8-2解不等式.题库学生版
不等式学生版

研究性学习资料 不等式解法、- 3 - 题型1:解含绝对值的不等式1.解不等式:①|2x+51|≥21;②|4x-3|<212.设全集U={x||x -2|>1},A ={x||x +1|≤1},则C U A 等于 ( )A 、{x|x <-2或x >0}B 、{x|x <1或x >3}C 、{x|x <-2或0<x <1或x >3}D 、{x|1<x<3}3.若不等式|1-kx |<2的解集是{x |-1<x <3},则的k 为 ( )A 、-2<k<1B 、31-<k<1 C 、k=1 D 、k=-34.不等式721≤-≤x 的解集是( ) A.(3,9) B. ]1,5(- C. ]9,5[- D. ]9,3[]1,5[⋃-5.不等式|x -|2x -1||>1的解集为____。
题型2:解一元二次不等式1.解下列不等式:(1)02x x 2<--;(2)03x 2x 2>-+-;(3)21212≤-+≤-x x2.若不等式012>-+bx ax 的解集是}43|{<<x x ,则实数.__________,==b a题型3:解高次不等式一元高次不等式求解,一般是先分解为n 个一次式的积,运用数轴标根的方法求解,在标根时,对于“重根”情况的处理方法是“奇数次方一穿而过;偶数次方穿而不过”。
1. 解下列不等式(1)322150x x x --> (2)23(4)(5)(2)0x x x ++-< (3)()()22460x x --≤;题型4:解分式不等式(1)解分式不等式时,要注意先移项,使右边化为零,要注意含等号的分式不等式,分母不为零。
(2)0ax b cx d +>+转化为()()0ax b cx d ++>,也可转化为00ax b cx d +>⎧⎨+>⎩或00ax b cx d +<⎧⎨+<⎩的并集。
2.方程与不等式:202404各区一模试题分类整理(学生版)

2.方程与不等式:202404各区一模试题分类整理(学生版)一、解不等式(组)1.(2024东城一模T18)解不等式组:26516132x x x +⎧⎪+-⎨⎪⎩<-≥ 2.(2024西城一模T18)3.(2024朝阳一模T18)解不等式组:2431432()x x x x -<-⎧⎪⎨--<⎪⎩ 4.(2024海淀一模T18)解不等式组:4352123x x x -<⎧⎪+⎨>-⎪⎩5.(2024丰台一模T18)解不等式组:23352623,.x x x x ->-⎧⎪+⎨<-⎪⎩6.(2024石景山一模T18)解不等式组:4178523x x x x -<+->⎧⎪⎨⎪⎩,.7.(2024延庆一模T18)解不等式组:⎪⎩⎪⎨⎧>+≥+.22312x x x x ,8.(2024门头沟一模T18)解不等式组:()2131242x x x x +-⎧⎪⎨-+⎪⎩><,并求出该不等式组的非负整...数解..。
.9.(2024房山一模T18)解不等式组:47135.2x x x x ->-⎧⎪⎨-<⎪⎩,10.(2024燕山一模T18)解不等式组:3421 532x xxx-<+⎧⎪⎨+>⎪⎩,.11.(2024平谷一模T18)解不等式组:3216 2x xx x-⎧⎪⎨-+⎪⎩><12.(2024大兴一模T18)解不等式组:4125 213x xxx⎧⎪⎨⎪⎩-≥+,-<.13.(2024顺义一模T18)解不等式组:371, 111 22xx->-⎧⎪⎨+>⎪⎩.14.(2024通州一模T18)二、解方程(组)1.(2024东城一模T11)方程323x x=-的解为。
2.(2024西城一模T11)3.(2024朝阳一模T11)方程21345x x=-的解法为______。
4.(2024海淀一模T11)方程1231x x=-的解为______。
[小学奥数专题15】8-2-1抽屉原理.题库学生版

8-2抽屉原理教学目标抽屉原理是一种特殊的思维方法,不但可以根据它来做出许多有趣的推理和判断,同时能够帮助同学证明很多看似复杂的问题。
本讲的主要教学目标是:1.理解抽屉原理的基本概念、基本用法;2.掌握用抽屉原理解题的基本过程;3. 能够构造抽屉进行解题;4. 利用最不利原则进行解题;5.利用抽屉原理与最不利原则解释并证明一些结论及生活中的一些问题。
知识点拨一、知识点介绍抽屉原理有时也被称为鸽笼原理,它由德国数学家狄利克雷首先明确提出来并用来证明一些数论中的问题,因此,也被称为狄利克雷原则.抽屉原理是组合数学中一个重要而又基本的数学原理,利用它可以解决很多有趣的问题,并且常常能够起到令人惊奇的作用.许多看起来相当复杂,甚至无从下手的问题,在利用抽屉原则后,能很快使问题得到解决.二、抽屉原理的定义(1)举例桌上有十个苹果,要把这十个苹果放到九个抽屉里,无论怎样放,有的抽屉可以放一个,有的可以放两个,有的可以放五个,但最终我们会发现至少我们可以找到一个抽屉里面至少放两个苹果。
(2)定义一般情况下,把n +1或多于n +1个苹果放到n 个抽屉里,其中必定至少有一个抽屉里至少有两个苹果。
我们称这种现象为抽屉原理。
三、抽屉原理的解题方案(一)、利用公式进行解题 苹果÷抽屉=商……余数余数:(1)余数=1, 结论:至少有(商+1)个苹果在同一个抽屉里 (2)余数=x ()()11xn -, 结论:至少有(商+1)个苹果在同一个抽屉里(3)余数=0, 结论:至少有“商”个苹果在同一个抽屉里 (二)、利用最值原理解题将题目中没有阐明的量进行极限讨论,将复杂的题目变得非常简单,也就是常说的极限思想“任我意”方法、特殊值方法.模块一、利用抽屉原理公式解题 (一)、直接利用公式进行解题 (1)求结论【例 1】 6只鸽子要飞进5个笼子,每个笼子里都必须有1只,一定有一个笼子里有2只鸽子.对吗?【巩固】 把9条金鱼任意放在8个鱼缸里面,请你说明至少有一个鱼缸放有两条或两条以上金鱼.【巩固】 教室里有5名学生正在做作业,现在只有数学、英语、语文、地理四科作业 试说明:这5名学生中,至少有两个人在做同一科作业.【巩固】 年级一班学雷锋小组有13人.教数学的张老师说:“你们这个小组至少有2个人在同一月过生日.”你知道张老师为什么这样说吗?知识精讲【巩固】数学兴趣小组有13个学生,请你说明:在这13个同学中,至少有两个同学属相一样.【巩固】光明小学有367名2000年出生的学生,请问是否有生日相同的学生?【巩固】用五种颜色给正方体各面涂色(每面只涂一种色),请你说明:至少会有两个面涂色相同.【例 2】向阳小学有730个学生,问:至少有几个学生的生日是同一天?【巩固】试说明400人中至少有两个人的生日相同.【例 3】三个小朋友在一起玩,其中必有两个小朋友都是男孩或者都是女孩.【例 4】“六一”儿童节,很多小朋友到公园游玩,在公园里他们各自遇到了许多熟人.试说明:在游园的小朋友中,至少有两个小朋友遇到的熟人数目相等.【巩固】五年级数学小组共有20名同学,他们在数学小组中都有一些朋友,请你说明:至少有两名同学,他们的朋友人数一样多.【例 5】在任意的四个自然数中,是否其中必有两个数,它们的差能被3整除?【巩固】四个连续的自然数分别被3除后,必有两个余数相同,请说明理由.【例 6】证明:任取8个自然数,必有两个数的差是7的倍数.【巩固】证明:任取6个自然数,必有两个数的差是5的倍数。
高考数学复习讲义 不等式(学生版)

高考数学复习讲义 不等式【要点提炼】考点一 不等式的性质与解法1.不等式的倒数性质(1)a>b ,ab>0⇒1a <1b. (2)a<0<b ⇒1a <1b. (3)a>b>0,0<c<d ⇒a c >b d. 2.不等式恒成立问题的解题方法(1)f(x)>a 对一切x ∈I 恒成立⇔f(x)min >a ,x ∈I ;f(x)<a 对一切x ∈I 恒成立⇔f(x)max <a ,x ∈I.(2)f(x)>g(x)对一切x ∈I 恒成立⇔当x ∈I 时,f(x)的图象在g(x)的图象的上方.(3)解决恒成立问题还可以利用分离参数法.【热点突破】【典例】1 (1)若p>1,0<m<n<1,则下列不等式正确的是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫m n p >1 B.p -m p -n <m n C .m -p <n -p D .log m p>log n p(2)(2020·北京市昌平区新学道临川学校模拟)已知关于x 的不等式ax -b ≤0的解集是[2,+∞),则关于x 的不等式ax 2+(3a -b)x -3b<0的解集是( )A .(-∞,-3)∪(2,+∞)B .(-3,2)C .(-∞,-2)∪(3,+∞)D .(-2,3)【拓展训练】1 (1)已知函数f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧ 3,x<12,1x ,x ≥12,则不等式x 2f(x)+x -2≤0的解集是________________. (2)若不等式(a 2-4)x 2+(a +2)x -1≥0的解集是空集,则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫-2,65B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫-2,65C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤-2,65D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫-2,65∪{2}【要点提炼】考点二 基本不等式基本不等式求最值的三种解题技巧(1)凑项:通过调整项的符号,配凑项的系数,使其积或和为定值.(2)凑系数:若无法直接运用基本不等式求解,通过凑系数后可得到和或积为定值,从而利用基本不等式求最值.(3)换元:分式函数求最值,通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开,即化为y =m +A g x+Bg(x)(AB>0),g(x)恒正或恒负的形式,然后运用基本不等式求最值. 【典例】2 (1)下列不等式的证明过程正确的是( )A .若a ,b ∈R ,则b a +a b≥2b a ·a b =2 B .若a<0,则a +4a ≥-2a ·4a=-4 C .若a ,b ∈(0,+∞),则lg a +lg b ≥2lg a ·lg bD .若a ∈R ,则2a +2-a ≥22a ·2-a =2(2)(2019·天津)设x>0,y>0,x +2y =5,则x +12y +1xy 的最小值为________.【拓展训练】2 (1)(2020·北京市中国人民大学附属中学模拟)已知a>0,b>0,且a -b =1,则2a +1b的最小值为________. (2)(2020·江苏)已知5x 2y 2+y 4=1(x ,y ∈R ),则x 2+y 2的最小值是________. 专题训练一、单项选择题1.不等式(-x +3)(x -1)<0的解集是( )A .{x|-1<x<3}B .{x|1<x<3}C .{x|x<-1或x>3}D .{x|x<1或x >3}2.下列命题中正确的是( )A .若a>b ,则ac 2>bc 2B .若a>b ,c<d ,则a c >b dC .若a>b ,c>d ,则a -c>b -dD .若ab>0,a>b ,则1a <1b 3.(2020·北京市昌平区新学道临川学校模拟)已知一元二次不等式f(x)<0的解集为{x|x<-2或x>3},则f(10x)>0的解集为( )A .{x|x<-2或x>lg 3}B .{x|-2<x<lg 3}C .{x|x>lg 3}D .{x|x<lg 3} 4.若a>b>0,且ab =1,则下列不等式成立的是( )A .a +1b <b 2a <log 2(a +b) B.b 2a <log 2(a +b)<a +1bC .a +1b <log 2(a +b)<b 2aD .log 2(a +b)<a +1b <b 2a 5.(2018·全国Ⅲ)设a =log 0.20.3,b =log 20.3,则( )A .a +b<ab<0B .ab<a +b<0C .a +b<0<abD .ab<0<a +b6.已知x>0,y>0,x +2y +2xy =8,则x +2y 的最小值是( )A .3B .4 C.92 D.1127.已知a>-1,b>-2,(a +1)(b +2)=16,则a +b 的最小值是( )A .4B .5C .6D .78.已知正实数a ,b ,c 满足a 2-2ab +9b 2-c =0,则当ab c 取得最大值时,3a +1b -12c的最大值为( )A .3 B.94C .1D .0 二、多项选择题9.设f(x)=ln x,0<a<b ,若p =f(ab),q =f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a +b 2,r =12[f(a)+f(b)],则下列关系式中正确的是( )A .q =rB .p<qC .p =rD .p>q10.已知a ∈Z ,关于x 的一元二次不等式x 2-6x +a ≤0的解集中有且仅有3个整数,则a 的值可以是( )A .6B .7C .8D .911.(2020·威海模拟)若a ,b 为正实数,则a>b 的充要条件为( )A.1a >1bB .ln a>ln bC .aln a<bln bD .a -b<e a -e b12.(2020·新高考全国Ⅰ)已知a>0,b>0,且a +b =1,则( )A .a 2+b 2≥12B .2a -b >12C .log 2a +log 2b ≥-2 D.a +b ≤ 2三、填空题 13.对于0<a<1,给出下列四个不等式:①log a (1+a)<log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1+1a ;②log a (1+a)>log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1+1a ;③a 1+a <11a a +;④a 1+a >a1+1a.其中正确的是________.(填序号) 14.当x ∈(0,+∞)时,关于x 的不等式mx 2-(m +1)x +m>0恒成立,则实数m 的取值范围是________.15.已知函数f(x)=x 3-2x +e x -1e x ,其中e 是自然对数的底数,若f(a -1)+f(2a 2)≤0,则实数a 的取值范围是________.16.已知实数x ,y 满足x>1,y>0且x +4y +1x -1+1y =11,则1x -1+1y 的最大值为________.。
不等式练习册-学生版

