2013届高三数学复习周测[7]
2012--2013(上)高三(7)数学周六考试试题14(答案)
2012~2013(上)高三(7)数学周六考试试题14(答案)命题人:张开桃一.选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分1. 复数534i +的共轭复数是 ( A )A .3455i +B .3455i - C .3+4i D .3-4i2. 某程序框图如图所示,该程序运行后输出的k 的值是( A )A .4B .5C .6D .73.,有下面四个命题:平面,直线平面已知直线βα⊂⊥m l (1)//l m αβ⇒⊥;(2)//l m αβ⊥⇒; (3)//l m αβ⇒⊥;(4)//l m αβ⊥⇒ 其中正确的命题是 ( C )A .(1)(2)B .(2)(4)C .(1)(3)D .(3)(4)4. 已知圆C 与直线x -y =0 及x -y -4=0都相切,且圆心在直线x +y =0上,则圆C 的方程为( B )A.22(1)(1)2x y ++-=B. 22(1)(1)2x y -++=C. 22(1)(1)2x y -+-=D.22(1)(1)2x y +++= 5. 设不等式⎩⎨⎧>+>-00y x y x 表示的平面区域与抛物线24y x =-的准线围成的三角形区域(包含边界)为D ,),(y x P 为D 内的一个动点,则目标函数52+-=y x z 的最大值为( C )A .4B .5C .8D .126. 在长方形ABCD 中,AB =2,BC =1,M 为AB 的中点,在长方形ABCD 内随机取一点,取到的点到M 的距离大于1的概率为 ( C ) A.4π B.8π C.14π-D.18π- 7. 等比数列{}n a 的各项都是正数,且132,21,a a a 成等差数列,则6554a a a a ++的值是( A )A .215- B . 251-C .215+D .215-或215+8. 定义行列式运算1234a a a a =3241a a a a -.将函数sin 2()cos 2x f x x=的图象向左平移6π个单位,以下是所得函数图象的一个对称中心是 ( B )A .,04π⎛⎫⎪⎝⎭ B .,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭C .,03π⎛⎫⎪⎝⎭D .,012π⎛⎫⎪⎝⎭9. 下列命题:①在ABC ∆中,若B A >,则B A sin sin >;②已知)1,2(),4,3(--==CD AB ,则在上的投影为2-;③已知1cos ,:=∈∃x R x p ,01,:2>+-∈∀x x R x q ,则“q p ⌝∧”为假命题.其中真命题的个数为( C ) (A )0(B )1 (C )2(D )310. 定义方程()()f x f x '=的实数根0x 叫做函数()f x 的“新驻点”,如果函数()g x x =,()ln(1)h x x =+,()cos x x ϕ=(()x π∈π2)的“新驻点”分别为α,β,γ,那么α, β,γ的大小关系是( D ) A .γβα<< B .βγα<< C .βαγ<< D .γαβ<< 二.填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分11. 某同学学业水平考试的9科成绩如茎叶图4所示,则根据茎叶图可知该同学的平均分为 .8012. 已知正实数,x y 满足3x y xy ++=,若对任意满足条件的,x y ,都有2()()10x y a x y +-++≥恒成立,则实数a 的取值范围为 .⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-637,13. 函数)(x f y =的导数记为)('x f ,若)('x f 的导数记为)()2(x f ,)()2(x f 的导数记为)()3(x f ,…….。
(江西版)2013年普通高等学校招生全国统一考试高三数学模拟组合试卷07 理 (教师版)
【步步高】(江西版)2013届高三数学 名校强化模拟测试卷07 理(教师版)第I 卷一.选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1. 【山东省青岛市2012届高三第二次模拟】已知集合{},3M m =-,{}22730,N x x x x =++<∈Z ,如果MN ≠∅,则m 等于 A .1-B .2-C .2-或1-D .32-2. 【改编题】复数201321i i -(i 为虚数单位)的虚部是( )A .15iB .15C . 15i -D .15-3. 【2012届山东临沂高三二模考试】设函数)(x f 为定义在R 上的奇函数,当0x ≥时,()22x f x x b =++(b 为常数),则(1)f -=(A )52-(B )1- (C )3- (D )3 4. 【原创题】若(,)2παπ∈,且3cos2sin()4παα=-,则sin2α的值为( ) A.118B. 118-C.1718 D.1718- 【答案】D.【解析】cos 2sin(2)sin[2()]24ππααα=-=-2sin()cos()44ππαα=-- 代入3cos2sin()4παα=-得:1cos()46πα-=,展开2sin cos 6αα+= 平方上式得:172sin cos sin 218ααα==-. 5. 【济钢高中2012届高三5月份高考冲刺题】下列结论错误的...是 ( ) A .命题“若p ,则q ”与命题“若,q ⌝则p ⌝”互为逆否命题; B .命题:[0,1],1xp x e ∀∈≥,命题2:,10,q x R x x ∃∈++<则p q ∨为真; C .“若22,am bm <则a b <”的逆命题为真命题; D .若q p ∨为假命题,则p 、q 均为假命题.6. 【“华安、连城、永安、漳平一中,龙海二中,泉港一中”六校联考2012-2013学年上学期第三次月考】函数[]2()2,55f x x x x =--∈-,,定义域内任取一点0x ,使0()0f x ≤的概率是( )101.A 32.B 103.C 54.D7. 【济钢高中2012届高三5月份高考冲刺题】如右图所示是某一容器的三视图,现向容器中匀速注水,容器中水面的高度h 随时间t 变化的可能图象是( )A .B .C .D .8. 【原创改编题】已知点P (x ,y )满足条件20,250,0,x y x y y a --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩点A (2,1),且||cos OP AOP ⋅∠的最大值为25,则a 的值是A .-2B .lC .1D .29. 【山东省青岛市2012届高三第二次模拟】函数()295y x =--的图象上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列,则以下不可能成为该等比数列的公比的数是 A .34B .2C .3D .510.【 山东省莱芜市2012届高三4月高考模拟试题】定义域为[a,b]的函数()y f x =图像的两个端点为A 、B ,M (x ,y )是()f x 图象上任意一点,其中(1)[,]=+-∈x a b a b λλ,已知 向量(1)ON OA OB λλ=+-,若不等式||MN k ≤恒成立,则称函数()[,]f x a b 在上“k阶线性近似”。
2012-2013上学期安义中学高三周练七数学试卷(理)
2012~2013学年度上学期高三第八次周练数 学 试 卷(理)一、选择题(每小题4分,共40分)1.已知命题p :x ∈R ,x >sinx ,则p 的否定形式为( ) A .p ⌝:R x ∈∃,x <sinx B .p ⌝:R x ∈∀,x ≤sinx C .p ⌝:R x ∈∃,x ≤sin xD .p ⌝:R x ∈∀,x <sinx2.函数f (x)=-xx132+lg(3x +1)的定义域是( )A .(-31,+∞) B .(-31,1) C .(-31,1] D .(-∞,-31) 3.已知α为锐角,sin(α+23π)=-55,则tan(α-45π)=( )A .-3B .3C .31 D .-314.关于x 的不等式a x -b >0的解集为(2,+∞),则关于x 的不等式3x -bax +>0的解集为( )A .(-2,3)B .(-∞,-2)⋃(3,+∞)C .(2,3)D .(-∞,-3)⋃(2,+∞) 5.定义运算a*b =⎩⎨⎧>≤ba b b a a ,,,如1*2=1,令f (x)=2x * 2-x ,则f (x)为( )A .奇函数,值域(0,1]B .偶函数,值域(0,1]C .非奇非偶函数,值域(0,1]D .偶函数,偶域(0,+∞) 6.关于直线m 、n 与平面α、β,有以下四个命题:①若m ∥α,n ∥β且α∥β,则m ∥n ②若m ∥α,n ⊥β且α⊥β,则m ∥n ③若m ⊥α,n ∥β且α∥β,则m ⊥n ④若m ⊥α,n ⊥β且α⊥β,则m ⊥n 其中真命题有( )A .1个B .2个C .3个D .4个7.已知函数f (x)=cosx(x ∈(0,2π))有两个不同的零点x 1、x 2,且方程f (x)=m 有两个不同的实根x 3、x 4,若把这两个数按从小到大排列构成等差数列,则实数m 的值为( )A .21 B .-21C .23D .-238.若三棱锥P-ABC 的底面ABC 是正三角形,则三个侧面的面积相等是三棱锥P-ABC 是正三棱锥的( )A .必要非充分条件B .充分非必要条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件 9.已知正项等比数列{a n }满足:a 2012=a 2011+2a 2010,且m n a a ·=4a 1,则6⎪⎭⎫⎝⎛+n m 11的最小值为( ) A .32B .2C .4D .6 10.如图,三棱锥P-ABC 的底面是正三角形,各条侧棱均相等,∠APB <60°,设点D 、E 分别在线段PB 、PC 上,且DE ∥BC ,记PD =x ,△ADE 周长为y ,则y =f (x)的图象可能是( )A B C D 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)11.若平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤22020kx -y y x 是一个梯形,则实数k 的取值范围是12.设函数f (x )=ax 2+b (a ≠0),若⎰20)(2)(x f dx =x f ,x 0>0,则x 0=13.如图,在△OAB 中,已知P 为线段AB 上的一点,若=3,||=4,||=2,且与的夹角为60°,则·=14.在平面几何中有如下结论:正三角形ABC 的内切圆面积为S 1,外接圆面积为S 2,则21S S =41,推广到空间可以得到类似结论;已知正四面体P-ABC 的内切球体积为V 1,外接球体积为V 2,则21V V=三、解答题(每题12分,共60分)15.(12分) 一个四棱锥的三视图如图所示,E 为侧棱PC 上一动点。
2012--2013(上)高三(7)数学周六考试试题2(答案)
2012~2013(上)高三(7)数学周六考试试题2(答案)命题人:张开桃姓名:一.选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分1. 设集合{|1A x =-≤x ≤2},B=},04|{2R x x x x ∈>-,则)(B C A R ⋂= ( B )A.[1,2]B.[0,2]C. [1,4]D.[0,4]2. 已知{a n }是等比数列,21,474==a a ,则公比q= ( D ) A.21-B.-2C.2D.213.设变量,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+-≥-+01042022x y x y x ,则目标函数x y z 32-=的最大值为 ( C ) A .-3 B .2C .4D .54. 函数()230x y x =+>的反函数为 ( C )A .()23log 42x y x -=> B .()()2log 33y x x =->C .()()2log 34y x x =->D .()23log 32xy x -=>5. 若正数y x ,满足3039422=++xy y x ,则xy 的最大值是( C )A .34 B .35 C .2D .45 6. A 为三角形的内角,则23cos 21sin <>A A 是的 ( A )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要条件 7. 函数()3233f x x x =--在区间[]0,3上的值域是 ( A )A. []7,3--B. {}3-C. []5,3--D. []10,3-- 8.若]2,0[0)sin()32cos(πϕωπ∈≤+⋅-x x x 对恒成立,其中=⋅-∈>ϕωππϕω则),,[,0( A )A. 35π- B .32π- C .32π D. 34π9. 将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位,再向上平移1个单位,所得图象的解析式是(B )A. cos 2y x = B .22cos y x = C .1sin 24y x π⎛⎫=++⎪⎝⎭D .22sin y x =错误!链接无效。
广东省2013届高三数学一轮单元测评训练第七单元理
(2) 在 (1) 的条件下,求二面角 E- DC- F 的余弦值. 图 D7- 12
20. (14 分 ) 如图 D7- 13,四棱锥 P— ABCD底面是直角梯形, AB∥ CD,AB⊥ AD,△ PAB 和△ PAD是两个边长为 2 的正三角形, DC= 4, O为 BD中点, E 为 PA中点.
和 GH不相交,则甲是乙成立的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.设 a, b 是两条不同的直线, α ,β 是两个不同的平面,则下列四个命题中,正确
的是 ( )
A.若 a⊥ b, a⊥ α ,则 b∥ α
B.若 a∥ α ,α ⊥ β ,则 a⊥ β
1 所以△ DEF的面积为 2× ED× AD= 2,
1
4
所以四面体 BDEF的体积= 3S△ · DEF AB= 3.
16. [ 解答 ] (1) 证明:在△ AOC中,∵ AC= 1,
AO= CO= 2 ,∴ AC2= AO2+ CO2,∴ AO⊥CO. 2
又∵ AC、 BD是正方形 ABCD的对角线, ∴ AO⊥BD. 又 BD∩ CO= O,∴ AO⊥平面 BCD.
面 A1B1C1 于点 O,则点 O 是底面正三角形的中心,故
2
3 23
A1O= 3 ×2× 2 = 3 ,故 AO=
22-
23 3
2=2
6 3 ,三棱锥的底面积等于
3 4
×22
=
3 ,故所求的三棱柱的体积为
3
26 × 3 = 2 2.
