九年级数学下册 第2章 二次函数 2.4 二次函数的应用 第1课时 图形面积的最大值习题讲评课件 北
2.4 二次函数的应用 第1课时 课件(共14张PPT) 初中数学北师版九年级下册
不正确.
问题5.如何求最值？ 由于30 ＞18，因此只能利用函数的增减性求其最值. 当x=18时，S有最大值是378.
学习目标
自主学习
合作探究
当堂检测
课堂总结
归纳总结： 二次函数解决几何面积最值问题的方法
1. 建：分析题目，建立二次函数模型，求出函数解析式； 2. 求：求出自变量的取值范围； 3. 最：配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值, 4. 检：检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自
设垂直于墙的边长为x m,则另一边为（60-2x） m
学习目标
自主学习
合作探究
当堂检测
课堂总结
变式1 如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长 32m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
问题3.面积S的函数关系式是什么？
x
x
S＝x(60－2x)＝－2x2＋60x.
60-2x
问题4.如何求自变量x的取值范围？墙长32m对此题有什么作用？
0＜60－2x≤32，即14≤x＜30.
问题5.如何求最值？
最值在顶点处，即当x=15m时，S=450m2.
学习目标
自主学习
合作探究
当堂检测
课堂总结
变式2 如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长 18m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
合作探究
当堂检测
课堂总结
问题解决：
s
解:根据题意得 S=l(30-l),
即 S=-l 2+30l (0<l<30).
最新北师大版九年级数学下册《二次函数的应用(第1课时)》精品教学课件
y=x
坐标系,其函数的关系式为
25 ,当水面离桥拱顶的高度DO是4 m时,这时水面宽度
AB为 ( C )
A.-20 m
B.10 m
C.20 m
D.-10 m
4.某广场有一个喷水池,水从地面喷出,如图,以水平地面为x轴,出水点为原点,建立平面
直角坐标系,水在空中划出的曲线是抛物线y=-x2+4x(单位:米)的一部分,则水喷出的最
结合图象可知,点 C 的坐标为(6+2 15,0).
所以 OC=6+2 15≈13.75(米).
答:该男生把铅球推出去约 13.75 米.
第二章
第1课时
几何图形问题
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
-6-
7.足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出,足球飞行的路线是一条抛物线,
不考虑空气阻力,足球距离地面的高度h(单位:m)与足球被踢出后经过的时间t(单位:s)
(2)求△PBQ的面积的最大值.
1
解:(1)∵S△PBQ=2PB·BQ,PB=AB-AP=18-2x,BQ=x,
1
∴y=2x(18-2x),即 y=-x2+9x(0<x≤4).
(2)由(1)知 y=-x2+9x,
9 2
81
∴y=- - 2 + 4 .
9
∵当 0<x≤2时,y 随
x 的增大而增大,又∵0<x≤4,
大高度为 ( A )
A.4米 B.3米
C.2米 D.1米
第二章
第1课时
几何图形问题
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
-4-
九年级数学下册第2章二次函数2.4二次函数的应用2.4.1二次函数的应用课件
2 10 3 2 2 10 2 10 m .
随堂检测
3．（潍坊·中考）学校计划用地面砖铺设教学楼前的矩形广场的地面ABCD，已 知矩形广场地面的长为100米，宽为80米，图案设计如图所示：广场的四角为 小正方形，阴影部分为四个矩形，四个矩形的宽都是小正方形的边长，阴影部 分铺设绿色地面砖，其余部分铺设白色地面砖． （1）要使铺设白色地面砖的面积为5 200平方米，那么矩形广场四角的小正方 形的边长为多少米？ （2）如图铺设白色地面砖的费用为 每平方米30元，铺设绿色地面砖的费 用为每平方米20元，当广场四角小正 方形的边长为多少米时，铺设广场地 面的总费用最少？最少费用是多少？
C
）
B. 63 m2 D. 66 m2
预习反馈
2.
