误差理论第五章最小二乘法
第五章 最小二乘法辨识
服从正态分
❖ 4）有效性
❖ 定理4：假设 (k) 是均值为零，方差为 2I 的正态
白噪声，则最小二乘参数估计量
^
是有效估计
量，即参数估计误差的协方差达到Cramer-Rao不
等式的下界
E (^
^
)(
)T
2E
(
T N
N
) 1
M 1
❖ 其中M为Fisher信息矩阵。
4、适应算法
❖ 随着更多观测数据的处理，递推最小二乘法对线性 定常系统的参数估计并非越来越精确，有时会发现
❖ 现举例说明最小二乘法的估计精度 ❖ 例5.1：设单输入－单输出系统的差分方程为
y(k) a1y(k 1) a2 y(k 2) b1u(k 1) b2u(k 2) (k)
❖ 设 u(k)是幅值为1的伪随机二位式序列，噪声 (k)是 一个方差 2可调的正态分布 N(0, 2 )随机序列。
❖ 为了克服数据饱和现象，可以用降低旧数据影响的 办法来修正算法。而对于时变系统，估计k时刻的 参数最好用k时刻附近的数据估计较准确。否则新 数据所带来的信息将被就数据所淹没。
❖ 几种算法：渐消记忆法，限定记忆法与振荡记忆法
❖ 矩阵求逆引理：设A为 n n 矩阵，B和C为 n m 矩阵，
并且A， A和 BCT I CT都A是1B 非奇异矩阵，则有矩
阵恒等式
A BCT 1 A1 A1B(I CT A1B)1CT A1
❖
令
A
PN1
，B
N 1
，C
T N 1
，根据引理有
PN1
T N 1 N 1
1
❖ 算法中，^ N 为2n+1个存贮单元（ai ,bi ,i 1,2, , n）， 而 PN 是 (2n 1) (2n 1)维矩阵，显然，将 N 换成 PN 后，存贮量大为减少（因为n为模型的阶数，一般 远远小于N）
误差理论第五章最小二乘法
12
2 1
22
2 2
L
2 n
2 n
最小
由于结果只是接近真值的估计值，因此上述条件又可
表示为：
v12 v22 L vn2 最小
2 1
22
n2
引入权的符号p，上式又可表示为：
n
p1v12 p2v22 L pnvn2 pivi2 最小
5
i 1
因此，等精度测量的最小二乘原理表示为：
解得：
y0 c 1999.97mm
d / y0 0.0000183/0 C
例5.2、由测量方程：3x y 2.9, x 2y 0.9, 2x 3y 1.9,试求x、y的最小二乘法处理。
见笔记P56
17
二、不等精度测量线性参数最小二乘处理的正规方程
不等精度测量时线性参数的误差方程仍如等精度，只 在进行最小二乘法处理时，要按加权残余误差平方和 为最小，即：
④求残余误差；
⑤计算直接测量量的精度（标准差）；
⑥求各估计量的标准差。
11
一、等精度测量线性参数最小二乘处理的正规方程
线性参数的误差方程为：
v1 l1 a11x1 a12x2 a1t xt
v2
l2
a21x1 a22x2
a2t
xt
vn ln an1x1 an2 x2 ant xt
y1 a11x1 a12 x2 L a1t xt
y2
a21x1 a22 x2 L M
a2t
xt
yn an1x1 an2 x2 L ant xt
其误差方程式为：
v1 l1 (a11x1 a12 x2 L a1t xt )
v2 l2 (a21x1 a22 x2 L M
最小二乘法原理
最小二乘法原理
最小二乘法是一种用于拟合实验数据的统计算法，它通过最小化实际观测值与理论曲线之间的残差平方和来确定拟合曲线的最佳参数值。
该方法常应用于曲线拟合、回归分析和数据降维等领域。
最小二乘法的基本原理是基于线性回归模型：假设数据之间存在线性关系，并且实验误差服从正态分布。
为了找到最佳拟合曲线，首先假设拟合曲线的表达式，通常是一个线性方程。
然后利用实际观测值与拟合曲线之间的残差，通过最小化残差平方和来确定最佳的参数估计。
残差即为实际观测值与拟合曲线预测值之间的差异。
最小二乘法的优点在于它能够提供最优的参数估计，并且结果易于解释和理解。
通过将实际观测值与理论曲线进行比较，我们可以评估拟合的好坏程度，并对数据的线性关系进行量化分析。
此外，最小二乘法可以通过引入惩罚项来应对过拟合问题，增加模型的泛化能力。
最小二乘法在实际应用中具有广泛的应用，例如金融学中的资产定价模型、经济学中的需求曲线估计、物理学中的运动学拟合等。
尽管最小二乘法在某些情况下可能存在局限性，但它仍然是一种简单而强大的统计方法，能够提供有关数据关系的重要信息。
误差理论与数据处理课第六版后答案5
例3-2 已知 x x 2.0 0.1，y y 3.0 0.2 ，相关系数 xy 0 试求 x3 y 的值及其标准差。
解： 0 x3 y 2.03 3.0 13.86
a12
2 x
a22
2 y
a1
f x
3x2
y
20.78
a2
f y
x3
1 2y
2.31
20.782 0.12 2.312 0.22 2.13
三、微小误差取舍原则
Di ai i