11. 24
[ 解析 ] 根据球的体积公式
4 3
π
r
2013届高三模拟试卷(07)数学(文)
2013届高三模拟试卷(07)数学(文)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至4页.满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷一.选择题(本大题10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合要求) 1.已知复数1z i =+,则3z 的虚部为( )A.2iB. 2i -C.2D. 2- 2.设,A B 为非空集合,定义集合A*B 为如图阴影..部分表示的集合, 若2{|2},A x y x x =-{|3,0},xB y y x ==>则A*B=( )A .(0,2)B .[][)0,12,⋃+∞C .(1,2]D .[]()0,12,⋃+∞ 3.已知cos ,0()(1)1,0x x f x f x x π≤⎧=⎨-+>⎩,则11()()33f f +-的值为( )A .2-B .1-C .1D .24.若(0,)2πα∈,且21sin cos 24αα+=,则tan α=( )A 2B 3235.观察下列各式:222255-=33331010-=4441717-=9m mn n-=则n m -=( )A.43 B .57 C .73 D .91 6.一次考试某简答题满分5分,以5.0分为给分区间.这次考试有100人 参加,该题没有得零分的人,所有人的得分按]5,4(,],2,1(],1,0(Λ分 组所得的频率分布直方图如图所示.设其众数、中位数、平均分最大的可 能值分别为x m m c ,,0,则( )A. x m m c >>0B. x m m c <<0C. x m m c <<0D. c m x m <<07. 给定下列命题①过点(3,3)且与圆22(1)4x y -+=相切的直线方程为512210x y -+=.②在△ABC 中,60ABC ∠=o,2AB =,6BC =,在BC 上任取一点D ,使△ABD 为钝角三角形的概率为12③1x <是不等式2320x x -+>成立的一个充分不必要条件.④“存在实数x 使1sin 22x >”的否定是“存在实数x 使1sin 22x ≤”. 其中真命题的个数为( )A.1B.2C.3D.48.如图,将一个正三棱柱截去一个三棱锥,得到几何体 DEF BC -,则该几何体的主视图是( )A .B .C .D . 9.已知椭圆()222210x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为,B F 为其右焦点,若AF BF ⊥,设ABF α∠=,且,124ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,则该椭圆离心率的取值范围为( )A .2⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭ B .26⎣⎦ C .6⎫⎪⎪⎣⎭ D .23⎣⎦ 10.如图,A 是半径为1的球面上一定点,动点P 在此球面上运动,且(02)PA x x =<<,记点P 的轨迹的长度为()f x ,则函数()f x 的图像可能是( )第Ⅱ卷二.填空题(本大题5个小题,每小题5分,共25分,把答案填在题中横线上) 11. 不等式x x <-≤|2|1的解集为 .12. 已知两个单位向量12,e e u r u u r 的夹角为3π,若向量1122b e e =-u r u r u u r ,2121232,b e e b b =+⋅u u r u r u u r u r u u r 则= .13. 曲线x exy =在0=x 处的切线方程为 . 14. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,3a 、7a 是方程22120x x c -+=的两根,且13S c =,则数列{}n a 的公差为__________.15. 执行如下图所示的程序框图,若输出的结果是8,则判断框内m 的取值范围是三.解答题(本大题6个小题,共75分,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16. (本小题满分12分) 已知函数()sin()4f x A x πω=+(其中x ∈R ,0A >,0ω>)的最大值为2,最小正周期为8.(1)求函数()f x 的解析式;(2)若函数()f x 图象上的两点,P Q 的横坐标依次为2,4,O 为坐标原点,求cos POQ ∠的值.17. (本小题满分12分) 已知}{n a 是单调递增的等差数列,首项31=a ,前n 项和为n S ,数列}{n b 是等比数列,首项.20,12,123221=+==b S b a b 且 (1)求{}n a 和{}n b 的通项公式. (2)设1(1)(1)n n n n b c b b +=++,数列{}n c 的前n 项和为n T ,求证:12n T <.18. (本小题满分12分) 已知集合{1,1,2}M =-,{1,1,2}N =-,{1,1,2}P =-.从集合,,M N P 中各取一个元素分别记为,,a b c ,设方程C 为22x y c a b+=. (1)求方程C 表示焦点在x 轴上的双曲线的概率.(2)求方程C 不表示椭圆也不表示双曲线的概率.19. (本小题满分12分) 如图,正三棱柱111ABC A B C -中,侧面11AAC C 是边长为2的正方形,E 是1A B 的中点,F 在棱1CC 上.(1)当112C F CF =时,求三棱锥1F A BC -的体积.(2)当点F 使得1A F BF +最小时,判断直线AE 与1A F 是否垂直,并证明结论.20. (本小题满分13分) 已知椭圆1C 的中心在坐标原点,两个焦点分别为1(2,0)F -,2F ()20,,点(2,3)A 在椭圆1C 上,过点A 的直线L 与抛物线22:4C x y =交于B C ,两点,抛物线2C 在点B C ,处的切线分别为12l l ,,且1l 与2l 交于点P . (1) 求椭圆1C 的方程;(2) 是否存在满足1212PF PF AF AF +=+的点P ? 若存在,指出这样的点P 有几个(不必求出点P 的坐标); 若不存在,说明理由.21. (本小题满分14分) 已知函数1()()2ln ()f x a x x a x=--∈R .(1)求函数()f x 的单调区间;(2)设函数()ag x x=-.若至少存在一个0[1,4]x ∈,使得00()()f x g x >成立,求实数a 的取值范围.yxQ 1QP 1P O2013届高三模拟试卷(07)数学(文)参考答案一.选择题(本大题10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合要求)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案CDCDCBACBD二.填空题(本大题5个小题,每小题5分,共25分,把答案填在题中横线上)11.{}3|≥x x 12.3- 13.x y = 14.32-或74- 15. 4256m <≤三.解答题(本大题6个小题,共75分,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16. (本小题满分12分)(1)解:∵()f x 的最大值为2,且0A >,∴2A =. ∵()f x 的最小正周期为8, ∴28T πω==,得4πω=. ∴()2sin()44f x x ππ=+.(2)解法1:∵(2)2sin 2cos 2244f πππ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭(4)2sin 2sin 244f πππ⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭ ∴2),(4,2)P Q . ∴6,23,32OP PQ OQ ===∴222222632233cos 232632OP OQ PQ POQ OP OQ +-+-∠===⨯. 解法2:∵(2)2sin 2cos 2244f πππ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭ (4)2sin 2sin 244f πππ⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭∴2),(4,2)P Q .∴2),(4,2)OP OQ ==-u u u r u u u r. ∴3cos cos ,3632OP OQ POQ OP OQ OP OQ ⋅∠=<>===⨯u u u r u u r u u u r u u u r u u u r u u u r . 解法3: ∵(2)2sin 2cos 2244f πππ⎛⎫=+==⎪⎝⎭(4)2sin 2sin 244f πππ⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭∴2),(4,2)P Q . 作1PP x ⊥轴, 1QQ x ⊥轴,垂足分别为11P Q ,, ∴116,2,2,32OP OP PP ====1142OQ QQ ,==设11POP QOQ ,αβ∠=∠=,则36123333sin ,cos ,sin ,cos ααββ====. ∴cos cos POQ ∠=()3cos cos sin sin αβαβαβ+=-=17. (本小题满分12分)解:(1)设公差为d ,公比为q ,则22(3)12a b d q =+=322233(3)9320S b a b d q d q +=+=++=++= 311,113d q q d +==-2(3)(11)332312d d d d +-=+-=,232210,(37)(3)0d d d d --=+-=,{}n a 是单调递增的等差数列,0d >.则3,2d q ==,3(1)33n a n n =+-⨯=,12n n b -=(2)∵1(1)(1)n n n n b c b b +=++112(21)(21)n n n --=++1112121n n-=-++, ∴n T 112231111111111121212121212121n n-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 111121n =-++11221n =-+12<.18. (本小题满分12分) 解:a b 、、c 所有可能的取法有:(1,1,1),(1,1,1),(1,1,2)-------,(1,1,1)--,L L ,(2,2,1),(2,2,1),(2,2,2)-,共27种,(1)其中表示焦点在x 轴上的双曲线的有:(1,1,1),(2,1,1),(1,1,1),(1,2,1),------(1,1,2),(2,1,2)--共6种,故方程C 表示焦点在x 轴的上双曲线的概率为:162279P ==; (2)其中不表示椭圆也不表示双曲线的有:(1,1,1),(1,1,1),(1,1,2),------- (1,1,1),(1,1,1),(1,1,2),-(1,2,1),(2,1,1),(2,2,1),---(2,2,1),(2,2,2)共11种,故方程C 不表示椭圆也不表示双曲线的概率为:21127P = 19. (本小题满分12分) 解:(1)因为侧面11AAC C 是边长为2的正方形,12AC CC ∴==2BC ∴= 又11423C F CF CF =∴=Q 1111434322323F A BC A FBC V V --∴==⨯⨯⨯=(2)解法1:将侧面11B BCC 展开到侧面11ACC A 得到矩形11A ABB ,连结B A 1,交C C 1于点F ,此时点F 使得BF F A +1最小.此时FC 平行且等于A A 1的一半,F ∴为C C 1的中点.连接EF AF 、 在1Rt A AB V 中,12AA AB ==得2AE =在Rt AFC V 中,2,1AC FC ==得5AF 在等腰1A FB V 中,15A F BF ==得3EF 所以由2AE 5AF =3EF =得222AE EF AF +=有勾股定理知AE EF ⊥1111AE AFAE A B AE A FB AE A F A F EF F ⊥⎧⎪∴⊥⇒⊥⇒⊥⎨⎪=⎩I 面解法2:将侧面11B BCC 展开到侧面11ACC A 得到矩形11A ABB ,连结B A 1,交C C 1于点F ,此时点F 使得BF F A +1最小.此时FC 平行且等于A A 1的一半,F ∴为C C 1的中点.过点C 作CG AB ⊥交AB 于G ,连接EF ,由FC EG P 且FC EG =知四边形EGCF 为Y 所以EF CG P .在正三棱柱111ABC A B C -中知CG ⊥面1A AB ,而EF CG P ,所以EF ⊥面1A AB .AE EF ∴⊥1111AE AF AE A B AE A FB AE A F A F EF F ⊥⎧⎪∴⊥⇒⊥⇒⊥⎨⎪=⎩I 面 20. (本小题满分13分)(1) 解法1:设椭圆1C 的方程为22221x y a b +=()0a b >>,依题意: 222222231,4.a b a b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩解得: 2216,12.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ∴ 椭圆1C 的方程为2211612x y +=. 解法2:设椭圆1C 的方程为22221x y a b+=()0a b >>,根据椭圆的定义得1228a AF AF =+=,即4a =, ∵2c =, ∴22212b a c =-=. ∴ 椭圆1C 的方程为2211612x y+=. (2) 解法1:显然直线L 的斜率存在,设直线L 的方程为()23y k x =-+, 由()2234y k x x y ,,⎧=-+⎪⎨=⎪⎩消去y ,得248120x kx k -+-=. 设()()1122B x y C x y ,,,,则12124812x x k x x k ,+==-. 由24x y =,即214y x ,=得y '=12x . ∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2111x x x y y -=-,即2111212x y x x y -+=.∵21141x y =, ∴211124x y x x =-. 同理,得抛物线2C 在点C 处的切线2l 的方程为222124x y x x =-. 由211222124124x y x x x y x x ,,⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得121222234x x x k x x y k ,.⎧+==⎪⎪⎨⎪==-⎪⎩ ∴()223P k k ,-. ∵1212PF PF AF AF +=+,∴点P 在椭圆22111612x yC :+=上. ∴()()2222311612k k -+=. 化简得271230k k --=.(*) 由()2124732280Δ=-⨯⨯-=>, 可得方程(*)有两个不等的实数根. ∴满足条件的点P 有两个.解法2:设点),(11y x B ,),(22y x C ,),(00y x P ,由24x y =,即214y x ,=得y '=12x . ∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2111x x x y y -=-, 即2111212x y x x y -+=.∵21141x y =, ∴112y x x y -= . ∵点),(00y x P 在切线1l 上, ∴10102y x xy -=. ①同理, 20202y x xy -=. ② 综合①、②得,点),(),,(2211y x C y x B 的坐标都满足方程y x x y -=002.∵经过),(),,(2211y x C y x B 的直线是唯一的,∴直线L 的方程为y x xy -=002,∵点)3,2(A 在直线L 上, ∴300-=x y . ∴点P 的轨迹方程为3-=x y .若1212PF PF AF AF +=+ ,则点P 在椭圆1C 上,又在直线3-=x y 上,∵直线3-=x y 经过椭圆1C 内一点(3,0),∴直线3-=x y 与椭圆1C 交于两点. ∴满足条件1212PF PF AF AF +=+ 的点P 有两个.解法3:设点)41,(211x x B ,)41,(222x x C ,则))(41,(212212x x x x --=,)413,2(211x x --=, ∵C B A ,,三点共线, BC BA //u u u r u u u r . ()()()222211211113244x x x x x x ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭化简得:1212212x x x x ()+-=. ① 由24x y =,即214y x ,=得y '=12x . ∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2411121x x x x y -=-,即211412x x x y -=. ② 同理,抛物线2C 在点C 处的切线2l 的方程为 222412x x x y -=. ③ 设点),(y x P ,由②③得:=-211412x x x 222412x x x -,而21x x ≠,则 )(2121x x x +=. 代入②得 2141x x y =, 则212x x x +=,214x x y =代入 ① 得 1244=-y x , 即点P 的轨迹方程为3-=x y .若1212PF PF AF AF +=+ ,则点P 在椭圆1C 上,而点P 又在直线3-=x y 上,∵直线3-=x y 经过椭圆1C 内一点(3,0), ∴直线3-=x y 与椭圆1C 交于两点. ∴满足条件1212PF PF AF AF +=+ 的点P 有两个. 21. (本小题满分14分) 解:(1)函数的定义域为()0,+∞,222122()(1)ax x af x a x x x -+'=+-=.设2()2h x ax x a =-+ ,①当0a =时,()20h x x =-<,2()20h x ax x a =-+<在),0(+∞上恒成立,则()0f x '<在),0(+∞上恒成立,此时()f x 在),0(+∞上单调递减. ②当0a ≠时,(I )由,0442=-=∆a 得1±=a .当1=a 时,2()2h x ax x a =-+0)1(1222≥-=+-=x x x 恒成立,)(x f ∴在),0(+∞上单调递增. 当1-=a 时,2()2h x ax x a =-+0)1(1222≤--=-+-=x x x 恒成立,)(x f ∴在),0(+∞上单调递减.(II )由,0442<-=∆a 得1-<a 或1>a ;.当1-<a 时,开口向下,2()20h x ax x a =-+<在),0(+∞上恒成立,则()0f x '<在),0(+∞上恒成立,此时()f x 在),0(+∞上单调递减. 当1>a ,开口向上,()0h x ≥在),0(+∞上恒成立,则()0f x '≥在),0(+∞上恒成立, 此时()f x 在),0(+∞上单调递增.(III )由2440,a ∆=->得11a -<<若01a <<,开口向上,22121111,a a x x --+-==,且1220x x a +=>,121x x =,12,x x 都在),0(+∞上. 由()0f x '>,即()0h x >,得211a x a --<或211a x a +->;由()0f x '<,即()0h x <,得221111a a x --+-<<. 所以函数()f x 的单调递增区间为211(0,)a a --和211(,)a a+-+∞, 单调递减区间为221111(,)a a --+-. 当10a -<<时,抛物线开口向下,2120,0,()20x x h x ax x a <<=-+<在(0,)+∞恒成立,即'()0f x <在(0,+)∞恒成立,所以()f x 在(0,)+∞单调递减 综上所述:0a ≤ 01a << 1a ≥(0,)+∞1(0,)x12(,)x x),(2+∞x),0(+∞递减递增递减递增递增其中2211111,a a x x --+-== (2)因为存在一个0[1,4]x ∈使得00()()f x g x >,则002ln ax x >,等价于002ln x a x >.令2ln ()x F x x =,等价于“当[]1,4x ∈ 时,()min a F x >”. 对()F x 求导,得22(1ln )()x F x x -'=. 因为[]1,4x ∈,由()0,1F x x e '>∴<<,()0,4F x e x '<∴<<所以()F x 在[1,e]上单调递增,在[,4]e 上单调递减. 由于(4)(1)F F >,所以min ()(1)0F x F ==,因此0a >.。
