2020届高考必备2020届全国百套名校高三数学模拟试题分类汇编平面向量选择题(11页)
上海2020高三数学一模分类汇编-平面向量、复数(详答版)
2020年一模汇编——平面向量一、填空题 【徐汇2】 向量(3,4)a =在向量(1,0)b =方向上的投影为【答案】3【解析】向量a →在向量b →方向上的投影为3cos 31a ba ba a a bbθ→→→→→→→→→⋅⋅=⨯===⨯【闵行5】在△ABC 中，已知AB a =，BC b =，G 为△ABC 的重心，用向量a 、b 表示向量AG =【答案】2133a b + 【解析】因为G 为△ABC 的重心，设BC 边中线为AD ，交BC 于D 点，则()222121333233AG AD AB BD AB BC a b ⎛⎫==+=+=+ ⎪⎝⎭ 【长宁，嘉定，金山6】己知向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=23,21AB ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=21,23AC ,则BAC ∠= 【答案】6π【解析】向量的夹角公式23cos 222221212121=+⋅++=y x y x y y x x θ，6πθ=∴【静安7】如图，在平行四边形ABCD 中，2AB =，1AD =,则AC BD ⋅的值为_____.【答案】-3【解析】()()14-3AC BD AB AD AD AB ⋅=+-=-=【松江7】已知向量()1,2a →=，(),3b m →=-，若向量2a b b →→→⎛⎫- ⎪⎝⎭∥，则实数m =【答案】32-【解析】()212,8a b m →→-=-，又2a b b →→→⎛⎫- ⎪⎝⎭∥，()()12380m m ∴---=，解得：32m =-【长宁，嘉定，金山10】已知非零向量..a b c 两两不平行，且()(),+c ab c b a +，设c=,,,+2y=xa yb x y R +∈则x【答案】-3【解析】由题意得()()1;b c ma b xa yb y b m x a +=⇒++=+=-即1y =-，()()=1a c na a xa yb x a n y b +⇒++⇒+=-；即1x =- 23x y ∴+=-【虹口10】如图所示，两块斜边长均等于2的直角三角板拼在一起，则OD AB ⋅= 【答案】1-【解析】以O 为坐标原点OA 为x 轴OB 为y 轴建立直角坐标系，可得(0,0)(1,0)(0,1)()01O A B OD AB OA AD AB OA AB AD AB AB AD AD AB OD AB OA AB →→→→→→→→→→→→→→→==+⊥∴=∴==-、、【普陀11】设P 是边长为22的正六边形123456A A A A A A 的边上的任意一点，长度为4的线段MN 是该正六边形外接圆的一条动弦，则PM PN 的取值范围为____________. 【答案】646,882⎡⎤-+⎣⎦【解析】构建平面直角坐标系，取MN 中点C ，∴()()PM PN PC CM PC CN ⋅=+⋅+2224PC CM PC =-=-，max ||22222PC OC =+=+，min ||62PC OB OC =-=-，∴2[1046,1282]PC ∈-+，即[646,882]PM PN ⋅∈-+，另外，本题也可利用参数方程转化为三角函数求最值问题得思路解题。
2020年全国高考数学试题分类汇编4-平面向量-含详细答案
2020年全国高考数学试题分类汇编平面向量一、选择题1. 设a ⃗ =(1,2)，b ⃗ =(1,1)，且a ⃗ 与a ⃗ +λb⃗ 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是( ) A. (−53,0)∪(0,+∞) B. (−53,+∞) C. [−53,0)∪(0,+∞)D. (−53,0)2. △ABC 中A(2,1)，B(0,4)，C(5,6)，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 7 B. 8 C. 9 D. 103. 已知M(3,−2)，N(−5,−1)，且MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则P 点的坐标为( ) A. (−8,1)B. (−1,−32)C. (1,32)D. (8,−1)4. 已知向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ |=√5，b ⃗ =(2,4)，则“a ⃗ =(−1,−2)”是“a ⃗ //b ⃗ ”成立的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5. 过抛物线y 2=2x 的焦点且与x 轴垂直的直线与抛物线交于M 、N 两点，O 为坐标原点，则OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 34B. 14C. −14D. −346. 在以AB 为边，AC 为对角线的矩形中，AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,1), AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,k)，则实数k =( ) A. −6 B. 4 C. 2D. 237. △ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ⃗ ，b ⃗ 满足AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a ⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a ⃗ +b ⃗ ，则下列结论正确的是( )A. |b ⃗ |=1B. a ⃗ ⊥b ⃗C. a ⃗ ⋅b⃗ =1 D. (4a ⃗ +b⃗ )⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 8. 已知向量a ⃗ =(1,m)，b ⃗ =(3,−2)，且(a ⃗ +b ⃗ )⊥b ⃗ ，则m =( )A. −8B. −6C. 6D. 89. 设a ⃗ ，b ⃗ 是向量，则“|a ⃗ |=|b ⃗ |”是“|a ⃗ +b ⃗ |=|a ⃗ −b ⃗ |”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件10. 若|a ⃗ |=1,|b ⃗ |=2,c ⃗ =a ⃗ +b ⃗ ，且c ⃗ ⊥a ⃗ ，则向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为( )A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°11. 在平面直角坐标系中，已知两点A(cos80°,sin80°)，B(cos20°,sin20°)，则|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |的值是( )A. 12B. √22 C. √32D. 112. 在平行四边形ABCD 中，AB//CD ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−2),AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1)，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. −3 B. 2 C. 3 D. 413. 设四边形ABCD 为平行四边形，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=6，|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=4，若点M 、N 满足BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2NC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 20 B. 15 C. 9 D. 614. 设m⃗⃗⃗ ，n ⃗ 为非零向量，则“存在负数λ，使得m ⃗⃗⃗ =λn ⃗ ”是“m ⃗⃗⃗ ·n ⃗ <0”的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件15. 设点A,B,C 不共线，则“ AB⃗⃗⃗⃗⃗ 与 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角是锐角”是“ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >|BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |”的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件16. 已知向量a ⃗ =(2,4)，b ⃗ =(−1,1)，则2a ⃗ −b ⃗ =( )A. (5,7)B. (5,9)C. (3,7)D. (3,9)17. 如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =√3BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 2√3B. √32 C. √33D. √318. 设a ⃗ ，b ⃗ 是非零向量，“a ⃗ ⋅b ⃗ =|a ⃗ ||b ⃗ |”是“a ⃗ //b ⃗ ”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件19. 设a ⃗ ，b ⃗ 均为单位向量，则“”是“a ⃗ ⊥b ⃗ ”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件二、填空题20. 已知向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为60°，且a ⃗ =(−2,−6)，|b ⃗ |=√10，则a ⃗ ·b ⃗ =______． 21. 已知向量a ⃗ =(−4,3)，b ⃗ =(6,m)，且a ⃗ ⊥b ⃗ ，则m =______． 22. 设向量a ⃗ =(1,−1)，b ⃗ =(m +1,2m −4)，若a ⃗ ⊥b ⃗ ，则m =______． 23. 已知单位向量a ⃗ ，b ⃗ 的夹角为45°，k a ⃗ −b⃗ 与a ⃗ 垂直，则k =______． 24. 已知平面向量a ⃗ ，b ⃗ ，|a ⃗ |=1，|b ⃗ |=2，a ⃗ ⋅b ⃗ =1，则向量a ⃗ ，b ⃗ 的夹角为______． 25. 已知向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为120°，|a ⃗ |=3，|a ⃗ +b ⃗ |=√13，则|b ⃗ |=________．26. 已知向量a ⃗ =(2,1)，b ⃗ =(1,−2)，若m a ⃗ +n b ⃗ =(9,−8)(m,n ∈R)，则m −n 的值为______． 27. 设向量a ⃗ =(1,0)，b ⃗ =(−1,m).若a ⃗ ⊥(m a ⃗ −b ⃗ )，则m =______． 28. 设向量a ⃗ ，b ⃗ 不平行，向量λa ⃗ +b ⃗ 与a ⃗ +2b ⃗ 平行，则实数λ=________． 29. 已知向量a ⃗ =(1,√3)，b ⃗ =(√3,1)，则a ⃗ 与b ⃗ 夹角的大小为______．30. 已知向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ |=1，b ⃗ =(2,1)，且λa ⃗ +b ⃗ =0⃗ (λ∈R)，则|λ|= ______ ． 31. 若P(x,y)满足约束条件{x −y ≥0x +y −2≤0y ≥0，设A(3,−4)，则OP⃗⃗⃗⃗⃗ 在OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上投影的最小值为______． 32. 已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =______． 33. 已知实数x 1、x 2、y 1、y 2满足：x 12+y 12=1，x 22+y 22=1，x 1x 2+y 1y 2=12，则11√2+22√2的最大值为______．34. 已知向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为120°，且|a ⃗ |=|b ⃗ |=4，那么b ⃗ ⋅(2a ⃗ +b ⃗ )的值为______．35. 平面向量a ⃗ =(1,2)，b ⃗ =(4,2)，c ⃗ =m a ⃗ +b ⃗ (m ∈R)，且c ⃗ 与a ⃗ 的夹角等于c ⃗ 与b ⃗ 的夹角，则m =______． 三、解答题36. 已知平面向量a ⃗ =(1,x)，b ⃗ =(2x +3,−x)(x ∈R)．(1)若a ⃗ ⊥b ⃗ ，求x 的值；(2)若a ⃗ //b⃗ ，求|a ⃗ −b ⃗ |．37. 已知点M(−2,0)，N(2,0)，动点P 满足条件|PM|−|PN|=2√2.记动点P 的轨迹为W ．(Ⅰ)求W 的方程；(Ⅱ)若A ，B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值．38. 已知抛物线C ：y 2=2px 经过点P(1,2)，过点Q(0,1)的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线PA交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ． (Ⅰ)求直线l 的斜率的取值范围；(Ⅱ)设O 为原点，QM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λQO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，QN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μQO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求证：1λ+1μ为定值．答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题考查向量数量积的坐标表示，考查向量的夹角问题，属于简单题． 由题意，a ⃗ 与(a ⃗ +λb ⃗ )的数量积大于0，且排除同向的情况即可得． 【解答】解：由已知得a ⃗ ·(a ⃗ +λb ⃗ )>0且去掉a ⃗ 与(a ⃗ +λb ⃗ )方向相同的情况， a ⃗ +λb ⃗ =(1+λ,2+λ)，a ⃗ ·(a ⃗ +λb ⃗ )=1+λ+2(2+λ)=3λ+5>0， 解出λ>−53，当a ⃗ 与(a ⃗ +λb ⃗ )方向相同时λ=0， 所以λ>−53且λ≠0， 故选A ．2.【答案】C【解析】【分析】本题考查了平面向量的坐标表示与数量积运算问题，是基础题目． 根据平面向量的坐标表示与数量积运算，计算即可． 【解答】解：△ABC 中，A(2,1)，B(0,4)，C(5,6)， ∴AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,3)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,5)， 则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2×3+3×5=9． 故选C ．3.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查两个向量的加减法法则的应用，两个向量坐标形式的运算，属于基础题．设点P 的坐标为(x,y)，则由MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 可得(x −3,y +2)=12(−8,1)，解方程求得x 、y 的值，即可求得点P 的坐标． 【解答】解：设点P 的坐标为(x,y)，则由 MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 可得(x −3,y +2)=12(−8,1)=(−4,12)， ∴x −3=−4，y +2=12． 解得x =−1，y =−32， ∴点P 的坐标为(−1,−32)， 故选B ．4.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查充分条件、必要条件、充要条件的定义，属于基础题． 通过向量共线的充要条件利用充分必要条件的定义求解． 【解答】解：由a ⃗ =(−1,−2)，则b ⃗ =−2a ⃗ ， 显然a ⃗ //b ⃗ 成立，故充分性具备．反之，若a ⃗ //b ⃗ ，则b ⃗ =λa ⃗ ，设a ⃗ =(x,y)， 则必有{2=λx,4=λy,所以y =2x ，① 又x 2+y 2=5，② 由①②得{x =1,y =2或{x =−1,y =−2.则a⃗ =(1,2)或a ⃗ =(−1,−2)，故必要性不具备． 因而是充分不必要条件． 故选A ．5.【答案】D【解析】【分析】本题考查了抛物线的性质以及平面向量数量积的运算，属于基础题．先求出抛物线的焦点坐标，从而得出垂直x 轴的直线方程，将直线方程代入y 2=2x 求得y 的值，即可求出OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． 【解答】解：y 2=2x 的焦点坐标是(12,0)，则过焦点且垂直x 轴的直线是x =12，代入y 2=2x 得y =±1， 所以不妨设M(12,1)，N(12,−1)故OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,1)·(12,−1)=14−1=−34． 故选D ．6.【答案】B【解析】解：BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,k −1)； 据题意知，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ； ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−3+k −1=0； ∴k =4． 故选：B ．可得出BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,k −1)，而根据题意可知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，从而得出AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，进行数量积的坐标运算即可求出k ． 考查向量垂直的充要条件，向量数量积和减法的坐标运算，以及向量减法的几何意义．7.【答案】D【解析】解：因为已知三角形ABC 的等边三角形，a ⃗ ，b ⃗ 满足AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a ⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a ⃗ +b ⃗ ，又AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴b ⃗ 的方向应该为BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向． 所以a ⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，b ⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以|b ⃗ |=2，a ⃗ ⋅b ⃗ =1×2×cos120°=−1，4a ⃗ ⋅b ⃗ =4×1×2×cos120°=−4，b ⃗ 2=4，所以4a ⃗ ⋅b ⃗ +b ⃗ 2=0，即(4a⃗ +b ⃗ )⋅b ⃗ =0，即(4a ⃗ +b ⃗ )⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，所以(4a ⃗ +b ⃗ )⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ； 故选：D ．由题意，知道a ⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，b ⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，根据已知三角形为等边三角形解之．本题考查了向量的数量积公式的运用及向量的模；注意：三角形的内角与向量的夹角的关系．8.【答案】D【解析】【分析】本题考查了向量垂直的充要条件，向量的坐标运算，属于基础题．求出向量a⃗+b⃗ 的坐标，根据向量垂直的充要条件，得到关于m的方程，求解即可．【解答】解：∵向量a⃗=(1,m)，b⃗ =(3,−2)，∴a⃗+b⃗ =(4,m−2)，又∵(a⃗+b⃗ )⊥b⃗ ，∴(a⃗+b⃗ )·b⃗ =12−2(m−2)=0，解得m=8．故选D．9.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查的知识点是充分条件，必要条件的判断，涉及向量的数量积与模的概念，属于基础题．根据|a⃗+b⃗ |=|a⃗−b⃗ |⇔a⃗·b⃗ =0，从而可以判断“|a⃗|=|b⃗ |”是“|a⃗+b⃗ |=|a⃗−b⃗ |”的既不充分也不必要条件．【解答】解：因为|a⃗+b⃗ |=|a⃗−b⃗ |，所以|a⃗+b⃗ |2=|a⃗−b⃗ |2，则a⃗2+b⃗ 2+2a⃗·b⃗ =a⃗2+b⃗ 2−2a⃗·b⃗ ，即a⃗·b⃗ =0，由|a⃗|=|b⃗ |⇏a⃗·b⃗ =0，a⃗·b⃗ =0⇏|a⃗|=|b⃗ |，故“|a⃗|=|b⃗ |”是“|a⃗+b⃗ |=|a⃗−b⃗ |”的既不充分也不必要条件．故选D．10.【答案】C【解析】【分析】本题考查向量的夹角，向量垂直的条件，是基础题．根据两个向量垂直，数量积为零，把式子变化出现只含向量夹角余弦的方程，解出夹角的余弦值，根据角的范围，得到结果．【解答】解：若|a ⃗ |=1,|b ⃗ |=2,c ⃗ =a ⃗ +b ⃗ ， 设向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为θ， ∵c ⃗ ⊥a ⃗ ，c ⃗ =a ⃗ +b ⃗ ， ∴(a ⃗ +b ⃗ )⋅a ⃗ =0，则|a ⃗ |2+|a ⃗ |⋅|b ⃗ |cosθ=0， ∴cosθ=−|a ⃗ |2|a ⃗ ||b⃗ |=−12，又0°≤θ≤180°，∴θ=120°． 故选C ．11.【答案】D【解析】【分析】本题考查了向量模的坐标运算，即把点的坐标代入，利用两角和与差的余弦公式进行化简求值．属于基础题． 根据向量模的坐标表示，把已知两个点的坐标代入，利用两角和与差的余弦公式进行化简，进而求出向量模． 【解答】解：∵A(cos80°,sin80°)，B(cos20°,sin20°)，=√2−2cos600=1． 故选D ．12.【答案】C【解析】【分析】本题考查平面向量的数量积的运算，向量加减的坐标运算，考查计算能力，属基础题． 利用已知条件表示所求数量积的两个向量，然后利用数量积的运算法则求解即可． 【解答】在平行四边形ABCD 中，AB//CD ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−2),AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1)， AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,−1)，DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−3)， 则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4×0+(−1)(−3)=3． 故选：C ．13.【答案】C【解析】【分析】本题考查了平面向量的运算，数量积的运用，考查了数形结合的思想，关键是向量的分解，表示． 根据图形得出AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·(AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2−AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，结合向量的数量积求解即可． 【解答】解：∵四边形ABCD 为平行四边形，点M 、N 满足BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2NC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴根据图形可得：AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·(AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2−AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+32AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +916AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2， AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+34AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+32AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=6，|AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=4， ∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−316AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=12−3=9 故选：C ．14.【答案】A【解析】【分析】本题考查了向量的数量积、必要条件、充分条件与充要条件的判断，属于基础题．m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ 为非零向量，存在负数λ，使得m ⃗⃗⃗ =λn ⃗ ，则向量m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ 共线且方向相反，可得m ⃗⃗⃗ ·n ⃗ <0.而非零向量m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ 的夹角为钝角，满足m ⃗⃗⃗ ·n ⃗ <0，但m ⃗⃗⃗ =λn ⃗ 不成立．则答案可得． 【解答】解：m⃗⃗⃗ ，n ⃗ 为非零向量，存在负数λ，使得m ⃗⃗⃗ =λn ⃗ ， 则向量m⃗⃗⃗ ，n ⃗ 共线且方向相反，可得m ⃗⃗⃗ ·n ⃗ <0． 反之不成立，非零向量m⃗⃗⃗ ，n ⃗ 的夹角为钝角，满足m ⃗⃗⃗ ·n ⃗ <0，而m ⃗⃗⃗ =λn ⃗ 不成立． ∴m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ 为非零向量，则“存在负数λ，使得m ⃗⃗⃗ =λn ⃗ ”是m ⃗⃗⃗ ·n ⃗ <0”的充分不必要条件． 故选A ．15.【答案】C【解析】【分析】本题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断，考查向量等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题．“AB⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为锐角”⇒“|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |>|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |”，“|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |>|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |”⇒“AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为锐角”，由此能求出结果． 【解答】解：点A ，B ，C 不共线，若“AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为锐角”，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC⃗⃗⃗⃗⃗ >0， |AB⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+4AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+4AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ >|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2，∴“AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为锐角”⇒“|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |>|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |”， 若|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |>|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |，则|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2>|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2， 化简得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ >0，即AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为锐角， ∴“|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |>|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |”⇒“AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为锐角”， ∴设点A ，B ，C 不共线，则“AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为锐角”是“|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |>|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |”的充分必要条件． 故选C ．16.【答案】A【解析】解：由a ⃗ =(2,4)，b ⃗ =(−1,1)，得： 2a ⃗ −b ⃗ =2(2,4)−(−1,1)=(4,8)−(−1,1)=(5,7)． 故选：A ．直接利用平面向量的数乘及坐标减法运算得答案．本题考查平面向量的数乘及坐标减法运算，是基础的计算题．17.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查平面向量的数量积以及向量加法法则的运用，属于中档题．由向量的加法结合AD ⊥AB 可得AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√3BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√3(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，由此可求解． 【解答】解：由题意可得，AD ⊥AB ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =√3BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1， 则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗=BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√3BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√3(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√3AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=√3， 故选D ．18.【答案】A【解析】【分析】考查充分条件，必要条件，及充分不必要条件的概念，以及判断方法与过程，数量积的计算公式，向量共线的定义，向量夹角的定义，属于中档题．由a ⃗ ⋅b ⃗ =|a ⃗ ||b ⃗ |便可得到a ⃗ ,b ⃗ 夹角为0，从而得到a ⃗ //b ⃗ ，而a ⃗ //b ⃗ 并不能得到a ⃗ 夹角为0，从而得不到a ⃗ ⋅b ⃗ =|a ⃗ ||b ⃗ |，这样根据充分条件、必要条件的概念即可找出正确选项． 【解答】解：(1)a ⃗ ⋅b ⃗ =|a ⃗ ||b ⃗ |cos <a ⃗ ,b ⃗ >； ∴a ⃗ ⋅b ⃗ =|a ⃗ ||b ⃗ |时，cos <a ⃗ ,b ⃗ >=1； ∴<a ⃗ ,b ⃗ >=0； ∴a ⃗ //b ⃗ ；∴“a ⃗ ⋅b ⃗ =|a ⃗ ||b ⃗ |”是“a ⃗ //b ⃗ ”的充分条件； (2)a ⃗ //b ⃗ 时，a ⃗ ,b ⃗ 的夹角为0或π； ∴a ⃗ ⋅b ⃗ =|a ⃗ ||b ⃗ |，或−|a ⃗ ||b ⃗ |； 即a ⃗ //b ⃗ 得不到a ⃗ ⋅b ⃗ =|a ⃗ ||b ⃗ |；∴“a ⃗ ⋅b ⃗ =|a ⃗ ||b ⃗ |”不是“a ⃗ //b ⃗ ”的必要条件；∴总上可得“a ⃗ ⋅b ⃗ =|a ⃗ ||b ⃗ |”是“a ⃗ //b ⃗ ”的充分不必要条件． 故选：A ．19.【答案】C【解析】【分析】本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，向量垂直的判断，属于中档题． 根据题意，分别验证充分条件、必要条件即可． 【解答】解：若“|a ⃗ −3b ⃗ |=|3a ⃗ +b ⃗ |”， 则|a ⃗ |2+9|b ⃗ |2−6a ⃗ ·b ⃗ =9|a ⃗|2+|b ⃗ |2+6a ⃗ ·b ⃗ ，又∵a ⃗ ，b ⃗ 均为单位向量，即|a⃗ |=|b ⃗ |=1，∴a⃗·b⃗ =0，即a⃗⊥b⃗ ，∴“|a⃗−3b⃗ |=|3a⃗+b⃗ |”是“a⃗⊥b⃗ ”的充分条件；若a⃗⊥b⃗ ，则a⃗·b⃗ =0，a⃗，b⃗ 均为单位向量，即|a⃗|=|b⃗ |=1，∵|a⃗−3b⃗ |2=|a⃗|2+9|b⃗ |2−6a⃗·b⃗ =1+9×1−6×0=10，|3a⃗+b⃗ |2=9|a⃗|2+|b⃗ |2+6a⃗·b⃗ =9×1+1+6×0=10，∴|a⃗−3b⃗ |2=|3a⃗+b⃗ |2，则|a⃗−3b⃗ |=|3a⃗+b⃗ |，∴“|a⃗−3b⃗ |=|3a⃗+b⃗ |”是“a⃗⊥b⃗ ”的必要条件；综上，则“”是“a⃗⊥b⃗ ”的充要条件，故选C．20.【答案】10【解析】【分析】本题考查了向量的数量积公式，属于基础题．利用向量的模、夹角形式的数量积公式求出即可．【解答】解：∵a⃗=(−2,−6)，∴|a⃗|=√(−2)2+(−6)2=2√10，∴a⃗⋅b⃗ =|a⃗||b⃗ |cos<a⃗,b⃗ >．故答案为10．21.【答案】8【解析】【分析】本题考查了平面向量的数量积与垂直的关系，属基础题．a⃗⊥b⃗ 则a⃗⋅b⃗ =0，代入a⃗，b⃗ ，解方程即可．【解答】解：由向量a⃗=(−4,3)，b⃗ =(6,m)，且a⃗⊥b⃗ ，得a⃗⋅b⃗ =−24+3m=0，∴m=8．故答案为8．22.【答案】5【解析】解：向量a⃗=(1,−1)，b⃗ =(m+1,2m−4)，若a⃗⊥b⃗ ，则a⃗⋅b⃗ =m+1−(2m−4)=−m+5=0，则m=5，故答案为：5根据向量垂直的条件可得关于m的方程，解之可得结果．本题考查了向量的垂直的条件和向量数量积的运算，属于基础题．23.【答案】√22【解析】解：∵向量a⃗，b⃗ 为单位向量，且a⃗，b⃗ 的夹角为45°，∴a⃗⋅b⃗ =|a⃗|⋅|b⃗ |cos45°=1×1×√22=√22，又k a⃗−b⃗ 与a⃗垂直，∴(k a⃗−b⃗ )⋅a⃗=k|a⃗|2−a⃗⋅b⃗ =0，即k−√22=0，则k=√22．故答案为：√22．由已知求得a⃗⋅b⃗ ，再由k a⃗−b⃗ 与a⃗垂直，可得(k a⃗−b⃗ )⋅a⃗=0，展开即可求得k值．本题考查平面向量的数量积运算，考查向量垂直与数量积的关系，是基础题．24.【答案】π3【解析】解：设向量a⃗，b⃗ 的夹角为θ，平面向量a⃗，b⃗ ，|a⃗|=1，|b⃗ |=2，a⃗⋅b⃗ =1，可得1×2×cosθ=1，可得cosθ=12，所以θ=π3．故答案为：π3．直接利用向量的数量积列出方程求解即可．本题考查向量的数量积的应用，向量的夹角的求法，是基本知识的考查．25.【答案】4【解析】【分析】本题主要考查了向量的数量积，属于基础的计算题，|a ⃗ +b ⃗ |2=(a ⃗ +b ⃗ )2=a ⃗ 2+b ⃗ 2+2a ⃗ ·b ⃗ =|a ⃗ |2+|b ⃗ |2+2|a ⃗ ||b ⃗ |cos120°即得9+|b ⃗|2−3|b ⃗ |=13，即可解得|b ⃗ |， 【解答】解：因为|a ⃗ +b ⃗ |=√13， 所以|a ⃗ +b ⃗ |2=(a ⃗ +b ⃗ )2=a ⃗ 2+b ⃗ 2+2a ⃗ ·b ⃗=|a ⃗ |2+|b ⃗ |2+2|a ⃗ ||b ⃗ |cos120°， 所以9+|b ⃗ |2−3|b ⃗ |=13， 解得|b ⃗ |=4， 故答案为4．26.【答案】−3【解析】解：向量a ⃗ =(2,1)，b ⃗ =(1,−2)，若m a ⃗ +n b ⃗ =(9,−8) 可得{2m +n =9m −2n =−8，解得m =2，n =5，∴m −n =−3． 故答案为：−3．直接利用向量的坐标运算，求解即可．本题考查向量的坐标运算，向量相等条件的应用，考查计算能力．27.【答案】−1【解析】【分析】本题考查向量的数量积的应用，向量的垂直条件的应用，考查计算能力． 利用向量的坐标运算，以及向量的垂直，列出方程求解即可． 【解答】解：向量a⃗ =(1,0)，b ⃗ =(−1,m)． m a ⃗ −b ⃗ =(m +1,−m)． ∵a ⃗ ⊥(m a ⃗ −b ⃗ )，∴m+1=0，解得m=−1．故答案为−1．28.【答案】12【解析】【分析】本题考查实数值的解法，考查平面向量平行的条件及应用，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．利用向量平行的条件直接求解即可．【解答】解：∵向量a⃗，b⃗ 不平行，向量λa⃗+b⃗ 与a⃗+2b⃗ 平行，∴λa⃗+b⃗ =t(a⃗+2b⃗ )=t a⃗+2t b⃗ ，∴{λ=t1=2t，解得实数λ=12．故答案为12．29.【答案】π6【解析】【分析】本题考查平面向量的夹角公式，属于基础题．根据已知中向量的坐标，代入向量夹角公式，可得答案，【解答】解：∵向量a⃗=(1,√3)，b⃗ =(√3,1)，∴a⃗与b⃗ 夹角θ满足，cosθ=a⃗ ⋅b⃗|a⃗ |⋅|b⃗|=2√32×2=√32，又∵θ∈[0,π]，∴θ=π6，故答案为π6．30.【答案】√5【解析】解：设a⃗=(x,y)．∵向量a⃗，b⃗ 满足|a⃗|=1，b⃗ =(2,1)，且λa⃗+b⃗ =0⃗(λ∈R)，∴λa ⃗ +b ⃗ =λ(x,y)+(2,1)=(λx +2,λy +1)， ∴{√x 2+y 2=1λx +2=0λy +1=0，化为λ2=5． 解得|λ|=√5． 故答案为：√5．设a ⃗ =(x,y).由于向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ |=1，b ⃗ =(2,1)，且λa ⃗ +b⃗ =0⃗ (λ∈R)，可得{√x 2+y 2=1λx +2=0λy +1=0，解出即可． 本题考查了向量的坐标运算、向量的模的计算公式、零向量等基础知识与基本技能方法，属于基础题．31.【答案】−15【解析】 【分析】本题考查线性规划中的最值问题，向量的投影，属于中档题．根据题意，可得OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 在OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影为OP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=15(3x −4y )，作出不等式组{x −y ≥0x +y −2≤0y ≥0对应的平面区域，数形结合，进行求解即可． 【解答】解：∵P(x,y)，A(3,−4)， 则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 在OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影为OP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=15(3x −4y )，设z =3x −4y ，得y =34x −z4，作出不等式组{x −y ≥0x +y −2≤0y ≥0对应的平面区域，如图中阴影部分所示，平移直线y =34x −z4，由图象可知，当直线y =34x −z4经过点B(1,1)时，直线y =34x −z4的截距最大，此时z 取得最小值， 所以z min =3−4=−1，则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 在OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上投影的最小值为−15． 故答案为−15．32.