用长6 m的铝合金条制成“日”字型矩形窗户，使窗户的透光面积最大（如 图），那么这个窗户的最大透光面积是 A. m2 B. 1 m2 C. m2 （ D. 3 m2
C
）
预习反馈
3. （2014绍兴）如图的一座拱桥，当水面宽AB为12 m时，桥洞顶部离水面4 m，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选
随堂检测
（2）设铺设矩形广场地面的总费用为y元， 广场四角的小正方形的边长为x米，则 y＝30[4x2＋(100－2x)(80－2x)]＋ 20[2x(100－2x)＋2x(80－2x)] 即y＝80x2－3 600x＋240 000，配方得 y＝80（x－22．5）2＋199 500， 当x＝22．5时，y的值最小，最小值为199 500，
本节目标
1.掌握长方形和窗户透光最大面积问题，体会数学的模型思想
和数学应用价值．
2.学会分析和表示不同背景下实际问题中的变量之间的二次函
北师大版九年级数学下册：第二章2.4.1《二次函数的应用》精品说课稿
北师大版九年级数学下册：第二章 2.4.1《二次函数的应用》精品说课稿一. 教材分析北师大版九年级数学下册第二章《二次函数的应用》是学生在学习了二次函数的图象与性质的基础上进行的一节实践活动课。
本节课通过实例让学生了解二次函数在实际生活中的应用，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
教材中给出了两个实例：制作轴对称图案和确定顶点式二次函数的图象，教师可以在此基础上进行拓展，让学生更好地理解二次函数的应用。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了二次函数的基本知识，对二次函数的图象与性质有了初步的了解。
但学生在应用二次函数解决实际问题时，往往因为不能将实际问题与数学知识很好地结合起来而遇到困难。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生将实际问题转化为数学问题，培养学生运用二次函数解决实际问题的能力。
三. 说教学目标1.让学生了解二次函数在实际生活中的应用，培养学生的应用意识。
2.使学生掌握利用二次函数解决实际问题的方法，提高学生的数学素养。
3.培养学生合作学习、交流分享的习惯，增强学生的团队意识。
四. 说教学重难点1.教学重点：让学生了解二次函数在实际生活中的应用，培养学生运用二次函数解决实际问题的能力。
2.教学难点：如何将实际问题转化为数学问题，如何利用二次函数解决实际问题。
五. 说教学方法与手段1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究二次函数在实际生活中的应用。
2.利用多媒体课件展示实例，直观地展示二次函数的图象与性质。
3.学生进行小组讨论，培养学生合作学习的能力。
4.教师进行适时点拨，帮助学生突破思维瓶颈。
六. 说教学过程1.导入新课：通过展示生活中的实例，引发学生对二次函数应用的思考，激发学生的学习兴趣。
2.探究新知：让学生自主探究教材中的实例，理解二次函数在实际生活中的应用。
3.小组讨论：让学生分组讨论，分享各自的想法，培养学生的合作意识。
4.教师讲解：针对学生的讨论，教师进行讲解，引导学生正确运用二次函数解决实际问题。
2.4.1北师大版九年级数学下册课件第二章第四节二次函数的应用第一课时最大面积
+300
(或用公式：当 x=
-
b 2a=25
时，y
最大值=300)
∵- 2152<0 ∴ 当 x = 25m 时，y 的值最大，最大面积为 300m2
如果设AB=xm,BC如何表示，最大面积是多少？ （随堂练习）
第11页，共26页。
变式练习4： 如图,已知△ABC是一等腰三角形铁板余料,AB=AC=20cm, BC=24cm.若在△ABC上截出一矩形零件DEFG,使得EF在BC上,点D、 G分别在边AB、AC上.问矩形DEFG的最大面积是多少?
((12))求当Sx取与何x的值函时数所关围系成式的及花自圃变面量积的最取大值，范最围大；值是多S少=-？4x2+24x (3)若墙的最大可用长度为8米，求围成花圃的最大面积 .
24-4x≤8 (3)由题知24-4x>0 解得 4≤x<6
A
D
x>0
∵-4<0 且对称轴是直线 x=3
B
C
∴当 4≤x<6 时，y 随 x 增大而减少
（2）设五边形APQCD的面积为Scm2 ，写出S与t的函数关系式，t为何 值时S最小？求出S的最小值。
（2）由题意得
S=12×6 -
1 2
×2t(6-t)
=t2-6t+72=(t-3)2+63
∵1>0 ∴当 t=3 时 S 最小值=63
即 t=3cm 时 S 有最小值 63cm2
D
C
Q
2t cm
A t cm
解:(1)S=x(80-2x)= -2x2+80x
A
D
80-2x≤50
xm
xm
由题知80-2x≥40 解得 15≤x<40
新北师大版初中数学九年级下册第2章 二次函数《第4课 二次函数的应用》教学PPT
每件小商品的利润为: X-10 元;
所获总利润可表示为: (X-10) [5000+5000(13-x)] 元;
即y＝-5000x2+120000x-700000=-5000(x-12)2+20000
∵-5000<0
∴当销售单价为 12 元时,可以获得最大利润, 最大利润是 20000 元.
25 (x2 24x 122 122 ) 12
25 [(x 12)2 144] 12
25 (x 12) 2 300
x 50 (24 x)
24
50x
50
x
2
24
12
∴ 当x = 12时，y的值最大， 最大面积为300m2
做一做
何时窗户通过的光线最多
x
1 a a
2
a
1 a
2
1 a 2 2x 400
2
x
2 (x2 200x)
a 400 2x
2 (x2 200x 1002 1002 )
s xa
x 400 2x
1 (400x 2x2 )
2 [(x 100)2 10000]
第二章 二次函数
2.4 二次函数的应用（1）
何时面积最大
如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB
和AD分别在两直角边上.
(1).设矩形的一边AB=xm,那么AD边的
长度如何表示？
(2).设矩形的面积为ym2,当x取何值
时,y的最大值是多少?
九年级数学下册 第2章 二次函数 2.4 利用二次函数解决面积问题(第1课时)课件 (新版)北师大版
6．在矩形 ABCD 的各边 AB，BC，CD 和 DA 上分别选取 E，F， G，H 使得 AE＝AH＝CF＝CG，如果 AB＝60，BC＝40，四边形 EFGH 的最大面积是___1_2_5_0__．
7．(2015·安徽)为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤 (岸堤足够长)为一边，用总长为80 m的围网在水库中围成了如图 所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等 (AE＝2BE)，设BC的长度为x m，矩形区域ABCD的面积为y m2.
