(全国通用)2018年高考数学考点一遍过专题13定积分与微积分基本定理理
高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题与详解
课程信息一、教学目标：1.理解定积分的基本概念并能利用定积分的几何意义解决一些简单的积分计算问题.2.理解微积分的基本定理，并会用定积分公式解决简单函数的定积分问题^二、知识要点分析 b1.定积分的概念：函数f(x)在区间［a, b］上的定积分表示为：L f(x)dx2.定积分的几何意义：(1)当函数f (x)在区间［a, b］上恒为正时，定积分f f(x)dx的几何意义是：y=f (x) ab与x=a, x=b及x轴围成的曲边梯形面积，在一般f#形下.［f (x)dx的几何意义是介于x轴、函数f (x)的图象、以及直线x=a, x=b之间的各部分的面积代数和，在x轴上方的面积取正号，x轴下方的面积取负号.b b b在图(1)中：ff (x)dx =s >0 ,在图(2)中：「(x)dx =s<0 ,在图(3)中：［f (x)dxa -a -a表示函数y=f (x)图象及直线x=a, x=b、x轴围成的面积的代数和. b 注：函数y=f (x)图象与x轴及直线x=a, x=b围成的面积不一定等于 f f(x)dx,仅a b当在区间［a, b］上f (x)恒正时，其面积才等于 f f(x)dx.a3.定积分的性质，(设函数f (x), g (x)在区间［a, b］上可积)b b b(1)［f(x) -g(x)］dx = J f(x)dx - g(x)dxa a ab b(2)ikf(x)dx = k j f (x)dx , (k 为常数)a ab c b(3)f(x)dx = f(x)dx，I f (x)dxa a cb(4)若在区间［a, b］上，f(x)之0,则1 f(x)dx >0a⑵ | a f(x)dx 匡 a | f(x)|dx aa a (3)若 f(x)是偶函数,则 f f (x)dx = 2 f f (x)dx ,若 f(x)是奇函数，则 f f (x)dx=0 ’.a ’0 」 4.微积分基本定理：b一般地,右 F (x) = f (x)，且f (x)在［a,b ］上可积,则 f f (x)dx = F (b) - F (a) a 注：(1)若F ‛(x) = f(x)则F (x)叫函数f (x)在区间［a, b ］上的一个原函数，根b据导数定义知：F (x) +C 也是f (x)的原函数，求定积分 f f(x)dx 的关键是求f (x)的 原函数，可以利用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向求F (x).(2)求导运算与求原函数的运算互为逆运算 . 【典型例题】知识点一：定积分的几何意义2二'sinxdx=0推断：求直线 x=0, x=2n , y=0和正弦曲线y=sinx 所围成的曲边梯形面积下列结论正确的是(2：：,题意分析：本题考查定积分的几何意义，注意 ［sin xdx 与y=sinx 及直线x=a, x=b 和x 轴 围成的面积的区别.思路分析：作出函数y=sinx 在区间［0, 2冗］内的图象及积分的几何意义及函数的对称性可 判断. 解：对于(A):由于直线x=0 , x= 2冗,y=0和正弦曲线y=sinx 所围成的曲边梯形面积为正 可判断A 错.对于(B), (C)根据y=sinx 在［0, 2n ］内关于(冗,0)对称知两个答案都是错误的.根据函数y=sinx 的图象及定积分的几何意义可知：答案( D)是正确的.解题后的思考：本题主要考查定积分的几何意义， 体现了数与形结合的思想的应用，易错点2 .只 是混淆函数y=sinx 与x 轴、直线x=0, x= 2几围成的面积等于 (f(x)dx .例2.利用定积分的几何意义，说明下列等式的合理性 1(1) 0 2xdx =11f 2推论：(1)若在区间［a, b ］上,f (x) «g(x)，则 J f (x)dx « J g(x)dx例1 .根据 A.面积为0B.曲边梯形在C.曲边梯形在D.曲边梯形在 x 轴上方的面积大于在 x 轴上方的面积小于在 x 轴上方的面积等于在 x 轴下方的面积 x 轴下方的面积 x 轴下方的面积*(2)0 1 -x dx =屋题意分析：本题主要考查定积分的几何意义：在区间［0, 1］上函数y=2x,及y= J1 —x2恒为正时，定积分(2xdx表示函数y=2x图象与x=0,x=1围成的图形的面积，(，1 -x2dx表示函数y二11一x2图象与x=0, x=1围成的图形的面积.思路分析：分别作出函数y=2x及y=\；1—x2的图象，求此图象与直线x=0 , x=1围成的面积.解：(1)在同一坐标系中画出函数y=2x的图象及直线x=0 , x=1 (如图)，它们围成的图形图所示，所以函数y = <1 — x2与直线x=0 , x=1围成的图形面积是圆x2+ y2= 1面积的四分之一，又y = /1 —x2在区间［0, 1］上恒为正.f h -x2dx =—0 4解题后的思考：本题主要考查利用定积分的几何意义来验证函数y=2x及函数y= Q1 — x2在区间［0, 1］上的定积分的值，体现了数与形结合的思想的应用，易错点是画函数图象的不准确造成错误的结果.4例3.利用定积分的几何意义求r (| x —1|十| x — 3 |)dx的值.4题意分析：本题考查定积分的几何意义，］(|xT| + |x-3|)dx的值是函数y」x -1| +|x—3|的图象与直线x=0, x=4所围成图形的面积.思路分析：首先把区间[0, 4]分割为[0, 1], [1, 3], [3, 4],在每个区间上讨论x—1, x-3的符号，把函数y=|x-1|+|x-3|化为分段函数，再根据定积分的几何意义求40(|x-1| +|x-3|)dx 的值.-2x 4,(x [0,1]解：函数y =| x —1| + | x —3 |化为y = {2,(x w [1,3]2x-4,(x [3,4]-2x 4,(x [0,1]由于函数y ={2,(xW[1,3] 在区间[0, 1], [1, 3], [3, 4]都恒为正. 2x-4,(x [3,4] 设函数y= — 2x+4的图象与直线x=0, x=1围成的面积为 &函数y=2的图象与直线x=1 , x=3围成的面积是S2函数y=2x — 4的图象与直线x=3 , x=4围成的面积是S3一 1 一一一由图知：S1=S3=-(4 2) 1=3,S2=2 2 = 44由定积分的几何意义知：o(|x-1| • |x-3|)dx=& • S3 • S2 =10解题后的思考：本题考查的知识点是定积分的几何意义，利用其几何意义求定积分40 (| x-1| +|x -3|)dx的值，体现了等价转化的数学思想(把区间[ 0, 4]分割，把函数y=|x—1|+|x —3|化成分段函数)、数与形结合的思想的应用.易错点是：区间[0, 4]分割不当及画函数图象不准确，造成错误的结果.当被积函数含有绝对值时，常采用分割区间把函数化为分段函数的方法求定积分的值.小结：本题主要考查定积分的几何意义，要分清在区间[ a, b]上f (x)恒为正时，f (x) 在区间[a, b]上定积分值才等于函数图象与直线x=a, x=b围成的面积.在画函数图象时注意x的取值区间.当被积函数含有绝对值时，恰当的分割区间把函数画为分段函数再求定积分的值.一、选择题1.(2010 山东日照模考)a=「2xdx, b= f2e x dx, c=「2sinxdx,则a、b、c 的大小关系是'0 10 ' O( )A. a<c<bB. a<b<cC. c<b<aD. c<a<b2.(2010山东理，7)由曲线y=x2, y = x3围成的封闭图形面积为()C. (e 11, e) 8. （2010福建厦门一中）如图所示，在一个长为 兀，宽为2的矩形OABC 内，曲线y = sinx （0<x<兀后x 轴围成如图所示的阴影部分，向矩形 OABC 内随机投一点（该点落在矩形 OABC 内任何一点是等可能的），则所投的点落在阴影部分的概率是 （ ）1A.— C .3 7 D- 12（2010湖南师大附中）设点P 在曲线y=x 2上从原点到A （2,4）移动，如果把由直线 直线y=x 2及直线x = 2所围成的面积分别记作S 1, 5.如图所示，当S I =S 2时，点POP,的坐标 是（） A. *C. 3, 157 D .百3. 由二条直线x= 0、 x= 2、y=0和曲线y=x 3所围成的图形的面积为（）4.C. 5.4B.3D. 6 （2010湖南省考试院调研）j 1 —1（sinx+1）dx 的值为（ ） 2 + 2cos1 B. 2D. 2—2cos1曲线y= cosx （0wxw 2兀后直线y= 1所围成的图形面积是（ ） B. 3兀C 3jt D.兀6 .函数 F(x)=「t(t —4)dt 在［―1,5］上()A .有最大值0,无最小值B.有最大值0和最小值-323C.有最小值-警，无最大值3D.既无最大值也无最小值7 .已知等差数列｛a n ｝的前n 项和S n=2n 2+n,函数 f(x)=「一dt,若 f(x)<a 3,则 , 1 t x 的取 值范围是（ ）A. -k OO ? 18 . (0, e 21) D. (0, e 11)10. (2010沈阳二十中)设函数f(x) = x-［x ］,其中［x ］表示不超过x 的最大整数，如［—1.2］x =—2, [1.2]= 1, [1] = 1.又函数g(x) = -x, f(x)在区间(0,2)上零点的个数记为 m, f(x)与g(x) 3的图象交点的个数记为 n,则f ng(x)dx 的值是('m 8. -43C.(2010江苏盐城调研)甲、乙两人进行一项游戏比赛，比赛规则如下：甲从区间上随机等可能地抽取一个实数记为b,乙从区间［0,1］上随机等可能地抽取一个实数记为 c 可以相等),若关于x 的方程x 2+2bx+c=0有实根，则甲获胜，否则乙获胜，则在一场比 赛中甲获胜的概率为( )1 A 「 兀2 B.- 兀 3C.兀D.49. (2010吉林质检)函数 f(x) = S x + 2(-2<x<02cosx(0WxW]) 兀 的图象与x 轴所围成的图形面积 S 为( )A.2B. 1C. 4 1D.2 [0,1] c(b 、 A.1 3 B.2 C -C.2D.312. (2010吉林省调研)已知正方形四个顶点分别为O(0,0), A(1,0), B(1,1), C(0,1),曲 线y=x 2(x>0)与x 轴，直线 落在区域M 内的概率是(x=1构成区域M,现将一个质点随机地投入正方形中，则质点 1A.21 B.4 1C"32 D.5二、填空题 13. (2010芜湖十二中)已知函数f(x)=3x2+2x+1 ,若1f(x)dx= 2f(a)成立,则 a=兀 L 1 A 一 一一，、，人 一, 1 一S I14 .已知 a= 2 2°（sinx+ cosx ）dx,则二项式（aF —了）的展开式中含 x 项的系数是 15 .抛物线y 2=2x 与直线y= 4 —x 围成的平面图形的面积为若直线l 与抛物线相切且平行于直线 2x —y+6= 0,则l 的方程为f （x ）= - x 3+ax 2+bx （a, bC R ）的图象如图所示，它与. ........ 一 一一，，一一一一， ,， ............... .. . 1 ............ 轴在原点处相切，且 x 轴与函数图象所围成区域（图中阴影部分）的面积为112,则a 的值为 三、解答题18 .如图所示，在区间［0,1］上给定曲线y = x 2,试在此区间内确定t 的值，使图中阴影部分的面积S I + S 2最小. 16. （2010安徽合肥质检）抛物线 y 2= ax （a>0）与直线x= 1围成的封闭图形的面积为 4 3'17. （2010福建福州市）已知函数。
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〔全国通用〕 2021 年高考数学考点一遍过专题13定积分与微积分根本定理〔含剖析〕理〔 1〕认识定积分的实质背景，认识定积分的根本思想，认识定积分的看法.〔 2〕认识微积分根本定理的含义.一、定积分1．曲边梯形的面积〔 1〕曲边梯形：由直线x=a、 x=b( a≠ b)、 y=0和曲线y f ( x) 所围成的图形称为曲边梯形(如图①)．〔 2〕求曲边梯形面积的方法与步骤：①切割：把区间a ， ] 分成好多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形(如图② )；b②近似代替：对每个小曲边梯形“以值代曲〞，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，获取每个小曲边梯形面积的近似值 ( 如图② ) ；③求和：把以近似代替获取的每个小曲边梯形面积的近似值求和；④取极限：当小曲边梯形的个数趋向无量时，各小曲边梯形的面积之和趋向一个定值，即为曲边梯形的面积．2．求变速直线运动的行程若是物体做速直运，速度函数v=v( t )，那么也可以采用切割、近似代替、求和、取极限的方法，求出它在≤≤b 内所作的位移s.a t 3．定分的定和相关看法〔 1〕若是函数f (x) 在区,] 上，用分点=0< 1<⋯< i - 1<i <⋯<n=b将区,]a b a x x x x x a b均分成n 个小区，在每个小区x i - 1, x i]上任取一点ξ i (i=1,2,⋯,n)，作和式n n b af ( i ) xi 1i 1nf ( i ) ；当n→∞ ，上述和式无量凑近某个常数，个常数叫做b b nbaf ( i ) .函数 f ( x)在区 a, b]上的定分，作f( x)d x ，即 f (x)d x =lima a ni 1n〔 2〕在b f (x)d x中，a与b分叫做分下限与分上限，区a b] 叫做分区，函a,数 f ( x) 叫做被函数，x叫做分量，f(x)d x叫做被式．4．定分的性b d b d( k常数 ) ；〔 1〕kf x x k f x xa ab[()( )]d b()d b)d〔 2〕(；f xg x x f x x g x xa a ab()d=c()d+b()d( 其中a<c<b) ．〔 3〕f x x f x x f x xa a c【注】定分的性〔3〕称定分分区的可加性，其几何意是曲梯形ABCD 的面等于曲梯形与曲梯形的面的和．AEFD EBCF5．定分的几何意b〔 1〕当函数f( x) 在区a, b] 上恒正，定分 f ( x)d x 的几何意是由直x=a，ax=b( a≠ b)， y=0和曲 y=f( x) 所成的曲梯形的面( ①中阴影局部) ．〔 2〕一般情况下，定积分b f ( x )d x 的几何意义是介于 x 轴、曲线 f ( x ) 以及直线 x =a ，a= 之间的曲边梯形面积的代数和( 图②中阴影局部所示 ) ，其中在x 轴上方的面积等于该x b区间上的积分值，在x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．6．定积分与曲边梯形的面积的关系 ( 常用结论 )定积分的看法是从曲边梯形面积引入的，但是定积分其实不用然就是曲边梯形的面积．这要结合详尽图形来确定：设阴影局部面积为, 那么Sbdb〔1〕；〔 2〕d；Sf xx Sf x xaaSc f xx b x x〔3〕f〔4 〕adcd；b f x dxbdxb xg x ]dx .Sg x [ f aaa7．定积分的物理意义〔 1〕变速直线运动的行程做变速直线运动的物体所经过的行程s ，等于其速度函数 v =v ( t )( v ( t ) ≥0) 在时间区间 a ，b b ] 上的定积分，即 sv(t )dt .a〔 2〕变力做功一物体在恒力F ( 单位： N)的作用下做直线运动，若是物体沿着与F 相同的方向搬动了s m ，那么力F 所做的功为W =Fs .若是物体在变力F ( x ) 的作用下沿着与 F ( x ) 相同的方向从x =a 搬动到 x =b ，那么变力 F ( x ) 做的功 WbF ( x)dx .a二、微积分根本定理一 般 地 ， 如 果 f ( x ) 是 区 间 a , b ] 上 的 连 续 函 数 ， 且 F ′(x )= f( x ) ， 那 么b f ( x)d x =F ( b ) - F ( a ) ．这个结论叫做微积分根本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式，其a中( ) 叫做f ( x ) 的一个原函数．为了方便，我们常把 ()-( ) 记作b，即F xF b F aF ( x) |a bba f ( x) dx =F (x ) |a =F (b ) - F ( a ) ．学 .【注】常有的原函数与被积函数的关系bCdxCx |ba (C 为常数 ) ；〔 1〕 abx ndx1 x n 1 |ba (n1) ；〔 2〕a n 1bsin xdxcosx |a b；〔 3〕 abcos xdx sin x |a b ；〔 4〕ab1b(b a 0) ；〔 5〕dx ln x |aa xbe xdx e x |a b；〔 6〕abxd a x|ba ( a 0, a 1) ；〔 7〕a xaln ab3xdx2x 2|b a (b a0) .〔 8〕a 3考向一定积分的计算1．求定积分的三种方法（ 1〕利用定义求定积分 ( 定义法 ) ，可操作性不强；（ 2〕利用微积分根本定理求定积分；（ 3〕利用定积分的几何意义求定积分．当曲边梯形面积易求时，可经过求曲边梯形的面积11，因此求定积分．比方，定积分1 x 2dx 的几何意义是求单位圆面积的41x2dx=π1.042．用牛顿—莱布尼茨公式求定积分的步骤（1〕把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差；（2〕把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分；（3〕分别用求导公式找到一个相应的原函数；（4〕利用牛顿—莱布尼茨公式求出各个定积分的值；（5〕计算原始定积分的值 .3．分段函数的定积分分段函数求定积分，可先把每一段函数的定积分求出后再相加．4．奇偶函数的定积分〔 1〕假设奇函数y=f ( x)- a a]a f x)dx0的图象在上连续，那么；，(aag(x)dx2a〔 2〕假设偶函数y=g( x) 的图象在 - a，a] 上连续，那么g( x)dx .a0典例 1 定积分1(2x e x )dx 的值为0A．e 2B．e 1C．D．e 1【答案】 C【解题技巧】求定积分的要点是找到被积函数的原函数，为防范出错，在求出原函数后可利用求导与积分互为逆运算的关系进行考据.1．假设S=222 12x dx ，那么S，S，S的大小关系为x dx， S =dx ， S =e112311231 xA．S <S <S B．S <S <S 123213 C．S2<S3<S1D．S3 <S2<S1考向二利用定积分求平面图形的面积利用定积分求平面图形面积问题的常有种类及解题策略（1〕利用定积分求平面图形面积的步骤①依照题意画出图形；②借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；③把曲边梯形的面积表示成假设干个定积分的和；④计算定积分，写出答案．（2〕知图形的面积求参数求解此类题的打破口：画图，一般是先画出它的草图；尔后确定积分的上、下限，确定被积函数，由定积分求出其面积，再由条件可找到关于参数的方程，进而可求出参数的值．（3〕与概率订交汇问题解决此类问题应先利用定积分求出相应平面图形的面积，再用相应概率公式进行计算.典例 2设抛物线C： y=x2与直线 l ： y=1围成的封闭图形为P，那么图形 P 的面积 S 等于A． 1B．13 C．2D．4 33【答案】 D2．正方形的四个极点( - 1，- 1) ， (1 ，- 1) ， (1,1)， ( - 1,1) 分别在抛物线 y =- x 2 和 = 2 上，ABC D y x 以以下图．假设将一个质点随机投入正方形ABCD 中，那么质点落在图中阴影地域的概率是________ ．考向三定积分的物理意义利用定积分解决变速直线运动与变力做功问题利用定积分解决变速直线运动问题和变力做功问题时，要点是求出物体做变速直线运动的速度函数和变力与位移之间的函数关系，确定好积分区间，获取积分表达式，再利用微积分根本定理计算即得所求 .典例 3 一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度 v(t ) 73t +25( t1 t的单位： s ， v 的单位： m/s) 行驶至停止．学 . 科在此期间汽车连续行驶的距离 ( 单位： m)是A ． 1＋25ln 5B ．8＋ 25ln113C ． 4＋25ln 5D ．4＋ 50ln 2【答案】 C5,0 x2, F 相同的方向，从 x =0 处运3．一物体在力 F ( x) =( 单位： N)的作用下沿与力3x 4, x2动到x =4( 单位： m)处，那么力( ) 做的功为 ________焦．F xπ1．cosxdxA ． 1B ． 2C ． 0D ．2．假设 f(x)x2211f ( x)dx ，那么f ( x)dx =A ．- 1B ．13C ．1D ．13π2，那么实数等于3．假设4 sin x a cos x dx2A ．B ． 2C ． 1D ．34．直线 y4x 与曲线 yx 3 在第一象限内围成的封闭图形的面积为A ． 2 2B ． 42C ．D ． 4a b1 2 23adxdx 5．定义dbc ，如1423 2，那么1c3 412A ． 6B ．3C ．3D ．0212xa 96．a2sin x dx ，那么二项式的张开式中的常数项为4 x2 x 2π 2A ．15B ．2182C ．5D ． 147．设实数 alog 2 3 ， b log 1 1 ， cπ1，那么32sin xdxA ． b a cB ． b c aC ． a bcD ． a cb．两曲线 ysin x ， ycos x 与两直线 x0 ，xπ所围成的平面地域的面积为82ππA ．2 (sin x cos x)d xB ． 24 (sin x cos x)dxππC ．2 (cos x sin x)d x D ． 2 4 (cos x sin x)d x9．在平面直角坐标系中，记抛物线y =x - x 2 与 x 轴所围成的平面地域为 M ，该抛物线与直线 y =kx ( k >0) 所围成的平面地域为A ，向地域 M 内随机扔掷一点P ，假设点 P 落在地域 A 内的概率为 8，那么 k 的值为27A ． 1B ． 233C ． 1D ． 32410．假设函数 f (x) 、 g(x) 满足10 ，那么称 f ( x) 、 g( x) 为区间 [ 1,1] 上的一组f ( x) g(x)dx1正交函数，给出三组函数：①f ( x sin 1x g x ) cos1 x ； ②)(22 f ( x) x 1, g( x)x 1；③ f ( x)x, g( x) x 2 . 其中为区间 [ 1,1] 的正交函数的组数是A ． 0B ．1C ． 2D ．311．在以以下图的正方形中随机扔掷10000 个点，那么落入阴影局部〔曲线C 的方程为x 2y 0 〕的点的个数的估计值为A． 5000B．6667 C． 7500D．785412．自由落体的运动速度v gt (g为常数)，那么当t1,2 时，物体下落的距离为13．f x12, x1,1 ，那么 f x dx __________ ．x2x21,x1,211．〔 20212( x1)dx年高考湖南卷〕．2．〔 2021年高考天津卷〕曲线y x2与直线 y x 所围成的封闭图形的面积为3．〔 2021 年高考山东卷〕执行以以下图的程序框图, 输出的T的值为．4．〔 2021 年高考福建卷〕如图, 点A的坐标为 (1,0),点C的坐标为(2,4),函数矩形 ABCD内随机取一点,那么此点取自阴影局部的概率等于．__________．．f( x)= x2. 假设在5．〔 2021 年高考陕西卷〕如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙聚积，以致水渠截面边界呈抛物线型〔图中虚线表示〕，那么原始的最大流量与当前最大流量的比值为．变式拓展1．【答案】 B【剖析】依照微积分根本定理得， S11x3 |127， S2ln x |12ln 2 ，S3e x|12e2 e .733又 ln 2<1<，e2e=e(e 1) > e，因此 S<S <S.选B.7213332．【答案】233．【答案】 36考点冲关1．【答案】 Cπsin x |0πsin π 00 ．【剖析】cosxdx2．【答案】 B1f (x)2=x，+ m 所2【解析】 令f ( x)dx=m， 那么 以112+2m)d x ( 1x32mx)|101 2mf ( x)dx= ( x33m ，解得 m111，应选 B.，因此 f ( x)dx=3 033．【答案】 B【解 析】由题意 可 知：πππ22 4sin x a cos x dx4acos xdx14sin xdx2a ，2结合题意有： 12 2 a 2，解得： a2 . 此题选择 B.2224．【答案】 DS2(2 x21x4) |024，应选 D .【剖析】由得， (4 x x 3)dx45．【答案】 D23【剖析】xdx2 xdx - 3=0．选 D.1=21126．【答案】 B【剖析】9xa22 x6 31C 91 221 [ 1cos x |22] =2，因此a2 4 x 2dxsin xdxπ 4π2π 29 rr的 展 开 式 中 的 常 数 项 为 ： C 9rx 2 ， 令 r =3 ， 得 常 数 项 为2x 22321 ．27．【答案】 C【 解 析】a log 2 3 log 2 2 1,0 b log 11 log 32 1,而32πcosx |0πcosπsin xdxcos01, log32 log31c ,选C.2 ,因此c3, 因此a b228．【答案】 Db 【方法点睛】此题主要观察定积分的几何意义，属于中档题 . 一般情况下，定积分df x xa 的几何意义是介于轴、曲线 y f x 以及直线x a, xb 之间的曲边梯形面积的代数和，其中在轴上方的面积等于该区间上的积分值，在轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数 , 因此在用定积分求曲边形面积时，必然要分清面积与定积分是相等还是互为相反数. 9．【答案】 A12121311 ，【剖析】∵的面积为(x)dx()M x x x02306A 的面积为 1 k x21x213kx2)1 k13，( x kx)dx (x(1k) 0232061(1 k)3, ∴k =1∴ 68，应选 A.1273610．【答案】 C有 2 组，应选 C. 11．【答案】 B【剖析】S 空白12 dx1 x 3 11 ，那么 ＝12 ，因此点落入阴影部S 阴影1 S 空白0 x3 |031332 22分的概率为 P36667 ，应选 B ． 1，进而所求点的个数估计为100003312．【答案】 3g221gt 2 |2 3g ． 【剖析】由定积分的物理意义可得，gtdt121213．【答案】π42 3【解析】由题 意 可得212π2x 3 π 42π 4f x dx1 2dx(x1)dxxx|1，答案为.111232 323【名师点睛】求定积分的题型，一种是：利用几何意义求面积，一般是圆；第二种是：求被积函数的原函数，用积分公式；第三种是：利用奇函数关于原点对称的区间的积分为 0.此题观察了第一种和第二种 .直通高考1．【答案】 021x2x) |21 42 0 . 【剖析】 ( x 1)dx (2212．【答案】6x 2)dx ( 1x21x 3 ) |11 1 11【剖析】由题意可得封闭图形的面积为( x.232 3 63．【答案】1164 ．【答案】512【剖析】依题意知点D的坐标为(1,4),因此矩形 ABCD的面积 S=1×4=4,阴影局部的面积 S2x2dx41x3|12475阴影 =4, 依照几何概型的概率计算公式得, 所求的概率1333P=S阴影55 .3S4125．【答案】【剖析】建立空间直角坐标系，以以下图：122 py (p 0)，原始的最大流量是10 10 2 2 2 16 ，设抛物线的方程为x2由于该抛物线过。
