高三数学平面向量的数量积
平面向量的数量积 教案-2022届高三数学二轮复习微专题复习
微专题：平面向量数量积的探究
一、本专题在高考中的地位
平面向量数量积作为高考的热点问题有其必然性，从知识角度看，涉及到模、夹角、垂直和数量积范围等；从能力角度看，要求学生具备教材基础知识和较强的关键学科能力如：观察能力、直观想象、运算能力.
近年来，高考对平面向量的数量积考查得一直都很频繁，比如2021全国1卷10题，全国2卷15题，北京卷13题，天津卷15题，浙江卷3、17题都有考查. 二、考向分析
(1)主要考查平面向量的数量积与平面向量的坐标运算，并能运用数量积解决有关平面几何问题；
(2)主要考查向量与不等式、解析几何、三角函数等知识的综合，考查学生逻辑推理能力、运算能力和综合解决问题的能力. 三、基本思路
1.“数”化，即合理建系，利用坐标系求解.
2.“形”化，明确向量式的几何意义，挖掘图形特点，利用平面几何知识求解. 四、教学过程 （一）典型例题
【典例】（浙江卷）∆ABC 中，D 为BC 中点，AD=3，BC=10，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =_____. 解法一：利用坐标表示向量进行运算 如图所示，设A(x ，y)，B(-5，0)，C(5，0). 因为AD=3，所以x 2+y 2=9. AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x+5，y)， AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x-5，y). AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙AC
⃗⃗⃗⃗⃗ =
解法二：利用定义法a ⃗ ∙b =|a ⃗ |∙|b |cos θ（三角形看作特殊的等腰三角形） 如图令∆ABC 中，AB=AC ， ∠BAD= θ 则|AB|=√34，cos θ=
平面向量的数量积及其应用
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高三数学总复习教程（第16讲）
一、本讲内容
平面向量的数量积及其应用
本讲进度，向量的数量积，数量积的应用
二、学习指导
要深刻理解向量数量积的定义：、cos＜、＞.它是数（可正、可负，也可以为零），但不是向量，因此，·=·，λ（·）=·λ，·（+）=·=·，·=0
（而不是！）特别地，（·）≠·（·），因为左边是与共线的向量，而右边是与共线的向量，除特殊情况外，两者不相等。
我们利用向量的数量积（又称为点积）可以解决向量的夹角问题，特别地，利用向量的数量可以很方便地解决垂直问题，：⊥⇔·=0，（，非零向量）
cos ＜a、b＞是a在b上的射影，值得注意的是它仍是一个数（可正，可负，可以为0）而不是向量。
特别地，·2cos＜·2，由此，可把点积与模长（距离）挂上钩。
三、典型的例题讲解
例1．证明三角形中的射影定理：a=bcosC+ccosB用向量证明一些三角问题，如正弦定理，余弦定理等很方便，但同学们却觉得不好掌握，这里我们再看一个例子。
=+，两边同等2=·+·cosC
cosC，即a=ccosB+bcosC
例2．平面内有四点，O、A、B、C，记OA=a，OB=b，OC=c若a+b+c=o且a·b=b·c=c·a=－1，试判断△ABC的形状，并求其面积.
千万不能由·=·约得到=，一是过程差无根据，二是合得到A、B、C当同一点的荒谬结论。
也不能由·=·+=·=－1b=1，=1，⋅，
=cos<·＞|，等号当且仅当，共线且同面或，中有当B者其他条件当然不是可有可无的，故应出现向量和，于是我们想到·=·和·=·相加，
高考数学一轮总复习课件：平面向量的数量积
题型二 向量的模
例2 (1)已知向量a，b满足|a|＝6，|b|＝4，且a与b的夹角为 60°，求|a＋b|和|a－3b|.
