双曲线的标准方程学案
双曲线及其方程学案
2.3.1 双曲线及其标准方程（一）学案预习案学习目标：1.理解双曲线的定义，并能运用定义解决相关问题．2．了解双曲线标准方程的建立过程，熟记双曲线的标准方程。
学习重点： 双曲线定义解题和求双曲线标准方程.学习难点： 双曲线标准方程的建立过程以及解方程（组）。
❖ 任务一：椭圆的定义（牢记）我们把平面内与两个 21,F F 的距离之 等于 （ ）的点的轨迹叫做双曲线。
这两个定点叫做 ，两个焦点间的距离叫做 。
思考：1.下列命题是真命题的有：①已知12(4,0),(4,0)F F -，到12,F F 两点的距离之差的绝对值等于10的点的轨迹是双曲线； ②已知12(4,0),(4,0)F F -，到12,F F 两点的距离之差等于8的点的轨迹是双曲线；③已知12(4,0),(4,0)F F -，到12,F F 两点的距离之差的绝对值等于6的点的轨迹是双曲线；④已知12(4,0),(4,0)F F -，到12,F F 两点的距离之和等于10的点的轨迹是椭圆；❖ 任务二：椭圆的标准方程（填表并牢记）思考：1.____________,1201622轴，焦点坐标为则焦点在若双曲线方程为z y x =- 2.已知_______,10,5方程为轴上，则双曲线的标准焦点在y c a ==预习检测1.设P 是双曲线13422=-y x 上的动点，则P 到该双曲线的两个焦点的距离之差为_________ 2.已知双曲线14222=-my x （m ＞0）的左焦点为F1（-4，0），则m=___________ 3.双曲线方程为,1222=-y x 则它的焦点坐标为______________________巩固练习1. 已知,2||||)0,5(),0,5(211a PF PF P F F =--满足为定点，动点时，或53==a a 则P 点轨迹方程分别为 （ ）A.双曲线和一条直线B.双曲线的一支和一条直线C.双曲线和一条射线 D 双曲线的一支和一条射线2. 已知点),y x P （的坐标满足4)3()3()1()12222=+++--+-y x y x （，则动点P 的轨迹是（ ）A. 椭圆B. 双曲线C. 两条射线D. 双曲线一支 3.已知双曲线m x y -=-225的焦距等于12，则实数m 的值为 （ ）A.30B. -30C.30±D. 120±4.已知双曲线的焦点在x 轴，且经过点）），（（3,40,2两点，则双曲线的标准方程为_____________ 5.与椭圆1422=+y x 共焦点，且经过点）（1,2Q 的双曲线的标准方程为____________ 6.若曲线1122=-+k y k x 表示双曲线，则k 的取值范围____________ 7.求适合下列条件的双曲线的标准方程（1）经过点)7,26)72,3---（和（Q P ，且焦点在坐标轴（2）与双曲线141622=-y x 有相同的焦点，且经过点)2,23(8. 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 满足如下条件 （1）3=ab（2）过右焦点F 的直线l 的斜率为221，交y 轴于点P ，线段PF 交双曲线与点Q ，且1:2||:||=QF PQ 求双曲线的方程。
2.2.1 双曲线及其标准方程(第1课时)学案
格言警句：当一个人用工作去迎接光明，光明很快就会来照耀着他。
12.2.1 双曲线及其标准方程（第1课时）学案一 学习目标1.熟练掌握双曲线的定义。
2.熟练掌握双曲线的标准方程，会根据所给的条件画出双曲线的草图并确定双曲线的标准方程。
二 学习重难点：双曲线的定义及标准方程学习重难点：双曲线的定义及标准方程的推导三 学习过程（一） 温故知新：1.椭圆的定义： 。
（提出问题）那么，与两个定点距离的差为非零常数的点的轨迹是什么？2.做试验：[1]取一条拉链；[2]如图把它固定在板上的两点F 1、F 2；[3] 拉动拉链（M ）。
思考：拉链运动的轨迹是什么？观察分析双曲线的特征，给出定义。
（二） 双曲线的概念1定义： . 2这两个定点, F 1,F 2叫做 ，两焦点之间的距离21F F 叫做 。
3说明：当常数小于21F F 时，轨迹是双曲线思考：当常数小于21F F 时，轨迹是 ，当常数等于零时，轨迹是 。
（三）双曲线的标准方程1.仿照推导椭圆的标准方程的方法推导双曲线的标准方程：五步（建、设、列、代、化）2.总结双曲线的标准方程及特点（判断焦点所在轴）：（四）例题讲解与练习例1(参考课本P47 例)已知两定点1(5,0)F-,2(5,0)F，动点P满足126PF PF-=,求动点P的轨迹方程.解：格言警句：当一个人用工作去迎接光明，光明很快就会来照耀着他。
3变式:已知两定点1(5,0)F -,2(5,0)F ,动点P 满足126PF PF -=,求动点P 的轨迹方程. 解：（五） 课堂练习：1、a=4，b=3 ,焦点在x 轴上的双曲线的标准方程是 .2、焦点为（0, -6）,（0，6）,经过点（2，-5）的双曲线的标准方程是 .3、设双曲线 191622=-y x 上的点P 到(5,0)的距离是15,则P 到(-5,0)的距离是 . 4、如果方程11222=+-+m y m x 表示双曲线，则m 的取值范围是 . （六）课堂小结1.定义：2.标准方程3.焦点：4.c b a ,,的关系：5.由方程定焦点：椭圆看 ; 双曲线看（七） 作业布置课本54页第2题学后总结：双曲线与椭圆的区别。
双曲线的标准方程教案
双曲线的标准方程教案双曲线是高中最常见的几何形状之一，它的正弦函数形式引起了很多人的兴趣，但是大部分人还不知道它的标准方程是什么。
那么，本教案将引导大家正确地了解双曲线的标准方程，以便更透彻地理解双曲线。
一、双曲线的定义双曲线是椭圆的一种，它的定义是：当把它的焦点作为起点，连接两个焦点之间的任意一点，会形成一个曲线。
双曲线有两种：超几何双曲线和另一种名为等距双曲线。
超几何双曲线是双曲线中最常见的类型，它的一般方程是：$frac{x^2}{a^2}-frac{y^2}{b^2}=1$其中，a为椭圆长轴，b为椭圆短轴。
另一种叫等距双曲线，它的一般方程是：$frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}=1$二、双曲线的标准方程我们已经了解到双曲线的一般方程，接下来就要介绍标准方程。
标准方程是一种更方便的表示双曲线的形式，它由三个参数a、b和e构成，是经过仿射变换（放大、缩小、旋转）后的双曲线的一般方程。
超几何双曲线的标准方程是：$frac{x^2}{a^2}-frac{y^2}{b^2}=e^2$其中，e是双曲线的振率，取值范围为[0,∞]；e=0时，该方程为一个等距双曲线。
等距双曲线的标准方程是：$frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}=e^2$等距双曲线的振率e的取值范围为[0,1]；当e=1时，该方程为一个超几何双曲线。
三、双曲线的特征1、双曲线存在两个焦点，即它的两个顶点，记做F1和F2，它们位置的关系可以由双曲线的标准方程得出。
2、双曲线的对称轴为x轴，即双曲线的两个轴的焦点位于x轴的同一侧。
