纯弯曲作用梁挠曲线微分方程的应用与分析
如何在理论力学中解决梁的挠曲问题？
如何在理论力学中解决梁的挠曲问题？在理论力学中，梁的挠曲问题是一个非常重要的研究领域。
梁在受到外力作用时会发生弯曲变形，这种变形会影响梁的强度、刚度以及稳定性等性能。
因此，准确地解决梁的挠曲问题对于工程设计和实际应用具有重要意义。
要解决梁的挠曲问题，首先我们需要了解一些基本的概念和理论。
梁是一种常见的结构构件，其主要承受横向载荷。
当梁受到载荷作用时，梁内会产生弯矩和剪力。
弯矩是导致梁弯曲的主要因素，而剪力则会对梁的剪切变形产生影响。
在研究梁的挠曲时，我们通常会引入一些假设来简化问题。
例如，我们假设梁的材料是均匀、连续和各向同性的，梁的横截面在弯曲过程中始终保持平面，并且忽略梁的横向剪切变形。
这些假设在大多数实际情况中是合理的，可以帮助我们更方便地分析和解决问题。
解决梁挠曲问题的一个重要方法是利用梁的弯曲方程。
梁的弯曲方程描述了梁的挠度与弯矩之间的关系。
对于等截面梁，常见的弯曲方程有欧拉伯努利梁理论和铁木辛柯梁理论。
欧拉伯努利梁理论假设梁的弯曲变形很小，并且忽略了剪切变形的影响。
在这种理论下，梁的弯曲方程可以表示为：＄EI\frac{d^2y}｛dx^2} ＝ M(x)＄其中，＄E$ 是梁材料的弹性模量，＄I$ 是梁横截面的惯性矩，＄y$ 是梁的挠度，＄x$ 是梁的轴向坐标，＄M(x)＄是梁在＄x$ 处的弯矩。
通过求解这个微分方程，结合梁的边界条件和连续条件，我们可以得到梁的挠度曲线和转角曲线。
然而，欧拉伯努利梁理论在一些情况下并不适用，例如对于短粗梁或者梁的剪切变形不能忽略的情况。
这时就需要用到铁木辛柯梁理论。
铁木辛柯梁理论考虑了剪切变形的影响，其弯曲方程相对更加复杂。
除了利用弯曲方程求解梁的挠曲问题，还可以采用能量法。
能量法的基本思想是利用梁在变形过程中的能量守恒原理来求解。
常见的能量法有单位载荷法和卡氏定理。
单位载荷法是通过在梁上施加一个单位虚拟载荷，然后根据虚拟载荷所做的功等于实际载荷所产生的应变能来求解梁的挠度和转角。
梁的挠曲线近似微分方程及其积分.
二、结构形式叠加（逐段刚化法）：
A a
P q
C a
P
a
a
q
a
a
+
=
例6－4-1 按叠加原理求A点转角 和C点挠度.
解、载荷分解如图
、由梁的简单载荷变形表，
查简单载荷引起的变形。
PA
Pa 2 4 EI
f ( x) M ( x) I0 M ( x)
EI ( x) I0
EI 0
EI 0 f ( x) M ( x)
M(x) M(x) I0
I(x)
：几何形状：长度不变，惯性矩变为I0 。
：实梁对应方程： EI0 f ( x) M ( x)
虚梁对应方程：
M (x) q(x)
：令：q(x) M ( x ) 依此建立虚梁上的分布载荷。
8
2
- q a2
a2
C
a
求虚梁B点的剪力和弯矩
x
13qa 3 RA 72
QB
13qa3 72
1 2
qa2 2
a
5 72
qa3
MB
13qa3 72
a
1 2
qa2 2
a
a 3
7 72
qa4
D
B
5qa 3 72EI
7qa4 f B 72EI
C点左右位移怎样？
四、变截面直梁的共轭梁法： ：将截面的变化折算到弯矩之中去。
梁的挠曲线微分:方E程 If ( x) M ( x) 梁的外载与内力的为关 : M系(x) q(x)
上二式形式相同，用类比法，将微分方程从形式上转化为 外载与内力的关系方程。从而把求挠度与转角的问题转化为求 弯矩与剪力的问题。
概述梁的挠曲线近似微分方程及其积分用积分
x 0 时， ， wA 0 A w A 0
当
求得：
C 0; D 0
y
L
P
B
B
wB
x
写出挠曲线方程并画出挠曲线的大致形状
Px 2 w( x) ( x 3L) 6EI
最大转角及最大挠度（绝对值最大）
max
PL2 B （ ） 2 EI
wmax
PL3 wB （ ） 3EI
C
x1
x2
AB段 (0 x1 a)
a
a
M1 Px1
BC段 (0 x2 a)
M 2 P(a x2 )
写出挠曲线微分方程并积分 AB段
M1 Px1 EIw1
P 2 EI1 x1 C1 EIw1 2 P 3 EIw x1 C1 x1 D1 6
1
y
M<0
d2w 0 2 dx
d2w M ( x) 2 EI dx
o
