实验2-空间曲线曲面图形的绘制
空间曲线与曲面
空间曲线与曲面空间曲线和曲面是几何学中重要的概念，它们在理解和描述物体的形状和运动过程中起着至关重要的作用。
本文将探讨空间曲线与曲面的定义、性质以及其应用领域。
一、空间曲线的定义与性质空间曲线是三维空间中的一条连续曲线，在数学上通常表示为参数方程形式或者向量函数形式。
一条空间曲线由无数个点组成，这些点沿着曲线有一定的规律排列。
空间曲线具有以下性质：1. 长度：曲线的长度可以通过对参数范围进行积分计算得出。
长度为曲线上各点之间的距离之和。
2. 切线：曲线上的每一点都有一个唯一的切线与曲线相切。
切线是通过该点的一条直线，与曲线在该点处重合。
3. 曲率：曲线的曲率描述了曲线曲率变化的速度。
曲率可以通过求曲线的曲率半径和弧长的比值得出。
二、空间曲线的应用空间曲线广泛应用于多个学科和领域，如物理学、工程学和计算机图形学等。
以下是空间曲线在相关领域中的应用举例：1. 物理学：在纳米尺度和宏观尺度的物理研究中，空间曲线被用于描述电磁场线、粒子轨迹、物质流动等。
通过分析空间曲线的性质，可以揭示物质的运动规律和相互作用方式。
2. 工程学：在工程设计和制造过程中，空间曲线用于描述物体的外形和运动轨迹。
例如，在航空航天领域，通过研究飞行器的曲线轨迹，可以优化设计以提高飞行效率和安全性。
3. 计算机图形学：计算机图形学中的曲线建模技术使用空间曲线来表示和绘制三维对象。
空间曲线可以通过插值和逼近方法生成，使得计算机可以准确地表示和操作复杂的曲线形状。
三、空间曲面的定义与性质空间曲面是三维空间中的一个二维平面，它由无数个点组成，并且在任意一点处都具有一个唯一的切平面。
在数学上，曲面可以用参数方程、隐函数方程或者二次方程等形式表示。
空间曲面具有以下性质：1. 切平面：曲面上的每一点都有一个唯一的切平面与其相切。
切平面是通过该点的一个二维平面，与曲面在该点处相切。
2. 法向量：曲面上的每一点都有一个对应的法向量，它垂直于曲面上的切平面。
实验2 空间图形的画法(基础实验)
项目二 一元函数积分学与空间图形的画法实验2 空间图形的画法(基础实验)实验目的 掌握用Mathematica 绘制空间曲面和曲线的方法. 熟悉常用空间曲线和空间曲面 的图形特征,通过作图和观察, 提高空间想像能力. 深入理解二次曲面方程及其图形.基本命令1.空间直角坐标系中作三维图形的命令Plot3D命令Plot3D 主要用于绘制二元函数),(y x f z =的图形. 该命令的基本格式为Plot3D[f[x,y],{x,x1,x2},{y,y1,y2},选项]其中f[x,y]是y x ,的二元函数, x1,x2表示x 的作图范围, y1,y2表示y 的作图范围.例如,输入Plot3D[x^2+y^2,{x,-2,2},{y,-2,2}]则输出函数22y x z +=在区域22,22≤≤-≤≤-y x 上的图形(图2.1)与Plot 命令类似, Plot3D 有许多选项. 其中常用的如PlotPoints 和ViewPoint. PlotPoints 的用 法与以前相同. 由于其默认值为PlotPoints->15, 常常需要增加一些点以使曲面更加精致, 可能要 用更多的时间才能完成作图. 选项ViewPoint 用于选择图形的视点(视角), 其默认值为 ViewPoint->{1.3,-2.4,2.0},需要时可以改变视点.2.利用参数方程作空间曲面或曲线的命令ParametricPlot3D 用于作曲面时, 该命令的基本格式为ParametricPlot3D[{x[u,v],y[u,v],z[u,v]},{u,u1,u2},{v,v1,v2},选项]其中x[u,v],y[u,v],z[u,v]是曲面的参数方程表示式. u1,u2是作图时参数u 的范围, v1,v2是参数v 的 范围.例如，对前面的旋转抛物面, 输入ParametricPlot3D[{u*Cos[v],u*Sin[v],u^2},{u,0,3},{v,0,2 Pi}]同样得到曲面22y x z +=的图形(图2.2).由于自变量的取值范围不同, 图形也不同. 不过, 后者比较好的反映了旋转曲面的特点, 因 而是常用的方法.又如, 以原点为中心, 2为半径的球面. 它是多值函数, 不能用命令Plot3D 作图. 但是, 它的 参数方程为,20,0,cos 2,sin sin 2,cos sin 2πθπϕϕθϕθϕ≤≤≤≤===z y x因此,只要输入ParametricPlot3D[{2 Sin[u]*Cos[v],2 Sin[u]*Sin[v],2 Cos[u]},{u,0,Pi},{v,0,2 Pi}]便作出了方程为22222=++y x z 的球面(图2.3)..用于作空间曲线时,ParametricPlot3D 的基本格式为ParametricPlot3D[{x[t],y[t],z[t]},{t,t1,t2},选项]其中x[t],y[t],z[t]是曲线的参数方程表示式. t1,t2是作图时参数t 的范围.例如, 空间螺旋线的参数方程为).80(10/,sin ,cos π≤≤===t t z t y t x输入ParametricPlot3D[{Cos[t],Sin[t],t/10,RGBColor[1,0,0]},{t,0,8 Pi}]则输出了一条红色的螺旋线(图2.4).在这个例子中，请读者注意选项RGBColor[1,0,0]的位置.用于作空间曲线时, ParametricPlot3D 的选项PlotPoints 的默认值是30, 选项ViewPoint 的默 认值没有改变.3.作三维动画的命令MoviPlot3D:无论在平面或空间, 先作出一系列的图形, 再连续不断地放映, 便得到动画. 例如, 输入调用作图软件包命令<<Graphics\Animation.m.执行后再输入MoviePlot3D[Cos[t*x]*Sin[t*y],{x,-Pi,Pi},{y,-Pi,Pi},{t,1,2},Frames->12]则作出了12幅曲面图, 选中任一幅图形, 双击它便可形成动画.实验举例一般二元函数作图例2.1 (教材 例2.1) 作出平面y x z 326--=的图形,其中20,30≤≤≤≤y x . 输入Plot3D[6-2x-3y,{x,0,3},{y,0,2}]则输出所作平面的图形（图2.5）.如果只要位于第一卦限的部分, 则输入Plot3D[6-2x-3y,{x,0,3},{y,0,2},PlotRange->{0,6}]观察图形.2.6）.图2.6例2.2 (教材 例2.2) 作出函数2214y x z ++=的图形.输入k[x_,y_]:=4/(1+x^2+y^2)Plot3D[k[x,y],{x,-2,2},{y,-2,2},PlotPoints->30,PlotRange->{0,4},BoxRatios->{1,1,1}]则输出函数的图形2.7. 观察图形, 理解选项PlotRange->{0,4}和BoxRatios->{1,1,1}的含义. 选项 BoxRatios 的默认值是{1,1,0.4}.例2.3 (教材 例2.3) 作出函数22y x xye z ---=的图形. 输入命令Plot3D[-x*y*Exp[-x^2-y^2],{x,-3,3},{y,-3,3},PlotPoints->30,AspectRatio->Automatic];则输出所求图形（图 图2.8例2.4 (教材 例2.4) 作出函数)94cos(22y x z +=的图形. 输入Plot3D[Cos[4x^2+9y^2],{x,-1,1},{y,-1,1},Boxed->False,Axes->Automatic,PlotPoints->30,Shading->False]则输出网格形式的曲面图2.9, 这是选项Shading->False 起的作用, 同时注意选项Boxed->False 的作用.二次曲面例2.5 (教材 例2.5) 作出椭球面1194222=++z y x 的图形. 这是多值函数, 用参数方程作图的命令ParametricPlot3D. 该曲面的参数方程为,cos ,sin sin 3,cos sin 2u z v u y v u x === (ππ20,0≤≤≤≤v u ).输入ParametricPlot3D[{2*Sin[u]*Cos[v],3*Sin[u]*Sin[v], Cos[u]},{u,0,Pi},{v,0,2 Pi},PlotPoints->30]则输出椭球面的图形, 可使图形更加光滑.图2.10例2.6 (教材 例2.6) 作出单叶双曲面1941222=-+z y x 的图形. 曲面的参数方程为,tan 3,cos sec 2,sin sec u z v u y v u x === (.20,2/2/πππ≤≤<<-v u )输入ParametricPlot3D[{Sec[u]*Sin[v],2*Sec[u]*Cos[v], 3*Tan[u]},{u,-Pi/4,Pi/4},{v,0,2 Pi},PlotPoints->30]图2.11例2.7 作双叶双曲面13.14.15.1222222-=-+z y x 的图形.曲面的参数方程是,csc 3.1,sin cot 4.1,cos cot 5.1u z v u y v u x ===其中参数πππ<<-≤<v u ,20时对应双叶双曲面的一叶, 参数πππ<<-<≤-v u ,02时对应双叶双曲面的另一叶. 