概率论09
概率论的知识点总结
概率论的知识点总结1.概率的基本概念概率是描述随机事件发生可能性的数学工具，其基本概念包括样本空间、事件和概率空间。
样本空间是随机试验的所有可能结果的集合，事件是样本空间的子集，概率空间包括样本空间和定义在样本空间上的概率测度。
2.概率分布概率分布描述了随机变量可能取值的概率情况。
概率分布分为离散分布和连续分布两种。
常见的离散分布包括伯努利分布、二项分布、泊松分布等；常见的连续分布包括均匀分布、正态分布、指数分布等。
概率密度函数和累积分布函数是描述连续分布的重要工具。
3.随机变量随机变量是一种具有随机性的变量，它可以取样本空间中的某些值。
随机变量分为离散随机变量和连续随机变量。
离散随机变量的概率分布由概率质量函数描述，连续随机变量的概率分布由概率密度函数描述。
4.数学期望和方差数学期望是随机变量的平均值，描述了随机变量的位置参数；方差是随机变量与其数学期望之间的离散程度，描述了随机变量的分散程度。
数学期望和方差是描述随机变量性质的重要指标，它们具有许多重要的性质，如线性性质、切比雪夫不等式等。
5.大数定律大数定律是描述随机变量序列平均值的收敛性质的定理。
大数定律包括弱大数定律和强大数定律两种。
弱大数定律描述了随机变量序列平均值收敛于数学期望的概率性质，强大数定律描述了随机变量序列平均值几乎必然收敛于数学期望的性质。
6.中心极限定理中心极限定理是概率论中一个重要的定理，描述了大量独立随机变量的和呈现出正态分布的性质。
中心极限定理包括林德伯格-莱维中心极限定理、李亥莱中心极限定理等。
中心极限定理在统计学和金融学中具有重要的应用价值，它解释了正态分布在自然界和人类活动中的普遍性。
以上是概率论的一些重要知识点，概率论作为一门基础数学学科，不仅具有重要的理论意义，而且在实际应用中有着广泛的应用价值。
随着数据科学和人工智能的快速发展，概率论的应用前景将更加广阔。
高一数学第九章概率知识点
高一数学第九章概率知识点概率在我们日常生活中无处不在，在每个人的决策过程中也扮演着重要角色。
高中数学的第九章——概率，是一门涉及不确定性的数学学科。
在本篇文章中，我们将探讨高一数学第九章中的一些重要知识点。
一、随机事件和样本空间首先，让我们了解什么是随机事件和样本空间。
随机事件是指在一定条件下可能发生的事件，而样本空间则是指随机事件可能的所有结果的集合。
例如，抛一枚硬币的结果只能是正面或反面，那么样本空间就包含了{正面，反面}。
二、概率的定义和性质概率是一个事件发生的可能性的度量。
在数学中，概率可以用分数、小数或百分数表示。
例如，一个事件发生的概率为1/2可以写作0.5或50%。
概率的性质包括以下几点：1. 概率的取值范围在0和1之间，即0 ≤ P(E) ≤ 1。
2. 样本空间的概率为1，即P(S) = 1。
3. 如果事件A和事件B互斥（即不可能同时发生），则它们的概率相加等于发生A或B的概率，即P(A∪B) = P(A) + P(B)。
三、频率和概率的关系频率是指在大量试验中，某一事件发生的次数与总试验次数的比值。
频率越接近概率，说明事件发生的可能性越高。
随着试验次数的增加，频率将趋于稳定，逼近概率值。
四、基本概率公式在概率计算中，基本概率公式是一个重要的工具，在计算一些复杂事件的概率时非常有用。
基本概率公式为 P(A∪B) = P(A) + P(B) -P(A∩B)。
其中，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率。
五、条件概率条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。
条件概率可以通过公式P(A|B) = P(A∩B) / P(B) 计算得出。
其中，P(A|B)表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
六、独立事件和互斥事件独立事件指的是两个事件相互之间的发生没有影响；而互斥事件是指两个事件不能同时发生。
在独立事件中，P(A∩B) = P(A) * P(B)，而在互斥事件中，P(A∪B) = P(A) + P(B)。
概率论知识点总结
概率论知识点总结概率论是数学中的一个重要分支，主要研究随机现象的规律性和概率分布。
在现实生活中，概率论广泛应用于统计学、金融、工程、生物学等领域。
下面将对概率论中的一些重要知识点进行总结。
一、基本概念1. 样本空间：随机试验所有可能结果的集合。
2. 随机事件：样本空间中的一个子集。
3. 概率：随机事件发生的可能性大小，用P(A)表示。
4. 事件的互斥与对立：互斥事件指两个事件不可能同时发生，对立事件指两个事件至少有一个发生。
二、概率的性质1. 非负性：概率值始终大于等于0。
2. 规范性：样本空间的概率为1。
3. 可数可加性：如果事件A和事件B互斥，则P(A∪B) = P(A) + P(B)。
4. 加法定理：P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)。
三、条件概率1. 定义：在事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
2. 计算公式：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。
3. 乘法公式：P(A∩B) = P(A|B) * P(B) = P(B|A) * P(A)。
四、独立事件1. 定义：事件A发生与否不受事件B发生与否的影响。
2. 判别条件：P(A∩B) = P(A) * P(B)。
五、全概率公式与贝叶斯定理1. 全概率公式：设事件B1、B2、...、Bn为样本空间的一个划分，即B1∪B2∪...∪Bn = S，且P(Bi) > 0，有P(A) = ∑P(A|Bi) * P(Bi)。
2. 贝叶斯定理：在全概率公式的基础上，可以得到P(Bi|A) = P(A|Bi) * P(Bi) / ∑P(A|Bi) * P(Bi)。
六、随机变量与概率分布1. 随机变量：将数学状态与随机事件的结果联系起来的变量。
2. 离散型随机变量与连续型随机变量。
3. 概率分布：描述随机变量各个取值的概率情况。
