天津市耀华中学高一数学上学期期末考试
2020-2021学年天津市耀华中学高一上学期期末数学试卷(含解析)
2020-2021学年天津市耀华中学高一上学期期末数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共48.0分）<1}，则A∩B=()1.设集合A={x|−3<x<3},B={x|1x−1A. {x|2<x<3}B. {x|−3<x<1}C. {x|−3<x<3}D. {x|−3<x<1或2<x<3}2.如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则下列结论正确的是()A. 二面角D−BC−E是直二面角B. 直线BM，EN是异面直线C. CM⊥END. 直线EN与平面MCB所成角的正弦值为√343.设m是整数且k=4m+2，若f(sinx)=sin kx，求f(cosx)为()A. sin kxB. coskxC. −sinkxD. −coskx4.在ΔABC中，“tanBtanC>1”是“ΔABC为钝角三角形”的()A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.已知a=log45，b=(1)log413，c=log56，则()4A. c>b>aB. c>a>bC. b>c>aD. b>a>c6.已知a=log0.60.5，b=cos2，c=0.60.5，则()A. a>c>bB. a>b>cC. c>a>bD. c>b>a7.设f(x)=2x+x−4，则函数f(x)的零点位于区间()A. (−1,0)B. (0,1)C. (1,2)D. (2,3)8.某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面(由扇形OAD挖去扇形OBC后构成).已知OA=10米，OB=x米(0<x<10)，线段BA、线段CD、弧BC⏜、弧AD⏜的长度之和为30米，圆心角为θ弧度，则θ关于x的函数解析式是()A. θ=2x+10x+10B. θ=x+102x+10C. θ=10−x10+xD. θ=10−x2x+109.定义在区间(0,π2)上的函数y=2cosx的图象与函数y=3tanx的图象的交点为M，则点M到x轴的距离为()A. √32B. √3 C. 1 D. 1210.函数f(x)=sin2x+√3cos2x在区间[0,π]上的零点之和是()A. 2π3B. 7π12C. 7π6D. 4π311.函数y=f(x)的图象向右平移π3单位后与函数y=sin2x的图象重合，则y=f(x)的解析式是()A. f(x)=cos(2x−π3) B. f(x)=cos(2x−π6)C. f(x)=cos(2x+π6) D. f(x)=cos(2x+π3)12.下列结论正确的是()A. 若直线l1：2(m+1)x+(m−3)y+7−5m=0与直线l2：(m−3)x+2y−5=0垂直，则m=3B. 若a=log0.20.1，b=0.20.1，c=0.10.2，则a>b>cC. 圆O1：x2+y2−2x=0和圆O2：x2+y2−4y=0公共弦长为2√55D. 线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强二、单空题（本大题共6小题，共24.0分）13.已知等比数列{a n}的各项都为正数，满足a1=2，a7=4a5，设b n=log2a1+log2a2+⋯+log2a n，则数列{1b n}的前2019项和S2019______．14.函数y=Asin(ωx+φ)+B(A>0)最大值为5，最小值为−1，则振幅A为______．15. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别交单位圆于A 、B 两点．已知A 、B 两点的横坐标分别是√210、2√55.求tan(α+β)的值= ______ ．16. 定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x +4)=f(x)，且在[0,2]上的解析式为f(x)={x(1−x),0≤x ≤1sinπx,1<x ≤2，则f(294)+f(416)= ______ ． 17. 设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2−b 2=(acosB +bcosA)2，且△ABC 的面积为25，则△ABC 周长的最小值为______．18. 函数f(x)=sinωx −√3cosωx(ω>0)的图象在y 轴右侧的第一个最低点的横坐标为11π12，则实数ω=______．三、解答题（本大题共3小题，共36.0分）19. 已知α，β∈(0,π2)，且sin(α+2β)=75sinα．(1)求tan(α+β)−6tanβ的值；(2)若tanα=3tanβ，求α的值．20. 已知向量，，，设函数． (Ⅰ)求的最小正周期；(Ⅱ)求在上的最大值和最小值．21. 已知函数f(x)=sinωx +√3cosωx(ω>0)的周期为π．(1)求函数f(x)的振幅，初相；(2)用五点法作出在长度为一个周期的闭区间上的图象；(3)说明函数f(x)的图象可由y =sinx 的图象经过怎样的变换而得到的？参考答案及解析1.答案：D解析：解：B ={x|x <1，或x >2}；∴A ∩B ={x|−3<x <1，或2<x <3}．故选：D ．可求出集合B ，然后进行交集的运算即可．考查描述法的定义，分式不等式的解法，以及交集的运算．2.答案：D解析：解：点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，如图，构造长方体ABCD −PQGH ，则E 是GH 中点，在A 中，∵二面角D −BC −G 是直二面角，∴二面角D −BC −E 是锐二面角，故A 错误；在B 中，连结BD ，MN ，则N 是BD 中点，∴MN//BE ，∴BM 与EN 是相交线，故B 错误；在C 中，以C 为原点，CD 为x 轴，CB 为y 轴，CG 为z 轴，建立空间直角坐标系，设AB =2，则B(0,2,0)，C(0,0,0)，D(2,0,0)，E(1,0,√3)，M(32,0,√32)，E(1,0,√3)，N(1,1,0)， CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(32,0,√32)，EN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,−√3)， CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−32≠0，∴CM 与EN 不垂直，故C 错误； 在D 中，EN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,−√3)，CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(32,0,√32)，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,0)， 设平面MCB 的法向量n⃗ =(x,y,z)，则{n ⃗ ⋅CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =32x +√32y =0n ⃗ ⋅CB⃗⃗⃗⃗⃗ =2y =0，取x =1，得n ⃗ =(1,−√3,0)， 设直线EN 与平面MCB 所成角为θ，则sinθ=|EN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||EN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√34． ∴直线EN 与平面MCB 所成角的正弦值为√34.故D 正确． 故选：D ．构造长方体ABCD −PQGH ，则E 是GH 中点．在A 中，二面角D −BC −E 是锐二面角；在B 中，连结BD ，MN ，则N 是BD 中点，MN//BE ，从而BM 与EN 是相交线；在C 中，以C 为原点，CD 为x 轴，CB 为y 轴，CG 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法推导出CM 与EN 不垂直；在D 中，求出平面MCB 的法向量，利用向量法能求出直线EN 与平面MCB 所成角的正弦值．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．3.答案：A解析：故选A ．4.答案：D解析：解：△ABC 中，若tanBtanC >1，∴tanB 、tanC 都大于零，故B 和C 都是锐角，∴tan(B +C)=tanB+tanC1−tanB⋅tanC <0，根据A +B +C =π，可得tanA =−tan(B +C)>0，故A 为锐角，故△ABC 的形状为锐角三角形，若△ABC 为钝角三角形，B 或C 为钝角，则tanBtanC <0，若A 为钝角，则tanA <0，tan(B +C)=tanB+tanC1−tanB⋅tanC >0，tanBtanC <1，故在△ABC 中，“tanBtanC >1”是“△ABC 为钝角三角形”的既不充分也不必要条件故选：D ．根据两角和的正切公式，诱导公式，结合充要条件的定义，判断可得答案．本题以充要条件为载体，考查三角形形状的判断，难度中档．5.答案：D解析：解：∵log 56>0，log 45>0，∴log 56log 45=log 56⋅log 54<(log 56+log 542)2=(log 5242)2<(log 5252)2=1，∴log 56<log 45<log 416=2，又(14)log 413=4log 43=3，∴b >a >c ．故选：D ．根据基本不等式和对数的运算即可得log 56log45<1，则log 56<log 45<2，进一步得到a ，b ，c 的大小关系．本题考查了对数的运算性质，基本不等式的应用，对数函数的单调性，考查了计算能力，属于中档题． 6.答案：A解析：解：∵a =log 0.60.5>log 0.60.6=1，b =cos2<0，0<c =0.60.5<0.60=1，∴a >c >b ．故选：A ．利用对数函数、三角函数、指数函数的单调性求解．本题考查三个数的大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数、三角函数、指数函数的单调性的合理运用．7.答案：C解析：本题考察了函数零点的判定定理，函数的零点的研究就可转化为相应方程根的问题，函数与方程的思想得到了很好的体现，属于基础题．根据零点的判定定理，直接将选项代入解析式即可．解：∵f(x)=2x +x −4，∴f(1)=−1<0，f(2)=2>0，故选：C．8.答案：A解析：解：根据题意，可算得弧BC=x⋅θ(米)，弧AD=10θ(米)．∴2(10−x)+x⋅θ+10θ=30，∴θ=2x+10x+10(0<x<10)，故选：A．根据弧长公式和周长列方程得出θ关于x的函数解析式；本题考查了函数解析式的求解，弧长公式的应用，属于基础题．9.答案：B解析：解：由题意，令2cosx=3tanx，x∈(0,π2)，可得2cos2x=3sinx，即2−2sin2x=3sinx，即2sin2x+3sinx−2=0，求得sinx=12，∴x=π6，∴y=2cosπ6=2×√32=√3．即点M到x轴的距离为√3．故选：B．由题意令2cosx=3tanx，x∈(0,π2)，求出x的值，再计算对应的y值．本题考查了正切函数和余弦函数的应用问题，是基础题．10.答案：C解析：解：由f(x)=sin2x+√3cos2x=0得sin2x=−√3cos2x，即tan2x=−√3，即2x=kπ−π3，即x=kπ2−π6，∵0≤x ≤π，∴当k =1时，x =π3，当k =2时，x =5π6，则函数f(x)的零点之和为π3+5π6=7π6，故选：C ． 由f(x)=0结合正切函数的性质求出函数的零点即可得到结论．本题主要考查函数零点的求解和应用，根据正切函数的性质求出x 的值是解决本题的关键． 11.答案：C解析：解：由题意可得把函数y =sin2x 的图象向左平移π3单位后与函数y =f(x)的图象重合， 故f(x)=sin2(x +π3)=sin(2x +2π3)=cos[π2−(2x +2π3)]=cos(−π6−2x)=cos(2x +π6)， 故选C ．由题意可得把函数y =sin2x 的图象向左平移π3单位后与函数y =f(x)的图象重合，再根据诱导公式，以及函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，求得y =f(x)的解析式．本题主要考查诱导公式的应用，函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，属于中档题． 12.答案：B解析：解：对于A ：若直线l 1：2(m +1)x +(m −3)y +7−5m =0与直线l 2：(m −3)x +2y −5=0垂直，所以2(m +1)(m −3)+(m −3)×2=0，则m =3或m =−2. 故A 错误，对于B ：∵log 0.20.1>1，而1>0.20.1>0.20.2>0.10.2，∴log 0.20.1>0.20.1>0.10.2>0，∴a >b >c. 故B 正确．对于C ：∵O 1(1,0)，r 1=1，O 2(0,2)，r 2=2，|O 1O 2|=√5，r 2−r 1<|O 1O 2|<r 1+r 2， ∴圆O 1：x 2+y 2−2x =0和圆O 2：x 2+y 2−4y =0相交．由{x 2+y 2−2x =0x 2+y 2−4y =0可得公共弦所在直线方程x −2y =0， ∴O 1(1,0)到直线的距离d =√5=√55，∴公共弦长2√r 12−d 2=4√55. 故C 错误．对于D ：线性相关系数r 绝对值越大，两个变量的线性相关性越强． 故D 错误．故选：B ．对于A ：若直线l 1与直线l 2垂直，则2(m +1)(m −3)+(m −3)×2=0，解得m ，即可判断A 是否正确；对于B ：log 0.20.1>1，log 0.20.1>1，而1>0.20.1>0.20.2>0.10.2即可判断B 是否正确；对于C ：两个圆方程作差，可得可得公共弦所在直线方程，再由弦长公式，即可判断C 是否正确； 对于D ：由线性相关系数r 绝对值越大，两个变量的线性相关性越强． 即可判断D 是否正确． 本题考查直线与直线，圆与圆，对数，变量的相关关系，属于中档题．13.答案：20191010解析：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式求和公式、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．设等比数列{a n }的公比为q >0，根据a 1=2，a 7=4a 5，可得q 2=4，解得q.利用通项公式、对数运算性质可得b n ，再利用求和公式、裂项求和方法即可得出．解：设等比数列{a n }的公比为q >0，∵a 1=2，a 7=4a 5，∴q 2=4，解得q =2．∴a n =2n ，log 2a n =n ．∴b n =log 2a 1+log 2a 2+⋯+log 2a n =1+2+⋯…+(n −1)+n =n(n+1)2． ∴1b n =2(1n −1n+1)． 则数列{1b n }的前2019项和S 2019=2(1−12+12−13+⋯…+12019−12019+1) =2(1−12020)=20191010．故答案为20191010． 14.答案：3解析：解：∵A >0，∴当sin(ωx +φ)=1时，函数取得最大值，当sin(ωx +φ)=−1时，函数取得最小值， 即{A +B =5−A +B =−1； 解得A =3，B =2， 故答案为：3．根据正弦函数的图象和性质，建立方程即可得到结论．本题主要考查余弦函数的性质，利用余弦函数的单调性和最值是解决本题的关键，比较基础．15.答案：−3解析：解：∵cosα=√210，cosβ=2√55，α、β均为锐角， ∴sinα=√1−cos 2α=7√210，sinβ=√1−cos 2β=√55， ∴tanα=7，tanβ=12， ∴tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ=7+121−7×12=−3．故答案为：−3． 利用cosα=√210，cosβ=2√55，α、β均为锐角，可求得sinα与sinβ的值，继而可得tanα=7，tanβ=12，利用两角和的正切即可求得答案．本题考查任意角的三角函数的定义，考查同角三角函数间的关系式及两角和的正切，属于中档题．16.答案：516解析：解：由f(x +4)=f(x)，得函数的周期是4，则f(294)=f(8−34)=f(−34)， ∵f(x)是奇函数，∴f(−34)=−f(34)=−34×14=−316， f(416)=f(8−76)=f(−76)=−f(76)=−sin7π6=sin π6=12，则f(294)+f(416)=12−316=516． 故答案为：516．根据函数的奇偶性和周期性，以及分段函数的表达式代入即可得到结论．本题主要考查函数值的计算，根据函数的奇偶性和周期性以及分段函数的表达式进行转化是解决本题的关键．17.答案：10+10√2解析：解：若a 2−b 2=(acosB +bcosA)2，则a2−b2=(a⋅c2+a2−b22ca +b⋅b2+c2−a22bc)2，即为a2−b2=c2，即a2=b2+c2，可得角A为直角，由题意可得S△ABC=12bc=25，即bc=50，周长l=a+b+c=√b2+c2+b+c≥√2bc+2√bc=10+10√2，当且仅当b=c=5√2时取得等号．则周长的最小值为10+10√2．故答案为：10+10√2．运用余弦定理和勾股定理可得三角形为直角三角形，再由基本不等式可得所求最小值．本题考查三角形的余弦定理和面积公式的运用，以及基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于基础题．18.答案：2解析：解：f(x)=sinωx−√3cosωx(ω>0)=2sin(ωx−π3)，∵图象在y轴右侧的第一个最低点的横坐标为11π12，∴由五点对应法得11π12ω−π3=3π2得11π12ω=3π2+π3=11π6，则ω=2，故答案为：2．利用辅助角公式进行化简，结合y轴右侧的第一个最低点的横坐标为11π12，利用五点对应法建立方程进行求解即可．本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式求出f(x)的表达式，结合五点对应法建立方程是解决本题的关键．19.答案：解：(1)由sin(α+2β)=75sinα，得sin[(α+β)+β]=75sin[(α+β)−β]，∴5sin(α+β)cosβ+5cos(α+β)sinβ=7sin(α+β)cosβ−7cos(α+β)sinβ，得2sin(α+β)cosβ−12cos(α+β)sinβ=0，即tan(α+β)−6tanβ=0；(2)由tan(α+β)−6tanβ=0，得tanα+tanβ1−tanαtanβ−6tanβ=0，又tanα=3tanβ，∴tanβ=13tanα，代入上式得：43tanα1−13tan2α−2tanα=0，解得：tanα=1，∵α∈(0,π2)，∴α=π4．解析：(1)把已知等式变形，展开两角和与差的正弦，在转化为正切求得tan(α+β)−6tanβ的值；(2)由(1)求出的tan(α+β)−6tanβ的值，展开两角和的正切，结合tanα=3tanβ求α的值．本题考查三角函数的化简求值，考查了两角和与差的三角函数的应用，是中档题．20.答案：(Ⅰ)；(Ⅱ)最小值，最大值1．解析：解：(Ⅰ)=．所以的周期.(Ⅱ)当时，，由在上的图象可知：当，即时，取最小值，当，即时，取最大值．21.答案：解：(1)∵函数f(x)=sinωx+√3cosωx=2sin(ωx+π3)(ω>0)的周期为T=2πω=π，∴ω=2，f(x)=2sin(2x+π3)，∴振幅为2，初相为π3．(2)列表：2x+π30π2π3π22πx−π6π12π37π125π6f(x)020−20作图：(3)由y=sinx的图象向左平移π3个单位，再把所得图象上的各点的横坐标变为原来的12，再把所得图象上的各点的纵坐标变为原来的2倍，即可得到函数f(x)的图象．解析：(1)利用两角和的正弦公式求得f(x)=2sin(ωx+π3)(ω>0)，再根据它的周期为2πω=π，求得ω的值，可得f(x)=2sin(ωx+π3)，从而求得振幅和初相．(2)用五点法作函数y=Asin(ωx+φ)在一个周期上的简图．(3)根据函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，可得结论．本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象性质，用五点法作函数y=Asin(ωx+φ)在一个周期上的简图，函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，属于基础题．。
天津市耀华中学2017-2018学年高一上学期期末数学试卷Word版含解析.pdf
天津市耀华中学2017-2018学年高一上学期期末数学试卷一、选择题：1．设，是两个不共线向量，若向量与向量共线，则λ的值为（）A．B．﹣2 C．D．2．为得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位3．已知与为互相垂直的单位向量，，且与的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2）B．（，+∞）C．（﹣2，）D．（﹣）4．若，则tanα=（）A．B．2C．D．﹣25．函数的单调增区间是（）A．B．C．D．6．已知向量，则|的最大值，最小值分别是（）A．4，0 B．4，4C．16，0 D．4，07．函数y=的最小正周期是（）A．B．C．πD．2π8．设f（x）是定义域为R，最小正周期为的函数，若，则等于（）A．B．1C．0D．9．若tanα=3，则的值等于（）A．2B．3C．4D．610．若曲线y=Asinωx+a（A＞0，ω＞0）在区间上截直线y=2与y=﹣1所得的弦长相等且不为0，则下列对a和A的描述正确的是（）A．B．a=1，A＞1 C．≤D．a=1，A≤1二、填空题：11．已知向量=（2，3），=（﹣l，2），若与垂直，则m等于．12．若向量，满足且与的夹角为，则=．13．已知函数f（x）=Atan（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜），y=f（x）的部分图象如图，则f（）=．14．已知f（x）=sin（ω＞0），f（）=f（），且f（x）在区间上有最小值，无最大值，则ω=．15．函数的最大值等于．16．若非零向量、，满足，且，则与的夹角大小为．三、解答题17．已知cos（x﹣）=，x∈（，）．（1）求sinx的值；（2）求sin（2x）的值．18．已知△ABC三个顶点的直角坐标分别为A（3，4）、B（0，0）、C（c，0）．（1）若，求c的值；（2）若c=5，求sinA的值．19．已知．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）的值域；（3）求函数f（x）的单调递增区间．20．已知向量=（sinθ，1），=（1，cosθ），﹣＜θ＜．（Ⅰ）若，求θ；（Ⅱ）求|的最大值．21．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）﹣cos（ωx+φ）（0＜φ＜π，ω＞0）为偶函数，且函数y=f（x）图象的两相邻对称轴间的距离为．（1）求f（）的值；（2）将函数y=f（x）的图象向右平移个单位后，得到函数y=g（x）的图象．求g（x）的单调递减区间．天津市耀华中学2017-2018学年高一上学期期末数学试卷一、选择题：1．设，是两个不共线向量，若向量与向量共线，则λ的值为（）A．B．﹣2 C．D．考点：平行向量与共线向量．专题：平面向量及应用．分析：根据向量共线的等价条件得=m，解方程即可得到结论．解答：解：∵向量与向量共线，∴存在实数m，满足=m，即3+λ=m（2﹣3）∵，是两个不共线向量，∴，解得m=，λ=，故选：C．点评：本题主要考查向量共线定理的应用，解方程是解决本题的关键．比较基础．2．为得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题．分析：先根据诱导公式将函数化为正弦的形式，再根据左加右减的原则进行平移即可得到答案．解答：解：∵，只需将函数y=sin2x的图象向左平移个单位得到函数的图象．故选A．点评：本题主要考查诱导公式和三角函数的平移．属基础题．3．已知与为互相垂直的单位向量，，且与的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2）B．（，+∞）C．（﹣2，）D．（﹣）考点：平面向量数量积的运算；数量积表示两个向量的夹角．分析：本题考查的知识点是平面向量数量积的运算，由与为互相垂直的单位向量，我们易得，，代入，可求出?，又由与的夹角为锐角，故?＞0，由此得到一个关于λ的不等式，解不等式即可得到实数λ的取值范围，但要注意，与同向的排除．解答：解：∵与为互相垂直的单位向量∴，，又∵，。
