结构力学力矩分配法新
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结构力学下多结点力矩分配法
结构力学下多结点力矩分配法
引言
在结构力学中，力矩分配法是一种常见的分析方法，用于计算多结点约束下的力矩分配。多结点力矩分配法通过将外加载荷分配给结构中的各个节点，以确定每个节点承载的力矩。本文将介绍结构力学下的多结点力矩分配法的基本原理和计算方法。
原理
多结点力矩分配法的原理基于以下假设：
1.结构是一个刚体，可以忽略其变形。
2.结构中的每个节点都可以承受力矩，且力矩的分配是均匀的。
基于这些假设，我们可以将外加载荷分配给结构中的各个节点，并计算每个节点承载的力矩。力矩的分配是根据节点间的刚性关系来确定的。
计算方法
多结点力矩分配法可以通过以下步骤进行计算：
1.确定结构的节点个数和节点编号。
2.根据结构的几何形状和边界条件，建立节点间的刚性关系。
3.将外加载荷均匀地分配给每个节点。可以根据结构的几何形状和边界
条件，考虑节点之间的距离和角度来确定各个节点的分配比例。
4.根据节点间的刚性关系，计算每个节点承载的力矩。可以使用刚体平
衡条件来计算力矩的分配。
5.检查计算结果的合理性。根据结构的几何形状和边界条件，验证计算
得到的力矩分配是否符合工程实际。
示例
下面以一个简单的桁架结构为例，介绍多结点力矩分配法的计算方法。
假设桁架结构的节点个数为4，节点编号分别为1, 2, 3和4。外加载荷为M，沿结构的纵向均匀分布。
根据桁架结构的几何形状和边界条件，建立节点间的刚性关系。假设节点1和节点2之间的刚性系数为k1，节点2和节点3之间的刚性系数为k2，节点3和节点4之间的刚性系数为k3。
将外加载荷均匀地分配给每个节点。假设节点1承载的力矩为M1，节点2承载的力矩为M2，节点3承载的力矩为M3，节点4承载的力矩为M4，可以得到以下关系：
结构力学-力矩分配法
M
S
a）分配力矩
M M
ij
ij
b）传递弯矩 2、传Mj递i=系CM数ij C：
j=A，B，C
S
ij
ij
S
杆端转动时产生的远端弯矩与近端弯矩
注：的1比）值传。递即力：矩是杆端转动时产生的远端弯矩。
2）只有分配弯C矩才M能远 向M远近 端返传回递。
2、单结点结构在跨间荷载作用下的计算
•
•
•
单结点结构在跨中荷载作用下的力矩分配法
1）锁住结点，求固端弯矩
200kN
20kN/m
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
mAB 节 点2不008平 6衡力150 矩2要00变号6 分配.
A
3i
B 4i
C
3m
3m
6m
mBA 不8平衡力15矩0 =
μ
1/2 1/2
mBC
固2端0 弯62矩之9和0 8
μAD= 3/9
2）求m mAB= 50
mBA= － 50
mAD= － 80
M+MA=mAB+mAD+mAC － M =50+－80－15= －45
结点
B
杆端
BA
AB
分配系数
4/9
固端弯矩 － 50
50
结构力学第9章__力矩分配法(新)
Sik Sik
i
ik 1
i
3 传递系数：近端发生转角时，远端弯矩与近端弯矩的比值.
