实验2-空间曲线曲面图形的绘制

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《数学实验》课程标准

课程名称：数学实验

课程类型：B类

课程编码：

适用专业及层次：理工科专业、专科层次

课程总学时：32学时，其中理论14 学时，实践18 学时

课程总学分：2

一、课程的性质、目的与任务

1.本课程的性质：专业选修课

2.课程目的与任务：

数学实验是以实际问题为载体，把数学建模、数学知识、数学软件和计算机应用有机地结合，容知识性、启发性、实用性和实践性于一体，强调学生的主体地位，在教师的引导下，用学到的数学知识和计算机技术，借助适当的数学软件，分析、解决一些经过简化的实际问题。该课程的引入，是数学教学体系、内容和方法改革的一项有益的尝试。

数学实验课程的目的是使学生掌握数学实验的基本思想和方法。从实际问题出发，借助计算机，通过学生亲自设计和动手，体验解决问题的全过程，从实验中去探索、学习和发现数学规律，充分调动学生学习的主动性。培养学生的创新意识，运用所学知识，建立数学模型，使用计算机并利用数学软件解决实际问题的能力，最终达到提高学生数学素质和综合能力的目的。

3.课程与其它课程的联系：在《高等数学》和《计算机基础》之后开设本课程为宜。在掌握了数学实验方法和matlab工具软件后，处理图形和建模等问题就得心应手了。由于matlab配备了几乎囊括所有应用数学学科的“工具箱”，可以利用其强大的运算、图形处理等功能来解决相关应用数学学科领域的复杂问题。所以说《数学实验》是应用数学课程的基础课。在计算机日益发展和普及的今天，matlab软件应成为大学生所必备的基础理论知识和重要的工具。

二、教学内容、教学要求及教学重难点

附录空间曲面与空间曲线

空间曲面与空间曲线
河海大学理学院《高等数学》
一、空间曲面与空间曲线曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹曲面方程的定义：如果曲面S与三元方程F(x, y, z)=0有下述关系： (1) 曲面S 上任一点的坐标都满足方程； (2) 不在曲面S 上的点的坐标都不满足方程；那么，方程 F(x, y, z) 0 就叫做曲面 S 的方程，而曲面S 就叫做方程的图形．
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F y, x2 z2 0.
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同理：xoz坐标面上的已知曲线F( x, z) 0绕 x 轴旋转一周的旋转曲面方程为
F x, y2 z2 0.
xoz坐标面上的已知曲线F( x, z) 0绕 z 轴旋转一周的旋转曲面方程为
F x2 y2 , z 0.
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空间曲线与曲面的切平面与法线方程

空间曲线与曲面的切平面与法线方程在几何学中，空间曲线与曲面的切平面与法线方程是研究曲线与曲面性质的重要工具。通过求解切平面与法线方程，我们可以揭示曲线曲面的性质，进而应用于实际问题的求解与分析。本文将介绍空间曲线与曲面的切平面与法线方程的推导过程和应用案例。

一、空间曲线的切平面与法线方程

1. 切线与切平面

在空间几何中，曲线上的点处，切线是通过该点且与曲线相切的直线。曲线上每一点都有唯一的切线。通过求解切线，我们可以得到曲线的切平面与法线方程。

2. 切线方程的求解

设曲线的参数方程为：

x = f(t)

y = g(t)

z = h(t)

对曲线参数方程求导，得到切线向量T：

T = (dx/dt, dy/dt, dz/dt)

切线方程可表示为：

(x - x0) / (dx/dt) = (y - y0) / (dy/dt) = (z - z0) / (dz/dt)

3. 切平面方程的求解

切平面是通过曲线上一点与切线方向垂直的平面。设切平面方程为Ax + By + Cz + D = 0，其中(A, B, C)为切平面的法向量。由于切线向量T与切平面法向量垂直，所以有：

