二次函数与二次方程、二次不等式的关系

合集下载

二次函数与一元二次方程、不等式知识点总结与例题讲解

一、本节知识点

（1）一元二次不等式的概念. （2）三个二次的关系. （3）一元二次不等式的解法. 知识点拓展:

（4）分式不等式的解法. （5）高次不等式的解法. 二、本节题型

（1）解不含参数的一元二次不等式. （2）解含参数的一元二次不等式. （3）三个二次之间的关系.

（4）简单高次不等式、分式不等式的解法. （5）不等式恒成立问题. （6）一元二次不等式的应用. 三、知识点讲解.

知识点一元二次不等式的概念

我们把只含有1个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式.即形如02>++c bx ax （≥0）或02<++c bx ax （≤0）（其中0≠a ）的不等式叫做一元二次不等式.

元二次不等式的解与解集

使一元二次不等式成立的x 的值,叫做这个一元二次不等式的解,其解的集合,叫做这个一元二次不等式的解集.

注意一元二次不等式的解集要写成集合或区间的形式. 知识点三个二次的关系

一元二次不等式的解集、一元二次方程的解以及二次函数的图象之间有着紧密的联系.

一元二次方程()002≠=++a c bx ax 与二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的关系是:

（1）当ac b 42-=∆≥0时,一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有实数根,二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的图象与x 轴有交点,且方程的解是交点的横坐标,交点的横坐标亦是方程的解;

①当0>∆时,一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个不相等的实数根,二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的图象与x 轴有两个不同的交点;

二次函数与一元二次方程,不等式关系

二次函数是指形式为y=ax²+bx+c的函数，其中a、b、c为常数

且a≠0。该类函数的图像为抛物线，并且开口的方向取决于a的正负。一元二次方程是指形式为ax²+bx+c=0的方程，其中a、b、c为常数

且a≠0。解一元二次方程可以利用求根公式或配方法来求得方程的解。二次不等式是由二次函数构成的不等式，其中不等号可以为大于号（>）、大于等于号（≥）、小于号（<）或小于等于号（≤）。求解

二次不等式可以通过找出对应的函数图像的区间，或者进行因式分解

和求解每个因子的正负来得到解集。

二次函数、二次方程及二次不等式的关系

二次函数、二次方程及二次不等式的关系重难点归纳 1 二次函数的基本性质

(1)二次函数的三种表示法

y =ax 2+bx +c ;y =a (x －x 1)(x －x 2);y =a (x －x 0)2+n

(2)当a >0,f (x )在区间［p ,q ］上的最大值M ，最小值m ,令x 0=2

1 (p +q ) 若－

b 2<p ,则f (p )=m ,f (q )=M ; 若p ≤－a b 2<x 0,则f (－a

b 2)=m ,f (q )=M ; 若x 0≤－a b 2<q ,则f (p )=M ,f (－a

b 2)=m ; 若－a b 2≥q ,则f (p )=M ,f (q )=m 2 二次方程f (x )=ax 2+bx +

c =0的实根分布及条件

(1)方程f (x )=0的两根中一根比r 大，另一根比r 小⇔a ·f (r )<0;

(2)二次方程f (x )=0的两根都大于r ⇔⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧>⋅>->-=∆0)(,

2,042r f a r a

b a

c b (3)二次方程f (x )=0在区间(p ,q )内有两根⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>⋅>⋅<-<>-=∆⇔;

0)(,0)(,2,042p f a q f a q a b p ac b (4)二次方程f (x )=0在区间(p ,q )内只有一根⇔f (p )·f (q )<0,或f (p )=0(检验)或f (q )=0(检验)检验另一根若在(p ,q )内成立

一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系

bds04_2.2(3) 一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系课题名称 2.2(3) 一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系

课时 2 课型新授

一教学目标知识与技能：

1. 通过二次函数的图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的内在联系.

2. 能通过二次函数的图像与对应的一元二次方程，直观地求出一元二次不等式的解集.

3. 理解转化的思想，即理解一元二次不等式是如何转化为用相应的二次函数图像与一元二次方程的根来进行求解的.

过程与方法：

1. 教学过程中注重知识的形成过程，把握学生的认知规律.

2. 强调数形结合的解题方法.

情感态度与价值观：

1.借助图像来求解抽象的问题，提高学生学习的兴趣和解题的正确率.

2.通过学习使学生学会分析和归纳复杂事物的能力，结合工学交替等途径，为日后进入职场奠定基础.

二教学重点与难点教学重点：

1.一元二次函数的图像.

