2020届高三文科数学精准培优专练：外接球(附解析)
2020年高考数学专题+一+第一关+以圆锥曲线的几何性质为背景的选择题 (2)
2020年高考数学专题一 压轴选择题
第三关 以棱柱、棱锥与球的组合体为背景的选择题
【名师综述】球作为立体几何中重要的旋转体之一，成为考查的重点．要熟练掌握基本
的解题技巧．还有球的截面的性质的运用，特别是其它几何体的内切球与外接球类组合体问题，以及与球有关的最值问题,更应特别加以关注的．试题一般以小题的形式出现,有一定难度．解决问题的关键是画出正确的截面，把空间“切接”问题转化为平面“问题”处理．
类型一 四面体的外接球问题
典例1．【2018河南漯河中学三模】已知三棱锥的底面是以为斜边的等腰直角三角形， ，则三棱锥的外接球的球心到平面的距离为（ ） A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
由图可知， ，得，解得， ，故选A
。 S ABC -AB 4,4AB SA SB SC ====
ABC
3
2222OB OD DB =+()
2
2
4r r
=+3
r =
d ∴=
【方法指导】本题属于三棱锥的外接球问题，当三棱锥的某一顶点的三条棱两两垂直，可将其补全为长方体或长方体，三棱锥与长方体的外接球是同一外接球，而长方体的外接球的在球心就是对角线的交点，那么对角线就是外接球的直径2222c b a R ++=，c b a ,,分别
指两两垂直的三条棱，进而确定外接球表面积．
【举一反三】【2018南宁摸底联考】三棱锥 中， 为等边三角形， ， ，三棱锥 的外接球的体积为（ ） A.
B.
C. D.
【答案】B
【解析】由题意可得PA,PB ，PC 两两相等，底面是正三角形，所以三棱锥P-ABC 是正棱锥，P 在底面的身影是底面正三角形的中心O ，由 面PAO ，再由 ，可知 面PBC,所以可知 ，即PA,PB,PC 两两垂直，由于是球外接球，所以正三棱锥P-ABC 可以看成正方体切下来的一个角，与原正方体共外接球，所以
高考满分数学压轴题13 与球相关的外接与内切问题(可编辑可打印)
一．方法综述
如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点. 考查学生的空间想象能力以及化归能力。
研究球与多面体的接、切问题主要考虑以下几个方面的问题：
（1）多面体外接球半径的求法，当三棱锥有三条棱垂直或棱长相等时，可构造长方体或正方体. （2）与球的外切问题，解答时首先要找准切点，可通过作截面来解决. （3）球自身的对称性与多面体的对称性；
二．解题策略
类型一 柱体与球
【例1】（2020·河南高三（理））已知长方体1111ABCD A B C D -的表面积为208，118AB BC AA ++=，则该长方体的外接球的表面积为（ ） A ．116π B ．106π
C ．56π
D ．53π
【答案】A 【解析】
【分析】由题意得出11118104
AB BC AA AB BC BC AA AB AA ++=⎧⎨⋅+⋅+⋅=⎩，由这两个等式计算出2221AB BC AA ++，可
求出长方体外接球的半径，再利用球体表面积公式可计算出结果.
【详解】依题意，118AB BC AA ++=，11104AB BC BC AA AB AA ⋅+⋅+⋅=，
所以，()()2
222
11112116AB BC AA AB BC AA AB BC BC AA AB AA ++=++-⋅+⋅+⋅=，
故外接球半径r =
=，
因此，所求长方体的外接球表面积24116S r ππ==.故选：A.