4. 均匀分布、正态分布、泊松分布等。
七、大数定律与中心极限定理1. 大数定律：随着试验次数的增加，样本均值趋于总体均值。
概率论知识点总结归纳
概率论知识点总结归纳概率论是一门研究随机现象数量规律的数学学科，它在许多领域都有着广泛的应用，如统计学、物理学、工程学、经济学等。
下面将对概率论中的一些重要知识点进行总结归纳。
一、随机事件与概率1、随机事件随机事件是指在一定条件下，可能出现也可能不出现的事件。
例如，掷骰子出现的点数就是一个随机事件。
2、样本空间样本空间是指随机试验的所有可能结果组成的集合。
3、事件的关系与运算包括包含、相等、和事件、积事件、差事件、互斥事件、对立事件等。
4、概率的定义概率是对随机事件发生可能性大小的度量。
概率的古典定义适用于等可能概型，几何概型则通过几何度量来计算概率。
5、概率的性质包括非负性、规范性和可加性。
二、条件概率与乘法公式1、条件概率在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率称为条件概率。
2、乘法公式用于计算两个事件同时发生的概率。
三、全概率公式与贝叶斯公式1、全概率公式如果事件组构成一个完备事件组，那么对于任意一个事件，可以通过全概率公式计算其概率。
2、贝叶斯公式在已知结果的情况下，反推导致这个结果的某个原因的概率。
四、随机变量及其分布1、随机变量用来表示随机现象结果的变量。
2、离散型随机变量取值可以一一列举的随机变量，常见的离散型随机变量分布有二项分布、泊松分布等。
3、连续型随机变量取值充满某个区间的随机变量，其概率通过概率密度函数来描述。
常见的连续型随机变量分布有正态分布、均匀分布等。
五、期望与方差1、期望反映随机变量取值的平均水平。
2、方差描述随机变量取值的离散程度。
六、协方差与相关系数1、协方差衡量两个随机变量之间的线性关系程度。
2、相关系数是标准化后的协方差，取值范围在－1 到 1 之间。
七、大数定律与中心极限定理1、大数定律说明在大量重复试验中，随机变量的平均值趋近于其期望值。
2、中心极限定理当样本量足够大时，独立同分布的随机变量之和近似服从正态分布。
在学习概率论的过程中，需要理解各个概念的含义，掌握相关的公式和定理，并通过大量的练习来加深对知识点的理解和应用。
概率统计09
1.有界性： 0≤F(x, y)≤1，且 F (, y) F ( x,) 0
2.单调性： x1 x2
y1 y2
F (,) 1
F ( x1 , y) F ( x2 , y) F ( x, y1 ) F ( x, y2 )
0 a
解
F (a) f ( x)dx f ( x)dx
a
0
f ( x)dx
x x
0
f ( x)dx f ( x)dx
0
a
1 a f ( x)dx 2 0
习题选讲
练习4.1(1) 设随机事件A、B相互独立，已知只有A发生 的概率和只有B发生的概率都等于 1/4，则P(A)= 1/2 ， P(B)= 1/2 。 解 由题设
1 1 4 i
j i 1,2,3,4
课间休息 继续上课
四、二维C.R.V.的联合分布
F ( x, y)
x
y
f (u, v)dudv
-<x , y<+
称f(x,y)为(X, Y)的联合密度函数。
1.
2 F ( x, y ) f ( x, y ) xy
pij 0 ;
p
i j
ij
1
例2（P72例3.1）设整数X等可能地在1，2，3，4中取值， 另一整数Y等可能地在1~X中取值，求(X，Y)的联合分布列。
1 1 解 P( X 1, Y 2) P( X 1) P(Y 2 / X 1) 1 0 0 4 4
1 1
1 4 1 P( A B) P( A ) P( B) P( B)[1 P( A)] 4
率论与数理统计09年6月重修答案
重庆大学概率论与数理统计（重修）试卷课程试卷A卷B卷2008 ~2009学年 第 二 学期 开课学院： 数理学院考试日期： 2009年6考试方式：开卷闭卷 其他 考试时间：120 分钟 题 号一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总 分 得 分一、 填空题（每空3分，共39分）1、已知A ，B 两个事件满足条件()()P AB P A B =，且()P A P =，则()P B =1-P2、．一袋中装有4个红球3个白球，现不放回从中摸两个球，令A 表示“第一次摸到白球”，B 表示“第二次摸到红球”。
则P(B|A)= ；P(B)= 。
解： P(B|A) = 3264=；7463746473)|()()|()()()()(=⋅+⋅=+=+=A B P A P A B P A P B A P AB P B P 3 设P(A) = , P(B) = .1) 如果A 与B 互斥，则)(B A P = ；)(B A P ⋃= 。
2) 如果A B ⊂，则)(B A P = ；)(B A P ⋃= 。
解：1）75.0)()()()()()()()(25.0)()(,==-+=-+=⋃==∴⊂⊂Φ=B P A P B P A P B A P B P A P B A P B P B A P BA AB AB2）如果A B ⊂，35.025.06.0)()()()()(=-=-=-=B P A P AB P A P B A P ；1)()()()()()()()()()(=+=+-+=-+=⋃B P B P AB P A P B P A P B A P B P A P B A P4 设25,36,0.4XY DX DY ρ=== 则(,)COV X Y = 12 ，(2)D X Y += 885设1,2,3,4X X X X 是来自正态总体(0,1)N 样本，则统计量212234()()X X Y X X +=+ F （1，1）6设()XP λ，其中λ未知，则未知参数λ的矩估计量λ=λ7设相互独立的两个随机变量,X Y 具有同一分布律，且X 的分布律为X 0 1P2121则随机变量min(,)Z X Y =的分布律为解：z 01P43418设随机变量X 与Y 相互独立，且P{X ≤1}=12，P{Y>1}=13，则 P{X ≤1， Y ≤1}=13二、 计算题（每小题7分，共35分）1、设设随机变量X 具有分布密度⎩⎨⎧≤≤-=其它,010 ),1(6)(x x x x ϕ 求：① EX ；② DX ； ③ })(5|{|X D EX X P <- 解：命题人：组题人：审题人：命题时间：学院 专业 年级 学号 姓名封线密1)1(6}10{}201521{}5{201)1()21(6)()(21)1(6)(1012212=-=<<=<-=<-=--=-==-==⎰⎰⎰⎰⎰∞∞-∞∞-dx x x X P X P DX EX X P dx x x x dx x EX x DX dx x x dx x x EX ϕϕ2、设二维随机变量（Ｘ，Ｙ）的密度函数为⎩⎨⎧<<<<-=其它 , 020,20 , )2(),(2y x y y Ax y x ϕ（１）求常数Ａ； （２）问Ｘ与Ｙ是否独立？ 