2015年元月旋转变换专题

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几何变换了解平移旋转翻转等几何变换

几何变换了解平移旋转翻转等几何变换几何变换是几何学中常用的一个概念，它指的是在平面内或者空间内对图形进行改变位置、形状或者方向的操作。

常见的几何变换包括平移、旋转、翻转等。

本文将详细探讨这些几何变换的定义、性质和应用。

一、平移变换平移变换是最基本的几何变换之一，它是指沿着一定的向量方向将图形移动一段固定的距离。

平移变换不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置。

在平面坐标系中，平移变换可以用向量表示。

设平面上的点A(x,y)，对于平移变换(x0,y0)，点A'的坐标为A'(x+x0,y+y0)。

平移变换有以下性质：1. 平移变换是刚体变换，能保持图形的大小、形状、角度和面积不变。

2. 平移变换满足平移连结定理，即平移变换与向量相加满足平行四边形法则。

平移变换在几何学和计算机图形学中有广泛的应用。

在几何学中，平移变换可用于解决图形的移动和位置判断问题。

在计算机图形学中，平移变换常用于图像处理、动画制作等方面。

二、旋转变换旋转变换是指将图形绕某个点或者某条线旋转一定角度。

旋转变换可以使图形保持大小和形状不变，但改变了图形的方向。

在平面坐标系中，绕原点逆时针旋转θ度可以用以下公式表示：x' = x*cosθ -y*sinθ，y' = x*sinθ + y*cosθ。

旋转变换具有以下性质：1. 旋转变换是刚体变换，能保持图形的大小、形状、平行关系和面积不变。

2. 旋转变换满足复合律，即多次旋转变换可以用一个旋转变换来表示。

旋转变换在几何学和计算机图形学中有广泛的应用。

在几何学中，旋转变换可用于解决图形的旋转、方向判断等问题。

在计算机图形学中，旋转变换常用于图像处理、三维建模等方面。

三、翻转变换翻转变换是指将图形沿着一条直线翻转，使得图形与原来位置关于这条直线对称。

翻转变换不改变图形的形状和大小，只改变了图形的方向。

在平面坐标系中，绕x轴翻转可以用以下公式表示：x' = x, y' = -y。

如何进行平移旋转翻转等几何变换

如何进行平移旋转翻转等几何变换如何进行平移、旋转、翻转等几何变换几何变换是几何学中重要的概念，广泛应用于计算机图形学、游戏开发、计算机辅助设计和工程制图等领域。

通过几何变换，我们可以改变图形的位置、方向和形状，从而达到我们想要的效果。

本文将介绍如何进行平移、旋转和翻转等几何变换，并提供示例说明。

一、平移变换平移变换是指在平面内将图形沿着某个方向移动一定的距离。

平移变换不改变图形的大小和形状，只改变其位置。

对于平面上的一个点(x, y)，平移变换的公式为：新的坐标点 = (x + dx, y + dy)其中，dx和dy分别代表在x轴和y轴上的平移距离。

例如，如果要将一个点(2, 3)沿x轴正方向平移3个单位，沿y轴正方向平移2个单位，则变换后的新坐标为(5, 5)。

平移变换也可以用矩阵进行表示。

平移变换矩阵如下所示：[1 0 dx][0 1 dy][0 0 1]二、旋转变换旋转变换是指将图形绕某个点旋转一定的角度。

通过旋转变换，我们可以改变图形的方向和位置。

对于平面上的一个点(x, y)，绕原点旋转θ度后的新坐标计算公式为：新的坐标点= (x * cosθ - y * sinθ, x * sinθ + y * cosθ)其中，θ为旋转角度。

例如，如果要将点(1, 1)绕原点逆时针旋转45度，则变换后的新坐标为(0, √2)。

旋转变换也可以用矩阵进行表示。

旋转变换矩阵如下所示：[cosθ -sinθ 0][sinθ cosθ 0][0 0 1]三、翻转变换翻转变换是指将图形关于某个轴或某个点进行对称翻转。

翻转变换有水平翻转和垂直翻转两种情况。

1. 水平翻转：对于平面上的一个点(x, y)，关于x轴进行水平翻转后的新坐标计算公式为：新的坐标点 = (x, -y)例如，将点(2, 3)关于x轴进行水平翻转，则变换后的新坐标为(2, -3)。

2. 垂直翻转：对于平面上的一个点(x, y)，关于y轴进行垂直翻转后的新坐标计算公式为：新的坐标点 = (-x, y)例如，将点(2, 3)关于y轴进行垂直翻转，则变换后的新坐标为(-2, 3)。

旋转平移翻折的几何变换与性质

旋转平移翻折的几何变换与性质旋转、平移和翻折是几何中常见的基本变换方式，它们在空间和平面几何中发挥着重要的作用。

本文将介绍旋转平移翻折的几何变换及其性质，推导其数学表达式，并通过具体的实例来说明其应用。

一、旋转变换旋转是指将平面或空间中的图形按照一定角度绕着旋转中心进行旋转的操作。

对于平面上的点(x, y)，其绕原点逆时针旋转θ度后的新坐标可以由以下公式计算得出：x' = x*cosθ - y*sinθy' = x*sinθ + y*cosθ其中，x'和y'分别表示旋转后点的坐标，θ为旋转角度。

二、平移变换平移是指将平面或空间中的图形沿着指定的方向和距离进行移动的操作。

平移变换可以用一个向量来表示。

对于平面上的点(x, y)，其平移(dx, dy)后的新坐标可以由以下公式计算得出：x' = x + dxy' = y + dy其中，(dx, dy)为平移向量，x'和y'分别表示平移后点的坐标。

三、翻折变换翻折是指将平面或空间中的图形沿着指定的轴进行对称的操作。

对于平面上的点(x, y)，其关于直线y=k翻折后的新坐标可以由以下公式计算得出：x' = xy' = 2k - y其中，(x', y')为翻折后点的坐标，k为翻折轴的位置。

以上是旋转、平移和翻折的几何变换的数学表达式。

下面将通过实例说明它们在几何问题中的应用。

实例一：旋转变换假设有一张平面上的三角形ABC，顶点分别为A(1, 2)，B(3, 4)和C(5, 6)。

现在需要将该三角形绕原点顺时针旋转60度，求旋转后各顶点的坐标。

根据旋转变换的公式，旋转角度θ=60°，原点为旋转中心，可以计算得出旋转后的各顶点坐标为：A'(1*cos60° - 2*sin60°, 1*sin60° + 2*cos60°) = (0.5, 2.598)B'(3*cos60° - 4*sin60°, 3*sin60° + 4*cos60°) = (-1.133, 4.330)C'(5*cos60° - 6*sin60°, 5*sin60° + 6*cos60°) = (1.333, 7.464)实例二：平移变换假设有一条直线L，其方程为y = 2x - 1。

几何变换平移旋转翻转

几何变换平移旋转翻转几何变换：平移、旋转、翻转几何变换是几何学中常用的一种操作，能够改变图形的位置、形状或方向。

其中，平移、旋转和翻转是最基本的几何变换方法。

本文将就这三种几何变换进行详细讨论，探讨它们的定义、特点以及在实际问题中的应用。

第一部分：平移平移是指将一个图形在平面上沿着直线方向保持形状和大小不变地移动一段距离。

平移变换的性质如下：1. 平移变换是保形变换，即平移后的图形与原图形相似。

2. 平移变换不改变图形的方向。

3. 平移变换的向量表示为 t(x,y)，其中 t 表示平移向量，(x,y) 表示原图形上的一个点，t(x,y) 表示平移后的对应点。

平移变换的应用十分广泛，常见于计算机图形学、建筑设计和机械工程等领域。

在计算机图形学中，平移操作常用于图像处理和图形动画制作，在建筑设计中，平移操作用于确定建筑物的位置和布局，在机械工程中，平移操作用于确定机器零件的位置和运动轨迹。

