φ [-τ,0],t ɪ[-τ,0{],从而 u ɤB Λ11-αΛ1 φìîíïïïɤT .令ω=T +1,B ω={u ɪA : u <ω},则u ʂγQ u ,对任意的u ɪ∂B ω,γɪ[0,1].定义一个映射:F γ(u )=u -γQ u ,则F γ(u )=u -γQ u ʂ0,对任意的u ɪ∂B ω,γɪ[0,1].因此,由L e r a y -S c h a u d e r 度的同伦不变性,有d e g (F γ,B ω,θ)=d e g (I -γQ ,B ω,θ)=d e g (F 1,B ω,θ)=d e g (F 0,B ω,θ)=d e g (I ,B ω,θ)=1ʂθ.从而根据L e r a y -S c h a u d e r 度的可解性可知,方程F 1(u )=u -Q u =0在B ω上至少存在一个解,进而边值问题(1)至少有一个正解.证毕.定理2 如果条件(H 1)和(H 3)成立,并且 η (Λ2+Λ3)<1,则边值问题(1)存在唯一解.证明:假设s u p t ɪ[0,1]f (t ,0)=ζ<ɕ.定义B δ={u ɪA : u ɤδ}为A 中的有界闭球,并选择δȡζΛ11- η (Λ2+Λ3).下面利用B a n a c h 压缩映射原理证明边值问题(1)解的存在唯一性,分以下两个步骤.1)证明Q (B δ)⊂B δ.对任意的u ɪB δ,有Q u (t)ɤʏt 0(t -s )s β-2f (s ,u (s -τ))d s +ʏ10(1-t )(2-s )s β-2f (s ,u (s -τ))d s ɤʏt 0(t -s )s β-2[f (s ,u (s -τ))-f (s ,0)+f (s ,0)]d s +ʏ10(1-t )(2-s )s β-2[f (s ,u (s -τ))-f (s ,0)+f (s ,0)]d s ɤ u ʏt(t -s )s β-2η(s )d s +ζʏt(t -s )s β-2d s +u (1-t )ʏ10(2-s )s β-2η(s )d s +ζʏ10(1-t )(2-s )s β-2d s ɤ u ʏt(t s β-2-s β-1)2d ()s 1/2ʏtη2(s )d ()s 1/2+ζβ(β-1)t β+ u (1-t )ʏ10(2s β-2-s β-1)2d []s 1/2ʏ10η2(s )d ()s 1/2+(β+1)ζβ(β-1)(1-t )ɤ1101 第5期张敏,等:一致分数阶时滞微分方程边值问题解的存在性与唯一性 Copyright ©博看网. All Rights Reserved.1(β-1)(2β-1)(2β-3) u η t β-1/2+ζβ(β-1)t β+2β2-β+1(β-1)(2β-1)(2β-3) u η (1-t )+(β+1)ζβ(β-1)(1-t )ɤδ η (Λ2+Λ3)+ζΛ1,则 Q u ɤδ.表明算子Q 将B δ中的有界子集映为B δ中的有界子集,即Q (B δ)⊂B δ.2)证明算子Q 为压缩映射.对任意的u ,v ɪA :①当t ɪ[0,1]时,有Q u (t )-Qv (t )ɤʏt 0(t -s )s β-2f (s ,u (s -τ))-f (s ,v (s -τ))d s +ʏ10(1-t )(2-s )s β-2f (s ,u (s -τ))-f (s ,v (s -τ))d s ɤ u -v ʏt(t -s )s β-2η(s )d s + u -v (1-t )ʏ10(2-s )s β-2η(s )d s ɤu -v ʏt(t s β-2-s β-1)2d ()s 1/2ʏtη2(s )d ()s 1/2+u -v (1-t )ʏ10(2s β-2-s β-1)2d ()s 1/2ʏ10η2(s )d ()s 1/2ɤ1(β-1)(2β-1)(2β-3) u -v ㊃ ηt β-1/2+2β2-β+1(β-1)(2β-1)(2β-3) u -v ㊃ η (1-t )ɤ η (Λ2+Λ3) u -v ; ②当t ɪ[-τ,0]时,有Q u (t )-Q v (t )=φ(t )-φ(t )=0.由①,②可得Q u -Q v [-τ,1]ɤ η (Λ2+Λ3) u -v [-τ,1]. 因为 η (Λ2+Λ3)<1,所以算子Q 为压缩映射.即由B a n a c h 压缩映射原理可知算子Q 存在唯一的不动点,故边值问题(1)存在唯一解.3 应用实例考虑下列一致分数阶时滞微分方程边值问题:D 7/40+u (t )=e -3t s i n 1/2t 5(2+t )2㊃u (t -τ)1+u (t -τ), t ɪ[0,1],u (t )=φ(t ), t ɪ[-τ,0],u (0)+u ᶄ(0)=0,u (1)+u ᶄ(1)=ìîíïïïïïï0(14)解的存在性与唯一性.证明:在边值问题(14)中,β=74,函数f (t ,u (t ))=e -3t s i n 1/2t 5(2+t)2㊃u 1+u 是连续的,满足条件(H 1);对任意的u ,v ɪℝ,t ɪ[0,1],有f (t ,u (t -τ))-f (t ,v (t -τ))ɤe -3t s i n 1/2t 5(2+t )2u -v ɤe -3t s i n 1/2t ㊃u -v .所以存在η(t )=e -3t s i n 1/2t ɪL 1/2([0,1],ℝ+),满足条件(H 3),且 η =0.1667.又因为Λ2=1(β-1)(2β-1)(2β-3)ʈ1.0328, Λ3=2β2-β+1(β-1)(2β-1)(2β-3)ʈ2.3944.所以 η (Λ2+Λ3)ʈ0.5713<1.因此根据定理2可知,边值问题(14)存在唯一解.2101 吉林大学学报(理学版)第61卷Copyright ©博看网. 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r o b l e m so f H i g h e r -O r d e rC o u p l e d F r a c t i o n a lD i f f e r e n t i a lE q u a t i o n sa tR e s o n a n c e [J ].A d v a n c e si n D i f f e r e n c e E q u a t i o n s ,2017,2017:301-1-301-18.[8] L IY H ,Q I A B .E x i s t e n c eo fP o s i t i v eS o l u t i o n sf o r M u l t i -p o i n tB o u n d a r y V a l u eP r o b l e m so fC a p u t o F r a c t i o n a l D i f f e r e n t i a l E q u a t i o n [J ].I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l o fD y n a m i c a l S y s t e m s a n dD i f f e r e n t i a l E q u a t i o n s ,2017,7(2):169-183.[9] S E V I N I K A D I G ÜZ E LR ,A K S O Y Ü,K A R A P I N A R E ,e ta l .O nt h eS o l u t i o no faB o u n d a r y Va l u eP r ob l e m A s s oc i a t ed w i t ha F r a c t i o n a lD i f fe r e n t i a lE q u a t i o n [J /O L ].M a t h e m a t i c a l M e t h o d si nt h e A p pl i e d S c i e n c e s ,(2020-06-23)[2022-09-13].h t t p s ://d o i .o r g/10.1002/mm a .6652.[10] K HA L I LR ,A lHO R A N I M ,Y O U S E F A ,e ta l .A N e w D e f i n i t i o no fF r a c t i o n a lD e r i v a t i v e [J ].J o u r n a lo f C o m p u t a t i o n a l a n dA p pl i e d M a t h e m a t i c s ,2014,264:65-70.[11] I Y I O L A OS ,T A S B O Z A N O ,K U R T A ,e t a l .O n t h eA n a l y t i c a l S o l u t i o n s o f t h e S y s t e mo f C o n f o r m a b l eT i m e -F r a c t i o n a lR o b e r t s o nE q u a t i o n sw i t h1-DD i f f u s i o n [J ].C h a o s ,S o l i t o n s&F r a c t a l s ,2017,94:1-7.[12] Z HO U H W ,Y A N GS ,Z HA N GSQ.C o n f o r m a b l eD e r i v a t i v eA p p r o a c ht oA n o m a l o u sD i f f u s i o n [J ].P h y s i c a A :S t a t i s t i c a lM e c h a n i c s a n d I t sA p pl i c a t i o n s ,2018,491:1001-1013.[13] H ESB ,S U N K H ,M E IX Y ,e ta l .N u m e r i c a lA n a l y s i so fa F r a c t i o n a l -O r d e rC h a o t i cS y s t e m B a s e do n C o n f o r m a b l eF r a c t i o n a l -O r d e rD e r i v a t i v e [J ].T h eE u r o p e a nP h y s i c a l J o u r n a l P l u s ,2017,132:36-1-36-11.[14] L IY N ,S U N S R ,Y A N G D W ,e ta l .T h r e e -P o i n t B o u n d a r y V a l u e P r o b l e m s o f F r a c t i o n a lF u n c t i o n a l D i f f e r e n t i a l E q u a t i o n sw i t hD e l a y [J /O L ].B o u n d a r y V a l u eP r o b l e m s ,(2013-02-22)[2022-08-25].h t t ps ://d o i .o r g/10.1186/1687-2770-2013-38.[15] HA N Z L ,L I Y N ,S U I M Z .E x i s t e n c e R e s u l t sf o r B o u n d a r y V a l u e P r o b l e m so f F r a c t i o n a lF u n c t i o n a l D i f f e r e n t i a lE q u a t i o n sw i t hD e l a y [J ].J o u r n a l o fA p p l i e dM a t h e m a t i c s a n dC o m p u t i n g,2016,51(1/2):367-381.[16] L IM M ,WA N GJR.F i n i t eT i m eS t a b i l i t y o fF r a c t i o n a lD e l a y D i f f e r e n t i a l E q u a t i o n s [J ].A p pl i e d M a t h e m a t i c s L e t t e r s ,2017,64:170-176.[17] Y A N G X ,W E IZL ,D O N G W.E x i s t e n c eo fP o s i t i v eS o l u t i o n s f o r t h eB o u 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一类非线性周期边值问题解的存在唯一性