x
d 2 w M ( x) (2) 2 EI dx
式（2）就是挠曲线近似微分方程。
对于等截面直梁，挠曲线近似微分方程可写成如下形式：
d w M ( x) 2 EI dx
二、求转角方程、挠曲线方程 1.微分方程的积分
最大挠度及最大转角
dw( x 2 ) Pa 2 ( x2 ) dx 2 2 EI
2
y
a
P
C
C
max C CB
wmax
Pa 2 2EI
L
B
x
wB
Pa 2 wB (3L a) 6EI
例2 求图示梁自由端的转角和挠度。
10.2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分
10.2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分纯弯曲 EIM =ρ1挠曲线曲率()322"1w w κ=⎡⎤'+⎣⎦EIM ±=d θFFxd xyxρ O正负号的确定xyOxyOM > 0w ″< 0M < 0w ″>0M 与 w ″异号()322"1w w κ=⎡⎤'+⎣⎦EIM ±=()3221w M EIw ''=-⎡⎤'+⎣⎦小变形：转角 w ′ ≈ 0 适用条件： 1. 坐标系，正负号；2. 忽略剪力 F S 对变形的影响；3. 线弹性，小变形，w′ ≈ 0。
M w EI''=-EI ——梁的抗弯刚度， 若为等直梁，EI ＝C ，则 EIw M''=-挠曲线近似微分方程1'd Mw x C EIθ==-+⎰12d d M w x x C x C EI ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭⎰⎰一次积分：二次积分：积分法计算梁的变形BAlw A = 0 w B = 0BAlw A = 0 θA =0EIw M''=-挠曲线近似微分方程 由边界条件，确定积分常数光滑连续条件——相邻挠曲线必须光滑连续。
挠曲线近似微分方程及其积分w C2= w C3θC2=θC2w B1= w B2θB1=θB2挠曲线近似微分方程及其积分——例题[例题1] 已知悬臂梁的抗弯刚度为EI，求在荷载P 作用下梁的挠曲线方程，并确定梁上的最大挠度和转角。
BAxL P有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺）[解] （1）建立弯矩方程 ()()M x P L x =-()()E Iw M x P L x ''=-=--21()2xEIw P Lx C '=--+2312()26Lx x EIw P C x C =--++（3）确定积分常数 0,0x w ==0,0x w '==20C=10C=挠曲线近似微分方程及其积分——例题BALxPx（2）代入挠曲线方程并积分挠曲线近似微分方程222PLx Pxw EIθ-'==-23(3)6P Lx x w EI-=-最大挠度和转角3max()3PL f EI=↑2max2PL EIθ=挠曲线近似微分方程及其积分——例题B ALxPxmaxθmaxw挠曲线近似微分方程及其积分——例题[例题2] 已知：EI = 常数，求：1. 挠度、转角方程； 2. |θmax |, |w max |。
讲梁的挠曲线方程与积分解法
②积分常数的确定——边界条件和连续条件：
边界条件：梁在其支承处的挠度或转角是已知的， 这样的已知条件称为边界条件。 连续条件：梁的挠曲线是一条连续、光滑、平坦 的曲线。因此，在梁的同一截面上不可能有两个 不同的挠度值或转角值，这样的已知条件称为连 续条件。
边界条件
积分常数2n个=2n个
连续条件
列出图示结构的边界条件和连续条件。
8
代入（1）（2）得：
1 ( 1 qx3 1 qL3)
EI 6 6
1 ( 1 qx4 qL3 x qL4 )
EI 24
68
将 x 0 代入得：
A
qL3 6EI
（与C比较知E：I A C）
A
qL4 8EI
（与D比较知E：IA ）D
因此
常数C表示起始截面的转角×刚度(EI)
常数D表示起始截面的挠度×刚度(EI)
x L
2
2、
d 2
dx 2
M (x) EI z
EI" 1 qx2
2
积分一次： EI' EI 1 qx3 C （1）
积分二次：
6
EI 1 qx4 Cx D （2）
24
B X``
3、确定常数C、D.