天津市耀华中学2019-2020学年高一上学期期末数学试卷 (有解析)
天津市耀华中学2019-2020学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共40.0分） 1.√3cos10°−1sin170°=( )A. 4B. 2C. −2D. −42. 函数y =cos(x −5π6)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得图象向左平移π3个单位，则所得函数图象对应的解析式是( )A. y =cos 12x B. y =cos(2x −π6) C. y =sin(2x −π6)D. y =sin(12x −π6)3. 已知a =4log 34.1，b =4log 32.7，c =(12)log 30.1，则( )A. a >b >cB. b >a >cC. a >c >bD. c >a >b4. “φ=0”是“函数y =cos(x +φ)为偶函数”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5. 已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且在区间[0,+∞)单调递减，若实数a 满足f(log 3a)+f(log 13a)≥2f(1)，则a 的取值范围是( )A. (0,3]B. (0,13]C. [13,3]D. [1,3]6. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 为锐角三角形，且满足，sin2C =tanA(2sin 2C +cosC −2)，则等式成立的是( )A. b =2aB. a =2bC. A =2BD. B =2A7. 已知sin(π4−α)=1213，则cos(5π4+α)=( )A. −1213B. 1213C. 513D. −5138. 若函数f(x)=sinωx(ω>0)在区间[π3,π2]上单调递减，则ω取值范围是( )A. 0≤ω≤23B. 0≤ω≤32C. 23≤ω≤3D. 32≤ω≤3二、填空题（本大题共7小题，共28.0分）9. 计算sin4π3cos25π6tan (−5π4)=__________.10. 若cos(π+α)=−13，则sin(π2−α)= ______ ． 11. 函数y =3−2x1+2x的值域是______．12. 定义在R 上的函数f(x)满足f(−x)=−f(x),f(x)=f(x +4),且当x ∈(−1,0)时f(x)=2x +15，则f(log 220)=________．13. 函数f(x)=ln(2−x)的定义域为_______________．14. 如图，已知A,B 分别是函数f(x)=3sinωx(ω>0)在y 轴右侧图象上的第一个最高点和第一个最低点，且∠AOB =π2，则该函数的周期是___________．15. 关于函数f(x)=4sin (2x −π3)(x ∈R)，有下列说法：①y =f(x +43π)为偶函数；②要得到函数g(x)=−4sin 2x 的图象，只需将f(x)的图象向右平移π3个单位长度； ③y =f(x)的图象关于直线x =−π12对称；④y =f(x)在[0,2π]内的增区间为[0,512π]和[1112π,2π]． 其中正确说法的序号为________． 三、解答题（本大题共3小题，共32.0分）16. 已知函数f(x)=1−2sin 2(x +π8)+2sin(x +π8)cos(x +π8)．(1)求f(x)的最小正周期及单调增区间； (2)求f(x)在区间[−π4,3π8]上的最值．17.已知：函数f(x)=2cosx+sin2x(−π4<x≤π2)，求：f(x)的最小值，以及取最小值时x的值．18.已知二次函数f(x)=ax2−4x+c.若f(x)<0的解集是(−1,5)(1)求实数a，c的值；(2)求函数f(x)在x∈[0,3]上的值域．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：本题考查三角函数的化简求值，解题的关键是诱导公式以及两角和差公式，二倍角公式的灵活运用． 利用诱导公式以及两角和差公式，二倍角公式对待求式进行化简可得结果．解：√3cos10°−1sin170°=√3cos10°−1sin10°=√3sin10°−cos10°sin10°cos10°=2(sin10°cos30°−cos10°sin30°)12sin20°=4sin(10°−30°)sin20°=−4sin20°sin20°=−4．故选D ．2.答案：D解析：解：由题意可得： 若将函数y =cos(x −5π6)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，即周期变为原来的两倍，所以可得函数y =cos(12x −5π6)，再将所得的函数图象向左平移π3个单位，可得y =cos[12(x +π3)−5π6]=cos(12x −2π3)=sin(12x −π6). 故选D ．将原函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，即周期变为原来的两倍，得到函数y =cos(12x −5π6)，再根据平移原则左加右减上加下减得到函数解析式．本题考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换，考查计算能力，三角函数的平移原则为左加右减上加下减．3.答案：C解析：本题考查了指数函数与对数函数的单调性，为基础题.利用指数函数与对数函数的单调性比较大小，2为底的指数函数为增函数，3为底的对数函数为增函数，可比较大小．解：，，，∵4.12>10>2.72，，∴a>c>b故选C．4.答案：A解析：解：函数y=cos(x+φ)为偶函数，则φ=2kπ，k∈Z，故“φ=0”是“函数y=cos(x+φ)为偶函数充分不必要条件，故选：A根据充分必要条件的定义即可判断．本题是基础题，考查余弦函数的奇偶性，必要条件、充分条件与充要条件的判断，正确计算函数是偶函数的条件是解题的关键．5.答案：C解析：解：由于函数f(x)是定义在R上的偶函数，则f(−x)=f(x)，即有f(x)=f(|x|)，a)≥2f(1)，由实数a满足f(log3a)+f(log13则有f(log3a)+f(−log3a)≥2f(1)，即2f(log3a)≥2f(1)即f(log3a)≥f(1)，即有f(|log3a|)≥f(1)，由于f(x)在区间[0,+∞)上单调递减，则|log3a|≤1，即有−1≤log3a≤1，解得13≤a≤3．故选C．由于函数f(x)是定义在R上的偶函数，则f(−x)=f(x)，即有f(x)=f(|x|)，f(log3a)+f(−log3a)≥2f(1)，即为f(|log3a|)≥f(1)，再由f(x)在区间[0,+∞)上单调递减，得到|log3a|≤1，即有−1≤log3a≤1，解出即可．本题考查函数的性质和运用，考查函数的奇偶性、单调性和运用，考查对数不等式的解法，考查运算能力，属于中档题．6.答案：B解析：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．利用三角函数恒等变换的应用，正弦定理化简已知等式可得a=2b，即可得解．解：∵△ABC为锐角三角形，且sin2C=tanA(2sin2C+cosC−2)，∴2sinCcosC=tanA(cosC−2cos2C)=tanAcosC(1−2cosC)，∴2sinC=tanA(1−2cosC)，∴2sinCcosA=sinA−2sinAcosC，∴sinA=2sinCcosA+2sinAcosC=2sin(A+C)=2sinB，∴a=2b．故选：B．7.答案：A解析：解：∵sin(π4−α)=1213，∴cos(5π4+α)=−cos(π4+α)=−sin[π2−(π4+α)]=−sin(π4−α)=−1213．故选：A．利用诱导公式可得cos(5π4+α)=−cos(π4+α)=−sin[π2−(π4+α)]=−sin(π4−α)，结合已知即可求值．本题主要考查了诱导公式在化简求值中的应用，属于基础题．8.答案：D解析：本题考查正弦函数的单调减性，属于简单题．利用正弦函数的单调减区间，确定函数的单调减区间，根据函数f(x)=sinωx(ω>0)在区间[π3,π2]上单调递减，建立不等式，即可求ω取值范围．解：令，则π2ω+2kπω≤x≤3π2ω+2kπω，∵函数f(x)=sinωx(ω>0)在区间[π3,π2]上单调递减，，得ω≤6，∴π2ω≤π3且3π2ω≥π2，∴32≤ω≤3．故选D．9.答案：34解析：原式中的角度变形后，利用诱导公式化简，再利用特殊角的三角函数值计算即可求出值．解：原式=sin(π+π3)cos(4π+π6)tan(−π4)=−√32×√32×(−1)=34，故答案为34．10.答案：13解析：解：∵cos(π+α)=−cosα=−13， ∴cosα=13，sin(π2−α)=cosα=13，故答案为：13．利用三角函数的诱导公式化简求值即可． 本题考查运用诱导公式化简求值，属于基础题．11.答案：(−1,3)解析：解：y =3−2x 1+2x=−1+41+2x ；∵2x >0；∴1+2x >1，0<11+2x <1； ∴−1<−1+41+2x <3； ∴原函数的值域为(−1,3)． 故答案为：(−1,3)．分离常数即可得出y =−1+41+2x ，根据2x >0即可求出−1+41+2x 的范围，即求出原函数的值域． 考查函数值域的定义及求法，分离常数法的运用，以及不等式的性质，指数函数的值域．12.答案：−1解析：本题考查函数的奇偶性，函数的周期性，利用性质求函数值，属于基础题． 由题意知f(x)是以4为周期的奇函数，当x ∈(−1,0)时f(x)=2x +15，且由此即可求解．解：由题意知f(x)是以4为周期的奇函数，，∵log 245∈(−1,0)，且当x ∈(−1,0)时f(x)=2x +15，．故答案为−1．13.答案：(−∞,2)解析：本题考查了函数的定义域．由对数函数的性质可得2−x>0，求解即可．解：要使函数f(x)=ln(2−x)有意义，则2−x>0，解得x<2，故函数f(x)=ln(2−x)的定义域为(−∞,2)．故答案为(−∞,2)．14.答案：4√3解析：本题主要考查了函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质的应用，解题的关键是熟练掌握函数y= Asin(ωx+φ)的图象与性质的计算，根据已知及函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质的计算，求出该函数的周期．解：∵AB分别是函数f(x)=3sinωx(ω>0)在y轴右侧图象上的第一个最高点和第一个最低点，且∠AOB=π2，∴可得A(T4,3),B(3T4,−3)，且OA→·OB→=0，即3T216−9=0，解得T=4√3．故答案为4√3．15.答案：②③解析：本题以命题真假的判断为载体，考查了函数y=Asin(ωx+⌀)的图象与性质，属于中档题．根据函数的奇偶性判断①的正误；根据平移变换知识确定②的正误；根据函数的对称性确定③的正误；根据单调区间判断④的正误，即可得到结果．解：①y=f(x+43π)=4sin(2x+83π−π3)=4sin(2x+73π)，所以y=f(x+43π)不是偶函数，所以①错误；②把函数f(x)=4sin(2x−π3)的图象向右平移π3个单位长度，得到函数f1(x)=4sin[2(x−π3)−π3]=4sin(2x−π)=−4sin2x=g(x)的图象，所以②正确；③当x=−π12时，f(x)取得最小值−4，所以③正确；④由2kπ−π2≤2x−π3≤2kπ+π2，k∈Z，得kπ−π12≤x≤kπ+512π，k∈Z，分别代入k=0，1，可知④错误．故答案为②③。
天津市耀华中学高一数学上学期期末考试
天津市耀华中学2013-2014学年度第一学期期末考试高一年级数学试卷第I 卷（选择题共40分）★请同学们将试题答案填涂在答题卡上一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知角α终边上一点22(sin ,cos )33P ππ，则角α的最小正值为 A ．116π B ．56π C.53π D 23π； 2、已知平面向量(1,2),(2,)a b m ==-，且a//b ，则23a b +=A. (-5, -10) B ．(-4, -8)C ．(-3，-6) D. (-2，-4)3、把函数sin ()y x x R =∈的图象上所有的点向左平行移动3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是 A.sin(2),3y x x R π=-∈ B ．sin(),26x y x R π=+∈ C. sin(2),3y x x R π=+∈ D.2sin(2),3y x x R π=+∈ 4、已知函数2()(1cos2)sin ,f x x x x R =+∈，则f(x)是A. 最小正周期为π的奇函数 B ：最小正周期为2π的奇函数 C ．最小正周期为π的偶函数 D. 最小正周期为2π的偶函数 5、下列关系式中正确的是A ．sin11cos10sin168<<o o o B. sin168sin11cos10<<o o oC. sin11sin168cos10<<o o oD. sin168cos10sin11<<o o o 6、已知6,3,12a b a b ==⋅=-，则向量a 在向量b 方向上的投影是A ．2 B. -2 C.4 D. -47、如图，它表示电流sin()(0,0)I A t A ωϕω=+>>在一个周期内的图象，则sin()I A t ωϕ=+的解析式为A ．1003sin()33I t ππ=+ B. 1003sin()36I t ππ=+ C. 503sin()36I t ππ=+ D. 503sin()33I t ππ=+ 8、设函数()sin()()3f x x x R π=+∈，则()f xA ．在区间27,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数B ．在区间,2ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上是减函数 C ．在区间,84ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数 D ．在区间5,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数 9、已知函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值是-2，则ω的最小值等于 A.23 B. 32C.2 D ．3 10、若向量a 与b 的夹角为60o ，4,(2)(3)72b a b a b =+⋅-=-，则向量a 的模为A.2 B ．4 C.6 D ．12第II 卷（非选择题共60分）二、填空题：本大题共8小题，每小题4分，共32分，请将答案填写在答题纸上。
2020-2021学年天津市耀华中学高一上学期期末数学试题(解析版)
2020-2021学年天津市耀华中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合{}2560A xx x =-+≤∣，集合{}24xB x =>∣，则集合A B =（ ）A ．{}|23x x ≤≤B ．{}|2x x ≤<3C ．{}|23x x <≤D ．{}|23x x <<【答案】C【分析】由一元二次不等式、指数不等式可得集合A 、B ，再由交集的定义即可得解.【详解】由题意，{}{}256023A xx x x x =-+≤=≤≤∣∣，{}{}242x B x x x =>=>∣∣，所以{}23Ax x B =<≤∣.故选：C.2．命题2:0,30p x x ax ∀≥-+>,则p ⌝为（ ） A ．20,30x x ax ∀<-+≤ B ．20,30x x ax ∃≥-+≤ C ．20,30x x ax ∀≥-+< D ．20,30x x ax ∃<-+≤【答案】B【分析】利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可.【详解】由全称命题的否定是特称命题,命题2:0,30p x x ax ∀≥-+>, 所以:p ⌝20,30x x ax ∃≥-+≤.故选：B.【点睛】本题考查命题的否定,特称命题与全称命题的否定关系,属于基础题. 3．若sin 0α<，且tan 0α>，则α是 A ．第一象限角 B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【答案】C【详解】sin 0α<，则α的终边在三、四象限； tan 0α>则α的终边在三、一象限，sin 0α<，tan 0α>，同时满足，则α的终边在三象限．4．“2,6x k k Z ππ=+∈”是“1sin 2x =”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】解正弦方程，结合题意即可容易判断. 【详解】因为12sinx =，故可得26x k ππ=+或52,6x k k Z ππ=+∈， 则“2,6x k k Z ππ=+∈”是“1sin 2x =”的充分不必要条件. 故选：A.【点睛】本题考查命题之间的关系，涉及三角方程的求解，属综合基础题. 5．已知0.2log 2a =，0.33b =，3log 2c =，则 A ．a b c << B ．a c b << C ．c a b << D ．b c a <<【答案】B【分析】根据指数函数与对数函数的图像与性质，借助中间值法即可比较大小. 【详解】由对数函数的图像与性质可得0.2log 20a =<，0.331b =>，30log 21c <=<，所以a c b <<， 故选：B.【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的图像与性质应用，由中间值法比较大小，属于基础题.6．函数()log 31a y x =-+（0a >且1a ≠ ）的图象恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny +-=上，其中00m n >>，，则mn 的最大值为A ．12B ．14C ．18D ．116【答案】D【详解】∵由31x -=得4x =，∴函数()log 31a y x =-+（0a >且1a ≠ ）的图像恒过定点()41A ，，∵点A 在直线10mx ny +-=上，∴41m n +=，∵4m n +≥当且仅当14=2m n =，即11=82m n =，时取等号， ∴116mn ≤，∴mn 最大值为116，故选D ． 【名师点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．7．已知函数()32xf x m =--有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是 A ．[0,2] B ．(0,2) C ．[0,2) D ．(0,2]【答案】B【分析】函数()32xf x m =--有两个不同的零点，等价于函数32xy =-与函数y m =的图象有两个交点，作出函数32x y =-与y m =的图象即可得到m 的范围.【详解】函数()32xf x m =--有两个不同的零点，等价于函数32xy =-与函数y m =的图象有两个交点，作出函数32x y =-与y m =的图象，如图所示，由图可知，当02m <<时，函数32xy =-与函数y m =的图象有两个交点，所以实数m 的取值范围是 (0,2). 故选B ．【点睛】本题考查函数的零点问题，属中档题.函数零点的几种等价形式：函数()()y f x g x =-的零点⇔函数()()y f x g x =-的图象与x 轴的交点的横坐标⇔方程()()0f x g x -=的根⇔函数()y f x =与函数()y g x =的图象的交点的横坐标．8．若扇形的圆心角120α=︒，弦长12cm AB =，则弧长l =（ ）cm A ．433πB ．833πC ．43π D ．83π 【答案】B【分析】由弦长和圆心角，求出扇形半径，根据扇形弧长公式，即可求解. 【详解】设扇形的半径为r ，依题意0643sin 60r ==， 弧长28333l r ππ==. 故选:B.【点睛】本题考查扇形的弧长，要注意圆心角要化为弧度角，属于基础题. 9．如图所示，函数y =cos x ⋅|tan x |（3π02x <≤且π2x ≠）的图象是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C【分析】根据绝对值的定义化简函数式，然后可判断．【详解】由已知sin ,0,2cos tan sin ,,23sin ,2x x y x x x x x x πππππ⎧≤<⎪⎪⎪==-<≤⎨⎪⎪<<⎪⎩，对照各选项，C 是正确．故选：C ．（也可以根据函数值在三个区间上的正负判断） 10．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)0,0,||2A πωϕ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则1124f π⎛⎫⎪⎝⎭的值为（ ）A ．6B ．3C ．22-D ．－1【答案】D【分析】根据图像，先求出A ，再求出ω，然后得到77()2)21212f ππϕ=⨯+=-3πϕ=，最后，直接求函数值即可【详解】有图得，2A =741234T πππ=-=，2T ππω∴==，得2ω=，所以，()2)f x x ϕ=+，利用77()2)21212f ππϕ=⨯+=- 得出72,62k k z ππϕπ+=-+∈，由||2ϕπ<得，3πϕ=，则有()2)3f x x π=+，所以，111152sin()21241234f ππππ⎛⎫=+==- ⎪⎝⎭故选：D【点睛】关键点睛：解题关键在于，根据图像得到()2)3f x x π=+，最后求出函数值，难度属于基础题11．把函数cos y x =的图象上所有点向右平行移动6π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（ ） A ．1cos 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭B ．cos 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ C ．1cos 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．cos 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】B【分析】由三角函数图象的变换逐步运算即可得解.【详解】由题意，将函数cos y x =的图象上所有点向右平行移动6π个单位长度可得函数cos 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12得到函数cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象. 故选：B.12．