3、双曲线具有吸引性，即它的顶点F1和F2之间有一个虚拟的引力，它会将任意一点拉向它的顶点。
四、双曲线的应用双曲线的几何性质可以在许多领域中使用，它可以用来解决不同种类的几何问题，例如求椭圆的面积、求圆心角、求圆周长等。
另外，双曲线也被广泛用于统计学、经济学、计算机图像处理等领域。
双曲线及其标准方程 教案
双曲线及其标准方程教案教案标题：双曲线及其标准方程教学目标：1. 理解双曲线的定义和性质。
2. 掌握双曲线的标准方程的推导和应用。
3. 能够绘制双曲线的图像并进行相关分析。
教学准备：1. 教师准备：教案、教学课件、黑板、彩色粉笔、直尺、圆规等。
2. 学生准备：课本、笔记本、铅笔、直尺等。
教学过程：Step 1：导入（5分钟）教师通过提问或展示一幅双曲线的图像来引起学生对双曲线的兴趣和思考。
Step 2：双曲线的定义和性质（15分钟）1. 教师简要介绍双曲线的定义，并解释双曲线与直角坐标系的关系。
2. 教师引导学生发现双曲线的对称性、焦点和准线等性质，并进行简单的解释和讨论。
Step 3：双曲线的标准方程的推导（20分钟）1. 教师通过几何推导的方式，引导学生推导双曲线的标准方程。
2. 教师讲解标准方程的含义和各参数对双曲线图像的影响。
Step 4：双曲线的图像绘制与分析（25分钟）1. 教师通过示范，教学课件或黑板上的绘制，让学生掌握双曲线的图像绘制方法。
2. 学生根据教师的指导，自主绘制双曲线的图像，并进行相关的分析与讨论。
Step 5：练习与巩固（15分钟）1. 学生个别或小组完成相关的练习题，巩固所学内容。
2. 教师对学生的练习情况进行及时的指导和反馈。
Step 6：拓展与应用（15分钟）1. 教师引导学生思考双曲线在实际生活中的应用，并给予一些例子。
2. 学生进行小组或个人的拓展性应用探究，如双曲线在工程设计或物理问题中的应用等。
Step 7：总结与评价（10分钟）1. 教师对本节课的重点内容进行总结，并回顾学生的学习情况。
2. 学生对本节课的教学效果进行自我评价，并提出问题和建议。
教学延伸：1. 鼓励学生进行更多的双曲线图像绘制和分析练习，加深对双曲线的理解。
2. 引导学生进行更深入的研究和探索，如双曲线的参数方程等。
教学评估：1. 教师观察学生在课堂上的参与度和表现情况。
2. 学生完成的练习题和拓展性应用探究的成果。
双曲线及其标准方程学案
双曲线及其标准方程学案一、双曲线的定义双曲线是一类重要的数学曲线，它在几何学、物理学和工程学等领域有着广泛的应用。
双曲线可以通过平面上的一对焦点和总距离来定义。
具体而言，对于两个给定的焦点F₁和F₂以及一个给定的常数C，双曲线定义为到焦点F₁和F₂的距离之差等于常数C的所有点的集合。
双曲线可以分为两支，分别延伸到无穷远处，这两支称为双曲线的两个分支。
二、双曲线的标准方程双曲线的标准方程是指在坐标系中，以坐标原点为中心、x轴和y轴为对称轴的标准双曲线的方程。
标准双曲线的方程可以表示为：x²/a² - y²/b² = 1 或 y²/b² - x²/a² = 1，其中a和b分别是双曲线的半轴长度。
具体而言，在第一种标准方程中，a代表x轴上的半轴长度，b代表y轴上的半轴长度；在第二种标准方程中，a代表y轴上的半轴长度，b代表x轴上的半轴长度。
三、双曲线的性质1. 双曲线的离心率双曲线的离心率是确定双曲线形状的一个重要参数。
对于标准方程为x²/a² - y²/b² = 1的双曲线，离心率e可以通过以下公式计算得到：e = √(a² + b²) / a。
2. 双曲线的渐近线双曲线有两条渐近线，分别与双曲线的两个分支无限靠近，且与双曲线的两个分支垂直。
这两条渐近线的斜率分别为±b/a，方程可以表示为y = ±(b/a)x。
3. 双曲线的焦点和直径双曲线的焦点是定义双曲线的重要元素。
对于标准方程为x²/a²- y²/b² = 1的双曲线，焦点的坐标可以表示为(F₁,0)和(-F₂,0)，其中F₁和F₂分别是双曲线的焦距。
双曲线的主轴长度为2a，副轴长度为2b，主轴和副轴的交点与双曲线的两个分支的交点分别称为双曲线的顶点。
《2.3双曲线-2.3.1双曲线的标准方程》导学案
《2.3.1双曲线的标准方程》导学案教学过程问题情境问题1前面学习椭圆时研究了椭圆的哪些问题?解椭圆的标准方程及椭圆的标准方程的求法，并利用椭圆的标准方程研究了椭圆的几何性质.问题2下面我们来学习双曲线，应该先研究什么问题呢?解先研究双曲线的标准方程，如何求双曲线的标准方程呢？如何建立直角坐标系?数学建构1■标准方程的推导设双曲线的焦距为2c，双曲线上任意一点到焦点F i，F2的距离的差的绝对值等于常数 2 a（c>a> 0）.类比求椭圆标准方程的方法由学生来建立直角坐标系以直线F I F2为X轴，线段F I F2的中垂线为y轴建立直角坐标系，则F i（-c, 0）, F2（C, 0）.设P（X，y）为双曲线上任意一点，由双曲线定义知|PF i-PF2|=2a，即|掩+于+产」阳+ y牛2a⑴在化简到（c2-a2）x2-a2y2=a2（c2-a2）时，结合双曲线定义中2a<2c，可知c2-a2是正数，与椭圆的标准方程的化简中令b2=a2-c2对比，可以令b2=c2-a2，使化简后的标准方程简洁美观，最后得到焦点在X轴上的双曲线标准方程是4^=1（其中a>0，b>0，c2=a2+b2）.若焦点在y轴上，则焦点是F1（0，-c），F2（0, c），由双曲线定义得讣* +沙+呼\2+®b|=2a，与焦点在X轴上的双曲线方程I胁卄『-.kT + y2|=2a比较，它们的结构有什么异同点?解结构相同，只是字母X，y交换了位置■故求焦点在y轴上的双曲线方程时，只需把焦点在X轴上的双曲线标准方中x,y互换即可, 易得多-昌=1（其中a>0, b>0，c2=a2+b2）.2■双曲线标准方程的特点（1）双曲线的标准方程分焦点在X轴上和焦点在y轴上两种：当焦点在X轴上时，双曲线的标准方程为号孕= 1（a>0，b>0）；当焦点在y轴上时，双曲线的标准方程为M = 1（a>0, b>0）.⑵a，b，c有关系式c2=a2+b2成立，且a>0，b>0，c>0，其中a与b的大小关系可以为a=b，a<b，a>b.3■根据双曲线的标准方程判断焦点的位置(2) V 焦点在X 轴上，C = J 6，•设所求双曲线方程为：X'A从椭圆的标准方程不难看出，椭圆的焦点位置可由方程中含字母X 2, y 2项的分母的大小来确定，分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴, 而双曲线是根据项的正负来判 断焦点所在的位置，即 X 2项的系数是正的，那么焦点在 X 轴上；y 2项的系数是正的， 那么焦点 在y 轴上. 数学运用【例11 讨论 25-k 9-k 2+丄 =1表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征. 分析：由于k 工9 , k 工25，贝y k 的取值范围为kv9 , 9<kv25 , k<25，分别进行讨 论. 