第二部分：旋转旋转是指将一个图形绕着一个固定点进行转动，使图形在平面上发生方向和角度的改变。

旋转变换的性质如下：1. 旋转变换是保形变换，即旋转后的图形与原图形相似。

2. 旋转变换改变了图形的方向和角度。

3. 旋转变换的中心点称为旋转中心，旋转角度表示图形绕旋转中心逆时针旋转的角度。

旋转变换在许多领域被广泛应用。

在航空航天领域，飞机和卫星的轨道计算需要使用旋转变换，在地图制作中，经纬度的转换也离不开旋转变换，在计算机图形学中，旋转操作是实现3D图像旋转和3D模型建模的重要手段。

第三部分：翻转翻转是指将一个图形沿着某条轴线进行对称，使得图形在平面上发生左右或上下的镜像变化。

翻转变换的性质如下：1. 翻转变换是保形变换，即翻转后的图形与原图形相似。

2. 翻转变换改变了图形的方向，使得左右或上下位置互换。

翻转变换在日常生活中也十分常见，如镜子中的人脸照片即为左右翻转的图像。

在计算机视觉和图像处理领域，翻转操作常用于图像增强、图像识别和人脸匹配等应用中。

九年级数学下册《旋转变换》优秀教学案例

（四）总结归纳
1.教师带领学生回顾本节课所学内容，总结旋转变换的定义、性质、表示方法和应用。
-强调旋转变换在实际问题中的应用，提高学生的几何解题能力。
2.对学生在课堂上的表现给予积极评价，鼓励他们在今后的学习中继续努力。
（五）作业小结
1.布置课后作业，巩固旋转变换的知识。
-基础题：运用旋转变换解决简单几何问题。
-学生能够将旋转变换应用于解决平面几何问题，如求旋转后图形的面积、周长等。
-学生掌握旋转变换在坐标平面中的应用，能够解决旋转相关的坐标问题。
3.掌握旋转变换与其他几何变换（如平移、轴对称）的综合运用，培养几何变换的综合运用能力。
（二）过程与方法
1.通过观察、实践、探究旋转变换的性质，培养学生的空间想象能力和几何直观。
3.培养学生运用数学思维解决问题的能力，提高数学素养。
-教学过程中，教师引导学生运用数学语言描述旋转变换，培养数学表达和逻辑思维能力。
-学生通过解决旋转变换的实际问题，体会数学在实际生活中的应用，提高数学素养。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣和热情，激发他们的学习积极性。
-教师通过生动的教学情境，让学生感受旋转变换在生活中的应用，激发学习兴趣。
-提高题：结合其他几何变换，解决综合几何问题。
2.鼓励学生利用课余时间观察生活中的旋转变换现象，将数学知识融入日常生活。
五、案例亮点
1.生活情境导入，激发学习兴趣
本案例以生活中的旋转变换现象为切入点，通过多媒体展示和实际操作，让学生直观感受到旋转变换在实际生活中的广泛应用。这种导入方式既激发了学生的学习兴趣，又使他们能够将抽象的数学知识与社会生活紧密联系在一起，增强了学习动机。
四、教学内容与过程

2015年中考数学复习第一轮：全等变换(一)——平移与旋转

第29课时全等变换（一）——平移与旋转【课时目标】1．通过具体实例认识平移，经历探索平移的基本性质，体会全等变换，能利用平移的性质解题．2．能按要求作出平移后的图形．3．了解旋转的定义，通过具体实例认识平面图形关于旋转中心的旋转：探索并理解它的基本性质，并能利用旋转的性质解题．4．认识、欣赏平移、旋转在现实生活中的应用，并能进行图案设计．【知识梳理】1．在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为_______，它的两个要素：_______、________．2．平移的特征：(1)不改变图形的_______和________．(2)经过平移，对应点所连的线段互相_______或_______．对应线段平行（或在同一条直线上）且相等，对应角_______．3．在平面内，把一个图形绕某一点按一定方向旋转一定角度的图形运动，叫做_______．它的三个要素：_______、_______、_______．4．旋转的特征：(1)经过旋转，图形中每一个点都绕着旋转中心旋转了相同的_______．(2)任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是_______，且它们都________．(3)对应线段、对应角都_______，对应点到旋转中心的距离_______．(4)图形的________、________都不发生变化．5．平移和旋转都是图形之间的主要变换，变换前后的两个图形是_______．【考点例析】考点一平移的概念例1下列各网格中的图形是用其图形中的一部分平移得到的是( )提示本题考查了图形在网格中的平移，抓住平移的概念是关键，在平移现象中概括出它的含义：①平移是指图形的一种运动方式——平行移动；②平移是图形按照一定的方向从一个位置平行移动一定的距离后到达另一个新位置．考点二平移性质的应用例2如图，有a 、b 、c 三户家用电路接入电表，相邻电路的电线等距排列，则这三户所用电线 ( )A ．a 户最长B ．b 户最长C ．c 户最长D ．三户一样长提示把其中一户电路的水平线段（或铅垂线段）平移，可使该户电路的水平线段（或铅垂线段）与另一户电路的水平线段（或铅垂线段）重合或构成矩形的对边，于是可以说明三户所用电线长度的关系．考点三旋转性质的应用例3如图，在△ABC 中，∠C ＝30°，将△ABC 绕点A 顺时针旋转60°得△ADE ，AE 与BC 交于点F ，则∠AFB ＝________．提示利用旋转角的定义，先求出∠CAF ＝60°，再利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和，就可以求出∠AFB 的度数．例4如图，OA ⊥OB ，等腰Rt △CDE 的腰CD 在OB 上，∠ECD ＝45°．将△CDE 绕点C 逆时针旋转75°，点E 的对应点N 恰好落在OA 上，则OC CD的值为( ) A ．12B ．13C ．22D ．33提示在△OCN 与△CDE 中，由旋转知识可得NC ＝CE ，这样借助已知角度与旋转角度，并结合勾股定理，分别获得边OC、CD与边NC、CE的数量关系，从而容易得出OC CD的值．考点四平移、旋转的综合应用例5如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别是（－1，3），（－4，1），先将线段AB沿一确定方向平移得到线段A1B1，点A的对应点为A1，点B1的坐标为(0，2)，再将线段A1B1绕原点O顺时针旋转90°得到线段A2B2，点A1的对应点为A2．(1)画出A1B1、A2B2；(2)直接写出在这两次变换过程中，点A经过A1到达A2的路径长．提示根据题目中的平移和旋转分别找出对应点，作出A1B1、A2B2，再确定从A到A1的路径即为线段AA1，求出线段AA1的长，确定从A1到A2的路径为以O为圆心，OA1的长为半径的弧，求出弧长即可．【反馈练习】1．将如图所示的图案通过平移后可以得到的图案是( )2．如图，直角三角尺ABC的斜边AB＝12 cm，∠A＝30°．将三角尺ABC绕点C顺时针旋转90°至A'B'C'的位置后，再沿CB方向向左平移，使点B'落在原三角尺ABC的斜边AB上，则三角尺A'B'C'平移的距离为( )A．6 cm B．4 cmC．(6－23)cm D．(43－6)cm3．如图，P是等腰Rt△ABC外一点，把BP绕点B顺时针旋转90°到BP'．已知∠AP'B＝135°，P'A：P'C＝1：3，则PA：PB等于( )A．1：2B．1：2 C．3：2 D．1：34．如图，△A'B'C'是由△ABC沿射线AC方向平移2 cm得到，若AC＝3 cm，则A'C＝_______cm．5．(来宾)如图，在Rt△OAB中，∠AOB＝30°，将△OAB绕点O逆时针旋转100°得到△OA1B1，则∠A1OB＝_______．6．(湘潭)如图，△ABC是边长为3的等边三角形，将△ABC沿直线BC向右平移，使点B 与点C重合，得到△DCE，连接BD，交AC于F．(1)猜想AC与BD的位置关系，并证明你的结论；(2)求线段BD的长．7．在如图所示的方格图中，我们称每个小正方形的顶点为“格点”，以格点为顶点的三角形叫做“格点三角形”．根据图形，回答下面的问题．(1)图中格点△A'B'C'是由格点△ABC通过怎样的变换得到的？(2)如果以直线a、b为坐标轴建立平面直角坐标系后，点A的坐标为（－3，4），请写出格点△DEF各顶点的坐标，并求出△DEF的面积．。