Cik
M ki M ik
1
2
0
远端为固定端 远端为铰支端
1 远端为平行支链杆
9-2 单结点的力矩分配——基本运算
例题
M
ii
ii
4/7 3/7
固端弯矩
-M
分配、传递 2M/7
← 4M/7 3M/7
→
0
杆端弯矩 2M/7
96 64 → 32
-23.6 ← -47.3 -47.3 → -23.6 14.2 9.4 → 4.7
-1.2 ← 0.7 0.5 →
-2.3 -2.3 → -1.2 0.3
-0.1 -0.2
200.9 -200.9
237.3 -237.3 87.7
200.9
237.3
87.7
9-4计算结果的校核
5m
B
C
EI=常数
A
D
125kNm
ABCD部分: 弯矩图一样 剪力图一样 轴力图不一样
5m 5m
9-4计算结果的校核
平衡条件:每次分配时,自然满足
变形协调条件:
M ik
4iiki
2iikk
M
f ik
M ki
2iik i
结构力学——力矩分配法分解
1.80
第三节 多结点力矩分配法
变形条件的校核： Mik4iikik2ii k kimik
Mki2iikik4ii k kimki
固定状态:
q12kN/m
MA FB112ql2100kNm
MB FA100kNm
A EI
10m
B EI
C
10m
MB F CMC FB0
放松状态:
ql 2/12
ql 2/12 RBP100kNm
q12kN/m
R BP
A
B
C
不平衡力矩变号，再乘以
分配系数即为分配弯矩
M B AB A(R B P)57.1 M B CB C(R B P)42.9
SAB =4i 1
SAB =3i 1
A
EI
B
A
B
l
SAB = i
1 A
SAB =0 1
B
A
B
远端固定，SAB = 4i；远端铰支，SAB = 3i 远端滑动，SAB = i；远端自由，SAB = 0
说明：在SAB中，A端是施力端，也称为近端，B端称为远端
杆端转动刚度不仅与杆件的线刚度i有关，而且与远端 的支承情况有关。
分配 传递
M
1C
i 4i3ii
1/8
q ql2/8
B
1 ql2/4 C
第7章力矩分配法
§7.2 力 矩 分 配 法 的 基 本 原 理
一、单结点连续梁的力矩分配法
⑸力矩分配
M B A
SBA SBA SBC
(M B )
BA(M B )
2kN/m
A
20kN
iB
i
C
3m 3m
6m
M B C
SBC SBA SBC
(M B )
BC (M B )
-MB
由于 SBA 4i, SBC 3i
MB 15 A
15 9
(SBA SBC )Z1
15
9
B
C
⑷计算转角Z1。
R11 R1P 0
Z1
SBA
1
SBC
(M B )
M B A
SBAZB
R11
A
M B C
SBCZB
4iZ1 = SBAZ1
Z1
B
C
3iZ1 = SBCZ1
水利土木工程学院结构力学课程组
第7章 力 矩 分 配 法
S AD S
B
M A
M M
AB AC
4iZ1 3iZ1
S ABZ1 S AC Z1
M
MA'
AD
iZ1
一、单结点连续梁的力矩分配法
⑸力矩分配
M B A
SBA SBA SBC
(M B )
BA(M B )
2kN/m
A
20kN
iB
i
C
3m 3m
6m
M B C
SBC SBA SBC
(M B )
BC (M B )
-MB
由于 SBA 4i, SBC 3i
MB 15 A
15 9
(SBA SBC )Z1
15
9
B
C
⑷计算转角Z1。
R11 R1P 0
Z1
SBA
1
SBC
(M B )
M B A
SBAZB
R11
A
M B C
SBCZB
4iZ1 = SBAZ1
Z1
B
C
3iZ1 = SBCZ1
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第7章 力 矩 分 配 法
S AD S
B
M A
M M
AB AC
4iZ1 3iZ1
S ABZ1 S AC Z1
M
MA'
AD
iZ1
结构力学中的力矩分配法
f BA
S AB S AB S AB
S AB 4×2 = = 0.39 + S AC + S AD 4 × 2 + 4 × 2 + 3 × 1.5 S AC 4×2 = = 0.39 + S AC + S AD 4 × 2 + 4 × 2 + 3 × 1.5 S AD 3 × 1 .5 = = 0.22 + S AC + S AD 4 × 2 + 4 × 2 + 3 × 1.5