解:(1)当kc9时，25-k>O , 9-k ：>O ，所给方程表示椭圆，此时 a 2 = 25-k ,【例b 2 =9 -k ,c 2 =a 2 -b 2 =16，这些椭圆有共同的焦点(一 4, O ),当9ckc25时，25-k>0, 9-kvO ，所给方程表示双曲线，此时,2 2 2 2b =9-k ,c =a +b =16，这些双曲线也有共同的焦点(一 4,0).k>25 , k =9 , k =25时，所给方程没有轨迹. (4, 0).a 2 =25—k ,0),)( 4,21根据下列条件，求双曲线的标准方程.(1)过点P L —〕，Q L — ,5〕且焦点在I 4丿I 3丿坐标轴上. (2) C = J 6，经过点(一 2 25, 2)，焦点在X 轴上.(3)与双曲线 Z_L=1有相同焦点,16 4且经过点feJ 2,2)解：(1)设双曲线方程为 2 2—+^=1 ,••• P 、Q 两点在双曲线上，••• m n禺亠=1m 16n 解} 256 + 25 V 1m = T6 得 n = 9•••所求双曲线方程为2 —X162+L=192y-1 (其中 0<AV 6 ) 6 — A25 4- =1 ,•••几=5或几=30 （舍去），•••所求入6 - Z2 2（舍），•所求双曲线方程为一_£=112 8【例31 已知A , B两地相距800 m, —炮弹在某处爆炸，在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2 S,设声速为340 m/s.（1）爆炸点应在什么样的曲线上?⑵求曲线的方程⑸］引导学生联想双曲线的定义，并建立合适的直角坐标系］解（1）由声速及A , B两处听到爆炸声的时间差，可知 A , B两处与爆炸因为爆炸点离A处比离B处更远，所以爆炸点应在靠近B处的一支上.⑵如图，建立直角坐标系xOy，使A，B两点在X轴上，并且点0与线段AB的中点重合.设爆炸点P的坐标为（X，y）,则PA-PB=340X2=680,即2a=680, a=340.又AB = 800,所以2c= 800, c=400, b2=c2-a2= 44 400.因为PA-PB= 680>0,所以x>0. 故所求曲线的方程为怎=1（x>0）.［题后反思］解此类实际问题的关键是能根据条件联想、构造出合适的数学模型”这种构造转化是以熟练掌握基础知识为前提的.对圆锥曲线而言，必须熟悉其相关定义.定义既时，若能活用双曲线的定义，则不仅可深化学生对双曲线概念的理解，还能提高其分析问题、解决问题的能力.本例亦可扩展为确定爆炸点的位置”点的距离的差, 因此爆炸点应位于以A, B为焦点的双曲线上.•••双曲线经过点（一5, 2）,二双曲线方程是X2 _y2 =［5 —（3）设所求双曲线方程为:2y =1（0 W A <16 ）,•••双曲线过点（3J2,2 ）,旦+丄=116-A 4+A「•A =4 或入=—14［处理建议［规范板书是建构数学知识的基石，也是解答数学问题的重要工具.因此，在研究某些几何或实际问题2 21.已知双曲线^9^ 一器1的右焦点分别为F1、F2，点P 在双曲线上的左支上且PF J PF 2I =32，求 N F 1PF 2 •解：•••点P 在双曲线的左支上，•••PR - PF 2 =6 ,••• Ph + PF 22N F i PF 2=90 :.••在 Rt e PF 1F 2 中，P F i | +I PF 2S 压PF 2 = 2 PF 1 j PF 2 — 1'课堂小结1.双曲线的标准方程和标准方程的求法 （定义法、待定系数法）.2.在解决双曲线的有关问题时可与椭圆中的相应问题进行类比来解决四、课堂练习_ 2 • PF 1 +PF 2 =100 F I F 2 = 4C 2 =4(a 2 +b 12 )=100 ,••• N RP F 2 =90说明：点P 在双曲线的左支上”这个条件非常关键，若将这一条件改为 点P 在双曲线上”结论如何改变呢? 2 2.已知F 1、F2是双曲线 一-y 2=1的两个焦点，点 P 在双曲线上且满足 4Z F 1 PF 2 =9O ,求iF i PF2的面积. 解：•••2 P 为双曲线 一-y 2=1上的一个点且F 1、F2为焦 4|PF i -PF 2=2a =4,时2 =2C = 275f PF i PF I + PF 2-2|卩片丹2| =16 ,••• 20-2PF 』PF=16,• PF iIPF 2 =2-2PF 』PF 2 =36 ,2=20五、。
双曲线的标准方程教案
双曲线的标准方程教案第一章：双曲线的基本概念1.1 实轴、虚轴和焦点1.2 实半轴、虚半轴和焦距1.3 双曲线的定义第二章：双曲线的标准方程2.1 双曲线的标准方程的引入2.2 双曲线的标准方程的推导2.3 双曲线的标准方程的形式第三章：双曲线的性质3.1 双曲线的开口方向和大小3.2 双曲线的渐近线3.3 双曲线的离心率第四章：双曲线的图形4.1 双曲线的图形特征4.2 双曲线的对称性4.3 双曲线的渐近线图形第五章：双曲线方程的应用5.1 双曲线在实际问题中的应用5.2 双曲线方程在几何问题中的应用5.3 双曲线方程在其他领域的应用第六章：双曲线的参数方程6.2 双曲线的参数方程的推导6.3 双曲线的参数方程的应用第七章：双曲线的渐近线方程7.1 双曲线的渐近线方程的引入7.2 双曲线的渐近线方程的推导7.3 双曲线的渐近线方程的应用第八章：双曲线的图像变换8.1 双曲线图像的平移8.2 双曲线图像的缩放8.3 双曲线图像的旋转第九章：双曲线与其他曲线的交点9.1 双曲线与椭圆的交点9.2 双曲线与抛物线的交点9.3 双曲线与其他曲线的交点问题第十章：双曲线的综合应用10.1 双曲线在物理学中的应用10.2 双曲线在工程学中的应用10.3 双曲线在其他学科中的应用第六章：双曲线的渐近线方程6.1 双曲线的渐近线方程的引入6.2 双曲线的渐近线方程的推导第七章：双曲线的图像变换7.1 双曲线图像的平移7.2 双曲线图像的缩放7.3 双曲线图像的旋转第八章：双曲线与其他曲线的交点8.1 双曲线与椭圆的交点8.2 双曲线与抛物线的交点8.3 双曲线与其他曲线的交点问题第九章：双曲线方程的应用9.1 双曲线方程在实际问题中的应用9.2 双曲线方程在几何问题中的应用9.3 双曲线方程在其他领域的应用第十章：双曲线的综合应用10.1 双曲线在物理学中的应用10.2 双曲线在工程学中的应用10.3 双曲线在其他学科中的应用教案内容简要概述：第一章：双曲线的基本概念，介绍了实轴、虚轴、焦点、实半轴、虚半轴和焦距等基本概念，并通过具体实例让学生理解双曲线的定义。
3.2.1 双曲线及其标准方程 导学案正文