63
2
4. x x 1 2 x 2
2
3
2x 1 5. x 1 4
2x 1 x 1
7.
x
8
4x
1
4x 8 6. 3x 2 1
2x x 1
8. 3 2
x 1 4 2x
3
DAY4 用时_____分钟 答对_____道题
1. 2 x 2x 1
2
3
2. 4x 2 5x 7 1
14
学而思培优—用科技推动教育进步
4. 师徒二人分别组装 28 辆摩托车,徒弟单独工作一周(7 天)不能完成,而师傅单独 工作不到一周就已完成,已知师傅平均每天比徒弟多组装 2 辆,求:
⑴徒弟平均每天组装多少辆摩托车(答案取整数)? ⑵若徒弟先工作 2 天,师傅才开始工作,师傅工作几天,师徒两人做组装的摩托车 辆数相同?
学而思培优—用科技推动教育进步
DAY1 用时_____分钟 答对_____道题
1、 2x<4x 6
2、 3x 7 4x 21
3、 3x 2 10 2(x 1)
4、 3(x 3) 2(2x 1) 6
5、 2x 1 5x 1 1
3
6
7、 x 4 1> x 2 x
5
2
6、 2x 1 5x 1
x 1 3
8.
2
x
1
5
DAY6 用时_____分钟 答对_____道题
1. x 1 1 x 4 3 5 15
2. x 1 [x 1 (x 1)] 2 222
3. x 1 x 2x 5
3
4
2x 0 5. 2x 3 0
1 x 1 1
7. 2
x 2(x 3) 0
不等式中考题应用题学生版

一元一次不等式的应用列一元一次不等式解实际应用问题,可类比列一元一次方程解应用问题的方法和技巧,不同的是,列不等式解应用题,寻求的是不等关系,因此,根据问题情境,抓住应用问题中“不等”关系的关键词语,或从题意中体会、感悟出不等关系十分重要.列不等式解决实际问题时,应掌握以下三个步骤:(1)•找出实际问题中的所有不等关系或相等关系(有时要通过不等式与方程综合来解决),设出未知数,列出不等式组(•或不等式与方程的混合组);(2)解不等式组;(3)从不等式组(或不等式与方程的混合组)•的解集中求出符合题意的答案.1、(2011浙江温州,23,12分)2011年5月20日是第22个中国学生营养日,某校社会实践小组在这天开展活动,调查快餐营养情况.他们从食品安全监督部门获取了一份快餐的信息(如图).根据信息,解答下列问题.(1)求这份快餐中所含脂肪质量;(2)若碳水化合物占快餐总质量的40%,求这份快餐所含蛋白质的质量;(3)若这份快餐中蛋白质和碳水化合物所占百分比的和不高于85%,求其中所含碳水化合物质量的最大值.2、(2011四川内江,加试6,12分)某电脑经销商计划同时购进一批电脑机箱和液晶显示器,若购进电脑机箱10台和液晶显示器8台,共需要资金7000元;若购进电脑机箱2台和液晶显示器5台,共需要资金4120元.(1)每台电脑机箱、液晶显示器的进价各是多少元?(2)该经销商计划购进这两种商品共50台,而可用于购买这两种商品的资金不超过22240元.根据市场行情,销售电脑机箱、液晶显示器一台分别可获利10元和160元.该经销商希望销售完这两种商品,所获利润不少于4100元.试问:该经销商有哪几种进货方案?哪种方案获利最大?最大利润是多少?3、2005,河南)某公司为了扩大经营,决定购进6台机器用于生产某种活塞.•现有甲,乙两种机器供选择,其中每台机器的价格和每台机器日生产活塞的数量如下表所示.经过预算,本次购买机器所耗资金不能超过34万元.(1)按该公司要求可以有几种购买方案?(2)若该公司购进的6台机器的日生产能力不低于380个,那么为了节约资金应选择哪种购买方案?甲乙价格/(万元/台)7 5每台日产量/个100 604、(2004,浙江省课改区)某童装加工企业今年五月份,•工人每人平均加工童装150套,最不熟练的工人加工的童装套数为平均套数的60%.为了提高工人的劳动积极性,按照完成外商订货任务,企业计划从六月份起进行工资改革.•改革后每位工人的工资分两部分:一部分为每人每月基本工资200元;另一部分为每加工1套童装奖励若干元.(1)•为了保证所有工人的每月工资收入不低于市有关部门规定的最低工资标准450元,按五月份工人加工的童装套数计算,工人每加工1套童装企业至少应奖励多少元(精确到分)?(2)根据经营情况,企业决定每加工1套童装奖励5元.•工人小张争取六月份工资不少于1200元,问小张在六月份应至少加工多少套童装?5、(2011山东临沂,17,3分)有3人携带会议材料乘坐电梯,这3人的体重共210kg,每捆材料中20kg,电梯最大负荷为1050kg,则该电梯在此3人乘坐的情况下最多还能搭载捆材料.6、(2011湖南永州,15,3分)某市打市电话的收费标准是:每次3分钟以内(含3分钟)收费2.0元,以后每分钟收费1.0元(不足1分钟按1分钟计).某天小芳给同学打了一个6分钟的市话,所用电话费为5.0元;小刚现准备给同学打市电话6分钟,他经过思考以后,决定先打3分钟,挂断后再打3分钟,这样只需电话费4.0元.如果你想给某同学打市话,准备通话10分钟,则你所需要的电话费至少为多少钱?7.(2011湖北襄阳,15,3分)我国从2011年5月1日起在公众场所实行“禁烟”,为配合“禁烟”行动,某校组织开展了“吸烟有害健康”的知识竞赛,共有20道题.答对一题记10分,答错(或不答)一题记5 分.小明参加本次竞赛得分要超过100分,他至少要答对道题.8.(2011广东广州市,21,12分)某商店5月1日举行促销优惠活动,当天到该商店购买商品有两种方案,方案一:用168元购买会员卡成为会员后,凭会员卡购买商店内任何商品,一律按商品价格的8折优惠;方案二:若不购买会员卡,则购买商店内任何商品,一律按商品价格的9.5折优惠.已知小敏5月1日前不是该商店的会员.(1)若小敏不购买会员卡,所购买商品的价格为120元时,实际应支付多少元?(2)请帮小敏算一算,所购买商品的价格在什么范围内时,采用方案一更合算?9.(2011湖北鄂州,20,8分)今年我省干旱灾情严重,甲地急需要抗旱用水15万吨,乙地13万吨.现有A、B两水库各调出14万吨水支援甲、乙两地抗旱.从A地到甲地50千米,到乙地30千米;从B地到甲地60千米,到乙地45千米.⑴设从A水库调往甲地的水量为x万吨,完成下表甲乙总计A x 14B 14总计15 13 28⑵请设计一个调运方案,使水的调运量尽可能小.(调运量=调运水的重量×调运的距离,单位:万吨•千米)10.(2011浙江湖州,23,10)我市水产养殖专业户王大爷承包了30亩水塘,分别养殖甲鱼和桂鱼.有关成本、销售额见下表:(1)2011年,王大爷养殖甲鱼20亩,桂鱼10亩.求王大爷这一年共收益多少万元?(收益=销售额-成本)(2)2011年,王大爷继续用这30亩水塘全部养殖甲鱼和桂鱼,计划投入成本不超过70万元.若每亩养殖的成本、销售额与2011年相同,要获得最大收益,他应养殖甲鱼和桂鱼各多少亩?(3)已知甲鱼每亩需要饲料500kg,桂鱼每亩需要饲料700kg.根据(2)中的养殖亩数,为了节约运输成本,实际使用的运输车辆每载装载饲料的总量是原计划每次装载总量的2倍,结果运输养殖所需全部饲料比原计划减少了2次.求王大爷原定的运输车辆每次可装载饲料多少kg?11.(2011湖南邵阳,22,8分)为庆祝建党90周年,某学校欲按如下规则组建一个学生合唱团参加我市的唱红歌比赛。
方程与不等式训练300题(学生版)