例6−4 用力矩分配法计算图9−8（a）所示的刚架，并绘M图。 用力矩分配法计算图 （ ）所示的刚架，并绘 图
80kN A EI B EI EI C EI EI 30kN/m D
52.04 120 A
91.84 75.92 135 15.92 B B
62.33 26.72 D C C 35.63
6m
P1 (a) A MAB MBA B MB P1 (b) A MfAB MfBA B MfBC MfCB P2 C MfBA MfBC MBC MCB P2 C
MB
f f M B = M BA + M BC
M' (c) A MABc MBAµ B MBCfµ MCBc C
M′ = −MB
第6章 章
SAB=4EI/l A EI 1 l B SAB=EI/l A EI 1 l B
S AB S AB S AB
S AB 4×2 = = 0.39 + S AC + S AD 4 × 2 + 4 × 2 + 3 × 1.5 S AC 4×2 = = 0.39 + S AC + S AD 4 × 2 + 4 × 2 + 3 × 1.5 S AD 3 × 1 .5 = = 0.22 + S AC + S AD 4 × 2 + 4 × 2 + 3 × 1.5
例6−4 用力矩分配法计算图9−8（a）所示的刚架，并绘M图。 用力矩分配法计算图 （ ）所示的刚架，并绘 图
80kN A EI B EI EI C EI EI 30kN/m D
52.04 120 A
91.84 75.92 135 15.92 B B
62.33 26.72 D C C 35.63
6m
P1 (a) A MAB MBA B MB P1 (b) A MfAB MfBA B MfBC MfCB P2 C MfBA MfBC MBC MCB P2 C
MB
f f M B = M BA + M BC
M' (c) A MABc MBAµ B MBCfµ MCBc C
M′ = −MB
第6章 章
SAB=4EI/l A EI 1 l B SAB=EI/l A EI 1 l B
第8章力矩分配法
§8-1 力矩分配法的基本概念
力矩分配：？
例：杆端受力矩作用的单跨梁，
M
M
M
M图
M
M图
单跨梁不存在力矩分配的问题
连续梁的力矩分配
M
A
i
B
i
C
1 2
M
A
B
C
1 2
M
M图
由于是对称结构， AB和BC杆的B端所 分配的力矩各一半。
力矩分配：作用在结点的力矩按比例分配给结点处的各杆端
M
A
i
B
2i
C
M图 A
1 4
传递系数
远端固定，CAB=0.5
远端简支，CAD=0
远端滑动，CAC=-1
D i
分配系数
AB
2 3
AC
1 12
AD
1 4
120kNm
A
2i
i
C
传递系数
CAB=0.5
CAD=0
CAC=-1
B
D
80kNm A 30kNm
B 40kNm
10kNm C
M图
杆端弯矩
M AB
AB M
2 *120
3
A
i
8m
D
2i 10kN
B
i
E 10kN
4m
结构力学第七章力矩分配法
(B)
BA B
(B)
一、力矩分配法计算单刚结点的连续梁
M S §7-2 力矩分配法的基本原理
B
BC
M S M 解: ABCD为静定部分，先求出该部分M 图，再把MAB反作用于基本部分BECABF，B用C位移法或力矩分配法求解，答案见图b。B
S S (B)
(B)
§7-3 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架
结点B的不平衡力矩为
M
u B
M
F BA
M
F BC
63kN m
§7-3 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架
9 kN /m
A
B
80 kN
C
分配系数
4／7 3／7
固端弯矩
-27
27 -90
0
分配与传递 18
36 27
0
最后弯矩
-9
63 -63
0
将以上结果叠加，即得最后的杆端弯矩。
注意：结点B应满足平衡条件。 M B 63 63 0
SBD 0, CBD 0
§7-2 力矩分配法的基本原理
