2018春九年级数学下册第3章圆4圆周角和圆心角的关系(第2课时)圆周角定理推论及圆内接四边形作业课件(新
九下第三章圆4圆周角和圆心角的关系第2课时圆周角定理的推论作业新版北师大版
【点拨】连接BD.∵四边形ABCD是矩形， ∴BD是⊙O的直径， ∵AB＝4，AD＝3，∴BD＝ ∴⊙O的半径为 ，∴⊙O的面积为 又∵矩形的面积为3×4＝12， ∴阴影部分的面积为 π－12.
14．【荣德原创题】如图，⊙O的内接四边形ABCD的两组对边的延长线分别交于点E，F. (1)若∠E＝∠F，求证：∠ADC＝∠ABC；
第三章 圆
4 圆周角和圆心角的关系
第2课时 圆周角定理的推论
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1．直径所对的圆周角是________；________3随堂练习T2变式】用直角三角尺检查半圆形的工件，下列工件合格的是( )
D
【点拨】如图，连接CO并延长，交⊙O于点E，连接AE. ∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA. ∵∠ACD＝∠CAB，∴∠DCA＝∠ACO. ∴AE＝AD＝2. ∵CE是直径，∴∠EAC＝90°. 在Rt△EAC中，AE＝2，AC＝4，
13．【2023·重庆】如图，⊙O是矩形ABCD的外接圆，若AB＝4，AD＝3，则图中阴影部分的面积为________．(结果保留π)
请利用上述两个问题的方法和结论，完成下面的综合问题： (3)如图③，⊙O的直径为 ，弦AB⊥弦CD于点E，连接AD，BC，若AD＝4，求BC的长，请写出解题过程．
解：如图③，连接AO并延长交⊙O于点F，连接BF，DF. ∵AF为直径，∴AB⊥BF，∠ADF＝90°.
∴BC＝1.
外接圆
互补
6．【2022·宜昌】如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB，OD，BD，若∠C＝110°，则∠OBD＝( ) A．15° B．20° C．25° D．30°
九年级数学下册 第3章 圆 3.4 圆周角和圆心角的关系 3.4.2 圆周角和圆心角的关系课件 北师
3.4.2圆周角和圆心角的关系
情境导入
圆周角:顶点在圆上,它的两边分别与圆还有另一个
交点,像这样的角,叫做圆周角.
B
圆周角定理
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.
A C
A C
●O
●O B
B B
A
●O
C
A C
●O
本节目标
1.掌握圆周角定理几个推论的内容，会熟练运用推论解决问题. 2．培养学生观察、分析及理解问题的能力. 3．在学生自主探索推论的过程中，经历猜想、推理、验证等环节， 获得正确的学习方式.
(2)OC与BD的位置关系是_平___行_______; (3)若OC=2cm,则BD=__4____cm.
D C A O1 O B
随堂检测
5.如图，AE是⊙O的直径, △ABC的顶点都在⊙O上,AD是△ABC的高. 求证：AB·AC=AE·AD.
证明：连接EC.因为∠ADB=∠ACE=90°，
∠AEC=∠ABD, 故△ACE∽ △ADB, 所以 AC AD .
典例精析
例1.如图,AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦,延长BD到C,使AC=AB,BD与CD
的大小有什么关系?为什么?
解析：BD=CD；
A
理由：如图，Байду номын сангаас接AD.
∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，
●O
即AD⊥BC. 又∵AC=AB，∴BD=CD.
C
D
B
典例精析
例2.如图，⊙O中,D，E分别是AB和AC 的中点, DE分别交AB和AC于点M， N；求证:△AMN是等腰三角形.
A B
M
PO
北师大版九年级数学下册第三章3.4(2)圆周角和圆心角的关系课件(共26张PPT)
已知EA=3,EB=6,EC=8,则ED=___
船在航行过程中,船长常常通过测定角度来确定
是否会遇到暗礁,如图,A,B表示灯塔,暗礁分布在经过
A,B两点的一个圆形区域内,C表示一个危险临界点,
∠ACB就是”危险角”,当船与两个灯塔的夹角大于”
危险角”时,就有可能触礁.