y D12 D22 Dn2
D1 D2 Dn y
n
i
y
n
1 ai
i
y
n
1 ai
1
10
y
Dk
1
3
y
四、 最佳测量方案的确定
1. 选择最佳函数误差公式 2.使误差传递函数 f / x或i 为0 最小
10
例3-1 求长方体体积V，直接测量各边长 a 161.6 , b 44.5 , c 11.2 已知测量的系统误差为 a 1.2, b 0.8 c 0.5 测量的极限误差 为 a 0.8, b 0.5， c 0.5 求立方体体积及其极限误差。
2）判断
2
若nx 、ny≤10,则由秩和检验表2-10查得T- 、T+
T 14 T 30 T T
故怀疑存在系统误差
8
第三章 误差的合成与分配
一、函数系统误差计算
1. 一般函数形式 y f ( x1 , x2 ,, xn )
y
f x1
x1
f x2
x2
f xn
xn
二、函数随机误差计算
令
f xi
g
最小二乘法在误差分析中的应用
最小二乘法在误差分析中的应用最小二乘法（Least Squares Method）是一种常用的数学优化方法，其在误差分析中有广泛的应用。
最小二乘法的核心思想是通过找到最小化观测数据与理论模型之间的残差平方和来确定模型的参数值。
在误差分析领域，最小二乘法可以用于拟合数据、估计测量误差、确定模型的准确性等方面。
一、数据拟合最小二乘法在数据拟合中起到了很重要的作用。
在实际测量中，我们经常需要通过一组数据来拟合一个函数模型。
然而，由于观测数据通常存在一定的误差，因此完全匹配所有数据点是不可能的。
最小二乘法通过最小化残差平方和，找到了一个最佳拟合曲线，使得拟合曲线与数据点的残差最小。
二、测量误差估计在许多实际问题中，我们需要估计测量误差的大小，以便评估实验数据的可靠性。
最小二乘法可以通过计算残差的标准差来估计测量误差。
具体方法是将观测数据代入拟合曲线，计算其残差，并根据残差的平方和和自由度计算均方根误差或标准差。
通过对残差的分析，我们可以估计测量系统的精度、稳定性以及实验数据的可靠性。
三、参数估计在许多科学和工程问题中，我们经常需要估计模型的未知参数。
最小二乘法提供了一种有效的方法来估计参数的值。
通过最小化残差平方和，最小二乘法可以用于确定参数的最佳估计。
例如，在线性回归问题中，最小二乘法可以用来估计线性方程的斜率和截距。
此外，最小二乘法还可以用于非线性模型的参数估计，如指数衰减模型和多项式曲线拟合等。
四、模型评估最小二乘法在误差分析中还可以用于评估模型的准确性。
一般来说，通过最小二乘法拟合得到的模型并不一定就是真实的模型。
因此，我们需要对拟合曲线的质量进行评估。
最小二乘法提供了一种有效的评估方法，即通过残差分析、F检验、相关系数等指标来评估模型的拟合程度和统计显著性。
这样可以帮助我们判断模型是否具有较好的可用性，以及是否需要对模型进行改进。
五、加权最小二乘法在一些情况下，观测数据的误差方差可能是不均匀的，即不同数据点的测量精度可能不同。
最小二乘法原理
最小二乘法（也称为最小二乘法）是一种数学优化技术。
它通过最小化误差平方和来找到数据的最佳函数匹配。
使用最小二乘法，可以容易地获得未知数据，并且可以最小化这些获得的数据与实际数据之间的误差平方和。
最小二乘法也可以用于曲线拟合。
其他优化问题也可以通过最小二乘法通过最小化能量或最大化熵来表达。
801年，意大利天文学家Giuseppe Piazi发现了第一颗小行星谷神星。
经过40天的跟踪观察，皮亚齐失去了谷神星的位置，因为谷神星移到了太阳后面。
此后，全世界的科学家开始使用Piazi的观测数据来搜索Ceres，但是根据大多数人的计算结果，搜索Ceres并没有结果。
高斯，然后24，也计算了谷神星的轨道。
奥地利天文学家海因里希·阿尔伯斯（Heinrich Albers）根据高斯计算出的轨道重新发现了谷神星。
高斯使用的最小二乘方法发表于1809年的《天体运动理论》一书中。
法国科学家让·德（Jean de）于1806年独立发明了“最小二乘法”，但它尚不为人所知，因为它是全世界所不知道的。
勒让德（Legendre）与高斯（Gauss）有争议，他是谁首先提出了最小二乘法原理。
1829年，高斯证明最小二乘法的优化效果优于其他方法，因此被称为高斯-马尔可夫定理。
最小二乘法由最简单的一维线性模型解释。
什么是线性模型？在监督学习中，如果预测变量是离散的，则称其为分类（例如决策树，支持向量机等），如果预测变量是连续的，则称其为Return。
在收益分析中，如果仅包含一个自变量和一个因变量，并且它们之间的关系可以近似地由一条直线表示，则该收益分析称为一维线性收益分析。
如果收益分析包括两个或多个自变量，并且因变量和自变量之间存在线性关系，则称为多元线性收益分析。
对于二维空间，线性是一条直线；对于三维空间线性度是一个平面，对于多维空间线性度是一个超平面。
[误差理论与数据处理][第05章][最小二乘法]