A(dx/dt) + B(dy/dt) + C(dz/dt) = 0

根据切线方程求解得到的切线方程，将其代入上述方程中，即可得到切平面方程。

4. 法线方程的求解

法线是切平面上与切线垂直的直线。切平面方程的法向量为(A, B, C)，法线方程可表示为：

(x - x0) / A = (y - y0) / B = (z - z0) / C

二、曲面的切平面与法线方程

数学实验报告2【范本模板】

高等数学数学实验报告

实验人员:院（系） __ __学号____姓名_ __

实验地点:计算机中心机房

实验一空间曲线与曲面的绘制一、实验题目:(实验习题1—2）

利用参数方程作图，做出由下列曲面所围成的立体图形：

(1)

y x y x z =+--=2222,1及xOy 平面；

(2） 01,=-+=y x xy z 及.0=z

二、实验目的和意义

1、利用数学软件Mathematica 绘制三维图形来观察空间曲线和空间曲面图形的特点，以加强几何的直观性。

2、学会用Mathematica 绘制空间立体图形。

三、程序设计空间曲面的绘制

作参数方程],[],,[,),(),()

,(max min max min v v v u u v u z z v u y y v u x x ∈∈⎪

⎩⎪

⎨⎧===所确定的曲面图形的

Mathematica 命令为：

ParametricPlot3D ［{x[u ，v ］,y[u,v ］，z[u ，v ］},{u ，umin ，umax ｝, ｛v,vmin,vmax}，选项］

(1)

（2)

四、程序运行结果

（1）

-1

-0.5

00.5100.25

0.50.751-1

-0.5

0.5

（2)

五、结果的讨论和分析

1、通过参数方程的方法做出的图形,可以比较完整的显示出空间中的曲面和立体图形.

2、可以通过mathematica 软件作出多重积分的积分区域,使积分能够较直观的被观察。

3、从(1)中的实验结果可以看出,所围成的立体图形是球面和圆柱面所围成的立体空间.

4、从（2)中的实验结果可以看出围成的立体图形的上面曲面的方程是

研究空间曲线、曲面的两个基本问题

ｆ。
＝ｆｉｇＬ：的参数方程为：｛ｙ＝ｆ
【：
示，点的变动必然引起坐标的变化，点的坐标变化形成反映
＿
。
．
Ｌ。与
￡：不共面又不垂直
，．．
≠ ０，
几何条件的方程。因此，空间曲线、曲面的方程正是空间坐标
设Ｐ（，Ｙ，ｚ）是曲面上任一点，过Ｐ作平面仃．使７ｒｌ／／
维普资讯 http://www.cqvip.com
第２７卷第４期
Ｖ０１．２７Ｎｏ．４
开封教育学院学报
ＪｏｕｒｎａｌｏｆＫａｉｆｅｎｇＩｎｓｔｉｔｕｔｅｏｆＥｄｕｃａｔｉｏｎ
２００７年１２月２０１３
Ｄｅｃ．２Ｏ２ＯＯ７
研究空间曲线、曲面的两个基本问题
二、已知空间曲线、曲面上点的坐标问的关系式研究曲线、曲面的形状及空间区域
曲线、曲面是几何中的对象，方程是代数中的对象，通过坐标法把它们联系起来，即几何中的点的运动与代数中的量的变化统一起来了，从而能用代数的方法研究几何图形的性质，开辟了“形数结合 ”的途径。
关键词：曲线；曲面；轨迹；方程中图分类号：０１８７．１文献标识码－Ａ文章编号：１００８—９６４０（２００７）０４—００７８—０２

空间曲线与空间曲面

空间曲线和空间曲面是数学中重要的概念，它们在几何学、物理学

以及计算机图形学等领域中都有着广泛的应用。本文将对空间曲线和

空间曲面进行详细的介绍，并探讨它们的特性和性质。

一、空间曲线

空间曲线是三维空间中的曲线，可以用参数方程或者向量方程来表示。参数方程是指将曲线上的点表示为参数 t 的函数，通常用向量形式表示。向量方程则是直接用向量表示曲线上的点，一般形式为 r(t) =