专题25：旋转变换(含中心对称)

2015年江苏省各地中考数学模拟优质试题分项版解析汇编专题25：旋转变换（含中心对称）一、选择题1.【昆山市二模】下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A、等腰梯形B、平行四边形C、正方形D、正五边形2.【泰兴市二模】如图是一个由7个同样的立方体叠成的几何体，则这一几何体的三视图中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A、主视图和俯视图B、俯视图C、俯视图和左视图D、主视图4.【盐城市滨海县一模】下列图形中，不是中心对称图形的是（）5.【南京市鼓楼区一模】下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）6.【徐州市二模】如图，AB 为半圆的直径，且AB =4，半圆绕点B 顺时针旋转45°，点A 旋转到A ′的位置，则图中阴影部分的面积为（）A 、πB 、2πC 、2D 、4π7.【仪征市一模】如图，将△ABC 绕点C （0，﹣1）旋转180°得到△A ′B ′C ，设点A ′的坐标为（a ，b ），则点A 的坐标为（）A ．（﹣a ，﹣b ）B ．（﹣a ，﹣b ﹣1）C ．（﹣a ，﹣b +1）D ．（﹣a ，﹣b ﹣2）8.【江阴市要塞片二模】如图，平面直角坐标系中，OB 在x 轴上，∠ABO =90°，点A 的坐标为（1，2），将△AOB 绕点A 逆时针旋转90°，点O 的对应点C 恰好落在双曲线y =k x（x ＞0）上，则k 的值为（）A 、2B 、3C 、4D 、69.【泰州市姜堰区一模】下列电视台的台标，是中心对称图形的是（）10.【铜山县】下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）11.【苏州市吴江区一模】在平面直角坐标系中，将直线x=0绕原点顺时针旋转45°，再向上平移1个单位后得到直线a，则直线a对应的函数表达式为（）A．y=x B．y=x－1 C．y=x+1 D．y=－x+1二、填空题1.【高邮市二模】如图，已知正方形ABCD的顶点A、B在⊙O上，顶点C、D在⊙O内，将正方形ABCD绕点逆时针旋转，使点D落在⊙O上．若正方形ABCD的边长和⊙O的半径均为6cm，则点D运动的路径长为cm．2.【南京市建邺区二模】直角坐标系中点A坐标为（5，3），B坐标为（1，0），将点A绕点B逆时针旋转90°得到点C，则点C的坐标为．3.【苏州市一模】在Rt△ABC中，斜边AB=4，∠B=60°，将△ABC绕点B旋转60°，顶点C 运动的路线长是（结果保留π）．4.【徐州市一模】在等腰三角形、平行四边形、矩形、正方形、正五边形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的图形有个．5.【南京市浦口区一模】如图，将边长为6的正方形ABCD绕点C顺时针旋转30°得到正方形A′B′CD′，则点A的旋转路径长为．（结果保留π）三、解答题1.【泰兴市二模】如图线段AB的端点在边长为1的正方形网格的格点上，现将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到线段A C．（1）请你用尺规在所给的网格中画出线段AC及点B经过的路径；（2）若将此网格放在一平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（1，3），点B的坐标为（－2，－1），则点C的坐标为；（3）线段AB在旋转到线段AC的过程中，线段AB扫过的区域的面积为；（4）若有一张与（3）中所说的区域形状相同的纸片，将它围成一个几何体的侧面，则该几何体底面圆的半径长为2.【南京市鼓楼区二模】如图，线段AB绕点O顺时针旋转一定的角度得到线段A1B1．（1）请用直尺和圆规作出旋转中心O（不写作法，保留作图痕迹）；（2）连接O A、OA1、O B、OB1，根据旋转的性质用符号语言写出2条不同类型的正确结论；（3）针对第（2）问中的图形，添加一定的条件，可以求出线段AB扫过的面积．（不再添加字母和辅助线，线段的长用A、B、c…表示，角的度数用α、β、γ…表示）．你添加的条件是，线段AB扫过的面积是．3.【扬州市宝应县一模】已知：如图所示，△ABC为任意三角形，若将△ABC绕点C顺时针旋转180°得到△DE C．（1）试猜想AE与BD有何关系？并且直接写出答案．（2）若△ABC的面积为4cm2，求四边形ABDE的面积；（3）请给△ABC添加条件，使旋转得到的四边形ABDE为矩形，并说明理由．4.【南京市鼓楼区一模】【问题提出】如图1，四边形ABCD中，AD=CD，∠ABC=120°，∠ADC=60°，AB=2，BC=1，求四边形ABCD的面积．【尝试解决】旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时，往往可以通过旋转解决问题．（1）如图2，连接BD，由于AD=CD，所以可将△DCB绕点D顺时针方向旋转60°，得到△DAB′，则△BDB′的形状是．（2）在（1）的基础上，求四边形ABCD的面积．[类比应用]如图3，四边形ABCD中，AD=CD，∠ABC=75°，∠ADC=60°，AB=2，BC求四边形ABCD的面积．5.【徐州市一模】如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ODEF的对角线OE在y轴上，将矩形ODEF横坐标原点O按逆时针方向旋转60°后，得到矩形OCAB，点E的对应点为点A，点F的对应点为x轴上点B，已知抛物线y=ax2+bx+2经过点A、D、E三点．（1）请直接写出点A和点D的坐标，点A（，）和点D（，）；（2）求该抛物线的函数表达式；（3）若点P是x轴的上方抛物线上一动点，那么在x轴的上方是否存在另一点Q，使得以点O、B、P、Q为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC面积的2倍？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．6.【常州市武进区一模】如图，每个网格都是边长为1个单位的小正方形，△ABC的每个顶点都在网格的格点上，且∠C=90°，AC=3，BC=4．（1）试在图中作出△ABC以点A为旋转中心，按顺时针方向旋转90°后得到的图形△AB1C1；（2）试在图中建立直角坐标系，使x轴∥AC，且点B的坐标为（﹣3，5）；（3）在（1）与（2）的基础上，若点P、Q是x轴上两点（点P在点Q左侧），PQ长为2个单位，则当点P的坐标为时，AP+PQ+QB1最小，最小值是个单位．7.【宿迁市泗阳县一模】如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别在边B C、CD上，且BE=DF，点P是AF的中点，点Q是直线AC与EF的交点，连接PQ、P D．（1）求证：AC垂直平分EF；（2）试判断△PDQ的形状，并加以证明；（3）如图2，若将△CEF绕着点C旋转180°，其余条件不变，则（2）中的结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．8.【江阴市要塞片二模】用如图①，②所示的两个直角三角形（部分边长及角的度数在图中已标出），完成以下两个探究问题：探究一：将以上两个三角形如图③拼接（BC和ED重合），在BC边上有一动点P．（1）当点P运动到∠CFB的角平分线上时，连接AP，求线段AP的长；（2）当点P在运动的过程中出现PA=FC时，求∠PAB的度数．探究二：如图④，将△DEF的顶点D放在△ABC的BC边上的中点处，并以点D为旋转中心旋转△DEF，使△DEF的两直角边与△ABC的两直角边分别交于M、N两点，连接MN．在旋转△DEF的过程中，△AMN的周长是否存在有最小值？若存在，求出它的最小值；若不存在，请说明理由．9.【盐城市大丰市一模】将△ABC绕点A按逆时针方向旋转θ度，并使各边长变为原来的n 倍，得△AB′C′，即如图①，我们将这种变换记为[θ，n]．（1）如图①，对△ABC作变换[60°得△AB′C′，则S△AB′C′：S△ABC= ；直线BC与直线B′C′所夹的锐角为度；（2）如图②，△ABC中，∠BAC=30°，∠ACB=90°，对△ABC作变换[θ，n]得△AB′C′，使点B、C、C′在同一直线上，且四边形ABB'C'为矩形，求θ和n的值；（3）如图③，△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BC=1，对△ABC作变换[θ，n]得△AB′C′，使点B、C、B′在同一直线上，且四边形ABB′C′为平行四边形，求θ和n的值．10.【铜山县】】如图，在方格纸上建立平面直角坐标系，每个小正方形的边长为1．（1）画出△AOB关于x轴对称的△A1OB1．（2）画出将△AOB绕点O顺时针旋转90°的△A2OB2，并判断△A1OB1和△A2OB2在位置上有何关系？若成中心对称，请直接写出对称中心坐标；如成轴对称，请直接写出对称轴的函数关系式．（3）若将△AOB绕点O旋转360°，试求出线段AB扫过的面积．11.【铜山县】在矩形ABCD中，点P在AD上，AB=2，AP=1．将直角尺的顶点放在P处，直角尺的两边分别交AB，BC于点E，F，连接EF（如图①）．（1）当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合（如图②），求PC的长；（2）探究：将直尺从图②中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E和点A重合时停止．在这个过程中，请你观察、猜想，并解答：①tan∠PEF的值是否发生变化？请说明理由；②直接写出从开始到停止，线段EF的中点经过的路线长．。