2012--2013(上)高三(7)数学周六考试试题6
2012~2013(上)宜丰中学高三(7)数学周六考试试题6命题人:张开桃姓名:一.选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分1. 对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计,得到样本的茎叶图(如右图所示),则改样本的中位数、众数、极差分别是 ( )A .46,45,56B .46,45,53C .47,45,56D .45,47,532. 某几何体的三视图如右图所示,则它的体积是( )A.283π-B.83π-C.82π-D.23π3. 在某种新形材料的研制中,现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律,其中最接近的一个是 ( )A .y =2x -2B .21(1)2y x =- C .2log y x = D .12xy ⎛⎫=⎪⎝⎭4. 过点()1,1-和()0,3的直线在x 轴上的截距为 ( )A.32-B.32C.3D.3- 5. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且17812215a a a a +++=,则13S = () A.104B.78C.52D.396. 若变量,x y 满足约束条件102y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩,则2z x y =-的最大值为 ( )A.1B.2C.3D.47. 若函数1y =与函数()1y f x =-互为反函数,则()f x = ( )A.22x e- B.22x e+ C.21x e- D.2xe8. 直三棱柱111ABC A B C -中,若1,2BAC AB AC AA π∠===,则异面直线1A B 与1C A 所成的角等于 ( )A.6π B.4π C.3π D.2π9 已知(),2,2a b ∈-,且1a b ⋅=-,则224949a b +--的最小值是 ( ) A.85 B.125 C.127 D.241110. 4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门,则恰有2人选修课程甲的概率是 ( )A.827 B.427 C.38 D.316 二.填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分11. 211i i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭12. 已知函数2log ,0()2,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩,若1()2f a =,则a =13. 已知:函数()f x =的定义域为A ,2∉A ,则a 的取值范围是 14. 已知数列{}n a 中,()11112,21n n n a a a n a --+==≥-,且3690共有m 个正约数(包含1和自身), 则m a = .15. 已知球O 的表面积为8π,A B C ,,是球面上的三点,点M 是AB 的中点,2AB =,1BC =,3ABC π∠=,则二面角M OC B --的正切值为.三.解答题:共75分16. (本小题满分12分) 在ABC ∆中, 312cos ,cos ,21513A B AB ===,求ABC ∆的面积.17. (本小题满分12分) 如图,四棱锥P ABCD -中,侧面PCD 是边长为2的正三角形,且BP与底面ABCD 垂直,底面ABCD 是面积为ADC ∠为锐角,M 为PB 的中点. (Ⅰ)求证:PA CD ⊥;(Ⅱ)求PD 与平面CDM 所成的角的正弦值.18. (本小题满分12分) 已知函数()0)f x ax x =+≥,且函数f (x )与g (x)的图象关于直线y =x 对称,又g (1)=0,f 2(1)求f (x0的表达式及值域;(2)问是否存在实数m ,使得命题p :2()(34)f m m f m -<-和q :11()44m g ->满足复合命题p 且q 为真命题?若存在,求出a 的取值范围,若不存在,说明理由。
高三一轮复习第七次数学周练习
高三下学期第七周数学周测试题一.选择题(共8小题,每小题5分)1.已知集合A={x|y=},B={x∈R|a≤x≤a+l},若A∩B=∅,则实数a的取值范围为()A.[﹣3,2]B.(﹣∞,﹣3)∪(2,+∞)C.[﹣2,1]D.(﹣∞,﹣3]∪[2,+∞)2.当1<m<2时,复数(3+i)+m(2﹣i)在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.第24届冬季奥林匹克运动会,将于2022年2月在北京和张家口举行,北京冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源,运用中国书法的艺术形态,将厚重的东方文化底蕴与国际化的现代风格融为一体,呈现出新时代的中国新形象、新梦想.会徽图形上半部分展现滑冰运动员的造型,下半部分表现滑雪运动员的英姿.中间舞动的线条流畅且充满韵律,代表举办地起伏的山峦、赛场、冰雪滑道和节日飘舞的丝带,下部为奥运五环,不仅象征五大洲的团结,而且强调所有参赛运动员应以公正、坦诚的运动员精神在比赛场上相见.其中奥运五环的大小和间距按以下比例(如图):若圆半径均为12,则相邻圆圆心水平距离为26,两排圆圆心垂直距离为11,设五个圆的圆心分别为O1,O2,O3,O4,O5,若双曲线C以O1,O3为焦点、以直线O2O4为一条渐近线,则C的离心率为()A.B.C.D.4.已知m,n,s,t∈R*,m+n=4,+=9,其中m,n是常数,且s+t的最小值是,点M(m,n)是曲线﹣=1的一条弦AB的中点,则弦AB所在直线方程为()A.x﹣4y+6=0B.4x﹣y﹣6=0C.4x+y﹣10=0D.x+4y﹣10=0 5.已知0.5a=5b=3,则()A.ab<0<a+b B.ab<a+b<0C.a+b<ab<0D.a+b<0<ab6.如图所示,△ABC的面积为,其中AB=2,∠ABC=60°,AD为BC边上的高,M为AD的中点,若,则λ+2μ的值为()A.B.C.D.7.单位正四面体的外接球内接的最大正三角形边长为()A.B.C.D.8.已知函数在(0,1)内恰有3个极值点和4个零点,则实数ω的取值范围是()A.B.C.D.二.多选题(共4小题)(多选)9.已知函数f(x)=|sin x||cos x|,则下列说法正确的是()A.f(x)的图象关于直线对称B.f(x)的周期为C.(π,0)是f(x)的一个对称中心D.f(x)在区间上单调递增(多选)10.下列选项中正确的是()A.若平面向量,满足,则的最大值是5B.在△ABC中,AC=3,AB=1,O是△ABC的外心,则的值为4C.函数f(x)=tan(2x﹣)的图象的对称中心坐标为,k∈Z D.已知P为△ABC内任意一点,若,则点P为△ABC的垂心(多选)11.已知数列{a n}的前n项和为S n,a1=1,S n+1=S n+2a n+1,数列的前n项和为T n,n∈N*,则下列选项正确的是()A.数列{a n+1}是等比数列B.数列{a n+1}是等差数列C.数列{a n}的通项公式为D.T n>1(多选)12.如图,抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点F的直线与抛物线C交于M,N 两点,过点M,N分别作准线l的垂线,垂足分别为M1,N1,准线l与x轴的交点为F1,则()A.直线F1N与抛物线C必相切B.C.|F1M|•|F1N|=|F1F|•|MN|D.|FM1|•|FN1|=|FF1F|•|M1N1|三.填空题(共4小题,每小题5分)13.已知数列{a n}满足a1=a5=0,|a n+1﹣a n|=2,则{a n}前5项和的最大值为.14.《九章算术》中的“商功“篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算,其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图,在堑堵ABC﹣A1B1C1中,M是A1C1的中点,AB=2AA1=2AC,,,若,则x+y+z =.15.已知函数f(x)=在区间(a,a+)上存在极值,则实数a的取值范围是.16.过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的直线与抛物线的交于点A,B,O是坐标原点,且满足,S△AOB=,则p=()A.2B.C.4D.高三下学期第七周数学周测试题参考答案与试题解析一.选择题(共8小题)1.已知集合A={x|y=},B={x∈R|a≤x≤a+l},若A∩B=∅,则实数a的取值范围为()A.[﹣3,2]B.(﹣∞,﹣3)∪(2,+∞)C.[﹣2,1]D.(﹣∞,﹣3]∪[2,+∞)【分析】可求出A={x|﹣2≤x≤2},然后根据A∩B=∅可得出a的范围.【解答】解:A={x|4﹣x2≥0}={x|﹣2≤x≤2},B={x|a≤x≤a+1},且A∩B=∅,∴a>2或a+1<﹣2,∴a<﹣3或a>2,∴a的取值范围为(﹣∞,﹣3)∪(2,+∞).故选:B.【点评】本题考查了一元二次不等式的解法,交集和子集的定义,交集的运算,考查了计算能力,属于基础题.2.当1<m<2时,复数(3+i)+m(2﹣i)在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【分析】根据已知条件,结合复数的四则运算,以及复数的几何意义,即可求解.【解答】解:(3+i)+m(2﹣i)=3+2m+(1﹣m)i,∵1<m<2,∴3+2m>0,1﹣m<0,∴复数(3+i)+m(2﹣i)在复平面内对应的点(3+2m,1﹣m)位于第四象限.故选:D.【点评】本题主要考查复数的四则运算,以及复数的几何意义,属于基础题.3.第24届冬季奥林匹克运动会,将于2022年2月在北京和张家口举行,北京冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源,运用中国书法的艺术形态,将厚重的东方文化底蕴与国际化的现代风格融为一体,呈现出新时代的中国新形象、新梦想.会徽图形上半部分展现滑冰运动员的造型,下半部分表现滑雪运动员的英姿.中间舞动的线条流畅且充满韵律,代表举办地起伏的山峦、赛场、冰雪滑道和节日飘舞的丝带,下部为奥运五环,不仅象征五大洲的团结,而且强调所有参赛运动员应以公正、坦诚的运动员精神在比赛场上相见.其中奥运五环的大小和间距按以下比例(如图):若圆半径均为12,则相邻圆圆心水平距离为26,两排圆圆心垂直距离为11,设五个圆的圆心分别为O1,O2,O3,O4,O5,若双曲线C以O1,O3为焦点、以直线O2O4为一条渐近线,则C的离心率为()A.B.C.D.【分析】建立平面直角坐标系,可得双曲线的渐近线方程,由O4(﹣13,﹣11)在渐近线上,可得a,b的关系,即可求得离心率.【解答】解:如图建立平面直角坐标系,依题意,可得双曲线的渐近线方程为,由O4(﹣13,﹣11)在渐近线上,可得﹣11=•(−13)即可得,则双曲线C的离心率为=.故选:B.【点评】本题考查了双曲线的渐近线、离心率,属于中档题.4.已知m,n,s,t∈R*,m+n=4,+=9,其中m,n是常数,且s+t的最小值是,点M(m,n)是曲线﹣=1的一条弦AB的中点,则弦AB所在直线方程为()A.x﹣4y+6=0B.4x﹣y﹣6=0C.4x+y﹣10=0D.x+4y﹣10=0【分析】由已知求出s+t取得最小值时m,n满足的条件,再结合m+n=4求出m,n,再用点差法求出直线的斜率,从而得直线方程.【解答】解:∵,当且仅当,即取等号,∴,又m+n=4,又m,n为正数,∴可解得,设弦两端点分别为(x1,y1),(x2,y2),则,两式相减得,∵x1+x2=4,y1+y2=4,∴,∴直线方程为,即x﹣4y+6=0.故选:A.【点评】本题考查了直线与双曲线的综合运用,属于中档题.5.已知0.5a=5b=3,则()A.ab<0<a+b B.ab<a+b<0C.a+b<ab<0D.a+b<0<ab 【分析】化简得a=log0.53<0,b=log53>0,从而可得ab<0,化简=+,从而比较大小.【解答】解:∵0.5a=5b=3,∴a=log0.53<0,b=log53>0,∴ab<0,=+=log35+log30.5=log32.5,又∴0<log32.5<1,∴0<<1,∴ab<a+b<0,故选:B.【点评】本题考查了指数式与对数式的互化及对数的运算,属于基础题.6.如图所示,△ABC的面积为,其中AB=2,∠ABC=60°,AD为BC边上的高,M为AD的中点,若,则λ+2μ的值为()A.B.C.D.【分析】根据三角形的面积公式可求得BC,再根据AD为BC边上的高,求出BD,从而可得出点D的位置,再根据平面向量的线性运算将用表示,再根据平面向量基本定理求出λ,μ,即可得解.【解答】解:,所以BC=3,因为AD为BC边上的高,所以,因为M为AD的中点,所以=,又因为,所以,所以.故选:C.【点评】本题考查平面向量的基本定理,考查学生的运算能力,属于中档题.7.单位正四面体的外接球内接的最大正三角形边长为()A.B.C.D.【分析】由题意首先求得外接球半径,然后计算外接球内接的最大正三角形边长即可.【解答】解:如图为单位正四面体A﹣BCD.过点A作面BCD的垂线交面于点E,F为外接球球心,则E为△BCD的中心,,∴.不妨设AF=R.在Rt△BEF中,由勾股定理,得.即,解得.∴最大正三角形的边长为.故选:C.【点评】本题主要考查球与多面体的切接问题,空间想象能力的培养等知识,属于基础题.8.已知函数在(0,1)内恰有3个极值点和4个零点,则实数ω的取值范围是()A.B.C.D.【分析】由第4个正零点小于1,第4个正极值点大于等于1可解.【解答】解:,因为x∈(0,1),所以,又f(x)在(0,1)内恰有3个极值点和4个零点,所以,解得,所以实数ω的取值范围是.故选:A.【点评】本题考查了根据函数的零点和极值点求参数的取值范围,考查了转化思想,属中档题.二.多选题(共4小题)(多选)9.已知函数f(x)=|sin x||cos x|,则下列说法正确的是()A.f(x)的图象关于直线对称B.f(x)的周期为C.(π,0)是f(x)的一个对称中心D.f(x)在区间上单调递增【分析】化简函数f(x),根据函数的单调性与对称性和周期性,判断选项中的命题是否正确即可.【解答】解:函数f(x)=|sin x||cos x|=|sin x cos x|=|sin2x|,画出函数图象,如图所示;所以f(x)的对称轴是x=,k∈Z;所以x=是f(x)图象的对称轴,A正确;f(x)的最小正周期是,B正确;f(x)是偶函数,没有对称中心,C错误;x∈[,]时,2x∈[,π],sin2x≥0,所以f(x)=|sin2x|是单调减函数,D错误.故选:AB.【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题,也考查了命题真假的判断问题,是基础题.(多选)10.下列选项中正确的是()A.若平面向量,满足,则的最大值是5B.在△ABC中,AC=3,AB=1,O是△ABC的外心,则的值为4C.函数f(x)=tan(2x﹣)的图象的对称中心坐标为,k∈ZD.已知P为△ABC内任意一点,若,则点P为△ABC的垂心【分析】对A选项,根据平面向量数量积的定义与性质,函数思想即可求解;对B选项,根据三角形外心的性质,向量的线性运算及向量数量积的几何定义即可求解;对C选项,根据正切函数的图象性质即可求解;对D选项,根据向量数量积的性质,三角形垂心的概念即可求解.【解答】解:对A选项,∵,∴====≤=5,∴的最大值是5,∴A选项正确;对B选项,∵在△ABC中,AC=3,AB=1,O是△ABC的外心,∴====4,∴B选项正确;对C选项,令,可得x=,k∈Z,∴f(x)=tan(2x﹣)的图象的对称中心坐标为(,0),k∈Z,∴C选项错误;对D选项,∵,∴,∴,∴PB⊥CA,同理P A⊥BC,PC⊥AB,∴点P为△ABC的垂心,∴D选项正确.故选:ABD.【点评】本题考查平面向量数量积的定义与性质,函数思想,三角形外心的性质,正切函数的图象性质,三角形垂心的概念,属中档题.(多选)11.已知数列{a n}的前n项和为S n,a1=1,S n+1=S n+2a n+1,数列的前n项和为T n,n∈N*,则下列选项正确的是()A.数列{a n+1}是等比数列B.数列{a n+1}是等差数列C.数列{a n}的通项公式为D.T n>1【分析】由a n+1=S n+1﹣S n=2a n+1可得,,可判断A,B的正误,再求出a n,可判断C的正误,利用裂项相消法求T n,可判断D的正误.【解答】解:因为S n+1=S n+2a n+1,所以a n+1=S n+1﹣S n=2a n+1,a n+1+1=2a n+2,即,且a1+1=2,所以数列{a n+1}是首项为2,公比为2的等比数列,故A正确,B错误;所以,即,故C正确;因为,所以,故D错误;故选:AC.【点评】本题考查了等比数列的判断和裂项相消求和,属于中档题.(多选)12.如图,抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点F的直线与抛物线C交于M,N 两点,过点M,N分别作准线l的垂线,垂足分别为M1,N1,准线l与x轴的交点为F1,则()A.直线F1N与抛物线C必相切B.C.|F1M|•|F1N|=|F1F|•|MN|D.|FM1|•|FN1|=|FF1F|•|M1N1|【分析】选项A,联列方程,整理成y的一元二次方程,用判别式判定是否恒为零即可;选项B,由•=4m2≥0知,选项B正确;选项C,计算得|F1F||MN|=8m2+8,|F1M||F1N|=4m2+8,两式不恒等,故C不正确;选项D,先计算•,从而得⊥,由等面积法知选项D正确.【解答】解:由已知F(1,0),F1(﹣1,0),设过点F的直线方程为:x=my+1,设点M(my1+1,y1),N(my2+1,y2),则M1(﹣1,y1),N1(﹣1,y2),F1(﹣1,0),由,得y2﹣4my﹣4=0,所以y1+y2=4m,y1y2=﹣4,选项A:直线F1N的方程为y=(x+1),联立方程组得:,所以y2﹣4[(m+)y﹣1]=0,Δ=16(m+)2﹣16不恒为零,故选项A不正确;选项B:由题得=(my1+2,y1),=(my2+2,y2),而•=m2y1y2+2m(y1+y2)+4+y1y2=4m2≥0,所以cos<•>=≥0,所以∠MF1N≤,故B正确;选项C:|F1F|=2,|MN|=|x1+x2+2|=|m(y1+y2)+4|=4m2+4,所以|F1F||MN|=8m2+8;|F1M|2=(my1+2)2+y12,|F1N|2=(my2+2)2+y22,所以|F1M|2•|F1N|2=[(my1+2)(my2+2)]2+y22(my1+2)2+y12(my2+2)2+y12y22=(4m2+4)2﹣32m2+64m2+48=16(m2+2)2,所以|F1M||F1N|=4(m2+2)=4m2+8,所以选项C不正确;选项D:∵=(﹣2,y1),=(﹣2.y2),∴•=4+y1y2=4﹣4=0,∴⊥,在△M1FN1中,S=|M1N1|•|F1F|=|FM1||FN1|,故D正确.故选:BD.【点评】本题考查抛物线的应用,属于中档题.三.填空题(共4小题)13.已知数列{a n}满足a1=a5=0,|a n+1﹣a n|=2,则{a n}前5项和的最大值为8.