(x(t), y(t), z(t))，其中 x(t)，y(t)，z(t) 分别表示曲线在 x、y、z 轴上的坐标。

空间曲线可以分为直线和曲线两种形式。直线是最简单的空间曲线，可以用一个点和一个方向向量来确定。曲线则更为复杂，可以是一段

圆弧、螺旋线或者任意曲线。

二、空间曲面

空间曲面是三维空间中的曲面，可以用方程、参数方程或者向量方

程来表示。方程形式的空间曲面通常为 F(x, y, z) = 0，其中 F(x, y, z) 是

一个关于 x、y、z 的函数。参数方程和向量方程也可以用来表示空间

曲面，其中参数方程将曲面上的点表示为参数 u、v 的函数，向量方程

则直接用向量表示曲面上的点。

空间曲面可以分为封闭曲面和非封闭曲面。封闭曲面是指四面都封

闭的曲面，比如球体或者圆柱体。而非封闭曲面则是有开口的曲面，

比如抛物面或者双曲面。

三、空间曲线的特性和性质

1. 切线与法线：空间曲线上的每个点都有一个切线和一个法线。切

线是与曲线相切的直线，其斜率等于曲线在该点的导数；法线则垂直

于切线，并与切线构成曲线的法平面。

2. 弧长和曲率：空间曲线的弧长是曲线上的两点间距离。曲率是衡

东南大学-数学实验-高数B下册

实验一空间曲线与曲面的绘制

本实验的目的是利用数学软件Mathematica 绘制三维图形来观察空间曲线和空间曲面图形的特点，以加强几何的直观性。 1、空间曲线的绘制

绘制空间曲线时一般使用曲线的参数方程，利用命令“ParametricPlot3D ”。如画

出参数方程21 ,)

()()

(t t t t z z t y y t x x ≤≤⎪

⎩⎪

⎨⎧===所确定的空间曲线的命令格式为:

ParametricPlot3D[{x[t],y[t],z[t]},{t,tmin,tmax},选项] 例1 画出旋转抛物面2

y x z +=与上半球面2211y x z --+=交线的图形。

解：它们的交线为平面1=z 上的圆12

2=+y x ，化为参数方程为⎪

⎩⎪⎨⎧∈===]2 ,0[ ,1

sin cos πt z t y t x ，

下面的mathematica 命令就是作出它们的交线并把它存在变量p 中：

p ParametricPlot3D Cos t ,Sin t ,1,t,0,2Pi

运行即得曲线如图1所示。

在这里说明一点，要作空间曲线的图形，必须先求出该曲线的

参数方程。如果曲线为一般式 ⎝

⎛==0),,(0

),,(z y x G z y x F ，其在xOy 面上的投

影柱面的准线方程为0),(=y x H ，可先将0),(=y x H 化为参数方

程⎪⎩⎪⎨⎧==)

()(t y y t x x ，再代入0),,(=z y x G 或0),,(=z y x F 解出

)(t z z =即可。

2、空间曲面的绘制

空间中的曲面和曲线

称它为空间曲线的参数方程.
例如,圆柱螺旋线
的参数方程为
上升高度
, 称为螺距 .
螺旋线的参数方程还可以写为
螺旋线的重要性质：
上升的高度与转过的角度成正比．即
上升的高度
螺距
例1. 将下列曲线化为参数方程表示:
解: (1)
根据第一方程引入参数 ,
(2) 将第二方程变形为
故所求为
得所求为
平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成
的轨迹叫做柱面.
表示抛物柱面,
母线平行于 z 轴;
准线为xoy 面上的抛物线.
z 轴的椭圆柱面.
z 轴的平面.
表示母线平行于
(且 z 轴在平面上)
表示母线平行于
C 叫做准线, l 叫做母线.
z 轴的双曲柱面.
表示母线平行于
一般地,在三维空间
3. 双曲面
(1)单叶双曲面
椭圆.
时, 截痕为
(实轴平行于x 轴；
虚轴平行于z 轴）
平面
上的截痕情况:
双曲线:
虚轴平行于x 轴）
时, 截痕为
时, 截痕为
(实轴平行于z 轴;
相交直线:
双曲线:
(2) 双叶双曲面
双曲线
椭圆
注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别:
双曲线
单叶双曲面