定积分与微积分基本定理
定积分与微积分基本定理[考纲传真] 1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念.2.了解微积分基本定理的含义．【知识通关】1．定积分的有关概念与几何意义(1)定积分的定义如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式∑n i ＝1f (ξi )Δx ＝∑ni ＝1 b －a n f (ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛a b f (x )d x ，即⎠⎛a b f (x )d x ＝lim n →∞∑n i ＝1 b －a nf (ξi )． 在⎠⎛ab f (x )d x 中，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式．(2)定积分的几何意义图形 阴影部分面积S ＝⎠⎛ab f (x )d xS ＝－⎠⎛ab f (x )d xS ＝⎠⎛a c f (x )d x －⎠⎛cb f (x )d xS ＝⎠⎛a b f (x )d x －⎠⎛a b g(x )d x ＝⎠⎛ab [f (x )－g(x )]d x 2.(1)⎠⎛a b kf (x )d x ＝k ⎠⎛ab f (x )d x (k 为常数)；(2)⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛ab f 2(x )d x ； (3)⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛ac f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x (其中a <c<b )． 3．微积分基本定理一般地，如果f (x )是在区间[a ，b ]上的连续函数，且F ′(x )＝f (x )，那么⎠⎛a b f (x )d x ＝F (b )－F (a )，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式． 其中F (x )叫做f (x )的一个原函数．为了方便，常把F (b )－F (a )记作F (x )|b a ，即⎠⎛ab f (x )d x ＝F (x )|b a ＝F (b )－F (a )． [常用结论]函数f (x )在闭区间[－a ，a ]上连续，则有(1)若f (x )为偶函数，则⎠⎛a －af (x )d x ＝2⎠⎛0a f (x )d x . (2)若f (x )为奇函数，则⎠⎛a －af (x )d x ＝0. 【基础自测】1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)设函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上连续，则⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛ab f (t )d t .( ) (2)定积分一定是曲边梯形的面积．( )(3)若⎠⎛ab f (x )d x ＜0，那么由y ＝f (x )的图象，直线x ＝a ，直线x ＝b 以及x 轴所围成的图形一定在x 轴下方．( )[答案] (1)√ (2)× (3)×2.⎠⎛01e x d x 的值等于( ) A ．eB ．1－eC ．e －1D .12(e －1) C3．已知质点的速率v ＝10t ，则从t ＝0到t ＝t 0质点所经过的路程是( )A ．10t 20B ．5t 20C .103t 20D .53t 20 B4．曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成的封闭图形的面积为________．16【题型突破】定积分的计算1．(2019·玉溪模拟)计算⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x d x 的值为( ) A .34B .32＋ln 2C .52＋ln 2 D ．3＋ln 2 B2．(2018·吉林三模)⎠⎛01|x －1|d x ＝( ) A ．1B ．2C ．3D .12 D3．设f (x )＝⎩⎨⎧ x 2，x ∈[0，1]，2－x ，x ∈(1，2]，则⎠⎛02f (x )d x 等于( ) A .34B .45C .56D ．不存在C4.⎠⎛0π(sin x －cos x )d x ＝________. 2 [方法总结] 1.运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点(1)对被积函数要先化简，再求积分．(2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和．(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值符号，再求积分．(4)注意用“F ′(x )＝f (x )”检验积分的对错．2．根据定积分的几何意义，可利用面积求定积分．定积分的几何意义【例1】 (1)(2019·皖南八校联考)用min{a ，b }表示a ，b 两个数中的最小值，设f (x )＝min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x ，x ⎝⎛⎭⎪⎫x ≥14，则由函数f (x )的图象，x 轴与直线x ＝14和直线x ＝2所围成的封闭图形的面积为________．(2)(2019·黄山模拟)已知曲线y ＝x 2与直线y ＝kx (k ＞0)所围成的曲边图形的面积为43，则k ＝________. (1)712＋ln 2 (2)2[方法总结] 利用定积分求平面图形面积的步骤(1)根据题意画出图形.(2)借助图形确定被积函数，求交点坐标，确定积分的上、下限.(3)把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和.(4)计算定积分，写出答案.易错警示：利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数.当图形的边界不同时，要分不同情况讨论.(1)曲线y ＝－x ＋2，y ＝x 与x 轴所围成的面积为________．(2)如图所示，由抛物线y ＝－x 2＋4x －3及其在点A(0，－3)和点B(3,0)处的切线所围成图形的面积为________．(1)76 (2)94定积分在物理中的应用【例2】 (1)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t(t 的单位：s ，v 的单位：m/s )行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( ) A ．1＋25ln 5 B ．8＋25ln 113C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 2 (2)(2019·渭南模拟)一物体在变力F (x )＝5－x 2(力单位：N ，位移单位：m)作用下，沿与F(x)成30°方向作直线运动，则由x＝1运动到x＝2时，F(x)做的功为()A. 3 JB.233JC.433J D．2 3 J(1)C(2)C[方法总结]定积分在物理中的两个应用(1)求物体做变速直线运动的路程，如果变速直线运动物体的速度为v＝v(t)，那么从时刻t＝a到t＝b所经过的路程s＝⎠⎛ab v(t)d t.(2)变力做功，一物体在变力F(x)的作用下，沿着与F(x)相同方向从x＝a运动到x＝b时，力F(x)所做的功是W＝⎠⎛ab F(x)d x.物体A以速度v＝3t＋1(t的单位：s，v的单位：m/s)在一直线上运动，在此直线上与物体A出发的同时，物体B在物体A的正前方5 m处以v＝10t(t的单位：s，v的单位：m/s)的速度与A同向运动，当两物体相遇时，相遇地与物体A的出发地的距离是________m.130。
【全国卷】2018高三理科数学总复习第十三节 定积分与微积分基本定理(理科用)(001)
第十三节定积分与微积分基本定理(理科用)【最新考纲】 1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念.2.了解微积分基本定理的含义．1．定积分的概念与几何意义(2)定积分的几何意义①当f(x)≥0时，定积分∫b a f(x)dx表示由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积．②当f(x)在[a，b]上有正有负时，如图所示，则定积分∫ba f(x)dx 表示介于x 轴，曲线y ＝f(x)以及直线x ＝a ，x ＝b(a ≠b)之间各部分曲线梯形面积的代数和，即∫ba f(x)dx ＝A 1＋A 3－A 2－A 4．2．定积分的性质(1)∫b a kf(x)dx ＝k ∫ba f(x)dx (k 为常数)． (2)∫b a [f 1(x)±f 2(x)]dx ＝∫ba f 1(x)dx ±∫b a f 2(x)dx . (3)∫b a f(x)dx ＝∫c a f(x)dx ＋∫bc f(x)dx(其中a<c<b)．3．微积分基本定理一般地，如果f(x)是在区间[a ，b]上的连续函数，且F ′(x)＝f(x)，那么∫ba f(x)dx ＝F(b)－F(a)，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．为了方便，常把F(b)－F(a)记作F(x)⎪⎪⎪ba，即∫b a f(x)dx ＝F(x)⎪⎪⎪b a＝F(b)－F(a)．1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)设函数y ＝f(x)在区间[a ，b]上连续，则∫ba f(x)dx ＝∫baf(t)dt.( )(2)若f(x)是偶函数，则∫a －a f(x)dx ＝2∫a0f(x)dx.( ) (3)若f(x)是奇函数，则∫a－a f(x)dx ＝0.( )(4)曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成的面积是∫10(x 2－x)dx.( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)×2．已知质点的速率v ＝10t ，则从t ＝0到t ＝t 0质点所经过的路程是( )A ．10t 20 B ．5t 20C.103t 20D.53t 20 解析：答案：B3．(2015·湖南卷)∫20(x －1)dx ＝________．解析：∫20(x －1)dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－x |20＝12×22－2＝0. 答案：04．(2015·天津卷)曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成的封闭图形的面积为________．解析：如图，阴影部分的面积即为所求．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝x ，得A(1，1)． 故所求面积为S ＝∫10(x －x 2)dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－13x 3|10＝16.答案：165．若∫T0x 2dx ＝9，则常数T 的值为________．解析：∵∫T 0x 2dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3|T 0＝T 33＝9，∴T ＝3.答案：3一种关系由微积分基本定理可知求定积分的关键是求被积函数的原函数，由此可知，求导与积分是互为逆运算的关系．两种方法求定积分的两种常用方法：一是利用微积分基本定理；二是利用定积分的几何意义．四点注意1．被积函数若含有绝对值号，应先去绝对值号，再分段积分． 2．若积分式子中有几个不同的参数，则必须先分清谁是被积变量．3．定积分式子中隐含的条件是积分上限大于积分下限． 4．定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可以为负．一、选择题1．(2014·山东卷)直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )A ．22B ．4 2C ．2D ．4 解析：令4x ＝x 3，解得x ＝0或x ＝±2，∴S ＝∫20(4x －x 3)＝⎝⎛⎭⎪⎫2x 2－x 44|20＝8－4＝4.答案：D2．从空中自由下落的一物体，在第一秒末恰经过电视塔顶，在第二秒末物体落地，已知自由落体的运动速度为v ＝gt(g 为常数)，则电视塔高为( )A.12g B ．g C.32g D ．2g 解析：电视塔高h ＝∫21gtdt ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12gt 2|21＝32g.答案：C3．(2016·河北五校联考)若f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x>0x ＋∫a 03t 2dt ，x ≤0， f(f(1))＝1，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－1 D ．－2解析：因为f(1)＝lg 1＝0，f(0)＝∫a03t 2dt ＝t 3|a0＝a 3， 所以由f(f(1))＝1得：a 3＝1，a ＝1.答案：A4．(2015·福建卷改编)如图，点A 的坐标为(1，0)，点C 的坐标为(2，4)，函数f(x)＝x 2.若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于()A.712B.512C.35D.310解析：S ＝∫21(4－x 2)dx ＝⎝⎛⎭⎪⎫4x －13x 3|21＝53，∴所求概率P ＝S S 矩形ABCD ＝531×4＝512.答案：B5．若S 1＝∫21x 2dx ，S 2＝∫211xdx ，S 3＝∫21e x dx ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )A ．S 1<S 2<S 3B ．S 2<S 1<S 3C ．S 2<S 3<S 1D ．S 3<S 2<S 1解析：S 1＝∫21x 2dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3|21＝13×23－13＝73，S 2＝∫211xdx ＝ln x |21＝ln 2，S 3＝∫21e x dx ＝e x |21＝e 2－e ＝e(e －1)，ln 2<ln e ＝1，且73<2.5<e(e－1)．所以ln 2<73<e(e －1)，即S 2<S 1<S 3.答案：B6．(2016·唐山一中调研)直线l 的方向向量为n ＝(4，3)且过抛物线x 2＝4y 的焦点，则直线l 与抛物线围成的封闭图形的面积为( )A.858B.12524C.12512D.38524解析：由题可得直线l 的斜率为34，抛物线的焦点为(0，1)，所以直线l 的方程为y －1＝34(x －0)⇒y ＝34x ＋1.联立直线与抛物线方程⎩⎨⎧x 2＝4yy ＝34x ＋1⇒x ＝－1，x ＝4，则可知直线l 与抛物线围成的封闭图形的面积为∫ 4－1⎝ ⎛⎭⎪⎫34x ＋1－14x 2dx ＝12524. 答案：B二、填空题7．(2016·江西八校联考)∫3－3(x 3cos x)dx ＝________．解析：∵y ＝x 3cos x 为奇函数，∴∫3－3(x 3cos x)dx ＝0.故答案为0. 答案：08．设a>0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________．解：求曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积，封闭图形如图所示，则∫axdx ＝23x 32|a 0＝23a 32－0＝a 2，解得a ＝49.答案：499．设变力F(x)作用在质点M 上，使M 沿x 轴正向从x ＝1运动到x ＝10，已知F(x)＝x 2＋1且方向和x 轴正向相同，则变力F(x)对质点M 所做的功为________J(x 的单位：m ，力的单位：N)．解析：变力F(x)＝x 2＋1使质点M 沿x 轴正向从x ＝1运动到x ＝10所做的功为W ＝∫101F(x)dx ＝∫101(x 2＋1)dx＝⎝⎛⎭⎪⎫13x 3＋x |101＝342(J)． 答案：342 三、解答题10．设函数f(x)＝ax 2＋c(a ≠0)，∫10f(x)dx ＝f(x 0)，0≤x 0≤1，求x 0的值．解：∫10f(x)dx ＝∫10(ax 2＋c)dx＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ax 33＋cx |10＝a3＋c ，故a 3＋c ＝ax 20＋c ，即ax 20＝a 3，又a ≠0， 所以x 20＝13，又0≤x 0≤1，所以x 0＝33.10．(2015·陕西卷改编)如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示)，求原始的最大流量与当前最大流量的比值．解：建立如图所示的直角坐标系，可设抛物线的方程为x 2＝2py(p>0)，由图易知(5，2)在抛物线上，可得p ＝254，抛物线方程为x 2＝252y ，所以当前最大流量对应的截面面积为 2∫50(2－225x 2)dx ＝403，原始的最大流量对应的截面面积为2×（6＋10）2＝16.所以原始的最大流量与当前最大流量的比值为16403＝1.2.导数应用中的高考热点题型函数是中学数学的核心内容，而导数是研究函数的重要工具，因此，导数的应用是历年高考的重点与热点，常涉及的问题有：求单调区间、求极值、求最值、求函数的零点或方程的根、求参数的范围，证明不等式等，涉及到的数学思想方法有：函数与方程、分类讨论、数形结合、转化与化归思想等．中、高档难度题型均有．热点1 利用导数研究函数的单调性与极值、最值问题．函数的单调性、极值是局部概念，函数的最值是整体概念，研究函数的性质，必须在定义域内进行，因此，务必遵循定义域优先的原则，本热点主要有三种考查方式：(1)判断函数的单调性或求单调区间；(2)求函数的极值或最值；(3)利用函数的单调性、极值、最值，求参数的范围．(2015·课标全国Ⅱ卷)已知函数f(x)＝ln x ＋a(1－x)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围．解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝1x－a. 当a ≤0，则f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．若a>0，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x)>0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x)<0. 所以f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减． (2)由(1)知，当a ≤0时，f(x)在(0，＋∞)上无最大值；当a>0时，f(x)在x ＝1a处取得最大值，最大值为 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a ＝－ln a ＋a －1. 因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a >2a －2等价于ln a ＋a －1<0. 令g(a)＝ln a ＋a －1，则g(a)在(0，＋∞)上单调递增，g(1)＝0. 于是，当0<a<1时，g(a)<0；当a>1时，g(a)>0.因此，a 的取值范围是(0，1)．1．判断函数的单调性，求函数的单调区间、极值等问题，最终归结到判断f′(x)的符号问题上，而f′(x)>0或f′(x)<0，最终可转化为一个一元一次或一元二次不等式问题．2．若已知f(x)的单调性，则转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题求解．【变式训练】 已知函数f(x)＝x 3＋ax 2－x ＋c ，且a ＝f′⎝ ⎛⎭⎪⎫23. (1)求a 的值；(2)求函数f(x)的单调区间；(3)设函数g(x)＝(f(x)－x 3)·e x ，若函数g(x)在x ∈[－3，2]上单调递增，求实数c 的取值范围．解：(1)由f(x)＝x 3＋ax 2－x ＋c ，得f′(x)＝3x 2＋2ax －1.当x ＝23时，得a ＝f′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋2a ×23－1， 解之，得a ＝－1.(2)由(1)可知f(x)＝x 3－x 2－x ＋c.