广东高考数学(理)一轮题库：7.4-基本不等式(含答案)
广州市天河高考一轮《基本不等式》复习检测试题含答案
基本不等式例1：求证)(2222222c b a a c c b b a ++≥+++++。
分析：此问题的关键是“灵活运用重要基本不等式ab b a 222≥+，并能由)(2c b a ++这一特征，思索如何将ab b a 222≥+进行变形，进行创造”。
证明：∵ab b a 222≥+，两边同加22b a +得222)()(2b a b a +≥+，即2)(222b a b a +≥+；∴)(222122b a b a b a +≥+≥+，同理可得：)(2222c b c b +≥+，)(2222a c a c +≥+， 三式相加即得)(2222222c b a a c c b b a ++≥+++++。
例2：若正数a 、b 满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是 。
解：∵+∈R b a ,，∴323+≥++=ab b a ab ，令ab y =，得0322≥--y y ， ∴3≥y ，或1-≤y （舍去），∴92≥=ab y ，∴ab 的取值范围是[).,9+∞。
说明：本题的常见错误有二。
一是没有舍去1-≤y ；二是忘了还原，得出[)+∞∈,3ab 。
前者和后者的问题根源都是对ab 的理解，前者忽视了.0≥ab 后者错误地将2y 视为ab 。
因此，解题过程中若用换元法，一定要对所设“元”的取值范围有所了解，并注意还原之。
例3：已知R c b a ∈,,，求证.222ca bc ab c b a ++≥++ 证明：∵ab b a 222≥+，bc c b 222≥+，ca a c 222≥+，三式相加，得)(2)(2222ca bc ab c b a ++≥++，即.222ca bc ab c b a ++≥++ 说明：这是一个重要的不等式，要熟练掌握。
例4：已知c b a 、、是互不相等的正数，求证：abc b a c c a b c b a 6)()()(222222>+++++。
2024年高考数学 高三大一轮复习专题04 基本不等式
专题04 基本不等式【知识精讲】一、基本不等式12a b+≤（1）基本不等式成立的条件：0,0a b >>. （2）等号成立的条件，当且仅当a b =时取等号． 2．算术平均数与几何平均数设0,0a b >>，则a 、b 的算术平均数为2a b+，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 3．利用基本不等式求最值问题（1）如果积xy 是定值P ，那么当且仅当x y =时，x ＋y 有最小值是简记：积定和最小)（2）如果和x ＋y 是定值P ，那么当且仅当x y =时，xy 有最大值是24P .(简记：和定积最大) 4．常用结论（1）222(,)a b ab a b +≥∈R （2）2(,)b aa b a b+≥同号 （3）2()(,)2a b ab a b +≤∈R （4）222()(,)22a b a b a b ++≤∈R（5）2222()()(,)a b a b a b +≥+∈R（6）222()(,)24a b a b ab a b ++≥≥∈R（7）222(0,0)1122a b a b ab a b a b++≥≥≥>>+ 二、常见求最值模型 模型一：)0,0(2>>≥+n m mn x nmx ，当且仅当mn x =时等号成立； 模型二：)0,0(2)(>>+≥+−+−=−+n m ma mn ma ax na x m a x n mx ，当且仅当mna x =−时等号成立；模型三：)0,0(2112>>+≤++=++c a bac xc b ax c bx ax x ，当且仅当acx =时等号成立； 模型四：)0,0,0(4)21)()(22mnx n m m n mx n mx m m mx n mx mx n x <<>>=−+⋅≤−=−（，当且仅当mnx 2=时等号成立. 【题型精讲】题型一 利用基本不等式求最值【例1-1】对勾函数 求下列函数的最值（1）已知54x <，则函数1445y x x =+−的最大值为___________.【答案】3 【解析】 【分析】由于5,4504x x <−< ，需要构造函数，才能运用基本不等式.【详解】因为54x <，所以450x −<，540x −>,()1144554545y x x x x =+=−++−−()()11545254535454x x x x ⎡⎤=−−++≤−−⋅=⎢⎥−−⎣⎦当且仅当15454x x−=−，即1x =时，等号成立.故当1x =时，y 取最大值，即max 3y =.故答案为：3.（2）已知54x >，则函数1445y x x =+−的最小值为___________.【答案】3 【解析】 【分析】由于5,4504x x >−> ，需要构造函数，才能运用基本不等式.【详解】因为54x >，所以450x −>，()1144554545y x x x x =+=−++−−()14555745x x ⎡⎤=−++≥=⎢⎥−⎣⎦当且仅当14545x x −=−，即32x =时，等号成立.故当32x =时，y 取最小值，即min7y=.故答案为：3.（3）已知2x ≥，则函数1445y x x =+−的最小值为___________. 【答案】325 【例1-2】最值定理（1）已知01x <<，则(43)x x −取得最大值时x 的值为________．【答案】 23【解析】 【分析】（1）积的形式转化为和的形式，利用基本不等式求最值，并要检验等号成立的条件； 【详解】解：（1）2113(43)4(43)3(43)3323x x x x x x +−⎡⎤−=⨯−≤⨯=⎢⎥⎣⎦， 当且仅当343x x =−，即23x =时，取等号． 故答案为：23.（2）若x ，y 为实数，且26x y +=，则39x y +的最小值为（ ）A ．18B ．27C ．54D ．90【答案】C 【解析】 【分析】利用基本不等式可得答案． 【详解】由题意可得2393322754x y x y +=+≥=⨯=， 当且仅当233x y =时，即2x y =等号成立. 故选：C ．【例1-3】“1”的妙用 （1）若正实数,a b 满足32a b +=，则11a b+的最小值为___________.【答案】22 【解析】 【分析】用“1”的代换凑配出定值后用基本不等式求得最小值． 【详解】1111113(3)2()22222b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当3b a a b =时，即a b ==时，11a b +的最小值为2.故答案为：2.（2）已知0x >，0y >，且22x y +=，则433x y x y++的最小值为__________.【答案】3【解析】 【分析】将目标式中4代换成24x y +，展开由基本不等式可得. 【详解】 因为22x y +=所以432434333333x y x y x y y x x y x y x y ++++=+=++≥+= 当且仅当4322yx x y x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，即3x y ==时，取等号，所以433x y x y ++的最小值为3故答案为：3【例1-4】分离常数法 当2x >−时，函数2462++=+x x y x 的最小值为___________．【答案】【解析】 【分析】将函数解析式变形为()222y x x =+++，利用基本不等式可求得结果. 【详解】因为2x >−，则20x +>，则()()22224622222x x x y x x x x ++++===+++++≥=当且仅当2x 时，等号成立，所以，当2x >−时，函数2462++=+x xy x 的最小值为故答案为：【例1-5】换元法 已知正数x ，y 满足21133x y x y+=++，则x y +的最小值（ ）AB ．34+CD ．38+ 【答案】A 【解析】 【分析】利用换元法和基本不等式即可求解. 【详解】令3x y m +=，3x y n +=，则211m n+=， 即()()()334m n x y x y x y +=+++=+，∴21121344424444m n m n m n x y m n n m +⎛⎫⎛⎫+==++=+++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭33244=+=，当且仅当244m n n m=，即2m =1n =时，等号成立， 故选：A.【例1-6】消元法 已知正实数a ，b 满足220ab a +−=，则4a b +的最小值是（ ）A．2 B ．2 C ．2 D ．6【答案】B 【解析】 【分析】根据220ab a +−=变形得22a b =+，进而转化为a b b b +=++842， 用凑配方式得出()b b ++−+8222，再利用基本不等式即可求解. 【详解】由220ab a +−=，得22a b =+，所以()a b b b b b b +=+=++−⋅=+++888422222222，当且仅当,a b b b ==+++28222，即a b ==22取等号. 故选：B.【例1-7】一元二次不等式法 已知x ，y R ∈，2291x xy y −+=，则3x y +的最大值为________．【解析】 【分析】由229123x y xy x y +=+⋅⋅，可推出15xy ，而222(3)6917x y x xy y xy +=++=+，代入所得结论即可． 【详解】解：2291x xy y −+=，22916x y xy xy ∴+=+，即15xy ，当且仅当3x y =，即15x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，等号成立，222112(3)69171755x y x xy y xy ∴+=++=+≤+⨯=，∴3x y +≤3x y ∴+【例1-8】拆项法,,a b c 是不同时为0的实数，则2222ab bca b c +++的最大值为（ ）A ．12 B ．14CD【答案】A 【解析】 【分析】对原式变形，两次利用基本不等式，求解即可. 【详解】因为a ，b 均为正实数，则2222222ab bc a c a c a b c b b ++=≤++++12==≤=， 当且仅当222a c b b +=，且a c =取等，即a b c ==取等号，即则2222ab bc a b c +++的最大值为12，故选：A ．【练习1-1】（1）已知1x >−，求函数27101x x y x ++=+的值域；（2）已知0x >，0y >，且280x y xy +−=，求：x y +的最小值． 【答案】（1）[)9,+∞；（2）18． 【解析】 【分析】（1）设1t x =+，得到0t >，且1x t =−，化简2710451x x y t x t ++==+++，结合基本不等式（对勾函数法），即可求解；（2）由280x y xy +−=，得到821x y +=，化简()822810x yx y x y x y y x ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭，结合基本不等式（“1”的妙用），即可求解. 【详解】（1）设1t x =+，因为1x >−，可得0t >，且1x t =−，故22710(1)7(1)10451x x t t y t x t t ++−+−+===+++，因为44t t+≥，可得459t t ++≥，当且仅当2t =时，即1x =时，等号成立．所以函数2710(1)1x x y x x ++=>−+的值域为[)9,+∞．（2）由280x y xy +−=，可得28x y xy +=，即821x y +=，则()82x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭281010218x y y x =++≥+=． 当且仅当28x y y x=，即12x =且6y =时，等号成立， 所以x y +的最小值为18．【练习1-2】已知正实数a ，b 满足26a b +=，则212a b ++的最小值为（ ）A ．45B ．43C ．98D ．94【答案】C 【解析】 【分析】利用乘1法即得. 【详解】 ∵26a b +=，∴()214114122222822a b a b a b a b ⎛⎫+=+=+++ ⎪+++⎝⎭()(42121941582288b a b a +⎡⎤=+++≥⨯+=⎢⎥+⎣⎦， 当且仅当()42222b ab a+=+,即23b =，83a =时，取等号. 故选：C.【练习1-3】已知对任意正实数x ，y ，恒有()2222x y a x xy y +−+≤，则实数a 的最小值是___________. 【答案】2 【解析】 【分析】证明220x xy y −+>，由()2222x y a x xy y +−+≤，即2222x y a x xy y +−+≤，22222211x y xy x xy y x y +=−+−+结合基本不等式求出2222max x y x xy y ⎛⎫+ ⎪−+⎝⎭，即可得出答案. 【详解】解：因为0,0x y >>，则()2220x xy y x y xy −+=−+>， 则()2222x y a x xy y +−+≤，即2222x y a x xy y +−+≤， 又22222211x y xy x xy y x y +=−+−+， 因为222x y xy +≥，所以22112xy x y −≥+，所以22121xy x y ≤−+， 即22222x y x xy y+≤−+，当且仅当x y =时，取等号， 所以2222max2x y x xy y ⎛⎫+= ⎪−+⎝⎭， 所以2a ≥，即实数a 的最小值是2.故答案为：2.【练习1-4】已知正数a ，b 满足426a b ab ++=，则4a b +的最小值为（ ）A ．1BC ．4D ．5【答案】C 【解析】 【分析】由基本不等式得出关于4a b +的不等式，解之可得． 【详解】由已知2146(4)2()22a b a b ab +−+=≤⋅，当且仅当4a b =时等号成立， 所以2(4)8(4)480a b a b +++−≥，(44)(412)0a b a b +−++≥， 又0,0a b >>，所以44a b +≥，即4a b +的最小值是4，此时12,2a b ==． 故选：C ．【练习1-5】设0a >，0b >，若221a b +=2ab −的最大值为（ ）A ．3+B ．C ．1D ．2+【答案】D 【解析】 【分析】法一：设c b =−，进而将问题转化为已知221a c +=，求ac 的最大值问题，再根据基本不等式求解即可；法二：由题知221()14a b +=进而根据三角换元得5cos ,(0)62sin a b πθθθθ⎧=⎪<<⎨=⎪⎩，再根据三角函数最值求解即可. 【详解】解：法一：（基本不等式）设c b =−2ab −=)a b ac −=，条件222211a b a c +=⇔+=，2212a c ac +=+≥，即2≤ac 故选：D.法二：（三角换元）由条件221()14a b +=，故可设cos sin 2a b θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即cos ,2sin a b θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩， 由于0a >，0b >，故cos 02sin 0θθθ⎧>⎪⎨>⎪⎩，解得506πθ<<所以，5cos ,(0)62sin a b πθθθθ⎧=⎪<<⎨=⎪⎩，22sin 22ab θ−=≤当且仅当4πθ=时取等号.故选：D.题型二 求数、式的范围【例2-1】若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则 (1)ab 的取值范围是__ ； (2)a ＋b 的取值范围是__ __． 【答案】（1）_[9，＋∞) （2）[6，＋∞) [解析] (1)∵ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3，令t ＝ab >0，∴t 2－2t －3≥0，∴(t －3)(t ＋1)≥0． ∴t ≥3即ab ≥3，∴ab ≥9，当且仅当a ＝b ＝3时取等号． (2)∵ab ＝a ＋b ＋3，∴a ＋b ＋3≤(a ＋b 2)2．今t ＝a ＋b >0，∴t 2－4t －12≥0，∴(t －6)(t ＋2)≥0． ∴t ≥6即a ＋b ≥6，当且仅当a ＝b ＝3时取等号． 【例2-2】已知0m >，0xy >，当2x y +=时，不等式24mx y+≥恒成立，则m 的取值范围是 。
高考理科数学(人教版)一轮复习讲义：第七章 第三节 基本不等式 Word版含答案