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最可信赖值满足
i
2 w 1 权因子 i i
2 w 1 i 0
v i2 M in 2 i 2 w M i n iv i
2 2 v ( xx ) M i n i i
虽然是在正态分布下导出最小二乘法，实际上， 按误差或残差平方和为最小进行统计推断已形成 一种准则。
v1 L1 x1 v2 L2 x2 v3 L3 x3 v 4 L 4 x1 x 2 v5 L5 x2
x3
v 6 L 6 x1 x 2 x 3
1 0 0 A 1 0 1
0 1 0 1 1 1
s
残差
i
v i2
nt
s
i
w i v i2
nt
（加权）
未知量个数 方程个数
2、待求量的标准差估计
xj d jj
误差传播系数
T 1
A wA 对角元素
直接测量量的标准差
3、待求量的相关系数
ij
d ij
A wA 元素
T 1
d ii d jj
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
5-19
误差理论与数据处理
nt
s
i
w i v i2
nt
（加权）
未知量个数 方程个数
2、待求量的标准差估计
xj d jj
误差传播系数
A A
T T
1
对角元素
3、待求量与的相关系数
ij
d ij d ii d jj
直接测量量的标准差
A A
1
元素
5-10
实验数据分析方法_误差理论与最小二乘法
实验数据分析方法_误差理论与最小二乘法在实际实验中，由于各种原因，测量结果会存在各种误差，如人为误差、仪器误差等。
误差理论的目的就是通过建立误差模型来分析和描述这些误差，并以此为基础进行数据处理和结果分析。
误差理论的基本思想是将测量结果看作是真实值与误差的和，即：测量结果=真实值+误差误差一般包括系统误差和随机误差。
系统误差是由于实验设计、仪器校准不准确等原因引起的误差，其大小和方向是固定的，可以通过校正或其他方法减小；随机误差是由于无法完全控制的因素引起的误差，其大小和方向是随机的，可以通过多次实验取平均等方法减小。
误差理论中的重要概念包括误差的平均值、方差、标准差等。
平均值是一组数据的加权平均，方差是各个数据偏离平均值的平方的平均值，标准差是方差的平方根。
这些概念可以用来评估实验数据的精确度和可靠度。
误差理论中还提出了误差传递规则，即当一组测量结果通过其中一种数学运算得到另一组结果时，两组结果的误差之间的关系。
常用的误差传递规则有加减法规则、乘除法规则和函数求导法则等。
最小二乘法是一种常用的数据处理方法，它的基本思想是通过最小化实验测量结果和理论模型之间的差异来估计真实值。
最小二乘法的核心问题是构建最小二乘函数，并通过最小化该函数来求解。
在实际应用中，最小二乘法可以用来处理线性回归问题和非线性回归问题。
线性回归是指实验数据能够用线性函数描述的情况，非线性回归是指实验数据无法用线性函数描述的情况。
最小二乘法的基本步骤包括建立数学模型、确定误差函数、求解最小二乘问题和对结果进行验证。
建立数学模型时，需要确定自变量和因变量之间的关系，可以采用线性模型、指数模型、对数模型等。
确定误差函数时，常用的误差函数有平方误差和绝对误差等。
求解最小二乘问题时，可以采用解析解法、迭代法、优化算法等。
对结果进行验证时，可以通过检验拟合优度、残差分析等指标来评估拟合效果。
《误差理论与数据处理》费业泰 习题答案
《误差理论与数据处理》(第七版)习题及参考答案第一章 绪论1－5 测得某三角块的三个角度之和为１80ｏ00’0２”，试求测量的绝对误差和相对误差 解：绝对误差等于： 相对误差等于：1－8在测量某一长度时，读数值为2．3１m ，其最大绝对误差为20m μ,试求其最大相对误差。
%108.66 %1002.311020 100%maxmax 4-6-⨯=⨯⨯=⨯=测得值绝对误差相对误差1-10检定２．5级（即引用误差为2。
5％）的全量程为10０V 的电压表，发现5０V 刻度点的示值误差2V 为最大误差,问该电压表是否合格？%5.22%100%1002100%<=⨯=⨯=测量范围上限某量程最大示值误差最大引用误差该电压表合格1－１2用两种方法分别测量L1＝5０mm ，Ｌ2=８0mm 。
测得值各为50。
０0４m ｍ，８0.006ｍm.试评定两种方法测量精度的高低。
相对误差L 1:50ｍｍ 0.008%100%5050004.501=⨯-=IL ２：80mm 0.0075%100%8080006.802=⨯-=I 21I I > 所以L ２=８０mm 方法测量精度高。
1－13 多级弹导火箭的射程为１0000km 时,其射击偏离预定点不超过0.lkm,优秀射手能在距离50ｍ远处准确地射中直径为2c ｍ的靶心，试评述21802000180''=-'''o o %000031.010*********.00648002066018021802≈=''''''⨯⨯''=''＝o哪一个射击精度高? 解：射手的相对误差为：多级火箭的射击精度高。