【答案】2【解析】解：∵已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 故AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2−AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=4+0−0−12×4=2，故答案为2．根据两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，可得要求的式子为(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )，再根据两个向量垂直的性质，运算求得结果．本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量垂直的性质，属于中档题．33.【答案】√2+√3【解析】【分析】本题考查向量数量积的坐标表示和定义，以及圆的方程和运用，考查点与圆的位置关系，运用点到直线的距离公式是解题的关键，属于难题．设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2,y 2)，由圆的方程和向量数量积的定义、坐标表示，可得三角形OAB 为等边三角形，AB =1，11√222√2的几何意义为点A ，B 两点到直线x +y −1=0的距离d 1与d 2之和，由此可求最大值． 【解答】解：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1)，OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2,y 2)， 由x 12+y 12=1，x 22+y 22=1，x 1x 2+y 1y 2=12，可得A ，B 两点在圆x 2+y 2=1上，且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1×1×cos∠AOB =x 1x 2+y 1y 2=12， 即有∠AOB =60°，即三角形OAB 为等边三角形，AB =1，11√222√2的几何意义为点A ，B 两点到直线l:x +y −1=0的距离d 1与d 2之和，设AB 中点为M ，则距离d 1与d 2之和等于M 到直线l 的距离的两倍，圆心到线段AB中点M的距离d=√32，圆心到直线l的距离d′=√2=√22，∴M到直线l的距离的最大值为d+d′=√32+√22，即11√222√2的最大值为√2+√3，故答案为：√2+√3．34.【答案】0【解析】解：由题意知b⃗ ⋅(2a⃗+b⃗ )=2a⃗⋅b⃗ +b⃗ 2=2×4×4cos120°+42=0．故答案为0．由向量数量积公式进行计算即可．本题考查向量数量积运算公式．35.【答案】2【解析】解：∵向量a⃗=(1,2)，b⃗ =(4,2)，c⃗=m a⃗+b⃗ (m∈R)，∴c⃗=m(1,2)+(4,2)=(m+4,2m+2)．∴c⃗⋅a⃗=m+4+2(2m+2)=5m+8，c⃗⋅b⃗ =4(m+4)+2(2m+2)=8m+20．|a⃗|=√5，|b⃗ |=√42+22=2√5．∵c⃗与a⃗的夹角等于c⃗与b⃗ 的夹角，∴c⃗ ⋅a⃗|c⃗ | |a⃗ |=c⃗ ⋅b⃗|c⃗ | |b⃗|，∴√5=2√5，化为5m+8=4m+10，解得m=2．故答案为：2．利用向量的坐标运算、数量积运算、向量的夹角公式即可得出．本题考查了向量的坐标运算、数量积运算、向量的夹角公式，属于基础题．36.【答案】解：(1)由a⃗⊥b⃗ 得，2x+3−x2=0，即(x−3)(x+1)=0，解得x=3或x=−1；(2)由a⃗//b⃗ ，则2x2+3x+x=0，即2x2+4x=0，得x=0或x=−2．当x=0时，a⃗=(1,0),b⃗ =(3,0)，∴a⃗−b⃗ =(−2,0)，此时|a ⃗ −b ⃗ |=2；当x =−2时，a ⃗ =(1,−2),b ⃗ =(−1,2)， 则a ⃗ −b ⃗ =(2,−4)．故|a ⃗ −b⃗ |=√22+(−4)2=2√5．【解析】本题主要考查平面向量的坐标运算以及向量共线，垂直的充要条件． (1)利用两个向量互相垂直，可以求出x 的值； (2)由两个向量的互相平行先求出x 的值，再求模长．37.【答案】解：(Ⅰ)依题意，点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的双曲线的右支，所求方程为：x 22−y 22=1(x >0)(Ⅱ)当直线AB 的斜率不存在时，设直线AB 的方程为x =x 0，此时A(x 0,√x 02−2)，B(x 0,−√x 02−2)，OA ⃗⃗⃗⃗⃗⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2， 当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y =kx +b ， 代入双曲线方程x 22−y 22=1中，得：(1−k 2)x 2−2kbx −b 2−2=0依题意可知方程1°有两个不相等的正数根，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 则{ Δ=4k 2b 2−4(1−k 2)⋅(−b 2−2)>0x 1+x 2=2kb1−k 2>0x 1x 2=b 2+2k 2−1>0, 解得|k|>1又OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2 =x 1x 2+(kx 1+b)(kx 2+b) =(1+k 2)x 1x 2+kb(x 1+x 2)+b 2 =2k 2+2k 2−1=2+4k 2−1>2 综上可知OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为2．【解析】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用． (Ⅰ)依题意，点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的双曲线的右支，由此能求出其方程．(Ⅱ)当直线AB 的斜率不存在时，设直线AB 的方程为x =x 0，此时A(x 0,√x 02−2)，B(x 0,−√x 02−2)，OA ⃗⃗⃗⃗⃗⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2，当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y =kx +b ，代入双曲线方程x 22−y 22=1中，得(1−k 2)x 2−2kbx −b 2−2=0.依题意可知方程有两个不相等的正数根，由此入手能求出OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值． 38.【答案】解：(Ⅰ)∵抛物线C ：y 2=2px 经过点P(1,2)，∴4=2p ，解得p =2，由题意，直线l 的斜率存在且不为0， 设过点(0,1)的直线l 的方程为y =kx +1， 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2) 联立方程组可得{y 2=4xy =kx +1，消y 可得k 2x 2+(2k −4)x +1=0， ∴Δ=(2k −4)2−4k 2>0，且k ≠0， 解得k <1，且k ≠0， 则x 1+x 2=−2k−4k 2，x 1x 2=1k 2，又∵PA 、PB 要与y 轴相交，∴直线l 不能经过点(1,−2)，即k ≠−3，故直线l 的斜率的取值范围是(−∞,−3)∪(−3,0)∪(0,1)； (Ⅱ)证明：设点M(0,y M )，N(0,y N )， 则QM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,y M −1)，QO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−1)， 因为QM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λQO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以y M −1=−λ， 故λ=1−y M ，同理μ=1−y N ，直线PA 的方程为y −2=2−y11−x 1(x −1)=2−y 11−y 124(x −1)=42+y 1(x −1)，令x =0，得y M =2y 12+y 1，同理可得y N =2y22+y 2，第21页，共21页 因为1λ+1μ=11−y M +11−y N =2+y 12−y 1+2+y 22−y 2=8−2y 1y 2(2−y 1)(2−y 2) =8−2(kx 1+1)(kx 2+1)1−k(x 1+x 2)+k 2x 1x 2=8−[k 2x 1x 2+k(x 1+x 2)+1]1−k(x 1+x 2)+k 2x 1x 2=8−2(1+4−2k k +1)1−4−2k k +1=4−2×4−2k k 2−4−2k k =2，∴1λ+1μ=2，∴1λ+1μ为定值．【解析】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查计算能力，属于难题． (Ⅰ)根据题意，利用直线与抛物线的位置关系进行求解即可；(Ⅱ)求得λ=1−y M ，μ=1−y N ，带入韦达定理化简即可．。
2020届全国100所名校高三模拟金典卷(一)数学(文)试题(解析版)
2020届全国100所名校高三模拟金典卷（一）数学（文）试题一、单选题1．已知集合{|24},{|22}A x x B x x =-<≤=-≤<，则A B =U （ ） A ．{|22}x x -<< B ．{|24}x x -≤≤ C ．{|22}x x -≤≤ D ．{|24}x x -<≤【答案】B【解析】直接利用并集的定义计算即可. 【详解】由已知，集合{|24},{|22}A x x B x x =-<≤=-≤<，所以{|24}A B x x ⋃=-≤≤. 故选：B 【点睛】本题考查集合的并集运算，考查学生的基本计算能力，是一道基础题.2．已知a 是实数，()11a a i -++是纯虚数，则复数z a i =+的模等于（ ）A ．2B CD ．1【答案】C【解析】()11a a i -++是纯虚数可得1a =，则1z i =+，再根据模的计算的公式计算即可. 【详解】()11a a i -++是纯虚数，则实部为0，虚部不为0，即1a =，所以1z i =+，||z =故选：C 【点睛】本题考查复数模的计算，涉及到复数的相关概念，是一道容易题.3．某产品的宣传费用x （万元）与销售额y （万元）的统计数据如下表所示：根据上表可得回归方程ˆ9.6 2.9yx =+，则宣传费用为3万元时销售额a 为（ ） A ．36.5 B ．30C ．33D ．27【答案】D【解析】由题表先计算出x ，将其代入线性回归方程即可. 【详解】 由已知，1(4235) 3.54x =+++=， 由回归方程过点(),x y ，故36.5y =， 即1(452450)36.54y a =+++=，解得27a =. 故选：D 【点睛】本题考查线性回归方程的简单应用，回归方程一定过样本点的中心(,)x y ，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.4．已知在等差数列{}n a 中，34576, 11a a a a ++==，则1a =（ ） A ．3 B ．7C ．7-D ．3-【答案】C【解析】由3456a a a ++=，可得42,a =结合7 11a =，可得公差d ，再由413a a d =+可得1a . 【详解】由等差数列的性质，得345436a a a a ++==， 所以42,a =公差7493743a a d -===-， 又4132a a d =+=，所以17a =-. 故选：C 【点睛】本题考查等差数列的性质及等差数列基本量的计算，考查学生的运算能力，是一道容易题.5．已知抛物线24y x =的准线与圆2260x y x m +--=相切，则实数m 的值为（ ） A ．8 B ．7 C ．6 D ．5【答案】B【解析】由题可得准线方程为1x =-，再利用圆心到直线的距离等于半径计算即可得到答案. 【详解】由已知，抛物线的准线方程为1x =-，圆2260x y x m +--=的标准方程为22(3)9x y m -+=+，由1x =-与圆相切，所以圆心到直线的距离()314d =--==， 解得7m =. 故选：B 【点睛】本题主要考查抛物线的定义，涉及到直线与圆的位置关系，考查学生的运算求解能力，是一道容易题.6．已知平面向量a r ，b r满足a =r ，||3b =r ，(2)a a b ⊥-r r r ，则23a b -r r （ ）A ．BC ．4D ．5【答案】A【解析】由(2)0a a b ⋅-=r r r，可得2a b ⋅=r r，将其代入|23|a b -==r r .【详解】由题意可得||2a ==r ，且(2)0a a b ⋅-=r r r，即220a a b -⋅=r r r，所以420a b -⋅=r r， 所以2a b ⋅=r r.由平面向量模的计算公式可得|23|a b -==r r==故选：A 【点睛】本题考查利用数量积计算向量的模，考查学生的数学运算能力，是一道容易题. 7．已知定义在R 上的函数()y f x =，对于任意的R x ∈，总有()()123f x f x -++=成立，则函数()y f x =的图象（ ） A ．关于点()1,2对称 B ．关于点33,22⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．关于点()3,3对称 D ．关于点()1,3对称【答案】B【解析】设(,)A x y 是()y f x =图象上任意一点，A 关于(,)a b 对称的点为()'2,2A a x b y --也在()y f x =的图象上，再结合()()123f x f x -++=简单推导即可得到. 【详解】设(,)A x y 是()y f x =图象上任意一点，A 关于(,)a b 对称的点为()'2,2A a x b y --也在()y f x =的图象上，则(2)(1(21))3(221)f a x f x a f x a -=--+=-+-+3(32)2()f a x b f x =--+=-，所以有23,320b a =-=，解得33,22a b ==.所以函数()y x =的图象关于点33,22⎛⎫⎪⎝⎭对称. 故选：B 【点睛】本题考查函数图象的对称性，考查学生的逻辑推理能力，当然也可以作一个示意图得到，是一道中档题.8．某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是 A ．8号学生 B ．200号学生C ．616号学生D ．815号学生【答案】C【解析】等差数列的性质．渗透了数据分析素养．使用统计思想，逐个选项判断得出答案． 【详解】详解：由已知将1000名学生分成100个组，每组10名学生，用系统抽样，46号学生被抽到，所以第一组抽到6号，且每组抽到的学生号构成等差数列{}n a ，公差10d =，所以610n a n=+()n *∈N ，若8610n =+，则15n =，不合题意；若200610n =+，则19.4n =，不合题意； 若616610n =+，则61n =，符合题意；若815610n =+，则80.9n =，不合题意．故选C ． 【点睛】本题主要考查系统抽样.9．函数||4x e y x=的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由函数的奇偶性可排除B ；由(1),(3)f f 可排除选项A 、D. 【详解】设||()4x e f x x =，定义域为{|0}x x ≠，||()()4x e f x f x x-=-=-，所以()f x 为奇函数，故排除选项B ；又(1)14e f =<，排除选项A ；3(3)112e f =>，排除选项D.故选：C 【点睛】本题考查由解析式选函数图象的问题，涉及到函数的性质，此类题一般从单调性、奇偶性、特殊点的函数值入手，是一道容易题.10．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）A ．163πB ．3π C ．29π D ．169π【答案】D【解析】由三视图可知该几何体为底面是圆心角为23π的扇形，高是4的圆锥体，再利用圆锥体积公式计算即可. 【详解】从三视图中提供的图形信息与数据信息可知：该几何体的底面是圆心角为23απ=的扇形，高是4的圆锥体， 容易算得底面面积2112442233S r παπ==⨯⨯=，所以其体积111644339V ππ=⨯⨯⨯=. 故选：D 【点睛】本题考查三视图还原几何体以及几何体体积的计算，考查学生的空间想象能力、数学运算能力，是一道中档题.11．已知函数()sin 3(0)f x x x ωωω=+>的图象上存在()()12,0,,0A x B x 两点，||AB 的最小值为2π，再将函数()y f x =的图象向左平移3π个单位长度，所得图象对应的函数为()g x ，则()g x =（ ） A ．2sin 2x - B ．2sin2xC ．2cos 26x π⎛⎫-⎪⎝⎭D ．2sin 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A【解析】()2sin 3f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭，由min ||2AB π=可得T π=，2ω=，再由平移变换及诱导公式可得()g x 的解析式.【详解】()sin 3cos 2sin 3f x x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，因为||AB 的最小值为12222T ππω=⨯=，解得2ω=. 因为函数()y f x =的图象向左平移3π个单位长度， 所得图象对应的函数为()g x ， 所以()2sin 22sin(2)2sin 233g x x x x πππ⎡⎤⎛⎫=++=+=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 故选：A 【点睛】本题考查三角函数图象的变换，涉及到辅助角公式、诱导公式的应用，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题.12．如图所示，在棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，边长为2，22PD PA PC ===，.在这个四棱锥中放入一个球，则球的最大半径为（ ）A ．2B 21C ．2D 21【答案】D【解析】由题意，最大的球应与四棱锥各个面都相切，设球心为S ，连接SD ，SA SB SC SP 、、、，则把此四棱锥分为五个棱锥，设它们的高均为R ，求出四棱锥的表面积S 以及四棱锥的体积P ABCD V -，利用公式13P ABCD V S -=⨯R ⨯，计算即可. 【详解】由已知，22PD AD PA ===，，所以222PD AD PA +=，所以PD AD ⊥，同理PD CD ⊥，又CD AD D =I ，所以PD ⊥平面ABCD ，PD AB ⊥，又AB AD ⊥，PD AD D ⋂=，所以AB ⊥平面PAD ，所以PA AB ⊥，设此球半径为R ，最大的球应与四棱锥各个面都相切，设球心为S ，连接SD，SA SB SC SP、、、，则把此四棱锥分为五个棱锥，它们的高均为R.四棱锥的体积211222 3323P ABCD ABCDVS PD-⨯=⨯⨯=⨯=W，四棱锥的表面积S22112222222242222PAD PAB ABCDS S S=++=⨯⨯+⨯⨯⨯+=+ V V W，因为13P ABCDV S-=⨯R⨯，所以3222142221P ABCDVRS-====-++.故选：D【点睛】本题考查几何体内切球的问题，考查学生空间想象能力、转化与化归的能力，是一道有一定难度的压轴选择题.二、填空题13．设实数x，y满足约束条件101010yx yx y+≥⎧⎪-+≥⎨⎪++≤⎩，则34z x y=-的最大值是__________.【答案】4【解析】作出可行域，344zy x=-，易知截距越小，z越大，【详解】根据实数x，y满足约束条件101010yx yx y+≥⎧⎪-+≥⎨⎪++≤⎩，画出可行域，如图，平移直线34y x=即可得到目标函数的最大值.344z y x =-，易知截距越小，z 越大，平移直线34y x =，可知当目标函数经过点A 时取得最大值，由11y y x =-⎧⎨=--⎩，解得()0,1A -，所以max 304(1) 4.z =⨯-⨯-=故答案为：4 【点睛】本题考查简单的线性规划及应用，考查学生数形结合的思想，是一道容易题.14．曲线()e 43xf x x =+-在点()(0,)0f 处的切线方程为__________.【答案】52y x =-【解析】直接利用导数的几何意义计算即可. 【详解】因为()02f =-，'()4xf x e =+，所以'0(0)45f e =+=，所以切线方程为()25y --=()0x -，即5 2.y x =- 故答案为：52y x =- 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.15．已知数列{}n a 满足：11a =，12nn n a a +=+，则数列{}n a 的前n 项和n S =__________.【答案】122n n +--【解析】利用累加法可得数列{}n a 的通项公式，再利用分组求和法求和即可. 【详解】由已知，12nn n a a +-=，当2n ≥时，()()()211213211212222112n n n n n n a a a a a a a a ---=+-+-+⋅⋅⋅+-=+++⋅⋅⋅+==--，又11a =满足上式，所以21nn a =-，()212122222212n n n n S n n n +-=++⋅⋅⋅+-=-=---.故答案为：122n n +-- 【点睛】本题考查累加法求数列的通项以及分组求和法求数列的和，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.16．已知双曲线22221x y a b-=（0b a >>）的左、右焦点分别是1F 、2F ，P 为双曲线左支上任意一点，当1222PF PF 最大值为14a时，该双曲线的离心率的取值范围是__________.【答案】【解析】112222111224|24|2PF PF a PF PF aPF a PF ==+++，1PF c a ≥-，分2c a a -≤，2a c a ≥-两种情况讨论，要注意题目中隐含的条件b a >.【详解】由已知，11222111224|24|2PF PF a PF PF aPF a PF ==+++，因为1PF c a ≥-，当2c a a -≤时，21121444a a PF a PF ≤=++，当且仅当12PF a =时，1222PF PF 取最大值14a， 由2a c a ≥-，所以3e ≤；当2c a a ->时，1222PF PF 的最大值小于14a，所以不合题意.因为b a >，所以22211b e a=->，所以2e >，所以2 3.e <≤故答案为：(2,3] 【点睛】本题考查双曲线的离心率的取值范围问题，涉及到双曲线的概念与性质及基本不等式，考查学生的逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.三、解答题17．某学校组织高一、高二年级学生进行了“纪念建国70周年”的知识竞赛.从这两个年级各随机抽取了40名学生,对其成绩进行分析，得到了高一年级成绩的频率分布直方图和高二年级成绩的频数分布表.成绩分组 频数[)75,80 2 [)80,85 6[)85,90 16[)90,9514[)95,1002高二（1）若成绩不低于80分为“达标”，估计高一年级知识竞赛的达标率；（2）在抽取的学生中，从成绩为[]95,100的学生中随机选取2名学生，代表学校外出参加比赛，求这2名学生来自于同一年级的概率. 【答案】（1）0.85；（2）715【解析】（1）利用1减去[)75,80的概率即可得到答案；（2）高一年级成绩为[]95,100的有4人，记为1234, , , A A A A ，高二年级成绩为[]95,100的有2名，记为12,B B ，然后利用列举法即可.【详解】（1）高一年级知识竞赛的达标率为10.0350.85-⨯=.（2）高一年级成绩为[]95,100的有0.025404⨯⨯=（名），记为1234, , , A A A A ， 高二年级成绩为[]95,100的有2名，记为12,B B .选取2名学生的所有可能为121314111223242122343132414212, , , , , , , , , , , , , , A A A A A A A B A B A A A A A B A B A A A B A B A B A B B B ，共15种；其中2名学生来自于同一年级的有12131423243412,,,,,,A A A A A A A A A A A A B B ，共7种. 所以这2名学生来自于同一年级的概率为715. 【点睛】本题考查统计与古典概率的计算，涉及到频率分布直方图和频数分布表，考查学生简单的数学运算，是一道容易题.18．在ABC V 中，角、、A B C 所对的边分别是a b c 、、，且2B A C =+，b =. （1）若3sin 4sin C A =，求c 的值； （2）求a c +的最大值【答案】（1）4；（2）【解析】（1）由已知，易得3B π=，由正弦定理可得34c a =，再由角B 的余弦定理即可得到答案；（2）正弦定理得sin sin sin a c b A C B ===，所以,a A c C ==，sin )a c A C +=+，再利用两角和的正弦公式以辅助角公式可得6a c A π⎛⎫+=+⎪⎝⎭，即可得到最大值.【详解】（1）因为2B A C =+， 又A B C π++=，得3B π=.又3sin 4sin C A =，由正弦定理得34c a =，即34a c =， 由余弦定理2222cosb ac ac B =+-，得22331132442c c c c ⎛⎫=+-⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭，解得4c =或4c =-（舍）.（2）由正弦定理得sin sin sin a c b A C B ===，,a A c C ∴==，sin )a c A C ∴+=+sin()]A A B =++1sin sin sin sin cos322A A A A A π⎡⎤⎤⎛⎫=++=++⎢⎥ ⎪⎥⎝⎭⎦⎣⎦6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由203A π<<，得5666A πππ<+=，当62A ππ+=，即3A π=时，max ()a c +=.【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，涉及到两角和的正弦公式及辅助角公式的应用，考查学生的数学运算求解能力，是一道容易题. 19．在菱形ABCD 中，,3ADC AB a π∠==，O 为线段CD 的中点（如图1）．将AOD △沿AO 折起到'AOD △的位置，使得平面'AOD ⊥平面ABCO ，M 为线段'BD 的中点（如图2）．（Ⅰ）求证：'OD BC ⊥； （Ⅱ）求证：CM ∥平面'AOD ； （Ⅲ）当四棱锥'D ABCO -的体积为32时，求a 的值． 【答案】（Ⅰ）见解析. （Ⅱ）见解析. （Ⅲ） 2a =.【解析】（Ⅰ）证明OD '⊥AO ． 推出OD '⊥平面ABCO ． 然后证明OD '⊥BC ．（Ⅱ）取P 为线段AD '的中点，连接OP ，PM ；证明四边形OCMP 为平行四边形，然后证明CM ∥平面AOD '；（Ⅲ）说明OD '是四棱锥D '﹣ABCO 的高．通过体积公式求解即可． 【详解】（Ⅰ）证明：因为在菱形ABCD 中，3ADC π∠=，O 为线段CD 的中点，所以'OD AO ⊥． 因为平面'AOD ⊥平面ABCO 平面'AOD I 平面ABCO AO =，'OD ⊂平面'AOD ，所以'OD ⊥平面ABCO ． 因为BC ⊂平面ABCO ，所以'OD BC ⊥． （Ⅱ）证明：如图，取P 为线段'AD 的中点，连接OP,PM ； 因为在'ABD ∆中，P ，M 分别是线段'AD ，'BD 的中点， 所以//PM AB ，12PM AB =． 因为O 是线段CD 的中点，菱形ABCD 中，AB DC a ==，//AB DC ， 所以122a OC CD ==． 所以OC //AB ，12OC AB =． 所以//PM OC ，PM OC =．所以四边形OCMP 为平行四边形， 所以//CM OP ，因为CM ⊄平面'AOD ，OP ⊂平面'AOD ，所以//CM 平面'AOD ；（Ⅲ）由（Ⅰ）知'OD ⊥平面ABCO ．所以'OD 是四棱锥'D ABCO -的高，又S=23332228a a a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭= ,'2a OD = 因为3133'3162a V S OD =⨯⨯==， 所以2a =． 【点睛】本题考查线面平行与垂直的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力,是基础题20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，过右焦点F 作与x 轴垂直的直线，与椭圆的交点到x 轴的距离为32. （1）求椭圆C 的方程；（2）设O 为坐标原点，过点F 的直线'l 与椭圆C 交于A B 、两点（A B 、不在x 轴上），若OE OA OB =+u u u r u u u r u u u r，求四边形AOBE 面积S 的最大值.【答案】（1）22143x y +=；（2）3. 【解析】（1）由12c a =，232b a =结合222a bc =+解方程组即可；（2）设':1l x ty =+，联立直线'l 与椭圆的方程得到根与系数的关系，因为OE OA OB =+u u u r u u u r u u u r，可得四边形AOBE为平行四边形，12122||2AOB S S OF y y =⨯-==△将根与系数的关系代入化简即可解决. 【详解】 (1)由已知得12c a =， Q 直线经过右焦点，2222231,||2c y b y a b a ∴+===， 又222a b c =+Q，2,1a b c ∴===，故所求椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）Q 过()1,0F 的直线与椭圆C 交于A B 、两点（A B 、不在x 轴上）， ∴设':1l x ty =+，由221143x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(34)690t y ty ++-=，设()()1122,,,A x y B x y ，则122122634934t y y t y y t -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，OE OA OB =+u u u r u u u r u u u rQ ，∴四边形AOBE 为平行四边形，122122||234AOBS OF y y t S =∴⨯-===+△1m =≥， 得2621313m S m m m==++，由对勾函数的单调性易得当1m =，即0t =时，max 32S =. 【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及到椭圆的方程、椭圆中面积的最值问题，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题.21．设函数()2a 2xf x x alnx (a 0)x -=-+>． (Ⅰ)求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ)记函数()f x 的最小值为()g a ，证明：()g a 1<．【答案】（I ）()f x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增；（II ）详见解析. 【解析】（I ）对函数()f x 求导，解导函数所对应的不等式即可求出结果； （II ）由（I ）先得到()g a ，要证()1g a <，即证明1ln 1a a a a--<，即证明2111ln a a a--<， 构造函数()211ln 1h a a a a=++-，用导数的方法求函数()h a 的最小值即可. 【详解】（Ⅰ）显然()f x 的定义域为()0,+∞．()()()()222242332222221x x a x x a x a x x f x a x x x x x+----++=-⋅='-+=． ∵220x +>，0x >，∴若()0,x a ∈，0x a -<，此时()0f x '<，()f x 在()0,a 上单调递减； 若(),x a ∈+∞，0x a ->，此时()0f x '>，()f x 在(),a +∞上单调递增； 综上所述：()f x 在()0,a 上单调递减，在(),a +∞上单调递增． （Ⅱ）由（Ⅰ）知：()()min 1ln f x f a a a a a==--， 即：()1ln g a a a a a=--． 要证()1g a <，即证明1ln 1a a a a --<，即证明2111ln a a a--<， 令()211ln 1h a a a a =++-，则只需证明()211ln 10h a a a a=++->，∵()()()22333211122a a a a h a a a a a a'-+--=--==，且0a >， ∴当()0,2a ∈，20a -<，此时()0h a '<，()h a 在()0,2上单调递减； 当()2,a ∈+∞，20a ->，此时()0h a '>，()h a 在()2,+∞上单调递增， ∴()()min 1112ln21ln20244h a h ==++-=->．∴()211ln 10h a a a a=++->．∴()1g a <． 【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数的单调性，最值等，属于常考题型.22．在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线2:cos 4sin (0)C a a ρθθ=>，直线的参数方程为21x ty t=-+⎧⎨=-+⎩，（t 为参数）.直线l 与曲线C 交于M N ，两点.（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程.（2）设()2,1P --，若||,||,||PM MN PN 成等比数列，求a 和的||MN 值.【答案】（1）22cos 4sin (0)a a ρθρθ=>，10x y -+=；（2）10.【解析】（1）利用直角坐标、极坐标、参数方程互化公式即可解决；（2）将直线参数方程标准化，联立抛物线方程得到根与系数的关系，再利用直线参数方程的几何意义即可解决. 【详解】（1）曲线2:cos 4sin (0)C a a ρθθ=>，两边同时乘以ρ，可得22cos 4sin (0)a a ρθρθ=>，化简得24(0)x ay a =>；直线l 的参数方程为21x ty t =-+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），消去参数t ，可得1x y -=-，即10x y -+=.（2）直线l 的参数方程21x ty t=-+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）化为标准式为21x y ⎧=-⎪⎪⎨='+'⎪-⎪⎩（'t 为参数），代入24(0)x ay a =>并整理得'2'1)8(1)0t a t a -+++=， 设M N ，两点对应的参数为''12, t t ，由韦达定理可得''121)t t a +=+，''128(1)0t t a ⋅=+>， 由题意得2||||||MN PM PN =⋅，即2''''1212t t t t -=⋅， 可得()2''''''1212124t t t t t t +-⋅=⋅， 即232(1)40(1)a a +=+，0a >，解得1,4a =所以2''121||81104MN t t ⎛⎫=⋅=+= ⎪⎝⎭，||MN =【点睛】本题考查极坐标与参数方程的应用，涉及到极坐标方程、普通方程、参数方程的互化，以及直线参数方程的几何意义求距离的问题，是一道容易题. 23．已知函数()|||2|f x x a x =-++. （1）当1a =时，求不等式()3f x ≤的解集； （2）()00,50x f x ∃∈-≥R ，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）{|21}x x-＃；（2）[7,3]-【解析】（1）当1a =时，()|1||2|f x x x =-++，分2x -≤，21x -<<，1x ≥三种情况讨论即可；（2）()00,50x f x ∃∈-≥R ，则()min 5f x ≥，只需找到()f x 的最小值解不等式即可. 【详解】（1）当1a =时，()|1||2|f x x x =-++，①当2x -≤时，()21f x x =-- ，令()3f x ≤，即213x --≤，解得2x ≥-，所以2x =-， ②当21x -<<时，()3f x =，显然()3f x ≤成立，21x ∴-<<，③当1x ≥时，()21f x x =+，令()3f x ≤，即213x +≤，解得1x ≤，所以1x =. 综上所述，不等式的解集为{|21}x x-＃.（2）0()|||2||()(2)||2|,f x x a x x a x a x =-++--+=+∃∈R Q …，有()050f x -…成立，∴要使()05f x ≥有解，只需|2|5a +≤，解得73a ≤≤-， ∴实数a 的取值范围为[7,3]-.【点睛】本题考查解绝对值不等式以及不等式能成立问题，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.。
(全国100所名校最新高考模拟示范卷)2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学模拟测试试题(含答案)
2020年普通高等学校招生考试数学模拟测试一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若集合A={0,1,2,3},B={2,3,4,5},则A ∪B= A.{1,2,3,4,5}B.{0,1,4,5}C.{2,3}D.{0,1,2,3,4,5}2.i 是虚数单位,z=2—i,则|z|=B.23.已知向量a =(1,2),b =(-1,λ),若a ∥b ,则实数λ等于 A.-1B.1C.-2D.24.设命题p:∀x ∈R ,x 2>0,则p ⌝为A.∀x ∈R ,x 2≤0B.∀x ∈R ,x 2>0C.∃x ∈R ,x 2>0D.∃x ∈R ,x 2≤05.51(1)x-展开式中含x -2的系数是 A.15B.-15C.10D.-106.若双曲线22221(0,x y a b a b -=>>)的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为53，点P(b,0),为则12||||PF PF =A.6B.8C.9D.107.图为祖冲之之子祖暅“开立圆术”中设计的立体模型.祖暅提出“祖氏原理”,他将牟合方盖的体积化成立方体与一个相当于四棱锥的体积之差,从而求出牟合方盖的体积等于32(3d d 为球的直径),并得到球的体积为16V d π=,这种算法比外国人早了一千多年,人们还用过一些类似的公式,根据π=3.1415926…,判断下列公式中最精确的一个是A.d ≈3B .d ≈√2V 3C.d≈√300157V3D .d≈√158V 38.已知23cos cos ,2sin sin 2αβαβ-=+=则cos(a+β)等于 A.12B.12-C.14D.14-二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9.第18届国际篮联篮球世界杯(世界男子篮球锦标赛更名为篮球世界杯后的第二届世界杯)于2019年8月31日至9月15日在中国的北京广州、南京、上海、武汉、深圳、佛山、东莞八座城市举行.中国队12名球员在第一场和第二场得分的茎叶图如图所示,则下列说法正确的是A.第一场得分的中位数为52 B.第二场得分的平均数为193C.第一场得分的极差大于第二场得分的极差D.第一场与第二场得分的众数相等10.已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点M 、N,若线段MN 1,则 A.正方体的外接球的表面积为12π B.正方体的内切球的体积为43πC.正方体的边长为2D.线段MN 的最大值为11.已知圆M 与直线x 十y ＋2=0相切于点A(0,-2),圆M 被x 轴所截得的弦长为2,则下列 结论正确的是A.圆M 的圆心在定直线x-y-2=0上B.圆M 的面积的最大值为50πC.圆M 的半径的最小值为1D.满足条件的所有圆M 的半径之积为1012.若存在m,使得f(x)≥m 对任意x ∈D 恒成立,则函数f(x)在D 上有下界,其中m 为函数f(x)的一个下界;若存在M,使得f(x)≤M 对任意x ∈D 恒成立,则函数f(x)在D 上有上界,其中M 为函数f(x)的一个上界.如果一个函数既有上界又有下界,那么称该函数有界.下列说法正确的是A.1不是函数1()(0)f x x x x=+>的一个下界 B.函数f(x)=x l nx 有下界,无上界C.函数2()xe f x x=有上界有,上无界下,界无下界D.函数2sin ()1xf x x =+有界 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13.设f(x)是定义在R 上的函数,若g(x)=f(x)+x 是偶函数,且g(-2)=-4,则f(2)=___. 14.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0),点2(,0)3π和7(,0)6π是函数f(x)图象上相邻的两个对称中心,则ω=___.15.已知F 1,F 2分别为椭圆的221168x y +=左、右焦点,M 是椭圆上的一点,且在y 轴的左侧,过点F 2作∠F 1MF2的角平分线的垂线,垂足为N,若|ON|=2(О为坐标原点),则|MF 2|-|MF 1|=___,|OM|=__.(本题第一空2分,第二空3分)16.在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,AB =1=2,E,F 分别为AB 1,A 1C 1的中点,平面α过点C 1,且平面α∥平面A 1B 1C ,平面α∩平面A 1B 1C 1=l ,则异面直线EF 与l 所成角的余弦值为__·四、解答题：本题共6小题，共70分。
精品解析：2020届全国100所名校最新高考模拟示范卷高三理科数学模拟测试试题(二)(解析版)
故答案为：
【点睛】本题考查简单的线性规划问题；考查运算求解能力和数形结合思想；根据图形，向下平移直线 找到使目标函数取得最大值的点是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.