为了后面的讨论，本文先论述下列定义和引理．定义１９设，，Ｂｎｃ［３ｌ为ａａｈ空问，射Ｆ：映
ｍ＋６＜（）＜（） ∽ ｍ＋１一８，
（）４
ｍ，ｍ＋１为，的相邻的特征值；Ｊｍ为非Ｄ（一ｌ若对一切（。ＹＦ），，，）∈Ｄ（Ｆ）×Ｙ和每条路径其中：（）零整数．ｇ［，）（）。０１满足：０。一ＤＦ， ∈（，］
，、１１，
其中厂是以２ｒ７为周期的连续函数；：Ｒ—Ｒ是关于连续可微，ｇＲ× 关于ｔ续的２ｒ期的函数．多研究者也讨论过式（）的存在连￣周许１解
性与唯一性，文献［ —］证明方法大多较烦琐，到像Ｐｉｃｒ如１５，用ｏａ６映ｎ
１预备知识
Ｐｒｌｍｉａｉｓｅｉｎｒｅ
记Ｘ｛（ｌ∈２，］，义内＝Ｌｏ）定积）２Ｅ
ｒ
２ｒ￣
（，）（）（）ｔＹ＝Ｊｔｄ，
０
其中＿ＸＸ为Ｈｌｒ空间，，∈ ，ｙｉｅｂｔ其范数为ｌ丽ｌ＝
（）５
引理１设连续映射ＦＤＦ一ｙＤＦ上：（）在（）局部同胚，－Ｄ（）中任一线性函数对厂Ｆ）（
ｇｔ（）＝（一ｔＹ＋ｙ，ｔ０１，１）０ｔｌ ∈［，］其中，，Ｅ（Ｆ）为任意的，０（ｏ（（ｏＹＦＤ（）ｏ。Ｘ ∈ＦＹ）ＦＹ）
文章编号：６４７７（０００－７－４１７－００２１）１０９００