第三节基本不等式1．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b . 2．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)；(2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)；(3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)；(4)⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b22(a ，b ∈R)； (5)2ab a ＋b≤ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22(a ＞0，b ＞0)． 3．算术平均数与几何平均数设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问题 已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)． (2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 24(简记：和定积最大)． 注：(1)此结论应用的前提是“一正”“二定”“三相等”.“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指等号成立.(2)连续使用基本不等式时，牢记等号要同时成立.[小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)当a ≥0，b ≥0时，a ＋b2≥ab .( ) (2)两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 成立的条件是相同的．( ) (3)x ＞0且y ＞0是x y ＋yx ≥2的充要条件．( ) (4)函数f (x )＝cos x ＋4cos x，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2的最小值等于4.( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)×二、选填题1．设x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A ．80 B ．77 C ．81 D ．82答案：C2．设0＜a ＜b ，则下列不等式中正确的是( ) A ．a ＜b ＜ab ＜a ＋b2 B ．a ＜ab ＜a ＋b2＜b C ．a ＜ab ＜b ＜a ＋b2D.ab ＜a ＜a ＋b2＜b 解析：选B 因为0＜a ＜b ，所以a －ab ＝a (a －b )＜0，故a ＜ab ；b －a ＋b 2＝b －a2＞0，故b ＞a ＋b 2；由基本不等式知a ＋b 2＞ab ，综上所述，a ＜ab ＜a ＋b2＜b ，故选B. 3．函数f (x )＝x ＋1x 的值域为( )A ．[－2,2]B ．[2，＋∞)C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D ．R 解析：选C 当x ＞0时，x ＋1x ≥2 x ·1x ＝2.当x ＜0时，－x ＞0. －x ＋1－x ≥2(－x )·1(－x )＝2.所以x ＋1x≤－2.所以f (x )＝x ＋1x 的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)．4．若实数x ，y 满足xy ＝1，则x 2＋2y 2的最小值为________． 答案：2 2 5．若x ＞1，则x ＋4x －1的最小值为________． 解析：x ＋4x －1＝x －1＋4x －1＋1≥4＋1＝5. 当且仅当x －1＝4x －1，即x ＝3时等号成立． 答案：5考点一 利用基本不等式求最值[全析考法过关](一) 拼凑法——利用基本不等式求最值[例1] (1)已知0＜x ＜1，则x (4－3x )取得最大值时x 的值为________． (2)已知x ＜54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为________．(3)函数y ＝x 2＋2x －1(x ＞1)的最小值为________．[解析] (1)x (4－3x )＝13·(3x )(4－3x )≤13·⎣⎡⎦⎤3x ＋(4－3x )22＝43，当且仅当3x ＝4－3x ，即x ＝23时，取等号．故所求x 的值为23.(2)因为x ＜54，所以5－4x ＞0，则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－⎝⎛⎭⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x，即x＝1时，取等号．故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1. (3)y ＝x 2＋2x －1＝(x 2－2x ＋1)＋(2x －2)＋3x －1＝(x －1)2＋2(x －1)＋3x －1＝(x －1)＋3x －1＋2≥23＋2. 当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝3＋1时，取等号． [答案] (1)23 (2)1 (3)23＋2[解题技法]通过拼凑法利用基本不等式求最值的实质及关键点拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．拼凑法的实质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键．(二) 常数代换法——利用基本不等式求最值[例2] 已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，则1a ＋1b 的最小值为________． [解析] 因为a ＋b ＝1，所以1a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥2＋2 b a ·a b ＝2＋2＝4.当且仅当a ＝b ＝12时，取等号．[答案] 4 [变式发散]1．(变条件)将条件“a ＋b ＝1”改为“a ＋2b ＝3”，则1a ＋1b 的最小值为________．解析：因为a ＋2b ＝3，所以13a ＋23b ＝1.所以1a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ⎝⎛⎭⎫13a ＋23b ＝13＋23＋a 3b ＋2b3a≥1＋2 a 3b ·2b 3a＝1＋223.当且仅当a ＝2b 时，取等号．答案：1＋2232．(变设问)保持本例条件不变，则⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b 的最小值为________． 解析：⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝⎝⎛⎭⎫1＋a ＋b a ⎝⎛⎭⎫1＋a ＋b b ＝⎝⎛⎭⎫2＋b a ⎝⎛⎭⎫2＋a b ＝5＋2⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9.当且仅当a ＝b ＝12时，取等号． 答案：9[解题技法]通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤 (1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)； (2)把确定的定值(常数)变形为1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式； (4)利用基本不等式求解最值． (三) 消元法——利用基本不等式求最值[例3] 已知x ＞0，y ＞0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________． [解析] 法一(换元消元法)：由已知得x ＋3y ＝9－xy ， 因为x ＞0，y ＞0，所以x ＋3y ≥23xy ，所以3xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y ，即x ＝3，y ＝1时取等号，即(x ＋3y )2＋12(x ＋3y )－108≥0.令x ＋3y ＝t ，则t ＞0且t 2＋12t －108≥0， 得t ≥6，即x ＋3y 的最小值为6. 法二(代入消元法)：由x ＋3y ＋xy ＝9，得x ＝9－3y 1＋y，所以x ＋3y ＝9－3y 1＋y ＋3y ＝9－3y ＋3y (1＋y )1＋y＝9＋3y 21＋y ＝3(1＋y )2－6(1＋y )＋121＋y ＝3(1＋y )＋121＋y－6≥23(1＋y )·121＋y－6＝12－6＝6.即x ＋3y 的最小值为6. [答案] 6 [解题技法]通过消元法利用基本不等式求最值的策略当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值．(四) 利用两次基本不等式求最值 [例4] 已知a ＞b ＞0，那么a 2＋1b (a －b )的最小值为________．[解析] 由a ＞b ＞0，得a －b ＞0， ∴b (a －b )≤⎝⎛⎭⎫b ＋a －b 22＝a24. ∴a 2＋1b (a －b )≥a 2＋4a 2≥2a 2·4a2＝4， 当且仅当b ＝a －b 且a 2＝4a 2，即a ＝2，b ＝22时取等号．∴a 2＋1b (a －b )的最小值为4.[答案] 4 [解题技法]两次利用基本不等式求最值的注意点当连续多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且注意取等号的条件的一致性．[过关训练]1．(2019·常州调研)若实数x 满足x ＞－4，则函数f (x )＝x ＋9x ＋4的最小值为________．解析：∵x ＞－4，∴x ＋4＞0， ∴f (x )＝x ＋9x ＋4＝x ＋4＋9x ＋4－4≥2(x ＋4)·9x ＋4－4＝2，当且仅当x ＋4＝9x ＋4，即x ＝－1时取等号． 故函数f (x )＝x ＋9x ＋4的最小值为2. 答案：22．若正数x ，y 满足x 2＋6xy －1＝0，则x ＋2y 的最小值是________． 解析：因为正数x ，y 满足x 2＋6xy －1＝0， 所以y ＝1－x 26x.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，y ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，1－x 26x＞0解得0＜x ＜1.所以x ＋2y ＝x ＋1－x 23x ＝2x 3＋13x≥22x 3·13x ＝223， 当且仅当2x 3＝13x ，即x ＝22，y ＝212时取等号．故x ＋2y 的最小值为223.答案：223考点二 利用基本不等式解决实际问题[师生共研过关][典例精析]某厂家拟定在2019年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用m (m ≥0)万元满足x ＝3－km ＋1(k 为常数)．如果不搞促销活动，那么该产品的年销量只能是1万件．已知2019年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2019年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数； (2)该厂家2019年的促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？ [解] (1)由题意知，当m ＝0时，x ＝1(万件)， 所以1＝3－k ⇒k ＝2，所以x ＝3－2m ＋1，每件产品的销售价格为1.5×8＋16xx (元)， 所以2019年的利润y ＝1.5x ×8＋16xx －8－16x －m＝－⎣⎡⎦⎤16m ＋1＋(m ＋1)＋29(m ≥0)．(2)因为m ≥0时，16m ＋1＋(m ＋1)≥216＝8， 所以y ≤－8＋29＝21，当且仅当16m ＋1＝m ＋1⇒m ＝3(万元)时，y max ＝21(万元)．故该厂家2019年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元．[解题技法]利用基本不等式解决实际问题的3个注意点(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值． (3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．[过关训练]1．若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m 2. 解析：设一边长为x m ，则另一边长可表示为(10－x )m ，由题知0＜x ＜10，则面积S ＝x (10－x )≤⎝⎛⎭⎫x ＋10－x 22＝25，当且仅当x ＝10－x ，即x ＝5时等号成立，故当矩形的长与宽相等，且都为5 m 时面积取到最大值25 m 2.答案：252．(2019·孝感模拟)经测算，某型号汽车在匀速行驶的过程中每小时耗油量y (L)与速度x (km/h)(50≤x ≤120)的关系可近似表示为y ＝⎩⎨⎧175(x 2－130x ＋4 900)，x ∈[50，80)，12－x60，x ∈[80，120].(1)该型号汽车的速度为多少时，可使得每小时耗油量最低？(2)已知A ，B 两地相距120 km ，假定该型号汽车匀速从A 地驶向B 地，则汽车速度为多少时总耗油量最少？解：(1)当x ∈[50,80)时，y ＝175(x 2－130x ＋4 900)＝175[(x －65)2＋675]，当x ＝65时，y 有最小值，为175×675＝9，当x ∈[80,120]时，函数y ＝12－x 60单调递减，故当x ＝120时，y 有最小值，为10，因为9＜10，所以该型号汽车的速度为65 km/h 时，每小时耗油量最低．(2)设总耗油量为l ，由题意可知l ＝y ·120x ，当x ∈[50,80)时，l ＝y ·120x ＝85⎝⎛⎭⎫x ＋4 900x －130≥85⎝⎛⎭⎫2x ×4 900x －130＝16，当且仅当x ＝4 900x ，即x ＝70时，l 取得最小值，最小值为16.当x ∈[80,120]时，l ＝y ·120x ＝1 440x －2为减函数，故当x ＝120时，l 取得最小值，最小值为10，因为10＜16，所以当速度为120 km/h 时，总耗油量最少．考点三 基本不等式的综合应用[师生共研过关][典例精析](1)已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(b ＞0，c ＞0)经过圆C ：x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则4b ＋1c 的最小值是( )A ．9B ．8C ．4D ．2(2)设等差数列{a n }的公差是d ，其前n 项和是S n ，若a 1＝d ＝1，则S n ＋8a n的最小值是________．[解析] (1)把圆x 2＋y 2－2y －5＝0化成标准方程为x 2＋(y －1)2＝6，所以圆心为C (0,1)． 因为直线ax ＋by ＋c －1＝0经过圆心C ，所以a ×0＋b ×1＋c －1＝0，即b ＋c ＝1.又b ＞0，c ＞0， 因此4b ＋1c ＝(b ＋c )⎝⎛⎭⎫4b ＋1c ＝4c b ＋b c ＋5≥2 4c b ·b c ＋5＝9.当且仅当b ＝2c ，且b ＋c ＝1， 即b ＝23，c ＝13时，4b ＋1c 取得最小值9.(2)由题意a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ，S n ＝n (1＋n )2， 所以S n ＋8a n ＝n (1＋n )2＋8n ＝12⎝⎛⎭⎫n ＋16n ＋1≥12⎝⎛⎭⎫2 n ·16n ＋1＝92， 当且仅当n ＝4时取等号． 所以S n ＋8a n 的最小值是92.[答案] (1)A (2)92[解题技法]利用基本不等式解题的策略(1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．(3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围．[过关训练]1．已知函数f (x )＝x ＋ax ＋2的值域为(－∞，0]∪[4，＋∞)，则a 的值是( )A.12 B.32 C ．1D ．2解析：选C 由题意可得a ＞0， ①当x ＞0时，f (x )＝x ＋ax ＋2≥2a ＋2， 当且仅当x ＝a 时取等号；②当x ＜0时，f (x )＝x ＋ax ＋2≤－2a ＋2， 当且仅当x ＝－a 时取等号，所以⎩⎨⎧2－2a ＝0，2a ＋2＝4，解得a ＝1，故选C.2．已知向量a ＝(m,1)，b ＝(4－n,2)，m ＞0，n ＞0，若a ∥b ，则1m ＋8n 的最小值为________．解析：∵a ∥b ，∴4－n －2m ＝0，即2m ＋n ＝4.∵m ＞0，n ＞0，∴1m ＋8n ＝14(n ＋2m )⎝⎛⎭⎫1m ＋8n ＝14×⎝⎛⎭⎫10＋n m ＋16m n ≥14×⎝⎛⎭⎫10＋2 n m ·16m n ＝92，当且仅当4m ＝n ＝83时取等号．∴1m ＋8n 的最小值是92.答案：92。
2018版高考数学(理)一轮复习文档：第七章7.4 基本不等式及其应用含解析
（2)函数f（x)＝cosx＋ ，x∈(0, ）的最小值等于4。（ × ）
(3）“x>0且y>0"是“ ＋ ≥2”的充要条件．（ × ）
（4)若a>0，则a3＋ 的最小值为2 .( × )
（5）不等式a2＋b2≥2ab与 ≥ 有相同的成立条件．（ × )
（6)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．( √ )
2．已知a〉0，b〉0， ＋ ＝4，求a＋b的最小值．
解 由 ＋ ＝4,得 ＋ ＝1。
∴a＋b＝（ ＋ )(a＋b）＝ ＋ ＋ ≥ ＋2 ＝1。
当且仅当a＝b＝ 时取等号．
3．将条件改为a＋2b＝3，求 ＋ 的最小值．
解 ∵a＋2b＝3,
∴ a＋ b＝1，
∴ ＋ ＝( ＋ )( a＋ b)＝ ＋ ＋ ＋
答案 （1）80 (2)8
解析 （1)设每件产品的平均费用为y元，由题意得
y＝ ＋ ≥2 ＝20.