15.已知函数 ，点 和 是函数 图象上相邻的两个对称中心，则 _________.
【答案】
【解析】
【分析】
1.若集合 ， ，则 （）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
求解分式不等式解得集合 ，再由集合并运算，即可求得结果.
【详解】因为 ，所以 .
故选：D.
【点睛】本题考查集合的并运算，涉及分式不等式的求解，属综合基础题.
2. 是虚数单位， ，则 （）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】C
方差 43.2，
所以选项C的说法是错误的.
故选：C.
【点睛】本题考查由茎叶图求中位数、平均数、方差以及众数，属综合基础题.
4.若双曲线 的左、右焦点分别为 ，离心率为 ，点 ，则 ( )
A. 6B. 8C. 9D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意写出 与 坐标，表示出 ，结合离心率公式计算即可.
【分析】
根据题意，利用函数奇偶性的定义判断函数 的奇偶性排除选项 ；利用 排除选项A即可.
【详解】由题意知，函数 的定义域为 ，其定义域关于原点对称，
因为
又因为 ，
所以 ，即函数 为偶函数，故排除 ；
又因为 ，故排除A.
故选：B
【点睛】本题考查函数解析式较复杂的图象的判断;利用函数奇偶性、特殊值符号的正负等有关性质进行逐一排除是解题的关键;属于中档题.
2020届全国100所名校最新高考模拟示范卷(四)高三数学(理)试题及答案
绝密★启用前2020届全国100所名校最新高考模拟示范卷（四）高三数学（理）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题 1．已知集合{}|26Mx x =-<<，{}2|3log 35N x x =-<<，则MN =（ ）A ．{}2|2log 35x x -<<B ．{}2|3log 35x x -<<C ．{}|36x x -<<D ．{}2|log 356x x <<答案：A根据对数性质可知25log 356<<，再根据集合的交集运算即可求解. 解：∵25log 356<<， 集合{}|26Mx x =-<<，∴由交集运算可得{}2|2log 35M N x x ⋂=-<<.故选：A. 点评：本题考查由对数的性质比较大小，集合交集的简单运算，属于基础题. 2．设复数z 满足12z zz +=+，z 在复平面内对应的点的坐标为(),x y 则（ ） A ．221x y =+ B ．221y x =+ C ．221x y =- D ．221y x =-答案：B根据共轭复数定义及复数模的求法，代入化简即可求解. 解：z 在复平面内对应的点的坐标为(),x y ，则z x yi =+，z x yi =-，∵12z zz +=+，1x =+，解得221y x =+. 故选：B. 点评：本题考查复数对应点坐标的几何意义，复数模的求法及共轭复数的概念，属于基础题. 3．“2b =”是“函数()()2231f x b b x α=--（α为常数）为幂函数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件答案：A根据幂函数定义，求得b 的值，结合充分条件与必要条件的概念即可判断. 解：∵当函数()()2231af x b b x =--为幂函数时，22311b b --=，解得2b =或12-， ∴“2b =”是“函数()()2231af x b b x =--为幂函数”的充分不必要条件.故选：A. 点评：本题考查了充分必要条件的概念和判断，幂函数定义的应用，属于基础题.4．已知()21AB =-，，()1,AC λ=，若cos BAC ∠=，则实数λ的值是（ ） A ．-1 B ．7C ．1D ．1或7答案：C根据平面向量数量积的坐标运算，化简即可求得λ的值. 解：由平面向量数量积的坐标运算，代入化简可得cos 105AB AC BAC AB AC⋅∠===. ∴解得1λ=. 故选：C. 点评：本题考查了平面向量数量积的坐标运算，属于基础题.5．嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射．12日下午4点43分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中③所示，其近月点与月球表面距离为100公里，远月点与月球表面距离为400公里，已知月球的直径约为3476公里，对该椭圆有下述四个结论： （1）焦距长约为300公里； （2）长轴长约为3988公里； （3）两焦点坐标约为()150,0±； （4）离心率约为75994． 其中正确结论的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4答案：B根据椭圆形轨道，设该椭圆长轴长为a ，半焦距为c ，先求得月球的半径r ，再根据近月点与月球表面距离为100公里，有100a c r -=+，远月点与月球表面距离为400公里，有400a c r +=+，然后两式联立求解. 解：设该椭圆长轴长为a ，半焦距为c ，依题意可得月球半径约为1347617382⨯=， 所以1001738183840017382138a c a c -=+=⎧⎨+=+=⎩，解得1988150a c =⎧⎨=⎩所以离心率150751988994c e a ===，可知结论（1）（4）正确，（2）错误； 因为没有给坐标系，焦点坐标不确定，所以（3）错误． 故选：B 点评：本题主要考查椭圆的几何性质，还考查了阅读抽象应用的能力，属于基础题. 6．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若1a =，6A π=，且321c b -=，则cos C （）A ．12-B ．3C ．12D 6 答案：A根据1a =，321c b -=，由正弦定理边化为角得到3sin 2sin sin C B A -=，由A B C π++=，得到()3sin 2sin sin C A C A -+=，再根据6A π=求解.解：由321c b -=，得32c b a -=，即3sin 2sin sin C B A -=， 所以()3sin 2sin sin C A C A -+=， 而6A π=，所以3sin 2sin sin 66C C ππ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭， 即3113sin 2sin cos 222C C C ⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭， 解得1cos 2C =-． 故选：A 点评：本题主要考查正弦定理和三角恒等变换，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 7．函数()2cos2cos221xxf x x =+-的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．答案：C根据函数奇偶性可排除AB 选项；结合特殊值，即可排除D 选项. 解：∵()2cos221cos2cos22121x x x x f x x x +=+=⨯--，()()()2121cos 2cos22121x x x x f x x x f x --++-=⨯-=-⨯=---，∴函数()f x 为奇函数，∴排除选项A ，B ；又∵当04x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0f x >，故选：C. 点评：本题考查了依据函数解析式选择函数图象，注意奇偶性及特殊值的用法，属于基础题.8．设x ，y 满足约束条件2010x y x y x m -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，若2z x y =+的最大值大于17，则实数m 的取值范围为（） A ．()4,+∞ B ．13,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．()6,+∞D ．()5,+∞答案：D先作出不等式组表示的平面区域，然后平移直线l ：20x y +=，当直线l 在y 轴上的截距最大时，z 取得最大值求解. 解：作出不等式组表示的平面区域如图所示，作出直线l ：20x y +=，并平移，当直线l 经过点(),2m m +时，直线在y 轴上的截距最大，z 取得最大值， 因为2z x y =+的最大值大于17， 所以2217m m ++>，解得5m >． 故选：D 点评：本题主要考查线性规划求最值，还考查了数形结合的方法的能力，属于基础题. 9．七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，是由七块板组成．而这七块板可拼成许多图形，人物、动物、建筑物等，在18世纪，七巧板流传到了国外，至今英国剑桥大学的图书馆里还珍藏着一部《七巧图谱》．若用七巧板（图1为正方形），拼成一只雄鸡（图2），在雄鸡平面图形上随机取一点，则恰好取自雄鸡鸡头或鸡尾（阴影部分）的概率为A ．112B ．18C ．14D ．316答案：D这是一个几何概型模型，设包含7块板的正方形边长为4，求得正方形的面积，即为雄鸡的面积，然后求得雄鸡鸡头（标号3或5）和鸡尾（标号6）的面积之和，代入公式求解. 解：设包含7块板的正方形边长为4，正方形的面积为4416⨯=， 则雄鸡鸡头（标号3或5）和鸡尾（标号6）的面积之和为1212132⨯⨯+⨯=， 在雄鸡平面图形上随机取一点，则恰好取自雄鸡几头或鸡尾（阴影部分）的概率为316p． 故选：D 点评：本题主要考查几何概型的概率，还考查了阅读抽象应用的能力，属于基础题.10．如图，直三棱柱ABC A B C '''-的侧棱长为3，AB BC ⊥，3AB BC ==，点E ，F 分别是棱AB ，BC 上的动点，且AE BF =，当三棱锥B EBF '-的体积取得最大值时，则异面直线A F '与AC 所成的角为（）A ．2π B ．3π C ．4π D ．6π 答案：C设AE BF a ==，13B EBF EBFV S B B '-'=⨯⨯，利用基本不等式，确定点E ，F 的位置，然后根据//EF AC ，得到A FE '∠即为异面直线A F '与AC 所成的角，再利用余弦定理求解.设AE BF a ==，则()()23119333288B EBFaa V a a '-+-⎡⎤=⨯⨯⨯-⨯≤=⎢⎥⎣⎦，当且仅当3a a =-，即32a =时等号成立， 即当三棱锥B EBF '-的体积取得最大值时，点E ，F 分别是棱AB ，BC 的中点， 方法一：连接A E '，AF ，则352A E '=，352AF =，2292A F AA AF ''=+=，13222EF AC ==， 因为//EF AC ，所以A FE '∠即为异面直线A F '与AC 所成的角，由余弦定理得222819452424cos 9322222A F EF A E A FE A F EF +-''+-'∠==='⋅⋅⨯⨯， ∴4A FE π'∠=．方法二：以B 为坐标原点，以BC 、BA 、BB '分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则()0,3,0A ，()3,0,0C ，()0,3,3A '，3,0,02F ⎛⎫⎪⎝⎭， ∴3,3,32A F ⎛⎫'=--⎪⎝⎭，()3,3,0AC =-， 所以9922cos ,92322A F AC A F AC A F AC +'⋅'==='⋅⨯，所以异面直线A F '与AC 所成的角为4π． 故选：C 点评：本题主要考查异面直线所成的角，余弦定理，基本不等式以及向量法求角，还考查了推理论证运算求解的能力，属于中档题.11．已知函数()sin f x a x x =的一条对称轴为56x π=，函数()f x 在区间()12,x x 上具有单调性，且()()12f x f x =-，则下述四个结论：①实数a 的值为1；②()()1,x f x 和()()22,x f x 两点关于函数()f x 图象的一条对称轴对称； ③21x x -的最大值为π， ④12x x +的最小值为23π． 其中所有正确结论的编号是（） A ．①②③ B ．①③④C ．①④D ．③④答案：B 根据56x π=是函数()f x 的一条对称轴，确定函数()f x ，再根据函数()f x 在区间()12,x x 上具有单调性，得到21x x -的最大值为2Tπ=，然后由()()12f x f x =-，得到()()11,x f x 和()()22,x f x 两点关于函数()f x 的一个对称中心对称求解验证. 解： ∵56x π=是函数()f x 的一条对称轴，∴()53f x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭， 令0x =，得()503f f π⎛⎫=⎪⎝⎭，即=1a =，①正确； ∴()sin 2sin 3π⎛⎫==- ⎪⎝⎭f x x x x ．又因为函数()f x 在区间()12,x x 上具有单调性， ∴21x x -的最大值为2Tπ=，且()()12f x f x =-， ∴()()11,x f x 和()()22,x f x 两点关于函数()f x 的一个对称中心对称，∴121233223x x x x k ππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪+π⎝⎭⎝⎭=-=π，k Z ∈， ∴12223x x k ππ+=+，k Z ∈， 当0k =时，12x x +取最小值23π，所以①③④正确，②错误．故选：B 点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，还考查了推理论证，运算求解的能力，属于中档题.12．如图，在ABC 中，AB 4=，点E 为AB 的中点，点D 为线段AB 垂直平分线上的一点，且4DE =，固定边AB ，在平面ABD 内移动顶点C ，使得ABC 的内切圆始终与AB 切于线段BE 的中点，且C 、D 在直线AB 的同侧，在移动过程中，当CA CD +取得最小值时，ABC 的面积为（）A ．12524-B ．6512-C ．12518-D ．658-答案：A以AB 所在直线为x 轴，ED 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，利用圆的切线长定理，得到C 点的轨迹是以A 、B 为焦点的双曲线在第一象限部分，然后利用直线段最短，得到点C 的位置，再求三角形的面积. 解： 如图，以AB 所在直线为x 轴，ED 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，则()2,0A -，()2,0B ，()0,4D ，设ABC 的内切圆分别切BC 、AC 、AB 于F ，G ，H 点，∵3124CA CB AG BF AH HB -=-=-=-=<，所以C 点的轨迹是以A 、B 为焦点的双曲线的第一象限部分，且1a =，2c =，2223b c a =-=，∴C 的轨迹方程为()220,03y x x y ->>．∵2CA CB -=，∴2CA CB =+，∴2CA CD CB CD +=++， 则当点C 为线段BD 与双曲线在第一象限的交点时，CA CD +最小， 如图所示：线段BD 的方程为()4202y x x =-≤≤，将其代入22330x y --=，得216190x x -+=，解得835x =+835x =-，∴426512y x =-=， ∴()835,6512C -． ∴ABC 的面积为()146512125242⨯⨯=． 故选：A 点评：本题主要考查双曲线的定义，圆的切线长定理以及三角形的面积，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题. 二、填空题13．若函数()()()()()2log 2242x x f x f x x ⎧->⎪=⎨+≤⎪⎩，则()()5f f -=__________． 答案：1利用分段函数，先求()5f -，再求()()5f f -的值.解： ∵()()()5130f f f -=-==，∴()()()()5041ff f f -===．故答案为：1 点评：本题主要考查分段函数求函数值问题，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 14．若()()613x a x -+的展开式中3x 的系数为45-，则实数a =__________． 答案：13利用通项公式得到()()613x a x -+的展开式中含3x 的项为：()()23236633x C x a C x ⋅-⋅，再根据系数为45-，建立方程求解.解：因为()()613x a x -+的展开式中含3x 的项为：()()()232336633135540x C x a C x a x ⋅-⋅=-，∴13554045a -=-，解得13a =． 故答案为：13点评：本题主要考查二项式定理的通项公式，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 15．如图，在矩形ABCD 中，24==AD AB ，E 是AD 的中点，将ABE △，CDE △分别沿BE CE ，折起，使得平面ABE ⊥平面BCE ，平面CDE ⊥平面BCE ，则所得几何体ABCDE 的外接球的体积为__________.答案：323π 根据题意，画出空间几何体，设BE EC BC ，，的中点分别为M N O ，，，并连接AM CM AO DN NO DO OE ，，，，，，，利用面面垂直的性质及所给线段关系，可知几何体ABCDE 的外接球的球心为O ，即可求得其外接球的体积. 解：由题可得ABE △，CDE △，BEC △均为等腰直角三角形，如图所示，设BE EC BC ，，的中点分别为M N O ，，， 连接AM CM AO DN NO DO OE ，，，，，，， 则OM BE ⊥，ON CE ⊥.因为平面ABE ⊥平面BCE ，平面CDE ⊥平面BCE ， 所以OM ⊥平面ABE ，ON ⊥平面DEC ， 易得2OA OB OC OD OE =====，则几何体ABCDE 的外接球的球心为O ，半径2R =， 所以几何体ABCDE 的外接球的体积为343233V R ππ==. 故答案为：323π. 点评：本题考查了空间几何体的综合应用，折叠后空间几何体的线面位置关系应用，空间几何体外接球的性质及体积求法，属于中档题.16．若函数()2ln 2f x x x ax x =--有两个不同的极值点，则实数a 的取值范围为__________． 答案：10,4e ⎛⎫ ⎪⎝⎭由函数()2ln 2f x x x ax x =--有两个不同的极值点，则()ln 40f x x ax '=-=有两个不同的根，转化为方程ln 4x a x =有两个不同解，即函数()g x ln 4xx=的图象与直线y a =有两个公共点求解.解：由()ln 40f x x ax '=-=，得ln 4xa x=， 记()ln 4x g x x =，则()21ln 4xg x x-'=， 当()0,x e ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增，当(),x e ∈+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减． 又∵()14g e e=，当0x →时，()g x →-∞，当x →+∞时，()0g x →． 因为函数()2ln 2f x x x ax x =--有两个不同的极值点， 所以方程ln 4xa x=有两个不同的解， 即函数()g x 的图象与直线y a =有两个公共点， 故实数a 的取值范围为10,4e ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 故答案为：10,4e ⎛⎫ ⎪⎝⎭点评：本题主要考查导数与函数的极值点以及导数与函数的零点问题，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题. 三、解答题17．在如图所示的多面体中，四边形ABEG 是矩形，梯形DGEF 为直角梯形，平面DGEF ⊥平面ABEG ，且DG GE ⊥，//DF GE ，2222AB AG DG DF ====.（1）求证：FG ⊥平面BEF . （2）求二面角A BF E --的大小. 答案：（1）见解析；（2）23π（1）根据面面垂直性质及线面垂直性质，可证明BE FG ⊥；由所给线段关系，结合勾股定理逆定理，可证明FE FG ⊥，进而由线面垂直的判定定理证明FG ⊥平面BEF .（2）建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，并求得平面AFB 和平面EFB 的法向量，由空间向量法求得两个平面夹角的余弦值，结合图形即可求得二面角A BF E --的大小. 解：（1）证明：∵平面DGEF ⊥平面ABEG ，且BE GE ⊥， ∴BE ⊥平面DGEF ， ∴BE FG ⊥，由题意可得2FG FE ==， ∴222FG FE GE +=，∵FE FG ⊥，且FE BE E ⋂=， ∴FG ⊥平面BEF .（2）如图所示，建立空间直角坐标系，则()1,0,0A ，()1,2,0B ，()0,2,0E ，()0,1,1F ，()1,1,1FA =--，()1,1,1FB =-，()0,1,1FE =-.设平面AFB 的法向量是()111,,n x y z =，则11111111100000x y z x z FA n x y z y FB n --==⎧⎧⎧⋅=⇒⇒⎨⎨⎨+-==⋅=⎩⎩⎩，令11x =，()1,0,1n =，由（1）可知平面EFB 的法向量是()0,1,1m GF ==，∴1cos<,222n m n m n m⋅>===⨯⋅，由图可知，二面角A BF E --为钝二面角，所以二面角A BF E --的大小为23π. 点评：本题考查了线面垂直的判定，面面垂直及线面垂直的性质应用，空间向量法求二面角的大小，属于中档题.18．在等差数列{}n a 中，12a =，35730a a a ++=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记23n n a an b =+，当*n N ∈时，1n n b b λ+>，求实数λ的取值范围．答案：（1）2n a n =（2）实数λ的取值范围是97,13⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭（1）根据12a =，35730a a a ++=，利用“1,a d ”法求解.（2）由（1）得到2349n naa n n nb =+=+，将()114949n n n n λ+++>+对*n N ∀∈恒成立，转化为5419nλ<⎛⎫+ ⎪⎝⎭对*n N ∀∈恒成立求解. 解：（1）在等差数列{}n a 中，3575330a a a a ++==，∴510a =，所以{}n a 的公差51251a a d -==-， ∴()112n a a n d n =+-=． （2）∵2349n naa n n nb =+=+，∴()114949n n n n λ+++>+对*n N ∀∈恒成立，即4499595444949419n n n n n n n n λ⨯+⨯⨯<=+=+++⎛⎫+ ⎪⎝⎭对*n N ∀∈恒成立， 又∵55974441341199n+≥+=⎛⎫++ ⎪⎝⎭，∴9713λ<，即实数λ的取值范围是97,13⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭．点评：本题主要考查等差数列的基本运算以及有关数列的不等式恒成立问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 上的任意一点M 到直线1y =-的距离比M 点到点()02F ，的距离小1.（1）求动点M 的轨迹1C 的方程；（2）若点P 是圆()()222221C x y -++=：上一动点，过点P 作曲线1C 的两条切线，切点分别为A B 、，求直线AB 斜率的取值范围.答案：（1）28x y =；（2）13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦（1）设(),M x y ，根据题意可得点M 的轨迹方程满足的等式，化简即可求得动点M 的轨迹1C 的方程；（2）设出切线PA PB 、的斜率分别为12k k ，，切点()12,A x x ，()22,B x y ，点()P m n ,，则可得过点P 的拋物线的切线方程为()y k x m n =-+，联立抛物线方程并化简，由相切时0∆=可得两条切线斜率关系12,k k +12k k ；由抛物线方程求得导函数，并由导数的几何意义并代入抛物线方程表示出12,y y ，可求得4AB mk =，结合点()P m n ,满足()()22221x y -++=的方程可得m 的取值范围，即可求得AB k 的范围.解：（1）设点(),M x y ，∵点M 到直线1y =-的距离等于1y +， ∴11y +=，化简得28x y =，∴动点M 的轨迹1C 的方程为28x y =.（2）由题意可知，PA PB 、的斜率都存在，分别设为12k k ，，切点()12,A x x ，()22,B x y ，设点()P m n ,，过点P 的拋物线的切线方程为()y k x m n =-+，联立()28y k x m n x y⎧=-+⎨=⎩，化简可得28880x kx km n -+-=，∴26432320k km n ∆=-+=，即220k km n -+=， ∴122m k k +=，122n k k =. 由28x y =，求得导函数4xy '=， ∴114x k =，2211128x y k ==，2222228x y k ==，∴222121212121224424ABy y k k k k m k x x k k --+====--， 因为点()P m n ,满足()()22221x y -++=， 由圆的性质可得13m ≤≤，∴13444AB m k ≤=≤，即直线AB 斜率的取值范围为13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 点评：本题考查了动点轨迹方程的求法，直线与抛物线相切的性质及应用，导函数的几何意义及应用，点和圆位置关系求参数的取值范围，属于中档题.20．某大学开学期间，该大学附近一家快餐店招聘外卖骑手，该快餐店提供了两种日工资结算方案：方案()a 规定每日底薪100元，外卖业务每完成一单提成2元；方案()b 规定每日底薪150元，外卖业务的前54单没有提成，从第55单开始，每完成一单提成5元.该快餐店记录了每天骑手的人均业务量，现随机抽取100天的数据，将样本数据分为[)[)[)[)[)[)[]2535354545555565657575858595，，，，，，，，，，，，，七组，整理得到如图所示的频率分布直方图.（1）随机选取一天，估计这一天该快餐店的骑手的人均日外卖业务量不少于65单的概率；（2）从以往统计数据看，新聘骑手选择日工资方案()a 的概率为13，选择方案()b 的概率为23.若甲、乙、丙、丁四名骑手分别到该快餐店应聘，四人选择日工资方案相互独立，求至少有两名骑手选择方案()a 的概率，（3）若仅从人日均收入的角度考虑，请你为新聘骑手做出日工资方案的选择，并说明理由.（同组中的每个数据用该组区间的中点值代替） 答案：（1）0.4；（2）1127；（3）应选择方案()a ，理由见解析 （1）根据频率分布直方图，可求得该快餐店的骑手的人均日外卖业务量不少于65单的频率，即可估算其概率；（2）根据独立重复试验概率求法，先求得四人中有0人、1人选择方案()a 的概率，再由对立事件概率性质即可求得至少有两名骑手选择方案()a 的概率；（3）设骑手每日完成外卖业务量为X 件，分别表示出方案()a 的日工资和方案()b 的日工资函数解析式，即可计算两种计算方式下的数学期望，并根据数学期望作出选择. 解：（1）设事件A 为“随机选取一天，这一天该快餐店的骑手的人均日外卖业务量不少于65单”.根据频率分布直方图可知快餐店的人均日外卖业务量不少于65单的频率分别为0.2,0.15,0.05，∵020*******++=．．．．， ∴()P A 估计为0.4.（2）设事件′为“甲、乙、丙、丁四名骑手中至少有两名骑手选择方案()a ”， 设事件i C ，为“甲、乙、丙、丁四名骑手中恰有()01234ii =，，，，人选择方案()a ”， 则()()()41310144212163211111333818127P B P C P C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=--=--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以四名骑手中至少有两名骑手选择方案()a 的概率为1127. （3）设骑手每日完成外卖业务量为X 件， 方案()a 的日工资()11002,*Y X X N =+∈，方案()b 的日工资()215054*15055454*X X N Y X X X N ≤∈⎧=⎨+->∈⎩，，，，，所以随机变量1Y 的分布列为()1160005180005200022200324002260015280005224E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．．．．．．．；同理，随机变量2Y 的分布列为()21500318003230022800153300052035E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．．．．．．.∵()()21EY E Y >，∴建议骑手应选择方案()a . 点评：本题考查了频率分布直方图的简单应用，独立重复试验概率的求法，数学期望的求法并由期望作出方案选择，属于中档题.21．已知函数()()ln 1f x m x x =+-，()sin g x mx x =-.（1）若函数()f x 在()0+∞，上单调递减，且函数()g x 在02，上单调递增，求实数m 的值；（2）求证：()()21111sin11sin 1sin 1sin 12231e n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋯+<⎪ ⎪⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭（*n N ∈，且2n ≥）.答案：（1）1；（2）见解析（1）分别求得()f x 与()g x 的导函数，由导函数与单调性关系即可求得m 的值； （2）由（1）可知当0x >时，()ln1x x +<，当02x π<<时，sin x x <，因而()()*111sin1sinsin sin 0,213,221n N n n n⋯>∈≥⨯⨯-⨯，，，，，构造()()111ln 1sin11+sin 1+sin 1sin 12231n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋯+⎢⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦，由对数运算及不等式放缩可证明()()1111ln 1sin11+sin 1+sin 1sin 2212231n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋯+=-<⎢⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦，从而不等式可证明. 解：（1）∵函数()f x 在()0+∞，上单调递减， ∴()101mf x x'=-≤+，即1m x ≤+在()0+∞，上恒成立， ∴1m ，又∵函数()g x 在02，上单调递增，∴()cos 0g x m x '=-≥，即cos m x ≥在02，上恒成立，m 1≥，∴综上可知，1m =.（2）证明：由（1）知，当1m =时，函数()()ln 1f x x x =+-在()0+∞，上为减函数，()sin g x x x =-在02，上为增函数，而()()00,00f g ==，∴当0x >时，()ln 1x x +<，当02x π<<时，sin x x <. ∴()()*111sin1sinsin sin 0,213,221n N n n n⋯>∈≥⨯⨯-⨯，，，， ∴()()111ln 1sin11+sin 1+sin 1sin 12231n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋯+⎢⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦()()111ln 1sin1ln 1+sin ln 1+sin ln 1sin 12231n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋯++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()111sin1sinsin sin 12231n n <+++⋯+⨯⨯-⨯()11111111111122312231n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+++⋯+=+-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯-⨯-⎝⎭⎝⎭⎝⎭122n=-< 即()()111ln 1sin11+sin 1+sin 1sin 212231n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋯+<⎢⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦， ∴()()()2*1111sin11+sin 1+sin 1sin ,212231e n N n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋯+<∈≥⎪ ⎪⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭，. 点评：本题考查了导数与函数单调性关系，放缩法在证明不等式中的应用，属于难题. 22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为0x y a -+=，曲线C 的参数方程为22cos 22sin x y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l 和曲线C 的极坐标方程；（2）若射线6πθ=与l 的交点为M ，与曲线C 的交点为A ，B ，且4OA OB OM +=，求实数a 的值．答案：（1）l ：cos sin 0a ρθρθ-+=，C ：24cos 4sin 40ρρθρθ--+=（2）12a =- （1）先消去参数得到C 的普通方程，然后利用cos x ρθ=，sin y ρθ=分别代入，得到直线和曲线C 的极坐标方程.（2）在极坐标系中，设1π,6M ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2π,6A ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3π,6B ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，将π6θ=代入24cos 4sin 40ρρθρθ--+=，然后利用韦达定理求解.解：（1）将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入方程0x y a -+=中，得到直线l 的极坐标方程为cos sin 0a ρθρθ-+=；曲线C 的普通方程为()()22224x y -+-=，即224440x y x y +--+=， 所以曲线C 的极坐标方程为24cos 4sin 40ρρθρθ--+=．（2）在极坐标系中，可设1π,6M ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2π,6A ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3π,6B ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 将π6θ=代入24cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得()2240ρρ-+=，∴232ρρ+=，∵4OA OB OM +=，∴1ρ=即1π,26M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，将1π,26M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭代入cos sin 0a ρθρθ-+=，得()111sin cos 222a ρθθ=-=⨯=-． 点评：本题主要考查参数方程，普通法方程极坐标方程间的转化以及直线与曲线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.23．已知不等式112x x ++-≤的解集为{}x a x b ≤≤．（1）求实数a 、b 的值；（2）设0m >，0n >，且满足122a b m n-=，求证：1212m n ++-≥． 答案：（1）1a =-，1b =（2）见解析（1）利用绝对值的几何意义，去绝对值求解.（2）由（1）得到1122m n+=，利用三角不等式转化为1212m n m n ++-≥+，再利用基本不等式求解.解：（1）原不等式等价于①122x x <-⎧⎨-≤⎩，∴x ∈∅； ②1122x -≤≤⎧⎨≤⎩，∴11x -≤≤； ③122x x >⎧⎨≤⎩，∴x ∈∅． 所以原不等式的解集为{}11x x -≤≤，∴1a =-，1b =．（2）∵122a b m n -=，∴1122m n+=， ∴()()1211212m n m n m n ++-≥++-=+()111122222222n m m n m n m n ⎛⎫⎛⎫=+⋅+=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当22n m m n =，即1m =，12n =时取等号， ∴1212m n ++-≥．点评：本题主要考查绝对值不等式的解法以及三角不等式和基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.。