例7-2 图示梁的AC为刚性杆段，CB杆段EI=常数，求 SAB及CAB
E I= ∞ C
A l
B l
当 θ l
C
6i
6 il/l= 6 i B
E I= ∞
结构力学 力矩分配法
S Ai
S
i 1
n
(10-1-1)
Ai
2）转动刚度和传递系数
均与杆件的线刚度、远端支座形式相关
4 i 1 A = 2 i A j
S Ai =4i
= 3 1 i A j A
A = i 1
S Ai =3i S Ai =i
j
A i
3）结点力矩和固端弯矩
由以上所述知，刚架在结点集中力偶M在 用下的杆端弯矩，可成一般式：
例10-2-1
用力矩分配法计算图(a)所示连续梁， 并作弯矩图。
E I
2 2 m m
6 m
4 m
解：1)计算分配系数：令EI=1 B结点分配 单元：
S BA EI 4 1 4
S BC
EI 2 4 6 3
S
Bi
5 3
BA
3 5
BC
2 5
C结点分配单元：
S CB 2 3 8 17
第十章
力矩分配法
第一节 力矩分配法概念
1.力矩分配法的来源
力矩分配法的解题思路来源于具有一个结 点角位移刚架的内力（弯矩）计算结果。
以图10-1-1(a)所示刚架为例
i4 z1 1 i1 A i2
M i3
(a)
(b)
当z1单独作用在刚架的位移法基本结构上时， 见图(c)所示
结构力学应用-分配法
（2）传递系数 C
（3）分配系数μ MAj＝μAjM
Aj 分配系数
S
A
S Aj
A
Leabharlann Baidu
Aj
＝ AB＋ AC＋ AD＋ AE＝ 1
（4）固端弯矩MF（同位移法,表8－1）
4、基本运算（单结点力矩分配）
100kN
10kN/ m
A
2 EI
B
1
EI
12m
4m
4m
EI 8
i=
S
EI l
EI 6
F
a
MF
M
F
S＝3i MF＝Fa/2
（1）集中力偶的分配（与固端力区别——不变号） [例]（习题9-1） （2）悬臂端处理（刚结点、铰结点） [例]（习题9-2、例9－2）
（3）对称性 [例]（习题7－17、18，习题8-10）
7、无剪力分配法
（1）基本原理与力矩分配法相同 i、s、μ、c、MF。 （2）应用条件： 刚架中除两端无相对线位移的杆件外， 其余杆件都是剪力静定杆件。 （3）s、c、MF 剪力静定杆（相对线位移可不计） —— 按一端固定一端滑动支座计算 （4）无剪力分配法的计算过程： （a）加约束→固端弯矩
渐近法
1、理论基础――位移法（结点位移→逐次调整） 解题方法――渐近法（由荷载直接计算杆端弯矩
结构力学下多结点力矩分配法
解：取半结构计算。
A
B
C
D
E
F
2/7 0 -11.9 -0.57 -12.47
41.67 4/7
1/7 0 -5.95 -0.28 -6.23 0 5.95 0.28 6.23
18.42
41.67 -23.8 1.99 -1.14
-41.67 -11.9 1/3 0 1/3 41.67 3.97 45.83 3.97 1/3 0 3.97
3.97
-49.98
0 1.99 1.99
-41.67
1.99
-39.6
6.23 18.42
12.47
1.99 49.98 45.83 3.98
39.6
例5
8 kN 16 kN
6 kN/m
2×2m
2×2m
4m
EI=常数
8 kN
16 kN
6 kN/m
R1
R2
+
-R1 -R2
8 kN
16 kN
3 kN/m
25.2
51.04
36.32 14.72
63.53
小结：多结点力矩分配时，先附加刚臂求出固端弯矩， 小结：多结点力矩分配时，先附加刚臂求出固端弯矩，然后
放松若干结点，保证每个结点都是单结点，分配，传递后， 放松若干结点，保证每个结点都是单结点，分配，传递后，再锁 紧这些结点，然后放松先前锁紧的结点，进行分配与传递， 紧这些结点，然后放松先前锁紧的结点，进行分配与传递，然后 锁紧，两组结点轮换进行。 锁紧，两组结点轮换进行。 例如下图。 例如下图。
结构力学 力矩分配法
g M AB 30kN m g M AD 24kN m g M DA 36kN m R
AB
AD
B
0.3 0.4
D
A 0.3
AC
+30
0
-24
+36 -1.2 +34.8 MDA
R反号分配
M
g AB
g M AD R 6kN m