2. 通过二次函数的图像与对应的一元二次方程，解一元二次不等式. 教学难点：

1. 数形结合的方法.

三教学方法启发式教学. 类比的方法，归纳的方法. 四教学手段利用多媒体课件bds04、黑板等.

五教学过程

【新课导入】

一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系：

解一元二次不等式是否一定要转化为一元一次不等式组来解呢? 其实不然！

因为一元二次不等式与二次函数、一元二次方程三者之间存在着密不可分的“亲缘”关系, 你可以借助二次函数的图像及相应一元二次方程的根，解决一元二次不等式的解的问题. 【示范例题】例4 已知二次函数

223y x x =--

08二次函数、二次方程、二次不等式间的关系

2013届高三理科数学一轮复习

08二次函数、二次方程、二次不等式间的关系

【考点解读】

二次函数的性质：B 级【复习目标】

1．掌握二次函数的图像和性质；

2．理解二次函数、二次不等式、二次方程之间的关系。活动一：基础知识

说明：为了学习的方便，在解一元二次不等式02

>++c bx ax 和02

<++c bx ax 时，二次项系数

a 都变为正数,解一元二次方程时二次项系数a 同样也变为正数。

2．三类重要题型：

（1）二次函数的区间最值：2

(0)y ax bx c a =++≠在],[n m 上的最值：

① 解析式确定，区间确定；② 解析式确定，区间不定；③ 对称轴不定，区间确定； ④ 开口向上求最大值与开口向下求最小值，分对称轴与区间中点的两种位置关系讨论； ⑤ 开口向上求最小值与开口向下求最大值，分对称轴与区间的三种位置关系讨论； ⑥ 同时求最大值和最小值分四种情况讨论。（2）二次不等式恒成立问题： ① 二次不等式在R 上恒成立

),0(02

R x a c bx ax ∈≠>++恒成立⎩⎨

⎧<∆>⇔00a ；),0(02

R x a c bx ax ∈≠<++恒成立⎩

⎨⎧<∆<⇔00a ② 二次不等式在区间上恒成立：化归为区间最值问题

)0(2≠>++a p c bx ax 在区间],[n m 上恒成立⇔)(x f 在区间],[n m 上的最小值p x f >min )(即可；

)0(2≠<++a p c bx ax 在区间],[n m 上恒成立⇔)(x f 在区间],[n m 上的最小值p x f <max )(即可；

二次函数与一元二次方程、不等式的关系

二次函数的平移

只要两个函数的a 相同，就可以通过平移重合。将二次函数一般式化为顶点式y=a(x －h)2+k ，平移规律：左加右减，对x ；上加下减，直接加减

1.抛物线y= －32

x 2向左平移3个单位，再向下平移4个单位，所得到的抛物线的关系式为。

2.抛物线y= 2x 2，，可以得到y=2(x+4}2－3。

3.将抛物线y=x 2+1向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得到的抛物线的关系式为。

4.如果将抛物线y=2x 2－1的图象向右平移3个单位，所得到的抛物线的关系式为。

5.将抛物线y=ax 2+bx+c 向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到y=2x 2－4x －1则a ＝，b ＝，c ＝ .

6.将抛物线y ＝ax 2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，移动后的抛物线经过点(3，－1)，那么移动后的抛物线的关系式为 _.

函数的交点

1. 抛物线372++=x x y 与直线92+=x y 的交点坐标为。

2. 直线17+=x y 与抛物线532++=x x y 的图象有个交点。

二次函数与方程、不等式的关系

1如果二次函数y ＝x 2＋4x ＋c 图象与x 轴没有交点，其中c 为整数，则c ＝（写一个即可）

2.二次函数y ＝x 2-2x-3图象与x 轴交点之间的距离为

3.抛物线y ＝－3x 2＋2x －1的图象与x 轴交点的个数是( )

A.没有交点

B.只有一个交点

C.有两个交点

D.有三个交点

4.如图所示，二次函数y ＝x 2－4x ＋3的图象交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，

二次函数与一元二次方程和一元二次不等式

二次函数2

(0)y ax bx c a =++≠是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础．在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量x 取任意实数时的最值情况(当0a >时，

函数在2b x a =-处取得最小值2

44ac b a

-，无最大值；当0a <时，函数在2b x a =-处取得

最大值2

44ac b a

-，无最小值．

方程与函数不仅是初中数学中的重要内容，也是高中数学学习的重要内容，方程与函数之间存在着密切的联系，二次函数的图象与x 轴交点的横坐标即为相应的二次方程的解，课程标准要求我们能利用二次函数的图象求二次方程的近似解。