则f′(x)＝3x 2－2x －1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13(x －1), 列表如下：所以f(x)的单调递增区间是(－∞，－13)和(1，＋∞)； f(x)的单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1. (3)函数g(x)＝(f(x)－x 3)·e x ＝(－x 2－x ＋c)·e x ，有g′(x)＝(－2x －1)e x ＋(－x 2－x ＋c)e x＝(－x 2－3x ＋c －1)e x ，因为函数g(x)在x ∈[－3，2]上单调递增，所以h(x)＝－x 2－3x ＋c －1≥0在x ∈[－3，2]上恒成立．只要h(2)≥0，解得c ≥11，所以c 的取值范围是[11，＋∞)．热点2 利用导数研究函数的零点或曲线交点问题研究函数零点的本质就是研究函数的极值的正负，为此，我们可以通过讨论函数的单调性来解决，其主要考查方式有：(1)确定函数的零点、图象交点的个数；(2)由函数的零点、图象交点的情况求参数的取值范围．设函数f(x)＝ln x＋mx，m∈R.(1)当m＝e(e为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值；(2)讨论函数g(x)＝f′(x)－x3零点的个数．解：(1)由题设，当m＝e时，f(x)＝ln x＋ex，则f′(x)＝x－ex2，由f′(x)＝0，得x＝e.∴当x∈(0，e)，f′(x)<0，f(x)在(0，e)上单调递减，当x∈(e，＋∞)，f′(x)>0，f(x)在(e，＋∞)上单调递增，∴当x＝e时，f(x)取得极小值f(e)＝ln e＋ee＝2，∴f(x)的极小值为2.(2)由题设g(x)＝f′(x)－x3＝1x－mx2－x3(x>0)，令g(x)＝0，得m＝－13x3＋x(x>0)．设φ(x)＝－13x3＋x(x≥0)，则φ′(x)＝－x2＋1＝－(x－1)(x＋1)，当x∈(0，1)时，φ′(x)>0，φ(x)在(0，1)上单调递增；当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)<0，φ(x)在(1，＋∞)上单调递减．∴x＝1是φ(x)唯一极值点，且是极大值点，因此x＝1也是φ(x)的最大值点．∴φ(x)的最大值为φ(1)＝23. 又φ(0)＝0，结合y ＝φ(x)的图象(如图)，可知①当m>23时，函数g(x)无零点； ②当m ＝23时，函数g(x)有且只有一个零点； ③当0<m<23时，函数g(x)有两个零点； ④当m ≤0时，函数g(x)有且只有一个零点．综上所述，当m>23时，函数g(x)无零点； 当m ＝23或m ≤0时，函数g(x)有且只有一个零点； 当0<m<23时，函数g(x)有两个零点．用导数研究函数的零点，常用两种方法：一是用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；二是将零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决．热点3 利用导数研究不等式问题(满分现场)导数在不等式中的应用问题是每年高考的必考内容，且以解答题的形式考查，难度较大，属中高档题．归纳起来常见的命题角度有：(1)证明不等式；(2)不等式恒成立问题；(3)存在型不等式成立问题．(理)(2015·课标全国Ⅰ卷)(本小题满分12分)设函数f(x)＝e 2x －aln x.(1)讨论f(x)的导函数f′(x)零点的个数；(2)证明：当a>0时，f(x)≥2a ＋aln 2a. 规范解答：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝2e 2x－a x (x>0).2分 当a ≤0时，f ′(x)>0，f ′(x)没有零点；3分当a>0时，设u(x)＝e 2x，v(x)＝－a x ， 因为u(x)＝e 2x在(0，＋∞)上单调递增，v(x)＝－a x 在(0，＋∞)上单调递增．所以f′(x)在(0，＋∞)上单调递增．又f′(a)>0，当b 满足0<b<a 4且b<14时，f ′(b)<0， 故当a>0时，f ′(x)存在唯一零点.6分(2)证明：由(1)，可设f′(x)在(0，＋∞)上的唯一零点为x 0，当x ∈(0，x 0)时，f ′(x)<0；当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x)>0.故f(x)在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增， 所以当x ＝x 0时，f(x)取得最小值，最小值为f(x 0).9分由于2e2x 0－a x 0＝0， 所以f(x 0)＝a 2x 0＋2ax 0＋aln 2a ≥2a ＋aln 2a. 故当a>0时，f(x)≥2a ＋aln 2a.12分 【满分规则】(1)本题易失分点是①忽视f(x)的定义域；②忽视当a≤0时，f′(x)>0的情况；③求解使f′(b)<0的b所满足的约束条件；④用f′(x0)＝0，求解f(x0)的表达式．(2)得满分的原则①讨论函数的性质应首先求出函数的定义域；②当解析式中含有参数时，应注意分类讨论；③准确计算，正确推理、论证，并用规范的文字语言、符号语言进行表述．【构建模板】第一步：求函数f(x)的导函数f′(x)；第二步：分类讨论f′(x)的单调性；第三步：判断f′(x)零点的个数；第四步：证明f(x)在f′(x)的零点取到最小值．第五步：求出f(x)最小值的表达式，证明结论成立；第六步：反思回顾，查看关键点、易错点和解题规范．【变式训练】(2014·课标全国Ⅰ卷)设函数f(x)＝aln x＋1－a2x2－bx(a≠1)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为0.(1)求b；(2)若存在x0≥1，使得f(x0)<aa－1，求a的取值范围．解：(1)f′(x)＝ax＋(1－a)x－b.由题设知f′(1)＝0，解得b＝1.(2)f(x)的定义域为(0，＋∞)，由(1)知，f(x)＝aln x ＋1－a 2x 2－x ， f ′(x)＝a x ＋(1－a)x －1＝1－a x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 1－a (x －1)． ①若a ≤12，则a 1－a≤1，故当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x)>0，f(x)在(1，＋∞)上单调递增．所以，存在x 0≥1，使得f(x 0)<a a －1的充要条件为 f(1)<a a －1，即1－a 2－1<a a －1， 解得－2－1<a<2－1.②若12<a<1，则a 1－a>1， 故当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，a 1－a 时，f ′(x)<0； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ，＋∞时，f ′(x)>0. f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，a 1－a 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ，＋∞上单调递增． 所以存在x 0≥1，使得f(x 0)<a a －1的充要条件为 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a <a a －1. 而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ＝aln a 1－a ＋a 22（1－a ）＋a a －1>a a －1，所以不合题意． ③若a>1，则f(1)＝1－a 2－1＝－a －12<a a －1恒成立，所以a>1.综上，a 的取值范围是(－2－1，2－1)∪(1，＋∞)．1．(2014·课标全国Ⅱ卷)已知函数f(x)＝e x－e－x－2x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)设g(x)＝f(2x)－4bf(x)，当x>0时，g(x)>0，求b的最大值．解：(1)f′(x)＝e x－e－x－2≥0，等号仅当x＝0时成立，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．(2)g(x)＝f(2x)－4bf(x)＝e2x－e－2x－4b(e x＋e－x)＋(8b－4)x，g′(x)＝2[e2x＋e－2x－2b(e x＋e－x)＋(4b－2)]＝2(e x＋e－x－2)(e x＋e－x－2b＋2)．①当b≤2时，g′(x)≥0，等号仅当x＝0时成立，所以g(x)在(－∞，＋∞)单调递增．而g(0)＝0，所以对任意x>0，g(x)>0；②当b>2时，若x满足2<e x＋e－x<2b－2，即0<x<ln(b－1＋b2－2b)时，g′(x)<0.而g(0)＝0，因此当0<x<ln(b－1＋b2－2b)时，g(x)<0.综上，b的最大值为2.2．已知函数f(x)＝e x(x2＋ax－a)，其中a是常数．(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)若存在实数k，使得关于x的方程f(x)＝k在[0，＋∞)上有两个不相等的实数根，求k的取值范围．解：(1)由f(x)＝e x(x2＋ax－a)可得f′(x)＝e x[x2＋(a＋2)x]．当a＝1时，f(1)＝e，f′(1)＝4e.所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－e＝4e(x－1)，即y ＝4ex －3e.(2)令f′(x)＝e x [x 2＋(a ＋2)x]＝0，解得x ＝－(a ＋2)或x ＝0.当－(a ＋2)≤0，即a ≥－2时，在区间[0，＋∞)上，f ′(x)≥0， 所以f(x)是[0，＋∞)上的增函数，所以方程f(x)＝k 在[0，＋∞)上不可能有两个不相等的实数根． 当－(a ＋2)>0，即a<－2时，f ′(x)，f(x)随x 的变化情况如下表：由上表可知函数f(x)在[0，＋∞)上的最小值为f(－(a ＋2))＝a ＋4ea ＋2. 因为函数f(x)是(0，－(a ＋2))上的减函数，是(－(a ＋2)，＋∞)上的增函数，且当x ≥－a 时，有f(x)≥e －a (－a)>－a ，又f(0)＝－a.所以要使方程f(x)＝k 在[0，＋∞)上有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤a ＋4e a ＋2，－a . 3．已知函数f(x)＝x 2－ln x －ax ，a ∈R.(1)当a ＝1时，求f(x)的最小值；(2)若f(x)>x ，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，f(x)＝x 2－ln x －x ，f ′(x)＝（2x ＋1）（x －1）x. 当x ∈(0，1)时，f ′(x)<0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x)>0.所以f(x)的最小值为f(1)＝0. (2)由f(x)>x，得f(x)－x＝x2－ln x－(a＋1)x>0.由于x>0，所以f(x)>x等价于x－ln xx>a＋1.令g(x)＝x－ln xx，则g′(x)＝x2－1＋ln xx2.当x∈(0，1)时，g′(x)<0；当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0.故g(x)有最小值g(1)＝1.故a＋1<1，即a的取值范围是(－∞，0)．4．已知函数f(x)＝ax＋xln x的图象在点x＝e(e为自然对数的底数)处的切线斜率为3.(1)求实数a的值；(2)若k∈Z，且k<f（x）x－1对任意x>1恒成立，求k的最大值．解：(1)因为f(x)＝ax＋xln x，所以f′(x)＝a＋ln x＋1.因为函数f(x)＝ax＋xln x的图象在点x＝e处的切线斜率为3，所以f′(e)＝3，即a＋ln e＋1＝3，所以a＝1.(2)由(1)知，f(x)＝x＋xln x，又k<f（x）x－1对任意x>1恒成立，即k<x＋xln xx－1对任意x>1恒成立．令g(x)＝x＋xln x x－1，则g′(x)＝x－ln x－2（x－1）2，令h(x)＝x－ln x－2(x>1)，则h′(x)＝1－1x＝x－1x>0，所以函数h(x)在(1，＋∞)上单调递增．因为h(3)＝1－ln 3<0，h(4)＝2－2ln 2>0，所以方程h(x)＝0在(1，＋∞)上存在唯一实根x0，且满足x0∈(3，4)．当1<x<x0时，h(x)<0，即g′(x)<0，当x>x0时，h(x)>0，即g′(x)>0，所以函数g(x)＝x＋xln xx－1在(1，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增，所以[g(x)]min＝g(x0)＝x0（1＋ln x0）x0－1＝x0（1＋x0－2）x0－1＝x0∈(3，4)．所以k<[g(x)]min＝x0∈(3，4) ，故整数k的最大值为3.5．(2016·贵阳期末)已知函数f(x)＝ax－ae x(a∈R，a≠0)．(1)当a＝－1时，求函数f(x)的极值；(2)若函数F(x)＝f(x)＋1没有零点，求实数a的取值范围．解：(1)当a＝－1时，f(x)＝－x＋1e x，f′(x)＝x－2e x.由f′(x)＝0，得x＝2.当x变化时f′(x)，f(x)的变化情况如下表：所以，函数f(x)的极小值为f(2)＝－1e 2，函数f(x)无极大值． (2)F′(x)＝f′(x)＝ae x －（ax －a ）e x e 2x ＝－a （x －2）e x. ①当a<0时，F(x)，F ′(x)的变化情况如下表：若使函数F(x)没有零点，当且仅当F(2)＝a e 2＋1>0， 解得a>－e 2，所以此时－e 2<a<0；②当a>0时，F(x)，F ′(x)的变化情况如下表：因为F(2)>F(1)>0，且F(1－10a )＝e1－10a －10e1－10a <e －10e1－10a<0， 所以此时函数F(x)总存在零点．综上所述，所求实数a 的取值范围是(－e 2，0)．。
2018届高考第三章 第3讲定积分与微积分基本定理
a
又叫做牛顿—莱布尼茨公式.可以把 F(b)－F(a)记为 F(x)
b b F(b)－F(a) 即 f(x)dx＝F(x) ＝__________. a
a
b ， a
基础诊断 考点突破 课堂总结
T 2 4.若 则常数 T 的值为________. x dx＝9，
0
解析
1 3 1 3 3 T 2 x dx= x = ×T ＝9. ∴T ＝27, ∴T＝3. 3 0 3
0
T
答案 3
基础诊断
考点突破
课堂总结
5.已知
2 x （－1≤x≤0）， 1 f(x)＝ 则 1 （0<x≤1）， －
有正有负 位于 x 轴下方的曲边梯形的面积
基础诊断
考点突破
课堂总结
2.定积分的性质
a
b k f(x)dx b (1) k 为常数). kf(x)dx＝___________( a b f1(x)dx± f2(x)dx b (2) f ( x )]d x ＝ _________________. [f1(x)± a a 2
第3讲
定积分与微积分基本定理
基础诊断
考点突破
课堂总结
最新考纲
1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本
思想，了解定积分的概念，几何意义；2.了解微积分基本 定理的含义.
基础诊断
考点突破
课堂总结
知识梳理
1.定积分的概念与几何意义 (1)定积分的定义 如果函数 f(x)在区间[a，b]上连续，用分点将区间[a，b]等分成 n 个小区间，在每个小区间上任取一点 ξi(i＝1，2，„，n)，作
2018届高三数学一轮复习：定积分与微积分的基本定理知识点归纳总结
1．定积分(1)定积分的相关概念在∫b a f(x)d x中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)d x叫做被积式．(2)定积分的几何意义①当函数f(x)在区间[a，b]上恒为正时，定积分∫b a f(x)d x的几何意义是由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积(左图中阴影部分)．②一般情况下，定积分∫b a f(x)d x的几何意义是介于x轴、曲线f(x)以及直线x＝a，x＝b之间的曲边梯形面积的代数和(右上图中阴影所示)，其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．(3)定积分的基本性质①∫b a kf(x)d x＝k∫b a f(x)d x.②∫b a[f1(x)±f2(x)]d x＝∫b a f1(x)d x±∫b a f2(x)d x.③∫b a f(x)d x＝∫c a f(x)d x＋∫b c f(x)d x.[探究] 1.若积分变量为t，则∫b a f(x)d x与∫b a f(t)d t是否相等？提示：相等．2．一个函数的导数是唯一的，反过来导函数的原函数唯一吗？提示：一个函数的导数是唯一的，而导函数的原函数则有无穷多个，这些原函数之间都相差一个常数，在利用微积分基本定理求定积分时，只要找到被积函数的一个原函数即可，并且一般使用不含常数的原函数，这样有利于计算．3．定积分∫b a[f(x)－g(x)]d x(f(x)>g(x))的几何意义是什么？提示：由直线x＝a，x＝b和曲线y＝f(x)，y＝g(x)所围成的曲边梯形的面积．2．微积分基本定理如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么∫b a f(x)d x＝F(b)－F(a)，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼兹公式．为了方便，常把F(b)－F(a)记成F(x)|b a，即∫baf(x)d x＝F(x)|b a＝F(b)－F(a)．[自测·牛刀小试]1.∫421x d x等于()A．2ln 2B．－2ln 2 C．－ln 2 D．ln 2解析：选D ∫421xd x ＝ln x |42＝ln 4－ln 2＝ln 2. 2．(教材习题改编)一质点运动时速度和时间的关系为V (t )＝t 2－t ＋2，质点作直线运动，则此物体在时间[1,2]内的位移为( )A.176B.143C.136D.116解析：选A S ＝∫21(t 2－t ＋2)d t ＝⎝⎛⎪⎪⎭⎫13t 3－12t 2＋2t 21＝176. 3．(教材习题改编)直线x ＝0，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝x 2所围成的曲边梯形的面积为________． 解析：∫20x 2d x ＝13x 3 |20＝83. 答案：834．(教材改编题)∫101－x 2d x ＝________.解析：由定积分的几何意义可知，∫101－x 2d x 表示单位圆x 2＋y 2＝1在第一象限内部分的面积，所以∫101－x 2d x ＝14π. 答案：14π5．由曲线y ＝1x ，直线y ＝－x ＋52所围成的封闭图形的面积为________．解析：作出图象如图所示．解方程组可得交点为A ⎝⎛⎭⎫12，2，B ⎝⎛⎭⎫2，12，所以阴影部分的面积， 212⎰⎝⎛ －x ＋52－⎭⎫1x d x ＝⎝⎛⎭⎫－12x 2＋52x －ln x 212＝158－2ln 2. 答案：158－2ln 2[例1] 利用微积分基本定理求下列定积分：(1)∫21(x 2＋2x ＋1)d x ；(2)∫π0(sin x －cos x )d x ；(3)∫20x (x ＋1)d x ；(4)∫21⎝⎛⎭⎫e 2x ＋1x d x ； (5)20π⎰sin 2x 2d x .[自主解答](1)∫21(x 2＋2x ＋1)d x ＝∫21x 2d x ＋∫212x d x ＋∫211d x ＝x 33|21＋x 2 |21＋x |21＝193. (2)∫π0(sin x －cos x )d x＝∫π0sin x d x －∫π0cos x d x ＝(－cos x ) |π0－sin x |π0＝2. (3)∫20x (x ＋1)d x ＝∫20(x 2＋x )d x＝∫20x 2d x ＋∫2x d x ＝13x 3 |20＋12x 2 |20 ＝⎝⎛⎭⎫13×23－0＋⎝⎛⎭⎫12×22－0＝143. (4)∫21⎝⎛⎭⎫e 2x ＋1x d x ＝∫21e 2x d x ＋∫211x d x ＝12e 2x |21＋ln x |21＝12e 4－12e 2＋ln 2－ln 1 ＝12e 4－12e 2＋ln 2. (5)20π⎰ sin 2x 2d x ＝20π⎰⎝⎛⎭⎫12－12cos x d x ＝20π⎰12d x －1220π⎰cos x d x ＝12x 20π－12sin x 20π＝π4－12＝π－24. ———————————————————求定积分的一般步骤计算一些简单的定积分，解题的步骤是：(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差； (2)把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分； (3)分别用求导公式找到一个相应的原函数； (4)利用牛顿—莱布尼兹公式求出各个定积分的值； (5)计算原始定积分的值．1．求下列定积分： (1)∫20|x －1|d x ； (2)20π⎰1－sin 2x d x .解：(1)|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x ， x ∈[0，1)x －1， x ∈[1，2]故∫20|x －1|d x ＝∫10(1－x )d x ＋∫21(x －1)d x＝⎝⎛⎭⎫x －x 22 |10＋⎝⎛⎭⎫x 22－x |21＝12＋12＝1.(2) 20π⎰1－sin 2x d x＝20π⎰|sin x －cos x |d x ＝40π⎰(cos x －sin x )d x ＋24ππ⎰(sin x －cos x )d x＝(sin x ＋cos x )40π＋(－cos x －sin x ) 24ππ＝2－1＋(－1＋2)＝22－2.[例2] ∫10－x 2＋2x d x ＝________.[自主解答] ∫10－x 2＋2x d x 表示y ＝－x 2＋2x 与x ＝0，x ＝1及y ＝0所围成的图形的面积．由y ＝－x 2＋2x 得(x －1)2＋y 2＝1(y ≥0)， 又∵0≤x ≤1，∴y ＝－x 2＋2x 与x ＝0，x ＝1及y ＝0所围成的图形为14个圆，其面积为π4.∴∫10－x 2＋2x d x ＝π4.在本例中，改变积分上限，求∫20－x 2＋2x d x 的值．解：∫20－x 2＋2x d x 表示圆(x －1)2＋y 2＝1在第一象限内部分的面积，即半圆的面积，所以∫20－x 2＋2x d x ＝π2.———————————————————利用几何意义求定积分的方法(1)当被积函数较为复杂，定积分很难直接求出时，可考虑用定积分的几何意义求定积分． (2)利用定积分的几何意义，可通过图形中面积的大小关系来比较定积分值的大小．2．(2013·福建模拟)已知函数f (x )＝∫x 0(cos t －sin t )d t (x >0)，则f (x )的最大值为________．解析：因为f (x )＝∫x 02sin ⎝⎛⎭⎫π4－t d t ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π4－t |x 0＝2cos ⎝⎛⎭⎫π4－x －2cos π4 ＝sin x ＋cos x －1＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4－1≤2－1， 当且仅当sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝1时，等号成立．[例3] (2012·山东高考)由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为( ) A.103 B ．4 C.163D ．6[自主解答] 由y ＝x 及y ＝x －2可得，x ＝4，即两曲线交于点(4,2)．由定积分的几何意义可知，由y ＝x 及y ＝x －2及y 轴所围成的封闭图形面积为∫40(x －x ＋2)d x ＝⎝⎛⎭⎫23x 32－12x 2＋2x |40＝163. [答案] C若将“y ＝x －2”改为“y ＝－x ＋2”，将“y 轴”改为“x 轴”，如何求解？解：如图所示，由y ＝x 及y ＝－x ＋2可得x ＝1.由定积分的几何意义可知，由y ＝x ，y ＝－x ＋2及x 轴所围成的封闭图形的面积为∫20f (x )d x ＝∫1x d x ＋∫21(－x ＋2)d x ＝23x32 |10＋⎝⎛⎭⎫2x －x 22 |21 ＝76.