-1.8 -1.8 -2.4 +28.2 -1.8 -26.4 MAB MAC MAD
A
D
M A θA
B
MM
AB
由 MA 0
M M AB M AC M AD S ABθ A S AC θ A S ADθ A
C
M AD
M AC
(a )
( S AB S AC S AD) θ A
S θA
A
用 S 表示各杆A端转动刚度之和。 A ∴
θA M S
A
将qA代入MAB、MAC、MAD的表达式中，得：
S M AB AB M S
A
D
M A θA
B
M AC
S AC M S
A
分配弯矩
C
θA
M S
A
S AD M AD M S
A
(a )
令 μ Aj
AB
AD
B
0.3 0.4
D
A 0.3
AC
+30
0
-24
+36 -1.2 +34.8 MDA
R反号分配
M
g AB
g M AD R 6kN m
-1.8 -1.8 -2.4 +28.2 -1.8 -26.4 MAB MAC MAD
A
D
M A θA
B
MM
AB
由 MA 0
M M AB M AC M AD S ABθ A S AC θ A S ADθ A
C
M AD
M AC
(a )
( S AB S AC S AD) θ A
S θA
A
用 S 表示各杆A端转动刚度之和。 A ∴
θA M S
A
将qA代入MAB、MAC、MAD的表达式中，得：
S M AB AB M S
A
D
M A θA
B
M AC
S AC M S
A
分配弯矩
C
θA
M S
A
S AD M AD M S
A
(a )
令 μ Aj
结构力学 第三十一讲力矩分配法和近似法
SCE SCA
SCD
CA
SCE
SCA SCA
SCD
CD
SCE
SCD SCA
SCD
6 0.277 6 3.6 12
3.6 0.167 6 3.6 12
12 0.556 6 3.6 12
例9-9 分层法
A
B
i=0.9 40kN i=0.9
R
C
D
i=3
i=8
i=1.5
i=1.5
E
F
底层
4．计算原理：
（1）力矩分配法。
A
为了减少误差，在利用力矩分配时，上 层各柱的线刚度乘折减系数0.9，传递系 D 数由1/2改为1/3。(P.238)
q 3kN/m
B
C
E F
（2）横梁：横梁的最后弯矩就是各分 层刚架所求得的横梁弯矩值。
G
H
（3）立柱：除底层立柱，其余各层立柱在计算中要出 现两次，故，上层柱的弯矩应由分层刚架的两次的弯矩 值叠加。(P.238)
3.6 0.231 3.6 12
12 0.769 3.6 12
例9-9 分层法
q= 20kN/m
Q
A
B
i=3
i=8
i=0.9
i=0.9
C
D
顶层
Ｂ结点
SBA SBD
结构力学-第七章-力矩分配法
§7-2 力矩分配法的基本原理
a)
例7-3 图示梁的AC 杆为刚性杆段，CB 杆段EI=常数。求 SAB ,CAB。
A A l l CC l l BB AA
θθ ==1 1
C C
B B
θθ l l
SAB S AB A
3i 3
iΔ /l=3 33i /l=3 i i C C
BB
EI= EI= ∞ ∞
由此可得到什么 结论呢？
如果外荷载不是结点力偶，情况又如何呢？
§7-2 力矩分配法的基本原理
F F u M R1 p (MCA MCB ) MC
叠加得最终杆端弯矩为
近端
F M CA M CA M CA
M CB M CB M
F CB
M Ci 分配弯矩 固端弯矩
力矩分配法可以避免解联立方程组，其计算精 度可按要求来控制。在工程中曾经广泛应用。
从数学上说，是一种异步迭代法。 单独使用时只能用于无侧移（线位移）的结构。
力矩分配法的理论基础是位移法，力矩分配法 中对杆端转角、杆端弯矩、固端弯矩的正负号 规定，与位移法相同（顺时针旋转为正号）。
§7-2 力矩分配法的基本原理 一、力矩分配法中几个概念
S BD 0, C BD 0
§7-2 力矩分配法的基本原理
例7-2 图示梁的AC为刚性杆段，CB杆段EI=常数，求 6 il/l= 6 i SAB及CAB EI=∞ C EI=∞ C 当
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杆端弯矩 FPl/2
M图 FPl/2
2i l
10
-FPl FPl 0 FPl -FPl
FPl
FP 0
