高中数学讲义微专题50 等比数列性质(含等差等比数列综合题)
（经典整理）等差、等比数列的性质
（经典整理）等差、等比数列的性质第一篇：(经典整理)等差、等比数列的性质等差、等比数列的性质一：考试要求1、理解数列的概念、2、了解数列通项公式的意义3、了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项二:知识归纳（一）主要知识：有关等差、等比数列的结论1．等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,ΛΛ仍为等差数列．2．等差数列{an}中，若m+n=p+q，则am+an=ap+aq 3．等比数列{an}中，若m+n=p+q，则am⋅an=ap⋅aq4．等比数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,ΛΛ仍为等比数列．5．两个等差数列{an}与{bn}的和差的数列{an±bn}仍为等差数列．⎧an⎫⎧1⎫6．两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数的数列{an⋅bn}、⎨⎬、⎨⎬仍为等比数⎩bn⎭⎩bn⎭列．（二）主要方法：1．解决等差数列和等比数列的问题时，通常考虑两类方法：①基本量法：即运用条件转化为关于a1和d(q)的方程；②巧妙运用等差数列和等比数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量．2．深刻领会两类数列的性质，弄清通项和前n项和公式的内在联系是解题的关键．三：例题诠释，举一反三例题1(2011佛山)在等差数列{an}中，a1＋2a8＋a15＝96，则2a9－a10＝()A．24B．22C．20D．－8变式1：(2011广雅)已知数列{an}为等差数列且a1＋a7＋a13＝4π，则tan(a2＋a12)的值为()A3变式2：（2011重庆理11）在等差数列{an}中，a3+a7=37，则a2+a4+a6+a8=________B3A33A3例题2 等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为()A．130B．170C．210D．260变式1:（2011高考创新）等差数列{an}的通项公式是an=1-2n,其前n项和为Sn,则数列{的前11项和为（）A.-45B.-50C.-55D.-66 变式2：（2011高考创新）等差数列{an}中有两项am和ak满足am=Snn}1k,ak=1m,则该数列前mk项之和是.例题3(1)已知等比数列{an}，a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，则an＝________.(2)已知数列{an}是等比数列，且Sm＝10，S2m ＝30，则S3m＝________(m∈N*)．(3)在等比数列{an}中，公比q＝2，前99项的和S99＝56，则a3＋a6＋a9＋…＋a99＝_______.变式1：(2011佛山)在等比数列{an}中，若a3·a5·a7·a9·a11＝32，则a9a11的值为()A．4B．2C．－2D．－4变式2（2011湛江）等比数列{an}中，a1＋an＝66，a2an－1＝128，前n项的和Sn＝126，求n和公比q.变式3（2011广州调研）等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2=6，S4=30，则S6.1 例题4 已知数列{an}，an∈N*，Sn＝(an＋2)2.8(1)求证：{an}是等差数列；(2)若bn＝n－30，求数列{bn}的前n项和的最小值．变式1已知数列{an}中，a1=35，an=2-1an-1(n≥2,n∈N+)，数列{bn}满足bn=1an-1(n∈N+)（1）求证：数列{bn}是等差数列；（2）求数列{an}中的最大值和最小值，并说明理由变式2设等差数列{an}的前n项和为sn，已知a3=24,s11=0，求：①数列{an}的通项公式②当n为何值时，sn最大，最大值为多少？变式3(2011·汕头模拟)已知数列{an}中，a1＝，数列an＝2－，(n≥2，n∈N*)，数列an-1{bn}满足bn＝(n∈N*)．an-1(1)求证数列{bn}是等差数列；(2)求数列{an}中的最大项与最小项，并说明理由．32a例题5(2008·陕西)(文)已知数列{an}的首项a1＝，an+1=n∈N*an+11(1)求证数列－1}是等比数列；ann(2)求数列{前n项的和an变式1 在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N*.(1)证明数列{an－n}是等比数列；(2)求数列{an}的前n项和Sn；(3)求证对任意n∈N*都有Sn＋1≤4Sn变式2设{an}，{bn}是公比不相等的两个等比数列，且cn＝an＋bn，证明数列{cn}不是等比数列．变式3.在数列{an}中，a1=1,an+1=2an+2（1）设bn=nan2n-1,证明{bn}是等差数列;（2）求数列{an}的前n项和Sn。
高中数学——等比数列及其性质复习
名称
通项 公式
等差数列
an a1 (n 1)d
法2：累加法
n 2 , a2 a1 d
a3 a2 d
推导 过程
a4 a3 d
……
an an1 d
把这n-1个式子相加，得：
an a1 (n 1)d
当n=1时，上式成立
an a1 (n 1)d , n N*
等比数列
an a1qn1
知道其中的任意三个量，就可以求 出另一个量，即知三求一 .
我们称之为基本量法！
例2：在等比数列{an}中：
已知 a3 2 , a6 16 ,求an
解：an a1qn1
a
6
a3
a1q5 a1q2
16 2
a1
1 2
q 2
an
1 2n1 2
2n2
解后反思：利用通项公式由已知的基本量转化为解
可得
an am (n m)d
等比数列
an amqnm n, m N *
已知等比数列｛an｝中，公 比为q，则an与am（n,m ∈ N*） 有何关系？
an=a1qn-1
am=a1qm-1
an qnm am
可得
an amqnm n,m N*
例2：在等比数列{an}中：
已知 a3 2 , a6 16 ,求an
方程组。所谓函数与方程的思想。
二、等比数列通项公式的引申
名称
等差数列
an am (n m)d n,m N*
已知等差数列｛an｝中，公 差为d，则an与am（n,m ∈ N*） 有何关系？
通项 an a1 (n 1)d
公式
引申 am a1 (m 1)d
an am (n m)d
高中数学知识点总结等比数列与等比数列的性质
高中数学知识点总结等比数列与等比数列的性质等比数列是数学中常见的一种数列，又被称为等比数列或几何数列。
在高中数学中，等比数列的概念及其性质是学习数列的重要一环。
本文将对等比数列以及等比数列的性质进行总结和讨论。
1. 等比数列的定义等比数列是指一个数列中的每一项与它的前一项之比都相等的数列。
假设数列的首项为a，公比为r，那么等比数列的通项公式可以表示为：an = a * r^(n-1)其中，an为数列的第n项。
2. 等比数列的性质等比数列有许多特殊的性质，下面将逐一介绍。
2.1 等比数列的公比公比r是等比数列中非常重要的一个概念，它决定了数列的增长或衰减趋势。
当|r|>1时，等比数列呈现增长趋势，此时数列的绝对值逐项增大；当|r|<1时，等比数列呈现衰减趋势，此时数列的绝对值逐项减小；当|r|=1时，等比数列的绝对值保持不变。
2.2 等比数列的通项公式的推导等比数列的通项公式an = a * r^(n-1)可以通过递推关系式得出。
首先可以得到数列的第二项：a2 = a * r。
推导出来的通项公示能够方便我们计算等比数列中各项的大小。
同时，通过改变公比，我们可以观察等比数列的特点。
2.3 等比数列前n项和的计算等比数列的前n项和Sn可以通过以下公式进行计算：Sn = a * (r^n - 1) / (r - 1)这个公式也可以通过递推关系式的推导得出。
等比数列前n项和的计算在实际问题中具有重要的应用，可以帮助我们求解等比数列求和问题。
3. 等比数列的应用举例3.1 高度问题假设一个球从一定的高度往下落，每次反弹高度都是之前一次的一半。
如果求第n次反弹的高度，我们可以建立等比数列来描述这个过程。
首项为球的初始高度，公比为1/2，利用等比数列的通项公式即可求解。
3.2 利息问题在金融领域中，利息的计算经常涉及到等比数列。
例如，一笔钱每年按照固定的利率计算利息，那么每年的本金和利息的总额就构成了一个等比数列。
等比数列的性质含例题总结归纳
一、等比数列基本概念： 1. 等比数列的定义：()()*12,nn a q q n n N a -=≠≥∈0且，q 称为公比 2. 通项公式：()11110,0n nn n a a a q q A B a q A B q-===⋅⋅≠⋅≠， 首项：1a ；公比：q 注：当1q ≠时等比数列通项公式()1110n n nn a a a q q A B A B q-===⋅⋅≠是关于n 的带有系数的指数类函数，底数为公比q ，若11,n q a na ==则. 3. 等比中项(1) 如果,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2A ab =或A =注: 同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个(两个等比中项互为相反数(2) 数列{}n a 是等比数列⇔211n n n a a a -+=⋅ (11n n a a +-≠0)二、等比数列的性质：例 1. 在等比数列{}n a 中,320,2a q ==,求6,n a a例2. 等比数列{}n a ,121a a +=3,a +4a =9 则45a a += .例3.等比数列{}n a 中,910111264a a a a ⋅⋅⋅=则813a a ⋅= .例4. 在等比数列{}n a 中, 0n a >, 24a a +3546236a a a a +=, 则35a a +=例5. 如果数列{}n a 是等比数列, 那么( )A. 数列2{}n a 是等比数列B. 数列{2}n a是等比数列 C. 数列{lg }n a 是等比数列 D. 数列{}n na 是等比数列例. 已知四个实数中, 前三个数成等差数列, 后三个数成等比数列, 中间两数之积为16, 收尾两数之积为128-, 求这四个数.例6.等比数列{}n a 中, 154510,90,a a == 则60a = .例7.在等比数列{}n a 中, 12330a a a ++=789+120a a a +=,131415a a a ++=例8. 在等比数列{}n a 中, 3453a a a ⋅⋅=67824a a a ⋅⋅=,则91011a a a ⋅⋅=例. 已知{}n a 的前n 项和为n S , 且满足120(2)n n n a S S n -+⋅=≥, 112a =(1) 求证1{}nS 是等差数列 (2) 求{}n a 的通项公式.。
