2019江苏高考数学二轮精编冲刺作业：第14讲 函数的零点问题 Word版含解析

第14讲函数的零点问题
1.设a为实数,若函数f(x)=---a存在零点,则实数a的取值范围是.
2.(2018南京第一学期期末)若m>0,且关于x的方程(mx-1)2-m=在区间[0,1]上有且只有一个实数解,则实数m的取值范围是.
3.(2018江苏泰州中学高三月考)若函数f(x)=|2x-1|,则函数g(x)=f(f(x))+ln x在(0,1)上不同的零点个数为.
4.(2018江苏扬州中学模拟)已知函数f(x)=-
-
函数g(x)=b-f(2-x),其中b∈R,若函数
y=f(x)-g(x)恰有4个零点,则实数b的取值范围是.
5.(2018淮海中学模拟)已知函数f(x)=--
-
g(x)=x2+1-2a,若函数y=f(g(x))有
4个零点,则实数a的取值范围是.
6.已知m∈R,函数f(x)=lg.
(1)若函数g(x)=f(x)+lg x2有且仅有一个零点,求实数m的值;
(2)设m>0,任取x1,x2∈[t,t+2],若不等式|f(x1)-f(x2)|≤1对任意t∈恒成立,求m的取值范围.
7.(2018盐城伍佑中学期末考试)已知g(x)=x2-2ax+1在区间[1,3]上的值域是[0,4].
(1)求a的值;
(2)若不等式g(2x)-k·4x≥0在x∈[1,+∞)上恒成立,求实数k的取值范围;
(3)若函数y=-
-+k·
-
-3k有三个零点,求实数k的取值范围.
答案精解精析
1.答案[-2,2]
解析易知函数的定义域是[-1,3],则a=--在[-1,3]上有解,且函数
y=--,x∈[-1,3]递减,则a∈[-2,2].
2.答案(0,1]∪[3,+∞)
解析在同一坐标系中作出函数y=(mx-1)2-m,y=的图象,在区间[0,1]上有且只有一个交点,又m>0,则1-m≥0或(m-1)2-m≥1,解得0<m≤1或m≥3.
3.答案3
解析作出函数f(f(x))=-
-
与y=-ln x的图象如图,两图象有3个交点,则g(x)
有3个不同的零点.
4.答案
解析函数y=f(x)-g(x)恰有4个零点,则关于x的方程b=f(x)+f(2-x)=-
有4
个根,作出函数图象如图,由图可得<b<2.
5.答案-∪(1,+∞)
解析令g(x)=t,则f(t)=0,当1-a<0,a>1时,f(t)有两个零点t1=-1,t2>1,要使函数y=f(g(x))有4个零点,只要1-2a<-1,a>1;当1-a=0,a=1时,f(t)有三个零点t1=-1,t2=0,t3=2,此时函数y=f(g(x))有5个零点,不符合题意,舍去;当1-a>0,a<1时,此时1-2a>-1,要使函数y=f(g(x))有4个零点,则Δ=4a2+4a-4>0,且a-->1-2a,解得-<a<1,
综上可得,实数a的取值范围是-∪(1,+∞).
6.解析(1)由题意,g(x)=f(x)+lg x2=lg(mx2+2x),
∵g(x)有且仅有一个零点,
∴
有且仅有一解.
-
当m=0时,x=,符合题意;
当m≠0时,由Δ=4+4m=0,得m=-1,符合题意.
综上,m=0或m=-1.
(2)∵当x>0时,u=m+为减函数,
∵m>0,∴u>0,∴y=lg u为增函数,
从而f(x)在(0,+∞)上为减函数.
∵任取x1,x2∈[t,t+2],|f(x1)-f(x2)|≤1对任意t∈恒成立,
∴f(t)-f(t+2)=lg-lg≤1对任意t∈恒成立,
∴m+≤10对任意t∈恒成立,
整理得,9mt2+18(m+1)t-4≥0对任意t∈恒成立.
∵m>0,∴y=9mt2+18(m+1)t-4在t∈上为增函数,
∴当t=时,y max=m+2(m+1)-4≥0,解得m≥.
7.解析(1)g(x)=x2-2ax+1=(x-a)2+1-a2在区间[1,3]上值域为[0,4],
若1≤a≤3,则g(x)的最小值为g(a)=1-a2,
令g(a)=1-a2=0,得a=±1,∴a=1,此时g(x)=(x-1)2,
满足在区间[1,3]上值域为[0,4];
若a>3,则g(x)在区间[1,3]上单调递减,g(x)的最小值为g(3),
令g(3)=0,得到10-6a=0,解得a=,舍去;
若a<1,则g(x)在区间[1,3]上单调递增,g(x)的最小值为g(1),
令g(1)=0,得到2-2a=0,得到a=1.
综上,a=1.
(2)由于g(2x)-k·4x≥0,
所以(2x)2+2×2x+1-k·4x≥0,
化为1+-2·≥k,
令t=,则1+t2-2·t≥k,
因为x∈[1,+∞),所以t∈,
记h(t)=t2-2t+1,
因为t∈,故h(t)min=,
所以k的取值范围是-.
(3)令y=0,问题可化为|2x-1|2-2×|2x-1|+1+2k-3k|2x-1|=0(|2x-1|≠0)有三个不同的根,令|2x-1|=t,则t∈(0,+∞),
∵2x-1>-1,∴当x<0时t=|2x-1|=1-2x,t的范围为(0,1)且函数单调递减,
当0<x<1时,t=|2x-1|=2x-1,t的范围为(0,1)且单调递增,
当x=1时,t=1,
当x>1时,t=|2x-1|=2x-1,t的范围为(1,+∞)且单调递增,
t2-(3k+2)t+(2k+1)=0有两个不同的实数解t1,t2,函数有3个零点等价于0<t1<1,t2>1,或0<t1<1,t2=1.
-②
记h(t)=t2-(3k+2)t+(2k+1),则
-①或
解不等组①,得k>0,而不等式组②无实数解,所以实数k的取值范围是(0,+∞).。