———————————————————利用定积分求曲边梯形面积的步骤(1)画出曲线的草图．(2)借助图形，确定被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限． (3)将“曲边梯形”的面积表示成若干个定积分的和或差． (4)计算定积分，写出答案．3．(2013·郑州模拟)如图，曲线y ＝x 2和直线x ＝0，x ＝1，y ＝14所围成的图形(阴影部分)的面积为( )A.23 B.13 C.12D.14解析：选D 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝14，y ＝x 2⇒x ＝12或x ＝－12(舍)，所以阴影部分面积S ＝120⎰⎝⎛⎭⎫14－x 2d x ＋112⎰⎝⎛⎭⎫x 2－14d x＝⎝⎛⎭⎫14x －13x 3120＋⎝⎛⎭⎫13x 3－14x 112＝14.[例4] 列车以72 km/h 的速度行驶，当制动时列车获得加速度a ＝－0.4 m/s 2，问列车应在进站前多长时间，以及离车站多远处开始制动？[自主解答] a ＝－0.4 m/s 2，v 0＝72 km/h ＝20 m/s. 设t s 后的速度为v ，则v ＝20－0.4t . 令v ＝0，即20－0.4 t ＝0得t ＝50 (s)． 设列车由开始制动到停止所走过的路程为s ，则s ＝∫500v d t ＝∫500(20－0.4t )d t＝(20t －0.2t 2) |500＝20×50－0.2×502＝500(m)，即列车应在进站前50 s 和进站前500 m 处开始制动． ———————————————————1．变速直线运动问题如果做变速直线运动的物体的速度v 关于时间t 的函数是v ＝v (t )(v (t )≥0)，那么物体从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的路程为∫b a v (t )d t ；如果做变速直线运动的物体的速度v 关于时间t 的函数是v ＝v (t )(v (t )≤0)，那么物体从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的路程为－∫b a v (t )d t .2．变力做功问题物体在变力F (x )的作用下，沿与力F (x )相同方向从x ＝a 到x ＝b 所做的功为∫b a F (x )d x .4．一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10 (0≤x ≤2)3x ＋4 (x >2)(单位：N)的作用下沿与力F (x )相同的方向运动了4米，力F (x )做功为( )A ．44 JB ．46 JC ．48 JD ．50 J解析：选B 力F (x )做功为∫2010d x ＋∫42(3x ＋4)d x＝10x |20＋⎝⎛⎪⎪⎭⎫32x 2＋4x 42＝20＋26＝46.1个定理——微积分基本定理由微积分基本定理可知求定积分的关键是求导函数的原函数，由此可知，求导与积分是互为逆运算． 3条性质——定积分的性质 (1)常数可提到积分号外； (2)和差的积分等于积分的和差； (3)积分可分段进行．3个注意——定积分的计算应注意的问题(1)若积分式子中有几个不同的参数，则必须分清谁是积分变量； (2)定积分式子中隐含的条件是积分上限不小于积分下限； (3)面积非负， 而定积分的结果可以为负.易误警示——利用定积分求平面图形的面积的易错点[典例] (2012·上海高考)已知函数y ＝f (x )的图象是折线段ABC ，其中A (0,0)，B ⎝⎛⎭⎫12，5，C (1,0)．函数y ＝xf (x )(0≤x ≤1)的图象与x 轴围成的图形的面积为________．[解析] 由题意可得f (x )＝⎩⎨⎧10x ，0≤x ≤12，10－10x ，12<x ≤1，所以y ＝xf (x )＝⎩⎨⎧10x 2，0≤x ≤12，10x －10x 2，12<x ≤1，与x 轴围成图形的面积为120⎰10x 2d x ＋112⎰(10x －10x 2)d x ＝103x 3120＋⎝⎛⎭⎫5x 2－103x 3112＝54. [答案] 54[易误辨析]1．本题易写错图形面积与定积分间的关系而导致解题错误．2．本题易弄错积分上、下限而导致解题错误，实质是解析几何的相关知识和运算能力不够致错． 3．解决利用定积分求平面图形的面积问题时，应处理好以下两个问题： (1)熟悉常见曲线，能够正确作出图形，求出曲线交点，必要时能正确分割图形； (2)准确确定被积函数和积分变量． [变式训练]1．由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形面积为( )A.112 B.14 C.13D.712解析：选A 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝x 3，得x ＝0或x ＝1，由图易知封闭图形的面积＝∫10(x 2－x 3)d x ＝13－14＝112.2．(2012·山东高考)设a >0.若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________.解析：由题意∫a 0x d x ＝a 2.又⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32′＝x ，即23x 32 |a 0＝a 2， 即23a 32＝a 2.所以a ＝49. 答案：49一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1.∫e 11＋ln x x d x ＝( ) A ．ln x ＋12ln 2xB.2e －1 C.32 D.12解析：选C∫e 11＋ln x xd x ＝⎝⎛⎭⎫ln x ＋ln 2x 2e 1＝32. 2．(2012·湖北高考)已知二次函数y ＝f (x )的图象如图所示，则它与x 轴所围图形的面积为( )A.2π5 B.43 C.32D.π2解析：选B 由题中图象易知f (x )＝－x 2＋1，则所求面积为2∫10(－x 2＋1)d x ＝2⎝⎛⎭⎫－x 33＋x 1＝43.3．设函数f (x )＝ax 2＋b (a ≠0)，若∫30f (x )d x ＝3f (x 0)，则x 0等于( ) A ．±1 B. 2 C ．±3D ．2解析：选C ∫30f (x )d x ＝∫30(ax 2＋b )d x ＝⎝⎛⎭⎫13ax 3＋bx 30＝9a ＋3b ， 则9a ＋3b ＝3(ax 20＋b )， 即x 20＝3，x 0＝±3.4．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2， x ∈[0，1]，2－x ， x ∈(1，2]，则∫20f (x )d x ＝( )A.34 B.45 C.56D ．不存在解析：选C 如图．∫20f (x )d x ＝∫10x 2d x ＋∫21(2－x )d x＝13x 3 |10＋⎝⎛⎭⎫2x －12x 2 |21 ＝13＋⎝⎛⎭⎫4－2－2＋12 ＝56. 5．以初速度40 m/s 竖直向上抛一物体，t 秒时刻的速度v ＝40－10t 2，则此物体达到最高时的高度为( ) A.1603 m B.803 mC.403 m D.203m 解析：选A v ＝40－10t 2＝0，t ＝2，∫20(40－10t 2)d t＝⎝⎛⎭⎫40t －103t 3 |20＝40×2－103×8＝1603(m)． 6．(2013·青岛模拟)由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为( )A.12 B ．1 C.32D. 3解析：选D 结合函数图象可得所求的面积是定积分33ππ-⎰cos x d x ＝sin x33ππ-＝32－⎝⎛⎭⎫－32＝ 3. 二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．设a ＝∫π0sin x d x ，则曲线y ＝f (x )＝xa x ＋ax －2在点(1，f (1))处的切线的斜率为________．解析：∵a ＝∫π0sin x d x ＝(－cos x ) |π0＝2，∴y ＝x ·2x ＋2x －2. ∴y ′＝2x ＋x ·2x ln 2＋2.∴曲线在点(1，f (1))处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝1＝4＋2ln 2. 答案：4＋2ln 28．在等比数列{a n }中，首项a 1＝23，a 4＝∫41(1＋2x )d x ，则该数列的前5项之和S 5等于________． 解析：a 4＝∫41(1＋2x )d x ＝(x ＋x 2) |41＝18，因为数列{a n }是等比数列，故18＝23q 3，解得q ＝3，所以S 5＝23(1－35)1－3＝2423. 答案：24239．(2013·孝感模拟)已知a ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则当∫a 0(cos x －sin x )d x 取最大值时，a ＝________. 解析：∫a 0(cos x －sin x )d x ＝(sin x ＋cos x ) |a＝sin a ＋cos a －1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫a ＋π4－1， ∵a ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴当a ＝π4时，2sin ⎝⎛⎭⎫a ＋π4－1取最大值． 答案：π4三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分) 10．计算下列定积分： (1)20π⎰sin 2x d x ；(2)∫32⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2d x ； (3)120⎰e 2x d x .解：(1)20π⎰sin 2x d x ＝20π⎰1－cos 2x2d x ＝⎝⎛⎭⎫12x －14sin 2x 20π＝⎝⎛⎭⎫π4－14sin π－0＝π4. (2)∫32⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2d x ＝∫32⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋2d x＝⎝⎛⎭⎫12x 2＋2x ＋ln x |32＝⎝⎛⎭⎫92＋6＋ln 3－(2＋4＋ln 2)＝92＋ln 3－ln 2＝92＋ln 32. (3) 120⎰e 2x d x ＝12e 2x 120＝12e －12. 11．如图所示，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围图形为面积相等的两部分，求k 的值．解：抛物线y ＝x －x 2与x 轴两交点的横坐标为x 1＝0，x 2＝1，所以，抛物线与x 轴所围图形的面积S ＝∫10(x －x 2)d x ＝⎝⎛⎭⎫x 22－13x 3 |10＝16. 又⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －x 2，y ＝kx ， 由此可得，抛物线y ＝x －x 2与y ＝kx 两交点的横坐标为x 3＝0，x 4＝1－k ，所以，S 2＝∫1－k 0(x －x 2－kx )d x ＝⎝⎛⎭⎫1－k 2x 2－13x 3 |1－k 0＝16(1－k )3. 又知S ＝16，所以(1－k )3＝12， 于是k ＝1－ 312＝1－342. 12．如图，设点P 从原点沿曲线y ＝x 2向点A (2,4)移动，直线OP 与曲线y ＝x 2围成图形的面积为S 1，直线OP 与曲线y ＝x 2及直线x ＝2围成图形的面积为S 2，若S 1＝S 2，求点P 的坐标．解：设直线OP 的方程为y ＝kx ，点P 的坐标为(x ，y )，则∫x 0(kx －x 2)d x ＝∫2x (x 2－kx )d x ，即⎝⎛⎭⎫12kx 2－13x 3 |x 0＝⎝⎛⎭⎫13x 3－12kx 2 |2x， 解得12kx 2－13x 3＝83－2k －⎝⎛⎭⎫13x 3－12kx 2， 解得k ＝43，即直线OP 的方程为y ＝43x ，所以点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫43，169. 1．一物体做变速直线运动，其v －t 曲线如图所示，则该物体在12s ～6 s 间的运动路程为________．解析：由题图可知，v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2t (0≤t ≤1)，2 (1≤t ≤3)，13t ＋1 (3≤t ≤6)，因此该物体在12s ～6 s 间运动的路程为 s ＝612⎰v (t )d t ＝112⎰2t d t ＋∫312d t ＋∫63⎝⎛⎭⎫13t ＋1d t ＝t 2112＋2t |31＋⎝⎛⎭⎫16t 2＋t |63＝494(m)． 答案：494m 2．计算下列定积分：(1)31-⎰ (3x 2－2x ＋1)d x ；(2)∫e 1⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋1x 2d x . 解：(1) 31-⎰ (3x 2－2x ＋1)d x ＝(x 3－x 2＋x ) 31-＝24.(2)∫e 1⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋1x 2d x ＝∫e 1x d x ＋∫e 11x d x ＋∫e 11x 2d x ＝12x 2 |e 1＋ln x |e 1－1x|e 1 ＝12(e 2－1)＋(ln e －ln 1)－⎝⎛⎭⎫1e －11 ＝12e 2－1e ＋32. 3．求曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积． 解：由⎩⎨⎧ y ＝x ，y ＝2－x ，得交点A (1,1)；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2－x ，y ＝－13x ，得交点B (3，－1)．故所求面积S ＝∫10⎝⎛⎭⎫x ＋13x d x ＋∫31⎝⎛⎭⎫2－x ＋13x d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32＋16x 2 |10＋⎝⎛⎭⎫2x －13x 2 |31 ＝23＋16＋43＝136. 4．某技术监督局对一家颗粒输送仪生产厂进行产品质量检测时，得到了下面的资料：这家颗粒输送仪生产厂生产的颗粒输送仪，其运动规律属于变速直线运动，且速度v (单位：m/s)与时间t (单位：s)满足函数关系式v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧ t 2 (0≤t ≤10)，4t ＋60 (10<t ≤20)，140 (20<t ≤60).某公司拟购买一台颗粒输送仪，要求1 min 行驶的路程超过7 673 m ，问这家颗粒输送仪生产厂生产的颗粒输送仪能否被列入拟挑选的对象之一？解：由变速直线运动的路程公式，可得s ＝∫100t 2d t ＋∫2010(4t ＋60)d t ＋∫6020140d t＝13t 3 |100＋(2t 2＋60t ) |2010＋140t |6020 ＝7 133 13(m)<7 676(m)． ∴这家颗粒输送仪生产厂生产的颗粒输送仪不能被列入拟挑选的对象之一．。
高考数学一轮总复习 2.13定积分与微积分基本定理
【答案】 D
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【名师点评】 定积分的主要应用是求曲边形的面积，一般 地，由曲线 y＝f(x)，y＝g(x)，直线 x＝a，x＝b(a<b)所围成的曲边 形的面积 S＝b|f(x)－g(x)|dx，被积函数中的绝对值是不可少的，
a
在具体解题中就是根据两个函数 y＝f(x)，y＝g(x)图象位置的高低， 用分段的形式将面积表示出来．
S＝1
0
x＋13xdx＋132－x＋13xdx
＝23x
3 2
＋16x201
＋2x－13x231
＝23＋16＋43＝163.
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考点三 定积分在物理中的应用
【例 3】 物体 A 以 v＝3t2＋1(m/s)的速度在一直线 l 上运动，
物体 B 在直线 l 上，且在物体 A 的正前方 5 m 处，同时以 v＝10t(m/s)
A．S＝1(x2－x)dx 0
B．S＝1(x－x2)dx 0
C．S＝1(y2－y)dy 0
D．S＝1(y－ y)dy 0
答案 B
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3.1 －x2＋2xdx＝________. 0 ppt课件
解析 1 －x2＋2x dx表示y＝ －x2＋2x 与x＝0，x＝1及y＝0所围 0
成的图形的面积．
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J 基础回扣·自主学习
理教材 夯基础 厚积薄发
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知识点一 (1)定积分的定义
知识梳理 定积分的定义及几何意义
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如果函数f(x)在区间[a，b]上 连续
，当n→∞时，和式
n
i＝1
b－n af(ξi)无限接近
某个常数
，
这个常数 叫做函数f(x)在区
高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解
年 级 高二 学科数学内容标题 定积分的计算 编稿老师马利军一、教学目标：1. 理解定积分的基本概念并能利用定积分的几何意义解决一些简单的积分计算问题.2. 理解微积分的基本定理，并会用定积分公式解决简单函数的定积分问题.二、知识要点分析1. 定积分的概念：函数)(x f 在区间［a ，b ］上的定积分表示为：⎰badx x f )(2. 定积分的几何意义：（1）当函数f （x ）在区间[a ，b]上恒为正时，定积分⎰badx x f )(的几何意义是：y=f（x ）与x=a ，x=b 及x 轴围成的曲边梯形面积，在一般情形下.⎰badx x f )(的几何意义是介于x 轴、函数f （x ）的图象、以及直线x=a ，x=b 之间的各部分的面积代数和，在x 轴上方的面积取正号，x 轴下方的面积取负号.在图（1）中：0s dx )x (f ba>=⎰，在图（2）中：0s dx )x (f ba<=⎰，在图（3）中：dx)x (f ba⎰表示函数y=f （x ）图象及直线x=a ，x=b 、x 轴围成的面积的代数和.注：函数y=f （x ）图象与x 轴及直线x=a ，x=b 围成的面积不一定等于⎰badx x f )(，仅当在区间[a ，b]上f （x ）恒正时，其面积才等于⎰badx x f )(.3. 定积分的性质，（设函数f （x ），g （x ）在区间［a ，b ］上可积） （1）⎰⎰⎰±=±bab aba dx )x (g dx )x (f dx )]x (g )x (f [（2）⎰⎰=baba dx x f k dx x kf )()(，（k 为常数）（3）⎰⎰⎰+=bcbac adx x f dx x f dx x f )()()(（4）若在区间［a ，b ］上，⎰≥≥badx x f x f 0)(,0)(则推论：（1）若在区间［a ，b ］上，⎰⎰≤≤babadx x g dx x f x g x f )()(),()(则（2）⎰⎰≤babadx x f dx x f |)(||)(|（3）若f （x ）是偶函数，则⎰⎰=-aaadx x f dx x f 0)(2)(，若f （x ）是奇函数，则0)(=⎰-aadx x f4. 微积分基本定理：一般地，若)()()(],[)(),()('a Fb F dx x f b a x f x f x F ba-==⎰上可积，则在且注：（1）若)()('x f x F =则F （x ）叫函数f （x ）在区间［a ，b ］上的一个原函数，根据导数定义知：F （x ）+C 也是f （x ）的原函数，求定积分⎰badx x f )(的关键是求f （x ）的原函数，可以利用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向求F （x ）.（2）求导运算与求原函数的运算互为逆运算.【典型例题】知识点一：定积分的几何意义例1．根据⎰=π200sin xdx 推断：求直线x=0，x=π2，y=0和正弦曲线y=sinx 所围成的曲边梯形面积下列结论正确的是（ ）A ．面积为0B ．曲边梯形在x 轴上方的面积大于在x 轴下方的面积C ．曲边梯形在x 轴上方的面积小于在x 轴下方的面积D ．曲边梯形在x 轴上方的面积等于在x 轴下方的面积题意分析：本题考查定积分的几何意义，注意dx x ⎰π20sin 与y=sinx 及直线x=a ，x=b 和x轴围成的面积的区别.思路分析：作出函数y=sinx 在区间[0，π2]内的图象及积分的几何意义及函数的对称性可判断.解：对于（A ）：由于直线x=0，x=π2，y=0和正弦曲线y=sinx 所围成的曲边梯形面积为正可判断A 错.对于（B ），（C ）根据y=sinx 在[0，π2]内关于（)0,π对称知两个答案都是错误的. 根据函数y=sinx 的图象及定积分的几何意义可知：答案（D ）是正确的.解题后的思考：本题主要考查定积分的几何意义，体现了数与形结合的思想的应用，易错点是混淆函数y=sinx 与x 轴、直线x=0，x=π2围成的面积等于⎰π20)(dx x f .例2．利用定积分的几何意义，说明下列等式的合理性 （1）121=⎰xdx（2）⎰=-1241πdx x .题意分析：本题主要考查定积分的几何意义：在区间[0，1]上函数y=2x ，及y=21x -恒为正时，定积分⎰102xdx 表示函数y=2x 图象与x=0，x=1围成的图形的面积，dx x ⎰-121表示函数y=21x -图象与x=0，x=1围成的图形的面积.思路分析：分别作出函数y=2x 及y=21x -的图象，求此图象与直线x=0，x=1围成的面积.解：（1）在同一坐标系中画出函数y=2x 的图象及直线x=0，x=1（如图），它们围成的图形是直角三角形.其面积∆S =11221=⨯⨯.由于在区间[0，1]内f （x ）恒为正，故1210=⎰xdx .（2）由]1,0[,11222∈=+⇒-=x y x x y ，故函数y 21x -=（]1,0[∈x 的图象如图所示，所以函数y 21x -=与直线x=0，x=1围成的图形面积是圆122=+y x 面积的四分之一，又y 21x -=在区间［0，1］上恒为正.⎰=-1241πdx x解题后的思考：本题主要考查利用定积分的几何意义来验证函数y=2x 及函数y=21x -在区间［0，1］上的定积分的值，体现了数与形结合的思想的应用，易错点是画函数图象的不准确造成错误的结果.例3．利用定积分的几何意义求⎰-+-4|)3||1(|dx x x 的值.题意分析：本题考查定积分的几何意义，⎰-+-4|)3||1(|dx x x 的值是函数|3||1|-+-=x x y 的图象与直线x=0，x=4所围成图形的面积.思路分析：首先把区间［0，4］分割为［0，1］，［1，3］，［3，4］，在每个区间上讨论x －1，x －3的符号，把函数|3||1|-+-=x x y 化为分段函数，再根据定积分的几何意义求⎰-+-4|)3||1(|dx x x 的值.解：函数|3||1|-+-=x x y 化为⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈∈+-=]4,3[(,42]3,1[(,2]1,0[(,42x x x x x y由于函数⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈∈+-=]4,3[(,42]3,1[(,2]1,0[(,42x x x x x y 在区间［0，1］，［1，3］，［3，4］都恒为正.