高中数学讲义：等比数列性质(含等差等比数列综合题)
等⽐数列性质一、基础知识1、定义：数列{}n a 从第二项开始，后项与前一项的比值为同一个常数()0q q ¹，则称{}n a 为等比数列，这个常数q 称为数列的公比注：非零常数列既可视为等差数列，也可视为1q =的等比数列，而常数列0,0,0,L 只是等差数列2、等比数列通项公式：11n n a a q-=×，也可以为：n mn m a a q-=×3、等比中项：若,,a b c 成等比数列，则b 称为,a c 的等比中项（1）若b 为,a c 的等比中项，则有2a bb ac b c=Þ=（2）若{}n a 为等比数列，则n N *"Î，1n a +均为2,n n a a +的等比中项（3）若{}n a 为等比数列，则有m n p q m n p q a a a a +=+Û=4、等比数列前n 项和公式：设数列{}n a 的前n 项和为n S 当1q =时，则{}n a 为常数列，所以1n S na =当1q ¹时，则()111n n a q S q-=-可变形为：()1111111n n n a q a a S q qq q -==----，设11ak q =-，可得：n n S k q k=×-5、由等比数列生成的新等比数列（1）在等比数列{}n a 中，等间距的抽取一些项组成的新数列仍为等比数列（2）已知等比数列{}{},n n a b ，则有①数列{}n ka （k 为常数）为等比数列②数列{}na l （l 为常数）为等比数列，特别的，当1l =-时，即1n a ìüíýîþ为等比数列③数列{}n n a b 为等比数列④数列{}n a 为等比数列6、相邻k 项和的比值与公比q 相关：设1212,m m m k n n n k S a a a T a a a ++++++=+++=+++L L ，则有：()()212212k m n mm m m k mkn n n k nn a q q q S a a a a q T a a a a a q q q -++++++++++++====++++++L L L L 特别的：若121222,,k k k k k k k a a a S a a a S S +++++=+++=-L L 2122332,k k k k k a a a S S +++++=-L L ，则232,,,k k k k k S S S S S --L 成等比数列7、等比数列的判定：（假设{}n a 不是常数列）（1）定义法（递推公式）：()1n na q n N a *+=Î（2）通项公式：n n a k q =×（指数类函数）（3）前n 项和公式：n n S kq k=-注：若()n n S kq m m k =-¹，则{}n a 是从第二项开始成等比关系（4）等比中项：对于n N *"Î，均有212n n n a a a ++=8、非常数等比数列{}n a 的前n 项和n S 与1n a ìüíýîþ前n 项和n T 的关系()111n n a q S q-=-，因为1n a ìüíýîþ是首项为11a ，公比为1q 的等比数列，所以有()1111111111111nn n n n n q a q q q T q a q q a q q-éùæö--êúç÷èøêú-ëû===---×()()1112111111n n n n n n a q a q q S a q T qq ----=×=--例1：已知等比数列{}n a 的公比为正数，且223951,2a a a a ==，则10a =________思路：因为2396a a a =，代入条件可得：22652a a =，因为0q >，所以65a =，q =所以810216a a q ==答案：16例2：已知{}n a 为等比数列，且374,16a a =-=-，则5a =（）A.64 B.64- C.8 D.8-思路一：由37,a a 可求出公比：4734a q a ==，可得22q =，所以253428a a q ==-×=-思路二：可联想到等比中项性质，可得253764a a a ==，则58a =±，由等比数列特征可得奇数项的符号相同，所以58a =-答案：D小炼有话说：思路二的解法尽管简单，但是要注意双解时要验证项是否符合等比数列特征。
等比数列的概念与性质
等比数列的概念与性质等比数列是数学中常见且重要的数列之一。
在等比数列中，每一项与它的前一项的比值都相等，这个比值称为公比。
本文将介绍等比数列的概念和性质，以及如何应用等比数列解决实际问题。
一、等比数列的概念等比数列是指数列中的每一项与它的前一项的比值都相等的数列。
简而言之，等比数列满足以下条件：1. 第一项 a_12. 公比 r根据上述条件，等比数列的通项公式可以表示为 a_n = a_1 * r^(n-1)，其中 n 为项数。
二、等比数列的性质等比数列具有以下性质：1. 公比的符号决定数列的性质- 当公比 r 大于 1 时，数列是递增的。
- 当公比 r 介于 0 和 1 之间时，数列是递减的。
2. 等比数列的前 n 项和- 当公比 r 不等于 1 时，等比数列的前 n 项和可以表示为 S_n =a_1 * (1 - r^n) / (1 - r)。
- 当公比 r 等于 1 时，等比数列的前 n 项和为 n * a_1。
3. 等比数列的无穷项和- 当公比 r 的绝对值小于 1 时，等比数列的无穷项和可以表示为 S = a_1 / (1 - r)。
- 当公比 r 的绝对值大于等于 1 时，等比数列的无穷项和不存在。
4. 等比数列的前 n 项平方和- 当公比 r 不等于 1 时，等比数列的前 n 项平方和可以表示为 S_n' = (a_1^2 * (1 - r^2n)) / (1 - r^2)。
- 当公比 r 等于 1 时，等比数列的前 n 项平方和为 n * a_1^2。
三、等比数列的应用举例等比数列广泛应用于实际问题的求解中。
以下是几个应用等比数列的例子：1. 存款问题假设某人每年将存款的一定比例保留，其余部分用于消费。
如果从第一年开始，每年的存款比上一年减少 20%，那么第 n 年的存款是多少？解：假设第一年的存款为 a_1，公比为 r = 1 - 20% = 0.8。
根据等比数列的通项公式 a_n = a_1 * r^(n-1)，可以得到第 n 年的存款为 a_n = a_1 * 0.8^(n-1)。
等比数列及其性质
等比数列及其性质等比数列是数学中经常出现的一种数列，它具有一些独特的性质和规律。
在本文中，我将介绍等比数列的概念、常见性质以及它在数学问题中的应用。
一、等比数列的定义及表示方法等比数列是指一个数列中，从第二项开始，每一项与前一项的比值都相等。
这个比值称为等比数列的公比，常用字母q表示。
用数学符号表示，一个等比数列可以写成：a，aq，aq^2，aq^3，...，其中a是首项，q是公比。
二、等比数列的性质1. 通项公式等比数列的通项公式表示了数列中任意一项与首项之间的关系，在求解等比数列问题时非常有用。
设等比数列的首项为a，公比为q，第n项为an，那么等比数列的通项公式为：an = a * q^(n-1)。
2. 前n项和等比数列的前n项和是指数列中前n项的和。
求解等比数列的前n 项和可以通过以下公式得到：Sn = a * (q^n - 1) / (q - 1)，其中Sn表示前n项和。
3. 公比的范围公比q的范围决定了等比数列的性质。
当-1 < q < 1时，等比数列的绝对值趋于0，这样的数列被称为收敛的。
当q大于1或小于-1时，等比数列的绝对值呈指数增长或指数衰减，这样的数列被称为发散的。
4. 等比数列的倍数关系在等比数列中，任意一项与其前一项的比值都等于公比q。
这意味着，一个等比数列中的任意一项都是它前一项乘以公比得到的。
这种倍数关系在数学问题中经常被应用到。
三、等比数列的应用等比数列的概念和性质在数学问题中有广泛的应用，下面以几个例子来说明：1. 货币利率问题假设我们有一笔存款，年利率为r，每年我们都将本金和利息再次存入银行，形成一个复利等比数列。
我们可以利用等比数列的公式和性质来计算多年后的本利和。
2. 音乐音调问题音乐中的音调通常是以等比数列的形式排列的，每个音调的频率与前一个音调的频率之比就是公比。
通过分析等比数列的性质，我们可以得出音调之间的倍数关系，帮助我们理解音乐的构成和演奏。
等比数列的性质
等比数列的性质等比数列是数学中常见的数列之一，它具有一些特殊的性质。
本文将系统地介绍等比数列的定义、性质和相关定理。
一、等比数列的定义等比数列是指一个数列中，从第二项起，每一项与它的前一项的比值都相等。
该比值称为公比，通常用字母q表示。
数列的通项公式如下：an = a1 * q^(n-1)其中，an表示数列的第n项，a1表示数列的首项，q表示公比。
二、等比数列的性质1. 多项式乘法等比数列中相邻两项的乘积等于数列中任意两项的乘积。
设该等比数列的第m项和第n项分别为am和an，则有以下关系：am * an = a(m+n-1)这个性质非常重要，可以用于解决一些等比数列的问题。
2. 通项公式根据等比数列的定义，可以推导出等比数列的通项公式。
设等比数列的首项为a1，公比为q，第n项为an，则有以下公式：an = a1 * q^(n-1)这个公式可以方便地计算等比数列的任意项。
3. 求和公式等比数列的前n项和可以用以下公式表示：Sn = a1 * (q^n - 1) / (q - 1)其中，Sn表示前n项的和。
这个公式是通过将等比数列展开后的有限项求和得到的。
三、等比数列的相关定理1. 等比数列的乘积定理等比数列的所有项的乘积等于首项的n次幂乘以公比的n次幂。
设该等比数列的首项为a1，公比为q，一共有n项，则有以下公式：a1 * a2 * ... * an = a1^n * q^(n(n-1)/2)这个定理可以用于求解等比数列所有项的乘积，或者根据已知条件求解等比数列的首项或公比。
2. 等比数列的倒数定理等比数列的倒数也是一个等比数列，且公比为倒数。
设该等比数列的首项为a1，公比为q，则有以下公式：1/a1, 1/a2, ..., 1/an = 1/(a1 * q^(n-1))这个定理在一些数学推导和证明中经常用到。
四、应用举例1. 求等比数列的第n项根据等比数列的通项公式an = a1 * q^(n-1)，可以直接计算出等比数列的第n项。
高中数学《等比数列的应用及性质》知识点讲解及重点练习