输入sh1=ParametricPlot3D[{1.5*Cot[u]*Cos[v],1.4*Cot[u]*Sin[v],1.3/Sin[u]},{u,Pi/1000,Pi/2},{v,-Pi,Pi}, DisplayFunction->Identity];(*DisplayFunction->Identity 是使图形暂时不输出的选项*) sh2=ParametricPlot3D[{1.5*Cot[u]*Cos[v],1.4* Cot[u]*Sin[v],1.3/Sin[u]},{u,-Pi/2,-Pi/1000}, {v,-Pi,Pi},DisplayFunction->Identity];Show[sh1,sh2,DisplayFunction->$DisplayFunction](*命令Show[sh1,sh2]是把图形sh1,sh2放置在一起, DisplayFunction->$DisplayFunction 是恢复显示图形的选项*) 输出为图2.12.例2.8 可以证明: 函数xy z =的图形是双曲抛物面. 在区域22,22≤≤-≤≤-y x 上作出它的图形.输入Plot3D[x*y,{x,-2,2},{y,-2,2},BoxRatios->{1,1,2}, PlotPoints->30]输出图形略. 也可以用ParametricPlot3命令作出这个图形, 输入ParametricPlot3[{r*Cos[t],r*Sin[t],r^2*Cos[t] *Sin[t]},{r,0,2},{t,0,2 Pi},PlotPoints->30]输出为图2.13例2.9 (教材 例2.7) 作出圆环v z u v y u v x sin 7,sin )cos 38(,cos )cos 38(=+=+=,(πππ22/,2/30≤≤≤≤v u )的图形.输入ParametricPlot3D[{(8+3*Cos[v])*Cos[u],(8+3*Cos[v])*Sin[u],7*Sin[v]},{u,0,3*Pi/2},{v,Pi/2,2*Pi}];图2.14例2.10 画出参数曲面]2,001.0[],4,0[)5/2/ln(tan cos sin sin sin cos ∈∈⎪⎩⎪⎨⎧++===v u u v v z vu y v u x π的图形.输入命令ParametricPlot3D[{Cos[u]*Sin[v],Sin[u]Sin[v],Cos[v]+Log[Tan[v/2]+u/5]}, {u,0,4*Pi},{v,0.001,2}];则输出所求图形(图2.15).曲面相交例2.11 (教材 例2.8) 作出球面22222=++z y x 和柱面1)1(22=+-y x 相交的图形. 输入g1=ParametricPlot3D[{2 Sin[u]*Cos[v],2 Sin[u]*Sin[v],2 Cos[u]},{u,0,Pi},{v,0,2 Pi},DisplayFunction->Identity];g2=ParametricPlot3D[{2Cos[u]^2,Sin[2u],v},{u,-Pi/2,Pi/2},{v,-3,3},DisplayFunction->Identity];Show[g1,g2,DisplayFunction->$DisplayFunction]则输出所求图形（图2.16）例2.12 作出锥面222z y x =+和柱面1)1(22=+-y x 相交的图形. 输入g3=ParametricPlot3D[{r*Cos[t],r*Sin[t],r}, {r,-3,3},{t,0,2 Pi},DisplayFunction->Identity];Show[g2,g3,DisplayFunction->$DisplayFunction]输出为图2.17.图2.17例2.13 画出以平面曲线x y cos =为准线, 母线平等Z 轴的柱面的图形. 写出这一曲面的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧=∈-∈==s z R s t t y t x ],,[,cos ππ 取参数s 的范围为[0, 8]. 输入命令ParametricPlot3D[{t,Cos[t],s},{t,-Pi,Pi},{s,0,8}]则输出所求图形(图2.18).例2.14 (教材 例2.9) 作出曲面x y x y x z =+--=2222,1及xOy 面所围成的立体图形. 输入g1=ParametricPlot3D[{r*Cos[t], r*Sin[t],r^2},{t,0,2*Pi},{r,0,1},PlotPoints->30]; g2=ParametricPlot3D[{Cos[t]*Sin[r],Sin[t]Sin[r],Cos[r]+1},{t,0,2*Pi},{r,0,Pi/2},PlotPoints->30];Show[g1,g2]则输出所求图形（图图2.19例2.15 (教材 例2.10) 作出螺旋线t z t y t x 2,sin 10,cos 10===(R t ∈)在xOz 面上的正投影曲线的图形.所给螺旋线在xOz面上的投影曲线的参数方程为10==.,cosx2ztt输入ParametricPlot[{2t,10Cos[t]},{t,-2Pi,2Pi}];则输出所求图形（图图2.20注:将表示曲线的方程组, 消去其中一个变量, 即得到曲线在相应于这一变量方向上的正投影曲线的方程, 不考虑曲线所在平面, 它就是投影柱面方程; 对于参数方程, 只要注意将方程中并不存在的那个变元看成第二参数而添加第三个方程即可.例2.16 (教材例2.11) 作出默比乌斯带(单侧曲面)的图形.输入Clear[r,x,y,z];r[t_,v_]:=2+0.5*v*Cos[t/2];x[t_,v_]:=r[t,v]*Cos[t]y[t_,v_]:=r[t,v]*Sin[t]z[t_,v_]:=0.5*v*Sin[t/2];ParametricPlot3D[{x[t,v],y[t,v],z[t,v]},{t,0,2 Pi},{v,-1,1},PlotPoints->{40,4},Ticks->False]则输出所求图形（图空间曲线例2.17 (教材 例2.12) 作出空间曲线)60(2,sin ,cos π≤≤===t t z t t y t t x 的图形. 输入ParametricPlot3D[{t*Cos[t],t*Sin[t],2*t,RGBColor[1.0,0,0.5]},{t,0,6 Pi}]则输出所求图形（图图2.22例2.18 绘制参数曲线 ⎪⎩⎪⎨⎧===2/cos 2sin t z t y t x 的图形.输入命令ParametricPlot3D[{Sin[t],2Cos[t],t.2},{t,0,12}];则输出所求图形(图2.23).例2.19 绘制参数曲线 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+==t z t y t x arctan 211cos 2的图形.输入命令ParametricPlot3D[{Cos[t]^2,1/(1+2*t),ArcTan[t]},{t,0,8}]; 则输出所求图形(图2.24).动画制作例2.20 平面正弦曲线的运动. 输入Table[Plot[Sin[x+t*Pi],{x,0,6 Pi}],{t,0,2,1/8}]则作出了16幅具有不同相位的正弦曲线(输出图形略). 双击屏幕上某一幅画, 则可形成动画. 下面是动画的最后一幅图（图2.25）.例2.21 (教材 例2.13) 作模拟水波纹运动的动画. 输入调用软件包命令<<Graphics\Animation.m执行后再输入MoviePlot3D[Sin[Sqrt[x^2+y^2]+t*2*Pi],{x,-8 Pi,8 Pi},{y,-8 Pi,8 Pi},{t,1,0},PlotPoints->50,AspectRatio->0.5,ViewPoint->{0.911,-1.682,2.791},Frames->12]则输出12幅具有不同相位的水面图形, 双击屏幕上任意一幅图, 均可观察动画效果. 下图是第一幅图（图2.26）.图2.26例2.22 (教材 例2.14) 用动画演示由曲线],0[,sin π∈=z z y 绕z 轴旋转产生旋转曲面的过程.该曲线绕z 轴旋转所得旋转曲面的方程为,sin 222z y x =+ 其参数方程为])2,0[],,0[(,,sin sin ,cos sin ππ∈∈===u z z z u z y u z x输入For[i=1,i<=30,i++,ParametricPlot3D[{Sin[z]*Cos[u],Sin[z]*Sin[u],z},{z,0,Pi},{u,0,2*Pi*i/30},AspectRatio->1,AxesLabel->{"X","Y","Z"}]];则输出连续变化的30幅图形. 双击屏幕上任意一幅图, 均可观察动画效果. 下面是生成旋转曲面的过程中的第23幅图（图2.27）.图2.27例2.23 将一张薄膜贴在1,0,1,0====y y x x 的方框上, 薄膜振动的函数取为)cos()sin()sin()cos 1)(cos 1(16),,(224141222t n m y m x n m n n m t y x u m n ππππππ+⋅-+=∑∑==其中t 为参数, 作出图形随t 的变动而引起薄膜振动的动画.