已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期是π，把它图象向右平移3π个单位后得到的图象所对应的函数为奇函数，现有下列结论： ①函数()f x 的图象关于直线12x π=-对称 ②函数()f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称③函数()f x 在区间,212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减 ④函数()f x 在3,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有3个零点正确的结论是（ ） A ．①②③ B ．①②④C ．②③D ．②④【答案】A【分析】利用函数()y f x =的最小正周期以及平移后的函数的奇偶性求出ω、ϕ的值，可求得函数()y f x =的解析式，利用正弦型函数的对称性可判断①②的正误；利用正弦型函数的单调性可判断③的正误；当3,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，82333x πππ≤-≤，结合三角函数的图象可判断④的正误.【详解】因为函数()y f x =的最小正周期为π，则22πωπ==，则()()sin 2f x x ϕ=+，将函数()y f x =的图象向右平移3π个单位后得到函数 2sin 2sin 233y x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+-⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 由于函数2sin 23y x πϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭为奇函数，则()23k k Z πϕπ-=∈， 可得2,3k k Z πϕπ=+∈.22ππϕ-<<，1k ∴=-，则3πϕ=-，()sin 23f x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭,对于命题①，()min sin 2sin 1121232f f x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯--=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， ∴函数()f x 的图象关于直线12x π=-对称，故①正确；对于命题②，sin 2sin 00663f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴函数()f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称，故②正确；对于命题③，当212x ππ-≤≤-时，42332x πππ-≤-≤-， 所以函数()y f x =在区间,212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减，③正确； 对于命题④，当3,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，82333x πππ≤-≤，∴函数()f x 在3,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有2个零点，故④错误.故选：A.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是对于三角函数的图象、性质及其图象变换准确把握，要注意整体法的应用.二、填空题13．计算：2203227()25()( 6.9)2238lg lg -+---+=______．【答案】1【分析】结合指数与对数的运算性质即可直接求解．【详解】2203227()25()( 6.9)2238lg lg -+---+=234825()927lg +--1+lg4， =()4442599lg -+⨯-1， =1． 故答案为1．【点睛】本题主要考查了指数与对数的运算性质的简单应用，属于基础试题． 14．函数y ＝－tan 2x ＋4tan x ＋1，x ∈,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的值域为____________． 【答案】[－4，4]【分析】根据正切函数的单调性可得－1≤tan x ≤1，令tan x ＝t ，利用二次函数的性质即可求解. 【详解】∵－4π≤x ≤4π，∴－1≤tan x ≤1. 令tan x ＝t ，则t ∈[－1，1]， ∴y ＝－t 2＋4t ＋1＝－(t －2)2＋5. ∴当t ＝－1，即x ＝－4π时，y min ＝－4， 当t ＝1，即x ＝4π时，y max ＝4. 故所求函数的值域为[－4，4]． 故答案为：[－4，4]【点睛】本题考查了正切函数的单调性、二次函数的单调性求值域，属于基础题.15．已知θ是第四象限角，且 cosθ＝45，那么sin()4cos(26)πθθπ+-的值为____．【分析】由同角三角函数的基本关系得sinθ，利用两角和公式及二倍角公式化简()sin 4cos 26πθθπ⎛⎫+ ⎪⎝⎭-求解即可. 【详解】依题意，有：sinθ＝－35， sin()4cos(26)πθθπ+-＝sin cos cos sin 44cos 2ππθθθ+＝234525242()15-+⨯-＝14故答案为14. 【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系及二倍角公式、两角和的正弦公式，属于基础题.16．已知定义在R 上的偶函数()f x 的最小正周期为π，且当[0,]2x π∈时，()sin f x x =，则5()3f π=_______.【答案】2【分析】由题周期性和偶函数的性质可得5()()()333f f f πππ=-=. 【详解】定义在R 上的偶函数()f x 的最小正周期为π，55()(2)()()sin 33333f f f f ππππππ∴=-=-===17．已知,R a b ∈，且360a b -+=，则128ab +的最小值为_____________. 【答案】14【分析】由题意首先求得3a b -的值，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果，注意等号成立的条件.【详解】由360a b -+=可知36a b -=-， 且：312228aa b b -+=+，因为对于任意x ，20x >恒成立，结合均值不等式的结论可得：3122224ab-+≥==.当且仅当32236a b a b -⎧=⎨-=-⎩，即31a b =-⎧⎨=⎩时等号成立.综上可得128ab +的最小值为14. 【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．18．设函数()sin 3f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭，其中0>ω.若函数()f x 在0,2π上恰有2个零点，则ω的取值范围是________． 【答案】54,63⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】当0f x 时,()3k x k Z ππωω=-+∈,当0x >时,123x πω=,253x πω=,383x πω=,则523823ππωππω⎧≤⎪⎪⎨⎪>⎪⎩,进而求解即可 【详解】由题,()sin 3f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭取零点时,3x k πωπ+=()k Z ∈ ,即()3k x k Z ππωω=-+∈,则当0x >时,123x πω=,253x πω=,383x πω=,所以满足523823ππωππω⎧≤⎪⎪⎨⎪>⎪⎩,解得54,63ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭ 故答案为：54,63⎡⎫⎪⎢⎣⎭【点睛】本题考查已知零点求参数问题,考查运算能力三、解答题 19．已知()()()()()()sin cos 2tan tan sin fπαπααπααππα---+=-----.（1）化简()fα；（2）若α是第三象限角，且()1sin 5απ+=，求()f α的值. 【答案】（1）αcos αf ；（2）()f α=. 【分析】（1）由诱导公式运算即可得解； （2）由诱导公式可得1sin 5α=-，再由同角三角函数的平方关系即可得解. 【详解】（1）由题意，()()()()()()sin cos 2tan tan sin f παπααπααππα---+=-----()sin cos tan cos tan sin αααααα-==-； （2）∵()1sin sin 5απα+=-=，∴1sin 5α=-， 又α是第三象限角，∴cos α==即()cos f αα=-=.20．已知3cos()(,)424x x πππ-=∈. （1）求sin x 的值；（2）求sin(2)3x π+的值.【答案】(1)45；(2). 【详解】试题分析：（1）先判断4x π-的取值范围，然后应用同角三角函数的基本关系式求出sin()4x π-，将所求进行变形sin sin[()]44x x ππ=-+，最后由两角和的正弦公式进行计算即可；（2）结合（1）的结果与x 的取值范围，确定cos x 的取值，再由正、余弦的二倍角公式计算出sin 2x 、cos2x ，最后应用两角和的正弦公式进行展开计算即可.试题解析：（1）因为3(,)24x ππ∈，所以(,)442x πππ-∈，于是sin()410x π-== sin sin[()]sin()cos cos()sin 444444x x x x ππππππ=-+=-+-45==（2）因为3(,)24x ππ∈，故3cos 5x ===- 2247sin 22sin cos ,cos 22cos 12525x x x x x ==-=-=-所以中24sin(2)sin 2cos cos 2sin 33350x x x πππ++=+=-【解析】1.同角三角函数的基本关系式；2.两角和与差公式；3.倍角公式；4.三角函数的恒等变换.21．已知函数f （x ）=sin （2ωx +3π）+sin （2ωx -3π）+2cos 2ωx ，其中ω＞0，且函数f （x ）的最小正周期为π（1）求ω的值；（2）求f （x ）的单调增区间（3）若函数g （x ）=f （x ）-a 在区间[-4π，4π]上有两个零点，求实数a 的取值范围． 【答案】(1)1.(2) [-3π8+kπ，π8+kπ]，k ∈Z ，(3)见解析. 【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得()214f x wx π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，利用三角函数周期公式可求w 的值． （2）由正弦函数的单调性可求()f x 的单调增区间．（3）作出函数()y f x =在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象，从图象可看出()02,48f f f ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1=，可求当曲线()y f x =与y a =在x∈,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有两个交点时，21a ≤<，即可得解实数a 的取值范围． 【详解】（1）由三角恒等变换的公式，可得f （x ）=sin （2wx +π3）+sin （2wx -π3）+22cos wx=12sin2wx wx +12sin2wx wx +1+cos2wx=sin2wx +cos2wx +1214wx π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， 又因为T=2π2ω=π，所以1w =． （2）由2kπ-π2 ≤2x +π4 ≤2kπ+π2，k ∈Z ，解得：-3π8+kπx ≤≤ π8+kπ，k ∈Z ， 可得f （x ）的单调增区间为：[-3π8+kπ，π8+kπ]，k ∈Z ，（3）作出函数()y f x =在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象如图： 函数g （x ）有两个零点，即方程()0f x a -=有两解，亦即曲线()y f x =与y a =在x ∈,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有两个交点， 从图象可看出f （0）=f （π4）=2，f （π8）=2+1， 所以当曲线()y f x =与y a =在x ∈,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有两个交点时， 则2a ≤< 21+，即实数a 的取值范围是)2,21⎡+⎣．【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数周期公式，正弦函数的图象和性质，其中解答合理利用三角恒等变换的公式化简函数的解析式，熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了计算能力和数形结合思想的应用，属于中档题．。
天津市耀华中学2021-2022学年高一上学期期末数学试题(解析版)
天津市耀华中学2021—2022学年度第一学期期末练习高一年级数学学科试卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请把正确答案填涂在答题卡上．1. 已知，，则值为．A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】根据角的范围可知，；利用同角三角函数的平方关系和商数关系构造方程可求得结果.【详解】由可知：，由得：本题正确选项：【点睛】本题考查同角三角函数值的求解，关键是能够熟练掌握同角三角函数的平方关系和商数关系，易错点是忽略角的范围造成函数值符号错误.2. 已知集合，，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C 【解析】【分析】先求出集合A ，B ，再根据交集定义即可求出.【详解】因为，，所以.故选：C.3. 下列函数在其定义域内既是奇函数，又是增函数的是（ ）的3,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭tan 2α=cosαsin 0α<cos 0α<3,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭sin 0α<cos 0α<22sin tan 2cos sin cos 1ααααα⎧==⎪⎨⎪+=⎩cos α=A{}lg A y y x =={}2xB y y ==A B = R [)0,∞+()0,∞+(),0∞-{}lg R A y y x ==={}{}20xB y y y y ===>A B = ()0,∞+A. （）B. （）C. （）D. 【答案】B 【解析】【分析】根据对数函数、幂函数、指数函数及正切函数的性质判断各选项中函数的单调性、奇偶性即可.【详解】A ：在定义域内为减函数，非奇非偶函数，不合题设；B ：在定义域内为增函数，为奇函数，符合题设；C ：在定义域内为增函数，非奇非偶函数，不合题设；D ：在定义域内不单调性，为奇函数，不合题设；故选：B4. 已知扇形的周长为，该扇形的圆心角是1弧度，则该扇形的面积（ ）A. B. C.D.【答案】B 【解析】【分析】求出扇形半径，然后由扇形面积公式计算．【详解】设扇形半径为，则，，所以扇形的面积．故选：B ．5. 函数的零点所在的区间是（ ）A. B. C. D. 【答案】B 【解析】【分析】根据函数解析式，结合在、的值域情况、单调性，结合零点存在性定理判断零点所在区间即可.【详解】的定义域为且，.2log y x =-0x >3y x x =+R x ∈3x y =R x ∈tan y x=2log y x =-3y x x =+3x y =tan y x =6cm 24cm 22cm 21cm 221cm 4r 26r r +=2r =211222S =⨯⨯=()2ln 1f x x x =--()3,4()2,3()1,2()0,1()f x (0,1)(1,)+∞()f x {|0x x >1}x ≠在上，恒成立，不存在零点，排除D ；在上，均递增，即在该区间上单调递增，由解析式知：，，，∴零点所在的区间是.故选：B.6. 设，则“”是“”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】分别求出两不等式的解集，根据两解集的包含关系确定.【详解】化简不等式，可知 推不出；由能推出，故“”是“”的必要不充分条件，故选B ．【点睛】本题考查充分必要条件，解题关键是化简不等式，由集合的关系来判断条件．7. 已知，，，则，，的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】A 【解析】【分析】根据对数函数及指数函数单调性，比较，，与0，1的大小关系即可得答案.【详解】解：因为，，，所以，，，(0,1)()2ln 01f x x x =-<-(1,)+∞2ln ,1y x y x ==--()f x (2)ln 220f =-<(3)ln 310f =->2(4)ln 403f =->()2,3x ∈R 250x x -<|1|1x -<05x <<11x -<11x -<05x <<250x x -<|1|1x -<5log 4a =0.2log 2b =0.22c =a b c b a c <<a b c <<b c a <<c b a<<a b c 5550log 1log 4log 51=<<=0.20.2log 2log 10<=0.20221>=01a <<0b <1c >所以，故选：A.8. 已知，且，则的值为（ ）A.B. C.D. 【答案】C 【解析】【分析】应用诱导公式及同角三角函数的平方关系求，注意根据的范围判断符号.【详解】由，而，∴，∴.故选：C.9. 已知角、、为的三个内角，若，则一定是（ ）A. 等腰直角三角形B. 直角三角形C.等腰三角形 D. 等腰或直角三角形【答案】C 【解析】【分析】根据诱导公式以及内角和定理得出，从而判断三角形的形状.【详解】由可得，，，即，故该三角形一定为等腰三角形.故选：Cb ac <<1sin 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭,3παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭5cos 6πα⎛⎫- ⎪⎝⎭1313-5cos 6πα⎛⎫-⎪⎝⎭56πα-51sin sin ()sin()6663πππαπαα⎛⎫⎛⎫-=-+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,3παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭5(,)662πππα-∈-5cos 6πα⎛⎫-==⎪⎝⎭A B C ABC V sin sin 22A B C A B C +--+⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ABC V B C =sin sin 22A B C A B C +--+⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22sin sin 22C B ππ--⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin sin 22C B ππ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos cos C B =B C =10. 要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点的A. 横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度B. 横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度C. 横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度D. 横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度【答案】A 【解析】【详解】令，当函数图象上所有的点横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）时，函数为，若图象再向左平行移动个单位长度，则函数为，于是选A.11. 已知奇函数的定义域为，且对任意实数满足，当时，，则（ ）A. B. C. D.【答案】A 【解析】【分析】由得出，再由题设解析式得出答案.详解】，又【y x =)4y x π=+4π8π128π124π4π()f x R x ()()2f x f x =-()0,1x ∈()21x f x =+121log 15f ⎛⎫= ⎪⎝⎭3115-31153116-3116()(4)f x f x =--()2216log 15log 15f f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()(2)(2)(4)f x f x f x f x =-=--=-- 212221log 115log log 15115log 2==()()22216log 154log 15log 15f f f ⎛⎫∴=--=- ⎪⎝⎭222160log 1log log 2115=<<=()2161lo 25g 12131log log 15211515f f ⎛⎫⎛⎫∴==-+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：A12. 已知函数，，的零点分别为，，，则，，的大小关系为（ ）．A. B. C. D. 【答案】D 【解析】【分析】函数，，的零点可以转化为求函数与函数，,的交点，再通过数形结合得到，，的大小关系.【详解】令，则．令，则．令，则,．所以函数，，的零点可以转化为求函数与函数与函数，,的交点，如图所示，可知，，∴．故选．【点睛】本题主要考查函数的零点问题，考查对数函数和指数函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空题：不需写出解答过程，请把答案填在答案纸上的指定位置．2()2log x f x x =+2()2log x g x x -=+2()2log 1x h x x =⋅-a b c a b c b a c <<c b a <<c a b <<a b c<<2()2log x x f x =+2()2log x x g x -=+2()2log 1x x h x =-2log x y =2x y =-2x y -=-2x y -=a b c 2()2log 0x f x x =+=2log 2x x =-12()2log 0xg x x -=-=2log 2x x -=-2()2log 10x x h x =-=22log 1x x =21log 22x x x -==2()2log x x f x =+2()2log x x g x -=+2()2log 1x x h x =-2log y x =2log x y =2x y =-2x y -=-2x y -=01a b <<<1c >a b c <<D13. ______．【答案】##0.5【解析】【分析】利用诱导公式进行求解.【详解】故答案为：14. 函数的值域为______．【答案】【解析】【分析】由余弦函数的值域结合二次函数的单调性得出值域.【详解】令，则，当时，；当时，故答案为：15. 已知关于的方程在上有两个不同的实数解，则实数的取值范围为______．