9-2 单结点的力矩分配——基本运算
例题
4m
30kN/m B i=2
4m
100kN
D
A
i=1.5
i=2
C
3m
2m
9-2 单结点的力矩分配——基本运算
AB
2
3
23 2 4 1.5 4
0.3
AD
9-1力矩分配法的基本概念
M
4
2 i12 1
i14
i13
3
4i12Δ1
2i12Δ1
i13Δ1 i13Δ1
3i14Δ1
M12 4i121 M13 i131 M14 3Hale Waihona Puke Baidu141
M21 2i121 M31 i131 M41 0
9-1力矩分配法的基本概念
根据平衡条件
M 0
1
M12 M13 M14 M
2
1.5 4 3 2 4 1.5 4
0.3
100 22 M AD 52 48kNm
AC
23
24 2 4 1.5 4
0.4
1 M AB 8 3016 60kNm
100 2 32
M DA
52
72kN m
AB AC AD
B
0.3 0.4 0.3
D
A
60
-48
72
-3.6 -4.8 -3.6
100kN
5m 100kN
5m
B
C
EI=常数
A
D
5m 5m
141.6
250 66.6
250 116.7
M图 (kNm)
33.2
结点 A
B
C
D
杆端 AB BA BC CB CD DC
分配 系数
0.5 0.5 0.5 0.5
固端 弯矩 -125
125
-125 125
-31.2 -62.5 -62.5 -31.2
分配
7.8 15.6 15.6 7.8
与
-2 -3.9 -3.9 -2
传递 0.5 1
1 0.5
-0.3 -0.2
杆端 弯矩 -116.7 141.6 -141.6 66.6 -66.6 -33.2
9-3 多结点的力矩分配——渐进运算
100kN
12.5kN
5m 100kN
9-2 单结点的力矩分配——基本运算
例题
12kN/m
i
6m
16kN
2i
3m
3m
0.4 0.6
固端弯矩 -36
36 -18
分配、传递 -3.6
← -7.2 -10.8 →
0
最后M -39.6
28.8 -28.8
0
39.6
28.8
M图
(kNm)
9-2 单结点的力矩分配——基本运算
例题
i
l
固端弯矩 分配、传递 FPl/2
← 4ql2/56 ← 4ql2/56
-ql2/8 3ql2/56 -4ql2/56
4ql2/56
M图 4ql2/56
→0 →0
9-2 单结点的力矩分配——基本运算
①求固端弯矩； ②将会交于结点的固端弯矩之和按分配系数分配给每一个杆端。 ③各杆按各自的传递系数向远端传递。 ④将固端弯矩和分配（或传递的弯矩）相加，得杆端最后弯矩。
M 1 4i12 i13 3i14
M12
4i12
4i12 i13 3i14
M
M13
4i12
i13 i13
3i14
M
M14
4i12
3i12 i13
3i14
M
M 21
1 2
M12
M31 M13
M41 0 M14
9-1力矩分配法的基本概念
1 转动刚度：梁端发生单位转角产生的弯矩。
1 远端为平行支链杆
9-2 单结点的力矩分配——基本运算
例题
M
ii
ii
4/7 3/7
固端弯矩
-M
分配、传递 2M/7
← 4M/7 3M/7
→
0
杆端弯矩 2M/7
4M/7 3M/7
0
M图
2M/7
4M/7 3M/7
9-2 单结点的力矩分配——基本运算
q
例题
il
i
l
4/7 3/7
固端弯矩 分配、传递 2ql2/56 杆端弯矩 2ql2/56
D
10m
1/2 1/2
-100
16 42 42
-6.7 3.3 3.4
-0.5 0.2 0.3
16/25 9/25
-100+50 100
32 18 21 -13.4 -7.6 1.7 -1.1 -0.6
杆端弯矩 23 23
45.5 54.5
46 54
40.2 -40.2
40
100
100
9-3 多结点的力矩分配——渐进运算
→
-1.8
56.4 -4.8 51.6
→
70.2
C↓ -2.4
9-2 单结点的力矩分配——基本运算
56.4
70.2
51.6
4.8
2.4
M图(kNm)
9-2 单结点的力矩分配——基本运算
例题
0.8 0.2
Bi C
qi
l
A l
ql2/12 -4ql2/60
-ql2/60
ql2/60 -ql2/60