2020-1六下双基训练300题方程与不等式六年级·寒假·学生版九层之台,起于累土【练习1.1】 简单的一元一次方程1. ()()43206711y y y y --=--2. ()254(3)2(1)x x x --+=-3. 37(1)32(3)x x x --=-+4. 12(1)4()2x x x --=-5. 4(4)35(72)y y +=--6. 7 2.5 2.536x x -=⨯+7. 12(23)3(21)a a -+=-+ 8. 93(1)6x x --=9. 63(32)6(2)x x x --=-+ 10. 7104(0.5)x x -=-+方程与不等式补充材料千里之行,始于足下11. 3(8)64(11)y y y -=-- 12. 13(8)2(152)x x --=-13. 2(10)52(1)x x x x -+=+- 14.223046m m +--=15. 43(20)67(9)x x x x --=-- 16. 2(21)2(1)3(3)x x x -=+++17. 43(23)12(4)x x x +-=-- 18. ()()335225x x -=--19. ()()()243563221x x x --=--+ 20. ()()()321531152x x x --+=+六年级·寒假·学生版九层之台,起于累土【练习1.2】 一元一次方程——去分母21. 21101211364x x x --+-=- 22. 212153x x +--=23. 3157146y y ---= 24. 212134y y -+-=-25. 341125x x -+-= 26. 1112222x x x ⎡⎤⎛⎫---= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦27. 12233xx -=-+ 28.13216222x x x ⎛⎫--=+ ⎪⎝⎭方程与不等式补充材料千里之行,始于足下29. 21101136x x ++-= 30.211135x x +-=- 31. 121224x x+--=+ 32.42571510x x +--= 33. 124123x x ---= 34.213124x x--=- 35. 2123134x x ---= 36.3141136x x x ---=-六年级·寒假·学生版九层之台,起于累土37. 211135x x +-=- 38.+4122523x x x -+-=- 39. 25316412x x x ---+= 40. 2523163x x x +--=- 41. 431432x x -+-= 42.()()11212223x x x ⎡⎤--=+⎢⎥⎣⎦ 43. 141123x x --=- 44.5415513412y y y +--+=-方程与不等式补充材料千里之行,始于足下45. 121225x x ++-=- 46.()10532327x x x -++--=47. 7151322324x x x -++-=- 48.34113843242x x ⎧⎫⎡⎤⎛⎫--=⎨⎬ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎩⎭ 49. 248539x x -=- 50.3121134x x -+-= 51. 1122254x x x++--=+ 52.1328237x x x-+---=六年级·寒假·学生版九层之台,起于累土53. 248236x x ---=- 54.31322322105x x x +-+-=- 55. 225353x x x ---=- 56. 1212323x x x --+=- 57. 12136x x x -+-=- 58.3157146y y ---= 59. 131224x x+--=- 60.21101211364x x x -++-=-方程与不等式补充材料千里之行,始于足下61. 211011412x x x ++-=- 62.()()142113233x x x ⎡⎤+-=-+⎢⎥⎣⎦ 63. 312423(1)32x x x -+-+=- 64.49325532x x x ++--= 65. 4115(2)13212x x x +--+=-66. 113(23)(32)5(32)(23)32x x x x ---=-+-六年级·寒假·学生版九层之台,起于累土67. 22(31)253y y -=- 68.31242233x x ⎡⎤⎛⎫--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦69. 21101211364x x x -++-=- 70.3213(1)(32)(1)45102x x x --+=-- 71. 431261345x ⎡⎤⎛⎫--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦72.121146x x ++-= 73. 211011412x x x ++-=- 74.111(15)(7)523x x +=--方程与不等式补充材料75. 2110121123644x x x-++-=-76.2383236x x x-+-=-77. 1010210147x x+--=78. ()()137464722x x-=+-79.12223x xx-+-=-80.3221211245x x x+-+-=-81. 13533236524x x⎛⎫⎛⎫---=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭82.112132152yy-+-=六年级·寒假·学生版83. 343111243242x x⎡⎤⎛⎫--=+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦84.111116412345x⎧⎫⎡⎤⎛⎫--+=⎨⎬⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎩⎭85.43254xxx x---=【练习1.3】一元一次方程——去分子、分母中的小数86. 0.10.20.710.30.4x x---=87.1.5 1.51.50.30.1x x--=88.2130.20.5x x-+-=89.0.30.2 1.5570.20.5x x--+=方程与不等式补充材料90. 0.20.10.010.0150.30.04x x---=91.0.010.030.40.110.020.5x x-+-=92.30.412.50.20.5x x+--=-93.341.60.50.2x x-+-=94. 2 1.633180.30.63x x x-+-=95.341.650.2y y-+-=96. 4 1.550.8 1.230.50.20.1x x x----=+97.1.5210.30.2x x--=六年级·寒假·学生版98. 3 1.50.20.1840.20.09x xx--+=+99.0.12230.30.6x xx-+-=100.341.60.50.2x x-+-=101.10.2110.40.7x x+--=102.0.230.210.50.03x x--=103.3 1.140.20.160.70.40.30.06x x x----=104. 1.510.530.6x x--=105.0.10.020.10.10.30.0020.05x x-+-=方程与不等式补充材料106. 0.030.010.170.050.10.020.070.030.09x x x +-+-=107. 0.10.20.0226.57.50.010.02x x---=-108.30.70.310.80.4x xx+-=-109. 0.40.50.20.5110.060.232x xx+-⎛⎫-=+⎪⎝⎭110.2651430.030.30.02x x-+-=【练习1.4】一元一次方程——巧算(整体法、拆括号、裂项、凑分子)111. 11311377325235x x⎛⎫⎛⎫--=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭112. ()()15201520153411131717x x x---+=六年级·寒假·学生版113. ()()()()1131121132x x x x +--=--+ 114. 31333447167x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫---=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 115. ()()1123233211191313x x x -+-+=116. ()()()()1120181120191120182019x x x x +--=--+ 117. 111123452345x x x x +++=+++方程与不等式补充材料118. ()()()()1111123201620162342017x x x x ++++++++= 119. 111133312222y ⎧⎫⎡⎤⎛⎫---=⎨⎬ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎩⎭120.111246819753x ⎧⎫⎡⎤+⎛⎫+++=⎨⎬⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎩⎭121. 2016122320162017x xx +++=⨯⨯⨯ 122. 1122320192020x xx+++=⨯⨯⨯123. 200613352003200520052007x x x x++++=⨯⨯⨯⨯六年级·寒假·学生版124.11 123234201720182019201820192020220192020 x x x x++++=-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯125.3213201520162017x x x---++=126.201013201920092007x x x---++=127.2017130 1008620162014x x x---++=128.20181614125 357911x x x x x-----++++=方程与不等式补充材料129. 3x a b x b c x c ac a b------++= ()000a b c >>>、、 130.4x a b c x b c d x c d a x d a bd a b c------------+++= () a b c d 、、、均为正数【练习2.1】 较简单的二元一次方程131. 27325x y x y -=⎧⎨+=⎩132. 85765476x y x y +=⎧⎨-=⎩133. 293x y x y -=-⎧⎨+=⎩134. 53702370x y x y --=⎧⎨+-=⎩六年级·寒假·学生版135.5120311120x yy x-=⎧⎨-=⎩136.245x yx y+=⎧⎨-=⎩137.5210x yx y+=⎧⎨+=⎩138.25342x yx y-=⎧⎨+=⎩139.7423624x yx y+=⎧⎨-=⎩140.892317674x yx y+=⎧⎨-=⎩141.()()()()31445135y xx y⎧-=-⎪⎨-=+⎪⎩142.32222m nm n+=⎧⎨-=-⎩方程与不等式补充材料143.372513x yx y-=⎧⎨+=⎩144.25342x yx y-=⎧⎨+=⎩145.30327xx y-=⎧⎨-=⎩146.633594x yx y-=-⎧⎨-=⎩147.2114327x yx y+=⎧⎨+=⎩148.3(1)4(4)5(1)3(5)y xx y-=-⎧⎨-=+⎩149.()()()()4395211x y x yx y x y⎧+--=⎪⎨-++=⎪⎩150.()()()()337242233228x yx y⎧+=-+⎪⎨-+-=⎪⎩六年级·寒假·学生版【练习2.2】较复杂的二元一次方程组151.1234x yx y+=⎧⎪⎨+=⎪⎩152.1640.30.4 1.7x yx y⎧+=⎪⎨⎪+=⎩153.2320.40.7 2.8x yx y⎧+=⎪⎨⎪+=⎩154.35723423235x yx y++⎧+=⎪⎪⎨--⎪+=⎪⎩155.2()1346()4(2)16x y x yx y x y-+⎧=-⎪⎨⎪+=-+⎩156.2344143m n n mnm+-⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩方程与不等式补充材料157. 2153224111466x y x y ⎧+=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩158. 32212453231045x y x y --⎧+=⎪⎪⎨++⎪-=⎪⎩159. 252234m nm n ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩160. ()()35724310413x y y x x y x y -+⎧+=-⎪⎪⎨---⎪=⎪⎩161. ()()()54723187323x y x y x y x y ⎧+-+=⎪⎪⎨⎪+--=⎪⎩162. 2164622372y x y x y x x y++⎧-=-⎪⎨⎪+=--⎩六年级·寒假·学生版163.1115212355x yyx+-⎧-=-⎪⎪⎨⎪+=-⎪⎩164.3223132x y x y-+==165.()5111562347 896x y y x x y---+++==【练习2.3】普通的三元一次方程组166.321x y zx y zx y-+=-⎧⎪+-=⎨⎪+=⎩167.324230140x yx zx y z=-⎧⎪-=⎨⎪++=⎩方程与不等式补充材料168.153241341013x y zx y zz-+=⎧⎪+-=-⎨⎪=⎩169.1225224x y zx y zx y++=⎧⎪++=⎨⎪=⎩170.3232443210x y zx y zx y z-+=⎧⎪+-=⎨⎪++=-⎩171. 235532z x yx y zx y z=+⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩172.52621212x yy zx z-=⎧⎪-=-⎨⎪+=⎩173.12232a b ca b ca b c++=⎧⎪+-=⎨⎪-+=⎩六年级·寒假·学生版174.3123325x y zx y zx y z+-=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩175.261218x y zx yx y z++=⎧⎪-=⎨⎪-+=⎩176.102317328x y zx y zx y z++=⎧⎪++=⎨⎪+-=⎩177.42314235x y zx y zx y z--=⎧⎪++=⎨⎪+-=⎩178.4329253456218x y zx y zx y z-+=⎧⎪+-=⎨⎪+-=⎩179.24+393251156713x y zx y zx y z+=⎧⎪-+=⎨⎪-+=⎩方程与不等式补充材料180.232623343239x y zx y zx y z++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩181.3213272312x y zx y zx y z++=⎧⎪++=⎨⎪+-=⎩182.4239328a b ca b ca b c++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩183.261218x y zx yx y z++=⎧⎪-=⎨⎪-+=⎩184.56812412345x y zx y zx y z+-=⎧⎪+-=-⎨⎪+-=⎩185.24393251156713x y zx y zx y z++=⎧⎪-+=⎨⎪-+=⎩六年级·寒假·学生版186.9202325x y zx y zx y z-+=⎧⎪++=⎨⎪--=⎩187.261218x y zx yx y z++=⎧⎪-=⎨⎪-+=⎩188.231332163510x y zx y zx y z++=⎧⎪+-=⎨⎪+-=⎩189.3423126x y zx y zx y z-+=⎧⎪+-=⎨⎪++=⎩190.275323342y xx y zx z=-⎧⎪++=⎨⎪-=⎩191.344635511x y zx y zy z++=⎧⎪-+=-⎨⎪+=⎩方程与不等式补充材料192.42325560x y zx y zx y z-+=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩193.52574313x yy zz x+=⎧⎪-=-⎨⎪+=⎩194.42325560a b ca b ca b c-+=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩195.2343327231a b ca b ca b c-+=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩【练习2.4】有技巧的多元一次方程组196.78388737x yx y+=⎧⎨+=⎩197.231763172357x yx y+=⎧⎨+=⎩六年级·寒假·学生版198.199519975989199719955987x yx y+=⎧⎨+=⎩199.354x yy zx z+=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩200.222426x y zx y zx y z++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩201.1131x y zy z xz x y+-=⎧⎪+-=⎨⎪+-=⎩202.512x yy zz x+=⎧⎪+=-⎨⎪+=-⎩203. 2345238x y zx y z⎧==⎪⎨⎪+-=⎩方程与不等式补充材料204.::z1:2:32318x yx y z=⎧⎨-+=⎩205.:3:2:5:466x yy zx y z=⎧⎪=⎨⎪++=⎩206.323232y z x az x y bx y z c+-=⎧⎪+-=⎨⎪+-=⎩207.252821126x yy zz uu x+=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩208.12323434545151212345x x xx x xx x xx x xx x x++=⎧⎪++=⎪⎪++=⎨⎪++=⎪⎪++=⎩209.12323434545151251532x x xx x xx x xx x xx x x++=⎧⎪++=⎪⎪++=-⎨⎪++=-⎪⎪++=⎩六年级·寒假·学生版210. 220240280+216023202640a b c d e f a b c d e f a b c d e f a b c d e f a b c d e f a b c d e f +++++=⎧⎪+++++=⎪⎪+++++=⎪⎨++++=⎪⎪+++++=⎪+++++=⎪⎩【练习3.1】 一元一次不等式 211. ()25321x x --≥ 212. 8156x x -≥-213. ()()3129x x -≤+ 214. ()()32232x x x x ⎡--⎤>--⎣⎦215. 3(2)152(2)x x -+-<-- 216.121123x x -++<方程与不等式补充材料217. 21433x x -≥-- 218. 3453172y y y --≤-219. 6721251423x x x --+-+>+- 220.121180.50.25x x -++>221. 124816x x x xx ++++> 222.12123x x +-≥223. 2354124463x x x ---+->+ 224. ()()52186117x x -+<-+六年级·寒假·学生版225. ()332524y y +≤- 226.()311212423x ⎡⎤--≥⎢⎥⎣⎦227. 11111112332x x ⎛⎫⎛⎫-≥-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭228. ()21035127x x x ---≥-229. 531132x x +--< 230. 22252y y y ---≤- 231. 123x x-< 232.2352x x -≥+方程与不等式补充材料233. 212(12)13x x --≥- 234.8111122x x x ++-≤-235. 422(2)x x -≥+ 236.3122123x x---≤237. 214432x x -+-< 238. 3(2)12(1)x x +>---239. 111(2)(3)248x x ->-+ 240. 533(2)x x +≤+六年级·寒假·学生版241. 14232x x -+->- 242.2432x x -≥- 243. 11132x x --≥ 244. 7(4)2(43)4x x x ---<245. 5(2)86(1)7x x -+<-+ 246.1132x x --< 247. 21211362x x x +--->- 248.3(1)5182x x x +-->-方程与不等式补充材料249.18136x xx+-+≤-250. 15(31)10(42)6(63)39x x x---≥--251. 0.40.210.20.5x x+->-252. 51531x x+>-253. 22123x x+-≥254.2(1)12xx---<255. 2152246x x-+-≥-256.3(1)12384x x+-+<-六年级·寒假·学生版257.121133x xx-+-≤+258.0.2 1.20.120.130.30.05x x---≤-259.()0.20.10.2 0.030.010.70.310.030.50.15x x x-+--<+260. 0.40.90.030.0250.50.032x x x++-->【练习3.2】一元一次不等式组261.3312183(1)xxx x-⎧+≥+⎪⎨⎪+<+-⎩262.253(2)12135x xx+≤+⎧⎪-⎨+>⎪⎩方程与不等式补充材料263. 22531323213x xx x--⎧-≤⎪⎨⎪->-⎩264. 3(1)954x x +≤⎧⎨+>⎩265. 3(1)702423x x x -->⎧⎪-⎨>⎪⎩266. 2362523x x x x +≤+⎧⎪+⎨<+⎪⎩267. 21390x x >-⎧⎨-+≥⎩268. 33(3)21123x x x x +≤+⎧⎪-+⎨>-⎪⎩269. ()()1032561x x x +⎧>⎪⎨⎪+≥-⎩270. 3150728x x x ->⎧⎨-<⎩六年级·寒假·学生版271.312342x xx x-≤-⎧⎨-+>-⎩272.1232(3)3(2)6x xx x⎧->-⎪⎨⎪--->-⎩273.593(1)311122x xx x-<-⎧⎪⎨-≤-⎪⎩274.328212xx-<⎧⎨->⎩275.523(4)131722x xx x-≤+⎧⎪⎨-<-⎪⎩276.328654x--≤--<-277.2632145x xx x-≤-⎧⎪+⎨->⎪⎩278.121233(2)54x xx x--⎧≤⎪⎨⎪+>+⎩方程与不等式补充材料千里之行,始于足下279. ()32421152x x x x ⎧--≥⎪⎨-+≤⎪⎩280. 513(1)23722x x x x ->+⎧⎪⎨-≤-⎪⎩281. 2132(1)5x x +⎧<⎪⎨⎪-≤⎩282. 312128x x x -≤+⎧⎨-<⎩283. 222212x x x x+⎧≥⎪⎨⎪-<-⎩284. 313112123x x x x +<-⎧⎪++⎨≤+⎪⎩285. 521262(3)4x x x x -⎧->⎪⎨⎪-≤-⎩ 286. 2153712x x x ->⎧⎪⎨-+≤⎪⎩六年级·寒假·学生版九层之台,起于累土287. 2(21)342151132x x x x -≤+⎧⎪-+⎨-≤⎪⎩288. 3(2)8143x x x x +>+⎧⎪-⎨≥⎪⎩289. 267442152x x x x +>-⎧⎪+-⎨≥⎪⎩290. 43213(1)6x x x x-⎧+≥⎪⎨⎪--<-⎩291. ()()35223141x x x x -⎧≤-⎪⎨⎪-<+⎩292. 543132(32)3x x x ->⎧⎨--≤⎩293. 2153112x x x ->⎧⎪⎨+-≥⎪⎩294. 253259837(4)2(43)4x x x x x x x +≤+⎧⎪->+⎨⎪---<⎩方程与不等式补充材料千里之行,始于足下295. ()1231121286432x x x x x x +>+-⎧⎪⎪+≥+⎨-<-⎪⎪⎩296. 8156212(12)133(2)152(2)x x x x x x -≥-⎧⎪-⎪-≥-⎨⎪-+-<--⎪⎩297. 36451322253522x x x x x x +>+-⎧⎪⎪+>+⎨<-⎪⎪⎩298. 18136212113620.40.210.20.5x x x x x x x x +-⎧+≤-⎪⎪+--⎪->-⎨⎪+-⎪>-⎪⎩299. 427323653453x x x x x x ⎧⎪+>++≥+≤-⎨-⎪⎩300. ()()32232217223x x x x x x ⎧⎪->++≤+≥+⎨-⎪⎩。
专题14 不等式选讲解答题30题 学生版--高考数学专题训练