【分析】由题意,分类讨论,求出数列的前5项,从而得出结论.【解答】解:已知数列{a n}满足a1=a5=0,|a n+1﹣a n|=2,则{a n}前5项分别为0,﹣2,0,﹣2,0;或0,﹣2,﹣4,﹣2,0;或0,2,0,2,0;或0,2,4,2,0;故当{a n}前5项分别为0,2,4,2,0 时,前5项的和最大,为0+2+4+2+0=8,故答案为:8.【点评】本题主要考查等差数列的定义,数列求和,属于基础题.14.《九章算术》中的“商功“篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算,其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图,在堑堵ABC﹣A1B1C1中,M是A1C1的中点,AB=2AA1=2AC,,,若,则x+y+z=.【分析】根据已知条件,结合空间向量的线性运算,即可求解.【解答】解:由图可知:,又因为,所以,所以,所以,所以,.故答案为:.【点评】本题主要考查空间向量的线性运算,属于基础题.15.已知函数f(x)=在区间(a,a+)上存在极值,则实数a的取值范围是(,1).【分析】求函数f(x)的导数,利用f′(x)=0求出极值点,再结合题意列出不等式求解集即可.【解答】解:因为函数f(x)=,x>0,所以f′(x)=﹣,令f′(x)=0,解得x=1,当f′(x)>0,即0<x<1,函数单调递增,当f′(x)<0,即x>1,函数单调递减,所以1是函数的极值点,又因为函数f(x)在区间(a,a+)(a>0)上存在极值,所以a<1<a+,解得<a<1,所以实数a的取值范围是(,1).故答案为:(,1).【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和极值的应用问题,也考查了运算求解能力,是中档题.16.过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的直线与抛物线的交于点A,B,O是坐标原点,且满足,S△AOB=,则p=()A.2B.C.4D.【分析】过A,B作抛物线准线的垂线,垂足分别为C,D,由AB=3FB,丨AC丨=2丨BD丨,求得丨BE丨,可得直线AB的方程,与抛物线联立方程,表示|AB|的长,进而可表示三角形的面积,根据面积求得p的值【解答】解:不妨设直线AB的斜率k>0,过A,B作抛物线准线的垂线,垂足分别为C,D,过B作BE⊥AC于E,由AB=3FB,∴=2,丨丨=2丨丨,即丨AC丨=2丨BD丨,∴E为AC的中点,即丨AE丨=丨AB丨,∴丨BE丨==丨AB丨,由S△OAB=S OAF+S OBF=丨BE丨•丨OF丨=p丨AB丨,S△OAB=丨AB丨,∴由丨AE丨=丨AB丨,则直线AB斜率为k AB=±2,直线AB的方程y=2(x ﹣1),,整理得:8x2﹣10px﹣8p2=0,则x1+x2=,则丨AB丨=x1+x2+p=+p,∴S△OAB=(+p),∴(+p)=,解得p=2.【点评】本题考查抛物线的标准方程,直线与抛物线的位置关系,考查韦达定理,抛物线的焦点弦公式,考查计算能力,属中档题.。
2012--2013(上)高三(7)数学周六考试试题2
2012~2013(上)宜丰中学高三(7)数学周六考试试题2命题人:张开桃姓名:一.选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分1. 设集合{|1A x =-≤x ≤2},B=},04|{2R x x x x ∈>-,则)(B C A R ⋂= ( ) A.[1,2] B.[0,2] C. [1,4] D.[0,4]2. 已知{a n }是等比数列,21,474==a a ,则公比q= ( ) A.21-B.-2C.2D.213.设变量,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+-≥-+01042022x y x y x ,则目标函数x y z 32-=的最大值为 ( ) A .-3 B .2C .4D .54. 函数()230xy x =+>的反函数为 ( )A .()23log 42x y x -=> B .()()2log 33y x x =->C .()()2log 34y x x =->D .()23log 32xy x -=>5. 若正数y x ,满足3039422=++xy y x ,则xy 的最大值是( )A .34B .35 C .2D .45 6. A 为三角形的内角,则23cos 21sin <>A A 是的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要条件 7. 函数()3233f x x x =--在区间[]0,3上的值域是 ( )A. []7,3--B. {}3-C. []5,3--D. []10,3-- 8.若]2,0[0)sin()32cos(πϕωπ∈≤+⋅-x x x 对恒成立,其中=⋅-∈>ϕωππϕω则),,[,0( )A. 35π- B .32π- C .32π D. 34π9. 将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位,再向上平移1个单位,所得图象的解析式是( )A. cos 2y x = B .22cos y x = C .1sin 24y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭D .22sin y x =错误!链接无效。
2013届高三文科数学复习辅导检测试题(含答案)
2013届高三文科数学复习辅导检测试题(含答案)2013届高中文科数学高考复习辅导1一、选择题:每小题只有一项是符合题目要求的,将答案填在题后括号内.1、已知集合A={x},B={x}},则AB=()A{x}B{x}C{x}D{x}2、“x=3”是“x2=9”的()A充分而不必要的条件B必要而不充分的条件C充要条件D既不充分也不必要的条件3、若是真命题,是假命题,则()A是真命题B是假命题C是真命题D是真命题4、下列函数中,既是偶函数又在单调递增的函数是()ABCD5、方程在内()A没有根B有且仅有一个根C有且仅有两个根D有无穷多个根6、如果,那么()ABCD7、为了得到函数y=2x-3-1的图象,只需把函数y=2x的图象上所有的点()A.向右平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度B.向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度C.向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度D.向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度8、已知函数y=f(x)的周期为2,当x时f(x)=x2,那么函数y=f(x)的图像与函数y=的图像的交点共有()A10个B9个C8个D1个二、填空题:将正确答案填在题后横线上.9、计算.10、设是实数,命题“若,则”的逆否命题是;11、设是定义在R上的奇函数,当x≤0时,=,则.12、函数的定义域是.13、若a>0,b>0,且函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极值,则ab的最大值等于14、曲线在点(0,1)处的切线方程为.15、函数f(x)为奇函数且f(x)的周期为3,f(1)=-1,则f(2012)=三、解答题:解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.已知函数.(1)若的解集为,求实数的值;(2)在(1)的条件下,求函数f(x)在区间0,3]的值域.17.已知函数是奇函数,并且函数的图像经过点(1,3).(1)求实数的值;(2)求函数的值域18.如图所示,将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN,要求B点在AM上,D点在AN上,且对角线MN过C点,已知AB=3米,AD=2米.(1)要使矩形AMPN的面积大于32平方米,则DN的长应在什么范围内?(2)当DN的长为多少时,矩形花坛AMPN的面积最小?并求出最小值.19.定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)=log23且对任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y).(1)求证f(x)为奇函数;(2)若f(k•3)+f(3-9-2)<0对任意x∈R恒成立,求实数k的取值范围.20.设函数的图象经过原点,在其图象上一点P(x,y)处的切线的斜率记为.(1)若方程=0有两个实根分别为-2和4,求的表达式;(2)若在区间-1,3]上是单调递减函数,求的最小值.21.设二次函数的图像过原点,,的导函数为,且,(1)求函数,的解析式;(2)求的极小值.2013届高中文科数学高考复习辅导1参考答案一、选择题:DADBCCAA二、填空题:9、-20.10、若则;11、-3.12、(-3,2)13、914、解析:,斜率k==3,所以,y-1=3x,即15、1三、解答题:本大题共6小题,满分75分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16解析(1),;(2)17解:(1)函数是奇函数,则又函数的图像经过点(1,3),∴a=2(2)由(1)知当时,当且仅当即时取等号…(10分)当时,当且仅当即时取等号综上可知函数的值域为)18解(1)设DN的长为x(x>0)米,则AN=(x+2)米∵DNAN=DCAM,∴AM=+,∴SAMPN=AN•AM=+由SAMPN>32,得+,又x>0,得3x2-20x+12>0,解得:06,即DN长的取值范围是0,23∪(6,+∞).(2)矩形花坛AMPN的面积为y=+=3x2+12x+12x=3x+12x+12≥23x•12x+12=24,当且仅当3x=12x,即x=2时,矩形花坛AMPN的面积取得最小值24. 故DN的长为2米时,矩形AMPN的面积最小,最小值为24平方米.19(1)证明:f(x+y)=f(x)+f(y)(x,y∈R),①令x=y=0,代入①式,得f(0+0)=f(0)+f(0),即f(0)=0.令y=-x,代入①式,得f(x-x)=f(x)+f(-x),又f(0)=0,则有0=f(x)+f(-x).即f(-x)=-f(x)对任意x∈R成立,所以f(x)是奇函数.(2)解:f(3)=log3>0,即f(3)>f(0),又f(x)在R上是单调函数,所以f(x)在R上是增函数,又由(1)f(x)是奇函数.f(k•3)<-f(3-9-2)=f(-3+9+2),k•3<-3+9+2,3-(1+k)•3+2>0对任意x∈R成立.令t=3>0,问题等价于t-(1+k)t+2>0对任意t>0恒成立.R恒成立.20解(Ⅰ)因为函数的图象经过原点,所以,则.根据导数的几何意义知,由已知—2、4是方程的两个实数,由韦达定理,(Ⅱ)在区间—1,3]上是单调减函数,所以在—1,3]区间上恒有,即在—1,3]恒成立,这只需满足即可,也即而可视为平面区域内的点到原点距离的平方,其中点(—2,—3)距离原点最近,所以当时,有最小值1321解:(1)由已知得,则,从而,∴,。
江苏省2013高三数学周练 (10.13)
高三数学周末随堂练习(2012.10.13)一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,计70分)1.若全集R U =,集合{}02≥-=x x x M ,则集合∁U M = .2.若复数iia 213++(a R ∈,i 为虚数单位)是纯虚数,则实数a 的值为 .3.已知R b a ∈,,则33log log a b >是 11()()22ab<的 条件. 4.从集合}2,1,1{-=A 中随机选取一个数记为k ,从集合}2,1,2{-=B 中随机选取一个数记为b ,则直线b kx y +=不经过第三象限的概率为 .5.某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的S 的值为 .6.已知平面向量,1,2==b a 且)25()(b a b a -⊥+,则a 与b的夹角为 . 7.已知数列}{n a 是公差不为0的等差数列,}{n b 是等比数列,其中31=a ,11=b ,22b a =,353b a =,若存在常数v u ,对任意正整数n 都有v b a n u n +=l o g 3,则=+v u .8.已知α,β为平面,m ,n 为直线,下列命题:①若m ∥n ,n ∥α,则m ∥α; ②若m ⊥α,m ⊥β,则α∥β;③若α∩β=n ,m ∥α, m ∥β,则m ∥n ; ④若α⊥β,m ⊥α,n ⊥β,则m ⊥n . 其中是真命题的有 .(填写所有正确命题的序号)9.已知实数y x ,满足线性约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-+≥+-0520402y x y x y x ,目标函数)(R a ax y z ∈-=,若z 取最大值时的唯一最优解是(1,3),则实数a 的取值范围是 .10.已知直线x =a (0<a <π2)与函数f (x )=sin x 和函数g (x )=cos x 的图象分别交于M ,N 两点,若MN =15,则线段MN 的中点纵坐标为 .11.已知函数31,(1)12()111,(0)6122x x x f x x x ⎧<≤⎪⎪+=⎨⎪-+≤≤⎪⎩和函数()sin 1(0)6g x a x a a π=-+>,若存在[]12,0,1x x ∈,使得12()()f x g x =成立,则实数a 的取值范围是 . 12.设21,F F 分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P ,满足212F F PF =,且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的离心率为__________.13.在如图所示的数表中,第i 行第j 列的数记为,i ja ,且满足11,,12,j j i a a i-==,1,1,1,(,)N i j i j i j a a a i j *+++=+∈,记第3行的数3,5,8,13,22, ⋅⋅⋅ 依次组成数列{}n b ,则数列{}n b 的通项公式为 . 14.关于x 的方程()2224440x x k ---+=,给出下列四个命题:①存在实数k ,使得方程恰有2个不同的实根; ②存在实数k ,使得方程恰有4个不同的实根; ③存在实数k ,使得方程恰有5个不同的实根; ④存在实数k ,使得方程恰有6个不同的实根; ⑤存在实数k ,使得方程恰有8个不同的实根. 其中真命题的序号是 .(写出所有真命题的序号) 二、解答题15.(本小题共14分) 设函数24()cos(2)2cos 3f x x x π=-+, (1)求()f x 的最大值,并写出使()f x 取得最大值的x 的集合; (2)在ABC ∆中,角A 、B 、C 的对边分别为a b c 、、,若3(),2,2f B C b c +=+= 求a 的最小值. 16.(本小题满分14分)如图四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是平行四边形,090ACB ∠=,PA ⊥平面ABCD ,1PA BC ==,AB =,F 是BC 的中点.(1)求证:DA ⊥平面PAC ;(2)试在线段PD 上确定一点G ,使CG ∥平面PAF ,并求三棱锥A -CDG 的体积.第1行 1 2 4 8 … 第2行 2 3 5 9 … 第3行 3 5 8 13 … … …P17. (本小题满分15分)某厂生产一种仪器,由于受生产能力的技术水平的限制,会产生一些次品,根据经验知该厂生产这种仪器,次品率p 与日产量x (件)之间满足关系:⎪⎩⎪⎨⎧∈>∈≤≤-=),94(32),941(961N x x N x x x p .已知每生产一件合格的仪器可盈利2万元,但每生产一件次品将亏损1万元.(1) 试判断:当日产量(件)超过94件时,生产这种仪器能否盈利?并说明理由;(2) 当日产量x 件不超过94件时,试将生产这种仪器每天的盈利额T (万元)表示成日产量 x (件)的函数;(3) 为了获得最大利润,日产量x 件应为多少件?18.(本小题共15分) 已知函数()ln f x x =,3()(2ag x a x=-为实数). (1)当1a =时,求函数()()()x f x g x ϕ=-在[4,)x ∈+∞上的最小值; (2)若方程()2()f x eg x =(其中 2.71828e =)在区间1[,1]2上有解,求实数a 的取值范围.19.(本小题满分16分)已知抛物线24x y =的焦点是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>一个顶点,椭圆C的离心率为O(1)求椭圆C 和圆O 的方程;(2)已知00(,)M x y 是圆O 上任意一点,过M 点作直线12,l l ,使得12,l l 与椭圆C 都只有一个公共点,求证:12l l ⊥.20.(本小题满分16分)已知数列{}n a 是各项均为正数的等差数列.(1)若12a =,且2a ,3a ,41a +成等比数列,求数列{}n a 的通项公式n a ; (2)在(1)的条件下,数列{}n a 的前n 和为n S ,设122111n n n nb S S S ++=+++,若对任意的n *∈N ,不等式n b k ≤恒成立,求实数k 的最小值;(3)若数列{}n a 中有两项可以表示为某个整数(1)c c >的不同次幂,求证:数列{}n a 中存在无穷多项构成等比数列.。
江苏省2013高三数学周练 理(10.20)(无答案)
高三数学周末练习(理科)(2012.10.20)一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,计70分)1. 若向量a (2,3),=b (,6)x =-,且∥ab ,则实数x = . 2. 若152(4z z z i i ⋅+=+为虚数单位),则复数z =___________. 3.已知集合{{},1,,A B m A B A ==⋃=,则m =____________.4. 已知4cos 5α=-且(,)2παπ∈,则tan()4πα+=____________.5.右图是一个算法的流程图,则输出S 的值为___________.6. 已知,{1,2,3,4,5,6}a b ∈,直线12:210,:10,l x y l ax by --=+-=则直 线12l l ⊥的概率为___________.7.设,l m 为两条不同的直线,,αβ为两个不同的平面,下列命题中正确的是___________.(填序号)①若,//,,l m αβαβ⊥⊥则l m ⊥;②若//,,,l m m l αβ⊥⊥则//αβ; ③若//,//,//,l m αβαβ则//l m ; ④若,,,,m l l m αβαββ⊥=⊂⊥则l α⊥.8. 函数()()sin f x A x ωϕ=+(其中0,2A πϕ><)的图象如图所示,为了得到x x g 2sin )(=图象,则只需将)(x f 的图象向右平移_____单位. 9. 如图,正六边形ABCDEF 的两个顶点,A D 为椭圆的两个焦点, 其余四个顶点在椭圆上,则该椭圆的离心率的值是_______. 10.已知ABC ∆为等边三角形,=2AB ,设点P,Q 满足=AP AB λ,=(1)AQ AC λ-,R λ∈,若3=2BQ CP ⋅-,则=λ______________.11.设函数ln , 0()21,0x x f x x x >⎧=⎨--≤⎩,D 是由x 轴和曲线()y f x =及该曲线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域,则2z x y =-在D 上的最大值为______________.12.已知函数()221f x x x =+-,若1a b <<-,且()()f a f b =,则ab a b ++的取值范围是 . 13.已知函数3221()3f x x a x ax b =+++,当1x =-时函数()f x 的极值为712-,则(2)f = .14.不等式()228a b b a b λ+≥+对任意,a b R ∈恒成立,则实数λ的取值范围为___________.第5题第8题第9题二、解答题 15.(本小题满分14分)已知向量a =)sin ,(cos θθ,],0[πθ∈,向量b =(3,-1) (1)若a b ⊥,求θ的值;(2)若2a b m -<恒成立,求实数m 的取值范围.16.(本小题满分14分)已知集合A ={|(2)[(31)]0}x x x a --+<,B =22{|0}(1)x ax x a -<-+. ⑴当2a =时,求A B ⋂; ⑵求使B A ⊆的实数a 的取值范围.17.(本小题满分14分) 已知平面向量13(3,1),(,)22a b =-=. (1)若存在实数k 和t ,满足2(2)(5)x t a t t b =++--,4y ka b =-+且x y ⊥,求出k 与t 的关系式()k f t =;(2)根据(1)的结论,试求出函数()k f t =在()2,2t ∈-上的最小值.18. (本小题满分16分)如图,两个圆形飞轮通过皮带传动,大飞轮1O 的半径为2(r r 为常数),小飞轮2O 的半径为r ,124O O r =.在大飞轮的边缘上有两个点,A B ,满足13BO A π∠=,在小飞轮的边缘上有点C ,设大飞轮逆时针旋转一圈,传动开始时,点,B C 在水平直线12O O 上. (1)求点A 到达最高点时,A C 间的距离; (2)求点,B C 在传动过程中高度差的最大值.19.(本小题满分16分)已知函数()212,f x ax x a a =-++为实常数.(1)求()f x 在[]1,2上最小值;(2)记集合(){}|0A a R f x =∈<,若A φ=,求实数a 的取值范围.20.(本小题满分16分)设函数()()2ln 1f x x b x =++.(1)若1x =时,函数()f x 取最小值,求实数b 的值;(2)若函数()f x 在定义域上是单调函数,求实数b 的取值范围; (3)若1b =-,证明对任意正整数n ,不等式333111111...23nk f k n =⎛⎫<++++ ⎪⎝⎭∑都成立.。
