【华普教育】2015年安徽省高三第二次高考模拟考试数学理试题(扫描版)
2015年安徽省示范高中高考一模数学试卷(理科)【解析版】
2015年安徽省示范高中高考数学一模试卷(理科)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.)1.(5分)设i是虚数单位,z表示复数z的共轭复数,z+=2,z•=2,则z 的虚部是()A.1B.±i C.±1D.﹣12.(5分)双曲线x2﹣3y2=﹣1的渐近线的倾斜角为()A.B.C.或D.或3.(5分)若x,y满足,则z=y﹣x的最大值为()A.2B.﹣2C.1D.﹣14.(5分)已知m,n为不同的直线,α,β为不同的平面,则下列说法正确的是()A.m⊂α,n∥m⇒n∥αB.m⊂α,n⊥m⇒n⊥αC.m⊂α,n⊂β,m∥n⇒α∥βD.n⊂β,n⊥α⇒α⊥β5.(5分)执行如图所示的程序框图,输出的k的值为()A.2B.3C.4D.56.(5分)“0<k<9”是“曲线﹣=1与曲线﹣=1的焦距相同”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.(5分)函数y=f′(x)的图象如图所示,则关于函数y=f(x)的说法正确的是( )A .函数y =f (x )有3个极值点B .函数y =f (x )在区间(﹣∞,﹣4)单调递减C .函数y =f (x )在区间(﹣2,+∞)单调递增D .x =1时函数y =f (x )取极大值8.(5分)某产品的广告费用x 万元与销售额y 万元的统计数据如下表:根据上表可得回归方程=bx +a 中b 为9.4,据此模型预报广告费用为6万元时,销售额为65.5,则a ,m 为( )A .a =9.1,m =54B .a =9.1,m =53C .a =9.4,m =52D .a =9.2,m =54 9.(5分)为了得到函数f (x )=cos (2x +)的图象,只要把函数g (x )=f ′(x )的图象( ) A .向左平行移动个单位长度 B .向右平行移动个单位长度 C .向左平行移动个单位长度 D .向右平行移动个单位长度10.(5分)已知集合M ={(x ,y )|f (x ,y )=0},若对任意P 1(x 1,y 1)∈M ,均不存在P 2(x 2,y 2)∈M 使得x 1x 2+y 1y 2=0成立,则称集合M 为“好集合”,下列集合为“好集合”的是( ) A .M ={(x ,y )|y ﹣lnx =0}B .M ={(x ,y )|y ﹣x 2﹣1=0}C .M ={(x ,y )|(x ﹣2)2+y 2﹣2=0}D .M ={(x ,y )|x 2﹣2y 2﹣1=0}二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.11.(5分)以平面直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位,直线l的参数方程为(t 为参数),曲线C的极坐标方程为p=2cosθ,则t与C公共点的个数为.12.(5分)(x2+)6的展开式中常数项是.(用数字作答)13.(5分)直线x=1与抛物线y2=4x围成图形的面积是.14.(5分)在△ABC中,已知||2=(+)•,则=.15.(5分)已知数列A:a1,a2,a3,…,a n(0≤a1<a2<a3<…<a n,n≥3,n∈N*)具有性质P:对任意的i,j(1≤i≤j≤n,i,j∈N*),a j+a i与a j﹣a i两数中至少有一个是数列A中的项,现下列命题正确的是:.(写出所有正确答案的序号)①数列A:0,1,3与数列B:0,2,4,6都具有性质P;②a1=0;③2(a1+a2+a3+…+a n)=na n;④当n=5时,a1,a2,a3,a4,a5成等差数列.三、解答:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(12分)一档电视闯关节目规定:三人参加,三人同时闯关成功为一等奖,资金为2000元,三人中有两人闯关成功为二等奖,资金为1000元,三人中有一人闯关成功为三等奖,资金为400元,其它情况不得奖,现有甲乙丙三人参加此活动,甲乙闯关成功的概率都为,丙闯关成功的概率为,三人闯关相互独立.(Ⅰ)求得一等奖的概率;(Ⅱ)求得资金的数学期望.17.(12分)如图,直角三角形ABC中,∠ACB=90°,AB=2BC=4,D、E 分别为AC、AB边的中点.将△ADE沿DF折起,使二面角A﹣DE﹣C的余弦值为,求:(Ⅰ)四棱锥A﹣BCDE的体积;(Ⅱ)二面角A﹣BE﹣C的余弦值.18.(12分)三角形ABC中,角A,B,C所对的边为a,b,c且+=2.(Ⅰ)求A;(Ⅱ)若a=2,求三角形ABC周长l的最大值.19.(12分)数列{a n}是公比为的等比数列,且1﹣a2是a1与1+a3的等比中项,前n项和为S n,数列{b n}是等差数列,b1=8,前n项和T n满足T n=nλ•b n+1(λ为常数,且λ≠1).(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式及λ的值;(Ⅱ)令∁n=++…+,求证:∁n≤S n.20.(13分)已知椭圆E1:+=1,E2:+=2,过E1上第一象限上一点P作E1的切线,交于E2于A,B两点.(Ⅰ)已知x2+y2=r2上一点P(x0,y0),则过点P(x0,y0)的切线方程为xx0+yy0=r2.类比此结论,写出椭圆+=1在其上一点P(x0,y0)的切线方程,并证明;(Ⅱ)求证:|AP|=|BP|.21.(14分)已知函数f(x)=﹣lnx++(1﹣a)x+2.(Ⅰ)当a>0时,求函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)若0<x<1,求证:f(1+x)<f(1﹣x);(Ⅲ)若A(x1,y1),B(x2,y2)为函数y=f(x)的图象上的两点,记k为直线AB的斜率,若x0=,f′(x)为f(x)的导函数,求证:f′(x0)>k.2015年安徽省示范高中高考数学一模试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.)1.(5分)设i是虚数单位,z表示复数z的共轭复数,z+=2,z•=2,则z 的虚部是()A.1B.±i C.±1D.﹣1【解答】解:设z=a+bi(a,b∈R),则,由,得a=1,由z•=2,得a2+b2=2,∴b=±1.∴z的虚部是±1.故选:C.2.(5分)双曲线x2﹣3y2=﹣1的渐近线的倾斜角为()A.B.C.或D.或【解答】解:双曲线x2﹣3y2=﹣1的渐近线方程为:y=,渐近线的斜率为:,所以双曲线x2﹣3y2=﹣1的渐近线的倾斜角为或.故选:D.3.(5分)若x,y满足,则z=y﹣x的最大值为()A.2B.﹣2C.1D.﹣1【解答】解:由约束条件作可行域如图,化目标函数z=y﹣x为y=x+z,由图可知,最优解为B(0,2),∴z的最大值为:2﹣0=2.故选:A.4.(5分)已知m,n为不同的直线,α,β为不同的平面,则下列说法正确的是()A.m⊂α,n∥m⇒n∥αB.m⊂α,n⊥m⇒n⊥αC.m⊂α,n⊂β,m∥n⇒α∥βD.n⊂β,n⊥α⇒α⊥β【解答】解:在A选项中,可能有n⊂α,故A错误;在B选项中,可能有n⊂α,故B错误;在C选项中,两平面有可能相交,故C错误;在D选项中,由平面与平面垂直的判定定理得D正确.故选:D.5.(5分)执行如图所示的程序框图,输出的k的值为()A.2B.3C.4D.5【解答】解:执行程序框图,可知k=0时coxA<sin A=1;满足条件;k=1时cos A=sin A;满足条件;k=2时cos A<sin A;满足条件;k=3时cos A<sin A;满足条件;K=4时cos A>sin A;不满足条件,退出循环,输出k的值为4.故选:C.6.(5分)“0<k<9”是“曲线﹣=1与曲线﹣=1的焦距相同”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解答】解:当0<k<9时,曲线﹣=1的焦距为2,曲线﹣=1的焦距为相同.当k=0 时,曲线﹣=1与曲线﹣=1的焦距相同为.因此“0<k<9”是“曲线﹣=1与曲线﹣=1的焦距相同”的充分不必要条件.故选:A.7.(5分)函数y=f′(x)的图象如图所示,则关于函数y=f(x)的说法正确的是()A.函数y=f(x)有3个极值点B.函数y=f(x)在区间(﹣∞,﹣4)单调递减C.函数y=f(x)在区间(﹣2,+∞)单调递增D.x=1时函数y=f(x)取极大值【解答】解:函数有两个极值点:x =﹣5和x =﹣2,但x =3不是函数的极值点,所以A 错误;函数在(﹣∞,﹣5)和(﹣2,+∞)上单调递增,在(﹣5,﹣2)上单调递减,所以B 错误,C 正确;x =1不是函数的极值班点,所以D 错误. 故选:C .8.(5分)某产品的广告费用x 万元与销售额y 万元的统计数据如下表:根据上表可得回归方程=bx +a 中b 为9.4,据此模型预报广告费用为6万元时,销售额为65.5,则a ,m 为( )A .a =9.1,m =54B .a =9.1,m =53C .a =9.4,m =52D .a =9.2,m=54 【解答】解:∵回归方程=bx +a 中b 为9.4,据此模型预报广告费用为6万元时,销售额为65.5, ∴a=9.1, ∴=9.4x +9.1∵=(4+2+3+5)=3.5, ∴=(49+26+39+m )=42, ∴m =54. 故选:A .9.(5分)为了得到函数f (x )=cos (2x +)的图象,只要把函数g (x )=f ′(x )的图象( ) A .向左平行移动个单位长度 B .向右平行移动个单位长度C.向左平行移动个单位长度D.向右平行移动个单位长度【解答】解:∵f(x)=cos(2x+),∴g(x)=f′(x)=﹣sin(2x+)=cos(2x+),右移得.