专题7 平面向量--2020届高三理科数学3年高考真题分类汇编含解析答案
专题7平面向量1．【2019年全国新课标2理科03】已知（2，3），（3，t），||＝1，则•（）A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3【解答】解：∵（2，3），（3，t），∴（1，t﹣3），∵||＝1，∴t﹣3＝0即（1，0），则• 2故选：C．2．【2019年新课标1理科07】已知非零向量，满足||＝2||，且（）⊥，则与的夹角为（）A．B．C．D．【解答】解：∵（）⊥，∴，∴，∵，∴．故选：B．3．【2019年北京理科07】设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“||＞||”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：点A，B，C不共线，“与的夹角为锐角”⇒“||＞||”，“||＞||”⇒“与的夹角为锐角”，∴设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“||＞||”的充分必要条件．故选：C．4．【2018年新课标1理科06】在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则（）A．B．C．D．【解答】解：在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，（），故选：A．5．【2018年新课标2理科04】已知向量，满足||＝1，1，则•（2）＝（）A．4 B．3 C．2 D．0【解答】解：向量，满足||＝1，1，则•（2）＝22+1＝3，故选：B．6．【2018年浙江09】已知，，是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足4•3＝0，则||的最小值是（）A． 1 B． 1 C．2 D．2【解答】解：由4•3＝0，得，∴（）⊥（），如图，不妨设，则的终点在以（2，0）为圆心，以1为半径的圆周上，又非零向量与的夹角为，则的终点在不含端点O的两条射线y（x＞0）上．不妨以y为例，则||的最小值是（2，0）到直线的距离减1．即．故选：A．7．【2018年北京理科06】设，均为单位向量，则“|3|＝|3|”是“⊥”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵“|3|＝|3|”∴平方得||2+9||2﹣6•9||2+||2+6•，即1+9﹣6•9+1+6•，即12•0，则•0，即⊥，则“|3|＝|3|”是“⊥”的充要条件，故选：C．8．【2018年天津理科08】如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1．若点E为边CD上的动点，则的最小值为（）A．B．C．D．3【解答】解：如图所示，以D为原点，以DA所在的直线为x轴，以DC所在的直线为y轴，过点B做BN⊥x轴，过点B做BM⊥y轴，∵AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1，∴AN＝AB cos60°，BN＝AB sin60°，∴DN＝1，∴BM，∴CM＝MB tan30°，∴DC＝DM+MC，∴A（1，0），B（，），C（0，），设E（0，m），∴（﹣1，m），（，m），0≤m，∴m2m＝（m）2（m）2，当m时，取得最小值为．故选：A．9．【2017年新课标2理科12】已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则•（）的最小值是（）A．﹣2 B．C．D．﹣1【解答】解：建立如图所示的坐标系，以BC中点为坐标原点，则A（0，），B（﹣1，0），C（1，0），设P（x，y），则（﹣x，y），（﹣1﹣x，﹣y），（1﹣x，﹣y），则•（）＝2x2﹣2y+2y2＝2[x2+（y）2]∴当x＝0，y时，取得最小值2×（），故选：B．10．【2017年新课标3理科12】在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若λμ，则λ+μ的最大值为（）A．3 B．2C．D．2【解答】解：如图：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立如图所示的坐标系，则A（0，0），B（1，0），D（0，2），C（1，2），∵动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，设圆的半径为r，∵BC＝2，CD＝1，∴BD∴BC•CD BD•r，∴r，∴圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2，设点P的坐标为（cosθ+1，sinθ+2），∵λμ，∴（cosθ+1，sinθ+2）＝λ（1，0）+μ（0，2）＝（λ，2μ），∴cosθ+1＝λ，sinθ+2＝2μ，∴λ+μcosθsinθ+2＝sin（θ+φ）+2，其中tanφ＝2，∵﹣1≤sin（θ+φ）≤1，∴1≤λ+μ≤3，故λ+μ的最大值为3，故选：A．11．【2017年浙江10】如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC与BD交于点O，记I1•，I2•，I3•，则（）A．I1＜I2＜I3B．I1＜I3＜I2C．I3＜I1＜I2D．I2＜I1＜I3【解答】解：∵AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，∴AC＝2，∴∠AOB＝∠COD＞90°，由图象知OA＜OC，OB＜OD，∴0••，•0，即I3＜I1＜I2，故选：C．12．【2017年北京理科06】设，为非零向量，则“存在负数λ，使得λ”是“•0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：，为非零向量，存在负数λ，使得λ，则向量，共线且方向相反，可得•0．反之不成立，非零向量，的夹角为钝角，满足•0，而λ不成立．∴，为非零向量，则“存在负数λ，使得λ”是•0”的充分不必要条件．故选：A．13．【2019年天津理科14】在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝2，AD＝5，∠A＝30°，点E在线段CB 的延长线上，且AE＝BE，则•．【解答】解：∵AE＝BE，AD∥BC，∠A＝30°，∴在等腰三角形ABE中，∠BEA＝120°，又AB＝2，∴AE＝2，∴，∵，∴又，∴•＝﹣125×2＝﹣1故答案为：﹣1．14．【2019年新课标3理科13】已知，为单位向量，且•0，若2，则cos，．【解答】解：22，∵（2）2＝4459，∴||＝3，∴cos，．故答案为：15．【2019年江苏12】如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE＝2EA，AD与CE交于点O．若•6•，则的值是．【解答】解：设λ（），μμ（）＝（1﹣μ）μμ∴，∴，∴（），，6•6（）×（）（），∵•，∴，∴3，∴．故答案为：16．【2019年浙江17】已知正方形ABCD的边长为1．当每个λi（i＝1，2，3，4，5，6）取遍±1时，|λ1λ2λ3λ4λ5λ6|的最小值是，最大值是．【解答】解：正方形ABCD的边长为1，可得，，•0，|λ1λ2λ3λ4λ5λ6|＝|λ1λ2λ3λ4λ5λ5λ6λ6|＝|（λ1﹣λ3+λ5﹣λ6）（λ2﹣λ4+λ5+λ6）|，由于λi（i＝1，2，3，4，5，6）取遍±1，可得λ1﹣λ3+λ5﹣λ6＝0，λ2﹣λ4+λ5+λ6＝0，可取λ5＝λ6＝1，λ1＝λ3＝1，λ2＝﹣1，λ4＝1，可得所求最小值为0；由λ1﹣λ3+λ5﹣λ6，λ2﹣λ4+λ5+λ6的最大值为4，可取λ2＝1，λ4＝﹣1，λ5＝λ6＝1，λ1＝1，λ3＝﹣1，可得所求最大值为2．故答案为：0，2．17．【2018年江苏12】在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y＝2x上在第一象限内的点，B（5，0），以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若0，则点A的横坐标为．【解答】解：设A（a，2a），a＞0，∵B（5，0），∴C（，a），则圆C的方程为（x﹣5）（x﹣a）+y（y﹣2a）＝0．联立，解得D（1，2）．∴．解得：a＝3或a＝﹣1．又a＞0，∴a＝3．即A的横坐标为3．故答案为：3．18．【2018年新课标3理科13】已知向量（1，2），（2，﹣2），（1，λ）．若∥（2），则λ＝．【解答】解：∵向量（1，2），（2，﹣2），∴（4，2），∵（1，λ），∥（2），∴，解得λ．故答案为：．19．【2018年上海08】在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，0）、B（2，0），E、F是y轴上的两个动点，且||＝2，则的最小值为．【解答】解：根据题意，设E（0，a），F（0，b）；∴；∴a＝b+2，或b＝a+2；且；∴；当a＝b+2时，；∵b2+2b﹣2的最小值为；∴的最小值为﹣3，同理求出b＝a+2时，的最小值为﹣3．故答案为：﹣3．20．【2017年江苏12】如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为α，且tanα＝7，与的夹角为45°．若m n（m，n∈R），则m+n＝．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．A（1，0）．由与的夹角为α，且tanα＝7．∴cosα，sinα．∴C．cos（α+45°）（cosα﹣sinα）．sin（α+45°）（sinα+cosα）．∴B．∵m n（m，n∈R），∴m n，0n，解得n，m．则m+n＝3．故答案为：3．21．【2017年新课标1理科13】已知向量，的夹角为60°，||＝2，||＝1，则|2|＝．【解答】解：【解法一】向量，的夹角为60°，且||＝2，||＝1，∴4•4＝22+4×2×1×cos60°+4×12＝12，∴|2|＝2．【解法二】根据题意画出图形，如图所示；结合图形2；在△OAC中，由余弦定理得||2，即|2|＝2．故答案为：2．22．【2017年浙江15】已知向量、满足||＝1，||＝2，则||+||的最小值是，最大值是．【解答】解：记∠AOB＝α，则0≤α≤π，如图，由余弦定理可得：||，||，令x，y，则x2+y2＝10（x、y≥1），其图象为一段圆弧MN，如图，令z＝x+y，则y＝﹣x+z，则直线y＝﹣x+z过M、N时z最小为z min＝1+3＝3+1＝4，当直线y＝﹣x+z与圆弧MN相切时z最大，由平面几何知识易知z max即为原点到切线的距离的倍，也就是圆弧MN所在圆的半径的倍，所以z max．综上所述，||+||的最小值是4，最大值是．故答案为：4、．23．【2017年天津理科13】在△ABC中，∠A＝60°，AB＝3，AC＝2．若2，λ（λ∈R），且4，则λ的值为．【解答】解：如图所示，△ABC中，∠A＝60°，AB＝3，AC＝2，2，∴（），又λ（λ∈R），∴（）•（λ）＝（λ）•λ＝（λ）×3×2×cos60°32λ×22＝﹣4，∴λ＝1，解得λ．故答案为：．。
2020届百校联盟高三复习全程精练模拟卷(全国卷)文科数学试题(含答案解析)
2020届百校联盟高三复习全程精练模拟卷（全国卷）文科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合{}1,0,1,2A =-，{}22530B x x x =-++>，则AB =（ ）A ．{}0,1,2B ．{}0,1C ．{}1,2D ．{}1,0,1-2．复数32iz i+=的虚部为（ ） A ．2B ．-2C ．-3D ．3i -3．已知()f x 是R 上的偶函数，且当0x ≤时，()2321f x x x =+-，则当0x >时，()f x =（ ）A ．2321x x -+-B ．2321x x ---C ．1232-+x xD ．2321x x --4．已知()4,3a =，()9,9b =-，则a 在a b +方向上的投影为（ ） A ．165B ．335C ．1613D ．33135．维生素C 又叫抗坏血酸，是一种水溶性维生素，是高等灵长类动物与其他少数生物的必需营养素.维生素C 虽不直接构成脑组织，也不向脑提供活动能源，但维生素C 有多种健脑强身的功效，它是脑功能极为重要的营养物.维生素C 的毒性很小，但食用过多仍可产生一些不良反应.根据食物中维C 的含量可大致分为：含量很丰富：鲜枣、沙棘、猕猴桃、柚子，每100克中的维生素C 含量超过100毫克；比较丰富：青椒、桂圆、番茄、草莓、甘蓝、黄瓜、柑橘、菜花，每100克中维生素C 含量超过50毫克；相对丰富：白菜、油菜、香菜、菠菜、芹菜、苋菜、菜苔、豌豆、豇豆、萝卜，每100克中维生素C 含量超过30~50毫克.现从猕猴桃、柚子两种食物中测得每100克所含维生素C 的量（单位：mg ）得到茎叶图如图所示，则下列说法中不正确的是（ ）A ．猕猴桃的平均数小于柚子的平均数B ．猕猴桃的方差小于柚子的方差C ．猕猴桃的极差为32D ．柚子的中位数为1216．甲，乙，丙三名学生，仅有一人通过了全国英语六级等级考试.当它们被问到谁通过了全国英语六级等级考试时，甲说：“丙通过了”；乙说：“我通过了”；丙说：“甲和乙都没有通过”.假设这三名学生中有且只有一人说的是对的，那么通过了全国英语六级等级考试的学生是（ ） A ．甲 B ．乙C ．丙D ．仅靠以上条件还不能推出是谁7．函数()211x x f x x +-=-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．8．秦九韶是我国南宁时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例.若输入n 、x 的值分别为3、1，则输出v 的值为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．109．据《孙子算经》中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为男、子、伯、侯、公共五级.若给有巨大贡献的2人进行封爵，则其中恰有1人被封“伯”的概率为（ ） A ．825B ．25C ．1225D ．172510．过椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点F 的直线过C 的上顶点B ，且与椭圆C相交于另一点A ，点A 在y 轴上的射影为A '，若34FO AA ='，O 是坐标原点，则椭圆C 的离心率为（ ）A B C ．12D 11．已知函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，其图象相邻的最高点之间的距离为π，将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位长度后得到函数()g x 的图象，且()g x 为奇函数，则（ ）A ．()f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称B ．()f x 的图象关于点,06π⎛⎫-⎪⎝⎭对称 C ．()f x 在,63ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增 D ．()f x 在2,36ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增12．在三棱锥S ABC -中，4SB SA AB BC AC =====，SC =S ABC -外接球的表面积是（ ）A ．403πB ．803πC ．409πD ．809π二、填空题13．已知函数()()1cos f x x x =+，则()f x 在点()()0,0f 处的切线方程为______.14．已知sin 33πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭________． 15．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，4Cπ，3a =，()cos 2cos a B c b A =-，则c =______.16．已知()1,0F c -，()2,0F c 是双曲线C ：()222210,0x ya b a b-=>>的左、右焦点，若点1F 关于双曲线渐近线的对称点为P ，且2OPF ∆2（O 为坐标原点），则双曲线C 的离心率为______.三、解答题17．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AD AB ⊥，//AB CD ，122AB AD AP CD ====，E 为PC 的中点.（1）求证：BE ⊥平面PCD ；（2）求三棱锥B PCD -的体积.18．已知公差不为0的等差数列{}n b 中，47b =且1b ，2b ，5b 成等比数列. （1）求数列{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n a 为等比数列，且满足221a b =+，3385a b =，求数列{}n a 的通项公式及前8项的和.19．国家规定每年的7月1日以后的60天为当年的暑假.某钢琴培训机构对20位钢琴老师暑假一天的授课量进行了统计，如下表所示：培训机构专业人员统计近20年该校每年暑假60天的课时量情况如下表：（同组数据以这组数据的中间值作代表） （1）估计20位钢琴老师一日的授课量的平均数；（2）若以（1）中确定的平均数作为上述一天的授课量.已知当地授课价为200元/小时，每天的各类生活成本为80元/天；若不授课，不计成本，请依据往年的统计数据，估计一位钢琴老师60天暑假授课利润不少于2万元的概率.20．已知F 是抛物线()2:20C y px p =>的焦点，点P 在x 轴上，O 为坐标原点，且满足14OP OF =，经过点P 且垂直于x 轴的直线与抛物线C 交于A 、B 两点，且8AB =.（1）求抛物线C 的方程；（2）直线l 与抛物线C 交于M 、N 两点，若64OM ON ⋅=-，求点F 到直线l 的最大距离.21．已知函数()()221ln f x a x ax x =+--，a R ∈.（l ）设()()()21g x f x a x =-+，讨论函数()g x 的单调性；（2）若函数()f x 的图象在()1,+∞上恒在x 轴的上方，求实数a 的取值范围. 22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2cos 4sin 10ρθρθ+-=.（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设直线l 与x ，y 轴的交点分别为M ，N ，若点P 在曲线C 位于第一象限的图象上运动，求四边形OMPN 面积的最大值. 23．已知函数()224f x x x =---. （1）解不等式()4f x >；（2）若不等式()222f x x -->-的解集为(),m n ，正实数a ，b 满足3a b n m +=-，求113a b+的最小值.参考答案1．A 【分析】解出集合B ，利用交集的定义可求得集合A B .【详解】因为{}{}2212530253032B x x x x x x x x ⎧⎫=-++>=--<=-<<⎨⎬⎩⎭，又{}1,0,1,2A =-，所以{}0,1,2A B ⋂=.故选：A. 【点睛】本题考查交集的计算，同时也考查了一元二次不等式的求解，考查计算能力，属于基础题. 2．C 【分析】先给分子和分母同乘以i ，化简后可得其虚部. 【详解】 因为()2323223231i i i iz i i i ++-+====--，所以z 的虚部为-3. 【点睛】此题考查的是复数的运算和复数的有关概念，属于基础题. 3．D 【分析】若令0x >，则0x -<，再将x -代入()2321f x x x =+-中化简，再结合偶函数的定义可得0x >时的函数关系式. 【详解】当0x >时，0x -<，则()()()()22321321f x f x x x x x =-=-+--=--.【点睛】此题考查的是利用偶函数的性质求分段函数的解析式，属于基础题. 4．C 【分析】先由已知求出a b +的坐标，然后利用向量投影的定义求解即可. 【详解】因为()()()4,39,95,12a b +=+-=-，所以a 在a b +方向上的投影为()cos ,a a b a aa b a b⋅++=+4,35,121613⋅-==.【点睛】此题考查了向量的数量积，向量的夹角，向量的投影等知识，属于基础题. 5．B 【分析】A. 根据茎叶图分别算出猕猴桃的平均数和柚子的平均数比较即可.B. 根据茎叶图中的数据的波动情况判断C. 根据茎叶图中的数据计算即可.D. 根据茎叶图中的数据计算即可. 【详解】由茎叶图知，猕猴桃的平均数为1041021131221211341166+++++=，柚子的平均数为1141131211211311321226+++++=，则猕猴桃的平均数小于柚子的平均数，故A 正确；猕猴桃的数据波动比柚子的数据波动大，所以猕猴桃的方差大于柚子的方差，故B 错误； 猕猴桃的极差为13410232-=，故C 正确； 柚子的中位数为1211211212+=，故D 正确. 故选：B 【点睛】本题主要考查样本估计总体中的数字特征，还考查了理解辨析，运算求解的能力，属于基础题. 6．B 【分析】由于甲，乙，丙三名学生中有且只有一人说的是对的，所以分别假设三名学生的说法是对，进行逻辑推理可判断出结果. 【详解】由题意，仅有一人通过了全国英语六级等级考试，则甲说与乙说的只有一个是正确的.假设甲说的是正确的，则丙通过了全国英语六级等级考试.此时乙说是错误的，丙说是正确的，不符合“只有一人说的是对的”的前提条件；假设乙说的是正确的，则甲说的错误，丙说的也错误，符合“只有一人说的是对的”的前提条件；故通过了全国英语六级等级考试的学生是乙. 【点睛】此题考查的是逻辑推理，属于基础题. 7．D 【分析】将函数()y f x =的解析式变形为()1131f x x x =-++-，利用双勾函数的单调性可得出函数()y f x =的单调区间，结合()01f =可判断出函数()y f x =的图象. 【详解】()2211111111131111x x x x f x x x x x x x +--+-+===+++=-++----，故该图象是由函数1y x x=+的图象先向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度得到的，由于函数1y x x=+在(),1-∞-上单调递增，在()1,0-上单调递减，在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，故函数()y f x =在(),0-∞上单调递增，在()0,1上单调递减，在()1,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增.()01f =，故函数()211x x f x x +-=-的图象大致为D 项.故选：D. 【点睛】本题考查函数图象的识别，一般分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点与函数值符号，结合排除法得解，考查推理能力，属于中等题. 8．B 【分析】列出循环的每一步，由此可得出输出的v 值. 【详解】由题意可得：输入3n =，1x =，2v =，3m =；第一次循环，2135v =⨯+=，312m =-=，312n =-=，继续循环； 第二次循环，5127v =⨯+=，211m =-=，211n =-=，继续循环； 第三次循环，7118v =⨯+=，110m =-=，110n =-=，跳出循环； 输出8v =. 故选：B. 【点睛】本题考查根据算法框图计算输出值，一般要列举出算法的每一步，考查计算能力，属于基础题. 9．A 【分析】每1个人都有5种封爵方法，所以2人共有5525⨯=种情况，而恰有一人被封“伯”的有8种情况，然后概率可求得 【详解】由题意知，基本事件的总数有5525⨯=种情形；而其中有1人被封“伯”的情况有：第1人被封“伯”有4种情形，第2人被封“伯”也有4种情形，则其中有1人被封“伯”的共有8种情形；根据古典概型及其概率的计算公式，可得其中有1人被封“伯”的概率为825. 【点睛】此题考查了是古典概率，属于基础题 10．D 【分析】求得点B 的坐标，由34FO AA ='，得出3BF FA =，利用向量的坐标运算得出点A 的坐标，代入椭圆C 的方程，可得出关于a 、b 、c 的齐次等式，进而可求得椭圆C 的离心率. 【详解】由题意可得()0,B b 、(),0F c -.由34FO AA ='，得34BF BA =，则31BF FA =，即3BF FA =.而(),BF c b =--，所以,33c b FA ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以点4,33b A c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.因为点4,33b A c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭在椭圆2222:1x y C a b+=上，则22224331b c a b ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=， 整理可得2216899c a ⋅=，所以22212c e a ==，所以e =. 即椭圆C的离心率为2故选：D. 【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，解答的关键就是要得出a 、b 、c 的齐次等式，充分利用点A 在椭圆上这一条件，围绕求点A 的坐标来求解，考查计算能力，属于中等题. 11．C 【分析】根据函数()f x 图象相邻的最高点之间的距离为π，得到T π=，易得()()2sin 2f x x ϕ=+.将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位长度后，可得()2sin 26g x x πϕ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=，再根据()g x 是奇函数，得到()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，然后逐项验证即可. 【详解】因为函数()f x 图象相邻的最高点之间的距离为π， 所以其最小正周期为T π=，则22Tπω==. 所以()()2sin 2f x x ϕ=+. 将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位长度后，可得()2sin 22sin 2126x x g x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=的图象，又因为()g x 是奇函数，令()6k k Z πϕπ+=∈，所以()6k k ϕπ=π-∈Z .又2πϕ<，所以6πϕ=-.故()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 当6x π=时，()1f x =，故()f x 的图象不关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称，故A 错误；当6x π=-时，()2f x =-，故()f x 的图象关于直线6x π=-对称，不关于点,06π⎛⎫-⎪⎝⎭对称，故B 错误； 在,63ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上，2,622x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，()f x 单调递增，故C 正确；在2,36ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上，3,2262x πππ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，()f x 单调递减，故D 错误.故选：C 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质及其图象变换，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 12．B 【分析】取AB 的中点D ，连接SD 、CD ，推导出90SDC ∠=，设设球心为O ，ABC ∆和SAB ∆的中心分别为E 、F ，可得出OE ⊥平面ABC ，OF ⊥平面SAB ，利用勾股定理计算出球O 的半径，再利用球体的表面积公式可得出结果. 【详解】取AB 的中点D ，连接SD 、CD ，由SAB ∆和ABC ∆都是正三角形，得SD AB ⊥，CD AB ⊥，则42SD CD ==⨯=，则(((222222SD CD SC +=+==，由勾股定理的逆定理，得90SDC ∠=.设球心为O ，ABC ∆和SAB ∆的中心分别为E 、F . 由球的性质可知：OE ⊥平面ABC ，OF ⊥平面SAB ，又14233OE DF OE OF ====⨯=，由勾股定理得3OD ==所以外接球半径为R ===所以外接球的表面积为2280443S R πππ===⎝⎭. 故选：B. 【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积的计算，解题时要分析几何体的结构，找出球心的位置，并以此计算出球的半径长，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 13．20x y -= 【分析】根据()()1cos f x x x =+，求导()1cos sin 'x x x x f =+-，再求得()'0f ，()0f ，写出切线方程. 【详解】因为()()1cos f x x x =+所以()()sin 1cos si 1cos n 'x x x x x f x x -=+-=++， 所以()'02f =.又()00f =，所以()f x 在点()()0,0f 处的切线方程为()020y x -=-， 即20x y -=. 故答案为：20x y -= 【点睛】本题主要考查导数的几何意义，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 14．79-【分析】观察前后式子，配凑22632πππαα⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，通过诱导公式展开即可． 【详解】27sin 2sin 2cos 212sin 632339πππππαααα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦【点睛】此题考查三角函数的正弦和差公式结合二倍角公式进行化简，属于较易题目．