当且仅当 ＝ （x>0)，即x＝80时“＝”成立．
（2）年平均利润为 ＝－x－ ＋18
＝－（x＋ ）＋18，
∵x＋ ≥2 ＝10,
∴ ＝18－（x＋ )≤18－10＝8，
当且仅当x＝ ，即x＝5时，取等号．
＝ ＋ · ＋4(y－ )
≥ ＋2 ＝5，
当且仅当y＝ 时等号成立，∴（3x＋4y)min＝5。
(2）由2x－3＝( ）y得x＋y＝3，
＋ ＝ (x＋y）（ ＋ )
＝ （1＋m＋ ＋ )
≥ (1＋m＋2 )
（当且仅当 ＝ ,即y＝ x时取等号),
∴ （1＋m＋2 ）＝3,
解得m＝4。
题型二 基本不等式的实际应用
高三一轮复习基本不等式练习题加答案
基本不等式例1、若x >0，求函数y ＝x ＋4x 的最小值，并求此时x 的值；解：当x >0时，x ＋4x≥2x ·4x ＝4，当且仅当x ＝4x，即x 2＝4，x ＝2时取等号． ∴函数y ＝x ＋4x (x >0)在x ＝2时取得最小值4.例2、已知x >2，求x ＋4x －2的最小值；解：∵x >2，∴x －2>0，∴x ＋4x －2＝x －2＋4x －2＋2≥2(x －2)·4x －2＋2＝6，当且仅当x －2＝4x －2，即x ＝4时，等号成立．∴x ＋4x －2的最小值为6.变式、已知0<x <1，则x (4－3x )取得最大值时x 的值为________． 解析：x (4－3x )＝13·(3x )(4－3x )≤13·⎣⎡⎦⎤3x ＋(4－3x )22＝43， 当且仅当3x ＝4－3x ，即x ＝23时，取等号．答案：23例3、已知x >0，y >0，且 1x ＋9y＝1，求x ＋y 的最小值．解：方法一 ∵x >0，y >0，1x ＋9y ＝1，∴x ＋y ＝）（yx 91+(x ＋y )＝y x ＋9xy ＋10≥6＋10＝16， 当且仅当y x ＝9x y ，又1x ＋9y ＝1，即x ＝4，y ＝12时，上式取等号．故当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16.方法二 由1x ＋9y＝1，得(x －1)(y －9)＝9(定值)．由1x ＋9y ＝1可知x >1，y >9，∴x ＋y ＝(x －1)＋(y －9)＋10≥2(x －1)(y －9)＋10＝16， 当且仅当x －1＝y －9＝3，即x ＝4，y ＝12时上式取等号，故当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16.例4、已知正数x ，y 满足x ＋2y ＝3，则y x ＋1y 的最小值为________．解析：y x ＋1y ＝y x ＋x ＋2y 3y ＝y x ＋x 3y ＋23≥2y x ×x 3y ＋23＝23＋23，当且仅当y x ＝x3y，即x ＝3y 时等号成立，所以y x ＋1y 的最小值为23＋23.答案：23＋23例5、若实数a ，b 满足ab －4a －b ＋1＝0(a >1)，则(a ＋1)(b ＋2)的最小值为________． 解析：因为ab －4a －b ＋1＝0，所以b ＝4a －1a －1.又a >1，所以b >0，所以(a ＋1)(b ＋2)＝ab ＋2a ＋b ＋2＝6a ＋2b ＋1＝6a ＋8＋6a －1＋1＝6(a －1)＋6a －1＋15.因为a －1>0，所以6(a －1)＋6a －1＋15≥26(a －1)×6a －1＋15＝27，当且仅当6(a －1)＝6a －1(a >1)，即a ＝2时等号成立，故(a ＋1)(b ＋2)的最小值为27.答案：27例6、已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8解析：已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，只要求(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋ay 的最小值大于或等于9，∵1＋a ＋y x ＋axy ≥a ＋2a ＋1，当且仅当y ＝ax 时，等号成立，∴a ＋2a ＋1≥9，∴a ≥2或a ≤－4(舍去)，∴a ≥4，即正实数a 的最小值为4，故选B. 答案：B作业1：1、设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A ．80 B ．77 C ．81 D ．82解析：∵x >0，y >0，∴x ＋y 2≥xy ，即xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22＝81，当且仅当x ＝y ＝9时，(xy )max ＝81. 2．下列结论正确的是（ ）A ．当0<x 2≥ B ．当2x >时，1x x+的最小值是2 C ．当54x <时，14245x x -+-的最小值是5 D ．设0x >，0y >，且2x y +=，则14x y +的最小值是92对于选项B ，当2x >时，12x x +≥=，当且仅当1x =时取等号，但2x >，等号取不到，因此1x x+的最小值不是2，故B 错误； 对于选项C ，因为54x <，所以540x ->，则114254324554y x x x x ⎛⎫=-+=--++≤-⨯ ⎪--⎝⎭31=，当且仅当15454x x-=-，即1x =时取等号，故C 错误； 对于选项D ，因为0x >，0y >，则()141141419552222y xx y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++≥= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当4y x x y =，即24,33x y ==时，等号成立，故D 正确. 故选：D.3．已知0,0x y >>，若3xy =，则x y +的最小值为（ ）A ．3B ．2C ．D ．1由于0,0x y >>，3xy =，所以x y +≥=x y ==.所以x y +的最小值为 故选：C ．4．已知正实数x ，y 满足22x y xy +=.则x y +的最小值为（ ）A ．4B C D 32解：由22x y xy +=，得1112x y+=， 因为x ，y 为正实数，所以11133()()122222x y x y x y x y y x +=++=+++≥=，当且仅当2y x x y =，即21,22x y ==时取等号，所以x y +32， 故选：D5．若1()2f x x x =+-(2)x >在x n =处取得最小值，则n =（ ） A ．52 B ．3C ．72D ．4当且仅当时,等号成立;所以,故选B.6、若正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，则1a －1＋9b －1的最小值为( )A ．16B ．9C ．6D ．1解析：∵正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，∴a ＋b ＝ab ，1a ＝1－1b >0，1b ＝1－1a>0，∴b >1，a >1，则1a －1＋9b －1≥29(a －1)(b －1)＝29ab －(a ＋b )＋1＝6(当且仅当a ＝43，b ＝4时等号成立)，∴1a －1＋9b －1的最小值为6，故选C. 答案：C7．函数()21f x nx x =+- (0,)bx a b a R +>∈的图像在点()(),b f b 处的切线斜率的最小值是（ ）A ．BC ．1D ．2【答案】D 【解析】 【分析】先求导数,根据导数几何意义得切线斜率,再根据基本不等式求最值. 【详解】11()2()2f x x b k f b b x b ''=+-∴==+≥= ,当且仅当1b =时取等号，因此切线斜率的最小值是2，选D.8、已知a >0，b >0，若不等式3a ＋1b ≥ma ＋3b 恒成立，则m 的最大值为( )A ．9B ．12C ．18D ．24 解析：由3a ＋1b ≥ma ＋3b，得m ≤(a ＋3b )⎝⎛⎭⎫3a ＋1b ＝9b a ＋a b ＋6. 又9b a ＋ab ＋6≥29＋6＝12⎝⎛⎭⎫当且仅当9b a ＝a b ，即a ＝3b 时等号成立， ∴m ≤12，∴m 的最大值为12. 答案：B9、已知x >0，则f (x )＝12x ＋3x 的最小值是：解：∵x >0，∴f (x )＝12x ＋3x ≥212x ·3x ＝12，当且仅当3x ＝12x，即x ＝2时取等号， ∴f (x )的最小值为12.10、设0<x <32，则函数y ＝4x (3－2x )的最大值是：解：∵0<x <32，∴3－2x >0，∴y ＝4x (3－2x )＝2[2x (3－2x )]≤2⎣⎡⎦⎤2x ＋(3－2x )22＝92. 当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时，等号成立．∵34∈⎝⎛⎭⎫0，32.∴函数y ＝4x (3－2x )(0<x <32)的最大值为92. 11、设x >0，y >0，且2x ＋8y ＝xy ，则x ＋y 的最小值 ． 解析：方法一 由2x ＋8y －xy ＝0，得y (x －8)＝2x .∵x >0，y >0，∴x －8>0，y ＝2x x －8，∴x ＋y ＝x ＋2xx －8＝x ＋(2x －16)＋16x －8＝(x －8)＋16x －8＋10≥2(x －8)×16x －8＋10＝18.当且仅当x －8＝16x －8，即x ＝12时，等号成立．∴x ＋y 的最小值是18.方法二 由2x ＋8y －xy ＝0及x >0，y >0，得8x ＋2y ＝1.∴x ＋y ＝(x ＋y )）（yx 28+ ＝8y x ＋2xy＋10≥2 8y x ·2x y ＋10＝18.当且仅当8y x ＝2xy，即x ＝2y ＝12时等号成立． ∴x ＋y 的最小值是18. 答案：1812、已知x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20.则1x ＋1y 的最小值为 ．解析：∵x >0，y >0，∴1x ＋1y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ·2x ＋5y 20＝120⎝⎛⎭⎫7＋5y x ＋2x y ≥120⎝⎛⎭⎫7＋25y x ·2x y ＝7＋21020， 当且仅当5y x ＝2xy时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，5y x ＝2x y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1010－203，y ＝20－4103.∴1x ＋1y 的最小值为7＋21020. 答案：7＋2102013．若x y ∈R 、且满足32x y +=，则327x y +的最小值是____. 【答案】6 【解析】 【分析】本题首先可以根据基本不等式得出327x y +≥，然后代入32x y +=，即可得出结果. 【详解】332733x y x y +=+≥=，因为32x y +=，所以3276x y +≥=， 故答案为：6. 【点睛】本题考查基本不等式求最值，主要考查通过基本不等式求和的最小值，考查幂的运算，考查计算能力，是简单题.14．已知0x >，0y >且32x y xy +=，不等式23x y+的最小值为________. 【答案】4 【解析】 【分析】由题意得231x y+=，则232323x y x y x y ⎛⎫+=+ ⎛⎫+ ⎪⎝⎝⎭⎭⎪，再根据基本不等式即可求出最小值．【详解】解：，0x >，0y >且32x y xy +=，∴231x y+=，∴232323x y x y x y ⎛⎫+=+ ⎛⎫+ ⎪⎝⎝⎭⎭⎪231132y x x y =+++23232y x x y =++24≥+=， 当且仅当2332y xx y=即4,6x y ==时，等号成立， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，考查“1”的代换，属于基础题． 选：B15、设正实数a ，b 满足a +b ＝1，则的最小值为 8 ．解析：正实数a ，b 满足a +b ＝1， 则＝+＝++4≥2+4＝8，当且仅当＝，即a ＝，b ＝时等号成立；∴的最小值为8．故答案为：8． 答案：89、已知不等式2x ＋m ＋8x －1>0对一切x ∈(1，＋∞)恒成立，则实数m 的取值范围是________．解析：不等式2x ＋m ＋8x －1>0可化为2(x －1)＋8x －1>－m －2， 因为x >1，所以2(x －1)＋8x －1≥22（x －1）·8x －1＝8，当且仅当x ＝3时取等号．因为不等式2x ＋m ＋8x －1>0对一切x ∈(1，＋∞)恒成立，所以－m －2<8.解得m >－10. 答案：(－10，＋∞)16．各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若264a a =，31a =，则2942⎛⎫+ ⎪⎝⎭n nS a 的最小值为______， 【答案】8 【解析】 【分析】根据等比数列的性质可得42a =，由此可求得n a ，n S ，从而表示出2942⎛⎫+ ⎪⎝⎭n nS a ，再根据基本不等式求解即可． 【详解】解：∵264a a =，且0n a >，∴42a =，∴公比432a q a ==， ∴43222n n n a --=⋅=，2222212124n n n S ----==--，∴()2222922422n n n n S a --⎛⎫+ ⎪+⎝⎭=224242n n --=++48≥=， 当且仅当224222n n --==， 即3n =时等号成立，故答案为：8．17．设ABC中，()cos cos cos 0C A A B +=，内角A 、B 、C 对应的对边长分别为a 、b 、c .（1）求角B 的大小；（2）若2248a c +=，求ABC 面积S 的最大值，并求出S 取得最大值时b 的值. 解：（1）∵()cos cos cos cos sin sin C A B A B A B =-+=-+，∴()cos cos cos sin cos cos C A A B A B A B +=π2sin sin 03A B ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， ∵sin 0A >，0πB <<， ∴πsin 03B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则π3B =； （2）因a ，0c >，2248a c +=，2244a c ac +≥，故2ac ≤，于是，11sin 22222S ac B =≤⋅⋅=， ∴ABC 面积S且当S 取得最大值时，2ac =，2a c =，可得2a =，1c =，由余弦定理，2222cos 3b a c ac B =+-=，即得b =18．已知函数()|2||3|f x x x =++-.（1）解不等式()7≤f x ；（2）若函数()f x 最小值为M ，且23(0,0)a b M a b +=>>，求1123a b+的最小值. （1）当2x <-时，237x x ---+≤，解得32x -≤<-；当23x -≤≤时，237x x +-+≤恒成立；当3x >时，237x x ++-≤，解得34x <≤.故所求不等式的解集为[3,4]-. （2）因为()|2||3|(2)(3)5f x x x x x =++-≥+--=，所以()f x 最小值为M =5，即235(0,0)a b a b +=>>，则1111113214()(23)(11)(22352352355b a a b a b a b a b +=++=+++≥+=， 当且仅当5322b a ==时取等号， 故1123a b +的最小值为45.作业2：一、单选题1．已知,x y 都是正数,且211x y+=，则x y +的最小值等于（ ）A ．6B ．C ．3+D ．4+()212333y x x y x y x y ⎛⎫++=++≥= ⎪⎝⎭,故选C. 2．设()11,,x y R x y a x y +⎛⎫∈++≥ ⎪⎝⎭恒成立，则实数a 的最大值为（ ） A ．2 B ．4C ．8D ．16由于()11224x y x y x y y x ⎛⎫++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当1x y ==时等号成立，而()11,,x y R x y a x y +⎛⎫∈++≥ ⎪⎝⎭恒成立，故4a ≤，也即a 的最大值为4. 故选B.3．已知1x >，1y >，且lg lg 4x y +=，则lg lg x y ⋅的最大值是( )A ．4B ．2C ．1D ．14因为1x >，1y >，所以lg 0x >，lg 0>y ；又lg lg 4x y +=，所以2lg lg lg lg 42+⎛⎫⋅≤= ⎪⎝⎭x y x y ， 当且仅当lg lg 2==x y ，即100x y ==时，等号成立. 故选：A4．用篱笆围一个面积为2100m 的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是（ ）A ．30B ．36C ．40D ．50设矩形的长为()x m ，则宽为100()m x ，设所用篱笆的长为()y m ，所以有10022y x x=+⋅，根据基本不等式可知：1002240y x x =+⋅≥=，（当且仅当10022x x =⋅时，等号成立，即10x =时，取等号）故本题选C.5、若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为( ) A. 2B ．2C ．2 2D ．4解析：由1a ＋2b ＝ab 知，a >0，b >0，所以ab ＝1a ＋2b≥22ab ，即ab ≥22，当且仅当⎩⎨⎧ 1a ＝2b ，1a ＋2b ＝ab ，即a ＝42，b ＝242时取“＝”，所以ab 的最小值为2 2.答案：C6．若实数a b 、满足2a b +=，则33a b +的最小值是（ ）A ．18B ．C ．D ．6【答案】D【解析】【分析】直接利用基本不等式求解即可.【详解】∵实数a b 、满足2a b +=，∴336a b +≥==，当且仅当33a b =即1a b ==时取等号，∴33a b +的最小值为6故选：D7．下列不等式恒成立的是（ ）A ．222a b ab +≤B ．222a b ab +≥-C ．a b +≥-D ．a b +≤A.由基本不等式可知222a b ab +≥，故A 不正确；B.2222220a b ab a b ab +≥-⇒++≥，即()20a b +≥恒成立，故B 正确；C.当1,0a b =-=时，不等式不成立，故C 不正确；D.当3,1a b ==时，不等式不成立，故D 不正确.8．已知0,0,22x y x y >>+=,则xy 的最大值为（ ）A ．12B ．1C ．2D ．14【答案】A解：∵x ＞0，y ＞0，且2x +y =2，∴xy =12（2x •y ）≤12（22x y +）2=12，当且仅当x =12，y =1时取等号， 故则xy 的最大值为12， 故选A9、(3－a )(a ＋6)(－6≤a ≤3)的最大值为( )A ．