【点睛】本题考查长方体外接球表面积的计算，解题的关键就是利用长方体的棱长来表示外接球的半径. 【举一反三】
2020届高考数学专题十三三视图与体积表面积精准培优专练文
三视图与体积表面积培优点十三一、三视图与体积的结合
1 1：某几何体的三视图如图所示（图中小正方形网格的边长为，则该几何体的体积是（））例
8624 C． D．BA．．
B
【答案】【解析】由三视图可得该几何体为底面是直角梯形的直四棱柱（如图所示），
2212其中底面直角梯形的上、下底边分别为，，，高为，直四棱柱的高为2?(12)?6??2．，故选所以该几何体的体积为B2
二、三视图与表面积的结合
1，粗线画出的是某几何体的三视图，其中俯视图由两个半圆和例2：如图，网格纸上小正方形的边长为两个线段组成，则该几何体的表面积为（）
12π?20π?1216?12π17π?1212 D．． CBA．．C
【答案】由三视图知，该几何体是一个大半圆柱挖去一个小半圆柱得到的，【解析】331，高均为，两个半圆柱的底面半径分别为和11112212π?202)?2??3?1π?(231?π?33π
?2???2???π3??所以该几何体的表面积为．2222
对点增分集训
一、选择题．某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）1．
ππ4π4π2)8?16(116??16? B． A．D． C．3333C
【答案】根据三视图知，该几何体是一个直四棱柱内挖去一个圆锥后剩余的部分，【解析】画出直观图如图所示，
VV设四棱柱的体积为，结合图中数据，，圆锥的体积为21π1422??16π?12?V?VV??4??4 C 得该几何体的体积．，故选21331 2．如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线条画出的是一个三棱锥的三视图，则该三棱锥中最长棱的长度为（）
高三复习题型：三棱锥外接球半径问题(含答案)
数学一对一辅导教案
授课教师 上课时间 2020年 月 日 第（ ）次课 2小时
教学课题 高考探究专题1：三棱锥最值问题
【法一：补形法】
外接球半径等于长方体体对角线的一半
ππ642
6
2===
R S R ，
注意：图中三棱锥的外接球与长方体外接球是同一个球。
【法二：轴截面法（确定球心法）】
1、寻找底面△PBC 的外心；
2、过底面的外心作底面的垂线；
3、外接球的球心必在该垂线上，利用轴截面计算出球心的位置。
【题型分析】
【利用轴截面法1】例1.在三棱锥ABC P -中，︒=∠===⊥120,BAC AC AB PA ABC PA 2，底面，求
其外接球的半径
【变式1】已知在三棱锥ABC P -，222===⊥⊥⊥PC PB PA PA PC PC PB PB PA ，且,,，求该三棱锥外接球的表面积与体积。
【变式2】在四面体S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，90ABC ∠=°，2SA AC ==，1AB =，则该四面体的外接球的表面积为
【变式3】三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面,,1,3ABC AC BC AC BC PA ⊥===，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A ．5π B ．2π C ．20π D ．4π
【变式4】如图，已知点A、B、C、D是球O的球面上四点，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA=AB=BC=3，则球O 的表面积等于_________.
【利用轴截面法2】例2.三棱锥P-ABC 内接于半径为2的球中，PA ⊥平面ABC ，∠BAC=90°，BC=22，则三棱锥P-ABC 的体积最大值是
培优课 与球有关的切接问题课件-2024届高三上学期数学一轮总复习
正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.
题设:P的投影落在∆ABC的外心上
正四面体的棱长为a,正四面体的高为h,四面体的
第一步、确定球心O的位置,取∆ABC的外心H,则P,0,H三点共线;
外接球半径为R,正四面体的内切球半径为r,则
第二步、算出小圆面半径AH=r,算出棱锥的高PH=h；
第三步、勾股定理:2 +AH 2 =OA2
2
2
②球心到正方体所有面的距离等于 R。
6
2
③球心到正方体所有顶点的距离等于 R。
2
4
因为正方体共有六个面，且每个面都是一个正方形，所以，这个正四面体中的棱切球和这个正四面体共有六
个切点，而且每个切点都在正四面体的外接正方体面对角线的交点上，则这个内切球的直径就等于这个正方
体的棱长，所以，内切球的半径就等于正方体棱长的一半。
推导过程
棱长为a的正四面体棱切球半径是
2
设正四面体的棱长为a，则正方体的棱长为 a，而棱切球的球心必是正方体的中心，球的直径就是正方体的
2
棱长，可得：R=
2
4
。
一．棱柱的外接球：
1、正方体的外接球:
球和正方体都是中心对称和轴对称图形,设球的半径为R,正方体的棱长为a,则:
①球心就是正方体的中心,球心在正方体的体对角线的中点处。
高考必考题—几何体中与球有关的切、接问题(含解析)
几何体中与球有关的切、接问题
球的截面的性质
(1)球的任何截面是圆面；(2)球心和截面(不过球心)圆心的连线垂直于截面；(3)球心到截面的距离d 与球的半径R 及截面的半径r 的关系为r ＝R 2－d 2
几个与球有关的切、接常用结论
(1)正方体的棱长为a ，球的半径为R ，①若球为正方体的外接球，则2R ＝3a ；②若球为正方体的内切球，则2R ＝a ；③若球与正方体的各棱相切，则2R ＝2a .
