数值分析(研究生)第三章数值积分与数值微分一
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原函数的困难．
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二、代数精度的概念
数值求积方法是近似方法，为要保证精度，我们自然希望求积
公式能对“尽可能多”的函数准确地成立，这就提出了所谓代数精 度的概念． 定义 1 如果某个求积公式对于次数≤m的多项式均能准确地成
立，但对于m+1次多项式就不一定准确，则称该求积公式具有m次
代数精度． 一般地，欲使求积公式
而如果改用区间中点
ab c 2 的“高度”f (c)近似地取代平均高度f (ζ)，则又可导出所谓中矩
形公式(今后简称矩形公式)：
ab R (b a ) f 2
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更一般地，我们可以在区间[a，b]上适当选取某些节点 xk，然
后用 f (xk )加权平均得到平均高度 f (ζ)的近似值，这样构造出的求积 公式具有下列形式
第三章 数值积分与数值微分（一）
第一节 第二节 第三节 第四节 实际问题的导入 机械求积法和代数精度 牛顿—科特斯求积公式 复化求积公式
§1 实际问题的导入
一、神舟六号载人飞船的在轨飞行里程数
见课本74页.
二、实际问题反映出的问题
对于积分 I a f ( x )dx 只要找到被积函数 f (x)原函数F(x)，便有下 列牛顿—莱布尼兹(Newton—Leibniz)公式
( I n (b a ) C kn ) f ( x k ) k 0 n
称作牛顿-柯特斯(Newton Cotes)公式，式中 C k 称作柯特斯系数． 按 Ak a l k ( x )dx , 引进变换 x = a + th ，则有
b
(n)
C
( n) k
n h n n t j ( 1)n k n 0 k j dt nk!(n k )! 0 (t j )dt b a j 0 j 0 jk jk
．我们将f (ζ)称为区间[a, b]上的平均高度．这样，只要对平均高度f
(ζ) 提供一种算法，相应地便获得一种数值求积方法．
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如果用两端点的“高度”f(a)与f(b)的算术平均作为平均高度f (ζ)
的近似值，这样导出的求积公式
T ba [ f (a ) f (b)] 2
来自百度文库
便是我们所熟悉的梯形公式 .
ba ab 2、 辛普森公式 S f (a ) 4 f 2 f (b) 的余项 6
RS I S f
(4)
( ) b a b a (4) 2 a ( x a )( x c ) ( x b)dx 180 2 f ( ) , [a, b] 4!
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例1
解
b a
f ( x )dx
ba [ f (a ) f (b)] 考察其代数精度. 2
f(x)
逐次检查公式是否精确成立 b ba (1 1) f(a) 代入 P0 = 1：a 1 dx b a = 2 b b2 a 2 b a (a b) 代入 P1 = x ： x dx = a 2 2
( 2 1)5 R2 max f ( 4 ) ( x ) 0.06890 2880 1 x 2
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§4
复化求积公式
ba , xk a k h n
高次插值有Runge 现象，故采用分段低次插值. 分段低次合成的 Newton-Cotes 复合求积公式. 一、复化梯形公式:
xk
= Tn
R[ f ] [
k 1
n
h h f ( k )] (b a ) k 1 12 12 n
3
2
f (
n
k
)
/*中值定理*/
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h2 (b a ) f ( ), (a , b ) 12
二、复化辛普森公式:
h
ba , xk a k h n
精度，只要令它对于f (x) = 1，x，…，xm 都能准确成立，这就要求
a f ( x )dx k 0 Ak f ( xk ) 具有m次代数
b
n
Ak b a ; 1 2 Ak x k (b a 2 ) ; 2 A x m 1 (b m 1 a m 1 ) . k k m 1
b 2
f(b)
a
b
b3 a 3 ba 2 2 ： x dx 代入 P2 = x (a b 2 ) a 3 2
代数精度 = 1
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三、插值型求积公式
设给定一组节点 a ≤ x0 < x1 < x2 < „ < xn≤ b ，且已知函数f(x)在 这些节点上的值，则可作插值函数Ln(x) . 由于代数多项式Ln(x) 的
§２ 机械求积法和代数精度
一、数值求积的基本思想
积分中值定理告诉我们，在积分区间[a, b]内存在 一点 ζ ，有 f ( x )dx ( b a ) f ( ζ )成立，就是说 a
b
底为b-a而高为f ( ζ )的矩形面积恰等于所求曲边梯 形的面积 . 问题在于点ζ的具体位置一般是不知道的，因而难以准确算出f (ζ)的值
4
= Sn
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至少有 n+1 次代数精度 .