１—14若用两种测量方法测量某零件的长度L1＝110mm ，其测量误差分别为m μ11±和m μ9±;而用第三种测量方法测量另一零件的长度L2=１５0mm 。
误差理论误差线性参数的最小二乘法
第五章 线性参数的最小二乘法例 题例1 已知某一铜棒的电阻－温度的函数关系为R a bt =+，通过试验，得到在七种不同温度t 下的电阻值如下：序号 1 2 3 4 5 6 7 t/C 。
19.1 25.0 30.136.040.045.1 50.0R/Ω76.3077.8079.7580.8082.3583.9085.10试求公式中的a （单位Ω）和b （单位Ω/C 。
）。
解：测量数值方程为19.176.30a b += 40.082.35a b += 25.077.80a b += 45.183.90a b += 30.179.75a b += 50.085.10a b += 36.080.80a b += 建立正规方程[1×1]＝1×1+1×1+……+1×1＝7[1×i t ]＝1×1t +1×2t +……+1×7t ＝245.3 [i t ×i t ]＝1t ×1t +2t ×2t +……+7t ×7t ＝9325.83 [1×i R ]＝1×1R +1×2R +……+1×7R ＝566.0 [i t ×i R ]＝1t ×1R +2t ×2R +……+7t ×7R ＝20044.5则正规方程为7245.3566.0a b += 245.39325.820044.5a b +=解正规方程得a ＝70.76Ωb ＝0.288Ω/C 。
因此，铜棒的电阻－温度数值关系为70.760.288R t =+例2 试由下列测量方程组，求x 、y 、z 的最可信赖值及其权。
x＝0 权 1P ＝85 y＝0 2P ＝108 z＝0 3P ＝49x－y＝0.92 4P ＝165 z －y ＝1.35 5P ＝78 z －x ＝1.00 6P ＝60解：求正规方程组各系数，如下表所示。
最小二乘算法 原理
最小二乘算法原理最小二乘算法是一种用于拟合数据的统计方法。
该方法通过最小化数据点与拟合曲线之间的距离，来确定拟合曲线的系数。
最小二乘方法可以应用于线性以及非线性拟合问题。
该方法广泛应用于工程、经济学、金融和科学领域中的数据分析问题。
本文将介绍最小二乘算法的原理，应用场景以及实现方式等相关内容。
一、最小二乘算法原理最小二乘算法的原理是，选择一个最优的函数模型来拟合实验数据。
该函数模型是一个线性方程，其中依变量与自变量之间存在线性关系。
在最小二乘算法中，我们假设误差服从正态分布，这意味着我们能够计算出被拟合的曲线与实际数据点之间的误差。
最小二乘算法的目标是使这些误差的平方和最小化。
该过程可以用如下的数学公式来表示:\sum_{i=1}^n(y_i - f(x_i))^2其中，y_i 为实际数据点的观测值，f(x_i) 是对应的理论值，n 为数据点的数量。
最小二乘算法的目标是找到使误差平方和最小的函数参数，该函数参数通过线性回归方法来确定。
线性回归是用于估计线性关系的统计方法。
二、应用场景最小二乘算法可以应用于多种实际问题中。
以下是最小二乘算法适用的场景：1. 线性回归最小二乘算法可以用于线性回归分析。
线性回归是分析两个或多个变量之间线性关系的方法。
最小二乘算法能够找到最佳的线性拟合曲线，该曲线使得数据点与直线之间的距离之和最小。
2. 曲线拟合最小二乘算法可以用于曲线拟合。
该方法可以找到最佳的曲线来拟合实验数据。
这些数据可以是任意形状的，包括二次曲线、三次曲线或任意的高次多项式。
3. 时间序列分析最小二乘算法可以用于时间序列分析。
时间序列分析是对时间序列数据进行建模和预测的方法。
最小二乘算法可以用于建立预测模型，并预测未来数据点的值。
4. 数字信号处理最小二乘算法可以用于数字信号处理。
该方法可以用于给定一组信号来提取其特征。
这些特征可以包括频率、相位和幅度等。
三、最小二乘算法步骤最小二乘算法的实现步骤如下所示：1. 确定函数形式首先，我们需要确定要拟合的函数形式。
第五章参数的最小二乘法估计
第二节 线性参数的最小二乘法
a1 j a2 j aj a nj
y1 y2 y y n
第二节 线性参数的最小二乘法
[al ak ] 和 [a j y ]分别为如下两列向量的内积：
如为精密测定1号、2号和3号电容器的电容量
x1 x2 x3
待求量 测得值
为了获得更可靠 的结果，测量次 数总要多于未知 参数的数目
y1
y3 y2
0.3 ( y1 )
y4
待解的数学模型
x1 x2 x1
0.4 ( y2 )
x3 0.5 ( y3 ) x2 x3 0.3 ( y4 )
• （1）最小绝对残差和法： • （2）最小最大残差法： • （3）最小广义极差法：