一类p—laplace方程边值问题解的存在性

一类p—laplace方程边值问题解的存在性理解一类p-Laplace方程边值问题解的存在性：1. p—Laplace方程简介p—Laplace方程是一种常见的椭圆型偏微分方程，它在空间变换、热传导中也有广泛的应用。

它的解由p—Laplace方程决定：∂u/∂x+∂v/∂y=u^(p-2)f，其中p是大于等于1的任意常数，u，v是满足边界条件的函数，x，y是定义域内的坐标，f是常函数。

2. 一类p—Laplace方程边值问题的存在性一类p—Laplace方程的边值问题的存在性取决于其常数p的大小。

如果p大于1，那么该方程有唯一解；如果p小于1，那么该方程可能有无穷多解；如果p=1，则该方程常有唯一解，又有可能出现无穷多解。

3. p—Laplace方程边值问题解的存在性判定判定一类p—Laplace方程边值问题解的存在性，要仔细检查边界条件是否符合两个条件：（1）任意的边界函数都必须满足给定边界条件；（2）边界条件必须对所有满足方程组调和函数，如成反馈函数、空间变换函数等来施加有效制约。

缺一不可，边值问题解才能有存在性。

4. p＞1时一类p—Laplace方程边值问题解的存在性当p大于1时，p—Laplace方程边值问题解有唯一解。

这是因为二阶偏微分方程组只能有一个解， p大于1时，椭圆型经ene变换可以转化为二阶偏微分方程组，根据拓扑的余定理，二阶偏微分方程组必有唯一解，故这时候方程解有存在性。

5. p＜1时一类p-Laplace方程边值问题解的存在性当p小于1时，p—Laplace方程边值问题解可能有无穷多解。

这是因为当p＜1时，椭圆型经ene变换不能转化为二阶偏微分方程组，根据拓扑的余定理，任一条件的任何解，如满足给定的边界条件，都是经en变换回解法所得，因此这种情况下该方程解有无穷多解的存在性。

6. p=1时一类p—Laplace方程边值问题解的存在性当p等于1时，p—Laplace方程边值问题解存在性有两种情形：（1）如果边界条件符合两个条件（前面讲到），有唯一解；（2）另一种情形是，如果边界条件不完全符合两个条件，则可能出现无穷多解。

一类奇异边值问题正解的存在性和多重性

显然ＫｃＥ是锥。对Ｕ∈Ｋ，我们定义
１ｕ，１）（ｓ
（Ｊ（（（），［】１ｆ：）ｆ０，．）Ｇ＝）（ ∈，（）厂ｌ１
ｇ）（ｎ件 ∈，，［１０］
首先给出下列假设
第３第１３卷期
２１０２年１月
Ｖ１３Ｎｏ１ｏ．．３
Ｊｎ２１ａ．０２
井冈山大学学报（自然科学版）
ＪｕｎｌｆｉｇａｇｈｎＵｎｖｒｉＮａｕａｃｅｃ）ｏｒａｏｎｇｎｓａｉｅｓｙ（ｔｒｌｉｅＪｔＳｎ１８
十
ｔ
出
／， ● ●●
一２
（２￥
）＋
０７７２
１ｒ２
州 ∥
一一／『『ｂ
Ｊ２０
有解（＝Ｇｆ（，唯一ｆ（），）其中
，
ｓｍｎ｝＜ｉ｛；Ｊ２１ｏ。（－ — — －
７：叩；７
（＝（）（＋ｔＢ＋，ｆＡ２ｔｃ））＋
ｕＯ＝，（１Ｃ
（＝（＋Ａ１厅）２，）
Ｇ）ｌ２＋ｔ（一２ｔｓ＋＋
＝ Βιβλιοθήκη ＂：（－）ｓ出＋＋ＵＣ）１＂（）却Ｂ＋，Ｊ０＇
＼
Ｇ）（（
（．）１５
ｆ７ｓｍｘ叼）一＋翌，＞ａ｛，．一ｚ７＋２‘ 叼＋＋ｆ＿ａ， ‘ ｍｘ叼ｆｊ
一一
１
引理ｌ若０＜， ≤ ＜，ｇｓ・２＜ｌ叼ｌ（）