项目二一元函数积分学与空间图形的画法

6 4 2
0 0
1
2
2 1.5 1 0.5
30
图 2.6
例 2.2 (教材例 2.2) 作出函数 z
4
的图形.
1 x2 y2
输入 k[x_,y_]:=4/(1+x^2+y^2) Plot3D[k[x,y],{x,-2,2},{y,-2,2},PlotPoints->30, PlotRange->{0,4},BoxRatios->{1,1,1}]
输入 ParametricPlot3D[{2*Sin[u]*Cos[v],3*Sin[u]*Sin[v], Cos[u]}, {u,0,Pi},{v,0,2 Pi},PlotPoints->30]
则输出椭球面的图形（图 2.10）. 其中选项 PlotPoints->30 是增加取点的数量, 可使图形更加光滑.
作出它的图形. 输入 Plot3D[x*y,{x,-2,2},{y,-2,2},BoxRatios->{1,1,2}, PlotPoints->30]
输出图形略. 也可以用 ParametricPlot3 命令作出这个图形, 输入 ParametricPlot3[{r*Cos[t],r*Sin[t],r^2*Cos[t] *Sin[t]},{r,0,2},{t,0,2 Pi},PlotPoints->30]

03项目二Mathematica 一元函数积分学及空间图形的画法

项目二一元函数积分学与空间图形的画法

实验1 一元函数积分学(基础实验)

实验目的掌握用Mathematica 计算不定积分与定积分的方法. 通过作图和观察, 深入理解定积分的概念和思想方法. 初步了解定积分的近似计算方法. 理解变上限积分的概念. 提高应用定积分解决各种问题的能力.

基本命令

1.计算不定积分与定积分的命令Integrate 求不定积分时, 其基本格式为

Integrate[f[x],x]

如输入 Integrate[x^2+a,x]

则输出 3

x ax 3

其中a 是常数. 注意积分常数C 被省略.

求定积分时, 其基本格式为

Integrate[f[x],{x,a,b}]

其中a 是积分下限, b 是积分上限.

如输入 Integrate[Sin[x],{x,0,Pi/2}] 则输出 1

注:Mathematica 有很多的命令可以用相应的运算符号来代替. 例如,命令Integrate 可用积分号 ⎰代替, 命令Sum 可以用连加号∑代替, 命令Product 可用连乘号∏代替. 因此只要调出这些运算符号, 就可以代替通过键盘输入命令. 调用这些命令,只要打开左上角的File 菜单,点击Palettes 中的BasicCalculations, 再点击Calculus 就可以得到不定积分号、定积分号、求和号、求偏导数号等等. 为了行文方便, 下面仍然使用键盘输入命令, 但读者也可以尝试用这些数学符号直接计算.

2.数值积分命令NIntegrate

用于求定积分的近似值. 其基本格式为

怎样绘制标准曲线

首先，准备实验所需的材料和试剂。根据实验的要求，选择合

适的仪器和试剂，并确保其质量和纯度符合实验要求。在进行实验前，要对仪器进行校准和调试，确保其准确度和稳定性。

其次，进行样品的处理和实验操作。根据实验设计的要求，对

样品进行处理和制备。在实验操作过程中，要严格按照操作规程进行，确保实验数据的准确性和可靠性。避免操作中的人为误差对实

验结果产生影响。

接下来，进行数据的记录和处理。在实验过程中，要及时记录

实验数据，并进行合理的处理和分析。对实验数据进行统计学处理，计算出相应的浓度和吸光度数值。

然后，进行曲线的绘制和拟合。根据实验数据，选择合适的曲

线拟合模型，进行曲线的绘制和拟合。在绘制曲线时，要选择合适

的坐标轴范围和比例，确保曲线的直观性和准确性。

最后，进行曲线的验证和分析。对绘制的标准曲线进行验证，

检验其拟合度和可靠性。根据实验结果，对曲线进行分析，得出相

应的结论和应用。

绘制标准曲线是一项需要细心和耐心的工作，需要严格遵循实验操作规程和数据处理方法。只有在实验过程中严谨细致，才能得到准确可靠的标准曲线。希望以上内容能够对你有所帮助，祝你在实验工作中取得好成绩！

matlab学习笔记之五种常见的图形绘制功能

matlab学习笔记之五种常见的图形绘制功能分类：

离散数据图形绘制

函数图形绘制

⽹格图形绘制

曲⾯图形绘制

特殊图形绘制

本⽂重点介绍matlab五种图形绘制⽅法的后三种。

⼀、⽹格图形绘制

以绘制函数z=f(x,y)三维⽹格图为例，下⾯为绘制步骤：

1. 确定⾃变量x和y的取值范围和取值间隔

x = x1:dx:x2; y = y1:dy:y2;