由边界条件： x L, 0 代入（1）得： C 1 qL3
6
x L, y 0 代入（2）得： D 1 qL4
支座反力，分段列弯矩方程； 分段的原则:
①凡载荷有突变处（包括中间支座），应作为分段点；
②凡截面有变化处，或材料有变化处，应作为分段点；
③中间铰视为两个梁段间的联系，此种联系体现为两部分之间 的相互作用力，故应作为分段点；
(2)分段列出梁的挠曲线近似微分方程，并对其积分 两次
§6-2梁的挠曲线近似微分方程及其积分(精)
大挠度fmax和最大转角max。
解: 由对称性可知梁的两个支反力为
RA
q
RB
ql RA RB 2
A
B
x
y
l
例题 6 -2 图
此梁的弯矩方程及挠曲线微分方程分别为
ql 1 2 q M ( x) x qx (lx x 2 ) 2 2 2 q 2 EI ' ' M ( x) (lx x ) 2
EI ' ' M ( x) Pl Px (2)
例题 6-1 图
对挠曲线近似微分方程进行积分, 得
Px 2 EI ' Plx C1 (3) 2 Plx 2 Px 3 EI C1 x C 2 (4) 2 6
边界条件为 :
x
A
l x
B x
x 0, 0 x 0, ' 0
EIυ [ M ( x )dx ]dx C1x C2
得
C1 EI '| x 0 EI 0 C2 EI 0
式中，θ 0 和 v0 分别代表坐标原点处截面的转角和挠度。
例题６-３ 图示一抗弯刚度为EI的简支梁, 在D点处受一集中 力P的作用。试求此梁的挠曲线方程和转角方程，并求其最大 挠度和最大转角。
两段梁的挠曲线方程分别为
1 挠曲线方程 转角方程 挠度方程
( 0 «x «a)
2
( a«x « l )
b " P x EIv1 M1 l
b EIv2 " M 2 P x P( x a) l
3 θA ql θ max θB 24 EI
x
q
梁的挠曲线方程 -回复
梁的挠曲线方程 -回复
梁的挠曲线方程是描述梁在受力作用下产生弯曲变形的数学模型。
一般情况下，梁的挠曲线方程是一个二阶常微分方程。
挠曲线方程中通常包含梁的几何参数、受力情况、材料性质等因素。
常见的梁的挠曲线方程包括欧拉-伯努利梁方程、柯西梁方程等。
这些方程描述了梁的弯曲变形行为，可以帮助工程师分析和设计
各种结构工程。
在实际应用中，我们需要根据具体情况选择适合的挠曲线方程。
通常情况下，梁在受力作用下会形成曲线状的挠曲变形。
梁的挠曲线方程可以通过应力、应变关系和受力平衡来推导。
挠曲线方程的求解可以通过不同的数学方法，如变分原理、差分法、有限元法等。
梁的挠曲线方程在结构工程、力学分析等领域具有重要的应用价值。
梁的挠曲线方程可以用来计算梁的挠度、切线和曲率等重要参数。
挠曲线方程还可以用来预测梁的弯曲破坏情况。
根据挠曲线方程，工程师可以优化结构设计，提高梁的强度和稳
定性。
挠曲线方程的解析解通常只适用于简单的几何和边界条件。
对于复杂的问题，需要借助计算机数值模拟进行求解。
梁的挠曲线方程涉及到多个数学和物理学概念，需要深入研究和
理解。
挠曲线方程的求解是工程力学和应用数学的重要课题之一。
有效地求解梁的挠曲线方程对于工程设计和结构分析具有关键意义。
通过挠曲线方程的分析，我们可以了解梁在受力下的变形行为，
为结构设计提供依据。
材料力学梁的弯曲变形第1节 挠曲线近似微分方程
y f (x)
挠曲轴线方程 y f (x)
• 挠度：截面形心线位移的垂直分量称为该截面的 挠度，用 y 表示。
• 转角：横截面绕中性轴转动产生了角位移，此角
位移称转角，用 表示。小变形时，转角 很小，