初始位置是).0,,(y x u 通过t 的不同值得到多幅画面, 然后将这些图形连续地一张张显示出来, 即可达到运动的动画效果. 输入命令<<Graphics 'Animation '; Clear[x,y,t,m,n];u[x_,y_,t_]:=Sum[16*(1+Cos[n*Pi])*(1-Cos[m*Pi])*Sin[n*Pi*x]*Sin[m*Pi*y]*Cos[Sqrt[m^2+n^2]*Pi*t] /(m^2*n^2*Pi*2),{m,1,4},{n,1,4}]Animate[Plot3D[u[x,y,t],{x,0,1},{y,0,1}, PlotRange->{-8,8}],{t,0,1.75,0.25}];图2.28实验习题1.用Plot3D 命令作出函数)33,33(3sin 2cos ≤≤-≤≤--=y x y x z 的图形, 采用选项 PlotPoints->40.2.作出函数)sin(22y x z +=π的图形.3.用Plot3D 命令作出函数)sin (cos 228/)(22y x e z y x +=+-在ππππ≤≤-≤≤-y x ,上的图形, 采用选项PlotPoints->60.4.二元函数22y x xyz +=在点(0,0) 处不连续, 用Plot3D 命令作出在区域22,22≤≤-≤≤-y x 上的图形(采用选项PlotPoints->40).观察曲面在(0,0)附近的变化情况.5.一个环面的参数方程为),20,20(sin ,sin )cos 3(,cos )cos 3(ππ≤≤≤≤=+=+=v u u z v u y v u x 试用命令ParametricPlot3D 作出它的图形.6.一个称作正螺面的曲面的参数方程为).80,11(3/,sin ,cos ≤≤≤≤-===v u v z v u y v u x 试用命令ParametricPlot3D 作出它的图形.7.用命令Plot3D 作双曲抛物面4122y x z -=,其中1414,66≤≤-≤≤-y x (用选项 BoxRatios->{1,1,1}, PlotPoints->30).8.用命令ParametricPlot3D 作出圆柱面122=+y x 和圆柱面122=+z x 相交的图形.9.用命令ParametricPlot3D 作出抛物柱面2y x =和平面1=+z x 相交的图形.10.用命令ParametricPlot3D 作出圆柱面122=+y x 和圆柱面122=+z x 相交所成的空间曲线 在第一封内的图形.11.用命令ParametricPlot3D 作出球面22222=++z y x 和柱面1)1(22=+-y x 相交所成的空 间曲线的图形.。
实验2-空间曲线曲面图形的绘制
实验2-空间曲线曲面图形的绘制
实验2-空间曲线曲面图形的绘制
实验二空间曲线曲面图形的绘制
一、实验目的
熟练掌握使用Mathematica软件绘制空间曲线曲面图形的方法.
二、实验内容与Mathematica命令
1．基本三维图形
函数(,)
=的图形为三维空间的一个曲面，
z f x y
Mathematica中，绘制三维曲面图形的基本命令格式为
Plot3D[f,{x,xmin,xmax},{y,y min,ymax},Options]
其中，f为一个二元显函数. 该命令有众多可供使用的选项，可执行命令“Options[Plot3D]”查询.
1）绘制曲面的基本方法
运行t1=Plot3D[Sin[x+y]*Cos[x+y],{x,0,4 },{y,0,4}]
图1
2）用PlotRange 设定曲面的表面的变化范围运行Show[t1,PlotRange {-0.2,0.5}]
图2
3）坐标轴上加标记，并且在每个外围平面上画
上网格
运行Show[t1,AxesLabel→{"Time","Depth" ,"Value"},FaceGrids→All]
图 3
4）观察点的改变
将观察点改变在（2，-2，0），运行
Show[t1,ViewPoint→{2,-2,0}]
图4
也可用鼠标拖动改变视点。
5）无网格和立体盒子的曲面
运行Show[t1,Mesh→False,Boxed→False]
图 5
6）没有阴影的曲面
利用Shading取消曲面的阴影运行Show[t1,Shading→False]。
东南大学Mathematica数学实验报告
Mathematica 数学实验报告姓名：于润湉 学号：04213704 成绩：实验七：空间曲线与曲面的绘制实验目的：学习利用Mathematica 绘制三维图形来观测空间曲线和空间曲面图形的特点，并学习通过表达式判断不同的曲线类型。
题目：观察二次曲面族kxy y x ++=22z 的图形。
特别注意确定k 的这样一些值，当k 经过这些值时，曲面从一种类型变成了另一种类型。
解：令t r x cos =，t r y sin =，则二次曲面族的方程可变为t t kr r z sin cos 22+=。
输入以下命令：ParametricPlot3D[{r*Cos[t],r*Sin[t],r^2+k*r*r*Sin[t]*Cos[t]},{r,0,1},{t,0,2Pi},PlotPoints →30]并赋予k 不同的值： ① k=-4时： 输入命令：ParametricPlot3D[{r*Cos[t],r*Sin[t],r^2+(-4)*r*r*Sin[t]*Cos[t]},{r,0,1},{t,0,2Pi},PlotPoints →30]运行后得到图像：②k=-3时：输入命令：ParametricPlot3D[{r*Cos[t],r*Sin[t],r^2+(-3)*r*r*Sin[t]*Cos[t]},{r,0,1}, {t,0,2Pi},PlotPoints→30]运行后得到图像：③k=-2时：输入命令：ParametricPlot3D[{r*Cos[t],r*Sin[t],r^2+(-2)*r*r*Sin[t]*Cos[t]},{r,0,1}, {t,0,2Pi},PlotPoints→30]运行后得到图像：④k=-1时：输入命令：ParametricPlot3D[{r*Cos[t],r*Sin[t],r^2+(-1)*r*r*Sin[t]*Cos[t]},{r,0,1}, {t,0,2Pi},PlotPoints→30]运行后得到图像：⑤k=0时：输入命令：ParametricPlot3D[{r*Cos[t],r*Sin[t],r^2+0*r*r*Sin[t]*Cos[t]},{r,0,1},{t, 0,2Pi},PlotPoints→30]运行后得到图像：⑥k=1时：输入命令：ParametricPlot3D[{r*Cos[t],r*Sin[t],r^2+1*r*r*Sin[t]*Cos[t]},{r,0,1},{t, 0,2Pi},PlotPoints→30]⑦k=2时：输入命令：ParametricPlot3D[{r*Cos[t],r*Sin[t],r^2+2*r*r*Sin[t]*Cos[t]},{r,0,1},{t, 0,2Pi},PlotPoints→30]运行后得到图像：⑧k=3时：输入命令：ParametricPlot3D[{r*Cos[t],r*Sin[t],r^2+3*r*r*Sin[t]*Cos[t]},{r,0,1},{t,0,2Pi},PlotPoints→30]⑨k=4时：输入命令：ParametricPlot3D[{r*Cos[t],r*Sin[t],r^2+4*r*r*Sin[t]*Cos[t]},{r,0,1},{t, 0,2Pi},PlotPoints→30]运行后得到图像：0<≤k时，对应的二次曲面图形是椭圆抛物面；当2=k 时，对应的二次曲面图形是抛物柱面；当2>k 时，对应的二次曲面是双曲抛物面。
空间曲线与曲面的切平面与法线方程
空间曲线与曲面的切平面与法线方程在几何学中，空间曲线与曲面的切平面与法线方程是研究曲线与曲面性质的重要工具。
通过求解切平面与法线方程，我们可以揭示曲线曲面的性质，进而应用于实际问题的求解与分析。
本文将介绍空间曲线与曲面的切平面与法线方程的推导过程和应用案例。
一、空间曲线的切平面与法线方程1. 切线与切平面在空间几何中，曲线上的点处，切线是通过该点且与曲线相切的直线。
曲线上每一点都有唯一的切线。
通过求解切线，我们可以得到曲线的切平面与法线方程。
2. 切线方程的求解设曲线的参数方程为：x = f(t)y = g(t)z = h(t)对曲线参数方程求导，得到切线向量T：T = (dx/dt, dy/dt, dz/dt)切线方程可表示为：(x - x0) / (dx/dt) = (y - y0) / (dy/dt) = (z - z0) / (dz/dt)3. 切平面方程的求解切平面是通过曲线上一点与切线方向垂直的平面。
设切平面方程为Ax + By + Cz + D = 0，其中(A, B, C)为切平面的法向量。
由于切线向量T与切平面法向量垂直，所以有：A(dx/dt) + B(dy/dt) + C(dz/dt) = 0根据切线方程求解得到的切线方程，将其代入上述方程中，即可得到切平面方程。
4. 法线方程的求解法线是切平面上与切线垂直的直线。
切平面方程的法向量为(A, B, C)，法线方程可表示为：(x - x0) / A = (y - y0) / B = (z - z0) / C二、曲面的切平面与法线方程1. 切平面方程的求解曲面的切平面与曲面上一点处的切向量垂直。