2.构成xoy平⾯上的⾃变量采样格点矩阵

1）利⽤“格点”矩阵⽣成原理⽣成矩阵

X = ones(size(y))*x; Y = y*ones(size(x));

2）利⽤meshgrid命令⽣成“格点”矩阵

[X,Y] = meshgrid(x,y);

3.计算在⾃变量采样“格点”上的函数值

1） mesh(X,Y,X)

2） mesh(Z)

3） mesh(X,Y,Z,C)

4） mesh(X,Y,Z,’PropertyName’,PropertyValue,...)

实例：绘制的图像，并作定义域的裁剪。

clear,clf,

a = -1;

b = 1;

c = -15;

d = 15;n = 20;eps1 = 0.01;

x = linspace(a,b,n);y = linspace(c,d,n);

[X,Y] = meshgrid(x,y);

% 计算函数值z，并做函数的定义域剪裁

for i = 1:n

for j = 1:n

if(1-X(i,j))<eps1 || X(i,j) - Y(i,j) < eps1

Z(i,j) = NaN;

else

空间曲线与曲面的绘制

本实验的目的是:利用数学软件Mathematica 绘制三维图形来观察空间曲线和空间曲面图形的特点，以加强几何的直观性。 1.空间曲线的绘制

绘制空间曲线时一般使用曲线的参数方程，利用命令“ParametricPlot3D ”。如画出参数方程

21 ,)

()()(t t t t z z t y y t x x ≤≤⎪

⎩⎪

⎨⎧===所确定的空间曲线的命令格式为: ParametricPlot3D[{x[t],y[t],z[t]},{t,tmin,tmax},选项]

例1 画出旋转抛物面2

2y x z +=与上半球面2211y x z --+=交线的图形。

解：它们的交线为平面1=z 上的圆122=+y x ，化为参数方程为⎪

⎩⎪

⎨⎧∈===]2 ,0[ ,1

sin cos πt z t y t x ，下面的

mathematica 命令就是作出它们的交线并把它存在变量p 中：

p ParametricPlot3D Cos t ,Sin t ,1,t,0,2Pi

运行即得曲线如图1所示。

在这里说明一点，要作空间曲线的图形，必须先求出该曲线的参数

方程。如果曲线为一般式 ⎝⎛==0),,(0

),,(z y x G z y x F ，其在xOy 面上的投影柱面的

准线方程为0),(=y x H ，可先将0),(=y x H 化为参数方程⎪⎩⎪⎨⎧==)

()

(t y y t x x ，

再代入0),,(=z y x G 或0),,(=z y x F 解出 )(t z z =即可。 1、空间曲面的绘制

曲面和空间曲线讲解

M f ( y,z) 0
o
y
(1) z = z1 (2) 点M 到z 轴的距离
d x2 y2 | y1 |
返回
将 z z1, y1 x2 y2 代入 f ( y1, z1 ) 0
得方程 f x2 y2 , z 0,
是 yOz坐标面上的已知曲线 f ( y, z) 0绕z
play
返回
例3
x2 a2
y2 b2
1
(a 0,
b 0)
准线C 是 xOy 平面上的椭圆.
z
母线l 与z 轴平行.
S
{( x,
y,z) |
x2 a2
y2 b2
1}
S : 椭圆柱面
a = b : 圆柱面
l
oc
y
x
返回
例4 y 2 = 2x
S = { (x, y, z) | y 2 = 2x }
轴旋转一周的旋转曲面方程.
同理： yOz坐标面上的已知曲线 f ( y, z) 0 绕 y轴旋转一周的旋转曲面方程为
f y, x2 z2 0.
返回
例8 方程 z = x2 + y2 表示什么曲面？
解 z x2 y2 ( x2 y2 )2
即，曲面 z = x2 + y2 可以看作是： z xOz 平面上的抛物线
特殊地：球心在原点时方程为