三、几种低阶求积公式的余项 1、 梯形公式 T
f ( ) b f ( ) RT I T ( x a )( x b)dx ( b a ) 3 , [ a , b] 2 a 12
ba [ f (a ) f (b)] 的余项 2
b
a
b
f ( x )dx F ( b ) F (a )
但实际使用这种求积方法往往有困难，因为大量的被积函数，诸如 sin x ，sin x2 等等，找不到用初等函数表示的原函数；另外，当f (x) x 是由测量或数值计算给出的一张数据表时，牛顿—莱布尼兹公式也不
能直接运用．因此有必要研究积分的数值计算问题．
n
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四、求积公式的收敛性与稳定性 定义2 在求积公式
n n h 0 k 0
b
a
f ( x )dx Ak f ( xk ) 中，若
k 0
n
lim Ak f ( x k )
b
a
f ( x )dx
其中 h max ( x i x i 1 ) ，则称求积公式是收敛的． 1 i n ~ ~ 由于计算 f (xk)可能产生误差，实际得到 f k，即 f ( xk ) f k k . 定义3 对任给 e ＞0，若 0， 只 要 f ( x k ) ~k ≤δ (k = 0，1 f ，n) ，则称求积公式(1．3)是稳定的 .
b 4
3、柯特斯公式
C
ba 7 f ( x0 ) 32 f ( x1 ) 12 f ( x 2 ) 32 f ( x 3 ) 7 f ( x4 ) 90
6
的余项
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2(b a ) b a ( 6 ) RC I C f ( ) , [a , b] 945 4
定理2 若求积公式(1．3)中系数Ak＞0 (k＝0，1，…，n)，则
此求积公式是稳定的． 定理2表明，只要求积系数Ak＞0 (k＝0，1，…，n)，就 能保证计算的稳定性．
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§3 牛顿—柯特斯求积公式
一、柯特斯系数
ba 设将积分区间[a，b]划分为n等分，步长 h ，选取等距节点 n xk＝a + kh 构造出的插值型求积公式
由于是多项式的积分，柯特斯系数的计算不会遇到实质性的困难.
n x xj ( x x0 )( x x k 1 )( x x k 1 ) ( x x n ) lk ( x ) ( x k x0 ) ( x k x k 1 )( x k x k 1 )( x k x n ) j 0 x k x j jk
( k 0, ... , n)
x k 1 xk
h f ( x ) dx [ f ( xk ) 4 f ( xk 1 ) f ( xk 1 )] 2 6
xk
xk 1
2
x k 1
4
4 4
4
4
b
a
n 1 n 1 h f ( x )dx [ f (a ) 4 f ( xk 1 ) 2 f ( xk 1 ) f (b)] 2 6 k 0 k 0
二、偶阶求积公式的代数精度 作为插值型的求积公式，n 阶的牛顿-柯特斯公式至少具有n
次的插值精度（定理1）. 实际的代数精度还可进一步提高，一般 地，可以证明下述定理:
定理 2 当阶 n 为偶数时，牛顿-柯特斯公式 n
( I n (b a ) C kn ) f ( x k ) k 0
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当n=1时，C
(1) 0
C
(1) 1
1 ，求积公式就是梯形公式 2
T ba [ f (a ) f (b)] 2
当n=2时，柯特斯系数为
C C
( 2) 1 ( 2) 0
1 2 1 ( t 1)( t 2)dt , 4 0 6 C
( 2) 2
1 2 4 t ( t 2)dt , 2 0 6
原函数容易求出，可取
I n a Ln ( x )dx
b
作为积分 I b f ( x )dx的 a
n
近似值，这样构造出的求积公式
In
求积系数Ak 通过插值基函数lk (x)积分得出 Ak a l k ( x )dx . 由插值余项定理即知，对于插值型的求积公式，其余项
R[ f ] I I n
k 0
Ak f ( x称作是插值型的. k)
b
b
a
f ( n 1) ( ) ( x )dx ; ( n 1)!