9 B.92 C ．3 D.322解析：选B 因为－6≤a ≤3，所以3－a ≥0，a ＋6≥0，则由基本不等式可知，(3－a )(a ＋6)≤(3－a )＋(a ＋6)2＝92，当且仅当a ＝－32时等号成立． 答案：B10．函数2()(0,0)f x ax bx a b =+>>在点(1,(1))f 处的切线斜率为2，则8a b ab+的最小值是（ ） A ．10B ．9C ．8D ．【答案】B【解析】 对函数求导可得，()'2.f x ax b =+根据导数的几何意义，()'122f a b =+=，即b 1.2a += 8a b ab +=81b a +=(81b a +)·b (2a +)=8a b 2b a +，当且仅当228a b 2a b b a +=⎧⎪⎨=⎪⎩即13 43a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，取等号.所以8a b ab +的最小值是9. 故选B.点睛，本题主要考查导数的几何意义，求分式的最值结合了重要不等式，“1”的巧用，注意取等条件11．若关于x 的方程()94340x xa ++⋅+=有解，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,8][0,)-∞-+∞ B ．(),4-∞-C ．[8,4)--D ．(,8]-∞-【答案】D【解析】【分析】 可将9x 看成3x 的平方，等式两边同时除以3x ，可得均值不等式的基本形式，再根据不等式的最值求解即可【详解】由9(4)340x x a ++⋅+=，得443(4)0,(4)3433x x x xa a +++=∴-+=+≥（当且仅当32x =时等号成立），解得8a ≤- 故选D二、填空题12、已知x >0，y >0，且1x ＋2y＝1，则x ＋y 的最小值是________． 解：∵x >0，y >0，∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋2y＝3＋y x ＋2x y≥3＋22(当且仅当y ＝2x 时取等号)， ∴当x ＝2＋1，y ＝2＋2时，(x ＋y )min ＝3＋2 2.答案：3＋2213．已知x <3，则f (x )＝4x －3＋x 的最大值是： 解：∵x <3，∴x －3<0，∴f (x )＝4x －3＋x ＝4x －3＋x －3＋3 ＝－⎣⎡⎦⎤43－x ＋3－x ＋3≤－243－x·(3－x )＋3＝－1， 当且仅当43－x＝3－x ，即x ＝1时取等号．∴f (x )的最大值为－1.14、已知0x >，0y >2x 与4y 的等比中项，则1x x y+的最小值为__________． 由题得2242,22,21x y x y x y +⋅=∴=∴+=.所以1x x y +=22111x y x y x x y x y ++=++≥+=+.当且仅当21,2x y -==时取等.所以1x x y+的最小值为.故答案为15、已知实数x ，y 满足x 2＋y 2－xy ＝1，则x ＋y 的最大值为________．解析：因为x 2＋y 2－xy ＝1，所以x 2＋y 2＝1＋xy ．所以(x ＋y )2＝1＋3xy ≤1＋3×⎝⎛⎭⎫x ＋y 22，即(x ＋y )2≤4，解得－2≤x ＋y ≤2．当且仅当x ＝y ＝1时右边等号成立．所以x ＋y 的最大值为2．答案：216、已知正实数x ，y 满足xy ＋2x ＋y ＝4，则x ＋y 的最小值为________．解析：因为xy ＋2x ＋y ＝4，所以x ＝4－y y ＋2.由x ＝4－y y ＋2>0，得－2<y <4，又y >0，则0<y <4，所以x ＋y ＝4－y y ＋2＋y ＝6y ＋2＋(y ＋2)－3≥26－3，当且仅当6y ＋2＝y ＋2(0<y <4)，即y ＝6－2时取等号．答案：26－317、若不等式x 2－ax ＋1≥0对一切x ∈(0,1)恒成立，则a 的取值范围是________． 解析：x 2－ax ＋1≥0，x ∈(0,1]恒成立⇔ax ≤x 2＋1，x ∈(0,1]恒成立⇔a ≤x ＋1x ，x ∈(0,1)恒成立，∵x ∈(0,1)，x ＋1x≥2，当且仅当x ＝1时，等号成立， ∴a ≤2.答案：(－∞，2]四、解答题17．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知：2sin 6c a b C π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭. （1）求B ；（2）若ABC ABC 的周长的最小值.（1）2sin 6c a b C π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ 2sin cos cos sin 66b C C ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭sin cos C b C =-由正弦定理得：sin sin sin sin cos C A B C B C -=- ∵sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+∴①式可化为：sin cos sin sin C B C B C -= ∵(0,)C π∈∴sin 0C ≠cos 1B B += 即1sin 62B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，(0,)B π∈ ∴66B ππ+=或56π∴0B =（舍）或23π（2）11sin 22S ac B ac ==∴4ac =∴4a c +≥=22222cos 312b a c ac B a c ac ac =+-=++≥=∴b ≥a c =等号成立∴4l a b c =++≥+【点睛】本题考查了均值不等式的应用，意在考查学生的计算能力和转化能力，变换112x y+=是解题的关键.19．已知公差大于零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：34120a a ⋅=，2522a a +=．（1）求通项n a ；（2）若数列{}n b 是等差数列，且n n S b n c=+，求非零常数c ； （3）在（2）的条件下，求()*1()(36)n n b f n n n b +=∈+⋅N 的最大值． 【答案】（1）24n a n =+；（2）5c =；（3）149【解析】【分析】 （1）利用等差数列的通项公式，由253422a a a a +=+=，34120a a ⋅=，即可求得首项与公差，从而可得数列{}n a 的通项公式；（2）由n a ，可求得n S ，从而得n b ，再利用{}n b 是等差数列由2132b b b =+，即可求得c 的值；（3）由（2）求得n b ，于是1()(36)n n b f n n b +=+⋅，利用基本不等式即可求得最大值. 【详解】（1）由题知253422a a a a +=+=，34120a a ⋅=，所以，4312,10a a ==或4310,12a a ==所以公差2d =或2d =-，又因为0d >所以2d =，又310a =，因此16a =，所以24n a n =+.（2）由（1）知，21(1)52n n n S na d n n -=+=+， 所以25n n S n n b n c n c+==++，12361424,,123b b b c c c ===+++ 由{}n b 是等差数列得，2132b b b =+，即146242213c c c⨯=++++ 解得: 5c =，或0c(其中0c ≠舍去)， 此时255n n S n n b n n c n +===++，1(1)1n n b b n n +-=+-=，{}n b 是公差为1等差数列， 所以5c =.（3）由（2）知2+55n b n n n n ==+ 111()36(36)(36)(1)4937n n b n f n n b n n n n+∴===≤+⋅++++ 当且仅当36n n =，即6n =时取得等号，即()f n 的最大值为149. 20．已知x ∈R ，0y >，2x y xy +=.（1）若0x >，求证：1xy ≥；（2）若0x ≠，求2y x x+的最小值.【答案】（1）见解析（2）32【解析】【分析】（1）直接利用均值不等式计算得到答案.（2）变换得到112x y+=，故1112x x x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，代入不等式，整理化简利用均值不等式计算得到答案.【详解】（1）因为0x >，0y >，所以x y +≥2x y xy +=，得2xy ≥1≥，1xy ≥，当且仅当1x y ==时，等号成立.（2）由2x y xy +=得112x y+=. 2111223222222x x x y y y x x x x y x x y x x ⎛⎫+=++=++≥+≥ ⎪⎝⎭. 当且仅当22x y y x=，且0x <时，两个等号同时成立. 即当且仅当12x =-且14y =，2y x x +的最小值是32.。
2021-2022年高考数学一轮复习专题7.4基本不等式及其应用测
2021年高考数学一轮复习专题7.4基本不等式及其应用测一、填空题 1.3－aa ＋6(－6≤a ≤3)的最大值为_______．【解析】因为－6≤a ≤3，所以3－a ≥0，a ＋6≥0，则由基本不等式可知，3－aa ＋6≤3－a ＋a ＋62＝92，当且仅当a ＝－32时等号成立． 2．若2x＋2y＝1，则x ＋y 的取值范围是_______． 【解析】∵1＝2x＋2y≥22x·2y＝22x ＋y当且仅当2x ＝2y ＝12，即x ＝y ＝－1时等号成立，∴2x ＋y≤12，∴2x ＋y≤14，得x ＋y ≤－2. 3．若直线x a ＋y b＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1,1)，则a ＋b 的最小值等于_______．4．已知a >－1，b >－2，(a ＋1)(b ＋2)＝16，则a ＋b 的最小值是_______． 【解析】 因为a >－1，b >－2，所以a ＋1>0，b ＋2>0，又(a ＋1)(b ＋2)≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1＋b ＋222，即16≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b ＋322，整理得a ＋b ≥5，当且仅当a ＋1＝b ＋2＝4，即a ＝3，b ＝2时等号成立5．若两个正实数x ，y 满足1x ＋4y ＝1，且不等式x ＋y 4<m 2－3m 有解，则实数m 的取值范围是_______．【解析】 ∵不等式x ＋y 4<m 2－3m 有解，∴x ＋y 4min ＜m 2－3m ，∵x ＞0，y ＞0，且1x ＋4y ＝1，∴x ＋y 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 4⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＝4x y ＋y 4x ＋2≥24x y ·y 4x ＋2＝4，当且仅当4x y ＝y 4x ，即x ＝2，y ＝8时取等号，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 4min ＝4，∴m 2－3m ＞4，即(m ＋1)(m －4)＞0，解得m ＜－1或m ＞4，故实数m 的取值范围是(－∞，－1)∪(4，＋∞)．6．设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0.则当xy z 取得最大值时，2x ＋1y －2z的最大值为_______． 【解析】xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4y x－3≤14－3＝1，当且仅当x ＝2y 时等号成立，此时z ＝2y 2，2x＋1y －2z＝－1y 2＋2y＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1y －12＋1≤1，当且仅当y ＝1时等号成立，故所求的最大值为1.7．已知a >0，b >0，a ，b 的等比中项是1，且m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1b，则m ＋n 的最小值是________．【答案】4【解析】由题意知：ab ＝1，∴m ＝b ＋1a ＝2b ，n ＝a ＋1b＝2a ，∴m ＋n ＝2(a ＋b )≥4ab ＝4.当且仅当a ＝b ＝1时取等号．8．若实数a ，b 满足1a ＋2b＝ab ，则ab 的最小值为________．【答案】2 29．(xx·青岛模拟)已知实数x ，y 均大于零，且x ＋2y ＝4，则log 2x ＋log 2y 的最大值为________． 【答案】1【解析】因为log 2x ＋log 2y ＝log 22xy －1≤log 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22－1＝2－1＝1，当且仅当x ＝2y ＝2，即x ＝2，y ＝1时等号成立，所以log 2x ＋log 2y 的最大值为1.10．已知不等式2x ＋m ＋8x －1>0对一切x ∈(1，＋∞)恒成立，则实数m 的取值范围是________． 【答案】(－10，＋∞) 【解析】不等式2x ＋m ＋8x －1>0可化为2(x －1)＋8x －1>－m －2， ∵x >1，∴2(x －1)＋8x －1≥22x －1·8x －1＝8，当且仅当x ＝3时取等号． ∵不等式2x ＋m ＋8x －1>0对一切x ∈(1，＋∞)恒成立， ∴－m －2<8， 解得m >－10. 二、解答题11．已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋8y －xy ＝0，求： (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值．12．(xx·常州调研)某学校为了支持生物课程基地研究植物的生长规律，计划利用学校空地建造一间室内面积为900 m 2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1 m ，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1 m 宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3 m 宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x (单位：m)，三块种植植物的矩形区域的总面积为S (单位：m 2)．(1)求S 关于x 的函数关系式； (2)求S 的最大值．解：(1)由题设，得S ＝(x －8)⎝ ⎛⎭⎪⎫900x －2＝－2x －7 200x ＋916，x ∈(8,450)．(2)因为8<x <450，所以2x ＋7 200x≥22x ×7 200x＝240，当且仅当x ＝60时等号成立，从而S ≤676.故当矩形温室的室内长为60 m 时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，为676 m 2.。
2024年高考数学一轮复习(新高考版)第1章《基本不等式》
教材改编题
设矩形的一边为x m，面积为y m2， 则另一边为12×(20－2x)＝(10－x)m， 其中0<x<10， ∴y＝x(10－x)≤x＋120－x2＝25， 当且仅当x＝10－x，即x＝5时，等号成立， ∴ymax＝25， 即矩形场地的最大面积是25 m2.
第
二 部 分
探究核心题型
题型一 利用基本不等式求最值
√A.ab 有最小值14
C.1a＋1b有最小值 4
B.8 a＋8 b有最大值 8 2
√D.a2＋b2
有最小值
2 2
由 1＝a＋b≥2 ab当且仅当a＝b＝12时等号成立， 得 ab≤14，故 ab 有最大值14，故 A 错误； ( a＋ b)2＝a＋b＋2 ab
＝1＋2 ab≤1＋2 14＝2当且仅当a＝b＝12时等号成立， 则 a＋ b≤ 2，则 8 a＋8 b有最大值 8 2，故 B 正确； 1a＋1b＝a＋abb＝a1b≥4当且仅当a＝b＝12时等号成立，
因为 x≥0，所以 x＋1>0，x＋1 1>0， 利用基本不等式得 y＝x＋x＋1 1＝x＋1＋x＋1 1－1≥2 当且仅当 x＋1＝x＋1 1，即 x＝0 时，等号成立. 所以函数 y＝x＋x＋1 1(x≥0)的最小值为 1.
x＋1·x＋1 1－1＝1，
教材改编题
3.若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是 __2_5__ m2.
题型二 基本不等式的常见变形应用
例4 (1)若0<a<b，则下列不等式一定成立的是
a＋b A.b> 2 >a> ab
√ a＋b
C.b> 2 > ab>a
a＋b B.b> ab> 2 >a
(广东专用)高考数学一轮复习第七章7.4基本不等式课件文
思维启迪 解析 答案 思维升华
设数列{an}的公差为 d，数列{bn} 的公比为 q.
因为 an＝a1＋(n－1)d，bn＝b1qn－1，
am＋n＝nnb－－mma，
n－m 所以类比得 bm＋n＝
dn cm
则可以得到 bm＋n＝________.
题型分类·深度剖析
题型二
类比推理
【例 2】 已知数列{an}为等差 数列，若 am＝a，an＝b(n－ m≥1，m，n∈N*)，则 am＋n ＝nnb－ －mma.类比等差数列{an}
f(3)，然后归纳猜想一般 基础之上的.
(3)归纳推理所得结论未必正确，有
性结论，并给出证明. 待进一步证明，但对数学结论和科
学的发现很有用.
题型分类·深度剖析
跟踪训练 1 (1)观察下列等式 1＝1
2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49
…
照此规律，第五个等式应为__5_＋__6_＋ ___7_＋__8_＋__9__＋__1_0_＋__1_1__＋__1_2_＋__1_3_＝ ___8_1_.
方开方运算. 则可以得到 bm＋n＝________.
题型分类·深度剖析
题型二
类比推理
【例 2】 已知数列{an}为等差 数列，若 am＝a，an＝b(n－ m≥1，m，n∈N*)，则 am＋n ＝nnb－ －mma.类比等差数列{an}
的上述结论，对于等比数列 {bn}(bn>0，n∈N*)，若 bm＝c， bn＝d(n－m≥2，m，n∈N*)，
解析 (1)①②错误，③正确. (2)由平面类比到空间，把矩形类比为长方体，从而得出外接球 半径.