专题14不等式选讲解答题30题1.(2022-2023学年高三上学期一轮复习联考(五)理科数学试题(全国卷))已知函数() 2 1f x x a x =-++,() 21g x x =-+.(1)当a =2时画出函数()f x 的图象,并求出其值域;(2)若()()f x g x ≥恒成立,求a 的取值范围.2.(陕西省榆林市2023届高三上学期一模文科数学试题)已知函数()23f x x a x =+-++.(1)当0a =时,求不等式()9f x ≥的解集;(2)若()2f x >,求a 的取值范围.3.(陕西省渭南市富平县2022-2023学年高三下学期期末文科数学试题)已知函数()|1||2|f x x x =++-的最小值为m .(1)求不等式()5f x ≤的解集;(2)若a ,b 都是正数且ab m =,求2a b +的最小值.4.(江西省吉安市2023届高三上学期1月期末质量检测数学(文)试题)已知a ,b 均为正数,且2226a b +=,证明:(1)2a b +≤(2)12a b +≥5.(河南省郑州市2023届高三第一次质量预测理科数学试题)已知()223f x x x =++-.(1)求不等式()5f x ≤的解集;(2)若()f x 的最小值为m ,正实数a ,b ,c 满足a b c m ++=,求证:11192a b b c a c m++≥+++.6.(河南省洛平许济联考2022-2023学年高三上学期第一次质量检测理科数学试题)已知函数()121f x x x =++-.(1)求不等式()8f x <的解集;(2)设函数()()1g x f x x =--的最小值为m ,且正实数a ,b ,c 满足a b c m ++=,求证:2222a b c b c a++≥.7.(河南省部分名校2022-2023学年高三下学期学业质量联合检测理科数学试题)已知函数()12f x x x a =--+.(1)当12a =时,求不等式()0f x 的解集;(2)当1a -时,若函数()12g x x b =+的图象恒在()f x 图象的上方,证明:232b a ->.8.(河南省洛阳市第八高级中学2023届高三下学期开学摸底考试理科数学试题)已知函数()|||4|f x x a x =-++.(1)当2a =时,求不等式()8f x ≥的解集;(2)若()21>+f x a 恒成立,求a 的取值范围.9.(青海省西宁市大通回族土族自治县2022-2023学年高三下学期开学摸底考试数学(文)试题)已知函数()|2||22|(0,0)f x x a x b a b =++->>.(1)若2a =,2b =,求不等式()8f x >的解集;(2)若()f x 的最小值为1,求1123a b b++的最小值.10.(2023届甘肃省高考理科数学模拟试卷(四))已知函数()223f x x a x =-++,()12g x x =-+.(1)解不等式()5g x <.(2)若对任意1x R ∈,都有2x R ∈,使得()()12f x g x =成立,求实数a 的取值范围.11.(甘肃省兰州市第五十七中学2022-2023学年第一次模拟考试数学(文科)试题)已知函数()|21|,()||f x x g x x a=+=+(1)当0a =时,解不等式()()f x g x ≥;(2)若存在x ∈R ,使得()()f x g x ≤成立,求实数a 的取值范围.12.(安徽省江淮名校2022届高三下学期5月联考理科数学试题)已知函数()22212f x x m x m =-++-.(1)当3m =时,求不等式()10f x 的解集;(2)若()4f x 恒成立,求实数m 的取值范围.13.(河南省商开大联考2022-2023学年高三下学期考试文科数学试题)设函数()1f x x a x a =-+++.(1)当0a =时,求不等式()21f x x <+的解集;(2)若关于x 的不等式()2f x <有解,求实数a 的取值范围.14.(山西省太原市第五中学2022届高三下学期二模文科数学试题)(1)解不等式217x x -+-;(2)若正实数,a b 满足1a b +=,求2211a b b a +++的最小值.15.(山西省太原市2022届高三下学期模拟三理科数学试题)已知函数()2R f x x m m =+-∈,,且()0f x <的解集为[3,1]--.(1)求m 的值;(2)设a ,b ,c 为正数,且a b c m ++=,的最大值.16.(山西省吕梁市2022届高三三模理科数学试题)已知函数()22f x x a a x =---.(1)当1a =-时,求不等式()8f x <的解集;(2)当[]1,2x ∈时,()0f x ≥,求a 的取值范围.17.(内蒙古自治区包头市2022-2023学年高三上学期期末数学试题)已知()()4f x x m x x x m =-+--(1)当2m =时,求不等式()0f x ≥的解集;(2)若(),2x ∈-∞时,()0f x <,求m 的取值范围.18.(内蒙古自治区赤峰市2022-2023学年高三上学期10月月考数学文科试题)已知函数()|||2|f x x a x =++-,其中a 为实常数.(1)若函数()f x 的最小值为3,求a 的值;(2)若当[]1,2x ∈时,不等式()|4|f x x ≤-恒成立,求a 的取值范围.19.(内蒙古自治区呼和浩特市2023届高三上学期质量普查调研考试理科数学试题)已知m ≥0,函数()212f x x x m =--+的最大值为4,(1)求实数m 的值;(2)若实数a ,b ,c 满足2a b c m -+=,求222a b c ++的最小值.20.(宁夏石嘴山市第三中学2023届高三上学期期未考试数学(理)试题)已知函数f (x )=2|x +1|+|x -3|.(1)求不等式f (x )>10的解集;(2)若函数()()3g x f x x =+-的最小值为M ,正数a ,b ,c 满足a +b +c =M ,证明2228a b c c a b++≥.21.(河南省名校联盟2021-2022学年高三下学期2月大联考理科数学试卷)已知函数()1f x x =+.(1)求不等式()52f x x ≥--的解集;(2)记()1y f x x =+-的最小值为m ,若0a >,0b >,20a b m +-=,证明:189a b+≥.22.(新疆部分学校2023届高三下学期2月大联考(全国乙卷)数学(理)试题)已知函数()()22R f x ax x a =---∈.(1)当2a =时,求不等式()2f x >的解集;(2)若存在[]2,4x ∈,使得()0f x ≤,求a 的取值范围.23.(江西省部分学校2023届高三上学期1月联考数学(理)试题)已知函数()31f x x =-+.(1)求不等式()82f x x ≤-+的解集;(2)若对任意的0x >,关于x 的不等式()f x ax ≥恒成立,求a 的取值范围.24.(江西省赣州市2023届高三上学期1月期末考试数学(理)试题)已知函数()212f x x x =+++的最小值为m .(1)求m 的值;(2)设,,a b c 为正数,且a b c m ++=,求证:2222222a b c a b c c b a+++++≥.25.(2020届广西柳州市高三毕业班4月模拟(三模)文科数学试题)已知函数()11f x x x =-++.(1)求不等式()3f x <的解集;(2)若二次函数22y x x m =--+与函数()y f x =的图象恒有公共点,求实数m 的取值范围.26.(广西玉林、贵港、贺州市2023届高三联合调研考试(一模)数学(文)试题)已知函数()21,R f x x a a =-+∈,(1)当3a =时,求()f x 的最小值;(2)若对()0,6,R,m x ∀∈∀∈,不等式()f x >a 的取值范围.27.(贵州省贵阳市普通中学2023届高三上学期期末监测考试数学(文)试题)已知0,0a b >>,函数()|2||2|1f x x a x b =++-+的最小值为3.(1)求a b +的值;(2)求证:3221log 42b a ab ⎛⎫++≥- ⎪⎝⎭.28.(贵州省毕节市2023届高三年级诊断性考试(一)数学(文)试题)已知函数()2f x a x x =-++.(1)当1a =付,求不等式()4f x ≤的解集;(2)若()2f x a >-恒成立,求实数a 的取值范围.29.(贵州省铜仁市2023届高三上学期期末质量监测数学(文)试题)设不等式|21||21|4x x ++-<的解集为,,M a b M ∈.(1)求证:115236a b -<;(2)试比较|2|a b -与|2|ab -的大小,并说明理由.30.(广西柳州市、梧州市2023届高中毕业班2月大联考数学(文)试题)已知函数()|21||1|f x x ax =++-.(1)当2a =时,求不等式()3f x ≥的解集;(2)若0a >时,存在x ∈R ,使得()12a f x <+成立,求实数a 的取值范围.。
八下数学章节考点详细解析(学生版)

八下数学章节考点详细解析姓名第一章不等式与不等式组(六)一次函数图像与不等式1.如图2,已知函数y =3x +b 和y =ax -3的图象交于点P(-2,-5),则根据图象可得不等式3x +b >ax -3的解集是_______________。
2.如图,直线y kx b =+经过(21)A ,,(12)B --,两点,则不等式122x kx b >+>-的解集为 .3.如图,直线y kx b =+经过A (-2,-1)和B (-3,0)两点,则不等式组102x kxb <+<的解集为 .4.(2010年山东聊城)如图一次函数y kx b =+的图象与正比例函数y =2x 的图象相交于点P ,与y 轴交于(0,3)(1)关于x 的方程kx+b=2x 的解为 . (图表信息题)1.七(2)班共有50名学生,老师安排每人制作一件A 型或B 型的陶艺品,学校现有甲种制作材料36kg ,(2)请你根据学校现有材料,分别写出七(2)班制作A 型和B 型陶艺品的件数. 2.下表给出甲、乙、丙三种食物的维生素A,B 的含量及成本:某食物营养研究所将三种食物混合成110千克的混合物,使之至少需含48400单位 的维生素A 及52 800单位的维生素B .求三种食物所需量与成本的关系式.(说明理由型)甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品,为了吸引顾客,各自推出不同的优惠方案:在甲超市累计购买商品超出300元之后,超出部分按原价8折优惠;在乙超市累计购买商品超出200元之后,超出部分按原价9折优惠.设顾客预计累计购物x 元(x >300).(1) 请用含x 代数式分别表示顾客在两家超市购物所付的费用; (2) 试比较顾客到哪家超市购物更优惠?说明你的理由.(混合夹逼型)将一箱苹果分给若干个小朋友,若每位小朋友分5个苹果,则还剩12个苹果;若每位小朋友分8个苹果,则有—个小朋友分不到8个苹果.求这一箱苹果的个数与小朋友的人数.(方案选择型)例6.(黑龙江省)某公司经营甲、乙两种商品,每件甲种商品进价12万元,售价14.5万元,•每件乙种商品进价8万元,售价10万元,且它们的进价和售价始终不变,现准备购进甲、乙两种商品共20件,所用资金不低于190万元,不高于200万元. (1)该公司有哪几种进货方案?(2)该公司采用哪种进货方案可获得最大利润?最大利润是多少?(3)若用(2)中所求得的利润再次进货,请直接写出获得最大利润的进货方案.※一元一次不等式的解法易错点归纳1.去括号时,错用乘法分配律【例1】解不等式3x+2(2-4x)<19. 错解:去括号,得3x+4-4x<19,解得x>-15.诊断: 错解在去括号时,括号前面的数2没有乘以括号内的每一项.正解: 去括号,得3x+4-8x<19,-5x<15,所以x>-3.2.去括号时,忽视括号前的负号【例2】解不等式5x-3(2x-1)>-6. 错解:去括号,得5x-6x-3>-6,解得x<3.诊断:去括号时,当括号前面是“-”时,去掉括号和前面的“-”,括号内的各项都要改变符号.错解在去括号时,没有将括号内的项全改变符号.正解:去括号,得5x-6x+3>-6,所以-x>-9,所以x<9.3.移项时,不改变符号【例3】解不等式4x-5<2x-9.错解:移项,得4x+2x<-9-5,即6x<-14,所以诊断:一元一次不等式中的移项和一元一次方程中的移项一样,移项就要改变符号,错解忽略了这一点.正解:移项,得4x-2x<-9+5,解得2x<-4,所以x<-2.4.去分母时,忽视分数线的括号作用【例4】解不等式错解:去分母,得,解得:诊断: 去分母时,如果分子是一个整式,去掉分母后要用括号将分子括起来.错解在去掉分母时,忽视了分数线的括号作用.正解:去分母,得6x-(2x-5)>14,去括号,得5.不等式两边同除以负数,不改变方向【例5】解不等式3x-6<1+7x. 错解:移项,得3x-7x<1+6,即-4x<7,所以诊断:将不等式-4x<7的系数化为1时,不等式两边同除以-4后,根据不等式的基本性质:不等式两边同乘以或同除以同一个负数,不等号要改变方向,因此造成了错解.正解:移项,得3x-7x<1+6,即-4x<7,所以所以x>6.去分母时,漏乘不含分母的项【例6】解不等式错解:去分母,得x-2(x-1)>3x+1,去括号,解得诊断: 去分母时,要用最简公分母去乘不等式两边的每一项.而错解只乘了含有分母的项,漏乘了不含有分母的项.正解:去分母,得6x-2(x-1)>3x+6,去括号,得6x-2x+2>3x+6,解得x>4.7.忽视对有关概念的理解【例7】求不等式的非负整数解.错解:整理,得3x≤16,所以故其非负整数的解是1,2,3,4正解:非负整数的解是0,1,2,3,4,58.在数轴上表示解集时出现错误【例8】解不等式:3(1-x)≥2(x+9),并把它的解集在数轴上表示出来.错解:整理,得-5x≥15,所以x≤-3,在数轴上表示如图1所示.诊断:本题求得的解集并没错,问题出在将解集在数轴上表示出来时出现了错误,即有两处错误:一是方向表示错误,不应该向右,而应该向左;二是不应用空心圆圈表示,而应用实心圆圈表示.正解:整理,得-5x≥15,所以x≤-3,在数轴上表示如图2所示.注:上述三例告诉我们解一元一次不等式时一定要认真分析题目的结构特征,灵活运用解一元一次不等式的步骤,正确理解有关概念,才能及时避开陷阱,准确、快速的求解.9.不等式组解集忽视等号【例9】若不等式组的解集为x>2,则a的取值范围是().A. a<2B. a≤2C. a>2D. a≥2错解:原不等式组可化简为得a<2,故选A.诊断:当a=2时,原不等式组变为解集也为x>2.正解:应为a≤2 ,故选B.10.忽视了字母的范围【例10】解关于x的不等式m(x-2)>x-2.错解:化简,得(m-1)x>2(m-1),所以x>2.诊断:错解在默认为m-1>0,实际上m-1还可能小于或等于0.正解:化简,得(m-1)x>2(m-1),①当m-1>0时,x>2;②当m-1<0时,x<2;③当m-1=0时,无解.【例11】解不等式(a-1)x>3.错解:系数化为1,得.诊断:此题的未知数系数含有字母,不能直接在不等式两边同时除以这个系数,应该分类讨论.正解:①当a-1>0时,;②当a=1时,0³x>3,不等式无解;③当a-1<0时,.11.套用解方程组的方法解不等式组【例12】不等式组的解集为___________.错解:两个不等式相加,得 x-1<0,所以x<1.诊断: 这是解法上的错误,它把解不等式组与解一次方程组的方法混为一谈,不等式组的解法是分别求出不等式组中各个不等式的解集,然后在数轴上表示出来,求得的公共部分就是不等式组的解集,而不能用解方程组的方法来求解.正解:解不等式组,得在同一条数轴上表示出它们的解集,如图,所以不等式组的解集为:.【例13】 解不等式组错解:因为5x-3>4x+2,且4x+2>3x-2, 所以 5x-3>3x-2. 移项,得5x-3x >-2+3.解得.诊断: 上面的解法套用了解方程组的方法,是否正确,我们可以在的条件下,任取一个x 的值,看是否正确.如取x =1,将它代入5x-3>4x+2,得2>6(不成立).可知不是原方程组的解集,其造成错误的原因是由原不等式组变形为一个新的不等式时,改变了不等式的解集. 正解:由5x-3>4x+2,得x >5. 由4x+2>3x-2,得x >-4.综合x >5和x >-4,得原不等式组的解集为x >5.第二章 因式分解考点考点一、因式分解的意义例1.一次课堂练习,小敏同学做了如下4道因式分解题,你认为小敏做得不够完整的一题是( )A.x 3-x =x (x 2-1)B.x 2-2xy +y 2=(x -y )2C.x 2y -xy 2=xy (x -y )D.x 2-y 2=(x -y )(x +y ) 考点二、直接提公因式分解例2.分解因式2a (b -c )-3c (b -c ).考点三、用公式法分解因式 例3.分解因式:(1)25-2161m ; (2)-(a -b )2+4(a -b )-4.考点四、确定多项式的公因式例4.多项式ax 2-4a 与多项式x 2-4x +4的公因式是___.考点五、换元法例5.(x 2-1)2-5(x 2-1)+4=0例6.计算2005+20052-20062.考点六、开放型问题例7.在日常生活中如取款、上网等都需要密码.有一种用“因式分解”法产生的密码,便记忆.理由是:如对于多项式44y x -,因式分解的结果是))()((22y x y x y x ++-,若取x =9,y =9时,则各个因式的值是:(x -y )=0,(x +y )=18,(x 2+y 2)=162,于是就可以把“018162”作为一六位数的密码.对于多项式234xy x -,取x =10,y =10时,用上述方法产生的密码是: (写出一个即可).例8 甲、乙两生解同一个一元二次方程式,甲将x 项的系数看错,解得两根为-4与8;乙将常数项看错,解得两根为-4与10,此外无其它错误,试求正确的方程式考点七 十字相乘法例9 设x 、y 为正数,且x 2-3xy -4y 2=0,则x :y 的比值= 。
解一元一次不等式组专项训练(20题)(学生版)