故选:B.10.(5分)已知集合M={(x,y)|f(x,y)=0},若对任意P1(x1,y1)∈M,均不存在P2(x2,y2)∈M使得x1x2+y1y2=0成立,则称集合M为“好集合”,下列集合为“好集合”的是()A.M={(x,y)|y﹣lnx=0}B.M={(x,y)|y﹣x2﹣1=0}C.M={(x,y)|(x﹣2)2+y2﹣2=0}D.M={(x,y)|x2﹣2y2﹣1=0}【解答】解:由x1x2+y1y2=0得OP1⊥OP2,即存在两点与原点连线互相垂直;A.取(e,1)∈M,()∈M,有;B.取(2,2),(﹣2,2)∈M,有2•(﹣2)+2•2=0;C.取(1,1),(1,﹣1),有1•1+1•(﹣1)=0;D.x2﹣2y2=1,渐近线方程为:,容易知道这两条渐近线夹角小于90°,所以不存在两点和原点的连线相互垂直,即该选项正确.故选:D.二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.11.(5分)以平面直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位,直线l的参数方程为(t 为参数),曲线C的极坐标方程为p=2cosθ,则t与C公共点的个数为两个.【解答】解:直线l的参数方程为(t为参数)转化为直角坐标方程为:x+y=2曲线C的极坐标方程为p=2cosθ转化为直角坐标方程为:(x﹣1)2+y2=1利用圆心到直线的距离:d=<1则:t与C公共点的个数为两个.故答案为:t与C公共点的个数为两个.12.(5分)(x2+)6的展开式中常数项是15.(用数字作答)【解答】解:设通项公式为,整理得C6r x12﹣3r,因为是常数项,所以12﹣3r=0,所以r=4,故常数项是c64=15故答案为15.13.(5分)直线x=1与抛物线y2=4x围成图形的面积是.【解答】解:联立直线x=1与抛物线y2=4x构成方程组得解得x=1,y =±2.故直线x=1与抛物线y2=4x围成图形的面积S=(1﹣)dy=(y﹣)|=4﹣=,故答案为:14.(5分)在△ABC中,已知||2=(+)•,则=5.【解答】解:在△ABC中,∵||2=(+)•,则有||2=(+)•(﹣)=﹣CA2,∴c2=a2﹣b2.则====5,故答案为:5.15.(5分)已知数列A:a1,a2,a3,…,a n(0≤a1<a2<a3<…<a n,n≥3,n∈N*)具有性质P:对任意的i,j(1≤i≤j≤n,i,j∈N*),a j+a i与a j﹣a i两数中至少有一个是数列A中的项,现下列命题正确的是:②③④.(写出所有正确答案的序号)①数列A:0,1,3与数列B:0,2,4,6都具有性质P;②a1=0;③2(a1+a2+a3+…+a n)=na n;④当n=5时,a1,a2,a3,a4,a5成等差数列.【解答】解:对于①因为1+3=4,3﹣1=2,都不是数列A中的项,故命题①错误;对于②,考查该数列中的最大项a n,显然a n+a n=2a n不是数列中的项,则必有a n﹣a n=0属于该数列,故0∈A,且a1=0,故②正确;对于③若数列A具有该性质P,设a n是最大项,则具有性质,不在A中,则a n﹣a i是数列A中的项,则依题意:a n﹣a n<a n﹣a n﹣1<a n﹣a n﹣2<…<a n﹣a2<a n﹣a1,则由给的数列A的性质可知;a n﹣a n=a1,a n﹣a n﹣1=a2,a n﹣a n﹣2=a3,…a n﹣a2=a n﹣1,a n﹣a1=a n,将前面n个式子相加得:na n﹣(a1+a2+a3+…a n﹣1+a n)=a1+a2+a3+…+a n﹣1+a n,故na n=2(a1+a2+a3+…a n﹣1+a n),故③正确;对于④,当n=5时,因为a1=0,a2﹣a1=a2,且⇒⇒2a3=a4+a2⇒2a3=a4+a2,而a4+a3>2a3=a5不是数列A中的项,则a4﹣a3是数列A中的项,所以a1<a4﹣a3<a5﹣a3=a3,所以a4﹣a3=a2,所以a2﹣a1=a3﹣a2=a4﹣a5=a5﹣a4,故④成立.故答案为:②③④三、解答:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(12分)一档电视闯关节目规定:三人参加,三人同时闯关成功为一等奖,资金为2000元,三人中有两人闯关成功为二等奖,资金为1000元,三人中有一人闯关成功为三等奖,资金为400元,其它情况不得奖,现有甲乙丙三人参加此活动,甲乙闯关成功的概率都为,丙闯关成功的概率为,三人闯关相互独立.(Ⅰ)求得一等奖的概率;(Ⅱ)求得资金的数学期望.【解答】解:(1)获得一等奖的概率=.(4分)2)二等奖的概率p2==.(6分)三等奖的概率P3==,(8分)不得奖的概率P4==,∴X的分布列为:(10分)奖金的数学期望EX==937.5.(12分)17.(12分)如图,直角三角形ABC中,∠ACB=90°,AB=2BC=4,D、E 分别为AC、AB边的中点.将△ADE沿DF折起,使二面角A﹣DE﹣C的余弦值为,求:(Ⅰ)四棱锥A﹣BCDE的体积;(Ⅱ)二面角A﹣BE﹣C的余弦值.【解答】解:(Ⅰ)∵D,E是边AC、AB的中点,∴DE是△ABC的中位线,∵直角三角形ABC中,∠ACB=90°,∴DE⊥AC,∵DE⊥AD,DE⊥DC,AD∩DC=D,∴DE⊥平面ADC,∴平面ADC⊥平面CBED,过点A作AM⊥CD,则AM⊥面CBED,∵∠ADC为二面角A﹣DE﹣C的平面角,∴cos∠ADC=,(3分),DM=,==.(6分)∴V A﹣BCDE(Ⅱ)∵DE=1,DM=,∴EM=,∵MC=,BC=2,∴BM=,BE=2,BM2=EM2+BE2,∴ME⊥BE,∵AM⊥BE,AM∩ME=M,∴BE⊥平面AME,∴BE⊥AE.(10分)∴∠AEM为二面角A﹣BE﹣C的平面角,∴cos∠AEM==.(12分)18.(12分)三角形ABC中,角A,B,C所对的边为a,b,c且+=2.(Ⅰ)求A;(Ⅱ)若a=2,求三角形ABC周长l的最大值.【解答】解:(Ⅰ)三角形ABC中,角A,B,C所对的边为a,b,c且+=2由正弦定理得:sin2A=sin(B+C)则:B+C=2AA=60°(Ⅱ)由正弦定理:b=c=l=2++=2+4()=2+4sin(C+)当C=时,l max=6故答案为:(1)A=60°(2)当C=时,l max=619.(12分)数列{a n}是公比为的等比数列,且1﹣a2是a1与1+a3的等比中项,前n项和为S n,数列{b n}是等差数列,b1=8,前n项和T n满足T n=nλ•b n+1(λ为常数,且λ≠1).(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式及λ的值;(Ⅱ)令∁n=++…+,求证:∁n≤S n.【解答】解:(Ⅰ)∵数列{a n}是公比为的等比数列,且1﹣a2是a1与1+a3的等比中项,∴(1﹣a2)2=a1(1+a3),解得,∴,(2分)由已知得,从而,解得,d=8,解得b n=8n.(4分)(Ⅱ)c n==(1﹣)=,=,(8分)c n≤,即,∴n+1≤2n,(9分)当n=1时,2n=n+1,(10分)当n≥2时,2n=(1+1)n==1+n+…+1>n+1.∴n+1≤2n成立.∴∁n≤S n.(12分)20.(13分)已知椭圆E1:+=1,E2:+=2,过E1上第一象限上一点P作E1的切线,交于E2于A,B两点.(Ⅰ)已知x2+y2=r2上一点P(x0,y0),则过点P(x0,y0)的切线方程为xx0+yy0=r2.类比此结论,写出椭圆+=1在其上一点P(x0,y0)的切线方程,并证明;(Ⅱ)求证:|AP|=|BP|.【解答】(Ⅰ)解:切线方程在第一象限内,由+=1可得y=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(2分)椭圆在点P处的切线斜率k=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(4分)切线方程为y=﹣(x﹣x0)+y0,即.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(6分)(Ⅱ)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),则与+=2联立可得()x2﹣x+﹣2a2b2=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(9分)所以(x1+x2)=•=x0,所以P为A,B中点,所以|AP|=|BP|.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(13分)21.(14分)已知函数f(x)=﹣lnx++(1﹣a)x+2.(Ⅰ)当a>0时,求函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)若0<x<1,求证:f(1+x)<f(1﹣x);(Ⅲ)若A(x1,y1),B(x2,y2)为函数y=f(x)的图象上的两点,记k为直线AB的斜率,若x0=,f′(x)为f(x)的导函数,求证:f′(x0)>k.【解答】解:(Ⅰ)f′(x)=﹣+ax+(1﹣a)=,∴当0<x<1时,f′(x)<0,f(x)单调递减,当x>1时,f′(x)>0,f(x)单调递增;(Ⅱ)f(1+x)﹣f(1﹣x)=ln(1﹣x)﹣ln(1+x)+2x,令g(x)=ln(1﹣x)﹣ln(1+x)+2x,∴g′(x)=,∵0<x<1,g′(x)<0,g(x)单调递减,∴g(x)<g(0)=0.∴f(1+x)<f(1﹣x).(Ⅲ)k==+a(x2﹣x1)+1﹣a,f′(x0)=﹣+ax0+1﹣a>+a(x2﹣x1)+1﹣a,⇔<⇔ln>2,令x2>x1>0,=t,(0<t<1),∴=,ln>2⇔ln>2t⇔ln(1+t)﹣ln(1﹣t)+2t<0,由(Ⅱ)可知上式成立.∴f′(x0)>k成立.。