第2课时 等比数列的应用及性质学习目标 1.理解复利计算方法，能解决存款利息的有关计算方法.2.通过建立数列模型并应用数列模型解决生活中的实际问题. 3.理解等比数列的常用性质.4.掌握等比数列的判断及证明方法．知识点一 实际应用题常见的数列模型1．储蓄的复利公式：本金为a 元，每期利率为r ，存期为n 期，则本利和y ＝a (1＋r )n .2．总产值模型：基数为N ，平均增长率为p ，期数为n ， 则总产值y ＝ N (1 ＋ p )n .知识点二 等比数列的常用性质设数列{a n }为等比数列，则：(1)若k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ·a l ＝a m ·a n .(2)若m ，p ，n 成等差数列，则a m ，a p ，a n 成等比数列．(3)在等比数列{a n }中，连续取相邻k 项的和(或积)构成公比为q k (或2k q )的等比数列．(4)若{a n }是等比数列，公比为q ，则数列{λa n }(λ≠0)，{1a n}，{a 2n }都是等比数列，且公比分别是q ，1q，q 2.(5)若{a n }，{b n }是项数相同的等比数列，公比分别是p 和q ，那么{a n b n }与{a n b n}也都是等比数列，公比分别为pq 和pq.1．某细菌培养过程中，每15分钟分裂1次，经过2小时，这种细菌由1个繁殖成( )A ．64 B ．128 C ．256 D ．255答案 C解析 某细菌培养过程中，每15分钟分裂1次，经过2小时，共分裂8次，所以经过2小时，这种细菌由1个繁殖成28＝256.2．已知{a n }，{b n }都是等比数列，那么( )A ．{a n ＋b n }，{a n b n }都一定是等比数列B ．{a n ＋b n }一定是等比数列，但{a n b n }不一定是等比数列C ．{a n ＋b n }不一定是等比数列，但{a n b n }一定是等比数列D ．{a n ＋b n }，{a n b n }都不一定是等比数列答案 C解析 当两个数列都是等比数列时，这两个数列的和不一定是等比数列，比如取两个数列是互为相反数的数列，两者的和就不是等比数列．两个等比数列的积一定是等比数列．3．某储蓄所计划从2018年底起，力争做到每年的吸蓄量比前一年增加8%，则到2021年底该储蓄所的吸蓄量比2018年的吸蓄量增加( )A ．24% B ．32%C ．1.083－1 D ．1.084－1答案 C解析 设2018年储蓄量为a ，根据等比数列通项公式得2019年储蓄量为a (1＋0.08)＝1.08a ，2020年储蓄量为a (1＋0.08)(1＋0.08)＝1.082a ，2021年储蓄量为a (1＋0.08)(1＋0.08)(1＋0.08)＝1.083a ，所以2021年底该储蓄所的吸蓄量比2018年的吸蓄量增加了1.083a －aa＝1.083－1.4．已知等比数列{a n }共有10项，其中奇数项之积为2，偶数项之积为64，则其公比是( )A.32 B.2 C ．2 D ．22答案 C解析 奇数项之积为2，偶数项之积为64，得a 1a 3a 5a 7a 9＝2，a 2a 4a 6a 8a 10＝64，则a 2a 4a 6a 8a 10a 1a 3a 5a 7a 9＝q 5＝32，则q ＝2.一、数列的实际应用例1 某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值．(1)用一个式子表示n (n ∈N *)年后这辆车的价值；(2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？解 (1)从第一年起，每年车的价值(万元)依次设为：a 1，a 2，a 3，…，a n ，由题意，得a 1＝13.5，a 2＝13.5(1－10%)，a 3＝13.5(1－10%)2，….由等比数列的定义，知数列{a n }是等比数列，首项a 1＝13.5，公比q ＝1－10%＝0.9，∴a n ＝a 1·q n －1＝13.5×0.9n －1.∴n 年后车的价值为a n ＋1＝(13.5×0.9n )万元．(2)由(1)得a5＝a1·q4＝13.5×0.94≈8.9(万元)，∴用满4年时卖掉这辆车，大概能得到8.9万元．反思感悟 等比数列实际应用问题的关键是：建立数学模型即将实际问题转化成等比数列的问题，解数学模型即解等比数列问题．跟踪训练1 有纯酒精a(a>1)升，从中取出1升，再用水加满，然后再取出1升，再用水加满，如此反复进行，则第九次和第十次共取出纯酒精________升．答案 (1－1a)8(2－1a)解析 由题意可知，取出的纯酒精数量是一个以1为首项，1－1a为公比的等比数列，即：第一次取出的纯酒精为1升，第二次取出的为1－1a(升)，第三次取出的为(1－1a)2升，…，第n次取出的纯酒精为(1－1a)n－1升，则第九次和第十次共取出纯酒精数量为a9＋a10＝(1－1a)8＋(1－1a)9＝(1－1a)8(2－1a)(升)．二、等比数列的性质及其应用例2 已知{a n}为等比数列．(1)等比数列{a n}满足a2a4＝12，求a1a23a5；(2)若a n>0，a5a7＋2a6a8＋a6a10＝49，求a6＋a8；(3)若a n>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值．解 (1)在等比数列{a n}中，∵a2a4＝1 2，∴a23＝a1a5＝a2a4＝1 2，∴a1a23a5＝1 4 .(2)由等比中项，化简条件得a26＋2a6a8＋a28＝49，即(a6＋a8)2＝49，∵a n>0，∴a6＋a8＝7.(3)由等比数列的性质知a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9，∴log3a1＋log3a2＋...＋log3a10＝log3(a1a2.. (10)＝log3[(a1a10)(a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6)]＝log395＝10.反思感悟 利用等比数列的性质解题(1)基本思路：充分发挥项的“下标”的指导作用，分析等比数列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题．(2)优缺点：简便快捷，但是适用面窄，有一定的思维含量．跟踪训练2 (1)公比为32的等比数列{a n}的各项都是正数，且a3a11＝16，则log2a16等于( ) A．4 B．5 C．6 D．7答案 B解析 因为a3a11＝16，所以a27＝16.又因为a n>0，所以a7＝4，所以a16＝a7q9＝32，即log2a16＝5.(2)已知在各项均为正数的等比数列{a n}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6＝________.答案 52解析 方法一 因为{a n}是等比数列，所以a1a7＝a24，a2a8＝a25，a3a9＝a26.所以a24·a25·a26＝(a1a7)·(a2a8)·(a3a9)＝(a1a2a3)·(a7a8a9)＝5×10＝50.因为a n>0，所以a4a5a6＝52.方法二 因为a1a2a3＝(a1a3)a2＝a2·a2＝a32＝5，所以a2＝1 3 5.因为a7a8a9＝(a7a9)a8＝a38＝10，所以a8＝13 10.同理a 4a 5a 6＝a 35＝()()3111332233222528=510=50a a a ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭三、等比数列的判定与证明例3 已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n ＝2a n ＋n －4.(1)求a 1的值；(2)若b n ＝a n －1，试证明数列{b n }为等比数列．(1)解 因为S n ＝2a n ＋n －4，所以当n ＝1时，S 1＝2a 1＋1－4，解得a 1＝3.(2)证明 因为S n ＝2a n ＋n －4，所以当n ≥2时，S n －1＝2a n －1＋n －1－4，S n －S n －1＝(2a n ＋n －4)－(2a n －1＋n －5)，即a n ＝2a n －1－1，所以a n －1＝2(a n －1－1)，又b n ＝a n －1，所以b n ＝2b n －1，且b 1＝a 1－1＝2≠0，所以数列{b n }是以2为首项，2为公比的等比数列．反思感悟 判断一个数列是等比数列的常用方法(1)定义法：若数列{a n }满足a n ＋1a n ＝q (n ∈N *，q 为常数且不为零)或a na n －1＝q (n ≥2，且n ∈N *，q为常数且不为零)，则数列{a n }是等比数列．(2)通项公式法：若数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1q n －1(a 1≠0，q ≠0)，则数列{a n }是等比数列．(3)等比中项法：若a 2n ＋1＝a n a n ＋2(n ∈N *且a n ≠0)，则数列{a n }为等比数列．(4)构造法：在条件中出现a n ＋1＝ka n ＋b 关系时，往往构造数列，方法是把a n ＋1＋x ＝k (a n ＋x )与a n ＋1＝ka n ＋b 对照，求出x 即可．跟踪训练3 (1)已知各项均不为0的数列{a n }中，a 1，a 2，a 3成等差数列，a 2，a 3，a 4成等比数列，a 3，a 4，a 5的倒数成等差数列，证明：a 1，a 3，a 5成等比数列．证明 由已知，有2a 2＝a 1＋a 3，①a 23＝a 2·a 4，②2a 4＝1a 3＋1a 5.③由③得2a 4＝a 3＋a 5a 3·a 5，∴a 4＝2a 3·a 5a 3＋a 5.④由①得a 2＝a 1＋a 32.⑤将④⑤代入②，得a 23＝a 1＋a 32·2a 3·a 5a 3＋a5.∴a 3＝(a 1＋a 3)a 5a 3＋a 5，即a 3(a 3＋a 5)＝a 5(a 1＋a 3)．化简，得a 23＝a 1·a 5.又a 1，a 3，a 5均不为0，∴a 1，a 3，a 5成等比数列．(2)已知数列{a n }是首项为2，公差为－1的等差数列，令b n ＝1,2na ⎛⎫⎪⎝⎭求证数列{b n }是等比数列，并求其通项公式．解 依题意a n ＝2＋(n －1)×(－1)＝3－n ，于是b n ＝(12)3－n .而b n ＋1bn ＝(12)2－n(12)3－n＝(12)－1＝2.∴数列{b n }是首项为14，公比为2的等比数列，通项公式为b n ＝14·2n －1＝2n －3.1．在等比数列{a n }中，若a 1<0，a 2＝18，a 4＝8，则公比q 等于( )A.32 B.23 C ．－23 D.23或－23答案 C解析 因为a 4＝a 2·q 2，所以q 2＝a 4a 2＝818＝49.又因为a 1<0，a 2>0，所以q<0.所以q＝－2 3 .2．在等比数列{a n}中，若a2a3a6a9a10＝32，则a29a12的值为( ) A．4 B．2 C．－2 D．－4答案 B解析 由a2a3a6a9a10＝(a2a10)·(a3a9)·a6＝a56＝32＝25，得a6＝2，则a29a12＝a6a12a12＝a6＝2.3．已知各项均为正数的等比数列{a n}中，lg(a3a8a13)＝6，则a1·a15的值为( ) A．100 B．－100C．10 000 D．