C
q
i l
Mik=-ql2/12 Mki=ql2/12
k
9-2 单结点的力矩分配——基本运算
4m
练习
100kNm i
i i
i
50kNm
12kN/m
4m
练习
4m
i
i
2Δ
l
l
4m Δ
9-3 多结点的力矩分配——渐进运算
100kNm
EI
EI
10m
10m
8kN/m
0.75EI 10m
10kN 10m
分配系数 固端弯矩
ql2/60 ql2/60
ql2/60
M图
7ql2/60
-ql2/12
-2ql2/60
-7ql2/60 A
9-2 单结点的力矩分配——基本运算
练习
i
i
k
i
Sik=4iik
k
i
Sik=4iik
k Sik=3iik
k
Sik=0
i
k
Sik=4iik
i
k
EI=∞ K
Sik=Kl2
l
i
k Sik=4iik
9-2 单结点的力矩分配——基本运算
0.5 0.3
22.9 45.7 54.3 40.3 40.3 100 -100
9-3 多结点的力矩分配——渐进运算
100
45.7
40.3
100
22.9
54.3
9-3 多结点的力矩分配——渐进运算
100kNm
8kN/m 100kNm
A
分配系数 固端弯矩
分配 与 传递
EI
B
EI C
10m
10m
0.75EI
分配 与 传递
杆端弯矩
1/2 1/2 4/7 3/7
10
-100
-200/3 200/3 -100
50 50 → 25 16.7 ← 33.3 7.2 ← 14.3 10.7 → 5.4
-3.6 - 3.6 → 1.8 -2.7 ← -5.4
1.3 ← 2.6 1.9 → 1
-0.7 - 0.6 → -0.3 -0.5 ← -1
M ik Sik 1
4iik 远端为固定端
S ik
3iik iik
远端为铰支端 远端为平行支链杆
0 远端为自由端
2 分配系数：与转动刚度成正比
ik
Sik Sik
i
ik 1
i
3 传递系数：近端发生转角时，远端弯矩与近端弯矩的比值.
Cik
M ki M ik
1
2
0
远端为固定端 远端为铰支端
M图 FPl/2
2i l
10
-FPl FPl 0 FPl -FPl
FPl
FP 0
9-2 单结点的力矩分配——基本运算
例题
4m
30kN/m B i=2
4m
100kN
D
A
i=1.5
i=2
C
3m
2m
9-2 单结点的力矩分配——基本运算
AB
2
3
23 2 4 1.5 4
0.3
AD
9-1力矩分配法的基本概念
M
4
2 i12 1
i14
i13
3
4i12Δ1
2i12Δ1
i13Δ1 i13Δ1
3i14Δ1
M12 4i121 M13 i131 M14 3Hale Waihona Puke Baidu141
M21 2i121 M31 i131 M41 0
9-1力矩分配法的基本概念
根据平衡条件
M 0
1
M12 M13 M14 M
2
1.5 4 3 2 4 1.5 4
0.3
100 22 M AD 52 48kNm
AC
23
24 2 4 1.5 4
0.4
1 M AB 8 3016 60kNm
100 2 32
M DA
52
72kN m
AB AC AD
B
0.3 0.4 0.3
D
A
60
-48
72
-3.6 -4.8 -3.6
100kN
5m 100kN
5m
B
C
EI=常数
A
D
5m 5m
141.6
250 66.6
250 116.7
M图 (kNm)
33.2
结点 A
B
C
D
杆端 AB BA BC CB CD DC
分配 系数
0.5 0.5 0.5 0.5
固端 弯矩 -125
125
-125 125
-31.2 -62.5 -62.5 -31.2
分配
7.8 15.6 15.6 7.8
与
-2 -3.9 -3.9 -2
传递 0.5 1
1 0.5
-0.3 -0.2
杆端 弯矩 -116.7 141.6 -141.6 66.6 -66.6 -33.2
9-3 多结点的力矩分配——渐进运算
100kN
12.5kN
5m 100kN
9-2 单结点的力矩分配——基本运算
例题
12kN/m
i
6m
16kN
2i
3m
3m
0.4 0.6
固端弯矩 -36
36 -18
分配、传递 -3.6
← -7.2 -10.8 →
0
最后M -39.6