3.2 双曲线3.2.1 双曲线及其标准方程【学习目标】1.能直观认识双曲线的几何特征,会识别双曲线的定义和相关概念.2.能根据双曲线的几何特征选择适当的平面直角坐标系,根据双曲线定义的代数表达类比导出双曲线的标准方程.3.能识别焦点在不同坐标轴上的双曲线的标准方程,能说出标准方程中特征量的关系,能初步应用双曲线的定义和标准方程解决一些相关问题.◆ 知识点一 双曲线的定义1.双曲线的定义:平面内与两个定点F 1,F 2的距离的 等于非零常数( )的点的轨迹叫作双曲线.这两个定点叫作双曲线的焦点,两焦点间的距离叫作双曲线的 .2.双曲线上动点M 的集合表示:P= ,焦距常用 表示. 【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)(1)已知两定点F 1(-3,0),F 2(3,0),满足条件|PF 1|-|PF 2|=5的动点P 的轨迹是双曲线. ( ) (2)已知两定点F 1(-3,0),F 2(3,0),满足条件||PF 1|-|PF 2||=6的动点P 的轨迹是双曲线. ( ) (3)已知两定点F 1(-3,0),F 2(3,0),满足条件||PF 1|-|PF 2||=7的动点P 的轨迹是双曲线.( )◆ 知识点二 双曲线的标准方程 焦点位置 焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程 焦点坐标a ,b ,c 的关系【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)(1)已知方程x 23-m -y 2m -5=1表示焦点在y 轴上的双曲线,则m 的取值范围是3<m<5. ( )(2)在双曲线的标准方程中,a ,b ,c 的关系是a 2=b 2+c 2. ( ) (3)双曲线x 2-y23=1的焦点在y 轴上. ( )◆探究点一与双曲线有关的轨迹方程例1 (1)(多选题)[2024·武汉外国语学校高二月考] 已知F1(-4,0),F2(4,0),下列说法中错误的是( )A.平面内到F1,F2两点的距离相等的点的轨迹是直线B.平面内到F1,F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆C.平面内到F1,F2两点的距离之差等于6的点的轨迹是双曲线的一支D.平面内到F1,F2两点的距离的平方之和为12的点的轨迹是圆(2)若动圆与圆C1:x2+(y-2)2=1和圆C2:x2+(y+2)2=4都内切,则动圆的圆心P的轨迹方程为.变式已知在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若B(-1,0),C(1,0),且sin C-sin B=12sin A,求顶点A 的轨迹方程.[素养小结]1.求解与双曲线有关的点的轨迹问题,常见的方法有两种:(1)列出等量关系,化简得到方程;(2)寻找几何关系,结合双曲线的定义,得出对应的方程.2.求解与双曲线有关的点的轨迹问题时要特别注意:(1)双曲线的焦点所在的坐标轴;(2)检验所求的轨迹是双曲线的一支还是两支.◆探究点二双曲线的标准方程例2求满足下列条件的双曲线的标准方程.(1)a=4,经过点A(1,-4√103);(2)经过点(3,0),(-6,-3).(3)与双曲线x 24-y22=1有相同的焦点且过点P(2,1).变式 根据下列条件,求双曲线的标准方程.(1)a=4,c=6,且焦点在x 轴上; (2)与椭圆C :x 215+y 26=1共焦点且过点P (2,√2).(3)经过点P (-3,2√7),Q (-6√2,-7).[素养小结]双曲线标准方程的两种求法:(1)定义法:根据双曲线的定义得到相应的a ,b ,c ,再写出双曲线的标准方程.(2)待定系数法:首先设出双曲线的标准方程为x 2a 2-y 2b 2=1或y 2a 2-x 2b2=1(a>0,b>0),然后根据条件求出待定的系数,代入方程即可.特别地,若双曲线的焦点的位置不明确,则应注意分类讨论,也可以设双曲线方程为mx 2+ny 2=1,注意标明条件mn<0.◆ 探究点三 双曲线定义的应用例3 (1)设F 1,F 2分别是双曲线C :x 24-y 23=1的左、右焦点,过F 2的直线与C 的右支交于P ,Q 两点,则|F 1P|+|F 1Q|-|PQ|= ( ) A .5B .6C .8D .12(2)已知双曲线x 24-y 29=1,F 1,F 2分别是双曲线的左、右焦点,点M 在双曲线上且∠F 1MF 2=120°,则△F 1MF 2的面积是 .变式 (1)已知双曲线x 24-y 29=1上一点M 到左焦点F 1的距离为10,则MF 1的中点N 到坐标原点O 的距离为 ( )A .3或7B .6或14C .3D .7(2)设F 1,F 2分别是双曲线C :x 2-y 2b2=1(b>0)的左、右焦点,过F 2作x 轴的垂线与C 交于A ,B 两点,若△ABF 1为正三角形,则△ABF 1的面积为( ) A .4√3B .4C .3√3D .3(3)[2024·湖北荆荆襄宜七校联盟高二期中] 已知双曲线的方程为x 29-y 216=1,点F 1,F 2分别是其左、右焦点,A是圆x 2+(y-5)2=4上的一点,点M 在双曲线的右支上,则|MF 1|+|MA|的最小值是 .[素养小结]双曲线定义的两种应用(1)求双曲线上一点到某一焦点的距离时,若已知该点的横、纵坐标,则根据两点间的距离公式可求结果;若已知该点到另一焦点的距离,则根据||PF1|-|PF2||=2a求解,注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去,且所求距离应该不小于c-a).(2)双曲线中的焦点三角形问题在双曲线上的点P与其两个焦点F1,F2连接而成的焦点三角形PF1F2中,令|PF1|=r1,|PF2|=r2,∠F1PF2=θ,因为|F1F2|=2c,所以有①定义:|r1-r2|=2a;②余弦公式:4c2=r12+r22-2r1r2cos θ;③面积公式:S△PF1F2=12r1r2sin θ.一般地,在△PF1F2中,通过以上三个等式,所求问题就会顺利解决.◆探究点四双曲线的实际应用例4如图所示,B地在A地的正东方向4千米处,C地在B地的北偏东30°方向2千米处,河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点到A的距离比到B的距离远2千米.现要在曲线PQ上选一处M建一座码头,向B,C两地转运货物.经测算,从M到B,C两地修建公路的费用都是a万元/千米,求修建这两条公路的最低总费用.变式 如图所示,某拱桥的截面图可以看作双曲线y 216-x 2m =1(m>0)的一部分,当拱顶M 到水面的距离为4米时,水面宽AB 为4√3米,则当水面宽度为4√6米时,拱顶M 到水面的距离为( )A .4米B .(8√2-4)米C .(2√6-4)米D .(4√7-4)米[素养小结]利用双曲线的定义与标准方程解决双曲线的实际应用问题的一般方法:在实际问题中寻找几何量之间的关系,得到几何关系式,验证满足双曲线的定义.检验所求的轨迹是双曲线、线段还是不存在,判断是双曲线的一支还是两支.。
3.2.1双曲线及其标准方程(学案)
3.2.1双曲线及其标准方程（学案） 一．实验
取一条拉链,拉开它的一部分,在拉开的两边上各选择一
点,分别固定在点F 1,F 2上,把笔尖放在点M 处,拉开或闭
拢拉链,笔尖经过的点可画出什么样的曲线？
二． 双曲线定义
三．推导双曲线标准方程
四．双曲线标准方程
定义
图象
方程
焦点
a ，
b ，
c 的关系
五．巩固新知
例1 一动点到两定点F1(-3, 3 )、F2(3 ,3)的距离差为4，则动点轨迹为（）A、双曲线 B、双曲线一支 C、不存在 D、一条射线
例2写出以下双曲线的焦点坐标
（1）
22
1
169
x y
-=（2）
22
1
169
y x
-=
例3已知双曲线两个焦点分别为F1(-5,0), F2(5,0),双曲线上一点P到F1，F2距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程.