解：（１）由密度函数的完备性可得Ady y y dx x A dxdy y y Ax dxdy y x 932)2()2(),(1220220202=-=-==⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞-+∞∞-+∞∞-ϕ所以 Ａ＝329。
09级概率论与数理统计习题册
4.设X i ,S 2表示来自总体 N （7,「2B (X 1_ X 2)_(»1 _ 巴)~ N(0,1)第六章样本及抽样分布•、选择题1.设X i ，X2^\\,X n 是来自总体X 的简单随机样本，则X 「X 2,川，X n 必然满足（） A.独立但分布不同；B.分布相同但不相互独立；C 独立同分布； D.不能确定2 •下列关于“统计量”的描述中，不正确的是（ ）.A •统计量为随机变量 B.统计量是样本的函数C.统计量表达式中不含有参数D •估计量是统计量 3下列关于统计学“四大分布”的判断中，错误的是(1A.若 F ~ F(q,n 2),则 ~F(n 2,njB •若 T ~t(n),贝UT 2~ F(1, n)22C .若 X ~ N(0,1),则X ~ x (1)n、(X —)2j二2D .在正态总体下 2~ x (n -1)）的容量为n ,的样本均值和样本方差 （i = 1,2），且两总体相互独立，则下列不正确的是（_ 2 2A.令~卩（口 -1小2 -1）C.X1 p ~t(nJS1 / . n1 D.2仇一1金〜x2(n2-1)■、二25.设X1,X2,I山X n是来自总体的样本1 n—，则H/Xi-X)2是()A.样本矩B.二阶C.二阶中心矩D.统计量6X1,X2,IH,X n是来自正态总体N（0,1）的样本,X,S2分别为样本均值与样本方差，则).XY =a(X 1 2X 2)9设X 1,X 2，HI,X n 是来自正态总体 N(0,22)的简单随机样本，若2 2 2b(X 3 X 4 X 5) c(X 6 X 7 X 8 X 9)服从 X 分布，a,b, c 的值分别为(A. X 〜N (0,1)B. nX 〜N (0,1)C.2 2、X i ~ x (n)7.给定一组样本观测值 X 1,X2^|,X 9 且得X i =45〕X 2= 285,则样本方差S 2i =1的观测值为( ).A. 7.5B.60C.2065D.8设X 服从t(n)分布, P{| X |「} =a ，则 P{X ：：： -，}为().A.B. 2aC. — ■ aD.A. 8‘12‘16 B . 20'12'16C. 10设随机变量X 和Y 相互独立，且都服从正态分布 丫1,丫2,…，丫9分别是来自两总体的简单随机样本 A. t(9) B. t(8) 3‘3‘3D.2‘3‘4 N(0,32)，设 X 1,X 2, ,X g 和 ，则统计量U 二 C. N(0,81) 服从分布是( D. N(0,9)).】、填空题1.在数理统计中, 称为样本.2 .我们通常所说的样本称为简单随机样本，它具有的两个特 占 八、、设随机变量X 1,X 2，…，X n 相互独立且服从相同的分布，EX -',DX 二X i ,则 EX 二 ;DX 二4.(X 1,X 2，…，X 10)是 来自总 体 X ~ N(0,0.32)的 个样本，1.446C) 注:X ~ N(0, ^)，n「102P抵X iJ 45.已知样本X i,X2,…，X i6取自正态分布总体N(2,1) , X为样本均值，已知P{X _讣=0.5 , 则，________________ .10.6设总体X~N(〜；「2) , X是样本均值，S n是样本方差，n为样本容量，则常用的随2机变量(n ~12)Sn服从________________ 分布.■.第六章样本及抽样分布答案一、选择题1.( C )2.( C) 注：统计量是指不含有任何未知参数的样本的函数3.( D)对于答案D,由于------- ~ N(0,1),i =1,2,IH，n，且相互独立，根据2分布的定义有CTn、(X i -叮4 2 ~x2( n)5.(D)X~t(n-1)才是正确的S n-12 兰1}=2P{X —12 兰1}—14.(C) 注:~ t(n 1-1)才是正确的=2P 谏-12 2 「5 乞1 2 “5 i；.；—1 =2：：」()T9~29由t 分布的定义有999解：' X i ~ N(0,92)= ' X i 9~ N 0,1Y 2y /y9' X i 9---------- 〜t 992 、Y 2 81i 吕填空题1. 与总体同分布，且相互独立的一组随机变量2. 代表性和独立性4. 0.15.26. 2(n-1)7.(A ) S 29 Zi 49 -1X i -X92 — 2X i-9 Xi 49一1285-9 25 =7.58. (A) 9. (B) 解: 由题意可知X iX 3 X 4 X 5~ N(0,12),2X 2 ~ N (0,20)， X 7 X 8 X 9 ~ N(0,16)，且相互独立，因此2 2 2(X 1 +2X 2 )十。
概率论第九章 (1)
推P5P.((对A广in11任到AAP意i2(n)A)个-事1P+事i(件nA1A件P1A2A(+1的A,3∪Ai))和-2PA,A(事13A)3i=,件2则jPAPn概(有3A()A+率1iP)A+公(jPA)式(1AA：22)A+P3)(A3 )-
1933年，前苏联数学家柯 尔莫哥洛夫给出了概率的公理 化定义.