(1)当船与两个灯塔的夹角∠a 等于“危险角”时,船位于哪 个区域?为什么?
A D
E
.O
C
B
5.(1)如图,在⊙O中,弦AB、CD相交于点E，则△ACE 与△ DBE有什么关系？并说明理由。
A D
E
.O
C
B
5.(2) 线段EA、EB、EC、ED有什么关系？并说明理 由。
相交弦定理 A D E .O
C
B
如图,在⊙O中,任意弦AB、CD相交于点E，则有 EA·EB=EC·ED
• 14、Thank you very much for taking me with you on that splendid outing to London. It was the first time that I had seen the Tower or any of the other famous sights. If I'd gone alone, I couldn't have seen nearly as much, because I wouldn't have known my way about.
O
C B
8.如图,圆O中,AB是直径,半径CO⊥AB,
D是CO的中点,DE∥AB,求∠ABE的度数.
C
E
D
北师大版数学九年级下册《第三章 圆 4 圆周角和圆心角的关系 第2课时 圆周角定理的推论2、3》
推论 圆内接四边形的对角互补.
想一想
如图，∠DCE 是圆内接四边形 ABCD 的一个
外角，∠A 与∠DCE 的大小有什么关系？ D
根据圆内接四边形的对角互补，A
∠A +∠BCD =180° .
又∠BCD +∠DCE =180° .
∴∠A =∠DCE .
B
O E
C
随堂演练
1.如图所示，⊙O 的直径 AB =10 cm，C 为 ⊙O 上一点，∠BAC = 30°，则 BC =__5___cm.
⊙O的弦AD交⊙O1于C，则 (1)OC与AD的位置关系是_O_C__垂__直__平__分__A_D_;
(2)OC与BD的位置关系是_平__行__；
D
(3)若OC = 2cm，则BD =__4__cm。 C
A O1 O
B
谢谢 大家
郑重申明
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第2课时 圆周角定理的推论2、3
北师版 九年级下册
复习导入
A
B
上节课我们学习了圆周角
的哪些定理？本节课我们继续
O
学习与圆周角有关的定理.
C
探究新知
如图，BC 是⊙O 的直径，它所对的圆周角 有什么特点？你能证明你的结论吗？
A
根据圆周角定理，
B
O
C A 1 BOC 90. 2
如图，圆周角∠A = 90°，弦 BC 是直径吗？
诚信赢天下，精品得人心！
为什么？
A
根据圆周角定理，
A 1 BOC， 2
B
O
C
∴∠BOC =2∠A = 180°，
九年级数学下第3章圆4圆周角和圆心角的关系第2课时圆周角和直径的关系授课北师大
2 易错小结
已知在半径为4的⊙O中，弦AB＝4 3 ，点P在圆上，则 ∠APB＝_6_0_°__或__1_2_0_°_．
易错点：求圆周角的度数时容易考虑不周全
如图，当点P(P1)在弦AB所对的优弧上时，过点O作 OC⊥AB于点C，连接OA，OB.由垂径定理可得AC＝
2 3 ，∠AOC＝∠BOC.在Rt△OAC中，OC＝ OA2－AC2
1 知识小结
1.已知直径时，常添加辅助线构造直角三角形，即“见直径想 直角”．题目中遇到直径时要考虑直径所对的圆周角为90°， 遇到90°的圆周角时要考虑直角所对的弦为直径，这是圆中 作辅助线的常用方法．
2.在解决圆的有关问题时，常常利用圆周角定理及其推论进行 两种转化：一是利用同弧所对的圆周角相等，进行角与角之 间的转化，二是将圆周角相等的问题转化为弦相等或弧相等 的问题.