设曲面方程为F(x, y, z) = 0，求曲面某点的切平面方程，需要求解该点处的梯度向量∇F。
切平面方程可表示为：∇F · (x - x0, y - y0, z - z0) = 02. 法线方程的求解法线是曲面上与切平面垂直的直线。
空间曲线与曲面的绘制
空间曲线与曲面的绘制本实验的目的是:利用数学软件Mathematica 绘制三维图形来观察空间曲线和空间曲面图形的特点，以加强几何的直观性。
1.空间曲线的绘制绘制空间曲线时一般使用曲线的参数方程，利用命令“ParametricPlot3D ”。
如画出参数方程21 ,)()()(t t t t z z t y y t x x ≤≤⎪⎩⎪⎨⎧===所确定的空间曲线的命令格式为: ParametricPlot3D[{x[t],y[t],z[t]},{t,tmin,tmax},选项]例1 画出旋转抛物面22y x z +=与上半球面2211y x z --+=交线的图形。
解：它们的交线为平面1=z 上的圆122=+y x ，化为参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧∈===]2 ,0[ ,1sin cos πt z t y t x ，下面的mathematica 命令就是作出它们的交线并把它存在变量p 中：p ParametricPlot3D Cos t ,Sin t ,1,t,0,2Pi运行即得曲线如图1所示。
在这里说明一点，要作空间曲线的图形，必须先求出该曲线的参数方程。
如果曲线为一般式 ⎝⎛==0),,(0),,(z y x G z y x F ，其在xOy 面上的投影柱面的准线方程为0),(=y x H ，可先将0),(=y x H 化为参数方程⎪⎩⎪⎨⎧==)()(t y y t x x ，再代入0),,(=z y x G 或0),,(=z y x F 解出 )(t z z =即可。
1、 空间曲面的绘制作一般式方程),(y x f z =所确定的曲面图形的Mathematica 命令为： Plot3D[f[x,y],{x,xmin,xmax},{y,ymin,ymax},选项]作参数方程],[],,[,),(),(),(max min max min v v v u u v u z z v u y y v u x x ∈∈⎪⎩⎪⎨⎧===所确定的曲面图形的Mathematica 命令为：ParametricPlot3D[{x[u,v],y[u,v],z[u,v]},{u,umin,umax},{v,vmin,vmax},选项]1 图例2 作出上半球面2211y x z --+=的图形。
《数学实验》课程标准
《数学实验》课程标准课程名称：数学实验课程类型：B类课程编码：适用专业及层次：理工科专业、专科层次课程总学时：32学时，其中理论14 学时，实践18 学时课程总学分：2一、课程的性质、目的与任务1.本课程的性质：专业选修课2.课程目的与任务：数学实验是以实际问题为载体，把数学建模、数学知识、数学软件和计算机应用有机地结合，容知识性、启发性、实用性和实践性于一体，强调学生的主体地位，在教师的引导下，用学到的数学知识和计算机技术，借助适当的数学软件，分析、解决一些经过简化的实际问题。
该课程的引入，是数学教学体系、内容和方法改革的一项有益的尝试。
数学实验课程的目的是使学生掌握数学实验的基本思想和方法。
从实际问题出发，借助计算机，通过学生亲自设计和动手，体验解决问题的全过程，从实验中去探索、学习和发现数学规律，充分调动学生学习的主动性。
培养学生的创新意识，运用所学知识，建立数学模型，使用计算机并利用数学软件解决实际问题的能力，最终达到提高学生数学素质和综合能力的目的。
3.课程与其它课程的联系：在《高等数学》和《计算机基础》之后开设本课程为宜。
在掌握了数学实验方法和matlab工具软件后，处理图形和建模等问题就得心应手了。
由于matlab配备了几乎囊括所有应用数学学科的“工具箱”，可以利用其强大的运算、图形处理等功能来解决相关应用数学学科领域的复杂问题。
所以说《数学实验》是应用数学课程的基础课。
在计算机日益发展和普及的今天，matlab软件应成为大学生所必备的基础理论知识和重要的工具。
二、教学内容、教学要求及教学重难点第一章 MATLAB基本操作一、学习目的要求本章介绍MATLAB的操作与应用。
要求学生了解MATLAB软件的基本操作，熟悉MATLAB 的命令窗口，常用菜单，桌面及其他窗口。
掌握MATLAB的基本语句结构、简单矩阵的输入及矩阵基本运算符。
会使用帮助信息。
二、主要教学内容1、MATLAB的启动与退出常用启动方法，常用退出方法2、MATLAB桌面简介菜单栏，工具栏，命令编辑区3、MATLAB的基本语句结构及简单矩阵的输入MATLAB中基本代数运算符，MATLAB中数组、矩阵基本运算符，MATLAB变量，数据的输出格式，MATLAB命令窗口的部分通用命令，内存变量的管理，简单矩阵的输入4、MATLAB的帮助系统重难点：MATLAB的基本语句结构及矩阵的输入第二章 MATLAB的数值计算功能一、学习目的要求本章介绍MATLAB的数值计算功能。
07空间曲线与曲面的绘制
命 令
mesh(Z) mesh(X,Y,Z) meshc(X,Y,Z) surf(Z) surf(X,Y,Z) surfc(X,Y,Z)
功
能
以 Z 矩阵的列、行下标为自变量 x,y 的值，画网格图 以矩阵 X,Y,Z 为坐标的网格图 同上，在网格下方绘制等高线 同 mesh(Z)，绘制三维表面图 绘制以矩阵 X,Y,Z 为坐标的表面图 绘制表面图及等高线
[例7.3] 绘制函数 观察4个子图的不同特征。 Matlab命令窗口输入： >> [X,Y]=meshgrid(-4:0.2:4); >> Z=X.*sin(sqrt(X.^2+Y.^2)); >> subplot(2,2,1) >> mesh(Z) >> subplot(2,2,2) >> mesh(X,Y,Z)
x , y , z , a , b
ezmesh x, y, z , a, b, c, d 在 a s b,c t d 上画同上网格图
ezmeshx, y, z, a, b, c, d , ' circ ' 在圆域上画同上网格图
ezmeshc f , a, b
实验内容 一、 空间曲线的绘制 1、数值作图
命 令 功 能
绘 制 以 X,Y,Z 的 对 应分量为坐标的三 维曲线
备 注
X,Y,Z 是 同 维 向 量 或同维矩阵（矩阵 的列数条曲线）， s是线型、颜色。
plot3(X,Y,Z,’s’)
plot3(X1,Y1,Z1 ,’s1’,’X2,Y2,Z2, ’s2’,…)
,
同上，且产生动画绘制效果
[例7.2] 绘制空间曲线 x t sin t, y cost, z Matlab命令窗口输入 >> syms t >> x=t*sin(t); >> y=cos(t); >> z=sqrt(t); >> figure(1) >> ezplot3(x,y,z)
数学实验绘图及编程
x=-10:0.1:10; y=sin(x);z=cos(x); plot(x,y,’r-’,x,z,’b--’); title(‘Sine and Cosine curves’) gtext(‘sin(x)’);gtext(‘cos(x)’); grid on;
有时，比如我们调用一个三角函数sin(x), 和前面的调用有所不同，调用时往往有输 入参数；再如，我们想求函数
三，Matlab编程
y=sin(x^2)+x^3-e^x+ln(|x|)在x=1,2,3,4等 处的值。这时我们使用函数M文件。格式如 下：
function ff=fun(x) ff=sin(x^2)+x^3-e^x+ln(|x|); 下面是一般格式： function [输出变量列表]=函数名（输入变 量列表） 函数体语句；
二，绘制空间图形
2，绘制空间曲面 基本命令： mesh(X,Y,Z); 理解绘图的原理。 例子8，作出下面的曲面
二，绘制空间图形
代码：
x=-30:0.5:30; y=x; [X,Y]=meshgrid(x,y); R=sqrt(X.^2+Y.^2)+eps; Z=sin(R) ./ R; mesh(X, Y, Z); 例子9,画出z=xy的图形。
一，绘制平面图
9,在同一页面中画多个图形 例子6，
x=linspace(0,2*pi,30);y=sin(x);z=cos(x); u=2*sin(x).*cos(x);v=sin(x)./cos(x); subplot(2,2,1),plot(x,y),title('sin(x)') subplot(2,2,2),plot(x,z),title('cos(x)') subplot(2,2,3),plot(x,u),title('2sin(x)cos(x)') subplot(2,2,4),plot(x,v),title('sin(x)/cos(x)')
实验2(曲线曲面的可视化)
MATLAB
示例2：程序（方法2）
MATLAB
clear;clc;clf; theta=0:pi/50:2*pi; for a=0.5:0.5:4.5; X=cos(theta).*a; Y=sin(theta).*sqrt(25-a.^2); plot(X,Y),axis('equal'),xlabel('x'), ylabel('y'); hold on end title('A set of Ellipses')