例4如果方程
22
1
12
x y
m m
-=
--
表示的是双曲线，求m的取值范围
六．课下练习
1.写出适合下列条件的双曲线的标准方程
1) a=4，b=3，焦点在x轴上. 2）a15c=4，焦点在坐标轴上
2.教材P121 1，2，3
3.思考：已知有相距8公里的A、B两座城镇；某日B城镇听到了山体滑坡带来的轰鸣声，二十秒后A城镇听到了这次声音，设声速为340米/秒，你作为救援队队长如何及时找到灾情发生地前去救援呢？。
【范文】《双曲线的标准方程》导学案
《双曲线的标准方程》导学案教学目标：
．了解双曲线的标准方程的推导过程，能根据已知条件求双曲线的标准方程．
2．掌握双曲线两种标准方程的形式．
教学重点：
根据已知条件求双曲线的标准方程．椭圆和双曲线标准形式中a，b，c间的关系．
教学难点：
双曲线的标准方程的推导．
学习过程：
一、复习回顾
．椭圆的定义是什么？
2．椭圆的标准方程是什么？
3．双曲线的定义是什么？
二、双曲线的标准方程的推导方程
三、例题讲解
例 1 已知双曲线两个焦点分别为，，双曲线上一点到F1，F2距离差的绝对值等于8，求双曲线的标准方程．例2求适合下列条件的双曲线的标准方程；
（1）焦点在x轴上；
（2）
（3），一个焦点的坐标是
（4），经过点，焦点在y轴上
（5）经过点焦点在y轴上
例3若方程表示双曲线，求实数的取值范围。
四、课堂练习
、课本p39
、2、4
2．求与椭圆有相同焦点，并且经过点的双曲线的标准方程．
五、归纳小结
．双曲线的标准方程：
焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准方程
焦点坐标
F1 ，F2 ．
F1 ，F2 ．
a，b，c之
间的关系
2．椭圆与双曲线的区别与联系是什么？
曲线
椭圆
双曲线
适合条件的点的集合
a，b，c之间的关系
标准方程
或
或（，a不一定大于b）图形特征
封闭的连续曲线
分两支，不封闭，不连续六、作业。
《双曲线及其标准方程》学案(一).doc
《双曲线及其标准方程》学案(一)
学习目标：1・掌握双曲线的定义；
2•掌握双曲线的标准方程
一、问题导学
详细阅读课本P I16-P II8,要求如下：
(1)双曲线的定义是什么？你能否用式子表示？
(2)思考下列问题：
课木定义中为什么要有常数小于|F^|这个条件？若常数等于|耳厲|轨迹是什么？大于呢？
定义中的“绝对值”三个字能去掉吗？为什么？
(3)请推导双曲线的标准方程：
(4)双曲线的标准方程有几种形式？你能根据方程判断双曲线的焦点在哪个轴上吗？a,b,c的关系是什么？
二、问题探究
1,交流并订正“自主学习”中的四个问题。
2,相互落实双曲线的定义、标准方程并与椭圆进行比较。
三、课堂训练
1,由四组学生解释“自主学习”中的四个问题。
2,课堂练习：
(1)在平面内，到两定点(-1,0) , (1, 0)距离之差等于1的点的轨
迹是 _________________ .
(2)满足下列式子的动点P (X,Y)所表示的轨迹是什么
v = VlTr7J（—i）2+（y_2）2 = 3
J（兀+ 3）2 + y2 _ J（兀_3）2 + 歹2 - 4
⑶ 课本匕20练习2. 3
(4) 请将双曲线10b 一6/ = 60化成标准方程并写出焦点坐标及a.b , c 的值。
⑸mx2-/?y2= 1是双曲线的方程吗?若不是,m,n应满足什么条件即为
双曲线的方程。
自主小结:
作业：习题8.3的1。
双曲线的标准方程导学案
双曲线的标准方程导学案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN主备人：审核人：班组：姓名：3.1双曲线及其标准方程导学案【学习目标】1.了解双曲线的定义，图像和标准方程。
2.能用定义法或待定系数法求双曲线的标准方程。
3.能用坐标法解决一些与双曲有关的简单几何问题和实际问题。
【学习重点】双曲线的定义，求双曲线的标准方程。
【学习难点】推导双曲线的标准方程。
【使用说明与学法指导】1.通过阅读教材，自主学习，思考，交流，讨论和概括，完成本节课的学习目标2.用红笔勾勒出疑点，合作学习后寻求解决方案3.带*号的为选做题。
【自主探究】1.平面内到两个顶点F1，F2___________________________的点的集合叫做双曲线，定点F1，F2叫作_______，F1，F2之间的距离叫作_______。
2.双曲线的标准方程焦点在Ｘ轴上的双曲线的标准方程为__________________________焦点在Ｙ轴上的双曲线的标准方程为__________________________以上两个标准方程中a,b,c之间的关系是__________________________ 【合作探究】1.知两点1(5,0)F ，2(5,0)F,求与它们的距离的差的绝对值是6的点的轨迹。
2. 求经过点1516(3,)(,5)43P Q ，两点的双曲线的标准方程。
3. 114222=+--m y m x 表示交点在y 轴的双曲线，求m 的取值范围。
【巩固提高】1.已知定圆C 1：0241022=+++x y x ，C 2：()16522=+-y x ，动圆M 与定圆C 1、C 2都外切，求动圆圆心M 的轨迹方程。
2. 设12,F F 为双曲线2214x y -=的两个焦点，点P 在双曲线上且满足01290,F PF ∠=求12F PF ∆的面积3.过双曲线2213y x -=的左焦点1F ，作倾斜角为6π的弦AB ，求： （1）__________;AB = （2）2F AB ∆的周长；（2F 为双曲线的右焦点）★4. .判断方程22193x y k k +=--表示的曲线。
15双曲线的标准方程导学案.doc
2.3.1双曲线及其标准方程［学习目标】 1. 理解并掌握双曲线的定义，了解双曲线标准方程的推导方法；2. 能根据双曲线的标准方程熟练地写岀双曲线的焦点坐标，会用待定系数法确定双曲线 的方程.新知导学BB11课前自主预习【知识线索】 1 •我们把平面内与两个定点人,坨的距离的差的绝对值等于常数(小于I 斤划)的点的轨迹 叫做 _______ ,这两个定点叫做 ___________ ,两焦点间的距离叫做 _________________ ・数学符号：||M 片 I —|M 场 ||=2a (0<2a<2c=|F 1F 2|)注意：当2^=0时，其轨迹为 ______________________ ；当2a = \F }F 2\时，其轨迹为 _______________ ;当2a>\F l F 2\时，其轨迹为 ___________________ —当『用-\PF 2\ = 2a. (0v2av2c=|F/2l )时，其轨迹为 ___________2.(1)若焦点在x 轴上的双曲线的标准方程是 ____________________ 1焦点坐标是 ______________ , C 2= _________________ . (2)若焦点在丿轴上的双曲线的标准方程是 ___________________ ,焦点坐标是 ______________ , C 1= _________________ . 疑难导思||课中师生互动【知识建构】 问题1写出双曲线上的点满足的儿何条件 ______________________ ；这两个定点叫做双曲线的 _______ ，两个定点的距离用 ____ 表示;指出图中的哪些线段的长度是久 ____________________ ；建立坐标系后，怎样化简方程J(X + C )2 + b 十(兀_ M + b编写：夏亚勤目标导航口课时目标呈现 问题2 问题3 问题4 问题5 双曲线的标准方程是 _________________问题6上面的三个量满足的关系式_________________ •观察图形,从中找出a表示线段 _____ 、c表示线段________ ,【典例透析】例1・填空：2 2(1)—= 1 求：a= 、b= 、c= ,焦点坐标是；9 16 -------------------------2 2(2)已知———=1求：a= ,b=,焦点坐标是・144 25例2已知双曲线两个焦点的坐标为(-5,0), F2(5,0),双曲线上一点P到耳,尸2的距离之差的绝对值等于6,求双曲线标准方程.例3 已知两地相距800m ,在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2$ ,且声速为340加/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程.【课堂检测】1.(1)焦点在在兀轴上，a = 4y b = 3的双曲线的标准方程是 ________________ ；(2)焦点在在y轴上，d = 3,c = 5的双曲线的标准方程是 __________________ ；(3)焦点为(0,-6), (0,6),经过点(2,・5)的双曲线的标准方程是 __________________ •92.已知圆G：(x + 3)2 + y2二才和圆C2:(^-3)2+/=9,动圆M同时与圆G及圆C?相外切，求动圆圆心M的轨迹方程.达标导练课后训练提升丁【课堂小结】课时训练A组1 •已知A (2, —3), B (-4, -3),动点P满足\PA\-\PB\=6,则P点轨迹分别是() A.双曲线B.两条射线 C.双曲线的一支D. 一条射线2.(2010安徽卷理5)双曲线方程为兀2—2;/=1,则它的右焦点坐标为__________________ .3.已知双曲线的焦点在兀轴上，且a+c=9, b=3,则它的标准方程是_____________ •B组2 2乞-丄=14•已知双曲线9 16 的左•右焦点分别为拆'F2若双曲线上一点p使得令代=90,求甘的面积为_________________ .5•若方程——=1表示双曲线，则加的取值范围为______________ •m一1 m + 26 •点A,B的坐标分别是(-5,0), (5,0),肓线AM, 相交于点M,且它们斜率之积4是则点M的轨迹方程为__________________ ・C组7•在△ABC中，已知|/43|=4血，且三内角A, B, C满足2sin A + sinC = 2sinB,建立适当的坐标系，求定点C的轨迹方程，并指明它表示什么曲线.2 28.设双曲线与椭圆考+話=1有共同的焦点且与椭圆相交，在第一象限的交点弭的纵坐标为4,求此双曲线的方程.【纠错•感悟】。