【华普教育】2015年安徽省高三第二次高考模拟考试理综试题及答案
2015安徽省高三第二次高考模拟考试参考答案(理综生物)一、选择题(本大题共6小题,每小题6分,共36分)1.C解析:叶绿体的类囊体薄膜上进行光合作用的光反应,能产生氧气;蓝藻是原核生物,细胞中没有成形的细胞核;细胞生物的遗传物质是DNA,但遗传物质是DNA的生物不一定是细胞生物,如T2噬2.B解析:真核细胞的分裂方式有有丝分裂、无丝分裂和减数分裂3种,其中减数分裂过程中DNA复制一次,细胞连续分裂两次;细胞凋亡除了在动物细胞中存在外,在植物细胞和酵母菌细胞中也存在;人体衰老的细胞内,多种酶的活性降低,但并不是所有的酶,如相关水解酶的活性增强。
3.D 解析:图中a过程为转录,有三种碱基配对方式,即T-A、A-U、C-G;b过程为翻译,在翻译过程中,需要tRNA转运氨基酸,同时需要核糖体;性激素的化学本质是脂质,不能通过该过程形成。
4.C解析:由图中信息可知,基因型为b+b的男性表现为秃顶,而女性则表现为非秃顶,说明秃顶在男性、女性中的表现存在差异;秃顶女性的基因型为bb,而秃顶男性的基因型可以是b+b和bb,若该秃顶男性基因型为b+b,则这对夫妇的子女中,有基因型为b+b的个体,而该个体为女孩时,则为非秃顶;非秃顶男性的基因型为b+b+,则他的子女一定具有b+基因,而含有b+基因的女性均为非秃顶;一对夫妇的基因型为b+b和bb,子女中只有基因型为b+b的女孩才是非秃顶,而该种女孩出现的概率为1/2×1/2=1/4。
5.D解析:茎杆倒伏后能直立生长是由于在重力作用下,生长素分布不均匀,使茎的近地侧比背地侧生长快,体现了植物茎的背地性;生长素因重力作用而重新分布,使得弯曲的茎杆恢复直立生长,体现了重力这一物理信息对生物生命活动调节的影响;施用赤霉素过多,植株旺长,容易倒伏;茎杆从弯曲到直立生长只体现了生长素促进生长的作用。
6.A解析:群落演替到顶级群落的过程中,P/R逐渐减小,到顶级群落时,P/R=1,此时生态系统比较稳定;群落演替过程中生物多样性更加丰富,有机化合物多样性逐渐增多;演替过程中,由于群落结构和功能不断复杂化和完善化,物质循环量逐渐增大,群落代谢过程中排出的产物逐渐增多,碳循环由相对封闭趋于开放。
数学_2015年安徽省某校高考数学二模试卷(理科)(含答案)
2015年安徽省某校高考数学二模试卷(理科)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的. 1. 复数11−i 的共轭复数为( )A 12+12i B 12−12i C −12+12i D −12−12i2. 若集合M ={y|y =3t , t ∈R},N ={x|y =ln(x −2)},则下列各式中正确的是( ) A M ⊆N B M =N C N ⊆M D M ∩N =⌀3.一个几何体的三视图如图所示,其中正视图和侧视图都是边长为2的正三角形,那么这个几何体的体积为( ) A √33π B √22π C √24π D π44. 程序框图如图所示,该程序运行后输出的S 的值是( )A −3B −12 C 13 D 25. 已知曲线C 1的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ−3=0,直线C 2的参数方程为{x =−1+12ty =k +√32t (t 为参数),若两曲线有公共点,则k 的取值范围是( ) A k ∈R B k >4 C k <−4 D −4≤k ≤46. 已知P 是半径为2的球面上一点,过P 点作两两垂直的三条线段PA ,PB ,PC ,A ,B ,C 三点均在球面上,满足PA =2PB ,则P 点到平面ABC 的最远距离是( ) A4√69 B 43 C 87 D 657. 若函数f(x)=3|x−2|−m −2有唯一的零点,则直线mx +ky +3k −2=0恒过定点为( )A (27,−3) B (−2, −3) C (0, 27) D (−2, 0) 8. 已知椭圆C:x 29+y 28=1的右焦点为F 2,右准线为l ,左焦点为F 1,点A ∈l ,线段AF 2交椭圆C 于点B ,若F 2A →=4F 2B →,则|BF 1|=( )A 2B 4C 6D 89. 已知f(x)是以2为周期的偶函数,当x ∈[0, 1]时,f(x)=−x ,那么在区间[−1, 3]上,关于x 的方程f(x)=kx +k −1(其中k 为不等于1的实数)有四个不同的实数根,则k 的取值范围是( )A ( )B (0, 12) C (0, 14) D (0, 13)10. 如图,某人从第1个格子开始,每次可向前跳1格或2格,那么此人跳到第10个格子的方法种数为( ) 12345678910A 13种B 21种C 34种D 55种二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.请把答案填在题中横线上11. 如图所示,阴影部分是由曲线y =x 2(x >0)与圆(x −1)2+y 2=1构成的区域,在圆中任取一点M ,则M 点落在阴影部分区域的概率为________.12. 已知正数a ,b ,c ,满足a +b =12ab ,a +b +c =abc ,则c 的取值范围是________. 13. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 11>0,S 12<0,则S 1a 1,S 2a 2,…S11a 11中最大的是________.14. 已知(x 2+2x +1)(1+x)4=a 0+a 1x +a 2x 2+...+a 7x 7,则a 1+2a 2+3a 3+...+7a 7=________.15. ①函数y =cos(x −π4)cos(x +π4)的最大值为14; ②函数y =x+2x−1的图象关于点(1, 1)对称;③方程2x 2−5x +2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率;④已知命题p :对任意的x ∈R ,都有sinx ≤1,则命题¬p :存在x ∈R ,使得sinx >1. 其中所有真命题的序号是________.三、解题题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 16. 已知在△ABC 中,cosA =−513,cosB =35. (1)求sinC 的值;(2)设△ABC 的面积S △ABC =325,求AB 的长.17. 如图,已知ABCD−A1B1C1D1是底面为正方形的长方体,∠AD1A1=60∘,AD1=4,点P是AD1上的动点.(1)试判断不论点P在AD1上的任何位置,是否都有平面B1PA1垂直于平面AA1D1?并证明你的结论;(2)当P为AD1的中点时,求异面直线AA1与B1P所称角的余弦值;(3)求直线PB1与平面AA1D1所成角的正切值的最大值.18. 甲乙两人进行围棋比赛,每一局2人获胜的概率相等,谁先赢得规定的局数就获胜.(1)若甲还需n局,乙还需3局才能获胜(n>3),求甲获胜的概率;(2)若规定连胜两局者获胜,比赛完5局仍未出现连胜,则约定获胜局数多者获胜,记比赛总局数为X,求X的分布列与期望.19. 设数列{a n}满足a1=2,a m+n+a m−n−m+n=12(a2m+a2n),其中m,n∈N,m≥n.(1)证明:对一切n∈N,都有a n+2=2a n+1−a n+2.(2)证明:1a1+1a2+...+1a2015<1.20. 已知椭圆C:3x2+4y2=12和点Q(4, 0),直线l过点Q且与椭圆C交于A、B两点(可以重合).(1)若∠AOB为钝角(O为原点),试确定直线l的斜率的取值范围;(2)设点A关于长轴的对称点为A1,F为椭圆的右焦点,试判断A1和F,B三点是否共线,并说明理由.21. 已知函数f(x)=2ln(x+1)+1x(x+1)−1;(1)求f(x)在区间[1, +∞)上的最小值;(2)证明:当n≥2时,对任意的正整数n,都有ln1+ln2+...+lnn>(n−1)22n.2015年安徽省某校高考数学二模试卷(理科)答案1. B2. C3. A4. D5. D6. C7. B8. B9. D10. D11. 14−13π12. (12, 815]13. S6a 614. 192 15. ②③④16. 解:(1)因为0<A <π,cosA =−513, 所以sinA =√1−cos 2A =1213,因为0<B <π,cosB =35,所以sinB =√1−cos 2B =45, 所以sinC =sin[π−(A +B)]=sin(A +B) =sinAcosB +cosAsinB =1213×35+(−513)×45=1665;…(2)由S △ABC =325得,12AC ⋅BC ⋅sinC =325,所以AC ⋅BC =52,由正弦定理得,ABsinC=BC sinA =AC sinB ,所以AC =BC⋅sinB sinA=BC ⋅1315=52AC⋅1315,解得AC =√15,则AB =AC⋅sinC sinB=45˙=8√1515…. 17. 解:(1)不论点P 在AD 1上的任何位置,都有平面B 1PA 1垂直于平面AA 1D 1.