v
i
Min
max vi Min
maxvi minvi Min
主要内容
• 最小二乘法原理 • 线性测量方程组中参数的最小 二乘法 • 非线性测量方程组中参数的最 小二乘法 • 组合测量
第二节 线性参数的最小二乘法
v1 v2 V vn
l1 l2 L= ln
和n×t阶矩阵
第二节 线性参数的最小二乘法
a11a12 a1t A a21a22 a2t a a a nt n1 n 2
第二节 线性参数的最小二乘法
测量方程组系数与正规方程组系数
y1 a11 x1 a12 x2 a1t xt y2 a21 x1 a22 x2 a2t xt yn an1 x1 an 2 x2 ant xt
最小二乘法校正误差 基线 知乎
最小二乘法校正误差基线知乎最小二乘法是一种常用的数学方法，它的应用领域十分广泛。
在校正误差基线方面，最小二乘法也起到了重要的作用。
本文将详细介绍最小二乘法在校正误差基线中的应用原理和方法。
校正误差基线是指在测量中可能出现的误差值。
误差基线是衡量测量精度的指标，准确的校正可消除误差，提高测量的准确性和可靠性。
最小二乘法是一种数学优化方法，通过最小化测量数据的残差平方和，来求得最小二乘解，从而实现对误差基线的校正。
最小二乘法校正误差基线的流程如下：第一步，收集测量数据。
获取与误差基线有关的测量数据，包括误差基线的测量值、观测值等。
第二步，建立数学模型。
根据测量数据的特点，建立数学模型，将误差基线与观测数据之间的关系建立起来。
第三步，求解最小二乘解。
利用最小二乘法原理，对建立的数学模型进行求解，得到最小二乘解，即误差基线的校正值。
第四步，评估校正效果。
根据校正后的误差基线值，评估校正效果的好坏，如校正后的误差值是否更小，测量结果的准确性是否提高等。
最小二乘法在校正误差基线中的优点在于：首先，最小二乘法能够充分利用测量数据，降低了测量误差对校正结果的影响，提高了校正的准确性。
其次，最小二乘法应用广泛，有成熟的理论和方法支持，能够解决各种类型的误差基线校正问题。
最后，最小二乘法操作简便，计算速度快，适用于实际工程和科学领域的应用。
总的来说，最小二乘法在校正误差基线中具有重要的地位和应用价值。
它通过最小化测量数据的残差平方和，实现了对误差基线的有效校正，提高了测量结果的准确性和可靠性。
在实际应用中，我们可以根据具体情况选择最合适的最小二乘法模型和算法，并结合校正效果评估，不断优化校正结果，提高测量的精度和可靠性。
通过本文的介绍，相信读者对最小二乘法在校正误差基线中的应用有了更深入的了解。
希望这些信息对于相关领域的专业人士和研究者有所帮助，同时也希望读者能够在实践中灵活运用最小二乘法，提高测量工作的准确性和可靠性。
最小二乘法在误差分析中的应用
误差理论综述与最小二乘法讨论摘要：本文对误差理论和有关数据处理的方法进行综述。
并且针对最小二乘法（LS）的创立、发展、思想方法等相关方面进行了研究和总结。
同时，将近年发展起来的全面最小二乘法(TLS)同传统最小二乘法进行了对比。
1.误差的有关概念对科学而言，各种物理量都需要经过测量才能得出结果。
许多物理量的发现，物理常数的确定，都是通过精密测量得到的。
任何测试结果，都含有误差，因此，必须研究，估计和判断测量结果是否可靠，给出正确评定。
对测量结果的分析、研究、判断，必须采用误差理论，它是我们客观分析的有力工具1.1测量基本概念一个物理量的测量值应由数值和单位两部分组成。
按实验数据处理的方式，测量可分为直接测量、间接测量和组合测量。
直接测量:可以用测量仪表直接读出测量值的测量。
间接测量:有些物理量无法直接测得，需要依据待测物理量与若干直接测量量的函数关系求出。
组合测量:如有若干个待求量，把这些待求量用不同方法组合起来进行测量，并把测量结果与待求量之间的函数关系列成方程组，用最小二乘法求出这个待求量的数值，即为组合测量。
1.2误差基本概念误差是评定测量精度的尺度，误差越小表示精度越高。
若某物理量的测量值为y，真值为Y，则测量误差dy=y-Y。
虽然真值是客观存在的，但实际应用时它一般无从得知。
按照误差的性质，可分为随机误差，系统误差和粗大误差三类。
随机误差:是同一测量条件下，重复测量中以不可预知方式变化的测量误差分量。
系统误差:是同一测量条件下，重复测量中保持恒定或以可预知方式变化的测量误差分量。
粗大误差:指超出在规定条件下预期的误差。
1.3等精度测量的随机误差当对同一量值进行多次等精度的重复测量，得到一系列的测量值，每个测量值都含有误差，这些误差的出现没有特定的规律，但就误差的总体而言，却有统计规律。
1.3.1正态分布通过对大量的测量数据的观察，人们发现测量列的随机误差有以下几个特征：（1）绝对值相等的正误差与负误差出现的次数相等，即误差的对称性；（2）绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的次数多，即误差的单峰性；（3）在一定的测量条件下，随机误差的绝对值不会超过一定界限，即误差的有界性；（4）随着测量次数的增加，随机误差的算术平均值趋于零，即误差的抵偿性。