【思路】 本例题介绍两种求向量模的方法： ①利用|a＋b|2＝(a＋b)·(a＋b)；②构造模型，利用向量的加法 和减法求模．
【解析】 方法一：因为|a|＝6，|b|＝4，a与b的夹角为60 °，所以a·b＝|a|·|b|·cosθ＝6×4×12＝12，
数量积满足的运算律 已知向量 a，b，c 和实数 λ，则向量的数量积满足下列运算 律： (1)a·b＝_b_·a_． (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝_a_·_(λ_b_) _． (3)(a＋b)·c＝_a_·c_＋__b_·c__．
注意 (1)两个向量的数量积是一个实数． 0·a＝0(实数)，而 0·a＝0. (2)数量积不满足结合律(a·b)·c≠a·(b·c)． (3)a·b 中的“·”不能省略．
＝2a－ 5b，则cos〈a，c〉＝____3____．
解析 方法一：因为|a|＝|b|＝1，a·b＝0，所以a·c＝a·(2a－ 5 b)＝2a2－ 5 a·b＝2，|c|＝|2a－ 5 b|＝ （2a－ 5b）2 ＝ 4a2＋5b2－4 5a·b＝3.所以cos〈a，c〉＝|aa|·|cc|＝23.
方法五：∵A→B＋B→C＋C→A＝0， 将其两边平方可得A→B2＋B→C2＋C→A2＋2(A→B·B→C＋A→B·C→A ＋B→C·C→A)＝0，故A→B·B→C＋A→B·C→A＋B→C·C→A＝－12(A→B2＋ B→C2＋C→A2)＝－25.
高三数学平面向量的数量积
cos θ －sin θ cos θ ＝0.
∴ a ⊥b . (2)由x⊥y得：x·y＝0，
即[a＋(t2＋3)b]·(－ka＋tb)＝0，
∴－ka2＋(t3＋3t)b2＋[t－k(t2＋3)]a·b＝0， ∴－k|a|2＋(t3＋3t)|b|2＝0. 又|a|2＝1，|b|2＝1， ∴－k＋t3＋3t＝0，∴k＝t3＋3t.
x1x2＋y1y2 cos θ ＝ 2 2 2 2. x1 ＋y1 x2 ＋y2 特别提醒：平面向量 a、b 的夹角 θ ∈[0，π ]．
1 1 3．已知|a|＝1，a²b＝ ，(a－b)²(a＋b)＝ ，求 2 2
(1)a与b的夹角； (2)a－b与a＋b的夹角的余弦值．
【解析】 (1)∵(a－b)²(a＋b)＝|a|2－|b|2＝1－|b|2＝
2 2
∴|a－b|＝
2 ， 2
1 1 5 又|a＋b| ＝a ＋2a²b＋b ＝1＋2³ ＋ ＝ . 2 2 2
2 2 2
10 ∴|a＋b|＝ 2 设 a－b 与 a＋b 的夹角为 α ，则 (a－b)²(a＋b) 5 cos α ＝ ＝ ＝ . |a－b|²|a＋b| 2 10 5 ³ 2 2 1 2
2．(2009 年陕西高考)在△ABC 中，M 是 BC 的中点，AM＝1， →，则 P→ 点 P 在 AM 上且满足 A→ P ＝2PM A· (P→ B ＋P→ C )等于( 4 A．－ 9 4 C. 3 4 B．－ 3 4 D. 9
高中数学平面向量的数量积练习题及答案
高中数学平面向量的数量积练习题及答案
1.2021·泰州质检在ABC中，若AB=1，AC=，|+|=||，则=________.
[解析] 由平行四边形法则，|+|=||=||，故A，B，C构成直角三角形的三个顶点，且A为直角，从而四边形ABDC是矩形.
由||=2，ABC=60°，
==.
[答案]
2.2021·湖南高考改编已知a，b是单位向量，a·b=0.若向量c满足|c-a-b|=1，则|c|的最大值为________.
[解析] a，b是单位向量，|a|=|b|=1.
又a·b=0，a⊥b，|a+b|=.
|c-a-b|2=c2-2c·a+b+2a·b+a2+b2=1.
c2-2c·a+b+1=0.2c·a+b=c2+1.
c2+1=2|c||a+b|cos θθ是c与a+b的夹角.
c2+1=2|c|cos θ≤2|c|.c2-2|c|+1≤0.
-1≤|c|≤+1.|c|的最大值为+1.