(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a ，b ，c ，外接球的半径为R ，则2R ＝a 2＋b 2＋c 2. (3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1. 一、题型选讲
题型一 、几何体的外接球
解决多面体的外接球问题，关键是确定球心的位置，方法是先选择多面体中的一面，确定此面外接圆的圆心，再过圆心作垂直此面的垂线，则球心一定在此垂线上，最后根据其他顶点确定球心的准确位置．对于特殊的多面体还可采用补成正方体或长方体的方法找到球心位置．
例1、【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，⊙1O 为ABC △的外接圆，若
⊙1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为 A ．64π B ．48π
C ．36π
D ．32π
例2、【2020年高考天津】若棱长为 A ．12π B ．24π C ．36π
D ．144π
例3、（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）已知边长为2的等边三角形ABC ，D 为BC 的中点，以AD 为折痕进行折叠，使折后的2
2020届高三文科数学精准培优专练：外接球(附解析)
2020届高三文科数学精准培优专练：外接球（附解析）
例1：已知直三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上，若3AB =，4AC =，AB AC ⊥，
112AA =，则球O 的半径为（ ）
A
．
2 B
．．132
D
．
例2：一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上， 则该正三棱锥的体积是（ ）
A ．
4 B ．3 C ．4 D ．12
例3：已知,A B 是球O 的球面上的两点，90AOB ∠=︒，C 为该球面上的动点，若三棱锥O ABC -体积的最大值为36，则球O 的表面积为（ ） A ．36π B ．64π C ．144π D ．256π
三、其他柱体、锥体的外接球问题
二、与正棱锥有关的外接球问题
一、构造正方体与长方体的外接球问题
一、选择题
1．一个四棱柱的底面是正方形，侧棱与底面垂直，其长度为4，棱柱的体积为16，棱柱的各项点在一个球面上，则这个球的表面积是（ ） A ．16π B ．20π C ．24π D ．32π
2．一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形， 则几何体的外接球的表面积为（ ）
A ．3π
B ．
C ．12π
D ．
3．直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，12AB BC AA ===，则该三棱柱的外接球的表面积为（ ）
A ．4π
B ．8π
C ．12π
D ．
32π
3
4．点A ，B ，C ，D 在同一个球的球面上，AB BC AC ===，若四面体ABCD 体积的最大值 ） A ．
高考数学 专题十四 外接球精准培优专练 文
培优点十四 外接球
1．正棱柱，长方体的外接球球心是其中心
例1：已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ ） A ．16π B ．20π
C ．24π
D ．32π
【答案】C
【解析】162==h a V ，2=a ，24164442222=++=++=h a a R ，24πS =，故选C ．
2．补形法（补成长方体）
图2
图3
图4
例2：若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 ．
【答案】9π
【解析】933342=++=R ，24π9πS R ==．
3．依据垂直关系找球心
例3：已知三棱锥P ABC -的四个顶点均在同一个球面上，底面ABC △满足
BA BC ==π
2
ABC ∠
=
，若该三棱锥体积的最大值为3，
则其外接球的体积为（ ） A ．8π B ．16π C ．16π3 D ．32
π3
【答案】D
【解析】因为
ABC △是等腰直角三角形，所以外接球的半径是1
2r ==的半径是R ，球心O 到该底面的距离d ，如图，则1
632ABC S =⨯=△，BD =11
6336
ABC V S h h ==⨯=△，
最大体积对应的高为3SD h ==，故223R d =+，即()2
233R R =-+，解之得2R =，
所以外接球的体积是3432π
π33
R =，故答案为D ．
一、单选题
1．棱长分别为2