人教版(B版2019课标)高中数学选择性必修一2.6.1双曲线的标准方程 学案
双曲线的标准方程【学习目标】1．通过对双曲线的定义，标准方程的学习，培养数学抽象素养．2．借助于双曲线标准方程的推导过程，提升逻辑推理、数学运算素养．【学习重难点】1．掌握双曲线的定义，会用双曲线的定义解决实际问题．（重点）2．掌握用定义法和待定系数法求双曲线的标准方程．（重点）3．理解双曲线标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题．（难点）【学习过程】一、新知初探1．双曲线定义一般地，如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个正常数，且2a＜|F1F2|．则平面上满足||PF1|－|PF2||＝2a的动点P的轨迹称为双曲线，其中，两个定点F1，F2称为双曲线的焦点，两个焦点的距离|F1F2|称为双曲线的焦距，双曲线也可以通过用平面截两个特殊的圆锥面得到，因此双曲线是一种圆锥曲线．2（a＞0，b＞0）（a＞0，b＞0）二、初试身手1．思考辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）（1）平面内到两定点的距离的差等于常数（小于两定点间距离）的点的轨迹是双曲线．（）（2）在双曲线标准方程x2a2－y2b2＝1中，a>0，b>0且a≠b．（）（3）双曲线标准方程中，a ，b 的大小关系是a >b ．（ ）2．双曲线x 215－y 2＝1的焦距为（ ）A ．4B ．8C ．14D ．214 3．若点M 在双曲线x 216－y 24＝1上，双曲线的焦点为F 1，F 2，且|MF 1|＝3|MF 2|，则|MF 2|等于（ ）A ．2B ．4C ．8D ．124．点P 到两定点F 1（－2,0），F 2（2,0）的距离之差的绝对值为2，则点P 的轨迹方程为_________．三、合作探究类型1：双曲线定义的应用【例1】已知F 1，F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点，若P 是双曲线左支上的点，且|PF 1|·|PF 2|＝32．试求△F 1PF 2的面积．类型2：求双曲线的标准方程【例2】求适合下列条件的双曲线的标准方程．（1）一个焦点是（0，－6），经过点A （－5,6）；（2）经过点P 1⎝⎛⎭⎪⎫－2，325和P 2（437，4）两点．类型3：与双曲线有关的轨迹问题【例3】在周长为48的Rt △MPN 中，∠MPN ＝90°，tan ∠PMN ＝34，求以M ，N 为焦点，且过点P 的双曲线方程．【学习小结】1．双曲线定义中||PF 1|－|PF 2||＝2a （2a ＜|F 1F 2|）不要漏了绝对值符号，当2a ＝|F 1F 2|时表示两条射线．2．在双曲线的标准方程中，a ＞b 不一定成立．要注意与椭圆中a ，b ，c 的区别．在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，在双曲线中c 2＝a 2＋b 2．3．用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出a ，b ，c 的方程组．如果焦点不确定要分类讨论，采用待定系数法求方程或用形如mx 2＋ny 2＝1（mn ＜0）的形式求解．【精炼反馈】1．“ab <0”是“方程ax 2＋by 2＝c 表示双曲线”的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有相同的焦点，则a 的值为（ ） A ．12 B ．1或－2C ．1或12D ．13．若方程x 2m －1＋y 2m 2－4＝3表示焦点在y 轴上的双曲线，则m 的取值范围是（ ） A ．（1,2）B ．（2，＋∞）C ．（－∞，－2）D ．（－2,2）4．已知双曲线的两个焦点分别为F 1（－5，0），F 2（5，0），P 是双曲线上的一点且PF 1⊥PF 2，|PF 1|·|PF 2|＝2，则双曲线的标准方程为_________．5．已知动圆M 与圆C 1：（x ＋3）2＋y 2＝9外切且与圆C 2：（x －3）2＋y 2＝1内切，求动圆圆心M 的轨迹方程．。
学案1：3.2.1 双曲线及其标准方程
3.2.1双曲线及其标准方程学习目标核心素养1.理解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程．(重点)2.掌握双曲线的标准方程及其求法．(重点)3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．(难点)1.通过双曲线概念的学习，培养学生的数学抽象的核心素养．2.通过双曲线标准方程的求解、与双曲线有关的轨迹问题的学习，提升学生的数学运算、逻辑推理及数学抽象等核心素养.情境导入做下面一个实验．(1)取一条拉链，拉开一部分．(2)在拉开的两边各选择一点，分别固定在点F1，F2上．(3)把笔尖放在M处，随着拉链的拉开或闭拢，画出一条曲线．试观察这是一条什么样的曲线？点M在运动过程中满足什么几何条件？1．双曲线的定义文字语言平面内与两个定点F1，F2的距离的等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹.符号语言||PF1|－|PF2||＝常数(常数＜|F1F2|)焦点定点焦距__________的距离121212变，点的轨迹是什么？(2)双曲线的定义中，F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，若|MF1|－|MF2|＝2a(常数)，且2a<|F1F2|，则点M的轨迹是什么？2．双曲线的标准方程1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线． ( ) (2)在双曲线标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1中，a ＞0，b ＞0且a ≠b ．( ) (3)双曲线标准方程中，a ，b 的大小关系是a ＞b ． ( )2．双曲线x 210－y 22＝1的焦距为( )A ．32B ．42C ．33D ．433．平面内有两个定点F 1(－5,0)和F 2(5,0)，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝6，则动点P 的轨迹方程是( )A ．x 216－y 29＝1(x ≤－4)B ．x 29－y 216＝1(x ≤－3)C ．x 216－y 29＝1(x ≥4)D ．x 29－y 216＝1(x ≥3)4．已知方程x 22＋m －y 2m ＋1＝1表示焦点在y 轴上的双曲线，则m 的取值范围是________．合作探究类型1 求双曲线的标准方程例1 根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)a ＝4，经过点A ⎝⎛⎭⎫1，－4103；(2)与双曲线x 216－y 24＝1有相同的焦点，且经过点(32，2)；(3)过点P ⎝⎛⎭⎫3，154，Q ⎝⎛⎭⎫－163，5且焦点在坐标轴上． 规律方法1．求双曲线标准方程的步骤(1)定位：是指确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式．(2)定量：是指确定a 2，b 2的数值，常由条件列方程组求解． 2．双曲线标准方程的两种求法(1)定义法：根据双曲线的定义得到相应的a ，b ，c ，再写出双曲线的标准方程．(2)待定系数法：先设出双曲线的标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a ，b 均为正数)，然后根据条件求出待定的系数代入方程即可．提醒：若焦点的位置不明确，应注意分类讨论，也可以设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1的形式，注意标明条件mn ＜0. 