古典概型经典习题

1．在三棱锥的六条棱中任意选择两条，则这两条棱是一对异面直线的概率为( C )
A.120
B.115
C.15
D.16
2．一对年轻夫妇和其两岁的孩子做游戏，让孩子把分别写有“One ”，“World ”，“One ”，
“Dream ”的四张卡片随机排成一行，若卡片按从左到右的顺序排成“One World One Dream ”，则孩子会得到父母的奖励，那么孩子受到奖励的概率为( A )
A.112
B.512
C.712
D.56
3． 4张卡片上分别写有数字1,2,3,4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上
的数字之和为奇数的概率为( C )
A.13
B.12 C .23 D.34
4．一个袋子中有5个大小相同的球，其中有3个黑球与2个红球，如果从中任取两个球，
则恰好取到两个同色球的概率是( C )
A.15
B.310
C.25
D.12
5将一枚骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别为b 、c 则方程x 2＋bx ＋c ＝0有实根的概率
为___1936
_________． 6若以连续掷两颗骰子分别得到的点数m 、n 作为点P 的坐标，则点P 落在圆x 2＋y 2＝16内
的概率是___29
_____． 7先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6)，骰子朝
上的面的点数分别为x 、y ，则满足log 2x y ＝1的概率为__112
______． 8有两个质地均匀、大小相同的正四面体玩具，每个玩具的各面上分别写有数字1、2、3、4，
把两个玩具各抛掷一次，斜向上的面写有的数字之和能被5整除的概率为___14
_____． 9为积极配合深圳2011年第26届世界大运会志愿者招募工作，某大学数学学院拟成立由4名同学组成的志愿者招募宣传队，经过初步选定，2名男同学，4名女同学共6名同学成为候选人，每位候选人当选宣传队队员的机会是相同的．
(1)求当选的4名同学中恰有1名男同学的概率；
(2)求当选的4名同学中至少有3名女同学的概率．
解答：(1)将2名男同学和4名女同学分别编号为1,2,3,4,5,6(其中1,2是男同学，3,4,5,6是女同学)，该学院6名同学中有4名当选的情况有(1,2,3,4)，(1,2,3,5)，(1,2,3,6)，(1,2,4,5)，(1,2,4,6)，(1,2,5,6)，(1,3,4,5)，(1,3,4,6)，(1,3,5,6)，(1,4,5,6)，(2,3,4,5)，(2,3,4,6)，(2,3,5,6)，(2,4,5,6)，(3,4,5,6)，共15种，当选的4名同学中恰有1名男同学的情况有(1,3,4,5)，(1,3,4,6)，(1,3,5,6)，(1,4,5,6)，(2,3,4,5)，(2,3,4,6)，(2,3,5,6)，(2,4,5,6)，共8种，
故当选的4名同学中恰有1名男同学的概率为P(A)＝815
. (2)当选的4名同学中至少有3名女同学包括3名女同学当选(恰有1名男同学当选),4名
女同学当选这两种情况，而4名女同学当选的情况只有(3,4,5,6)，则其概率为P(B)＝115
， 又当选的4名同学中恰有1名男同学的概率为P(A)＝815
，故当选的4名同学中至少有3名女同学的概率为P ＝815＋115＝35
. 10已知三个正数,,a b c 满足a b c <<.
(1)若,,a b c 是从129,,101010⎧⎫⋅⋅⋅⎨⎬⎩⎭
中任取的三个数，求,,a b c 能构成三角形三边长的概率； (2)若,,a b c 是从(0,1)中任取的三个数，求,,a b c 能构成三角形三边长的概率.
解:(1)若,,a b c 能构成三角形，则4,10
a b c c +>≥. ①若410c =时，32,1010
b a ==.共1种； ②若510
c =时。

432,,101010
b a ==.共2种； 同理610
c =时，有3+1=4种； 710
c =时，有4+2=6种； 810
c =时，有5+3+1=9种； 910c =时，有6+4+2=12种. 于是共有1+2+4+6+9+12=34种. 下面求从129,,101010⎧⎫⋅⋅⋅⎨
⎬⎩⎭中任取的三个数,,a b c (a b c <<)的种数： ①若110a =，210b =，则39,,1010c =⋅⋅⋅，有7种；349,,,101010
b c ==⋅⋅⋅，有6种；410b =，59,,1010c =⋅⋅⋅，有5种；……； 89,1010
b c ==，有1种. 故共有7+6+5+4+3+2+1=28种.
同理，210a =
时，有6+5+4+3+2+1=21种；310
a =时，有5+4+3+2+1=15种；410a =时，有4+3+2+1=10种；510
a =时，有3+2+1=6种；610a =时，有2+1=3种；710a =时，有1种. 这时共有28+21+15+10+6+3+1=84种.
∴,,a b c 能构成三角形的概率为34174824
=. (2)a b c 、、能构成三角形的充要条件是0101a b c a b c c <<<<⎧⎪+>⎨⎪<<⎩
.
在坐标系aOb 内画出满足以上条件的区域(如右图阴影部分)，由几何概型的计算方法可知，只求阴影部分的面积与图中正方形的面积比即可. 又12S =阴影，于是所要求的概率为1
12.12
P == 11.设函数a x x x ax x f 若),1(1
)(--+=是从1，2，3三个数中任取一个数，b 是从2，3，4，5四个数中任取一个数，求b x f >)(恒成立的概率。

解： ,0,1>>a x
111)(-+-+
=x x ax x f 11
1+-+=x ax …………………………2分 a x x a ++-+-=11
1)1( ,)1(122+=++≥a a a …………………………4分
,)1(min )(2+=∴a x f 于是b a b x f >+>2)1()(恒成立就转化为成立。

……………………6分 设事件A ：“b x f >)(恒成立”，则
基本事件总数为12个，即
（1，2），（1，3），（1，3），（1，5）；
（2，2），（2，3），（2，4），（2，5）；
（3，2），（3，3），（3，4），（3，5）；…………………………8分
事件A 包含事件：（1，2），（1，3）；
（2，2），（2，3），（2，4），（2，5）；
（3，2），（3，3），（3，4），（3，5）共10个……………………10分 由古典概型得.651210)(==
A P ……………………12分。