则有以下关系：
tan y dy
dx
由此可知，只要知道梁的挠曲轴线方程 y f (x) ，
第六章 梁的弯曲变形
工程中的很多结构或构件在工作时， 不但要满 足强度条件，同时对于弯曲变形都有一定的要求：
• 第一类是要求梁的位移不得超过一定的数值。例如 若机床主轴的变形过大，将会影响齿轮的正常啮合 以及轴与轴承的正常配合，造成不均匀磨损、振动 及噪音，缩短了机床的使用寿命，还影响机床的加 工精度。因此，在工程中进行梁的设计时，除了必 须满足强度条件之外，还必须限制梁的变形，使其 不超过许用的变形值。
二阶小量
挠曲轴线 近似微分方程
y M (x) EI
挠曲轴线 近似微分方程
y M (x) EI
微分方程弯矩M与曲线的二阶导数 y的正负号关系
1）如图a所示，梁的挠曲轴线是一0，曲线的二阶导数 y > 0；
2）如图b所示，梁的挠曲轴线是一上凸曲线，梁的下
就可求出挠度和转角。
挠度和转角的正负号的规定
挠度：与y轴正方向同向为正，反之为负； 转角：以逆时针方向转动为正，反之为负。
梁任一截面的曲率
1
(x)
M (x) EI
曲线 y f (x) 的曲率
1
(x)
(1
y y2 )3/2
(1
y y2 )3/2
M (x) EI
侧纤维受压，弯矩 M < 0，曲线的二阶导数 y<0；
混凝土梁挠曲分析及其处理方法
混凝土梁挠曲分析及其处理方法一、概述混凝土梁作为结构中常用的承载构件，在受到外力作用时会发生挠曲变形，因此需要进行挠曲分析并采取相应的处理方法，以保证结构的稳定性和安全性。
二、混凝土梁挠曲分析方法1.基本假设挠曲分析的基本假设是：梁截面在受到弯矩作用时，仍能维持平面截面状态，即截面内的材料满足胡克定律，且截面平面始终保持平面状态。
2.挠曲方程挠曲分析的基本方程是二阶微分方程——挠曲方程，其表达式为：d2y/dx2 = M(x)/EI其中，y为梁的挠曲位移，x为梁上距离起点的位置，M(x)为梁上的弯矩，E为混凝土的弹性模量，I为梁截面的惯性矩。
3.边界条件挠曲方程需要满足边界条件，即在梁两端点的位置和转角处的位移和角度均为零。
4.解析解对于一些简单的梁形状和荷载条件，可以采用解析解的方法求解挠曲方程。
例如，对于简支梁的情况，可以采用三次函数形式的挠曲位移公式求解。
5.数值解对于一些复杂的梁形状和荷载条件，需要采用数值解的方法求解挠曲方程。
常用的数值解方法包括有限差分法、有限元法等。
三、混凝土梁挠曲处理方法1.增加截面尺寸增加截面尺寸可以增加梁的抗弯刚度，从而减小梁的挠曲变形。
但是，增加截面尺寸会增加梁的自重和材料成本，需要在实际工程中进行综合考虑。
2.增加纵向钢筋增加纵向钢筋可以增加梁的抗弯强度和抗弯刚度，从而减小梁的挠曲变形。
但是，增加纵向钢筋会增加梁的成本和施工难度，需要在实际工程中进行综合考虑。
3.增加剪跨比增加剪跨比可以增加梁的抗剪强度和抗弯刚度，从而减小梁的挠曲变形。
但是，增加剪跨比会增加梁的自重和材料成本，需要在实际工程中进行综合考虑。
4.增加支承刚度增加支承刚度可以增加梁的抗弯刚度，从而减小梁的挠曲变形。
常用的方法包括在梁两端设置钢板、加固支座等。
5.预应力加固预应力加固可以增加梁的抗弯强度和抗弯刚度，从而减小梁的挠曲变形。
但是，预应力加固需要施工难度大，需要在实际工程中进行综合考虑。
梁的挠曲线名词解释
梁的挠曲线名词解释
梁的挠曲线是指梁在受到外力作用下的变形情况。
在工程力学中，梁是一种常见的结构元件，用于支撑和传递荷载。
当梁受到外部载荷作用时，会发生挠曲变形，也就是梁的曲线形状发生变化。
梁的挠曲线是研究梁在受力状态下的变形情况的重要内容之一。