本节我们将进一步研究一元二次方程与函数问题，研究当自变量x 在某个范围内取值时，函数的最值问题．同时还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用．【例1】已知二次函数2

2y x x m =-++的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程

220x x m -++=的解为．

分析：因为二次方程220x x m -++=的根为二次函数2

2y x x m =-++的图象与x 轴交点横坐标。根据已知条件2

2y x x m =-++ ，可知抛物线的对称轴为直线1x =；根据图象可知抛物线与x 轴的一个交点的横坐标为3x =，所以利用抛物线的对称性知抛物线与x 轴的另一个交点横坐标为―1，因此，方程220x x m -++=的解为3和－1。本题利用抛物线的轴对称性求抛物线与轴的交点坐标，从而求出相应的一元二次方程的根。【例2】二次函数2

二次函数与一元二次方程不等式关系

y
ຫໍສະໝຸດ Baidu
-1
O
3
x
判别式⊿=b2-4ac 二次函数 y=ax2+bx+c （a>0）的图像
⊿>0
y
⊿＝0
y
⊿＜0
y
X1 0
X2
x
O X =X x 1 2
O
x x x
二次方程
ax2+bx+c=0
（a≠0）的根不等式ax2+bx+c>0 （a>0）的解集不等式ax2+bx+c<0 （a>0）的解集
X1 ; X 2
• 如果方程ax2+bx+c=0 （a≠0）没有实数根，那么 • 函数y=ax2+bx+c的图像与 x轴有 0 ______ 个交点； • 不等式ax2+bx+c<0的解集是______
（1）当a>0时, ax2+bx+c<0无解（2）当a<0时， ax2+bx+c<0的解集是一切实数。
思考4：
练习2：
<1>m取何值时， x的二次三项式（m-2)x2+2 3 x-3的值恒为负数。 <2>a是什么实数时，不等式ax2+ax-1>0 无解。

一元二次不等式与二次函数一元二次方程的关系

返回
示范例题
例7 对应的二次函数 y=x²-4x+4 对应的一元二次方程 x²-4x+4=0
返回
双基讲解
解一元二次不等式的关键是看不等式对应的二次函数图像
返回
0
计算判别式
双基讲解
方程ax bx c , (其中a ) 有两不相等实根.设为x、x，且x x
求根
画图
写出不等式解集
ax bx c 的解集
, x x,
ax2 bx c 0的解集
x1, x2
返回
0
计算判别式
双基讲解
方程ax bx c , (其中a )
有两相等实根 .设为x

x

b a
求根
画图
写出不等式解集
二次函数
y =ax2+bx+c
的图像
y
x1 o x2 x
y
一元二次不等式的解集
ax2+bx+c＞0 ax2+bx+c＜0
(x1，x2)
o x1=x2 x y
o
x
返回
示范例题
例8
返回
示范例题
例8
返回
示范例题
例8
返回
巩固练习
返回
本课小结

一元二次方程、二次不等式与二次函数的关系

其实，一元二次方程、二次不等式与二次函数是存在有着密切联系的。他们之

间互相建立起一种相互联系的关系，联系紧密。

首先，要了解一元二次方程、二次不等式与二次函数的定义，才能更好地了解

它们之间的关系。一元二次方程是指只有一个未知数的二次方程，一般表示为

ax²+bx+c=0 (a≠0)。二次不等式是指一个不等于0的二次方程和一个零点的方程

组合出的不等式表达式。而二次函数是指常数项的系数均为0的二次多项式，表示一般形式为y=ax²+bx+c (a≠0)，可以以y为自变量、x为因变量，在平面直角坐

标系上表示成曲线。

接下来，从数学的角度来考虑一元二次方程、二次不等式与二次函数三者之间

的联系。一元二次方程可以构成一个二次不等式系统，而二次不等式反过来也可以构成一个一元二次方程系统，由此可见，它们之间是相互转化关系。二次函数则可以用来描述一元二次方程与二次不等式，得出它们之间是图形联系的。就如，

y=ax²+bx+c这样的一次函数，可以用来描绘ax²+bx+c=0这一个元二次方程的解，

前者生成的关系图像就是后者的解的图象。

综上所述，一元二次方程、二次不等式与二次函数之间存在着相互联系的关系。它们彼此可以相互转化，可以印证彼此，也可以从图形上看出关系并求出结果。只有了解并运用好这些数学概念，我们才能学好数学，更好地把握思维去解决现实生活中的问题。