＝
AB2－BH2
＝
16
，
∵
DG
∥
BC
，
∴
△
ADG
∽
△
ABC
，
DG BC
＝
AK AH
，
x 24
＝
16－DE 16
，
∴
DE
＝
16
－
2 3
x
，
∴
y
＝
DE·EF
＝
－
2 3
x2
＋
16x
＝
－
2 3
(x
－
12)2
＋
96(0<x<24)，∵－23<0，∴x＝12 时，矩形面积最大为 96 cm2
Hale Waihona Puke 12．如图所示，某学校拟建一个含内接矩形的菱形花坛(花坛为 轴对称图形)，矩形的四个顶点分别在菱形四条边上，菱形ABCD 的 边 长 AB ＝ 4 米 ， ∠ ABC ＝ 60° ， 设 AE ＝ x 米 (0<x<4) ， 矩 形 EFGH的面积为S米2.
2．(2015·贵州)如图，假设篱笆(虚线部分)的长度 16 m，则所围 成矩形 ABCD 的最大面积是( C )
北师大版九年级下册数学：2.4 第1课时 利用二次函数解决面积问题
8
化成顶点式:
y
1
x
42
2
8
∴当x=4时，y的值最大，最大值是2.
⑶由
y 12 m
，及
y 8x x2 m
得关于x的方程:
x 2 8 x 1 2 0 ，得 x1 2， x2 6
∵△DEF中∠FED是直角，
∴要使△DEF是等腰三角形，则只能是EF=ED，
此时， Rt△BFE≌Rt△CED，
【解（析1】）依题意得：y=(40-2x)x． ∴y=-2x2+40x．
x的取值范围是0< x <20． （2）当y=210时，由（1）可得，-2x2+40x=210 ．
即x2-20x+105=0． ∵ a=1，b=-20，c=105，
∴(20)2 4 1105 0,
∴此方程无实数根，即生物园的面积不能达到210平方米．
2
3 2 2 x2 20x 0＜x＜10 5 2
当x 10 30 20 2时, 金属框围成的图形面积最大. 32 2
此时矩形的一边长为2x 60 40 2 m,
另一边长为10 2 2 10 3 2 2 10 2 10m.
b 2a
20时, y最大值
4ac b2 4a
300.
【跟踪训练】
某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩 形,制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为15m.当x 等于多少时,窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m)?此时, 窗户的面积是多少?
解析：
由4 y 7x x 15.
北师大版九年级下册数学第二章 二次函数2.4 二次函数的应用第1课时 图形面积的最大值课件
y O
C A
h
DB x
20 m
（2）设正常水位时桥下的水深为 2 m，为保证过 往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小18m．求 水深超过多少 m 时就会影响过往船只在桥下顺利 航行．
课堂小结
（1）这节课学习了用什么知识解决哪类问题？ （2）解决问题的一般步骤是什么？应注意哪些问 题？ （3）你学到了哪些思考问题的方法？用函数的思想 方法解决抛物线形拱桥问题应注意什么？
首页
1．由于抛物线 y = ax 2 + bx + c 的顶点是最低（高） 点，当
x b 2a
时，二次函数 y = ax 2 + bx + c 有最小（大） 值
y 4ac b2 ． 4a
2．列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际 意义，确定自变量的取值范围；
3．在自变量的取值范围内，求出二次函数的最大 值或最小值.
首页
（1）求宽度增加多少需要什么数据？ （2）表示水面宽的线段的端点在哪条曲线上？ （3）如何求这组数据？需要先求什么？ （4）图中还知道什么？ （5）怎样求抛物线对应的函数的解析式？
“拱桥”问题
问题： 如何建立直角坐标系？
l
问题： 解决本题的关键是什么？
巩固练习
有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为 20 m，拱顶距离水面 4 m．
第二章 二次函数
2.4 二次函数的应用
第1课时 图形面积的最大值来自情景 引入合作 探究
课堂 小结
课后 作业
情景引入
问题： 解决生活中面积的实际问题时，你会用到了什么知识？ 所用知识在解决生活中问题时，还应注意哪些问题？
九年级数学下册第二章二次函数2.4二次函数的应用第一课时初中九年级下册数学
第四页，共二十页。
议一议
在上面问题中，如果把矩形改为下图所示的位置，其他(qítā)条 件不变，那么矩形的最大面积是多少？你是怎样知道的？
12/11/2021
30cm
M C
H
DG
B
P┐
A
N
40cm
第五页，共二十页。
解 :1 .由勾M 股 5 N c 定 0 ,m P 理 H 2c4 .m 得
设 A Bbc,易 mb得 12 x2.4 25
F
B
C G DH
第十三页，共二十页。
本节课你又学会(xuéhuì)了哪些新知识呢？
本节课我们进一步学习了用二次函数知识解决最大面 积(miàn jī)的问题，增强了应用数学知识的意识，获得了利用 数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受了数学建模 思想和数学知识的应用价值．
12/11/2021
第十四页，共二十页。
的长度(chángdù)如何表示？
D
C
(2)设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y
的最大值是多少?
┐xcm
N
解 :1 .设 A D bc ,易 m b 得 3x3.0 A
40cBm
4
2.yx bx 3x3 0 3x23x03x202 30.0
4 4
4
或 12/11/202用 1 :当 x 公 2 b a 2 式 时 0 ,y 最大 4 a 4 值 a c b 2 3.00
边的长度如何表示？
D
C
30m
(2)设矩形的面积为ym2,当x取何值
时,y的值最大?最大值是多少?