解一元一次不等式组专项训练(20题)一.选择题(共4小题)
1.一元一次不等式组的解集在数轴上表示正确的是()A.B.
C.D.
2.把不等式组的解集表示在数轴上,下列符合题意的是()A.B.
C.D.
3.下列不等式组,无解的是()
A.B.
C.D.
4.在数轴上表示某不等式组的解集,如图所示,则这个不等式组可能是()
A.B.
C.D.
二.填空题(共1小题)
5.不等式组的解集是.
三.解答题(共15小题)
6.解不等式组,并把解集在数轴上表示出来.
7.解不等式组,将解集在数轴上表示出来,并求出所有非负整数解.8.解不等式组:,并把解集在数轴上表示出来.
9.解不等式组,并把解集在数轴上标示出来.
10.解不等式组,并把不等式组的解集表示在数轴上.
11.解不等式组:
.
12.解不等式组:,并把解集在数轴上表示出来.13.解下列不等式组:.
14.解不等式组并把解表示在数轴上.
15.解不等式组,并把它的解集在数轴上表示出来.16.解不等式组,并把不等式组的解集在数轴上表示出来.
17.解不等式组,并在数轴上表示它的解集.
18.解不等式组.
19.解不等式组:.
20.解下列不等式组,并把解集表示在数轴上.
.。
高中数学必修第一册 《一元二次函数、方程和不等式》期末复习专项训练(学生版+解析版)

高中数学必修第一册《一元二次函数、方程和不等式》期末复习专项训练一、单选题l. (2022·四川绵阳·高一期末〉下列结论正确的是(〉A.若的b,则。
c>bc c.若。
>b,则。
+c>b+cl I B.若α>b,则-〉-a D D.着。
>b,则。
2> b22.(2022·辽宁·新民市第一高级中学高一期末〉已知α<b<O,则(〉A.a2 <abB.ab<b2C.a1 <b1D.a2 >b i3.(2022·陕西汉中·高一期末〉若关于工的不等式,咐2+2x+m>O的解集是R,则m的取值范围是(〉A.(I, +oo)B.(0, I〕C.( -J, I)D.(J, +oo)4.(2022·广东珠海高一期末〉不等式。
+l)(x+3)<0的解集是(〉A.RB.②c.{对-3<x<-I} D.{xi x<-3,或x>-l}5. (2022·四川甘孜·高一期末〉若不等式似2+bx-2<0的解集为{xl-2<x<I},则。
÷b=( )A.-2B.OC.ID.26. (2022·湖北黄石·商一期末〉若关于X的不等式x2-ax’+7>。
在(2,7)上有实数解,则α的取值范围是(〉A.(唱,8)B.(叫8] c.(叫2./7) D.(斗)7.(2022·新疆乌市一中高一期末〉已知y=(x-m)(x-n)+2022(n> m),且α,β(α〈别是方程y=O的两实数根,则α,β,111,n的大小关系是(〉A.α<m<n<βC.m<α〈β<nB.m<α<n<βD.α<m<β<n8.(2022·浙江·杭州四中高一期末〉已失11函数y=κ-4+...2....(x>-1),当x=a时,y取得最小值b,则。
不等式典型例题学生版

典型例题一例1 解不等式:(1)015223>--x x x ;(2)0)2()5)(4(32<-++x x x . 分析:如果多项式)(x f 可分解为n 个一次式的积,则一元高次不等式0)(>x f (或0)(<x f )可用“穿根法”求解,但要注意处理好有重根的情况.解:(1)原不等式可化为0)3)(52(>-+x x x把方程0)3)(52(=-+x x x 的三个根3,25,0321=-==x x x 顺次标上数轴.然后从右上开始画线顺次经过三个根,其解集如下图的阴影部分.∴原不等式解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><<-3025x x x 或 (2)原不等式等价于⎩⎨⎧>-<-≠⇔⎩⎨⎧>-+≠+⇔>-++245)2)(4(050)2()5)(4(32x x x x x x x x x 或 ∴原不等式解集为{}2455>-<<--<x x x x 或或说明:用“穿根法”解不等式时应注意:①各一次项中x 的系数必为正;②对于偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式,也可直接用“穿根法”,但注意“奇穿偶不穿”,其法如下图.典型例题二例2 解下列分式不等式:(1)22123+-≤-x x ; (2)12731422<+-+-x x x x典型例题三例3 解不等式242+<-x x分析:解此题的关键是去绝对值符号,而去绝对值符号有两种方法:一是根据绝对值的意义⎩⎨⎧<-≥=)0()0(a a a a a二是根据绝对值的性质:a x a x a x a a x >⇔<<-⇔<.,或a x -<,因此本题有如下两种解法.解法一:原不等式⎪⎩⎪⎨⎧+<-<-⎪⎩⎪⎨⎧+<-≥-⇔240424042222x x x x x x 或 即⎩⎨⎧>-<<<-⎩⎨⎧<<--≤≥1222222x x x x x x x 或或或∴32<≤x 或21<<x故原不等式的解集为{}31<<x x .解法二:原不等式等价于 24)2(2+<-<+-x x x即⎪⎩⎪⎨⎧+->-+<-)2(42422x x x x ∴312132<<⎩⎨⎧-<><<-x x x x 故或.典型例题四例4 解不等式04125622<-++-x x x x .. 说明:解法一要注意求两个等价不等式组的解集是求每组两个不等式的交集,再求两组的解的并集,否则会产生误解. 解法二中,“定符号”是关键.当每个因式x 的系数为正值时,最右边区间一定是正值,其他各区间正负相间;也可以先决定含0的区间符号,其他各区间正负相间.在解题时要正确运用.典型例题五例5 解不等式x xx x x <-+-+222322.分析:不等式左右两边都是含有x 的代数式,必须先把它们移到一边,使另一边为0再解.解:移项整理,将原不等式化为0)1)(3()1)(2(2>+-++-x x x x x .由012>++x x 恒成立,知原不等式等价于0)1)(3()2(>+--x x x .解之,得原不等式的解集为}321{><<-x x x 或.说明:此题易出现去分母得)23(2222x x x x x -+<-+的错误解法.避免误解的方法是移项使一边为0再解.另外,在解题过程中,对出现的二项式要注意其是否有实根,以便分析不等式是否有解,从而使求解过程科学合理.典型例题六例6 设R m ∈,解关于x 的不等式03222<-+mx x m .说明:解不等式时,由于R m ∈,因此不能完全按一元二次不等式的解法求解.因为当0=m 时,原不等式化为03<-,此时不等式的解集为R ,所以解题时应分0=m 与0≠m 两种情况来讨论.在解出03222=-+mx x m 的两根为mx 31-=,m x 12=后,认为mm13<-,这也是易出现的错误之处.这时也应分情况来讨论:当0>m 时,mm13<-;当0<m 时,mm 13>-.典型例题七例7 解关于x 的不等式)0(122>->-a x a ax .分析:先按无理不等式的解法化为两个不等式组,然后分类讨论求解. 解:原不等式⎪⎩⎪⎨⎧->-≥->-⇔;)1(2,01,02)1(222x a ax x a ax 或⎩⎨⎧<-≥-.01,02)2(2x a x由0>a ,得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+++-≤>⇔;01)1(2,1,2)1(22a x a x x a x ⎪⎩⎪⎨⎧>≥⇔.1,2)2(x a x 由判别式08)1(4)1(422>=+-+=∆a a a ,故不等式01)1(222<+++-a x a x 的解是a a x a a 2121++<<-+.当20≤<a 时,1212≤-+≤a a a ,121>++a a ,不等式组(1)的解是121≤<-+x a a ,不等式组(2)的解是1>x .当2>a 时,不等式组(1)无解,(2)的解是2a x ≥.综上可知,当20≤<a 时,原不等式的解集是[)+∞-+,21a a ;当2>a 时,原不等式的解集是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,2a .说明:本题分类讨论标准“20≤<a ,2>a ”是依据“已知0>a 及(1)中‘2a x >,1≤x ’,(2)中‘2ax ≥,1>x ’”确定的.解含有参数的不等式是不等式问题中的难点,也是近几年高考的热点.一般地,分类讨论标准(解不等式)大多数情况下依“不等式组中的各不等式的解所对应的区间的端点”去确定.本题易误把原不等式等价于不等式)1(22x a ax ->-.纠正错误的办法是熟练掌握无理不等式基本类型的解法.典型例题八例8 解不等式331042<--x x .说明:解含绝对值的不等式,关键是要把它化为不含绝对值的不等式,然后把不等式等价转化为不等式组,变成求不等式组的解.典型例题九例9 解关于x 的不等式0)(322>++-a x a a x .分析:不等式中含有字母a ,故需分类讨论.但解题思路与一般的一元二次不等式的解法完全一样:求出方程0)(322=++-a x a a x 的根,然后写出不等式的解,但由于方程的根含有字母a ,故需比较两根的大小,从而引出讨论.解:原不等式可化为0))((2>--a x a x .(1)当2a a <(即1>a 或0<a )时,不等式的解集为:{}2a x a x x ><或;(2)当2a a >(即10<<a )时,不等式的解集为:{}a x a x x><或2;(3)当2a a =(即0=a 或1)时,不等式的解集为:{}a x R x x≠∈且.说明:对参数进行的讨论,是根据解题的需要而自然引出的,并非一开始就对参数加以分类、讨论.比如本题,为求不等式的解,需先求出方程的根a x =1,22a x =,因此不等式的解就是x 小于小根或x 大于大根.但a 与2a 两根的大小不能确定,因此需要讨论2a a <,2a a >,2a a =三种情况.典型例题十例10 已知不等式02>++c bx ax 的解集是{})0(><<αβαx x .求不等式02>++a bx cx 的解集.分析:按照一元二次不等式的一般解法,先确定系数c 的正负,然后求出方程02=++a bx cx 的两根即可解之.解:(解法1)由题可判断出α,β是方程02=++c bx ax 的两根, ∴ab -=β+α,ac =β⋅α.又02>++c bx ax 的解集是{}β<<αx x ,说明0<a . 而0>α,0>β000<⇒>⇒>αβ⇒c ac , ∴0022<++⇔>++c a x c b x a bx cx .⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--==--=+-=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅-=+),1)(1(1,11βααββααββαβαβαa c c b a c ab∴02<++ca x cb x ,即0)1)(1()11(2<β-α-+β-α-+x x , 即0)1)(1(<β-α-x x . 又β<α<0,∴β>α11,∴0)1)(1(<β-α-x x 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧α<<β11x x . (解法2)由题意可判断出α,β是方程02=++c bx ax 的两根,∴ac =β⋅α.又02>++c bx ax 的解集是{}β<<αx x ,说明0<a . 而0>α,0>β000<⇒>⇒>αβ⇒c ac .对方程02=++a bx cx 两边同除以2x 得 0)1()1(2=+⋅+⋅c x b x a .令xt 1=,该方程即为02=++c t b t a ,它的两根为α=1t ,β=2t ,∴α=11x ,β=21x .∴α=11x ,β=12x ,∴方程02=++a bx cx 的两根为α1,β1.∵β<α<0,∴β>α11.∴不等式02>++a bx cx 的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧α<<β11x x. 说明:(1)万变不离其宗,解不等式的核心即是确定首项系数的正负,求出相应的方程的根;(2)结合使用韦达定理,本题中只有α,β是已知量,故所求不等式解集也用α,β表示,不等式系数a ,b ,c 的关系也用α,β表示出来;(3)注意解法2中用“变换”的方法求方程的根.典型例题十二例13 不等式022<-+bx ax 的解集为{}21<<-x x ,求a 与b 的值.说明:本题考查一元二次方程、一元二次不等式解集的关系,同时还考查逆向思维的能力.对有关字母抽象问题,同学往往掌握得不好.典型例题十三例14 解关于x 的不等式01)1(2<++-x a ax .分析:本题考查一元一次不等式与一元二次不等式的解法,因为含有字母系数,所以还考查分类思想.说明:解本题要注意分类讨论思想的运用,关键是要找到分类的标准,就本题来说有三级分类:⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧>=<<><≠=∈11100000a a a a a a a R a 分类应做到使所给参数a 的集合的并集为全集,交集为空集,要做到不重不漏.另外,解本题还要注意在讨论0<a 时,解一元二次不等式01)1(2<++-x a ax 应首选做到将二次项系数变为正数再求解.典型例题十四例15 解不等式x x x ->--81032.说明:本题也可以转化为)()(x g x f ≤型的不等式求解,注意:⎪⎩⎪⎨⎧≤≥≥⇔≤2)]([)(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f ,这里,设全集}52{}0103{2≥-≤=≥--=x x x x x x U 或,⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤--=x x x x A 81032, 则所求不等式的解集为A 的补集A ,由2)8(10301030881032222-≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧-≤--≥--≥-⇔-≤--x x x x x x x x x x 或13745≤≤x .即⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤=137452x x x A 或,∴原不等式的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=1374x x A .。
中考数学-不等式(组)及其应用(学生版)