[答案] +1
3.设两向量e1，e2满足|e1|=2，|e2|=1，e1，e2的夹角为60°，若向量2te1+7e2与向量e1+te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围.
[解] 由已知得e=4，e=1，e1·e2=2×1×cos 60°=1.
2te1+7e2·e1+te2=2te+2t2+7e1·e2+7te=2t2+15t+7.
欲使夹角为钝角，需2t2+15t+7<0，得-7
设2te1+7e2=λe1+te2λ<0，
∴2t2=7.t=-，此时λ=-.
即t=-时，向量2te1+7e2与e1+te2的夹角为π.
第03讲 平面向量的数量积 (精讲)(含答案解析)
第03讲平面向量的数量积(精讲）-2023年高考
数学一轮复习讲练测（新教材新高考）
第03讲平面向量的数量积(精讲）目录
第一部分：知识点精准记忆第二部分：课前自我评估测试第三部分：典型例题剖析
高频考点一：平面向量数量积的定义角度1：平面向量数量积的定义及辨析角度2：平面向量数量积的几何意义高频考点二：平面向量数量积的运算角度1：用定义求数量积角度2：向量模运算角度3：向量的夹角角度4：已知模求数量积角度5：已知模求参数
高频考点三：平面向量的综合应用高频考点四：极化恒等式第四部分：高考真题感悟第一部分：知识点精准记忆1、平面向量数量积有关概念1.1向量的夹角
已知两个非零向量a 和b ，如图所示，作OA a = ，OB b =
，则AOB θ
∠=(0θπ≤≤)叫做向量a 与b
的夹角，记作,a b <> ．
(2)范围：夹角θ的范围是[0,]π．
当0θ=时，两向量a ，b
共线且同向；
当2
π
θ=
时，两向量a ，b 相互垂直，记作a b ⊥ ；当θπ=时，两向量a ，b
共线但反向．
1.2数量积的定义：
已知两个非零向量a 与b ，我们把数量||||cos a b θ 叫做a 与b
的数量积(或内积)，记作a b ⋅ ，即||||cos a b a b θ⋅= ，其中θ是a 与b
的夹角，记作：,a b θ=<> ．
规定：零向量与任一向量的数量积为零．记作：00a ⋅=
.
1.3向量的投影
①定义：在平面内任取一点O ，作OM a ON b ==
，.过点M 作直线ON 的垂线，
垂足为1M ，则1OM 就是向量a 在向量b 上的投影向量.
平面向量的数量积及其应用课件-2024届高三数学一轮复习
03
A. OP1 OP2
B. AP1 AP2
C. OAOP3 OP1 OP2
D. OAOP1 OP2 OP3
04
导
学习活动1
知识梳理
学
学习活动2
教材改编题
1.(必修二 P34 例 11 改编)设 a＝(5，－7)，b＝(－6，－4)，设 a，b 的夹角为θ，则 cos θ＝__－___996_62_2_.
2.(必修二 P21 例 13 改编)已知|a|＝3，|b|＝4，且 a 与 b 不共线，若(a＋kb)⊥(a－kb)，则实数 k＝______43__.
3.在△ABC 中，AB＝3，AC＝2，BC＝ 10，则B→A·A→C的值为____23____.
展
学习活动3
数量积的计算
例 1 (1)(2022·全国乙卷)已知向量 a，b 满足|a|＝1，|b|＝ 3，|a－2b|＝3，则 a·b＝( C )
2 ∴|P→D|＝ 12＋22＝ 5. P→B·P→D＝P→B·(P→C＋C→D)＝P→B·P→C＋P→B·C→D＝－P→B2＋0＝－1.