( x ) ( x x 0 )( x x1 )( x x n )
如果求积公式是插值型的，按余项式，对于次数≤ n的多项式 f (x)，
其余项R[ f ] 等于0，因而这时求积公式至少具有n次代数精度． 形如 I n Ak f ( xk ) 的求积公式至少有n次代数精度的充分 k 0 必要条件是，它是插值型的． 定理1
1 2 1 t ( t 1)dt . 4 0 6
相应的求积公式是辛普森(Simpson)公式
ba ab S f ( a ) 4 f 2 f ( b ) 6
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当n=4时，牛顿-柯特斯公式特别称作柯特斯公式，其形式为 ba 7 f ( x0 ) 32 f ( x1 ) 12 f ( x 2 ) 32 f ( x 3 ) 7 f ( x4 ) C 90 由教材(p82)中的表3.1知，当n≥8时，柯特斯系数出现负值 ，这时，初始数据误差将会引起计算结果误差增大，即计算不稳 定 .因此，实际计算不用n≥8的牛顿-柯特斯公式 .
b
a
f ( x )dx Ak f ( x k )
k 0
n
( 2.1)
式中 xk 称为求积节点；Ak 称为求积系数，亦称为伴随节点 xk 的
权．权Ak 仅仅与节点xk 的选取有关，而不依赖于被积函数 f(x)的具
体形式． 这类数值积分方法通常称作机械求积，其特点是将积分求值问
题归结为函数值的计算，这就避开了牛顿—莱布尼兹公式需要寻求
h ( k 0, ... , n)
在每个 [ xk 1 , xk ] 上用梯形公式：
xk xk 1 xk1 f ( x)dx 2 [ f ( xk 1 ) f ( xk )] , k 1, ... , n n n 1 b h h a f ( x )dx 2 [ f ( xk 1 ) f ( xk )] 2 f (a ) 2 f ( xk ) f (b) k 1 k 1
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二、代数精度的概念
数值求积方法是近似方法，为要保证精度，我们自然希望求积
公式能对“尽可能多”的函数准确地成立，这就提出了所谓代数精 度的概念． 定义 1 如果某个求积公式对于次数≤m的多项式均能准确地成
立，但对于m+1次多项式就不一定准确，则称该求积公式具有m次
代数精度． 一般地，欲使求积公式
而如果改用区间中点
ab c 2 的“高度”f (c)近似地取代平均高度f (ζ)，则又可导出所谓中矩
形公式(今后简称矩形公式)：
ab R (b a ) f 2
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更一般地，我们可以在区间[a，b]上适当选取某些节点 xk，然
后用 f (xk )加权平均得到平均高度 f (ζ)的近似值，这样构造出的求积 公式具有下列形式
第三章 数值积分与数值微分（一）
第一节 第二节 第三节 第四节 实际问题的导入 机械求积法和代数精度 牛顿—科特斯求积公式 复化求积公式
§1 实际问题的导入
一、神舟六号载人飞船的在轨飞行里程数
见课本74页.
二、实际问题反映出的问题
对于积分 I a f ( x )dx 只要找到被积函数 f (x)原函数F(x)，便有下 列牛顿—莱布尼兹(Newton—Leibniz)公式
( I n (b a ) C kn ) f ( x k ) k 0 n
称作牛顿-柯特斯(Newton Cotes)公式，式中 C k 称作柯特斯系数． 按 Ak a l k ( x )dx , 引进变换 x = a + th ，则有
b
(n)
C
( n) k
n h n n t j ( 1)n k n 0 k j dt nk!(n k )! 0 (t j )dt b a j 0 j 0 jk jk
．我们将f (ζ)称为区间[a, b]上的平均高度．这样，只要对平均高度f
(ζ) 提供一种算法，相应地便获得一种数值求积方法．
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如果用两端点的“高度”f(a)与f(b)的算术平均作为平均高度f (ζ)
的近似值，这样导出的求积公式
T ba [ f (a ) f (b)] 2
来自百度文库
便是我们所熟悉的梯形公式 .
ba ab 2、 辛普森公式 S f (a ) 4 f 2 f (b) 的余项 6
RS I S f
(4)
( ) b a b a (4) 2 a ( x a )( x c ) ( x b)dx 180 2 f ( ) , [a, b] 4!