题型分类·深度剖析
高考数学一轮复习学案：7.4 基本不等式及其应用(含答案)
高考数学一轮复习学案：7.4 基本不等式及其应用（含答案）7.4基本不等式及其应用基本不等式及其应用最新考纲考情考向分析1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大小值问题.理解基本不等式成立的条件，会利用基本不等式求最值常与函数.解析几何.不等式相结合考查，加强数形结合.分类讨论.转化与化归等数学思想的应用意识作为求最值的方法，常在函数.解析几何.不等式的解答题中考查，难度中档.1基本不等式abab21基本不等式成立的条件a0，b0.2等号成立的条件当且仅当ab时取等号2几个重要的不等式1a2b22aba，bR2baab2a，b同号3abab22a，bR4a2b22ab22a，bR以上不等式等号成立的条件均为ab.3算术平均数与几何平均数设a0，b0，则a，b的算术平均数为ab2，几何平均数为ab，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数4利用基本不等式求最值问题已知x0，y0，则1如果积xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最小值2p.简记积定和最小2如果和xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最大值p24.简记和定积最大知识拓展不等式的恒成立.能成立.恰成立问题1恒成立问题若fx在区间D上存在最小值，则不等式fxA在区间D上恒成立fxminAxD；若fx在区间D上存在最大值，则不等式fxAxD；若fx在区间D上存在最小值，则在区间D上存在实数x使不等式fxA的解集为D；不等式fx0”是“xyyx2”的充要条件4若a0，则a31a2的最小值为2a.5不等式a2b22ab与ab2ab有相同的成立条件6两个正数的等差中项不小于它们的等比中项题组二教材改编2P99例12设x0，y0，且xy18，则xy的最大值为A80B77C81D82答案C解析x0，y0，xy2xy，即xyxy2281，当且仅当xy9时，xymax81.3P100A组T2若把总长为20m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2.答案25解析设矩形的一边为xm，则另一边为12202x10xm，yx10xx10x2225，当且仅当x10x，即x5时，ymax25.题组三易错自纠4“x0”是“x1x2成立”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案C解析当x0时，x1x2x1x2.因为x，1x同号，所以若x1x2，则x0，1x0，所以“x0”是“x1x2成立”的充要条件，故选C.5设x0，则函数yx22x132的最小值为A0B.12C1D.32答案A解析yx22x132x121x1222x121x1220，当且仅当x121x12，即x12时等号成立函数的最小值为0.故选A.6若正数x，y满足3xy5xy，则4x3y的最小值是A2B3C4D5答案D解析由3xy5xy，得3xyxy3y1x5，所以4x3y4x3y153y1x15493yx12xy15492365，当且仅当3yx12xy，即y2x时，“”成立，故4x3y的最小值为5.故选D.题型一利用基本不等式求最值命题点1通过配凑法利用基本不等式典例1已知00，b0，lgalgblgab，则ab的最小值为A8B6C4D2答案C解析由lgalgblgab，得lgablgab，即abab，则有1a1b1，所以ab1a1bab2baab22baab4，当且仅当ab2时等号成立，所以ab的最小值为4，故选C.思维升华1应用基本不等式解题一定要注意应用的前提“一正”“二定”“三相等”2在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积.和为常数的形式，然后再利用基本不等式3条件最值的求解通常有两种方法一是消元法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求最值跟踪训练1若对x1，不等式x1x11a恒成立，则实数a的取值范围是__________答案，12解析因为函数fxx1x1在1，上单调递增，所以函数gxx11x12在0，上单调递增，所以函数gx在1，上的最小值为g112，因此对x1，不等式x1x11a恒成立，所以agxmin12，故实数a的取值范围是，12.2xx武汉模拟已知正数x，y满足x2yxy0，则x2y的最小值为________答案8解析由x2yxy0，得2x1y1，且x0，y0.x2yx2y2x1y4yxxy4448，当且仅当x2y时等号成立题型二基本不等式的实际应用典例xx淄博质检某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为Cx，当年产量不足80千件时，Cx13x210x万元当年产量不小于80千件时，Cx51x10000x1450万元每件商品售价为0.05万元通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完1写出年利润Lx万元关于年产量x千件的函数解析式；2当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大解1因为每件商品售价为0.05万元，则x千件商品销售额为0.051000x万元，依题意得当00，所以4cbbc24cbbc4.当且仅当4cbbc时等号成立由此可得b2c，且bc1，即当b23，c13时，4b1c取得最小值9.2设等差数列an的公差是d，其前n项和是SnnN*，若a1d1，则Sn8an的最小值是________答案92解析ana1n1dn，Snn1n2，Sn8ann1n28n12n16n1122n16n192，当且仅当n4时取等号Sn8an的最小值是92.命题点2求参数值或取值范围典例1已知a0，b0，若不等式3a1bma3b恒成立，则m的最大值为A9B12C18D24答案B解析由3a1bma3b，得ma3b3a1b9baab6.又9baab629612当且仅当9baab，即a3b时等号成立，m12，m的最大值为12.2已知函数fxx2ax11x1aR，若对于任意的xN*，fx3恒成立，则a的取值范围是________答案83，解析对任意xN*，fx3恒成立，即x2ax11x13恒成立，即知ax8x3.设gxx8x，xN*，则g26，g3173.g2g3，gxmin173，x8x383，a83，故a的取值范围是83，.思维升华1应用基本不等式判断不等式是否成立对所给不等式或式子变形，然后利用基本不等式求解2条件不等式的最值问题通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解3求参数的值或范围观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围跟踪训练1已知函数fxxax2的值域为，04，，则a的值是A.12B.32C1D2答案C解析由题意可得a0，当x0时，fxxax22a2，当且仅当xa时取等号；当x0，y0，且1x2y1，则xy的最小值是________2函数y12x3xx0，y0，11x2y22xy，xy22，xy2xy42，xy 的最小值为42.22x3x26，y12x3x126.函数y12x3xx0，y0，xyxy1x2y3yx2xy322当且仅当y2x时取等号，当x21，y22时，xymin322.2x0，y12x3x12x3x122x3x126，当且仅当x62时取等号，故函数y12x3xx0的值域为126，答案13222126，纠错心得利用基本不等式求最值时要注意条件一正二定三相等；多次使用基本不等式要验证等号成立的条件。
2019版高考数学理科课标A版一轮复习习题：第七章 不等式 4 基本不等式 含答案 精品
§7.4基本不等式:≤(a,b>0)考纲解读分析解读 1.掌握利用基本不等式求最值的方法,熟悉利用拆添项或配凑因式构造基本不等式形式的技巧,同时注意“一正、二定、三相等”的原则.2.利用基本不等式求函数最值、求参数范围、证明不等式是高考热点.本节在高考中主要以选择题或填空题的形式进行考查,分值约为5分.五年高考考点利用基本不等式求最值1.(2015陕西,9,5分)设f(x)=ln x,0<a<b,若p=f(),q=f,r=(f(a)+f(b)),则下列关系式中正确的是( )A.q=r<pB.q=r>pC.p=r<qD.p=r>q答案 C2.(2017天津,12,5分)若a,b∈R,ab>0,则的最小值为.答案 43.(2017江苏,10,5分)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是.答案304.(2016江苏,14,5分)在锐角三角形ABC中,若sin A=2sin Bsin C,则tan Atan Btan C的最小值是.答案8教师用书专用(5—8)5.(2013山东,12,5分)设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0.则当取得最小值时,x+2y-z的最大值为( )A.0B.C.2D.答案 C6.(2014上海,5,4分)若实数x,y满足xy=1,则x2+2y2的最小值为.答案 27.(2014湖北,16,5分)某项研究表明:在考虑行车安全的情况下,某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数,单位:辆/小时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶,单位:米/秒)、平均车长l(单位:米)的值有关,其公式为F=.(1)如果不限定车型,l=6.05,则最大车流量为辆/小时;(2)如果限定车型,l=5,则最大车流量比(1)中的最大车流量增加辆/小时.答案(1)1 900 (2)1008.(2013天津,14,5分)设a+b=2,b>0,则当a= 时,+取得最小值.答案-2三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点利用基本不等式求最值1.(2018湖北稳派教育第二次联考,4)若x>0,y>0,则“x+2y=2”的一个充分不必要条件是( )A.x=yB.x=2yC.x=2,且y=1D.x=y,或y=1答案 C2.(2017河北武邑第三次调研,2)若不等式x2+2x<+对任意a,b∈(0,+∞)恒成立,则实数x的取值范围是( )A.(-2,0)B.(-∞,-2)∪(0,+∞)C.(-4,2)D.(-∞,-4)∪(2,+∞)答案 C3.(人教A必5,三,3-4,1,变式)下列结论正确的是( )A.当x>0且x≠1时,lg x+≥2B.当x∈时,sin x+的最小值为4C.当x>0时,+≥2D.当0<x≤2时,x-无最大值答案 C4.(2016福建“四地六校”第三次联考,3)已知函数f(x)=x++2的值域为(-∞,0]∪[4,+∞),则a 的值为( )A. B. C.1 D.2答案 C5.(2018北京朝阳期中,10)已知x>1,且x-y=1,则x+的最小值是.答案 36.(2018浙江台州中学第三次统练,14)已知a>0,b>0,若不等式--≤0恒成立,则m的最大值为.答案167.(2017河南部分重点中学第一次联考,15)函数y=log a(x+3)-1(a>0且a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny+1=0上,其中mn>0,则+的最小值为.答案3+2B组2016—2018年模拟·提升题组(满分:30分时间:20分钟)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2018河南高三12月联考,8)已知x>0,y>0,z>0,且+=1,则x+y+z的最小值为( )A.8B.9C.12D.16答案 B2.(2017江西上高二中、丰城中学模拟)若正实数x,y满足(2xy-1)2=(5y+2)·(y-2),则x+的最大值为( )A.-1+B.-1+C.1+D.-1-答案 A3.(2017河北武邑第三次调研,7)a n=(2x+1)dx,数列的前n项和为S n,数列{b n}的通项公式为b n=n-8,则b n S n的最小值为( )A.-3B.-4C.3D.4答案 B4.(2017河北衡水中学第三次调研,9)已知a>b,二次三项式ax2+2x+b≥0对于一切实数x恒成立,又∃x0∈R,a+2x0+b=0成立,则的最小值为( )A.1B.C.2D.2答案 D5.(2016黑龙江哈师大附中模拟,3)函数y=+的最大值为( )A. B. C.2 D.2答案 D二、填空题(共5分)6.(2018山东烟台实验中学第三次诊断,15)已知函数f(x)=sin πx(0<x<1),若a≠b,且f(a)=f(b),则+的最小值为.答案9C组2016—2018年模拟·方法题组方法1 利用基本不等式求最值问题1.(2017广东深圳三校联考一模,9)已知f(x)=(x∈N*),则f(x)在定义域上的最小值为( )A. B. C. D.2答案 B2.(2017河北“五个一名校联盟”二模,13)已知正实数x,y满足2x+y=2,则+的最小值为.答案方法2 基本不等式的实际应用3.(2017安徽六安中学月考,14)某种汽车购车时的费用为10万元,每年保险、养路费、汽油费共1.5万元,如果汽车的维修费第1年0.1万元,从第2年起,每年比上一年多0.2万元,这种汽车最多使用年报废最合算(即平均每年费用最少).答案104.(2016湖北荆州一模,20)某基建公司年初以100万元购进一辆挖掘机,以每年22万元的价格出租给工程队.基建公司负责挖掘机的维护,第一年维护费为2万元,随着机器磨损,以后每年的维护费比上一年多2万元,同时该机器第x(x∈N*,x≤16)年末可以以(80-5x)万元的价格出售.(1)写出基建公司到第x年年末所得总利润y(万元)关于x的函数解析式,并求其最大值;(2)为使经济效益最大化,即年平均利润最大,基建公司应在第几年年末出售挖掘机?说明理由. 解析(1)y=22x+(80-5x)-100-(2+4+…+2x)=-20+17x-x(2+2x)=-x2+16x-20=-(x-8)2+44(0<x≤16,x∈N*) ,由二次函数的性质可得,当x=8时,y max=44,即总利润的最大值为44万元.(2)年平均利润为万元,则=16-,设f(x)=16-,0<x≤16,x∈N*.x+≥2=4,当且仅当x=2时,取得等号.由于x为整数,且4<2<5, f(4)=16-(4+5)=7, f(5)=7,则x=4或5时, f(x)取得最大值.故为使年平均利润最大,基建公司应在第4或5年年末出售挖掘机.。
高考一轮复习课时作业(人教版)：7-4基本不等式word版含答案
7-4基本不等式A 级 基础达标演练 (时间：40分钟 满分：60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2012·福州调研)若x ＞0，则x ＋4x 的最小值为( )． A ．2B ．3C ．2 2D ．4解析 ∵x ＞0，∴x ＋4x ≥4. 答案 D2．已知0＜x ＜1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为( )． A.13B.12C.34D.23解析 ∵0＜x ＜1，∴1－x ＞0. ∴x (3－3x )＝3x (1－x )≤3⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1－x 22＝34. 当x ＝1－x ，即x ＝12时取等号． 答案 B3．把一段长16米的铁丝截成两段，分别围成正方形，则两个正方形面积之和的最小值为( )． A ．4B ．8C ．16D ．32解析 设截成的两段铁丝长分别为x,16－x,16＞x ＞0，则围成的两个正方形面积之和为S ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫16－x 42≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4＋16－x 422＝8，当且仅当x 4＝16－x 4，即x ＝8时，等号成立．故两个正方形面积之和的最小值为8. 答案 B4．(2012·合肥模拟)若正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则( )． A.1a ＋1b 有最大值4B ．ab 有最小值14 C.a ＋b 有最大值 2D ．a 2＋b 2有最小值22解析 由基本不等式，得ab ≤a 2＋b 22＝(a ＋b )2－2ab 2，所以ab ≤14，故B 错；1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥4，故A 错；由基本不等式得a ＋b 2≤a ＋b2＝12，即a ＋b ≤ 2，故C 正确；a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab ≥1－2×14＝12，故D 错． 答案 C5．(2011·重庆)已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b 的最小值是( )． A.72B ．4C.92D ．5解析 依题意得1a ＋4b ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b (a ＋b )＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋4a b ≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2b a ×4a b ＝92，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2b a ＝4aba ＞0，b ＞0，即a ＝23，b ＝43时取等号，即1a ＋4b 的最小值是92，选C. 答案 C二、填空题(每小题4分，共12分) 6．若x ＞1，则x ＋4x －1的最小值为________． 解析 x ＋4x －1＝x －1＋4x －1＋1≥2(x －1)·4x －1＋1＝5，等号当且仅当x －1＝4x －1，即x ＝3时成立． 答案 57．函数y ＝a 1－x (a ＞0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －1＝0(mn ＞0)上，则1m ＋1n 的最小值为________．解析 ∵y ＝a 1－x 恒过点A (1,1)，又∵A 在直线上，∴m ＋n ＝1.而1m ＋1n ＝m ＋n m ＋m ＋n n ＝2＋n m ＋m n ≥2＋2＝4，当且仅当m ＝n ＝12时，取“＝”，∴1m ＋1n 的最小值为4. 答案 48．(2011·浙江)若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值为________． 解析 由x 2＋y 2＋xy ＝1，得(x ＋y )2－xy ＝1， 即xy ＝(x ＋y )2－1≤(x ＋y )24，所以34(x ＋y )2≤1，故－233≤x ＋y ≤233，当x ＝y 时“＝”成立，所以x ＋y 的最大值为233. 答案 233三、解答题(共23分)9．