高中数学必修五人教版(教师用)第一章§1.2 应用举例(三)Word版含答案
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学习目标 1.能够运用正弦、余弦定理解决航海测量中的实际问题.2.掌握三角形的面积公式的简单推导和应用.
知识点一 航海中的测量问题
思考 在浩瀚无垠的海面上航行,最重要的是定位和保持航向.阅读教材,看看船只是如何表达位置和航向的? 答案 用方向角和方位角.
梳理 方位角:指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角.
方向角:从指定方向到目标方向线所成的水平角.如南偏西60°,即以正南方向为始边,顺时针方向向西旋转60°. 知识点二 三角形面积公式的拓展
思考 如果已知底边和底边上的高,可以求三角形面积.那么如果知道三角形两边及夹角,有没有办法求三角形面积?
答案 在△ABC 中,如果已知边AB 、BC 和角B ,边BC 上的高记为h a ,则h a =AB sin B .从而可求面积.
梳理 在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,则△ABC 的面积S =12ab sin C =1
2bc sin A
=1
2
ac sin B .
类型一 航海中的测量问题
例1 如图,一艘海轮从A 出发,沿北偏东75°的方向航行67.5nmile 后到达海岛B ,然后从B 出发,沿北偏东32°的方向航行54.0nmile 后到达海岛C .如果下次航行直接从A 出发到达C ,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?(角度精确到0.1°,距离精确到0.01nmile)
解 在△ABC 中,∠ABC =180°-75°+32°=137°, 根据余弦定理,
AC =AB 2+BC 2-2AB ×BC ×cos ∠ABC
=67.52
+54.02
-2×67.5×54.0×cos137° ≈113.15.
根据正弦定理,BC sin ∠CAB =AC
sin ∠ABC ,
sin ∠CAB =
BC sin ∠ABC AC ≈54.0sin137°
113.15
≈0.3255, 所以∠CAB =19.0°,75°-∠CAB =56.0°.
答 此船应该沿北偏东56.0°的方向航行,需要航行113.15nmile.
反思与感悟 解决航海问题一要搞清方位角(方向角),二要弄清不动点(三角形顶点),然后根据条件,画出示意图,转化为解三角形问题.
跟踪训练1 甲船在A 点发现乙船在北偏东60°的B 处,乙船以每小时a 海里的速度向北行驶,已知甲船的速度是每小时3a 海里,问甲船应沿着什么方向前进,才能最快与乙船相遇? 解 如图所示.设经过t 小时两船在C 点相遇,
则在△ABC 中,
BC =at (海里), AC =3at (海里), B =90°+30°=120°,
由
BC sin ∠CAB =AC
sin B
,得
sin ∠CAB =
BC sin B AC =at ×sin120°3at =3
2
3=1
2
,
∵0°<∠CAB <90°,∴∠CAB =30°, ∴∠DAC =60°-30°=30°,
∴甲船应沿着北偏东30°的方向前进,才能最快与乙船相遇. 类型二 三角形面积公式的应用 命题角度1 求面积
例2 在△ABC 中,根据下列条件,求三角形的面积S .(精确到0.1cm 2
) (1)已知a =14.8cm ,c =23.5cm ,B =148.5°; (2)已知B =62.7°,C =65.8°,b =3.16cm ; (3)已知三边的长分别为a =41.4cm ,b =27.3cm ,
c =38.7cm.
解 (1)应用S =1
2
ca sin B ,
得S =12
×23.5×14.8×sin148.5°≈90.9(cm 2
).
(2)根据正弦定理b sin B =c sin C ,得c =b sin C
sin B ,
S =1
2
bc sin A =12b 2
sin C sin A
sin B
,
A =180°-(
B +
C )=180°-(62.7°+65.8°)=51.5°, S =1
2
×3.162×
sin65.8°sin51.5°sin62.7°
≈4.0 (cm 2
).
(3)根据余弦定理的推论,得
cos B =c 2+a 2-b 22ca =38.72+41.42-27.32
2×38.7×41.4
≈0.7697,
sin B =1-cos 2
B ≈1-0.76972
≈0.6384. 应用S =12ca sin B ,得S ≈1
2×38.7×41.4×0.6384
≈511.4 (cm 2
).
反思与感悟 三角形面积公式S =12ab sin C ,S =12bc sin A ,S =1
2ac sin B 中含有三角形的边角
关系.因此求三角形的面积,与解三角形有密切的关系.首先根据已知,求出所需,然后求出三角形的面积.
跟踪训练2 在△ABC 中,AB =3,AC =1,B =30°,求△ABC 的面积. 解 由正弦定理,得1sin30°=3sin C ,∴sin C =3
2.
∵0° ①当C =60°时,A =90°, ∴S △ABC =12×3×1=3 2; ②当C =120°时,A =30°, S △ABC =12×3×1×sin30°= 34 . 命题角度2 已知三角形面积 例3 在△ABC 中,内角A ,B ,C 对边的边长分别是a ,b ,c ,已知c =2,C =π 3.若△ABC 的面积等于3,求a ,b . 解 由余弦定理及已知条件,得a 2+b 2 -ab =4,又因为△ABC 的面积等于3,所以12ab sin C =3,得ab =4, 联立方程组⎩ ⎪⎨ ⎪⎧ a 2 +b 2 -ab =4, ab =4,解得⎩ ⎪⎨ ⎪⎧ a =2, b =2. 反思与感悟 题目条件或结论中若涉及三角形的面积,要根据题意灵活选用三角形的面积公式. 跟踪训练3 如图所示,已知半圆O 的直径为2,点A 为直径延长线上的一点,OA =2,点B 为半圆上任意一点,以AB 为一边作等边三角形ABC ,求B 在什么位置时,四边形OACB 的面积最大. 解 设∠AOB =α,在△ABO 中,由余弦定理,得 AB 2=12+22-2×1×2cos α=5-4cos α,α∈(0,π), ∴S =S △AOB +S △ABC =12OA ·OB ·sin α+34AB 2 =2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α-π3+54 3. 当α-π3=π2,α=5π6,即∠AOB =5π 6 时,四边形的面积最大. 1.一艘海轮从A 处出发,以40nmile/h 的速度沿南偏东40°方向直线航行,30min 后到达