镂空
示例5
示例5：程序
clear;clc;clf; x=-2:0.01:2;y=x; [mx,my]=meshgrid(x,y); mz=mx.^2+my.^2; subplot(1,2,1) mesh(mx,my,mz), shading interp,colormap(hot) iz=find(mz>4); mz(iz)=NaN; subplot(1,2,2) surf(mx,my,mz),shading interp
ezmesh(f)
cylinder(R,N)
图形处理
在图形上加格栅、图例和标注 定制坐标 图形保持 分割窗口
图 形 处 理
缩放图形
改变视角 动 画
参数图形
示例1
示例1：程序
MATLAB
clear;clc;clf;hold on t=0:0.01:2*pi; a=1:0.5:3;m=length(a); for k=1:m x=a(k)*(t-sin(t)); y=a(k)*(1-cos(t)); [y1,t1]=max(y); x1=a(k)*(t(t1)-sin(t(t1))); plot(x,y) text(x1,y1,['a=' num2str(a(k))]) end hold off
空间曲面绘图.ppt
contour (z,n) %用n指定绘制等高线的线
contourf (z,n) %绘制填充的二维等高线图。
contour3 (z,n) %绘制三维等高线。
2021/7/15
统计图形绘制
例 ：画二维等高线 程序：[x,y,z]=peaks(30); subplot(2,2,1) surf(x,y,z) subplot(2,2,2) contour(x,y,z,15) subplot(2,2,3) contour3(z,20) subplot(2,2,4) [c,h]=contour(z);
2021/7/15
统计图形绘制
例：作竖直条形图： 程序：
x=1:12; y=[2 3.5 5 7 6 5 7.5 8 4.3 3 2.1 1.2]; bar(x,y)
2021/7/15统计图形绘制201/7/15统计图形绘制
二、直方图 hist (y,m) %在直角坐标系中建立直方图，其中
y 是向量，m是设置分段的个数。 rose (y,m) %在极坐标系中建立直方图
2021/7/15
马鞍面图形
2021/7/15
空间解析几何之空间曲面
绘圆锥面程序： [x,y]= meshgrid(-20:0.5:20);
z2=sqrt(x.^2+y.^2); surf(x,y,z2); title('锥面'); shading interp axis off
2021/7/15
2021/7/15
空间解析几何之空间曲面
例7: 画空间曲面旋转抛物面 z x2 y2
程序： [x,y]=meshgrid(-5:0.5:5); z=x.^2+y.^2; surf(x,y,z); %绘图命令 title(‘旋转抛物面图’);%标注图形名 shading interp %修饰图形
空间曲面与曲线(2)-72页PPT文档资料
y2 z2
:
b
2
c2
1
x 0
17
绕虚轴（即z轴）旋转的旋转曲面方程为
x2 b2
y2 b2
z2 c2
1
叫做单叶旋转双曲面。
绕实轴（即y轴）旋转的
旋转曲面方程为
y2 x2 z2 b2 c2 c2 1
叫做双叶旋转双曲面。
单叶旋转双曲面
18
双叶旋转双曲面
旋转抛物面
它的两半轴分别是
x
a
1hc22与b
h2 1c2
z
O
y
36
两轴的端点分别是 a1h c2 2,0,h与 0,b1h c2 2,h
这两对端点分别在双曲线（2）与（3）上。 单叶双曲面可以看成是由一个椭圆的变动（大 小位置都改变）而产生的，这个椭圆在变动中 保持所在的平面与xOy面平行，且两对顶点分 别沿着两个定双曲线（2）与（3）滑动。
(xA )2 (yB )2 (zC )2D A 2B 2 C 2为球面
2
2
2
4
当且D 仅 A2 当 B2C20. 4
2
2.柱面
柱面的定义：柱面的准线、柱面的方向、 柱面的母线
柱面的方程 曲线L在平面上的射影曲线； 曲线L在平面上的射影柱面。
3
z 例1. 分析方程
表示怎样的曲面 .
x2 z2
x2 z2
a2 c2 0,或a2 c2 0
yb
yb
这是两条直线
x a
z c
0,或ax
z c
0
y b
y b
如果h=b,那么两条直线交于点(0,b,0); 图（13）
常见的空间曲线图形的绘制
13 14
0 ≤ θ < 2π 0≤ϕ ≤π
( a, b > 0)
0 ≤ θ < 2π − π / 2 < ϕ < 3π / 2, ϕ ≠ π / 2
0 ≤ θ < 2π r>0
5
6
双曲抛物面
u 双曲抛物面标准方程
圆柱螺线和圆锥螺线
u 圆柱螺线标准方程
x 2 y2 − = 2z a2 b2
( a, b > y = a ⋅ sin t z = b ⋅t x = a ⋅ t ⋅ cos t y = b ⋅ t ⋅ sin t z = c⋅t
21
>> ezsurf('3*sin(u)*cos(v)', ... '3*sin(u)*sin(v)','3*cos(u)', ... [0,pi,0,2*pi]); 第一自变量的取值范围 按字母顺序
11
第二自变量的取值范围
12
椭球面的绘制
x = a ⋅ sin ϕ ⋅ cos θ y = b ⋅ sin ϕ ⋅ sin θ z = c ⋅ cos ϕ
x2 + y 2 + z2 = R2 x = R ⋅ sin ϕ ⋅ cos θ y = R ⋅ sin ϕ ⋅ sin θ z = R ⋅ cosϕ
Mathematica_-图形绘制
Mathematica_-图形绘制第2章图形绘制平面图形空间图形：曲线与曲面2.1 曲线与曲面表示法2.1.1 平面曲线表示法（１）直角坐标显式（简称显式）：ｙ＝ｆ（ｘ）（２）直角坐标隐式（简称隐式）：Ｆ（ｘ，ｙ）＝０（３）参数式：ｘ＝ｘ（ｔ），ｙ＝ｙ（ｔ）（４）极坐标式：ρ＝ρ（θ）（５）列表式（又称数据形式，或称离散点形式）（６）图形式（画出曲线的图形）2.1.2 空间曲线表示法（１）参数形式ｘ＝ｘ（ｔ），ｙ＝ｙ（ｔ），ｚ＝ｚ（ｔ）（２）交截形式ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）＝０∩φ（ｘ，ｙ，ｚ）＝０这是用两张曲面的交线来表示空间曲线。
在理论研究与实际应用中，常常是通过引入参数ｔ将交截式转化为参数式来讨论问题的。
2.1.3 曲面表示法(1)直角坐标显式(简称显式):z=f(x,y)(2)直角坐标隐式(简称隐式):F(x,y,z)=0(3)参数形式:x=x(u,v),y=y(u,v),z=z(u,v)(4)数据形式:即是将曲面上的点表示为x={xi},y={yj},z={zij} (i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)的形式,其中xi与yj为向量x与y中的元素,zij为矩阵z中的元素?(5)图形形式(画出曲面的图形)曲面表示的上述5种形式在一定条件下也是可以互相转化的,在实际问题中用得最多的是(1),(3),(5)三种形式?2.2 平面曲线的绘制法2.2.1 显式Plot[f(x),{x,x1,x2},可选项]Plot[{f1(x),f2(x),…},{x,x1,x2},可选项]Note：原式用InputForm查看；不连续图形可能有失真。
2.2.2 参数式ParametricPlot[{x(t),y(t)},{t,t1,t2},可选项]ParametricPlot[{{x1(t),y1(t)},{x2(t),y2(t)},…},{t,t1,t2},可选项]2.2.3隐式ImplicitPlot[F[x,y]==0,{x,x1,x2},可选项]Note：先调入程序包<<graphics`implicitplot`< p=""><<graphics`< p="">2.2.4极坐标式P olarPlot[ρ(θ),{ θ, θ1, θ2}]Note：先调入程序包<<graphics`graphics`< p=""><<graphics`< p="">2.2.5数据形式ListPlot[{{x1,y1}，{ x2,y2}，。
Ch3_1空间曲面的绘制
例1：绘制曲面 其中 程序如下：
z x y 12 x 12 y
3 3
x, y [4, 4]
4 3 2 1
y
-4
-3
-2 -1 -1
0
1
2
3
4
x
-2 -3 -4
z
函数值怎么计算呢？
z x y 12 x 12 y
3 3
这里的x,y是曲面上某一点的横坐标和纵坐标
7 4 7 4 7 4 7 4 7 4
8 4 8 4 8 4 8 4 8 4
程序如下
0 0 0 0 0
4 4 4 4 4
2 2 2 2 2
3 4 3 4 3 4 3 4 3 4
例2：画出函数
z
在
sin x y
2
2
x y
2
2
9,9 9,9 上的图形.
z
sin x y
2
2
x y
2
2
从上面的两个例子可以知道，画空间曲 面图形，一般而言需要知道曲面上的坐 标，然后使用绘图命令绘图，因此，坐 标的计算和绘图命令的使用是最关键的。
1) 空间坐标系简介 直角坐标 ( x, y, z ) z z
在当前的等高线图形（图形句柄h对应的图形）显 示高度值c.