跟踪训练1．根据下列条件，求双曲线的标准方程． (1)以椭圆x 28＋y 25＝1的焦点为顶点，顶点为焦点；(2)焦距为26，经过点(－5,2)，且焦点在x 轴上； (3)焦点为(0，－6)，(0,6)，且过点A (－5,6)．类型2 双曲线定义的应用 [探究问题]1．双曲线的定义中为什么要加条件“常数2a 小于|F 1F 2|”？2．双曲线定义中为什么“距离的差”要加“绝对值”？例2 (1)△ABC 中，A (－5,0)，B (5,0)，点C 在双曲线x 216－y 29＝1上，则sin A －sin B sin C ＝( )A ．35B ．±35C ．－45D ．±45(2)已知F 1，F 2分别是双曲线x 29－y 216＝1的左、右焦点，若P 是双曲线左支上的点，且|PF 1|·|PF 2|＝32.试求△F 1PF 2的面积．2．[变条件]若本例(2)条件“|PF 1|·|PF 2|＝32”改成“|PF 1|∶|PF 2|＝2∶5”其他条件不变，求△F 1PF 2的面积．3．[变条件]本例(2)中，将条件“|PF 1|·|PF 2|＝32”改为“∠F 1PF 2＝60°”，其他条件不变，求△F 1PF 2的面积． 规律方法求双曲线中的焦点△PF 1F 2面积的方法(1)①根据双曲线的定义求出||PF 1|－|PF 2||＝2a ；②利用余弦定理表示出|PF 1|、|PF 2|、|F 1F 2|之间满足的关系式；③通过配方，整体的思想求出|PF 1|·|PF 2|的值；④利用公式S △PF 1F 2＝12×|PF 1|·|PF 2|·sin ∠F 1PF 2求得面积． (2)利用公式S △PF 1F 2＝12×|F 1F 2|×|y P |求得面积．类型3 与双曲线有关的轨迹问题例3 如图所示，在△ABC 中，已知|AB |＝42，且三个内角A ，B ，C 满足2sin A ＋sin C ＝2sin B ，建立适当的坐标系，求顶点C 的轨迹方程．规律方法求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种： (1)列出等量关系，化简得到方程；(2)寻找几何关系，结合双曲线的定义，得出对应的方程．求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：(1)双曲线的焦点所在的坐标轴；(2)检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支． 跟踪训练2.如图所示，已知定圆F 1：x 2＋y 2＋10x ＋24＝0，定圆F 2：x 2＋y 2－10x ＋9＝0，动圆M 与定圆F 1，F 2都外切，求动圆圆心M 的轨迹方程．课堂小结1．双曲线与椭圆的比较曲线 椭圆 双曲线 定义|PF 1|＋|PF 2|＝2a (|F 1F 2|＝2c,2a ＞2c )||PF 1|－|PF 2||＝2a (|F 1F 2|＝2c,2a ＜2c )标准方程 x 2a 2＋y 2b 2＝1或x 2b 2＋y 2a2＝1(a ＞b ＞0) x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0) 图形特征 封闭的连续曲线分两支，不封闭，不连续 根据标准方程确定a ，b 的方法 以大小分a ，b (如x 24＋y 29＝1中，9＞4，则,a 2＝9，b 2＝4) 以正负分a ，b (如x 29－y 24＝1中，a 2＝9，b 2＝4) a ，b ，c 的 关系a 2＝b 2＋c 2(a 最大)a 2＋b 2＝c 2(c 最大)2.用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出关于a ，b ，c 的方程组．如果焦点不确定要分类讨论，采用待定系数法求方程或用形如mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)的形式求解． 课堂检测1．动点P 到点M (1,0)的距离与点N (3,0)的距离之差为2，则点P 的轨迹是( ) A ．双曲线 B ．双曲线的一支 C ．两条射线D ．一条射线2．已知m ，n ∈R ，则“mn ＜0”是“方程x 2m ＋y 2n＝1表示双曲线”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．已知双曲线方程为2x2－y2＝k，焦距为6，则k的值为________．4．已知F1，F2分别为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|等于________．5．已知双曲线与椭圆x227＋y236＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A的纵坐标为4，求双曲线方程．参考答案新知初探1．差的绝对值F1，F2 两焦点间思考：[提示](1)当距离之差的绝对值等于|F1F2|时，动点的轨迹是两条射线，端点分别是F1，F2，当距离之差的绝对值大于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．(2)点M在双曲线的右支上．初试身手1．[提示] (1)× (2)× (3)× 2．【答案】D【解析】c 2＝10＋2＝12，所以c ＝23，从而焦距为4 3. 3．【答案】D4．【答案】(－∞，－2)【解析】由双曲线标准方程的特点知2＋m ＜0且－(m ＋1)＞0，解得m ＜－2.即m 的取值范围为(－∞，－2)． 合作探究类型1 求双曲线的标准方程例1 解：(1)当焦点在x 轴上时，设所求标准方程为x 216－y 2b 2＝1(b >0)，把点A 的坐标代入，得b 2＝－1615×1609<0，不符合题意；当焦点在y 轴上时，设所求标准方程为y 216－x 2b2＝1(b >0)，把A 点的坐标代入，得b 2＝9.故所求双曲线的标准方程为y 216－x 29＝1. (2)法一：∵焦点相同，∴设所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，∴c 2＝16＋4＝20，即a 2＋b 2＝20. ① ∵双曲线经过点(32，2)，∴18a 2－4b 2＝1.②由①②得a 2＝12，b 2＝8，∴双曲线的标准方程为x 212－y 28＝1. 法二：设所求双曲线的方程为x 216－λ－y 24＋λ＝1(－4<λ<16)．∵双曲线过点(32，2)，∴1816－λ－44＋λ＝1，解得λ＝4或λ＝－14(舍去)． ∴双曲线的标准方程为x 212－y 28＝1.(3)设双曲线的方程为Ax 2＋By 2＝1，AB <0. ∵点P ，Q 在双曲线上，∴⎩⎨⎧9A ＋22516B ＝1，2569A ＋25B ＝1，解得⎩⎨⎧A ＝－116，B ＝19.∴双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.跟踪训练1．解：(1)依题意，得双曲线的焦点在x 轴上，且a ＝3，c ＝22，所以b 2＝c 2－a 2＝5. 所以双曲线的标准方程为x 23－y 25＝1.(2)因为焦点在x 轴上，且c ＝6，所以设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 26－a 2＝1,0＜a 2＜6. 又因为过点(－5,2)，所以25a 2－46－a 2＝1，解得a 2＝5或a 2＝30(舍去)． 所以双曲线的标准方程为x 25－y 2＝1.(3)法一：由已知得c ＝6，且焦点在y 轴上．因为点A (－5，6)在双曲线上， 所以2a ＝|(－5－0)2＋(6＋6)2－(－5－0)2＋(6－6)2|＝|13－5|＝8， 则a ＝4，b 2＝c 2－a 2＝62－42＝20. 所以所求双曲线的标准方程是y 216－x 220＝1.法二：因为焦点在y 轴上，所以双曲线方程可以设为y 2a 2－x 2b 2＝1.由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝36，36a 2－25b 2＝1，解得a 2＝16，b 2＝20.所以所求的双曲线的标准方程为y 216－x 220＝1.类型2 双曲线定义的应用 [探究问题]1．[提示] 把常数记为2a ，只有当2a ＜|F 1F 2|时，其轨迹是双曲线；当2a ＝|F 1F 2|时，其轨迹是分别以F 1，F 2为端点的两条射线；当2a ＞|F 1F 2|时，其轨迹不存在．若常数为零，其余条件不变，则动点的轨迹是线段F 1F 2的垂直平分线．2． [提示] 距离的差要加绝对值，否则只为双曲线的一支．若F 1，F 2分别表示双曲线的左、右焦点，且点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝2a ，则点P 在右支上；若点P 满足|PF 2|－|PF 1|＝2a ，则点P 在左支上． 例2 (1)【答案】D【解析】在△ABC 中，sin A ＝|BC |2R ，sin B ＝|AC |2R ，sin C ＝|AB |2R ＝102R (其中R 为△ABC 外接圆的半径)．