设函数y=－2x+4的图象与直线x=0，x=1围成的面积为S 1 函数y=2的图象与直线x=1，x=3围成的面积是S 2 函数y=2x －4的图象与直线x=3，x=4围成的面积是S 3 由图知：S 1=S 3=,31)24(21=⨯+S 2=422=⨯ 由定积分的几何意义知：⎰-+-4|)3||1(|dx x x =10231=++S S S解题后的思考：本题考查的知识点是定积分的几何意义，利用其几何意义求定积分⎰-+-4|)3||1(|dx x x 的值，体现了等价转化的数学思想（把区间［0，4］分割，把函数y=|x －1|+|x －3|化成分段函数）、数与形结合的思想的应用.易错点是：区间［0，4］分割不当及画函数图象不准确，造成错误的结果.当被积函数含有绝对值时，常采用分割区间把函数化为分段函数的方法求定积分的值.小结：本题主要考查定积分的几何意义，要分清在区间［a ，b ］上f （x ）恒为正时，f （x ）在区间[a ，b]上定积分值才等于函数图象与直线x=a ，x=b 围成的面积.在画函数图象时注意x 的取值区间.当被积函数含有绝对值时，恰当的分割区间把函数画为分段函数再求定积分的值.高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解一、选择题1．(2010·山东日照模考)a ＝⎠⎛02x d x ，b ＝⎠⎛02e xd x ，c ＝⎠⎛02sin x d x ，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a <c <bB ．a <b <cC ．c <b <aD ．c <a <b2．(2010·山东理，7)由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形面积为( ) A.112B.14C.13D.712(2010·湖南师大附中)设点P 在曲线y ＝x 2上从原点到A (2,4)移动，如果把由直线OP ，直线y ＝x 2及直线x ＝2所围成的面积分别记作S 1，S 2.如图所示，当S 1＝S 2时，点P 的坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，169B.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，169C.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，157D.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，137 3．由三条直线x ＝0、x ＝2、y ＝0和曲线y ＝x 3所围成的图形的面积为( ) A ．4B.43C.185D ．64．(2010·湖南省考试院调研)⎠⎛1－1(sin x ＋1)d x 的值为( )A ．0B ．2C ．2＋2cos1D ．2－2cos15．曲线y ＝cos x (0≤x ≤2π)与直线y ＝1所围成的图形面积是( ) A ．2πB ．3πC.3π2D ．π6．函数F (x )＝⎠⎛0x t (t －4)d t 在[－1,5]上( )A ．有最大值0，无最小值B ．有最大值0和最小值－323C ．有最小值－323，无最大值D ．既无最大值也无最小值7．已知等差数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋n ，函数f (x )＝⎠⎛1x 1td t ，若f (x )<a 3，则x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫36，＋∞ B ．(0，e 21) C ．(e －11，e )D ．(0，e 11)8．(2010·福建厦门一中)如图所示，在一个长为π，宽为2的矩形OABC 内，曲线y＝sin x (0≤x ≤π)与x 轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC 内随机投一点(该点落在矩形OABC 内任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是( )A.1πB.2πC.3πD.π49．(2010·吉林质检)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2－2≤x <02cos x 0≤x ≤π2的图象与x 轴所围成的图形面积S 为( )A.32B ．1C ．4D.1210．(2010·沈阳二十中)设函数f (x )＝x －[x ]，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[－1.2]＝－2，[1.2]＝1，[1]＝1.又函数g (x )＝－x3，f (x )在区间(0,2)上零点的个数记为m ，f (x )与g (x )的图象交点的个数记为n ，则⎠⎛mn g (x )d x 的值是( )A ．－52B ．－43C ．－54D ．－7611．(2010·江苏盐城调研)甲、乙两人进行一项游戏比赛，比赛规则如下：甲从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为b ，乙从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为c (b 、c 可以相等)，若关于x 的方程x 2＋2bx ＋c ＝0有实根，则甲获胜，否则乙获胜，则在一场比赛中甲获胜的概率为( )A.13B.23C.12D.3412．(2010·吉林省调研)已知正方形四个顶点分别为O (0,0)，A (1,0)，B (1,1)，C (0,1)，曲线y ＝x 2(x ≥0)与x 轴，直线x ＝1构成区域M ，现将一个质点随机地投入正方形中，则质点落在区域M 内的概率是( )A.12 B.14 C.13D.25二、填空题13．(2010·芜湖十二中)已知函数f (x )＝3x 2＋2x ＋1，若⎠⎛1－1f (x )d x ＝2f (a )成立，则a ＝________.14．已知a ＝∫π20(sin x ＋cos x )d x ，则二项式(a x －1x )6的展开式中含x 2项的系数是________．15．抛物线y 2＝2x 与直线y ＝4－x 围成的平面图形的面积为________．16．(2010·安徽合肥质检)抛物线y 2＝ax (a >0)与直线x ＝1围成的封闭图形的面积为43，若直线l 与抛物线相切且平行于直线2x －y ＋6＝0，则l 的方程为______．17．(2010·福建福州市)已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图象如图所示，它与x 轴在原点处相切，且x 轴与函数图象所围成区域(图中阴影部分)的面积为112，则a 的值为________．三、解答题18．如图所示，在区间[0,1]上给定曲线y ＝x 2，试在此区间内确定t 的值，使图中阴影部分的面积S1＋S2最小．。
2018年高考数学总复习-定积分和微积分基本定理
第三节定积分和微积分基本定理考纲解读1.了解定积分的实际背景、基本思想及概念.2.了解微积分基本定理的含义.命题趋势探究定积分的考查以计算为主，其应用主要是求一个曲边梯形的面积，题型主要为选择题和填空题.知识点精讲 一、基本概念1.定积分的极念一般地，设函效()f x 在区间[a ，b]上连续.用分点0121i i a x x x x x -=<<<<<Ln x b <<=L 将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x D （b ax n-D =），在每个小区间[]1,i i x x -上任取一点()1,2,,i i n ξ=L ，作和式：1()nn ii S f x ξ==∆=∑1()ni i b af nξ=-∑，当x D 无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分．记为：()baS f x dx =⎰，()f x 为被积函数，x 为积分变量，[,]a b 为积分区间，b 为积分上限，a 为积分下限． 需要注意以下几点： （1）定积分()baf x dx ⎰是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时），称为()baf x dx ⎰，而不是n S ．（2）用定义求定积分的一般方法.①分割：n 等分区间[],a b ；②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈；③求和：1()ni i b af n ξ=-∑；④取极限：()1()lim nbi an i b af x dx f nξ→∞=-=∑⎰（3）曲边图形面积：()baS f x dx =⎰；变速运动路程21()t t S v t dt =⎰；变力做功(x)baS F dx =⎰2．定积分的几何意义从几何上看，如果在区间[],a b 上函数()f x 连续且恒有()0f x ≥，那么定积分()baf x dx ⎰表示由直线,(),0x a x b a b y ==≠=和曲线()y f x =所围成的曲边梯形(如图3-13中的阴影部分所示)的面积，这就是定积分()baf x dx ⎰的几何意义．一般情况下，定积分()baf x dx ⎰的值的几何意义是介于x 轴、函数()f x 的图像以及直线,x a x b ==之间各部分面积的代数和，在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积取负号．二、基本性质性质11badx b a =-⎰.性质2 ()()(0)b ba akf x dx k f x dx k =⎰⎰其中是不为的常数（定积分的线性性质）. 性质3 1212[()()]()()b b baaaf x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰⎰⎰（定积分的线性性质）.性质4 ()()()()b c ba a cf x dx f x dx f x dx a c b =+<<⎰⎰⎰其中（定积分对积分区间的可加性）推广1 1212[()()()]()()()b b b bmmaaaaf x f x f x dx f x dx f x dx f x ±±±=±±±⎰⎰⎰⎰L L 推广2 121()()()()kbc c ba ac c f x dx f x dx f x dx f x dx =+++⎰⎰⎰⎰L ．三、基本定理设函数()f x 是在区间[,]a b 上连续，且()F x 是()f x 是在[,]a b 上的任意一个原函数，即'()()F x f x =，则()()()b af x dx F b F a =-⎰，或记为()()b a b f x dx F x a==⎰()()F b F a -，称为牛顿—莱布尼兹公式，也称为微积分基本定理．该公式把计算定积分归结为求原函数的问题，只要求出被积函数()f x 的一个原函数()F x ．然后计算原函数()F x 在区间[],a b 上的增量()()F b F a -即可，这一定理提示了定积分与不定积分之间的内在联系．题型归纳及思路提示题型51 定积分的计算思路提示对于定积分的计算问题，若该定积分具有明显的几何意义，如圆的面积等（例3.26及其变式），则利用圆面积计算，否则考虑用牛顿-莱布尼茨公式计算． 例3.25（2012江西11）计算()12-1sin xx dx +⎰= ．解析 ()123-111112sin =cos cos1cos113333x x dx x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=----= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰．A. B. C. D.变式1()421dx x =⎰A.-2ln 2B. 2ln 2C.-ln2D. ln 2变式2()1(2)xex dx +=⎰A.1 B 1e -. C.e D. +1e 变式3 设函数()()20f x ax c a =+≠，若()()()101f x dx f x x=≤≤⎰，则0x 的值为 ．变式4 设函数()y f x =的定义域为R, 若对于给定的正数k ，定义函数()()(),(),k k f x k f x f x f x k≤⎧=⎨>⎩，则当函数()1,1f x k x ==时，定积分()214k f x dx ⎰的值为（ ）A.2ln 22+B. 2ln21-C.2ln2D. 2ln21+ 例3.26 根据定积分的几何意义计算下列定积分 （1）()402x dx -⎰； （2）1211x dx --⎰分析根据定积分的几何意义，利用图形的面积求解.解析 根据定积分的几何意义，所求的定积分是直线所围成图形（如图3-14所示）的面积的代数和，很显然这是两个面积相等的等腰直角三角形，如图3-14所示，其面积代数和是0，故()420x dx -=⎰．（2）根据定积分的几何意义，所求的定积分是曲线()2210x y y +=≥和x 轴围成图形（如图3-15所示）的面积，显然是半个单位圆，其面积是2π，故121=2x dx π--⎰．评注 定积分()bax dx ⎰的几何意义是函数和直线,x a x b ==以及x 轴所围成的图形面积的代数和，面积是正值,但积分值却有正值和负值之分，当函数时,()0f x >面积是正值，当函数()0f x <时，积分值是负值．变式1 根据定积分的几何几何意义计算下列定积分． （1）()402x dx +⎰； （2）024x dx --⎰； （3）100sin xdx π⎰； （4）344sin xdx ππ-⎰．题型52 求曲边梯形的面积思路提示函数()(),y f x y g x ==与直线(),x a x b a b ==<围成曲边梯形的面积为()()|f g |dx baS x x =-⎰，具体思路是：先作出所涉及的函数图象，确定出它们所围成图形的上、下曲线所对应函数，被积函数左、右边界分别是积分下、上限． 例3.27 由曲线23,y x y x ==围成的封闭图形的面积为（ ）A.112 B.14 C.13 D.712解析 由23x x =得01,x x ==或则由2y x =和3y x =围成的封闭图形的面积为()1233401111110343412x x dx x x ⎛⎫-=-=-= ⎪⎝⎭⎰，故选A ． 变式1（2012湖北理3）已知二次函数()y f x =的图象如图3-16所求，则它与x 轴所围成图形的面积为（ ） A.25π B.43 C.32 D.2π变式2 由曲线2y x =和直线()20,1,,0,1x x y t t ===∈所围成的图形（如图3-17中阴影部分所示）面积的最小值为（ ）A.23B.13C.12D.14变式3 求抛物线24y x =与24y x =-围成的平面图形的面积．变式4 求由两条曲线2214,y 4y x x ==和直线4y =所围成的面积．最有效训练题16（限时45分钟）1.已知函数()223f x x x =--，则()11f x dx -=⎰（ ）A. -2B.163- C.-4 D. 1632.定积分())1211x x dx --=⎰（ ）A,24π- B.12π- C.14π- D. 12π- 3.设()[]2,0,12,(1,2]x x f x x x ⎧∈=⎨-∈⎩，则()20f x dx =⎰（ ）A.34 B.45 C.56D.不存在 4.222,,sin x a xdx b e dx c xdx ===⎰⎰⎰，则,,a b c 的大小关系是（ ）A,a c b << B.a b c << C.c b a << D. c a b << 5.曲线sin ,cos y x y x ==与直线0,2x x π==所围成的平面区域的面积为（ ）A,１ B. ２21 D. )2216.由直线,,033x x y ππ=-==与曲线cos y θ=所围成的平面图形的面积为（ ）A,12B.１337.抛物线22y x =与直线4y x =-围成的平面图形的面积为 ．1-yxO图3-16118.已知()f x 是偶函数，且()506f x dx =⎰，则()55f x dx -=⎰ ．9.()202|1x |dx --=⎰ ．10.已知函数()y f x =的图象是折线段ABC ，其中()()10,0,5,1,02A B C ⎛⎫⎪⎝⎭，．函数()()01y xf x x =≤≤的图象与x 轴所围成的图形的面积为 ．11.根据定积分的几何意义计算下列定积分．（１）11|x|dx -⎰； （２）22411x dx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰； （３）11dx +⎰；（４）20cos 2x dx π⎰； （５）20cos 2cos sin x dx x x π-⎰ １２．有一条直线与抛物线2y x =相交于Ａ，Ｂ两点，线段ＡＢ与抛物线所围成图形的面积恒等于43，求线段ＡＢ的中点Ｐ的轨迹方程．。
18版高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.3定积分与微积分基本定理课件理
(2)若 f(x)为奇函数，则ʃa －af(x)dx＝0.
思考辨析 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
b (1)设函数 y＝f(x)在区间[ a，b] 上连续，则ʃb f ( x )d x ＝ ʃ a af(t)dt.( √ )
(2)若函数 y＝f(x)在区间[ a，b] 上连续且恒正，则ʃb af(x)dx>0.( √ ) (3)若ʃ b af(x)dx<0，那么由 y＝f(x)，x＝a，x＝b 以及 x 轴所围成的图形一定 在 x 轴下方.( × )
(4)微积分基本定理中的F(x)是唯一的.( × )
2 (5)曲线 y＝x2 与 y＝x 所围成图形的面积是ʃ1 ( x －x)dx.( × ) 0
考点自测
x 1.(2017· 福州质检) ʃ1 0(e ＋2x)dx 等于
答案
解析
A.1
B.e－1
C.e
D.e＋1
x x 2 1 ʃ1 (e ＋ 2 x )d x ＝ (e ＋ x )|0＝e＋1－1＝e. 0
3.微积分基本定理
一般地，如果 f(x) 是区间 [a ， b] 上的连续函数，且 F′(x) ＝ f(x) ，那么
F(b)－F(a) ，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿— ʃb af(x)dx ＝
莱布尼茨公式.
b F ( x )| a ， 为了方便，常把F(b)－F(a)记作
即
ʃb af(x)dx ＝ F ( x )
3.(教材改编)汽车以v＝(3t＋2)m/s作变速直线运动时，在第1 s至第2 s间
的1 s内经过的位移是 答案
13 A. m 2 B.6 m
解析
15 C. m 2
D.7 m
2018年高考数学总复习 第三章 导数及其应用 3.3 定积分与微积分基本定理
关闭
∴S=
2 0
(4x-x3)dx=
2������
2
-
1 4
������
4
|02 =4.
π
π
(2)
2
0
(sin x-acos x)dx=(-cos x-asin x)|02 =-a+1=2,a=-1.
(于3)依01A题(.12√意������知-x2,)题dx中=13的,B因.正16此方所形投区的域点的落C面.在14积叶为形1图2=内1D,部.阴13 的影概区域率等的于面13积,故等选关闭 D(1.)D (2)A (3)D
2.已知图形的面积求参数,一般是先画出它的草图;再确定积分的 上、下限,确定被积函数,由定积分求出其面积,然后应用方程的思 想建立关于参数的方程,从而求出参数的值.
3.与概率相交汇的问题.解决此类问题应先利用定积分求出相应 平面图形的面积,再用相应的概率公式进行计算.
考点1 考点2 考点3
-21-
(2) π 0(sin x-cos x)dx= π 0sin xdx- π 0cos xdx=(-cos x)|π 0-sin x|π 0=2.
(3)
2 1
e2������ + 1
������
dx=
2 1
e2xdx+
2 1
���1���dx=12e2x|12+ln x|12 = 12e4-12e2+ln 2-ln
A.√22
B.13
C.12
D.23
如图思,考∵怎满足样题求意定的积图分形与的概面率积的交S=汇01问���题���12d?x=23
������
3 2
|10
=
【2018新课标 高考必考知识点 教学计划 教学安排 教案设计】高三数学：定积分与微积分基本定理总讲
， 即bf(x)dx＝ F ( x) a
b a
＝F(b)
例题 1 定积分1[ 1－x－12－x]dx 等于(
0
)。 π－1 2
A.
π－2 4
π B. －1 2
C.
π－1 4
D.
解析：观察被积式可以发现，被积式构成形式为 f(x)－g(x)，其中 f(x)＝ 1－x－12， 其图象是圆(x－1)2＋y2＝1 在 x 轴上方的部分，而 g(x)＝x 为一次函数，其积分易求． 解：考虑定积分的运算性质与几何意义得
3 y＝2x＋3， 解：由方程组 可得 x1＝－1，x2＝3.故所求图形面积为 s＝ (2x＋3)dx 2 y＝x ， 1
－
1 x dx＝(x ＋3x)|
2 2
3
－1
3
1 32 － x3|－13＝ . 3 3
点拨： 利用定积分求平面图形的面积时， 关键是将待求面积的平面图形看成可求积分的 平面图形的和或差， 还要注意待求面积的平面图形在 y 轴上方还是下方， 以确定积分的正负．
3.bf(x)dx＝c f(x)dx＋bf(x)dx(其中 a<c<b)．
a
a
c
二、求定积分的常用技巧 1. 求被积函数，要先化简，再求积分． 2. 求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和。 3. 对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值号才能积分。 三、微积分基本定理 一般地，如果 f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且 F′(x)＝f(x)，那么bf(x)dx＝ a F(b)－F(a) 这个结论叫做微积分基本定理， 又叫做牛顿—莱布尼兹公式． 其中 F(x)叫做 f(x) 的一个原函数． 为了方便， 我们常把 F(b)－F(a)记作 F ( x) －F(a)。 特别提示：一个函数的导数是唯一的，但导函数的原函数不一定唯一。
高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解
年 级 高二 学科数学内容标题 定积分的计算 编稿老师马利军一、教学目标：1。
理解定积分的基本概念并能利用定积分的几何意义解决一些简单的积分计算问题。
2。
理解微积分的基本定理,并会用定积分公式解决简单函数的定积分问题。
二、知识要点分析1. 定积分的概念：函数)(x f 在区间［a ，b ］上的定积分表示为：⎰badx x f )(2. 定积分的几何意义：（1）当函数f （x ）在区间［a ，b]上恒为正时，定积分⎰badx x f )(的几何意义是：y=f（x)与x=a ，x=b 及x 轴围成的曲边梯形面积，在一般情形下.⎰b adx x f )(的几何意义是介于x 轴、函数f （x ）的图象、以及直线x=a,x=b 之间的各部分的面积代数和，在x 轴上方的面积取正号，x 轴下方的面积取负号。
在图（1）中：0s dx )x (f ba>=⎰，在图（2）中：0s dx )x (f ba<=⎰，在图（3)中：dx)x (f ba⎰表示函数y=f （x ）图象及直线x=a,x=b 、x 轴围成的面积的代数和。
注:函数y=f （x ）图象与x 轴及直线x=a ，x=b 围成的面积不一定等于⎰badx x f )(，仅当在区间[a,b ］上f （x ）恒正时，其面积才等于⎰badx x f )(。
3. 定积分的性质，（设函数f （x)，g （x ）在区间［a,b]上可积） (1）⎰⎰⎰±=±bab abadx )x (g dx )x (f dx )]x (g )x (f [（2）⎰⎰=bab a dx x f k dx x kf )()(，（k 为常数）（3）⎰⎰⎰+=bcbac adx x f dx x f dx x f )()()(（4）若在区间［a ，b ］上，⎰≥≥badx x f x f 0)(,0)(则推论：（1）若在区间［a,b]上，⎰⎰≤≤babadx x g dx x f x g x f )()(),()(则（2)⎰⎰≤babadx x f dx x f |)(||)(|（3)若f(x ）是偶函数，则⎰⎰=-a aadx x f dx x f 0)(2)(,若f （x ）是奇函数，则0)(=⎰-aadx x f4。
2018高考数学题源探究课件——导数及其应用：定积分与微积分基本定理
B．5
C．6
D．8
解析：由变速直线运动路程与速度的关系得 (2t＋3)dt＝22，
2
即(t ＋3t)
0 t3＝22，
∴t2 0＋3t0－40＝0(t0＞3)， ∴t0＝5，故选 B.