其中，c和h可以contour命令给出
例8 做出曲面
z x y 12 x 12 y 在 4, 4, 4, 4
3 3
上的图形和等高线.
程序如下
继续输入：
另外一种做法：
view(-128,23)%控制观察的角度 light(‘position’,[2,1,2]);%设置灯光源位置或射向 lighting phong %照明设置形式 shading interp %使用光照插值 camlight(-220,-170) %设置光照位置 axis([-3 3 -3 3 -4 3])
实验2空间图形的画法(基础实验)
项目二 一元函数积分学与空间图形的画法实验2 空间图形的画法(基础实验)实验目的 掌握用Mathematica 绘制空间曲面和曲线的方法. 熟悉常用空间曲线和空间曲面 的图形特征,通过作图和观察, 提高空间想像能力. 深入理解二次曲面方程及其图形.基本命令1.空间直角坐标系中作三维图形的命令Plot3D命令Plot3D 主要用于绘制二元函数),(y x f z =的图形. 该命令的基本格式为Plot3D[f[x,y],{x,x1,x2},{y,y1,y2},选项]其中f[x,y]是y x ,的二元函数, x1,x2表示x 的作图范围, y1,y2表示y 的作图范围.例如,输入Plot3D[x^2+y^2,{x,-2,2},{y,-2,2}]则输出函数22y x z +=在区域22,22≤≤-≤≤-y x 上的图形(图2.1)与Plot 命令类似, Plot3D 有许多选项. 其中常用的如PlotPoints 和ViewPoint. PlotPoints 的用 法与以前相同. 由于其默认值为PlotPoints->15, 常常需要增加一些点以使曲面更加精致, 可能要 用更多的时间才能完成作图. 选项ViewPoint 用于选择图形的视点(视角), 其默认值为 ViewPoint->{1.3,-2.4,2.0},需要时可以改变视点.2.利用参数方程作空间曲面或曲线的命令ParametricPlot3D 用于作曲面时, 该命令的基本格式为ParametricPlot3D[{x[u,v],y[u,v],z[u,v]},{u,u1,u2},{v,v1,v2},选项]其中x[u,v],y[u,v],z[u,v]是曲面的参数方程表示式. u1,u2是作图时参数u 的范围, v1,v2是参数v 的 范围.例如，对前面的旋转抛物面, 输入ParametricPlot3D[{u*Cos[v],u*Sin[v],u^2},{u,0,3},{v,0,2 Pi}]同样得到曲面22y x z +=的图形(图2.2).由于自变量的取值范围不同, 图形也不同. 不过, 后者比较好的反映了旋转曲面的特点, 因 而是常用的方法.又如, 以原点为中心, 2为半径的球面. 它是多值函数, 不能用命令Plot3D 作图. 但是, 它的 参数方程为,20,0,cos 2,sin sin 2,cos sin 2πθπϕϕθϕθϕ≤≤≤≤===z y x因此,只要输入ParametricPlot3D[{2 Sin[u]*Cos[v],2 Sin[u]*Sin[v],2 Cos[u]},{u,0,Pi},{v,0,2 Pi}]便作出了方程为22222=++y x z 的球面(图2.3)..用于作空间曲线时,ParametricPlot3D 的基本格式为ParametricPlot3D[{x[t],y[t],z[t]},{t,t1,t2},选项]其中x[t],y[t],z[t]是曲线的参数方程表示式. t1,t2是作图时参数t 的范围.例如, 空间螺旋线的参数方程为).80(10/,sin ,cos π≤≤===t t z t y t x输入ParametricPlot3D[{Cos[t],Sin[t],t/10,RGBColor[1,0,0]},{t,0,8 Pi}]则输出了一条红色的螺旋线(图2.4).在这个例子中，请读者注意选项RGBColor[1,0,0]的位置.用于作空间曲线时, ParametricPlot3D的选项PlotPoints的默认值是30, 选项ViewPoint的默认值没有改变.3.作三维动画的命令MoviPlot3D:无论在平面或空间, 先作出一系列的图形, 再连续不断地放映, 便得到动画.例如, 输入调用作图软件包命令<<Graphics\Animation.m.执行后再输入MoviePlot3D[Cos[t*x]*Sin[t*y],{x,-Pi,Pi},{y,-Pi,Pi},{t,1,2},Frames->12]则作出了12幅曲面图, 选中任一幅图形, 双击它便可形成动画.实验举例一般二元函数作图例2.1 (教材例2.1) 作出平面y≤≤0≤≤yx.0,32xz36--=的图形,其中2输入Plot3D[6-2x-3y,{x,0,3},{y,0,2}]如果只要位于第一卦限的部分, 则输入Plot3D[6-2x-3y,{x,0,3},{y,0,2},PlotRange->{0,6}]观察图形. 其中作图范围选项为PlotRange->{0,6},而删除的部分显示为一块水平平面（图2.6）.图2.6例2.2 (教材 例2.2) 作出函数2214y x z ++=的图形.输入k[x_,y_]:=4/(1+x^2+y^2)Plot3D[k[x,y],{x,-2,2},{y,-2,2},PlotPoints->30,PlotRange->{0,4},BoxRatios->{1,1,1}]则输出函数的图形2.7. 观察图形, 理解选项PlotRange->{0,4}和BoxRatios->{1,1,1}的含义. 选项 BoxRatios 的默认值是例2.3 (教材 例2.3) 作出函数22yxxye z ---=的图形.输入命令Plot3D[-x*y*Exp[-x^2-y^2],{x,-3,3},{y,-3,3},PlotPoints->30,AspectRatio->Automatic];则输出所求图形（图2.8图2.8例2.4 (教材 例2.4) 作出函数)94cos(22y x z +=的图形. 输入Plot3D[Cos[4x^2+9y^2],{x,-1,1},{y,-1,1},Boxed->False,Axes->Automatic,PlotPoints->30,Shading->False]则输出网格形式的曲面图2.9, 这是选项Shading->False 起的作用, 同时注意选项Boxed->False 的作用.二次曲面例2.5 (教材 例2.5) 作出椭球面1194222=++z y x 的图形. 这是多值函数, 用参数方程作图的命令ParametricPlot3D. 该曲面的参数方程为,cos ,sin sin 3,cos sin 2u z v u y v u x === (ππ20,0≤≤≤≤v u ).输入ParametricPlot3D[{2*Sin[u]*Cos[v],3*Sin[u]*Sin[v], Cos[u]},{u,0,Pi},{v,0,2 Pi},PlotPoints->30]则输出椭球面的图形（图.图2.10例2.6 (教材 例2.6) 作出单叶双曲面1941222=-+z y x 的图形. 曲面的参数方程为,tan 3,cos sec 2,sin sec u z v u y v u x === (.20,2/2/πππ≤≤<<-v u )输入ParametricPlot3D[{Sec[u]*Sin[v],2*Sec[u]*Cos[v], 3*Tan[u]},{u,-Pi/4,Pi/4},{v,0,2 Pi},PlotPoints->30]则输出单叶双曲面的图形（图2.11）.图2.11例2.7 作双叶双曲面13.14.15.1222222-=-+z y x 的图形.曲面的参数方程是,csc 3.1,sin cot 4.1,cos cot 5.1u z v u y v u x ===其中参数πππ<<-≤<v u ,20时对应双叶双曲面的一叶, 参数πππ<<-<≤-v u ,02时对应双叶双曲面的另一叶. 输入sh1=ParametricPlot3D[{1.5*Cot[u]*Cos[v],1.4*Cot[u]*Sin[v],1.3/Sin[u]},{u,Pi/1000,Pi/2},{v,-Pi,Pi}, DisplayFunction->Identity];(*DisplayFunction->Identity 是使图形暂时不输出的选项*) sh2=ParametricPlot3D[{1.5*Cot[u]*Cos[v],1.4* Cot[u]*Sin[v],1.3/Sin[u]},{u,-Pi/2,-Pi/1000}, {v,-Pi,Pi},DisplayFunction->Identity];Show[sh1,sh2,DisplayFunction->$DisplayFunction](*命令Show[sh1,sh2]是把图形sh1,sh2放置在一起, DisplayFunction->$DisplayFunction 是恢复显示图形的选项*) 输出为图2.12.