挠曲线可以用来描述梁的变形形状，了解梁在荷载作用下的变形程度，从而为工程设计提供参考依据。
梁的挠曲线通常可以通过数学模型进行描述和分析。
在理论力学中，可以运用梁的挠曲方程来描述梁的挠曲情况。
梁的挠曲方程是一个二阶微分方程，描述了梁在受力状态下的挠曲曲线。
通过求解梁的挠曲方程，可以得到梁在不同截面处的挠曲值，进而了解梁的整体挠曲情况。
梁的挠曲曲线可以分为几种基本类型，如悬臂梁、简支梁、悬臂支座梁等。
不同类型的梁在受力状态下会呈现出不同的挠曲曲线形状。
通过研究和分析不同类型梁的挠曲曲线，可以更好地了解梁在受力状态下的变形规律，为工程设计提供更精确的参考。
在工程实际应用中，梁的挠曲曲线是一个重要的设计参数。
工程设计中需要考虑梁在受力状态下的挠曲情况，以确保梁结构在承受荷载时不会出现过大的挠曲变形，从而保证结构的安全性和稳定性。
总的来说，梁的挠曲曲线是梁在受力状态下的一种重要变形形式，通过对梁的挠曲曲线进行研究和分析，可以更好地了解梁结构的变形规律，为工程设计提供参考依据。
在工程实际应用中，设计人员需要充分考虑梁的挠曲情况，以确保结构的安全可靠性。
梁的变形,挠曲线微分方程及其积分
w
M (x)dx EI
C
w
M (x) EI
dxdx
Cx
D
3.积分常数C、D的确定
边界条件
θ
连续性条件 w1 w2
1 2
（c)
4.挠曲线的大致形状
正的弯矩，挠曲线向上凹 负的弯矩，挠曲线线上凸
积分法求梁的弯曲变形 ---例题
例 如图示的悬臂梁，抗弯刚度为EI，集中载荷F,求 w(x)、θ(x)及wmax、θmax。
将边界条件代入(1)(2)两式
22
挠曲线近似微分方程：
D=0 C ql3 24
EIw M (x) ql x 1 qx2 22
积分得
EIw ql x2 q x3 C — (1)
EIw EI
EIw
ql 12
x3
ql x2 q x3 46 q x4 ql3 24 24
x
ql 3 24
46
EIw ql x3 q x4 Cx D — (2) 12 24
边界条件为
x 0, wA 0 x l, wB 0
max
A
B
ql 3 24EI
wmax
w x l 2
5ql 4 384EI
例 如图示的简支梁，抗弯刚度为EI，集中载荷F,求 w(x)、θ(x)及wmax、θmax。
对各段梁，都是由坐标原点到所研究截面之间的 梁段上的外力来写弯矩方程的。所以后一段梁的 弯矩方程包含前一段梁的弯矩方程。只增加了 （x-a）的项。
对（x-a）的项作积分时，应该将（x-a）项作为 积分变量，从而简化了确定积分常数的工作。
梁的变形，挠度和转角 挠曲线近似微分方程
一、梁的弯曲变形 挠度w 挠曲线方程
概述梁的挠曲线近似微分方程及其积分用积分
1
( x)
d 2w dx2
dx
y
M<0
d2w dx2
M (x) EI
d2w dx2
0
x
o
d2w dx2
M (x)(2) EI
式（2）就是挠曲线近似微分方程。
对于等截面直梁，挠曲线近似微分方程可写成如下形式：
d2w dx2
M (x) EI
EI
d2w dx2
M
(x)
二、求转角方程、挠曲线方程 1.微分方程的积分
y
a
P
A x1
C
x2
L
x B
EIw
0
P(a
x1)
(0 x1 a) (a x2 L)
EIw
P 2
x12
Pax1
C1
C2
EIw
P
6
x13
Pa 2
x12
C1x1
D1
C2 x2 D2
确定积分常数 边界条件
EI 0 x1 0
EI w 0 x1 0
C1 0 D1 0
连续性条件
当 x1 x2 a 时，