┐
A
B
40m
12/11/2021
第三页，共二十页。
北师大版九年级下册数学第二章 二次函数2.4 二次函数的应用第1课时 图形面积的最大值教案
2.4 二次函数的应用第1课时图形面积的最大值1．能根据实际问题列出函数关系式，并根据问题的实际情况确定自变量取何值时，函数取得最值；(重点)2．通过建立二次函数的数学模型解决实际问题，培养分析问题、解决问题的能力，提高用数学的意识，在解决问题的过程中体会数形结合思想．(难点)一、情境导入如图所示，要用长20m的铁栏杆，围成一个一面靠墙的长方形花圃，怎么围才能使围成的花圃的面积最大？如果花圃垂直于墙的一边长为x m，花圃的面积为y m2，那么y＝x(20－2x)．试问：x为何值时，才能使y的值最大？二、合作探究探究点一：二次函数y＝ax2＋bx＋c的最值已知二次函数y＝ax2＋4x＋a－1的最小值为2，则a的值为()A．3 B．－1 C．4D．4或－1解析：∵二次函数y＝ax2＋4x＋a－1有最小值2，∴a＞0，y最小值＝4ac－b24a＝4a（a－1）－424a＝2，整理，得a2－3a－4＝0，解得a＝－1或4.∵a＞0，∴a＝4.故选C.方法总结：求二次函数的最大(小)值有三种方法，第一种是由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题探究点二：利用二次函数求图形面积的最大值【类型一】利用二次函数求矩形面积的最大值如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米．(1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围；(2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？(3)若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积．解析：(1)根据AB为x m，则BC为(24－4x)m，利用长方形的面积公式，可求出关系式；(2)由(1)可知y和x为二次函数关系，根据二次函数的性质即可求围成的长方形花圃的最大面积及对应的AB的长；(3)根据BC的长度大于0且小于等于8列出不等式组求解即可．解：(1)∵AB ＝x ，∴BC ＝24－4x ，∴S ＝AB ·BC ＝x (24－4x )＝－4x 2＋24x (0＜x ＜6)；(2)S ＝－4x 2＋24x ＝－4(x －3)2＋36，∵0＜x ＜6，∴当x ＝3时，S 有最大值为36；(3)∵⎩⎪⎨⎪⎧24－4x ≤8，24－4x ＞0，∴4≤x ＜6.所以，当x ＝4时，花圃的面积最大，最大面积为32平方米．方法总结：根据已知条件列出二次函数式是解题的关键．但要注意不要漏掉题中自变量的取值范围．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第8题【类型二】 利用割补法求图形的最大面积在矩形ABCD 的各边AB ，BC ，CD ，DA 上分别选取点E ，F ，G ，H ，使得AE ＝AH ＝CF ＝CG ，如果AB ＝60，BC ＝40，四边形EFGH 的最大面积是( )A ．1350B ．1300C ．1250D ．1200解析：设AE ＝AH ＝CF ＝CG ＝x ，四边形EFGH 的面积是S .由题意得BE ＝DG ＝60－x ，BF ＝DH ＝40－x ，则S △AHE ＝S △CGF ＝12x 2，S △DGH ＝S △BEF ＝ 12(60－x )(40－x )，所以四边形EFGH 的面积为S ＝60×40－x 2－(60－x )(40－x )＝－2x 2＋100x ＝－2(x －25)2＋1250(0＜x ≤40)．当x ＝25时，S 最大值＝1250.故选C.方法总结：考查利用配方法求二次函数的最值，先配方，确定函数的对称轴，再与函数的自变量的取值范围结合即可求出四边形EFGH 的面积最大值．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升” 第7题【类型三】 动点问题中的最值问题如图，在矩形ABCD 中，AB ＝m (m是大于0的常数)，BC ＝8，E 为线段BC 上的动点(不与B 、C 重合)．连接DE ，作EF ⊥DE ，垂足为E ，EF 与线段BA 交于点F ，设CE ＝x ，BF ＝y .(1)求y 关于x 的函数关系式； (2)若m ＝8，求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？(3)若y ＝12m，要使△DEF 为等腰三角形，m 的值应为多少？解析：(1)利用互余关系找角相等，证明△BEF ∽△CDE ，根据对应边的比相等求函数关系式；(2)把m 的值代入函数关系式，再求二次函数的最大值；(3)∵∠DEF ＝90°，只有当DE ＝EF 时，△DEF 为等腰三角形，把条件代入即可．解：(1)∵EF ⊥DE ，∴∠BEF ＝90°－∠CED ＝∠CDE .又∠B ＝∠C ＝90°，∴△BEF ∽△CDE ，∴BF CE ＝BE CD ，即y x ＝8－xm ，解得y ＝8x －x 2m；(2)由(1)得y ＝8x －x 2m ，将m ＝8代入，得y ＝－18x 2＋x ＝－18(x 2－8x )＝－18(x －4)2＋2，所以当x ＝4时，y 取得最大值为2； (3)∵∠DEF ＝90°，∴只有当DE ＝EF 时，△DEF 为等腰三角形，∴△BEF ≌△CDE ，∴BE ＝CD ＝m ，此时m ＝8－x .解方程12m ＝8x －x 2m，得x ＝6，或x ＝2.当x ＝2时，m ＝6；当x ＝6时，m ＝2.方法总结：在解题过程中，要充分运用相似三角形对应边的比相等的性质建立函数关系式，是解决问题的关键．