证明:由题意得B 1A 1⊥A 1D 1,B 1A 1⊥A 1A ,又∵ AA 1∩A 1D 1=A 1,B 1A 1⊥A 1A ,又∵ AA 1∩A 1D 1=A 1,∴ B 1A 1⊥平面AA 1D 1, ∵ B 1A 1⊂平面B 1PA 1,∴ 不论点P 在AD 1上的任何位置,都有平面B 1PA 1垂直于平面AA 1D 1.. (2)过点P 作PE ⊥A 1D 1,垂足为E ,连结B 1E ,如图,则PE // AA 1, ∴ ∠B 1PE 是异面直线AA 1与B 1P 所成的角,在Rt △AA 1D 1中,∵ ∠AD 1A 1=60∘,∴ ∠A 1AD 1=30∘, ∴ A 1B 1=A 1D 1=12AD 1=2,A 1E =12A 1D 1=1,∴ B 1E =√B 1A 12+A 1E 2=√5,又PE =12AA 1=√3,∴ 在Rt △B 1PE 中,B 1P =√5+3=2√2, cos∠B 1PE =PEB1P=√32√2=√64,∴ 异面直线AA 1与B 1P 所有角的余弦值为√64. (3)由(1)知,B 1A 1⊥平面AA 1D 1,∴ ∠B 1PA 2是PB 1与平面AA 1D 1所成的角,且tan∠B 1PA 1=B 1A 1A 1P=2A 1P,当A 1P 最小时,tan∠B 1PA 1最大,此时A 1P ⊥AD 1, 由射影定理得A 1P =AD 1˙=√3, ∴ tan∠B 1PA 1=2√33,即直线PB 1与平面AA 1D 1所成角的正切值的最大值为2√33. 18. 解:(1)若进行n 局比赛,则甲获胜的概率为(12)n ,若进行n +1局比赛,则最后一局比赛甲获胜,且前n 局比赛中甲负一局,概率为C n 1(12)n+1, 若进行n +2局比赛,则最后一局比赛甲获胜,且前n 局比赛中甲负两局,概率为C n 2(12)n+2,∴ 甲获胜的概率P =(12)n +C n 1(12)n+1+C n 2(12)n+2.(2)用A 表示甲羸得比赛的事件,A k 表示第k 局甲获胜,B k 表示第k 局乙获胜, 比赛总局数X 的可能取值为2,3,4,5,P(X =2)=P(A 1A 2)+P(B 1B 2)=12×12+12×12=12,P(X =3)=P(A 1B 2B 3)+P(B 1A 2A 3)=12×12×12+12×12×12=14,P(X =4)=P(A 1B 2A 3A 4)+P(B 1A 2B 3B 4)=12×12×12×12+12×12×12×12=18,P(X =5)=P(A 1B 2A 3B 4A 2)+P(B 1A 2B 3A 4B 5)+P(B 1A 2B 3A 4A 5)+P(A 1B 2A 3B 4B 5) =12×12×12×12×12+12×12×12×12×12+12×12×12×12×12+12×12×12×12×12=18,E(X)=2×12+3×14+4×18+5×18=238.19. (1)证明:令m =n ,可得a 0=0;令n =0,可得a 2m =4a m −2m , 令m =1,可得a 2=4a 1−2=6;令m =n +2,则a 2n+2+a 2−2=12(a 2n+4+a 2n ),∵ a 2m =4a m −2m ,∴ a 2n+1=4a n+1−2(n +1),a 2n+4=4a n+2−2(n +2),a 2n =4a n −2n ∴ a n+2=2a n+1−a n +2;(2)证明:由(1)知(a n+2−a n+1)−(a n+1−a n )=2 ∵ b n =a n+1−a n , ∴ b n+1−b n =2∴ 数列{b n }为首项为a 2−a 1=4,公差为2的等差数列, b n =2n +2,则a n =a 1+(a 2−a 1)+(a 3−a 2)+...+(a n −a n−1) =2+4+6+...+2n =n(n +1),1a n=1n(n+1)=1n−1n+1,即有1a 1+1a 2+...+1a2015=1−12+12−13+...+12015−12016=1−12016<1.20. 解:(1)设直线l 的方程为my =x −4,联立{my =x −43x 2+4y 2=12,化为(3m 2+4)y 2+24my +36=0,△=(24m)2−4(3m 2+4)×36≥0,解得m 2≥4. 设A(x 1, y 1),B(x 2, y 2). 则y 1+y 2=−24m 3m 2+4,y 1y 2=363m 2+4.∵ ∠AOB 为钝角(O 为原点),∴ OA →⋅OB →=x 1x 2+y 1y 2<0,化为(m 2+1)y 1y 2+4m(y 1+y 2)+16<0. ∴36(m 2+1)3m 2+4−96m 23m 2+4+16<0,化为3m 2>25, 解得−√35<1m<√35,且1m≠0,∴ 直线l 的斜率的取值范围是(−√35,0)∪(0,√35). (2)由(1)可得A 1(x 1, −y 1),F(1, 0). FA 1→=(x 1−1, −y 1),FB →=(x 2−1, y 2).∴ (x 1−1)y 2+y 1(x 2−1)=(my 1+3)y 2+y 1(my 2+3)=2my 1y 2+3(y 1+y 2)=72m 3m 2+4−72m 3m 2+4=0,∴ FA 1→ // FB →,即A 1和F ,B 三点共线. 21. 解:(1)函数f(x)的导数为f′(x)=2x+1−2x+1x 2(x+1)2=(2x 3−1)+2x(x−1)x 2(x+1)2,当x ≥1时,f′(x)>0,即f(x)在[1, +∞)上为增函数, 则f(x)在区间[1, +∞)上的最小值为f(1)=2ln2−12;(2)由(1)知,对任意的实数x ≥1,2ln(x +1)+1x(x+1)−1≥2ln2−12>0恒成立, 对任意的正整数k ,2ln(k +1)+1k(k+1)−1>0,即2ln(k +1)>1−(1k −1k+1),则有2ln2>1−(1−12),2ln3>1−(12−13),…,2lnn >1−( 1n−1−1n).累加可得2ln2+2ln3+...+2lnn >n −1−(1−1n)=(n−1)2n,即有ln1+ln2+ln3+...+lnn >(n−1)22n(n ∈N ∗且n ≥2).。
安徽省2015届高三下学期第二次高考模拟考试理科综合试卷(扫描版).pdf
2015安徽省高三第二次高考模拟考试 物理参考答案 简要答案: 题号14151617181920答案C DAABBC 2Ⅰ5.485 (5.485~5.488均正确) 4.045 (每空2分)Ⅱ (2分) (2分)=(3分)Ⅲ(1)见图 (3分) (2)0.44W(4分) 22(1)aA=2 m/s2 (2)若物体A能从平板车B的右端1N; 若物体AB的端则F大于3N3(1)v3=2m/s (2)lm=m 24v1=5m/s (2)则M点到PQ的距离为x=1.25m (3)v4=4m/s 二、详细解析: 14.答案:C 解析:因为两束光折射后相交于图中的点,根据折射定律可知a光的折射率na>nb,a光的频率a>b,光在真空中的传播速度相等;由λ得B错误;由v得C正确;根据sinC得D错 15.答案:D 解析:将A、B、C看做一个系统,对系统受力分析可知,选项A错;由于木块A恰能沿斜面匀速下滑,即动摩擦因数μ=tanθ,选项B错;设平行于斜面的推力为F,对A、B、C系统,斜面体C对地面压力大小为4mg-Fsinθ,对A、B系统,F=2mgsinθ+2μmgcosθ=4mgsinθ,因此斜面体C对地面压力大小为4mg-Fsinθ=4mgcos2θ,选项D正确、C错误。
16.答案 解析:当滑片位于变阻器中点O时,根据欧姆定律得I0=。
当滑片向左移到O′点时,A1和R被短路,读数为零。
A2的示数为I2==2I0>I0。
A4的示数I4=I0。
则A3的示数为I3=I2+I4=3I0,故选A。
17.答案: 解析:同步卫星和赤道上的物体随地自转具有相同的角速度,同步卫星和近地卫星(其速度为第一宇宙速度)都是由万有引力提供向心力,ω,v2=Rω,v3=综上可知:v1:v2:v3=:9:20,所以A正确 。
18.答案: 解析:绳断之后,甲球在竖直面内摆动,乙球做匀速圆周运动,甲ω2r甲, ,甲甲甲甲答案: 解析:子在AB连线上的平衡位置即为场强为零的位置,所以=,得 x=,即在D点子在D点左侧时所受电场力向左,子在D点右侧时所受电场力向右。
【华普教育】2015年安徽省高三第二次高考模拟考试数学(理)试题及答案
2015安徽省高三第二次高考模拟考试数学(理科)参考答案(1)C 解析:z 3=(12-32i)3=(12-32i)2(12-32i)=(-12-32i)(12-32i)=-1.(2)B 解析:x 2>|x |+2⇔(|x |-2)(|x |+1)>0⇔|x |>2⇒|x |>1,故选B .(3)B 解析:由已知得双曲线的顶点为)0,1(±,渐近线方程为∴=+±,02y x 距离.55252==d(4)B 解析:A =12,n =2;A =-2,n =3;A =92,n =4;A =289,输出结果为4.(5)C 解析:直线l 的直角坐标方程为x -2y +a =0,d =|2cos θ-23sin θ+a |5=|4cos(θ+60°)+a |5,当a >0时,最大值为|4+a |5=25,a =6,当a <0时,最大值为|-4+a |5=25,a =-6,故选C .(6)A 解析:a =log 510=1+log 52<2,b =log 36=1+log 32<2,c =2ln3>2,∴a <b <c . (7)C 解析:|x -1|+|x -2|<3的解集为x ∈(0,3),使y =log 2(x -x 2)有意义的x ∈(0,1),其概率为13.(8)A 解析:如图,直线y =x +1与圆(x -4)2+y 2=13交于点(1,2),(2,3),而y =ax +2过点(0,2),与点(2,3)连线的斜率为12,故a ∈(0,12).(9)D 解析:其中可能共色的区域有AC 、AD 、AE 、AF 、BE 、BF 、CD 、CF 、DF 共9种,故共有涂色方法9A 55=1080种.(10)D 解析:由已知得 →OB =n2 →OA +m1 →OC ,显然m >0,n >0,n2+m1=1,∴n +2m =(n+2m)(n 2+m 1)=2+2+m n +n m 4≥4+2nmm n 4⨯=8,当且仅当n =2m 时取等号.