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例1
解
b a
f ( x )dx
ba [ f (a ) f (b)] 考察其代数精度. 2
f(x)
逐次检查公式是否精确成立 b ba (1 1) f(a) 代入 P0 = 1：a 1 dx b a = 2 b b2 a 2 b a (a b) 代入 P1 = x ： x dx = a 2 2
( 2 1)5 R2 max f ( 4 ) ( x ) 0.06890 2880 1 x 2
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§4
复化求积公式
ba , xk a k h n
高次插值有Runge 现象，故采用分段低次插值. 分段低次合成的 Newton-Cotes 复合求积公式. 一、复化梯形公式:
xk
= Tn
R[ f ] [
k 1
n
h h f ( k )] (b a ) k 1 12 12 n
3
2
f (
n
k
)
/*中值定理*/
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h2 (b a ) f ( ), (a , b ) 12
二、复化辛普森公式:
h
ba , xk a k h n
精度，只要令它对于f (x) = 1，x，…，xm 都能准确成立，这就要求
a f ( x )dx k 0 Ak f ( xk ) 具有m次代数
b
n
Ak b a ; 1 2 Ak x k (b a 2 ) ; 2 A x m 1 (b m 1 a m 1 ) . k k m 1
b 2
f(b)
a
b
b3 a 3 ba 2 2 ： x dx 代入 P2 = x (a b 2 ) a 3 2
代数精度 = 1
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三、插值型求积公式
设给定一组节点 a ≤ x0 < x1 < x2 < „ < xn≤ b ，且已知函数f(x)在 这些节点上的值，则可作插值函数Ln(x) . 由于代数多项式Ln(x) 的
§２ 机械求积法和代数精度
一、数值求积的基本思想
积分中值定理告诉我们，在积分区间[a, b]内存在 一点 ζ ，有 f ( x )dx ( b a ) f ( ζ )成立，就是说 a
b
底为b-a而高为f ( ζ )的矩形面积恰等于所求曲边梯 形的面积 . 问题在于点ζ的具体位置一般是不知道的，因而难以准确算出f (ζ)的值
4
= Sn
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至少有 n+1 次代数精度 .
三、几种低阶求积公式的余项 1、 梯形公式 T
f ( ) b f ( ) RT I T ( x a )( x b)dx ( b a ) 3 , [ a , b] 2 a 12
ba [ f (a ) f (b)] 的余项 2
b
a
b
f ( x )dx F ( b ) F (a )
但实际使用这种求积方法往往有困难，因为大量的被积函数，诸如 sin x ，sin x2 等等，找不到用初等函数表示的原函数；另外，当f (x) x 是由测量或数值计算给出的一张数据表时，牛顿—莱布尼兹公式也不
能直接运用．因此有必要研究积分的数值计算问题．
n
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四、求积公式的收敛性与稳定性 定义2 在求积公式
n n h 0 k 0
b
a
f ( x )dx Ak f ( xk ) 中，若
k 0
n
lim Ak f ( x k )
b
a
f ( x )dx
其中 h max ( x i x i 1 ) ，则称求积公式是收敛的． 1 i n ~ ~ 由于计算 f (xk)可能产生误差，实际得到 f k，即 f ( xk ) f k k . 定义3 对任给 e ＞0，若 0， 只 要 f ( x k ) ~k ≤δ (k = 0，1 f ，n) ，则称求积公式(1．3)是稳定的 .
b 4
3、柯特斯公式
C
ba 7 f ( x0 ) 32 f ( x1 ) 12 f ( x 2 ) 32 f ( x 3 ) 7 f ( x4 ) 90
6
的余项
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2(b a ) b a ( 6 ) RC I C f ( ) , [a , b] 945 4
定理2 若求积公式(1．3)中系数Ak＞0 (k＝0，1，…，n)，则
此求积公式是稳定的． 定理2表明，只要求积系数Ak＞0 (k＝0，1，…，n)，就 能保证计算的稳定性．
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§3 牛顿—柯特斯求积公式
一、柯特斯系数
ba 设将积分区间[a，b]划分为n等分，步长 h ，选取等距节点 n xk＝a + kh 构造出的插值型求积公式
由于是多项式的积分，柯特斯系数的计算不会遇到实质性的困难.