15【分析】利用正弦定理将()cos 2cos a B c b A =-统一化为角，然后化简求出角3A π=，再利用正弦定理可求出c . 【详解】由()cos 2cos a B c b A =-及正弦定理，得()sin cos 2sin sin cos A B C B A =-，得sin cos 2sin cos sin cos A B C A B A =-，得sin cos sin cos 2sin cos A B B A C A +=，得()sin 2sin cos A B C A +=，得sin 2sin cos C C A =，显然sin 0C ≠，得12cos A =，解得1cos 2A =.又0A π<<，所以3A π=.再由正弦定理，得sin sin a c A C =，即3sin sin 34cππ=，解得c 【点睛】此题考查的是利用正弦定理解三角形，考查了三角函数恒等变形公式，属于基础题. 16．2【分析】不妨设渐近线方程为b y x a=，根据点1F 关于双曲线渐近线的对称点为P ，可得到OP c =，再根据2OPF ∆2，由正弦定理2221sin 2OPF S OP OF POF ∆=∠2=，求得2POF ∠，根据其与渐近线的倾斜角的关系求得ba，再求离心率. 【详解】不妨设渐近线方程为by x a=， 由题意，12OF OF c OP ===， 所以222211sin sin 22OPF S OP OF POF c c POF ∆=∠=⋅⋅∠24=，解得2sin POF ∠=. 所以260POF ∠=︒或2120POF ∠=︒. 当260POF ∠=︒时，则渐近线by x a=的倾斜角为60︒，则tan 60b a =︒=2c a ==. 即双曲线C 的离心率为2； 当2120POF ∠=︒时，则渐近线by x a=的倾斜角为30，则tan 303b a =︒=c a ==.即双曲线C 的离心率为3综上，双曲线C 的离心率为2故答案为：2【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题. 17．（1）证明见解析；（2）83【分析】（1）取PD 的中点F ，先证明四边形ABEF 是平行四边形，可得//BE AF ，只需证AF ⊥平面PCD 即可，而由已知易证CD ⊥平面PAD ，从而可证得CD AF ⊥，而由等腰三角形的性质可证得AF PD ⊥，由此可证得AF ⊥平面PCD ；（2）先在,Rt PAD Rt PAB ∆∆中利用勾股定理求出,PD PB 的长，再在Rt ADC ∆中，求出AC ，从而可得PC 的长，而E 为PC 的中点，所以12PE CE PC ==，在Rt PBE ∆中，再利用勾股定理求出BE ，而由（1）可知BE ⊥平面PCD ，所以13CD B P PCD V S BE -∆=⋅三棱锥，代值可得答案. 【详解】（1）证明：如下图，取PD 的中点F ，连接AF ，EF . 又E 为PC 的中点，则EF 是PCD ∆的中位线. 所以//EF CD 且12EF CD =.又//AB CD 且12AB CD =， 所以//EF AB 且EF AB =. 所以四边形ABEF 是平行四边形. 所以//BE AF .因为AD AP =，F 为PD 的中点， 所以AF PD ⊥.因为AD AB ⊥，//AB CD ，所以AD CD ⊥.因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA CD ⊥. 又AD PA A ⋂=，所以CD ⊥平面PAD . 所以CD AF ⊥.又PD CD D ⋂=，所以AF ⊥平面PCD . 又//BE AF ，所以BE⊥平面PCD .（2）因为122AB AD AP CD ====，所以由勾股定理得PD PB BC =====AC PC ===所以12PE CE PC ===所以BE ==由（1）得，CD ⊥平面PAD ，所以CD PD ⊥.所以11422PCD S CD PD ∆=⋅=⨯⨯=由（1）得，BE ⊥平面PCD ，所以118333PC B PCD D V S BE ∆-=⋅=⨯=三棱锥. 【点睛】此题考查线面垂直的判定和棱锥的体积的求法，属于中档题.18．（1）21n b n =-；（2）2nn a =；8510S =【分析】（1）由1b ，2b ，5b 成等比数列，得2215b b b =，再结合47b =可得()()()272737d d d -=-+，解方程可求出公差，从而可求出通项公式； （2）由221a b =+，3385a b = 和21n b n =-，求出23,a a ，从而可求出公比，进而求出通项公式和前n 项和公式. 【详解】（1）设等差数列{}n b 的公差为d .由已知47b =且1b ，2b ，5b 成等比数列，得2215b b b =，得()()()244423b d b d b d -=-+， 即()()()272737d d d -=-+， 化简得()720d d -=， 解得0d =（舍去）或2d =.所以()()4474221n b b n d n n =+-=+-⨯=-. （2）由（1）知21n b n =-， 所以2214a b =+=，33885855a b ==⨯=. 所以数列{}n a 的公比322a q a ==. 所以222422n n n n a a q--=⋅=⨯=.设数列{}n a 前8项的和为8S ， 则()8821251012S ⨯-==-.【点睛】此题考查的是等差数列和等比数列的基本量计算，属于基础题 19．（1）4.4小时；（2）0.4. 【分析】（1）将每组的中点值乘以频数，相加后除以20可得出20位老师暑假一日的授课量的平均数；（2）设一位钢琴老师每年暑假60天的授课天数为x ，计算出每位钢琴老师每日的利润，结合每位钢琴老师60天暑假授课利润不少于2万元求得x 的取值范围，再结合课时量频数表可得出所求事件的概率. 【详解】（1）估计20位老师暑假一日的授课量的平均数为()11237577391 4.420x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=小时； （2）设每年暑假60天的授课天数为x ，则利润为()4.420080800y x x =⨯-=. 由80020000x ≥，得25x ≥.一位老师暑假利润不少于2万元，即授课天数不低于25天， 又60天暑假内授课天数不低于25天的频率为3320.420.预测一位老师60天暑假授课利润不少于2万元的概率为0.4. 【点睛】本题考查频数分布表的应用，考查平均数与概率的计算，考查数据处理能力，属于基础题. 20．（1）216y x =；（2）4. 【分析】（1）求得点P 的坐标，可得出直线AB 的方程，与抛物线的方程联立，结合8AB =求出正实数p 的值，进而可得出抛物线的方程；（2）设点()11,M x y ，()22,N x y ，设l 的方程为x my n =+，将直线l 的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，结合64OM ON ⋅=-求得n 的值，可得出直线l 所过定点的坐标，由此可得出点F 到直线l 的最大距离. 【详解】 （1）易知点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，又14OP OF =，所以点,08p P ⎛⎫⎪⎝⎭，则直线AB 的方程为8p x =.联立282p x y px ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得82p x p y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或82p x p y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以822p p AB p ⎛⎫=--== ⎪⎝⎭.故抛物线C 的方程为216y x =；（2）设l 的方程为x my n =+，联立216y xx my n⎧=⎨=+⎩有216160y my n --=，设点()11,M x y ，()22,N x y ，则1216y y n =-，所以()212212256y y x xn ==.所以212121664OM ON x x y y n n ⋅=+=-=-，解得8n =. 所以直线l 的方程为8x my =+，恒过点()8,0.又点()4,0F ，故当直线l 与x 轴垂直时，点F 到直线l 的最大距离为4. 【点睛】本题考查抛物线方程的求解，同时也考查了抛物线中最值问题的求解，涉及韦达定理设而不求法的应用，考查运算求解能力，属于中等题. 21．（1）详见解析；（2）[]1,0- 【分析】（1）先求导函数()()22'1120ax ax x x g xx +=--=->，然后通过对0a ≥和0a <讨论，判断导函数的正负，从而可求出函数的单调区间； （2）“若函数()f x 的图象在1,上恒在x 轴的上方”等价于“不等式()0f x >在1,上恒成立”，即不等式()221ln 0a x ax x +-->在1,上恒成立，即不等式可转化为()2ln 210x ax a x +-+<在1,上恒成立，然后构造函数()()2ln 21x ax h x x a =+-+，只需()h x 在1,上最大值小于零即可，从而可求出a 的取值范围. 【详解】（1）()()()221ln g x f x a x ax x =-+=--，a R ∈，()()22'1120ax ax x x g xx +=--=->.①若0a ≥，2210ax +>，()'0g x <，函数()g x 的单调减区间是()0,∞+，无单调增区间；②若0a <，令()'0g x <，得0x <<令()'0g x >，得x >所以函数()g x 的单调减区间是⎛ ⎝，单调增区间是⎫+∞⎪⎪⎭. 综上所述，若0a ≥，函数()g x 的单调减区间是()0,∞+，无单调增区间；若0a <，函数()g x 的单调减区间是⎛ ⎝，单调增区间是⎫+∞⎪⎪⎭. （2）“若函数()f x 的图象在1,上恒在x 轴的上方”等价于“不等式()0f x >在1,上恒成立”，即不等式()221ln 0a x ax x +-->在1,上恒成立， 即不等式可转化为()2ln 210x ax a x +-+<在1,上恒成立. 令()()()2ln 211x ax h x a x x =+-+>， 则()()()222111221'ax a x ax a x h xx -++=+-+=()()211ax x x --=. ①若0a ≤，则()'0h x <，()h x 在1,上单调递减，所以()()11h x h a <=--，不等式恒成立等价于10a --≤，即10a -≤≤；②若102a <<，则112a >，当112x a<<时，()'0h x <，当12x a >时，()'0h x >， ()h x 在11,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， 所以()1,2x h h a ⎡⎫⎛⎫∈+∞⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭，不符合题意； ③若12a ≥，当1x >时，()'0h x >，()h x 在1,上单调递增， 所以()()()1,h x h ∈+∞，不符合题意.综上所述，实数a 的取值范围是[]1,0-.【点睛】此题考查利用导数求函数的单调区间，利用导数解决不等式恒成立问题，属于较难题.22．（1）2214x y +=；2410x y +-=；（2）4【分析】（1）根据2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩，利用平方关系消去参数α，即可得到普通方程，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入2cos 4sin 10ρθρθ+-=，即可得到直角坐标方程.（2）易得直线2410x y +-=与x ，y 轴的交点分别为M ，N 的坐标，设曲线C 上的点()2cos ,sin P αα，利用S 四边形OMPN OMP ONP S S ∆∆=+求解.【详解】（1）由2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩，得2222cos sin 12x y αα⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭， 故曲线C 的普通方程为2214x y +=. 由2cos 4sin 10ρθρθ+-=将cos sin x yρθρθ=⎧⎨=⎩，代入上式， 得2410x y +-=，故直线l 的直角坐标方程为2410x y +-=.（2）易知直线2410x y +-=与x ，y 轴的交点分别为1,02M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，10,4N ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 设曲线C 上的点()2cos ,sin P αα，因为P 在第一象限，所以02πα<<.连接OP ，则S 四边形OMPN OMP ONP S S ∆∆=+，11sin 2cos 22OM ON αα=⋅+⋅11sin cos 444πααα⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭.当4πα=时，四边形OMPN 面积的最大值为4. 【点睛】本题主要考查参数方程，极坐标方程，直角坐标方程的转化以及面积问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.23．（1）()10,6,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭；（2）1. 【分析】（1）根据绝对值的几何意义，去掉绝对值求解.（2）由()222f x x -->-，易得26x <<，再根据其解集为(),m n ，得到6n =，2m =.则34a b +=，然后利用“1”的代换，利用基本不等式求解.【详解】（1）不等式()4f x >等价于 ()()12244x x x <⎧⎨--->⎩，或()()142244x x x ≤≤⎧⎨--->⎩，或()()42244x x x >⎧⎨-+->⎩， 解得6x <-或1043x <≤或4x >. 故不等式()4f x >的解集是()10,6,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭. （2）由()222f x x -->-，得42x -->-，得42x -<，得242x -<-<，解得26x <<，所以6n =，2m =.因为正实数a ，b 满足34a b n m +=-=，所以()1314a b +=. 又a ，b 是正实数， 由基本不等式得()111113334a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭1311121434b a a b ⎛⎛=⎫+++≥+= ⎪ ⎝⎭⎝， 当且仅当33b a a b=，即当2a =，23b =时取等号， 故113a b+的最小值为1. 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，不等式与解集的关系以及基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.。
2020届全国名校真题模拟专题训练5平面向量(数学)
2020届全国名校真题模拟专题训练5平面向量（数学）一、选择题1、(江苏省启东中学高三综合测试三)将抛物线y 2=4x 沿向量a 平移得到抛物线y 2－4y=4x ，那么向量a 为 A ．(－1,2) B ．(1,－2) C ．(－4,2) D ．(4,－2) 答案：A2、(江苏省启东中学高三综合测试四)将直线l ：x y 2=按a = (3, 0)平移得到直线l '，那么l '的方程为 ( )A ．32-=x yB 32+=x yC ．)3(2-=x yD ．)3(2+=x y 答案：C3、(江苏省启东中学高三综合测试四)在OAB ∆中，=a ，=b ，M 为OB 的中点，N 为AB 的中点，ON ，AM 交于点P ，那么= 〔 〕A ．32a -31b B ．-32a +31b C ．31a -32b D ．-31a +32b 答案：B4、(安徽省皖南八校2018届高三第一次联考)向量)3,2(=→a ，)2,1(-=→b ，假设→→+b n a m 与 →→-b a 2共线，那么nm等于( ) A ．21-； B ．21；C ．2-；D ．2；答案：A5、(江西省五校2018届高三开学联考)向量a ≠e ，|e |＝1，对任意t ∈R ，恒有|a －t e |≥|a －e |，那么A.a ⊥eB.e ⊥(a －e )C.a ⊥(a －e )D.(a ＋e )⊥(a －e ) 答案：B6、(江西省五校2018届高三开学联考)点O 为△ABC 内一点，且存在正数,,321321=++λλλλλλ使，设△AOB ，△AOC 的面积分不为S 1、S 2，那么S 1：S 2＝A ．λ1：λ2B ．λ2：λ3C ．λ3：λ2D ．λ2：λ1答案：C7、(四川省成都市新都一中高2018级一诊适应性测试)两个非零向量22),2,3(),6,3(,b a ba b a b a --=--=+则与=〔 〕A ．－3B ．－24C ．21D ．12 答案：C8、(四川省成都市一诊)在四边形ABCD 中，〝〞是〝四边形ABCD 为梯形〞的 A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充要条件 D 、既不充分也不必要条件答案：A 2AB DC = ⇒ 四边形ABCD 为梯形，但反之不成立.选A9、(四川省乐山市2018届第一次调研考试)如图，半圆的直径AB ＝6，O 为圆心，C 为半圆上不同于A 、B 的任意一点，假设P 为半径OC 上的动点，那么()PA PB PC +的最小值为〔 〕A.92；B.9；C.92-； D.－9；答案：C10、(四川省乐山市2018届第一次调研考试)在平面直角坐标系中，,i j 分不是与,x y 轴正方向同向的单位向量，平面内三点A 、B 、C 满足，143,2AB i j AC ki j =+=-当A 、B 、C三点构成直角三角形时，实数k 的可能值的个数为〔 〕 A.1个； B.2个； C.3个； D.4个； 答案：C11、(四川省成都市新都一中高2018级12月月考)假设y ＝sin (－12 x －π6)的图像按照向量a 平移后得到y ＝sin (－12 x )的图象，那么a 能够是( )A 、(－π3，0)B 、(π3，0)C 、(－π6，0)D 、(π6，0)此题要紧考查三角函数的图像变换及平面向量的基础知识解析：y ＝sin (－12 x －π6)＝sin [－12(x ＋π3)]，因此a ＝(π3，0)答案：B12、(安徽省巢湖市2018届高三第二次教学质量检测)向量OZ 与'OZ 关于x 轴对称，j ＝〔0，1〕，那么满足不等式2'0OZ j ZZ +⋅≤的点Z(x ，y)的集合用阴影表示为〔 〕。
【试卷】2020年全国100所名校最新高考模拟示范卷理科数学（包括答案、教师评分标准）
2020年全国100所名校最新高考模拟示范卷理科数学（五）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合2{|20},{|21}A x x x B x x =--=-<≤≤，则A B = （）A ．{|12}x x -≤≤B ．{|22}x x -<≤C ．{|21}x x -<≤D ．{|22}x x -≤≤2．i 是虚数单位，2i 1iz =-，则z =（）A ．1 B ．2 C ．2D ．223．1777年，法国科学家蒲丰在宴请客人时，在地上铺了一张白纸，上面画着一条条等距离的平行线，而他给每个客人发许多等质量的，长度等于相邻两平行线距离的一半的针，让他们随意投放．事后，蒲丰对针落地的位置进行统计，发现共投针2212枚，与直线相交的有704枚．根据这次统计数据，若客人随机投放一根这样的针到白纸上，则落地后与直线相交的概率为（）A ．12pB ．3pC ．2pD ．1p4．函数1()f x ax x=+在(2,)+¥上单调递增，则实数a 的取值范围是（）A ．1,4æö+¥ç÷èøB ．1,4éö+¥÷êëøC ．[1,)+¥D ．1,4æù-¥çúèû5．下列命题中是真命题的是（）①“1x >”是“21x ≥”的充分不必要条件；②命题“0x ">，都有sin 1x ≤”的否定是“00x $>，使得0sin 1x >”；③数据128,,,x x x 的平均数为6，则数据12825,25,,25x x x --- 的平均数是6；④当3a =-时，方程组232106x y a x y a-+=ìí-=î有无穷多解．A ．①②④B ．③④C ．②③D ．①③④6．已知15455,log 5,log 2a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c>>B ．a c b>>C ．b a c>>D ．c b a>>7．在ABC △中，25sin ,1,4225C BC AB ===，则ABC △的面积为（）A ．2 B ．32C ．4 D ．58．我国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升．如图是一个这种商鞅铜方升的三视图，若x 是方程 1.3522.35x x -=-的根，则该商鞅铜方升的俯视图的面积是正视图面积的（正视图面积的（ ） A ．1.5倍 B ．2倍 C ．2.5倍D ．3.5倍9．设函数()sin (0)5f x x p ww æö=+>ç÷èø， 若()f x 在[0,2]p 上有且仅有5个零点，个零点， 则w 的取值范围为的取值范围为 （ ）A ．1229,510éö÷êëøB ．1229,510æùçúèûC ．1229,510æöç÷èøD ．1229,510éùêúëû10．已知曲线24x y =，动点P 在直线3y =-上，过点P 作曲线的两条切线12,l l ，切点分别为,A B ，则直线AB 截圆22650x y y +-+=所得弦长为（所得弦长为（ ） A ．3B ．2 C ．4 D ．2311．对于函数()f x ，若12,x x 满足1212()()()f x f x f x x +=+，则称12,x x 为函数()f x 的一对“线性对称点”称点” ．若实数a 与b 和a b +与c 为函数()3xf x =的两对“线性对称点”，则c 的最大值为（的最大值为（ ） A ．3log 4B ．3log 41+C ．43D ．3log 41-12．在正方体1111ABCD A B C D -中，如图，,M N 分别是正方形11,ABCD BCC B 的中心．平面1D MN 将正方体分割为两个多面体，则点C 所在的多面体与点1A 所在的多面体的体积之比是（所在的多面体的体积之比是（ ） A ．23B ．12C ．25D ．13二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．分．把答案填在题中的横线上．13．612xx æö-ç÷èø的展开式中常数项为的展开式中常数项为 ． 14．已知平面向量a 与b 的夹角为3p ，(3,1),1a b =-= ，则2a b -=．A B C D D 1C 1B 1A 1MN15．已知函数()ln 2f x x x a =-在点(1,(1))f 处的切线经过原点，函数()()f x g x x=的最小值为m ，则，则2m a += ．16．设12,F F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b ab-=>>的左、右焦点，过左焦点1F 且斜率为157的直线与C在第一象限相交于一点P ，若12F PF △是等腰三角形，则C 的离心率e = ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．分． 17．（本小题满分12分）分）新高考取消文理科，实行“3+3”模式，成绩由语文、数学、外语统一高考成绩和自主选考的3门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成．为了解各年龄层对新高考的了解情况，随机调查50人，并把调查结果制成下表：调查结果制成下表：年龄（岁）年龄（岁）[15, 25) [25, 35) [35, 45) [45, 55) [55, 65) [65, 75) 频数频数 5 15 10 10 5 5 了解了解4 12 6 5 2 1 （1）把年龄在[15, 45)称为中青年，称为中青年，年龄在[45, 75)称为中老年，称为中老年，称为中老年，请根据上表完成请根据上表完成2×2列联表，是否有95%的把握判断对新高考的了解与年龄（中青年、中老年）有关？的把握判断对新高考的了解与年龄（中青年、中老年）有关？了解新高考了解新高考 不了解新高考不了解新高考总计总计 中青年中青年中老年中老年 总计总计附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++． P (K 2≥k ) 0.050 0.010 0.001 k3.841 6.635 10.828 （2）若从年龄在[55, [55, 65)65)的被调查者中随机选取3人进行调查，记选中的3人中了解新高考的人数为X ，求X 的分布列以及E (X ) ． 18．（本小题满分12分）分） 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若公差40,14d S ¹=且137,,a a a 成等比数列．成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；的通项公式； （2）求数列11n na a +ìüíýîþ的前n 项和n T ． 19．（本小题满分12分）分） 如图，在菱形ABCD 中，,32BAD EDC ppÐ=Ð=，平面CDE ^平面,//,ABCD EF DB M 是线段AE的中点，112DEEF BD ===．（1）证明：//DM 平面CEF ．（2）求直线BF 与平面AEF 所成角的余弦值．所成角的余弦值．ABCDE FM20．（本小题满分12分）已知函数21()(1)ln ()2f x m x x m =--ÎR ．（1）讨论函数()f x 的极值；的极值；（2）是否存在实数m ，使得不等式111()x f x x e->-在(1,)+¥上恒成立？若存在，求出m 的最小值；若不存在，请说明理由．不存在，请说明理由． 21．（本小题满分12分）分） 已知椭圆2222:1(0)xyC a b a b+=>>的短轴长为23，离心率12e =，其右焦点为F ．（1）求椭圆C 的方程；的方程；（2）过F 作夹角为4p 的两条直线12,l l 分别交椭圆C 于,P Q 和,M N ，求PQMN的取值范围．的取值范围． （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所作的第一题计分．题中任选一题作答．如果多做，则按所作的第一题计分． 22．【选修4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）分）在平面直角坐标系中，曲线122cos :2sin x C y a a =+ìí=î（a 为参数），在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:sin 13C p r q æö-=ç÷èø． （1）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；的直角坐标方程；（2）设点P 在曲线1C 上，点Q 在曲线2C 上，求PQ 的最小值及此时点P 的直角坐标．的直角坐标．23．【选修4—5：不等式选讲】（本小题满分10分）已知()211f x x x =++-． （1）求不等式()9f x ≤的解集；的解集；（2）设()9124g x x x =-+--，在同一坐标系内画出函数()f x 和()g x 的图象，并根据图象写出不等式()()f x g x ≤的解集．的解集．2020年全国100所名校最新高考模拟示范卷理科数学（五）参考答案所名校最新高考模拟示范卷理科数学（五）参考答案1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B CDBAAACAC DB13 160-14 1315 0 16 2或43了解新高考了解新高考不了解新高考不了解新高考总计总计 中青年中青年 22 8 30 中老年中老年 8 12 20 17(1) 总计总计 30 20 50 250(221288)302020305.56 3.841K ´´-´=´´´»>所以有95%的把握判断对新高考的了解与年龄（中青年、中老年）有关联．与年龄（中青年、中老年）有关联．X0 1 2 17(2) P110353101336()012105105E X =´+´+´=18 (1) 1n a n =+ (2) 2(2)n nT n =+19 (1) 设AC 与BD 的交点为O ，连接MO ．易证得平面//OMD 平面CEF ． 故//MD 平面CEF(2) 10420 (1) ①当0≤m 时，没有极值；时，没有极值；②当0m >时，极小值1111ln 222f m m m æö=+-ç÷èø，无极大值．无极大值．(2) 存在1≥m ，使得不等式，使得不等式111()x f x xe->-在(1,)+¥上恒成立．上恒成立．此时m 的最小值是1．21 (1) 22143x y +=(2) 499749974848,éù-+êúëû 22 (1)221:(2)4C x y -+=，2:320C x y -+= (2) PQ 最小值为31-，此时(23,1)P - 23 (1) {|33}≤≤x x -(2) {|12}≤≤x x -1．答案：B 解析：2{|20}{|(2)(1)0}{|12}A x x x x x x x x =--=-+=-≤≤≤≤，{|21}B x x =-<≤，所以{|22}A B x x =-< ≤．2．答案：C 解析：2i 2i 2i 2,21i 1i 1i 2z z =\====--- ，公式：11121222,z z z z z z z z ×=×=．3．答案：D 解析：因为70412212p»，故选D ． 4．答案：B 解析：当0a ≤时，1()f x ax x =+在(2,)+¥上单调递减，当0a >时，1()f x ax x=+在10,a æöç÷èø上单调递减，在1,a æö+¥ç÷èø上单调递增，所以12a ≤，即14a ≥．5．答案：A 解析：①正确；②正确；③由()6E X =，可得(25)2()52657E X E X -=-=´-=，故错误．当3a =-时，26a x y a -=即为963x y -=-，即3210x y -+=，所以方程组232106x y a x y a-+=ìí-=î有无穷多解，④正确．无穷多解，④正确． 6．答案：A 解析：15445511551,1log 5log 2,log 2log 522a b c =>=>=>==<=，故a b c >>．7．答案：A 解析：234cos 12sin ,sin 255CC C =-=-\=；1,42a c ==，由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+- 即263105b b +-=，31(5)05b b æö-+=ç÷èø，5b =，114sin 152225ABC S ab C \==´´´=△． 8．答案：C 解析：由 1.3522.35x x -=-，设 1.35t x =-，得21tt =-，作出函数2ty =和1y t =-的图象，可知0t =，即 1.35x =．俯视图的面积为1.3513(5.4 1.35)13.5´+´-=，正视图面积为5.4，所以俯视图的面积是正视图面积的2.5倍．倍．9．答案：A 解析：因为当[0,2]x Îp 时，2555x p p pw +wp +≤≤，由()f x 在[0,2]p 有且仅有5个零点．则265x pp w +<p 5≤，解得1229510w éöÎ÷êëø，． 10．答案：C 解析：设221122(2,),(2,)A t t B t t ，12t t ¹，由24x y =，得2x y ¢=，所以切线12,l l 的斜率分别为11k t =，22k t =，所以21111:(2)l y t t x t -=-，即211y t x t =-，同理2222:l y t x t =-，联立2112223y t x t y t x t y ì=-ï=-íï=-î，得12123x t t y t t =+ìí==-î，22121212222AB t t t t k t t -+==-，21211:(2)2AB t t l y t x t +-=-，即12122t t y x t t +=-，即1232t t y x +=+，即直线AB 恒过定点(0,3)，即直线AB 过圆心(0,3)，则直线AB 截圆22650x y y +-+=所得弦长为4． 解法二：不妨设(0,3)P -，设切线方程为3y kx =-，将其代入24x y =，得24120x kx -+=， 则216480k D =-=，解得3k =±，当3k =时，243120x x -+=，解得23x =，故(23,3)A , 同理可得(23,3)B -，所以直线AB 的方程为3y =，直线AB 过圆心(0,3)， 则直线AB 截圆22650x y y +-+=所得弦长为4． 11．答案：D 解析：a 与b 为函数()3x f x =的“线性对称点”，所以33323323a ba b a ba b++=+×=≥，故34a b+≥（当且仅当a b =时取等号）．又a b +与c 为函数()3xf x =的“线性对称点”，所以3333abca b c++++=，所以33314313131313a ba bca ba ba b+++++===+---≤，从而c 的最大值为334log log 413=-．12．答案：B 解析：设正方体的棱长为1，延长1D N ，与AB 的延长线交于点F ，则1BF =，连接FM并延长，交BC 于点P ，交AD 于点Q ，取AB 中点G ，连接MG ，则23BP BF GM FG ==， 12,233BP AQ BP \===，连接PN ，并延长交11B C 于点H ，连接1D H ，则113HC =，平面1HD QP 即为截面，取PC 中点E ，连接1,C E QE ，则点C 所在的多面体的体积所在的多面体的体积1111111111111123233D DQ C CE C D H EQP V V V--æöæö=+=´´´+´´´=ç÷ç÷èøèø， 点1A 所在的多面体的体积1221211,332V V V =-=\=．