又4m 2+n 2≥12(2m +n )2=32,当且仅当n =2m 取等号,故选D .(11)332π 解析:由已知得球的半径∴=+=,2)3(12r 球的体积.3322343ππ=⋅=V (12)12 解析:b 5+b 8=C 38(-b )3+1=-6,整理得b 3=18,b =12.(13)43-解析:f ′(x )=ωA cos(ωx +φ),由图知2(2π3-π6)=2πω,ω=2,ωA=1,A =12,f ′(x )=cos(2x +φ),2×π6+φ=0,φ=-π3,f (x )=12sin(2x -π3),f (π)=12sin(2π-π3).43-= (14)20+ 解析:由三视图知几何体是边长为2的正方体挖去一个三棱柱,如图所示,所以表面积为225120⨯⨯+=+(15)①②⑤ 解析:对于①,∵a 1=1,3、27、9是其中的三项,∴d >0且为整数,∴d =1或d =2,故①正确;对于②,当a 1=27,d =-1时,可满足条件,故②正确;对于③,∵9-3=(t 1-t 2)d ,t 1-t 2=6d ,∴d 是6的因子,同理可知d 是18与24的因子,∴d 是6的因子,而6的因子有±1、±2、±3、±6共8个,故③不正确;对于④,由③知对于d =±2、±6,27与36相差不是2、6的倍数,故④不正确;对于⑤,当a 1=1,d =2时,a n =2n -1,S n =n 2,S 2n =4n 2=4S n ,故⑤正确.(16)解析:(Ⅰ)由已知得4sin 2C cos 2C -10sin 2C cos C -6sin 2C =0,∴2cos 2C -5cos C -3=0,cos C =-12或cos C =3(舍),∴C =32π.(6分)(Ⅱ)由余弦定理得c 2=a 2+b 2-2ab cos C =(a +b )2-ab ,49=64-ab ,ab =15, ∴△ABC 的面积S △ABC =12ab sin C =1534.(12分)(17)解析:(Ⅰ)连接AC 交DF 于H ,连接EH . 由△AFH ∽△CDH 得AH HC =AF CD =12,由已知PE =13PC 得PE EC =12,∴EH ∥P A ,∵P A ⊥底面ABCD ,∴EH ⊥底面ABCD .∵EH ⊂平面DEF ,∴平面DEF ⊥平面ABCD .(6分)(Ⅱ)建立如图所示的空间坐标系,设AB =2, →PE =λ →PC (0<λ<1),E (x ,y ,z ), 则B (2,0,0),C (2,2,0),D (0,2,0),P (0,0,4), 由 →PE=λ →PC 得(x ,y ,z -4)=λ(2,2,-4),E (2λ,2λ,4-4λ). 设平面ADE 的法向量为m =(a ,b ,c ),则⎩⎨⎧ →AD·m =0 →AE ·m =0,令c =-λ,则m =(2-2λ,0,-λ).设平面ABE 的法向量为n =(a 1,b 1,c 1),则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0,令c 1=-λ,∴n =(0,2-2λ,-λ),∴|cos<m ,n >|=m ·n |m |·|n |=λ2(2-2λ)2+λ2=12,解得λ=23. ∴当PE =23PC 时,二面角B -AE -D 为120°.(12分)(18)解析:(Ⅰ)入口1、2、3堵车的概率分别是P 1=25、P 2=35、P 3=12.∴恰有两个路口发生堵车的概率P =25×35×(1-12)+25×(1-35)×12+(1-25)×35×12=1950.(5分)(Ⅱ)X =1,2,3.P (X =1)=35+25×12=45,P (X =2)=25×12(25+35×23)=425,P (X =3)=25×12×35×13=125. 其分布列为EX =1×45+2×425+3×125=3125.(12分)(19)解析:(Ⅰ)将A 点代入圆C 中得1+(3-m )2=5,解得m =1或m =5(舍).(2分) F 1(0,-c )(c >0),设PF 1:y -4=k (x -4),5=|3-4k |1+k 2,解得k =2或k =211,所以4+c 4=2或4+c 4=211,解得c =4或c =-3611(舍).F 1(0,-4),F 2(0,4),则2a =|AF 1|+|AF 2|=62,a =32,b =2, ∴椭圆E 的方程为:y 218+x 22=1.(6分)(Ⅱ)设Q (x ,y ), →AP=(3,1), →AQ =(x -1,y -3), →AP· →AQ =3(x -1)+y -3=3x +y -6, 令t =3x +y ,代入椭圆y 2+9x 2=18中得18x 2-6tx +t 2-18=0,△=36t 2-72(t 2-18)=-36t 2+72×18≥0,-6≤t ≤6,-12≤t -6≤0,则 →AP · →AQ ∈[-12,0].(13分) (20)解析:(Ⅰ)a =2,f ′(x )=(x +6)(x +1)(x +2)2,当x >-1时,f ′(x )>0;当-2<x <-1时,f ′(x )<0,故f (x )的增区间为(-1,+∞),减区间为(-2,-1),在x =-1处取得极小值f (-1)=1.(6分)(Ⅱ)由(Ⅰ)知当a =2时,f (x )≥f (-1)=1,∴x 2x +2+3ln(x +2)≥1.∵a ≤2,∴0<x +a ≤x +2,x 2x +a ≥x 2x +2.∴f (x )=x 2x +a +3ln(x +2)≥x 2x +2+3ln(x +2)≥1,令g (x )=2-x -e -x,g ′(x )=-1+e -x=1-e xex ,显然当x >0时,g ′(x )<0;当x <0时,g ′(x )>0. 故g (x )在x =0处取得最大值g (0)=1,g (x )≤1, ∴f (x )≥2-x -e -x.(13分)(21)解析:(Ⅰ)a 1=1,a 2=4,a 3=9,猜想a n =n 2. 下面用数学归纳法证明: ①当n =1时,显然成立.②假设当n =k 时,猜想成立,即a k =k 2,则当n =k +1时,6S k +1=(a k +1+k +1)(2k +3),6S k +6a k+1=(2k +3)a k +1+(k +1)(2k +3),(k 2+k )(2k +1)+6a k +1=(2k +3)a k +1+(k +1)(2k +3),解得a k +1=(k +1)2,故当n =k +1时,猜想成立.由①②知猜想正确,a n =n 2.(7分) (Ⅱ)b n =n 2·2n ,T n =12·21+22·22+32·23+…+n 2·2n , 2T n =12·22+22·23+32·24+…+n 2·2n +1,两式相减得-T n =1·21+3·22+5·23+…+(2n -1)·2n -n 2·2n +1.设M =1·21+3·22+5·23+…+(2n -1)·2n , 2M =1·22+3·23+5·24+…+(2n -1)·2n +1,-M =2+2(22+23+…+2n )-(2n -1)·2n +1=2+2×4(1-2n -1)1-2-(2n -1)·2n +1,M =(2n -3)·2n+1+6,-T n =(2n -3)·2n +1+6-n 2·2n +1,T n =(n 2-2n +3)·2n +1-6.(13分)。
高考专题安徽省安庆市高三第二次模拟考试数学理试题(含解析).docx
高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作安徽省安庆市2015届高三第二次模拟考试数学试卷(理科)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知i 是虚数单位,复数z 满足2z i i ⋅=+,则复数z 等于A.12i -B.2i --C.12i -+D.12i + 2.已知椭圆2241mx y +=的离心率为22,则实数m 等于 A.2 B.2或83C.2或6D.2或8 3.设随机变量ξ服从正态分布2(3,)N σ,且ξ在(,6)-∞上取值的概率为0.8,则ξ在(0,3)上取值的概率为A.0.2B.0.3C.0.8D.0.14.在等比数列{}n a 中,3222a a -=,且45a 是312a 和52a 的等差中项,则{}n a 的公比为 A.2 B.3 C.2或3 D.65.在极坐标系中,曲线:2sin C ρθ=上的两点,A B 对应的极角分别为2,33ππ,则弦长||AB 等于A.1B.2C.3D.2 6.已知点P 是边长为1的正方形ABCD 的对角线AC 上的任意一点,PE AB ⊥于E ,PF BC ⊥于F ,则PD EF ⋅等于 A.1 B.1- C.12D.0 7.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 A.6 B.203 C.163 D.1938.某村2014年的农业年生产总值为2000万元,在2015年中,大力推进绿色生态农业,预计以后每年的农业生产总值都比上一年增长10%,现设计了一个程序框图计算预计农业年生产总值首次超过3000万元的年份,那么图中的※处和最后输出的结果应是A.0.1;2018t a =B.0.1;2019t a =C. 1.1;2018t a =D. 1.1;2019t a = 9.设实数,m n 满足0,0m n ><,且111m n+=,则4m n + A.有最小值9 B.有最大值9 C.有最大值1 D.有最小值110.已知函数2()2(21)47f x ax a x a =+-+-其中*a N ∈,设0x 为()f x 的一个 零点,若0x Z ∈,则符合条件的a 的值有A.1个B.2个C.3个D.无数个 二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分,请将答案填在答题卡的相应位置.11.