展
学习活动4
数量积的应用
角度1 夹角与垂直
例 2 (1)(2022·新高考Ⅱ卷)已知向量 a＝(3，4)，b＝(1，0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，
2020年高考数学专题复习平面向量的数量积及应用举例
第3讲平面向量的数量积及应用举例1.向量的夹角
2.平面向量的数量积
3.向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a；
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
4.平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量.( )
(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.( ) (3)由a ·b ＝0可得a ＝0或b ＝0.( ) (4)(a ·b )c ＝a (b ·c ).( )
(5)两个向量的夹角的范围是⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.( )
(6)若a ·b >0，则a 和b 的夹角为锐角；若a ·b <0，则a 和b 的夹角为钝角.( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)×
在边长为1的等边△ABC 中，设BC →＝a ，CA →＝b ，AB →
＝c ，则a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝( ) A ．－32
B ．0
C ．32
D ．3
解析：选A.依题意有a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－32，故选
A. 已知向量BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1
2，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，则∠ABC ＝( )
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．120°
解析：选A.由两向量的夹角公式，可得cos ∠ABC ＝BA →·BC →|BA →|·|BC →|＝12×32＋32×1
平面向量的数量积公式
平面向量的数量积公式
平面向量的数量积公式是：
两个向量的数量积等于它们模长的乘积与它们之间夹角的余弦值的乘积。即A·B = |A|·|B|·cosθ，其中A和B是两个平面向量，|A|和|B|分别是它们的模长，θ是它们之间的夹角。
高三数学一轮复习平面向量的数量积及应用教案
(2)选B 由( － )·( ＋ －2 )＝0，可知 ·( ＋ )＝0，设BC的中点为D，则 ＋ ＝2 ，故 · ＝0.所以 ⊥ .又D为BC的中点，故△ABC为等腰三角形．
板书设计
平面向量的数量积及应用
1．向量的数量积
（1）两个非零向量的夹角
（2）当பைடு நூலகம்＝π时， 与 反向；
（3）当θ＝ 时， 与 垂直，记 ⊥ ；
由题悟法
1．求两非零向量的夹角时要注意：
(1)向量的数量积不满足结合律；
(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不能共线时两向量的夹角就是钝角．
2．当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角，需求得a·b及|a|，|b|或得出它们的关系．
（2）一道解答题，可能以三角、数列、解析几何为载体，考察向量的运算和性质；
教学准备
多媒体课件
教学过程
一．知识梳理：
1．向量的数量积
（1）两个非零向量的夹角
已知非零向量a与a，作 ＝ ， ＝ ，则∠AＯA＝θ（０≤θ≤π）叫 与 的夹角；
说明：（1）当θ＝０时， 与 同向；
（2）当θ＝π时， 与 反向；
平面向量的模
典题导入
(2012·洛阳统考)已知P为锐角三角形ABC的AB边上一点，A＝60°，AC＝4，则| ＋3 |的最小值为( )
2023年新高考数学大一轮复习专题22 平面向量的数量积及其应用(解析版)
专题22 平面向量的数量积及其应用
【考点预测】
一．平面向量的数量积a （1）平面向量数量积的定义
已知两个非零向量与b ，我们把数量||||cos θa b 叫做a 与b 的数量积（或内积），
记作⋅a b ，即⋅a b =||||cos θa b ，规定：零向量与任一向量的数量积为0． （2）平面向量数量积的几何意义
①向量的投影：||cos θa 叫做向量a 在b 方向上的投影数量，当θ为锐角时，它是正数；当θ为钝角时，它是负数；当θ为直角时，它是0．
②⋅a b 的几何意义：数量积⋅a b 等于a 的长度||a 与b 在a 方向上射影||cos θb 的乘积． 二．数量积的运算律
已知向量a 、b 、c 和实数λ，则： ①⋅=⋅a b b a ；
②()()()λλλ⋅⋅=⋅a b =a b a b ； ③()+⋅⋅+⋅a b c =a c b c ． 三．数量积的性质
设a 、b 都是非零向量，e 是与b 方向相同的单位向量，θ是a 与e 的夹角，则 ①||cos θ⋅=⋅=e a a e a ．②0⊥⇔⋅=a b a b ．
③当a 与b 同向时，||||⋅=a b a b ；当a 与b 反向时，||||⋅=-a b a b ．
特别地，2||⋅=a a a 或||=a ． ④cos ||||
θ⋅=
a b
a b (||||0)≠a b ．⑤||||||⋅a b a b ≤． 四．数量积的坐标运算
已知非零向量11()x y =，a ，22()x y =，b ，θ为向量a 、b 的夹角．
（1）平面向量的数量积是一个实数，可正、可负、可为零，且||||||a b a b ⋅≤.