不等式(组)及其应用一、单选题1(2023·内蒙古·统考中考真题)关于x 的一元一次不等式x -1≤m 的解集在数轴上的表示如图所示,则m 的值为()A.3B.2C.1D.02(2023·湖南常德·统考中考真题)不等式组x -3<23x +1≥2x 的解集是()A.x <5B.1≤x <5C.-1≤x <5D.x ≤-13(2023·湖北·统考中考真题)不等式组3x -1≥x +1x +4>4x -2 的解集是()A.1≤x <2B.x ≤1C.x >2D.1<x ≤24(2023·广东·统考中考真题)一元一次不等式组x -2>1x <4 的解集为()A.-1<x <4B.x <4C.x <3D.3<x <45(2023·湖北宜昌·统考中考真题)解不等式1+4x3>x -1,下列在数轴上表示的解集正确的是( ).A. B.C. D.6(2023·浙江宁波·统考中考真题)不等式组x +1>0x -1≤0的解在数轴上表示正确的是()A. B.C.D.7(2023·四川眉山·统考中考真题)关于x 的不等式组x >m +35x -2<4x +1 的整数解仅有4个,则m 的取值范围是()A.-5≤m <-4B.-5<m ≤-4C.-4≤m <-3D.-4<m ≤-38(2023·四川遂宁·统考中考真题)若关于x 的不等式组4x -1 >3x -15x >3x +2a的解集为x >3,则a 的取值范围是()A.a>3B.a<3C.a≥3D.a≤3二、填空题9(2023·全国·统考中考真题)不等式4x-8>0的解集为.10(2023·辽宁大连·统考中考真题)9>-3x的解集为.11(2023·四川乐山·统考中考真题)不等式x-1>0的解集是.12(2023·黑龙江·统考中考真题)关于x的不等式组x+5>0x-m≤1有3个整数解,则实数m的取值范围是.13(2023·广东·统考中考真题)某商品进价4元,标价5元出售,商家准备打折销售,但其利润率不能少于10%,则最多可打折.14(2023·山东聊城·统考中考真题)若不等式组x-12≥x-232x-m≥x的解集为x≥m,则m的取值范围是.15(2023·湖南·统考中考真题)关于x的不等式12x-1>0的解集为.16(2023·山东滨州·统考中考真题)不等式组2x-4≥2,3x-7<8的解集为.17(2023·浙江温州·统考中考真题)不等式组x+3≥23x-12<4的解是.18(2023·重庆·统考中考真题)若关于x的一元一次不等式组x+32≤42x-a≥2,至少有2个整数解,且关于y的分式方程a-1y-2+42-y=2有非负整数解,则所有满足条件的整数a的值之和是.19(2023·四川泸州·统考中考真题)关于x,y的二元一次方程组2x+3y=3+ax+2y=6的解满足x+y>22,写出a的一个整数值.20(2023·四川凉山·统考中考真题)不等式组5x+2>3x-112x-1≤7-32x的所有整数解的和是.21(2023·四川宜宾·统考中考真题)若关于x的不等式组2x+1>x+a①x2+1≥52x-9②所有整数解的和为14,则整数a的值为.三、解答题22(2023·湖南·统考中考真题)解不等式组:7x-14≤0①2x+3>x+4②,并把它的解集在数轴上表示出来.23(2023·山东·统考中考真题)解不等式组:5x -2<3x +1 ,3x -23≥x +x -22.24(2023·福建·统考中考真题)解不等式组:2x +1<3,①x 2+1-3x4≤1.②25(2023·湖北武汉·统考中考真题)解不等式组2x -4<2①3x +2≥x ② 请按下列步骤完成解答.(1)解不等式①,得;(2)解不等式②,得;(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来;(4)原不等式组的解集是.26(2023·浙江·统考中考真题)解一元一次不等式组:x +2>32x -1<5 .27(2023·湖南永州·统考中考真题)解关于x的不等式组2x-2>03x-1-7<-2x28(2023·江苏苏州·统考中考真题)解不等式组:2x+1>0, x+13>x-1.29(2023·湖南·统考中考真题)解不等式组:x-4≤0①2x+1<3x②30(2023·湖南岳阳·统考中考真题)解不等式组:2x+1>x+3,①2x-4<x.②31(2023·江苏扬州·统考中考真题)解不等式组2x-1+1>-3,x-1≤1+x3,并把它的解集在数轴上表示出来.32(2023·上海·统考中考真题)解不等式组3x>x+6 12x<-x+533(2023·甘肃武威·统考中考真题)解不等式组:x>-6-2x x≤3+x434(2023·内蒙古赤峰·统考中考真题)某集团有限公司生产甲乙两种电子产品共8万件,准备销往东南亚国家和地区.已知2件甲种电子产品与3件乙种电子产品的销售额相同:3件甲种电子产品比2件乙种电子产品的销售多1500元.(1)求甲种电子产品与乙种电子产品销售单价各多少元?(2)若使甲乙两种电子产品的销售总收入不低于5400万元,则至少销售甲种电子产品多少件?35(2023·内蒙古通辽·统考中考真题)某搬运公司计划购买A,B两种型号的机器搬运货物,每台A 型机器比每台B型机器每天少搬运10吨货物,且每台A型机器搬运450吨货物与每台B型机器搬运500吨货物所需天数相同.(1)求每台A型机器,B型机器每天分别搬运货物多少吨?(2)每台A型机器售价1.5万元,每台B型机器售价2万元,该公司计划采购两种型号机器共30台,满足每天搬运货物不低于2880吨,购买金额不超过55万元,请帮助公司求出最省钱的采购方案.36(2023·广东深圳·统考中考真题)某商场在世博会上购置A,B两种玩具,其中B玩具的单价比A 玩具的单价贵25元,且购置2个B玩具与1个A玩具共花费200元.(1)求A,B玩具的单价;(2)若该商场要求购置B玩具的数量是A玩具数量的2倍,且购置玩具的总额不高于20000元,则该商场最多可以购置多少个A玩具?37(2023·河南·统考中考真题)某健身器材专卖店推出两种优惠活动,并规定购物时只能选择其中一种.活动一:所购商品按原价打八折;活动二:所购商品按原价每满300元减80元.(如:所购商品原价为300元,可减80元,需付款220元;所购商品原价为770元,可减160元,需付款610元)(1)购买一件原价为450元的健身器材时,选择哪种活动更合算?请说明理由.(2)购买一件原价在500元以下的健身器材时,若选择活动一和选择活动二的付款金额相等,求一件这种健身器材的原价.(3)购买一件原价在900元以下的健身器材时,原价在什么范围内,选择活动二比选择活动一更合算?设一件这种健身器材的原价为a元,请直接写出a的取值范围.38(2023·湖北荆州·统考中考真题)荆州古城旁“荆街”某商铺打算购进A,B两种文创饰品对游客销售.已知1400元采购A种的件数是630元采购B种件数的2倍,A种的进价比B种的进价每件多1元,两种饰品的售价均为每件15元;计划采购这两种饰品共600件,采购B种的件数不低于390件,不超过A 种件数的4倍.(1)求A,B饰品每件的进价分别为多少元?(2)若采购这两种饰品只有一种情况可优惠,即一次性采购A种超过150件时,A种超过的部分按进价打6折.设购进A种饰品x件,①求x的取值范围;②设计能让这次采购的饰品获利最大的方案,并求出最大利润.39(2023·山东聊城·统考中考真题)今年五一小长假期间,我市迎来了一个短期旅游高峰.某热门景点的门票价格规定见下表:票的种类A B C购票人数/人1~5051~100100以上票价/元504540某旅行社接待的甲、乙两个旅游团共102人(甲团人数多于乙团),在打算购买门票时,如果把两团联合作为一个团体购票会比两团分别各自购票节省730元.(1)求两个旅游团各有多少人?(2)一个人数不足50人的旅游团,当游客人数最低为多少人时,购买B种门票比购买A种门票节省?40(2023·湖南·统考中考真题)低碳生活已是如今社会的一种潮流形式,人们的环保观念也在逐渐加深.“低碳环保,绿色出行”成为大家的生活理念,不少人选择自行车出行.某公司销售甲、乙两种型号的自行车,其中甲型自行车进货价格为每台500元,乙型自行车进货价格为每台800元.该公司销售3台甲型自行车和2台乙型自行车,可获利650元,销售1台甲型自行车和2台乙型自行车,可获利350元.(1)该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润各是多少元?(2)为满足大众需求,该公司准备加购甲、乙两种型号的自行车共20台,且资金不超过13000元,最少需要购买甲型自行车多少台?41(2023·山西·统考中考真题)风陵渡黄河公路大桥是连接山西、陕西、河南三省的交通要塞.该大桥限重标志牌显示,载重后总质量超过30吨的车辆禁止通行.现有一辆自重8吨的卡车,要运输若干套某种设备,每套设备由1个A部件和3个B部件组成,这种设备必须成套运输.已知1个A部件和2个B部件的总质量为2.8吨,2个A部件和3个B部件的质量相等.(1)求1个A部件和1个B部件的质量各是多少;(2)卡车一次最多可运输多少套这种设备通过此大桥?42(2023·天津·统考中考真题)解不等式组2x+1≥x-1①4x-1≤x+2②请结合题意填空,完成本题的解答.(1)解不等式①,得;(2)解不等式②,得;(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来:(4)原不等式组的解集为.43(2023·湖南怀化·统考中考真题)某中学组织学生研学,原计划租用可坐乘客45人的A种客车若干辆,则有30人没有座位;若租用可坐乘客60人的B种客车,则可少租6辆,且恰好坐满.(1)求原计划租用A种客车多少辆?这次研学去了多少人?(2)若该校计划租用A、B两种客车共25辆,要求B种客车不超过7辆,且每人都有座位,则有哪几种租车方案?(3)在(2)的条件下,若A种客车租金为每辆220元,B种客车租金每辆300元,应该怎样租车才最合算?44(2023·江西·统考中考真题)今年植树节,某班同学共同种植一批树苗,如果每人种3棵,则剩余20棵;如果每人种4棵,则还缺25棵.(1)求该班的学生人数;(2)这批树苗只有甲、乙两种,其中甲树苗每棵30元,乙树苗每棵40元.购买这批树苗的总费用没有超过5400元,请问至少购买了甲树苗多少棵?45(2023·云南·统考中考真题)蓝天白云下,青山绿水间,支一顶帐篷,邀亲朋好友,听蝉鸣,闻清风,话家常,好不惬意.某景区为响应文化和旅游部《关于推动露营旅游休闲健康有序发展的指导意见》精神,需要购买A、B两种型号的帐篷.若购买A种型号帐篷2顶和B种型号帐篷4顶,则需5200元;若购买A 种型号帐篷3顶和B种型号帐篷1顶,则需2800元.(1)求每顶A种型号帐篷和每顶B种型号帐篷的价格;(2)若该景区需要购买A、B两种型号的帐篷共20顶(两种型号的帐篷均需购买),购买A种型号帐篷数量不超过购买B种型号帐篷数量的13,为使购买帐篷的总费用最低,应购买A种型号帐篷和B种型号帐篷各多少顶?购买帐篷的总费用最低为多少元?46(2023·四川眉山·统考中考真题)习近平总书记说:“读书可以让人保持思想活力,让人得到智慧启发,让人滋养浩然正气.”某校为提高学生的阅读品味,现决定购买获得矛盾文学奖的甲、乙两种书共100本,已知购买2本甲种书和1本乙种书共需100元,购买3本甲种书和2本乙种书共需165元.(1)求甲,乙两种书的单价分别为多少元:(2)若学校决定购买以上两种书的总费用不超过3200元,那么该校最多可以购买甲种书多少本?47(2023·四川凉山·统考中考真题)凉山州雷波县是全国少有的优质脐橙最适生态区.经过近20年的发展,雷波脐橙多次在中国西部农业博览会上获得金奖,雷波县也被誉名为“中国优质脐橙第一县”,某水果商为了解雷波脐橙的市场销售情况,购进了雷波脐橙和资中血橙进行试销.在试销中,水果商将两种水果搭配销售,若购买雷波脐橙3千克,资中血橙2千克,共需78元人民币;若购买雷波脐橙2千克,资中血橙3千克,共需72元人民币.(1)求雷波脐橙和资中血橙每千克各多少元?(2)一顾客用不超过1440元购买这两种水果共100千克,要求雷波脐橙尽量多,他最多能购买雷波脐橙多少千克?48(2023·四川广安·统考中考真题)“广安盐皮蛋”是小平故里的名优特产,某超市销售A、B两种品牌的盐皮蛋,若购买9箱A种盐皮蛋和6箱B种盐皮蛋共需390元;若购买5箱A种盐皮蛋和8箱B种盐皮蛋共需310元.(1)A种盐皮蛋、B种盐皮蛋每箱价格分别是多少元?(2)若某公司购买A、B两种盐皮蛋共30箱,且A种的数量至少比B种的数量多5箱,又不超过B种的2倍,怎样购买才能使总费用最少?并求出最少费用.。
常用不等式求解技巧 (学生版)

考点一:和定积最大,积定和最小(1).如果x ,y ∈(0,+∞),且xy =P (定值).那么当x =y 时,x +y 有最小值2P .(简记:“积定和最小”) (2).如果x ,y ∈(0,+∞),且x +y =S (定值). 那么当x =y 时,xy 有最大值S 24.(简记:“和定积最大”)例1、(1)若x >0,求函数y =x +4x 的最小值,并求此时x 的值;(2)(配系数)设0<x <32,求函数y =4x (3-2x )的最大值;(3)(配项)已知x >2,求x +4x -2的最小值;(4)(配项,调整项的符号)已知54x <,求函数14245y x x =-+-的最大值。
变式训练1. (1)已知x >0,求f (x )=12x +3x 的最小值;(2)已知x < 3,求f (x )=4x -3+x 的最大值; (3)当时,求(82)y x x =-的最大值。
(4)设230<<x ,求函数)23(4x x y -=的最大值。
变式训练2. (2013·四川高考)已知函数f (x )=4x +a x(x >0,a >0)在x =3时取得最小值,则a =________.考点二:“1”的代换例1、已知正数x ,y 满足x +2y =1,求1x +1y 的最小值.4.已知实数,x y 满足102x y x y >>+=,且,则213x y x y++-的最小值为________.变式训练1. 已知x ,y ∈(0,+∞),且1x +4y =1,求x +y 的最小值.2. 已知x >0,y >0,且 1x +9y =1,求x +y 的最小值.3. 设x >0,y >0,且2x +8y =xy ,求x +y 的最小值.4. 函数y =a 1-x (a >0,a ≠1)的图象恒过定点A ,若点A 在直线mx +ny -1=0 (mn >0)上,则1m +1n 的最小值为________.5.(2012·浙江)若正数x ,y 满足x +3y =5xy ,则3x +4y 的最小值是( ) A.245 B.285C .5D .6例2、已知x 、y >0且x +y =1,则p =x +1x +y +1y 的最小值为( ) A .3 B .4 C .5 D .6变式训练2(1)已知a 、b 、c ∈(0,+∞),且a +b +c =1,求证:(1a -1)(1b -1)(1c -1)≥8.(2)已知a >0,b >0,c >0,且a +b +c =1.求证:1a +1b +1c≥9.考点三:利用对号函数的单调性求不等式最值注意:在应用最值定理求最值时,若遇等号取不到的情况,应结合对号函数()af x x x=+的单调性。
基本不等式典型例题(学生版)