一类分数阶微分方程边值问题解的存在性与唯一性

ＷＡＮＧｉｊｇＣｕ－ｉｎ
（．ｌｇｆＳｉｃｓＣｉａＵｎｖｒｉｆｉｉｇ＆Ｔｃｎｌｇ，ｚｏｉｎｓ，２０８Ｃｉａ；１Ｃｏｌｅｏｃｅｅ，ｈｎｉｅｓｔｏｎｎｅｎｙＭｅｈｏｏｙＸｕｈｕＪａｇｕ２１０，ｈｎ
…
’
【ｅｏｄ］ａａｈｃｎａｔｎａｐｇｒｃｌ；ｒｎｆｃｏ：ｏｎａａｅｒｂｍ；ａｕｏｆｒｔｔｎＫｙｗｒｓＢｎｃｏｔｃｏｐｉｉｉｅＧｅｎｔｎＢｕｄｒｖｌｏｌＣｐｔＳｉｅｎａｏｒｉｍｎｐｎｐｅｕｉｙｕｐｅｄｅｉｉ
２１０２年
第３期
ＳＩＮＥ＆ＴＣＯＯＧＦＲＴＯＮＣＥＣＥＨＮＬＹＩＯＭＡＩＮ
Ｏ高校讲坛０
科技信息
一
类分阶方边题的在性唯性数微分程值问解存与一
王翠菁１（．１中国矿业大学理学院江苏徐州２１０；．２０８２徐州工业职业技术学院信息管理技术学院江苏徐州２１４）２１０
【ｂｔｃ］ｙｕｉｈａａｈｃｎａｔｎｍｐｉｒｃｌ，ｅｅｉｅｃｎｎｕｎｓｏｔｅｌｓｏｔｎｄｆｅｆｃｏａＡｓａｔＢｓｇｔＢｎｃｏｔｃｏａｐｎｐｉｉｅｔｘｔｅａｄｕｉｅｅｓｆｈｒｕｓｉｂｉｏｔａｔｎｌｒｎｅｒｉｇｎｐｈｓｎｑｅｓｔａｅｒｈｒｉ
ｄｆｅｅｔａｑａｉｎｉｒｎｉｌｅｕｔｆｏ
．
Ｊｏ（￡（）Ｏｔｌ＋￡，＜＜ＤＭ）ｕ）

一类Neumann边值问题解的存在性

ｊ（＝厂ｊ￡，（（）￡）Ｖｔ＝（，３，￡．）０，（ｊｒ￡，），ＥＪ０Ｔ，），）（
（）０ｙ（）００一Ｒ是一个连续函数，ＥＣ（，）（，，： ×Ｒ一ｒＩＪ．
№ ．１
Ｆｂ２０ｅ．０７
一
类Ｎｅｍａｎ边值问题解的存在性ｕｎ
杨颖
（吉林师范大学数学学院，吉林四平１６０）３００
摘要：本文主要研究一类带有Ｎｕａｎｅｍｎ边界条件的二阶泛函微分方程解的存在性条件．关键词：ｅｍａｎＮｕｎ边值问题；延展定理
Ｆ（，：ｆ硼）＝厂（，（）（Ｏ），＋Ｍｙｔ＋Ⅳ ｒｆ）ｆｒｔ，ｒ）硼）／（）（（）．
为了证明（）的存在性，１解我们给出一些概念．设Ｘ，Ｚ是赋范线性空间，ＬｍＬＬ：ｏＣＸ－Ｚ是一个线性映射，：ｚ是一个连续映射，－￣ Ⅳ Ｘ— 如果
２预备知识及有关引理
我们需要以下假设：
假设存在常数Ｍ＞０Ｎ＞０Ｋ＞Ｏ满足下列条件：，，，（）任何ｆｔ≤ ≤ ≤ 口￡，（（） ≤ ≤ ≤口ｒ￡）ＶｗＥＲ，ＨＩ对ｌ）（ｌ（）ｆｒｔ）ｌｌ（（），有
（）Ｈ３＋＋ ≤１．
为了方便起见，我们采用下列符号：
设＝０］Ｅｌｏ对∈ ）义＝ｊｓ，ＩＩ（Ｉ）ｓ，Ｊ［，ｃ．￡Ｊ定亭（ｓ义Ｉ，ＪＩ）且 ∈ ，ｐＥ）（，，）定＝（，对ｄｓｄ１

对一类多点边值问题的一点思考

蔫ｆ１
定理
，
”一１高
” ‘
于是，我们得出本文的主要结果：
若＜ｌｇｓｎ（）∈ｃｏ］［，上非负对称，边值问题（）唯一非负对称解，ＩＩ≤ ［，在０］则１有且ＩＩ
（（＋
维普资讯
第２３卷第２期
２００８年４月
平顶山学院学报
ＪｕｎｌｏｉｇｉｇｈｎＵｎｖｒｉｏｒａｆＰｎｄｎｓａｉｅｓｔｙ
ＶＤ．３Ｎｏ２１２．Ａｐ．０８ｒ２０
问题正解的存在性研究近年来也已获得了许多结果．然而很少见文献讨论多点边值问题的解具有对称性．
最近，献［］用Ｌｒ —Ｓｈｕｅ定理及不动点指数定理对该问题做了相应的研究．文４运ｅｙｃａｄｒａ笔者受到文献［］发，４启
（）ｓｓｄ＝
Ｓｇｓ』（＝Ｚ（Ｉ．ｏ（＋ｇｓｓｓ＞））ｇ）０
所，［］的小为（＝最值詈，得：詈＝Ｓａｓ（一以（在ｏ上最值００大为（）易到（）１（）ｓ），詈），容－ｏ —ｇ）
』号ｓ（ｄ：一ｇ）而（）ｓ．ｓ
考虑边值问题
“ （）（）＝＋ｔ “ ０，
（）＝０
１
Ｍ） “ 一）：（）Ｊ（，（ “ ￡，
｝
（）１
的解，中ｔ０仅，为任意给定的常数． ∈Ｃ［，）［，）满足：其 ∈［，］／（０，０ ∞），对任意的ｓ０ｓ０成立，＞）＞ｈ∈