【答案】【解析】【分析】参变分离后画出函数图象，数形结合得到，进而求出取值范围.【详解】由题意得：，因为，所以的()cos 300-︒=12()()1cos 300cos 360300cos 602-︒=︒-︒=︒=12()2sin f x x x =-74⎡⎤⎢⎥⎣⎦()22sin cos 1f x x x x x ==-+[]cos 1,1t x =∈-22714y t t ⎛=-+=-++ ⎝t =max 74=y 1t =min y =74⎡⎤⎢⎥⎣⎦74⎡⎤⎢⎥⎣⎦x π2sin 206x m ⎛⎫--= ⎪⎝⎭π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦m [)1,21,122m ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭m πsin 262m x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ππ5π2,666x ⎡⎤-=-⎢⎥⎣⎦，画出函数图象如下：要想保证有两个不同的实数解，则只需与函数图象有两个交点，显然，解得：故答案为：16. 已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为______．【答案】【解析】【分析】设，由复合函数的单调性可得，函数在区间上单调递增且函数值恒大于0，从而列出不等式组求解即可得答案.【详解】解：设，则，因为在上单调递增，所以由复合函数的单调性可得，函数在区间上单调递增且函数值恒大于0，所以，解得,所以实数的取值范为.故答案为：.17. 已知是定义在上的增函数，那么实数的取值范围是_____．2my =1,122m ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭[)1,2m ∈[)1,2()()22log 22f x x ax =++[)1,-+∞a 31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭()222u x x ax =++()222u x x ax =++[)1,-+∞()222u x x ax =++2log y u =2log y u =()0,∞+()222u x x ax =++[)1,-+∞()()min 111220a u x u a -≤-⎧⎨=-=-+>⎩312a ≤<a 31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭()()6,1log 3,1xa a a x f x x x ⎧--<⎪=⎨+≥⎪⎩R a【答案】【解析】35 2a≤<【分析】根据指对数函数的性质，结合在上为增函数有求解即可.【详解】由在上为增函数，∴根据解析式得：，解得.故答案为：.18. 给出下列命题：①若角的终边过点（），则；②若，是第一象限角，且，则；③函数的图象关于点对称；④函数的最小正周期为；⑤函数在区间内是增函数；⑥若函数是奇函数，那么的最小值为．其中正确的命题的序号是_____．【答案】③④⑥【解析】【分析】①由三角函数的定义判断；②举例判断；③由是否为零判断；④由判断；⑤由，利用正弦函数的性质判断；⑥由求解判断.【详解】①若角的终边过点（），则，故错误；()f x R 611623a a a ->⎧⎪>⎨⎪-≤⎩()f x R 611623a a a ->⎧⎪>⎨⎪-≤⎩352a ≤<352a ≤<α()3,4P k k 0k ≠4sin 5α=αβαβ>sin sin αβ>()π4sin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭()tan tan f x x x =+π()π3sin 23g x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭π5π,1212⎛⎫- ⎪⎝⎭()()3cos 32f x x ϕ=+ϕπ49,44ππαβ==6f π⎛⎫- ⎪⎝⎭()2tan ,,2tan tan 0,,2x x k k f x x x x k k ππππππ⎧⎛⎫∈+ ⎪⎪⎪⎝⎭=+=⎨⎛⎫⎪∈- ⎪⎪⎝⎭⎩()π3sin 23sin 233g x x x π⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2,2k k Z πϕπ=+∈α()3,4P k k 0k ≠44sin 55k k α==±②若，是第一象限角，且，则，故错误；③因为，所以函数的图象关于点对称，故正确；④因为，所以函数的最小正周期为，故正确；⑤，因为，所以，又在上递增，所以内是减函数，故错误；⑥若函数是奇函数，则，解得，那么的最小值为，故正确．故答案为：③④⑥三、解答题：解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把解题过程写在答案纸上．19. 已知函数．（1）化简；（2）若，求的值．【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）由题意，利用诱导公式化简的解析式即可求解．（2）由题意，可得，利用诱导公式及同角三角函数的基本关系即可求解．【小问1详解】αβ9,44ππαβ==sin sin αβ=π4sin 20663f ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭()2tan ,,2tan tan 0,,2x x k k f x x x x k k ππππππ⎧⎛⎫∈+ ⎪⎪⎪⎝⎭=+=⎨⎛⎫⎪∈- ⎪⎪⎝⎭⎩()tan tan f x x x =+π()π3sin 23sin 233g x x x π⎛⎫⎛⎫=-=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π5π,1212x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭ππ2,322x π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭sin y x =ππ,22⎛⎫-⎪⎝⎭()g x π5π,1212⎛⎫- ⎪⎝⎭()()3cos 32f x x ϕ=+2,2k k Z πϕπ=+∈,24k k Z ππϕ=+∈ϕπ4()()()()π3πsin cos tan 2π22tan πsin πf αααααα⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=++()fα()π22f f αα⎛⎫+= ⎪⎝⎭()π2f f αα⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭cos α-25-()f αtan 2α=-解：.【小问2详解】解：，，即，，故．20. 函数（，，）的一段图像如图所示．（1）求的解析式；（2）求的单调区间；（3）当，时，求的最值和最小值，并求出取得最大值和最小值时的值．【答案】（1）； （2）函数的单调递增区间为，，函数的单调递增区间为， （3）当时，函数取得最大值为2; 时，函数取得最小值为【解析】【分析】（1）结合函数的图像，我们可以最值、周期和零点分别求解出，从而完成解析式的求解；3sin()cos()tan(2)cos (sin )(tan )22()cos tan()sin()tan (sin )f ππααπαααααααπαπαα---⋅-⋅-===-++⋅-()2()2f f παα+=Q cos()2cos 2παα∴-+=-sin 2cos αα=-tan 2α∴=-222sin cos tan 2()()cos [cos()]sin cos 22sin cos tan 15f f ππαααααααααααα⋅-=-⋅--====-++()()sin f x A x ωϕ=+0A >0>ωπ2ϕ<()f x ()f x ππ,42x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()f x x ()π2sin(26f x x =+()f x ππ,π36k k π⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦Z k ∈()f x π2πππ63k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈π6x =()f x π4x =-()f x ()f x 、、A ωϕ（2）将整体带入正弦函数对应的单调递增、递减区间，通过解不等式即可完成单调区间的求解；（3）根据已知的范围，然后求解出，然后换元令，画出函数在对应区间的函数图像，然后求解出对应的最值以及取得最值时的范围.【小问1详解】有图像可知，，，所以，此时，将点带入，即，，所以，所以函数的解析式为;【小问2详解】函数的解析式为，所以函数的单调递增区间需满足，，解得，，函数的单调递减区间需满足，，解得，，所以函数的单调递增区间为，，函数的单调递减区间为，；【小问3详解】，，令，则函数，，当时，即时，函数取得最大值为2;当时，即时，函数取得最小值为π26x +sin y x =x π26x +π26t x =+2sin y t =x 2A =11ππ2π()=π1212T ω=--=0>ω2ω=()()2sin 2f x x ϕ=+π(,0)12-()f x ππ,(Z)6k k ϕ-+=∈π2ϕ<π6ϕ=()f x ()π2sin(2)6f x x =+()f x ()π2sin(2)6f x x =+()f x πππ2π22π262k x k -+≤+≤+Z k ∈ππππ36k x k -+≤≤+Z k ∈()f x ππ3π2π22π262k x k +≤+≤+Z k ∈π2πππ63k x k +≤≤+Z k ∈()f x πππ,π36k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦Z k ∈()f x π2πππ63k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈ ππ,42x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ππ7π2,636x ⎡⎤∴+∈-⎢⎥⎣⎦ππ7π2,636t x ⎡⎤=+∈-⎢⎥⎣⎦2sin y t =π7π,36t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π2t =π6x =()f x π3t =-π4x =-()f x21. 已知函数（为常数，且，）．（1）当时，若对任意的，都有成立，求实数的取值范围；（2）当为偶函数时，若关于的方程有实数解，求实数的取值范围．【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1）先化简，并判定其单调性、求出值域，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，再利用换元思想和（1）问结论求最值即可确定的取值范围；（2）先利用函数的奇偶性得到值，利用换元思想和基本不等式确定的范围，再根据方程在给定区间有解进行求解.【小问1详解】当时，在上单调递增，∴当时，，对任意的都有成立，转化为恒成立，即对恒成立，令，则恒成立，即，由对勾函数的性质知：在上单调递增，故，∴的取值范围是.【小问2详解】当为偶函数时，对∀x ∈R 都有，即恒成立，即恒成立，()824x x xa f x a ⋅+=⋅a0a ≠R a ∈1a =-[]1,2x ∈()()2f x mf x ≥m ()f x x ()()2f x mf x =m (5,]2-∞1m ≥()f x m a 122xxt =+1a =-1()22xx f x =-[1,2][]1,2x ∈()13152,224xx f x ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦[]1,2x ∈()()2f x mf x ≥22112222xx x x m ⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭122xxm ≤+[]1,2x ∈[]22,4xt =∈1()m h t t t≤=+min ()m h t ≤()1h t t t=+[]2,4()min 5()22h t h ==m (5,2-∞()f x ()()0f x f x --=1122022xxxx a a --⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪⎪⋅⋅⎝⎭⎝⎭112102x x a ⎛⎫⎛⎫--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∴，解得，则，此时，由可得：有实数解令（当时取等号），则，∴方程，即在上有实数解，而在上单调递增，∴【点睛】关键点点睛：应用转化与化归思想，第一问转化为对恒成立问题求参数范围；第二问由奇偶性求参数，再将问题转化为有实数解求参数范围..110a -=1a =()122x x f x =+()()2f x mf x =()221122*22xx x x m ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭1222xx t =+≥=0x =222211222222x x x x t ⎛⎫+=+-=- ⎪⎝⎭()2*2t mt ⇔-=2m t t =-[)2,t ∈+∞2m t t=-[)2,t ∈+∞1m ≥122xxm ≤+[]1,2x ∈22112222xx x x m ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭。
天津市耀华中学2019-2020学年度高一上学期期末考试数学试题
天津市耀华中学2019-2020学年度第一学期期末考试高一年级数学学科试卷本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分共100分，考试用时100分钟．第I 卷（选择题 共40分）一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案．．．涂在答题卡上．．．．．．． 1. οοοο105sin 15cos 75cos 15sin +等于A. 0B. 1C.23 D. 212. 把函数x y cos =的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半（纵坐标不变），然后把图象向左平移4π个单位，则所得图象对应的函数解析式为 A. )421cos(πx y += B. )42cos(πx y +=C. )821cos(πx y +=D. )22cos(πx y +=3. 7.03=a ,37.0=b ,7.0log 3=c ,则c b a ,,的大小关系是A. b a c <<B. a c b <<C. a b c <<D. c a b <<4．设R ϕ∈,则“=0ϕ”是“()=cos(+)f x x ϕ()x R ∈为偶函数”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数, 且在区间[0,)+∞单调递增. 若实数a 满足212(log )(log )2(1)f a f f a ≤+, 则a 的取值范围是A ．[1,2]B ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(0,2]D ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦6. 在ABC ∆中，若tan tan tan A B A B ++=⋅，且sin cos B B ⋅=， 则ABC ∆的形状为A. 直角三角形B. 等边三角形C. 等边三角形或直角三角形D. 等腰直角三角形7．若02πα<<，02πβ<<-，1cos 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，cos 42πβ⎛⎫-=⎪⎝⎭，则cos 2βα⎛⎫+= ⎪⎝⎭AB． CD．- 8.已知函数22()4sin sin ()2sin 24x f x x x ωπωω=⋅+-()0ω>在区间2,23ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，且在区间[]0,π上恰好取得一次最大值，则ω的取值范围是A ．(]0,1B ．30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦ C ．13,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦第II 卷（非选择题 共60分）二．填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分，将答案．．．填．写在．．答题．．卡．上．． 9. 求值：=-+-ππππ313cos 4tan 713cos )623sin( . 10．化简：7sin(2)cos()cos()cos()225cos()sin(3)sin()sin()2πππαπαααππαπαπαα+--------++= . 11．函数21()21x x f x -=+的值域为 .12．已知奇函数()x f 的定义域为R ，且对任意实数x 满足()()2f x f x =-，当()1,0∈x 时，()21xf x =+，则121log 15f ⎛⎫⎪⎝⎭＝___________. 13．已知()()x x x f a a log log 2+-=对任意⎪⎭⎫ ⎝⎛∈21,0x 都有意义，则实数a 的取值范围是 .14.已知函数()sin()(0,0,)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的图象与y 轴的交点为()0,1，它在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为()0,2x 和()02,2x π+-.则ϕ= ，0x = .15. 给出下列命题：（1）函数)32sin(4)(πx x f +=的图象关于点)0,6(π-对称； （2）函数)32sin(3)(πx x g --=在区间)125,12(ππ-内是增函数；（3）函数)2732sin()(πx x h -=是偶函数；（4）存在实数x ，使3cos sin πx x =+；（5）如果函数()3cos(2)f x x ϕ=+的图象关于点403π⎛⎫⎪⎝⎭，中心对称，那么ϕ的最小值为3π.其中正确的命题的序号是 .三．解答题：本大题共3小题，共32分，将解题过程及答案填写在答题．．．．．．．．．．．．．卡．上．． 16. （本小题满分10分）设函数()cos(2)22,(,)3f x x x m x R m R π=+++∈∈，（1）求函数()f x 的最小正周期及单调增区间； （2）当04x π≤≤时，()f x 的最小值为0，求实数m 的值．17．（本小题满分10分）已知]2,0[,cos sin sin )(2πx x x x x f ∈+= （1）求)(x f 的值域； （2）若65)(=αf ，求α2sin 的值。
2022-2023学年天津市耀华中学高一年级上册学期期末数学试题【含答案】
2022-2023学年天津市耀华中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知点()sin cos ,tan P ααα-在第一象限，则在[]0,2π内α的取值范围是（ ） A ．ππ5,π,π424⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ B ．ππ3,π,π424⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ C ．π35,ππ,π244⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭D ．π530,π,π442⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【答案】A【分析】由第一象限点的坐标的符号列出三角函数的不等式，根据三角函数的性质结合[0,2π]α∈，求出角α的取值范围．【详解】由已知点(sin cos ,tan )P ααα-在第一象限得：sin cos 0αα->，tan 0α>π04α⎛⎫-> ⎪⎝⎭，tan 0α>，π04α⎛⎫-> ⎪⎝⎭，[]0,2πα∈可得π0π4α<-<，所以π5π44α<<，当tan 0α>，[]0,2πα∈可得π02α<<或3ππ2α<<．所以ππ42α<<或5ππ4α<<． 故选：A ．2．函数9π9πsin cos 88y x x ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的单调增区间为（ ）A ．()π3ππ,π,Z 88k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B ．()3π7π2π,2π,Z 88k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦C ．()3π7ππ,π,Z 88k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦D ．()π3π2π,2π,Z 88k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦【答案】C【分析】根据二倍角公式和诱导公式化简函数解析式，再根据正弦函数的单调性结论即可求出答案. 【详解】9π9πsin cos 88y x x ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可化为14419ππsin 2sin 222y x x ⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令ππ3π2π22π,Z 242k x k k +≤-≤+∈，可得3π7πππ,Z 88k x k k +≤≤+∈， 所以函数9π9πsin cos 88y x x ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的单调增区间为()3π7ππ,π,Z 88k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.故选：C.3．函数πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象（ ）A ．关于原点对称B ．关于y 轴对称C ．关于直线π6x =对称 D ．关于直线π12x =对称 【答案】D【分析】利用代入验证的方式，对比正弦函数的图象与性质可得结果. 【详解】设()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，定义域为R ，对于A ， 因为()π0sin 03f ==≠，所以原点不是函数的对称中心，A 错误；对于B ， 因为()π0sin13f ==≠±，所以y 轴不是函数的对称轴，B 错误；对于C ，因为π2πsin163f ⎛⎫=≠± ⎪⎝⎭，所以π6x =不是函数的对称轴，C 错误； 对于D ，因为ππsin 1122f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以π12x =是函数的对称轴，D 正确.故选：D.4．计算2sin14cos31sin17︒︒︒⋅+等于（ ）A B ．C D ．【答案】A【分析】先利用角的变换将sin17︒转化为()sin 3114︒-，再用两角差的正弦展开，化简后，逆用两角和的正弦求解.【详解】()2sin14cos31sin172sin14cos31sin 3114︒︒︒︒︒︒⋅+⋅+-=()2sin14cos31cos14sin 31in 3114sin 452︒︒︒︒︒⋅+⋅+====s 故选：A【点睛】本题主要考查了两角和与差的正弦的正用和逆用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.5．