知1－练
4 【中考·安顺】如图，⊙O的直径AB＝4，BC切
⊙O于点B，OC平行于弦AD，OC＝5，则AD的
长为( B )
A. 6 5
B. 8 5
C. 7 5
D. 2 3 5
知1－练
5 (中考·连云港)如图，点P在以AB为直径的半圆内，连接 AP，BP，并延长分别交半圆于点C，D，连接AD，BC并 延长交于点F，作直线PF，下列说法一定正确的是( D ) ①AC垂直平分BF；②AC平分∠BAF；③FP⊥AB；④ BD⊥AF. A．①③ B．①④ C．②④ D．③④
1 如图， ⊙O的直径AB = 10cm，C为⊙O上的一点， ∠B = 30°，求AC的长.
解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°.
在Rt△ACB中，
sin ∠ABC＝ A C ， AB
∴AC＝AB sin ∠ABC＝10×sin 30°
资源县九中九年级数学下册第三章圆4圆周角和圆心角的关系第2课时圆周角定理的推论23教案新版北师大版
1．以大约与水平成45°角的方向，向斜上方抛出标枪，抛出的距离s（单位：m） 与标枪出手的速度v（单位：m/s）之间大致有如下关系：s= +2，如果抛出40m，那么标枪出手时的速度是________（精确到0.1）
2．一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动， 通过仪器观察得到小球滚动的距离s（m）与时间t（s）的数据如下：
答案 :A
3.ABC为⊙O的内接三角形 , 假设∠AOC=160° , 那么∠ABC的度数是〔〕
A.80°B.160°
C.100°D.80°或100°
解析 : 当点B在优弧 上时, ∠ABC=2∠AOC= ×160°=80°当点B在劣弧 上时 ,∠AB′C=180°-∠ABC=180°=80°=100°.所以∠ABC的度数是80°或100°
参考答案
一、1．C 2．B
二、1．19.3m/s 2．s=2t2
三、
1．（1）小球滚动的平均速度= =5（m/s）
小球滚动的时间： =4（s）
（2） =2.5（m/s）
（3）小球滚动到5m时约用了xs
平均速度= =
依题意，得：x· =5，整理得：
x2-8x+4=0
解得：x=4±2 ，所以x=4-2
2．能．设侦察船最早由B出发经过x小时侦察到军舰，
答案:D
[教学说明]运用所学知识进行应用 , 巩固知识 , 形成做题技巧让学生通过练习进一步理解 , 培养学生的应用意识和能力.
（四）师生互动 , 课堂小结
1．圆周角的概念及定理和推论 ;
2．圆内接多边形与多边形的内接圆概念和圆内接四边形性质 ;
3．应用本节定理解决相关问题.
1.作业 : 教材〞习题1.1”中第1、2题.
北师大版九年级下册数学第三章 圆3.4 圆周角和圆心角的关系第2课时 圆周角和直径的关系及圆内接四边形教案
3.4 圆周角和圆心角的关系第2课时圆周角和直径的关系及圆内接四边形1．掌握圆周角和直径的关系，会熟练运用解决问题；(重点)2．培养学生观察、分析及理解问题的能力，经历猜想、推理、验证等环节，获得正确的学习方式．(难点)一、情境导入你喜欢看足球比赛吗？你踢过足球吗？如图②所示，甲队员在圆心O处，乙队员在圆上C处，丙队员带球突破防守到圆上C处，依然把球传给了甲，你知道为什么吗？你能用数学知识解释一下吗？二、合作探究探究点一：圆周角和直径的关系【类型一】利用直径所对的圆周角是直角求角的度数如图，BD是⊙O的直径，∠CBD＝30°，则∠A的度数为()A．30°B．45°C．60°D．75°解析：∵BD是⊙O的直径，∴∠BCD＝90°.∵∠CBD＝30°，∴∠D＝60°，∴∠A＝∠D＝60°.故选C.方法总结：在圆中，如果有直径，一般要找直径所对的圆周角，构造直角三角形解题．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题【类型二】作辅助线构造直角三角形解决问题如图，点A、B、D、E在⊙O上，弦AE、BD的延长线相交于点C.若AB是⊙O的直径，D是BC的中点．(1)试判断AB、AC之间的大小关系，并给出证明；(2)在上述题设条件下，当△ABC为正三角形时，点E是否为AC的中点？为什么？解析：(1)连接AD，先根据圆周角定理求出∠ADB＝90°，再根据线段垂直平分线性质判断；(2)连接BE，根据圆周角定理求出∠AEB＝90°，根据等腰三角形性质求解．解：(1)AB＝AC.证明如下：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC.∵BD＝DC，∴AD垂直平分BC，∴AB＝AC；(2)当△ABC为正三角形时，E是AC的中点．理由如下：连接BE，∵AB为⊙O的直径，∴∠BEA＝90°，即BE⊥AC.