广东省某重点中学2013届高三数学理二轮复习之第七周周一小测 含答案
2013届高三二轮复习 七周一数学小测 2013-4—11、集合{4,5,3}M m =-,{9,3}N =-,若M N ≠∅,则实数m 的值为( )A .3或1-B .3C .3或3-D .1- 2、若复数z 满足方程022=+z ,则=3z ( )A.22±B. 22-C 。
i 22- D.i 22±3、下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 ( )A 。
R x x y ∈-=,3B 。
R x x y ∈=,sin C. R x x y ∈=,D.R x x y ∈=,)21(4、已知函数()()32120f x xax x a a=++>,则()2f 的最小值为 ( )A .3122 B .16 C .288a a++ D .1128a a++5、公差不为零的等差数列{}na 的前n 项和为nS ,若4a 是37a a 与的等比中项,832S=,则10S 等于 ( )A .18B .24C .60D .906、函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωφωφ=+>><的部分图象如图示,则将()y f x =的图象向右平移6π个单位后,得到的图象解析式为 ( ) A .y =sin 2x B .y =cos 2x C .y =2sin(2)3x π+D .y =sin(2)6x π-7、一个体积为123正三棱柱的三视图如图所示, 则这个三棱柱的左视图的面积为( )A 。
36B .8C .38D .12 Ks5uy16π1112πxO8、已知点P 是抛物线24xy =上的一个动点,则点P 到点(2,0)M 的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为 ( )A .2B C . D .929、已知不等式21x ->的解集与不等式20x ax b ++>的解集相等,则a b +的值为10、抛掷一枚质地均匀的骰子,所得点数的样本空间为{}1,2,3,4,5,6S =,令事件{}2,3,5A =,事件{}1,2,4,5,6B =,则()|P A B 的值为11、二项式3(ax 的展开式的第二项的系数为,则22ax dx -⎰的值为_______12、圆心在直线270x y -+=上的圆C 与x 轴交于两点(2,0)A -、(4,0)B -, 则圆C 的方程为__________.13、三个共面向量a 、b 、c 两两所成的角相等,且1=a ,2=b ,3=c ,则a+b+c等于_____________________14.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,若等边三角形(ABC 顶点A ,,B C 按顺时针方向排列)的顶点,A B 的极坐标分别为72,,2,66ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则顶点C 的极坐标A为 .15.(几何证明选讲选做题)如图2,AB 是圆O 的直径,延长AB 至C ,使2BC OB =,CD 是圆O 的切线,切点为D ,连接AD ,BD ,则AD BD的值为9. _______ 10。
2013届高三文科数学复习测评手册答案详解
2013届高三文科数学复习测评手册答案详解45分钟滚动基础训练卷(一)1.C [解析] Q ={x|2x -1>0}=⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x>12,所以P ⊆Q.故选C . 2.A [解析] “p 且q 为假”⇒p 、q 至多一个为真,故有可能“p 或q 为真”,充分性不成立;反之,“p 或q 为假”⇒p 、q 一定均为假,故“p 且q 为假”,必要性成立.故选A .3.C [解析] 显然函数f(x)=lg (x +1),f(x)=lg (2x +1)在(0,+∞)上均单调递增,所以“a =1”是“函数f(x)=lg (ax +1)在(0,+∞)上单调递增”的充分不必要条件.4.C [解析] 意为:只要x 不在区间[a ,b]内,就有函数f(x)≥0成立.故选C .5.B [解析] 由题知,A ∩B ={0,1},A ∪B ={-1,0,1,2,3},所以满足题意的实数对有(0,-1),(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,-1),(1,0),(1,1),(1,2),(1,3),共10个,即A*B 中的元素有10个,故选B .6.C [解析] sin x -cos x =2sin ⎝⎛⎭⎫x -π4∈[-2,2],而3∉[-2,2],故命题p 是假命题;集合{x|x 2-2x +1=0,x ∈R }={1},故其子集有∅与{1}两个,命题q 是真命题.所以有命题“p ∧(綈q )”是假命题,命题“(綈p )∨(綈q )”是真命题,②③正确,选C.7.B [解析] 若p ∧q 为假命题,则p 与q 至少有一个为假命题.①若p 假q 真,则⎩⎪⎨⎪⎧m +1>0,m 2-4<0⇒-1<m <2;②若q 假p 真,则⎩⎪⎨⎪⎧ m +1≤0,m 2-4≥0⇒m ≤-2;③若q 假p 假,则⎩⎪⎨⎪⎧m +1>0,m 2-4≥0⇒m ≥2.综上可得:m ≤-2或m >-1.8.C [解析] 当x =0,y =1时,z =0;当x =0,y =2时,z =0;当x =2,y =1时,z =4;当x =2,y =2时,z =5.所以A B ={0,4,5},同理可得(A B )C ={0,8,10}.故选C.9.-1 [解析] 由(x -3)(x +1)>0解得x >3或x <-1.由题可知集合A ={x |x >3或x <-1}真包含集合B ={x |x <a },由上图可知:a ≤-1,则a 10.{x |-2≤x <1} [解析] 图中阴影部分表示N ∩(∁U M ),∵M ={x |x 2>4}={x |x >2或x <-2},∴∁U M ={x |-2≤x ≤2},∴N ∩(∁U M )={x |-2≤x <1}.11.-22≤a ≤22 [解析] 因为“∃x 0∈R,2x 20-3ax 0+9<0”为假命题,则“∀x ∈R,2x 2-3ax +9≥0”为真命题.因此Δ=9a 2-4×2×9≤0,故-22≤a ≤2 2.12.[解答] 由题意得:A =⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈R ⎪⎪⎪x -2x +1≤0=(-1,2], B ={x ∈R |x 2-x +m -m 2≤0}={x ∈R |(x -m )(x -1+m )≤0},由A ∪B =A 知B ⊆A ,得⎩⎪⎨⎪⎧-1<m ≤2,-1<1-m ≤2,解得-1<m <2.13.[解答] 若命题p 为真,则0<a <1.若命题q 为真,则(2a -3)2-4>0,即a <12或a >52.∵“p ∨q ”为真,“p ∧q ”为假,∴p 与q 有且只有一个为真.(1)若p 真q 假,则⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1,12≤a <1或1<a ≤52, 解得12≤a <1.(2)若p 假q 真,则⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1,a <12或a >52,∴a >52. 综上所述,a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫12,1∪⎝⎛⎭⎫52,+∞.14.[解答] ∵f (x )为二次函数,∴a ≠0. ①当a >0时,A ∩B =∅⇔⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)≤0,f (3)≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a -2-2a ≤0,9a -6-2a ≤0⇔-2≤a ≤67.∴0<a ≤67.②当a <0时,A ∩B =∅⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (1)≤0,1a<0,∴-2≤a <0.∴当A ∩B =∅时, -2≤a <0或0<a ≤67.又∵a ∈R ,且a ≠0,∴A ∩B ≠∅时,a <-2或a >67.∴a 的取值范围是(-∞,-2)∪⎝⎛⎭⎫67,+∞. 45分钟滚动基础训练卷(二)1.C [解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧x +1>0,-x 2-3x +4>0得,-1<x <1,选C.2.B [解析] 本题主要利用函数的奇偶性求解析式,可采用直接法求解.设x <0,则-x >0,f (-x )=(-x )[1-(-x )]=-x (1+x ).由函数f (x )是一个奇函数,所以f (-x )=-f (x )=-x (1+x ),∴f (x )=x (1+x ),故选择B.此外也可用特殊值法来求解,由f (x )是一个奇函数,故f (-2)=-f (2),可排除A ,C ,D 选项.3.C [解析] 由f (x )·f (x +2)=13,知f (x +2)·f (x +4)=13,所以f (x +4)=f (x ),即f (x )是周期函数,周期为4.所以f (99)=f (3+4×24)=f (3)=13f (1)=132.4.C [解析] 令g (k )=(x -2)k +(x -2)2,则问题转化为g (k )>0对k ∈[-1,1]恒成立. ∴⎩⎪⎨⎪⎧g (1)>0,g (-1)>0,解之得:x <1或x >3. 5.D [解析] 由函数y =⎝⎛⎭⎫12|x |和y =log 2|x |均为偶函数,排除A 、C ;函数y =x -42-x 为非奇非偶函数,选D.6.D [解析] 当y =x -1时,不过(0,0)点,①错误;当n =0时,y =x n 中x ≠0,故其图象是去掉(0,0)点的一条直线,③错;y =x 2在(-∞,0)上是减函数,(0,+∞)上是增函数,④错.故选D.7.A [解析] f (3)=-f (-3)=-f (-3+5)=-f (2)<-1,所以a 2+a +3a -3<-1,等价于a (a+2)(a -3)<0,解得a <-2或0<a <3.8.C [解析] 由2x 2-3x ≤0,得0≤x ≤32.∵f (x )=⎝⎛⎭⎫x +122+34,∴当x =0时,f (x )取最小值1; 当x =32时,f (x )取最大值194.9.-1 [解析] 由f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2cos π3x ,x ≤2000,x -100,x >2000,得f (2010)=2010-100=1910,f (1910)=2cos ⎝⎛⎭⎫π3×1910=2cos ⎝⎛⎭⎫636π+23π=2cos 23π=-1,故f [f (2010)]=-1.10.-9 [解析] 由f (a )=a 3cos a +1=11得a 3cos a =10,所以f (-a )=(-a )3cos(-a )+1=-a 3cos a +1=-10+1=-9.11.a =b =1或a =29,b =439 [解析] f ⎝⎛⎭⎫1a =a +b -1a,f (0)=a +b ,f (3)=10a +b -6. (1)当a <0时,⎩⎪⎨⎪⎧ [f (x )]max =f (0)=5,[f (x )]min =f (3)=1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a +b =5,10a +b -6=1⇒a =29,不合题意;(2)当a >0时,①当0<1a <32,即a >23时,⎩⎪⎨⎪⎧ f (3)=5,f ⎝⎛⎭⎫1a =1⇒⎩⎪⎨⎪⎧10a +b -6=5,a +b -1a =1⇒a =b =1.②当32≤1a ≤3,即13≤a ≤23时,⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)=5,f ⎝⎛⎭⎫1a =1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a +b =5,a +b -1a =1⇒a =14,不合题意; ③当1a >3,即0<a <13时,由⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)=5,f (3)=1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a +b =5,10a +b -6=1⇒a =29,b =439.综上,a =b =1或a =29,b =439.12.[解答] (1)证明:当x ∈(0,+∞)时,f (x )=a -1x,设0<x 1<x 2,则x 1x 2>0,x 2-x 1>0.f (x 1)-f (x 2)=⎝⎛⎭⎫a -1x 1-⎝⎛⎭⎫a -1x 2=1x 2-1x 1=x 1-x 2x 1x 2<0,∴f (x 1)<f (x 2),即f (x )在(0,+∞)上是增函数.(2)由题意a -1x <2x 在(1,+∞)上恒成立,设h (x )=2x +1x,则a <h (x )在(1,+∞)上恒成立.可证h (x )在(1,+∞)上单调递增.故a ≤h (1),即a ≤3. 13.[解答] 设f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0), 则f (x )+g (x )=(a -1)x 2+bx +c -3.又f (x )+g (x )为奇函数,∴a =1,c =3,∴f (x )=x 2+bx +3,对称轴为x =-b2.当-b2≥2,即b ≤-4时,f (x )在[-1,2]上为减函数,∴f (x )的最小值为f (2)=4+2b +3=1,∴b =-3. ∴不合题意,当-1<-b 2<2,即-4<b <2时,f (x )的最小值为f ⎝⎛⎭⎫-b 2=3-b 24=1,∴b =-22(正值舍去). 此时f (x )=x 2-22x +3.当-b2≤-1,即b ≥2时,f (x )在[-1,2]上为增函数,∴f (x )的最小值为f (-1)=4-b =1, ∴b =3.∴f (x )=x 2+3x +3.综上所述,f (x )=x 2-22x +3或f (x )=x 2+3x +3.14.[解答] (1)证明,依题意取x =y =0有f (0)=2f (0), ∴f (0)=0,又取y =-x 可得f (x -x )=f (x )+f (-x )=f (0)(x ∈R ), 即f (x )+f (-x )=0(x ∈R ), ∴f (-x )=-f (x )(x ∈R ),由x 的任意性可知f (x )为奇函数.(2)证明:设x 1<x 2,则x 2=x 1+(x 2-x 1),其中x 2-x 1>0, ∴f (x 1)-f (x 2)=f (x 1)-f [x 1+(x 2-x 1)] =f (x 1)-[f (x 1)+f (x 2-x 1)]=-f (x 2-x 1), ∵x 2-x 1>0,∴f (x 2-x 1)<0∴f (x 1)-f (x 2)>0,即f (x 1)>f (x 2),∴f (x )为R 上的减函数. (3)依题意有f (2)=f (1)+f (1)=4,∴不等式可化为f (x -1)-f (1-2x -x 2)<f (2),即f (x -1)<f (1-2x -x 2)+f (2),∴f (x -1)<f (3-2x -x 2). 因为f (x )是R 上的减函数,∴x -1>3-2x -x 2,解得x <-4或x >1, 所以所求不等式的解集为{x |x <-4或x >1}.45分钟滚动基础训练卷(三)1.B [解析] 因为f (x +1)为偶函数,所以f (-x +1)=f (x +1),即f (x )=f (2-x );当x >1时,2-x <1,此时,f (2-x )=(2-x )2+1,即f (x )=x 2-4x +5.2.B [解析] ⎩⎪⎨⎪⎧1-x >0,3x +1>0,解得-13<x <1.故选B.3.A [解析] 解法一:因为对数函数的底数越大,函数图象越远离y 轴的正半轴,所以C 1,C 2,C 3,C 4对应的a 值依次由大到小,即C 1,C 2,C 3,C 4的a 值依次为3,43,35,110,故选A.解法二:作直线y =1,与C 1,C 2,C 3,C 4交点的横坐标,即为各对数函数底数的值.4.B [解析] 因为x +1x -2=(x -2)+1x -2+2≥4(当x =3时取等号),所以f (x )≥log 24=2(当x =3时取等号),故选B.5.C [解析] 画出y =2|x |的图象如图.由图知满足题意的整数对有(-1,1)3对.6.A [解析] 用数轴穿根法画出f (x )的大致图象,如图.根据导函数的值与原函数的单调性之间的关系可知A 选项正确.7.D [解析] 由f (1+x )=f (-x )知f (x )的图象关于直线x =12对称.又抛物线开口向上,结合图象可知f (0)<f (2)<f (-2).8.B [解析] 在坐标平面内先画出函数f (x )=log a x 的图象,再将其图象位于x 轴下方的部分“翻折”到x 轴的上方,与f (x )本身不在x 轴下方的部分共同组成函数g (x )=|log a x |的图象,注意到g (1)=0,g (a )=g ⎝⎛⎭⎫1a =1,结合图象可知,要使函数g (x )的值域是[0,1],其定义域可能是⎣⎡⎦⎤1a ,1、[1,a ]、⎣⎡⎦⎤1a ,a 、…,且1-1a =a -1a <a -1,结合题意知1-1a =56,a =6. 9.m <n [解析] ∵0<5-12<1,∴指数函数f (x )=a x 在定义域内为减函数,又由f (m )>f (n ),结合图象得m <n .10.2≤a <52[解析] 利用二次函数图象的特征,设f (x )=x 2-2ax +4,则⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0,f (1)>0,a >1.