28.8 -28.8
0
39.6
28.8
M图
(kNm)
9-2 单结点的力矩分配——基本运算
例题
i
l
固端弯矩 分配、传递 FPl/2
← 4ql2/56 ← 4ql2/56
-ql2/8 3ql2/56 -4ql2/56
4ql2/56
M图 4ql2/56
→0 →0
9-2 单结点的力矩分配——基本运算
①求固端弯矩； ②将会交于结点的固端弯矩之和按分配系数分配给每一个杆端。 ③各杆按各自的传递系数向远端传递。 ④将固端弯矩和分配（或传递的弯矩）相加，得杆端最后弯矩。
M 1 4i12 i13 3i14
M12
4i12
4i12 i13 3i14
M
M13
4i12
i13 i13
3i14
M
M14
4i12
3i12 i13
3i14
M
M 21
1 2
M12
M31 M13
M41 0 M14
9-1力矩分配法的基本概念
1 转动刚度：梁端发生单位转角产生的弯矩。
1 远端为平行支链杆
9-2 单结点的力矩分配——基本运算
例题
M
ii
ii
4/7 3/7
固端弯矩
-M
分配、传递 2M/7
← 4M/7 3M/7
→
0
杆端弯矩 2M/7
4M/7 3M/7
0
M图
2M/7
4M/7 3M/7
9-2 单结点的力矩分配——基本运算
q
例题
il
i
l
4/7 3/7
固端弯矩 分配、传递 2ql2/56 杆端弯矩 2ql2/56
D
10m
1/2 1/2
-100
16 42 42
-6.7 3.3 3.4
-0.5 0.2 0.3
16/25 9/25
-100+50 100
32 18 21 -13.4 -7.6 1.7 -1.1 -0.6
杆端弯矩 23 23
45.5 54.5
46 54
40.2 -40.2
40
100
100
9-3 多结点的力矩分配——渐进运算
→
-1.8
56.4 -4.8 51.6
→
70.2
C↓ -2.4
9-2 单结点的力矩分配——基本运算
56.4
70.2
51.6
4.8
2.4
M图(kNm)
9-2 单结点的力矩分配——基本运算
例题
0.8 0.2
Bi C
qi
l
A l
ql2/12 -4ql2/60
-ql2/60
ql2/60 -ql2/60
C
q
i l
Mik=-ql2/12 Mki=ql2/12
k
9-2 单结点的力矩分配——基本运算
4m
练习
100kNm i
i i
i
50kNm
12kN/m
4m
练习
4m
i
i
2Δ
l
l
4m Δ
9-3 多结点的力矩分配——渐进运算
100kNm
EI
EI
10m
10m
8kN/m
0.75EI 10m
10kN 10m
分配系数 固端弯矩
ql2/60 ql2/60
ql2/60
M图
7ql2/60
-ql2/12
-2ql2/60
-7ql2/60 A
9-2 单结点的力矩分配——基本运算
练习
i
i
k
i
Sik=4iik
k
i
Sik=4iik
k Sik=3iik
k
Sik=0
i
k
Sik=4iik
i
k
EI=∞ K
Sik=Kl2
l
i
k Sik=4iik
9-2 单结点的力矩分配——基本运算
0.5 0.3
22.9 45.7 54.3 40.3 40.3 100 -100
9-3 多结点的力矩分配——渐进运算
100
45.7
40.3
100
22.9
54.3
9-3 多结点的力矩分配——渐进运算
100kNm
8kN/m 100kNm
A
分配系数 固端弯矩
分配 与 传递
EI
B
EI C
10m
10m
0.75EI
分配 与 传递
杆端弯矩
1/2 1/2 4/7 3/7
10
-100
-200/3 200/3 -100
50 50 → 25 16.7 ← 33.3 7.2 ← 14.3 10.7 → 5.4
-3.6 - 3.6 → 1.8 -2.7 ← -5.4
1.3 ← 2.6 1.9 → 1
-0.7 - 0.6 → -0.3 -0.5 ← -1
M ik Sik 1
4iik 远端为固定端
S ik
3iik iik
远端为铰支端 远端为平行支链杆
0 远端为自由端
2 分配系数：与转动刚度成正比
ik
Sik Sik
i
ik 1
i
3 传递系数：近端发生转角时，远端弯矩与近端弯矩的比值.
Cik
M ki M ik
1
2
0
远端为固定端 远端为铰支端