若6()(0)a x a x ->的展开式的常数项是154,则实数a =12.设实数,x y 满足||1x y ≤≤,则|1|2u x y =++的取值范围是13.已知命题:p 函数21y x a x =++的值域为[0,)+∞,命题:q 对任意的x R ∈,不等式||||1x x a -+≤恒成立,若命题()p q ∧⌝为真命题,则实数a 的取值范围是14.若函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的图象如图所示,则图中的阴影部分的面积为15.规定:坐标轴绕着原点逆时针旋转的角度为正角,顺时针旋转的角度为负角,不改变坐标轴的原点和长度单位,只将两坐标轴旋转同一个角度θ,这种坐标轴的变换叫做坐标轴的θ角旋转,简称转轴θ,将平面直角坐标系O xy -转轴θ得到新坐标系''O x y -,设点P 在两个坐标系中的坐标分别为(,)x y 和(',')x y ,则下列结论中错误的是 (把你认为错误的所有结论的序号都填上)①与x 轴垂直的直线转轴后一定与'x 轴垂直;②当4πθ=时,点(1,1)P 在新坐标系中的坐标为(1,0)P ;③当4πθ=-时,反比例函数1y x=的图象经过转轴后的标准方程是22''2x y -= ④当6πθ=时,直线2x =的图象经过转轴后的直线方程是3''40x y --=⑤点P 在两个坐标系中坐标之间的关系是'cos 'sin 'sin 'cos x x y y x y θθθθ=-⎧⎨=+⎩三、解答题:本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16(本小题满分12分)如图所示,在平面四边形ABCD 中,4,2,60,120AB AD DAB BCD ==∠=∠=.(Ⅰ)当BC CD =时,求BCD ∆的面积;(Ⅱ)设CBD θ∠=,记四边形ABCD 的周长为()f θ,求()f θ的表达式,并求出()f θ的最大值.17(本小题满分12分)为美化环境,某小区物业计划在小区内种植甲,乙,丙,丁四棵树苗,受环境影响,甲,乙两棵树苗成活率均为12,丙,丁两棵树苗成活率均为(01)a a <<,每棵树苗成活与否相互没有影响.(Ⅰ)若甲,乙两棵树苗中有且仅有一棵成活的概率与丙,丁两棵树苗都成活的概率相等,求a 的值 (Ⅱ)设X 为最终成活的树苗的数量,求X 的概率分布列及数学期望值.18(本小题满分12分)如图所示,在四棱柱1111ABCD A B C D -中,底面ABCD 是梯形,//AD BC ,侧面11ABB A 为菱形,1DAB DAA ∠=∠.(Ⅰ)求证:1A B AD ⊥;(Ⅱ)若12,60AD AB BC A AB ==∠=,点D 在平面11ABB A 上的射影恰为线段1A B 的中点,求平面 11DCC D 与平面11ABB A 所成锐二面角的余弦值.19(本小题满分13分)已知抛物线22(0)y px p =>,四边形ABCD 内接于抛物线,如图所示.(Ⅰ)若直线,,,AB CD BC AD 的斜率均存在,分别记为1234,,,k k k k ,求证:12341111k k k k +=+; (Ⅱ)若直线,AB AD 的斜率互为相反数,且弦AC x ⊥轴,求证:直线BD 与抛物线在点C 处的切线平行.20(本小题满分13分)已知函数()x x af x e+=. (Ⅰ)若()f x 在区间(,2)-∞上为单调递增函数,求实数a 的取值范围;(Ⅱ)若00,1a x =<,设直线()y g x =为函数()f x 的图象在0x x =处的切线,求证:()()f x g x ≤.21(本小题满分13分)已知数列{}n a 满足*112,2(2,)n n a a a a n n N -=>=+≥∈.(Ⅰ)求证:对任意*,2n n N a ∈>;(Ⅱ)判断数列{}n a 的单调性,并说明你的理由;(Ⅲ)设n S 为数列{}n a 的前n 项和,求证:当3a =时,423n S n <+.2015年安庆市高三模拟考试(二模) 数学试题(理科) 参考答案及评分标准一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案A DB BCD A B C B 1.A 【解析】(2i)(-i)=1-2i z =+,选A .2.D 【解析】显然0>m 且4≠m .当40<<m 时,椭圆长轴在x 轴上,则112421m m-=,解得2m =;当4>m 时,椭圆长轴在y 轴上,则1124214m -=,解得8m =,选D .3.B 【解析】因为ξ服从正态分布2(3,)N σ,所以(0)(6)10.80P P ξξ<=>=-=,(06)0.6P ξ⇒<<=,所以(03)0.3P ξ<<=.选B .4.B 【解析】设公比为q ,由已知2222=-a q a , 53421210a a a +=得0652=+-q q 解得2=q 或3=q ,但2=q 不符合.选B .5.C 【解析】A 、B 两点的极坐标分别为2(3,)3π 、(3,)3π,化为直角坐标为33(,)22- 、33(,)22,故3AB =,选C .6.D 【解析】设AB a =,AD b =,PF a λ=,PE b μ=(λ,R μ∈),根据题意可知21a =,21b =,0a b ⋅=,0λ>,0μ<,且1μλ-+=. 所以 EF a b λμ=-,(1)AP AE PE a b λμ=-=--,(1)(1)PD AD AP a b λμ=-=-++,故()(1)(1)(1)(1)()(1)0PD EF a b a b λμλμλλμμλμλμ⎡⎤⋅=-++-=--+=+--=⎣⎦.选D .(注:也可用坐标法或特殊位置法求解.)7. A 【解析】该几何体的直观图如图所示.622221312221131222=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=V .选A .8.B 【解析】2000 1.13000 1.1 1.5m m ⨯>⇒>. 因为41.1 1.46 1.5≈<,51.1 1.61 1.5≈>,所以m 的最小正整数值为5.选B .9.C 【解析】因为111m n +=,所以1144(4)5m n m n m n m n n m ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭. 又0m >,0n <,所以 4 4m n n m ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭≥,故 45 541m n n m++-=≤. 当且仅当1,12m n ==-时取等号. 选C .10.B 【解析】22272(21)470(2)(2)x ax a x a a x x ++-+-=⇒=≠-+. 因为N*a ∈, 所以2271(2)x x ++≥,解得31(2)x x -≠-≤≤.由0x Z ∈知03x =-,1-,0,1.当03x =-时,1a =;当01x =-时,5a =;当00x =时,74a =*∉N ;当01x =时,1a =.故,符合条件的a 的值有2个.选B .二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中横线上)11. 12,【解析】r rr r r r r r x a C x a x C T 2336661)1()()(--+-=-=,由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-415)1(02336r r r a C r ,得2r =,12a =.12. 14u ≤≤,【解析】由题意,可行域如图所示, 则11x -≤≤ ,01y ≤≤ ,所以1221u x y x y =++=++,故. 13.(,2][2,)-∞-+∞,【解析】函数21y x ax =++的值域为202[0)4a a +∞⇔∆=-⇔≥≥,;对任意的R x ∈,不等式1x x a -+≤恒成立1a ⇔≤,所以若命题()p q ∧⌝为真命题,则2a ≥;a 的范围为(,2][2,)-∞-+∞. 14.232-,【解析】由图可知,1A =,1sin 2ϕ=-, 由2πϕ<得6πϕ=-,又sin()066ππω-=,得61,k k Z ω=+∈,由图知1264ππω<⨯,3ω< ,由0ω>,得1ω= 所以()sin()6f x x π=-,阴影部分面积60()d S f x x π==⎰60sin()d 6x x ππ-=⎰6023cos()62x ππ--=. 15.(1),(2),(3),【解析】(1)因为转轴变换仅仅是坐标轴旋转,而直线并不随着旋转,错误;(2)点(11)P ,在新坐标系中的坐标应为(20)P ,,错误;(3)4πθ-=时,函数1y x=的图象经过转轴后的标准方程是2''22=-x y,14u ≤≤错误;(4)直角坐标系Oxy 中的直线2=x ,在坐标系Ox y ''中倾斜角为3π,且经过点)0,334(,故转轴后的直线方程是 04''3=--y x ,正确;(5)证明如下:设POx ϕ'∠=,OP r =, 则cos()cos cos sin sin cos sin x r r r x y ϕθϕθϕθθθ''=+=-=-, sin()sin cos cos sin sin cos y r r r x y ϕθϕθϕθθθ''=+=+=+,正确.三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16.