高中数学必修五人教版(教师用)第一章§1.2 应用举例(三)Word版含答案

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学习目标 1.能够运用正弦、余弦定理解决航海测量中的实际问题.2.掌握三角形的面积公式的简单推导和应用.

知识点一 航海中的测量问题

思考 在浩瀚无垠的海面上航行,最重要的是定位和保持航向.阅读教材,看看船只是如何表达位置和航向的? 答案 用方向角和方位角.

梳理 方位角:指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角.

方向角:从指定方向到目标方向线所成的水平角.如南偏西60°,即以正南方向为始边,顺时针方向向西旋转60°. 知识点二 三角形面积公式的拓展

思考 如果已知底边和底边上的高,可以求三角形面积.那么如果知道三角形两边及夹角,有没有办法求三角形面积?

答案 在△ABC 中,如果已知边AB 、BC 和角B ,边BC 上的高记为h a ,则h a =AB sin B .从而可求面积.

梳理 在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,则△ABC 的面积S =12ab sin C =1

2bc sin A

=1

2

ac sin B .

类型一 航海中的测量问题

例1 如图,一艘海轮从A 出发,沿北偏东75°的方向航行67.5nmile 后到达海岛B ,然后从B 出发,沿北偏东32°的方向航行54.0nmile 后到达海岛C .如果下次航行直接从A 出发到达C ,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?(角度精确到0.1°,距离精确到0.01nmile)

解 在△ABC 中,∠ABC =180°-75°+32°=137°, 根据余弦定理,

AC =AB 2+BC 2-2AB ×BC ×cos ∠ABC

=67.52

+54.02

-2×67.5×54.0×cos137° ≈113.15.

根据正弦定理,BC sin ∠CAB =AC

sin ∠ABC ,

sin ∠CAB =

BC sin ∠ABC AC ≈54.0sin137°

113.15

≈0.3255, 所以∠CAB =19.0°,75°-∠CAB =56.0°.

答 此船应该沿北偏东56.0°的方向航行,需要航行113.15nmile.

反思与感悟 解决航海问题一要搞清方位角(方向角),二要弄清不动点(三角形顶点),然后根据条件,画出示意图,转化为解三角形问题.

跟踪训练1 甲船在A 点发现乙船在北偏东60°的B 处,乙船以每小时a 海里的速度向北行驶,已知甲船的速度是每小时3a 海里,问甲船应沿着什么方向前进,才能最快与乙船相遇? 解 如图所示.设经过t 小时两船在C 点相遇,

则在△ABC 中,

BC =at (海里), AC =3at (海里), B =90°+30°=120°,

BC sin ∠CAB =AC

sin B

,得

sin ∠CAB =

BC sin B AC =at ×sin120°3at =3

2

3=1

2

∵0°<∠CAB <90°,∴∠CAB =30°, ∴∠DAC =60°-30°=30°,

∴甲船应沿着北偏东30°的方向前进,才能最快与乙船相遇. 类型二 三角形面积公式的应用 命题角度1 求面积

例2 在△ABC 中,根据下列条件,求三角形的面积S .(精确到0.1cm 2

) (1)已知a =14.8cm ,c =23.5cm ,B =148.5°; (2)已知B =62.7°,C =65.8°,b =3.16cm ; (3)已知三边的长分别为a =41.4cm ,b =27.3cm ,

c =38.7cm.

解 (1)应用S =1

2

ca sin B ,

得S =12

×23.5×14.8×sin148.5°≈90.9(cm 2

).

(2)根据正弦定理b sin B =c sin C ,得c =b sin C

sin B ,

S =1

2

bc sin A =12b 2

sin C sin A

sin B

A =180°-(

B +

C )=180°-(62.7°+65.8°)=51.5°, S =1

2

×3.162×

sin65.8°sin51.5°sin62.7°

≈4.0 (cm 2

).

(3)根据余弦定理的推论,得

cos B =c 2+a 2-b 22ca =38.72+41.42-27.32

2×38.7×41.4

≈0.7697,

sin B =1-cos 2

B ≈1-0.76972

≈0.6384. 应用S =12ca sin B ,得S ≈1

2×38.7×41.4×0.6384

≈511.4 (cm 2

).

反思与感悟 三角形面积公式S =12ab sin C ,S =12bc sin A ,S =1

2ac sin B 中含有三角形的边角

关系.因此求三角形的面积,与解三角形有密切的关系.首先根据已知,求出所需,然后求出三角形的面积.

跟踪训练2 在△ABC 中,AB =3,AC =1,B =30°,求△ABC 的面积. 解 由正弦定理,得1sin30°=3sin C ,∴sin C =3

2.

∵0°

①当C =60°时,A =90°, ∴S △ABC =12×3×1=3

2;

②当C =120°时,A =30°,

S △ABC =12×3×1×sin30°=

34

. 命题角度2 已知三角形面积

例3 在△ABC 中,内角A ,B ,C 对边的边长分别是a ,b ,c ,已知c =2,C =π

3.若△ABC

的面积等于3,求a ,b .

解 由余弦定理及已知条件,得a 2+b 2

-ab =4,又因为△ABC 的面积等于3,所以12ab sin C

=3,得ab =4,

联立方程组⎩

⎪⎨

⎪⎧

a 2

+b 2

-ab =4,

ab =4,解得⎩

⎪⎨

⎪⎧

a =2,

b =2.

反思与感悟 题目条件或结论中若涉及三角形的面积,要根据题意灵活选用三角形的面积公式.

跟踪训练3 如图所示,已知半圆O 的直径为2,点A 为直径延长线上的一点,OA =2,点B 为半圆上任意一点,以AB 为一边作等边三角形ABC ,求B 在什么位置时,四边形OACB 的面积最大.

解 设∠AOB =α,在△ABO 中,由余弦定理,得

AB 2=12+22-2×1×2cos α=5-4cos α,α∈(0,π),

∴S =S △AOB +S △ABC =12OA ·OB ·sin α+34AB 2

=2sin ⎝

⎛⎭⎪⎫α-π3+54 3. 当α-π3=π2,α=5π6,即∠AOB =5π

6

时,四边形的面积最大.

1.一艘海轮从A 处出发,以40nmile/h 的速度沿南偏东40°方向直线航行,30min 后到达

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