即通过规定概率应具备的 基本性质来定义概率.
柯尔莫哥洛夫提出的公理为数很少且 极为简单， 但在此基础上建立起了概率论 的宏伟大厦.
下面介绍用公理给出的概率定义.
概率的公理化定义
设E是随机试验，S是它的样本空间，对
于S中的每一个事件A，赋予一个实数，记为
其中SA与 SΩ分别为A与Ω 的几何度量(即长度、面积或体 积等)。
A
r
(三)几何概率应用
设公共汽车每5分钟一班，求乘客 在车站等车不超过2分钟的概率
1.3概率的公理化定义
在学习几何和代数时，我们已经知道 公理是数学体系的基础. 数学上所说的 “公理”，就是一些不加证明而公认的前 提，然后以此为基础，推演出所讨论对象 的进一步的内容.
P( A | B) P( AB)
(1)
P(B)
为在事件B发生的条件下,事件A的条件概率.
B ABA
S
若事件B已发生, 则为使
A也发生 , 试验结果必须是既 在 B 中又在A中的样本点 , 即 此点必属于AB. 由于我们已经 知道B已发生, 故B变成了新的 样本空间 , 于是 有(1).
例1.4.1 设一批产品中一二三等品各 占60%、30%及10%。现从中任取 一件，结果不是三等品。试求取到 的是一等品的概率。
09概率论与数理统计作业题及参考答案(090510)
东北农业大学网络教育学院 概率论与数理统计作业题（一）一、填空题1．将A ，A ，C ，C ，E ，F ，G 这7个字母随机地排成一行，恰好排成GAECF AC 的概率为 。
2．用随机变量X 来描述掷一枚硬币的试验结果. 则X 的分布函数为 。
3．已知随机变量X 和Y 成一阶线性关系，则X 和Y 的相关系数=XY ρ 。
4．简单随机样本的两个特点为：5．设21,X X 为来自总体),(~2σμN X 的样本，若2120041X CX +为μ的一个无偏估计，则C = 。
二、选择题1．关系（ ）成立，则事件A 与B 为互逆事件。
（A ）Φ=AB ； （B ）Ω=B A Y ； （C ）Φ=AB Ω=B A Y ； （D ）A 与B 为互逆事件。
2．若函数)(x f y =是一随机变量X 的概率密度，则（ ）一定成立。
)(A )(x f y =的定义域为[0,1] )(B )(x f y =非负)(C )(x f y =的值域为[0,1] )(D )(x f y =在),(+∞-∞内连续3．设Y X ,分别表示甲乙两个人完成某项工作所需的时间,若EY EX <,DY DX >则 ( ) (A ) 甲的工作效率较高,但稳定性较差 (B ) 甲的工作效率较低,但稳定性较好 (C ) 甲的工作效率及稳定性都比乙好 (D ) 甲的工作效率及稳定性都不如乙4．样本4321,,,X X X X 取自正态分布总体X ，μ=EX 为已知，而2σ=DX 未知，则下列随机变量中不能作为统计量的是（ ）(.A ).∑==4141i i X X (B ).μ241++X X (C ).∑=-=4122)(1i i X X k σ (D ).∑=-=4122)(31i i X X S 5．设θ是总体X 的一个参数，θˆ是θ的一个估计量，且θθ=)ˆ(E ，则θˆ是θ的（ ）。
（A ）一致估计 （B ）有效估计 （C ）无偏估计 （D ）一致和无偏估计三、计算题1．两封信随机地投向标号1，2，3，4的四个空邮筒，问：（1）第二个邮筒中恰好投入一封信的概率是多少；（2）两封信都投入第二个邮筒的概率是多少？2．一批产品20个, 其中有5个次品, 从这批产品中随意抽取4个, 求（1）这4个中的次品数X 的分布列；（2）)1(<X p3．已知随机变量X 的分布密度函数为 ⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤<=其他,021,210,)(x x x x x f ，求DX EX ,.4．设随机变量X 与Y（1）求X 与Y 的边缘分布列 （2）X 与Y 是否独立？5．总体X 服从参数为λ的泊松分布)(λp ，λ未知，设n X X X ，，，Λ21为来自总体X 的一个样本： （1）写出)(21n X X X ，，，Λ的联合概率分布； （2）}{max 1i ni X ≤≤，21X X +，212XX n-，5，∑=ni iX 12)(λ－中哪些是统计量？6．某车间生产滚珠，从长期实践可以认为滚珠的直径服从正态分布，且直径的方差为04.02=σ，从某天生产的产品中随机抽取9个，测得直径平均值为15毫米，试对05.0=α，求出滚珠平均直径的区间估计)96.1,645.1(025.005.0==Z Z概率论与数理统计作业题（二）一、填空题1．将A ，A ，C ，C ，E ，F ，G 这7个字母随机地排成一行，恰好排成GAECF AC 的概率为 。
概率九年级知识点
概率九年级知识点概率是数学中一个重要的概念，也是生活中经常接触到的内容。
在九年级数学课程中，概率是一个重点内容，本文将介绍九年级学生需要了解的概率知识点。
一、随机事件与样本空间概率的基本单位是随机事件，而随机事件是对样本空间中的一部分进行关注。
样本空间是指一个随机试验的所有可能结果的集合。
例如，掷一枚硬币的样本空间为{正面，反面}，掷一颗骰子的样本空间为{1，2，3，4，5，6}。
二、事件的概率事件的概率是指这个事件发生的可能性大小，通常用P(A)表示，其中A表示事件。
对于有限样本空间的等可能事件，事件A发生的概率可以通过计算公式P(A) = 事件A的可能结果数 / 样本空间的可能结果数来得到。
三、互斥事件与对立事件在概率中，互斥事件是指两个事件不能同时发生的事件，即它们的交集为空集。
例如掷一颗骰子，事件A为出现奇数点数，事件B为出现偶数点数，A和B就是互斥事件。
对立事件是指两个事件只能发生一个的事件。
例如，抛一枚硬币，事件A为正面，事件B为反面，A和B就是对立事件。
四、事件的组合与分解事件的组合是指通过交、并、补等运算得到新的事件。
交集是指两个或多个事件同时发生的情况，用符号∩表示。
并集是指至少有一个事件发生的情况，用符号∪表示。
补集是指某事件不发生的情况，用符号表示。