－10 000答案 C解析 ∵lg(a3a8a13)＝lg a38＝6，∴a38＝106，∴a8＝102＝100.∴a1a15＝a28＝10 000.4．(多选)在等比数列{a n}中，3a1，12a3,2a2成等差数列，则a2 020－a2 021a2 018－a2 019等于( )A．－3 B．－1 C．1 D．9答案 CD解析 由3a1，12a3,2a2成等差数列可得a3＝3a1＋2a2，即a1q2＝3a1＋2a1q，∵a1≠0，∴q2－2q－3＝0.解得q＝3或q＝－1.∴a2 020－a2 021a2 018－a2 019＝a2 020(1－q)a2 018(1－q)＝a2 020a2 018＝q2＝9或1.5．某工厂2020年1月的生产总值为a万元，计划从2020年2月起，每月生产总值比上一个月增长m%，那么到2021年8月底该厂的生产总值为_____________万元．答案 a(1＋m%)19解析 设从2020年1月开始，第n个月该厂的生产总值是a n万元，则a n＋1＝a n＋a n m%，∴a n＋1a n＝1＋m%.∴数列{a n}是首项a1＝a，公比q＝1＋m%的等比数列．∴a n＝a(1＋m%)n－1.∴2021年8月底该厂的生产总值为a 20＝a (1＋m %)20－1＝a (1＋m %)19(万元)．1．知识清单：(1)等比数列的实际应用．(2)等比数列的常用性质．(3)等比数列的判定和证明．2．方法归纳：方程和函数思想．3．常见误区：不注重运用性质，使解题过程烦琐或者性质运用不正确而出错．1．已知等比数列{a n }，a 1＝1，a 3＝19，则a 5等于( )A ．±181B ．－181 C.181 D ．±12答案 C解析 根据等比数列的性质可知a 1a 5＝a 23⇒a 5＝a 23a1＝181.2．在等比数列{a n }中，a 2a 3a 4＝1，a 6a 7a 8＝64，则a 5等于( )A ．2 B ．－2 C ．±2 D ．4答案 A解析 由等比数列的性质可得，a 2a 3a 4＝a 3＝1，a 6a 7a 8＝a 37＝64，∴a 3＝1，a 7＝4，∴a 25＝a 3a 7＝4，易知a 5与a 3和a 7同号，∴a 5＝2.3．设各项均为正数的等比数列{a n }满足a 4a 8＝3a 7，则log 3(a 1a 2·…·a 9)等于( )A ．38 B ．39 C ．9 D ．7答案 C解析 因为a 4a 8＝a 5a 7＝3a 7且a 7≠0，所以a 5＝3，所以log 3(a 1a 2·…·a 9)＝log 3a 95＝log 339＝9.4．已知等比数列{a n }的公比q ＝－13，则a 1＋a 3＋a 5＋a 7a 2＋a 4＋a 6＋a 8等于( )A ．－13B ．－3 C.13 D ．3答案 B解析 因为a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝q (a 1＋a 3＋a 5＋a 7)，所以a 1＋a 3＋a 5＋a 7a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝1q＝－3.5．(多选)设{a n }是等比数列，有下列四个命题，其中正确的是( )A ．{a 2n }是等比数列B ．{a n a n ＋1}是等比数列C.{1a n}是等比数列D ．{lg|a n |}是等比数列答案 ABC解析 由{a n }是等比数列可得a na n －1＝q (q 为定值，n >1)．A 中，a 2na2n －1＝(a n a n －1)2＝q 2为常数，故A 正确；B 中，a n a n ＋1a n －1a n ＝a n ＋1a n －1＝q 2，故B 正确；C 中，1a n 1an －1＝a n －1a n ＝1q 为常数，故C 正确；D 中，lg|a n |lg|a n －1|不一定为常数，故D 错误．6．已知在等比数列{a n }中，a 3＝3，a 10＝384，则该数列的通项公式a n ＝________.答案 3×2n －3解析 由已知得a 10＝a 3·q 7＝3·q 7＝384，所以q 7＝128＝27，故q ＝2.所以a n ＝a 3·q n －3＝3×2n －3.7．已知数列{a n }为等比数列，且a 3＋a 5＝π，则a 4(a 2＋2a 4＋a 6)＝________.答案 π2解析 因为数列{a n }为等比数列，且a 3＋a 5＝π，所以a 4(a 2＋2a 4＋a 6)＝a 4a 2＋2a 24＋a 4a 6＝a 23＋2a 3a 5＋a 25＝(a3＋a5)2＝π2.8．在数列{a n}中，a2＝32，a3＝73，且b n＝na n＋1，若{b n}是等比数列，则数列{b n}的公比是________，a n＝________.答案 2 2n－1 n解析 因为在数列{a n}中，a2＝32，a3＝73，且数列{na n＋1}是等比数列，2a2＋1＝3＋1＝4,3a3＋1＝7＋1＝8，所以数列{na n＋1}是首项为2，公比为2的等比数列，所以na n＋1＝2n，解得a n＝2n－1 n.9．已知数列{a n}是等比数列，a3＋a7＝20，a1a9＝64，求a11的值．解 ∵{a n}为等比数列，∴a1·a9＝a3·a7＝64.又∵a3＋a7＝20，∴a3＝4，a7＝16或a3＝16，a7＝4.①当a3＝4，a7＝16时，a7a3＝q4＝4，此时a11＝a3q8＝4×42＝64.②当a3＝16，a7＝4时，a7a3＝q4＝14，此时a11＝a3q8＝16×(14)2＝1.10．已知数列{a n}为等比数列．(1)若a n>0，且a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，求a3＋a5的值；(2)若数列{a n}的前三项和为168，a2－a5＝42，求a5，a7的等比中项．解 (1)∵a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，∴a23＋2a3a5＋a25＝36，即(a3＋a5)2＝36，又∵a n>0，∴a3＋a5＝6.(2)设等比数列{a n}的公比为q，∵a2－a5＝42，∴q≠1.由已知，得Error!∴Error!解得Error!若G是a5，a7的等比中项，则有G2＝a5·a7＝a1q4·a1q6＝a21q10＝962×(12)10＝9，∴a5，a7的等比中项为±3.11．设{a n}是首项为a1，公差为－1的等差数列，S n为其前n项和．若S1，S2，S4成等比数列，则a1等于( )A．2 B．－2C.12D．－12答案 D解析 因为{a n}是首项为a1，公差为－1的等差数列，所以S n＝na1＋12n·(n－1)·(－1)，由S1，S2，S4成等比数列可知S2＝S1·S4，代入可得(2a1－1)2＝a1·(4a1－6)，解得a1＝－1 2 .12．等比数列{a n}是递减数列，前n项的积为T n，若T13＝4T9，则a8a15等于( ) A．±2 B．±4 C．2 D．4答案 C解析 ∵T13＝4T9，∴a1a2...a9a10a11a12a13＝4a1a2 (9)∴a10a11a12a13＝4.又∵a10·a13＝a11·a12＝a8·a15，∴(a8·a15)2＝4，∴a8a15＝±2.又∵{a n}为递减数列，∴q>0，∴a8a15＝2.13．在等比数列{a n}中，若a7＝－2，则此数列的前13项之积等于________．答案 －213解析 由于{a n}是等比数列，∴a1a13＝a2a12＝a3a11＝a4a10＝a5a9＝a6a8＝a27，∴a1a2a3…a13＝(a27)6·a7＝a137，而a7＝－2.∴a 1a 2a 3…a 13＝(－2)13＝－213.14．已知等比数列{a n }满足a 2a 5＝2a 3，且a 4，54，2a 7成等差数列，则a 1a 2a 3·…·a n 的最大值为________．答案 1 024解析 因为等比数列{a n }满足a 2a 5＝2a 3，且a 4，54，2a 7成等差数列，所以Error!解得a 1＝16，q ＝12，所以a n ＝16×(12)n －1＝25－n ，所以a 1a 2a 3·…·a n ＝24＋3＋2＋…＋(5－n )＝2922,n n-+所以当n ＝4或n ＝5时，a 1a 2a 3·…·a n 取最大值，且最大值为210＝1 024.15．在等比数列{a n }中，若a 7a 11＝6，a 4＋a 14＝5，则a 20a 10＝________.答案 23或32解析 ∵{a n }是等比数列，∴a 7·a 11＝a 4·a 14＝6，又a 4＋a 14＝5，∴Error!或Error!∵a 14a 4＝q 10，∴q 10＝32或q 10＝23.而a 20a 10＝q 10，∴a 20a 10＝23或32.16．设关于x 的二次方程a n x 2－a n ＋1x ＋1＝0(n ＝1,2,3，…)有两根α和β，且满足6α－2αβ＋6β＝3.(1)试用a n 表示a n ＋1；(2)求证：{a n －23}是等比数列；(3)当a 1＝76时，求数列{a n }的通项公式．(1)解 根据根与系数的关系，得Error!代入题设条件6(α＋β)－2αβ＝3，得6a n ＋1a n －2a n ＝3.所以a n ＋1＝12a n ＋13.(2)证明 因为a n ＋1＝12a n ＋13，所以a n ＋1－23＝12(a n －23).若a n ＝23，则方程a n x 2－a n ＋1x ＋1＝0，可化为23x 2－23x ＋1＝0，即2x 2－2x ＋3＝0.此时Δ＝(－2)2－4×2×3<0，所以a n ≠23，即a n －23≠0.所以数列{a n －23}是以12为公比的等比数列．(3)解 当a 1＝76时， a 1－23＝12，所以数列{a n －23}是首项为12，公比为12的等比数列．所以a n －23＝12×(12)n －1＝(12)n ，所以a n ＝23＋(12)n ，n ∈N *即数列{a n }的通项公式为a n ＝23＋(12)n ，n ∈N *.。
高一数学辅导讲义5---等差等比数列的性质
高一数学辅导讲义----等差、等比数列的性质【知识点归纳】一、等差数列的性质：1、等和性：在等差数列{}n a 中若m n p q +=+则m n p q a a a a +=+ 推论：若2m n p +=则2m np a a a +=；2n k n k n a a a +-+=12132n n n a a a a a a --+=+=+=⋅⋅⋅即：首尾颠倒相加，则和相等2、在等差数列{}n a 中，对任意m ，n N +∈，()n m a a n m d =+-，n ma a d n m-=-()m n ≠； 3、等差数列中连续m 项的和，组成的新数列是等差数列。
即：232,,,m mm m m s s s s s --⋅⋅⋅等差，公差为2m d 则有323()m m m s s s =-4、从等差数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等差数列。