∵△ABC为正三角形，∴AE＝EC，即E是AC的中点．方法总结：在解决圆的问题时，如果有直径往往考虑作辅助线，构造直径所对的圆周角．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题探究点二：圆内接四边形【类型一】圆内接四边形性质的运用如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E是CB的延长线上一点，∠EBA＝125°，则∠D＝()A．65°B．120°C．125°D．130°解析：∵∠EBA＝125°，∴∠ABC＝180°－125°＝55°.∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠D＋∠ABC＝180°，∴∠D＝180°－55°＝125°.故选C.方法总结：解决问题关键是掌握圆内接四边形的对角互补这一性质．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题【类型二】圆内接四边形与圆周角的综合如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BOD＝120°，那么∠BCD是()A．120°B．100°C．80°D．60°解析：∵∠BOD＝120°，∴∠A＝60°，∴∠C＝180°－60°＝120°，故选A.方法总结：解决问题关键是掌握圆内接四边形的对角互补和圆周角的性质．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题【类型三】圆内接四边形与垂径定理的综合如图，AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，交⊙O于D，AF交⊙O于G.求证：∠FGD＝∠ADC.解析：利用圆内接四边形的性质求得∠FGD＝∠ACD，然后根据垂径定理推知AB是CD的垂直平分线，则∠ADC＝∠ACD.故∠FGD＝∠ADC.证明：∵四边形ACDG内接于⊙O，∴∠FGD＝∠ACD.又∵AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，∴AB垂直平分CD，∴AC＝AD，∴∠ADC＝∠ACD，∴∠FGD＝∠ADC.方法总结：圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据．【类型四】圆内接四边形、圆周角、相似三角形和三角函数的综合如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点C为BD︵的中点，AC、BD交于点E.(1)求证：△CBE∽△CAB；(2)若S△CBE∶S△CAB＝1∶4，求sin∠ABD的值．解析：(1)利用圆周角定理得出∠DBC ＝∠BAC ，根据两角对应相等得出两三角形相似，直接证明即可；(2)利用相似三角形的性质面积比等于相似比的平方，得出AC ∶BC ＝BC ∶EC ＝2∶1，再利用三角形中位线的性质以及三角函数知识得出答案．(1)证明：∵点C 为BD ︵的中点，∴∠DBC ＝∠BAC .在△CBE 与△CAB 中，∠DBC ＝∠BAC ，∠BCE ＝∠ACB ，∴△CBE ∽△CAB ；(2)解：连接OC 交BD 于F 点，则OC 垂直平分BD .∵S △CBE ∶S △CAB ＝1∶4，△CBE ∽△CAB ，∴AC ∶BC ＝BC ∶EC ＝2∶1，∴AC ＝4EC ，∴AE ∶EC ＝3∶1.∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∴AD ∥OC ，则AD ∶FC ＝AE ∶EC ＝3∶1.设FC ＝a ，则AD ＝3a .∵F 为BD 的中点，O 为AB 的中点，∴OF 是△ABD 的中位线，则OF ＝12AD ＝1.5a ，∴OC ＝OF ＋FC ＝1.5a ＋a ＝2.5a ，则AB ＝2OC ＝5a .在Rt △ABD 中，sin ∠ABD ＝AD AB ＝3a 5a ＝35. 方法总结：圆内接四边形、圆周角等知识都是和角有关的定理，在圆中解决这方面的问题时考虑相等的角．三、板书设计圆周角和直径的关系及圆内接四边形1．圆周角和直径的关系2．圆内接四边形的概念和性质本节课采用问题情境——自主探究——拓展应用的课堂教学模式，以问题为主，配合多媒体辅助教学，引导学生进行有效思考．在教学过程中，通过问题串启发引导，学生自主探究，创设情境等多种教学方式，激发学生学习兴趣，调动课堂气氛，收到了很好的教学效果.。
九年级数学下册第三章圆3.4圆周角和圆心角的关系第二课时初中九年级下册数学
观察(guānchá)图，圆周角∠BAC=90°，弦BC是直径 吗？为什么？
A
解：弦BC是直径.