函数()()3sin 205sin 80y x x =+++的最大值是（ ）A ．152B ．162C ．7D ．8【答案】C【分析】化简函数解析式，结合正弦函数性质求其最大值.【详解】()()3sin 205sin 80y x x =+++可化为()()3sin 205sin 2060y x x ⎡⎤=++++⎣⎦，所以()()()3sin 205sin 20cos605cos 20sin60y x x x =+++++， ()()()()11531153sin 20cos 207sin 20cos 20221414y x x x x ⎡⎤⎢⎥=+++=+⎦++⎣，设11cos ,sin 14θθ==()7sin 20y x θ=++， 所以当036002,Z 9x k k θ+=+⋅∈+即36070,Z x k k θ=⋅+-∈时，函数()7sin 20y x θ=++取最大值，最大值为7，所以函数()()3sin 205sin 80y x x =+++的最大值为7， 故选：C.6．函数()sin cos f x x x =+的取值范围是（ ）A ．⎡⎣B ．[]0,2C ．[]1,2D ．⎡⎣【答案】D【分析】先证明函数()f x 为周期函数，再求其在一个周期的值域即可. 【详解】因为()sin cos f x x x =+，所以()πππsin cos cos sin sin cos 222f x x x x x x x f x ⎛⎫⎛⎫+=+++⎛⎫ +=-=+= ⎪ ⎝⎪⎭⎝⎭⎪⎭⎝，所以函数()f x 是周期函数，周期为π2，当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()πsin cos 4f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，因为π02x ≤≤，所以ππ3π444x ≤+≤，所以π14x ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭()1f x ≤所以函数()f x 的值域为⎡⎣， 故选：D.7．不等式1212x ≤-<的解集为（ ） A ．13,01,22⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．13,01,22⎛⎤⎡⎫-⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭C ．13,01,22⎛⎤⎡⎤-⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦D ．13,1,22∞⎛⎤⎡⎤--⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦【答案】B【分析】利用绝对值的几何意义即可求解.【详解】由1|21|2x ≤-<得， 2211x -<-≤-或1212x ≤-<，解得102x -<≤或312x ≤<，所以不等式1212x ≤-<的解集为13,01,22⎛⎤⎡⎫-⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭.故选：B.8．若函数f (x )、g (x )分别为R 上的奇函数、偶函数，且满足f (x )－g (x )＝ex ，则有（ ） A ．f （2）<f (3)<g (0) B ．g (0)<f (3)<f （2） C ．f （2）<g (0)<f (3) D ．g (0)<f （2）<f (3)【答案】D【分析】根据函数奇偶性得()()xx g e x f -+=-，进而得()(),22x x x xe e e ef xg x -----==，从而利用函数的单调性及正负可比较大小.【详解】函数()(),f x g x 分别是R 上的奇函数、偶函数,()()()(),f x f x g x g x ∴-=--=，由()()xf xg x e -=，得()()----=x f x g x e ，()()x f x g x e -∴--=， ()()x f x g x e -∴+=-，解方程组得()(),22x x x xe e e ef xg x -----==， 易知()e e 2x xf x --=在[0,)+∞上单调递增，所以()()0(0)23f f f =<<，又()111020g --==-< 所以()()()023g f f <<. 故选：D9．在下列区间中，函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为（ ）A ．1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【分析】先判断函数()f x 在R 上单调递增，由104102f f ⎧⎛⎫< ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩,利用零点存在定理可得结果.【详解】因为函数()43xf x e x =+-在R 上连续单调递增，且114411221143204411431022f e e f e e ⎧⎛⎫=+⨯-=-<⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=+⨯-=-> ⎪⎪⎝⎭⎩, 所以函数的零点在区间11,42⎛⎫⎪⎝⎭内，故选C.【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.10．函数()2lg 21y x m x ⎡⎤=+-+⎣⎦的值域为R .则实数m 的取值范围是（ ）A ．()0,4B ．[]0,4C ．()(),04,-∞⋃+∞D ．][(),04,∞∞-⋃+【答案】D【分析】令2(2)1x m x u +-=+，由题意知，函数2(2)1x m x u +-=+的值域包含()0,∞+，结合已知列关于a 的不等式，解不等式得a 的取值范围.【详解】令2(2)1x m x u +-=+，由于函数()2lg 21y x m x ⎡⎤=+-+⎣⎦的值域为R ，所以，函数2(2)1x m x u +-=+的值域包含()0,∞+. 所以()2Δ240m =--≥，解得0m ≤或4m ≥. 综上所述，实数a 的取值范围是][(),04,∞∞-⋃+. 故选：D.11．函数()21sin 1e xf x x ⎛⎫=-⋅ ⎪+⎝⎭的图象的大致形状为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【分析】分析函数()f x 的奇偶性以及在()0,π上的函数值符号，可得出合适的选项. 【详解】()21e 1sin sin 1e 1e x x xf x x x -⎛⎫=-⋅=⋅ ⎪++⎝⎭，该函数的定义域为R ， 因为()()()()()e 1e 1e 1e sin sin sin 1e 1e e 1e x x x x x x x x f x x x x f x --------=-=-==+++，所以函数()f x 为偶函数，所以函数()f x 的图象关于y 轴对称，排除C ，D ，当0πx <<时，1e 0x -<，1e 0x +>，sin 0x >，此时()0f x <，排除B ， 因此，函数()21sin 1e xf x x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭图象的大致形状是A 选项中的函数图象. 故选：A. 12．若ln 2ln 3ln 5,,235a b c ===，则（ ） A ．a b c << B ．c b a << C ．c<a<b D ．b a c <<【答案】C【分析】利用作差法，再结合对数函数ln y x =的单调性分别判断,a b 和,a c 的大小关系，即可判断出,,a b c 的大小关系. 【详解】ln 3ln 22ln 33ln 2ln 9ln803266---=-==>b a ∵，b a ∴>；又ln 5ln 22ln 55ln 2ln 25ln 320521010---=-==<c a ∵，a c ∴>，故b a c >>. 故选：C.13．若实数x y ､满足0x y >>，且22log log 2x y +=，则21x y +的最小值为（ ）A ．4 BC D ．2【答案】B【分析】根据对数运算化简条件得4xy =，再利用基本不等式求21x y +的最小值，【详解】因为22log log 2x y +=，所以4xy =， 实数x 、y 满足0x y >>，所以21x y +≥x =y 时等式成立），故选：B ．14．已知函数()22,0lg ,0x x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，则函数()()11g x f x =--的零点个数为（ ）.A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】通过解法方程()0g x =来求得()g x 的零点个数. 【详解】由()0g x =可得()11f x -=.当0x ≤时，2211x x x +=⇒=-1x =-， 当0x >时，lg 110x x =⇒=或110x =.故112x x -=-=()g x 的零点，1109x x -=⇒=-是()g x 的零点，1911010x x -=⇒=是()g x 的零点. 综上所述，()g x 共有3个零点. 故选：C二、填空题 15．函数2()f x =的定义域为_________．【答案】[3,)+∞【详解】由题知：2log (1)0,10,|2|10 x x x -≠->--≥；解得：x≥3. 故答案为：[3,)+∞16．已知函数()(sin cos )sin ,f x x x x x =-∈R ，则()f x 的最小正周期是_________． 【答案】π【详解】21cos 211()sin sin cos sin 2)2242x f x x x x x x π-=-=-=-+，故函数的最小正周期22T ππ==．17．计算：()266661log 3log 2log 18log 4-+⋅＝________．【答案】1【解析】根据对数的运算法则求解即可.【详解】原式＝()266666612log 3log 3log log (63)3log 4-++⋅⨯ ＝()()22666612log 3log 31log 3log 4-++-＝()6621log 32log 2-＝666log 6log 3log 2-＝66log 2log 2＝1．故答案为：1.【点睛】该题考查的是有关对数的运算，涉及到的知识点有对数的运算法则，属于简单题目. 18．已知11,0,tan ,tan ,237παππβαβ<<-<<=-=-则2αβ+=___________. 【答案】74π 【分析】根据二倍角正切公式，计算3tan 24α=-，再根据两角和的正切公式，计算()tan 21αβ+=-，由题意可知22παβπ<+<，求解即可. 【详解】11,0,tan ,tan 237παππβαβ<<-<<=-=- ∴13tan 1tan 34πα=->-=，即34παπ<< 1tan 07β=-<，即02πβ-<< 则22παβπ<+<22122tan 33tan 21tan 4113ααα⎛⎫- ⎪⎝⎭===--⎛⎫-- ⎪⎝⎭∴3125tan 2tan 4728tan(2)103311tan 2tan 112847αβαβαβ---++====-<-⎛⎫⎛⎫---⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 724παβ∴+=故答案为：74π 【点睛】本题考查三角函数给值求角，属于中档题.三、解答题19．已知函数()π4cos sin 6f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(1)求π2f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；(2)求函数()f x 的最小正周期及其图象的对称轴方程； 【答案】(1)π02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭；(2)函数()f x 的最小正周期为π，其图象的对称轴方程为ππ,Z k x k =+∈26.【分析】(1)根据特殊角三角函数求π2f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；(2)化简函数()f x 的解析式，结合正弦型函数的周期公式和正弦函数的对称性求解.【详解】（1）因为()π4cos sin 6f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以ππππ4cos sin 402226f ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+=⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以π02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）由()π4cos sin 6f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭可得()ππ4cos sin cos cos sin 66f x x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()2sin 2cos f x x x x =+，()2cos21f x x x =++，所以()π2sin 216f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，函数()f x 的最小正周期2ππ2T ==， 令ππ2π,Z 62x k k +=+∈可得ππ,Z k x k =+∈26， 所以函数()f x 的对称轴方程为ππ,Z k x k =+∈26.20．已知02πα<<，cos 4πα⎛⎫+=⎪⎝⎭. （1）求tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；（2）求sin 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【答案】（Ⅰ）2（Ⅱ【分析】（I ）由题意利用同角三角函数的基本关系求得sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，可得tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.（II ）先求得tan α的值,再利用二倍角公式结合齐次式计算求得sin 2α、cos2α的值,再利用两角和的正弦公式求得sin 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【详解】解：（I ）∵已知02πα<<，cos 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭∴sin 4πα⎛⎫+== ⎪⎝⎭∴sin 4tan 24cos()4παπαπα⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭+== ⎪⎝⎭+.（II ）∵tan 1tan 241tan πααα+⎛⎫+== ⎪-⎝⎭，∴1tan 3α=， ∴2222sin cos 2tan 3sin 2sin cos tan 15ααααααα===++，2222cos sin cos 2sin cos ααααα-=+221tan 4tan 15αα-==+sin 2sin 2cos cos 2sin 333πππααα⎛⎫+=+=⎪⎝⎭. 【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查二倍角公式，考查齐次式的计算，考查两角和的正弦公式，属于中档题.21．已知函数()e e x xf x -=+，其中e 是自然对数的底数.(1)证明()f x 是R 上的偶函数；(2)若关于x 的不等式()e 1xmf x m -≤+-在()0,∞+上恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】(1)证明见解析； (2)1(,]3-∞-.【分析】（1）由函数奇偶性的定义即可得()f x 是R 上的偶函数；（2）利用参数分离法，将不等式()e 1xmf x m -≤+-在()0,∞+上恒成立，转化为11111m t t ≤--++-对任意1t >恒成立,利用函数的单调性求最值即可求实数m 的取值范围.【详解】（1）因为对任意x ∈R ,都有()()e ee e x xx x f x -----=+=+()f x =，所以()f x 是R 上的偶函数.（2）由条件知()e e 1e 1x x x m --+-≤-在()0,∞+上恒成立,因为0x >，所以e e 10x x -+->. 所以()2e 11e e e 1e 1e x xx x x x m ----≤=+--+在()0,∞+上恒成立. 令e (0)x t x =>， 所以21111111t m t t t t -≤-=--+-++-对任意1t >成立, 由对勾函数的单调性知11111131t t -++≥++=- , 所以1113111t t -≥--++-, 因此，实数m 的取值范围是1,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦. 【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题常见方法：①分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；②数形结合(()y f x =图象在()y g x =上方即可)；③讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④讨论参数.。
2019-2020学年天津市耀华中学高一上学期期末考试数学试题
天津市耀华中学2019-2020学年度第一学期期末考试高一年级数学学科试卷本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分共100分，考试用时100分钟．第I 卷（选择题 共40分）一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案涂在答题卡上．．．．．．．．．． 1. οοοο105sin 15cos 75cos 15sin +等于A. 0B. 1C.23 D. 212. 把函数x y cos =的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半（纵坐标不变），然后把图象向左平移4π个单位，则所得图象对应的函数解析式为 A. )421cos(πx y += B. )42cos(πx y += C. )821cos(πx y += D. )22cos(πx y += 3. 7.03=a ,37.0=b ,7.0log 3=c ,则c b a ,,的大小关系是A. b a c <<B. a c b <<C. a b c <<D. c a b <<4．设R ϕ∈,则“=0ϕ”是“()=cos(+)f x x ϕ()x R ∈为偶函数”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数, 且在区间[0,)+∞单调递增. 若实数a 满足212(log )(log )2(1)f a f f a ≤+, 则a 的取值范围是A ．[1,2]B ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(0,2]D ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦6. 在ABC ∆中，若tan tan 33tan A B A B +=⋅，且3sin cos B B ⋅=， 则ABC ∆的形状为A. 直角三角形B. 等边三角形C. 等边三角形或直角三角形D. 等腰直角三角形7．若02πα<<，02πβ<<-，1cos 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，3cos 423πβ⎛⎫-=⎪⎝⎭，则cos 2βα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ A ．3 B ．3- C ．53 D ．69- 8.已知函数22()4sin sin ()2sin 24x f x x x ωπωω=⋅+-()0ω>在区间2,23ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，且在区间[]0,π上恰好取得一次最大值，则ω的取值范围是A ．(]0,1B ．30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦ C ．13,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦第II 卷（非选择题 共60分）二．填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分，将答案填写在答题卡上．．．．．．．．．．． 9. 求值：=-+-ππππ313cos 4tan 713cos )623sin( . 10．化简：7sin(2)cos()cos()cos()225cos()sin(3)sin()sin()2πππαπαααππαπαπαα+--------++= . 11．函数21()21x x f x -=+的值域为 .12．已知奇函数()x f 的定义域为R ，且对任意实数x 满足()()2f x f x =-，当()1,0∈x 时，()21xf x =+，则121log 15f ⎛⎫⎪⎝⎭＝___________. 13．已知()()x x x f a a log log 2+-=对任意⎪⎭⎫ ⎝⎛∈21,0x 都有意义，则实数a 的取值范围是 .14.已知函数()sin()(0,0,)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的图象与y 轴的交点为()0,1，它在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为()0,2x 和()02,2x π+-.则ϕ= ，0x = .15. 给出下列命题：（1）函数)32sin(4)(πx x f +=的图象关于点)0,6(π-对称； （2）函数)32sin(3)(πx x g --=在区间)125,12(ππ-内是增函数； （3）函数)2732sin()(πx x h -=是偶函数； （4）存在实数x ，使3cos sin πx x =+； （5）如果函数()3cos(2)f x x ϕ=+的图象关于点403π⎛⎫⎪⎝⎭，中心对称，那么ϕ的最小值为3π. 其中正确的命题的序号是 .三．解答题：本大题共3小题，共32分，将解题过程及答案填写在答题卡上．．．．．．．．．．．．．．．． 16. （本小题满分10分） 设函数()cos(2)322,(,)3f x x x m x R m R π=+++∈∈，（1）求函数()f x 的最小正周期及单调增区间； （2）当04x π≤≤时，()f x 的最小值为0，求实数m 的值．17．（本小题满分10分）已知]2,0[,cos sin sin )(2πx x x x x f ∈+= （1）求)(x f 的值域； （2）若65)(=αf ，求α2sin 的值。
天津耀华中学2023届高一上数学期末复习检测模拟试题含解析
当 m 3 时， f x x3 在 x 0, 上单调递减，符合题意；
m 3，log27
m
log33
3
1 3 log3 3
1 3
故答案为： 1 3
12、 3 ##0.15 20
【解析】利用相互独立事件 概率乘法公式分别求出甲和乙被录取的概率、甲和丙被录取的概率、乙和丙被录取的概
率，然后即可求出他们三人中恰有两人被录取的概率.
