1-3-1-2函数的最值

1.3.1.2
一、选择题
1．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
2x ＋6 x ∈[1，2]x ＋7 x ∈[－1，1]，则f (x )的最大值、最小值分别为( ) A ．10,6
B ．10,8
C ．8,6
D ．以上都不对
[答案] A [解析] 分段函数的最大值为各段上最大值中的最大者，最小值为各段上最小值中的最小者．
当1≤x ≤2时，8≤2x ＋6≤10，
当－1≤x ≤1时，6≤x ＋7≤8.
∴f (x )min ＝f (－1)＝6，
f (x )max ＝f (2)＝10.
故选A.
2．函数y ＝x |x |的图象大致是( )
[答案] A
[解析] y ＝⎩⎪⎨⎪⎧
x 2 x ≥0－x 2 x <0，故选A. 3．某公司在甲乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝－x 2＋21x 和L 2＝2x (其中销售量x 单位：辆)．若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为( )
A ．90万元
B ．60万元
C ．120万元
D ．120.25万元
[答案] C
[解析] 设公司在甲地销售x 辆(0≤x ≤15，x 为正整数)，则在乙地销售(15－x )辆， ∴公司获得利润
L ＝－x 2＋21x ＋2(15－x )
＝－x 2＋19x ＋30.
∴当x ＝9或10时，L 最大为120万元．
故选C.
[点评] 列函数关系式时，不要出现y ＝－x 2＋21x ＋2x 的错误．
4．已知f (x )在R 上是增函数，对实数a 、b 若a ＋b ＞0，则有( )
A ．f (a )＋f (b )＞f (－a )＋f (－b )
B ．f (a )＋f (b )＜f (－a )＋f (－b )
C ．f (a )－f (b )＞f (－a )－f (－b )
D ．f (a )－f (b )＜f (－a )＋f (－b )
[答案] A
[解析] ∵a ＋b ＞0 ∴a ＞－b 且b ＞－a ，又y ＝f (x )是增函数
∴f (a )＞f (－b ) 且f (b )＞f (－a )故选A.
5．(河南郑州市智林学校2009～2010高一期末)若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝a x ＋1
在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是( )
A ．(－1,0)∪(0,1)
B ．(－1,0)∪(0,1]
C ．(0,1)
D ．(0,1] [答案] D
[解析] ∵f (x )＝－x 2＋2ax ＝－(x －a )2＋a 2在[1,2]上是减函数，∴a ≤1，
又∵g (x )＝a x ＋1
在[1,2]上是减函数， ∴a >0，∴0<a ≤1.
6．函数y ＝3x ＋2x －2
(x ≠2)的值域是( ) A ．[2，＋∞)
B ．(－∞，2]
C ．{y |y ∈R 且y ≠2}
D ．{y |y ∈R 且y ≠3} [答案] D
[解析] y ＝3x ＋2x －2＝3(x －2)＋8x －2＝3＋8x －2，由于8x －2
≠0，∴y ≠3，故选D. 7．函数y ＝f (x )的图象关于原点对称且函数y ＝f (x )在区间[3,7]上是增函数，最小值为5，那么函数y ＝f (x )在区间[－7，－3]上( )
A ．为增函数，且最小值为－5
B ．为增函数，且最大值为－5
C ．为减函数，且最小值为－5
D ．为减函数，且最大值为－5
[答案] B
[解析] 由题意画出示意图，如下图，可以发现函数y ＝f (x )在区间[－7，－3]上仍是增
函数，且最大值为－5.
8．函数y ＝|x －3|－|x ＋1|有( )
A ．最大值4，最小值0
B ．最大值0，最小值－4
C ．最大值4，最小值－4
D ．最大值、最小值都不存在
[答案] C
[解析] y ＝|x －3|－|x ＋1|
＝⎩⎪⎨⎪⎧ －4 (x ≥3)2－2x (－1＜x ＜3)
4 (x ≤－1)，因此y ∈[－4,4]，故选C.
9．已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 的图象的对称轴为直线x ＝1，则( )
A ．f (－1)<f (1)<f (2)
B ．f (1)<f (2)<f (－1)
C ．f (2)<f (－1)<f (1)
D ．f (1)<f (－1)<f (2)
[答案] B
[解析] 因为二次函数图象的对称轴为直线x ＝1，所以f (－1)＝f (3)．
又函数f (x )的图象为开口向上的抛物线，知f (x )在区间[1，＋∞)上为增函数，故f (1)<f (2)<f (3)＝f (－1)．故选B.