例2.8 可以证明: 函数xy z =的图形是双曲抛物面. 在区域22,22≤≤-≤≤-y x 上作出它的图形.输入Plot3D[x*y,{x,-2,2},{y,-2,2},BoxRatios->{1,1,2}, PlotPoints->30]输出图形略. 也可以用ParametricPlot3命令作出这个图形, 输入ParametricPlot3[{r*Cos[t],r*Sin[t],r^2*Cos[t] *Sin[t]},{r,0,2},{t,0,2 Pi},PlotPoints->30]输出为图2.13例2.9 (教材 例2.7) 作出圆环v z u v y u v x sin 7,sin )cos 38(,cos )cos 38(=+=+=,(πππ22/,2/30≤≤≤≤v u ) 的图形.输入ParametricPlot3D[{(8+3*Cos[v])*Cos[u],(8+3*Cos[v])*Sin[u],7*Sin[v]},{u,0,3*Pi/2},{v,Pi/2,2*Pi}];图2.14例2.10 画出参数曲面]2,001.0[],4,0[)5/2/ln(tan cos sin sin sin cos ∈∈⎪⎩⎪⎨⎧++===v u u v v z vu y v u x π的图形.输入命令ParametricPlot3D[{Cos[u]*Sin[v],Sin[u]Sin[v],Cos[v]+Log[Tan[v/2]+u/5]}, {u,0,4*Pi},{v,0.001,2}];则输出所求图形(图2.15).曲面相交例2.11 (教材 例2.8) 作出球面22222=++z y x 和柱面1)1(22=+-y x 相交的图形. 输入g1=ParametricPlot3D[{2 Sin[u]*Cos[v],2 Sin[u]*Sin[v],2 Cos[u]},{u,0,Pi},{v,0,2 Pi},DisplayFunction->Identity];g2=ParametricPlot3D[{2Cos[u]^2,Sin[2u],v},{u,-Pi/2,Pi/2},{v,-3,3},DisplayFunction->Identity];Show[g1,g2,DisplayFunction->$DisplayFunction]则输出所求图形（图2.16）.图2.16例2.12 作出锥面222z y x =+和柱面1)1(22=+-y x 相交的图形. 输入g3=ParametricPlot3D[{r*Cos[t],r*Sin[t],r}, {r,-3,3},{t,0,2 Pi},DisplayFunction->Identity];Show[g2,g3,DisplayFunction->$DisplayFunction]输出为图2.17.图2.17例2.13 画出以平面曲线x y cos =为准线, 母线平等Z 轴的柱面的图形. 写出这一曲面的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧=∈-∈==s z R s t t y t x ],,[,cos ππ 取参数s 的范围为[0, 8]. 输入命令ParametricPlot3D[{t,Cos[t],s},{t,-Pi,Pi},{s,0,8}]则输出所求图形(图2.18).例2.14 (教材 例2.9) 作出曲面x y x y x z =+--=2222,1及xOy 面所围成的立体图形. 输入g1=ParametricPlot3D[{r*Cos[t], r*Sin[t],r^2},{t,0,2*Pi},{r,0,1},PlotPoints->30]; g2=ParametricPlot3D[{Cos[t]*Sin[r],Sin[t]Sin[r],Cos[r]+1},{t,0,2*Pi},{r,0,Pi/2},PlotPoints->30];Show[g1,g2]则输出所求图形（图2.19）图2.19例 2.15 (教材 例2.10) 作出螺旋线t z t y t x 2,sin 10,cos 10===(R t ∈)在xOz 面上的正投影曲线的图形.所给螺旋线在xOz面上的投影曲线的参数方程为10==.,cosx2ztt输入ParametricPlot[{2t,10Cos[t]},{t,-2Pi,2Pi}];则输出所求图形（图2.20图2.20注:将表示曲线的方程组, 消去其中一个变量, 即得到曲线在相应于这一变量方向上的正投影曲线的方程, 不考虑曲线所在平面, 它就是投影柱面方程; 对于参数方程, 只要注意将方程中并不存在的那个变元看成第二参数而添加第三个方程即可.例2.16 (教材例2.11) 作出默比乌斯带(单侧曲面)的图形.输入Clear[r,x,y,z];r[t_,v_]:=2+0.5*v*Cos[t/2];x[t_,v_]:=r[t,v]*Cos[t]y[t_,v_]:=r[t,v]*Sin[t]z[t_,v_]:=0.5*v*Sin[t/2];ParametricPlot3D[{x[t,v],y[t,v],z[t,v]},{t,0,2 Pi},{v,-1,1},PlotPoints->{40,4},Ticks->False]则输出所求图形（图2.21）. 观察所得到的曲面, 理解它是单侧曲面.空间曲线例2.17 (教材 例2.12) 作出空间曲线)60(2,sin ,cos π≤≤===t t z t t y t t x 的图形. 输入ParametricPlot3D[{t*Cos[t],t*Sin[t],2*t,RGBColor[1.0,0,0.5]},{t,0,6 Pi}]则输出所求图形（图2.22）.图2.22例2.18 绘制参数曲线 ⎪⎩⎪⎨⎧===2/cos 2sin t z t y t x 的图形.输入命令ParametricPlot3D[{Sin[t],2Cos[t],t.2},{t,0,12}];则输出所求图形(图2.23).例2.19 绘制参数曲线 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+==t z t y t x arctan 211cos 2的图形.输入命令ParametricPlot3D[{Cos[t]^2,1/(1+2*t),ArcTan[t]},{t,0,8}]; 则输出所求图形(图2.24).动画制作例2.20平面正弦曲线的运动.输入Table[Plot[Sin[x+t*Pi],{x,0,6 Pi}],{t,0,2,1/8}]则作出了16幅具有不同相位的正弦曲线(输出图形略). 双击屏幕上某一幅画, 则可形成动画. 下面是动画的最后一幅图（图2.25）.例2.21 (教材例2.13) 作模拟水波纹运动的动画.输入调用软件包命令<<Graphics\Animation.m执行后再输入MoviePlot3D[Sin[Sqrt[x^2+y^2]+t*2*Pi],{x,-8 Pi,8 Pi},{y,-8 Pi,8 Pi},{t,1,0},PlotPoints->50,AspectRatio->0.5,ViewPoint->{0.911,-1.682,2.791},Frames->12]则输出12幅具有不同相位的水面图形, 双击屏幕上任意一幅图, 均可观察动画效果. 下图是第一幅图（图2.26）.图2.26例2.22 (教材 例2.14) 用动画演示由曲线],0[,sin π∈=z z y 绕z 轴旋转产生旋转曲面的过程. 该曲线绕z 轴旋转所得旋转曲面的方程为,sin 222z y x =+ 其参数方程为])2,0[],,0[(,,sin sin ,cos sin ππ∈∈===u z z z u z y u z x输入For[i=1,i<=30,i++,ParametricPlot3D[{Sin[z]*Cos[u],Sin[z]*Sin[u],z},{z,0,Pi},{u,0,2*Pi*i/30},AspectRatio->1,AxesLabel->{"X","Y","Z"}]];则输出连续变化的30幅图形. 双击屏幕上任意一幅图, 均可观察动画效果. 下面是生成旋转曲面的过程中的第23幅图（图2.27）.图2.27例2.23 将一张薄膜贴在1,0,1,0====y y x x 的方框上, 薄膜振动的函数取为)cos()sin()sin()cos 1)(cos 1(16),,(224141222t n m y m x n m n n m t y x u m n ππππππ+⋅-+=∑∑==其中t 为参数, 作出图形随t 的变动而引起薄膜振动的动画.初始位置是).0,,(y x u 通过t 的不同值得到多幅画面, 然后将这些图形连续地一张张显示出来,即可达到运动的动画效果. 输入命令<<Graphics 'Animation '; Clear[x,y,t,m,n];u[x_,y_,t_]:=Sum[16*(1+Cos[n*Pi])*(1-Cos[m*Pi])*Sin[n*Pi*x]*Sin[m*Pi*y]*Cos[Sqrt[m^2+n^2]*Pi*t] /(m^2*n^2*Pi*2),{m,1,4},{n,1,4}]Animate[Plot3D[u[x,y,t],{x,0,1},{y,0,1}, PlotRange->{-8,8}],{t,0,1.75,0.25}];则输出相应动画. 