解之得2≤a <52.11.2 [解析] f (10)=log 3(10-1)=log 39=2,所以,f (f (10))=f (2)=log 3(4-1)=log 33=1,所以f (1)=2e 1-1=2.12.[解答] 由题意可知,图甲图象经过(1,1)和(6,2)两点, 从而求得其解析式为y 甲=0.2x +0.8. 图乙图象经过(1,30)和(6,10)两点, 从而求得其解析式为y 乙=-4x +34. (1)当x =2时,y 甲=0.2×2+0.8=1.2,y 乙=-4×2+34=26,y 甲×y 乙=1.2×26=31.2,所以第2年鱼池有26个,全县出产的鳗鱼总数为31.2万条.(2)第1年出产鳗鱼1×30=30(万条),第6年出产鳗鱼2×10=20(万条),可见第6年这个县的鳗鱼养殖业规模比第1年缩小了.(3)设第m 年时的规模(总产量)为n , 那么n =y 甲·y 乙=(0.2m +0.8)(-4m +34)=-0.8m 2+3.6m +27.2 =-0.8(m 2-4.5m -34) =-0.8(m -2.25)2+31.25.因此,当m =2时,n 的最大值为31.2.即当第2年时,鳗鱼养殖业的规模最大,最大产量为31.2万条.13.[解答] (1)设点P (x ,y )是C 2上的任意一点,则P (x ,y )关于点A (2,1)对称的点P ′(4-x,2-y )在C 1上,代入f (x )=x +1x ,可得2-y =4-x +14-x ,即y =x -2+1x -4,∴g (x )=x -2+1x -4.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y =m ,y =x -2+1x -4, 消去y ,得x 2-(m +6)x +4m +9=0,Δ=(m +6)2-4(4m +9),∵直线y =m 与C 2只有一个交点, ∴Δ=0,解得m =0或m =4.当m =0时,经检验合理,交点为(3,0); 当m =4时,经检验合理,交点为(5,4). 14.[解答] (1)∃x ∈R ,f (x )<b ·g (x )⇔∃x ∈R ,x 2-bx +b <0⇔Δ=(-b )2-4b >0⇔b <0或b >4. (2)F (x )=x 2-mx +1-m 2, Δ=m 2-4(1-m 2)=5m 2-4.①当Δ≤0,即-255≤m ≤255时,则需⎩⎨⎧m2≤0,-255≤m ≤255⇒-255≤m ≤0.②当Δ>0,即m <-255或m >255时,则需⎩⎪⎨⎪⎧m 2≥1,F (0)=1-m 2≤0⇒m ≥2;或⎩⎪⎨⎪⎧m 2≤0,F (0)=1-m 2≥0⇒-1≤m <-255.综上所述,-1≤m ≤0或m ≥2.45分钟滚动基础训练卷(四)1.C [解析] 由y ′=3x 2-6x -9=0,得x =-1或x =3,当-2<x <-1时,y ′>0;当-1<x <2时,y ′<0,当x =-1时,y 极大值=5;x 取不到3,无极小值.2.B [解析] f ′(2)、f ′(3)是x 分别为2、3时对应图象上切线的斜率,f (3)-f (2)=f (3)-f (2)3-2,∴f (3)-f (2)是图象上x 为2和3对应两点连线的斜率,故选B. 3.D [解析] ∵f ′(x )=e x (cos x -sin x ),∴k =f ′(1)=e 1(cos1-sin1)<0,故切线的倾斜角为钝角.4.B [解析] 设在四角截去的正方形的边长为x cm(0<x <24),所做的铁盒容积为y cm 3,则y =f (x )=(48-2x )2·x =4x 3-192x 2+2304x ,∴其导数f ′(x )=12x 2-384x +2304,令f ′(x )=0,可得x =8,经检验此时y 最大.5.B [解析] 令f (x )=x 3-3x 2-9x +2,则f ′(x )=3x 2-6x -9,令f ′(x )=0得x =-1或x =3(舍去).∵f (-1)=7,f (-2)=0,f (2)=-20.∴f (x )的最小值为f (2)=-20,故m ≤-20,应选B.6.D [解析] 令f (x )=2x -3sin x ,则f ′(x )=2-3cos x ,当cos x <23时,f ′(x )>0,当cos x=23时,f ′(x )=0,当cos x >23时,f ′(x )<0,即当0<x <π2时,f (x )先递减再递增,而f (0)=0,f ⎝⎛⎭⎫π2=π-3>0,故f (x )的值与x 取值有关,即2x 与3sin x 的大小关系与x 取值有关.7.A [解析] f ′(x )=cos x +2f ′⎝⎛⎭⎫π3,所以f ′⎝⎛⎭⎫π3=cos π3+2f ′⎝⎛⎭⎫π3,得f ′⎝⎛⎭⎫π3=-12,于是f (x )=sin x -x ,而f ′(x )=cos x -1≤0,所以f (x )=sin x -x 是R 上的减函数,又b -a =log 32-12=log 323>0,所以f (a )>f (b ).故选A. 8.A [解析] 本题考查二次函数与导数的内容,f ′(x )=2ax +b ,∴f ′(0)=b >0,因为f (x )与x 轴恰有一个交点,所以b 2-4a =0.f (1)f ′(0)=a +b +1b =b 24+1b +1=b 4+1b +1≥2b 4·1b +1=2.故选A. 9.S [解析] 设矩形一边长为x ,则另一边长为S x ,∴周长l (x )=2x +2S x ,∴l ′(x )=2-2Sx2.由l ′(x )=0,得x =S ,∵当x ∈(0,S )时,l ′(x )<0;当x ∈(S ,+∞)时,l ′(x )>0.∴函数l (x )在(0,S ]上递减,在[S ,+∞)上递增.∴l (x )min =4S ,此时x =S .10.c [解析] 由f ′(x )的图象知:x =0是f (x )的极小值点,所以f (x )的极小值为f (0)=c . 11.③ [解析] [f (2x )]′=f ′(2x )(2x )′=2f ′(2x ),①错误;h ′(x )=4cos 3x (-sin x )-4sin 3x cos x =-4sin x cos x =-2sin2x ,则h ′⎝⎛⎭⎫π12=-1,②错误;③正确;f ′(x )=3ax 2+2bx +c ,Δ=4b 2-12ac =4(b 2-3ac ),只需b 2-3ac >0即可,a +b +c =0是b 2-3ac >0的充分不必要条件.12.[解答] 对f (x )求导得f ′(x )=e x1+ax 2-2ax (1+ax 2)2.①(1)当a =43时,若f ′(x )=0,则4x 2-8x +3=0,解得x 1=32,x 2=12.结合①,可知所以,x 1=32是极小值点,x 2=12是极大值点.(2)若f (x )为R 上的单调函数,则f ′(x )在R 上不变号,结合①与条件a >0,知ax 2-2ax +1≥0在R 上恒成立,因此Δ=4a 2-4a =4a (a -1)≤0,由此并结合a >0,知0<a ≤1.13.[解答] (1)由1+x >0得函数f (x )的定义域为(-1,+∞).f ′(x )=2x +2-2x +1=2x (x +2)x +1.由f ′(x )>0,得x >0;由f ′(x )<0,得-1<x <0.∴函数f (x )的单调递增区间是(0,+∞),单调递减区间是(-1,0).(2)由(1)知,f (x )在⎣⎡⎦⎤1e -1,0上单调递减,在[0,e -1]上单调递增.∴f (x )min =f (0)=0. 又f ⎝⎛⎭⎫1e -1=1e 2+1,f (e -1)=e 2-3,且e 2-3>1e 2+1, ∴x ∈⎣⎡⎦⎤1e -1,e -1时,f (x )max =e 2-3. ∵不等式m <f (x )≤-m 2+2m +e 2恒成立,∴⎩⎪⎨⎪⎧-m 2+2m +e 2≥f (x )max ,m <f (x )min , 即⎩⎪⎨⎪⎧-m 2+2m +e 2≥e 2-3,m <0⇒⎩⎪⎨⎪⎧m 2-2m -3≤0,m <0 ⇒⎩⎪⎨⎪⎧-1≤m ≤3,m <0⇒-1≤m <0. ∵m 是整数,∴m =-1.∴存在整数m =-1,使不等式m <f (x )≤-m 2+2m +e 2恒成立. 14.[解答] (1)由f (x )=x ln x ,可得f ′(x )=ln x +1.当x ∈⎝⎛⎭⎫0,1e 时,f ′(x )<0,f (x )单调递减, 当x ∈⎝⎛⎭⎫1e ,+∞时,f ′(x )>0,f (x )单调递增.所以函数f (x )在区间[1,3]上单调递增,又f (1)=0,所以函数f (x )在区间[1,3]上的最小值为0.(2)证明:由(1)可知f (x )=x ln x (x ∈(0,+∞))在x =1e时取得最小值,又f ⎝⎛⎭⎫1e =-1e ,可知f (m )≥-1e. 由g (x )=x e x -2e ,可得g ′(x )=1-x ex .所以当x ∈(0,1)时,g ′(x )>0,g (x )单调递增,当x ∈(1,+∞)时,g ′(x )<0,g (x )单调递减.所以函数g (x )(x >0)在x =1时取得最大值,又g (1)=-1e ,可知g (n )≤-1e,所以对任意m ,n ∈(0,+∞),都有f (m )≥g (n )成立.45分钟滚动基础训练卷(五)1.B [解析] 由条件知,tan600°=a-4,∴a =-4tan600°=-4tan60°=-4 3.2.D [解析] 由弧长公式得2=2R ,即R =1 cm ,则S =12lR =12×2×1=1(cm 2).3.B [解析] y =sin ⎝⎛⎭⎫2x +π6=sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x +π12,y =sin ⎝⎛⎭⎫2x -π3=sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x -π6,所以将y =sin ⎝⎛⎭⎫2x +π6的图象向右平移π4个长度单位得到y =sin ⎝⎛⎭⎫2x -π3的图象,故选B. 4.C [解析] 依题意,cos θ·tan θ<0,cos θ与tan θ是异号,所以角θ是第三或第四象限角,选择C.5.B [解析] ∵-180°<θ<-90°, ∴sin θ=m <0,tan θ>0,故可知tan θ=-m1-m 2.6.A7.C [解析] 不妨令a =-π2,b =π2,∴cos a +b 2=cos0=1.8.C [解析] 当|MN |最小时,点M 、N 必为两曲线的相邻的两个交点,所以可取M ⎝⎛⎭⎫π4,2π2,N ⎝⎛⎭⎫5π4,-2π2,根据两点间距离公式得|MN |=π2+(2π)2=3π.故选C.9.⎝⎛⎭⎫2,π4 [解析] 依题意,T =π,所以ω=2.又由2×3π8+φ=2k π+π,0<φ≤π2,故φ=π4. 10.-35 [解析] 解法1:在角θ终边上任取一点P (a,2a )(a ≠0),则r 2=|OP |2=a 2+(2a )2=5a 2,∴cos 2θ=a 25a 2=15,∴cos2θ=2cos 2θ-1=25-1=-35. 解法2:tan θ=2a a =2,cos2θ=cos 2θ-sin 2θcos 2θ+sin 2θ=1-tan 2θ1+tan 2θ=-35.11.①②③ [解析] 化简f (x )=cos ⎝⎛⎭⎫2x -π3+cos ⎝⎛⎭⎫2x +π2-π3=cos ⎝⎛⎭⎫2x -π3-sin ⎝⎛⎭⎫2x -π3=2cos ⎝⎛⎭⎫2x -π12. ∴f (x )max =2,即①正确.T =2π2=π,即②正确. 由2k π≤2x -π12≤2k π+π得,k π+π24≤x ≤k π+13π24,即③正确.将函数y =2cos2x 的图象向左平移π24个单位得y =2cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x +π24≠f (x ),∴④不正确. 12.[解答] (1)因为sin α=35,α是第二象限角,所以cos α=-45,从而tan α=-34.(2)cos ⎝⎛⎭⎫π2-α+cos(3π+α)=sin α-cos α=75. 13.[解答] ⎝⎛⎭⎫1sin θ+1tan θ·1-cos θcos θ=1-cos 2θsin θcos θ=sin 2θsin θcos θ=tan θ. 即tan θ=2.∴12sin θcos θ+cos 2θ=sin 2θ+cos 2θ2sin θcos θ+cos 2θ =1+tan 2θ2tan θ+1=1+222×2+1=1. 14.[解答] (1)由图可得A =1,T 2=2π3-π6=π2,所以T =π. 所以ω=2.当x =π6时,f (x )=1,可得sin ⎝⎛⎭⎫2×π6+φ=1. 因为|φ|<π2,所以φ=π6.所以f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫2x +π6. (2)g (x )=f (x )-cos2x=sin ⎝⎛⎭⎫2x +π6-cos2x =sin2x cos π6+cos2x sin π6-cos2x=32sin2x -12cos2x =sin ⎝⎛⎭⎫2x -π6. 因为0≤x ≤π2,所以-π6≤2x -π6≤5π6.当2x -π6=π2,即x =π3时,g (x )有最大值,最大值为1;当2x -π6=-π6,即x =0时,g (x )有最小值,最小值为-12.45分钟滚动基础训练卷(六) 1.A [解析] sin 4π3=sin ⎝⎛⎭⎫π+π3=-sin π3=-32,cos 25π6=cos ⎝⎛⎭⎫4π+π6=cos π6=32,tan 5π4=tan π4=1. 2.A [解析] 设函数f (x )=A sin(ωx +φ),由函数的最大值为2知A =2,又由函数图象知该函数的周期T =4×⎝⎛⎭⎫5π3-2π3=4π,所以ω=12,将点(0,1)代入得φ=π6,所以f (x )=2sin ⎝⎛⎭⎫12x +π6.3.C [解析] 依题意,sin θ+cos θ=-p 2,sin θcos θ=-12,解得p =0,因此θ=3π4,选择C.4.C [解析] f (x )=sin x +3cos x =2sin ⎝⎛⎭⎫x +π3, ∵x ∈⎣⎡⎦⎤-π2,π2,∴x +π3∈⎣⎡⎦⎤-π6,5π6. ∴f (x )最小值为-1,最大值为2.5.C [解析] f (x )=2cos 2x -3sin2x =cos2x -3sin2x +1=2cos ⎝⎛⎭⎫2x +π3+1(x ∈R ),所以f (x )的最小正周期和最大值分别为π,3.6.D [解析] ∵tan α=2,∴2sin 2α+1sin2α=3sin 2α+cos 2α2sin αcos α=3tan 2α+12tan α=134.7.C [解析] 依题意,函数y =xsin x,x ∈(-π,0)∪(0,π)为偶函数,排除A ;当x ∈(0,π)时,直线y =x 的图象在y =sin x 上方,所以y =xsin x>1,排除B 、D.8.C [解析] ∵0<α<π2<β<π且sin α=35,cos(α+β)=-45,∴cos α=45.π2<α+β<32π,∴sin(α+β)=±35,当sin(α+β)=35时,sin β=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α=35×45-⎝⎛⎭⎫-45×35=2425; 当sin(α+β)=-35时,sin β=⎝⎛⎭⎫-35×45-⎝⎛⎭⎫-45×35=0, 又β∈⎝⎛⎭⎫π2,π,∴sin β>0,故sin β=2425. 9.3 [解析] ∵tan60°=tan(20°+40°)=tan20°+tan40°1-tan20°tan40°,∴原式=tan60°·(1-tan20°·tan40°)+3tan20°·tan40° =3-3tan20°·tan40°+3tan20°·tan40°= 3.10.2-3 [解析] 依题意tan θ=-1,tan ⎝⎛⎭⎫θ+π3=-1+31+3=2- 3.11.①②③ [解析] f ⎝⎛⎭⎫11π12=3sin 3π2=-3,①正确; f ⎝⎛⎭⎫2π3=3sinπ=0,②正确;由2k π-π2≤2x -π3≤2k π+π2,k ∈Z 得,k π-π12≤x ≤k π+5π12,∴f (x )的增区间为⎣⎡⎦⎤k π-π12,k π+5π12(k ∈Z ), 令k =0,得f (x )在⎣⎡⎦⎤-π12,5π12为增函数,③正确; 由y =3sin2x 的图象向右平移π6个单位长度可以得到图象C ,④错误.12.[解答] (1)由题意,sin x ≠0,所以x ≠k π(k ∈Z ). 函数f (x )的定义域为{x |x ≠k π,k ∈Z }.(2)因为f (x )=2,所以2sin ⎝⎛⎭⎫x +π4-13=2sin x , 即2⎝⎛⎭⎫22sin x +22cos x -13=2sin x ,∴cos x -sin x =13.将上式平方,得1-sin2x =19,所以sin2x =89.13.[解答] (1)∵a =(sin θ,2),b =(cos θ,1),且a ∥b , ∴sin θ2=cos θ1,即sin θ=2cos θ.∵sin 2θ+cos 2θ=1,θ∈⎝⎛⎭⎫0,π2, 解得sin θ=255,cos θ=55,∴sin θ=255,cos θ=55.(2)∵0<ω<π2,0<θ<π2,∴-π2<θ-ω<π2.∵sin(θ-ω)=35,∴cos(θ-ω)=1-sin 2(θ-ω)=45.∴cos ω=cos[θ-(θ-ω)]=cos θcos(θ-ω)+sin θsin(θ-ω)=255.14.[解答] (1)由图象知:T =4⎝⎛⎭⎫π2-π4=π,则:ω=2πT=2, 由f (0)=-1得:sin φ=-1,即:φ=2k π-π2(k ∈Z ),∵|φ|<π,∴φ=-π2.(2)由(1)知:f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫2x -π2=-cos2x , ∴g (x )=22f ⎝⎛⎭⎫x 2f ⎝⎛⎭⎫x 2-π8-1=22(-cos x )⎣⎡⎦⎤-cos ⎝⎛⎭⎫x -π4-1 =22cos x ⎣⎡⎦⎤22(cos x +sin x )-1=2cos 2x +2sin x cos x -1=cos2x +sin2x =2sin ⎝⎛⎭⎫2x +π4, 当x ∈⎣⎡⎦⎤0,π2时,2x +π4∈⎣⎡⎦⎤π4,5π4,则sin ⎝⎛⎭⎫2x +π4∈⎣⎡⎦⎤-22,1, ∴g (x )的值域为[-1,2].45分钟滚动基础训练卷(七)1.C [解析] HG →=12EF →=14AC →=14(AB →+BC →)=14(AB →-CB →)=14(a -b ).2.A [解析] a ∥b ,则2×(-2)-1·y =0⇒y =-4,从而3a +b =(1,2),|3a +b |= 5. 3.C [解析] 5秒后点P 的坐标为:(-10,10)+5(4,-3)=(10,-5).4.D [解析] 解法一:设AC 的中点为G ,则OB →+OD →=b +d =a +c =OA →+OC →=2OG →,∴G 为BD 的中点,∴四边形ABCD 的两对角线互相平分,∴四边形ABCD 为平行四边形.解法二:AB →=OB →-OA →=b -a ,CD →=OD →-OC →=d -c =-(b -a )=-AB →,∴AB 綊CD ,∴四边形ABCD 为平行四边形.5.C [解析] 由已知a =(cos θ,sin θ),b =(3,-1), 得2a -b =(2cos θ-3,2sin θ+1),∴|2a -b |=(2cos θ-3)2+(2sin θ+1)2=4,两边平方,化简得sin θ-3cos θ=2,即sin ⎝⎛⎭⎫θ-π3=1, ∵θ为三角形的内角,∴θ=5π6. 6.B [解析] 正确的应该是①④.a 与b 共线,则A 、B 、C 、D 四点未必在一条直线上;若a 与b 共线,且a 与b 同向时才有||a +|b |=|a +b |.7.D [解析] 因为a ·b =10,所以x +8=10,x =2,所以a -b =(-1,-2),故|a -b |= 5.8.B [解析] 由已知,得OA →=(x ,y ),AA ′→=(-2x,0),由OA →2+a ·AA ′→≤0,得x 2+y 2-2x ≤0,即(x -1)2+y 2≤1,表示以(1,0)为圆心,1为半径的圆及圆内的点.9.