(11分)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋8y －xy ＝0， 求：(1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值． 解 ∵x ＞0，y ＞0,2x ＋8y －xy ＝0， (1)xy ＝2x ＋8y ≥216xy ， ∴xy ≥8，∴xy ≥64. 故xy 的最小值为64.(2)由2x ＋8y ＝xy ，得：2y ＋8x ＝1， ∴x ＋y ＝(x ＋y )·1＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫2y ＋8x＝10＋2x y ＋8yx ≥10＋8＝18. 故x ＋y 的最小值为18.10．(12分)(2011·丽水模拟)某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该空地上建造一栋至少10层，每层2 000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x (x ≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x (单位：元)． (1)写出楼房平均综合费用y 关于建造层数x 的函数关系式；(2)该楼房应建造多少层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少？最少值是多少？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积)解 (1)依题意得y ＝(560＋48x )＋2 160×10 0002 000x＝560＋48x ＋10 800x (x ≥10，x ∈N ＋)； (2)∵x ＞0，∴48x ＋10 800x ≥248×10 800＝1 440(元)，当且仅当48x ＝10 800x，即x ＝15时取到“＝”， 此时，平均综合费用的最小值为560＋1 440＝2 000(元)．所以，当该楼房建造15层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少，最少值为2 000元．B 级 综合创新备选 (时间：30分钟 满分：40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2011·皖南八校联考(二))已知x ＞0，y ＞0，x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，则(a ＋b )2cd 的最小值是( )． A ．0B ．1C ．2D ．4解析 由题知a ＋b ＝x ＋y ，cd ＝xy ，x ＞0，y ＞0，则(a ＋b )2cd ＝(x ＋y )2xy ≥(2xy )2xy ＝4，当且仅当x ＝y 时取等号． 答案 D2．(2011·厦门模拟)若直线ax －by ＋2＝0(a ＞0，b ＞0)被圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0截得的弦长为4，则1a ＋1b 的最小值为( )． A.14B. 2C.32＋ 2D.32＋2 2解析 圆的直径是4，说明直线过圆心(－1,2)，故12a ＋b ＝1，1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋b ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝32＋b a ＋a 2b ≥32＋2，当且仅当b a ＝a2b ，即a ＝2(2－1)，b ＝2－2时取等号．答案 C二、填空题(每小题4分，共8分)3．(2011·湖南)x ，y ∈R ，且xy ≠0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1y 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋4y 2的最小值为________．解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1y 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋4y 2＝1＋4＋4x 2y 2＋1x 2y 2≥1＋4＋24x 2y 2·1x 2y 2＝9，当且仅当4x 2y 2＝1x 2y 2时等号成立，即|xy |＝22时等号成立． 答案 94．(2011·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数f (x )＝2x 的图象交于P ，Q 两点，则线段PQ 长的最小值是________．解析 假设直线与函数f (x )＝2x 的图象在第一象限内的交点为P ，在第三象限内的交点为Q ，由题意知线段PQ 的长为OP 长的2倍． 假设P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，2x 0，则|PQ |＝2|OP |＝2x 20＋4x 20≥4.当且仅当x 20＝4x20，即x 0＝2时，取“＝”号． 答案 4三、解答题(共22分)5．(10分)已知a ，b ＞0，求证：a b 2＋b a 2≥4a ＋b .证明 ∵a b 2＋ba 2≥2 ab 2·b a 2＝21ab ＞0，a ＋b ≥2ab ＞0， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2＋b a 2(a ＋b )≥21ab ·2ab ＝4. ∴a b 2＋b a 2≥4a ＋b .当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a b 2＝b a2，a ＝b 取等号，即a ＝b 时，不等式等号成立．6．(12分)(2011·洛阳模拟)桑基鱼塘是某地一种独具地方特色的农业生产形式，某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目，该项目准备购置一块1 800平方米的矩形地块，中间挖出三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树，池塘周围的基围宽均为2米，如图，设池塘所占的总面积为S 平方米．(1)试用x 表示S ；(2)当x 取何值时，才能使得S 最大？并求出S 的最大值． 解 (1)由题图形知，3a ＋6＝x ，∴a ＝x －63. 则总面积S ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1 800x －4·a ＋2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1 800x －6＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫5 400x －16＝x －63⎝ ⎛⎭⎪⎫5 400x －16 ＝1 832－⎝ ⎛⎭⎪⎫10 800x ＋16x 3，即S ＝1 832－⎝ ⎛⎭⎪⎫10 800x ＋16x 3(x ＞0)．(2)由S ＝1 832－⎝ ⎛⎭⎪⎫10 800x ＋16x 3，得S ≤1 832－210 800x ·16x3＝1 832－2×240＝1 352(平方米)． 当且仅当10 800x ＝16x3，此时，x ＝45.即当x 为45米时，S 最大，且S 最大值为1 352平方米．。
2020高考数学理科大一轮复习导学案《基本不等式》含答案
第四节基本不等式知识点一 基本不等式1．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．3．几个重要的不等式a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )；b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)．ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )；⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )．1．判断正误(1)函数y ＝x ＋1x 的最小值是2.( × )(2)x >0且y >0是x y ＋yx ≥2的充分不必要条件．( √ ) (3)若a ≠0，则a 2＋1a 2的最小值为2.( √ )知识点二 利用基本不等式求最值问题已知x >0，y >0，则1．如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小)2．如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24.(简记：和定积最大)2．(必修5P100习题3.4A 组第1(2)题改编)设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( C )A ．80B ．77C ．81D ．82解析：xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1822＝81，当且仅当x ＝y ＝9时等号成立．故选C.3．已知f (x )＝x ＋1x －2(x <0)，则f (x )有( C ) A ．最大值为0 B ．最小值为0 C ．最大值为－4 D ．最小值为－4解析：f (x )≤－2(－x )·(－1x )－2＝－4，当且仅当x ＝－1时，f (x )max＝－4.4．(2018·天津卷)已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a＋18b 的最小值为14.解析：由a －3b ＋6＝0，得a ＝3b －6，所以2a ＋18b ＝23b －6＋123b≥223b －6×123b ＝2×2－3＝14，当且仅当23b －6＝123b ，即b ＝1时等号成立．利用基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．(3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致．考向一 利用基本不等式求最值【例1】 (1)已知x <54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为________．(2)已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b 的最小值为________． 【解析】 (1)因为x <54，所以5－4x >0，则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－（5－4x ＋15－4x ）＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，等号成立．故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1.(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝（1＋a ＋b a ）（1＋a ＋b b ）＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋b a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋a b ＝5＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9.当且仅当a ＝b ＝12时，取等号． 【答案】 (1)1 (2)9若将本例(2)中的条件不变，设问改为：则1a ＋1b 的最小值为4. 解析：因为a >0，b >0，a ＋b ＝1，所以1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋ab ≥2＋2b a ·a b ＝4，即1a ＋1b 的最小值为4，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立．条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值．(1)设x >0，y >0，且x ＋4y ＝40，则lg x ＋lg y 的最大值是( D ) A ．40 B ．10 C ．4D ．2(2)(2019·南昌摸底调研)已知函数y ＝x ＋mx －2(x >2)的最小值为6，则正数m 的值为4.解析：(1)因为x ＋4y ＝40，且x >0，y >0，所以x ＋4y ≥2x ·4y ＝4xy .(当且仅当x ＝4y 时取“＝”)所以4xy ≤40.所以xy ≤100.所以lg x ＋lg y ＝lg xy ≤lg100＝2.所以lg x ＋lg y 的最大值为2.(2)∵x >2，m >0，∴y ＝x －2＋mx －2＋2≥ 2(x －2)·mx －2＋2＝2m ＋2，当x ＝2＋m 时取等号，又函数y ＝x ＋mx －2(x >2)的最小值为6，∴2m ＋2＝6，解得m ＝4. 考向二 基本不等式的实际应用【例2】 运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x ≤100(单位：千米/时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 2360升，司机的工资是每小时14元． (1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值． 【解】 (1)设所用时间为t ＝130x (h)，y ＝130x ×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 2360＋14×130x ，x ∈[50,100]．所以，这次行车总费用y 关于x 的表达式是y ＝130×18x＋2×130360x ， x ∈[50,100]⎝ ⎛⎭⎪⎫或y ＝2 340x ＋1318x ，x ∈[50，100]. (2)y ＝130×18x ＋2×130360x ≥2610， 当且仅当130×18x ＝2×130360x ， 即x ＝1810时等号成立．故当x ＝1810千米/时时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为2610元．应用基本不等式解决实际问题的基本步骤(1)理解题意，设出变量，建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；(2)在定义域内，求出函数的最大值或最小值； (3)还原为实际问题，写出答案．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是30.解析：一年购买600x 次，则总运费与总存储费用之和为f (x )＝600x ×6＋4x ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫900x ＋x ≥8900x ·x ＝240，当且仅当x ＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时，x 的值是30. 考向三 基本不等式与函数的综合应用【例3】 (1)对函数f (x )，如果存在x 0≠0使得f (x 0)＝－f (－x 0)，则称(x 0，f (x 0))与(－x 0，f (－x 0))为函数图象的一组奇对称点．若f (x )＝e x －a (e 为自然对数的底数)存在奇对称点，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞)C ．(e ，＋∞)D ．[1，＋∞)(2)(2019·洛阳模拟)设函数f (x )＝98cos2x ＋16－sin 2x 的最小值为m ，且与m 对应的x 的最小正值为n ，则m ＋n ＝________.(2)f (x )＝98cos2x ＋16＋cos2x －12＝98cos2x ＋2＋cos2x ＋22－32，因为cos2x＋2>0，所以f (x )≥2×34－32＝0，当且仅当98cos2x ＋2＝cos2x ＋22，即cos2x ＝－12时等号成立，所以x 的最小正值为n ＝π3，所以m ＋n ＝π3.【答案】 (1)B (2)π3求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围.(1)已知函数f (x )＝x ＋ax ＋2的值域为(－∞，0]∪[4，＋∞)，则a 的值是( C )A.12B.32 C ．1D ．2(2)已知直线mx ＋ny －2＝0经过函数g (x )＝log a x ＋1(a >0且a ≠1)的定点，其中mn >0，则1m ＋1n 的最小值为2.解析：(1)由题意可得a >0，①当x >0时，f (x )＝x ＋ax ＋2≥2a ＋2，当且仅当x ＝a 时取等号；②当x <0时，f (x )＝x ＋ax ＋2≤－2a ＋2，当且仅当x ＝－a 时取等号，所以⎩⎪⎨⎪⎧2－2a ＝0，2a ＋2＝4，解得a ＝1，故选C.(2)因为函数g (x )＝log a x ＋1(a >0且a ≠1)的定点为(1,1)在直线mx ＋ny －2＝0上，所以m ＋n －2＝0，即m 2＋n 2＝1，所以1m ＋1n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋n 2＝12＋12＋n 2m ＋m2n ≥1＋2n 2m ·m 2n ＝2，当且仅当n 2m ＝m 2n，即m 2＝n 2时取等号，所以1m ＋1n 的最小值为2.合理配凑 妙解基本不等式利用基本不等式求最值或证明不等式是高中数学的一个重点，应用该公式时需要满足“一正、二定、三相等”，在运用基本不等式时，常常遇到不能直接套用公式的情况，这时需要对题中的关系式进行适当的配凑变形，使问题快速解决．本文对运用基本不等式时的配凑方法适当概括，以帮助考生理清解题思路，妙用基本不等式．1．妙用常值“1”，变形求解典例1 已知x ∈(0，12)，求函数f (x )＝2x ＋91－2x的最小值． 【解】 因为2x ＝42x ，且2x ＋(1－2x )＝1，所以f (x )＝2x ＋91－2x＝[2x ＋(1－2x )]·(42x ＋91－2x )＝4＋9＋2(1－2x )x ＋18x 1－2x，又x ∈(0，12)，所以1－2x ∈(0,1)，所以f (x )≥13＋22(1－2x )x ·18x 1－2x＝25， 当且仅当2(1－2x )x ＝18x 1－2x时等号成立，又x ∈(0，12)，所以x ＝15时，等号成立．故函数f (x )＝2x ＋91－2x的最小值为25. 【点评】 当两个式子之和为定值(无论是否为1)，均可灵活运用“1”进行变形，进而迅速、准确求解． 2．合理拆项分组，拼凑定积典例2 设a >b >0，则a ＋1b ＋1a －b的最小值为( ) A ．2B ．3C ．4D ．3＋2 2【解析】 a ＋1b ＋1a －b ＝(a －b )＋1a －b＋b ＋1b ≥2(a －b )·1a －b ＋2b ·1b ＝4，当且仅当⎩⎨⎧ a －b ＝1a －b ，b ＝1b ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1时等号成立．故选C. 【答案】 C【点评】 本题解答的关键是将变量a 拆解为a －b ＋b ，以及拆项后的恰当组合，同时在利用基本不等式解题时要注意基本不等式适用的条件，即“一正、二定、三相等”；切记要注意等号成立的条件．3．消元法，多元变单元典例3 已知a >b >1且2log a b ＋3log b a ＝7，则a ＋1b 2－1的最小值为________．【解析】 ∵2log a b ＋3log b a ＝2log a b ＋3log a b ＝7， ∴2(log a b )2－7log a b ＋3＝0，∴(2log a b －1)(log a b －3)＝0，∴log a b ＝12或log a b ＝3.又a >b >1，∴log a b ＝12＝log a a ，b 2＝a .∴a ＋1b 2－1＝a ＋1a －1＝a －1＋1a －1＋1≥2(a －1)·1a －1＋1＝3，当且仅当a －1＝1a －1，即a ＝2时取等号． 故a ＋1b 2－1的最小值为3.【答案】 3【点评】本题利用对数的运算得到a，b的关系，利用该关系进行消元，转化为单变量的关系式，进而构造基本不等式求得最值．。