一类二阶两点周期边值问题正解的存在性

维普资讯
仑肥学院学报（自然科学版）
２００８年８月第ｌ８卷第３
ＪｕａｏＨｆｎｅｉ（ａｒｃｎｅ）ｏｒｌｆｅｉｉｒｔＮｔａＳｉｃｓｎｅＵｖｓｙｕｌｅ
Ａｕ．２０１１．ｚ０８Ｖｏ．８Ｎｏ３
考虑如下一类二阶微分方程的周期边值问题
ｒ
（）＋（，（）（）厂ｔ￡）＝０ｔ∈Ｊ，，
｛”ｔ（）＋ｇｔｔ，（）（，）ｔ）＝０ｔ，（， ∈Ｊ
（）：（【，０＝（）ｕ（）＝（【，０（，０（）（）（【，０（）（）＝（），，，【
定意义上简化了判断此类周期边值问题正解存在性的条件，而推广了该类问题的结果．从关键词：二阶微分方程；期边值问题；周正解；不动点定理中图分类号：７．４０１５１文献标识码：Ａ文章编号：６３—１２２０）３— ０３— ５１７６Ｘ（０８００１０
存在性，并获得了相应的判别条件．在此基础上，利用Ｂｎｃａａｈ空间中的锥拉伸和锥压缩不动点定理，进一
步获得了周期边值问题（）正解的存在性的严格而简捷的判别条件．１的
１准备知识
考虑如下二阶线性边值问题【ｏ＝（【，（＝（【；（（）。（）），），
一
类二阶两点周期边值问题正解的存在性
胡秀林周宗福，
（．１合肥学院数学与物理系，合肥２００；．３６１２安徽大学数学科学学院，合肥２０３）３０９

几类差分方程周期边值问题研究

几类差分方程周期边值问题研究几类差分方程周期边值问题研究引言：差分方程是数学中的一种常见形式，它描述了相邻点之间的离散关系。

差分方程在各个领域都有广泛的应用，特别是在物理学、生物学和经济学等领域中，差分方程的周期边值问题一直是研究的焦点。

本文将介绍几类常见的差分方程周期边值问题，并探讨其研究方法和应用。

一、线性差分方程的周期边值问题对于形如x_n+1 = ax_n + b的线性差分方程，其中a和b为常数，周期边值问题是研究如何确定x的周期解以及边界条件的问题。

通过对差分方程进行变换，可以得到形如x_n+1 =cx_n-1的差分方程，其中c为常数。

对于这种形式的差分方程，可以采用特征根法求解周期边值问题。

即先求出差分方程的特征方程，并根据特征方程的根的性质确定解的形式。

二、非线性差分方程的周期边值问题非线性差分方程的周期边值问题较为复杂，需要采用不同的方法进行求解。

首先，可以尝试将非线性差分方程转化为线性形式，进而利用线性差分方程的求解方法解决问题。

若转化不成功，则需要运用其他数学工具，如微分方程的离散化方法或迭代方法，来逼近解的形式。

三、混合差分方程的周期边值问题混合差分方程由线性差分方程和非线性差分方程的组合形成，是一类综合了两者特点的差分方程。

对于混合差分方程的周期边值问题，可以利用线性差分方程和非线性差分方程的求解方法进行处理。

首先，将混合差分方程划分为线性和非线性两个部分，并分别求解。

然后，将两个部分的解进行组合，得到混合差分方程的周期边值解。

四、应用实例差分方程周期边值问题在实际应用中有广泛的应用。

以物理学中的振动问题为例，差分方程可以模拟物体的振动过程。

对于一些具有周期性振动的系统，如弹簧振子或钟摆，可以建立相应的差分方程模型。

通过求解差分方程的周期边值问题，可以得到系统的周期解和边界条件，从而更好地理解和控制物体的振动行为。

结论：差分方程周期边值问题是差分方程研究的重要内容，它在物理学、生物学和经济学等领域有广泛的应用。

一类奇异常微分方程边值问题解的存在性

沈文国：一类奇异常微分方程边值同题解的存在性
・５・
（）１：＝（）
（）１（）∈ Ｃ［，）０１， ∈ Ｃ０１（）引理得［，］及９，
证．
ｑ
Ｊ，、．１ｒ，）（、１ｓｄ日（．ｙ， × ）ｓ＋
（１一１ｒ１，（）∈ Ｌ［，］使下式成立：）（）ｑ１０１，
ｌ（，，）ｌＰ１ ‘ｌ（）ｌ＋ｒ１，，１ｚ口 ≤ （）ｌ＋ｑ１口ｌ（） ‘ ｚ
口ｅｌ∈ ［，］（‘口．０１，ｚ）∈ Ｒ．，
ｒｌ
１‘ ，ｏ∈ （，）（０１，１一１ｅ１）（）∈ Ｌ（，）运用Ｌｒｙ—Ｓｈｕｅ原理考虑了二阶奇异边值问题：０１．ｅａｃａｄｒｒ（）＝．１１，（）１，，）１）＋ｅ１，．（（（）０＜ｌ＜１
立．
（３ｅ［，］Ｒ使Ｉ１１ｅｔｔＡ）：１一，（一）（）＜∞成０ｄ
０
１预备知识
令Ｅ＝｛Ｌ［，）ｌ１）（）Ｌ［，Ｙ∈ ｌ０１（一１Ｙ１ ∈ ０
，ｌ
１｝０＝Ｉ１）（）ｔ在范数］，０Ｙ（一１ｌ１ｌ，Ｙｄ则
Ｉ・０下是一Ｂｎｃ空间；ｌａａｈ这里ｌ・ｌＩＩ。表示最
大范数．以下始终假设（１成立．Ａ）
Ｊ（ｔＪ（ｔ１＝ｔ一。ｔ ≠，口）口ｄｄ）Ｉ：．
０