高考数学一轮复习3 第3讲 平面向量的数量积及应用举例
第3讲平面向量的数量积及应用举例最新考纲考向预测1.通过物理中的功等实例，理解
平面向量数量积的概念及其物理
意义，会计算平面向量的数量积.
2.通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义.
3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.命题趋势
平面向量数量积的概念及
运算，与长度、夹角、平
行、垂直有关的问题，平
面向量数量积的综合应用
仍是高考考查的热点，题
型仍是选择题与填空题.核心素养数学运算、逻辑推理
1．向量的夹角
(1)条件：平移两个非零向量a和b至同一起点，
结论：∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做a与b的夹角．
(2)范围：0°≤θ≤180°.
特殊情况：当θ＝0°时，a与b共线同向．
当θ＝180°时，a与b共线反向．
当θ＝90°时，a与b互相垂直．
2．向量的数量积
(1)条件：两个向量a与b，夹角θ，
结论：数量|a||b|cos_θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos_θ．
(2)数量积的几何意义
条件：a的长度|a|，b在a方向上的投影|b|cos_θ
(或b的长度|b|，a在b方向上的投影|a|cos_θ)，
结论：数量积a·b等于|a|与|b|cos_θ的乘积(或|b|与|a|cos_θ的乘积)．3．平面向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a(交换律)．
(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．
4．平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝a，b．
结论几何表示坐标表示向量的模|a|＝a·a |a|＝x21＋y21
步步高大一轮复习讲义高三数学53平面向量的数量积
§5.3 平面向量的数量积
1．平面向量的数量积
已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则数量________叫做a 和b 的数量积(或内积)，记作________________．
规定：零向量与任一向量的数量积为______．
两个非零向量a 与b 垂直的充要条件是__________，两个非零向量a 与b 平行的充要条件是__________． 2．平面向量数量积的几何意义
数量积a·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影____________的乘积． 3．平面向量数量积的重要性质
(1)e·a ＝a·e ＝__________；
(2)非零向量a ，b ，a ⊥b ⇔__________； (3)当a 与b 同向时，a·b ＝__________；
当a 与b 反向时，a·b ＝____________，a·a ＝____________，|a |＝__________； (4)cos θ＝____________； (5)|a·b |______|a||b|.
4．平面向量数量积满足的运算律
(1)a·b ＝________(交换律)；
(2)(λa )·b ＝________＝__________(λ为实数)； (3)(a ＋b )·c ＝____________. 5．平面向量数量积有关性质的坐标表示
设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝____________，由此得到 (1)若a ＝(x ，y )，则|a |2＝__________或|a |＝__________.
有关高三数学平面向量的数量积教学设计大全
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教案是教师为顺利而有效地开展教学活动，根据课程标准，教学大纲和教科书要求及学生的实际情况，以课时或课题为单位，对教学内容、教学步骤、教学方法等进行的具体设计和安排的一种实用性教学文书。接下来是小编为大家整理的有关高三数学平面向量的数量积教学设计大全，希望大家喜欢!
有关高三数学平面向量的数量积教学设计大全一
教学目标：
(i)知识目标：
(1)掌握平面向量数量积的概念、几何意义、性质、运算律及坐标表示.
(2) 平面向量数量积的应用.
(ii)能力目标：
(1) 培养学生应用平面向量积解决相关问题的能力.
(2) 正确运用向量运算律进行推理、运算.
教学重点： 1. 掌握平面向量的数量积及其几何意义.
2. 用数量积求夹角、距离及平面向量数量积的坐标运算.
教学难点：平面向量数量积的综合应用.
教学过程：
一、知识梳理
1.平面向量数量积(内积)的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是θ，则数量| || |cos(叫与的数量积，记作 ( ，即 ( = | || |cos(，并规定与任何向量的数量积为0
2.平面向量的数量积的几何意义：数量积 ( 等于的长度与在方向上投影| |cos(的乘积.