新高考数学(理)一轮总复习卷：第7章第4节基本不等式及其应用Word版含解析
基本不等式的应用1.(2013·重庆，3)（3－a ）（a ＋6）(－6≤a ≤3)的最大值为( )A.9B.92C.3D.322 解析 ∵－6≤a ≤3，∴3－a ≥0，a ＋6≥0.而(3－a )＋(a ＋6)＝9，由基本不等式得：(3－a )＋(a ＋6)≥2（3－a ）（a ＋6）， 即9≥2（3－a ）（a ＋6）， ∴（3－a ）（a ＋6）≤92，并且仅当3－a ＝a ＋6， 即a ＝－32时取等号. 答案 B2.(2013·山东，12)设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z 取得最大值时，2x ＋1y －2z的最大值为( )A.0B.1C.94D.3解析 由x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0得x 2－3xy ＋4y 2z ＝1≥2x 2·4y 2－3xy z ， 即xy z≤1，当且仅当x 2＝4y 2时成立， 又x ，y 为正实数，故x ＝2y .此时将x ＝2y 代入x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0得z ＝2y 2，所以2x ＋1y －2z ＝－1y 2＋2y＝－⎝⎛⎭⎫1y －12＋1， 当1y ＝1，即y ＝1时，2x ＋1y －2x取得最大值为1， 故选B.答案 B3.(2012·福建，5)下列不等式一定成立的是( )A.lg(x 2＋14)>lg x (x >0) B.sin x ＋1sin x≥2(x ≠k π，k ∈Z ) C.x 2＋1≥2|x |(x ∈R )D.1x 2＋1>1(x ∈R ) 解析 取x ＝12，则lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14＝lg x ，故排除A ； 取x ＝32π，则sin x ＝－1，故排除B ； 取x ＝0，则1x 2＋1＝1，故排除D.应选C. 答案 C4.(2014·上海，5)若实数x ，y 满足xy ＝1，则x 2＋2y 2的最小值为________.解析 ∵x 2＋2y 2≥2x 2·2y 2＝22xy ＝22，当且仅当x ＝2y 时取“＝”，∴x 2＋2y 2的最小值为2 2.答案 2 25.(2013·天津，14)设a ＋b ＝2，b >0，则当a ＝________时，12|a |＋|a |b取得最小值. 解析 因为a ＋b ＝2，所以a ＋b 2·12|a |＋|a |b ＝a ＋b 22|a |＋|a |b＝a 4|a |＋b 4|a |＋|a |b ≥a 4|a |＋2b 4|a |·|a |b ＝a 4|a |＋1， 当a >0时，a 4|a |＋1＝54，12|a |＋|a |b ≥54；当a <0时，a 4|a |＋1＝34，12|a |＋|a |b ≥34，当且仅当b ＝2|a |时，等号成立.因为b >0，所以原式取最小值时b ＝－2a .又a ＋b ＝2，所以a ＝－2时，原式取得最小值.答案 －2。
高三数学一轮复习课时作业1：7.4 基本不等式
7.4 基本不等式第Ⅰ组：全员必做题1．(2014·南京一模)已知函数f (x )＝log 2(x －2)．若实数m ，n 满足f (m )＋f (2n )＝3，则m ＋n 的最小值是________．2．(2014·镇江模拟)已知x ，y 为正数，则x 2x ＋y ＋yx ＋2y 的最大值为________．3．若a ，b 均为大于1的正数，且ab ＝100，则lg a ·lg b 的最大值是________． 4．函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值是________．5．设a >0，b >0，且不等式1a ＋1b ＋ka ＋b ≥0恒成立，则实数k 的最小值等于________．6．已知正实数x ，y ，z 满足2x ⎝⎛⎭⎫x ＋1y ＋1z ＝yz ，则⎝⎛⎭⎫x ＋1y ⎝⎛⎭⎫x ＋1z 的最小值为________． 7．(2014·泰州调研)已知实数x ，s ，t 满足8x ＋9t ＝s ，且x ＞－s ，则x 2＋(s ＋t )x ＋st ＋1x ＋t 的最小值为________．8．(2013·盐城三调)若a ，b ，c ＞0，且a 2＋ab ＋ac ＋bc ＝4，则2a ＋b ＋c 的最小值为________． 9．(2013·苏锡常镇一调)若不等式x 2108＋y 24≥xy 3k 对于任意正实数x ，y 总成立的必要不充分条件是k ∈『m ，＋∞)，则正整数m 只能取________．10．(2013·南京、盐城一模)近年来，某企业每年消耗电费24万元，为了节能减排，决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备，并接入本企业的电网．安装这种供电设备的费用(单位：万元)与太阳能电池板的面积(单位：m 2)成正比，比例系数约为0.5.为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式．设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费C (单位：万元)与安装的这种太阳能电池板的面积x (单位：m 2)之间的函数关系是C (x )＝k20x ＋100(x ≥0，k 为常数)．记F (单位：万元)为该企业安装这种太阳能供电设备的费用与15年所消耗的电费之和．(1)试解释C (0)的实际意义，并写出F 关于x 的函数关系式； (2)当x 为何值时，F 取得最小值？最小值是多少？第Ⅱ组：重点选做题1．(2014·镇江质检)已知a ，b ∈R ，且a 2＋ab ＋b 2＝3，设a 2－ab ＋b 2的最大值和最小值分别为M ，m ，则M ＋m ＝________.2．(2013·盐城一模)如图，在三棱锥P ABC 中，P A ，PB ，PC 两两垂直，且P A ＝3，PB＝2，PC ＝1.设M 是底面ABC 内一点，定义f (M )＝(m ，n ，p )，其中m ，n ，p 分别是三棱锥M P AB ，三棱锥M PBC ，三棱锥M PCA 的体积．若f (M )＝⎝⎛⎭⎫12，x ，y ，且1x ＋ay ≥8恒成立，则正实数a 的最小值为________．——★ 参 考 答 案 ★——第Ⅰ组：全员必做题1．『解析』法一：由题得log 2(m －2)＋log 2(2n －2)＝3，即(m －2)(n －1)＝4，则m ＝4n －1＋2，所以m ＋n ＝4n －1＋2＋n ＝4n －1＋(n －1)＋3≥24＋3＝7，当且仅当n ＝3时取等号，故m ＋n的最小值为7.法二：同法一，可得(m －2)(n －1)＝4.又(m －2)(n －1)≤⎝⎛⎭⎫m －2＋n －122，所以(m ＋n －3)2≥16.又m ＞2，n ＞1，所以m ＋n ＞3，所以m ＋n －3≥4，即m ＋n ≥7， 当且仅当m ＝4，n ＝3时取等号．『答案』72．『解析』依题意，得x 2x ＋y ＋y x ＋2y ＝x 2＋4xy ＋y 22x 2＋5xy ＋2y 2＝x 2＋52xy ＋y 2＋32xy 2x 2＋5xy ＋2y 2＝12＋32xy 2x 2＋5xy ＋2y 2＝12＋32·12x 2＋5xy ＋2y 2xy ＝12＋32·12x y ＋2y x ＋5≤12＋32×19＝12＋16＝23，当且仅当x ＝y 时取等号． 『答案』233．『解析』∵a >1，b >1.∴lg a >0，lg b >0.lg a ·lg b ≤lg a ＋lg b24＝lg ab 24＝1.当且仅当a ＝b ＝10时取等号．『答案』14．『解析』∵x >1，∴x －1>0.∴y ＝x 2＋2x －1＝x 2－2x ＋2x ＋2x －1＝2212(1)31x x x x -++-+-＝2(1)2(1)31x x x -+-+-＝x －1＋3x －1＋2≥23(1)()1x x --＋2＝23＋2.当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝1＋3时，取等号． 『答案』23＋25．『解析』由1a ＋1b ＋ka ＋b ≥0得k ≥－a ＋b 2ab，而a ＋b 2ab＝b a ＋a b ＋2≥4(a ＝b 时取等号)，所以－2()a b ab +≤－4，因此要使k ≥－2()a b ab+恒成立，应有k ≥－4，即实数k 的最小值等于－4.『答案』－46．『解析』⎝⎛⎭⎫x ＋1y ⎝⎛⎭⎫x ＋1z ＝x 2＋x z ＋x y ＋1yz ＝x ⎝⎛⎭⎫x ＋1y ＋1z ＋1yz，而2x ⎝⎛⎭⎫x ＋1y ＋1z ＝yz ，则⎝⎛⎭⎫x ＋1y ⎝⎛⎭⎫x ＋1z ＝yz 2＋1yz . 又因为x ，y ，z 为正实数，所以yz 2＋1yz ≥2yz 2·1yz＝2，当且仅当yz ＝2时，等号成立． 所以⎝⎛⎭⎫x ＋1y ⎝⎛⎭⎫x ＋1z 的最小值为 2. 『答案』27．『解析』2()(1)x s t x st x t +++++＝2(810)(89)(1)x x t x x t t x t ++++++＝29()1x t x t +++＝9(x ＋t )＋1x ＋t .因为x ＞－s ，即x ＞－(8x ＋9t )，所以x ＋t ＞0，所以9(x ＋t )＋1x ＋t≥6， 当且仅当x ＋t ＝13时，取得等号．因此，当x ＋t ＝13时，所求代数式取最小值6.『答案』68．『解析』由题意得(a ＋b )(a ＋c )＝4，所以2a ＋b ＋c ＝(a ＋b )＋(a ＋c 4， 当且仅当a ＋b ＝a ＋c ，即b ＝c 时等号成立．故2a ＋b ＋c 的最小值为4.『答案』49．『解析』由x 2108＋y 24≥xy 3k (x ＞0，y ＞0)得1xy ⎝⎛⎭⎫x 2108＋y 24≥13k ，即x 108y ＋y 4x ≥13k .因为x 108y ＋y4x ≥2x 108y ·y4x＝ 1108，当且仅当x 2＝27y 2时取得等号．所以3k ≥108＝27×4＝2×332， 两边取对数有log 33k ≥ log 3(2×332)，即k ≥log 32＋32＞log 33＋32＝2，所以k 的取值范围是⎣⎡⎭⎫log 32＋32，＋∞. 因为k ∈『m ，＋∞)是k ∈⎣⎡⎭⎫log 32＋32，＋∞的必要不充分条件，所以m ＝1或m ＝2. 『答案』1或210．解：(1)由题意得C (0)的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为0时的用电费用，即未安装太阳能供电设备时该企业每年消耗的电费．由C (0)＝k 100＝24得k ＝2 400.因此F ＝15·k 20x ＋100＋0.5x ＝1 800x ＋5＋x2，x ≥0.(2)由(1)知，F ＝1 800x ＋5＋x 2＝1 800x ＋5＋x ＋52－52≥ 21 800x ＋5·x ＋52－52＝1152.当且仅当1 800x ＋5＝x ＋52，即x ＝55时取等号．所以当x ＝55时，F 取得最小值为57.5万元．第Ⅱ组：重点选做题1．『解析』由a ，b ∈R ，a 2＋ab ＋b 2＝3得3＝a 2＋b 2＋ab ≥2ab ＋ab ＝3ab ，则ab ≤1. 又3＝a 2＋b 2＋ab ＝a 2＋2ab ＋b 2－ab ，则a 2＋2ab ＋b 2＝3＋ab ，即3＋ab ＝(a ＋b )2≥0，则ab ≥－3.故－3≤ab ≤1.由a 2＋ab ＋b 2＝3得a 2＋b 2＝3－ab ，所以a 2－ab ＋b 2＝3－2ab ∈『1,9』，即M ＝9，m ＝1，所以M ＋m ＝10.『答案』102．『解析』因为在三棱锥P ABC 中，P A ，PB ，PC 两两垂直，且P A ＝3，PB ＝2，PC ＝1，所以三棱锥P ABC 的体积V ＝13×12×3×1×2＝1.又f (M )＝⎝⎛⎭⎫12，x ，y ，所以x ＋y ＝12. 又1x ＋a y ≥8，则⎝⎛⎭⎫1x ＋a y (x ＋y )≥4，即⎝⎛⎭⎫1x ＋a y (x ＋y )＝1＋a ＋y x ＋axy ≥1＋a ＋2a ＝(a ＋1)2≥4，等号成立的条件是y ＝ax ，所以a ≥1，即a 的最小值为1.『答案』1。
2022高考数学(理)一轮通用版讲义：7.3基本不等式
第三节基本不等式1了解基本不等式的证明过程．2会用基本不等式解决简单的最大小值问题．突破点一利用基本不等式求最值1．基本不等式：≤1基本不等式成立的条件：a>0，b>02等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．2．几个重要的不等式3．算术平均数与几何平均数设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问题已知>0，y>0，则：1如果积y是定值>2的最小值为6，则正数m的值为________．[解析] 1∵0<<1，∴3－3＝31－≤32＝当且仅当＝1－，即＝时等号成立．2∵>2，m>0，∴y＝－2＋＋2≥2＋2＝2＋2，当且仅当＝2＋时取等号，又函数y＝＋>2的最小值为6，∴2＋2＝6，解得m ＝4[答案] 1B 24[方法技巧]通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：1拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；2代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；3拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．考法二通过常数代换法利用基本不等式求最值[例2] 12022·青岛模拟已知>0，y>0，lg2＋lg8y＝lg2，则＋的最小值是A．2 B．2C．4 D．222022·齐齐哈尔八校联考若对>0，y>0，＋2y＝1，有＋≥m 恒成立，则m的最大值是________．[解析] 1因为lg2＋lg8y＝lg2，所以＋3y＝1，所以＋＝＋3y＝2＋＋≥4当且仅当＝，即＝，y＝时取等号．2∵>0，y>0，＋2y＝1，∴＋＝＋2y·＝2＋2＋＋≥4＋2＝8，当且仅当＝，y＝时取等号，∴＋的最小值为8，又＋≥m恒成立，∴m≤8，即m的最大值为8[答案] 1C 28[方法技巧]通过常数代换法利用基本不等式求最值的步骤常数代换法适用于求解条件最值问题．通过此种方法利用基本不等式求最值的基本步骤为：1根据已知条件或其变形确定定值常数；2把确定的定值常数变形为1；3把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；4利用基本不等式求解最值．已知<0，则函数y＝＋的最大值是A．－18 B．18C．16 D．－4解析：选D ∵<0，∴y＝－≤－4，当且仅当＝－2时取等号．正数a，b满足＋＝1，若不等式a＋b≥－2＋4＋18－m对任意实数恒成立，则实数m的取值范围是________．解析：因为a>0，b>0，＋＝＋b＝a＋b·＝10＋＋≥10＋2＝16由题意．得16≥－2＋4＋18－m，即2－4－2≥－m对任意实数恒成立，又2－4－2＝－22－6的最小值为－6，所以－6≥－m，即m≥6答案：[6，＋∞突破点二基本不等式的综合问题关于基本不等式的考题，涉及的知识点较多，常融合于函数、数列、立体几何、解析几何及实际问题中，此类问题一般难度较大，需要较强的分析问题、解决问题的能力．考法一基本不等式的实际应用问题[例1] 如图，一个铝合金窗分为上、下两栏，四周框架和中间隔挡的材料为铝合金，宽均为6cm，上栏与下栏的框内高度不含铝合金部分的比为1∶2，此铝合金窗占用的墙面面积为28800cm2，设该铝合金窗的宽和高分别为a cm，b cm，铝合金窗的透光部分的面积为S cm2 1试用a，b表示S；2若要使S最大，则铝合金窗的宽和高分别为多少[解] 1∵铝合金窗宽为a cm，高为b cm，a>0，b>0，∴ab＝28800①设上栏框内高度为h cm，则下栏框内高度为2h cm，则3h＋18＝b，∴h＝，∴透光部分的面积S＝a－18×＋a－12×＝a－16b－18＝ab－29a＋8b＋288＝28800－29a＋8b＋288＝29088－29a＋8b．2∵9a＋8b≥2＝2＝2880，当且仅当9a＝8b时等号成立，此时b＝a，代入①式得a＝160，从而b＝180，即当a＝160，b＝180时，S取得最大值．∴铝合金窗的宽为160cm，高为180cm时，可使透光部分的面积最大．[方法技巧]利用基本不等式求解实际应用题的方法1此类型的题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解．2当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解．考法二基本不等式与其他知识的交汇问题考向一基本不等式与函数的交汇问题[例2] 2022·北京西城区期末已知A，B是函数y＝2的图象上不同的两点，若点A，B到直线y＝的距离相等，则点A，B 的横坐标之和的取值范围是A．－∞，－1 B．－∞，－2C．－∞，－3 D．－∞，－4[解析] 设A1，y1，B2，y2，不妨设1<＝2为单调增函数，若点A，B到直线y＝的距离相等，则－y1＝y2－，即y1＋y2＝1，即21＋22＝1由基本不等式得1＝21＋22≥2，当且仅当1＝2＝－1时取等号，则21＋2≤，解得1＋2<－2因为1≠2，等号取不到，故选B[答案] B考向二基本不等式与数列的交汇问题[例3] 2022·济宁期末已知a>0，b>0，并且，，成等差数列，则a＋9b的最小值为A．16 B．9C．5 D．4[解析] ∵，，成等差数列，∴＋＝1，∴a＋9b＝a＋9b＝10＋＋≥10＋2＝16，当且仅当＝且＋＝1，即a＝4，b＝时等号成立，故选A[答案] A考向三基本不等式与解析几何的交汇问题[例4] 2022·邢台月考当双曲线M：－＝1的离心率最小时，M的渐近线方程为A．y＝±2B．y＝±2C．y＝±D．y＝±[解析] 由题意得m>0，e＝＝≥＝，当且仅当m＝，即m＝2时等号成立，所以双曲线的方程为－＝1，所以渐近线方程为y ＝±2，故选A[答案] A[方法技巧]求与其他知识交汇的最值问题的类型及策略1应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式或式子变形，然后利用基本不等式求解．2条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．