连接OC、OB. ∵∠BAC=90°
B
C
O
∴∠BOC=2∠BAC=180°
（圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的
一半）
∴B、O、C三点(sān diǎn)在同一直线上
∴BC是⊙O的一条直径
12/11/2021
2
∠12 1 .
（圆周角的度数等于它所对弧上圆心角的一半）
∵∠1+∠2=360°
A
1
C
O2
∴∠BAD+∠BCD=180°
∴∠BAD与∠BCD互补
B
12/11/2021
第十二页，共三十页。
如图，两个四边形ABCD有什么共同(gòngtóng)的特点？
D A
D A
C
O
O
B
C
B
四边形ABCD的四个顶点都在⊙O上，这样的四边
都和圆相交的角叫圆周角.
圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等 弧所对的圆周角等于它所对 的圆心角的一半.
12/11/2021
第三页，共三十页。
巩固 复 (gǒnggù) 习 1.求图中角x的度数(dù . shu)
D C 120°
O.
C
70° x
A
B
x= 35°
.O
x
A
B
x= 120°
定理 圆周角的度数等于(děngyú)它所对弧上的圆心 角的度数的一半 12/11/2021
第十四页，共三十页。
想一想
如图，∠DCE是圆内接四边 A
形ABCD的一个(yī ɡè)外角，
201x版九年级数学下册 第三章 圆 4 圆周角和圆心角的关系(第2课时)教学(新版)北师大版
内对角
又一种重要的辅助线
如图，⊙O1和⊙O2都经过A、B两点，经过A点的直线CD 与⊙O1交于点C，与⊙O2交于点D，经过B点的直线EF与 ⊙O1交于点E，与⊙O2交于点F。求证：CE∥DF
D
有的E两一个种圆 辅的 助A题 线目 ：常作用公 共此C 图弦形。O是1 一个考试O 2热 门图形。 B
F
⊙O的弦AD交⊙O1于C,则 (1)OC与AD的位置关系是___O__C_垂__直__平__分__A__D__;
(2)OC与BD的位置关系是___平__行______;
D
(3)若OC=2cm,则BD=__4____cm.
C
A O1 O
B
精选ppt
4.如图,△ABC的顶点均在⊙O上, AB=4, ∠C=30°,求⊙O的
故△ACE∽ △ADB,
所以 A C A D . AE AB
即AB·AC=AE·AD.
B E
A OD C
精选ppt
定理：圆的内接四边形的对角互补 定理拓展：任何一个外角都等于它的内对角。
∠D＋∠B＝180° ∠A＋∠C＝180°
对角
EA B
D ∠EAB＝∠BCD
O
∠FCB＝∠BAD
C 外角
F
精选ppt
动点，则PA+PB的最小值为（ ）
A B
M
PO
N
A．2 2
答案：B
B． 2
第C1．0题图1
精选ppt
D．2
3．（荆州·中考）△ABC中，∠A=30°，∠C=90°，作
△ABC的外接圆．如图，若弧AB的长为12cm，那么弧AC的长
是（ ）
A．10cm
B．9cm
九年级数学下册 第三章 圆 3.4 圆周角和圆心角的关系(第2课时)
1.如图，四边形ABCD内接于☉O，若∠A∶∠C=5∶7，
则∠C=
A.210°
( C) B.150°
C.105° D.75°
第二十二页，共四十一页。
★2.(2019·天水中考)如图，四边形ABCD是菱形(línɡ xínɡ)，
☉O经过点A，C，D，与BC相交于点E，连接AC，AE.