2015年元调复习专题旋转

旋转一、旋转1、定义2、性质二、中心对称1、定义2、性质3、判定：如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。

4、中心对称图形基础练习一选择题1.下列图形中,不是旋转图形的是( )2.观察下列图案,其中旋转角最大的是( )3.如图,将正方形图案绕中心O旋转180°后,得到的图案是() Array4、可以看作是一个等腰直角三角形旋转若干次而生成的则每次旋转的度数可以是（）A．900 B．600C．450 D．3005.下列命题中的真命题是( )(A)全等的两个图形是中心对称图形. (B)关于中心对称的两个图形全等.(C)中心对称图形都是轴对称图形. (D)轴对称图形都是中心对称图形.6、下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（） A 、平行四边形 B 、等边三角形 C 、正方形 D 、直角三角形7、4张扑克牌如图（1）所示放在桌子上，小敏把其中一张旋转180°后得到如图（2）所示，那么她所旋转的牌从左起是（） A ．第一张、第二张 B ．第二张、第三张 C ．第三张、第四张 D ．第四张、第一张8、如图3，在正方形ABCD 中，E 为DC 边上的点，连结BE ，将△BCE 绕点C 顺时针方向旋转900得到△DCF ，连结EF ，若∠BEC=600，则∠EFD 的度数为（） A 、100 B 、150 C 、200 D 、250二、填空题1、如图11-1所示，P 是等边△ABC 内一点，△BMC 是由△BPA 旋转所得，则∠PBM ＝_____________．2、如图5，△ABC 绕点B 逆时针方向旋转到△EBD 的位置，若∠A=150，∠C=100，E ，B ，C 在同一直线上，则∠ABC=________，旋转角度是__________。

3.如图，四边形EFGH 是由四边形ABCD 经过旋转得到的．如果用有序数对（2，1）表示方格纸上A 点的位置，用（1，2）表示B 点的位置，那么四边形ABCD 旋转得到四边形EFGH 时的旋转中心用有序数对表示是4.如图，AB 为半圆的直径，且AB=4，半圆绕点B 顺时针旋转45°，点A 旋转到A ′的位置，则图中阴影部分的面积为5. 如图，一块等边三角形木板ABC 的边长为1，现将木板沿水平线翻转（绕一个点旋转），那么A 点从开始到结束所走的路径长度为．BACED图5图3BAFDEC74DAFCBE 6. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，若将△ABC 绕点C 顺时针旋转180°得到△FEC ．则 AE 与BF 的关系是____________；若△ABC 的面积为3cm 2，则四边形ABFE 的面积是 ___________；当∠ACB 为______________度时，四边形ABFE 为矩形。

旋转、平移和镜像变换

旋转、平移和镜像变换旋转、平移和镜像变换是几种常见的图形变换方法，在计算机图形学、几何学以及艺术设计等领域都有广泛应用。

通过这些变换，我们可以改变图形的位置、形状和方向，从而达到我们想要的效果。

1. 旋转变换旋转变换是将一个图形按照某个点为中心点进行旋转，使得图形围绕这个中心点旋转一定角度。

旋转变换可以分为顺时针旋转和逆时针旋转两种。

旋转变换的公式为：x' = x*cosθ - y*sinθy' = x*sinθ + y*cosθ其中，(x, y)表示原始的点的坐标，(x', y')表示旋转后的点的坐标，θ表示旋转的角度。

2. 平移变换平移变换是将一个图形沿着平移向量的方向进行移动，使得图形整体平移一定距离。

平移变换是保持图形形状和方向不变的基本变换之一。

平移变换的公式为：x' = x + dxy' = y + dy其中，(x, y)表示原始的点的坐标，(x', y')表示平移后的点的坐标，(dx, dy)表示平移向量。

3. 镜像变换镜像变换是将一个图形按照某个镜像轴进行对称，使得图形在镜像轴两侧呈镜像关系。

镜像变换可以分为水平镜像和垂直镜像两种。

水平镜像变换的公式为：x' = xy' = y垂直镜像变换的公式为：x' = -xy' = y其中，(x, y)表示原始的点的坐标，(x', y')表示镜像后的点的坐标。