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第5题【类型四】 图形运动过程中的最大面积问题如图，有一边长为5cm 的正方形ABCD 和等腰△PQR ，PQ ＝PR ＝5cm ，QR ＝8cm ，点B 、C 、Q 、R 在同一条直线l 上，当C 、Q 两点重合时，等腰△PQR 以1cm/秒的速度沿直线l 按箭头所示方向开始匀速运动，t 秒后正方形ABCD 与等腰△PQR 重合部分的面积为S cm 2.解答下列问题：(1)当t ＝3秒时，求S 的值； (2)当t ＝5秒时，求S 的值； (3)当5秒≤t ≤8秒时，求S 与t 的函数关系式，并求出S 的最大值．解析：当t ＝3秒和5秒时，利用三角形相似求出重合部分的面积．当5秒≤t ≤8秒时，利用二次函数求出重合部分面积的最大值．解：(1)如图①，作PE ⊥QR ，E 为垂足．∵PQ ＝PR ，∴QE ＝RE ＝12QR ＝4cm.在Rt △PEQ 中，PE ＝52－42＝3(cm)．当t ＝3秒时，QC ＝3cm.设PQ 与DC 交于点G .∵PE ∥DC ，∴△QCG ∽△QEP .∴SS △QEP ＝(34)2.∵S △QEP ＝12×4×3＝6，∴S ＝(34)2×6＝278(cm 2)；(2)如图②，当t ＝5秒时，CR ＝3cm.设PR 与DC 交于G ，由△RCG ∽△REP ，可求出CG ＝94，∴S △RCG ＝12×3×94＝278(cm 2)．又∵S △PQR ＝12×8×3＝12(cm 2)，∴S ＝S △PQR －S △RCG ＝12－278＝698(cm 2)；图③(3)如图③，当5秒≤t ≤8秒时，QB ＝t －5，RC ＝8－t .设PQ 交AB 于点H ，PR 交CD 于点G .由△QBH ∽△QEP ，EQ ＝4，∴BQ ∶EQ ＝(t －5)∶4，∴S △BQH ∶S △PEQ ＝(t －5)2∶42，又S △PEQ ＝6，∴S △QBH ＝38(t －5)2.由△RCG ∽△REP ，同理得S △RCG ＝38(8－t )2，∴S ＝12－38(t －5)2－38(8－t )2＝－34t 2＋394t －1718.当t ＝－3942×（－34）＝132时，S 最大，S 的最大值＝4ac －b 24a ＝16516(cm 2)．方法总结：本题是一个图形运动问题，解题的方法是将各个时刻的图形分别画出，由“静”变“动”，再设法求解，这种分类画图的方法在解动态的几何问题时非常有效．探究点三：利用二次函数解决拱桥问题一座拱桥的轮廓是抛物线形(如图①)，拱高6m ，跨度20m ，相邻两支柱间的距离均为5m.(1)将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图②)，求抛物线的解析式；(2)求支柱EF 的长度；(3)拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2m 的隔离带)，其中的一条行车道能否并排行驶三辆宽2m 、高3m 的汽车(汽车间的间隔忽略不计)？请说明你的理由．解析：(1)根据题目可知A ，B ，C 的坐标，设出抛物线的解析式代入可求解；(2)设F 点的坐标为(5，y F )，求出y F ，即可求出支柱EF 的长度；(3)设DN 是隔离带的宽，NG 是三辆车的宽度和．作GH ⊥AB 交抛物线于点H ，求出点H 的纵坐标，判断是否大于汽车高度即可求解．解：(1)根据题目条件，A ，B ，C 的坐标分别是(－10，0)，(10，0)，(0，6)．设抛物线的解析式为y ＝ax 2＋c ，将B ，C 的坐标代入y ＝ax 2＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧6＝c ，0＝100a ＋c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－350，c ＝6.所以抛物线的解析式为y ＝－350x 2＋6；(2)可设F 点的坐标为(5，y F )，于是y F ＝－350×52＋6＝4.5，从而支柱EF 的长度是10－4.5＝5.5(米)；(3)如图②，设DN 是隔离带的宽，NG 是三辆车的宽度和，则G 点坐标是(7，0)．过G 点作GH ⊥AB 交抛物线于H 点，则y H ＝－350×72＋6＝3.06＞3.根据抛物线的特点，可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车．方法总结：利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题三、板书设计图形面积的最大值1．求函数的最值的方法2．利用二次函数求图形面积的最大值 3．利用二次函数解决拱桥问题由于本节课的内容是二次函数的应用问题，重在通过学习总结解决问题的方法，故而本节课以“启发探究式”为主线开展教学活动，以学生动手动脑探究为主，必要时加以小组合作讨论，充分调动学生学习积极性和主动性，突出学生的主体地位，达到“不但使学生学会，而且使学生会学”的目的.。
九年级数学下册 第二章 二次函数 2.4 二次函数的应用 第1课时 用二次函数解决问题(1)
断小敏的说法是否正确.
第十七页，共二十一页。
综合能力提升练
50-
1
625
解:( 1 )y=x· 2 =-2( x-25 )2+ 2 ,
当 x=25 时,占地面积最大,
即饲养室长为 25 m 时,占地面积 y 最大.
9
9
9
第十二页，共二十一页。
5 米.
综合能力提升练
11.如图,正方形 ABCD 的顶点 A,B 与正方形 EFGH 的顶点 G,H 同
在一段抛物线上,且抛物线的顶点在 CD 上,若正方形 ABCD 的边长
为 10,则正方形 EFGH 的边长为 5 5-5
第十三页，共二十一页。
.
