2.2.1.1 椭圆标准方程20111124

焦点为F 焦点为 1 (-c,0) 、F2 (c,0)， ， a2 =b2 +c2
2
2
y x + 2 =1(a > b > 0) 2 a b
焦点为F 焦点为 1 (0,-c)、 F2 (0,c) 、 a2 =b2 +c2
2
2
椭 的 准 程 圆 标 方
x y 1.焦 在 轴上 2 + 2 =1 点 x ; a b
y
P M
因为点 P ( x , y ) 在圆 x + y = 上, 所以 x + y = .
x
O
D
x
()
图 . −
把 x = x, y = y 代入方程 ( ) , 得 x + y = ,
即 + y = . 所以点 M的轨迹是一个椭圆 .
相关点代入法. 相关点代入法 思考 从例 2 你能发现椭圆与圆之间的关系吗 ?
2 2
x y 2.焦 在 轴 点 y 上 2 + 2 =1. b a
2
2
a = b +c , F F = 2c, a > b > 0. 1 2
2 2 2
y
P
b
F 1
a
O
c
F 2
x
几点说明： 几点说明： 1.标准方程中的两个参数 和b，确定了椭圆的形状与大小， 标准方程中的两个参数a和 ，确定了椭圆的形状与大小， 标准方程中的两个参数 它们是椭圆的固有属性，与坐标系的选择无关， 它们是椭圆的固有属性，与坐标系的选择无关，是椭圆的 定形条件； 定形条件； ２．椭圆的方程与选择坐标系有关，任何一个椭圆，只 椭圆的方程与选择坐标系有关，任何一个椭圆， 要选择适当的坐标系，其方程都可以化为标准形式． 要选择适当的坐标系，其方程都可以化为标准形式．当 且仅当椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上时， 且仅当椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上时，椭 圆的方程才具有标准形式 标准形式； 圆的方程才具有标准形式； 是椭圆的定位条件，它决定椭圆标准方程的类型； ３．焦点F１,F２是椭圆的定位条件，它决定椭圆标准方程的类型； 焦点
3
x
2
2
例 2 B、 C是两个定点 , BC = 6, ∆ABC 的周长等于 16， 求顶点 A的轨迹方程 .
y
A
解 : 如图建立坐标系 , O为 BC 中点
B
O
C
x
AB + AC = 16 − 6 = 10
∴ 点 A的轨迹是椭圆
∴2a = 10, ∴ a = 5 ,
∵2c = 6
∴c = 3. ∴ b 2 = a 2 − c 2 = 16
y
M
•
F1
•
O
F2
x
∴ (x +c)2 + y2 + (x −c)2 + y2 = 2a.
∴ (x +c) + y + (x −c) + y = 2a
2 2 2 2
(x + c)2 + y2 = 2a − (x − c)2 + y2
(x+c)2 +y2 =4a2 −4a (x−c)2 +y2 +(x−c)2 +y2
2 2
点 运 . 们 以 M为 段 的 点 到 M M 动我 可 由 线 PD 中 得 点 与 P坐 之 的 系 ,并 点P的 标 足 点 标 间 关 式 由 坐 满 圆 的 程 到 M的 标 满 的 程 方 得 点 坐 所 足 方 .
解 设点 M 的坐标为 ( x, y ) , y0 点 P 的坐标为 ( x0 , y0 ) , 则 x = x0 , y = . 2
5.一动圆与已知圆O1 : ( x + 3) 2 + y 2 = 1外切，与圆O2 : ( x − 3) 2 + y 2 = 81 内切，试求动圆圆心M 的轨迹方程.