通过组合使用旋转、平移和镜像变换，我们可以实现更加复杂的变换效果。

例如，可以先将一个图形进行平移，然后再进行旋转和镜像变换，从而得到一个整体上更加生动和有趣的图形。

总结：旋转、平移和镜像变换是图形变换中常用的几种方法。

它们可以灵活地改变图形的位置、形状和方向，为计算机图形学、几何学和艺术设计等领域提供了丰富的工具和技术。

熟练掌握这些变换方法，对于创作和处理图形具有重要意义。

坐标系旋转变换公式

坐标系旋转变换公式在几何学和计算机图形学中，坐标系的旋转变换是一种常见的操作，用于将一个坐标系中的点或者物体旋转到另一个坐标系中。

通过合适的数学公式，我们可以实现坐标系的旋转变换，从而得到旋转后的坐标值。

1. 二维坐标系的旋转变换对于二维坐标系，我们通常使用以下旋转变换公式来实现坐标系的旋转：假设原始坐标系中的一个点的坐标为(x,y)，经过旋转角度为$\\theta$后，该点的新坐标为(x′,y′)。

那么，新坐标可以通过以下公式计算得到：$x' = x * \\cos(\\theta) - y * \\sin(\\theta)$$y' = x * \\sin(\\theta) + y * \\cos(\\theta)$其中，$\\theta$为旋转角度，单位为弧度。

通过这两个公式，我们可以将原始坐标系中的点绕原点进行旋转。

2. 三维坐标系的旋转变换对于三维坐标系，旋转变换会更加复杂一些。

我们通常使用旋转矩阵来实现三维坐标系的旋转。

假设原始坐标系中的一个点的坐标为(x,y,z)，经过绕x轴、y轴和z轴分别旋转角度$\\alpha$、$\\beta$和$\\gamma$后，该点的新坐标为(x′,y′,z′)。

那么，新坐标可以通过以下矩阵乘法计算得到：\[ \begin{bmatrix} x’ \\ y’ \\ z’ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos\gamma \cos\beta & -\sin\gamma \cos\alpha + \cos\gamma \sin\beta \sin\alpha &\sin\gamma \sin\alpha + \cos\gamma \sin\beta \cos\alpha \\ \sin\gamma\cos\beta & \cos\gamma \cos\alpha + \sin\gamma \sin\beta \sin\alpha & -\cos\gamma \sin\alpha + \sin\gamma \sin\beta \cos\alpha \\ -\sin\beta &\cos\beta \sin\alpha & \cos\beta \cos\alpha \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} \]以上矩阵表示了绕z轴、y轴、x轴旋转的变换矩阵，在乘法的过程中，我们可以得到旋转后的新坐标。

2015年中考数学压轴题预测及答案详解-图形的旋转变换

2015年中考数学压轴题预测及答案详解图形的旋转变换3-A.在ABC △中，BA=BC BAC ∠=α，，M 是AC 的中点，P 是线段BM 上的动点，将线段PA 绕点P 顺时针旋转2α得到线段PQ 。

（1）若α=60︒且点P 与点M 重合（如图1），线段CQ 的延长线交射线BM 于点D ，请补全图形，并写出∠CDB 的度数；（2）在图2中，点P 不与点B ，M 重合，线段CQ 的延长线与射线BM 交于点D ，猜想∠CDB 的大小（用含α的代数式表示），并加以证明；（3）对于适当大小的α，当点P 在线段BM 上运动到某一位置（不与点B ，M 重合）时，能使得线段CQ 的延长线与射线BM 交于点D ，且PQ=QD ，请直接写出α的范围。

3-A.【答案】解：（1）补全图形如下：∠CDB=30°。

（2）作线段CQ的延长线交射线BM于点D，连接PC，AD，∵AB=BC，M是AC的中点，∴BM⊥AC。

∴AD=CD，AP=PC，PD=PD。

在△APD与△CPD中，∵AD=CD， PD=PD， PA=PC∴△APD≌△CPD（SSS）。

∴AP=PC，∠ADB=∠CDB，∠PAD=∠PCD。

又∵PQ=PA，∴PQ=PC，∠ADC=2∠CDB，∠PQC=∠PCD=∠PAD。

∴∠PAD+∠PQD=∠PQC+∠PQD=180°。

∴∠APQ+∠ADC=360°－（∠PAD+∠PQD）=180°。

∴∠ADC=180°－∠APQ=180°－2α，即2∠CDB=180°－2α。

∴∠CDB=90°－α。

（3）45°＜α＜60°。

【考点】旋转的性质，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，。

【分析】（1）利用图形旋转的性质以及等边三角形的判定得出△CMQ是等边三角形，即可得出答案：∵BA=BC，∠BAC=60°，M是AC的中点，∴BM⊥AC，AM=AC。

旋转变换的复合与逆变换

旋转变换的复合与逆变换旋转变换是二维空间中常用的一种几何变换方式，它可以将一个图形绕着某个固定点旋转一定的角度。

在计算机图形学、机器人学和计算机视觉等领域，旋转变换被广泛应用。

在本文中，我们将探讨旋转变换的复合与逆变换。

一、旋转变换的基本原理旋转变换是通过两个主要参数来描述的，一个是旋转中心，即固定点的坐标；另一个是旋转角度，可以是弧度或角度。

以二维平面上的点P(x,y)为例，经过旋转变换之后，该点的新坐标可以表示为P'(x',y')。

二、旋转变换的复合旋转变换的复合是指将多个旋转变换按照一定次序进行连续应用，从而实现更复杂的效果。

假设存在三个旋转变换R1、R2和R3，通过复合这三个变换，可以得到一个新的变换R'。

具体来说，若对一个点进行旋转变换R1之后再进行旋转变换R2，然后再进行旋转变换R3，那么这个过程就可以用复合变换R' = R3(R2(R1(P)))来表示。

三、旋转变换的逆变换逆变换是指将一个旋转变换的效果完全抵消的变换过程。

对于旋转变换来说，可以通过将旋转角度取负值来实现逆变换。

假设旋转变换R将点P(x,y)变换为P'(x',y')，那么逆变换R-1将点P'变换为点P，具体计算公式为：x = x' * cosθ - y' * sinθy = x' * sinθ + y' * cosθ四、旋转变换的应用旋转变换在计算机图形学中具有广泛的应用。