二次函数与二元一次方程、不等式的解的对应关系

二次函数与二元一次方程、不等式的解的对应关系二次函数与二元一次方程、不等式的解的对应关系

在数学领域中，二次函数与二元一次方程、不等式的解之间存在着密切的对应关系。本文将从简单到复杂的角度，全面评估这一主题，并据此撰写一篇有价值的文章，以便读者更深入地理解这一关系。

一、二次函数的基本形式

我们首先来了解二次函数的基本形式。二次函数通常具有以下标准形式：f(x) = ax^2 + bx + c。其中，a、b、c分别代表二次项系数、一次项系数和常数项。

1. 二次函数图像的特点

二次函数的图像是一个抛物线，其开口方向由二次项系数a的正负决定。当a > 0时，图像开口向上；当a < 0时，图像开口向下。二次函数的顶点坐标为：(-b/2a, f(-b/2a))。

2. 二次函数的零点

二次函数的零点即为方程f(x) = 0的解，也就是函数图像与x轴的交点。要求出二次函数的零点，可以使用求根公式或配方法，进而得到对应的解。

二、二元一次方程、不等式的基本形式

接下来，我们将了解二元一次方程和不等式的基本形式，以及它们与二次函数解之间的联系。

1. 二元一次方程的一般形式

二元一次方程一般可表示为：ax + by = c。在解二元一次方程时，通常采用代入、相消、加减消元法等方法，最终得到方程的解。

2. 二元一次不等式的一般形式

二元一次不等式的一般形式为：ax + by > c或ax + by < c。解二元一次不等式时，同样可以通过代入法等方式，最终得到不等式的解集合。

三、二次函数与二元一次方程、不等式解的对应关系

二次函数与方程不等式的关系

实数根，那么函数y=ax2+bx+c的图像与 x轴有
___0___个交点；不等式ax2+bx+c<0的解集是______
（1）当a>0时, ax2+bx+c<0无解
（2）当a<0时， ax2+bx+c<0的解集是一切实数。
思考4：
m取何值时，抛物线y=x2+(m+8)x+m+8与 x 轴的两个交点关于原点对称？
练习2：
<1>m取何值时， x的二次三项式（m-2)x2+2 3x-3的值恒为负数。
<2>a是什么实数时，不等式ax2+ax-1>0 无解。
二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的关系
1.一元二次函数的图象和性质：
问题：对二次函数y=x2-x-6，当x为何值时，y=0？当x为何值时，y<0？当x为何值时，y>0？
抛物线y=x2-x-6与x轴的交点是 (-2，0)与(3，0)
方程x2-x-6=0的解是x1=-2，x2=3. 不等式x2-x-6<0的解集是{x|-2<x<3}, 不等式x2-x-6>0的解集是{x|x<-2或x>3}.
试一试：利用函数图象解下列方程和不等式: y

二次函数与二元方程、二次不等式的关系

对称性
探讨二次函数的对称轴和对称中心，了解图像的对称性质。
判别式
了解二次函数判别式对二次方程解的影响。
ห้องสมุดไป่ตู้
二次函数的最值
1 最高点/最低点
2 顶点坐标与判别式
3 实际问题中的最值
探索二次函数图像的最值，理解关键点对应的意义。
掌握二次函数中顶点的坐标与判别式的关系。
通过实际问题，将二次函数的最值应用到实际情境中。
二次函数与二元方程、二次不等式的关系
本次演讲将深入探讨二次函数、二次方程和二次不等式之间的紧密联系。通过图像、形式和应用等多个角度，带您领略二次函数的魅力。
什么是二次函数
了解二次函数的定义和特点，掌握它的基本形式及其图像，为后续的讲解打下坚实基础。
二次函数的性质
单调性
研究二次函数的增减规律，理解单调性在图像上的表现。
总结和展望
回顾本次演讲的重点内容，展望二次函数、二次方程和二次不等式的更深入研究。
二次方程的求解方法
1
配方法
通过配方法将二次方程转化为完全平方。
2
公式法
学习使用二次方程根的求解公式，解决各类二次方程。
3
图像法
借助二次函数的图像直观地解决二次方程。
二次方程的常见形式
一元二次方程
了解一元二次方程常见的形式和求解策略。