-72 [解析] 依题意,e 1·e 2=|e 1|·|e 2|·cos π3=12,所以a·b =(2e 1+e 2)·(-3e 1+2e 2)=-6|e 1|2+2|e 2|2+e 1·e 2=-6+2+12=-72.10.5 [解析] 因为b ⊥(a +2b ),所以b ·(a +2b )=0, 即b ·a +2b 2=0,所以a ·b =-2, 而|2a -b |=(2a -b )2=4a 2-4a ·b +b 2=16+8+1=5. 11.-2 [解析] ∵|AB |=23,|OA |=|OB |=2, ∴∠AOB =120°. ∴OA →·OB →=|OA →|·|OB →|·cos120°=-2.12.[解答] (1)∵BP →=P A →, ∴BO →+OP →=PO →+OA →,即2OP →=OB →+OA →,∴OP →=12OA →+12OB →,即x =12,y =12.(2)∵BP →=3P A →, ∴BO →+OP →=3PO →+3OA →,即4OP →=OB →+3OA →, ∴OP →=34OA →+14OB →,∴OP →·AB →=⎝⎛⎭⎫34OA →+14OB →·(OB →-OA →), =14OB →·OB →-34OA →·OA →+12OA →·OB →, =14×22-34×42+12×4×2×12=-9. 13.[解答] ∵BC →=(x ,y ),AB →=(6,1),CD →=(-2,-3),∴DA →=-AD →=-(AB →+BC →+CD →)=-(x +4,y -2)=(-x -4,-y +2).(1)∵BC →∥DA →,故有x (-y +2)-y (-x -4)=0, 化简得x +2y =0. (2)AC →=AB →+BC →=(x +6,y +1), BD →=BC →+CD →=(x -2,y -3). ∵AC →⊥BD →, ∴(x +6)·(x -2)+(y +1)·(y -3)=0. 化简有x 2+y 2+4x -2y -15=0.联立⎩⎪⎨⎪⎧x +2y =0,x 2+y 2+4x -2y -15=0,解得⎩⎪⎨⎪⎧ x =-6,y =3或⎩⎪⎨⎪⎧x =2,y =-1.∵BC →∥DA →,AC →⊥BD →,则四边形ABCD 为对角线互相垂直的梯形. 当⎩⎪⎨⎪⎧x =-6,y =3时,AC →=(0,4),BD →=(-8,0), 此时S 梯形ABCD =12·|AC →|·|BD →|=16.当⎩⎪⎨⎪⎧x =2,y =-1时,AC →=(8,0),BD →=(0,-4), 此时S 梯形ABCD =12·|AC →|·|BD →|=16.综上所述,x =-6,y =3或x =2,y =-1,四边形ABCD 的面积为16. 14.[解答] (1)f (x )=a ·b =(cos x +sin x )·(cos x -sin x )+sin x ·2cos x=cos2x +sin2x =2sin ⎝⎛⎭⎫2x +π4, 由-π2+2k π≤2x +π4≤π2+2k π,得-3π8+k π≤x ≤π8+k π,k ∈Z . ∴f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤-3π8+k π,π8+k π,k ∈Z . (2)由f (B )=1得sin ⎝⎛⎭⎫2B +π4=22, 又0<B <π,所以B =π4,设a sin A =b sin B =c sin C =k ,则3k sin π3+2k sin π4=10⇒52k =10⇒k =4. 所以c =k sin C =4sin(A +B )=4⎝⎛⎭⎫sin π3cos π4+cos π3sin π4=6+ 2. 45分钟滚动基础训练卷(八)1.B [解析] |2a -b |=(2a -b )2=4a 2-4a·b +b 2=8=2 2.2.D [解析] 方法一:易知∠ACE =∠BCF ,且tan ∠ACE =12,∴tan ∠ECF =tan(90°-2∠ACE )=1tan2∠ACE=1-tan 2∠ACE 2tan ∠ACE=1-14=34,选D.方法二:过C 作CD ⊥AB 于D ,则DE =12EF =16AB ,CD =12AB ,∴tan ∠DCE =13,故tan ∠ECF =tan2∠DCE =2×131-132=34,选D.3.A [解析] 由S =12AB ·AC ·sin A 得AC =1,由余弦定理得BC 2=AB 2+AC 2-2AB ·AC ·cos A =22+12-2×2×1×cos60°=3,∴BC = 3.4.B [解析] 设AP →与AD →的夹角为θ,则AP →·AD →=|AP →|·|AD →|cos θ,而|AD →|=2,|AP →|cos θ=2,所以选B.5.C [解析] S △OAB =12|a ||b |sin 〈a ,b 〉=12|a ||b |·1-cos 2〈a ,b 〉=12|a ||b |1-(a ·b )2|a |2|b |2,=12|a |2|b |2-(a ·b )2. 6.A [解析] 由余弦定理可知正方形的边长a =12+12-2×1×1×cos α=2-2cos α,那么该八边形的面积为S =a 2+4×12×1×1×sin α=2-2cos α+2sin α.7.A [解析] 因为||a +b >1⇔||a 2+2a ·b +||b 2>1⇔a ·b >-12⇔||a ||b cos θ=cos θ>-12⇔θ∈⎣⎡⎭⎫0,2π3,所以p 1为真命题,p 2为假命题.又因为||a -b >1⇔||a 2-2a ·b +||b 2>1⇔a ·b <12⇔||a ||b cos θ=cos θ<12⇔θ∈⎝⎛⎦⎤π3,π,所以p 4为真命题,p 3为假命题.8.D [解析] 如图,由题意得∠BAC =30°,∠ACB =75°,∴AB sin75°=BCsin30°, ∴BC =10sin75°=10(6-2) .9.(1,2) (0,-1) [解析] AD →=BC →=AC →-AB →=(1,2),BD →=AD →-AB →=(0,-1).10.π3 [解析] 由余弦定理得cos C =a 2+b 2-c 22ab =ab 2ab =12.又∵C ∈(0,π),∴C =π3. 11.无 [解析] 根据题意,画出示意图(如下图),在三角形ABC 中,AB =30,∠BAC =30°,∠ABC =135°,∴∠ACB =15°,由正弦定理BC =AB sin ∠ACB ·sin ∠BAC =30sin15°·sin30°=156-24=15(6+2).在Rt △BDC 中,∠CBD =45°,CD =BC sin ∠CBD =15(3+1)>38.故无触礁危险. 12.[解答] (1)∵a =(4,3),b =(-1,2), ∴a ·b =4×(-1)+3×2=-4+6=2, |a |=42+32=5,|b |=(-1)2+22=5,∴cos θ=a ·b |a ||b |=25×5=2525.(2)∵向量a -λb 与2a +b 互相垂直, ∴(a -λb )·(2a +b )=0, 即2a 2+(1-2λ)a ·b -λb 2=0,∴2×52+2(1-2λ)-5λ=0,∴λ=529.13.[解答] (1)由b sin B =c sin C 得sin C =c b sin B =3×sin30°=32.∵c >b ,∴C >B ,∴C =60°或C =120°.∴A =90°或A =30°.(2)S △ABC =12bc sin A=12×1×3×sin90°=32. 或S △ABC =12bc sin A =12×1×3×sin30°=34.即△ABC 的面积为32或34.14.[解答] 设AB =x ,∠AOB =θ,在△AOB 中运用余弦定理, 得x 与θ存在关系:x 2=12+22-2×1×2cos θ=5-4cos θ.① 又设四边形OACB 的面积是S ,则S =S △AOB +S △ABC =sin θ+34x 2.②将①式代入②得S =sin θ-3cos θ+534=2sin ⎝⎛⎭⎫θ-π3+534. ∵θ∈(0,π),∴-π3<θ-π3<2π3.∴当且仅当θ-π3=π2,即θ=5π6时,S max =8+534.即以OA 为始边,OB 逆时针方向旋转5π6时,四边形OACB 面积最大,最大值为8+534.45分钟滚动基础训练卷(九)1.A [解析] 由已知d =2,所以偶数项的和为80+5d =90.故选A. 2.C [解析] 由已知得a 57=32,所以a 7=2.故选C.3.C [解析] 设等差数列{a n }的公差为d ,则有9(a 1+d )2=9a 1(a 1+2d ),得d =0,所以S 4=4a 1=12.故选C.4.C [解析] 由题意b 2=ac >0,因为Δ=b 2-4ac =-3ac <0,所以方程ax 2+bx +c =0没有实数根.故选C.5.B [解析] S 5=5(a 1+a 5)2=30,所以a 1+a 5=12,所以a 3=6.所以S 8=8(a 1+a 8)2=4(a 1+a 8)=4(a 3+a 6)=4×8=32.故选B.6.C [解析] 设等差数列{a n }的公差为d ,依题意有⎩⎪⎨⎪⎧5a 1+10d =15,6a 1+15d =21,解得a 1=d =1,所以S 11=11a 1+55d =66.故选C.7.D [解析] 由a 1005·a 1007=4得a 21006=4,所以a 1006=±2, a 1·a 2·a 3·…·a 2010·a 2011=(a 1·a 2011)(a 2·a 2010)(a 3·a 2009)…(a 1005·a 1007)a 1006=(a 21006)1005·a 1006 =41005·(±2)=±22011.故选D.8.B [解析] 由已知a 3a 9=a 26,所以a 3+a 9≥2a 3a 9=2a 26=2a 6,而b 4+b 10=2b 7,a 6=b 7,所以a 3+a 9≥2b 7.故选B.9.a n =(-1)n +1(2n -1) [解析] 随着项数n 的变化,项增加的速度很快,联想到2n ,再考虑系数的符号,可得通项公式为a n =(-1)n +1(2n -1).10.35 [解析] 设公差为d ,则S 2S 5=2a 1+d 5a 1+10d =14,解得a 1=2d ,所以a 5a 9=a 1+4d a 1+8d =35. 11.9 -3 [解析] 由等比中项得b 2=ac =9,当b =3时,则这五个数不成等比数列,当b =-3时,a 、c 同为正号,则这五个数成等比数列,所以ac =9,b =-3.12.[解答] (1)由已知得:⎩⎪⎨⎪⎧a 1+a 2+a 3=7,a 1+a 3-1=2a 2,解得a 2=2.设数列{a n }的公比为q ,由a 2=2,可得a 1=2q,a 3=2q ,又S 3=7,可知2q +2+2q =7,即2q 2-5q +2=0,解得q 1=2,q 2=12.由题意得q >1,所以q =2,a 1=1故数列{a n }的通项公式为a n =2n -1.(2)由于b n =log 4a 2n +1(n ∈N +),由(1)得a 2n +1=22n =4n . 所以b n =log 44n =n .所以1b 1b 2+1b 2b 3+…+1b n -1b n=11×2+12×3+…+1(n -1)×n =1-12+12-13+13-14+…+1n -1-1n=1-1n .13.[解答] (1)Q 型车每月的销售量{a n }是以首项a 1=a ,公比q =1+1%=1.01的等比数列,前n 个月的销售总量S n =a (1.01n -1)1.01-1=100a (1.01n -1)(n ∈N +,且n ≤24).(2)因为S n -T n =100a (1.01n -1)-228a (1.012n -1) =100a (1.01n -1)-228a (1.01n -1)(1.01n +1)=-228a (1.01n -1)·⎝⎛⎭⎫1.01n +3257. 又1.01n -1>0,1.01n +3257>0,所以S n -T n <0,所以S n <T n .14.[解答] a 1=2,a n -a n -1-2n =0(n ≥2,n ∈N ),∴a 2=6,a 3=12,当n ≥2时,a n -a n -1=2n ,a n -1-a n -2=2(n -1),…,a 3-a 2=2×3,a 2-a 1=2×2, ∴a n -a 1=2[n +(n -1)+…+3+2],∴a n =2[n +(n -1)+…+3+2+1]=2n (n +1)2=n (n +1),当n =1时,a 1=1×(1+1)也满足上式, ∴数列{a n }的通项公式为a n =n (n +1).(2)b n =1a n +1+1a n +2+…+1a 2n =1(n +1)(n +2)+1(n +2)(n +3)+…+12n (2n +1)=1(n +1)-1(n +2)+1(n +2)-1(n +3)+…+12n -1(2n +1)=1(n +1)-1(2n +1)=n 2n 2+3n +1=1⎝⎛⎭⎫2n +1n +3,令f (x )=2x +1x (x ≥1),则f ′(x )=2-1x2,当x ≥1时,f ′(x )>0恒成立,∴f (x )在x ∈[1,+∞)上是增函数,故当x =1时,f (x )min =f (1)=3,即当n =1时,(b n )max =16,另解:b n +1-b n =1n +2-12n +3-1n +1+12n +1=1n +2+12n +1-⎝⎛⎭⎫12n +3+1n +1=3n +32n 2+5n +2-3n +42n 2+5n +3<0, ∴数列{a n }是单调递减数列,∴(b n )max =b 1=16.45分钟滚动基础训练卷(十)1.D [解析] 因为集合P ={x |-1≤x ≤1},所以∁U P ={x |x <-1或x >1},故选D.2.C [解析] 作出可行域如图,可知直线y =x 与3x +2y =5的交点(1,1)为最优解点,∴当x =1,y =1时,z max =3.3.D [解析] q 真时,-2<m <2m 的取值范围是-2<m <0.4.B [解析] ⎪⎪⎪⎪a +4a =|a |+4|a |≥2|a |·4|a |=4,当且仅当|a |=4|a |,即a =±2时取等号,即⎪⎪⎪⎪a +4a 的最小值为4.5.C [解析] 作出可行域,其中A (1,0),B (4,0),则ω=y -1x +1表示过可行域内的动点P (x ,y )与定点M (-1,1)的直线的斜率,由图可知ωmin =k MA =-12,且ω<k l =2,故-12≤ω<2.6.D [解析] 由条件利用韦达定理得:b =a ,c =-2a ,且a >0,代入cx 2+bx +a >c (2x-1)+b ,整理得2x 2-5x +2<0,解得12<x <2,选D.7.A [解析] 函数f (x )在[1,+∞)上单调递增,在(-∞,1)上单调递增,又在x =1处,两端的函数值相等,故函数f (x )在(-∞,+∞)上单调递增.所以f (m 2+1)≥f (tm -1)对任意实数m 恒成立,等价于m 2+1≥tm -1对任意实数m 恒成立,即m 2-tm +2≥0对任意实数m 恒成立,故t 2-8≤0,解得-22≤t ≤2 2.8.B [解析] 如图,延长BC 交y 轴于点D ,目标函数z =kx +y 中z 的几何意义是直线kx +y -z =0在y 轴上的截距,由题意得当此直线经过点C (1,2)时,z 取得最大值,显然此时直线kx +y -z =0与y 轴交点应该在点A 和点D 之间,而k AC =2-11-0=1,k BD =k BC =2-01-3=-1,直线kx +y -z =0的斜率为-k ,所以-1≤-k ≤1,解得k ∈[-1,1],故选B.9.x >1 [解析] 不等式x +1x -1≥3成立,等价于x -1+1x -1≥2成立,等价于y =x -1+1x -1有最小值2,所以要使上式成立需满足x -1>0,且(x -1)2=1有解,即x =2时取到最小值,所以x +1x -1≥3成立的充要条件为x >1.10.15 12 [解析] 由三角形相似得24-y 24-8=x 20,得x =54(24-y ),所以S =xy =-54(y -12)2+180,所以当y =12时,S 有最大值,此时x =15.11.-4<a <2 [解析] 作出可行域,由图象可知-1<-a2<2,即-4<a<2.12.[解答] 证明:(1)+1+1=(a -1)2+(ab +1)2≥0,不等式成立.(2)由于a 、b 、c 均为正实数,∴ab c +bc a ≥2b ,ca b +bc a ≥2c ,ca b +abc≥2a ,三式相加即得不等式成立.13.[解答] 设生产A 产品x 百吨,生产B 产品y 百吨,共获得利润S 百万元,则 ⎩⎪⎨⎪⎧2x +3y ≤14,2x +y ≤9,x ≥0,y ≥0,目标函数为S =3x +2y . 作出可行域如图,由⎩⎪⎨⎪⎧2x +y =9,2x +3y =14,解得直线2x +y =9和2x +3y =14的交点为A ⎝⎛⎭⎫134,52, 平移直线y =-32x +S2,当它经过点A ⎝⎛⎭⎫134,52时,直线y =-32x +S 2在y 轴上截距S2最大,S 也最大.此时,S =3×134+2×52=14.75.因此,生产A 产品3.25百吨,生产B 产品2.5百吨时,可获得最大利润,最大利润为1475万元.14.[解答] (1)证明:因为f (0)>0,f (1)>0, 所以c >0,3a +2b +c >0.由条件a +b +c =0,消去b ,得a >c >0;由条件a +b +c =0,消去c ,得a +b <0,2a +b >0.故-2<ba<-1.(2)证明:抛物线f (x )=3ax 2+2bx +c 的顶点坐标为⎝⎛⎭⎫-b 3a,3ac -b 23a ,在-2<b a <-1的两边乘以-13,得13<-b 3a <23.又因为f (0)>0,f (1)>0,而f ⎝⎛⎭⎫-b 3a =-a 2+c 2-ac 3a<0,所以方程f (x )=0在区间⎝⎛⎭⎫0,-b 3a 与⎝⎛⎭⎫-b3a ,1内分别有一个实根. 故方程f (x )=0在(0,1)内有两个实根.45分钟滚动基础训练卷(十一)1.D [解析] 正方体的三视图都相同,而三棱台的三视图各不相同,正确答案为D. 2.A [解析] ①中,两个平面有三个公共点,这三个公共点可能共线,则①不正确;②中,这两条直线可能是异面直线,则②不正确;③中,若M ∈α,M ∈β,M 是α和β的公共点,则M 必在交线上;④中三条直线可能不共面.3.C [解析] 有两种情况,一种是将4作为底面圆的周长,另一种是将2作为底面圆的周长.4.C [解析] 对于C 选项,相应的几何体为三棱柱,其体积V =Sh =12×1×1×1=12,符合题意,故选C.5.A [解析] 设圆锥底面圆的半径为r ,由圆锥的轴截面是等边三角形,且面积为3,可得12×2r ×2r ×32=3, 解得r =1,易知圆锥的高为3r =3,母线长l =2r =2,则这个圆锥的表面积为S =S 侧+S 底=12×2πr ·2r +πr 2=3π.6.C [解析] 设棱台上底面面积为k ,下底面面积为9k ,则中截面面积为4k ,所以棱台的中截面(过棱台的高的中点且与底面平行的截面)分棱台成两部分的体积之比V 1V 2=13(k +4k +k ·4k )h 13(4k +9k +4k ·9k )h =719. 7.A [解析] 设正三棱锥的侧棱长为b ,则由条件知b 2=12a 2,∴S 表=34a 2+3×12×12a 2=3+34a 2,故选A.8.C [解析] 由图可知,该几何体上部为正四棱锥,四棱锥的高为32-22=5,底面正方形的边长为22;下部为圆柱,圆柱的高为x ,底面圆的直径为4.V 四棱锥=13×(22)2×5=853,V 圆柱=π×22×x =4πx ,V 四棱锥+V 圆柱=853+4πx =853+12π,解得x =3,故选C.9.72 [解析] 根据题目所给的三视图可知该几何体为一个直三棱柱,且底面是一直角三角形,两直角边长度分别为3,4,斜边长度为5,直三棱柱的高为5,所以表面积为3×4+3×5+4×5+5×5=72.10.2053π [解析] 在△ABC 中AB =AC =2,∠BAC =120°,可得BC =23,由正弦定理,可得△ABC 外接圆半径r =2,设此圆圆心为O ′,球心为O ,在Rt △OBO ′中,易得球半径R =5,故此球的体积为V =43πR 3=2053π.11.22[解析] 正方形ABCD 的直观图A ′B ′C ′D ′如图所示,其中B ′C ′=1,∠B ′C ′x ′=45°,则顶点B ′到x ′轴的距离为B ′C ′sin45°=1×22=22.12.[解答] 证明:∵AB ∥CD ,∴β. 又∵AB ∩α=E ,AB ⊂β,∴E ∈α,E ∈β, 即E 为平面α与β的一个公共点.同理可证F 、G 、H 均为平面α与β的公共点.∵两个平面有公共点,它们有且只有一条通过公共点的公共直线, ∴E 、F 、G 、H 四点共线.13.[解答] (1)何体为正六棱锥.(2)该几何体的侧视图如图: 其中AB =AC ,AD ⊥BC ,且BC 的长是俯视图中正六边形对边的距离,即BC =3a ,AD 的长是正六棱锥的高,即AD =3a ,∴该平面图形的面积为S =12·3a ·3a =32a 2.(3)该几何体的体积为V =13·6·34a 2·3a =32a 3.14.[解答] (1)证明:因为P A =PE ,OA =OE , 所以PO ⊥AE .①如图(1),取BC 的中点F ,连接OF ,PF , 所以OF ∥AB ,因为AB ⊥BC , 所以OF ⊥BC .又PB =PC ,所以BC ⊥PF ,又OF ∩PF =F ,所以BC ⊥平面POF . 所以BC ⊥PO . ②由①②且AE 与BC 相交可得PO ⊥平面ABCE .。