综合能力提升练
12.( 武汉中考
下列结论:①足球距离地面的最大高度为 20 m;②足球飞行路线的
对称轴是直线
9
t=2;③足球被踢出
9 s 时落地;④足球被踢出 1.5 s 时,
距离地面的高度是 11 m.其中正确结论的个数是( B )
A.1
B.2
C.3
D.4
第十页，共二十一页。
综合能力提升练
9.在矩形 ABCD 的各边 AB,BC,CD 和 DA 上分别选取点 E,F,G,H,使
平面直角坐标系,若选取点 A 为坐标原点时的抛物线表达式是 y=1
(
9
1
(
9
x-6 )2+4,则选取点 B 为坐标原点时的抛物线表达式是 y=x+6 )2+4
.
第七页，共二十一页。
知识要点基础练
6.在体育(tǐyù)测试时,九年级的一名高个子男生推铅球,已知铅球所经过的路线
九年级数学下册第二章二次函数2.4二次函数的应用教案新版北师大版
2.4.1 二次函数的应用一、教学目标1.掌握长方形和窗户透光最大面积问题，体会数学的模型思想和数学应用价值．2.学会分析和表示不同背景下实际问题中的变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识解决实际问题．二、课时安排1课时三、教学重点掌握长方形和窗户透光最大面积问题，体会数学的模型思想和数学应用价值．四、教学难点运用二次函数的知识解决实际问题．五、教学过程（一）导入新课引导学生把握二次函数的最值求法：(1)最大值：(2)最小值：（二）讲授新课活动1：小组合作如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上.(1)设矩形的一边AB=xm,那么AD边的长度如何表示？(2)设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的值最大？最大值是多少?解：活动2：探究归纳先将实际问题转化为数学问题，再将所求的问题用二次函数关系式表达出来，然后利用顶点坐标公式或者配方法求出最值，有时必须考虑其自变量的取值范围，根据图象求出最值.（三）重难点精讲例题：某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为15m.当x等于多少时,窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m)?此时,窗户的面积是多少?解：即当x≈1.07m时，窗户通过的光线最多.此时窗户的面积为4.02m2.（四）归纳小结“最大面积” 问题解决的基本思路：1.阅读题目，理解问题.2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系.3.用数量的关系式表示出它们之间的关系.4.根据二次函数的最值问题求出最大值、最小值.5.检验结果的合理性.（五）随堂检测1．将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是 cm2．2．用长度为20m的金属材料制成如图所示的金属框，下部为矩形，上部为等腰直角三角形，其斜边长为2x m．当该金属框围成的图形面积最大时，图形中矩形的相邻两边长各为多少？请求出金属框围成的图形的最大面积．3．学校计划用地面砖铺设教学楼前的矩形广场的地面ABCD，已知矩形广场地面的长为100米，宽为80米，图案设计如图所示：广场的四角为小正方形，阴影部分为四个矩形，四个矩形的宽都是小正方形的边长，阴影部分铺设绿色地面砖，其余部分铺设白色地面砖．（1）要使铺设白色地面砖的面积为5 200平方米，那么矩形广场四角的小正方形的边长为多少米？（2）如图铺设白色地面砖的费用为每平方米30元，铺设绿色地面砖的费用为每平方米20元，当广场四角小正方形的边长为多少米时，铺设广场地面的总费用最少？最少费用是多少？4．如图，在矩形ABCD中，AB=m（m是大于0的常数），BC=8，E为线段BC上的动点（不与B，C重合）．连接DE，作EF⊥DE，EF与线段BA交于点F，设CE=x，BF=y．（1）求y关于x的函数关系式.（2）若m=8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？（3）若，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？5.如图，东梅中学要在教学楼后面的空地上用40米长的竹篱笆围出一个矩形地块作生物园，矩形的一边用教学楼的外墙，其余三边用竹篱笆．设矩形的宽为x，面积为y．（1）求y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围.（2）生物园的面积能否达到210平方米？说明理由．【答案】1.12.52. 根据题意可得：等腰三角形的直角边为m矩形的一边长是2xm,其邻边长为3.解：（1）设矩形广场四角的小正方形的边长为x米，根据题意得4x2＋（100－2x）（80－2x）＝5 200，整理，得x2－45x＋350＝0，解得：x1＝35，x2＝10，经检验x1＝35，x2＝10均适合题意，所以，要使铺设白色地面砖的面积为5 200平方米，则矩形广场四角的小正方形的边长为35米或者10米．（2）设铺设矩形广场地面的总费用为y元，广场四角的小正方形的边长为x米，则y＝30[4x2＋(100－2x)(80－2x)]＋20[2x(100－2x)＋2x(80－2x)]即y＝80x2－3 600x＋240 000，配方，得y＝80（x－22．5）2＋199 500.当x＝22．5时，y的值最小，最小值为199 500.所以当矩形广场四角的小正方形的边长为22．5米时，铺设矩形广场地面的总费用最少，最少费用为199 500元．4. ⑴在矩形ABCD中，∠B=∠C=90°，∴在Rt△BFE中，∠1+∠BFE=90°，又∵EF⊥DE，∴∠1+∠2=90°，∴∠2=∠BFE，∴Rt△BFE∽Rt△CED，∴, ∴即.⑵当m=8时，化成顶点式:（3）由，及得关于x的方程:，得.∵△DEF中∠FED是直角，∴要使△DEF是等腰三角形，则只能是EF=ED，此时，Rt△BFE≌Rt△CED.∴当EC=2时，m=CD=BE=6；当EC=6时，m=CD=BE=2.即△DEF为等腰三角形，m的值应为6或2.5. 解：（1）依题意，得y=(40-2x)x．∴y=-2x2+40x．x的取值范围是0< x <20．