10．(08·重庆理)已知函数y ＝1－x ＋x ＋3的最大值为M ，最小值为m ，则m M
的值为 ( )
A.14
B.12
C.22
D.32
[答案] C
[解析] ∵y ≥0，∴y ＝1－x ＋x ＋3 ＝4＋2(x ＋3)(1－x ) (－3≤x ≤1)，
∴当x ＝－3或1时，y min ＝2，当x ＝－1时，y max ＝22，即m ＝2，M ＝22，∴m M ＝22
. 二、填空题
11．函数y ＝－x 2－10x ＋11在区间[－1,2]上的最小值是________．
[答案] －13
[解析] 函数y ＝－x 2－10x ＋11＝－(x ＋5)2＋36在[－1,2]上为减函数，当x ＝2时，y min ＝－13.
12．已知函数f (x )在R 上单调递增，经过A(0，－1)和B(3,1)两点，那么使不等式|f (x ＋
1)|<1成立的x 的集合为________．
[答案] {x |－1<x <2}
[解析] 由|f (x ＋1)|<1得－1<f (x ＋1)<1，即f (0)<f (x ＋1)<f (3)，∵f (x )在R 上是增函数， ∴0<x ＋1<3∴－1<x <2
∴使不等式成立的x 的集合为{x |－1<x <2}．
13．如果函数f (x )＝－x 2＋2x 的定义域为[m ，n ]，值域为[－3,1]，则|m －n |的最小值为________．
[答案] 2
[解析] ∵f (x )＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1，当m ≤x ≤n 时，－3≤y ≤1，∴1∈[m ，n ]， 又令－x 2＋2x ＝－3得，x ＝－1或x ＝3，
∴－1∈[m ，n ]或3∈[m ，n ]，
要使|m －n |最小，应取[m ，n ]为[－1,1]或[1,3]，此时|m －n |＝2.
三、解答题
14．求函数f (x )＝－x 2＋|x |的单调区间．并求函数y ＝f (x )在[－1,2]上的最大、小值．
[解析] 由于函数解析式含有绝对值符号，因此先去掉绝对值符号化为分段函数，然后作出其图象，由图象便可以直观地判断出其单调区间．再据图象求出最值．
①∵f (x )＝－x 2＋|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧
－x 2＋x (x ≥0)－x 2－x (x ＜0)
即f (x )＝⎩⎨⎧ －(x －12)2＋14 (x ≥0)
－(x ＋12)2＋14 (x ＜0)
作出其在[－1,2]上的图象如右图所示
由图象可知，f (x )的递增区间为(－∞，－12)和[0，12]，递减区间为[－12，0]和[12
，＋∞)． ②由图象知：当x ＝－12或12时，f (x )max ＝14
，当x ＝2时，f (x )min ＝－2. 15．某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100
元，已知总收益满足函数：R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 400x －12x 2(0≤x ≤400)，80000 (x ＞400)，
其中x 是仪器的月产量．
(1)将利润表示为月产量的函数f (x )；
(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润)
[解析] (1)设月产量为x 台，则总成本为u (x )＝20000＋100x ，从而f (x )＝R (x )－u (x )，
即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －12x 2＋300x －20000(0≤x ≤400)，60000－100x (x ＞400).
(2)当0≤x ≤400时，f (x )＝－12
(x －300)2＋25000， ∴当x ＝300时，有最大值25 000；当x ＞400时，f (x )＝60000－100x 是减函数，f (x )＜60000－100×400＝20 000.∴当x ＝300时，f (x )的最大值为25 000.
答：每月生产300台仪器时，利润最大，最大利润为25 000元．
16．已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋3x
(x ∈[2，＋∞))， (1)证明函数f (x )为增函数．
(2)求f (x )的最小值．
[解析] 将函数式化为：f (x )＝x ＋3x
＋2 ①任取x 1，x 2∈[2，＋∞)，且x 1＜x 2，
f (x 1)－f (x 2)＝(x 1－x 2)(1－3x 1x 2
)． ∵x 1＜x 2， ∴x 1－x 2＜0，
又∵x 1≥2，x 2＞2，∴x 1x 2＞4,1－3x 1x 2
＞0. ∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即：f (x 1)＜f (x 2)．
故f (x )在[2，＋∞)上是增函数．
②当x ＝2时，f (x )有最小值112
.。