题一、解：
x
y
L
P
建立坐标系并写出弯矩方程
A
B
M (x) P(L x)
x
写出挠曲线微分方程并积分
EIw M (x) P(L x)
EIw P x2 PLx C 2
EIw P x3 PL x2 Cx D 62
确定积分常数
当 x 0 时，
A wA 0， wA 0
求得：
C 0; D 0
(6a
a)
RC a3 3EI
a
RC a
2.1梁的弯曲微分方程及其解
第二章 单跨梁的弯曲理论
第二节 第三节定
2.1梁的弯曲微分方程及其解
（1）挠度v向下为正，与y轴同向； （2）载荷q与y轴同向为正； （ 3）
概2.1梁的弯曲微分方程及其解 2，基本假定
（1）平面假定
d dx
顺时针为正 适合纯弯曲的情况，如有剪力则平面变形产生翘曲。 当一般当l≥h时（细长梁），剪力引起的翘曲很小，略 去不计。
(7)
v v0 0 x
(5)
M 0 x 2 N 0 x3 1 2 EI 6 EI EI
0 0 0
x
x
x
x
0
qdx 4
(6)
M ,N ,v ,θ为弯曲要素
v0， M 0 ，N 0 四个初参数由边界条件确定,后述. 0 ， 其中，
3
2012/8/28
2.1梁的弯曲微分方程及其解
(6)
说明两端面面积对Z轴静矩等于零，因此Z轴必通过断面 的形心，叫做梁的中性轴。
2
2012/8/28
2.1梁的弯曲微分方程及其解
将(4)带入（6）
2.1梁的弯曲微分方程及其解
c.与外载荷的关系。
2.1梁的弯曲微分方程及其解
将（8）代入（10）
d d 2v ( EI 2 ) N dx dx d2 d 2v ( )q EI dx 2 dx 2 （ 11） （ 12） 剪力与变形 外载与变形
1 dM Ndx qdx 2 0 2 略去高阶小量，得
若解出v，则， θ ，M, N均可求出; v, θ, M, N 称为弯曲要素。
(8)
此方程为挠度（变形）与弯矩之间的关系。
dM N dx
(10)
21弯曲变形的概念与梁的挠曲线近似微分方程
Mechanics of Materials线近似微分方程研究弯曲变形的目的建立刚度条件利用弯曲变形（缓冲、减震） 解决弯曲静不定问题挠曲线挠度梁横截面的形心在垂直于轴线方向的位移在外力作用下，受弯后梁的轴线变为一条连续光滑的曲线一、弯曲变形的基本概念()w w x 挠度方程 挠度与挠度轴正向一致为正，反之为负水平线位移转角梁横截面形心在平行轴线方向的位移，非常小，忽略不计梁横截面绕其中性轴旋转的角位移转角的方向与 x 轴正向转到挠度轴正向一致为正，反之为负()x θθ=转角方程d ()tan w x θ=tan θθ≈挠度和转角的关系 挠曲线上任一点切线斜率在小挠度情况下，θ 很小d ()()()d w x x w x xθ'==d x1()()ρ=M x x EI3221()()[1()]ρ''=±'+w x x w x 322()()[1()]''±='+w x M x EIw x 平面弯曲时梁轴线的曲率数学上挠曲线任一点曲率二、挠曲线近似微分方程)1[xM x ()>0w x ''()>0M x <()0w x <''()0'w x EIw x M x +'=''[1()]()()223M )弯矩与挠度方程的二阶导数正负同号w M ''±=[13w x EIx x +''()]()()22x挠曲线微分方程有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺）=''EIw x M x ()()w x x ='θ()()小挠度条件下w M ()]3<<1=''EIwx M x ()()EIx x w x +='''[1()()22x挠曲线微分方程挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程成立条件平面弯曲 小变形弹性范围内 I E ''EI w 有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺）。