(本题满分12分)【解析】(Ⅰ)在△ABD 中,4AB =,2AD =,60DAB ∠=︒,根据余弦定理可得22124224232BD =+-⨯⨯⨯=. ………2分 在△BCD 中,因为120BCD ∠=°,所以当BC CD =时,30CBD CDB ∠=∠=︒,根据正弦定理可得sin 302sin120BD BC ⋅︒==︒,2CD =. ∴ BCD ∆的面积113sin 223222S BC CD BCD =⨯⨯∠=⨯⨯⨯=. ……… 5分 (Ⅱ)在△BCD 中,由4sin sin(60)sin120DC BC BDθθ===︒-︒,得4sin DC θ=,4sin(60)BC θ=︒-, ……… 7分所以()f AB AD BC CD θ=+++)60sin(4sin 46θθ-++=6sin 2cos 32sin 4+-+=θθθ62sin 23cos 64sin(60)θθθ=++=++︒ …9分 因为060θ︒<<︒,所以当且仅当30θ=︒时,sin(60)θ+︒有最大值1. 从而()f θ的最大值为10. ……… 12分17.(本题满分12分)【解析】(Ⅰ)2212)21(a C =, 22=a ………4分 (Ⅱ)X 可取0、1、2、3、42202202)1(41)1()21()0(a a C C X p -=-⋅==12020212222111(1)()(1)()(1)(1)222p X C C a C C a a a ==⋅-+⋅-=-22220212212202222)21()1()21()1()21(C 2)(a C C a a C C a C X P ⋅+-⋅+-===)221(412a a -+ 2)21()1()21()3(22221212222a a C C a a C C X P =+-⋅==4)21()4(2222222a a C C X P =⋅== ………7分∴X 的分布列为x0 1 2 3 4 P2)1(41a - )1(21a - )221(412a a -+ 2a 42a ………9分⨯+-⨯=2)1(211a EX )221(412a a -+3+⨯2a +4⨯42a 12a =+∴a EX 21+=. ………12分18.(本小题满分12分)【解析】解一:(Ⅰ)因为侧面11ABB A 为菱形,所以1AB AA =,又1DAB DAA ∠=∠,所以 ()11A B AD A A AB AD ⋅=+⋅1A A A D A BA D =⋅+⋅ 11cos()cos A A AD DAA AB AD DAB π=⋅-∠+⋅∠11cos cos 0AB AD DAA AB AD DAA =-⋅∠+⋅∠=,从而1A B AD ⊥. ………5分(Ⅱ)设线段1A B 的中点为O ,连接DO 、1AB ,由题意知DO ⊥平面11ABB A .因为侧面11ABB A 为菱形,所以11AB A B ⊥,故可分别以射线OB 、射线1OB 、射线OD 为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系O xyz -,如图1所示.设22AD AB BC a ===,由160A AB ∠=︒可知O B a =,13OA OB a ==,所以22OD AD OA a =-=,从而(030)A a -,,,(00)B a ,,,1(030)B a ,,,(00)D a ,,. 所以 11(30)CC BB a a ==-,,.由12BC AD =可得31()22C a a a ,,,所以31()22DC a a a =-,,. ………7分 设平面11DCC D 的一个法向量为000()m x y z =,,,由10m CC ⋅=,0m DC ⋅=,得 0000030310.22ax ay ax ay az ⎧-+=⎪⎨+-=⎪⎩, 取01y =,则03x =,033z =,所以(3133)m =,,. ………9分 又平面11ABB A 的法向量为(00)OD a =,,,所以333cos ==933131OD m a OD m aODm⋅〈〉=,. 故平面11DCC D 与平面11ABB A 所成锐二面角的余弦值为39331. ………12分 解二:(Ⅰ)连接1AB 、1A D 、BD ,设1AB 交1A B 于点O , 连OD ,如图2所示.由1AA AB =,1DAB DAA ∠=∠可得△1AA D ≌△ABD , 所以1A D BD =.由于O 是线段1A B 的中点,所以1DO A B ⊥, 又根据菱形的性质1AO A B ⊥,所以1A B ⊥平面ADO ,从而1A B AD ⊥. ………5分(Ⅱ)因为//AD BC ,2AD BC =,所以延长AB 、DC 交于点E , 延长11A B 、11D C 交于点F ,且BE AB =,111B F A B =.连接EF , 则1//EF BB .过点O 作1BB 的垂线交1BB 于点G ,交EF 于点H ,连接DH ,如图3所示.因为1//EF BB ,所以OH EF ⊥.图2图3由题意知DO ⊥平面11ABB A ,所以由三垂线定理得DH EF ⊥,故DHO ∠是平面11DCC D 与平面11ABB A 所成二面角的平面角. ………8分 易知32OG a =,3GH a =,所以332OH a =.在Rt △DOH 中, 2222333122DH OH OD a a a ⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭,所以333932cos 31312a OH DOH DH a ∠===. 故平面11DCC D 与平面11ABB A 所成锐二面角的余弦值为39331. ………12分19.(本题满分13分)【解析】 (Ⅰ) 证明:设11(,)A x y ,22(,)B x y ,33C(,)x y ,44D(,)x y∴ 12112y y k x x -=- 2112y px =,2222y px =∴ 1122p k y y =+同理:2342p k y y =+,故123412+112y y y y k k p +++=………4分 同理:=+4311k k p y y y y 24321+++,从而得证. ………6分 (Ⅱ) 证明:由AC x ⊥轴,有13x x =,13y y =-,设以C 为切点的切线斜率为k ,则其方程为11()y y k x x +=-,代入 px y 22=,得0)()(221111222=++++-y kx x p ky x k x k∴222211114(p)4()0k x ky k kx y ∆=++-+= 得21102pk x ky ++=,而2112y px =∴1pk y =-; ………9分由若直线AB 、AD 的斜率互为相反数,则有122p y y ++1420py y =+ ∴12420y y y ++=,BD k =2411222p p py y y y ==-+-,∴BD k k = 而点C 不在BD 上,所以,直线BD 平行于点C 处的切线. ………13分20.(本题满分13分)【解析】(Ⅰ)由已知,xe a x xf )1()('---=,由已知0)('≥x f 对)2,(-∞∈x 恒成立, 故,a x -≤1对)2,(-∞∈x 恒成立,得21≥-a ,∴1-≤a 为所求. ………4分(Ⅱ)证明:0=a ,则x exx f =)(函数)(x f 在0x x =处的切线方程为000()'()()()y g x f x x x f x ==-+ 当0x x =时,()()f x g x =;当0x x ≠时,要证()()f x g x <;即证 ()()f x g x -<0 ………6分 令000()()()()'()()()h x f x g x f x f x x x f x =-=---0'()'()'()h x f x f x =-000)1()1(1100x x xx x x e e x e x e x e x +---=---=第19题图设x x e x e x x )1()1()(00---=ϕ,R x ∈则x x e x ex )1()('00---=ϕ,∵10<x ,∴0)('<x ϕ∴)(x ϕ在R 上单调递减,而0)(0=x ϕ ………10分 ∴当0x x <时,0)(>x ϕ,当0x x >时,0)(<x ϕ 即当0x x <时,'()0h x >,当0x x >时'()0h x <∴()h x 在区间),(0x -∞上为增函数,在区间),(0+∞x 上为减函数 ∴0x x ≠时,0()()0h x h x <=,即有()()f x g x <综上,()()f x g x ≤ ………13分 21.(本题满分13分)【解析】(Ⅰ)先用数学归纳法证明:2n a >(*N n ∈).① 当1n =时,12a a =>,结论正确; ② 假设k n =)1(≥k 时结论成立,即2k a >,则1+=k n 时,12222k k a a +=+>+=,所以1n k =+时,结论正确.故,由①、②及数学归纳法原理,对一切的*N n ∈,都有2n a >成立. ………4分(Ⅱ){}n a 是单调递减的数列.因为22212(2)(1)n n n n n n a a a a a a +-=+-=--+,又2n a >, 所以 2210n n a a +-<,1n n a a +⇒<. 这说明{}n a 是单调递减的数列. ………8分 (Ⅲ)由12n n a a +=+,得212n n a a +=+,所以2142n n a a +-=-.根据(Ⅰ)2n a >(*N n ∈),所以11211224n n n a a a ++-=<-+, 所以 ()()()21111112222444n n n n a a a a +-⎛⎫⎛⎫-<-<-<<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 所以,当3a =时,1124n n a +⎛⎫-< ⎪⎝⎭,即1124n n a +⎛⎫<+ ⎪⎝⎭. 当1=n 时,14323S =<+,当2n ≥时, 212311133222444n n n S a a a -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++<+++++++⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦1111114432(1)121121434314n n n n n --⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-+-=++-<+⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-. ………13分。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