下面动画的最后一幅图（图2.28）.图2.28实验习题1.用Plot3D 命令作出函数)33,33(3sin 2cos ≤≤-≤≤--=y x y x z 的图形, 采用选项 PlotPoints->40.2.作出函数)sin(22y x z +=π的图形.3.用Plot3D 命令作出函数)sin (cos 228/)(22y x e z y x +=+-在ππππ≤≤-≤≤-y x ,上的图形, 采用选项PlotPoints->60.4.二元函数22y x xyz +=在点(0,0) 处不连续, 用Plot3D 命令作出在区域22,22≤≤-≤≤-y x 上的图形(采用选项PlotPoints->40).观察曲面在(0,0)附近的变化情况.5.一个环面的参数方程为),20,20(sin ,sin )cos 3(,cos )cos 3(ππ≤≤≤≤=+=+=v u u z v u y v u x 试用命令ParametricPlot3D 作出它的图形.6.一个称作正螺面的曲面的参数方程为).80,11(3/,sin ,cos ≤≤≤≤-===v u v z v u y v u x 试用命令ParametricPlot3D 作出它的图形.7.用命令Plot3D 作双曲抛物面4122y x z -=,其中1414,66≤≤-≤≤-y x (用选项 BoxRatios->{1,1,1}, PlotPoints->30).8.用命令ParametricPlot3D 作出圆柱面122=+y x 和圆柱面122=+z x 相交的图形.9.用命令ParametricPlot3D 作出抛物柱面2y x =和平面1=+z x 相交的图形.10.用命令ParametricPlot3D 作出圆柱面122=+y x 和圆柱面122=+z x 相交所成的空间曲线在第一封内的图形.11.用命令ParametricPlot3D 作出球面22222=++z y x 和柱面1)1(22=+-y x 相交所成的空间曲线的图形.友情提示：方案范本是经验性极强的领域，本范文无法思考和涵盖全面，供参考!最好找专业人士起草或审核后使用。
CAD中绘制曲面和曲线的高级技巧
CAD中绘制曲面和曲线的高级技巧CAD软件是现代设计行业中不可或缺的工具，它可以帮助设计师们准确地创建模型和绘制图纸。
绘制曲面和曲线是CAD中的基础技巧，但是如何运用高级技巧来细致地绘制出复杂的曲面和曲线呢？本文将介绍一些CAD中绘制曲面和曲线的高级技巧。
1. 使用控制点：绘制曲线时，可以使用控制点来精确地控制曲线的形状。
在CAD软件中，使用控制点可以创建贝塞尔曲线或NURBS曲线。
贝塞尔曲线需要通过拖动控制点的位置来控制曲线的形状，而NURBS曲线则通过调整各个控制点的权值来控制曲线的形状。
2. 利用参数方程：对于一些复杂的曲面，可以使用参数方程来描述其形状。
在CAD软件中，可以通过输入参数方程的表达式来绘制出相应的曲面。
参数方程可以提供更加精确的控制，使得绘制出的曲面更加符合设计要求。
3. 使用剖面轨迹：对于需要按照一定轨迹绘制的曲线，可以使用剖面轨迹功能。
在CAD软件中，可以通过定义一个曲线作为剖面，然后按照指定的轨迹进行复制或移动，从而绘制出沿着该轨迹的多个副本。
这对于绘制复杂的曲线结构非常有帮助。
4. 混合曲线和曲面：在CAD软件中，可以通过混合曲线和曲面来绘制出更加复杂的曲线结构。
例如，可以使用曲面来创建一个基础形状，然后在该曲面上绘制曲线，从而创建出更加丰富多样的曲线结构。
这种方法可以提供更高级的曲线绘制技巧。
5. 利用辅助工具：CAD软件通常提供各种辅助工具，如交点、切线、法线等，可以帮助设计师们更加精确地控制曲线和曲面的形状。
例如，可以使用交点功能来确定两条曲线的交点，并在该处绘制曲线或曲面的特定形状。
这些辅助工具可以提高曲线和曲面绘制的精度和效率。
在CAD软件中绘制曲面和曲线需要一定的技巧和经验。
通过运用高级技巧，设计师们可以更加灵活地控制曲线和曲面的形状，从而创建出复杂而精美的设计模型。
同时，掌握这些技巧还能提高工作效率，让设计过程更加顺利和高效。
总之，CAD中绘制曲面和曲线的高级技巧包括使用控制点、利用参数方程、使用剖面轨迹、混合曲线和曲面，以及利用辅助工具等。
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实验二空间曲线曲面图形的绘制
一、实验目的
熟练掌握使用Mathematica软件绘制空间曲线曲面图形的方法.
二、实验容与Mathematica命令
1．基本三维图形
函数(,)
的图形为三维空间的一个曲面，Mathematica中，绘制三维曲面图形的
z f x y
基本命令格式为
Plot3D[f,{x,xmin,xmax},{y,ymin,ymax},Options]
其中，f为一个二元显函数. 该命令有众多可供使用的选项，可执行命令“Options[Plot3D]”查询.
1）绘制曲面的基本方法
运行t1=Plot3D[Sin[x+y]*Cos[x+y],{x,0,4},{y,0,4}]
图1
2）用PlotRange 设定曲面的表面的变化围
运行Show[t1,PlotRange{-0.2,0.5}]
图2
3）坐标轴上加标记，并且在每个外围平面上画上网格
运行Show[t1,AxesLabel{"Time","Depth","Value"},FaceGrids All]
图 3
4）观察点的改变
将观察点改变在（2，-2，0），运行
Show[t1,ViewPoint{2,-2,0}]
图 4
也可用鼠标拖动改变视点。
5）无网格和立体盒子的曲面
运行 Show[t1,Mesh False,Boxed False]
图 5
6）没有阴影的曲面
利用Shading取消曲面的阴影运行 Show[t1,Shading False]
图 6
7）给曲面着色
Show[t1,Lighting False
图 7 Show[t1,Lighting None]
图 8
Show[t1,Lighting"Neutral"]
图 9
Show[t1,Lighting{{"Directional",RGBColor[1,.7,.1],{{5,5,4},{5,5,0}}}}]
图 10
2．离散数据的绘制
ListPlot3D[{y1,y2,…..}，{z1,z2…}，…]
mytable:=Table[Sin[x*y],{x,0,3Pi/2,Pi/15},{y,0,3Pi/2,Pi/15}]; ListPlot3D[mytable]
图 11
3．三维空间参数方程的绘制
ParametricPlot3D[{fx,fv,fz},{t,tmin,tmax}]
给出空间曲线的参数图 ParametricPlot3D[{fx,fv,fz},{t,tmin,tmax},{u,umin,umax}] 给出空间曲面的参数图 ParametricPlot3D[{fx,fv,fz,s}…..]
按照函数关系s 绘出参数图的阴影部分
ParametricPlot3D[{fx,fv,fz},{gx,gy,gz}…..]]
把一些图形绘制在一起
1） 空间曲线的绘制
pp1=ParametricPlot3D[{3Cos[4t+1],Cos[2t+3],4Cos[2t+5]},{t,0,2Pi}]
2
2
1.0
0.50.00.51.0
4
2
2
4
图 12
pp2=ParametricPlot3D[{Cos[t],Sin[t],t/10.0},{t,0,10Pi}]
ParametricPlot3D[{Cos[t],Sin[t],t/10.0},{t,0,10Pi},PlotStyle {Thickness[0.02],RGBColor[1,0,1]}]
1.0
0.5
1.00.5
1.0
图 13
1.0
0.5
1.00.5
1.0
图 14
2）参数曲面的绘制
ParametricPlot3D[{Cos[u] Sin[v],Cos[u] Cos[v],Sin[u]},{u,0,2 Pi},{v,-Pi,Pi},Boxed False,Axes False]
图 15
绘制椭圆抛物面
22
35
x y
z=+，双曲抛物面
22
35
x y
z=-的图形.
Plot3D[x^2/3+y^2/5,{x,-2,2},{y,-2,2},BoxRatios->{1,1,1}, ViewPoint->{1.6,-3.,1.}];
Plot3D[x^2/3-y^2/5,{x,-2,2},{y,-3,3},BoxRatios->{1,1,1}, ViewPoint->{1.6,1.6,1.}];
这里，选项“BoxRatios->{1,1,1}”表示图形边框的长、宽、高的比例为1：1：1，选项“ViewPoint
->{1.6,-3,1}”观察图形的视点为{1.6,-3,1}. 命令执行后得到下面的图形.
图16 图17。