湖北省武汉市2013届高三数学第七周晚训试题
湖北省武汉市2013届高三数学第七周晚训试题1.已知函数122log ()(1)x f x x ⎧⎪=⎨⎪-⎩(1)(1)x x ≥<的反函数为1()f x -,在(,1)(1,)-∞+∞上的导函数为()f x ',则1(4)(1)f f -'+-= A .6- B .1 C .1- D .5-2.已知函数()sin cos ,()2sin f x x x g x x =+=,动直线x t =与()f x 、()g x 的图象分别 交于点P 、Q ,||PQ 的取值范围是 A .[0,1] B .[0,2]C .[0]D .[1,]3.已知两个不相等的实数a b 、满足以下关系式:204a sin a cos πθθ⋅+⋅-=,204b sin b cos πθθ⋅+⋅-=,则连接A ()2a ,a 、 B ()2b ,b 两点的直线与圆心在原点的单位圆的位置关系是 .A 相离B 相交C 相切D 不能确定4. 直线MN 与双曲线C:12222=-by a x 的左右支分别交与M 、N 点,与双曲线C 的右准线相交于P 点,F 为右焦点,若FN FM 2=,又PM NP λ=(R ∈λ),,则实数λ的值为 A21 B 1 C 2 D 315. 已知)(x f 为定义在),(+∞-∞上的可导函数,且)()(x f x f '<对于R x ∈恒成立,则 A. )0()2(2f e f ⋅>, )0()2010(2010f e f ⋅> B. )0()2(2f e f ⋅<, )0()2010(2010f ef ⋅> C. )0()2(2f e f ⋅>, )0()2010(2010f e f ⋅<D.)0()2(2f e f ⋅<, )0()2010(2010f ef ⋅<6. 已知随机变量ξ服从正态分布,且方程x 2+2x+ξ=0有实数解得概率为21,若P (ξ2≤)=0.8,则P (0≤ξ2≤)=___________7. 将A 、B 、C 、D 、E 五种不同的文件放入一排编号依次为1、2、3、4、5、6的六个抽屉内,每个抽屉至多放一种文件.若文件A 、B 必须放入相邻的抽屉内,文件C 、D 也必须放相邻的抽屉内,则文件放入抽屉内的满足条件的所有不同的方法有 种.8.已知点M 是抛物线y 2=4x 的一点,F 为抛物线的焦点,A 在圆C:(x-4)2+(y-1)2=1上,则MF MA +的最小值为__________;9.如图,在三棱锥P ABC -中, PA 、PB 、PC 两两垂直,且3,2,1PA PB PC ===.设M 是底面ABC 内一点,定义()(,,)f M m n p =,其中m 、n 、p 分别是三棱锥M PAB -、三棱锥M PBC -、三棱锥M PCA -的体积.若1()(,,)2f M x y =,且18a x y +≥恒成立,则正实数a的最小值为________.10. 如图,在Rt AOB △中,π6OAB ∠=,斜边4AB =.Rt AOC △可以通过Rt AOB △以直线AO为轴旋转得到,且二面角B AO C --是直二面角.动点D 的斜边AB 上.(1)求证:平面COD ⊥平面AOB ;(2)当D 为AB 的中点时,求异面直线AO 与CD 所成角的大小; (3)求CD 与平面AOB 所成角的最大值.11. 已知二次函数g (x )对任意实数x 都满足()()21121g x g x x x -+-=--,且()11g =-.令()19()ln (,0)28f xg x m x m x =+++∈>R .(1)求 g (x )的表达式; (2)设1e m <≤,()()(1)H x f x m x =-+,证明:对任意x 1,x 2[]m ,1∈,恒有12|()()| 1.H x H x -< 12.如图,已知直线)0(1:1:2222>>=++=b a by a x C my x L 过椭圆的右焦点F ,且交椭圆C 于A ,B 两点,点A ,F ,B 在直线2:a x G =上的射影依次为点D ,K ,E ,(1)已知抛物线y x 342=的焦点为椭圆C 的上顶点。
2013届高三模拟试卷(07)数学(理)
2013届高三模拟试卷(07)数学(理)本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试时间120分钟.参考公式锥体体积公式13V Sh =, 其中S 为底面积,h 为高.第I 卷一、选择题:(本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1. 复平面内,复数20132iz i+=,则复数z 的共轭复数z 对应的点所在象限为( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限2. 设全集为R ,集合{}2|||≤=x x A ,}011|{>-=x x B ,则R A C B = ( ) A .[)2,1- B .[]2,1- C .[]2,2- D .),2[+∞-3. 若()⎩⎨⎧≤<≤≤-+=21 ,211 ,sin 3x x x x x f ,则()=⎰-dx x f 21 ( )A .0B .1C .2D .34. 若(0,)2πα∈,且21sin cos24αα+=,则tan α= ( )ABCD5. 有以下命题:①命题“2,20x R x x ∃∈--≥”的否定是:“2,20x R x x ∀∈--<”; ②已知随机变量X 服从正态分布2(1,)N σ,(4)0.79,P X ≤=则(2)0.21P X ≤-=;③函数131()()2x f x x =-的零点在区间11(,)32内;其中正确的命题的个数为( )A.0个B.1个C.2个D.3个 6.===,….=则n m -=( )A.43 B .57 C .73 D .91 7. 已知一组正数1234,,,x x x x 的方差为2222212341(16)4S x x x x =+++-,则数据122,2,x x ++342,2x x ++的平均数为( )A.2B.4C.-2D.不确定 8. 已知函数()f x 是R 上的单调增函数且为奇函数,数列{}n a 是等差 数列,3a >0,则135()()()f a f a f a ++的值 ( )A .恒为正数B .恒为负数C .恒为0D .可正可负9. 已知()[]23,0,31xf x x x+=∈+,已知数列{}n a 满足03,n a n N *<≤∈,且122010670a a a +++= ,则122010()()()f a f a f a +++ ( )A . 有最大值6030B . 有最小值6030 C.有最大值6027 D . 有最小值6027 10.如图,已知正方体1111ABCD A BCD -的棱长为1,动点P 在此 正方体的表面上运动,且(0PA x x =<<,记点P 的轨迹的 长度为()f x ,则函数()f x 的图像可能是( )第Ⅱ卷二 、填空题:(本大题共5小题,每小题5分,共20分) 11. 某几何体的三视图如图所示,其中俯视图为等边三角形,则其外接球的表面积是______;12.已知11(1,a dx -=+⎰则61()2a x x π⎡⎤--⎢⎥⎣⎦展开式中的常数项为 ;13. 设函数()2cos f x x x =-,{}n a 是公差为4π的等差数列,12()()f a f a ++3()f a =3π,则1210()()......()f a f a f a ++=;14. 已知椭圆()222210x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为,B F 为其右焦点,若AF BF ⊥,设ABF α∠=,且,124ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,则该椭圆离心率的取值范围为 .三.选做题:请考生在下列两题中任选一题作答,若两题都做,则按做的第一题评阅计分。
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同安一中2013届高三上学期周测七(理)姓名:___________班级:___________座号:___________一、选择题1.函数cosx x y 2=的导数为 ( )A .xsinx 2cosx x y'2-=B .sinx x xcosx 2y'2+=C .sinx x xcosx 2y'2-=D .sinx x xcosx y'2-=2.设P 为曲线C :y=2x +2x+3上的点,且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为[0,]4π,则点P横坐标的取值范围为 ( ) A . 1[1,]2--B .[-1,0]C .[0,1]D . 1[,1]23.曲线3()2f x x x =+-在0p 处的切线平行于直线41y x =-,则0p 点的坐标为( )A .(1,0)B .(2,8)C .(2,8)和(1,4)--D .(1,0)和(1,4)--4.下列函数中,值域是的是( )A. B. C. D 。
5.已知 是定义在R 上的增函数,求的取值范围是( )A. B. C. D.6.已知定义域为R 的函数f (x )满足f (-x )= -f (x+4),当x>2时,f (x )单调递增,如果 x 1+x 2<4且(x 1-2)(x 2-2)<0,则f (x 1)+f (x 2)的值( ) A .恒小于0B .恒大于0C .可能为0D .可正可负7.定义在上的可导函数,当时,恒成立,,则的大小关系为 ( )A .B .C .D .8.若函数的图象按向量平移后,得到函数的图象,则向量(0,)+∞xy -=131)(12-=x y xy -=215x y 21-=log (1)()(3) 1 (1)a x x f x a x x ≥⎧=⎨--<⎩a [2,3)(1,3)(1,)+∞(1,2]R ()f x (1,)x ∈+∞()'()'()f x f x xf x +<1(2),(3),(21)(2)2a fb fc f ===+,,a b c c a b <<b c a <<a c b <<c b a <<()y f x =a (1)2y f x =+-a =( )A .B .C .D .二、填空题 9.定积分的值等于_________________。
10.已知函数的两个极值分别为,若分别在区间(0,1) 与(1,2)内,则的取值范围是___________ 11.函数为奇函数,则增区间为________.12.已知函数是偶函数,定义域为,则________三、解答题13.已知函数32()2f x x ax x =+++.(Ⅰ)若1a =-,令函数()2()g x x f x =-,求函数()g x 在(1,2)-上的极大值、极小值; (Ⅱ)若函数()f x 在1(,)3-+∞上恒为单调递增函数,求实数a 的取值范围.(12)--,(12)-,(12)-,(12),dx x x ⎪⎭⎫⎝⎛+⎰112321()232x f x ax bx c=+++12()()f x f x 和12x x 、2b a -()()()a x x x f +-=1()x fb a bx ax x f +++=3)(2[]a a 2,1-=+b a14. 已知函数(Ⅰ)求函数的单调区间和最小值; (Ⅱ)若函数在上是最小值为,求的值; (Ⅲ)当(其中=2.718 28…是自然对数的底数)..ln )(x x x f =)(x f ()()xa x f x F -=[]e ,123a ebeb b 1)1(:,0≥>求证时e15.已知函数.(Ⅰ)当时,如果函数仅有一个零点,求实数的取值范围;(Ⅱ)当时,试比较与1的大小; (Ⅲ)求证:.(选做)ln 1af x x a x =+∈+R ()()92a =g x f x k =-()()k 2a =f x ()1111ln 135721n n +>+++++ ()n ∈*N ()同安一中2013届高三上学期周测七(理)答案1. C 2.A 3.D 4.A 5.A 6.A【解析】由定义域为R 的函数f (x )满足f (-x )= -f (x+4),得函数f (x )关于点(2,0)对称,又当x>2时,f (x )单调递增,所以x <2时也是单调递增,且,又x 1+x 2<4且(x 1-2)(x 2-2)<0,所以x 1 距离2较远,x 2 距离2较近,数形结合得f (x 1)+f (x 2)的值恒小于07.A【解析】由当时,恒成立知,当时,,所以在上是增函数.因为8.A 9. 【解析】解:因为10. 11.12.13.【答案】 (Ⅰ)3232()2(2)2g x x x x x x x x =--++=-++-,所以2()321g x x x '=-++ 由()0g x '=得13x =-或1x = x1(1,)3--13- 1(,1)3- 1(1,2) ()g x ' -+-()g x5927-1-所以函数()g x 在13x =-处取得极小值5927-;在1x =处取得极大值1- (Ⅱ) 因为2()321f x x ax '=++的对称轴为3a x =-(1)若133a -≥-即1a ≤时,要使函数()f x 在1(,)3-+∞上恒为单调递增函数,则有24120a ∆=-≤,解得:33a -≤≤,所以31a -≤≤;21()0,()0f x f x (1,)x ∈+∞()'()'()f x f x xf x +<(1,)x ∈+∞()(1)()()0,()()01f x x f x f xg x x '''-->∴=>-()g x (1,)x ∈+∞(2)(2)(3)223,(2)(2)(3),(21)(2)213121f f fg g g c f a b <<∴<<∴=+=<=<=---232ln +2212113x dx ln x x |ln 21x 22⎛⎫+=+=+⎪⎝⎭⎰(2,7)),21(),21,(+∞--∞31(2)若133a -<-即1a >时,要使函数()f x 在1(,)3-+∞上恒为单调递增函数,则有2111()3()2()10333f a -=⋅-+⋅-+≥,解得:2a ≤,所以12a <≤;综上,实数a 的取值范围为32a -≤≤14.解:(Ⅰ)同理,令∴f(x)单调递增区间为,单调递减区间为.由此可知(Ⅱ) 当时,,F (x )在上单调递增,,,舍去当时,在单调递减,在单调递增 若,F (x )在上单调递增,,舍若,在单调递减,在单调递增,,若,F (x )在上单调递减,舍综上所述:(Ⅲ)由(I )可知当时,有,.ln 1ln ,0)(),0(1ln )(1-=-≥≥'>+='e x x f x x x f 即令 ).,1[.11+∞∈∴=≥∴-e x ee x ].1,0(0)(e x x f 可得≤'),1[+∞e ]1,0(e .1)1()(m in ee f x f y -===()2xax x F +='0≥a ()0>'x F []e ,1()23m in =-=a x F [)∞∉-=∴,023a 0<a ()x F ()a -,0()+∞-,a ()0,1-∈a []e ,1()23m in =-=a x F ()0,1-23∉-=∴a []1,--∈e a ()x F ()a -,1()e a ,-()()()231ln m in =+-=-=∴a a F x F []1,--∈-=e e a ()1,-∞-∈a []e ,1()()()e e e F x F -∞-∉-==,21m in e a -=0>b eb b e x f b f 1ln ,1)()(m in -≥∴-=≥即..15.解:(Ⅰ)当时,,定义域是,, 令,得或. …2分 当或时,,当时,,函数在、上单调递增,在上单调递减. ……………4分的极大值是,极小值是.当时,; 当时,, 当仅有一个零点时,的取值范围是或.……………5分 (Ⅱ)当时,,定义域为.令,, 在上是增函数. ………7分①当时,,即; ②当时,,即;③当时,,即.……………9分111ln()ln()beb e e≥-=11()be b e∴≥29=a )1(29ln )(++=x x x f ),0(+∞22)1(2)2)(12()1(291)(+--=+-='x x x x x x x f 0)(='x f 21=x 2=x 210<<x 2>x 0)(>'x f 221<<x 0)(<'x f ∴)(x f )21,0(),2(+∞)2,21()(x f ∴2ln 3)21(-=f 2ln 23)2(+=f 0+→x -∞→)(x f +∞→x +∞→)(x f ∴)(x g k 2ln 3->k 2ln 23+<k 2=a 12ln )(++=x x x f ),0(+∞112ln 1)()(-++=-=x x x f x h 0)1(1)1(21)(222>++=+-='x x x x x x h )(x h ∴),0(+∞1>x 0)1()(=>h x h 1)(>x f 10<<x 0)1()(=<h x h 1)(<x f 1=x 0)1()(==h x h 1)(=x f(Ⅲ)(法一)根据(2)的结论,当时,,即. 令,则有,. ……………12分, . ……………14分(法二)当时,.,,即时命题成立.…………………10分 设当时,命题成立,即 .时,.根据(Ⅱ)的结论,当时,,即. 令,则有,则有,即时命题也成立.……………13分因此,由数学归纳法可知不等式成立.……………………14分(法三)如图,根据定积分的定义,1>x 112ln >++x x 11ln +->x x x k k x 1+=1211ln +>+k k k ∑∑==+>+∴n k nk k k k 111211ln ∑=+=+nk kk n 11ln)1ln( 1215131)1ln(++++>+∴n n 1n =ln(1)ln 2n +=3ln 2ln81=> 1ln 23∴>1n =n k =111ln(1)3521k k +>++++ 1n k ∴=+2ln(1)ln(2)ln(1)ln1k n k k k ++=+=+++1112ln 35211k k k +>++++++ 1>x 112ln >++x x 11ln +->x x x 21k x k +=+21ln123k k k +>++1111ln(2)352123k k k +>++++++ 1n k =+得.……11分,.……………………12分,又,,..………………14分x yo1 2 45 6…1121171151⨯+++⨯+⨯n ⎰+<ndx x 1121)12(1212112111++=+⎰⎰x d x dx x n n]3ln )12[ln(21)12ln(211-+=+=n x n∴121715131+++++n )12151(31++++=n ⎰++<n dx x 112131]3ln )12[ln(2131-++=n 11[ln(21)ln 3]ln(1)32n n ++--+= 223ln 31[ln(21)ln(21)]62n n n -++-++3ln 332<< )12ln()12ln(2++<+n n n )1ln(]3ln )12[ln(2131+<-++∴n n )1ln(1215131+<++++∴n n。