【详解】 a log3 5 log3 3 1
b＝22 0，20 ＝0，1 ，
c log0.2 6 log0.2 1 0 ，
所以 a b c ，
故选：A. 7、C
【解析】首先由 AD1 / / BC1, 可得 D1AC 是异面直线 AC 和 BC1 所成角，再由 ACD1 为正三角形即可求解. 【详解】连接 AD1, CD1
14．已知 f x 是定义在2, 2 上的奇函数，当 x 0, 2 时， f x 2x 1，函数 g x x2 2x m 如果对
x1 2, 2， x2 2, 2，使得 f x1 g x2 ，则实数 m 的取值范围为______
15．已知 A ， B 是相互独立事件，且 P A 0.3 ， PB 0.6 ，则 P AB ______
【详解】因为甲、乙、丙三人被该公司录取的概率分别是 1 , 1 , 1 ，且三人录取结果相互之间没有影响，甲和乙被录取 543
1．设函数
f
(x)
tan x, x (2k cos x , x [2k
, 2k 2
, 2k 2
), 2（
3 ] 2
kZΒιβλιοθήκη ），g(x)sin
|
x
| ，则方程
f
(x)
2022-2023学年天津市耀华中学高一上数学期末经典模拟试题含解析
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60 分）
1．若方程 lg x (1)x a 0 有两个不相等的实数根，则实根 a 的取值范围是（ ） 3
A. (1 , ) 3
B. (, 1) 3
C. (1, )
D. (,1)
2．如图所示的四个几何体，其中判断正确的是
A.（1）不 棱柱
B.（2）是棱柱
是 C.（3）是圆台
所以 f x loga x 1 0 loga 1
所以 0 x 11 ，解得 1 x 0
故选 D 【点睛】在比较大小或解不等式时，灵活运用函数的单调性以及常数和对指数之间的转化
10、D
【解析】由奇函数定义得
，从而求得 ，然后由
计算
【详解】由于函数 是定义在 R 上的奇函数，
所以
，而当
时，
（1）求 sin cos ；
（2）若 cos( )
5
，
(0,
)
，求
cos
，并计算
sin
2
cos(
2
)
.
5
2
1 tan
22．如图，某公园摩天轮的半径为 40 m ，圆心 O 距地面的高度为 50 m ，摩天轮做匀速转动，每 3 min 转一圈，摩天
轮上的点 P 的起始位置在距地面最近处.
（1）若函数 f (x) 的图象过点 (0, 2) ，求 b 的值；
（2）若函数 f (x) 在区间[2,3] 上的最大值比最小值大 a2 ，求 a 的值 2
18．在平面直角坐标系中，已知圆心 C 在直线 x 2 y 0上的圆 C 经过点 A4, 0 ，但不经过坐标原点，并且直线
4x 3y 0 与圆 C 相交所得的弦长为 4. （1）求圆 C 的一般方程；
天津市耀华中学2023-2024学年高一上学期期末学情调研数学试卷
f
x
3 2
f
x
3 2 .
当
x
3 2
,
0
时，
f
x
log 1
2
1 x
，则
f
2023
f
2025
（
）
A．1
B．2
C． 1
D． 2
9．已知函数
f
x
cos
x
π 2
cos
x
π 4
，则下列说法正确的是（
）
A．点
π 8
, 0
是曲线
y
f
x 的对称中心
B．点
π 8
,
2 4
是曲线
y
f x 的对称中心
f
x
在区间
π 12
,
5π 12
内单调递增；
（4）由 y 2sin 2x的图象向右平移 π 个单位长度可以得到图象 C ． 3
20．已知函数
f
x
lg x 2
x 1 ,1 x 11
24x 144, x 11
，若方程
f
x
n有
4
个解，分别记为
x 1
，x 2
，
x3
，
x4 ，且
x1
x2
x3
x4
，则
1 x1
1 x2
x3
x4
.
三、解答题
21．已知函数
f
x
2cos
2x
cos
2x
π 2
1
(1)求函数 f x 的最小正周期；
(2)求
f
x
在
0,
π 2
天津市和平区耀华中学2022年数学高一上期末监测试题含解析
一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1．如图中, 分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点，则表示直线 是异面直线的图形有（）
A.①③B.②③
C.②④D.②③④
2．函数f（x）＝x2－3x－4的零点是（）
13、
【解析】先求出函数 定义域，再换元，利用复合函数单调性的求法求解
【详解】由 ，得 ，
所以函数的定义域为 ，
令 ，则 ，
因为 在 上递增，在 上递减，而 在 上为增函数，
所以 在 上递增，在 上递减，
故答案为：
14、4
【解析】由扇形的面积公式列方程即可求解.
【详解】扇形的面积 ，即 ，解得： .
4、D
【解析】先利用待定系数法求出幂函数的解析式，再求 的值
【详解】解：设 ，则 ，得 ，
所以 ，
所以 ，
故选：D
5、D
【解析】先求出集合A，B，再由图可知阴影部分表示 ，从而可求得答案
【详解】因为 等价于 ，解得 ，
所以 ，所以 或 ，
要使得函数 有意义，只需 ，解得 ，
所以
则由韦恩图可知阴影部分表示 .
对于②④可证 三点共面，但 平面 ； 三点共面，但 平面 ，即可判断直线 与 异面.
【详解】由题意，可知题图①中， ，因此直线 与 共面；
题图②中， 三点共面，但 平面 ，因此直线 与 异面；
题图③中，连接 ，则 ，因此直线 与 共面；
题图④中，连接 ， 三点共面，但 平面 ，
所以直线 与 异面.
故选C.
新农村建设前其他收入我0.04M，新农村建设后其他收入为0.1M，故增加了一倍以上，所以B项正确；
天津市耀华中学2014-2021学年高一上学期期末数学试卷 Word版含解析
天津市耀华中学2022-2021学年高一上学期期末数学试卷一、选择题：1．设，是两个不共线向量，若向量与向量共线，则λ的值为（）A．B．﹣2 C．D ．2．为得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位3．已知与为相互垂直的单位向量，，且与的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2）B．（，+∞）C．（﹣2，）D．（﹣）4．若，则tanα=（）A．B．2C．D．﹣25．函数的单调增区间是（）A ．B．C．D．6．已知向量，则|的最大值，最小值分别是（）A．4，0 B．4，4C．16，0 D．4，07．函数y=的最小正周期是（）A．B．C．πD．2π8．设f（x）是定义域为R ，最小正周期为的函数，若，则等于（）A．B．1C．0D ．9．若tanα=3，则的值等于（）A．2B．3C．4D．610．若曲线y=Asinωx+a（A＞0，ω＞0）在区间上截直线y=2与y=﹣1所得的弦长相等且不为0，则下列对a和A的描述正确的是（）A．B．a=1，A＞1 C．≤D．a=1，A≤1二、填空题：11．已知向量=（2，3），=（﹣l，2），若与垂直，则m等于．12．若向量，满足且与的夹角为，则=．13．已知函数f（x）=Atan（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜），y=f（x）的部分图象如图，则f （）=．14．已知f（x）=sin（ω＞0），f （）=f （），且f（x ）在区间上有最小值，无最大值，则ω=．15．函数的最大值等于．16．若非零向量、，满足，且，则与的夹角大小为．三、解答题17．已知cos（x ﹣）=，x∈（，）．（1）求sinx的值；（2）求sin（2x）的值．18．已知△ABC三个顶点的直角坐标分别为A（3，4）、B（0，0）、C（c，0）．（1）若，求c的值；（2）若c=5，求sinA的值．19．已知．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）的值域；（3）求函数f（x）的单调递增区间．20．已知向量=（sinθ，1），=（1，cosθ），﹣＜θ＜．（Ⅰ）若，求θ；（Ⅱ）求|的最大值．21．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）﹣cos（ωx+φ）（0＜φ＜π，ω＞0）为偶函数，且函数y=f（x）图象的两相邻对称轴间的距离为．（1）求f （）的值；（2）将函数y=f（x ）的图象向右平移个单位后，得到函数y=g（x）的图象．求g（x）的单调递减区间．天津市耀华中学2022-2021学年高一上学期期末数学试卷一、选择题：1．设，是两个不共线向量，若向量与向量共线，则λ的值为（）A．B．﹣2 C．D ．考点：平行向量与共线向量．专题：平面对量及应用．分析：依据向量共线的等价条件得=m，解方程即可得到结论．解答：解：∵向量与向量共线，∴存在实数m ，满足=m，即3+λ=m（2﹣3）∵，是两个不共线向量，∴，解得m=，λ=，故选：C．点评：本题主要考查向量共线定理的应用，解方程是解决本题的关键．比较基础．2．为得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题．分析：先依据诱导公式将函数化为正弦的形式，再依据左加右减的原则进行平移即可得到答案．解答：解：∵，只需将函数y=sin2x 的图象向左平移个单位得到函数的图象．故选A．点评：本题主要考查诱导公式和三角函数的平移．属基础题．3．已知与为相互垂直的单位向量，，且与的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2）B．（，+∞）C．（﹣2，）D．（﹣）考点：平面对量数量积的运算；数量积表示两个向量的夹角．分析：本题考查的学问点是平面对量数量积的运算，由与为相互垂直的单位向量，我们易得，，代入，可求出•，又由与的夹角为锐角，故•＞0，由此得到一个关于λ的不等式，解不等式即可得到实数λ的取值范围，但要留意，与同向的排解．解答：解：∵与为相互垂直的单位向量∴，，又∵，且与的夹角为锐角，∴，但当λ=﹣2时，，不满足要求故满足条件的实数λ的取值范围是（﹣∞，﹣2）故选A点评：两个向量夹角为锐角，则两个向量的数量积为正；两个向量夹角为钝角，则两个向量的数量积为负；两个向量夹角为直角，则两个向量的数量积为零；4．若，则tanα=（）A．B．2C．D．﹣2考点：同角三角函数基本关系的运用．分析：本小题主要考查三角函数的求值问题，需要把正弦和余弦化为正切和正割，两边平方，依据切割的关系进行切割互化，得到关于正切的方程，解方程得结果．解答：解：∵cosα+2sinα=﹣，∴cosα≠0，两边同时除以cosα得1+2tanα=﹣，∴（1+2tanα）2=5sec2α=5（1+tan2α），∴tan2α﹣4tanα+4=0，∴tanα=2．故选B．点评：同角三角函数之间的关系，其主要应用于同角三角函数的求值和同角三角函数之间的化简和证明．在应用这些关系式子的时候就要留意公式成立的前提是角对应的三角函数要有意义．5．函数的单调增区间是（）A ．B．C．D．考点：正弦函数的单调性．专题：计算题；转化思想．分析：先依据符合函数的单调性把问题转化为求t=sin （﹣2x）=﹣sin（2x ﹣）大于0的单调递增区间；再转化为求y=sin（2x ﹣）小于0 的减区间，结合正弦函数的单调性即可求出结论．解答：解：由复合函数的单调性知，求函数y=lgsin （﹣2x）的单调递增区间即是求t=sin （﹣2x）=﹣sin（2x ﹣）大于0的单调递增区间．即求y=sin（2x ﹣）小于0的减区间，∴2kπ﹣π＜2x ﹣≤2kπ﹣⇒kπ﹣＜x≤k π，k∈Z．故选：C．点评：本题考查求正弦函数的单调性，主要考查了复合函数的单调性的推断规章及函数的单调区间的求法，求解本题关键是熟知复合函数单调性的推断方法以及三角函数单调区间的求法，本题易错点是遗忘求函数的定义域，导致错误选择答案A．6．已知向量，则|的最大值，最小值分别是（）A．4，0 B．4，4C．16，0 D．4，0考点：平面对量数量积的运算．专题：平面对量及应用．分析：首先求出2的坐标，然后利用模的平方与向量的平方相等讲所求的式子平方，化简三角函数求最值．解答：解：由已知得到=（2cos θ，2sinθ+1），所以|2=（2cos θ）2+（2sinθ+1）2=8+8sin （），所以|2的最大值，最小值分别是16和0，所以|的最大值，最小值分别是4，0．故选：D．点评：本题考查了平面对量的坐标运算，包括加减法、数量积；借助于三角函数的值域求最值．7．函数y=的最小正周期是（）A．B．C．πD．2π考点：三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用同角三角函数的基本关系化简函数的解析式为y=cos4x，再利用y=Asin（ωx+φ）的周期等于T=，得出结论．解答：解：函数y===cos4x，故函数的最小正周期为T==，故选：B．点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系，三角函数的周期性及其求法，利用了y=Asin（ωx+φ）的周期等于T=，属于中档题．8．设f（x）是定义域为R ，最小正周期为的函数，若，则等于（）A．B．1C．0D ．考点：三角函数的化简求值．专题：计算题．分析：先依据函数的周期性可以得到=f（）=f（），再代入到函数解析式中即可求出答案．解答：解：∵，最小正周期为=f（）=f（）=sin =故选A．点评：题主要考查函数周期性的应用，考查计算力量，分段函数要留意定义域，属于基础题．9．若tanα=3，则的值等于（）A．2B．3C．4D．6考点：二倍角的正弦；弦切互化．专题：计算题．分析：利用两角和公式把原式的分母开放后化简，把tanα的值代入即可．解答：解：==2tanα=6故选D点评：本题主要考查了三角函数的恒等变换及化简求值．考查了基础学问的运用．10．若曲线y=Asinωx+a（A＞0，ω＞0）在区间上截直线y=2与y=﹣1所得的弦长相等且不为0，则下列对a和A的描述正确的是（）A．B．a=1，A＞1 C．≤D．a=1，A≤1考点：y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．专题：计算题；数形结合．分析：曲线y=Asinωx+a（A＞0，ω＞0）的性质知，在一个周期上截直线y=2与y=﹣1所得的弦长相等且不为0，可知两条直线关于y=a对称，由此对称性可求出a，又截得的弦长不为0，故可得振幅大于．解答：解：由题意曲线y=Asinωx+a（A＞0，ω＞0）的图象关于直线y=a的对称又截直线y=2及y=﹣1所得的弦长相等所以，两条直线y=2及y=﹣1关于y=a对称a==又弦长相等且不为0故振幅A 大于=A ＞故有a=，A ＞故应选A．点评：本题考点y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义，考查三角函数的图象的性质及其与相应参数的关系，考查对三角函数图象的特征理解的力量．二、填空题：11．已知向量=（2，3），=（﹣l，2），若与垂直，则m 等于．考点：数量积推断两个平面对量的垂直关系．专题：计算题；平面对量及应用．分析：依据平面对量的坐标运算，利用与垂直，数量积为0，求出m的值．解答：解：∵向量=（2，3），=（﹣l，2），∴=（2m﹣1，3m+2）=（4，﹣1）又∵与垂直，∴（）•（）=4（2m﹣1）﹣（3m+2）=5m﹣6=0，解得m=．故答案为：．点评：本题考查了平面对量的数量积的应用问题，是基础题目．12．若向量，满足且与的夹角为，则=．考点：平面对量数量积的运算．分析：依据可得答案．解答：解：∵且与的夹角为∴=7∴则=故答案为：点评：本题主要考查向量的数量积运算，属基础题．13．已知函数f（x）=Atan（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜），y=f（x）的部分图象如图，则f （）=．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题；作图题；压轴题．分析：依据函数的图象，求出函数的周期，然后求出ω，确定A 的值，依据（，0）求出φ的值，图象经过（0.1）确定A的值，求出函数的解析式，然后求出f （）即可．解答：解：由题意可知T=，所以ω=2，函数的解析式为：f（x）=Atan（ωx+φ），由于函数过（，0）所以0=Atan （+φ）所以φ=，图象经过（0，1），所以，1=Atan，所以A=1，所以f（x）=tan（2x+）则f （）=tan （）=故答案为：点评：本题是基础题，考查正切函数的图象的求法，确定函数的解析式的方法，求出函数值，考查计算力量．14．已知f（x）=sin（ω＞0），f （）=f （），且f（x ）在区间上有最小值，无最大值，则ω=．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题；作图题；压轴题．分析：依据f （）=f （），且f（x ）在区间上有最小值，无最大值，确定最小值时的x值，然后确定ω的表达式，进而推出ω的值．解答：解：如图所示，∵f（x）=sin，且f （）=f （），又f（x ）在区间内只有最小值、无最大值，∴f（x ）在处取得最小值．∴ω+=2kπ﹣（k∈Z）．∴ω=8k ﹣（k∈Z）．∵ω＞0，∴当k=1时，ω=8﹣=；当k=2时，ω=16﹣=，此时在区间内已存在最大值．故ω=．故答案为：点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查规律思维力量，分析推断力量，是基础题．15．函数的最大值等于．考点：二倍角的余弦；三角函数的最值．专题：压轴题．分析：首先由余弦的倍角公式把函数转化为同名三角函数，再利用配方法求最值．解答：解：f（x）=cosx ﹣cos2x=cosx ﹣（2cos2x﹣1）=﹣cos2x+cosx+=所以f（x ）的最大值为．故答案为．点评：本题考查余弦的倍角公式及配方法求最值．16．若非零向量、，满足，且，则与的夹角大小为120°．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：计算题．分析：设与的夹角大小为θ，由题意得2+=2cosθ+=0，由此求得cos θ的值，即可得到与的夹角θ的大小．解答：解：设与的夹角大小为θ，由题意，可得2+=2||||cosθ+=2cosθ+=0，解得cosθ=﹣．再由0≤θ≤π可得，θ=120°，故答案为120°．点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量垂直的性质，依据三角函数的值求角，属于中档题．三、解答题17．已知cos（x﹣）=，x∈（，）．（1）求sinx的值；（2）求sin（2x）的值．考点：两角和与差的正弦函数；运用诱导公式化简求值．专题：计算题．分析：（1）利用x的范围确定x﹣的范围，进而利用同角三角函数的基本关系求得sin（x﹣）的值，进而依据sinx=sin[（x﹣）+]利用两角和公式求得答案（2）利用x的范围和（1）中sinx 的值，利用同角三角函数的基本关系求得cosx的值，进而依据二倍角公式求得sin2x和cos2x的值，最终代入正弦的两角和公式求得答案．