1 3.(选修 2－2 P60B 组 T1(1)改编)
0
1－x2dx 的值为( D ) π D. 4
解析：由题意知
sin x
3 3 ＝ －－ ＝ 3. 2 2
7．(选修 2－2 P60 A 组 T1(2)改编)曲线 y＝－x2＋9 与直线 x＋y－7 9 ＝0 所围成的图形的面积为________ ． 2
解析：如图，作出 y＝－x2＋9 与 x＋y－7＝0 的草图，所求的面
2 y＝－x ＋9， 积为图中阴影部分面积，由方程组 x＋y－7＝0，
2 2 9．(选修 2－2 P60 B 组 T1(2)改编) [ 1－x－1 ＋πx]dx＝ 0 5π 2 ________.
2 2 2 2 2 解析： 1 － x － 1 d x ＋ [ 1－x－1 ＋πx]dx＝ πx dx，
0
0
2 y ＝ x ， 解析：由 3 y ＝ x
1 0
得 x＝0 或 x＝1，由图易知封闭图形的面积 S＝
1 1 1 (x －x )dx＝ － ＝ ，故选 A. 3 4 12
2 3
2．(选修 2－2 P59 练习 T1 改编)一物体沿直线以 v＝2t＋3(t 的单位 为 s，v 的单位为 m/s)的速度运动，该物体在时间段[3，t0]内行进的 路程为 22 m，则 t0 的值为( B ) A．4
2 y ＝x， 解析：由 2 y ＝ x ，
2018版高考数学一轮复习课件：第2章 第13节 定积分与微积分基本定理
4 (2)3
[(1)原式＝1 x2dx＋1
－1
－1
【导学号：01772093】
1－x2dx＝13x3|1－1＋1 1－x2dx＝23＋1
－1
－1
1－x2dx，1
1－x2dx 等于半径为 1 的圆面积的12，即1
1－x2dx＝π2，故原式＝π2
－1
－1
＋23.
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第十五页，编辑于星期六：二十二点 二十七分。
________．
1 6
[如图，阴影部分的面积即为所求．
由yy＝ ＝xx2，， 得 A(1,1)．
故所求面积为 S＝1(x－x2)dx 0
＝12x2－13x3 |10＝16.]
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5．若Tx2dx＝9，则常数 T 的值为________． 0
积分的几何意义可知，由 y＝ x，y＝－x＋2 及 x 轴所围成的封闭图形的面积为1 x 0
dx＋2(－x＋2)dx＝23x |10＋2x－x22|21＝76. 1
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第十八页，编辑于星期六：二十二点 二十七分。
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(2)由yy＝ ＝xk2x，， 得yx＝＝00， 或xy＝ ＝kk， 2， 则曲线 y＝x2 与直线 y＝kx(k＞0)所围成的曲边梯形的面积为 k0(kx－x2)dx＝2kx2－13x3|k0 ＝k23－13k3＝43， 即 k3＝8，∴k＝2.]
a
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高考数学一轮复习讲义2.13讲 定积分与微积分基本定理
第13讲 定积分与微积分基本定理[最新考纲]1．了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念． 2．了解微积分基本定理的含义.知 识 梳 理1．定积分的概念与几何意义(1)定积分的定义如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式∑i ＝1nf (ξi )Δx ＝∑i ＝1n b －an f (ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛a b f (x )d x ，即⎠⎛ab f (x )d x ＝∑i ＝1nb －an f (ξi )．(2)定积分的几何意义①当f (x )≥0时，定积分⎠⎛a b f (x )d x 表示由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积．(图1)②当f (x )在区间[a ，b ]上有正有负时，如图2所示，则定积分⎠⎛ab f (x )d x 表示介于x轴．曲线y ＝f (x )以及直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )之间各部分曲边梯形面积的代数和，即⎠⎛a b f (x )d x ＝A 1＋A 3－A 2. 2．定积分的性质(1)⎠⎛a b kf (x )d x ＝k ⎠⎛ab f (x )d x (k 为常数)． (2)⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛ab f 2(x )d x . (3)⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛ac f (x )d x ＋⎠⎛c b f (x )d x (其中a <c <b )． 3．微积分基本定理一般地，如果f (x )是在区间[a ，b ]上的连续函数，且F ′(x )＝f (x )．那么⎠⎛a b f (x )d x＝F (b )－F (a )，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼兹公式．辨 析 感 悟1．关于定积分概念的理解(1)定积分概念中对区间[a ，b ]的分割具有任意性．(√)(2)当n →＋∞时，和式∑i ＝1nf (ξi )·Δx ＝∑i ＝1n b －an f (ξi )无限趋近于某一确定的常数．(√)(3)设函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上连续，则⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛a b f (t )d t .(√)2．定积分的几何意义与物理意义(4)在区间[a ，b ]上的连续的曲线y ＝f (x )和直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0所围成的曲边梯形的面积S ＝⎠⎛ab |f (x )|d x .(√)(5)若⎠⎛a b f (x )d x <0，那么由y ＝f (x )，x ＝a ，x ＝b 以及x 轴所围成的图形一定在x 轴下方．(×)(6)(教材习题改编)已知质点的速度v ＝10t ，则从t ＝0到t ＝t 0质点所经过的路程是s ＝＝5t 20.(√)3．定积分的性质及微积分基本定理 (7)若f (x )是连续的偶函数，则＝2⎠⎛0af (x )d x .(√)(8)若f (x )是连续的奇函数，则＝0.(√)(9)(2013·湖南卷改编)如果⎠⎛0T x 2d x ＝9，则常数T ＝3.(√)[感悟·提升]1．一种思想 定积分基本思想的核心是“以直代曲”，用“有限”步骤解决“无限”问题，其方法是“分割求近似，求和取极限”．定积分只与积分区间和被积函数有关，与积分变量无关，如(2)、(3)．2．一个定理 由微积分基本定理可知求定积分的关键是求导函数的原函数，由此可知，求导与积分是互为逆运算，如(9)中，可确定一个原函数F (x )＝13x 3，进而求T .3．两点提醒 一是重视定积分性质在求值中的应用，如(7)、(8)．二是区别定积分与曲边梯形面积间的关系，定积分可正、可负、也可以为0，是曲边梯形面积的代数和，但曲边梯形面积非负，如(4).学生用书第46页考点一 定积分的计算【例1】 (1)若＝2，则实数a 等于( )．A ．－1B ．1 C. 3D ．－ 3(2)定积分⎠⎛039－x 2d x 的值为________．(3)已知函数f (x )＝sin 5x ＋1，则的值为________． 解析 (1)∵(a sin x －cos x )′＝sin x ＋a cos x ，＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a sin π2－cos π2－(a sin 0－cos 0)＝a ＋1， ∴a ＋1＝2.∴a ＝1.(2)由定积分的几何意义知，⎠⎛039－x 2d x 是由曲线y ＝9－x 2，直线x ＝0，x ＝3，y ＝0围成的封闭图形的面积．故⎠⎛39－x 2d x ＝π·324＝9π4.答案 (1)B (2)94π (3)π规律方法 (1)用微积分基本定理求定积分，关键是求出被积函数的原函数．此外，如果被积函数是绝对值函数或分段函数，那么可以利用定积分对积分区间的可加性，将积分区间分解，代入相应的解析式，分别求出积分值相加． (2)根据定积分的几何意义可利用面积求定积分． (3)若y ＝f (x )为奇函数，则＝0.【训练1】 (1)定积分＝________. (2)(2014·广东六校模拟)＝________.解析 (1)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－cos x ′＝x 2＋sin x ，∴＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－cos x ⎪⎪⎪1－1＝23.(2)由定积分的几何意义知，是由曲线y ＝1－x 2，直线x ＝－1，x＝0，y ＝0围成的封闭图形的面积，故＝π·124＝π4.答案 (1)23 (2)π4考点二 利用定积分求平面图形的面积【例2】 (1)已知二次函数y ＝f (x )的图象如图所示，则它与x 轴所围图形的面积为( )．A.2π5B.43C.32D.π2(2)曲线y ＝x 2与直线y ＝kx (k >0)所围成的曲边图形的面积为43，则k ＝________. 审题路线 (1)先求二次函数f (x )的解析式，再利用定积分的几何意义求面积．(2)先求交点坐标，确定积分区间，再利用定积分的几何意义求面积． 解析 (1)设f (x )＝a (x ＋1)(x －1)(a <0)．因为f (x )的图象过(0,1)点，所以－a ＝1，即a ＝－1. 所以f (x )＝－(x ＋1)(x －1)＝1－x 2. 所以S ＝＝2⎠⎛01(1－x 2)d x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13x 3⎪⎪⎪10＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝43. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 2，y ＝kx ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k ，y ＝k 2，则曲线y ＝x 2与直线y ＝kx (k >0)所围成的曲边梯形的面积为⎠⎛0k (kx －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2x 2－13x 3⎪⎪⎪k＝k 32－13k 3＝43，即k 3＝8，∴k ＝2.答案 (1)B (2)2规律方法 利用定积分求曲线围成图形的面积的步骤：(1)画出图形；(2)确定被积函数；(3)确定积分的上、下限，并求出交点坐标；(4)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积．求解时，注意要把定积分与利用定积分计算的曲线围成图形的面积区别开：定积分是一个数值(极限值)，可为正，可为负，也可为零，而平面图形的面积在一般意义上总为正．【训练2】 (1)设a >0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________.(2)曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积为________． 解析 (1)S ＝⎠⎛0ax d x ＝23x 23 ⎪⎪⎪a 0＝23a 23＝a 2，∴a ＝49.(2)由⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝2－x ，得交点A (1,1)；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2－x ，y ＝－13x ， 得交点B (3，－1)． 故所求面积S ＝⎠⎛01⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13x d x ＋⎠⎛13⎝⎛⎭⎪⎫2－x ＋13x d x＝ ⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 2236132 ⎪⎪⎪10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －13x 2⎪⎪⎪31＝23＋16＋43 ＝136.答案 (1)49 (2)136考点三 定积分在物理中的应用【例3】 (2013·湖北卷)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )． A ．1＋25ln 5 B ．8＋25ln 113 C ．4＋25ln 5 D ．4＋50ln 2解析 令v (t )＝0，得t ＝4或t ＝－83(舍去)，∴汽车行驶距离s ＝⎠⎛04⎝⎛⎭⎪⎫7－3t ＋251＋t d t ＝[7t －32t 2＋25ln(1＋t )]⎪⎪⎪4＝28－24＋25ln 5＝4＋25ln 5. 答案 C学生用书第47页规律方法 (1)利用定积分解决变速直线运动问题和变力做功问题时，关键是求出物体做变速直线运动的速度函数和变力与位移之间的函数关系，确定好积分区间，得到积分表达式．(2)定积分在物理方面的应用中要注意各种具体问题中含有的物理意义．防止实际问题的物理意义不明确，导致把物理问题转化为定积分时出现错误． 【训练3】 设变力F (x )作用在质点M 上，使M 沿x 轴正向从x ＝1运动到x ＝10，已知F (x )＝x 2＋1且方向和x 轴正向相同，则变力F (x )对质点M 所做的功为________J(x 的单位：m ，力的单位：N)． 解析 由题意知变力F (x )对质点M 所做的功为＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x ⎪⎪⎪101＝342.答案 3421．求定积分常用的方法 (1)利用微积分基本定理．(2)运用定积分的几何意义(曲边梯形面积易求时)转化为求曲边梯形的面积． 2．定积分计算应注意的问题+(1)利用微积分基本定理，关键是准确求出被积函数 的原函数，熟练掌握导数公式及求导法则，求导与积分互为逆运算． (2)定积分式子中隐含的条件是积分上限不小于积分下限．(3)面积非负，而定积分的结果可以为负．利用定积分求平面图形的面积时一定要准确转化，当图形的边界不同时，一定注意分情况讨论．易错辨析4——对定积分的几何意义理解不到位致误【典例】 (2011·课标全国卷)由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为( )． A.103 B ．4 C.163D ．6[错解] 由⎩⎨⎧ y ＝x ，y ＝x －2，得⎩⎨⎧x ＝4，y ＝2，∴y ＝x 与直线y ＝x －2的交点为(4,2)， 于是，围成图形的面积是 S ＝⎠⎛04[x －(x －2)]d x －⎠⎛24(x －2)d x＝⎪⎪⎪4－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x ⎪⎪⎪40－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x ⎪⎪⎪42＝163－2＝103. [答案] A[错因] (1)不理解定积分的几何意义，导致不能将封闭图形的面积正确地用定积分表示．(2)求错原函数，导致计算错误．[正解] 作出曲线y ＝x ，直线y ＝x －2的草图(如图所示)，所求面积为阴影部分的面积．由⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝x －2得交点A (4,2)． 因此y ＝x 与y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为⎠⎛04[x －(x －2)]d x ＝⎠⎛04(x －x ＋2)d x＝ ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x x 22132223⎪⎪⎪40＝23×8－12×16＋2×4＝163.[答案] C[防范措施] (1)准确画出图形是正确用定积分表示面积的前提．(2)利用微积分基本定理求定积分，关键是求出被积函数的原函数，求一个函数的原函数与求一个函数的导数互为逆运算，因此应注意掌握一些常见函数的导数．【自主体验】曲线y ＝1x 与直线y ＝x ，x ＝2所围成的图形的面积为________．解析 作出曲线y ＝1x ，直线y ＝x 和x ＝2的草图(如图所示)，所求面积为阴影部分的面积．由⎩⎨⎧y ＝1x ，y ＝x得交点(1,1)．因此y ＝1x 与y ＝x 及x ＝2所围成的图形的面积为S ＝⎠⎛12x d x －⎠⎛121x d x ＝12x 2⎪⎪⎪21－ln x ⎪⎪⎪21＝32－(ln 2－ln 1)＝32－ln 2. 答案 32－ln 2基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题 1.⎠⎛01(e x ＋2x )d x 等于( )．A ．1B ．e －1C ．eD ．e ＋1解析 ⎠⎛01(e x＋2x )d x ＝(e x＋x 2)⎪⎪⎪1＝(e 1＋12)－(e 0＋02)＝e. 答案 C2．(2014·济南质检)由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图 形的面积为( )．A.12 B ．1 C.32D. 3解析 由题意知S ＝＝32－⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝ 3.答案 D3．(2014·广州模拟)设f (x )＝⎠⎛0x sin t d t ，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2的值等于( )．A ．－1B ．1C ．－cos 1D ．1－cos 1 解析 ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝＝1，∴f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f (1)＝⎠⎛01sin t d t ＝(－cos t )⎪⎪⎪10＝1－cos 1. 答案 D4.如图所示，曲线y ＝x 2和直线x ＝0，x ＝1及y ＝14，所围成的图形(阴影部分)的面积为 ( )．A.23B.13C.12D.14解析 由x 2＝14，得x ＝12或x ＝－12(舍)，则阴影部分的面积为S ＝＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －13x 3⎪⎪⎪⎪ 120＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－14x ⎪⎪⎪⎪112＝14. 答案 D5．一物体在力F (x )＝⎩⎨⎧10，0≤x ≤2，3x ＋4，x >2(单位：N)的作用下沿与力F (x )相同的方向运动了4米，力F (x )做功为( )．A ．44 JB ．46 JC ．48 JD ．50 J解析 力F (x )所做的功为⎠⎛0210d x ＋⎠⎛24(3x ＋4)d x ＝20＋26＝46(J)． 答案 B 二、填空题6．已知2≤⎠⎛12(kx ＋1)d x ≤4，则实数k 的取值范围是________．解析 ∵⎠⎛12(kx ＋1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12kx 2＋x ⎪⎪⎪21＝32k ＋1，∴2≤32k ＋1≤4，∴23≤k ≤2.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，27.如图所示，是一个质点做直线运动的v －t 图象，则质点在前6 s 内的位移为________ m.解析 由题图易知 v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧34t ，0≤t ≤4，9－32t ，4<t ≤6.∴s ＝⎠⎛06v (t )d t ＝⎠⎛0434t d t ＋⎠⎛46⎝⎛⎭⎪⎫9－32t d t ＝38t 2⎪⎪⎪ 4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫9t －34t 2⎪⎪⎪64＝6＋3＝9.答案 98．(2013·江西卷改编)若S 1＝⎠⎛12x 2d x ，S 2＝⎠⎛121x d x ，S 3＝⎠⎛12e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为________．解析 S 1＝⎠⎛12x 2d x ＝13x 3⎪⎪⎪21＝73，S 2＝⎠⎛121x d x ＝ln 2，S 3＝⎠⎛12e x d x ＝e 2－e ，∵e 2－e ＝e(e －1)>e>73>ln 2，∴S 2＜S 1＜S 3. 答案 S 2＜S 1＜S 3 三、解答题9．已知f (x )在R 上可导，f (x )＝x 2＋2f ′(2)x ＋3，试求⎠⎛03f (x )d x 的值．解∵f(x)＝x2＋2f′(2)x＋3，∴f′(x)＝2x＋2f′(2)，∴f′(2)＝4＋2f′(2)，∴f′(2)＝－4，∴f(x)＝x2－8x＋3.∴⎠⎛3f(x)d x＝⎝⎛⎭⎪⎫13x3－4x2＋3x⎪⎪⎪3＝－18.10．求曲线y＝x2，直线y＝x，y＝3x围成的图形的面积．解作出曲线y＝x2，直线y＝x，y＝3x的图象，所求面积为图中阴影部分的面积．解方程组⎩⎨⎧y＝x2，y＝x，得交点(1,1)，解方程组⎩⎨⎧y＝x2，y＝3x，得交点(3,9)，因此，所求图形的面积为S＝⎠⎛1(3x－x)d x＋⎠⎛13(3x－x2)d x＝⎠⎛12x d x＋⎠⎛13(3x－x2)d x＝x2⎪⎪⎪1＋⎝⎛⎭⎪⎫32x2－13x3⎪⎪⎪31＝1＋⎝⎛⎭⎪⎫32×32－13×33－⎝⎛⎭⎪⎫32×12－13×13＝133.能力提升题组(建议用时：25分钟)一、选择题1．若⎠⎛1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln 2(a >1)，则a 的值是( )．A ．2B ．3C ．4D ．6解析 ⎠⎛1a ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝(x 2＋ln x )⎪⎪⎪a 1＝a 2＋ln a －1，∴a 2＋ln a －1＝3＋ln 2，则a ＝2. 答案 A2．(2014·郑州调研)如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC 内，曲线y ＝x 2和曲线y ＝x 围成一个叶形图(阴影部分)，向正方形AOBC 内随机投一点(该点落在正方形AOBC 内任何一点是等可能的)，则所投的点落在叶形图内部的概率是( )．A.12 B.16 C.14D.13解析 依题意知，题中的正方形区域的面积为12＝1，阴影区域的面积等于⎠⎛01(x－x 2)d x ＝＝13，因此所投的点落在叶形图内部的概率等于13.答案 D 二、填空题3．(2014·广州调研)若f (x )＝则f (2 014)＝________.解析 当x >0时，f (x )＝f (x －4)，则f (x ＋4)＝f (x )， ∴f (2 014)＝f (2)＝f (－2)，又∵＝13，∴f (2 014)＝f (－2)＝2－2＋13＝712. 答案 712 三、解答题4.如图所示，过点A (6,4)作曲线f (x )＝4x －8的切线l .(1)求切线l 的方程；(2)求切线l ，x 轴及曲线f (x )＝4x －8所围成的封闭图形的面积S . 解 (1)由f (x )＝4x －8，∴f ′(x )＝1x －2. 又点A (6,4)为切点，∴f ′(6)＝12，因此切线方程为y －4＝12(x －6)，即x －2y ＋2＝0. (2)令f (x )＝0，则x ＝2，即点C (2,0)．在x －2y ＋2＝0中，令y ＝0，则x ＝－2，∴点B (－2,0)． 故S ＝⎠⎛6－2⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1d x －⎠⎛264x －8d x能力提升练——导数及其应用(建议用时：90分钟)一、选择题1．(2014·襄阳调研)曲线y ＝x 3－2x ＋4在点(1,3)处的切线的倾斜角为 ( )．C ．60°D ．120°解析 由y ′＝3x 2－2得y ′|x ＝1＝1，即曲线在点(1,3)处的切线斜率为1，所以切线的倾斜角为45°. 答案 B2．函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2，则f (x )>2x ＋4的解集为( )．A ．(－1,1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，＋∞)解析 设g (x )＝f (x )－2x －4，由已知g ′(x )＝f ′(x )－2>0，则g (x )在(－∞，＋∞)上递增，又g (－1)＝f (－1)－2＝0，由g (x )＝f (x )－2x －4>0，知x >－1. 答案 B3．定积分⎠⎛01(e x ＋2x )d x 的值为( )．A ．1B ．e －1C ．eD ．e ＋1解析 ⎠⎛01(e x ＋2x )d x ＝(e x ＋x 2)⎪⎪⎪10＝e.