高中数学 双基限时练20 新人教B版必修4

双基限时练(二十)
基 础 强 化
1．如图，OA →、OB →、OC →的终点A 、B 、C 在一条直线上，且AC →＝－3CB →，设OA →＝p ，OB →
＝q ，OC →
＝r ，则以下等式成立的是( )
A ．r ＝－12p ＋3
2q
B ．r ＝－p ＋2q
C ．r ＝32p －1
2q
D ．r ＝－q ＋2p
解析 ∵AC →＝－3CB →，∴AB →＝2BC →
.
∴OC →＝OB →＋BC →＝OB →＋12AB →＝OB →＋1
2(OB →－OA →
)．
∴OC →＝－12OA →＋32OB →
.∴r ＝－12p ＋3
2q .
答案 A
2．已知平面内不共线的四点O ，A ，B ，C ，满足OB →＝13OA →＋2
3OC →，则|AB →|:|BC →
|＝( )
A ．1:|3
B ．3:|1
C ．1:|2
D ．2:|1
解析 ∵OB →＝13OA →＋2
3OC →
，
∴13(OB →－OA →)＝2
3
(OC →－OB →
)．
∴13AB →＝2
3
BC →，∴AB →＝2BC →. ∴|AB →|＝2|BC →|.∴|AB →|:||BC →
|＝2:|1. 答案 D
3．非零不共线向量OA →、OB →，且2OP →＝xOA →＋yOB →，若PA →＝λAB →
(λ∈R )，则点Q (x ，y )的轨迹方程是( )
A ．x ＋y －2＝0
B ．2x ＋y －1＝0
C ．x ＋2y －2＝0
D ．2x ＋y －2＝0
解析 ∵PA →＝λAB →，∴OA →－OP →＝λ(OB →－OA →
)． ∴OP →＝(1＋λ)OA →－λOB →. ∴2OP →＝(2＋2λ)OA →－2λOB →，
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝2＋2λ，y ＝－2λ， ∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
2λ＝x －2，
2λ＝－y .
∴x ，y 满足x ＋y －2＝0.
∴点Q (x ，y )的轨迹方程为x ＋y －2＝0. 答案 A
4．△ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分∠ACB ，CB →＝a ，CA →＝b ，|a |＝1，|b |＝2，则CD →
＝( )
A.13a ＋23b
B.23a ＋13b
C.35a ＋45
b D.45a ＋35
b 解析 ∵CD 是∠ACB 的角平分线，∴AD BD ＝AC
BC
＝2. ∴CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23AB →＝CA →＋2
3(CB →－CA →
)
＝23CB →＋13CA →
＝23a ＋13b . 答案 B
5．若点M 是△ABC 的重心，则下列各向量中与AB →
共线的是( ) A.AB →＋BC →＋AC → B.AM →＋MB →＋BC → C.AM →＋BM →＋CM →
D ．3AM →＋AC →
解析 如图，设D ，E ，F 分别为各边的中点，AM →＝23AD →＝1
3(AB →＋AC →
)．
同理BM →＝1
3(BC →＋BA →
)，
CM →
＝1
3
(CA →＋CB →)．
∴AM →＋BM →＋CM →＝0，0与AB →
共线． 答案 C
6．如图在△ABC 中，AH ⊥BC 于H ，M 为AH 的中点，若AM →＝λAB →＋μAC →
，则λ＋μ的值为( )
A ．－1 B.12 C ．1
D ．2
解析 ∵B 、H 、C 三点共线， ∴AH →＝(1－t )AB →＋tAC →. ∴2AM →＝(1－t )AB →＋tAC →. ∴AM →＝1－t 2AB →＋t 2
AC →
，
∴λ＝1－t 2，μ＝t 2，∴λ＋μ＝1
2.
答案 B
7．如图，在平行四边形ABCD 中，点O 为AC 的中点，点N 为OB 的中点，设AB →＝a ，AD →
＝b ，若用a ，b 来表示向量AN →， 则AN →
＝________.
解析 以AB →＝a ，AD →
＝b 作为以A 点为公共起点的一组基底，则 AN →
＝AD →＋DN →＝AD →＋3
4DB →
＝AD →＋34(AB →－AD →)＝14AD →＋34AB →
＝34a ＋14b . 答案 34a ＋14
b
8．向量a 在基底{e 1，e 2}下可以表示为a ＝2e 1＋3e 2，b ＝e 1＋e 2，c ＝e 1－e 2，若a 在基底{b ，c }下可表示为a ＝λb ＋μc ，则λ＝________，μ＝________.
答案 52，－12
能 力 提 升
9．如图，平面内三个向量OA →，OB →，OC →，其中∠AOB ＝120°，∠AOC ＝30°，且|OA →|＝|OB
→
|＝1，|OC →|＝23，若OC →＝λOA →＋μOB →
(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值为__________．
解析 以OA 、OB 为邻边作平行四边形OECF ，如图所示．
则OC →＝OE →＋OF →＝λOA →＋μOB →. 即OE →＝λOA →，OF →＝μOB →.