Mathematica_-图形绘制

第2章图形绘制

平面图形

空间图形：曲线与曲面

2.1 曲线与曲面表示法

2.1.1 平面曲线表示法

（１）直角坐标显式（简称显式）：ｙ＝ｆ（ｘ）

（２）直角坐标隐式（简称隐式）：Ｆ（ｘ，ｙ）＝０

（３）参数式：ｘ＝ｘ（ｔ），ｙ＝ｙ（ｔ）

（４）极坐标式：ρ＝ρ（θ）

（５）列表式（又称数据形式，或称离散点形式）

（６）图形式（画出曲线的图形）

2.1.2 空间曲线表示法

（１）参数形式

ｘ＝ｘ（ｔ），ｙ＝ｙ（ｔ），ｚ＝ｚ（ｔ）

（２）交截形式

ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）＝０∩φ（ｘ，ｙ，ｚ）＝０

这是用两张曲面的交线来表示空间曲线。在理论研究与实际应用中，常常是通过引入参数ｔ将交截式转化为参数式来讨论问题的。

2.1.3 曲面表示法

(1)直角坐标显式(简称显式):z=f(x,y)

(2)直角坐标隐式(简称隐式):F(x,y,z)=0

(3)参数形式:x=x(u,v),y=y(u,v),z=z(u,v)

(4)数据形式:即是将曲面上的点表示为

x={xi},y={yj},z={zij} (i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)

的形式,其中xi与yj为向量x与y中的元素,zij为矩阵z中的元素?

(5)图形形式(画出曲面的图形)

曲面表示的上述5种形式在一定条件下也是可以互相转化的,在实际问题中用得最多的是(1),(3),(5)三种形式?

2.2 平面曲线的绘制法

2.2.1 显式

Plot[f(x),{x,x1,x2},可选项]

Plot[{f1(x),f2(x),…},{x,x1,x2},可选项]

Note：原式用InputForm查看；不连续图形可能有失真。

空间曲面实验报告

实验序号：课件制作(1) 日期：

1 问题背景描述

在大学数学课程中，对大学生的空间思维能力有了更高的要求.在解析几何课程中，我们学习了很多空间曲面的表达形式，其中很多空间曲面也有相应的参数表达形式.可是光有表达形式是不够的，我们需要了解这些空间曲面的图形，因为不对这些空间曲面的图形有个很好的掌握的话，就会阻碍一些课程的学习.比如在数学分析课程中，有关二重积分，三重积分，曲面积分，曲线积分的运算，都需要我们要能够掌握一些空间曲面的图形.掌握好空间曲面的图形，为我们进一步学习相关数学课程打下良好的基础.

2 实验目的

2.1 掌握利用Mathematica7画空间曲面的基本操作.

2.2 用Mathematica7软件画空间曲面图形，体现了数形结合的思想，培养学生的空间几何概念，有利于加深学生对知识的理解和掌握.

3 实验所用软件及版本

Mathematica7以上版本

4 主要内容

利用Mathematica7画了一些典型的空间曲面图形，通过滑动控件按钮，图形可以动态的变化.

5 实验过程记录

6 思考与深入

通过滑动控件按钮，可以使得该空间图形的形状会有细微的变化，便于感知图形的变动过程.可是我们只能对这个图形有一个大体的认知，要想进一步通过该图形对图形的性质有一个细致的认识还是有一定难度的.因此此课件还有改进之处.

此课件有几个优点：1、代码开放可随时修改；2、运行方便，做数学课件易如反掌；3、可通过存为CDF格式放在网上，成为网络课

件.当然，它也有使用上的难处，就是要对Mathematica要比较全面深入地了解，若能把程序设计的思想融入其中，则一定能设计出功能强大的数学课件，这需要一定的学习时间.

实验2-空间曲线曲面图形的绘制

《数学实验》课程标准

附录空间曲面与空间曲线

空间曲线与曲面的切平面与法线方程

数学实验报告2【范本模板】

研究空间曲线、曲面的两个基本问题

空间曲线与空间曲面

东南大学-数学实验-高数B下册

空间中的曲面和曲线

项目二 一元函数积分学与空间图形的画法

03项目二Mathematica 一元函数积分学及空间图形的画法

怎样绘制标准曲线

matlab学习笔记之五种常见的图形绘制功能

空间曲线与曲面的绘制

曲面和空间曲线讲解

Mathematica_-图形绘制

空间曲面实验报告

项目二一元函数积分学与空间图形的画法