二次函数与一元二次方程、不等式

二次函数与一元二次方程、不等式的关系 ◆基础知识

对于二次函数),0(2为常数、、c b a a c bx ax y ≠++=

一、与一元二次方程的关系：

1、当0=y 时，可得一元二次方程02

=++c bx ax ，它的解就是

二次函数图象与x 轴交点的。

数形结合：如图，是二次函数c bx ax y ++=2的图象，则方程02=++c bx ax 的解是。

2、若一元二次方程02

=++c bx ax 的解是b x a x ==21,，那么二次函数c bx ax y ++=2与x 的交点坐标是。

3、求二次函数图象与x 轴的交点坐标，通常令，得方程，求得的就是抛物线与x 轴交点的坐标。

二、与不等式的关系：

1、当0>y 时，可得一元二次不等式02>++c bx ax ，它的解集是

当函数值y 大于0时，函数图象所对应的的取值范围；

当0

当函数值y 小于0时，函数图象所对应的的取值范围；

数形结合：如图，是二次函数c bx ax y ++=2的图象，则一元二次

不等式02>++c bx ax 的解集是，一元二次不等式02<++c bx ax 的解集是。

2、若二次函数c bx ax y ++=2的图象与一次函数b kx y +=图象相交时，一元二次不等式b kx c bx ax +>++2的解集是，不等式b kx c bx ax +<++2

的解集是。数形结合：如图，是二次函数c bx ax y ++=2和一次函数b kx y +=的图象，则不等式b kx c bx ax +>++2的解集是

二次函数与二次不等式的关系1-6

二次函数与二次不等式的关系

考纲要求：

理解二次函数、二次方程与二次不等式的关系，并能利用它们的关系解决相关问题

知识梳理：

1、二次函数的解析式

一般式: y=ax 2+bx+c(a ≠0);

顶点式: y=a(x -m)2+n(其中(m, n)为抛物线的顶点坐标);

两根式: y=a(x -x 1)(x -x 2)(其中x 1, x 2为抛物线与 x 轴两交点的横坐标);

2、二次函数的图象

有关知识: 图象形状; 对称轴; 顶点坐标; 与 x 轴交点坐标; 截 x 轴线段长.

诊断练习： 1、解不等式：

(1) x 2-7x+12>0 (2)x 2-2x+1<0 (3) -x 2-2x+3≥0

2、求函数 86)(2+-=x x x f 的定义域。

3、已知不等式ax 2+bx+6>0的解集是{x|-2<x<3}，求a.b 的值

4、已知不等式x 2-2x+k 2-1>0解集是R,求实数k 的取值范围.

易错点透析：

1.已知二次函数 f(x) 满足 f(2)=-1, f(-1)=-1, 且 f(x) 的最大值是 8, 试确定此二次函数的解析式.

2、函数()86)(2++-=k kx kx x f （K ＞0）的定义域为R ，求K 的取值范围

3、m 是什么实数时，关于x 的方程mx 2-（1-m ）x+m=0没有实数根？

巩固练习：

1、x 2-3x-4≥0的解集是 (x-1)(2-x) ≥0的解集是 x 2<9的解集是

2、求函数()

23223log 32)(x x x x x f -++-+=的定义域

二次函数专题二二次函数和一元二次方程及一元二次不等式的关系

二次函数专题二：二次函数、一元二次方程

及一元二次不等式的关系

问题1：你能快速地求出一元二次方程2230x x --=的根吗？

问题2：请你画出函数2

23y x x =--图象，研究图象上是否有一些特殊的点和一元二次方程2230x x --=的根之间有某种联系，你有什么发现吗？

问题3：研究一元二次方程2230x x -+=的根的个数及其判别式与二次函数

223y x x =-+的图像和x 轴的交点个数，你能得到什么结论？

问题4：你能结合问题2、3，得到一般化的结论吗？

归纳：一元二次方程2

0(0)ax bx c a ++=≠的根的个数与二次函数2

(0)y ax bx c a =++≠的图像和x 轴的位置关系之间有什么联系？

1．判断下列各抛物线是否与x 轴相交，如果相交，求出交点的坐标。（1）2

621y x x =-+ （2）215148y x x =-++（3）2

44y x x =-+

2．如图，抛物线)0(2

>++=a c bx ax y 的对称轴是直线1=x ，且经过点

P （3，0）

，则方程2

0(0)ax bx c a ++=>的根为：。

3．已知抛物线2

6y x x a =-+的顶点在x 轴上，则a = ；若抛物线与x 轴有两个交点，则a 的范围是；与x 轴最多只有一个

交点，则a 的范围是 .

4．已知抛物线2

y x px q =++与x 轴的两个交点为（-2，0），（3，0），则p = ，

q = .

5．抛物线2

(0)y ax bx c a =++≠的图象全部在x 轴下方的条件是（） A ． a ＜0 b 2