事件的分解是指把一个事件分解为几个互斥事件的和。
例如，掷两枚硬币，事件A为出现两枚硬币都是正面，事件B为出现两枚硬币都是反面，那么整个事件可以分解为A和B的和。
五、条件概率条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。
条件概率用P(A|B)表示，其中A为已知事件，B为条件事件。
计算条件概率的公式为P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。
六、独立事件独立事件是指两个事件发生与否互不影响的事件。
若两个事件A和B是独立事件，则P(A∩B) = P(A) × P(B)。
七、正态分布与概率密度函数正态分布是概率论和统计学中一种重要的分布类型，也称为高斯分布。
概率论与数理统计(本科)09(§3)
＊３ 原则： 2 设 X ~ N ( , ) ，则
JINSW 本科 9
7
＊３ 原则
JINSW 本科 9
y
0.9974 0.9544 0.6826 f ( x) x
o
f ( x) 1 2 e
2 ( x )
证毕。
JINSW 本科 9
21
＊例３：对一圆片直径进行测量，其值在 [5,6] 均匀分布， 求圆片面积的概率分布密度。 解：设圆片直径的测量值为 X ，面积为 Y ，则
JINSW 本科 上 9
Y 0.25X ，由题意得 1 5 x 6 f X ( x) 0 other 2 对 Y 0.25X ，当 5 x 6 时， 2 min{0.25x } 6.25
JINSW 本科 9
9
＊一般： 对任意区间 I ，令 C {x | g ( x) I } ，则
JINSW 本科 9
{Y I } {g ( x) I } { X C} P{Y I } P{g ( x) I } P{ X C} 设 X 是一个随机变量， g ( x) 是它的函数， 已知 X 的分布，如何求 g ( x) 的分布。
JINSW 2 本科 9
P( B) P( Ai ) P( B | Ai ) 0.0642
i 1
3
5
A1 { 电压不超过２００伏 } ， X ~ N (220,25 ) A2 { 电压在２００～２４０伏 } ， A3 { 电压超过２４０伏 } ， B { 电子元件损坏 } 。 P( A1 ) 0.212 P( A2 ) 0.576 P ( A3 ) 0.212 P{B | A1} 0.1 P{B | A2 } 0.001 P{B | A3 } 0.2
概率论知识点总结
概率论知识点总结概率论是一门研究随机现象数量规律的数学分支，它在众多领域如统计学、物理学、工程学、经济学等都有着广泛的应用。
以下是对概率论主要知识点的总结。
一、随机事件与概率随机事件是指在一定条件下，可能出现也可能不出现的事件。
而概率则是衡量随机事件发生可能性大小的数值。
概率的定义有多种，常见的是古典概型和几何概型。
古典概型中，假设样本空间包含有限个等可能的基本事件，事件 A 所包含的基本事件数为 n(A)，样本空间的基本事件总数为n(Ω)，则事件 A 的概率 P(A) ＝ n(A) ／n(Ω)。
几何概型则适用于样本空间是无限的情况，比如在一个区间或平面区域内随机取点。
此时，事件 A 的概率与事件对应的区域长度、面积或体积等成比例。
二、条件概率与乘法公式条件概率是指在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
记事件 B 在事件 A 发生的条件下的概率为 P(B|A)，其计算公式为P(B|A) ＝ P(AB) ／ P(A) ，其中 P(AB) 表示事件 A 和事件 B 同时发生的概率。
乘法公式则是通过条件概率来计算两个事件同时发生的概率，即P(AB) ＝ P(A)P(B|A) 。
三、全概率公式与贝叶斯公式全概率公式用于计算某个复杂事件的概率。
假设有 n 个互不相容的事件 B₁, B₂,， Bₙ 构成样本空间的一个完备事件组，且 P(Bᵢ) ＞ 0 （i ＝ 1, 2,， n），事件 A 为样本空间中的任意一个事件，则 A 的概率可以表示为 P(A) ＝∑P(Bᵢ)P(A|Bᵢ) （i 从 1 到 n）。
贝叶斯公式则是在已知结果的情况下，反推导致该结果的各种原因的概率。
设 B₁, B₂,， Bₙ 是一组完备事件组，且 P(A) ＞ 0，P(Bᵢ) ＞0 （i ＝ 1, 2,， n），则在事件 A 发生的条件下，事件 Bᵢ发生的概率为P(Bᵢ|A) ＝ P(Bᵢ)P(A|Bᵢ) ／∑P(Bₙ)P(A|Bₙ) （k 从 1 到 n）。
概率论与数理统计试题英文09
2008~2009 第一学期（闭卷）Name Student I D Class Date: Jan 8, 2009 Time: 8:30 am to 11:00 amQuestion 1 (21 points) Filling the blanks(1). Let A , B be two events, P (A ) = 0.4，P (B ) = 0.3，P (B A ) = 0.6，then P (B A ) = .(2). Suppose a random variable X has the probability distribution with20120.30.10.20.4-⎛⎫ ⎪⎝⎭, then 2(1)P X ≥= . (3).Suppose),(Y X has the joint density function⎩⎨⎧<+>>=elsewherey x y x y x f ,01,0,0,2),(, then the marginal distribution for X alone )(x g = .(4). Suppose ),(~2σμN X ，consider a quadratic equation with one unknown220y y X ++= about y , if the probability of this equation having no real root is21, then μ= .