的长方体的外接球的表面积为（ ） A ．4π B ．12π C ．24π D ．48π
【答案】B
【解析】设长方体的外接球半径为R ，由题意可知：(
)
22
2
2020届高三精准培优专练六 曲线运动(解析版)
1．曲线运动的问题每年必考，主要是在实际问题中考查速度、加速度、及位移的分解，平抛运动的处理方法，以及圆周运动与牛顿运动定律、能量等内容的综合应用。
2．常用思想方法：
(1)从分解的角度处理平抛运动。
(2)圆周运动的动力学问题实际上是牛顿第二定律的应用，且已知合外力方向(匀速圆周运动指向圆心)，做好受力分析，由牛顿第二定律列方程。
典例1.(2019·全国卷Ⅱ·19)如图（a），在跳台滑雪比赛中，运动员在空中滑翔时身体的姿态会影响其下落的速度和滑翔的距离。某运动员先后两次从同一跳台起跳，每次都从离开跳台开始计时，用v表示他在竖直方向的速度，其v－t图象如图（b）所示，t1和t2是他落在倾斜雪道上的时刻。则()
A．第二次滑翔过程中在竖直方向上的位移比第一次的小
B．第二次滑翔过程中在水平方向上的位移比第一次的大
C．第一次滑翔过程中在竖直方向上的平均加速度比第一次的大
D．竖直方向速度大小为v1时，第二次滑翔在竖直方向上所受阻力比第一次的大
【解析】由v－t图面积易知第二次面积大于等于第一次面积，故第二次竖直方向下落距离大于第一次下落距离，A错误；由于第二次竖直方向下落距离大，由于位移方向不变，故第二次水平方向位移大，B正确；由于v－t 斜率知第一次大、第二次小，斜率越大，加速度越大，或由0
v v
a
t
-
=易知a1＞a2，C错误；由图象斜率，速度为v1时，第一次图象陡峭，第二次图象相对平缓，故a1＞a2，由G－fy＝ma，可知fy1＜fy2，故D正
二、考题再现
一、考点分析
培优点六曲线运动
确。
【答案】BD
高中数学外接球的几种常见求法
高中数学外接球的几种常见求法 高三微专题：外接球
一、由球的定义确定球心
在空间，如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体的外接球的球心．
简单多面体外接球问题是立体几何中的重点，难点，此类问题实质是①确定球心的位置 ②在Rt △用勾股定理求解外接球半径（其中底面外接圆半径r 可根据正弦定理求得）．
二、球体公式
1.
球表面积S=4π2R 2.三、球体几个结论：
（1）长方体，正方体外接球直径=体对角线长 （2）侧棱相等，顶点在底面投影为底面外接圆圆心 （3）直径所对的球周角为90°（大圆的圆周角） （4）正三棱锥对棱互相垂直
四、外接球几个常见模型 1.长方体（正方体）模型
O
例1（2017年新课标Ⅱ)长方体的长，宽，高分别为3,2,1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（）
答案：14
练习1（2016新课标Ⅱ）体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为
（ ） 答案：12π
2.正棱锥（圆锥）模型(侧棱相等，底面为正多边形）
球心位置：位于顶点与底面外心连线线段(或延长线）上
半径公式：222)(r R h R +-=（R 为外接球半径，
r 为底面外接圆半径，h 为棱锥的高，r 可根据正弦定理
r A
a
2sin = （一边一对角)
例2.已知各顶点都在同一个球面上的正四棱锥高为
，体积为，则这个球的表面积是____
. 【解析】
正四棱锥的高为，体积为，易知底面面积为，底面边长为．
正四棱锥
的外接球的球心在它的高
上，记为，
，
，
，在中，
，由勾股定理
得
．所以，球的表面积
北京高三数学复习专题—八个有趣模型搞定空间几何体的外接球与内切球含答案
2020北京高三数学复习专题—八个有趣模型搞定空间几何体的外
接球与内切球
类型一、墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径）
方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式2
2
2
2
)2(c b a R ++=，即2222c b a R ++=，求出R
例1 （1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ C ）
A ．π16
B ．π20
C ．π24
D ．π32
（2）若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 π9
（3）在正三棱锥中，分别是棱的中点，且MN AM ⊥,若侧棱,则正三棱锥ABC S -外接球的表面积是 。π36
（4）在四面体中，ABC SA 平面⊥，,1,2,120====∠︒
AB AC SA BAC 则该四面体的外接球的表面积为（ D ）π11.A π7.B π310.