∴sin A －sin B sin C ＝|BC |－|AC |2R 102R ＝|BC |－|AC |10.又∵|BC |－|AC |＝±8， ∴sin A －sin B sin C ＝±810＝±45.](2)解：因为P 是双曲线左支上的点，所以|PF 2|－|PF 1|＝6，两边平方得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝36，所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝36＋2|PF 1|·|PF 2|＝36＋2×32＝100. 在△F 1PF 2中，由余弦定理， 得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝100－1002|PF 1|·|PF 2|＝0，所以∠F 1PF 2＝90°， 所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×32＝16.类型3 与双曲线有关的轨迹问题例3 解：以AB 边所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则A (－22，0)，B (22，0)．由正弦定理，得sin A ＝|BC |2R ，sin B ＝|AC |2R ，sin C ＝|AB |2R (R 为△ABC 的外接圆半径)．∵2sin A ＋sin C ＝2sin B ，∴2|BC |＋|AB |＝2|AC |， 即|AC |－|BC |＝|AB |2＝22<|AB |.由双曲线的定义知，点C 的轨迹为双曲线的右支(除去与x 轴的交点)． 由题意，设所求轨迹方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(x >a )，∵a ＝2，c ＝22，∴b 2＝c 2－a 2＝6. 即所求轨迹方程为x 22－y 26＝1(x >2)．跟踪训练2. 解：圆F 1：(x ＋5)2＋y 2＝1，圆心F 1(－5,0)，半径r 1＝1. 圆F 2：(x －5)2＋y 2＝42，圆心F 2(5,0)，半径r 2＝4.设动圆M 的半径为R ，则有|MF 1|＝R ＋1，|MF 2|＝R ＋4，∴|MF 2|－|MF 1|＝3＜10＝|F 1F 2|. ∴点M 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线的左支，且a ＝32，c ＝5，于是b 2＝c 2－a 2＝914.故动圆圆心M 的轨迹方程为x 294－y 2914＝1⎝⎛⎭⎫x ≤－32. 课堂检测 1．【答案】D【解析】由已知|PM |－|PN |＝2＝|MN |，所以点P 的轨迹是一条以N 为端点的射线． 2．【答案】C【解析】方程x 2m ＋y 2n ＝1表示双曲线，必有mn ＜0；当mn ＜0时，方程x 2m ＋y 2n ＝1表示双曲线，所以“mn ＜0”是“方程x 2m ＋y 2n ＝1表示双曲线”的充要条件．3．【答案】±6【解析】若焦点在x 轴上，则方程可化为x 2k 2－y 2k ＝1，所以k 2＋k ＝32，解得k ＝6； 若焦点在y 轴上，则方程可化为y 2－k －x 2－k 2＝1，所以－k ＋⎝⎛⎭⎫－k 2＝32， 即k ＝－6.综上所述，k 的值为6或－6.4．【答案】4【解析】在△PF 1F 2中，|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos 60°＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|，即(22)2＝22＋|PF 1|·|PF 2|，解得|PF 1|·|PF 2|＝4.5．解：因为椭圆x 227＋y 236＝1的焦点为(0，－3)，(0,3)，A 点的坐标为(15，4)或(－15，4)， 设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2＝9，16a 2－15b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝5， 所以所求的双曲线的标准方程为y 24－x 25＝1.。
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致远中学高二数学上学期《双曲线的标准方程》学案
编制：致远中学 编制人 ： 审核人 ; 编号 66
班级： 姓名;
一、学习目标
1、记住双曲线的定义，并选择恰当的坐标系，会推导双曲线的标准方程。
2、能够与椭圆的定义相比较并归纳它们的异同。
3、能用待定系数法求双曲线的标准方程。
二、学习重点、难点
学习重点：双曲线的定义及其标准方程。
学习难点：双曲线标准方程的推导。
三、知识链接
1、 椭圆的定义（限制条件及有关概念）？
2、 双曲线与椭圆定义的异同？
3、 如何推导圆锥曲线轨迹方程步骤？
4、 标准方程的求法？
四、学习过程
1、课内探究
问题一：双曲线的定义
问题二：这个定义中的关键词是什么？
问题三：为什么是差的绝对值？若等于12F F 呢？大于12F F 呢？
问题四：如何推导双曲线的标准方程（教师同学生共同推导，小组讨论）？
问题五：当焦点在Y 轴上呢？
)0,0(12222>>=-b a b y a x ，或)0,0(122
22>>=-b a b
x a y 2、典型例题：
例1、已知双曲线的两个焦点分别为F1(-5.0),F2(5，0).双曲线上一点P 到F1，F2距离差的
绝对值等于6，求双曲线的标准方程。
跟踪训练1：
1、判断下列方程是否表示双曲线，若是，求出三量a,b,c 的值。
① ② ③ ④
3、小组讨论、合作学习
已知定点A(3,0)和定圆C ：()16322
=++y x ，动圆P 和动圆C 相外切，并且经过点A,求动圆圆心P 的轨迹方程。
跟踪训练3：
已知定圆F 1：0241022=+++x y x 定圆F 2：091022=+-+x y x ；动圆M 与定圆F 1， F 2都外切，求动圆圆心M 的轨迹方程。
5、当堂检测：
（1）、P 是双曲线1622=-y x 的左支上一点，F 1， F 2分别是左、右焦点，则=-21PF PF _______ __
（2）、在方程n my mx =-22中，若0<mn ，则方程的曲线是________
A 、焦点在x 轴上的椭圆
B 、焦点在x 轴上的双曲线
C 、焦点在y 轴上的双曲线
D 、焦点在y 轴上的椭圆
（3）、双曲线2233mx my -=的一个焦点坐标是（-2，0），求m 的值
（4）、已知双曲线22x y m -=与椭圆22
2372x y +=有相同的焦点，求m 的值
5、课后巩固 （1）、已知双曲线116
92
2=-y x 上一点P 到双曲线的一个焦点的距离为3，则P 到另一个焦点的距离为（）
A 、3
B 、5
C 、6
D 、9
(2)、椭圆22214x y m +=与双曲线22
212
x y m -=有相同的焦点，则m 的值是（） A 、1± B 、1 C 、1- D 、不存在
（3）、12F F 、是双曲线22
12511
y x -=的两焦点，点P 在双曲线上，G 是1PF 的中点，且1290F PF ∠=︒，则12GF F ∆的面积是（）
A B 、112 D 、11
（4）、焦点在x 轴上，中心在原点且经过点P 和(7,Q --的双曲线的标准方
程是
（5）、过（1，1）点，且b =的双曲线的标准方程是
（6）、方程22
142
x y t t +=--所表示的曲线为C ，有下列命题：其中真命题是 ①若曲线C 为椭圆，则24;t <<
②若曲线C 为双曲线，则42;t t ><或
③曲线C 不可能为圆
④若曲线C 是焦点在轴上的椭圆，则34t <<
五、学习后记
答案
知识链接
1、平面内与两个定点12,F F 的距离的差的绝对值等于常数（小于12F F 且不等于零）的点的轨迹叫做双曲线
2、双曲线是距离之差的绝对值；椭圆是距离之和
3、用定义，把几何关系转化为代数关系
4、122MF MF a -=，把几何关系转化为代数关系
一、课内探究
问题一：双曲线的定义
平面内与两个定点12,F F 的距离的差的绝对值等于常数（小于12F F 且不等于零）的点的轨迹叫做双曲线
问题二：这个定义中的关键词是什么？ 距离的差的绝对值等于常数（小于12F F 且不等于零） 问题三：为什么是差的绝对值？若等于12F F 呢？大于12F F 呢？ 若无绝对值，则为双曲线的一支；若等于12F F ，则为两条射线；若大于12F F ，则不表示任何图形
二、典型例题：
跟踪训练1：
1
、①2,a b c ==
2a b c ==；
③2,a b c ===
3,2,a b c ==2、221916x y -=跟踪训练2：①221169y x -=；②2212016
y x -= 跟踪训练3：22
441991
x y -=（32x ≤） 四、当堂检测：1、8- 2、C
3、m=1
4、m=6
五、课后巩固
1——5DACAC 6、22
12575
x y -= 7、2222111122
x y y x -=-=或 8、②④。