ABC D D 1C 1B 1A 1FPQ HM NABCD 1C 1B 1A 1P QHDGE13．答案：160- 解析：612x x æö-ç÷èø的展开式中常数项为33361(2)160C x x æö××-=-ç÷èø．14．答案：13 解析：2,1a b == ，cos13a b a bp ×=×= ，所以222244164113a b a a b b -=-×+=-+= ，所以213a b -=．15．答案：0 解析：()1ln ,(1)1,(1)2f x x f f a ¢¢=+==-，切线1l 的方程：21y a x +=-，又1l 过原点，所以21a =-，221111()ln 1,()ln ,()x f x x x g x x g x x x x x-¢=+=+=-=，当(0,1)x Î时，()0,()g x g x ¢<单调递减，当(1,)x Î+¥时，()0,()g x g x ¢>单调递增，单调递增，故()()f x g x x=的最小值为(1)1g =，所以1,20m m a =+=．16．答案：2或43 解析：设直线倾斜角为a ，则157tan ,cos 78a a ==．P 在第一象限，在第一象限， 12F PF △是等腰三角形，所以112F P F F =或212F P F F =．若112F P F F =，则11212,22F P F F c F P c a ===-，由余弦定理得222244(22)788c c x a c +--=，整理得23840e e -+=，解得2e =或23e =（舍去）． 若212F P F F =，则21212,22F P F F c F P c a ===+，由余弦定理得2224(22)478()8c c a c c c a ++-=+，整理得2340e e -+=，解得43e =或1e =-（舍去）． PF 2F 1OPF 2F 1O17．解析：（1）2×2列联表如图所示，列联表如图所示，了解新高考了解新高考不了解新高考不了解新高考总计总计 中青年中青年 22 8 30 中老年中老年 8 12 20 总计总计30 20 50 …………………………………………………………3分250(221288) 5.56 3.84130202030K ´´-´=»>´´´，所以有95%的把握判断对新高考的了解与年龄（中青年、中老年）有关联．…………………………………………………………………………………………………6分（2）年龄在[55, [55, 65)65)的被调查者共5人，其中了解新高考的有2人，则抽取的3人中了解新高考的人数X 可能取值为0，1，2， 则31121323233335551633(0),(1),(2)1010510C C C C C P X P X P X CCC ==========．………………………9分所以X 的分布列为的分布列为X 0 1 2 P11035 3101336()012105105E X =´+´+´=．……………………………………………………………………12分18．解析：（1）由题意可得4121114614(2)(6)S a d a d a a d =+=ìí+=+î ，即1212372a d d a d +=ìí=î，…………………………3分又因为0d ¹，所以12,1a d ==，所以1n a n =+．……………………………………………………6分（2）因为111(2)(1)11(1)(2)(1)(2)12n n n n a a n n n n n n ++-+===-++++++，………………………………9分所以11111111233412222(2)n n T n n n n æöæöæö=-+-++-=-=ç÷ç÷ç÷++++èøèøèø ．…………………………12分19．解析：（1）设AC 与BD 的交点为O ，连接MO ．因为//OD EF ，OD Ë平面CEF ，EF Ì平面CEF ，所以//OD 平面CEF ．……………………………………………………………………………………2分 又OM 是ACE △的中位线，所以//OM CE ，又OM Ë平面CEF ，CE Ì平面CEF ，所以//OM 平面CEF ．……………………………………………………………………………………………………4分 又OM OD O = ，所以平面//OMD 平面CEF ．又MD Ì平面OMD ，故//MD 平面CEF ．…5分 （2）因为DE DC ^，平面CDE ^平面ABCD ，平面CDE 平面,ABCD CD DE =Ì平面CDE ，所以ED ^平面ABCD ．连接OF ，则EF OD，故四边形ODEF 是平行四边形，故//ED OF ，从而OF ^平面ABCD ．……………………………………………………………………………………6分以O 为坐标原点，,,OA OB OF 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，轴，建立空间直角坐标系，则(3,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(0,1,1)A B F E -，则(0,1,0),(3,0,1),(0,1,1)EF AF BF ==-=-，设平面AEF 的法向量为(,,)n x y z = ，则030n EF y n AF x z ì×==ïí×=-+=ïî，取(1,0,3)n =，…………8分则6cos ,4n BF n BF n BF×==×，设直线BF 与平面AEF 所成角为q ， 则10cos sin ,4n BF q ==，所以直线BF 与平面AEF 所成角的余弦值为104． ………………………………………………12分20．解析：（1）由题知，2110,()mx x f x mx x x-¢>=-+=，…………………………………………1分①当0≤m 时，21()0mx f x x-¢=<，所以()f x 在(0,)+¥上单调递减，没有极值；………………3分②当0m >时，令21()0mx f x x -¢==，得1x m=， A BCD E F Mxy z O当10,x m æöÎç÷èø时，()0,()f x f x ¢<单调递减，当1,x m æöÎ+¥ç÷èø时，()0,()f x f x ¢>单调递增，单调递增， 故()f x 在1x m =处取得极小值1111ln 222f m m m æö=+-ç÷èø，无极大值．…………………………5分（2）不妨令11111()x x x e x h x x e xe ----=-=，不难证明10≥x e x --，当且仅当1x =时取等号，时取等号，所以当(1,)x Î+¥时，()0h x >，由（1）知，当0,1≤m x >时，()f x 在(1,)+¥上单调递减，()(1)0f x f <=恒成立；恒成立；所以若要不等式111()x f x x e->-在(1,)+¥上恒成立，只能0m >．当01m <<时，11m >，由（1）知，()f x 在11,m æöç÷èø上单调递减，上单调递减， 所以1(1)0f f m æö<=ç÷èø，不满足题意．……………………………………………………………………8分当1≥m 时，设21111()(1)ln 2x F x m x x x e -=---+，因为1,1≥m x >，所以11111,1,01,10≥x x x mx x e e e---><<-<-<，32221222111111(1)(1)()10x x x x x x F x mx x x x ex x x x---+-+¢=-++->-++-==>，所以()F x 在(1,)+¥上单调递增，又(1)0F =，所以当(1,)x Î+¥时，()0F x >恒成立，即()()0f x h x ->恒成立，恒成立，故存在1≥m ，使得不等式111()x f x xe->-在(1,)+¥上恒成立．此时m 的最小值是1．…………12分21．解析：（1）由223b =，得3b =，又由22222214c a b e a a -===，得2234a b =，则224,3a b ==，故椭圆C 的方程为22143x y +=．……………………………………………………4分（2）由（1）知(1,0)F ，①当直线12,l l 的斜率都存在时，由对称性不妨设直线1l 的方程为(1)y k x =-，1k ¹±，由222222(1)(43)8412034120y k x k x k x k x y =-ìÞ+-+-=í+-=î，……………………………………5分设1122(,),(,)P x y Q x y ，则2221212228412,,144(1)04343k k x x x x k k k -+==D =+>++，…………6分则2221212212(1)1()434k PQ k x x x x k +=+×+-=+，由椭圆的对称性可设直线2l 的斜率为11k k+-， 则22221121224(1)17(1)21341k k k MN k k k k +æö+×ç÷+-èø==+++æö+×ç÷-èø，……………………………………………………8分 222222212(1)7(1)27(1)27873424(1)6882432PQ k k k k k k MNkk k k++++++=×==+++++， 令87t k =+，则78t k -=，当0t =时，78k =-，78PQ MN =， 当0t ¹时，22724322432197878722t kt k t t-æö+ç÷+èø==+-+， 若0t >，则197797722≥t t +--，若0t <，则197797722≤t t +--- 所以218712432977977≤≤k k ++---，即29778797748243248≤≤k k -++-+，所以499749974848≤≤PQ MN -+，且87PQ MN ¹．………………………………………………10分②当直线12,l l 的斜率其中一条不存在时，由对称性不妨设直线1l 的方程为1y x =-，则2242,37b PQ MN a ===，此时84997499774848,PQ MN éù-+=Îêúëû． 若设2l 的方程为1y x =-，则74997499784848,PQ MN éù-+=Îêúëû， 综上可知，PQMN 的取值范围是499749974848,éù-+êúëû．……………………………………………12分 22．解析：（1）由122cos :2sin x C y a a=+ìí=î（a 为参数），得1C 的普通方程为22(2)4x y -+=；由sin 13p r qæö-=ç÷èø，得13sin cos 122r q r q -=，即3cos sin 20r q r q -+=，又由cos ,sin x y r q r q ==，得曲线2:320C x y -+=．…………………………………………5分 （2）由题意，可设点P 的直角坐标为(22cos ,2sin )a a +，因为2C 是直线，所以PQ 的最小值，即为P 到2C 的距离()d a 的最小值，的最小值，23cos 2sin 232()2cos 3126d a a p aa -++æö==+++ç÷èø．………………………………8分当且仅当52,6Z k k p a p =+Î时，()d a 取得最小值，最小值为31-，此时P 的直角坐标为(23,1)-．…………………………………………………………………………10分23．解析：（1）3,11()2112,1213,2≥≤x x f x x x xx x x ìïïï=++-=+-<<íïï--ïî，…………………………………………1分 当1≥x 时，39≤x ，得13≤≤x ；………………………………………………………………………2分当112x -<<时，29≤x +，解得7≤x ，故112x -<<；…………………………………………3分 当12≤x -时，39≤x -，解得3≥x -，故132≤≤x --．……………………………………………4分 综上，原不等式的解集为{|33}≤≤x x -．………………………………………………………………5分（2）36,1()91244,12312,2≤≥x x g x x x x x x x +-ìï=-+--=+-<<íï-+î，在同一坐标系内画出函数()f x 和()g x 的图象，由图可知，不等式()()f x g x ≤的解集为{|12}≤≤x x -．……………………………………………10分654321224y = g (x )y = f (x )B (2,6)A (-1,3)O2020年全国100所名校最新高考模拟示范卷所名校最新高考模拟示范卷理科数学（五）理科数学（五）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．要求的．1．已知集合2{|20},{|21}A x x x B x x =--=-<≤≤，则A B = （ ） A ．{|12}x x -≤≤ B ．{|22}x x -<≤ C ．{|21}x x -<≤ D ．{|22}x x -≤≤1．答案：B 解析：2{|20}{|(2)(1)0}{|12},{|21}A x x x x x x x x B x x =--=-+=-=-<≤≤≤≤≤， 所以{|22}A B x x =-< ≤． 2．i 是虚数单位，2i 1iz =-，则z =（ ）A ．1 B ．2 C ．2D ．222．答案：C 解析：2i 2i 2i 2,21i1i1i2z z =\====--- ，公式：11121222,z z z z z z z z ×=×=．3．1777年，法国科学家蒲丰在宴请客人时，在地上铺了一张白纸，上面画着一条条等距离的平行线，而他给每个客人发许多等质量的，长度等于相邻两平行线距离的一半的针，让他们随意投放．事后，蒲丰对针落地的位置进行统计，发现共投针2212枚，与直线相交的有704枚．根据这次统计数据，若客人随机投放一根这样的针到白纸上，则落地后与直线相交的概率为（投放一根这样的针到白纸上，则落地后与直线相交的概率为（ ） A ．12pB ．3pC ．2pD ．1p3．答案：D 解析：因为70412212p »，故选D ．4．函数1()f x ax x=+在(2,)+¥上单调递增，则实数a 的取值范围是（的取值范围是（ ）A ．1,4æö+¥ç÷èøB ．1,4éö+¥÷êëøC ．[1,)+¥D ．1,4æù-¥çúèû4．答案：B 解析：当0a ≤时，1()f x ax x =+在(2,)+¥上单调递减，当0a >时，1()f x ax x =+在10,a æöç÷èø上单调递减，在1,a æö+¥ç÷èø上单调递增，所以12a ≤，即14a ≥． 5．下列命题中是真命题的是（．下列命题中是真命题的是（ ）①“1x >”是“21x ≥”的充分不必要条件”的充分不必要条件 ；②命题“0x ">，都有sin 1x ≤”的否定是“00x $>，使得0sin 1x >”；③数据128,,,x x x 的平均数为6，则数据12825,25,,25x x x --- 的平均数是6；④当3a =-时，方程组232106x y a x y a -+=ìí-=î有无穷多解．有无穷多解．A ．①②④．①②④B ．③④．③④C ．②③．②③D ．①③④．①③④5．答案：A 解析：①正确；②正确；③由()6E X =，可得(25)2()52657E X E X -=-=´-=，故错误．，故错误． 当3a =-时，26a x y a -=即为963x y -=-，即3210x y -+=，所以方程组232106x y a x y a-+=ìí-=î有无穷多解，④正确．解，④正确． 6．已知15455,log 5,log 2a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（的大小关系为（ ） A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．c b a >>6．答案：A 解析：105445511551,1log 5log 2,log 2log 522a b c =>=>=>==<=，故a b c >>．7．在ABC △中，25sin ,1,4225C BC AB ===，则ABC △的面积为（的面积为（ ） A ．2 B ．32C ．4 D ．57．答案：A 解析：234cos 12sin ,sin 255CC C =-=-\=；1,42a c ==，由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+- 即263105b b +-=，31(5)05b b æö-+=ç÷èø，5b =，114sin 152225ABC S ab C \==´´´=△． 8．我国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升．如图是一个这种商鞅铜方升的三视图，若x 是方程 1.352 2.35x x -=-的根，则该商鞅铜方升的俯视图的面积是正视图面积的（正视图面积的（ ）A ．1.5倍B ．2倍C ．2.5倍D ．3.5倍8．答案：C 解析：由 1.3522.35x x -=-，设 1.35t x =-，得21tt =-，作出函数2ty =和1y t =-的图象，可知0t =，即 1.35x =．俯视图的面积为1.3513(5.4 1.35)13.5´+´-=，正视图面积为5.4，所以俯视图的面积是正视图面积的2.5倍．倍．9．设函数()sin (0)5f x x p w w æö=+>ç÷èø，若()f x 在[0,2]p 上有且仅有5个零点，则w 的取值范围为的取值范围为（ ） A ．1229,510éö÷êëøB ．1229,510æùçúèûC ．1229,510æöç÷èøD ．1229,510éùêúëû9．答案：A 解析：因为当[0,2]x Îp 时，2555x p p p w +wp +≤≤，由()f x 在[0,2]p 有且仅有5个零点．个零点．则265x pp w +<p 5≤，解得1229510w éöÎ÷êëø，． 10．已知曲线24x y =，动点P 在直线3y =-上，过点P 作曲线的两条切线12,l l ，切点分别为,A B ，则直线AB 截圆22650x y y +-+=所得弦长为（所得弦长为（ ）A ．3B ．2 C ．4 D ．2310．答案：C 解析：设221122(2,),(2,)A t t B t t ，12t t ¹，由24x y =，得2x y ¢=，所以切线12,l l 的斜率分别为11k t =，22k t =，所以21111:(2)l y t t x t -=-，即211y t x t =-，同理2222:l y t x t =-，联立2112223y t x t y t x t y ì=-ï=-íï=-î，得12123x t t y t t =+ìí==-î，22121212222ABt t t t k t t -+==-，21211:(2)2AB t t l y t x t +-=-，即12122t t y x t t +=-，即1232t t y x +=+，即直线AB 恒过定点(0,3)，即直线AB 过圆心(0,3)，则直线AB 截圆22650x y y +-+=所得弦长为4． 解法二：不妨设(0,3)P -，设切线方程为3y kx =-，将其代入24x y =，得24120x kx -+=， 则216480k D =-=，解得3k =±，当3k =时，243120x x -+=，解得23x =，故(23,3)A , 同理可得(23,3)B -，所以直线AB 的方程为3y =，直线AB 过圆心(0,3)， 则直线AB 截圆22650x y y +-+=所得弦长为4．11．对于函数()f x ，若12,x x 满足1212()()()f x f x f x x +=+，则称12,x x 为函数()f x 的一对“线性对称点”称点” ．若实数a 与b 和a b +与c 为函数()3xf x =的两对“线性对称点”，则c 的最大值为（的最大值为（ ） A ．3log 4 B ．3log 41+C ．43D ．3log 41-11．答案：D 解析：a 与b 为函数()3xf x =的“线性对称点”，所以33323323a bababa b++=+×=≥，故34a b+≥（当且仅当a b =时取等号）．又a b +与c 为函数()3xf x =的“线性对称点”，所以3333abca b c++++=，所以33314313131313aba bca b a ba b +++++===+---≤，从而c 的最大值为334log log 413=-．12．在正方体1111ABCD A B C D -中，如图，,M N 分别是正方形11,ABCD BCC B 的中心．平面1D MN 将正方体分割为两个多面体，则点C 所在的多面体与点1A 所在的多面体的体积之比是（所在的多面体的体积之比是（ ） A ．23B ．12C ．25D ．13ABC D D 1C 1B 1A 1MN12．答案：B 解析：设正方体的棱长为1，延长1D N ，与AB 的延长线交于点F ，则1BF =，连接FM 并延长，交BC于点P ，交AD 于点Q ，取AB 中点G ，连接MG ，则212,,2333BP BFBP AQ BP GM FG ==\===，连接PN ，并延长交11B C 于点H ，连接1D H ，则113HC =，平面1HD QP 即为截面，即为截面， 取PC 中点E ，连接1,C E QE ，则点C 所在的多面体的体积所在的多面体的体积1111111111*********D DQ C CE C D H EQP V V V --æöæö=+=´´´+´´´=ç÷ç÷èøèø， 点1A 所在的多面体的体积1221211,332VV V =-=\=．ABC D D1C1B 1A 1FPQ HM NABCD1C1B 1A 1P QHDGE二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．分．把答案填在题中的横线上．13．612x x æö-ç÷èø的展开式中常数项为的展开式中常数项为 ． 13．答案：160-解析：612x x æö-ç÷èø的展开式中常数项为33361(2)160C x x æö××-=-ç÷èø． 14．已知平面向量a 与b 的夹角为3p ，(3,1),1a b =-= ，则2a b -=．14．答案：13解析：2,1a b ==，cos 13a b a b p×=×= ，所以222244164113a b a a b b -=-×+=-+= ，所以213a b -=．15．已知函数()ln 2f x x x a =-在点(1,(1))f 处的切线经过原点，函数()()f x g x x=的最小值为m ，则，则 2m a += ．15．答案：0 解析：()1ln ,(1)1,(1)2f x x f f a ¢¢=+==-，切线1l 的方程：21y a x +=-，又1l 过原点，所以21a =-，221111()ln 1,()ln ,()x f x x x g x x g x x x x x-¢=+=+=-=，当(0,1)x Î时，()0,()g x g x ¢<单调递减，当(1,)x Î+¥时，()0,()g x g x ¢>单调递增，单调递增，故()()f x g x x=的最小值为(1)1g =，所以1,20m m a =+=． 16．设12,F F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点，过左焦点1F 且斜率为157的直线与C 在第一象限相交于一点P ，若12F PF △是等腰三角形，则C 的离心率e = ． 16．答案：2或43解析：设直线倾斜角为a ，则157tan ,cos 78a a ==．P 在第一象限，在第一象限，12F PF △是等腰三角形，所以112F P F F =或212F P F F =．若112F P F F=，则11212,22F P F F c F P c a===-，由余弦定理得222244(22)788c c x a c +--=，整理得23840e e -+=，解得2e =或23e =（舍去）． 若212F P F F =，则21212,22F P F F c F P c a ===+，由余弦定理得2224(22)478()8c c a c c c a ++-=+，整理得2340e e -+=，解得43e =或1e =-（舍去）． PF 2F 1OPF 2F 1O三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．分． 17．（本小题满分12分）分）新高考取消文理科，实行“3+3”模式，成绩由语文、数学、外语统一高考成绩和自主选考的3门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成．为了解各年龄层对新高考的了解情况，随机调查50人，并把调查结果制成下表：调查结果制成下表：年龄（岁）年龄（岁）[15, 25) [25, 35) [35, 45) [45, 55) [55, 65) [65, 75) 频数频数 5 15 10 10 5 5 了解了解4 12 6 5 2 1 （1）把年龄在[15, 45)称为中青年，称为中青年，年龄在[45, 75)称为中老年，称为中老年，称为中老年，请根据上表完成请根据上表完成2×2列联表，是否有95%的把握判断对新高考的了解与年龄（中青年、中老年）有关？的把握判断对新高考的了解与年龄（中青年、中老年）有关？了解新高考了解新高考不了解新高考不了解新高考总计总计 中青年中青年中老年中老年 总计总计附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．P (K 2≥k ) 0.050 0.010 0.001 k3.841 6.635 10.828 （2）若从年龄在[55, [55, 65)65)的被调查者中随机选取3人进行调查，记选中的3人中了解新高考的人数为X ，求X 的分布列以及E (X ) ． 17．解析：（1）2×2列联表如图所示，列联表如图所示，了解新高考了解新高考不了解新高考不了解新高考总计总计 中青年中青年 22 8 30 中老年中老年 8 12 20 总计总计30 20 50 …………………………………………………………3分250(221288) 5.56 3.84130202030K ´´-´=»>´´´，所以有95%的把握判断对新高考的了解与年龄（中青年、中老年）有关联．…………………………………………………………………………………………………6分（2）年龄在[55, [55, 65)65)的被调查者共5人，其中了解新高考的有2人，则抽取的3人中了解新高考的人数X 可能取值为0，1，2，则31121323233335551633(0),(1),(2)1010510C C C C C P X P X P X C C C ==========．………………………9分所以X 的分布列为的分布列为X 0 1 2 P110 35 3101336()012105105E X =´+´+´=．……………………………………………………………………12分 18．（本小题满分12分）分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若公差40,14d S ¹=且137,,a a a 成等比数列．成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；的通项公式；（2）求数列11n n a a +ìüíýîþ的前n 项和n T ．18．解析：（1）由题意可得4121114614(2)(6)S a d a d a a d =+=ìí+=+î ，即1212372a d d a d +=ìí=î，…………………………3分又因为0d ¹，所以12,1a d ==，所以1n a n =+．……………………………………………………6分（2）因为111(2)(1)11(1)(2)(1)(2)12n n n n a a n n n n n n ++-+===-++++++，………………………………9分所以11111111233412222(2)n n T n n n n æöæöæö=-+-++-=-=ç÷ç÷ç÷++++èøèøèø ．…………………………12分19．（本小题满分12分）分） 如图，在菱形ABCD 中，,32BAD EDC ppÐ=Ð=，平面CDE ^平面,//,ABCD EF DB M 是线段AE的中点，112DE EF BD ===． （1）证明：//DM 平面CEF ．（2）求直线BF 与平面AEF 所成角的余弦值．所成角的余弦值．ABCDE FM19．解析：（1）设AC 与BD 的交点为O ，连接MO ．因为//OD EF ，OD Ë平面CEF ，EF Ì平面CEF ， 所以//OD 平面CEF ．……………………………………………………………………………………2分 又OM 是ACE △的中位线，所以//OM CE ，又OM Ë平面CEF ，CE Ì平面CEF ，所以//OM 平面CEF ．……………………………………………………………………………………………………4分 又OM OD O = ，所以平面//OMD 平面CEF ．又MD Ì平面OMD ，故//MD 平面CEF ．…5分 （2）因为DE DC ^，平面CDE ^平面ABCD ，平面CDE 平面,ABCD CD DE =Ì平面CDE ，所以ED ^平面ABCD ．连接OF ，则EF OD ，故四边形ODEF 是平行四边形，故//ED OF ， 从而OF ^平面ABCD ．……………………………………………………………………………………6分 以O 为坐标原点，,,OA OB OF 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，轴，建立空间直角坐标系，则(3,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(0,1,1)A B F E -，则(0,1,0),(3,0,1),(0,1,1)EF AF BF ==-=-，设平面AEF 的法向量为(,,)n x y z = ，则030n EF y n AF x z ì×==ïí×=-+=ïî，取(1,0,3)n = ，…………8分则6cos ,4n BF n BF n BF×==× ， 所以直线BF 与平面AEF 所成角的余弦值为64．……………………………………………………12分 A BC DEFM x y z O20．（本小题满分12分）分）已知函数21()(1)ln ()2f x m x x m =--ÎR ． （1）讨论函数()f x 的极值；的极值；（2）是否存在实数m ，使得不等式111()x f x x e ->-在(1,)+¥上恒成立？若存在，求出m 的最小值；若不存在，请说明理由．不存在，请说明理由． 20．解析：（1）由题知，2110,()mx x f x mx x x-¢>=-+=，…………………………………………1分 ①当0≤m 时，21()0mx f x x-¢=<，所以()f x 在(0,)+¥上单调递减，没有极值；………………3分 ②当0m >时，令21()0mx f x x -¢==，得1x m =， 当10,x m æöÎç÷èø时，()0,()f x f x ¢<单调递减，当1,x m æöÎ+¥ç÷èø时，()0,()f x f x ¢>单调递增，单调递增， 故()f x 在1x m =处取得极小值1111ln 222f m m m æö=+-ç÷èø，无极大值．…………………………5分 （2）不妨令11111()x x x e x h x x e xe----=-=，不难证明10≥x e x --，当且仅当1x =时取等号，时取等号， 所以当(1,)x Î+¥时，()0h x >，由（1）知，当0,1≤m x >时，()f x 在(1,)+¥上单调递减，()(1)0f x f <=恒成立；恒成立；。
2020届全国100所名校最新高考模拟示范卷高三数学(理)模拟测试试题(三)(解析版)