例如：14710,,,,a a a a ⋅⋅⋅ 二、等比数列的性质：1、等积性：等比数列{}n a 若q p n m +=+则m n p q a a a a ⋅=⋅推论：若p n m 2=+则2()m n p a a a ⋅=；2()n kn k n a a a +-⋅=12132n n n a a a a a a --⋅=⋅=⋅=⋅⋅⋅即：首尾颠倒相乘，则积相等2、等比数列任意两项间的关系：如果n a 是等比数列的第n 项，m a 是等差数列的第m 项，且n m ≤，公比为q ，则有mn m n q a a -=3、等比数列中连续项的和，组成的新数列是等比数列。
即：232,,,m mm m m s s s s s --⋅⋅⋅等比，公比为m q 。
4、从等比数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等比数列。
如：14710,,,,a a a a ⋅⋅⋅ 三、等差数列前n 项和的最值问题：1、若等差数列{}n a 的首项10a >，公差0d <，则前n 项和n S 有最大值。
等比数列的概念与性质
等比数列的概念与性质等比数列是数学中常见的数列类型之一，它的概念与性质对于我们理解数列和解决相关问题非常重要。
本文将详细介绍等比数列的定义、性质和应用，帮助读者全面了解和掌握等比数列。
一、等比数列的定义在了解等比数列的性质之前，我们首先需要明确什么是等比数列。
等比数列是指一个数列中的每一项与它的前一项的比等于一个常数。
这个常数叫作公比，通常用字母q表示。
如果一个等比数列的首项为a₁，公比为q，那么它的第n项可以表示为：an = a₁ * q^(n-1)，其中n为项数。
例如，数列1，2，4，8，16就是一个等比数列，其中首项为1，公比为2，第5项为16。
二、等比数列的性质等比数列有很多有趣的性质，它们有助于我们进一步理解和运用等比数列。
1. 公比与项的关系：在等比数列中，如果公比大于1，那么随着项数的增加，数列的值也会越来越大；如果公比小于1，那么数列的值则会越来越小。
2. 前n项和：等比数列的前n项和可以通过以下公式计算：Sn = a₁(1 - q^n)/(1 - q)，其中Sn表示前n项和。
3. 最值性质：若公比0<q<1，则等比数列的值随着项数的增加而趋近于0；若公比q>1，则等比数列的值随着项数的增加而趋向正无穷。
4. 无穷性质：当公比的绝对值小于1时，等比数列的项数趋向无穷大时的极限值为0；当公比的绝对值大于1时，等比数列的项数趋向无穷大时的极限值不存在。
三、等比数列的应用等比数列在各种实际问题中都有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 财务领域：等比数列常被用于计算复利问题，例如计算银行定期存款的本息和。
2. 自然科学：等比数列可用于表示一些自然现象，例如细胞分裂、病毒传播等。
3. 计算机科学：在计算机科学中，等比数列常用于算法的时间复杂度分析中。
4. 经济学和市场分析：等比数列可以用于描述市场的增长或衰退趋势，对于经济预测和决策非常有帮助。
总结：通过本文对等比数列的概念、性质和应用的介绍，我们对等比数列有了更深入的理解。
50 等比数列性质(含等差等比数列综合题)
② 数列
an
（
为常数）为等比数列，特别的，当
1 时，即
1
为等比数列
an
③ 数列anbn 为等比数列
④ 数列 an 为等比数列
6、相邻 k 项和的比值与公比 q 相关：
设 S am1 am2 amk ,T an1 an2 ank ，则有：
S T
am 1 an 1
公差的等差数列。于是 Cn Cn1 en bn ，故数列{Cn Cn1} 也是等差乘等比型数列。
定理 2：若数列{Cn} 的通项公式为 Cn an bn 其中数列{an}是公差为 d 的等差数列，数列{bn}是
公比为 q （ q 1）的等比数列，则存在一等差数列{xn} 使 an bn xnbn xn1bn1 ，其中等差数
N
，均有
a2 n 1
an an 2
-1-
8、非常数等比数列an 的前 n 项和 Sn
与
1 an
前
n
项和
Tn
的关系
Sn
a1
1 qn 1 q
1
1
1
，因为 是首项为
，公比为 的等比数列，所以有
an
a1
q
Tn
1 a1
1 1 qn1来自1 qqn 1qn
a1
q
1 q
qn 1
a1qn1 q 1
7、等比数列的判定：（假设an 不是常数列）
（1）定义法（递推公式）： an1 q n N an
（2）通项公式： an k qn （指数类函数）
（3）前 n 项和公式： Sn kqn k
注：若 Sn kqn m m k ，则an 是从第二项开始成等比关系
（4）等比中项：对于 n
高中数学讲义微专题51 等差等比数列综合问题
微专题51 等差等比数列综合问题一、基础知识：1、等差数列性质与等比数列性质：2、等差数列与等比数列的互化：（1）若{}n a 为等差数列，0,1c c >≠，则{}n a c 成等比数列证明：设{}n a 的公差为d ，则11n n n n a a a da c c c c ++-==为一个常数所以{}n a c 成等比数列（2）若{}n a 为正项等比数列，0,1c c >≠，则{}log c n a 成等差数列证明：设{}n a 的公比为q ，则11log log log log n c n c n c c na a a q a ++-==为常数所以{}log c n a 成等差数列二、典型例题：例1：已知等比数列{}n a 中，若1324,,2a a a 成等差数列，则公比q =（ ）A. 1B. 1-或2C. 2D. 1-例2：已知{}n a 是等差数列，且公差d 不为零，其前n 项和是n S ，若348,,a a a 成等比数列，则（）A. 140,0a d dS >>B. 140,0a d dS <<C. 140,0a d dS ><D. 140,0a d dS <>例3：已知等比数列{}n a 中的各项均为正数，且510119122a a a a e +=，则1220ln ln ln a a a +++=_______________例4：三个数成等比数列，其乘积为512，如果第一个数与第三个数各减2，则成等差数列，则这三个数为___________例5：设{}n a 是等差数列，{}n b 为等比数列，其公比1q ≠，且()01,2,3,,i b i n >=，若111111,a b a b ==，则有（ ）A. 66a b =B. 66a b >C. 66a b <D. 66a b >或66a b <例6：数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，{}n b 是等差数列，且67a b =，则有（ ）A. 39410a a b b +<+B. 39410a a b b +≥+C. 39410a a b b +≠+D. 39a a +与410b b +的大小不确定例7：设数列{}n a 是以2为首项，1为公差的等差数列，{}n b 是以1为首项，2为公比的等比数列，则1210b b b a a a +++=（ ）A. 1033B. 2057C. 1034D. 2058例8：设1271a a a =≤≤≤，其中1357,,,a a a a 成公比为q 的等比数列，246,,a a a 成公差为1的等差数列，则q 的最小值是___________例9：已知等差数列{}n a 的公差0d >，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 是公比为q 的正整数，前n 项和为n T ，若211,a d b d ==，且222123123a a a b b b ++++是正整数，则298S T 等于（ ） A. 4517 B. 27017 C. 9017D. 13517 例10：2n 个正数排成n 行n 列（如表），其中每行数都成等差数列，每列数都成等比数列，且所有的公比都相同，已知124243131,,816a a a ===，则32a =_______，1122nn a a a +++=___________。
2021高中数学_第50炼 等比数列性质(含等差等比数列综合题)
第50炼等比数列性质一、基础知识1、 定义：数列｛。
〃｝从第二项开始，后项与前一项的比值为同一个常数0（0主0）,则称｛%｝为 等比数列，这个常数q 称为数列的公比注：非零常数列既可视为等差数列,也可视为0 = 1的等比数列，而常数列0,0,0,…只是等差 数列2、 等比数列通项公式：。
〃="0〃二也可以为：。
〃=《〃・0‘或3、等比中项：若gc 成等比数列，则Z?称为a,c 的等比中项 （1） 若b 为。
,c 的等比中项，则有一=一=>屏=如b c（2） 若｛。
〃｝为等比数列，则N*,Q 〃+I 均为。
〃，。
，心的等比中项 （3） 若｛%｝为等比数列，则有m + n = p + q<^> a tn a n = a p a q 4、等比数列前〃项和公式：设数列｛。
〃｝的前〃项和为5〃 当0 = 1时，则｛%｝为常数列，所以S 〃 = na ｛ 当时,则）1 — 05、由等比数列生成的新等比数列（1）在等比数列｛%｝中,等间距的抽取一些项组成的新数列仍为等比数列 （2）己知等比数列｛%｝,｛"｝,则有可变形为：s n =-旨=六矿-土T 设卜斜T 可得:①数列｛ka,] （k为常数）为等比数列②数列｛%｝（人为常数）为等比数列,特别的，当4=-1时，即]，，为等比数列③数列｛。
力〃｝为等比数列④数列｛|。
〃|｝为等比数列6、相邻&项和的比值与公比0相关:设 S =。
〃,+] + a fn+2 + ・・・ + Q 〃i+k, T =。
〃+] + a n+2 + ・・・ + Q 〃+k ，则有：£ = %E +%2+ ••• + %& = EW+ ..• + #） = % =勺…T 。
睥+%+2+ ・・・ + %』 。
〃（0 +寸+ ・・・ + #） a fl特别的：若。
]+。
2 + --------- 。
人—S&,Q R + ] + 练+2 + ••• + Sk = S^k _ Sk ，a2k+l +% + 2 +••• + %* =-，2号…，则 - SkS- S*…成等比数列7、等比数列的判定：（假设｛%｝不是常数列）（2）通项公式：a n =k-q n（指数类函数） （3） 前〃项和公式：S, = kq 〃一 k注：若S 〃 = kq n-m （m^k ）^\｛a n ｝是从第二项开始成等比关系 （4） 等比中项:对于 \/neN*,均< a^+i = a n a n+28、非常数等比数列｛%｝的前〃项和S 〃与\ — \前〃项和7；的关系d __（知矿 =q, -11C*.幻1 %qi （q-l ）q 1q例1：已知等比数列｛%｝的公比为正数，且。
数列微专题2 等比数列性质(含等差等比数列综合题)