2015安徽省高三第二次高考模拟考试数学(理科)参考答案(1)C 解析:z 3=(12-32i)3=(12-32i)2(12-32i)=(-12-32i)(12-32i)=-1. (2)B 解析:x 2>|x |+2⇔(|x |-2)(|x |+1)>0⇔|x |>2⇒|x |>1,故选B .(3)B 解析:由已知得双曲线的顶点为)0,1(±,渐近线方程为∴=+±,02y x 距离.55252==d(4)B 解析:A =12,n =2;A =-2,n =3;A =92,n =4;A =289,输出结果为4. (5)C 解析:直线l 的直角坐标方程为x -2y +a =0,d =|2cos θ-23sin θ+a |5=|4cos(θ+60°)+a |5,当a >0时,最大值为|4+a |5=25,a =6,当a <0时,最大值为|-4+a |5=25,a =-6,故选C .(6)A 解析:a =log 510=1+log 52<2,b =log 36=1+log 32<2,c =2ln3>2,∴a <b <c . (7)C 解析:|x -1|+|x -2|<3的解集为x ∈(0,3),使y =log 2(x -x 2)有意义的x ∈(0,1),其概率为13.(8)A 解析:如图,直线y =x +1与圆(x -4)2+y 2=13交于点(1,2),(2,3),而y =ax +2过点(0,2),与点(2,3)连线的斜率为12,故a ∈(0,12).(9)D 解析:其中可能共色的区域有AC 、AD 、AE 、AF 、BE 、BF 、CD 、CF 、DF 共9种,故共有涂色方法9A 55=1080种.(10)D 解析:由已知得 →OB=n 2 →OA +m 1 →OC ,显然m >0,n >0,n 2+m1=1,∴n +2m =(n +2m)(n 2+m 1)=2+2+mn+n m 4≥4+2n m m n 4⨯=8,当且仅当n =2m 时取等号.又4m 2+n 2≥12(2m +n )2=32,当且仅当n =2m 取等号,故选D . (11)332π 解析:由已知得球的半径∴=+=,2)3(12r 球的体积.3322343ππ=⋅=V(12)12 解析:b 5+b 8=C 38(-b )3+1=-6,整理得b 3=18,b =12. (13)43-解析:f ′(x )=ωA cos(ωx +φ),由图知2(2π3-π6)=2πω,ω=2,ωA =1,A =12,f ′(x )=cos(2x +φ),2×π6+φ=0,φ=-π3,f (x )=12sin(2x -π3),f (π)=12sin(2π-π3).43-= (14)20+ 解析:由三视图知几何体是边长为2的正方体挖去一个三棱柱,如图所示,所以表面积为225120⨯⨯=+(15)①②⑤ 解析:对于①,∵a 1=1,3、27、9是其中的三项,∴d >0且为整数,∴d =1或d =2,故①正确;对于②,当a 1=27,d =-1时,可满足条件,故②正确;对于③,∵9-3=(t 1-t 2)d ,t 1-t 2=6d ,∴d 是6的因子,同理可知d 是18与24的因子,∴d 是6的因子,而6的因子有±1、±2、±3、±6共8个,故③不正确;对于④,由③知对于d =±2、±6,27与36相差不是2、6的倍数,故④不正确;对于⑤,当a 1=1,d =2时,a n =2n -1,S n =n 2,S 2n =4n 2=4S n ,故⑤正确.(16)解析:(Ⅰ)由已知得4sin 2C cos 2C -10sin 2C cos C -6sin 2C =0, ∴2cos 2C -5cos C -3=0,cos C =-12或cos C =3(舍),∴C =32π.(6分)(Ⅱ)由余弦定理得c 2=a 2+b 2-2ab cos C =(a +b )2-ab ,49=64-ab ,ab =15, ∴△ABC 的面积S △ABC =12ab sin C =1534.(12分) (17)解析:(Ⅰ)连接AC 交DF 于H ,连接EH . 由△AFH ∽△CDH 得AH HC =AF CD =12, 由已知PE =13PC 得PE EC =12,∴EH ∥PA , ∵PA ⊥底面ABCD ,∴EH ⊥底面ABCD .∵EH ⊂平面DEF ,∴平面DEF ⊥平面ABCD .(6分)(Ⅱ)建立如图所示的空间坐标系,设AB =2, →PE=λ →PC (0<λ<1),E (x ,y ,z ),则B (2,0,0),C (2,2,0),D (0,2,0),P (0,0,4), 由 →PE=λ →PC 得(x ,y ,z -4)=λ(2,2,-4),E (2λ,2λ,4-4λ). 设平面ADE 的法向量为m =(a ,b ,c ),则⎩⎨⎧ →AD ·m =0 →AE ·m =0,令c =-λ,则m =(2-2λ,0,-λ).设平面ABE 的法向量为n =(a 1,b 1,c 1),则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0n AE n AB ,令c 1=-λ,∴n =(0,2-2λ,-λ),∴|cos<m ,n >|=m ·n |m |·|n |=λ2(2-2λ)2+λ2=12,解得λ=23. ∴当PE =23PC 时,二面角B -AE -D 为120°.(12分)(18)解析:(Ⅰ)入口1、2、3堵车的概率分别是P 1=25、P 2=35、P 3=12.∴恰有两个路口发生堵车的概率P =25×35×(1-12)+25×(1-35)×12+(1-25)×35×12=1950.(5分) (Ⅱ)X =1,2,3.P (X =1)=35+25×12=45,P (X =2)=25×12(25+35×23)=425,P (X =3)=25×12×35×13=125. 其分布列为EX =1×45+2×425+3×125=3125.(12分)(19)解析:(Ⅰ)将A 点代入圆C 中得1+(3-m )2=5,解得m =1或m =5(舍).(2分) F 1(0,-c )(c >0),设PF 1:y -4=k (x -4),5=|3-4k |1+k 2,解得k =2或k =211, 所以4+c 4=2或4+c 4=211,解得c =4或c =-3611(舍).F 1(0,-4),F 2(0,4),则2a =|AF 1|+|AF 2|=62,a =32,b =2, ∴椭圆E 的方程为:y 218+x 22=1.(6分)(Ⅱ)设Q (x ,y ), →AP=(3,1), →AQ =(x -1,y -3), →AP· →AQ =3(x -1)+y -3=3x +y -6, 令t =3x +y ,代入椭圆y 2+9x 2=18中得18x 2-6tx +t 2-18=0,△=36t 2-72(t 2-18)=-36t 2+72×18≥0,-6≤t ≤6,-12≤t -6≤0,则 →AP · →AQ ∈[-12,0].(13分) (20)解析:(Ⅰ)a =2,f ′(x )=(x +6)(x +1)(x +2)2,当x >-1时,f ′(x )>0;当-2<x <-1时,f ′(x )<0,故f (x )的增区间为(-1,+∞),减区间为(-2,-1),在x =-1处取得极小值f (-1)=1.(6分)(Ⅱ)由(Ⅰ)知当a =2时,f (x )≥f (-1)=1,∴x 2x +2+3ln(x +2)≥1.∵a ≤2,∴0<x +a ≤x +2,x 2x +a ≥x 2x +2.∴f (x )=x 2x +a +3ln(x +2)≥x 2x +2+3ln(x +2)≥1,令g (x )=2-x -e -x,g ′(x )=-1+e -x=1-e xe x ,显然当x >0时,g ′(x )<0;当x <0时,g ′(x )>0. 故g (x )在x =0处取得最大值g (0)=1,g (x )≤1, ∴f (x )≥2-x -e -x.(13分)(21)解析:(Ⅰ)a 1=1,a 2=4,a 3=9,猜想a n =n 2. 下面用数学归纳法证明: ①当n =1时,显然成立.②假设当n =k 时,猜想成立,即a k =k 2,则当n =k +1时,6S k +1=(a k +1+k +1)(2k +3),6S k +6a k +1=(2k +3)a k +1+(k +1)(2k +3),(k 2+k )(2k +1)+6a k +1=(2k +3)a k +1+(k +1)(2k +3),解得a k +1=(k +1)2,故当n =k +1时,猜想成立.由①②知猜想正确,a n =n 2.(7分) (Ⅱ)b n =n 2·2n ,T n =12·21+22·22+32·23+…+n 2·2n , 2T n =12·22+22·23+32·24+…+n 2·2n +1,两式相减得-T n =1·21+3·22+5·23+…+(2n -1)·2n -n 2·2n +1.设M =1·21+3·22+5·23+…+(2n -1)·2n , 2M =1·22+3·23+5·24+…+(2n -1)·2n +1,-M =2+2(22+23+…+2n )-(2n -1)·2n +1=2+2×4(1-2n -1)1-2-(2n -1)·2n +1,M =(2n -3)·2n+1+6,-T n =(2n -3)·2n +1+6-n 2·2n +1,T n =(n 2-2n +3)·2n +1-6.(13分)。