2020届全国100所名校最新高考模拟示范卷高三数学（理）模拟测试试题（三）一、单选题 1．复数31iz i+=-（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【解析】由题，根据复数的运算，将复数化简，可得点坐标，即得结果. 【详解】 因为复数3i (3)(1)121i (1)(1)i i z i i i +++===+--+ 所以在复平面所对应的点为(1,2),在第一象限 故选A 【点睛】本题考查了复数，掌握好复数的运算法则，属于基础题. 2．已知全集U =R ，集合{|lg(1)}A x y x ==-，|B x y⎧==⎨⎩则()U A B =I ð（ ） A ．(1,)+∞ B ．(0,1)C ．(0,)+∞D ．[1,)+∞【答案】D【解析】根据函数定义域的求解方法可分别求得集合,A B ，由补集和交集定义可求得结果. 【详解】{}()10,1A x x =->=-∞Q ，()0,B =+∞，[)1,U A ∴=+∞ð， ()[)1,U A B ∴=+∞I ð. 故选：D . 【点睛】本题考查集合运算中的补集和交集运算问题，涉及到函数定义域的求解，属于基础题.3．已知3sin 24θ=-，则1tan tan θθ+=（ ） A ．83- B ．43-C ．83D ．43【答案】A【解析】由二倍角公式求得sin cos θθ，切化弦后，结合同角三角函数平方关系可求得结果. 【详解】3sin 22sin cos 4θθθ==-Q ，3sin cos 8θθ∴=-，221sin cos sin cos 18tan 3tan cos sin sin cos 38θθθθθθθθθθ+∴+=+===--. 故选：A . 【点睛】本题考查三角函数值的求解问题，涉及到二倍角公式、同角三角函数平方关系的应用，属于基础题.4．中国古典乐器一般按“八音”分类．这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，最先见于《周礼·春官·大师》，分为“金、石、土、革、丝、木、匏（páo ）、竹”八音，其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器．现从“八音”中任取不同的“两音”，则含有打击乐器的概率为（ ） A ．314B ．1114C ．114D ．27【答案】B【解析】分别求得所有基本事件个数和满足题意的基本事件个数，根据古典概型概率公式可求得结果. 【详解】从“八音”中任取不同的“两音”共有2828C =种取法；“两音”中含有打击乐器的取法共有228422C C -=种取法；∴所求概率22112814p ==. 故选：B . 【点睛】本题考查古典概型概率问题的求解，关键是能够利用组合的知识求得基本事件总数和满足题意的基本事件个数.5．已知不同直线l 、m 与不同平面α、β，且l α⊂，m β⊂，则下列说法中正确的是（ ）A ．若//αβ，则l//mB ．若αβ⊥，则l m ⊥C ．若l β⊥，则αβ⊥D ．若αβ⊥，则m α⊥【答案】C【解析】根据空间中平行关系、垂直关系的相关判定和性质可依次判断各个选项得到结果. 【详解】对于A ，若//αβ，则,l m 可能为平行或异面直线，A 错误； 对于B ，若αβ⊥，则,l m 可能为平行、相交或异面直线，B 错误； 对于C ，若l β⊥，且l α⊂，由面面垂直的判定定理可知αβ⊥，C 正确； 对于D ，若αβ⊥，只有当m 垂直于,αβ的交线时才有m α⊥，D 错误. 故选：C . 【点睛】本题考查空间中线面关系、面面关系相关命题的辨析，关键是熟练掌握空间中的平行关系与垂直关系的相关命题.6．在ABC V 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若cos cos 4c a B b A -=，则2222a b c-=（ ） A ．32B ．12C ．14D ．18【答案】D【解析】利用余弦定理角化边整理可得结果. 【详解】由余弦定理得：222222224a cb bc a ca b ac bc +-+-⋅-⋅=，整理可得：2224c a b -=，222128a b c -∴=. 故选：D .【点睛】本题考查余弦定理边角互化的应用，属于基础题. 7．已知2log 3a =， 4.12b -=，13827c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（） A ．c b a << B ．c a b <<C ．b c a <<D ．a c b <<【答案】C【解析】利用指数函数和对数函数的单调性，即可比较大小. 【详解】因为2log 3(1,2)a =∈， 4.12(0,1)b -=∈，1383272c -⎛⎫==⎪⎝⎭， 且223log 22log 32=<， 所以b c a <<． 故选：C . 【点睛】本题考查利用指数函数和对数函数的单调性比较大小，属综合基础题.8．已知边长为4的菱形ABCD ，60DAB ∠=︒，M 为CD 的中点，N 为平面ABCD 内一点，若AN NM =，则AM AN ⋅=u u u u r u u u r（ ） A ．16 B ．14C ．12D ．8【答案】B【解析】取AM 中点O ，可确定0AM ON ⋅=u u u u r u u u r；根据平面向量线性运算和数量积的运算法则可求得2AM uuuu r ，利用()AM AN AM AO ON ⋅=⋅+u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r 可求得结果.【详解】取AM 中点O ，连接ON ，AN NM =Q ，ON AM ∴⊥，即0AM ON ⋅=u u u u r u u u r.60DAB ∠=o Q ，120ADM ∴∠=o ，()22222cos 416828AM DM DADM DA DM DA ADM ∴=-=+-⋅∠=++=u u u u r u u u u r u u u ru u u u r u u u r u u u u r u u u r，则()21142AM AN AM AO ON AM AO AM ON AM ⋅=⋅+=⋅+⋅==u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r .故选：B . 【点睛】本题考查平面向量数量积的求解问题，涉及到平面向量的线性运算，关键是能够将所求向量进行拆解，进而利用平面向量数量积的运算性质进行求解. 9．已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，2()3f x x x=+-．若0x ≤，则()0f x ≤的解集是（ ） A ．[2,1]--B ．(,2][1,0]-∞-⋃-C ．(,2][1,0)-∞-⋃-D ．(,2)(1,0]-∞-⋃-【答案】B【解析】利用函数奇偶性可求得()f x 在0x <时的解析式和()0f ，进而构造出不等式求得结果. 【详解】()f x Q 为定义在R 上的奇函数，()00f ∴=.当0x <时，0x ->，()23f x x x∴-=---， ()f x Q 为奇函数，()()()230f x f x x x x∴=--=++<，由0230x x x <⎧⎪⎨++≤⎪⎩得：2x -≤或10x -≤<； 综上所述：若0x ≤，则()0f x ≤的解集为(][],21,0-∞--U . 故选：B . 【点睛】本题考查函数奇偶性的应用，涉及到利用函数奇偶性求解对称区间的解析式；易错点是忽略奇函数在0x =处有意义时，()00f =的情况. 10．将函数()cos f x x =的图象先向右平移56π个单位长度，在把所得函数图象的横坐标变为原来的1ω(0)>ω倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在3(,)22ππ上没有零点，则ω的取值范围是（ ）A ．228(0,][,]939UB ．2(0,]9C ．28(0,][,1]99UD ．(0,1]【答案】A【解析】根据y =Acos （ωx +φ）的图象变换规律，求得g （x ）的解析式，根据定义域求出56x πω-的范围，再利用余弦函数的图象和性质，求得ω的取值范围． 【详解】函数()cos f x x =的图象先向右平移56π个单位长度， 可得5cos 6y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象， 再将图象上每个点的横坐标变为原来的1ω(0)>ω倍(纵坐标不变)，得到函数5()cos 6g x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象， ∴周期2T πω=，若函数()g x 在3(,)22ππ上没有零点，∴ 553526626x ωπππωππω-<-<-， ∴ 35526262T ωππωπππω⎛⎫⎛⎫---≤=⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 21ω∴≤，解得01ω<≤，又522635226k k πωππππωπππ⎧-+≤-⎪⎪⎨⎪+≥-⎪⎩，解得3412323k ωω-≤≤-， 当k =0时，解2839ω≤≤， 当k =-1时，01ω<≤，可得209ω<≤， ω∴∈228(0,][,]939U .故答案为：A . 【点睛】本题考查函数y =Acos （ωx +φ）的图象变换及零点问题，此类问题通常采用数形结合思想，构建不等关系式，求解可得，属于较难题.11．在三棱锥P ABC -中，AB BP ⊥，AC PC ⊥，AB AC ⊥，22PB PC ==，点P 到底面ABC 的距离为2，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为（ ） A ．3π B ．32π C ．12πD ．24π【答案】C【解析】首先根据垂直关系可确定OP OA OB OC ===，由此可知O 为三棱锥外接球的球心，在PAB ∆中，可以算出AP 的一个表达式，在OAG ∆中，可以计算出AO 的一个表达式，根据长度关系可构造等式求得半径，进而求出球的表面积． 【详解】取AP 中点O ，由AB BP ⊥，AC PC ⊥可知：OP OA OB OC ===，O ∴为三棱锥P ABC -外接球球心，过P 作PH ⊥平面ABC ，交平面ABC 于H ，连接AH 交BC 于G ，连接OG ，HB ，HC ，PB PC =Q ，HB HC ∴=，AB AC ∴=，G ∴为BC 的中点由球的性质可知：OG ⊥平面ABC ，OG//PH ∴，且112OG PH ==． 设AB x =，22PB =Q ，211822AO PA x ∴==+ 122AG BC x ==Q ，∴在OAG ∆中，222AG OG OA +=， 即222211822x x ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭，解得：2x =， ∴三棱锥P ABC -的外接球的半径为：()()2221122422322x AO +=+==，∴三棱锥P ABC -外接球的表面积为2412S R ππ==．故选：C .本题考查三棱锥外接球的表面积的求解问题，求解几何体外接球相关问题的关键是能够利用球的性质确定外接球球心的位置.12．已知抛物线2:4(0)C y px p =>的焦点为F ，过焦点的直线与抛物线分别交于A 、B 两点，与y 轴的正半轴交于点S ，与准线l 交于点T ，且||2||FA AS =，则||||FB TS =（ ） A ．25B ．2C ．72D ．3【答案】B【解析】过点A 作准线的垂线，垂足为M ，与y 轴交于点N ，由2FA AS =和抛物线的定义可求得TS ，利用抛物线的性质1122AF BF p+=可构造方程求得BF ，进而求得结果. 【详解】过点A 作准线的垂线，垂足为M ，AM 与y 轴交于点N ，由抛物线解析式知：(),0F p ，准线方程为x p =-.2FA AS =Q ，13SASF ∴=，133p AN OF ∴==，43AM p ∴=， 由抛物线定义知：43AF AM p ==，1223AS AF p ∴==，2SF p ∴=， 2TS SF p ∴==.由抛物线性质11212AF BF p p +==得：3114p BF p+=，解得：4BF p =， 422FB pTS p∴==. 故选：B .本题考查抛物线定义与几何性质的应用，关键是熟练掌握抛物线的定义和焦半径所满足的等式.二、填空题13．若变量x ，y 满足约束条件20300x y x y x y -+≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则32z x y =+的最大值为__________．【答案】32【解析】根据约束条件可以画出可行域，从而将问题转化为直线322zy x =-+在y 轴截距最大的问题的求解，通过数形结合的方式可确定过13,22B ⎛⎫- ⎪⎝⎭时，z 取最大值，代入可求得结果. 【详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：将32z x y =+化为322z y x =-+，则z 最大时，直线322zy x =-+在y 轴截距最大； 由直线32y x =-平移可知，当322zy x =-+过B 时，在y 轴截距最大，由2030x y x y -+=⎧⎨+=⎩得：13,22B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，max 13332222z ⎛⎫∴=⨯-+⨯= ⎪⎝⎭.故答案为：32. 【点睛】本题考查线性规划中最值问题的求解，关键是能够将问题转化为直线在y 轴截距的最值的求解问题，通过数形结合的方式可求得结果.14．甲、乙两人同时参加公务员考试，甲笔试、面试通过的概率分别为45和34；乙笔试、面试通过的概率分别为23和12．若笔试面试都通过才被录取，且甲、乙录取与否相互独立，则该次考试只有一人被录取的概率是__________． 【答案】815【解析】分别求得甲、乙被录取的概率，根据独立事件概率公式可求得结果. 【详解】甲被录取的概率1433545p =⨯=；乙被录取的概率2211323p =⨯=； ∴只有一人被录取的概率()()12213212811533515p p p p p =-+-=⨯+⨯=.故答案为：815.【点睛】本题考查独立事件概率的求解问题，属于基础题.15．已知函数()()ln ()ln xx eax e x f x x ax--=-，若在定义域内恒有()0f x <，则实数a 的取值范围是__________． 【答案】1,e e⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】根据指数函数xy e =与对数函数ln y x =图象可将原题转化为()()ln 0xeax x ax --<恒成立问题，凑而可知y ax =的图象在过原点且与两函数相切的两条切线之间；利用过一点的曲线切线的求法可求得两切线斜率，结合分母不为零的条件可最终确定a 的取值范围. 【详解】由指数函数xy e =与对数函数ln y x =图象可知：ln >x e x ，()0f x ∴<恒成立可转化为0ln x e ax x ax-<-恒成立，即()()ln 0x e ax x ax --<恒成立，ln x e ax x ∴>>，即y ax =是夹在函数xy e =与ln y x =的图象之间，y ax ∴=的图象在过原点且与两函数相切的两条切线之间.设过原点且与ln y x =相切的直线与函数相切于点(),ln m m ，则切线斜率11ln m k m m ==，解得：11m ek e =⎧⎪⎨=⎪⎩；设过原点且与x y e =相切的直线与函数相切于点(),nn e，则切线斜率2nne k e n ==，解得：21n k e =⎧⎨=⎩；当1a e =时，1ln 0x x e -≤，又ln 0x ax -≠，1a e∴=满足题意； 综上所述：实数a 的取值范围为1,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查恒成立问题的求解，重点考查了导数几何意义应用中的过一点的曲线切线的求解方法；关键是能够结合指数函数和对数函数图象将问题转化为切线斜率的求解问题；易错点是忽略分母不为零的限制，忽略对于临界值能否取得的讨论.三、双空题16．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为(F ，A 、B 为双曲线上关于原点对称的两点，AF 的中点为H ，BF 的中点为K ，HK 的中点为G ，若|HK|=2|OG|，且直线AB的斜率为4，则||AB =__________，双曲线的离心率为__________．【答案】【解析】设()00,A x y ，()00,B x y --，根据中点坐标公式可得,H K 坐标，利用0OH OK ⋅=u u u r u u u r 可得到A 点坐标所满足的方程，结合直线斜率可求得2200,x y ，进而求得AB ；将A 点坐标代入双曲线方程，结合焦点坐标可求得,a b ，进而得到离心率.【详解】Q左焦点为()F ，∴双曲线的半焦距c =设()00,A x y ，()00,B x y --，0022x y H ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭∴，0022x y K ⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭， 2HK OG =Q ，OH OK ∴⊥，即0OH OK ⋅=u u u r u u u r ，22003044x y -∴-=，即22003x y +=， 又直线AB，即004y x =，2083x ∴=，2013y =，AB ∴==A Q 在双曲线上，2200221x y a b∴-=，即2281133a b -=， 结合2223c a b =+=可解得：a =1b =，∴离心率2c e a ==.故答案为：【点睛】本题考查直线与双曲线的综合应用问题，涉及到直线截双曲线所得线段长度的求解、双曲线离心率的求解问题；关键是能够通过设点的方式，结合直线斜率、垂直关系、点在双曲线上来构造方程组求得所需变量的值.四、解答题17．已知等差数列{}n a 的公差2d =，且1a ，2a ，4a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设12na nb ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求数列{}n n a b +的前n 项和n S ． 【答案】（1）2n a n =；（2）211343n n S n n =+-+⨯. 【解析】（1）根据等比中项性质可构造方程求得1a ，由等差数列通项公式可求得结果； （2）由（1）可得n b ，可知{}n b 为等比数列，利用分组求和法，结合等差和等比数列求和公式可求得结果. 【详解】（1）124,,a a a Q 成等比数列，2214a a a ∴=，即()()21113a d a a d +=+，()()211126a a a ∴+=+，解得：12a =，()2212n a n n ∴=+-=.（2）由（1）得：2111224n a n nn b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，114n n b b +∴=，114b =，∴数列{}n b 是首项为14，公比为14的等比数列， ()()123123n n n S a a a a b b b b ∴=+++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+()2322111124444nn n ⎡⎤+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++⋅⋅⋅+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦211343nn n =+-+⨯． 【点睛】本题考查等差数列通项公式的求解、分组求和法求解数列的前n 项和的问题；关键是能够根据通项公式证得数列{}n b 为等比数列，进而采用分组求和法，结合等差和等比数列求和公式求得结果.18．在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为正方形，AC BD O =I ，1A O ⊥平面ABCD ．（1）证明：1//A O 平面11B CD ；（2）若1AB AA =，求二面角111D AB A --的余弦值． 【答案】（1）详见解析；（2）15. 【解析】（1）连接11A C ，设11111B D AC O ⋂=，可证得四边形11 A OCO 为平行四边形，由此得到11AO//O C ，根据线面平行判定定理可证得结论；（2）以O 为原点建立空间直角坐标系，利用二面角的空间向量求法可求得结果. 【详解】（1）连接11A C ，设11111B D AC O ⋂=，连接1O C ，Q 在四棱柱1111ABCD A B C D -中，1,O O 分别为11,AC A C 的中点，11//OC A O ∴，∴四边形11 A OCO 为平行四边形，11A O//O C ∴，1A O ⊄Q 平面11B CD ，1O C ⊂平面11B CD ，1//AO ∴平面11B CD ．（2）以O 为原点，1,,OB OC OA 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系O xyz -．设1OA =，Q 四边形ABCD 为正方形，12AB AA ∴==11OA ∴=，则()0,1,0A -，()10,0,1A ，()11,1,1B ，()11,1,1D -， ()11,2,1AB ∴=u u u r ，()112,0,0B D =-u u u u r ，()111,1,0A B =u u u u r，设()1111,,n x y z =u r 为平面11AB D 的法向量，()2222,,n x y z =u u r为平面11A AB 的法向量，由1111100n AB n B D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u v u u u v u v u u u u v 得：11112020x y z x ++=⎧⎨-=⎩，令11y =，则10x =，12z =-， 由2121100n AB n A B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u v u u u v u u v u u u u v 得：22222200x y z x y ++=⎧⎨+=⎩，令21x =，则21y =-，21z =，()10,1,2n ∴=-u r ，()21,1,1n =-u u r，12121215cos ,553n n n n n n ⋅∴<>===-⨯⋅u r u u ru r u u r u r u u r ，Q 二面角111D AB A --为锐二面角，∴二面角111D AB A --的余弦值为155. 【点睛】本题考查立体几何中线面平行关系的证明、空间向量法求解二面角的问题；关键是能够熟练掌握二面角的向量求法，易错点是求得法向量夹角余弦值后，未根据图形判断二面角为锐二面角还是钝二面角，造成余弦值符号出现错误.19．金秋九月，丹桂飘香，某高校迎来了一大批优秀的学生．新生接待其实也是和社会沟通的一个平台．校团委、学生会从在校学生中随机抽取了160名学生，对是否愿意投入到新生接待工作进行了问卷调查，统计数据如下：（1）根据上表说明，能否有99%把握认为愿意参加新生接待工作与性别有关； （2）现从参与问卷调查且愿意参加新生接待工作的学生中，采用按性别分层抽样的方法，选取10人．若从这10人中随机选取3人到火车站迎接新生，设选取的3人中女生人数为X ，写出X 的分布列，并求()E X ．附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．【答案】（1）有99%把握认为愿意参加新生接待工作与性别有关；（2）详见解析. 【解析】（1）计算得到 6.635k >，由此可得结论；（2）根据分层抽样原则可得男生和女生人数，由超几何分布概率公式可求得X 的所有可能取值所对应的概率，由此得到分布列；根据数学期望计算公式计算可得期望. 【详解】（1）∵2K Q 的观测值()2160604040203210.667 6.6358080100603k ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，∴有99%的把握认为愿意参加新生接待工作与性别有关．（2）根据分层抽样方法得：男生有31065⨯=人，女生有21045⨯=人， ∴选取的10人中，男生有6人，女生有4人．则X 的可能取值有0,1,2,3，()306431020101206C C P X C ∴====，()216431060111202C C P X C ====，()1264310363212010C C P X C ====，()036431041312030C C P X C ====，X ∴的分布列为：()1131601236210305E X ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=．【点睛】本题考查独立性检验、分层抽样、超几何分布的分布列和数学期望的求解；关键是能够明确随机变量服从于超几何分布，进而利用超几何分布概率公式求得随机变量每个取值所对应的概率.20．已知函数()()2ln 2f x a x x x x =-+-．（1）当2a e =-（e 为自然对数的底数）时，求函数()f x 的极值； （2）()f x '为()y f x =的导函数，当0a >，120x x >>时，求证：()()1212112222x x x x f x f x f x f x ++⎛⎫⎛⎫''-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【答案】（1）极大值21e --，极小值2e -；（2）详见解析. 【解析】首先确定函数的定义域和()f x '；（1）当2a e =-时，根据()f x '的正负可确定()f x 单调性，进而确定极值点，代入可求得极值；（2）通过分析法可将问题转化为证明12112221ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭>+，设121x t x =>，令()()21ln 1t h t t t -=-+，利用导数可证得()0h t >，进而得到结论.【详解】由题意得：()f x 定义域为()0,∞+，()()()121122x x a f x a x x x -+⎛⎫'=-+-= ⎪⎝⎭，（1）当2a e =-时，()()()21x x e f x x--'=，∴当()0,1x ∈和(),e +∞时，()0f x '>；当()1,x e ∈时，()0f x '<，()f x ∴在()0,1，(),e +∞上单调递增，在()1,e 上单调递减， ()f x ∴极大值为()121221f e e =-+-=--，极小值为()()22212f e e e e e e =--+-=-.（2）要证：()()1212112222x x x x f x f x f x f x ++⎛⎫⎛⎫''-<-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即证：()()()1212122x x f x f x f x x '+⎛⎫-<- ⎪⎝⎭， 即证：()()2211222211ln 2ln 2a x x x x a x x x x -+----+()12121222a x x a x x x x ⎛⎫<++--- ⎪+⎝⎭，化简可得：()1212122lna x x x a x x x ->+． 0a >Q ，()1212122ln x x x x x x -∴>+，即证：12112221ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭>+， 设121x t x =>，令()()21ln 1t h t t t -=-+，则()()()22101t h t t t -'=>+， ()h t ∴在()1,+∞上单调递增，()()10h t h ∴>=，则由12112221ln 1x xx x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭>+，从而有：()()1212112222x x x x f x f x f x f x ++⎛⎫⎛⎫''-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到函数极值的求解、利用导数证明不等式的问题；本题不等式证明的关键是能够将多个变量的问题转化为一个变量的问题，通过构造函数的方式将问题转化为函数最值的求解问题.21．如图，椭圆22 22:1(0)x yC a ba b+=>>的左、右顶点分别为1A，2A，上、下顶点分别为1B，2B，且1()0,1B，112A B BV为等边三角形，过点(1,0)的直线与椭圆C在y 轴右侧的部分交于M、N两点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求四边形21B MNB面积的取值范围．【答案】（1）2213xy+=；（2）36,12⎛+⎝⎦.【解析】（1）根据1B坐标和112A B B∆为等边三角形可得,a b，进而得到椭圆方程；（2）①当直线MN斜率不存在时，易求,M N坐标，从而得到所求面积；②当直线MN 的斜率存在时，设方程为()1y k x=-，与椭圆方程联立得到韦达定理的形式，并确定k的取值范围；利用21NOB OMN MOBS S S S=++△△△，代入韦达定理的结论可求得S关于k的表达式，采用换元法将问题转化为33Smm=+-23,23m∈的值域的求解问题，结合函数单调性可求得值域；结合两种情况的结论可得最终结果.【详解】（1）()10,1BQ，1b∴=，112A B B∆Q为等边三角形，33a b∴==∴椭圆的标准方程为2213xy+=．（2）设四边形21B MNB的面积为S．①当直线MN的斜率不存在时，可得61,M⎛⎝⎭，6N⎛⎝⎭，1266211233S⎛=⨯+⨯=+⎭∴⎝．②当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为()1y k x =-， 设()11,M x y ，()22,N x y ，联立()22131x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得：()2222316330k x k x k +-+-=，2122631k x x k ∴+=+，21223331k x x k -=+，()1212y y k x x ∴-=-=． 10x >Q ，20x >，120x x ∴>，1k ∴>，面积()121212111122OMN MO NOB B S S S S x x y y =++=⨯+⨯+⨯-⨯△△△222331313k k k==++23k +．令t =231S t +=+，t ∈，令m t =+S =4m m=+-，m ∈，Q ()S m在定义域内单调递减，3123S ∴<<+．综上所述：四边形21B MNB面积的取值范围是3,12⎛+ ⎝⎦．【点睛】本题考查直线与椭圆的综合应用问题，涉及到椭圆方程的求解、椭圆中的四边形面积的取值范围的求解问题；关键是能够将所求面积表示为关于某一变量的函数，将问题转化为函数值域的求解问题.22．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的参数方程为22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l经过点(1,M --且倾斜角为α.（1）求曲线C 的极坐标方程和直线l 的参数方程；（2）已知直线l 与曲线C 交于,A B ，满足A 为MB 的中点，求tan α.【答案】（1）4cos ρθ=，1cos t sin x t y αα=-+⎧⎪⎨=-⎪⎩；（2【解析】（1）由曲线C 的参数方程消去参数可得曲线C 的普通方程，由此可求曲线C 的极坐标方程；直接利用直线的倾斜角以及经过的点求出直线的参数方程即可；（2）将直线的参数方程，代入曲线C 的普通方程224x y x +=，整理得)26cos 320t tαα-++=，利用韦达定理，根据A 为MB 的中点，解出α即可.【详解】 （1）由22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）消去参数，可得()2224x y -+=，即224x y x +=，∴已知曲线C 的普通方程为224x y x +=， Q cos x ρθ=，222x y ρ=+，∴24cos ρρθ=，即4cos ρθ=， ∴曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，Q 直线l经过点(1,M --，且倾斜角为α，∴直线l的参数方程：1cos sin x t y t αα=-+⎧⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数，0απ≤≤）.（2）设,A B 对应的参数分别为A t ，B t . 将直线l 的参数方程代入C 并整理，得)26cos 320t tαα-++=，∴)6cos A B t t αα+=+，32A B t t ⋅=.又A 为MB 的中点，∴2B A t t =，∴)2cos 4sin 6A t πααα⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，8sin 6B t πα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴232sin 326A B t t πα⎛⎫⋅=+= ⎪⎝⎭，即2sin ()16πα+=， Q 0απ≤≤， ∴7666πππα≤+<， ∴62ππα+=，即3πα=，∴tan 3π=【点睛】本题考查了圆的参数方程与极坐标方程之间的互化以及直线参数方程的应用，考查了计算能力，属于中档题.23．设函数()121f x x x a =++-+．（1）当1a =时，解不等式()6f x ≤；（2）设12a <-，且当21a x ≤<-时，不等式()26f x x ≤+有解，求实数a 的取值范围．【答案】（1）[2,3]-；（2）12,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 【解析】（1）通过分类讨论去掉绝对值符号，进而解不等式组求得结果； （2）将不等式整理为3a x --≤，根据能成立思想可知max 3a x --≤，由此构造不等式求得结果.【详解】（1）当1a =时，()6f x ≤可化为125x x ++-≤，21,2123,1212,1x x x x x x x ->⎧⎪++-=-≤≤⎨⎪-<-⎩Q∴由2215x x >⎧⎨-≤⎩，解得23x <≤；由1235x -≤≤⎧⎨≤⎩，解得12x -≤≤；由1125x x <-⎧⎨-≤⎩，解得21x -≤<-．综上所述：所以原不等式的解集为[]2,3-．（2）21a x ≤<-Q ，()26f x x ≤+，12126x x a x ∴--+-+≤+，3a x ∴--≤，()26f x x ≤+Q 有解，31a ∴--<-，即2a >-，又21a <-，12a ∴<-， ∴实数a 的取值范围是12,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、根据不等式有解求解参数范围的问题；关键是明确对于不等式能成立的问题，通过分离变量的方式将问题转化为所求参数与函数最值之间的比较问题.。
2020届全国100所名校高三理科数学模拟金典试题(三)及参考答案
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'!下表是某电器销售公司!"&9年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表
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１００ 所 名 校 高 考 模 拟 金 典 卷 数 学 三
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一选择题本题共&!小题每小题'分共("分)在每小题给出的四个选项中只有一项是符 合题目要求的)
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１００所名校高考模拟金典卷 数学试卷（三） 第 ２ 页 共 ６ 页
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2020届全国100所名校高三模拟金典卷文科数学(一)试题-附答案解析
频数
高二
（1）若成绩不低于80分为“达标”，估计高一年级知识竞赛的达标率；
（2）在抽取的学生中，从成绩为 的学生中随机选取2名学生，代表学校外出参加比赛，求这2名学生来自于同一年级的概率.
18．在 中，角 所对的边分别是 ，且 ， .
（1）若 ，求 的值；
（2）求 的最大值
19．在菱形 中， ， 为线段 的中点（如图1）．将 沿 折起到 的位置，使得平面 平面 ， 为线段 的中点（如图2）．
【详解】
由已知， ，所以 ，所以
，同理 ，又 ，所以 平面 ，
，又 ， ，所以 平面 ，所以
，设此球半径为 ，最大的球应与四棱锥各个面都相切，设球心为 ，
连接 ， ，则把此四棱锥分为五个棱锥，它们的高均为 .
四棱锥的体积 ，
四棱锥的表面积
，
因为 ，
所以 .
故选：D
【点睛】
本题考查几何体内切球的问题，考查学生空间想象能力、转化与化归的能力，是一道有一定难度的压轴选择题.
所以第一组抽到6号，且每组抽到的学生号构成等差数列 ，公差 ，
所以 ，
若 ，则 ，不合题意；若 ，则 ，不合题意；
若 ，则 ，符合题意；若 ，则 ，不合题意．故选C．
【点睛】
本题主要考查系统抽样.
9．C
【解析】
【分析】
由函数的奇偶性可排除B；由 可排除选项A、D.