微专题50 等比数列性质一、基础知识1、定义：数列{}n a 从第二项开始，后项与前一项的比值为同一个常数()0q q ≠，则称{}n a 为等比数列，这个常数q 称为数列的公比注：非零常数列既可视为等差数列，也可视为1q =的等比数列，而常数列0,0,0,L 只是等差数列2、等比数列通项公式：11n n a a q -=⋅，也可以为：n m n m a a q -=⋅3、等比中项：若,,a b c 成等比数列，则b 称为,a c 的等比中项 （1）若b 为,a c 的等比中项，则有2a bb ac b c=⇒= （2）若{}n a 为等比数列，则n N *∀∈，1n a +均为2,n n a a +的等比中项 （3）若{}n a 为等比数列，则有m n p q m n p q a a a a +=+⇔= 4、等比数列前n 项和公式：设数列{}n a 的前n 项和为n S 当1q =时，则{}n a 为常数列，所以1n S na = 当1q ≠时，则()111n n a q S q-=-可变形为：()1111111n n n a q a aS q qq q -==----，设11a k q =-，可得：n n S k q k =⋅-5、由等比数列生成的新等比数列（1）在等比数列{}n a 中，等间距的抽取一些项组成的新数列仍为等比数列 （2）已知等比数列{}{},n n a b ，则有 ① 数列{}n ka （k 为常数）为等比数列② 数列{}n a λ（λ为常数）为等比数列，特别的，当1λ=-时，即1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列③ 数列{}n n a b 为等比数列 ④ 数列{}n a 为等比数列6、相邻k 项和的比值与公比q 相关：设1212,m m m k n n n k S a a a T a a a ++++++=+++=+++L L ，则有：()()212212km n mm m m k m k n n n k nn a q q q S a a a a q T a a a a a q q q -++++++++++++====++++++L L L L 特别的：若121222,,k k k k k k k a a a S a a a S S +++++=+++=-L L2122332,k k k k k a a a S S +++++=-L L ，则232,,,k k k k k S S S S S --L 成等比数列7、等比数列的判定：（假设{}n a 不是常数列） （1）定义法（递推公式）：()1n na q n N a *+=∈ （2）通项公式：nn a k q =⋅（指数类函数） （3）前n 项和公式：nn S kq k =-注：若()nn S kq m m k =-≠，则{}n a 是从第二项开始成等比关系（4）等比中项：对于n N *∀∈，均有212n n n a a a ++=8、非常数等比数列{}n a 的前n 项和n S 与1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和n T 的关系 ()111n n a q S q-=-，因为1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为11a ，公比为1q 的等比数列，所以有()1111111111111nn n nn n q a q q q T q a q q a qq-⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥-⎣⎦===---⋅ ()()1112111111n n n n n n a q a q q S a q T q q ----=⋅=-- 例1：已知等比数列{}n a 的公比为正数，且223951,2a a a a ==，则10a =________思路：因为2396a a a =，代入条件可得：22652a a =，因为0q >，所以65a =，q =所以810216a a q ==例2：已知{}n a 为等比数列，且374,16a a =-=-，则5a =（ ） A. 64 B. 64- C. 8 D. 8- 思路一：由37,a a 可求出公比：4734a q a ==，可得22q =，所以253428a a q ==-⋅=- 思路二：可联想到等比中项性质，可得253764a a a ==，则58a =±，由等比数列特征可得奇数项的符号相同，所以58a =- 答案：D小炼有话说：思路二的解法尽管简单，但是要注意双解时要验证项是否符合等比数列特征。
等比数列的性质-高中数学知识点讲解
等比数列的性质1．等比数列的性质【等比数列】（又名几何数列），是一种特殊数列．如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这2个数列就叫做等比数列，因为第二项与第一项的比和第三项与第二项的比相等，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示．注：时，为常数列．q （q 0）q＝1 an等比数列和等差数列一样，也有一些通项公式：①第项的通项公式，＝，这里a 为首项，q 为公比，n a a q n﹣1n 1 1푎1(1―푞푛)我们发现这个通项公式其实就是指数函数上孤立的点．②求和公式，S =n，表示的是前面项的n1―푞和．③若m n＝q p ，且都为正整数，那么有a •a ＝a •a ．m n p q例：成等比数列，则＝．2，x，y，z，18 y解：由成等比数列，设其公比为，2，x，y，z，18 q4则，解得，18＝2q q2＝32∴．y＝2q ＝23＝6故答案为：．6本题的解法主要是运用了等比数列第项的通项公式，这也是一个常用的方法，即知道某两项的值然后求出公比，n继而可以以已知项为首项，求出其余的项．关键是对公式的掌握，方法就是待定系数法．【等比数列的性质】（1）通项公式的推广：＝，（，）．a a q ﹣n m N*•n mn m*（2）若{a n}为等比数列，且，则k l＝m n，（k，l，m，n N ） a •a＝a •ak l m n（3）若{ }{ }（项数相同）是等比数列，则 a a a b ，仍是等比数列．a ，b {（} 0），，{•}n n n n n푎1＞0푎1＜0푎1＞0푎1＜0 （4）单调性：{푞＞1或{0＜푞＜1是递增数列；{0＜푞＜1或{{a } {a } q＝1 {a }푞＞1是递减数列；是 n n n 常数列；是摆动数列．q＜0 {a }n1/ 1。
等比数列的性质
等比数列的性质等比数列是指一个数列中，从第二项起，每一项都是前一项乘以同一个常数。
我将在本文中探讨等比数列的性质和相关概念。
一、定义和表示对于等比数列a，常数比为q，第一项为a₁，我们可以表示这个数列为：a₁, a₁q, a₁q², a₁q³, ...二、通项公式等比数列的通项公式可以表示为：aₙ = a₁ * q^(n-1)，其中aₙ表示第n项，a₁代表第一项。
三、公比的性质1. 若q>1，则等比数列是递增的。
由于q>1，所以每一项都比前一项大，数列呈递增趋势。
2. 若0＜q＜1，则等比数列是递减的。
因为0＜q＜1，所以每一项都比前一项小，数列呈递减趋势。
3. 若q=1，则等比数列是常数列。
当q=1时，每一项都等于前一项，数列中的每一项都相等。
四、公比的绝对值1. 若|q|>1，则数列的绝对值逐项增大，但不会无穷增大。
由于|q|>1，所以每一项的绝对值都比前一项的绝对值大，但不会无穷增大。
2. 若0＜|q|＜1，则数列的绝对值逐项减小，并接近于零。
因为0＜|q|＜1，所以每一项的绝对值都比前一项的绝对值小，并逐渐趋近于零。
五、常用性质1. 等比数列的前n项和等比数列的前n项和可以表示为：Sₙ = a₁ * (1 - q^n) / (1 - q)，其中Sₙ为前n项和。
2. 等比数列的无穷项和若-1＜q＜1，等比数列的无穷项和可以表示为：S∞ = a₁/ (1 - q)，其中S∞为无穷项和。
六、实例分析我们举一个实例来验证等比数列的性质。
假设有一个等比数列的首项为2，公比为3/4。
我们来计算一下该数列的前5项和。
首先，根据通项公式，我们可以得到这个数列的前5项为：a₁ = 2a₂ = 2 * (3/4) = 3/2a₃ = 2 * (3/4)² = 9/8a₄ = 2 * (3/4)³ = 27/16a₅ = 2 * (3/4)⁴ = 81/32然后，根据前n项和的公式，我们可以计算前5项的和：S₅ = (2 - (3/4)⁵) / (1 - 3/4)= (1024/1024 - 243/1024) / (4/4 - 3/4)= (781/1024) / (1/4)= 3124/1024= 781/256所以，该等比数列的前5项和为781/256。
高中数学讲义等比数列的性质
等比数列的性质【知识要点】1. 等比数列的性质（1）{}n a 成等比数列，若q p n m +=+，则q p n m a a a a ⋅=⋅（其中*∈N q p n m ,,,）. （2）若*∈N n m ,，则n m n m q a a -⋅=；（3）若{}n a ，{}n b 成等比数列，则{}{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅n n n n n b a b a ka ,,也成等比数列.（4）若公比为q ，则⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1是以q 1为公比的等比数列；（5）有n 3项的等比数列，前n 项和、中间n 项和、后n 项和也构成等比数列．（6）在等比数列中，当10,1a q >>或10,01<<<q a 时，等比数列是递增的；当10,01<<>q a 或1,01><q a 时，等比数列是递减的．（7）有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项积相等，并且等于首末两项之积，特别地，若项数为奇数，还等于中间项的平方，即12131n n n a a a a a a a --⋅=⋅=⋅==2中. （8）若k p n m k p n m a a a a a a a a k p n m N k p n m ,,,,,,,,,其中则且⋅=⋅+=+∈*是数列中的项，特别地，当p n m 2=+时，有2m n p a a a ⋅=.类似于等差数列，在使用该性质时，不仅应注意等式两边下标和相等，也应要求等式两边作积的项数应是一样多的．（9）在等比数列中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等比数列．一个等比数列的奇数项，仍组成一个等比数列，新公比是原公比的二次幂，一个等比数列的偶数项，也组成一个等比数列，新公比是原公比的二次幂．（10）等比数列{}n a n 前项和（均不为零）构成等比数列，即 ,,,232n n n n n S S S S S --构成等比数列且公比为n q .（11）前n 项和公式，一定要分11≠=q q 与两种情况.【典例分析】例1.