3.两个向量的数量积的性质设、为两个非零向量，是与同向的单位向量
1( ( = ( =| |cos(; 2( ( ( ( = 0
3(当与同向时， ( = | || |;当与反向时， ( = (| || | ，特别地 ( = |
|2
4(cos( = ; 5(| ( | ≤ | || |
4.平面向量数量积的运算律
高三数学总复习 平面向量的数量积教案 理
40 平面向量的数量积
教材分析
两个向量的数量积是中学代数以往内容中从未遇到过的一种新的乘法，它区别于数的乘法．这篇案例从学生熟知的功的概念出发，引出平面向量数量积的概念和性质及其几何意义，介绍向量数量积的运算律及坐标表示．向量的数量积把向量的长度和三角函数联系在一起，这为解决三角形的有关问题提供了方便，特别是能有效解决线段的垂直等问题．这节内容是整个向量部分的重要内容之一，对它的理解与掌握将直接影响向量其他内容的学习．这节内容的教学难点是对平面向量数量积的定义及运算律的理解和对平面向量数量积的应用．
教学目标
1. 理解并掌握平面向量的数量积、几何意义和数量积的坐标表示，会初步使用平面向量的数量积来处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件．
2. 通过对数量积的引入和应用，初步体会知识发生、发展的过程和运用过程，培养学生的科学思维习惯．
任务分析
两个向量的数量积从形式和实质上都与数的乘法有区别，这就给理解和掌握这个概念带来了一些困难．在学习时，要充分让学生理解、明白两个向量的数量积是一个数量，而不是向量．两个向量的数量积的值是这两个向量的模与两个向量夹角余弦的乘积，其符号由夹角余弦值的正负而确定．
两向量的数量积“a·b”不同于两实数之积“ab”．
通过实例理解a·b＝b·c与a＝c的关系，a·b＝0与a＝0或b＝0的关系，以及（a·b）c＝a（b·c）与（ab）c＝a（bc）的不同．
教学设计
一、问题情景
如图40-1所示，一个力f作用于一个物体，使该物体发生了位移s，如何计算这个力所做的功．由于图示的力f的方向与前进方向有一个夹角θ，真正使物体前进的力是f在物体前进方向上的分力，这个分力与物体位移的乘积才是力f做的功．即力f使物体位移x所做的功W可用下式计算．
高三数学总复习平面向量的数量积张(人教A版)
二、平面向量数量积的性质 1．a⊥b⇔a·b＝0. 2．当 a 与 b 同向时，a·b＝ |a||b| ； 当 a 与 b 反向时，a·b＝－|a||b| ； 特别地，a·a＝|a|2 或|a|＝ a·a. 3．cosθ＝|aa|·|bb|. 4．|a·b|≤|a|·|b|.
三、向量数量积的运算律 1．a·b＝b·a(交换律)． 2．(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)． 3．(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
1．平行与垂直问题常常转化为两个向量的平行与垂直． 2．求向量模时，主要利用公式|a|2＝a2，将模的运算转化 为向量的数量积的运算． 3．利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数 或最值问题常用的方法．
考点典例讲练
向量的数量积
[例 1] (2012·广西百所重点中学阶段性检测)已知△ OAB 是以 OB 为斜边的等腰直角三角形，OB＝ 2，O→C＝O→A ＋(1－λ)O→B，若 λ2>1，则O→C·A→B的取值范围是( )
当 θ＝2π时，a 与 b 垂直，记作 a⊥b；
当 θ＝0 时，a 与 b 同向； 当 θ＝π 时，a 与 b 反向．
2．向量 a 与 b 的数量积 已知两个非零向量 a 和 b，它们的夹角为 θ，我们把数量 |a||b|cosθ 叫做 a 与 b 的数量积(或内积)，记作 a·b，并规定零 向量与任一向量的数量积为 0. 3．向量的投影 如图，O→A＝a，O→B＝b，过 B 作 BB1 垂直于直线 OA，垂 足为 B1，则 OB1＝ |b|·cosθ 叫做向量 b 在 a 方向上的投影．
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