【详解】
设 ，定义域为 ， ，所以 为奇函数，
A．8号学生B．200号学生C．616号学生D．815号学生
9．函数 的图象可能是（）
A． B．
C． D．
10．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）
2020年高考模拟试卷汇编——理科数学(解析版)6：平面向量
2021高|考真题分类汇编：平面向量1.【2021高|考真题重庆理6】设,x y ∈R ,向量(,1),(1,),(2,4)a x b y c ===-且//,⊥ ,+(C ) (D )10 【答案】B【解析】因为c b c a //,⊥ ,所以有042=-x 且042=+y ,解得2=x ,2-=y ,即)2,1(),1,2(-==b a ,所以)1,3(-=+b a 10=+ ,选B.2.【2021高|考真题浙江理5】设a ,b 是两个非零向量 .|a +b | =|a | -|b | ,那么a ⊥b a ⊥b ,那么|a +b | =|a | -|b ||a +b | =|a | -|b | ,那么存在实数λ ,使得b =λa λ ,使得b =λa ,那么|a +b | =|a | -|b | 【答案】C【解析】利用排除法可得选项C 是正确的 ,∵|a ＋b |＝|a |－|b | ,那么a ,b 共线 ,即存在实数λ ,使得a ＝λb ．如选项A ：|a ＋b |＝|a |－|b |时 ,a ,b 可为异向的共线向量；选项B ：假设a ⊥b ,由正方形得|a ＋b |＝|a |－|b |不成立；选项D ：假设存在实数λ ,使得a ＝λb ,a ,b 可为同向的共线向量 ,此时显然|a ＋b |＝|a |－|b |不成立．3.【2021高|考真题四川理7】设a 、b 都是非零向量 ,以下四个条件中 ,使||||a ba b =成立的充分条件是 ( )A 、a b =-B 、//a bC 、2a b =D 、//a b 且||||a b = 【答案】C=||||a ba b ==为必要不充分条件；C ．为充分不必要条件；D 同B.4.【2021高|考真题辽宁理3】两个非零向量a ,b 满足|a +b | =|a -b | ,那么下面结论正确的选项是(A) a ∥b (B) a ⊥b (C){0,1,3} (D)a +b =a -b 【答案】B【解析】一、由|a +b | =|a -b | ,平方可得a ⋅b =0,所以a ⊥b ,应选B二、根据向量加法、减法的几何意义可知|a +b |与|a -b |分别为以向量a ,b 为邻边的平行四边形的两条对角线的长 ,因为|a +b | =|a -b | ,所以该平行四边形为矩形 ,所以a ⊥b ,应选B 【点评】此题主要考查平面向量的运算、几何意义以及向量的位置关系 ,属于容易题 .解析一是利用向量的运算来解 ,解析二是利用了向量运算的几何意义来解 .5.【2021高|考真题江西理7】在直角三角形ABC 中 ,点D 是斜边AB 的中点 ,点P 为线段CD 的中点 ,那么222PA PB PC+ =A ．2B ．4C ．5D ．10 【答案】D【解析】将直角三角形放入直角坐标系中 ,如图 ,设,),,0(),0,(>b a b B a A ,那么)2,2(b a D ,)4,4(b a P ,所以1616)4()4(22222b a b a PC +=+= ,16916)4()4(22222b a b b a PB +=-+= ,16169)4()4(22222b a b a a PA +=+-= ,所以22222222210)1616(101616916916PC b a b a b a PB PA =+=+++=+,所以10222=+PCPB PA ,选D. 6.【2021高|考真题湖南理7】在△ABC 中 ,AB =2 ,AC =3 ,AB BC = 1那么___BC =. 372223【答案】A【解析】由以下图知AB BC = cos()2(cos )1AB BC B BC B π-=⨯⨯-=.1cos 2B BC ∴=-.又由余弦定理知222cos 2AB BC AC B AB BC+-=⋅ ,解得BC .,AB BC 的夹角为B ∠的外角.7.【2021高|考真题广东理3】假设向量BA = (2,3 ) ,CA = (4,7 ) ,那么BC = A ． ( -2, -4 ) B ． (3,4) C ． (6,10) D ． ( -6, -10)【答案】A【解析】)4,2()7,4()3,2(--=-=-=CA BA BC ．应选A ．8.【2021高|考真题广东理8】对任意两个非零的平面向量α和β ,定义βββαβα••=．假设平面向量a ,b 满足|a|≥|b |＞0 ,a 与b 的夹角)4,0(πθ∈ ,且b a 和a b 都在集合}|2{Z n n∈中 ,那么b a=A ．12 B.1 C. 32 D. 52【答案】C【解析】因为22cos ||>≥=•=θθb a b b b a b a ,1cos <≤==θθa b, 且b a 和a b 都在集合}|2{Z n n ∈中 ,所以21||==θa b a b ,θcos 21||=a b ,所以2cos 22<==θθb a ,因为)4,0(πθ∈ ,所以21<<b a ,故有23=b a ．应选C ．9.【2021高|考真题安徽理8】在平面直角坐标系中 ,(0,0),(6,8)O P ,将向量OP 按逆时针旋转34π后 ,得向量OQ ,那么点Q 的坐标是 ( ) AC()A (72,2)-- ()B (72,2)- ()C (46,2)-- ()D (46,2)-【答案】A【命题立意】此题考查平面向量与三角函数交汇的运算问题 . 【解析】【方法一】设34(10cos ,10sin )cos ,sin 55OP θθθθ=⇒== , 那么33(10cos(),10sin())(72,2)44OQ ππθθ=++=--． 【方法二】将向量(6,8)OP =按逆时针旋转32π后得(8,6)OM =- ,那么()(72,2)2OQ OP OM =-+=--． 10.【2021高|考真题天津理7】ABC ∆为等边三角形 ,AB =2 ,设点P ,Q 满足AB AP λ= ,AC AQ )1(λ-= ,R ∈λ ,假设23-=•CP BQ ,那么λ =(A )21 (B )221± (C )2101± (D )2223±-【答案】A【解析】如图,设==, ,2,2=•==c b ,又)1(λ-+-=+= ,b c AP CA CP λ+-=+= ,由23-=•得23)1()1()(])1([2-=•+-+--=+-•-+-b c λλλλλ ,即23)1(24)1(42-=+-+--λλλλ ,整理01442=+-λλ ,即0)12(2=-λ ,解得21=λ选A.11.【2021高|考真题全国卷理6】△ABC 中 ,AB 边的高为CD ,假设a ·b =0 ,|a|=1 ,|b| =2 ,那么(A) (B ) (C) (D)【答案】D【解析】在直角三角形中 ,521===AB CA CB ，，,那么52=CD ,所以5454422=-=-=CD CA AD ,所以54=AB AD ,即b a b a AB AD 5454)(5454-=-==,选D. 12.【2021高|考真题新课标理13】向量,a b 夹角为45︒ ,且1,210a a b =-=；那么_____b =【答案】32【解析】因为102=-b a ,所以10)2(2=-b a ,即104422=+•-b b a a ,所以1045cos 4402=-+b b ,整理得06222=--b b ,解得23=b 或2-=b (舍去 ).13.【2021高|考真题浙江理15】在△ABC 中 ,M 是BC 的中点 ,AM =3 ,BC =10 ,那么AB AC ⋅ =________. 【答案】 -16【解析】法一此题最|适合的方法是特例法．假设∆ABC 是以AB ＝AC 的等腰三角形 ,如图 ,AM ＝3 ,BC ＝10 ,AB ＝AC 34 cos ∠BAC ＝3434100823417+-=-⨯．AB AC ⋅＝cos 16AB AC BAC ⋅∠=-法二：163104141)21()21(2222-=+⨯-=+-=+•+-=•AM AM .14.【2021高|考真题上海理12】在平行四边形ABCD 中 ,3π=∠A ,边AB 、AD 的长分别为2、1 ,假设M 、N 分别是边BC 、CD 上的点 ,且满足||||CD BC =,那么AN AM ⋅的取值范围是 . 【答案】[2,5].【解析】设CDCN BCBM==λ (0≤λ≤1 ) ,那么BC BM λ= =AD λ,DC DN )1(λ-= =AB )1(λ- ,那么AN AM ⋅ =))((DN AD BM AB ++ =])1()[(AB AD AD AB λλ-++ =AD AB ⋅ +2)1(AB λ- +2AD λ +AB AD ⋅-)1(λ, 又∵AD AB ⋅ =2×1×3cosπ=1 ,2AB =4 ,2AD =1 ,∴AN AM ⋅ =6)1(5222++-=+--λλλ ,∵0≤λ≤1 ,∴2≤AN AM ⋅≤5 ,即AN AM ⋅的取值范围是[2,5].15.【2021高|考真题山东理16】如图 ,在平面直角坐标系xOy 中 ,一单位圆的圆心的初始位置在(0,1) ,此时圆上一点P 的位置在(0,0) ,圆在x 轴上沿正向滚动 .当圆滚动到圆心位于(2,1)时 ,OP 的坐标为______________.【答案】)2cos 1,2sin 2(--【解析】因为圆心移动的距离为2 ,所以劣弧2=PA ,即圆心角2=∠PCA ,,那么22π-=∠PCA ,所以2cos )22sin(-=-=πPB ,2sin )22cos(=-=πCB ,所以2sin 22-=-=CB x p ,2cos 11-=+=PB y p ,所以)2cos 1,2sin 2(--=OP .16.【2021高|考真题北京理13】正方形ABCD 的边长为1 ,点E 是AB 边上的动点 ,那么CB DE ⋅的值为________ ,DC DE ⋅的最|大值为______ . 【答案】 1 ,1【解析】根据平面向量的数量积公式=⋅=⋅DA DE CB DE θcos ||||DA DE ⋅ ,由图可知 ,||cos ||DA DE =⋅θ ,因此1||2==⋅DA CB DE ,=⋅=⋅αcos ||||DC DE DC DE αcos ||⋅DE ,而αcos ||⋅DE 就是向量DE 在边上的射影 ,要想让DC DE ⋅最|大 ,即让射影最|大 ,此时E 点与B 点重合 ,射影为DC ,所以长度为1．17.【2021高|考真题安徽理14】假设平面向量,a b 满足：23a b -≤ ,那么a b 的最|小值是_____ .【答案】98-【命题立意】此题考查平面向量的模与数量积的运算 .【解析】22222349494449448a b a b a ba b a b a b a b a b a b -≤⇔+≤++≥≥-⇒+≥-⇔≥-18.【2021高|考江苏9】 (5分 )如图 ,在矩形ABCD 中 ,22AB BC ==，点E 为BC 的中点 ,点F 在边CD 上 ,假设2AB AF = ,那么AE BF 的值是 ▲ ．2【考点】向量的计算 ,矩形的性质 ,三角形外角性质 ,和的余弦公式 ,锐角三角函数定义 . 【解析】由2AB AF = ,得cos 2ABAF FAB ∠=由矩形的性质 ,得cos =AF FAB DF ∠ .∵2AB 22DF = ,∴1DF = .∴21CF .记AE BF 和之间的夹角为,AEB FBC θαβ∠=∠=， ,那么θαβ=+ . 又∵2BC =，点E 为BC 的中点 ,∴1BE = . ∴()()=cos =cos =cos cos sin sin AE BF AEBF AEBF AE BF θαβαβαβ+-()=cos cos sin sin =122212AE BF AE BF BE BC AB CF αβαβ--=⨯- 此题也可建立以, AB AD 为坐标轴的直角坐标系 ,求出各点坐标后求解 .。
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2020届高考必备2020届全国百套名校高三数学模拟试题分类汇编平面向量选择题（11页）05 平面向量1、(四川省成都市高2018届高中毕业班第一次诊断性检测)点O 为△ABC 内一点，且OA →＋2OB →＋3OC →＝0→，那么△AOB 、△AOC 、△BOC 的面积之比等于A 、9∶4∶1B 、1∶4∶9C 、3∶2∶1D 、1∶2∶3答案：C2、(江西省崇仁一中2018届高三第四次月考)给出下面四个命题：①关于任意向量a 、b ，都有|a ·b |≥a ·b 成立；②关于任意向量a 、b ，假设a 2=b 2，那么a =b 或a = -b ； ③关于任意向量a 、b 、c ，都有a ·(b ·c )=(b ·c )·a 成立； ④关于任意向量a 、b 、c ，都有a ·(b ·c )=(b ·a )·c 成立. 其中错误的命题共有〔 〕A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 答案：B 3、(辽宁省大连市第二十四中学2018届高三高考模拟)设O 为平行四边形ABCD 的对称中心，216,4e e ==，那么2132e e -=〔 〕A ．OAB ．OBC ．OCD ．OD答案：B4、(山东省平邑第一中学2018届高三元旦竞赛试题)A.B.C 是△ABC 的三个顶点，ABC AB ∆⋅+⋅+⋅=则,2为( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．既非等腰又非直角三角形 答案：B5、(山东省平邑第一中学2018届高三元旦竞赛试题)|a|＝2|b|≠0,且关于x 的方程x 2＋|a|x＋a·b ＝0有实根，那么a 与b 夹角的取值范畴是〔 〕A ．]6,0[πB ．],3[ππC ．]32,3[ππD ．],6[ππ答案：B6、(山东省临沂高新区实验中学2018-2018学年高三12月月考)假设b a b a 在则),7,4(),3,2(-==方向上的投影为A ．13B ．565C ．513D ．65答案：A7、(陕西省西安铁一中2018届高三12月月考)△ABC 的三个顶点A 、B 、C 及平面内一点P 满足：0PA PB PC ++=，假设实数λ满足：λ=+，那么λ的值为〔 〕 A ．2 B ．32C ．3D ．6 答案：C8、(厦门市第二外国语学校2018—2018学年高三数学第四次月考)平面向量a ，b 共线的充要条件是〔 〕A ．a ，b 方向相同B ．a ，b 两向量中至少有一个为零向量C ．λ∈R ∃，λ=b a D ．存在不全为零的实数1λ，2λ，12λλ+=0a b解：注意零向量和任意向量共线。
选D19、(西南师大附中高2018级第三次月考)向量(82)(1)a b x ==，，，，假设//a b ，那么x 的值为〔 〕A ．14B ．14-C ．4D ．– 4答案：C10、(西南师大附中高2018级第三次月考)O 是△ABC 内一点，230OA OB OC ++=，那么△AOC 与△BOC 的面积的比值为〔 〕A ．32B ．53C ．2D ．3答案：C11、(重庆一中2018学年高三年级上期半期考试)平面向量，共线的充要条件是〔 〕 A ．a ，b 相等B ．，中至少有一个零向量C ．存在实数λ，使=λD ．存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1+λ2=答案：D12、(重庆一中2018学年高三年级上期半期考试)△ABC ，〔⋅〕:,3:2:1)(:)(=⋅⋅那么△ABC 形状为 〔 〕A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．以上均不正确 答案：A13、(2018届福建省福鼎一中高三理科数学强化训练综合卷一)向量(1)(1)n n ==-，，，a b ，假设2-a b 与b 垂直，那么=a 〔 〕A ．1B ． 2C ．2D ．4答案：C14、(广东省北江中学2018届高三上学期12月月考)ABC △内有一点O ,满足0OA OB OC ++=,且OA OB OB OC =.那么ABC △一定是〔 〕A. 钝角三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 等腰三角形 答案：D15、(广东省佛山市三水中学2018届高三上学期期中考试)在平面斜坐标系中060=∠xoy ,斜坐标定义:假设y x ⋅+⋅=00 (其中j i ,分不是斜坐标系的x 轴,y 轴的单位向量),那么点P 的坐标为()00,y x .那么平面斜坐标系060=∠xoy 中两点()()4,3,2,1B A 的距离为16、在△ABC 中，a,b,c 分不为三个内角A,B,C 所对的边，设向量(,),(,)m b c c a n b c a =--=+，假设m n ⊥,那么角A 的大小为〔 〕A.6πB. 3πC. 2πD. 32π答案：B17、(广东省高超一中2018届高三上学期第四次月考)向量(1sin ,1)θ=-a ，1(,1sin )2θ=+b ，假设a ∥b ，那么锐角θ等于A ．30︒B ． 45︒C ．60︒D ．75︒答案：B18、(2018年广东省广州市高三年级调研测试)向量a =〔x ，1〕，b =〔3，6〕，a ⊥b ，那么实数x 的值为A ．12B ．2-C ．2D ．－12 答案：B19、(广东省华南师范附属中学2018届高三上学期第三次综合测试)在ABC 中，90,(,1),(2,3)A AB k AC ∠===，那么k 的值是A ．5B ．5-C ．32D ．32-答案：D20、(广西桂林十八中06级高三第二次月考)将函数21xy =+的图象按向量a 平移后得到函数12x y +=的图象，那么A. (11)=--，a B. (11)=-，a C. (11)=，a D. (11)=-，a 答案：A21、(湖北省武汉市教科院2018届高三第一次调考)假设第一象限内的点),(y x A 落在通过点〔6，—2〕且方向向量为)2,3(-=a 的直线xy t l 3223log log ,-=则上有〔 〕A ．最大值32B ．最大值1C ．最小值32 D ．最小值1答案：B22、过△ABC 内部一点M 任作一条直线EF ，AD ⊥EF 于D ，BE ⊥EF 于E ，CF ⊥EF 于F ，都有0=++CF BE AD ， 那么点M 是△ABC 的 〔 〕 A ．三条高的交点 B ．三条中线的交点C ．三边中垂线的交点D ．三内角平分线的交点 答案：B23、(湖北黄陂一中2018届高三数学综合检测试题)向量(2,3)a =，(1,2)b =-，假设ma nb+与2a b -共线，那么mn 等于A ．2-B ．2C ．12-D ．12答案：C24、(安徽省潜山县三环中学2018届高三上学期第三次联考)在以下条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是 〔 〕A ．OM --=2B ．OCOB OA OM 213151++=C ．=++D ．=+++OM答案：C25、(安徽省潜山县三环中学2018届高三上学期第三次联考)设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足000=•=•=•，，，那么∆BCD 是〔 〕 A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不确定答案：B26、(北京五中12月考)假设向量ab a b a b a ⊥-==)(,2,2,满足，那么向量b a 与的夹角等于A ．4πB ．6πC ．43πD ．65π答案：A27、(北京五中12月考)点O 是ABC ∆所在平面内的一点，且满足OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅，那么点O 是ABC ∆的A ．三条内角平分线交点〔即内心〕B ．三边的垂直平分线交 点〔即外心〕C ．三条中线交点〔即重心〕D ．三条高线交点〔即垂心〕 答案：D28、(甘肃省兰州一中2018—2018高三上学期第三次月考)向量αααtan ,),cos ,(sin ),4,3(则且b a b a ⊥==为〔 〕A ．43B ．34C ．43-D ．34-答案：D29、(甘肃省兰州一中2018—2018高三上学期第三次月考)点O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足⋅=⋅=⋅，那么点O 是△ABC 的〔 〕 A ．内心 B ．外心C ．重心D ．垂心答案：D30、(河北省衡水中学2018—2018学年度第一学期期中考试)如图，非零向量,,==且C ,⊥为垂足，设向量a OC λ=，那么λ的值为A.2||aB. ||||b a ⋅C. 2||b D.答案：A31、(黑龙江省双鸭山一中2018-2018学年上学期期中考试)向量(22)a cos ,sin αα=，(33)b cos ,sin ββ=，假设a 与b 的夹角为060，那么直线102xcos -ysin +αα=与圆221()+()=2x -cos y +sin ββ的位置关系是〔 〕A.相交但只是圆心B. 相交且过圆心C.相离D. 相切答案：C32、(福建省宁德市2018届高三上学期第四次月考)非零不共线向量OA 、OB ，且2=x +y ,假设PA =λAB 〔λ∈R 〕，那么点Q 〔x,y 〕的轨迹方程是〔 〕A ．x+y-2=0B ．2x+y-1=0C ．x+2y-2=0D ．2x+y-2=0答案：A33、(福建省莆田第四中学2018届第二次月考)BE AD ，分不是ABC ∆的边AC BC ，上的中线，且=a ，=b ，那么是A 、b a 3234+ B 、b a 3432+ C 、b a 3234- D 、ba 3432- 答案：A34、(福建省莆田第四中学2018届第二次月考)平面直角坐标系中，O 为坐标原点，两点A(2,－1),B(－1,3)，假设点C 满足OB OA OC βα+=其中0≤βα，≤1，且α＋β＝1，那么点C 的轨迹方程为( )A 、0432=-+y xB 、25)1()21(22=-+-y xC 、0534=-+y x 〔－1≤x ≤2〕D 、083=+-y x 〔－1≤x ≤2〕 答案：C35、(福建省莆田第一中学2018～2018学年度上学期第一学段段考)等差数列{}n a 的前n 项和为nS ，假设100101OB a OA a OC =+，且 A B C ，，三点共线〔该直线只是点O 〕，那么200S 等于 〔 〕A ．100B ．101C ．200D ．201答案：A36、(四川省万源市第三中学高2018级测试)将直线12+=x y 按向量n )1,3(-=平行后的得到的直线方程是〔 〕A ．82+=x yB ．62-=x yC ．62+=x yD ．42-=x y答案：A37、(四川省成都七中2018届高三零诊模拟考试)a ,b 是非零向量,那么〝|a |=|b |〞是〝a +b 与a -b 垂直〞的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案：B38、(四川省成都市2018—2018学年度上学期高三年级期末综合测试)向量,夹角为︒60=-⊥+==m m ),()53(,23 ( )A. 2332B. 4229C. 4223D. 2942答案：B39、(四川省泸县六中高09级二诊模拟数学试题)设a 、b 是非零向量，)()()(,x x x f R x -⋅+=∈若函数的图象是一条直线，那么必有〔 〕A ．b a ⊥B ．b a //C ．||||=D ．||||≠答案：A40、(四川省泸县六中高09级二诊模拟数学试题)假设点O 是ABC △的外心，且OA OB CO ++= 0 ，那么ABC △的内角C 等于 〔 〕A ．045B ．060C ．090D ．0120答案：D41、(安徽省巢湖市2018届高三第一次教学质量检测)在菱形ABCD 中，假设AC ＝2,那么CA AB ⋅=( 〕A.2B.--2C.cos AB AD.与菱形的边长有关答案：B42、(四川省绵阳市高中2018级第二次诊断性考试)O 是△ABC 内一点，且OA →＋OB →＋2OC →＝0→，那么△AOB 的面积与△ABC 的面积之比为A 、1∶4B 、2∶3C 、1∶3D 、1∶2答案：C43、(枣庄市·理科)2||2||0,||0,x x x =≠++⋅=a b a a b 且关于的方程有实根a b 则与的夹角的取值范畴是〔 〕A ．],3[ππB ．]32,3[ππC ．],6[ππD ．]6,0[π答案：A44、(苍山县·理科)平面向量(3,1),(,3),//,a b x a b x ==-则等于〔 〕.A ．9B ．1C ．－1D ．－9答案：D 45、(济宁·理科)点M 是边长为2的正方形ABCD 内或边界上一动点，N 是边BC 的中点，那么⋅的最大值是A ．2B ．4C ．5D ．6 答案：D46、(临沂一中·理科)点A 〔3，0〕，B 〔0，3〕，C 〔cosα，sinα〕，O 〔0，0〕，假设),0(,13||πα∈=+，那么与的夹角为〔 〕A ．π2B ．π4C ．π3D ．π6答案：D47、(临沂高新区·理科)在△OAB 中，OD b a ,,==是AB 边上的高，假设AB AD λ=，那么实数λ行等于Ａ．()2ba ab a --⋅B ．()2ba b a a --• C ．()ba ab a --• D ．()ba b a a --•答案：B48、(烟台·理科)假设△ABC是锐角三角形，向量q p q p 与则),cos ,(sin ),cos ,(sin B B A A -==的夹角为 〔 〕A ．锐角B ．直角C ．钝角D ．以上均不对答案：A49、(郓城实验中学·理科)A 、B 是抛物线px y 22=(p ＞0)上异于原点O 的两点，那么〝·=0”是〝直线AB 恒过定点(0,2p )〞的 〔 〕A ．充分非必要条件B ．充要条件C ．必要非充分条件D ．非充分非必要条件答案：B50、(聊城一中·理科)向量,夹角为︒60=-⊥+==m m ),()53(,23 ( )A ． 2332B ． 4229C ． 4223D ． 2942答案：B51、(重庆市万州区2018级高三第一次诊断性试题)O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且20OA OB OC ++=，那么〔 〕 〔Ａ〕AO OD =〔Ｂ〕2AO OD = 〔Ｃ〕3AO OD = 〔D 〕2AO OD =答案：A52、(广东省汕头市潮南区08－09学年度第一学期期末高三级质检))0,1(2321,1),(=+===b j i a j i 按向量是一个正交基底平移所扫过平面部分的面积等于〔 〕〔A 〕3 〔B 〕23 〔C 〕21〔D 〕1答案：B53、(重庆奉节长龙中学2018年高考数学推测卷二)过△ABC 的重心任作一直线分不交AB ，AC 于点D 、E ．假设AD xAB =，AE y AC =，0xy ≠，那么11x y +的值为 A ．4 B ．3 C ．2 D ．1解析：取△ABC 为正三角形易得11x y +＝3．选B ．评析：此题考查向量的有关知识，假如按常规方法就比较难处理，然而用专门值的思想就比较容易处理，考查学生灵活处理咨询题的能力．54、〔2018浙江省嘉兴市〕向量a =(1，2)和b =(x ，1)，假设向量a +2b 与2a -b 平行，那么实数x 等于 ( ▲ )A ．21B ．1C ．31D ．2答案：A55、〔2018温州市十校联合体〕2．假设平面四边形ABCD 满足0,()0,AB CD AB AD AC →→→→→→=•=+-那么该四边形一定是〔 〕A ．正方形B ．矩形C ．菱形D ．直角梯形 答案：C56、〔温州十校2018学年度第一学期期中高三数学试题〔理〕〕ba b a b a b a 与则,33)3()(,4,3=+⋅+==的夹角为 〔 〕A ．30°B ．60°C ．120°D ．150° 答案：C57、〔2018学年第一学期期中杭州七校高三联考数学试题〕假设向量(cos ,sin ),(cos ,sin )a b ααββ==，那么a 与b 一定满足A ．a 与b 的夹角等于αβ-B ．a b ⊥C ．a ∥bD ．()()a b a b +⊥-答案：D58、〔2018年浙江省杭州市第一次高考科目教学质量检测数学试题题〕假设向量a 与b 的夹角为120° ，且||1,||2,a b c a b ===+，那么有(A) c a ⊥ (B) ⊥ (C) // (D) // 答案：A59、(温州市十校2018学年高三第一学期期初联考 数学试题)假设平面四边形ABOPabABCD 满足0,()0,AB CD AB AD AC →→→→→→=⋅=+-那么该四边形一定是〔 〕 A ．正方形 B ．矩形 C ．菱形 D ．直角梯形 答案：C60、〔浙江省09年高考省教研室第一次抽样测试数学试题〔理〕〕AOB ∆，点P 在直线AB 上，且满足2()OP tPA tOB t R =+∈，那么PAPB =〔 〕A 、13B 、12 C 、2 D 、3答案： B 解析：如下图，建基低，不妨设,OA a OB b ==；找共线，关于点P 在直线AB 上，有AP AB λ=；列方程，因此有AP AO OP =+2a tPA tb =-++，即12a tb AP t -+=+；而AB AO OB a b =+=-+，即有11212t t t λλ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，因现在1t =13λ=.即有PA PB =12.61、〔绍兴市2018学年第一学期统考数学试题〕在平行四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，以下结论正确的选项是〔 〕A 、AB CD =，BC AD = B 、AD OD DA += C 、AO OD AC CD +=+ D 、AB BC CD DA ++= 答案：C 解析：AO OD AD AC CD +==+ 62、〔绍兴市2018学年第一学期统考数学试题〕 如图，正方形ABCD 内有一个正ABE ∆，设,AB i AD j ==，那么DE等于〔 〕A 、1124i j- B 、1232i j -- C 、1124i j-- D 、12322i j ---答案： B 解析：因为DE DA AE =+，13,2DA j AE i j=-=+，因此DE =1232i j --63、〔绍兴市2018学年第一学期统考数学试题〕 ★如图，在平面直角坐标系xoy 中，两个非零向量,OA OB 与x 轴正半轴的夹角分不为6π和23π，向量OC 满足0OA OB OC ++=，那么OC 与x 轴正半轴夹角取值范畴是〔 〕BD〔第6题图〕xyABCOA 、0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭B 、5,36ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C 、2,23ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D 、25,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭ 答案：B 解析：因为23AOC AOB BOC π∠=∠=∠=，因此OC 与x 轴的夹角为2362πππ-=，即5,236πππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭64、(安徽省六安中学2018届高三第六次月考)直线022:2)2(:22=--++-=y x y x C x k y l 与圆相切，那么直线l 的一个方向量=〔 〕A ．〔2，－2〕B ．〔1，1〕C ．〔－3，2〕D ．〔1，21〕 答案：A65、(安徽省六安中学2018届高三第六次月考)在S ABC ABC ⋅===∆∆则已知中,3,1||,4||,的值为〔 〕A ．—2B ．2C ．4±D ．2± 答案：D66、(安徽省六安中学2018届高三第六次月考)设M 是ABC ∆内任一点，且,30,320=∠=•BAC AC AB 设MAB MAC MBC ∆∆∆,,的面积分不为z y x ,,，且21=z ，那么在平面直角中坐标系中，以,x y为坐标的点),(y x 的轨迹图形是〔 〕答案：A 67、ACBD。