n x xj ( x x0 )( x x k 1 )( x x k 1 ) ( x x n ) lk ( x ) ( x k x0 ) ( x k x k 1 )( x k x k 1 )( x k x n ) j 0 x k x j jk
( k 0, ... , n)
x k 1 xk
h f ( x ) dx [ f ( xk ) 4 f ( xk 1 ) f ( xk 1 )] 2 6
xk
xk 1
2
x k 1
4
4 4
4
4
b
a
n 1 n 1 h f ( x )dx [ f (a ) 4 f ( xk 1 ) 2 f ( xk 1 ) f (b)] 2 6 k 0 k 0
二、偶阶求积公式的代数精度 作为插值型的求积公式，n 阶的牛顿-柯特斯公式至少具有n
次的插值精度（定理1）. 实际的代数精度还可进一步提高，一般 地，可以证明下述定理:
定理 2 当阶 n 为偶数时，牛顿-柯特斯公式 n
( I n (b a ) C kn ) f ( x k ) k 0
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当n=1时，C
(1) 0
C
(1) 1
1 ，求积公式就是梯形公式 2
T ba [ f (a ) f (b)] 2
当n=2时，柯特斯系数为
C C
( 2) 1 ( 2) 0
1 2 1 ( t 1)( t 2)dt , 4 0 6 C
( 2) 2
1 2 4 t ( t 2)dt , 2 0 6
原函数容易求出，可取
I n a Ln ( x )dx
b
作为积分 I b f ( x )dx的 a
n
近似值，这样构造出的求积公式
In
求积系数Ak 通过插值基函数lk (x)积分得出 Ak a l k ( x )dx . 由插值余项定理即知，对于插值型的求积公式，其余项
R[ f ] I I n
k 0
Ak f ( x称作是插值型的. k)
b
b
a
f ( n 1) ( ) ( x )dx ; ( n 1)!
( x ) ( x x 0 )( x x1 )( x x n )
如果求积公式是插值型的，按余项式，对于次数≤ n的多项式 f (x)，
其余项R[ f ] 等于0，因而这时求积公式至少具有n次代数精度． 形如 I n Ak f ( xk ) 的求积公式至少有n次代数精度的充分 k 0 必要条件是，它是插值型的． 定理1
1 2 1 t ( t 1)dt . 4 0 6
相应的求积公式是辛普森(Simpson)公式
ba ab S f ( a ) 4 f 2 f ( b ) 6
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当n=4时，牛顿-柯特斯公式特别称作柯特斯公式，其形式为 ba 7 f ( x0 ) 32 f ( x1 ) 12 f ( x 2 ) 32 f ( x 3 ) 7 f ( x4 ) C 90 由教材(p82)中的表3.1知，当n≥8时，柯特斯系数出现负值 ，这时，初始数据误差将会引起计算结果误差增大，即计算不稳 定 .因此，实际计算不用n≥8的牛顿-柯特斯公式 .
b
a
f ( x )dx Ak f ( x k )
k 0
n
( 2.1)
式中 xk 称为求积节点；Ak 称为求积系数，亦称为伴随节点 xk 的
权．权Ak 仅仅与节点xk 的选取有关，而不依赖于被积函数 f(x)的具
体形式． 这类数值积分方法通常称作机械求积，其特点是将积分求值问
题归结为函数值的计算，这就避开了牛顿—莱布尼兹公式需要寻求
h ( k 0, ... , n)
在每个 [ xk 1 , xk ] 上用梯形公式：
xk xk 1 xk1 f ( x)dx 2 [ f ( xk 1 ) f ( xk )] , k 1, ... , n n n 1 b h h a f ( x )dx 2 [ f ( xk 1 ) f ( xk )] 2 f (a ) 2 f ( xk ) f (b) k 1 k 1