一类n阶常微分方程周期边值问题的可解性

１引
言
高阶周期边值问题是高阶常微分方程边值问题领域中的非常重要的研究课题，因此很多作者对它进行了研究，获得了较好的结果。．但从目前已有的文献看，很多成果是关于三阶或四阶周期边值问题的，而且非线性项中只含有未知函数及其二阶导函数，而对一般的阶周期边值问题的结果较少见到．本文主要研究较一般形式的非线性ｎ阶常微分方程 ’＋ ‘ ） ‘ ＋ｈ（ｘ ‘ ） ‘ ’＝ｇ（ｔ，，， …， ‘ ）一ｅ（ｔ）（１）
（ｉｉ）对于所有的 ∈
，函数ｇ（・，）：［０，１］
是可测的；
（ｉｉｉ）对于每个ｒ＞０，都存在实值函数ｇ，（ｔ）∈Ｌ［０，１］，使得当忆 ≤ｒ时，有
收稿日期：２０１２－０７ — １３基金项目：国家自然科学基金项目（１１１２６３３９）．作者简介：刘雪婷（１９８７一），女，硕士研究生，主要从事微分方程边值问题研究；通信作者：裴明鹤（１９６３一），男，教授，博士，主要从事微分方程定性理论研究
Ｆｅｂ．２０１３
文章编号：１００９－４８２２（２０１３）０１－００２２－０６
ＯＯＩ：１０．１１７１３／ｊ．ｉｓｓｎ．１００９－４８２２．２０１３．０１．００４
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅｅｘｉｓｔｅｎｃｅａｎｄｕｎｉｑｕｅｎｅｓｓｏｆｓｏｌｕｔｉｏｎｓｆｏｒａｋｉｎｄｏｆｐｅｒｉｏｄｉｃｂｏｕｎｄａｒｙｖａｌｕｅｐｒｏｂｌｅｍｓｏｆｎｏｎｌｉｎｅａｒ

一阶脉冲周期边值问题正解的存在性

＝
１
其中
，、
１１，０ ≤ ｓ≤ Ｎｆ（，０ ≤≤≤ 一ｅ — ｓｔＪｅ ≤ ７ｖ
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
收稿日期：０％１—９２００２资助项目：国家自然科学基金（０７０５；１４１７）山东省自然科学基金（０６０）Ｙ２０Ａ４
第４期
宋晓华，一阶脉冲周期边值问题正解的存在性等：一
３１４
易知算子是全连续的且它的不动点即为问题（）１的解．
下面给出本文用到的引理．引理１】设１与Ｑ［７２是无穷维实Ｂｎｃａａｈ空间Ｅ中两个有界开集，且０∈【，２假并２ＱｌＱ．ｌｃ
关键词：脉冲周期边值问题；正解；不动点指数：锥
中图分类号：０１７９７．１
文献标志码：Ａ
１引言
对于０＝＜ｔ＜ｔ＜ … ＜ｔ＝Ｎ，ｌ２ｍ考虑一阶脉冲周期边值问题：ｆ（＋Ａ（＝ｆｔ（）ｔ０Ｎ］ ≠ｔ，ｔｘｔ））（ｚ）， ∈［，ｋｋ＝１２・ｍ，，ｔ，，一，
引理３对于ＥＰ，Ｙ∈Ｐ（）记Ｂ：ＣＪ，Ｙ— ｍａ｛（，（）ｘ￡ｔ．如果算子Ｂ：Ｃａ — ）ｏ）１Ｐ（）
ＰＣ（）Ｊ全连续，ＢＢ１ＰＪ — Ｐ全连续．则：Ｃ（）证明设ｓ是ＰＣ（）中有界集．于足由Ｂ１的全连续性知Ｂ。Ｂ（）中诸函数一致有界．Ｊ１ｓＶ￡＞０， ∈Ｓｔ，２Ｅｆ，ｉ１（一０１・７）存在＞０，１ｔｔ］ｉ，，一，，￡＋ｎ，ｌ —ｔｌ时，ｔ２＜ｌ有ｌ）１一（）２Ｉ，｝（）０ｔ）＜￡（Ｂ１（）Ｂ１（）＜￡ｚｔ一ｚ（ｌｔｔ０１２