解答：解：（1）由于x∈（，），所以x ﹣∈（），sin（x ﹣）==．sinx=sin[（x ﹣）+]=sin（x ﹣）cos+cos（x ﹣）sin=×+×=．（2）由于x∈（，），故cosx=﹣=﹣=﹣．sin2x=2sinxcosx=﹣，cos2x=2cos2x﹣1=﹣．所以sin（2x+）=sin2xcos +cos2xsin=﹣．点评：本题主要考查了两角和公式的化简求值和同角三角函数基本关系的应用．考查了同学基础学问的把握和基本运算力量．18．已知△ABC三个顶点的直角坐标分别为A（3，4）、B（0，0）、C（c，0）．（1）若，求c的值；（2）若c=5，求sinA的值．考点：余弦定理；平面对量数量积的运算．专题：计算题．分析：（1）依据已知三点的坐标分别表示出和，然后利用平面对量数量积的运算法则，依据列出关于c的方程，求出方程的解即可得到c的值；（2）把c的值代入C的坐标即可确定出C，然后利用两点间的距离公式分别求出|AB|、|AC|及|BC|的长度，由|AB|、|AC|及|BC|的长度，利用余弦定理即可求出cosA的值，然后由A的范围，利用同角三角函数间的基本关系即可求出sinA的值．解答：解：（1）由A（3，4）、B（0，0）、C（c，0）．得到：=（﹣3，﹣4），=（c﹣3，﹣4），则•=﹣3（c﹣3）+16=0，解得c=；（2）当c=5时，C（5，0），则|AB|==5，|AC|==2，|BC|=5，依据余弦定理得：cosA===，由A∈（0，π），得到sinA==．点评：此题考查同学把握平面对量数量积的运算法则，机敏运用余弦定理及两点间的距离公式化简求值，是一道综合题．19．已知．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）的值域；（3）求函数f（x）的单调递增区间．考点：三角函数中的恒等变换应用；平面对量数量积的运算；三角函数的周期性及其求法．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：（1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=2sin（2x+），利用三角函数的周期性及其求法即可解得函数f（x）的最小正周期．（2）由正弦函数的性质可得sin（2x+）∈[﹣1，1]，从而可求2sin（2x+）∈[﹣2，2]．（3）由2k≤2x+≤2k，k∈Z，可解得函数f（x）的单调递增区间．解答：解：（1）∵f（x）==2cosxsin（x+）+sinx（cosx ﹣）=2cosx （）+sinxcosx ﹣sin2x=sin2x+cos2x=2sin（2x+），∴函数f（x）的最小正周期T=．（2）∵sin（2x+）∈[﹣1，1]，∴2sin（2x+）∈[﹣2，2]．（3）由2k≤2x+≤2k，k∈Z，可解得函数f（x）的单调递增区间为：[k，k]，（k∈Z）．点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，平面对量数量积的运算，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的图象和性质，属于基本学问的考查．20．已知向量=（sinθ，1），=（1，cosθ），﹣＜θ＜．（Ⅰ）若，求θ；（Ⅱ）求|的最大值．考点：数量积推断两个平面对量的垂直关系；平面对量数量积的坐标表示、模、夹角．专题：平面对量及应用．分析：（I）依据两个向量垂直的性质可得sinθ+cosθ=0，由此解得tanθ的值，从而得出θ．（II ）利用向量的模的定义化简|，再依据三角函数的变换公式结合三角函数的性质求出|的最大值．解答：解：（I）.，⇒•=0⇒sinθ+cosθ=0，==当=1时有最大值，此时，最大值为．点评：本题主要考查两个向量垂直的性质，同角三角函数的基本关系，向量的模的定义，以及三角公式的应用．属于基础题．21．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）﹣cos（ωx+φ）（0＜φ＜π，ω＞0）为偶函数，且函数y=f（x）图象的两相邻对称轴间的距离为．（1）求f （）的值；（2）将函数y=f（x ）的图象向右平移个单位后，得到函数y=g（x）的图象．求g（x）的单调递减区间．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）依据三角函数的图象和性质，求出函数的解析式即可求f （）的值；（2）将函数y=f（x ）的图象向右平移个单位后，得到函数y=g（x）的图象．利用三角函数的单调性的性质即可求g（x）的单调递减区间．解答：解：（1）f（x）=sin（ωx+φ）﹣cos（ωx+φ）=2sin（ωx+φ﹣），∵函数y=f（x ）图象的两相邻对称轴间的距离为．∴，即函数的周期是T，则ω=2，若f（x）为偶函数，则φ﹣=kπ+，即φ=kπ+，∵0＜φ＜π，∴φ=，即f（x）=2cos2x，∴f （）=2cos=2×；（2）将函数y=f（x ）的图象向右平移个单位后，得到函数y=g（x）=f（x ﹣）=2cos[2（x ﹣）]=2cos （2x ﹣），由2kπ≤2x ﹣≤2kπ+π，k∈Z，即k π≤x≤kπ+，k∈Z，即此时函数单调递减，则g（x）的单调递减区间为[k π，kπ+]．点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，综合考查三角函数的诱导公式以及帮助角公式的应用，综合性较强，运算量较大．。
2023-2024学年天津市高一上册期末数学试题3(含解析)
2023-2024学年天津市高一上册期末数学试题一、单选题1．已知集合{}21,S s s n n ==+∈Z ，{}41,T t t n n ==+∈Z ，则S T Ç=（）A ．∅B ．SC ．TD ．Z【正确答案】C【分析】分析可得T S ⊆，由此可得出结论.【详解】任取t T ∈，则()41221t n n =+=⋅+，其中Z n ∈，所以，t S ∈，故T S ⊆，因此，S T T = .故选：C.2．已知x ∈R ，条件p ：2x x <，条件q ：11x>，则p 是q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】C分别求两个命题下的集合，再根据集合关系判断选项.【详解】201x x x <⇔<<，则{}01A x x =<<，1101x x>⇔<<，则{}01B x x =<<，因为A B =，所以p 是q 的充分必要条件.故选：C3．已知0.1536log 2,3,log sin7a b c π⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 大小关系为（）A ．c a b <<B ．c b a<<C ．a c b<<D ．b c a<<【正确答案】A【分析】将,,a b c 分别与中间量进行比较，即可得出c a b <<.【详解】因为555log 1log 2log 5<<，所以01a <<；100.313b >==，即1b >；由6sin17π<，所以336log sinlog 107c π⎛⎫=<= ⎪⎝⎭，即0c <.综上.c a b<<故选：A4．函数222()cos x xf x x x--=+在[,]-ππ的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】B【分析】根据函数为奇函数以及函数值的正、负，就中得到正确答案.【详解】因为()222()cos()()x xf x f x x x ---==--+-，所以函数为奇函数，故排除A,D 选项；当(,0)x π∈-时，2220,cos 0x x x x --<+>，所以()0f x <，故排除C ；故选：B.方法点睛：求解时要充分利用选项中的图象，提取有用的信息，并利用排除法得到正确选项.5．函数()()212log 4f x x =-的单调递增区间为（）A ．()0,∞+B ．(),0∞-C ．()2,∞+D ．(),2-∞-【正确答案】D【分析】求出函数()()212log 4f x x =-的定义域，利用复合函数法可求得函数()f x 的增区间.【详解】对于函数()()212log 4f x x =-，有240x ->，解得<2x -或2x >，故函数()f x 的定义域为()(),22,-∞-+∞ ，内层函数24u x =-在(),2-∞-上单调递减，在()2,∞+上单调递增，外层函数12log y u =为减函数，由复合函数的单调性可知，函数()()212log 4f x x =-的单调递增区间为(),2-∞-.故选：D.6．下列函数中最小值为4的是（）A ．224y x x =++B ．2y 22x x -=+C ．4sin sin y x x=+D ．4ln ln y x x=+【正确答案】B【分析】根据一元二次函数知识或均值不等式分别求解每个选项中函数的最小值，注意均值不等式使用条件以及等号取得条件，即可判断答案.【详解】对于2224(1)3y x x x =++=++，当=1x -时，函数最小值为3，A 错误；24y 22242x x x x -=+=+≥，当且仅当1x =时取得等号，B 正确；4sin 4sin y x x =+≥，当且仅当4sin sin x x =时取等号，由于4sin sin x x=时，|sin |2x =，根据正弦函数性质可知|sin |2x =不成立，故4sin 4sin y x x=+≥取不到等号，C 错误；对于4ln ln y x x =+，由于ln x 可能小于0，即4ln ln y x x=+函数值可能为负值，故其最小值为4不成立，D 错误，故选:B7．要得到函数y x 的图象，只需将函数)4y x π=+的图象上所有的点的A ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动4π个单位长度B ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动8π个单位长度C ．横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再向左平行移动8π个单位长度D ．横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再向右平行移动4π个单位长度【正确答案】A 【详解】令，当函数图象上所有的点横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）时，函数为，若图象再向左平行移动4π个单位长度，则函数为，于是选A.8．下列命题中正确的个数是（）①命题“0x ∃>，2sin 0x x +<”的否定是“0x ∀>，2sin 0x x +≥”；②幂函数的图象一定不会出现在第四象限；③函数()23log f x x x=-的零点所在区间是()2,3，且()f x 只有一个零点；④函数sin y x =是最小正周期为π的周期函数；⑤()f x =ππ2π2π,42x k x k k ⎧⎫+≤<+∈⎨⎬⎩⎭Z ；⑥在锐角三角形ABC 中，不等式sin sin cos cos A B A B +>+恒成立.A ．3B ．4C ．5D ．6【正确答案】B【分析】对①：根据特称命题的否定分析判断；对②：根据幂函数的图象和性质分析判断；对③：根据函数单调性结合零点存在性定理分析判断；对④：取特值结合诱导公式分析判断；对⑤：根据题意结合正切函数图象与性质运算求解；对⑥：根据题意利用正弦函数的单调性结合诱导公式分析运算.【详解】对①：命题“0x ∃>，2sin 0x x +<”的否定是“0x ∀>，2sin 0x x +≥”，①正确；对②：当0x >时，则0y x α=>，故幂函数的图象一定不会出现在第四象限，②正确；对③：∵函数()23log f x x x=-在()0,+∞上单调递减，且()()2120,31log 302f f =>=-<，故函数()23log f x x x=-的零点所在区间是()2,3，且()f x 只有一个零点，③正确；对④：∵πππππsinsin 1,sin πsin πsin 122222⎛⎫==+=+=-=- ⎪⎝⎭，即ππsin sin π22≠+，∴函数sin y x =不是最小正周期为π的周期函数，④错误；对⑤：由题意可得：tan 10x -≥，即tan 1x ≥，解得ππππ,Z 42k x k k +≤<+∈，∴()f x =ππ|ππ,42x k x k k ⎧⎫+≤<+∈⎨⎬⎩⎭Z ，⑤错误；对⑥：在锐角三角形ABC 中，π2A B +>，即π2A B >-，∵π,0,2A B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则ππ0,22B ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，且sin y x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，∴πsin sin cos 2A B B ⎛⎫>-= ⎪⎝⎭，同理可得：sin cos B A >，则不等式sin sin cos cos A B A B +>+恒成立，⑥正确；故选：B.二、填空题9．51log 22661611742log 3log 4cos4953π-⎛⎫⎛⎫⨯++-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭__________．【正确答案】9【分析】由指数与对数的运算法则以及诱导公式即可求解.【详解】原式512266log 2414[()]log 9log 4cos(6)753-π=⨯++-+π-16414()log 36cos723-π=⨯+-+1172922=+-+=故910．已知扇形AOB 的面积为8，且圆心角弧度数为2，则扇形AOB 的周长为______.【正确答案】【分析】由扇形面积公式求出扇形半径，再由弧长公式求出弧长即可得到扇形周长.【详解】因为212S R α=，其中8,2S α==，所以R ===代入弧长l R α=中，得2l R α==⨯=所以周长为22R l +=⨯=故答案为.11．已知πtan 24α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则25sin2sin αα-=______.【正确答案】3910-## 3.9-【分析】先利用正切的和差公式求得tan α，再结合二倍角公式与同角三角函数的基本关系式即可得解.【详解】因为πtan 24α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以ππtan tanππ2144tan tan 3ππ441211tan tan 44αααα⎛⎫-+ ⎪+⎛⎫⎝⎭=-+===- ⎪-⨯⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭，所以222210sin cos sin 5sin 2sin sin cos ααααααα--=+()()()2222103310tan tan 39tan 11031ααα⨯----===-+-+.故答案为.3910-12．设x ，y ∈R ，1a >，1b >，若3x y a b ==，a b +=11x y+的最大值为______.【正确答案】3【分析】有基本不等式得27ab ≤，由3x y a b ==得311log ab x y+=即可计算最值.【详解】∵1a >，1b >，∴a b +=≥∴27ab ≤，∵3x y a b ==，∴log 3,log 3a b x y ==；∴3311log ,log a b x y==；∴333311log log log log 273a b ab x y+=+=≤=，故313．天津之眼，全称天津永乐桥摩天轮，是世界上唯一一个桥上瞰景的摩天轮．如图，已知天津之眼的半径是55m ，最高点距离地面的高度为120m ，开启后按逆时针方向匀速转动，每30min 转动一圈．喜欢拍照的南鸢同学想坐在天津之眼上拍海河的景色，她在距离地面最近的舱位进舱．已知在距离地面超过92.5m 的高度可以拍到最美的景色，则在天津之眼转动一圈的过程中，南鸢同学可以拍到最美景色的时间是_________分钟．【正确答案】10【分析】借助三角函数模型，设()sin H A t k ωϕ=++，以轴心O 为原点，与地面平行的直线为x 轴，建立直角坐标系，由题意求出解析式，再令()sin 92.5H A t k ωϕ=++≥，解三角不等式即可得答案.【详解】解：如图，设座舱距离地面最近的位置为点P ，以轴心O 为原点，与地面平行的直线为x 轴，建立直角坐标系.设0min t =时，南鸢同学位于点()0,55P -，以OP 为终边的角为π2-，根据摩天轮转一周大约需要30min ，可知座舱转动的角速度约为πmin 15rad ，由题意，可得πππ55sin 6555cos 6515215H t ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，030t ≤≤，令π55cos 6592.515H t =-+≥，030t ≤≤，可得1020t ≤≤，所以南鸢同学可以拍到最美景色的时间是201010-=分钟，故10.14．给出下列命题：①若角α的终边过点()()3,40P k k k ≠，则4sin 5α=；②若α，β是第一象限角，且αβ>，则sin sin αβ>；③函数()π4sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象关于点π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭对称；④若函数()()3cos 32f x x ϕ=+是奇函数，那么ϕ的最小值为π4；⑤若角C 是ABC 的一个内角，且1sin cos 2C C +=，则ABC 是钝角三角形；⑥已知函数()()2sin 0f x x ωω=>在区间ππ,34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递增，则02ω<≤.其中正确命题的序号是______.【正确答案】③⑤【分析】根据角的中边上的点可求角的三角函数值，判断①；根据象限角的含义举反例，判断②；采用代入验证的方法可判断③；根据函数()()3cos 32f x x ϕ=+是奇函数，利用奇函数定义可求得ππ,Z 42k k ϕ=+∈，即可判断④；根据1sin cos 2C C +=，采用平方法判断C 的范围，判断⑤;利用正弦函数的单调性，求得ω的范围，判断⑥.