最小二乘法的原理和应用
最小二乘法的原理和应用1. 原理最小二乘法是一种最常用的参数估计方法，用于拟合数据点与理论模型之间的误差。
它通过最小化误差的平方和来确定模型参数的最佳估计值。
在最小二乘法中，我们假设数据点服从一个线性模型，即y = mx + b其中，y是因变量，x是自变量，m和b是待求的参数。
我们希望找到最优的m和b，使得模型的预测值与实际观测值之间的误差最小。
最小二乘法的核心思想是将误差平方化，即将每个数据点的误差差值平方，并将所有的差值平方求和。
通过最小化这个平方差和，我们可以得到最优的参数估计值。
2. 应用最小二乘法在各个领域中都有广泛的应用。
以下是一些常见的应用示例：2.1 线性回归最小二乘法在线性回归中被广泛使用。
线性回归是一种统计分析方法，用于确定两个变量之间的线性关系。
通过最小二乘法，我们可以估计线性回归模型中的斜率和截距，从而预测因变量的值。
2.2 数据拟合最小二乘法还可以用于数据拟合。
通过选择适当的模型和参数，最小二乘法可以拟合数据点，并生成一个描述数据行为的数学模型。
这对于预测未来的数据点或分析数据的趋势非常有价值。
2.3 图像处理最小二乘法在图像处理中也有应用。
例如，在图像平滑和去噪方面，最小二乘法可以用于拟合图像上的像素值，并通过消除噪声来提高图像的质量。
2.4 物理建模在物理建模中，最小二乘法可以用于确定物理系统的参数。
通过测量物理系统的输入和输出，并使用最小二乘法，我们可以估计出系统的参数，以便更好地理解和预测系统的行为。
3. 实现步骤最小二乘法的实现步骤如下：1.收集数据：首先，需要收集一组包含自变量和因变量的数据。
2.建立模型：根据问题的要求，选择适当的模型。
例如，在线性回归中，我们选择了y = mx + b的线性模型。
3.计算预测值：通过代入自变量的值，并使用模型中的参数，计算预测值。
4.计算误差：将预测值与实际观测值进行比较，并计算误差。
误差可以通过求差值的平方来计算。
5.求解参数：通过最小化误差的平方和，可以得到最优的参数估计值。
误差原理最小二乘法.pptx
式中
t li ——在温度
i 下铜捧长度的测得值；
——铜棒的线膨胀系数。
令 y0 x1, y0 x2为两个待求估计参数，则误差方程可写为
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根据误差方程，我们可列出正规方程 又
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将以上计算的相应系数值代入上面的正规方程得 解得 即 因此铜棒长度随温度的线性变化规律为
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则正规方程为 四、非线性参数最小二乘法
非线性转化为线性：
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为获得非线性函数的展开式．必须首先确定待求估计量的近似 值，其方法有二个：
(1)直接测量：若条件允许，可直接测量待求量，
即可作为其近似值。
x 所得结果 r
(2)利用部分方程式进行计算。
例4-3 将下面的非线性残余方程组化成线性的形式。
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三、不等精度测量线性参数最小二乘法处理 不等精度误差方程转化为等精度误差方程为
例4-2 已知测量方程
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对 Yi 的测量数据及其相应的标准差为
试列出最小二乘估计的正规方程。 解 列出残余误差方程
确定各测量数据的权。
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根据误差方程及各测量数据的权，我们写出正规方程 式中
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例4-5 试求例4-1中铜棒长度和线膨胀系数估计量的精度。 解 已知正规方程为
测量数据 li 的标准差为
求解不定乘数的方程为
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解得 估计量的标准差为 因 故
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例4-6 已知 x1 35.3 ，测得 xi x j 的值为 lij ，并已知 l12 69.5
第20页/共25页
则测量数据标准差为