一类分数阶微分方程积分边值问题正解的分歧性

文献标识码：Ａ
文章编号：１０００ — ４４２４（２０１７）０１ — ００１３ — １０
§ １引言
本文运用分歧方法研究如下分数阶微分方程积分边值问题
ＪＤ３＋（￡）＋ｒｌｆ（ｔ，（ｔ））＝０，ｔ ∈ （０，１），ｌ（０）＝（０）＝０；（１）＝Ｏｌｘ（ｓ）ｄｓ，
收稿日期：２０１６ — ０９ — ０３修回日期：２０１６ — １１ — ０１
基金项目：国家自然科学基金（６１５Ｏ３２２５）；山东省自然科学基金（ｚＲ２０１５ＦＱ００３）；山东省自然科学杰出青年基金（ＪＱ２０１６１３１
１４
高校应用数学学报
第３２卷第１期
分数阶微分方程的研究得以飞速发展，成为国际上的热点研究课题．近几十年来，众多学者对其有着极大的关注，并取得了许多优秀的研究成果．主要研究方法包括不动点定理［６，不动点指数定理［１２】，上下解方法【１３】，叠合度理论［１４］等．
摘
要：利用分歧方法和拓扑度理论，研究了一类带参数的分数阶微分方程积分边值
问题正解的存在性．根据格林函数的性质，得到了系统正解的存在的若干充分条件．最后，通过数值例子验证了所得结果的有效性．关键词：Ｒｉｅｍａｎｎ — Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ分数阶微分方程；积分边值问题；分歧方法；正解中图分类号：Ｏ１７５．６

半直线上一类分数阶耦合系统边值问题解的存在性

性＿］在文［］中，６．墙６作者使用Ｓｈｕｅ不动点定理结合对角化原理，ｃａｄｒ讨论了如下无穷区间上有界解的存
在性：
『ｏ（）＝ｆｔＹｔ，ｔＪＤ＋Ｙｔ（，（） ∈ ：：［，＋ ∞）０，
ｔ（）＝Ｙ，Ｙ有界．ｙｏｏ
｛（）＝０ “０，
Ｌｉｌｍ
一＋
Ｄｕｔ（，（）＝）
其中０＜＜＋ ∞ ，０是Ｒｅｎ —ｉｖｌ导数，：０＋ ∞）×Ｒ一［，＋ ∞）续．Ｄ＋ｉｍａｎＬｏｉｅｕｌ厂［，０连
受上述文献启发，本文考虑如下分数阶无穷区间耦合边值问题
其中为Ｃｐｔ微分，Ｄ＋ａｕｏ１＜ａ≤ ２／ＪＸＲ— Ｒ连续，。∈ Ｒ．［］中，者利用非线性抉择讨论了，：Ｙ文７作
如下边值问题：
ｒｏ上ｔ＋『）＋ｆｔ “ ｔ）＝０ｔ∈ （， ∞）１＜口＜２Ｄ（（，（），０＋，，
第０１第２０卷期２１年４月１
淮阴师范学院学报（自然科学）
ＪＵＮＬＯＵＩＩＥＣＥＳＣＬＥＥ（ａｒｃｅｃ）ＯＲＡＦＨＡＹＮＴＡＨＲＯＬＧＮｔａＳｉｅｕｌｎ
Ｖ０．０Ｎｏ．１１２Ａｐ．２０１ｒ１
ｒ＋Ｄ＋ｕｔｏ暑（）＝ｕｔ（）＋Ｃｔ＋ｃｔ＋… ＋Ｃｔ Ⅳ ｌ。２。一ｊ一，ｖ

一类拟线性退化抛物方程组初边值问题正解的存在性

一类拟线性退化抛物方程组初边值问题正解的存在性本文主要讨论了一类拟线性退化抛物方程组初边值问题正解的存在性。

解决这一类问题，需要考虑以下几个方面：一、概述：1. 拟线性退化抛物方程组是一类复杂的方程组，在建模过程中，可以利用方程组的性质，将原本抛物方程的初边值问题转变为拟线性退化抛物方程组的问题。

2. 拟线性退化抛物方程组初边值问题的正解，即建模的最终目的，是获取一组有效的初边值，以及一个稳定、可行的解。

二、初边值问题存在性条件：1. 方程组必须满足Lipschitz条件，也就是显式满足：变量y(t)经过函数f(x,y)映射后，其曲线可用一定程度的Lipschitz系数来表示，以确保方程的有解性。

2. 初边值问题的一致性(Consistency)，指的是初边值问题的解必须符合Lipschitz连续性:任意解(任意n维度下的初边值)，只要满足依次构成该初边值问题的Lipschitz连续条件，该初边值问题即具有正解。