设{}n a 是公比为q 的等比数列，n S 使它的前n 项和，若{}n S 是等差数列，则q = .例2.已知{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，其公比为1≠q ，且(),,,3,2,10n i b i =>若111111,b a b a ==，则（ ）（A ）66b a = （B ）66b a > （C ）66b a < （D ）6666b a b a <>或例3.在等比数列{}n a 中，若,30,341551=-=+a a a a 若则3a 等于 （ ） A.8 B.-8 C.8± D.16例4.在等比数列{}n a 中，设前n 项的和为n S ，则()n n n n n S S S y S S x 32222,+=+=的大小关系是（ ）A.y x >B. y x =C. y x < D .不确定例5.数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且对任意自然数n 总有()1n n S p a =-().1,0≠≠p p p 为常数，且（1） 求数列{}n a 的通项公式；（2） 数列{}n b 中，()p b a b a q q n b n 求，且有是常数,,22211<=+=的取值范围.例6.n a a a ,,,21 为各项都大于零的等比数列，公比为1≠q ，则 （ ） A.5481a a a a +>+ B.5481a a a a +<+C.5481a a a a +=+D. 的大小不确定与5481a a a a ++ 例7.在等比数列{}n a 中，已知5127=a a ，则=111098a a a a .例8.在等比数列{}n a 中，已知3000,4,31>==n s q a 则使的最小自然数=n . 例9.设{}n a 为等比数列，(),21121n n n a a a n na T +++-+=- 已知4,121==T T . （1）求数列{}n a 的首项和公比； （2）求数列{}n T 的通项公式.例10.已知数列{}n a ，[()]nn n a 12---=求10S ，若求99S 呢？【经典练习】1.若数列n a 是等比数列，下列命题正确的个数为 （ ）n n a a 22,是等比数列；ln n a 成等差数列；n na a ,1成等比数列； ()0,≠±k k a ca n n 成等比数列A.5B.4C.3D.22.若{}n a 是等比数列，且252,0645342=⋅+⋅+->a a a a a a a n ，那么53a a +的值等于 （ ） A.1 B.5 C.10 D.153.已知{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，其公比为1≠q ，且()111111,,3,2,10b a b a n i b i ===>若 ，则（ ） A. 66b a = B. 66b a > C. 66b a < D. 66b a >或66b a <4.已知某数列前n 项和为3n ，且前n 个偶数项的和为()342+n n ，则前n 个奇数项的和为（ ）A .()132+-n nB .()342-n nC .23n - D.321n5.在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若5631323109,log log a a a log a a ⋅=+++=则（ ）A.12B.10C.8D.5log 23+6.已知正项等比数列{}n a 的项数为偶数，它的所有项之和等于它的偶数项之和的4倍，第二项与第四项之积是第三项与第四项之和的9倍，求使数列{}n a lg 的前n 项和最大的n 的值.7.数列{}n a 的前n 项和记为n S ，已知() ,3,2,12,111=+==+n S nn a a n n ，证明： （Ⅰ）数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 是等比数列（Ⅱ）n n a S 41=+8.在等比数列{}n a 中，()*+∈<==+N n a a a a a a n n 14361,32,33且. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若n n a a a T lg lg lg 21+++= ，求n T 的最大值及此时n 的值．9.若公比为c 的等比数列{}n a 的首项,11=a 且满足() ,4,3221=+=--n a a a n n n . （Ⅰ）求c 的值；（Ⅱ）求数列{}n na 的前n 项和n S .10.已知{}n a 是公比为q 的等比数列，且231,,a a a 成等差数列． （Ⅰ）求q 的值；（Ⅱ）设{}n b 是以2为首项，q 为公差的等差数列，其前n 项和为n s ．当2≥n 时，比较n S 与n b 的大小，并说明理由．11.已知一个等比数列的首项为1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求这个数列的公比和项数．。
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微专题50 等比数列性质一、基础知识1、定义：数列{}n a 从第二项开始，后项与前一项的比值为同一个常数()0q q ≠，则称{}n a 为等比数列，这个常数q 称为数列的公比注：非零常数列既可视为等差数列，也可视为1q =的等比数列，而常数列0,0,0,只是等差数列2、等比数列通项公式：11n n a a q -=⋅，也可以为：n m n m a a q -=⋅3、等比中项：若,,a b c 成等比数列，则b 称为,a c 的等比中项 （1）若b 为,a c 的等比中项，则有2a bb ac b c=⇒= （2）若{}n a 为等比数列，则n N *∀∈，1n a +均为2,n n a a +的等比中项 （3）若{}n a 为等比数列，则有m n p q m n p q a a a a +=+⇔= 4、等比数列前n 项和公式：设数列{}n a 的前n 项和为n S 当1q =时，则{}n a 为常数列，所以1n S na = 当1q ≠时，则()111n n a q S q-=-可变形为：()1111111n n n a q a aS q qq q -==----，设11a k q =-，可得：n n S k q k =⋅-5、由等比数列生成的新等比数列（1）在等比数列{}n a 中，等间距的抽取一些项组成的新数列仍为等比数列 （2）已知等比数列{}{},n n a b ，则有 ① 数列{}n ka （k 为常数）为等比数列② 数列{}n a λ（λ为常数）为等比数列，特别的，当1λ=-时，即1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列③ 数列{}n n a b 为等比数列 ④ 数列{}n a 为等比数列6、相邻k 项和的比值与公比q 相关： 设1212,m m m k n n n k S a a a T a a a ++++++=+++=+++，则有：()()212212k m n m m m m k mk n n n k nn a q q q S a a a a q T a a a a a q q q -++++++++++++====++++++ 特别的：若121222,,k k k k k k k a a a S a a a S S +++++=+++=-2122332,k k k k k a a a S S +++++=-，则232,,,k k k k k S S S S S --成等比数列7、等比数列的判定：（假设{}n a 不是常数列） （1）定义法（递推公式）：()1n na q n N a *+=∈ （2）通项公式：nn a k q =⋅（指数类函数） （3）前n 项和公式：nn S kq k =-注：若()nn S kq m m k =-≠，则{}n a 是从第二项开始成等比关系（4）等比中项：对于n N *∀∈，均有212n n n a a a ++=8、非常数等比数列{}n a 的前n 项和n S 与1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和n T 的关系 ()111n n a q S q-=-，因为1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为11a ，公比为1q 的等比数列，所以有()1111111111111nn n nn n q a q q q T q a q q a qq-⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥-⎣⎦===---⋅ ()()1112111111n n n n n n a q a q q S a q T q q ----=⋅=-- 例1：已知等比数列{}n a 的公比为正数，且223951,2a a a a ==，则10a =________ 思路：因为2396a a a =，代入条件可得：22652a a =，因为0q >，所以65a =，q =所以810216a a q ==例2：已知{}n a 为等比数列，且374,16a a =-=-，则5a =（ ） A. 64 B. 64- C. 8 D. 8- 思路一：由37,a a 可求出公比：4734a q a ==，可得22q =，所以253428a a q ==-⋅=- 思路二：可联想到等比中项性质，可得253764a a a ==，则58a =±，由等比数列特征可得奇数项的符号相同，所以58a =- 答案：D小炼有话说：思路二的解法尽管简单，但是要注意双解时要验证项是否符合等比数列特征。
