2018学高考理科数学二轮复习 寒假作业(二十二) 选修4-4 坐标系与参数方程(注意解题的准度)

寒假作业(二十二) 选修4－4 坐标系与参数方程(注意解题的准度)

1．(2017·沈阳质检)在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝x ，圆C ：⎩

⎪⎨⎪

⎧

x ＝－1＋cos φ，y ＝－2＋sin φ(φ

为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

(1)求直线l 与圆C 的极坐标方程；

(2)设直线l 与圆C 的交点为M ，N ，求△CMN 的面积． 解：(1)将C 的参数方程化为普通方程，得(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝1， ∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，

∴直线l 的极坐标方程为θ＝π

4

(ρ∈R)，

圆C 的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ＋4ρsin θ＋4＝0. (2)将θ＝π

4代入ρ2＋2ρcos θ＋4ρsin θ＋4＝0，

得ρ2＋32ρ＋4＝0，解得ρ1＝－22，ρ2＝－2， |MN |＝|ρ1－ρ2|＝2， ∵圆C 的半径为1，

∴△CMN 的面积为12×2×1×sin π4＝1

2

.

2．(2017·洛阳第一次统一考试)在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨

⎪⎧

x ＝2cos φ，

y ＝2＋2sin φ

(φ为参数)．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．

(1)求圆C 的普通方程；

(2)直线l 的极坐标方程是2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝53，射线OM ：θ＝π

6与圆C 的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．

解：(1)因为圆C 的参数方程为⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＝2cos φ

y ＝2＋2sin φ(φ为参数)，

所以圆C 的普通方程为x 2＋(y －2)2＝4.

(2)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋(y －2)2＝4， 得圆C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ.

设P (ρ1，θ1)，则由⎩⎪⎨⎪⎧

ρ＝4sin θ，θ＝π6

，解得ρ1＝2，θ1

＝π

6.

设Q (ρ2

，θ2

)，则由⎩⎨⎧

2ρsin ⎝⎛⎭

⎫θ＋π

6＝53，θ＝π

6，

解得ρ2＝5，θ2＝π

6.

所以|PQ |＝3.

3．(2018届高三·西安八校联考)在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ，θ∈[0,2π)．

(1)求曲线C 的直角坐标方程；

(2)在曲线C 上求一点D ，使它到直线l ：⎩⎨⎧

x ＝3t ＋3，y ＝－3t ＋2

(t 为参数)的距离最短，并求出点D 的直角坐标． 解：(1)由ρ＝2sin θ，θ∈[0,2π)，可得ρ2＝2ρsin θ. 因为ρ2＝x 2＋y 2，ρsin θ＝y ，

所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋(y －1)2＝1.

(2)因为直线l 的参数方程为⎩⎨⎧

x ＝3t ＋3，

y ＝－3t ＋2

(t 为参数)，

消去t 得直线l 的普通方程为y ＝－3x ＋5.

因为曲线C ：x 2＋(y －1)2＝1是以C (0,1)为圆心、1为半径的圆，易知曲线C 与直线l 相离．

设点D (x 0，y 0)，且点D 到直线l ：y ＝－3x ＋5的距离最短， 所以曲线C 在点D 处的切线与直线l ：y ＝－3x ＋5平行． 即直线CD 与l 的斜率的乘积等于－1， 即

y 0－1x 0

×(－3)＝－1，又x 20＋(y 0－1)2

＝1， 可得x 0＝－

32(舍去)或x 0＝32，所以y 0＝3

2

， 即点D 的坐标为

⎝⎛⎭

⎫32，32.

4．(2017·福州综合质量检测)已知直线l 的参数方程为⎩⎨

⎧

x ＝m ＋22t ，

y ＝22t

(t 为参数)，以

坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ＋

3ρ2sin 2θ＝12，其左焦点F 在直线l 上．

(1)若直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求|FA |·|FB |的值； (2)求椭圆C 的内接矩形周长的最大值．

解：(1)将椭圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程，得x 212＋y 24＝1，则其左焦点F (－22，

0)，则m ＝－2 2.

将直线l 的参数方程⎩⎨

⎧

x ＝－2

2＋

2

2

t ，y ＝22t

(t 为参数)与曲线C 的方程x 212＋y 2

4

＝1联立，

化简可得t 2－2t －2＝0，

由直线l 的参数方程的几何意义，令|FA |＝|t 1|，|FB |＝|t 2|，则|FA |·|FB |＝|t 1t 2|＝2. (2)由椭圆C 的方程为x 212＋y 2

4＝1，可设椭圆C 上的任意一点P 的坐标为(23cos θ，2sin

θ)⎝

⎛⎭⎫0<θ<π2， 则以P 为顶点的内接矩形的周长为 4×(23cos θ＋2sin θ)＝16sin ⎝⎛⎭

⎫θ＋π

3， 因此当θ＝π

6

时，可得该内接矩形周长的最大值为16.