C π3
40
.D （5）如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6、4、3，那么它的外接球的表面积是
（6）已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体外接球的体积为
类型二、垂面模型（一条直线垂直于一个平面）
1．题设：如图5，⊥PA 平面ABC
解题步骤：
第一步：将ABC ∆画在小圆面上，A 为小圆直径的一个端点，作小圆的直 径AD ，连接PD ，则PD 必过球心O ；
c a
b
图1
C
P A B
a
b
c 图2
P
C
B
A
a
b
c 图3
C
B
P
A
a b
c P
C
O 2
B
A S ABC -M N 、SC BC 、23SA =S ABC -图5
专题4.2 与球相关的外接与内切问题-2020届高考数学压轴题讲义(选填题)(解析版)
一．方法综述
如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点. 考查学生的空间想象能力以及化归能力.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，解决这类问题的关键是抓住内接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.当三棱锥有三条棱垂直或棱长相等时，可构造长方体或正方体.
与球的外切问题主要是指球外切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决.如果外切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作.当球与多面体的各个面相切时，注意球心到各面的距离相等即球的半径，求球的半径时，可用球心与多面体的各顶点连接，球的半径为分成的小棱锥的高，用体积来求球的半径. 二．解题策略
类型一 构造法（补形法）
【例1】已知,,,S A B C 是球O 上的点SA ABC ⊥平面， AB BC ⊥, 1SA AB ==， 2BC =,则球O 的
表面积等于________________． 【答案】4π 【解析】
由已知S,A,B,C 是球O 表面上的点，所以OA OB OC OS === ，又SA ABC ⊥平面， AB BC ⊥，所以四面体S ABC -的外接球半径等于以长宽高分别以SA,AB,BC 三边长为长方体的外接球的半径，因为
专题1.3 以棱柱、棱锥与球的组合体为背景的选择题——新高考数学专项练习题附解析
3
6
故选 D. 【方法指导】本题属于三棱锥的外接球问题，当三棱锥的某一顶点的三 条棱两两垂直，可将其补全为长方 体或长方体，三棱锥与长方体的外接球是同一外接球，而长方体的外接球的在球心就是对角线的交点，那
么对角线就是外接球的直径 2R a 2 b2 c2 ， a, b, c 分别指两两垂直的三条棱，进而确定外接球表面
PCD 平面 ABCD ， BC 2 3 ， CD PC PD 2 6 .若点 M 为 PC 的中点，则下列说法正确的为
（）
A． BM 平面 PCD
B． PA / / 面 MBD C．四棱锥 M ABCD 外接球的表面积为 36 D．四棱锥 M ABCD 的体积为 6
【名师指点】某些空间几何体是某一个几何体的一部分，在解题时，把这个几何体通过“补形”补成完整的几
A. 13
B. 4 10
C. 2 10
D. 2 17 2
专题一 压轴选择题
第三关 以棱柱、棱锥与球的组合体为背景的选择题
【名师综述】球作为立体几何中重要的旋转体之一，成为考查的重点．要熟练掌握基本的解题技巧．还
有球的截面的性质的运用，特别是其它几何体的内切球与外接球类组合体问题，以及与球有关的最值问题, 更应特别加以关注的．试题一般以小题的形式出现,有一定难度．解决问题的关键是画出正确的截面，把空 间“切接”问题转化为平面“问题”处理．
2020届高三文科数学精准培优专练十四：外接球的应用(解析版)
2020届高三文科数学精准培优专练十四：外接球的应用（解析版）
1．正棱柱，长方体的外接球球心是其中心
例1：已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ ） A ．16π B ．20π
C ．24π
D ．32π
【答案】C