它可以用于二维图像的旋转、三维物体的旋转和相机的视角调整等场景。

通过合理地应用旋转变换，我们可以实现图像处理、动画效果和虚拟现实等多种应用。

五、示例分析为了更好地理解旋转变换的复合与逆变换，我们以一个具体的示例进行分析。

假设我们有一个矩形ABCDEF，其中各顶点的坐标分别为A(0,0)，B(3,0)，C(3,2)，D(0,2)。

现在我们对该矩形进行如下的旋转变换：1. 将矩形绕着点A逆时针旋转45度；2. 将旋转后的矩形绕着点B逆时针旋转30度。

探索几何变换的组合平移旋转与翻转的组合变换

探索几何变换的组合平移旋转与翻转的组合变换几何变换是数学中重要的概念之一，它包括了平移、旋转和翻转等操作。

而组合变换则是在几何变换中将多个操作结合起来使用，以完成更复杂的图形变化。

本文将探索几何变换的组合中平移、旋转和翻转的应用，并阐述其相关概念和方法。

一、平移变换平移变换是将图形在平面上移动到另一个位置的过程。

在平移变换中，图形的大小、形状和方向都保持不变，只是位置发生了改变。

平移变换常用的表示方法为向量表示法和坐标表示法。

在向量表示法中，平移变换可以用一个平移向量表示。

平移向量指明了图形移动的方向和距离。

例如，一个向量(t1, t2)表示了图形在x轴上向右平移t1个单位，在y轴上向上平移t2个单位。

在坐标表示法中，平移变换可以通过坐标变换公式表示。

假设(x, y)为图形上的点，在平移变换后，该点的新坐标为(x + t1, y + t2)。

其中，t1和t2为平移向量的两个分量。

二、旋转变换旋转变换是围绕一个点旋转图形的过程。

在旋转变换中，图形保持大小和形状不变，只是方向发生了改变。

旋转变换常用的表示方法为角度表示法和矩阵表示法。

在角度表示法中，旋转变换可以用一个角度表示。

该角度指定了旋转的方向和角度大小。

例如，一个角度θ表示了图形逆时针旋转θ度。

在矩阵表示法中，旋转变换可以通过矩阵变换公式表示。

假设(x, y)为图形上的点，在旋转变换后，该点的新坐标为(x′, y′)。

其中，x′ = x * cosθ - y * sinθ，y′ = x * sinθ + y * cosθ。

这个公式在二维平面上实现了围绕原点逆时针旋转θ度。

三、翻转变换翻转变换是将图形关于某个轴线对称的过程。

在翻转变换中，图形的形状和大小保持不变，只是方向发生了改变。

翻转变换常用的表示方法为轴线表示法和矩阵表示法。

在轴线表示法中，翻转变换可以用一个轴线表示。

该轴线指定了翻转的方向和位置。

例如，一个水平轴线表示图形在水平方向上进行翻转。

几何变换中的旋转与平移

几何变换中的旋转与平移几何变换是数学中一个重要的概念，它描述了图形在平面或者空间中的变换过程。

在几何变换中，旋转和平移是两个常见且重要的操作。

本文将重点讨论旋转和平移在几何变换中的应用和原理。

一、旋转的概念和应用旋转是指将一个图形绕着某个点或者某条轴进行转动的操作。

在几何变换中，旋转可以用来改变图形的方向和位置。

旋转操作可以分为顺时针旋转和逆时针旋转两种。

旋转操作可以通过旋转矩阵来表示。

对于二维平面上的点P(x, y)，以原点O为中心，逆时针旋转θ角度后的新点P'(x', y')的坐标可以通过以下公式计算得到：x' = x * cosθ - y * sinθy' = x * sinθ + y * cosθ旋转操作在现实生活中有广泛的应用。

比如，在计算机图形学中，旋转可以用来实现图像的旋转、三维模型的旋转和动画效果的实现。

此外，在工程设计中，旋转操作也可以用来进行物体的定位和调整。

二、平移的概念和应用平移是指将一个图形沿着某个方向进行移动的操作。

在几何变换中，平移可以用来改变图形的位置，但不会改变图形的形状和方向。

平移操作可以通过平移矩阵来表示。

对于二维平面上的点P(x, y)，在x轴方向上平移a个单位，在y轴方向上平移b个单位后的新点P'(x', y')的坐标可以通过以下公式计算得到：x' = x + ay' = y + b平移操作在现实生活中也有广泛的应用。

比如，在地图上，我们可以通过平移操作来改变地图的位置，以便查看不同的地理区域。

此外，在机器人技术中，平移操作可以用来实现机器人的移动和定位。

三、旋转与平移的组合应用旋转和平移操作在实际应用中经常需要组合使用。

通过旋转和平移的组合，我们可以实现更加复杂的几何变换。

在二维平面上，旋转和平移的组合可以通过矩阵乘法来实现。

假设有一个二维点P(x, y)，首先进行旋转操作，然后再进行平移操作，可以通过以下公式计算得到新点P'(x', y')的坐标：x' = x * cosθ - y * sinθ + ay' = x * sinθ + y * cosθ + b在三维空间中，旋转和平移的组合可以通过齐次坐标来表示。

2015年全国中考数学试卷分类汇编-专题题29平移旋转与对称39

平移旋转与对称一.选择题1,（2015•山东莱芜,第3题3分）在下列四个图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )A．B．C．D．【答案】B因此：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；B、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．故选B．考点：轴对称图形和中心对称图形2, (2015山东青岛，第3题,3分)下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）．【答案】B【解析】试题分析：在一个平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形与另一个图形重合，这样的图形叫做中心对称图形.根据定义可以判定B既是轴对称图形，也是中心对称图形.考点：轴对称图形与中心对称图形.3, （2015•淄博第3题,4分）将图1围成图2的正方体，则图1中的红心“”标志所在的正方形是正方体中的（）A．面CDHE B．面BCEF C．面ABFG D．面ADHG考点：展开图折叠成几何体．.分析：由平面图形的折叠及正方体的展开图解题．注意找准红心“”标志所在的相邻面．解答：解：由图1中的红心“”标志，可知它与等边三角形相邻，折叠成正方体是正方体中的面CDHE．故选A ．点评：本题考查了正方体的展开图形，解题关键是从相邻面入手进行分析及解答问题．【答案】【解析】点P 坐标为【备考指导】此题主要考查了关于原点对称点的坐标性质，这一类题目是需要识记的基础题，要熟悉关于原点对称点的横纵坐标变化规律．4．（2015·湖北省孝感市，第6题3分）在平面直角坐标系中，把点)3 5(，-P 向右平移8个单位得到点1P ，再将点1P 绕原点旋转 ︒90得到点2P ，则点2P 的坐标是A ．)33(-，B ．)3 3(，- C ．)33()3 3(--，或，D ．)33(-，或)3 3(，-考点：坐标与图形变化－旋转；坐标与图形变化－平移．.专题：分类讨论．分析：首先利用平移的性质得出点P 1的坐标，再利用旋转的性质得出符合题意的答案．解答：解：∵把点P （﹣5，3）向右平移8个单位得到点P 1，∴点P 1的坐标为：（3，3），如图所示：将点P1绕原点逆时针旋转90°得到点P2，则其坐标为：（﹣3，3），将点P1绕原点顺时针旋转90°得到点P3，则其坐标为：（3，﹣3），故符合题意的点的坐标为：（3，﹣3）或（﹣3，3）．故选：D．点评：此题主要考查了坐标与图形的变化，正确利用图形分类讨论得出是解题关键．5．(2015•湖南株洲,第4题3分)下列几何图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )A．等腰三角形B．正三角形C．平行四边形D．正方形【试题分析】本题考点为：轴对称图形与中心对称图形的理解答案为：D1．(2015•江苏无锡,第6题2分)下列图形，是轴对称图形但不是心对称图形的是（）A．等边三角形B．平行四边形C．矩形D．圆考点：心对称图形；轴对称图形．分析：根据轴对称图形和心对称图形的概念以及等边三角形、平行四边形、矩形、圆的性质解答．解答：解：A、只是轴对称图形，不是心对称图形，符合题意；B．只是心对称图形，不合题意；C．D既是轴对称图形又是心对称图形，不合题意．故选A．点评：掌握好心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合，心对称图形是要寻找对称心，旋转180度后重合．6.（2015•福建泉州第5题3分）如图，△ABC沿着由点B到点E的方向，平移到△DEF，已知BC=5．EC=3，那么平移的距离为（）A． 2 B． 3 C． 5 D． 7解：根据平移的性质，易得平移的距离=BE=5﹣3=2，故选A．7．（2015•广东佛山,第2题3分）在下列四个图案中，不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．考点：中心对称图形．分析：根据中心对称图形的概念求解．解答：解：根据中心对称图形的概念可得：图形B不是中心对称图形．故选B．点评：本题考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．8．（2015•广东梅州,第9题4分）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕为EF，若AB=4，BC=2，那么线段EF的长为（）A．2B．C．D．9. （2015•浙江嘉兴，第2题4分）下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中属于中心对称图形的有（▲）（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个考点：中心对称图形．.分析：根据中心对称的概念对各图形分析判断即可得解．解答：解：第一个图形是中心对称图形，第二个图形不是中心对称图形，第三个图形是中心对称图形，第四个图形不是中心对称图形，所以，中心对称图有2个．故选：B．点评：本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．11.（2015•绵阳第2题，3分）下列图案中，轴对称图形是（）A ．B ．C ．D ．考点：轴对称图形．.分析：根据轴对称图形的概念对各图形分析判断后即可求解．解答：解：A 、不是轴对称图形，故此选项错误； B 、不是轴对称图形，故此选项错误； C 、不是轴对称图形，故此选项错误； D 、是轴对称图形，故此选项正确；故选；D ．点评：本题考查了轴对称图形，图形两部分沿对称轴折叠后可重合，轴对称图形的关键是寻找对称轴．12. （2015•四川泸州,第11题3分）如图，在△ABC 中，AB =AC ，BC =24，tanC =2，如果将△ABC 沿直线l 翻折后，点B 落在边AC 的中点E 处，直线l 与边BC 交于点D ，那么BD 的长为A .13B .152C .272 D .12第11题图lDC A BE考点：翻折变换（折叠问题）．.专题：计算题．分析：利用三线合一得到G 为BC 的中点，求出GC 的长，过点A 作AG ⊥BC 于点G ，在直角三角形AGC 中，利用锐角三角函数定义求出AG 的长，再由E 为AC 中点，求出EC 的长，进而求出FC 的长，利用勾股定理求出EF 的长，在直角三角形DEF 中，利用勾股定理求出x 的值，即可确定出BD 的长．解答：解：过点A作AG⊥BC于点G，∵AB=AC，BC=24，tanC=2，∴=2，GC=BG=12，∴AG=24，∵将△ABC沿直线l翻折后，点B落在边AC的中点处，过E点作EF⊥BC于点F，∴EF=AG=12，∴=2，∴FC=6，设BD=x，则DE=x，∴DF=24﹣x﹣6=18﹣x，∴x2=（18﹣x）2+122，解得：x=13，则BD=13．故选A．点评：此题主要考查了翻折变换的性质以及勾股定理和锐角三角函数关系，根据已知表示出DE的长是解题关键．13．(2015·深圳，第4题分)下列图形既是中心对称又是轴对称图形的是（）【答案】D【解析】A、B、C都只是轴对称图形，只有D既是中心对称又是轴对称图形。