例3：已知等比数列n a 的前n 项和为121n n S t -=⋅+，则实数t 的值为（ ）A. 2-B. 1-C. 2D. 0.5思路：由等比数列的结论可知：非常数列的等比数列，其前n 项和为nn S kq k =-的形式，所以121212n n n t S t -=⋅+=⋅+，即122tt =-⇒=- 答案：A例4：设等比数列{}n a 的前n 项和记为n S ，若105:1:2S S =，则155:S S =（ ） A.34 B. 23 C. 12 D. 13思路：由()111n n a q S q-=-可得：()()1051110511,11a q a q S S qq--==--，可发现只有分子中q 的指数幂不同，所以作商消去1a 后即可解出q ，进而可计算出155:S S 的值解：()()1051110511,11a q a q S S qq--==--105105511112S q q S q -∴==+=-，解得：512q =- 所以()()315151155551191111328311141122a q S q q S q q a q ⎛⎫-- ⎪---⎝⎭=⋅====--⎛⎫--- ⎪⎝⎭例5：已知数列{}n a 为等比数列，若4610a a +=，则()713392a a a a a ++的值为（ ） A. 10 B. 20 C. 100 D. 200思路：与条件4610a a +=联系，可将所求表达式向46,a a 靠拢，从而()()22271339717339446646222a a a a a a a a a a a a a a a a a ++=++=++=+，即所求表达式的值为100 答案：C例6：已知等比数列{}n a 中31a =，则其前5项的和5S 的取值范围是（ ） A. [)1,+∞ B. 5,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C. [)5,+∞D. ()[),05,-∞+∞思路：条件中仅有3a ，所以考虑其他项向3a 靠拢，所以有22233533322111111a a S a a q a q q q q q q q q q q q ⎛⎫⎛⎫=++++=++++=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再求出其值域即可解：2233512345533322111a a S a a a a a S a a q a q q q q q q q=++++==++++=++++ 2111q q q q ⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设1t q q =+，所以(][),22,t ∈-∞-+∞22515124S t t t ⎛⎫∴=+-=-- ⎪⎝⎭ [)51,S ∴∈+∞答案：A例7：已知数列{}n a 是首项不为零的等比数列，且公比大于0，那么“1q >”是“数列{}n a 是递增数列”的（ ）A. 充要条件B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件思路：在等比数列中，数列的增减受到1a 的符号，与q 的影响。
所以在考虑反例时可从这两点入手。
将条件转为命题：“若1q >，则数列{}n a 是递增数列”，如果10a <，则{}n a 是递减数列，所以命题不成立；再看“若数列{}n a 是递增数列，则1q >”，同理，如果10a <，则要求()0,1q ∈，所以命题也不成立。
综上，“1q >”是“数列{}n a 是递增数列”的既不充分也不必要条件 答案：D例8：在等比数列{}n a 中，若123423159,88a a a a a a +++==-，则12341111a a a a +++=（ ） A.53 B. 53- C. 35 D. 35- 解：条件与结论分别是{}n a 的前4项和与倒数和，所以考虑设41234412341111,S a a a a T a a a a =+++=+++，则()()232411123498S a q a q a q a a T ==⋅==- 所以445938S T ==-- 答案：B例9：已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且3122a a a =+，则910111278910a a a a a a a a +++=+++（ ）A.1+B. 1C. 3+D. 3-思路：所求分式中的分子和分母为相邻4项和，则两式的比值与q 相关，所以需要求出q 。
由条件3122a a a =+，将等式中的项均用1,a q 即可求出q 。
从而解得表达式的值 解：1321,,22a a a 成等差数列 3121222a a a ∴⋅=+ 将23121,a a q a a q ==代入等式可得：221112210a q a a q q q=+⇒--=212q ±∴==±{}n a 为正项数列，所以1q =- 1q ∴=+()()(232929101112237891071131a q q q a a a a q a a a a a q q q ++++++∴===+=+++++++答案：C例10：在正项等比数列{}n a 中，5671,32a a a =+=，则满足1212n na a a a a a +++>⋅⋅⋅的最大正整数n 的值为____________思路：从已知条件入手可求得n a 通项公式：62n n a -=，从而所满足的不等式可变形为关于n的不等式：21152212n nn -+->，由2 的指数幂特点可得：()22212,,n m n m m n N n m *>⇔->∈>，所以只需21110222n n n -+>，从而解出n 的最大值解：设{}n a 的公比为q ，则有2675533a a a q a q +=⇒+=211322q q ∴+=解得：3q =-（舍）或2q = 5652n n n a a q --∴==()()112211212132n nn a a a a -+++==-- ()()()1154621222n n n n a a a --+-++-⋅⋅⋅==所以所解不等式为：()()21111522121221232n n n nnn --+->⇔->21110222111022131002nn nn n n n n -+-+∴>⇔>⇔-+<可解得：0n <<n N *∈ n ∴的最大值为12答案：12三、历年好题精选（等差等比数列综合）1、已知正项等比数列{}n a 满足54325a a a a +--=，则67a a +的最小值为（） A. 32 B. 10+ C. 20 D. 28 2、已知等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，其前n 项和为n S ，若直线1y a x =与圆()2224x y -+=的两个交点关于直线0x y d ++=对称，则5S =（ ）A. 25B. 25-C. 15-D. 153、（2016，内江四模）若d c b a ,,,成等比数列，则下列三个数：①d c c b b a +++,, ②cd bc ab ,, ③d c c b b a ---,,，必成等比数列的个数为（ ）A.0B.1C.2D.3 4、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足150S >，160S <，则11S a ，22S a ，…，1515S a 中最大的项为（ ） A.66S a B.77S a C.99S a D.88Sa 5、（2016，新余一中模拟）已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且1313,,a a a 成等比数列，若11a =，n S 为数列{}n a 前n 项和，则2163n n S a ++的最小值为（ ）A. 3B. 4C.2 D. 926、（2015，北京）设{}n a 是等差数列，下列结论中正确的是（ ）A. 若120a a +>，则230a a +>B. 若130a a +<，则120a a +<C. 若120a a <<，则2a >D. 若10a <，则()()21230a a a a -->7、（2015，广东）在等差数列{}n a 中，若3456725a a a a a ++++=，则28a a +=______ 8、（2014，北京）若等差数列{}n a 满足7897100,0a a a a a ++>+<，则当n =______时，{}n a 的前n 项和最大9、（2015，福建）若,a b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>>的两不同零点，且,,2a b -这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q +的值等于（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 910、已知{}n a 是等差数列，公差0d ≠，其前n 项和为n S ，若348,,a a a 成等比数列，则（ ） A. 140,0a d dS >> B. 140,0a d dS << C. 140,0a d dS >< D. 140,0a d dS <>11、（2014，广东）若等比数列{}n a 各项均为正数，且510119122a a a a e +=，则12、（2014，安徽）数列{}n a 是等差数列，若1351,3,5a a a +++构成公比为q 的等比数列，则q =_______13、（2014，新课标全国卷I ）已知数列{}n a 的前n 项和为1,1,0n n S a a =≠，11n n n a a S λ+=-，其中λ为常数（1）证明：2n n a a λ+-=（2）是否存在λ，使得{}n a 为等差数列？并说明理由14、（2016，河南中原第一次联考）已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3737S S +=，则31119a a +=（ ）A. 47B. 73C. 37D. 74 15、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足15160,0S S ><，则12151215,,,S S S a a a 中最大的项为（ ） A.77S a B. 66S a C. 99S a D. 88S a 16、（2014，湖北）已知等差数列{}n a 满足：12a =，且125,,a a a 成等比数列 （1）求数列{}n a 的通项公式（2）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，是否存在正整数n ，使得60800?n S n >+若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由习题答案： 1、答案：C解析：设等比数列的公比为q ，由已知可得1q >，则有()()2543232515a a a a q aa +--=⇒-+=，所以()4426732225151105102011q a a q a a q q q ⎡⎤+=+==-++≥⋅+=⎢⎥--⎣⎦，等号成立当且仅当()22111q q q -=⇒=-2、答案：C解析：由交点对称可知：① 交点所在直线与0x y d ++=垂直，所以11a =；② 直线0x y d ++=为圆上弦的中垂线，所以该直线过圆心，由圆方程可得圆心坐标：()2,0，代入可得：2d =-，所以()1132n a a n d n =+-=-，515S =- 3、答案：B解析：本题从“等比数列中不含0项”入手，不妨设d c b a ,,,的公比为q ，可得①中若公比1q =-，则无法构成等比数列，同理③中若1q =，则无法构成等比数列；对于②可知均能构成公比为2q 的等比数列 4、答案：D 解析：15881689901500000S a a S a a a >⇒>⇒>⎧⎨<⇒+<⇒<⎩，可得在{}n a 中，10,0a d ><且8S 最大。