【详解】①，若角α的终边过点()()3,40P k k k ≠，则P到原点距离为5,055,0k k r k k k >⎧==⎨-<⎩，故44sin |5|5k k α==±，①错误；②α，β是第一象限角，且αβ>，不妨取13ππ,66αβ==，但sin sin αβ=，②错误；③当π6x =-，函数πππ4sin[2()]0663f ⎛⎫-=-+= ⎪⎝⎭，即函数()π4sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象关于点π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，③正确；④若函数()()3cos 32f x x ϕ=+是奇函数，则()()()(),3cos 323cos 32f x f x x x ϕϕ-=-∴-+=-+，即cos3cos 20x ϕ=，因为x ∈R ,故cos20ϕ=，则πππ2π,Z,,Z 242k k k k ϕϕ=+∈∴=+∈,那么ϕ的最小正值为π4，无最小值，④错误；⑤若角C 是ABC 的一个内角，且1sin cos 2C C +=，即21(sin cos )12sin s 4coso C C C C +=+=，即sin cos 38C C =-，由于(0,π)C ∈，故sin 0,cos 0C C ><，故C 为钝角，ABC 是钝角三角形，⑤正确；⑥已知函数()()2sin 0f x x ωω=>在区间ππ,34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递增，则,π4π3x ωωω⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，可得ππ32ππ32ωω⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得302ω<≤，⑥错误，故③⑤三、解答题15．已知()()π1sin sin π23πcos 2f αααα⎛⎫++-+ ⎪⎝⎭=⎛⎫- ⎪⎝⎭.(1)若α是第三象限角，且3cos 5α=-，求()f α的值；(2)若()4f α=-，求sin 1cos αα-的值.【正确答案】(1)12-(2)3【分析】（1）利用诱导公式化简得到()1cos sin sin f αααα++=-，根据α是第三象限角，且3cos 5α=-求出sin α，代入即可；（2）根据()4f α=-得到1cos 3sin αα+=，再利用同角三角函数关系变形得到sin 1cos 31cos sin αααα+==-.【详解】（1）()()π1sin sin π1cos sin 23πsin cos 2f ααααααα⎛⎫++-+ ⎪++⎝⎭=-⎛⎫- ⎪⎝⎭,因为α是第三象限角，且3cos 5α=-，所以sin 54α==-，故()3411cos sin 1554sin 25f αααα--++===--（2）()1cos sin 4sin f αααα++==--，故1cos 3sin αα+=，由于sin α位于分母的位置，故sin 0α≠，故1cos 0α+≠，故()()()()()22sin 1cos sin 1cos sin 1cos sin 1cos 31cos 1cos 1cos 1cos sin sin αααααααααααααα++++=====--+-.16．已知函数()()2π2sin πcos 2f x x x x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭(1)求()f x 的最小正周期及单调递减区间；(2)当ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的最大值和最小值，以及相应x 的值；(3)若0π14625f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，03π,π4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求0sin2x 的值.【正确答案】(1)π；5π11ππ,π(Z)1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦(2)当5π12x =时，max ()2f x =；当π4x =时，min ()1f x =(3)1450+-【分析】（1）利用三角恒等变换化简()f x ，再利用三角函数的性质即可得解；（2）利用正弦函数的性质即可得解；（3）由题意可得02πsin 232514x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，从而利用基本关系式与正弦函数的和差公式即可得解.【详解】（1）因为()()2π2sin πcos 2f x x x x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭22sin cos x x x =+)22sin cos 12sin x x x =-πsin 222sin 23x x x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==，由ππ3π2π22π,Z 232k x k k +≤-≤+∈，得5π11πππ,Z 1212k x k k +≤≤+∈，所以()f x 的单调递减区间为5π11ππ,π(Z)1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.（2）由（1）知()f x 的单调递减区间为5π11ππ,π(Z)1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，因为ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以()f x 在π5π,412⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在5ππ,122⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，又5πππππ2π2sin 2,2sin 1,2sin1224623f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以当5π12x =时，max ()2f x =，当π4x =时，min ()1f x =.（3）因为0π14625f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以02πsin 232514x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又03π,π4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则02π5π4π2363x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，则02πcos 203x ⎛⎫-< ⎝⎭，所以02πcos 23x ⎛⎫-== ⎪⎝⎭，所以002π2πsin 2sin 233x x ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦002π2π2π2πsin 2cos cos 2sin 3333x x ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1411425225250⎛⎫+⎛⎫=⨯-+-⨯=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．。
2022-2023学年天津市东丽区天津耀华滨海学校高一上数学期末综合测试模拟试题含解析
2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）1．若,R a b ∈，则“ln ln a b <”是“a b <”的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件2．若集合{}1A x x =>-,则（ ） A.0A ⊆ B.{}0A ⊆ C.{}0A ∈D.A ∅∈3．与圆22:(2)(2)1C x y ++-=关于直线10x y -+=对称的圆的方程为（ ） A.22(1)(1)1x y -++= B.22(1)(1)1x y +++= C.22(1)(1)1x y -+-=D.22(1)(1)1x y ++-=4．下列各角中与60︒角终边相同的角是( ) A.－300° B.－60° C.600°D.1 380°5．函数()2f x x 2x 3=--的单调递减区间为( )A.(),1∞-B.(),2∞-C.()1,∞D.()2,∞+6．已知tan 3α=，则222sin 4sin cos 9cos αααα+-的值为A.130 B.13C.2110D.37．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是（）A. B. C.D.8．函数2()lg 1f x a x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭是奇函数，则a 的值为 A.0 B.1 C.-1 D.不存在9．计算：1364lg 0.001-+的值为A.114-B.23-C.54D.3410．圆x 2+y 2+2x ﹣4y +1＝0的半径为（ ） A.1 B.2 C.2D.411．若函数()()22log 3f x x ax a =-+在[)2,+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是（） A.(],4-∞ B.(]4,4- C.()4,-+∞D.[)4,4-12．若55cos 123πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 12πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A.53B.23-C.23D.55二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）13．若关于x 的不等式ax 2+bx +c ＞0的解集为{x |-1＜x ＜2}，则关于x 的不等式cx 2+bx +a ＞0的解集是______ 14．将函数()sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象向左平移02πϕϕ⎛⎫<<⎪⎝⎭个单位长度得到函数()g x 的图象，若12,x x 使得()()121f x g x ⋅=-，且12x x -的最小值为12π，则ϕ=_________.15．定义{},max a b 为,a b 中的最大值，函数()(){}()21,2,1=+->-max log f x x x x 的最小值为c ，如果函数()()321,4,x x c⎧-+≥⎪=⎨⎪<⎩x m g x mx c 在R 上单调递减，则实数m 的范围为__________ 16．在平面直角坐标系xOy 中，设角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，将射线OP 绕坐标原点O 按逆时针方向旋转后与单位圆交于点.那么___________，=___________.三、解答题（本大题共6个小题，共70分。
天津市和平区天津耀华中学2023届数学高一上期末检测模拟试题含解析
【解析】如图，
，
又 ，
∴ ，故 ．选A
2、A
【解析】进行交集、补集的运算即可．
【详解】 ；
，或
故选A．
【点睛】考查描述法的定义，以及交集、补集的运算．
3、C
【解析】根据指数式与对数式的互化关系逐一判断即可.
【详解】 ，故 正确；
，故 正确；
， ，故 不正确；
，故 正确
故选：C
【点睛】本题主要考查了指数式与对数式的互化，属于基础题.
2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
17、（1） ，
（2）答案不唯一，具体见解析
【解析】（1）根据正弦函数的单调增区间建立不等式求解即可得出；
（2）选①代入，化简 ，令 ，转化为二次函数求值域即可，选择条件②代入化简 ，令 ，根据正弦函数的图象与性质求最值即可求解.
【小问1详解】
函数 的单调增区间为 （ ）
由 ， ，
解得 ， ，
所以 的单调增区间为 ，
(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理
(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和
5、B
【解析】根据初相定义直接可得.
【详解】由初相定义可知，当 时的相位称为初相，
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天津市耀华中学2013-2014学年度第一学期期末考试
高一年级数学试卷
第I 卷（选择题共40分）
★请同学们将试题答案填涂在答题卡上
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知角α终边上一点22(sin ,cos )33
P ππ，则角α的最小正值为 A ．116π B ．56π C.53π D 23
π； 2、已知平面向量(1,2),(2,)a b m ==-，且a//b ，则23a b +=
A. (-5, -10) B ．(-4, -8)
C ．(-3，-6) D. (-2，-4)
3、把函数sin ()y x x R =∈的图象上所有的点向左平行移动
3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12
倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是 A.sin(2),3y x x R π=-∈ B ．sin(),26
x y x R π=+∈ C. sin(2),3y x x R π=+∈ D.2sin(2),3
y x x R π=+∈ 4、已知函数2()(1cos2)sin ,f x x x x R =+∈，则f(x)是
A. 最小正周期为π的奇函数 B ：最小正周期为2
π的奇函数 C ．最小正周期为π的偶函数 D. 最小正周期为2
π的偶函数 5、下列关系式中正确的是
A ．sin11cos10sin168<< B. sin168sin11cos10<<
C. sin11sin168cos10<<
D. sin168cos10sin11<< 6、已知6,3,12a b a b ==⋅=-，则向量a 在向量b 方向上的投影是
A ．2 B. -2 C.4 D. -4
7、如图，它表示电流sin()(0,0)I A t A ωϕω=+>>在一个周期内的图象，则
sin()I A t ωϕ=+的解析式为
A ．100sin()33I t ππ=
+ B. 100sin()36
I t ππ=+ C. 503sin()36I t ππ=+ D. 503sin()33I t ππ=+ 8、设函数()sin()()3f x x x R π
=+∈，则()f x
A ．在区间27,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数
B ．在区间,2ππ⎡⎤--⎢⎥⎣
⎦上是减函数 C ．在区间,84ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数 D ．在区间5,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上是减函数 9、已知函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间,34ππ⎡⎤-
⎢⎥⎣⎦上的最小值是-2，则ω的最小值等于 A.23 B. 32
C.2 D ．3 10、若向量a 与b 的夹角为60，4,(2)(3)72b a b a b =+⋅-=-，则向量a 的模为
A.2 B ．4 C.6 D ．12
第II 卷（非选择题共60分）
二、填空题：本大题共8小题，每小题4分，共32分，请将答案填写在答题纸上。
11、若3sin()25
π
θ+=,则cos 2θ=___________； 12、已知1e 与2e 是两个不共线向量，121232,25AB e e CB e e =+=-,12CD e e λ=-若三点A 、
B 、D 共线，则λ=___________；
13.已知171tan(),tan()6263
ππαβ+=-=,则tan()αβ+=___________； 14、设函数,3()cos 1f x x x =+,若()11f a =，则()f a -=__________；
15、函数12
log cos2y x =的单调减区间为__________；
16、函数sin 2cos2y x a x =+的图象关于8x π
=-对称，则a 等于_________；
17、已知三点A 、B 、C 的坐标分别为A(3,0). B(0,3). C(cosa, sina)(,)4k a k Z π≠
∈， 若1AC BC ⋅=-，则1sin 2cos21tan a a a
+-+的值为=___________；
18、在AABC 中，，120,2BAC AB AC ∠===,D 为BC 边上的点，且
0AD BC ⋅=，若3CE EB =，则()AB AC AE +⋅=_________,
天津市耀华中学2013-2014学年度第一学期期末考试
高一年级数学试卷 答题纸
二、填空题：每小题8分，共32分。
将答案填在下面的横线上。
三、解答题：本题共3个大题，共28分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
19、（本题满分8分）已知向量(3,4),(6,3),(5,3)OA OB OC m m =-=-=---。
(1)若A ，B ，C 三点共线，求实数m 的值：
(2)若ABC ∠为锐角，求实数rn 的取值范围，
20、（本题满分10分）设函数22()(sin cos )2cos (0)f x x x x ωωωω=++>的最小正周期为23
π。
(1)求ω的值．
(2)若函数()y g x =的图像是由()y f x =的图像向右平移
2π个单位长度得到， 求()y g x =的单调增区间．
21、（本题满分10分）已知函数2()cos 2cos 1()f x x x x x R =+-∈
(1)求函数()f x 的最小正周期及在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值． (2)若006(),,542f x x ππ⎡⎤=
∈⎢⎥⎣⎦，求0cos2x 的值， 选做题：
1．求值：1cos201sin10(tan5)2sin 20tan5
+--． 2．在AABC 中，3sinA+4cosB=6，3cosA+4sinB=1，则角C 的大小．。