(5). The number of distinct permutations can be made from the letters of the wordaccess = .(6). Let n X X X ,,21 be a random sample of size n taken from population )(βE ,∑==ni i X n X 11 , then =)(2X E .(7). Let n X X X ,,21 be a random sample of size n taken from population2(,)N μσ,μand 2σare unknown ,if 22[(),()]X k X k αα- is a confidenceinterval for μ with confidence level α-1, then k = .(1). Suppose )1,0(~N X , )1,1(~N Y , if X and Y are independent, then ( )(A)2/1)0(=≤+Y X P (B) 2/1)1(=≤+Y X P (C) 2/1)0(=≤-Y X P(D) 2/1)1(=≤-Y X P(2). Suppose X ~ N ( 3, 4 )，Y ~ E ( 5 ) , find the error result ( )(A) ()8E X Y += (B) ()29D X Y +=(C) ()2263E X Y += (D) 50252X Y E ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭(3). Suppose that random variables X and Y are independent, if they have the sameprobability distribution with ⎪⎪⎭⎫⎝⎛3/23/121, then ==)(Y X P ( ) (A) 2/3(B) 1(C) 1/2(D) 5/9(4). Suppose ),(~211σμN X , and ),(~222σμN Y , if 12(1)(1)P X P Y μμ-<>-<,then ( )(A) σ1<σ2 (B) σ1>σ2 (C) μ1<μ2 (D) μ1>μ2(5). Let n X X X ,,21 be a random sample of size n taken from populationQuestion 2 (18 points) Choosing the only one right result2(,)N μσ,∑=--=n i i X X n S 1221)(11，∑=-=ni i X X n S 1222)(1，∑=--=n i i X n S 1223)(11μ，∑=-=ni i X n S 1224)(1μ, then the following random variables which one is thet -distribution with n -1 degrees of freedom. ( ) (A)11--n S X μ (B)12--n S X μ(C) n S X 3μ- (D) n S X 4μ- (6). Suppose )(~λP X , 52+=X Y , then XY ρ= ( )(A) 1 (B) -1 (C) 1/2 (D) 0 Suppose a random variable X has the density function ⎩⎨⎧<<=elsewhere x x x f ,010,2)(.Observe X independently for three times, let Y denote the number of an event }{21≤X occurring in three times, determine: (1) the probability distribution of Y ; (2) the probability distribution of 2Y .Question 3: (12 points)Suppose ),(Y X has the joint density function as follows:⎩⎨⎧≤≤≤≤+=elsewhere y x y x c y x f 010,10)(),(2 .(1)Find the constant c ; (2) Are X and Y independent?(3) Determine the conditional distribution of X for any given value of Y . (4)11()22P X Y <=Question 4 (14 points)Suppose that a box contains one fair coin and one coin with a head on each side. Suppose also that one coin is selected at random and tossed, a head is obtained. Determine:(1) the probability of this event occurring ;(2) the probability that this coin is the fair coin when the above event occurred.Question 5 (10 points)There are 4 girls and 8 boys take part in interview of some company. Suppose that the interviewer select one student randomly every time, determine the