三、解法求解：1. 有限差分法：这一方法通过将问题转化为等价的差分形式，直接求得不等式约束间形成的可行解。

2. 动态规划法：该法将原有初边值问题拆解为若干子问题，利用动态规划将子问题的解组合出初边值问题的最优解。

3. 定性逼近法：即把问题当作函数极值优化问题来求解，给出一个离散点集合，该集包含每个维度上有N个取值点组成，依次逐一求解，最终求得最优解。

四、结论：通过对拟线性退化抛物方程组初边值问题的分析，可以发现，它的解的存在性是经过严格的条件约束才可能得到的，主要以Lipschitz连续性为主要约束条件。

本文介绍的三种解法可以用于求解拟线性退化抛物方程组的初边值问题，在实际应用中，要根据实际情况，从这三种解法中找到最合适的一种来求解。

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。０２ｒ，［，，则线性算子： —ｘ在ｘ中稠密，ｒ］Ｄ这
中图分类号：７／３１Ｏ１２００
文献标识码：Ａ
文章编号：６１０３（０７）１００—０１７ — ４６２００ —０５２一Ｆ，中Ｄ为中开集。其
引理１３设对于任意ｘ∈Ｄ＿
Ｏ引言
二阶微分方程
＾ｔ）＝（ｏ（（），Ｘ）＋ｅ，Ｘ，Ｘ）ｔＲ７一（（）一（ｏ） ∈
数，尺一尺有连续的二阶偏导数。式（）实Ｇ：１的
有唯一一个定义在最大开区间＝（，）一ｆ，＋
一
∞ ≤ｆ一 ≤ ＋∞上的连续解卜（）而且＜ｔ＋ｔ，
际背景是牛顿运动方程，多学者利用多种理论许和方法研究过它的２ｔ周期解的存在和唯一性问，ｒ题，中Ｂｏｅ、ｉ＿及沈祖和先生是利其ｒｗｒＪＬｎＳＳｌＫ用Ｂｎｃ间的全局同胚理论来研究式（）ａａｈ空１的周期解。这里给出沈祖和先生的结论］。定理１设存在整数，＝１２… ，，ｔ∈ ，，，Ｖｚ［，１］０２Ｔ满足＜Ｏ（）＜（＋１ｕｔｌｕ），（）假设条件下，０的吸ｊｃ
（＋）一ｋ）），有【６ｔ） ∞ １ａｕ）且（｝（ｓ，出＝，
近年来，些学者利用吸引盆研究Ｂｎｃ一ａａｈ空
引盆是指集合：Ａ＝｛Ｘ∈Ｄ：＝＋∞ ｝ｆ。定理２４设ＤｃＥ为Ｅ中非空连通开集，＿连续映射，Ｄｃ： — Ｆ是局部同胚的，厂是全局则同胚当且仅当对所有Ｘ∈Ａ，（）定义在实数ｔ都
引理２３在引理１的假设条件下，的吸＿引盆Ａ是中的开集，ｏＸ ∈Ａ，厂Ａ上的限制且在
ｌ
，Ｊ是一一映射。
ｌ＾
令６Ｒ：一尺一｛｝（）：ｍｎ｛．ｉ（ｕ０，ｓ！（ｎＯ（）一ｍ／
ｌ《
¨ ，
１吸引盆理论
设Ｅ，Ｆ是Ｂｎｃａａｈ空间，线性映射厂ＤｃＥ非：
收稿日期：０６ｌ－２０・０３０
局同胚当且仅当对所有Ｘ∈ （）Ａ，ｔ都定义在实
数集尺上，即（）可以向一∞延伸。ｔ也引理３５设是Ｂｎｃ＿ａａｈ空间，［，］Ｐ：口ｂ一，
集尺上。
则对Ｖ，１有唯一解。ｆ∈ 式（）
间之间的同胚问题，因此，这也为讨论式（）１的周期解的存在和唯一性开辟了新的途径，文利用本吸引盆给出定理１的证明。
定理３４在定理３的假设条件下，，是全＿则
维普资讯
第２卷第】Ｏ期２００７年２月
常州工学院学报
ＪｕｎｌｏｆＣｈｎｚｏｎｔｕｅｏｃｎｏｏｇｏｒａａｇｈｕＩｓｉｔｆＴｅｈｌｙｔ
ＶＯ．０Ｎｏ．１２１Ｆｂ．ｏｅ２ｏ７
】“ＪｓＩＪ
．
集合｛，）∈ × ｔｘ是Ｄ ×Ｒ上的开集，（ｔＤＲ：∈Ｉ｝映
射（ｔ－３（）是连续的，，－／ｔ也）＊有
ｆｔｒＪ（，＋．∈，．：ｒ∈ １）
７）．（＋ｒｙ，（）＝（ｒｔ．）
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第１期
冯艳青，王忠英：对一类周期边值问题解存在的讨论
“一ａ（０Ｕ＝ｙＵ）ｕ
５ｌ
（）４
ａｂＲ是［，］，∈ 口ｂ上的Ｃ映射，Ｉ（）ｌ则ＩｆＩｐ几乎处
处导，｛（｛ｌｆ，ｆ。有数ｌｆ ≤ｐ）ｎ＜且ｉ）ｉｌ＜６ｐ＇Ｉ（
２利用吸引盆证明定理１
首先构造两个Ｂｎｃａａｈ空间Ｄ和ｘ。设Ｘ＝
这里Ｕ ∈Ｄ是固定的。由于的谱由特征。值（＝，，构成，以式（）ｋ０１ …）所４的特征值由
ｙ＝ｍ一ｏ（ｏ组成，Ｌｕ）ｋ∈｛，ｎ｝ｍ≥０１ …，，。根据式（，不是式（４）０４）的特征值，Ｉ — 且Ｉ（
对一类周期边值问题解存在的讨论
冯艳青王忠英
（常州工学院理学院，江苏常州２３０）１００
摘要：用吸引盆理论证明了沈祖和先生给出的牛顿运动方程ｕ（）＋ｇａＧ（（）ｐｔ周利 ”ｔｒｄＵｔ）＝（）
期解存在的充分条件。关键词：引盆，顿运动方程，吸牛周期解，全局同胚
ｆ”ｔ＋ｒＧＵｔ），ｔＶｔ０２ｒ “（）ｇａ（（）＝（）ｄ ∈［，，ｔ］…
【（）Ｘ０－
７（）Ｄｔ ∈
【（） “ ２）Ｕ（） “（订 “０＝（订，０＝２）
其中，尺尺：一是关于ｔ的连续的２ｒ期函，周ｔ