已知函数y＝log a＋3－1a>0且a≠1的图象恒过定点A，若点A在直线m＋ny＋1＝0上，其中mn>0，则＋的最小值为A．3－2 B．5C．3＋2 D．3＋解析：选C 令＋3＝1，得＝－2，故A－2，－1．又点A在直线m＋ny＋1＝0上，∴－2m－n＋1＝0，即2m＋n＝1，则＋＝2m＋n＝3＋＋≥3＋2＝3＋2当且仅当m＝，n＝时等号成立，所以＋的最小值为3＋2，故选C已知a>0，b>0，a，b的等比中项是1，且m＝b＋，n＝a＋，则m＋n的最小值是A．3 B．4C．5 D．6解析：选B 由题意知ab＝1，∴m＝b＋＝2b，n＝a＋＝2a，∴m＋n＝2a＋b≥4＝4，当且仅当a＝b＝1时取等号．两圆2＋y2－2my＋m2－1＝0和2＋y2－4n＋4n2－9＝0恰有一条公切线，若m∈R，n∈R，且mn≠0，则＋的最小值为A．1 B．2C．3 D．4解析：选D 由题意可知两圆内切，2＋y2－2my＋m2－1＝0化为2＋y－m2＝1，2＋y2－4n＋4n2－9＝0化为－2n2＋y2＝9，故＝3－1＝2，即4n2＋m2＝4，＋＝4n2＋m2＝2＋＋≥2＋2＝4某品牌行车记录仪支架销售公司从2022年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式．根据几个月运营发现，产品的月销量万件与投入实体店体验安装的费用t万元之间满足函数关系式＝3－已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是多少万元解：由题意知t＝－11<<3，设该公司的月利润为y万元，则y＝－32－3－t＝16－－3＝16－＋－3＝－≤－2＝，当且仅当＝时取等号，即最大月利润为万元[课时跟踪检测][A级基础题——基稳才能楼高]1．函数f＝的最大值为B．D．1解析：选B 显然≥＝0时，f＝0；当>0时，＋1≥2，∴f≤，当且仅当＝1时取等号，f ma＝2，若a，b∈R，则下列恒成立的不等式是≥B．＋≥2≥2D．a＋b≥4解析：选C 由于a，b∈R，所以A、B、D项不能直接运用基本不等式考察，先考虑C项．∵－2＝＝＝≥0，∴≥23．2022·东北三省四市一模已知>0，y>0，且4＋y＝y，则＋y的最小值为A．8 B．9C．12 D．16解析：选B 由题意可得＋＝1，则＋y＝＋y·＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即＝3，y＝6时等号成立，故＋y的最小值为94．已知，y都为正实数，且＋y＋＋＝5，则＋y的最大值是A．3 B．C．4 D．解析：选C 因为＋y＋＋＝＋y＋≥＋y＋＝＋y＋，所以＋y＋≤＋y＝2－5t＋4≤0，解得1≤t≤45．2022·西藏林芝期中若，y均为正数，则＋＋13的最小值是A．24 B．28C．25 D．26解析：选C 因为，y均为正数，所以由基本不等式得＋＋13≥2＋13＝25，当且仅当＝2y时等号成立，故＋＋13的最小值是25，故选C[B级保分题——准做快做达标]1．2022·郑州外国语学校月考若a>b>1，a n＝4a，则＋的最小值为A．1 B．D．解析：选C 由题意知a m a n＝a2m＋n－2＝4a22＝a24，∴m＋n＝6，则＋＝m＋n＝＋＋≥×＝，当且仅当m＝2n时取等号，∴＋的最小值为，故选C4．2022·岳阳一中模拟已知a>b>0，则2a＋＋的最小值为A．6 B．4C．2 D．3解析：选A 因为＋＝＋·＝5＋＋≥5＋4＝当且仅当a＝3b 时取等号，所以2a＋＋≥2a＋≥6当且仅当a＝时后一个不等式取等号，故选A5．2022·甘肃诊断已知向量a＝3，－2，b＝，y－1，且a ∥b，若，y均为正数，则＋的最小值是B．C．8 D．24解析：选C 因为a∥b，故3y－1＝－2，整理得2＋3y＝3，所以＋＝2＋3y＝12＋＋≥＝8，当且仅当＝，y＝时等号成立，所以＋的最小值为8，故选C6．若实数a，b，c满足a2＋b2＋c2＝8，则a＋b＋c的最大值为A．9 B．2C．3 D．2解析：选D a＋b＋c2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc＝8＋2ab＋2ac＋2bc∵a2＋b2≥2ab，a2＋c2≥2ac，b2＋c2≥2bc，∴8＋2ab＋2ac＋2bc≤2a2＋b2＋c2＋8＝24，当且仅当a＝b ＝c时取等号，∴a＋b＋c≤27．2022·林州一中模拟已知正项等比数列{a n}的前n项和为S n，且S8－2S4＝5，则a9＋a10＋a11＋a12的最小值为A．10 B．15C．20 D．25解析：选C 由题意可得a9＋a10＋a11＋a12＝S12－S8，由S8－2S4＝5可得S8－S4＝S4＋5，由等比数列的性质可得S4，S8－S4，S12－S8成等比数列，则S4S12－S8＝S8－S42，综上可得：a9＋a10＋a11＋a12＝S12－S8＝＝S4＋＋10≥2＋10＝20，当且仅当S4＝5时等号成立．故a9＋a10＋a11＋a12的最小值为208．2022·赣州月考半圆的直径AB＝4，O为圆心，C是半圆上不同于A，B的任意一点，若，n满足2m＋n＋6＝mn，则mn的最小值是________．解析：由2m＋n＋6＝mn，m>0，n>0，得2＋6≤2m＋n＋6＝mn，令＝tt>0，则2t＋6≤，即t2－4t－12≥0，解得t≤－2舍或t≥6，即≥6，mn≥18，则mn的最小值是18答案：1812．2022·张掖月考设a>0，b>1，若a＋b＝2，则＋的最小值为________．解析：∵a>0，b>1，a＋b＝2，∴＋＝a＋b－1＝3＋＋＋1＝4＋＋≥4＋2，当＝，即a＝，b＝时取等号，故最小值为4＋2答案：4＋213．2022·石家庄高三一检已知直线l：a＋by－ab＝0a>0，b>0经过点2,3，则a＋b的最小值为________．解析：因为直线l经过点2,3，所以2a＋3b－ab＝0，所以b＝>0，所以a－3>0，所以a＋b＝a＋＝a－3＋＋5≥5＋2＝5＋2，当且仅当a－3＝，即a＝3＋，b＝2＋时等号成立．答案：5＋214．2022·唐山二模已知a>0，b>0，c>0，d>0，a2＋b2＝ab ＋1，cd>11求证：a＋b≤2；2判断等式＋＝c＋d能否成立，并说明理由．解：1证明：由题意得a＋b2＝3ab＋1≤32＋1，当且仅当a ＝b时取等号．解得a＋b2≤4，又a，b>0，所以a＋b≤22不能成立．理由：由均值不等式得＋≤＋，当且仅当a＝c且b＝d时等号成立．因为a＋b≤2，所以＋≤1＋因为c>0，d>0，cd>1，所以c＋d＝＋≥＋>＋1≥＋，故＋＝c＋d不能成立．15．2022·孝感模拟经测算，某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量y L与速度m/h50≤≤120的关系可近似表示为y＝1该型号汽车的速度为多少时，可使得每小时耗油量最少2已知A，B两地相距120m，假定该型号汽车匀速从A地驶向B地，则汽车速度为多少时总耗油量最少解：1当∈[50,80时，y＝2－130＋4900＝[－652＋675]，所以当＝65时，y取得最小值，最小值为×675＝9当∈[80,120]时，函数y＝12－单调递减，故当＝120时，y取得最小值，最小值为12－＝10因为9<10，所以当＝65，即该型号汽车的速度为65m/h时，可使得每小时耗油量最少．2设总耗油量为l L，由题意可知l＝y·，①当∈[50,80时，l＝y·＝≥＝16，当且仅当＝，即＝70时，l取得最小值，最小值为16；②当∈[80,120]时，l＝y·＝－2为减函数，所以当＝120时，l取得最小值，最小值为10因为10<16，所以当速度为120m/h时，总耗油量最少．。
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第4讲基本不等式一、选择题1．若x＞0，则x＋4x的最小值为( )．A．2 B．3 C．2 2 D．4解析∵x＞0，∴x＋4x≥4.答案 D2．已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝1a＋4b的最小值是( )．A.72B．4 C.92D．5解析依题意得1a＋4b＝12⎝⎛⎭⎪⎫1a＋4b(a＋b)＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋⎝⎛⎭⎪⎫ba＋4ab≥12⎝⎛⎭⎪⎫5＋2ba×4ab＝92，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a＋b＝2ba＝4aba＞0，b＞0，即a＝23，b＝43时取等号，即1a＋4b的最小值是92.答案 C3．小王从甲地到乙地的时速分别为a和b(a<b)，其全程的平均时速为v，则()．A．a<v<ab B．v＝abC.ab<v<a＋b2D．v＝a＋b2解析设甲、乙两地之间的距离为s.∵a<b，∴v＝2ssa＋sb＝2aba＋b<2ab2ab＝ab.又v －a ＝2aba ＋b －a ＝ab －a 2a ＋b >a 2－a 2a ＋b ＝0，∴v >a .答案 A4．若正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则( )． A.1a ＋1b有最大值4B ．ab 有最小值14C.a ＋b 有最大值 2D ．a 2＋b 2有最小值22解析 由基本不等式，得ab ≤a 2＋b 22＝a ＋b2－2ab2，所以ab ≤14，故B 错；1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥4，故A 错；由基本不等式得a ＋b 2≤ a ＋b 2＝12，即a ＋b ≤ 2，故C 正确；a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab ≥1－2×14＝12，故D 错． 答案 C5．已知x >0，y >0，且2x ＋1y ＝1，若x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是( )．A ．(－∞，－2]∪[4，＋∞)B ．(－∞，－4]∪[2，＋∞)C ．(－2,4)D ．(－4,2)解析 ∵x >0，y >0且2x ＋1y ＝1， ∴x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1y ＝4＋4y x ＋x y≥4＋24y x ·x y ＝8，当且仅当4y x ＝x y ，即x ＝4，y ＝2时取等号，∴(x ＋2y )min ＝8，要使x ＋2y >m 2＋2m 恒成立， 只需(x ＋2y )min >m 2＋2m 恒成立， 即8>m 2＋2m ，解得－4<m <2. 答案 D6．已知两条直线l 1：y ＝m 和l 2：y ＝82m ＋1(m >0)，l 1与函数y ＝|log 2x |的图象从左至右相交于点A ，B ，l 2与函数y ＝|log 2x |的图象从左至右相交于点C ，D .记线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度分别为a ，b .当m 变化时，ba 的最小值为( )． A ．16 2B ．8 2C ．834D ．434解析 如图，作出y ＝|log 2x |的图象，由图可知A ，C 点的横坐标在区间(0,1)内，B ，D 点的横坐标在区间(1，＋∞)内，而且x C －x A 与x B －x D 同号，所以b a ＝x B －x D x C －x A，根据已知|log 2x A |＝m ，即－log 2x A ＝m ，所以x A ＝2－m.同理可得x C ＝2－82m ＋1，x B ＝2m，x D ＝282m ＋1，所以b a ＝2m －282m ＋12－82m ＋1－2－m＝2m －282m ＋11282m ＋1－12m ＝2m －282m ＋12m －282m ＋12m ·282m ＋1＝282m ＋1＋m ，由于82m ＋1＋m ＝82m ＋1＋2m ＋12－12≥4－12＝72，当且仅当82m ＋1＝2m ＋12，即2m ＋1＝4，即m ＝32时等号成立，故b a 的最小值为272＝8 2.答案 B 二、填空题7．设x ，y 为实数．若4x 2＋y 2＋xy ＝1，则2x ＋y 的最大值是________． 解析 依题意有(2x ＋y )2＝1＋3xy ＝1＋32×2x ×y ≤1＋32·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋y 22，得58(2x ＋y )2≤1，即|2x ＋y |≤2105.当且仅当2x ＝y ＝105时，2x ＋y 取最大值2105. 答案21058．在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数f (x )＝2x的图象交于P ，Q 两点，则线段PQ 长的最小值是________．解析 假设直线与函数f (x )＝2x的图象在第一象限内的交点为P ，在第三象限内的交点为Q ，由题意知线段PQ 的长为OP 长的2倍． 假设P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，2x 0，则|PQ |＝2|OP |＝2x 20＋4x 20≥4.当且仅当x 20＝4x 20，即x 0＝2时，取“＝”号． 答案 49．若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是________． 解析 由a ，b ∈R ＋，由基本不等式得a ＋b ≥2ab ， 则ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3，即ab －2ab －3≥0⇔(ab －3)(ab ＋1)≥0⇒ab ≥3， ∴ab ≥9. 答案 [9，＋∞)10．已知两正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋1y 的最小值为________。
解析 z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋1y ＝xy ＋1xy ＋y x ＋x y ＝xy ＋1xy ＋(x ＋y )2－2xy xy ＝2xy ＋xy －2，令t ＝xy ，则0<t ＝xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝14.由f (t )＝t ＋2t 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14上单调递减，故当t ＝14时f (t )＝t ＋2t 有最小值334，所以当x ＝y ＝12时，z 有最小值254. 答案 254 三、解答题11．设a ，b ，c 都是正数，求证：bc a ＋ac b ＋abc≥a ＋b ＋c . 证明 ∵a ，b ，c 都是正数，∴bc a ，ca b ，abc都是正数． ∴bc a ＋cab≥2c ，当且仅当a ＝b 时等号成立，ca b ＋abc≥2a ，当且仅当b ＝c 时等号成立， ab c ＋bca≥2b ，当且仅当a ＝c 时等号成立． 三式相加，得2(bc a ＋ca b ＋abc)≥2(a ＋b ＋c )， 即bc a ＋ca b ＋abc≥a ＋b ＋c . 当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立． 12．已知x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20. (1)求u ＝lg x ＋lg y 的最大值； (2)求1x ＋1y 的最小值． 解 (1)∵x >0，y >0，∴由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy .∵2x ＋5y ＝20，∴210xy ≤20，xy ≤10，当且仅当2x ＝5y 时，等号成立． 因此有⎩⎨⎧ 2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎨⎧x ＝5，y ＝2，此时xy 有最大值10.∴u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 10＝1.∴当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1. (2)∵x >0，y >0，∴1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ·2x ＋5y 20＝120⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋5y x ＋2x y ≥120⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋2 5y x ·2x y ＝7＋21020，当且仅当5y x ＝2x y 时，等号成立． 由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，5y x ＝2xy，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1010－203，y ＝20－4103.∴1x ＋1y 的最小值为7＋21020. 13．设f (x )＝16xx 2＋8(x >0)．(1)求f (x )的最大值；(2)证明：对任意实数a ，b ，恒有f (a )<b 2－3b ＋214. (1)解 f (x )＝16x x 2＋8＝16x ＋8x ≤162 x ·8x＝22，当且仅当x ＝8x 时，即x ＝22时，等号成立． 所以f (x )的最大值为2 2. (2)证明 b 2－3b ＋214＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b －322＋3， 当b ＝32时，b 2－3b ＋214有最小值3， 由(1)知，f (a )有最大值22，∴对任意实数a ，b ，恒有f (a )<b 2－3b ＋214. 14．桑基鱼塘是某地一种独具地方特色的农业生产形式，某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目，该项目准备购置一块1 800平方米的矩形地块，中间挖出三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树，池塘周围的基围宽均为2米，如图，设池塘所占的总面积为S 平方米．(1)试用x 表示S ；(2)当x 取何值时，才能使得S 最大？并求出S 的最大值． 解 (1)由图形知，3a ＋6＝x ，∴a ＝x －63. 则总面积S ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1 800x －4·a ＋2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1 800x －6 ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫5 400x－16＝x －63⎝ ⎛⎭⎪⎫5 400x －16 ＝1 832－⎝ ⎛⎭⎪⎫10 800x ＋16x 3，即S ＝1 832－⎝ ⎛⎭⎪⎫10 800x ＋16x 3(x ＞0)．(2)由S ＝1 832－⎝ ⎛⎭⎪⎫10 800x ＋16x 3，得S ≤1 832－210 800x ·16x3＝1 832－2×240＝1 352.当且仅当10 800x ＝16x3，此时，x ＝45.即当x 为45米时，S 最大，且S 最大值为1 352平方米.。