probability that there are just 2 boys waiting for interviewing when all the girls have interviewed.Question 6 (5 points)Question 7 (12 points)Suppose a random variable X has the density function ⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤<-+=elsewhere x x x x x f 010,101,1)( ,let0,01,0X Y X <⎧=⎨≥⎩, 12120,1,X Z X <⎧=⎨≥⎩determine:(1) the joint probability distribution of (Y , Z ) ; (2) D(Y +Z ).Suppose a population has the density function ⎩⎨⎧<≥=--θθθx x e x f x ,0,3)()(3 , where θ isunknown parameter. Let n X X X ,,21 be a random sample of size n taken from population, find the maximum likelihood estimator for θ.Question 8 (8 points)。
概率论第9讲
由此可以形象地把全概率公式看成为 由原因推结果” “由原因推结果”，每个原因对结果的发 生有一定的“作用” 生有一定的“作用”，即结果发生的可能 性与各种原因的“作用”大小有关. 性与各种原因的“ 作用” 大小有关 全概 率公式表达了它们之间的关系 . A3 A1 B A4 A2 A7 A5 A6 A8 诸Ai是原因 B是结果 是结果
i i=1 n
P(B) = ∑P( Ai )P(B｜Ai )
i=1
n
称满足上述条件的A 完备事件组. 称满足上述条件的 1,A2,…,An为完备事件组
P(B) = ∑P( Ai )P(B｜Ai )
i=1
n
全概率公式的来由, 不难由上式看出: 全概率公式的来由 不难由上式看出 “全”部概率P(B)被分解成了许多部分之和 全 部概率 被分解成了许多部分之和. 被分解成了许多部分之和 它的理论和实用意义在于: 它的理论和实用意义在于 在较复杂情况下直接计算P(B)不易 但B总是 不易,但 总是 在较复杂情况下直接计算 不易 伴随着某个A 出现，适当地去构造这一组A 伴随着某个 i出现，适当地去构造这一组 i 往往可以简化计算. 往往可以简化计算
贝叶斯公式在实际中有很多应用， 贝叶斯公式在实际中有很多应用，它 可以帮助人们确定某结果（ 可以帮助人们确定某结果（事件 B）发生 ） 的最可能原因. 的最可能原因
某一地区患有癌症的人占0.005，患者 例 3 某一地区患有癌症的人占 ， 对一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常 对一种试验反应是阳性的概率为 ， 人对这种试验反应是阳性的概率为0.04，现 人对这种试验反应是阳性的概率为 ， 抽查了一个人，试验反应是阳性， 抽查了一个人，试验反应是阳性，问此人是 癌症患者的概率有多大? 癌症患者的概率有多大 抽查的人患有癌症}， 抽查的人患有癌症 求解如下: 求解如下 设 C={抽查的人患有癌症 ， A={试验结果是阳性 ， 试验结果是阳性}， 试验结果是阳性 表示“抽查的人不患癌症” 则 C 表示“抽查的人不患癌症”. 已知 P(C)=0.005,P( C)=0.995, P(A|C)=0.95, P(A| C)=0.04 求P(C|A).
第九章 概率论初步
9.3 概率的基本公式
例 某市发行日报和晚报两种报纸，该市住户中订日报的占 50%，订晚报 的占 60%，既订日报又订晚报的占 30%，求该市中下列住户所占的百分比．
（1）至少订一种报纸；（2）至多订一份报纸；（3）两种报纸都不订．
解：对于该市住户，设事件 A {订日报} ，事件 B {订晚报} ，则事件 AB { 既 订 日 报 又 订 晚 报 } ． 根 据 条 件 ， 有 P(A) 0.5 ， P(B) 0.6 ， P(AB) 0.3 ．
9.2 随机事件的概率
9.2.2 古典概型
现在介绍一类可以直接计算随机事件概率的简单随机试验，
此类试验具有如下两个特征：
（1）有限性：试验的样本空间由有限个样本点组成，可表示
为
{1,2,L ,n} ； （2）等可能性：每次试验中各个样本点出现的可能性相同，
有
P(1) P(2 ) L
P(n )
10 28
5 14
．
（2）设事件 B { 取到 1 个白球 1 个黑球} ，则事件 B 发生相当于在 5 个
白球中任取 1 球，在 3 个黑球中任取 1 球，共有 C51C31 种取法，故事件 B 所含 样本点个数为 C51C31 15 ，因此
P(B)
C51C31 C82
15 28
．
9.3 概率的基本公式
2.事件的和与积、事件的互斥
9.1 随机事件
定义 4 事件 A 与事件 B 中至少有一个发生所构 成的事件称为事件 A 与事件 B 的和（或并），记作 AUB．
9.1 随机事件
事件 A 与事件 B 同时发生所构成的事件称为事件 A 与事件 B 的积（或交）， 记作 AB （或 AI B ）．
数学建模第九章概率模型M09-2010详解
x)
p(r
)dr
dJ du
c 1
c 2
xu
0
p(r)dr
c 3 xu
p(r)dr
xu S
0
p(r)dr
1
(c1
c2 )
S 0
p(r)dr
(c3
c1
)
S
p(r
)dr
dJ 0 du
S
0
p(r)dr
S
p
(r
)d
r
c 3
c2
c 1
c1
P1 P2
4）每人在生产完一件产品时都能且只能触到一只 挂钩，若这只挂钩是空的，则可将产品挂上运走； 若该钩非空，则这件产品被放下，退出运送系统.