y
MA = r + 1 MB = 9 − r ∴ MA + MB = 10
C
M
•
A•
x2 y2 ∴ + =1. 25 16
D
−3
o
B •
根据椭圆的定义,我们如何求椭圆的方程呢 二.根据椭圆的定义 我们如何求椭圆的方程呢？ 根据椭圆的定义 我们如何求椭圆的方程呢？ 解：建立如图所示直角坐标系， 建立如图所示直角坐标系， 为椭圆上任一点, 设M (x,y)为椭圆上任一点 为椭圆上任一点 |F1F2| ＝2c,常数为 常数为2a, (2a>2c) 常数为 则F1 (-c,0) 、F2 (c,0)， ， |MF1| ＋ |MF2| ＝2a,
椭圆是常见的图形，如：汽车油罐的横截 椭圆是常见的图形， 立体几何中圆的直观图，天体中， 面，立体几何中圆的直观图，天体中，行 星绕太阳运行的轨道等等 ．
椭 圆 及 标 方 (I ) 其 准 程
2.2.1椭圆及其标准方程 一、椭圆的定义： 椭圆的定义： 平面内与两个定点F 平面内与两个定点 1 、F2 的距离的和等于常数 大于|F 椭圆(ellipse). （大于 1 F2 |）的点的轨迹叫做椭圆 ）的点的轨迹叫做椭圆 其中F 称为焦点 焦点， 数 2 其中 1 、F2称为焦点，常 用 a表 . 示 |F1F2|称为焦距（一般用 表示）. 称为焦距 表示） 称为焦距（一般用2c表示 说明: 注意定义中的大于 大于|F 说明 注意定义中的大于 1 F2 |,即2a>2c. 即 (1)若常数等于 1 F2 |,则其轨迹为线段 1 F2 ; 若常数等于|F 则其轨迹为线段F 若常数等于 则其轨迹为线段 (2) 若常数小于 1 F2 |,则其轨迹不存在 若常数小于|F 则其轨迹不存在. 则其轨迹不存在
问题：取一根没有弹性的细绳 两端固定在图板上 两端固定在图板上,中 问题：取一根没有弹性的细绳,两端固定在图板上 中 间松驰,用铅笔尖把绳子拉紧 用铅笔尖把绳子拉紧,使笔尖在图板上慢慢移 间松驰 用铅笔尖把绳子拉紧 使笔尖在图板上慢慢移 看看笔尖会画出一个什么样的图形?动手作一作 动,看看笔尖会画出一个什么样的图形 动手作一作 看看笔尖会画出一个什么样的图形 动手作一作!
解：
∵2a =10, 2c = 8, ∴a = 5, c = 4.
∴b = a −c = 9,
2 2 2
所以所求椭圆的标准方程为 ∴
2 2 2
x y y x + =1 或 + = 1. 25 9 25 9
2
3 5 (2) 焦点(0, −2)、 2), 椭圆过点P ( − , ). (0, 2 2
x y 解:因 椭 焦 在 轴 所 设 圆 程 为 圆 点 y , 以 椭 方 为 2 + 2 =1 b a
2 2 2 2
x y 2 2 2 ⇔ 2 + 2 =1(b =a −c ) a b
2
2
x y + 2 =1(a > b > 0) 2 a b
称为椭圆的标准方程. 称为椭圆的标准方程 标准方程
2
2
@小结标准方 小结标准方 程的构成特 点：
它表示焦点在x轴上，焦点为 它表示焦点在 轴上，焦点为F1 (-c,0) 、F2 轴上 (c,0) 的椭圆的标准方程 (a 2 = c 2 + b 2 ) 的椭圆的标准方程.
x2 y2 1.焦 在 轴上 2 + 2 =1 点 x ; a b
b
F 1
a c
F 2
O
x
x2 y2 2.焦 在 轴 点 y 上 2 + 2 =1. b a
a = b +c , F F = 2c, a > b > 0. 1 2
2 2 2
练习： 页 ， ， 练习：42页1，2，3 作业：49页1，2（作业本） 作业： 页 ， （作业本） 第二教材31-32页当堂 课后 页当堂+课后 第二教材 页当堂
2
2
由 圆 义 ：2a = PF + PF 椭 定 知 1 2
32 3 32 5 2 2 = ( ) + ( + 2) + ( ) + ( − 2) = 2 10 2 2 2 2
∴a = 10 , 又c = 2 ∴b = a −c = 6,
2 2 2
所求椭圆的标准方程为
y x + = 1. 10 6
x2 y 2 x2 y2 ４．弄清楚如何判断两标准方程 2 + 2 = 1 和 a 2 + b 2 = 1 b a
(a>b>0)中焦点的位置？ 中焦点的位置？ 中焦点的位置 ５．椭圆的标准方程的一般式：Ax2 +By2 =1（A>0,B>0,且A≠B) 椭圆的标准方程的一般式： （ 且
例题巩固
例 1 求椭圆标准方程 : (1) 两焦点之间的距离为8, 椭圆上一点P到两焦点距离之和等于 10.
、 当焦点在y轴上时， 焦点为F 当焦点在 轴上时， 焦点为 1 (0,-c)、 F2 (0,c) 轴上时 椭圆的方程为
y F2 x M F1
y2 x2 + 2 = 1(a > b > 0) 2 a b
也是椭圆的标准方程. 也是椭圆的标准方程 请对比它们的异同： 请对比它们的异同：
x y + 2 =1(a > b > 0) 2 a b
x2 y2 4.已知椭圆 2 + 2 = 1(a > b > 0), M 为椭圆上一动点, a b F1为椭圆的左焦点, 则线段MF1的中点P的轨迹是( A. 圆 B. 椭圆 C. 线段
B) D. 抛物线的一段
1 PF1 + PO = ( MF1 + MF2 ) = a 2