【解析】162==h a V ，2=a ，24164442222=++=++=h a a R ，24πS =，故选C ．
2．补形法（补成长方体）
图2
图3
图4
例2：若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 ．
【答案】9π
【解析】933342=++=R ，24π9πS R ==．
3．依据垂直关系找球心
例3：已知三棱锥P ABC -的四个顶点均在同一个球面上，底面ABC △满足
BA BC ==π
2
ABC ∠
=
，若该三棱锥体积的最大值为3，则其外接球的体积为
（ ） A ．8π B ．16π C ．16π3 D ．32
π3
【答案】D
【解析】
因为ABC △是等腰直角三角形，所以外接球的半径是1
2r ==的半径是R ，球心O 到该底面的距离d ，如图，则1
632
ABC S =⨯=△，BD =
11
6336
ABC V S h h ==⨯=△，
最大体积对应的高为3SD h ==，故223R d =+，即()2
233R R =-+，解之得2R =，
所以外接球的体积是3432ππ33
R =，故答案为D ．
对点增分集训
一、单选题
1．棱长分别为2的长方体的外接球的表面积为（ ） A ．4π B ．12π C ．24π D ．48π
【答案】B
【解析】设长方体的外接球半径为R ，由题意可知：()22
高三数学专题外接球
高三数学专题外接球
高三数学专题：外接球
1.正棱柱和长方体的外接球的球心是其中心。
例1：一个正四棱柱的高为4，体积为16，其外接球的表
面积是多少？
解：由于正四棱柱的底面是一个正方形，所以它的体积为$V=\frac{1}{3}hS=16$，其中 $h=4$，$S$ 是正方形的面积。
解得 $S=12$。正方形的对角线长为 $d=\sqrt{2}S=2\sqrt{6}$，
所以外接球的半径为 $R=\frac{d}{2}=\sqrt{6}$，表面积为
$S=4\pi R^2=24\pi$。因此，答案为 C。
2.补形法（补成长方体）。
例2：一个三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是多少？
解：将三棱锥补成长方体，如下图所示。长方体的对角线长为 $d=\sqrt{3^2+3^2+3^2}=3\sqrt{3}$，所以外接球的半径为$R=\frac{d}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$，表面积为 $S=4\pi
R^2=27\pi$。因此，答案为 B。
3.依据垂直关系找球心。
例3：一个三棱锥P-ABC 的四个顶点均在同一个球面上，底面△ABC 满足 BA=BC=6，∠ABC=π，若该三棱锥体积的
最大值为3，则其外接球的体积为多少？
解：根据垂直关系，三棱锥的外接球的球心位于底面
△ABC 的垂心 H 上。设球心为 O，底面中心为 M，则
$OM=OH-R$，其中 $R$ 是外接球的半径。根据勾股定理，$AH=\sqrt{AP^2-PH^2}=\sqrt{R^2-\frac{1}{4}BC^2}$，
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2020届高三文科数学精准培优专练：外接球（附解析）
例1：已知直三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上，若3AB =，4AC =，
AB AC ⊥，112AA =，则球O 的半径为（ ）
A
B
． C ．132
D
．
例2：一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，
则该正三棱锥的体积是（ ）
A C D
例3：已知,A B 是球O 的球面上的两点，90AOB ∠=︒，C 为该球面上的动点，若三棱锥O ABC -体积的最大值为36，则球O 的表面积为（ ） A ．36π B ．64π C ．144π D ．256π
三、其他柱体、锥体的外接球问题
二、与正棱锥有关的外接球问题
一、构造正方体与长方体的外接球问题
一、选择题
1．一个四棱柱的底面是正方形，侧棱与底面垂直，其长度为4，棱柱的体积为16，棱柱的各项点在一个球面上，则这个球的表面积是（ ） A ．16π B ．20π C ．24π D ．32π