2015年中考数学试题分类汇编专题5 图形的变换问题

专题5：图形的变换问题1. （2015年广东梅州3分）下图所示几何体的左视图为【】A. B. C. D.【答案】A.【考点】简单组合体的三视图．【分析】细心观察图中几何体中正方体摆放的位置，根据左视图是从左面看到的图形判定，从物体左面看，共三层，三层各有1个正方形．故选A.2. （2015年广东佛山3分）下图所示的几何体是由若干个大小相同的小立方块搭成，则这个几何体的左视．．图．是【】A. B. C. D.【答案】D.【考点】简单组合体的三视图.【分析】找到从左面看所得到的图形即可：从左面看易得有两层，上层左边有1个正方形，下层有2个正方形. 故选D.3. （2015年广东广州3分）将图所示的图案以圆心为中心，旋转180°后得到的图案是【】A. B. C. D.【答案】D.【考点】旋转的性质.【分析】根据旋转的性质，将图所示的图案以圆心为中心，旋转180°后得到的图案与原图形中心对称，它是.故选D.4. （2015年广东广州3分）如图是一个几何体的三视图，则这几何体的展开图可以是【】A. B. C. D.【答案】A.【考点】由三视图判断几何体；几何体的展开图.【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，由于俯视图为圆形可得为球、圆柱、圆锥．主视图和左视图为矩形可得此几何体为圆柱.圆柱的展开图是一个矩形两个圆形.故选A.5. （2015年广东深圳3分）下列主视图正确的是【】A. B. C. D.【答案】A.【考点】简单组合体的三视图.【分析】找到从正面看所得到的图形即可：从正面看易得有两层，上层中间有1个正方形，下层有3个正方形. 故选A.6. （2015年广东深圳3分）如图，已知正方形ABCD的边长为12，BE=EC，将正方形边CD沿DE折叠到DF，延长EF 交AB 于G ，连接DG ，现在有如下4个结论：①ADG FDG ∆∆≌；②2GB AG =；③GDE BEF ∆∆∽；④725BEF S ∆=.在以上4个结论中，正确的有【】A. 1B. 2C.3D. 4 【答案】C.【考点】折叠问题；正方形的性质；全等、相似三角形的判定和性质；勾股定理.【分析】由折叠和正方形的性质可知，0,90DF DC DA DFC C ==∠=∠= ，∴090DFG A ∠=∠=.又∵DG DG =，∴()ADG FDG HL ∆∆≌. 故结论①正确.∵正方形ABCD 的边长为12，BE =EC ，∴6BE EC EF ===. 设AG FG x ==，则6,12EG x BG x =+=- ，在Rt BEG ∆中，由勾股定理，得222EG BE BG =+，即()()222662x x +=+-，解得，4x =.∴4,8AG GF BG === .∴2GB AG =. 故结论②正确. ∵6BE EF ==，∴BEF ∆是等腰三角形.易知GDE ∆不是等腰三角形，∴GDE ∆和BEF ∆不相似. 故结论③错误. ∵11682422BEG S BE BG ∆=⋅⋅=⋅⋅=， ∴67224105BEFBEG EF S S EG ∆∆=⋅=⋅=.故结论④正确. 综上所述，4个结论中，正确的有①②④三个. 故选C.7. （2015年广东3分）如图，某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框ABCD 变形为以A 为圆心，AB 为半径的扇形 (忽略铁丝的粗细)，则所得的扇形DAB 的面积为【】A.6B.7C. 8D. 9 【答案】D.【考点】正方形的性质；扇形的计算.【分析】∵扇形DAB 的弧长»DB等于正方形两边长的和6+=BC CD ，扇形DAB 的半径为正方形的边长3， ∴16392=⋅⋅=扇形DAB S . 或由变形前后面积不变得：339==⨯=正方形扇形ABCD DAB S S . 故选D.8. （2015年广东汕尾4分）下图所示几何体的左视图为【】A.B. C. D.【答案】A.【考点】简单组合体的三视图．【分析】细心观察图中几何体中正方体摆放的位置，根据左视图是从左面看到的图形判定，从物体左面看，共三层，三层各有1个正方形．故选A.9. （2015年广东汕尾4分）如图，将矩形纸片ABCD 折叠，使点A 与点C 重合，折痕为EF ，若AB =4，BC =2，那么线段EF 的长为【】A. 2554525【答案】B.【考点】折叠问题；矩形的性质；折叠对称的性质；菱形的判定和性质；勾股定理；方程思想的应用.【分析】如答图，连接,AF CE ，设AC 与EF 相交于点O .则根据折叠和矩形的性质得，四边形AECF 是菱形，∴AE CE =. ∵04290AB BC B ==∠=，，，∴222425AC =+=.∴5AO =.设AE CE x ==，则4BE x =-.∵222CE BE BC =+，∴()22242x x =-+，得52x =. ∴在Rt AOE ∆中，()222255522OE AE AO ⎛⎫=-=-=⎪⎝⎭.∴5EF =. 故选B.1. （2015年广东梅州3分）如图，将矩形纸片ABCD 折叠，使点A 与点C 重合，折痕为EF ，若AB =4，BC =2，那么线段EF 的长为 ▲ ..【答案】5.【考点】折叠问题；矩形的性质；折叠对称的性质；菱形的判定和性质；勾股定理；方程思想的应用. 【分析】如答图，连接,AF CE ，设AC 与EF 相交于点O .则根据折叠和矩形的性质得，四边形AECF 是菱形，∴AE CE =. ∵04290AB BC B ==∠=，，，∴222425AC =+=.∴5AO =.设AE CE x ==，则4BE x =-.∵222CE BE BC =+，∴()22242x x =-+，得52x =. ∴在Rt AOE ∆中，()22225552OE AE AO ⎛⎫=-=-=⎪⎝⎭.∴5EF =.2. （2015年广东广州3分）如图，四边形ABCD 中，∠A =90°，33AB =，AD =3，点M ，N 分别为线段BC ，AB 上的动点（含端点，但点M 不与点B 重合），点E ，F 分别为DM ，MN 的中点，则EF 长度的最大值为 ▲ .【答案】3.