第十八页，共四十一页。
【规范(guīfàn)解答】∵BC∥AE， ∴∠ACB=∠EAC， ……………………平行线性质 ∵∠ACB=∠BAD， ∴∠EAC=∠BAD，……………………等量代换 ∴∠EAD=∠CAB， ∵∠ADE+∠ADC=180°，………………平角定义
第十九页，共四十一页。
∠ADC+∠ABC=180°，……………圆内接四边形性质 ∴∠ADE=∠ABC，……………………………等式性质 ∵∠EAD+∠ADE+∠E=180°， ∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°………三角形内角(nèi jiǎo)和定理 ∴∠E=∠ACB=∠EAC，……………………等式性质 ∴CE=CA.………………………………等腰三角形判定
第二十页，共四十一页。
【学霸提醒】 圆内接四边形的角的“两种”关系(guān xì)
1.对角互补，若四边形ABCD为☉O的内接四边形，则 ∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°. 2.四个角的和是360°，若四边形ABCD为☉O的内接四边形， 则∠A+∠B+∠C+∠D=360°.
第二十一页，共四十一页。
∴∠ACB=∠CDE=∠CFE=90°，
∴四边形CDEF为矩形(jǔxíng)，∴EF=CD1 =
2018_2019学年九年级数学下册第三章圆3.4圆周角和圆心角的关系
3.4 圆周角和圆心角的关系教学目标知识与技能1.理解圆周角的概念．2.掌握圆周角与圆心角的关系．3.掌握同弧或等弧所对的圆周角相等．数学思考与问题解决1.通过观察、猜想、验证、推理，来培养学生探索数学问题的能力和方法．2.学会以特殊情况为基础，通过转化来解决一般问题的方法，体会分类的数学思想．情感与态度1.通过定理的证明过程，体验数学活动的探索性和创造性，感受证明的严谨性．2.通过小组活动讨论，体会在解决问题的过程中与他人合作的重要性，培养团队意识．3.体验数学与实际生活的紧密联系．重点：圆周角概念和圆周角定理难点：圆周角定理的证明教学工具多媒体课时安排2课时，本节是第1课时．教学设计一、情境引入（你来评评理）师出示情境引出课题足球训练场上教练在球门前画了一个圆圈，进行无人防守的射门训练，如图，甲、乙两名运动员分别在C、D 两地，他们争论不休，都说自己所在位置对球门AB 的张角大．如果你是教练，请评一评他们两个人，谁的位置对球门AB的张角大?CD他们两个谁说的对呢？通过本节课的学习，便能水落石出。
（师板书课题：圆周角与圆心角的关系）二、学习新知（探索天地）1学习圆周角定义师导问：图上面的∠ACB、∠ADB是我们学过的圆心角吗？有什么特征？如果请你命名，你叫它什么？谁能用自己的话说一说什么样的角叫圆周角？生得出定义：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角.师分析特征ａ、角的顶点在圆上.ｂ、角的两边都与圆相交师出示图形生判断巩固圆周角定义判断下列各图中的角是否是圆周角?并说明理由2探索定理ａ、⊙O中画出弧BC所对的圆心角和圆周角，你能画出多少个符合条件的圆心角和圆周角?生通过画图得出一条弧对一个圆心角和无数个圆周角.ｂ、弧BC所对的圆周角有无数个，观察你所画的图形，它们与圆心O有哪几种位置关系?生观察得出：三种，圆心在角内、外，上.ｃ、测量弧BC所对的圆周角和圆心角度数，发现有何关系？生猜想并测量得出结论：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半。