2．一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，
则几何体的外接球的表面积为（ ）
A ．3π
B ．
C ．12π
D ．
3．直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，12AB BC AA ===，则该三棱柱的外接球的表面积为（ ）
A ．4π
B ．8π
C ．12π
D ．
32π
3
4．点A ，B ，C ，D 在同一个球的球面上，AB BC AC ===，若四面体ABCD 体，则这个球的表面积为（ ） A ．
169π16 B ．
289π16 C ．25π
16
D ．8π 5，四个顶点在同一个球面上，则此球的表面积为（ ）
A ．3π
B ．4π
C ．
D ．6π
对点增分集训
6．已知三棱锥P ABC -的四个顶点都在同一个球面上，底面ABC △满足
BA BC ==90B ∠=︒，
若该三棱锥体积最大值为3，则其外接球的表面积为（ ） A ．21π B ．
32π3 C ．16
π3
D ．16π
7．已知四面体ABCD 中，6AB AD ==，4AC =，CD =，AB ⊥平面ACD ，则四面体ABCD 外接球的表面积为（ ） A ．36π B ．88π C ．92π D ．128π
8．已知A ，B 是球O 的球面上两点，60AOB ∠=︒，C 为该球面上的动点，若三棱锥
O ABC -体积的最大值为O 的体积为（ ）
A ．81π
B ．128π
C ．144π
D ．288π
9．已知A ，B ，C ，D 是同一个球面上的四个点，其中ABC △是正三角形，AD ⊥平面ABC ，26AD AB ==，则该球的表面积为（ ）
A ．16π
B ．24π
C ．
D ．48π
10．已知三棱锥P ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，PA AB ⊥，PA AC ⊥，
60BAC ∠=︒，2PA =，2AB =，3AC =，则球O 的表面积为（ ）
A ．
40π3 B ．30π3 C ．20π3 D ．10
π3
11．如图，在四面体P ABC -中，4PA PB PC ===，点O 是点P 在平面ABC 上的投影，
且tan 2
APO ∠=
．则四面体P ABC -的外接球的体积为（ ）
A ．
B ．24π
C ．
D ．48π
12．已知四面体ABCD 的外接球球心O 恰好在棱AD 上，且AB BC ==2AC =，
DC =
则这个四面体的体积为（ ）
A ．
2
3
B ．3
C ．3
D ．3
二、填空题
13．一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积为 ．
14．已知点P ，A ，B ，C ，D 是球O 表面上的点，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD
是边长为PA =OAB △的面积为 ． 15．在直三棱柱111ABC A B C -中，4AB =，6AC =，π
3
A =
，14AA =，则直三棱柱111ABC A B C -的外接球的表面积 ．
16．已知某一多面体内接于球构成-个简单组合体，如果该组合体的正视图、俯视图、均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是 ．
例1：【答案】C
【解析】∵AB AC
⊥，∴直三棱柱
111
ABC A B C
-的底面ABC为直角三角形，
把直三棱柱
111
ABC A B C
-补成长方体，
则长方体的体对角线就是球O的直径，即球O
13
2
=．
例2：【答案】C
【解析】∵正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，且底面的三个顶点在该球的大圆上，
∴球心是底面三角形的中心，
∵球的半径为1，即该正三棱锥的体积为
2
1
1
344
⨯⨯=．
例3：【答案】C
【解析】设球O的半径为R，则2
1
2
AOB
S R
=
△
，
当OC⊥平面AOB时，三棱锥O ABC
-的体积最大，
此时2
11
36
32
V R R
=⨯⨯=，解得6
R=，
所以球O的表面积为2
4π6144π
S=⨯=．
外接球答案