模型建立
• 定义传送带效率为一周期内运走的产品数（记作s, 待定）与生产总数 n（已知）之比，记作 D=s /n
为确定s，从工人考虑还是从挂钩考虑，哪个方便？
• 若求出一周期内每只挂钩非空的概率p，则 s=mp
(z)
dJ 0 dz
(z) ( z)(z) 0
(z) (z)
(
z)
z
(
y
)dy
(y)
1
y2
e2
2
z (z)/(z)
F(z) z F(z) (z) /(z)
求解 F(z) z F(z) (z) (z)简表
存在一个合 适的购进量
每天需求量是随机的
每天收入是随机的
优化问题的目标函数应是长期的日平均收入 等于每天收入的期望
概率论知识点总结
概率论知识点总结概率论是数学的一个重要分支，它研究的是随机现象的规律性和统计规律性。
在现实生活中，概率论被广泛应用于各个领域，如金融、医学、工程等。
本文将对概率论中的一些重要知识点进行总结，希望能够帮助读者更好地理解和应用概率论。
首先，我们来介绍一下概率的基本概念。
概率是描述随机事件发生可能性的一种数学工具。
在概率论中，通常用P(A)来表示事件A发生的概率。
概率的取值范围是0到1之间，其中0表示不可能事件，1表示必然事件。
对于两个事件A和B，它们的联合概率可以用P(A∩B)来表示，而它们的条件概率可以用P(A|B)来表示。
其次，我们来介绍一下概率的计算方法。
在概率论中，有两种常见的计算方法，分别是古典概率和统计概率。
古典概率是指在随机试验中，每个基本事件发生的可能性相等的情况下，事件A发生的概率可以用P(A) = n(A)/n(S)来计算，其中n(A)表示事件A包含的基本事件的个数，n(S)表示样本空间中基本事件的总数。
而统计概率是指通过大量实验数据来估计事件发生的概率，它可以用频率来表示，即P(A) = n(A)/n，其中n(A)表示事件A发生的次数，n表示总的实验次数。
接下来，我们来介绍一下概率的加法规则和乘法规则。
概率的加法规则是指对于两个不相容事件A和B，它们的联合概率可以用P(A∪B) = P(A) + P(B)来计算。
而概率的乘法规则是指对于两个独立事件A和B，它们的联合概率可以用P(A∩B) = P(A) * P(B)来计算。
在实际应用中，加法规则和乘法规则可以帮助我们更好地计算复杂事件的概率。
最后，我们来介绍一下概率的期望和方差。
概率的期望是描述随机变量平均取值的指标，它可以用E(X)来表示，其中X表示随机变量。
概率的方差是描述随机变量取值的离散程度，它可以用Var(X)来表示。
期望和方差是概率论中重要的统计量，它们可以帮助我们更好地理解随机变量的性质和分布。
综上所述，概率论是一门非常重要的数学学科，它在现实生活中有着广泛的应用。
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班 级： 姓 名： 学 号：
第 2 页
A ．
⎰
∞
--
x
t dt e
2
221π
Ｂ.
⎰
∞
+∞
--
dt e
t 2
221π
C.
⎰
-
x
t dt e
2
221π
Ｄ
.
5．设 2~(,)X N μσ，其中μ已知、方差2σ未知，321,,X X X 为来自总体X 的样本，则下列表达式中不是．．
统计量的是（ ） A ．321X X X ++ Ｂ. ),,max(321X X X C. 2
3
2
1
i i X σ
=∑ Ｄ. 1X μ+
二、填空题（本大题共5小题， 每小题3分，总计15分）
1．袋中装有编号为1，2，3，4，5，6，7的7张卡片，今从袋中任取3张卡片，则所取出的3张卡片中有“6”无“4”的概率为______
2．设离散型随机变量X 的分布律为)5,4,3,2,1(,5
}{===k ak
k X P ，则a =__________.
3．已知随机变量X
的概率密度是2
()x f x -=
，则()E X = ______
4．设二维随机向量(,)X Y 在圆域222X Y a +≤服从均匀分布， 则它的概率密度为____ _ _。
5．设总体4
(,)5
X N μ，12345,,,,X X X X X 是来自总体X 的样本，
样本均值为5
1
15i i X X ==∑ ，则X
____________ (填分布)
三、计算题（本大题总计62分）
1．假设有两箱同种零件，第一箱内装50件，其中10件一等品；第二箱内装30件，
其中18件一等品。
现从两箱中随意挑出一箱，然后从该箱中先后随机取两个零件（取出的零件均不放回），试求： （1）第一次取出的零件是一等品的概率；
（2）在第一次取出的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍然是一等品
的概率。
（10分）
第 3 页
2．某种电子元件的寿命X 是一个随机变量，其概率密度为2
1010()010
x f x x x ⎧≥⎪
=⎨⎪<⎩ 。
某
系统含有三个这样的电子元件（其工作相互独立），求：
（1）在使用150小时内，三个元件都不失效的概率； （2）在使用150小时内，三个元件都失效的概率。
（10分）
3．设二维随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧≤≤=其它01
),(22y x y Cx y x f
求：（1）确定常数C ；（2）求边缘概率密度。
（12分）
第4页
4．设随机变量X和Y相互独立，且()
D Y=4
E X=()
E Y=1，()
D X=2，()
求：2)
E+（10分）
X
(Y
5．某工厂生产一种零件，其口径X（单位：毫米）服从正态分布2
Nμσ，现从
(,)某日生产的零件中随机抽出9个，分别测得其口径如下：
14.6，14.7，15.1，14.9，14.8，15.0，15.1，15.2，14.7
（1）计算样本均值；
（2）已知零件口径X的标准差σ=0.15，求μ的置信度为0.95的置信区间。
（10分）
第 5 页
6．某化工厂为了提高某种化学药品的得率，提出了两种工艺方案，为了研究哪一
种方案好，分别对两种工艺各进行了10次试验，计算得：
22
65.96, 3.351,69.43, 2.246X S X S ====甲甲乙乙
假设得率均服从正态分布，问方案乙是否能比方案甲显著提高得率（显著性水平0.01α=）即检验假设0:;0:121120<-≥-μμμμH H （10分）
四．证明题（本大题共1小题，总计8分）
设连续型随机变量X 的概率密度函数是偶函数，且+∞<)(2X E 试证：X 与X 不相关。