典题精讲----基本不等式
典题精讲
例1(1)已知0<x <3
1,求函数y=x(1-3x)的最大值; (2)求函数y=x+x 1的值域.
变式训练1当x >-1时,求f(x)=x+11
+x 的最小值.
变式训练2求函数y=133224+++x x x 的最小值.
例2已知x >0,y >0,且x 1+y 9
=1,求x+y 的最小值
例3求f(x)=3+lgx+x lg 4的最大值(0<x <1).
变式训练已知正数a,b,x,y 满足a+b=10,
y b x a +=1,x+y 的最小值为18,求a,b 的值.
变式训练1已知x <
45,求函数y=4x-2+541-x 的最大值. 变式训练2当x <23时,求函数y=x+3
28-x 的最大值.
例4如图,动物园要围成相同的长方形虎笼四间,一面可利用原有的墙,其他各面用钢筋网围成.
(1)现有可围36 m 长网的材料,每间虎笼的长、宽各设计为多少时,可使每间虎笼面积
最大?
(2)若使每间虎笼面积为24 m 2,则每间虎笼的长、宽各设计为多少时,可使围成四间虎笼的钢筋总长度最小?
变式训练某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200 平方米的三级污水处理池,由于地形限制,长、宽都不能超过26米,如果池外周壁建造单价为每米400元,中间两道隔墙建造单价为每米248元,池底建造单价为每平方米80元,池壁的厚度忽略不计,试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低造价.。
不等式证明的基本方法(学生版)

高一数学培优班学案不等式的的证明1. 理解并掌握证明不等式的基本方法---比较法、综合法与分析法;2. 会利用比较法、综合法和分析法证明不等式预习内容:1.实数大小必较法则:baba-⇔>baba-⇔=baba-⇔<2. 基本不等式:⑴如果,a b∈, 那么222a b ab+≥. 当且仅当a b=时, 等号成立.⑵. 如果,a b∈, 那么2a b+≥当且仅当a b=时, 等号成立.3.均值不等式:如果,a b R+∈,那么22ab a ba b++≤≤≤4. 不等式证明的基本方法:比较法、综合法与分析法了解证明不等式的最基本的基本方法即反证法与放缩法..换元法所谓间接证明即是指不直接从正面确定论题的真实性,而是证明它的反论题为假,或转而证明它的等价命题为真,以间接地达到目的。
其中,反证法是间接证明的一种基本方法。
反证法在于表明:若肯定命题的条件而否定其结论,就会导致矛盾。
具体地说,反证法不直接证明命题“若p则q”,而是先肯定命题的条件p,并否定命题的结论q,然后通过合理的逻辑推理,而得到矛盾,从而断定原来的结论是正确的。
利用反证法证明不等式,一般有下面几个步骤:第一步分清欲证不等式所涉及到的条件和结论;第二步作出与所证不等式相反的假定;第三步从条件和假定出发,应用证确的推理方法,推出矛盾结果;第四步断定产生矛盾结果的原因,在于开始所作的假定不正确,于是原证不等式成立。
所谓放缩法,即是把要证的不等式一边适当地放大(或缩小),使之得出明显的不等量关系后,再应用不等量大、小的传递性,从而使不等式得到证明的方法。
这种方法是证明不等式中的常用方法,尤其在今后学习高等数学时用处更为广泛。
下面我们通过一些简单例证体会这种方法的基本思想。
注:比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。
用比较法证明不等式的步骤是:作差(或作商)、变形、判断符号。
1.综合法:从①已知条件、②不等式的性质、③基本不等式等出发,通过逻辑推理, 推导出所要证明的结论. 这种证明方法叫做综合法.又叫由导法.用综合法证明不等式的逻辑关系:12n A B B B B ⇒⇒⇒⇒⇒12n 12n 12,,,R ,1,(1)(1)(1)2nn a a a a a a a a a +∈=+++≥ 例2.已知且求证:2分析法:从要证的结论出发, 逐步寻求使它成立的充分条件,直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证的定理、性质等),从而得出要证的命题成立,这种证明方法叫做分析法. 这是一种执 索 的思考和证明方法.用分析法证明不等式的逻辑关系:3.例求证课后练习例1.已知.1≠a 求证:(1);122->a a (2).1122<+a a例2.,,0,,a b c >已知且不全相等222222()()()6a b c b c a c a b abc +++++>求证:例3.设0,0>>b a ,分别用分析法与综合法求证: .2233ab b a b a +≥+例4.已知a ,b ,m 都是正数,并且.b a <分别用分析法与综合法求证:.ba mb m a >++例5在ABC ∆中,已知ABC ∆的面积为14,外接圆半径为1,三边长为,,a b c求证111a b c++ 例6已知ABC ∆的三边长为的三边为,,a b c ,面积为S 求证:222a b c ++≥例7:已知,,()lg ,3n n na b c a b c n f n ++=为正数,是正整数,且 12 ( ) n B B B B A ⇐⇐⇐⇐⇐ 结步步寻求不等式已论成立的充分条件知求证:2()(2).f n f n ≤点评:本题采用采用的是把几个不等式相加(或相乘)的方法,这是综合法证明不等式时常用的变形方法.例8:已知a >0,b >0,且a +b =1。
高一预习材料不等式恒成立、能成立问题(学生版)初升高数学暑假衔接(人教版)

强化专题2不等式恒成立、能成立问题【方法技巧】在解决不等式恒成立、能成立的问题时,常常使用不等式解集法、分离参数法、主参换位法和数形结合法解决,方法灵活,能提升学生的逻辑推理,数学运算等素养.一、“力”法解决恒成立问题⑴如图①一元二次不等式ax1+/?%+C>0(6Z7^0)在R上恒成立=一元二次不等式6ZX2+/?%+C>0(6Z7^0)的解集为RO二次函数*=。
菸+bx~\~C(Q尹0)的图象恒在X轴上方=J4nin>0O]』<0图①图②(2)如图②一元二次不等式ax2+/?%+c<0(a7^0)在R上恒成立=一元二次不等式ax2+/?%+c<0(a7^0)的解集为RO二次函数y=ax2+bx+c(a^0)的图象恒在%轴下方=3笊<00二、数形结合法解决恒成立问题结合函数的图象将问题转化为函数图象的对称轴,区间端点的函数值或函数图象的位置(相对于x轴)关系求解.可结合相应一元二次方程根的分布解决问题.三、分离参数法解决恒成立问题通过分离参数将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题.四、主参换位法解决恒成立问题转换思维角度,即把变元与参数变换位置,构造以参数为变量的函数,根据原变量的取值范围求解.五、利用图象解决能成立问题结合二次函数的图象,将问题转化为端点值的问题解决.六、转化为函数的最值解决能成立问题能成立问题可以转化为rn>y mm或的形式,从而求*的最大值与最小值,从而求得参数的取值范围.【题型目录】一、“妒法解决恒成立问题二、 数形结合法解决恒成立问题三、 分离参数法解决恒成立问题四、 主参换位法解决恒成立问题五、 利用图象解决能成立问题六、 转化为函数的最值解决能成立问题【例题详解】一、“力”法解决恒成立问题1.不等式(q -2K+4(q -2)x-12<0的解集为R,则实数。
的取值范围是( )A . {。
—1V Q < 2}B . {q —1 < q V 2}C. [a\-l<a<2^ D. [a\-\<a<2\32.若关于x 的一元二次不等式2x -A x + ->0对于一切实数x 都成立,则实数左满足()22. 已知不等式-2x 2+bx + c> 0的解集{x|-l<xv3},若对任意-iWxWO,不等式-2x 2 +bx +c + t <4恒成 立.贝U 的取值范围是.OB. V —V3C. ^|-V3<^<V3)D.3.(多选)不等式x 2+bx + c>2x + b 对任意的勇R 恒成立,则()A. /j 2-4c + 4<0B. b<0C. c>lD. Z? + c>04.若3x 0 g R , 2mx^ + 2V2mx 0 -3 > 0w 是假命题,则实数秫的取值范围是二、数形结合法解决恒成立问题1. (多选)若“Vx>0,都有2x -+1 >0是真命题,则实数人可能的值是()2A. 1 B. 2^2 C. 3 D.3^23.当1 WxW2时,不等式x +mx+4<0恒成立,求m 的取值范围.2四、主参换位法解决恒成立问题1.若命题€ [-1,3],。
2.3二次函数与一元二次方程、不等式(学生版)