（2）当y=210时，由（1）可得，-2x2+40x=210．即x2-20x+105=0．∵ a=1，b=-20，c=105，∴∴此方程无实数根，即生物园的面积不能达到210平方米．六．板书设计2.4.1二次函数的应用探究：例题：“最大面积” 问题解决的基本思路：1.阅读题目，理解问题.2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系.3.用数量的关系式表示出它们之间的关系.4.根据二次函数的最值问题求出最大值、最小值.5.检验结果的合理性.2.4.2二次函数的应用一、教学目标1.经历探索T恤衫销售过程中最大利润等问题的过程，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型,感受数学的应用价值.2.掌握实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大值、最小值．二、课时安排1课时三、教学重点运用二次函数的知识求出实际问题的最大值、最小值．四、教学难点运用二次函数的知识求出实际问题的最大值、最小值．五、教学过程（一）导入新课某超市有一种商品，进价为2元，据市场调查，销售单价是13元时，平均每天销售量是50件，而销售价每降低1元，平均每天就可以多售出10件. 若设降价后售价为x元，每天利润为y元，则y与x之间的函数关系是怎样的？（二）讲授新课活动1：小组合作二次函数y=a(x-h)2+k(a 0)，顶点坐标为（h,k）,则①当a>0时，y有最小值k；②当a<0时，y有最大值k【探究】某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是2.5元.根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:在一段时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件.请你帮助分析，销售单价是多少时,可以获利最多?【解析】设销售单价为x (x≤13.5)元,那么销售量可以表示为 : 件；每件T恤衫的利润为: 元；所获总利润可以表示为: 元；即y=-200x2+3 700x-8 000=-200(x-9.25)2+9 112.5∴当销售单价为元时,可以获得最大利润,最大利润是元.活动2：探究归纳先将实际问题转化为数学问题，再将所求的问题用二次函数关系式表达出来，然后利用顶点坐标公式或者配方法求出最值，有时必须考虑其自变量的取值范围，根据图象求出最值. （三）重难点精讲例题2.某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满．当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用．根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元．设每个房间的房价每天增加x元（x为10的整数倍）．(1)设一天订住的房间数为y，直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围.(2)设宾馆一天的利润为w元，求w与x的函数关系式.(3)一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？【解析】（1）y=50-；（2）w=（180+x-20）y=（180+x-20）（50-）=（3）因为w=所以x==170时，w有最大值，而170>160,故由函数性质知，x=160时，利润最大，此时订房数y=50- =34，此时的利润为10 880元.例题3 某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利5元，每天可售出200千克，经市场调查发现，在进价不变的情况下，若每千克涨价1元，销售量将减少10千克.（1）现该商场要保证每天盈利1 500元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？（2）若该商场单纯从经济利益角度考虑，这种水果每千克涨价多少元，能使商场获利最多？【解析】（1）设每千克应涨价x元，列方程，得(5+x)(200－10x)=1 500，解得x1=10， x2=5.因为要顾客得到实惠，5＜10，所以x=5.答：每千克应涨价5元.（2）设商场每天获得的利润为y元，则根据题意，得y=( x +5)(200－10x)= －10x2+150x+1 000，当x=时,y有最大值.因此，这种水果每千克涨价7.5元，能使商场获利最多（四）归纳小结“何时获得最大利润” 问题解决的基本思路.1.根据实际问题列出二次函数关系式.2.根据二次函数的最值问题求出最大利润（五）随堂检测1.某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y=-（x-2）2+4（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是( )A.4米B.3米C.2米D.1米2.为迎接第四届世界太阳城大会，德州市把主要路段路灯更换为太阳能路灯．已知太阳能路灯售价为5 000元/个，目前两个商家有此产品．甲商家用如下方法促销：若购买路灯不超过100个，按原价付款；若一次性购买100个以上，则购买的个数每增加一个，其价格减少10元，但太阳能路灯的售价不得低于3 500元/个．乙商家一律按原价的80℅销售．现购买太阳能路灯x个，如果全部在甲商家购买，则所需金额为y1元；如果全部在乙商家购买，则所需金额为y2元.（1）分别求出y1，y2与x之间的函数关系式.（2）若市政府投资140万元，最多能购买多少个太阳能路灯？3.桃河公园要建造圆形喷水池.在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA,O恰在水面中心,OA=1.25m.由柱子顶端A处的喷头向外喷水,水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下,为使水流形状较为漂亮,要求设计成水流在距离OA 1m处达到最大高度2.25m.如果不计其他因素,那么水池的半径至少要多少米,才能使喷出的水流不致落到池外？4．