∵∠AOB ＝120°，∠AOC ＝30°，∴∠BOC ＝90°. ∴在△COF 中，|OC →
|＝23，∠OCF ＝30°， ∴|OF →|＝2，|FC →|＝4，∴|OE →
|＝4. ∵|OA →|＝|OB →
|＝1.
∴OE →＝4OA →，OF →＝2OB →.∴OC →＝4OA →＋2OB →. ∴λ＝4，μ＝2，∴λ＋μ＝6. 答案 6
10．已知四边形ABCD 为矩形，且AD ＝2AB ，又△ADE 为等腰直角三角形，F 为ED 的中点，EA →＝e 1，EF →＝e 2，选择{e 1，e 2}作为基底，用基底表示向量AF →，AB →，AD →，BD →.
解析 如图，∵e 1＝EA →，e 2＝EF →
，
∴AF →＝EF →－EA → ＝e 2－e 1.
由已知AD ＝2AB ＝DE ，且F 为DE 的中点， ∴四边形ABDF 为平行四边形． ∴AB →＝FD →＝EF →
＝e 2， AD →＝ED →－EA →＝2EF →－EA →
＝2e 2－e 1. BD →
＝AF →
＝e 2－e 1.
11．设e 1，e 2是不共线的非零向量，且a ＝e 1－2e 2，b ＝e 1＋3e 2. (1)证明：a ，b 可以作为一组基底；
(2)以a ，b 为基底，求向量c ＝3e 1－e 2的分解式； (3)若4e 1－3e 2＝λa ＋μb ，求λ，μ的值． 解析 (1)若a ，b 共线， 则存在λ∈R ，使a ＝λb ， 则e 1－2e 2＝λ(e 1＋3e 2)． 由e 1，e 2不共线，得
⎩
⎪⎨
⎪⎧
λ＝1，3λ＝－2⇒⎩
⎪⎨⎪
⎧
λ＝1，λ＝－2
3.
∴λ不存在，故a 与b 不共线，可以作为一组基底． (2)设c ＝m a ＋n b (m ，n ∈R )，得 3e 1－e 2＝m (e 1－2e 2)＋n (e 1＋3e 2) ＝(m ＋n )e 1＋(－2m ＋3n )e 2.
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
m ＋n ＝3，－2m ＋3n ＝－1⇒⎩
⎪⎨
⎪⎧
m ＝2.
n ＝1.
∴c ＝2a ＋b .
(3)由4e 1－3e 2＝λa ＋μb ，得 4e 1－3e 2＝λ(e 1－2e 2)＋μ(e 1＋3e 2) ＝(λ＋μ)e 1＋(－2λ＋3μ)e 2.
∴⎩⎪⎨⎪
⎧
λ＋μ＝4，－2λ＋3μ＝－3
⇒⎩⎪⎨⎪
⎧
λ＝3，μ＝1.
故所求λ，μ的值分别为3和1.
12．平面内有一个△ABC 和一点O (如图)，线段OA 、OB 、OC 的中点分别为E 、F 、G ，BC 、CA 、AB 的中点分别为L 、M 、N ，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →
＝c .
(1)试用a 、b 、c 表示向量EL →、FM →、GN →
；
(2)证明：线段EL 、FM 、GN 交于一点且互相平分．
解析 (1)∵OE →＝12a ，OL →
＝1
2(b ＋c )，
∴EL →＝OL →－OE →＝1
2(b ＋c －a )．
同理：FM →
＝1
2(a ＋c －b )，
GN →
＝1
2
(a ＋b －c )．
(2)证明：设线段EL 的中点为P 1，则OP 1→
＝12(OE →＋OL →)＝1
4
(a ＋b ＋c )．
设FM 、GN 的中点分别为P 2、P 3，同理可求得OP 2→
＝14(a ＋b ＋c )，OP 3→＝1
4(a ＋b ＋c )．∴OP 1
→
＝OP 2→
＝OP 3→
.
即EL 、FM 、GN 交于一点，且互相平分．
品 味 高 考
13．设a 是已知的平面向量且a ≠0，关于向量a 的分解，有如下四个命题： ①给定向量b ，总存在向量c ，使a ＝b ＋c ；
②给定向量b 和c ，总存在实数λ和μ，使a ＝λb ＋μc ；
③给定单位向量b 和正数μ，总存在单位向量c 和实数λ，使a ＝λb ＋μc ； ④给定正数λ和μ，总存在单位向量b 和单位向量c ，使a ＝λb ＋μc ；
上述命题中的向量b ，c 和a 在同一平面内且两两不共线，则正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3
D ．4
解析 利用向量加法的三角法则，易得①对；利用平面向量的基本定理，易得②对；以
a 的终点作长度为μ的圆，这个圆必须和向量λ
b 有交点，这个不一定能满足，故③错；
利用向量加法的三角形法则，结合三角形两边之和大于第三边，即必须|λb |＋|μc |＝λ＋μ≥|a |，故④错．
答案 B。