2.3.1二次函数与一元二次方程、不等式例1 求不等式2560x x -+>的解集.【变式】解下列不等式.(1)2450x x -->; (2)22570x x -++≥.例2 求不等式29610x x -+>的解集.【变式2】已知关于x 的不等式221x x a -->,R a ∈. (1)当2a =时,求不等式221x x a -->的解集;(2)若“不等式221x x a -->的解集为R ”为假命题,求a 的取值范围.例3 求不等式2230x x -+->的解集.【变式3】已知关于x 的不等式()220R x x a a a -+++>∈.(1)若此不等式的解集是()1,2-,求a 的值; (2)讨论此不等式的解集.选择性拔高题型一:不含参一元二次不等式的解法 【练习1】 解下列不等式:(1)-2x 2+x -6<0; (2)-x 2+6x -9≥0; (3)x 2-2x -3>0.题型二:含参一元二次不等式的解法【练习2】 已知a ∈R ,关于x 的不等式2322(2)x a a a a x +-<+- (1)当3a =时,求x 的解集.(2)当a ∈R 时,求x 的解集(用a 来表示).题型三:三个“二次”之间对应关系的应用【练习3】 二次函数y =ax 2+bx +c (x ∈R )的部分对应值如表所示:则关于x 的不等式ax 2+bx +c >0的解集是________.2.3.2一元二次不等式的应用例4 一家车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线,这条流水线生产的摩托车数量x (单位:辆)与创造的价值y (单位:元)之间有如下的关系:2202200y x x =-+.若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收60000元以上,则在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车?【变式】某摩托车生产企业,上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆,出厂价为1.2万元/辆,年销售量为1 000辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x (0<x <1),则出厂价相应的提高比例为0.75x ,同时预计年销售量增加的比例为0.6x .已知年利润=(出厂价-投入成本)×年销售量.(1)写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式.(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加,问投入成本增加的比例x 应在什么范围内?例5 某种汽车在水泥路面上的刹车距离s (单位:m )和汽车刹车前的车速v (单位:km /h )之间有如下关系:21120180s v v =+. 在一次交通事故中,测得这种车的刹车距离大于39.5m ,那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少(精确到1 km /h )?【变式】某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离(刹车距离是指汽车刹车后由于惯性往前滑行的距离)s m和汽车刹车前的车速x km/h有如下关系:s=-2x+118x2.在一次交通事故中,测得这种车的刹车距离不小于22.5 m,那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少?选择性拔高题型一:简单方式不等式的解法【练习1】解下列不等式:(1)x+1x-3≥0;(2)5x+1x+1<3.题型二:二次函数与一元二次方程、不等式间的关系及应用【练习2】已知关于x的不等式x2+ax+b<0的解集为{x|1<x<2},求关于x的不等式bx2+ax+1>0的解集.题型三:一元二次不等式的实际应用【练习3】某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品,并每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点),计划可收购a 万担.政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品,决定将征税率降低x (x >0)个百分点,预测收购量可增加2x 个百分点. (1)写出降税后税收y (万元)与x 的函数关系式;(2)要使此项税收在税率调整后,不少于原计划税收的83.2%,试确定x 的取值范围.题型四:一元二次不等式恒成立问题【练习4】(1). 如果方程20ax bx c ++=的两根为2-和3且0a <,那么不等式20ax bx c ++>的解集为____________.(2).已知关于x 的不等式2680kx kx k -++≥对任意x ∈R 恒成立,则k 的取值范围是( ) A .01k ≤≤ B .01k <≤ C .k 0<或1k > D .0k ≤或1k >跟踪练习:已知关于x 的不等式2680kx kx k -++≥对任意x ∈R 恒成立,则k 的取值范围是( ) A .01k ≤≤B .01k <≤C .k 0<或1k >D .0k ≤或1k >。
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不等式要求层次重难点一元二次不等式 C 解一元二次不等式(一)知识内容1.含有一个未知数,且未知数的最高次数为2的整式不等式,叫做一元二次不等式.一元二次不等式的解集,一元二次方程的根及二次函数图象之间的关系如下表(以0a>为例):判别式24b ac ∆=-∆>0∆=0∆<二次函数2y ax bx c =++(0)a>的图象x2x1Oyxx1=x2Oyx O xy一元二次方程20 ax bx c++= (0)a≠的根有两相异实根12,x x=242b b aca-±-12()x x<有两相等实根122bx xa==-没有实根一元二次不等式的解20ax bx c++>(0)a>{1x x x<或}2x x>{Rx x∈,且2bxa⎫≠-⎬⎭实数集R 20ax bx c++<(0)a>{}12x x x x<<∅∅例题精讲高考要求板块一:解一元二次不等式解不等式<教师备案>有关含有参数的一元二次不等式问题,若能把不等式转化成二次函数或二次方程,通过根的判别式或数形结合思想,可使问题得到顺利解决.其方法大致有:①用一元二次方程根的判别式,②参数大于最大值或小于最小值,③变更主元利用函数与方程的思想求解.(二)主要方法1.解一元二次不等式通常先将不等式化为20ax bx c ++>或20 (0)ax bx c a ++<>的形式,然后求出对应方程的根(若有根的话),再写出不等式的解:大于0时两根之外,小于0时两根之间; 2.分式不等式主要是转化为等价的一元一次、一元二次或者高次不等式来处理; 3.高次不等式主要利用“序轴标根法”解.(三)典例分析:1.二次不等式与分式不等式求解【例1】 (2008北京文10)不等式112x x ->+的解集是 .【变式】 ⑴(安徽淮南第八中学普通高中数学必修5模块考试试卷)不等式2230x x --+≤的解集为( )A .{|31}x x x -或≥≤B .{|13}x x -≤≤C .{|31}x x -≤≤D .{|31}x x x -或≤≥【变式】 ⑴(2008新课标山东文7)不等式252(1)x x +-≥的解集是( ) A .132⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,B .132⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,C .(]11132⎡⎫⎪⎢⎣⎭ ,,D .(]11132⎡⎫-⎪⎢⎣⎭,,2.含绝对值的不等式问题【例2】 (2008四川延理4)已知n *∈N ,则不等式220.011nn -<+的解集为( ) A .{}|199n n n *∈N ≥, B .{}|200n n n *∈N ≥, C .{}|201n n n *∈N ≥,D .{}|202n n n *∈N ≥,【例3】 (2009全国Ⅰ3)不等式111x x +<-的解集为( ) A .{}{}|01|1x x x x <<> B .{}|01x x << C .{}|10x x -<<D .{}|0x x <【变式】 (2009广东湛江高三月考)关于x 的不等式2121x x a a -+-++≤的解集为空集,则实数a 的取值范围是 _.【例4】 若不等式121x a x+-+≥对一切非零实数x 均成立,则实数a 的最大值是_________.【例5】 ⑶(2008新课标山东理16)若不等式34x b -<的解集中的整数有且仅有123,,,则b 的取值范围为 .3.含参数不等式问题【例6】 (安徽省涡阳一中2008年必修5数学期中考试卷)若关于x 的不等式22840x x a --->在14x <<内有解,则实数a 的取值范围是( ) A .4a <- B .4a >- C .12a >- D .12a <-【变式】 (江苏省西亭高级中学必修5模块考试试卷)⑴已知0a <,则不等式22230x ax a -->的解集为 .⑵若不等式897x +<和不等式220ax bx +->的解集相同,则a b -=______.【例7】 若不等式220ax x ++>的解集为R ,则a 的范围是( )A .0a >B .18a >-C .18a > D .0a <【例8】 若关于x 的不等式0ax b ->的解集是(1)-∞,,则关于x 的不等式02ax bx +>-的解集为( )A .()()12-∞-+∞ ,,B .(12)-,C .(12),D .()()12-∞+∞ ,,【例9】 (2009天津卷理)01b a <<+,若关于x 的不等式22()()x b ax ->的解集中的整数恰有3个,则( )A .10a -<<B .01a <<C .13a <<D .36a <<【例10】 ⑴要使满足关于x 的不等式2290x x a -+<(解集非空)的每一个x 至少满足不等式2430x x -+<和2680x x -+<中的一个,则实数a 的取值范围是 ;⑵已知不等式20ax bx c ++>的解集是{}|x x αβ<<,其中1βα>>,则不等式()()220a ax bx c cx bx a ++++<的解集是 .4.解不等式与分类讨论【例11】 设m ∈R ,解关于x 的不等式22230m x mx +-<.【变式】 解关于x 的不等式()()3110()m x x m +-+>∈⎡⎤⎣⎦R .【备注】解含参数的不等式,进行讨论时要注意对所含字母的分类要做到不重不漏.【例12】 求不等式22(1)40ax a x -++>的解集.【例13】 解关于x 的不等式(1)1(1)2a x a x ->≠-【变式】 解关于x 的不等式223()0x a a x a -++>.【例14】 解不等式()21410m x x +-+≤.【点评】 对于二次项系数也含有参数的一元二次不等式,首先应判定二次项系数是否为零,分别加以讨论,然后在二次项系数不为零的条件下,求出判别式0∆=的零点,分类进行讨论.5.与二次方程或可化为二次方程的解的问题结合,【例15】 (湖南省益阳市箴言中学2008年必修五模块综合检测)关于x 的方程2210ax x +-=至少有一个正的实根,则a 的取值范围是( )A .a ≥0B .10a -≤≤C .0a >或10a -<<D .1a -≥【例16】 已知关于x 的方程2(3)4210m x mx m +-+-=的两根异号,且负根的绝对值比正根大,那么实数m 的取值范围是( )A .30m -<<B .03m <<C .3m <-或0m >D .0m <或3m >【例17】 有如下几个命题:①如果1x ,2x 是方程20ax bx c ++=的两个实根且12x x <,那么不等式20ax bx c ++<的解集为12{|}x x x x <<;②当240b ac ∆=-<时,二次不等式20ax bx c ++>的解集为∅;③0x a x b --≤与不等式()()0x a x b --≤的解集相同; ④2231x x x -<-与223(1)x x x -<-的解集相同.其中正确命题的个数是( )A .3B .2C .1D .0【例18】 若关于x 的方程9(4)340x x a +++=有解,求实数a 的取值范围.【例19】 (2008新课标广东理14)已知a ∈R ,若关于x 的方程2104x x a a ++-+=有实根,则a 的取值范围是 .6.恒成立问题【例20】 若不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<对x ∈R 恒成立,则a 的取值范围是______.【变式】 2()1f x ax ax =+-在R 上恒满足()0f x <,则a 的取值范围是( )A .0a ≤B .4a <-C .40a -<<D .40a -<≤【变式】 若对于x ∈R ,不等式2230mx mx ++>恒成立,求实数m 的取值范围.【点评】 对于有关二次不等式20ax bx c ++>(或0<)的问题,可设函数2()f x ax bx c =++,由a 的符【例21】 ⑴不等式210x ax ++≥对一切102x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦,成立,则a 的最小值为( )A .0B .2-C .52- D .3-⑵(2009重庆5)不等式2|3||1|3x x a a +---≤对任意实数x 恒成立,则实数a 的取值范围为( ) A .(][)14-∞-+∞ ,, B .(][)25-∞-+∞ ,, C .[12],D .(][)12-∞∞ ,,【变式】 对任意[11]a ∈-,,函数2()(4)42f x x a x a=+-+-的值恒大于零,则x 的取值范围为_________.【例22】 若不等式lg 21lg()axa x <+在[1,2]x ∈时恒成立,试求a 的取值范围.【点评】 将参数a 从不等式lg 21lg()axa x <+中分离出来是解决问题的关键.【例23】 若(]1x ∈-∞-,,()21390x x a a ++->恒成立,求实数a 的取值范围.【例24】 设()222f x x ax =-+,当[)1x ∈-+∞,时,都有()f x a ≥恒成立,求a 的取值范围.【例25】 设对所有实数x ,不等式()()2222224112log 2log log 014a a ax x aa a ++++>+恒成立,求a 的取值范围.图1-1yx O【例26】 已知不等式22412ax x x a +---≥对任意实数恒成立,求实数a 的取值范围.【例27】 已知关于x 的不等式20x x t ++>对x ∈R 恒成立,则t 的取值范围是 .【例28】 如果|1||9|x x a +++>对任意实数x 恒成立,则a 的取值范围是( )A .{|8}a a <B .{|8}a a >C .{|8}a a ≥D .{|8}a a ≤【例29】 (2005年辽宁卷 )在R 上定义运算⊗:)1(y x y x -=⊗.若不等式1)()(<+⊗-a x a x 对任意实数x 成立,则( )A .11<<-aB .20<<aC .2321<<-a D .2123<<-a【例30】 设不等式2220x ax a -++≤的解集为M ,如果[1,4]M ⊆,求实数a 的取值范围.【点评】 若将本题改为:[1,4]M ⊆,求a 的取值范围,则本题等价于:当[1,4]x ∈时,2220x ax a -++≤恒成立,求a 的取值范围.可以通过讨论对应二次函数的对称轴,或者在不等式中将a 解出,通过求出对应的代数式的取值范围解决此问题. 仅用第二种方法略解如下:2222(12)20x ax a x a x -++=-++≤,故2(21)2x a x -+≥,∵[1,4]x ∈,∴2110x ->≥,从而要满足题意,只需2221x a x +-≥,对[1,4]x ∈恒成立即可.故要求2221x x +-在[1,4]x ∈时的最大值,令21[1,7]t x =-∈,则2221(1)22291194()21424t x t t t x t t t+++++===++-, 由对勾函数的单调性知:上式在1t =或7t =时取到最大值. 比较知:当1t =时,上式有最大值3,故当3a ≥时,有2220x ax a -++≤对[1,4]x ∈恒成立. 即a 的取值范围为[3,)+∞.(一)典例分析:1.利用函数单调性解不等式【例31】 解不等式:21log (6)2x x x --->.【变式】 解关于x 的不等式:23log (34)0x x x ---<.2.解不等式与函数综合问题【例32】 已知函数32()()f x x ax b a b =-++∈R ,⑴若函数()f x 图象上任意一点处的切线的斜率小于1,求证:33a -<<;⑵若[]01x ∈,,函数()y f x =图象上任意一点处的切线的斜率为k ,试讨论1k ≤的充要条件.【备注】 为了缩小讨论范围,本题可以一开始将1x =代入2321x ax -+≤中,解得12a ≤≤,再进行讨论.本题讨论过程中的充要条件的得出结合二次函数的图象会比较容易理解,配图略.【例33】 ⑴ 求函数22()123lg(1521)f x x x x x =---+-的定义域.⑵ (福建省上杭二中08-09学年单元质量检查必修5数学试题)如果关于x 的不等式23208kx kx +-<对一切实数x 都成立,则k 的取值范围是 .⑶ (福建省上杭二中08-09学年单元质量检查必修5数学试题)设()321f x ax a =-+,若存在0(1,1)x ∈-,使0()0f x =,则实数a 的取值范围是( ) A .115a -<< B .1a <-或15a > C .1a <- D .15a >板块二:解不等式综合问题【例34】 已知函数2()1(1)f x x g x x =+++,若不等式(3)(392)0x x x f m f ⋅+--<对任意x ∈R 恒成立,求实数m 的取值范围.【例35】 已知不等式()11112log 1122123a a n n n +++>-+++ 对于一切大于1的自然数n 都成立,试求实数a 的取值范围.【例36】 已知二次函数2()f x ax x =+,如果[0,1]x ∈时|()|1f x ≤,求实数a 的取值范围.【点评】 在闭区间[0,1]上使|()|1f x ≤分离出a ,然后讨论关于1x的二次函数在[1,)+∞上的单调性.【例37】 设二次函数()()20f x ax bx c a b c a =++∈≠R ,,,满足条件:⑴ 当x ∈R 时,()()42f x f x -=-,且()f x x ≥;⑵ 当()02x ∈,时,()212x f x +⎛⎫⎪⎝⎭≤ ⑶ ()f x 在R 上的最小值为0.求最大的()1m m >,使得存在t ∈R ,只要[]1x m ∈,,就有()f x t x +≤.【点评】 本题所用方法为先根据已知条件求出m 小于某个数,再验证m 是否可取到此值,若能取到,则此值为m 的最大值.【例38】 (2009新课标江苏卷20)设a 为实数,函数()()22f x x x a x a =+--. ⑴若()01f ≥,求a 的取值范围; ⑵求()f x 的最小值.【变式】 ⑶设函数()()()h x f x x a =∈+∞,,,直接写出....(不需给出演算步骤)不等式()1h x ≥的解集.【备注】 本题是江苏卷的文理科必做题的最后一题,江苏文理不分卷,但根据学生的不同有些学生另有选做题,包括选考内容与排列组合、空间向量等. 本题⑶问相当有难度,思路分析如下:22()32()h x x ax a x a =-+>,22()13210h x x ax a ⇔-+-≥≥.对应的一元二次方程223210x ax a -+-=的判别式24(32)a ∆=-,①当0∆≤,即6622a ⎛⎤⎡⎫∈-∞-+∞ ⎪⎥⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭,,时,不等式的解集为()a +∞,; ②当0∆>,即6622a ⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭,时,记小根21323a a x --=,大根22323a a x +-=, 当2a x ≥,即22a ≥时,不等式的解集为()a +∞,; 当12x a x <≤,即2222a -<≤时,不等式的解集为2[)x +∞,; 当1a x <,即22a <-时,不等式的解集为12(][)a x x +∞ ,,. 综上可得答案.【例39】 (2008广东惠州模拟)已知集合(){}121212|00D x x x x x x k =>>+=,,,(其中k 为正常数). ⑴ 设12u x x =,求u 的取值范围;⑵ 求证:当1k ≥时不等式212121122k x x x x k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭≤对任意()12x x D ∈,恒成立;⑶ 求使不等式212121122k x x x x k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭≥对任意()12x x D ∈,恒成立的2k 的范围.好学者智,善思者康 400-810-2680 8-2解不等式 .题库 page 11 of 11 【例40】 如果()f x 在某个区间I 内满足:对任意的12x x I ∈,,都有12121[()()]22x x f x f x f +⎛⎫+ ⎪⎝⎭≥,则称()f x 在I 上为下凸函数;已知函数1()ln f x a x x=-. ⑴证明:当0a >时,()f x 在(0)+∞,上为下凸函数; ⑵若()f x '为()f x 的导函数,且122x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,时,|()|1f x '<,求实数a 的取值范围.【例41】 (2009湖北21)在R 上定义运算()()1:43p q p c q b bc ⊗⊗=---+(b 、c 为实常数).记()212f x x c =-,()22f x x b =-,x ∈R .令()()()12f x f x f x =⊗.⑴如果函数()f x 在1x =处有极值43-,试确定b 、c 的值; ⑴求曲线()y f x =上斜率为c 的切线与该曲线的公共点; ⑵令()()g x f x '=,记函数()g x 在区间[]11-,上的最大值为M .若1b >,证明对任意的c ,都有2M >.【例42】 设()()20f x ax bx c a =++≠,若(0)1f ≤,(1)f ≤1,(1)1f -≤,试证明:对于任意11x -≤≤,有()54f x ≤.。