7.1挠曲线的近似微分方程
挠曲线的近似微分方程
一、梁变形的描述
挠度y ：横截面形心在y 方向的位移，向上为正
横截面水平位移： 小变形时，可忽略不计 x y F ρ挠曲线方程 转角方程 挠度y 转角θ 挠曲线
转角θ：横截面绕中性轴转过的角度，逆时针为正
()
y y x =()x θθ=d ()tan ='()d y x y x x
θθ≈=θ 转角与挠度的关系： 转角→挠曲线的斜率
二、挠曲线的近似微分方程
推导纯弯曲正应力时，得到： 1z M EI ρ=橫力弯曲时，忽略剪力对变形的影响 1()()z
M x x EI ρ=
由数学知识可知：
2223d 1d d [1()]d y
x y x
ρ=±+略去高阶小量，得 221
d ()d z y M x x EI ρ=±=()z M x EI =x y F 挠曲线
221
d ()d z y M x x EI ρ=±=2M (x ) > 0M (x ) > 0O
d y
d x 2> 0
x
y
M (x ) < 0O d x d y
< 0
22y
x
M (x ) < 0由弯矩正负号规定，弯矩符号与挠曲线二阶导数符号一致，所以挠曲线的近似微分方程为 22d ()d z y M x x EI =对上式进行积分，就可以求出梁横截面的转角和
挠度。
挠曲线近似微分方程的适用条件：
1、纯弯曲梁或细长梁的横力弯曲；
2、小变形；
3、梁的应力不超过材料的比例极限。
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曲线， 转角 ｔ 警 很 （） 梁的 ａ — 小，４ 式 ｎ
中
一
生 刚度 失效 。因此 ，变形 的计 算 很 重要 ， 然 而挠度 是度 量 弯 曲变形 的基 本量 之一 。
一
与 ｌ 相 比 可 以 忽 略 ，于 是 得 ＡＡ ５为挠 曲 线 的 近 似 微 分 （）
Ｍ
ｖ 一 一
式中正负号取决于挠曲线所选取的坐标
系 ， 据土 木工 程 中弯 矩 正负 号 的规定 ， 根 Ｍ 为 正 时 梁 的挠 曲线 向 下 凸 ，根 据 坐 ）
根 据 （ ）式 近 似 微 分 方 程 积 分 得 ５
，
为 二 次抛 物线 ， 最大 挠度 ｖ
作 者简 介 ：
～ ．
误 差产 生 的原因 ： 根据 挠 曲线近 似微 研 究方 向：土 木工 程 。 弯矩正负号规定及所选取的坐标系取负 分方 程 （ ） ，忽略 了 ｖ ５ 式 ｄ ／ 量 ，于 Ｊ 、 王明兴 （９８ ） １８ 一 ，男 ，汉族 ，湖 南 ｖ ＾ ４为挠曲线 是就 出现 了用 二次抛物 线代替 圆弧线 的情 邵 阳人 ，中南大 学土 木建 筑 学 院本科 生， ＾（）
三 、应 用 实例 比较
１ 如 图 一所 示 ，悬 臂 梁 只在 自由端 ．
解析： 不能 根据
一
算 变形 。
因为 曲变 形影 响很 小 ，可 以不计 ，因此 该 式 作用弯曲力偶 或为纯弯曲梁 ，分别根 据 （ ）式 和 （ ）式 求最 大 挠 度 。 １ ５ 成 为横 力 弯 曲变形 的 基本 方程 。 时 ， 这 和．－ ＝皆为ｘ １ 的函数 ，因此横力弯曲情况的 弯矩 与曲率的关系为