答案 C4．已知函数f (x )＝2ln x －xf ′(1)，则曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程是 ( )． A ．x －y ＋2＝0 B ．x ＋y ＋2＝0 C ．x ＋y －2＝0 D ．x －y －2＝0解析 易知f ′(x )＝2x －f ′(1)，令x ＝1，得f ′(1)＝2－f ′(1)，∴f ′(1)＝1，因此f (x )＝2ln x －x ，∴f (1)＝－1，∴所求的切线方程为y ＋1＝1·(x －1)，即x －y －2＝0. 答案 D5．(2014·济南质检)若a ＞0，b ＞0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于( )．C ．6D ．9解析 ∵f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ， Δ＝4a 2＋96b ＞0，又x ＝1是极值点，∴f ′(1)＝12－2a －2b ＝0，即a ＋b ＝6，且a >0，b >0，∴ab ≤(a ＋b )24＝9，当且仅当a ＝b 时“＝”成立，所以ab 的最大值为9. 答案 D6．(2014·青岛模拟)幂指函数y ＝f (x )g (x )在求导数时，可以运用对数法：在函数解析式两边求对数得ln y ＝g (x )ln f (x )，两边求导数得y ′y ＝g ′(x )ln f (x )＋g (x )f ′(x )f (x )，于是y ′＝f (x )g (x )·⎣⎢⎡⎦⎥⎤g ′(x )ln f (x )＋g (x )f ′(x )f (x ).运用此法可以探求得知的一个单调递增区间为 ( )．A ．(0，e)B ．(2,3)C ．(e,4)D ．(3,8)解析 将函数两边求对数得ln y ＝1x ln x ，两边求导数得y ′y ＝－1x 2ln x ＋1x ·1x＝1x 2(1－ln x )，所以y ′＝y ·1x 2(1－ln x )＝．令y ′>0，即1－lnx >0，∴0<x <e. 答案 A7．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )．若x ＝－1为函数f (x )e x 的一个极值点，则下列图象不可能为y ＝f (x )的图象是( )．解析 设h (x )＝f (x )e x ，则h ′(x )＝(2ax ＋b )e x ＋(ax 2＋bx ＋c )e x ＝(ax 2＋2ax ＋bx ＋b ＋c )e x . 由x ＝－1为函数f (x )e x 的一个极值点． ∴c －a ＝0，∴c ＝a .∴f (x )＝ax 2＋bx ＋a .若方程ax 2＋bx ＋a ＝0有两根x 1，x 2，则x 1x 2＝aa ＝1，D 中图象一定不满足条件． 答案 D8．物体A 以v ＝3t 2＋1(m/s)的速度在一直线l 上运动，物体B 在直线l 上，且在物体A 的正前方5 m 处，同时以v ＝10t (m/s)的速度与A 同向运动，出发后，物体A 追上物体B 所用的时间t (s)为 ( )．A ．3B ．4C ．5D ．6解析 因为物体A 在t 秒内行驶的路程为⎠⎛0t (3t 2＋1)d t ，物体B 在t 秒内行驶的路程为⎠⎛0t 10t d t ，所以⎠⎛0t (3t 2＋1－10t )d t ＝(t 3＋t －5t 2)⎪⎪⎪t0＝t 3＋t －5t 2，∴t 3＋t －5t 2＝5，(t －5)(t 2＋1)＝0，即t ＝5. 答案 C9．(2014·广州模拟)已知e 是自然对数的底数，函数f (x )＝e x ＋x －2的零点为a ，函数g (x )＝ln x ＋x －2的零点为b ，则下列不等式中成立的是 ( )．A ．f (a )<f (1)<f (b )B ．f (a )<f (b )<f (1)C ．f (1)<f (a )<f (b )D ．f (b )<f (1)<f (a )解析由f′(x)＝e x＋1>0，知f(x)在R上是增函数，∵f(0)＝1－2<0，f(1)＝e－1>0.∴函数f(x)的零点a∈(0,1)．由g′(x)＝1x＋1>0(x>0)，得g(x)在(0，＋∞)上单调递增．又g(1)＝ln 1＋1－2<0，g(2)＝ln 2>0，∴函数g(x)的零点b∈(1,2)，从而0<a<1<b<2，故f(a)<f(1)<f(b)．答案 A10．(2013·辽宁卷)设函数f(x)满足x2f′(x)＋2xf(x)＝e xx，f(2)＝e28，则x>0时，f(x) ()．A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值C．既有极大值又有极小值D．既无极大值也无极小值解析由条件，得f′(x)＝e xx3－2f(x)x＝e x－2x2f(x)x3.令g(x)＝e x－2x2f(x)，则g′(x)＝e x－2x2f′(x)－4xf(x)＝e x－2(x2f′(x)＋2xf(x))＝e x－2e xx ＝e x⎝⎛⎭⎪⎫1－2x，令g′(x)＝0，得x＝2.当x>2时，g′(x)>0；当0<x<2时，g′(x)<0. ∴g(x)在x＝2处有最小值g(2)＝e2－8f(2)＝0.从而g(x)≥0，f′(x)＝g(x)x3>0，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，无极大(小)值．答案 D二、填空题11．若曲线f(x)＝ax2＋ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是______．解析依题意得，f′(x)＝2ax＋1x＝0(x>0)有实根，所以a＝－12x2<0.答案(－∞，0)12．若曲线y＝2x－x3在横坐标为－1的点处的切线为l，则点P(3,2)到直线l的距离为________．解析由题意得切点坐标为(－1，－1)，切线斜率为k＝y′|x＝－1＝2－3x2|x＝－1＝2－3×(－1)2＝－1.故切线l的方程为y－(－1)＝－[x－(－1)]，整理得x＋y＋2＝0.∴点P(3,2)到直线l的距离为|3＋2＋2|12＋12＝722.答案72 213．不等式x2－2x<0表示的平面区域与抛物线y2＝4x围成的封闭区域的面积为_______．解析由x2－2x<0，得0<x<2，又y2＝4x，得y＝±2x，∴所求面积S＝2⎠⎛22x d x＝＝162 3.答案163 214．设函数f(x)＝e2x2＋1x，g(x)＝e2xe x，对任意x1，x2∈(0，＋∞)，不等式g(x1)k≤f(x2)k＋1恒成立，则正数k的取值范围是________．解析因为对任意x1，x2∈(0，＋∞)，不等式g (x 1)k ≤f (x 2)k ＋1恒成立，所以k k ＋1≥g (x 1)maxf (x 2)min .因为g (x )＝e 2xe x ＝x e 2－x ，所以g ′(x )＝(x e 2－x )′＝e 2－x ＋x e 2－x ·(－1)＝e 2－x (1－x )． 当0<x <1时，g ′(x )>0；当x >1时，g ′(x )<0， 所以g (x )在(0,1]上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减． 所以当x ＝1时，g (x )取到最大值，即g (x )max ＝g (1)＝e. 又f (x )＝e 2x ＋1x ≥2e(x >0)．当且仅当e 2x ＝1x ，即x ＝1e 时取等号，故f (x )min ＝2e. 所以g (x 1)max f (x 2)min ＝e 2e ＝12，应有k k ＋1≥12，又k >0，所以k ≥1. 答案 [1，＋∞) 三、解答题15．(2013·新课标全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4. (1)求a ，b 的值；(2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值． 解 (1)f ′(x )＝e x (ax ＋a ＋b )－2x －4.由已知得f (0)＝4，f ′(0)＝4.故b ＝4，a ＋b ＝8. 从而a ＝4，b ＝4.(2)由(1)知，f (x )＝4e x (x ＋1)－x 2－4x ， f ′(x )＝4e x (x ＋2)－2x －4＝4(x ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫e x －12.令f ′(x )＝0，得x ＝－ln 2或－2.从而当x ∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f ′(x )>0； 当x ∈(－2，－ln 2)时，f ′(x )<0.故f (x )在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减． 当x ＝－2时，函数f (x )取得极大值，极大值为f (－2)＝4(1－e －2)． 16．设函数f (x )＝a e x ＋1a e x ＋b (a >0)． (1)求f (x )在[0，＋∞)内的最小值；(2)设曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝32x ，求a ，b 的值． 解 (1)f ′(x )＝a e x －1a e x ，令f ′(x )>0，得x >－ln a ， 令f ′(x )<0，得x <－ln a .所以f (x )在(－ln a ，＋∞)上递增，f (x )在(－∞，－ln a )上递减．①当0<a <1时，－ln a >0，f (x )在(0，－ln a )上递减，在(－ln a ，＋∞)上递增， 从而f (x )在[0，＋∞)上的最小值为f (－ln a )＝2＋b .②当a ≥1时，－ln a ≤0，f (x )在[0，＋∞)上递增，从而f (x )在[0，＋∞)上的最小值为f (0)＝a ＋1a ＋b .(2)依题意f (2)＝3，f ′(2)＝a e 2－1a e 2＝32， 解得a e 2＝2或－12(舍去)，因此a ＝2e 2.代入f (2)＝3，得2＋12＋b ＝3，即b ＝12. 故a ＝2e 2，且b ＝12.17．(2014·南平质检)已知函数f (x )＝sin x ，g (x )＝mx －x 36(m 为实数)． (1)求曲线y ＝f (x )在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，f ⎝⎛⎭⎪⎫π4处的切线方程； (2)求函数g (x )的单调递减区间；(3)若m ＝1，证明：当x ＞0时，f (x )＜g (x )＋x 36.解 (1)由题意得所求切线的斜率k ＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝cos π4＝22.切点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，22，则切线方程为y －22＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4即x－2y＋1－π4＝0.(2)g′(x)＝m－12x 2.①当m≤0时，g′(x)≤0，则g(x)的单调递减区间是(－∞，＋∞)；②当m＞0时，令g′(x)＜0，解得x＜－2m或x＞2m，则g(x)的单调递减区间是(－∞，－2m)，(2m，＋∞)．(3)当m＝1时，g(x)＝x－x3 6.令h(x)＝g(x)－f(x)＝x－sin x，x∈[0，＋∞)，h′(x)＝1－cos x≥0，则h(x)是[0，＋∞)上的增函数．故当x＞0时，h(x)＞h(0)＝0，即sin x＜x，f(x)＜g(x)＋x3 6.18．已知函数f(x)＝ax＋x ln x的图象在点x＝e(e为自然对数的底数)处的切线斜率为3.(1)求实数a的值；(2)若k∈Z，且k<f(x)x－1对任意x>1恒成立，求k的最大值．解(1)因为f(x)＝ax＋x ln x，所以f′(x)＝a＋ln x＋1.因为函数f(x)＝ax＋x ln x的图象在点x＝e处的切线斜率为3，所以f′(e)＝3，即a＋ln e＋1＝3，所以a＝1.(2)由(1)知，f(x)＝x＋x ln x，又k<f(x)x－1＝x＋x ln xx－1对任意x>1恒成立，令g(x)＝x＋x ln xx－1，则g′(x)＝x－ln x－2(x－1)2，令h(x)＝x－ln x－2(x>1)，则h′(x)＝1－1x＝x－1x>0，所以函数h(x)在(1，＋∞)上单调递增．因为h(3)＝1－ln 3<0，h(4)＝2－2ln 2>0，所以方程h (x )＝0在(1，＋∞)上存在唯一实根x 0，且满足x 0∈(3,4)． 当1<x <x 0时，h (x )<0，即g ′(x )<0； 当x >x 0时，h (x )>0，即g ′(x )>0，所以函数g (x )＝x ＋x ln xx －1在(1，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增， 所以[g (x )]min ＝g (x 0)＝x 0(1＋ln x 0)x 0－1＝x 0(1＋x 0－2)x 0－1＝x 0，所以k <[g (x )]min ＝x 0∈(3,4)， 故整数k 的最大值是3.必记内容: 高中数学三角函数公式汇总一、任意角的三角函数在角α的终边上任取．．一点),(y x P ，记：22y x r +=， 正弦：r y =αsin 余弦：r x=αcos 正切：xy=αtan 余切：y x =αcot正割：xr=αsec 余割：yr =αcsc 注：我们还可以用单位圆中的有向线段表示任意角的三角函数：如图，与单位圆有关的有向．．线段MP 、OM 、AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线。
2019年高考数学理科考点一遍过13定积分与微积分基本定理(含解析)
考点13 定积分与微积分基本定理（1）了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念. （2）了解微积分基本定理的含义.一、定积分 1．曲边梯形的面积（1）曲边梯形：由直线x =a 、x =b (a ≠b )、y =0和曲线()y f x 所围成的图形称为曲边梯形(如图①)．（2）求曲边梯形面积的方法与步骤：①分割：把区间[a ，b ]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形(如图②)； ②近似代替：对每个小曲边梯形“以值代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值(如图②)；③求和：把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值求和；④取极限：当小曲边梯形的个数趋向无穷时，各小曲边梯形的面积之和趋向一个定值，即为曲边梯形的面积．2．求变速直线运动的路程如果物体做变速直线运动，速度函数为v =v (t )，那么也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，求出它在a ≤t ≤b 内所作的位移s .3．定积分的定义和相关概念（1）如果函数f (x )在区间[a ,b ]上连续，用分点a =x 0<x 1<…<x i −1<x i <…<x n =b 将区间[a ,b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i −1,x i ]上任取一点ξi(i =1,2, …,n )，作和式11()()nni i i i b af x f nξξ==-∆=∑∑；当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ,b ]上的定积分，记作()d baf x x ⎰，即()d baf x x ⎰=1lim ()ni n i b af nξ→∞=-∑. （2）在()d baf x x ⎰中，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ,b ]叫做积分区间，函数()f x 叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式． 4．定积分的性质 （1）()()d d bba akf x x k f x x =⎰⎰(k 为常数)；（2）[()()]d ()d ()d bb ba aaf xg x x f x x g x x ±=±⎰⎰⎰；（3）()d =()d +()d bc baacf x x f x x f x x ⎰⎰⎰(其中a <c <b )．【注】定积分的性质（3）称为定积分对积分区间的可加性，其几何意义是曲边梯形ABCD 的面积等于曲边梯形AEFD 与曲边梯形EBCF 的面积的和．5．定积分的几何意义（1）当函数f (x )在区间[a ,b ]上恒为正时，定积分ba ⎰ f (x )d x 的几何意义是由直线x =a ，x =b (a ≠b )，y =0和曲线y =f (x )所围成的曲边梯形的面积(图①中阴影部分)．（2）一般情况下，定积分ba ⎰ f (x )d x 的几何意义是介于x 轴、曲线f (x )以及直线x =a ，x =b 之间的曲边梯形面积的代数和(图②中阴影部分所示)，其中在x 轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．6．定积分与曲边梯形的面积的关系(常用结论)定积分的概念是从曲边梯形面积引入的，但是定积分并不一定就是曲边梯形的面积．这要结合具体图形来确定：设阴影部分面积为S ,则 （1）()d b aS f x x =⎰； （2）()d baS f x x =-⎰；（3）()()d d c bacS f x x f x x=-⎰⎰； （4）()()()()d d []d bbbaaaS f x x g x x f x g x x =-=-⎰⎰⎰.7．定积分的物理意义 （1）变速直线运动的路程做变速直线运动的物体所经过的路程s ，等于其速度函数v =v (t )(v (t )≥0)在时间区间[a ，b ]上的定积分，即()d bas v t t =⎰.（2）变力做功一物体在恒力F (单位：N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与F 相同的方向移动了s m ，则力F 所做的功为W =Fs .如果物体在变力F (x )的作用下沿着与F (x )相同的方向从x =a 移动到x =b ，则变力F (x )做的功()d baW F x x =⎰.二、微积分基本定理一般地，如果 f (x )是区间[a ,b ]上的连续函数，且F ′(x )=f (x )，那么()d baf x x ⎰=F (b )−F (a )．这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式，其中F (x )叫做 f (x )的一个原函数．为了方便，我们常把F (b )−F (a )记作()|ba F x ，即()d baf x x ⎰=()|b a F x =F (b )−F (a )． 【注】常见的原函数与被积函数的关系 （1）d |(bb a a C x Cx C =⎰为常数)；（2）11d |(1)1bn n ba ax x x n n +=≠-+⎰； （3）sin d cos |bb a a x x x =-⎰； （4）cos d sin |bb a a x x x =⎰；（5）1d ln |(0)bb a ax x b a x=>>⎰； （6）e d e |bx x b a a x =⎰；（7）d |(0,1)ln x bxba a a a x a a a=>≠⎰；（8）322|(0)3b a ax x b a =>≥⎰.考向一 定积分的计算1．求定积分的三种方法（1）利用定义求定积分(定义法)，可操作性不强； （2）利用微积分基本定理求定积分；（3）利用定积分的几何意义求定积分．当曲边梯形面积易求时，可通过求曲边梯形的面积求定积分．例如，定积分x ⎰的几何意义是求单位圆面积的14，所以π=4x⎰.2．用牛顿—莱布尼茨公式求定积分的步骤（1）把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差；（2）把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分；（3）分别用求导公式找到一个相应的原函数；（4）利用牛顿—莱布尼茨公式求出各个定积分的值；（5）计算原始定积分的值.3．分段函数的定积分分段函数求定积分，可先把每一段函数的定积分求出后再相加．4．奇偶函数的定积分（1）若奇函数y=f(x)的图象在[−a，a]上连续，则()d0aaf x x-=⎰；（2）若偶函数y=g(x)的图象在[−a，a]上连续，则()d2()da aag x x g x x-=⎰⎰.典例A．12B．1C．2D．3【答案】A故选A．【解题技巧】求定积分的关键是找到被积函数的原函数，为避免出错，在求出原函数后可利用求导与积分互为逆运算的关系进行验证.1．若cos2cos dtt x x=-⎰，其中()0,πt∈，则t=A ．π6 B ．π3 C ．π2D ．5π6考向二 利用定积分求平面图形的面积利用定积分求平面图形面积问题的常见类型及解题策略 （1）利用定积分求平面图形面积的步骤①根据题意画出图形；②借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限； ③把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和； ④计算定积分，写出答案． （2）知图形的面积求参数求解此类题的突破口：画图，一般是先画出它的草图；然后确定积分的上、下限，确定被积函数，由定积分求出其面积，再由已知条件可找到关于参数的方程，从而可求出参数的值．（3）与概率相交汇问题解决此类问题应先利用定积分求出相应平面图形的面积，再用相应概率公式进行计算.典例2 设抛物线C ：y =x 2与直线l ：y =1围成的封闭图形为P ，则图形P 的面积S 等于 A ．1 B ．13 C ．23D ．43【答案】D【解析】由21y x y ⎧=⎨=⎩，得1x =±.如图，由对称性可知，12301142(11d )2(11)033S x x x =⨯-=⨯-=⎰. 故选D.2．用S 表示图中阴影部分的面积，则S 的值是A ．()d ca f x x ⎰B ．()d caf x x ⎰C ．()d ()d bcabf x x f x x +⎰⎰D ．()d ()d cbba f x x f x x -⎰⎰考向三 定积分的物理意义利用定积分解决变速直线运动与变力做功问题利用定积分解决变速直线运动问题和变力做功问题时，关键是求出物体做变速直线运动的速度函数和变力与位移之间的函数关系，确定好积分区间，得到积分表达式，再利用微积分基本定理计算即得所求.典例3 一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度25()731v t t +t=-+(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是 A ．1＋25ln 5 B ．8＋25ln113C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 2【答案】C【解析】令v (t )=0得，3t 2−4t −32=0，解得t =4(83t =-舍去). 汽车的刹车距离是42400253(73)d [725ln(1)]|425ln 5.12t +t t t t t -=-++=++⎰故选C.3．已知物体运动的速度与时间的关系式为49v t =-，则物体从0t =到5t =所走的路程为 A ．11B ．5C ．1014D ．201AB C ．πD ．2π2．求曲线2y x =与y x =所围成的图形的面积S ，正确的是 A ．()120d S x x x =-⎰B ．()120d S xx x =-⎰C ．()12d S y y y =-⎰D 3．若()π4sin cos d 2ax x x +=⎰，则a 的值不可能为 A ．13π12 B ．7π4 C ．29π12D ．37π124．已知函数()f x 在R 上可导，且()()()34120f x x x f f '+'=-，则1()d f x x =⎰A ．1B ．1-C ．394D ．394-5．汽车以()32 m/s v t =+作变速运动时，在第1s 至2s 之间的1s 内经过的路程是 A ．5m BC ．6mD6．若函数()()πsin 0,06f x A x A ωω⎛⎫=->> ⎪⎝⎭的图象如图所示，则图中阴影部分的面积为A ．12B ．14C ．24D ．227．已知二项式912x ax ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为212-，则e 1d a x x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰的值为 A ．2e 12+B ．2e 32-C ．2e 32+D ．2e 52-8．曲线2y x x =--与x 轴所围成图形的面积被直线y kx =分成面积相等的两部分，则k 的值为A ．14-B ．C ．1-D 1 9．设()22fx x x =-,在区间[]01，上随机产生10000个随机数，构成5000个数对()(),1,2,,5000i i x y i =，记满足()()1,2,,5000i i f x y i ≥=的数对(),i i x y 的个数为X ,则X 的估计值约为A ．3333B ．3000C ．2000D ．166710．已知定义在R 上的函数()f x 与()g x ，若函数()f x 为偶函数，函数()g x 为奇函数，且()0d 6a f x x =⎰，则()()2d aaf xg x x -⎡⎤+=⎣⎦⎰__________．1．