d-k标准误的最小二乘法
D-K标准误（Davidson-Kennedy standard error）是一种用于评估线性回归模型中估计的参数的标准误的方法。
在最小二乘法（Least Squares）的背景下，D-K标准误提供了一种衡量估计的参数值的不确定性或不确定性的方式。
最小二乘法是一种数学优化技术，通过最小化预测值与实际观测值之间的平方误差的总和来找到数据的最佳函数匹配。
在回归分析中，最小二乘法用于估计回归模型的参数，使得实际观测值与模型预测值之间的差异最小化。
在最小二乘法的框架下，D-K标准误的详细介绍如下：1.计算残差：首先，计算每个观测值与模型预测值之间的差值，即残差（residual）。
残差是实际观测值与通过回归模型得到的预测值之间的差。
2.计算残差的平方和：将所有观测值的残差平方，然后将它们相加得到残差的平方和（Sum of Squared Residuals，SSR）。
3.计算模型中参数的估计值：使用最小二乘法估计回归模型的参数。
通过最小化SSR来找到最佳参数值。
4.计算D-K标准误：D-K标准误是通过计算残差的标准差来得到的。
在最小二乘法的框架下，D-K标准误用于衡量估计的参数值的不确定性或不确定性。
它是残差的标准差，并用于衡量模型参数估计的不确定性。
D-K标准误的计算公式为：SE = sqrt(SSR/df)其中，SE是D-K标准误，SSR是残差的平方和，df是自由度（degrees of freedom）。
自由度是用于估计回归模型参数的数据点的数量减去模型中参数的数量。
通过D-K标准误，可以了解模型参数估计的不确定性程度。
这对于评估模型的可靠性和预测能力非常重要。
在解释模型的预测结果时，了解参数估计的不确定性有助于做出更准确的推断和决策。
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a2t
xt
)
vn ln (an1x1 an2 x2 L ant xt )
7
三、矩阵最小二乘法
设列向量分别为：
l1
L
l2
M
ln
x1
Xˆ
x2
M
xt
v1
V
v2
M
vn
a11 a12 L a1t
A a21 a22 L
a2t
M
an1 an2 L ant
对应Y的n 个直接测 量结果
t个待求 X的估计
量
为直接测 量量结果 的残差
为（n×t) 系数矩阵
则残差方程的矩阵表达式为： V L AXˆ
等精度测量最小二乘原理的矩阵形式为：
V TV 最小 或 （L AXˆ）（T L AXˆ） 最小
8
四、不等精度测量的线性参数最小二乘原理
思路一：
Pnn
p1 0 0 0 p2 0
Pnn
0 0
0 9 0 0
0
0
9
0
0 0 0 0 9
解矩阵得：
Xˆ
x1
x2
( AT PA)1 AT PL
4.186 2.227
22
三、非线性参数最小二乘处理的正规方程
针对非线性函数 yi fi (x1, x2,L , xt ) (i 1, 2,L , n)其测量 误差方程为：
v1 l1 f1(x1, x2 ,L , xt )
用，可以有效减少随机误差的影响，因而所得结果具有
最可信赖值。
6
二、等精度测量的线性参数最小二乘原理
线性参数的测量方程一般形式为： 相应的估计量为：
Y1 a11X1 a12 X 2 L a1t X t
Y2 a21X1 a22 X 2 L M
a2t
X
t
Yn an1X1 an2 X 2 L ant X t
Y2
f2(X1, X 2,
,
X
t
)
ln Yn fn ( X1, X 2 , , X t )
当n t时，该方程有唯一确定解，直接求出x1, x2,L , xt。 为减少随机误差的影响，一般取测量次数较大，即n t，
方程组有冗余，不可直接求解。 2
最小二乘原理：最可信赖值应使残余误差平方和最小。
n
pivi
2 ＝最小
i 1
( n pivi2 )
i1
0
x1
n
(
pivi2 )
i 1
xn
0
18
由此可得不等精度测量线性参数最小二乘处理的正规方程：
p1a11v1 p2a21v2 L pnan1vn 0
p1a12v1 p2a22v2 L
M
M
pnan2vn M
0
p1a1tv1 p2a2tv2 L pnantvn 0
④求残余误差；
⑤计算直接测量量的精度（标准差）；
⑥求各估计量的标准差。
11
一、等精度测量线性参数最小二乘处理的正规方程
线性参数的误差方程为：
v1 l1 a11x1 a12x2 a1t xt
v2
l2
a21x1 a22x2
a2t
xt
vn ln an1x1 an2 x2 ant xt
要使
n
vi2 v12 v22 L vn2 最小
i 1
(
n
vi2 )
i1
0
x1
n
(
vi2 )
i 1
xn
0
12
将极值方程整理得：
n
ai1li
n
ai1ai1x1
n
ai1ai2 x2
n
ai1ait xt
i 1
i 1
i 1