结 果 分 析 ： 比较两 种 情 况 ，产 生 的
标 系，曲线下 凸时 二阶导数 ，同理
胡立华 （９ ８ ） １８一 ，女，汉族 ，湖南
邵 阳人 ，中南大 学 土木建 筑学 院本 科 生 ，
＾ 为 梁挠曲 ） 负时 线向上凸，； 根 ， 据
相 误 为ｌ Ｉ 对差【
＝ 孚）
是 去 成 的 略 害而 立 。
ｙ 疆 ～
从几何关系上 ， 平面曲线的曲率表达
ｄ２ ｖ
为 方
从
１ 根 （式 吉 可 ｐ 量 据 １ 有 — ，知＝ ， 【】刘庆 潭 ．材 料 力 学 ） 常 Ｄ 到 挠 曲 线为 圆 弧 ，最 大挠 度 ｖ： （ ｃｓ） 业 出版 社．２０４年 ２月． 勰 ０ ｌ 卜 ｏｅ￣
线微分方程， 而推导出在小变形情况下 的挠 曲线近似微分方程。最后通过实例 比较 了分别采用曲率弯矩关系和近似微 进
分 方程 求 挠度 的 差别 。
［ 关键 词］纯 弯矩 ； 曲率 ；挠 度 ；近似 微 分 方程
【 图分 类号 】Ｃ ４ 【 献标 识 码】Ａ 【 中 ３ 文 文章 编 号】 １０ ．６ ６（ ０ ０ ７０ １．１ ０ ９９４ ２ １ ）０．０５Ｏ
的 曲率半 径 和 面 的弯 矩 。 截
二 曲线 微分 方程 与近 似微 分 方程 挠
仅表 明曲率与 弯矩成正
没有限制。变形公式
Ｍ
＝士
一 是在
ＡＡ １ （） 式
中ｐ 和脚 ） 别 为 梁轴 上 处 挠 曲线 ∽ 分 点
务 ’曲够变 且 率 小形 当 足 ，小
参考文献 ：
在工程设计中，某些受弯构件不仅 微 分方 程 ，它是 非线 性 的 。
有 强 度要 求 ，往 往 还有 刚 度 要求 ，即要
２ 如 图二 所示 ，一 悬臂 板 条 ，在外 ．
在 工程 问 题 中 ，梁 的挠 度 一 般 都 远 力偶 作用下弯成半 圆形 ，问这种情况 求 构 件 变形 不 能 超 过 限定 值 。 否则 ，变 小 于跨 度 ， 曲线 ｖ 是 一 非 常平 坦 的 挠 ） 下 ，能 否根 据 一 计算 变形 ？ 形 过大 ， 结 构或 构 件丧 失 正常 功能 ， 使 发
［ ． 械 工 Ｍ］ 机
中ｃ 卜 ，ｓ 错 。 以 ［】刘 鸿文 ．材料 力 学 同步 辅 导及 习 ２ 题 全 解 【 ．中 国矿 业大 学 出版 社 ． ０９ Ｍ】 ２ ０ 挠 微 程＋） 从） 曲 分 霉］ （ 线 方［ １ ３ （号 — 一 矿＾ 一鍪 人 年 ２月． Ｊ 人 于
Ｊｌ ０ ０ ｕｙ ２ １
学术探讨
纯弯 曲作 用梁 挠 曲线微分 方程 的应 用 与分析
胡立 华 ，王 明兴
（ 中南 大 学土木 建 筑 学院 ，湖 南长 沙 ４ ０ ７ ） １０ ５ ［ 摘 要 ］本 文根 据 纯弯 矩 正应 力 计算 中弯矩 与 曲率 的 关系 ， 以几 何 关 系平 面 曲线 曲率 的表 达 ，得 出弯 曲 变形挠 曲 借
况。 这种代 替在小 变形 的条件下 是 允许 的
一Hale Waihona Puke 研 究方 向 ：土木 工程 。
１ — ５
、
纯弯 矩作 用下 弯矩 与 曲率 的关 系
根据纯弯曲梁正应力计算推导过程 ， 方 程 ，式 中 Ｅ 为梁 的 抗弯 刚度 ， 用 累 Ｉ 应
可 到 矩 曲 的 系 为 在 次 积 分 并 通 过边 界 条 件 和 连续 性 条 件 确 得 弯 与 率 关 ｛ 茜，梁 ＝
纯弯曲情况下 的曲率公式 。当横力弯 曲 定 积 分 常数求 截 面 的挠 度 。 时 ，梁 截 面上 有 弯 矩 和剪 力 ，但 对 于 跨 度 ｆ 大 于截 面高 度ｈ ｉ 丞 的细 长 梁 ， 力对 弯 剪