（2015年高考湖南卷理科）2(1)d x x -=⎰．2．（2015年高考天津卷理科）曲线2y x =与直线y x =所围成的封闭图形的面积为 ． 3．（2015年高考山东卷理科）执行如图所示的程序框图,输出的T 的值为 ．4．（2015年高考福建卷理科）如图,点A 的坐标为(1,0),点C 的坐标为(2,4),函数f (x )=x 2.若在矩形ABCD 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率等于 ．5．（2015年高考陕西卷理科）如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线表示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 ．【点睛】本题主要考查定积分的求法、二倍角的余弦公式，考查了已知三角函数值求角，意在考查综合运用所学知识解决问题的能力，是中档题.求解时，首先求出定积分cos dtx x⎰，代入0cos2cos dtt x x=-⎰，利用二倍角公式得到关于sin t的方程，求出sin t，结合t的范围可得结果.2．【答案】D【解析】由定积分的几何意义知，图中阴影部分的面积为()[]d()d()d()db c c ba b b af x x f x x f x x f x x-+=-⎰⎰⎰⎰.故选D．3．【答案】B【解析】由积分的物理意义可知物体从t=0到t=5所走的路程为()()52549d29|50455t t t t-=-=-=⎰.故选B．1．【答案】A【解析】(()2211y x x y=∴-+=表示以()1,0为圆心，1为半径的圆，∴定积分x⎰等于该圆的面积的四分之一，∴A．2．【答案】A【解析】如图所示，由定积分几何意义可得()12d S x x x =-⎰，故选A ． 3．【答案】B 【解析】由题得()()ππ44ππsin cos d sin cos |cos sin cos sin sin cos 44aax x x x x a a a a +=-=---=-⎰π42a ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，所以π1sin 42a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，把7π4a =代入，3π1sin 22≠,显然不成立，故选B ．5．【答案】D【解析】由题意可得在第1s至2s之间的1s内经过的路程132=,故选D ． 6．【答案】C【解析】由图可知，1A =，πππ2362T ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，即πT =，∴2ω=，则()πs i n 26fx x ⎛⎫=-⎪⎝⎭. ∴图中的部分的面积为ππ12120π1π1πππs i n 2d c o s (2626266S x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-=--- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰.112⎛=⨯= ⎝⎭.故选C ． 【名师点睛】本题考查了导数在求解面积中的应用，关键是利用图形求解函数的解析式，再在运用积分求解．定积分的计算一般有三个方法： ①利用微积分基本定理求原函数；②利用定积分的几何意义，即利用面积求定积分；③利用奇偶性、对称性求定积分，如奇函数在对称区间的定积分值为0. 7．【答案】B【解析】二项式912x ax ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项为99219911C C 22r rr r r r r T x x ax a --+⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令3r =可得3x 的系数为3393121C 22a a ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭．由题意得3212122a =-，解得1a =-． 所以ee 1212e 11d 1e 3ln |2d 2x x a x x x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰⎰．故选B ．【名师点睛】先由二项式定理求得展开式的通项，根据题意求得实数a 的值，再根据微积分基本定理求定积分． 8．【答案】D【解析】如图所示，曲线2y x x =--与x 轴的交点为()1,0-和0,0（），曲线2y x x =--与直线y kx =的交点为()21,k k k ----和0,0（）．由题意和定积分的几何意义得：()2211()d 2d kx x x xx kx x -----=---⎰⎰，化简得：()()33111=2632k k ⎛⎫++ ⎪-+ ⎪⎝⎭，即31=1+2k （），解得：112k =-=-．故选D ．【点睛】1．由函数图象或曲线围成的曲边图形面积的计算及应用，一般转化为定积分的计算及应用， 但一定要找准积分上限、下限及被积函数，且当图形的边界不同时，要讨论解决．具体步骤如下：(1)画出图形，确定图形范围；(2)解方程组求出图形交点坐标，确定积分上、下限； (3)确定被积函数，注意分清函数图形的上、下位置； (4)计算定积分，求出平面图形的面积．2．由函数求其定积分，能用公式的利用公式计算，有些特殊函数可根据其几何意义，求出其围成的几何图形的面积，即其定积分． 9．【答案】A【解析】满足()i i y f x ≤是在曲线()y f x =、0,1y x ==所围成的区域内（含边界），又该区域的面积为()122310122d |33x x x xx -=-=⎰，故X 的估计值为2500033333⨯≈. 故选A ．【名师点睛】对于曲边梯形的面积，我们可以用定积分来计算.设事件A 为“[]0,1上随机产生数对(),x y ，满足()y f x ≤ ”，则总的基本事件为0101x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩，对应的测度为正方形的面积1，而随机事件A 对应的测度为为曲边梯形()0101y f x x y ⎧≤⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩的面积，它可利用定积分来计算. 10．【答案】12【解析】∵函数()f x 为偶函数，函数()g x 为奇函数，∴函数()f x 的图象关于y 轴对称，函数()g x 的图象关于原点对称． ∴()()0d 2d 12aa a f x x f x x -==⎰⎰，()d 0aag x x -=⎰，∴()()()()2d d 2d 12aaaa a a f x g x x f x x g x x ---⎡⎤+=+=⎣⎦⎰⎰⎰．【点睛】根据定积分的几何意义和函数的奇偶性求解．定积分()()d (0)ba f x x f x >⎰的几何意义是表示曲线()y f x =以下、x 轴以上和直线,x a x b ==之间的曲边梯形的面积，解题时要注意面积非负，而定积分的结果可以为负．1．【答案】0 【解析】2220011(1)d ()|42022x x x x -=-=⨯-=⎰.2．【答案】16【解析】由题意可得封闭图形的面积为122310011111()d ()|23236x x x x x -=-=-=⎰.4．【答案】512【解析】依题意知点D 的坐标为(1,4),所以矩形ABCD 的面积S =1×4=4,阴影部分的面积S 阴影=3222111754d 44333| x x x =-=--=⎰, 根据几何概型的概率计算公式得,所求的概率P =553412S S ==阴影.5．【答案】1.2【解析】建立空间直角坐标系，如图所示：原始的最大流量是()11010222162⨯+-⨯⨯=，设抛物线的方程为22x py =(0p >)，因为该抛物线过点()5,2，所以2225p ⨯=，解得254p =，所以2252x y =，即2225y x =，所以当前最大流量是()()53235355222240(2)d (2)(255)[255]257575753x x x x ---=-=⨯-⨯-⨯--⨯-=⎰，故原始的最大流量与当前最大流量的比值是161.2403，所以答案为1.2．。
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考点13 定积分与微积分基本定理（1）了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念. （2）了解微积分基本定理的含义.一、定积分 1．曲边梯形的面积（1）曲边梯形：由直线x =a 、x =b (a ≠b )、y =0和曲线()y f x 所围成的图形称为曲边梯形(如图①)．（2）求曲边梯形面积的方法与步骤：①分割：把区间a ，b ]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形(如图②)； ②近似代替：对每个小曲边梯形“以值代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值(如图②)；③求和：把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值求和；④取极限：当小曲边梯形的个数趋向无穷时，各小曲边梯形的面积之和趋向一个定值，即为曲边梯形的面积．2．求变速直线运动的路程如果物体做变速直线运动，速度函数为v =v (t )，那么也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，求出它在a ≤t ≤b 内所作的位移s . 3．定积分的定义和相关概念（1）如果函数f (x )在区间a ,b ]上连续，用分点a =x 0<x 1<…<x i −1<x i <…<x n =b 将区间a ,b ]等分成n 个小区间，在每个小区间x i −1,x i ]上任取一点ξi (i =1,2, …,n )，作和式11()()n nii i i b af x f nξξ==-∆=∑∑；当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间a ,b ]上的定积分，记作()d baf x x ⎰，即()d baf x x ⎰=1lim ()ni n i b af nξ→∞=-∑. （2）在()d baf x x ⎰中，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间a ,b ]叫做积分区间，函数()f x 叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式． 4．定积分的性质 （1）()()d d bba akf x x k f x x =⎰⎰(k 为常数)；（2）[()()]d ()d ()d bb ba aaf xg x x f x x g x x ±=±⎰⎰⎰；（3）()d =()d +()d bc baacf x x f x x f x x ⎰⎰⎰(其中a <c <b )．【注】定积分的性质（3）称为定积分对积分区间的可加性，其几何意义是曲边梯形ABCD 的面积等于曲边梯形AEFD 与曲边梯形EBCF 的面积的和．5．定积分的几何意义（1）当函数f (x )在区间a ,b ]上恒为正时，定积分ba ⎰ f (x )d x 的几何意义是由直线x =a ，x =b (a ≠b )，y =0和曲线y =f (x )所围成的曲边梯形的面积(图①中阴影部分)．（2）一般情况下，定积分ba ⎰ f (x )d x 的几何意义是介于x 轴、曲线f (x )以及直线x =a ，x =b 之间的曲边梯形面积的代数和(图②中阴影部分所示)，其中在x 轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．6．定积分与曲边梯形的面积的关系(常用结论)定积分的概念是从曲边梯形面积引入的，但是定积分并不一定就是曲边梯形的面积．这要结合具体图形来确定：设阴影部分面积为S ,则 （1）()d b aS f x x =⎰； （2）()d baS f x x =-⎰；（3）()()d d c bacS f x x f x x=-⎰⎰； （4）()()()()d d []d bbbaaaS f x x g x x f x g x x =-=-⎰⎰⎰.7．定积分的物理意义 （1）变速直线运动的路程做变速直线运动的物体所经过的路程s ，等于其速度函数v =v (t )(v (t )≥0)在时间区间a ，b ]上的定积分，即()d bas v t t =⎰.（2）变力做功一物体在恒力F (单位：N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与F 相同的方向移动了s m ，则力F 所做的功为W =Fs .如果物体在变力F (x )的作用下沿着与F (x )相同的方向从x =a 移动到x =b ，则变力F (x )做的功()d baW F x x =⎰.二、微积分基本定理一般地，如果 f (x )是区间a ,b ]上的连续函数，且F ′(x )=f (x )，那么()d baf x x ⎰=F (b )−F (a )．这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式，其中F (x )叫做 f (x )的一个原函数．为了方便，我们常把F (b )−F (a )记作()|ba F x ，即()d baf x x ⎰=()|b a F x =F (b )−F (a )．学. 【注】常见的原函数与被积函数的关系 （1）d |(bb a a C x Cx C =⎰为常数)；（2）11d |(1)1bn n ba ax x x n n +=≠-+⎰； （3）sin d cos |bb a a x x x =-⎰； （4）cos d sin |bb a a x x x =⎰；（5）1d ln |(0)bb a ax x b a x=>>⎰； （6）e d e |bx x b a a x =⎰；（7）d |(0,1)ln x bxba a a a x a a a=>≠⎰； （8）322d |(0)3bb a ax x x b a =>≥⎰.考向一 定积分的计算1．求定积分的三种方法（1）利用定义求定积分(定义法)，可操作性不强； （2）利用微积分基本定理求定积分；（3）利用定积分的几何意义求定积分．当曲边梯形面积易求时，可通过求曲边梯形的面积求定积分．例如，定积分201d x x -⎰的几何意义是求单位圆面积的14，所以120π1d =4x x -⎰. 2．用牛顿—莱布尼茨公式求定积分的步骤（1）把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差； （2）把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分； （3）分别用求导公式找到一个相应的原函数； （4）利用牛顿—莱布尼茨公式求出各个定积分的值； （5）计算原始定积分的值. 3．分段函数的定积分分段函数求定积分，可先把每一段函数的定积分求出后再相加． 4．奇偶函数的定积分（1）若奇函数y =f (x )的图象在−a ，a ]上连续，则()d 0aa f x x -=⎰； （2）若偶函数y =g (x )的图象在−a ，a ]上连续，则0()d 2()d aaag x x g x x -=⎰⎰.典例1 定积分1(2e )d x x x +⎰的值为A ．e 2+B ．e 1+C ．D ．e 1-【答案】C【解题技巧】求定积分的关键是找到被积函数的原函数，为避免出错，在求出原函数后可利用求导与积分互为逆运算的关系进行验证.1．若S 1=21⎰x 2d x ，S 2=21d 1x x ⎰，S 3=2e d 1xx ⎰，则S 1，S 2，S 3的大小关系为 A ．S 1<S 2<S 3 B ．S 2<S 1<S 3 C ．S 2<S 3<S 1D ．S 3<S 2<S 1考向二利用定积分求平面图形的面积利用定积分求平面图形面积问题的常见类型及解题策略（1）利用定积分求平面图形面积的步骤①根据题意画出图形；②借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；③把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和；④计算定积分，写出答案．（2）知图形的面积求参数求解此类题的突破口：画图，一般是先画出它的草图；然后确定积分的上、下限，确定被积函数，由定积分求出其面积，再由已知条件可找到关于参数的方程，从而可求出参数的值．（3）与概率相交汇问题解决此类问题应先利用定积分求出相应平面图形的面积，再用相应概率公式进行计算.典例2 设抛物线C：y=x2与直线l：y=1围成的封闭图形为P，则图形P的面积S等于A．1 B．1 3C．23D．43【答案】D2．正方形的四个顶点A(−1，−1)，B(1，−1)，C(1,1)，D(−1,1)分别在抛物线y=−x2和y=x2上，如图所示．若将一个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落在图中阴影区域的概率是________．考向三定积分的物理意义利用定积分解决变速直线运动与变力做功问题利用定积分解决变速直线运动问题和变力做功问题时，关键是求出物体做变速直线运动的速度函数和变力与位移之间的函数关系，确定好积分区间，得到积分表达式，再利用微积分基本定理计算即得所求.典例3 一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度25 ()731v t t+t=-+(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止．学.科在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是A．1＋25ln 5 B．8＋25ln 11 3C．4＋25ln 5 D．4＋50ln 2 【答案】C3．一物体在力5,02,()=34,2x F x x x ≤≤⎧⎨+>⎩ (单位：N)的作用下沿与力F 相同的方向，从x =0处运动到x =4(单位：m)处，则力F (x )做的功为________焦．1．πcos d x x =⎰A ．1B ．2-C ．0D ．π2．若12()2()d f x x f x x =+⎰，则1()d f x x ⎰=A ．−1B ．13- C ．13D ．13．若()π402sin cos d x a x x -=⎰ A ． B 2 C ．1-D ．34．直线34x y x y ==与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积为 A ．22B ．24C ．D ．45．定义a b ad bc c d=-，如121423234=⨯-⨯=-，那么21d 312x x =⎰A ．6B ．3C ．32D ．06922x a x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为A ．158-B ．212-C ．54-D ．1- 7．设实数2log 3a =，131log 2b =，π01sin d c x x=⎰，则A ．b a c >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．a c b >>8．两曲线sin y x =，cos y x =与两直线0x =A C9．在平面直角坐标系中，记抛物线y =x −x 2与x 轴所围成的平面区域为M ，该抛物线与直线y =kx (k >0)所围成的平面区域为A ，向区域M 内随机抛掷一点P ，若点P 落在区域A 内的概率为827，则k 的值为 A ．13B ．23 C ．12D ．3410．若函数)(x f 、)(x g 满足11()()d 0f x g x x -=⎰，则称)(x f 、)(x g 为区间]1,1[-上的一组正交函数，给出三组函数：①x x g x x f 21cos )(,21sin)(==；②1)(,1)(-=+=x x g x x f ；③2)(,)(x x g x x f ==.其中为区间]1,1[-的正交函数的组数是 A ．0 B ．1 C ．2D ．311．在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C 的方程为20x y -=）的点的个数的估计值为A ．5000B ．6667C ．7500D ．785412．自由落体的运动速度v gt =(g 为常数)，则当[]1,2t ∈时，物体下落的距离为__________．13．已知()[](]221,1,11,1,2x x f x x x ⎧-∈-⎪=⎨-∈⎪⎩，则()21d f x x -=⎰__________．1．（2015年高考湖南卷）2(1)d x x -=⎰．2．（2015年高考天津卷）曲线2y x =与直线y x =所围成的封闭图形的面积为 ． 3．（2015年高考山东卷）执行如图所示的程序框图,输出的T 的值为 ．4．（2015年高考福建卷）如图,点A 的坐标为(1,0),点C 的坐标为(2,4),函数f (x )=x 2.若在矩形ABCD 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率等于 ．5．（2015年高考陕西卷）如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线表示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为．1．【答案】B【解析】根据微积分基本定理得，321117|33S x==，221ln|ln2S x==，2231e|e exS==-.又ln 2<1<73，27e e=e(e1)>e3-->，所以S2<S1<S3.选B.2．【答案】233．【答案】36变式拓展1．【答案】C 【解析】ππ00cos d sin |sin π00x x x ==-=⎰．2．【答案】B 【解析】令1()d =f x x m⎰，则2()=+2f x x m，所以1123100011()d =(+2)d (2)|233f x x x m x x mx m =+=+⎰⎰ m =，解得13m =-，所以101()d =3f x x -⎰，故选B.3．【答案】B 【解析】由题意可知：()πππ4440sin cos d sin d cos d 1x a x x x x a x x -=-=⎰⎰⎰， 结合题意有：1-=，解得：a =本题选择B. 4．【答案】D【解析】由已知得，23242001(4)d (2)|44S x x x x x =-=-=⎰，故选D . 5．【答案】D =221d x x ⎰−3=0．选D.6．【答案】B【解析】=2，所以922x a x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为，令r =3，得常数项为7．【答案】C 【解析】221331log 3log 21,0log log 212a b =>=<==<,而()()ππ00sin d cos |cos πx x x =-=--⎰()cos02-=,所以12c=,331log 2log 32>=,所以a b c >>,选C.8．【答案】D【方法点睛】本题主要考查定积分的几何意义，属于中档题.一般情况下，定积分()d baf x x⎰的几何意义是介于轴、曲线y =()f x 以及直线,x a x b ==之间的曲边梯形面积的代数和，其中在轴上方的面积等于该区间上的积分值，在轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数,所以在用定积分求曲边形面积时，一定要分清面积与定积分是相等还是互为相反数. 9．【答案】A【解析】∵M 的面积为122301111()d ()0236x x x x x -=-=⎰，A 的面积为12232301111()d ()(1)02326kk kx x kx x x x x k ----=--=-⎰，∴31(1)86,1276k -=∴1=3k ，故选A.10．【答案】C有2组，故选C. 11．【答案】B【解析】1230101d |133S x x x ===⎰空白，则121133S S -=-=空白阴影＝，因此点落入阴影部分的概率为22313P ==，从而所求点的个数估计为21000066673⨯≈，故选B ．12．【答案】32g【解析】由定积分的物理意义可得，2221113d |22gt t gt g ==⎰．13．【答案】π423+【解析】由题意可得()21222211131ππ4d 1d (1)d |2323x f x x x x x x x --⎛⎫=-+-=+-=+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰，答案为π423+.【名师点睛】求定积分的题型，一种是：利用几何意义求面积，一般是圆；第二种是：求被积函数的原函数，用积分公式；第三种是：利用奇函数关于原点对称的区间的积分为0.本题考查了第一种和第二种.1．【答案】0【解析】2220011(1)d ()|42022x x x x -=-=⨯-=⎰.2．【答案】16【解析】由题意可得封闭图形的面积为122310011111()d ()|23236x x x x x -=-=-=⎰. 直通高考3．【答案】1164．【答案】512【解析】依题意知点D 的坐标为(1,4),所以矩形ABCD 的面积S =1×4=4,阴影部分的面积S阴影=3222111754d 44333| x x x =-=--=⎰,根据几何概型的概率计算公式得,所求的概率P =553412S S ==阴影.5．【答案】1.2【解析】建立空间直角坐标系，如图所示：原始的最大流量是()11010222162⨯+-⨯⨯=，设抛物线的方程为22x py =(0p >)，因为该抛物线过。