某市政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似地看作一次函数：（1）设李明每月获得利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？（2）如果李明想要每月获得2 000元的利润，那么销售单价应定为多少元？（3）根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2 000元，那么他每月的成本最少需要多少元？（成本＝进价×销售量）【答案】1. 【解析】选A. 抛物线的顶点坐标为（2,4），所以水喷出的最大高度是4米.2. 【解析】（1）由题意可知，当x≤100时，购买一个需5 000元，故y1=5 000x当x>100时，因为购买个数每增加一个，其价格减少10元但售价不得低于3 500元/个，所以x≤即100<x≤250时，购买一个需5 000-10(x-100)元，故y1=6 000x-10x2；当x>250时，购买一个需3 500元，故y1=3 500x;(2) 当0≤x≤100时，y1=5 000x≤500 000<1 400 000；当100<x≤250时，y1=6 000x-10x2=-10(x-300)2+900 000<1 400 000；∴由得到x=400由得到故选择甲商家，最多能购买400个太阳能路灯3.【解析】建立如图所示的坐标系,根据题意，得,点A(0,1.25),顶点B(1,2.25).设抛物线的表达式为y=a(x-h)2+k,由待定系数法可求得抛物线表达式为：y=-(x-1)2+2.25.当y=0时,得点C(2.5,0);同理,点D(-2.5,0).根据对称性,那么水池的半径至少要2.5m,才能使喷出的水流不致落到池外.4.解析：（1）由题意，得：w = (x－20)·y=(x－20)·(-10x+500)=-10x2+700x-10 000当时，w有最大值.答：当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润．（2）由题意，得解这个方程，得x1 = 30，x2 = 40．答：李明想要每月获得2 000元的利润，销售单价应定为30元或40元.（3）∵∴抛物线开口向下.∴当30≤x≤40时，w≥2 000．∵x≤32，∴当30≤x≤32时，w≥2 000．设成本为P（元），由题意，得P=20（-10x+500)=-200x+10 000, ∵k=-200＜0，∴P随x的增大而减小.∴当x = 32时，P最小＝3 600.答：想要每月获得的利润不低于2 000元，每月的成本最少需要3 600元．六．板书设计2.4.2二次函数的应用探究：例题2：例题3：“何时获得最大利润” 问题解决的基本思路.1.根据实际问题列出二次函数关系式；2.根据二次函数的最值问题求出最大利润.。
北师版九年级数学下册课件 第二章 二次函数 二次函数的应用 第1课时 利用二次函数解决图形的面积问题
4．(4分)如图，用一根长60 cm的铁丝制作一个“日”字形框架ABCD，铁丝恰好 全部用完，则当边AB＝___1_0_cm时矩形框架ABCD的面积最大，最大值为 _1_5_0___cm2.
5．(4分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝12 cm，四边形 CDEF为矩形，其中CD，CF分别在两直角边AC，BC上，点E在斜边AB上，则当 CD＝__3__cm时矩形CDEF的面积最大，最大值为__9___3cm2.
解：(1)根据题意，得 BC＝(24－3x) m，∴S＝x(24－3x)＝－3x2＋24x，0＜24－ 3x≤9，解得 5≤x＜8，∴S 与 x 之间的函数关系式为 S＝－3x2＋24x，x 的取值范围为 5≤x＜8
(2)∵S＝－3x2＋24x＝－3(x－4)2＋48，5≤x＜8，∴当 x＝5 时，S 最大值＝45，此 时 24－3x＝9，∴当 AB＝5 m，BC＝9 m 时花圃的面积最大，最大面积是 45 m2
－DE
＝6－2＝4(dm)，△CGM∽△CDN
，∴CM CN
＝GM DN
，即x－4 6
＝GM 4
，
∴GM＝2x－8 dm，∴FG＝FM－GM＝6－2x－8 ＝26－2x (dm)，∴S＝AF·FG＝
3
3
3
x·26－2x ＝－2 x2＋26 x (4≤x≤10)
3
33
(2)不正确，理由如下：∵S＝－23
解：(1)分别延长 FG，ED 与 BC 的延长线相交于点 M，N，则四边形 ABMF 和
四边形 ABNE 都是矩形，∴FM∥AB∥EN，FM＝EN＝AB＝6 dm，BM＝AF＝x dm，
BN＝AE＝10 dm，CN＝BN－BC＝10－4＝6(dm)，CM＝BM－BC＝(x－4)dm，∴DN
北师大版九年级数学下册2.4《二次函数的应用》课件
何值时，y的最大值是多少?
H
D
B
（2）.y＝xb＝x
﹣1225
x＋24
P┐ G A
N
＝﹣12
40cm
x 2＋24 x ＝﹣12（x－25）2＋300.
25
25
想一想
何时面积最大
如图，在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中
点A和点D分别在两直角边上，BC在斜边上.
（2）.设矩形的面积为ym2，当x取 M C
（1）.如果设矩形的一边AD ＝
M
30cm xcm
xcm，那么AB边的长度如何表示？ D
C
解：（1）设 AB＝bcm
易得 b＝﹣4 x＋40 3
┐ bcm
A
B
N
40cm
想一想
何时面积最大
如图，在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中 AB和AD分别在两直角边上.
（2）.设矩形的面积为ym2，当x取
所以，顶点坐标为：（﹣1，﹣7）， 对称轴为x ＝﹣1
想一想
何时面积最大
例1：如图，在一个直角三角形的内部作一个 矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上.
M
30cm
D
C
┐
A
B
N
40cm （1）.设矩形的一边AB ＝ xcm，那么AD边的长度如
何表示？
（2）.设矩形的面积为ym2 ，当x取何值时，y的最大值
M
或用公式：
当 x＝﹣ b ＝15 时，
2a
y最大值＝
4ac－b2 4a
＝300.
xcm
D
C
bcm
┐
A
B
N