i 1
n
n
n
n
i 1
ai 2li
0 0
pn
0 0
2
2 1
0
2 22
0
0
0
2 n2
不等精度测量最小二乘原理的矩阵形式：
V T PV 最小 或 （L AXˆ）T P（L AXˆ） 最小
权矩 阵
9
思路二：将不等精度等精度化
v1 p1 l1 p1 a11 p1 x1 a12 p1 x2 L a1t p1 xt
v1 l1 f1(x1, x2 ,L , xt )
v2
l2
f2 (x1, x2 ,L M
,
xt
)
误差方程 式（残差 方程式）
vn ln fn (x1, x2 ,L , xt )
3
若l1,l2,L ,ln之间不存在系统误差，相互独立并服从正态分布，
标准差分别为1, 2,L , n，则l1,l2,L , ln出现在相应真值附近
ti /0 C
10
20
30
40
50
60
li / mm 2000.36 2000.72 2000.8 2001.07 2001.48 2000.60
解：1）列出误差方程
vi li ( y0 ay0ti ) 令 y0 c, ay0 d 为两个待估参量，则误差方程为：
15
vi li (c tid)
n
v12 v22 L vn2 vi2 最小 i 1
不等精度测量的最小二乘原理为：
n
p1v12 p2v22 L pnvn2 pivi2 最小 i 1
最小二乘原理（其他分布也适用）：
测量结果的最可信赖值应使残余误差平方和（或加权残 余误差平方和）为最小的条件下求出。
按最小二乘条件给出最终结果能充分利用误差的抵偿作
1
§5-1 最小二乘法原理
一、经典最小二乘法
为求出t个不可直接测量的未知量X1, X 2,L
,
X
的估计
t
值x1, x2,L , xt ,可对与该t个未知量有函数关系的直接测
量量Y进行n次测量，得到测量数据为l1,l2,L ,ln。即：
l1 Y1 f1( X1, X 2 , , X t )
l2
i 1
ai2ai1x1
i 1
ai2ai2 x2
i 1
ai
2
ait
xt
n
n
n
n
aitli aitai1x1 aitai2 x2 aitait xt
i 1
i 1
i 1
i 1
此即为等精度测量的线性参数最小二乘法处理的正规方程。
当系数行列式不为零时，有唯一解。
特点：
1、主对角线分布着平方项系数，正数；
2、相对于主对角线对称分布的各系数两两相等。
13
若用残差表示，则正规方程可写成：
a11v1 a21v2 an1vn 0
a12v1 a22v2
an2vn
0
a1tv1 a2tv2 antvn 0
ATV 0
正规方 程的矩 阵形式
将 V L AXˆ 代入到 ATV 0 中，得： AT AXˆ AT L
第五章 线性参数的最小二乘法处理
• §5-1 最小二乘法原理 • §5-2 正规方程 • §5-3 精度估计 • §5-4 组合测量的最小二乘法处理
最小二乘法原理是一种在多学科领域中广泛应用的数据处理方法， 可解决如参数的最可信赖值估计、组合测量的数据处理、根据实验 数据拟和经验公式、回归分析问题等。本章重点阐述最小二乘法原 理在线性参数和非线性参数估计中的应用
23
fi (x1, x2 ,L , xt ) fi (x10, x20,L , xt0 )
(
fi x1
) 0 1
(
fi x2
)02
L
(
fi xi
)0
t
(i 1, 2L , n)
将上式代入误差方程中，令：
li ' li fi (x10 , x20 ,L , xt0 )
ai1
(
fi x1
)0
,
ai
10
§5-2 正规方程
由于n>t，因此不能直接通过求解方程得到未知参数，而 最小二乘法则将误差方程转化为确定解的代数方程组，从 而可求出这些未知参数，这个有确定解的代数方程组称为 最小二乘法估计的正规方程（或称法方程）。
线性参数的最小二乘法解的步骤：
①先列误差方程；
②利用求极值的方法列正规方程；
③求解正规方程；
y1 a11x1 a12 x2 L a1t xt
y2
a21x1 a22 x2 L M
a2t
xt
yn an1x1 an2 x2 L ant xt
其误差方程式为：
v1 l1 (a11x1 a12 x2 L a1t xt )
v2 l2 (a21x1 a22 x2 L M
v2
l2
f2 (x1,
x2 ,L M
,
xt
)
vn ln fn (x1, x2 ,L , xt )
思路：先将非线性函数转化为线性函数，再按线性参数
的最小二乘法进行处理。
令：x1 x10 1, x2 x20 2 , L , xt xt0 t。现将函数
在x10, x20,L , xt0 处泰勒级数展开，取一次项，则有：
v2
p2 l2
p2 a21
p2 x1 a22
p2 x2 L a2t
p2
xt
M
vn
pn ln
pn an1
pn x1 an2
pn x2 L ant
pn
xt
vi '
li '
ai1 '