【考点】双动点问题；三角形中位线定理；勾股定理. 【分析】如答图，连接DN ，∵点E ，F 分别为DM ，MN 的中点，∴12EF DN =. ∴要使EF 最大，只要DN 最大即可.根据题意，知当点N 到达点B 与B 重合时，DN 最大. ∵∠A =90°，33AB =，AD =3， ∴()223336DN DB ==+=，此时，132EF DN ==. 3. （2015年广东深圳3分）观察下列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第5个图形有 ▲ 个太阳.【答案】21.【考点】探索规律题（图形的变化类）. 【分析】观察图形可知，上面一排按序号1，2，3，4，…排列，第5个图形有5个太阳；下面一排按012342,2,2,2,2,⋅⋅⋅ 排列，第5个图形有4216=个太阳；∴第5个图形共有21个太阳.4. （2015年广东珠海4分）用半径为12cm ，圆心角为90°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥底面圆的半径为 ▲ cm ．【答案】3．【考点】圆锥和扇形的计算．【分析】根据题意，得扇形的弧长为：90126180ππ鬃=，∵圆锥的底面周长等于它的侧面展开图的弧长， ∴根据圆的周长公式，得26r ππ=，解得3r =． ∴圆锥的底面半径为3cm ．1. （2015年广东梅州10分）在Rt △ABC 中，∠A =90°，AC = AB = 4，D ，E 分别是边AB ，AC 的中点.若等腰Rt △ADE 绕点A 逆时针旋转，得到等腰Rt △AD 1E 1，设旋转角为α（0＜α≤180°），记直线BD 1与CE 1的交点为P .（1）如图1，当α=90°时，线段BD 1的长等于 ▲ ，线段CE 1的长等于 ▲ ；（直接填写结果）（2）如图2，当α=135°时，求证：BD 1 = CE 1 ，且BD 1⊥CE 1 ；（3）求点P 到AB 所在直线的距离的最大值．（直接写出结果）【答案】解：（1）25，25.（2）证明：当α=135°时，由旋转可知∠D 1AB = E 1AC = 135°.又∵AB =AC ，AD 1=AE 1，∴△D 1AB ≌△△E 1AC （SAS ）. ∴BD 1=CE 1 且 ∠D 1BA = ∠E 1CA .设直线BD 1与AC 交于点F ，有∠BFA =∠CFP .∴∠CPF =∠FAB =90°，∴BD 1⊥CE 1. （3）13+.【考点】面动旋转问题；等腰直角三角形的性质；勾股定理；全等、相似三角形的判定和性质. 【分析】（1）如题图1，当α=90°时，线段BD 1的长等于22224225AB AE +=+=；线段CE 1的长等于222214225AC AE +=+=.（2）由SAS 证明△D 1AB ≌△△E 1AC 即可证明BD 1 = CE 1 ，且BD 1⊥CE 1 . （3）如答图2，当四边形AD 1PE 1为正方形时，点P 到AB 所在直线的距离距离最大，此时112223AD PD PB ===+，，∵1ABD PBH ∆∆∽，∴1AD ABPH PB=. ∴24223PH =+.∴13PH =+. ∴当四边形AD 1PE 1为正方形时，点P 到AB 所在直线的距离距离的最大值为13+.2. （2015年广东深圳9分）如图1，水平放置一个三角板和一个量角器，三角板的边AB 和量角器的直径DE 在一条直线上，,3,6cm OD cm BC AB ===开始的时候BD =1cm ，现在三角板以2cm/s 的速度向右移动. （1）当B 与O 重合的时候，求三角板运动的时间；（2）如图2，当AC 与半圆相切时，求AD ；（3）如图3，当AB 和DE 重合时，求证：2CF CG CE =⋅.【答案】解：（1）∵开始时，4BO cm =，三角板以2cm/s 的速度向右移动，∴当B 与O 重合的时候，三角板运动的时间为422/cms cm s=.（2）如答图1，设AC 与半圆相切于点H ，连接OH ，则OH AC ⊥.∵0,90AB BC ABC =∠= ，∴045A ∠=.又∵3OH OD cm ==，∴232AO OH ==.∴()323AD AO DO cm =-=-. （3）如答图2，连接EF ，∵OD OF =，∴ODF OFD ∠=∠.∵DF 是直径，∴090DFE ∠=. ∴090ODF DEF ∠+∠=. 又∵090DEC DEF CEF ∠=∠+∠=.∴ODF CEF ∠=∠. ∴CFG OFD ODF CEF ∠=∠=∠=∠. 又∵FCG ECF ∠=∠，∴CFG CEF ∆∆∽. ∴CF CE CG CF=，即2CF CG CE =⋅. 【考点】面动平移问题；等腰（直角）三角形的判定和性质；圆周角定理；相似三角形的判定和性质. 【分析】（1）直接根据“=路程时间速度”计算即可. （2）作辅助线“连接O 与切点H ”，构成等腰直角三角形求出AO 的长，从而由AO DO -求出AD的长.（3）作辅助线“连接EF ”，构成相似三角形CFG CEF ∆∆∽,得比例式即可得解.3.（2015年广东7分）如题图，在边长为6的正方形ABCD 中，E 是边CD 的中点，将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，延长交BC 于点G ，连接AG . （1）求证：△ABG ≌△AFG ；（2）求BG 的长.【答案】解：（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴∠B =∠D =90°，AD =AB .由折叠的性质可知，AD =AF ，∠AFE =∠D =90°，∴∠AFG =90°，AB =AF . ∴∠AFG =∠B .又∵AG =AG ，∴△ABG ≌△AFG （HL ）. （2）∵△ABG ≌△AFG ，∴BG =FG .设BG =FG =x ，则GC =6-x ,∵E 为CD 的中点，∴CF =EF =DE =3，∴EG =3+x ，在∆Rt CEG 中，由勾股定理，得2223(6)(3)+-=+x x ，解得2=x ，∴BG =2.【考点】折叠问题；正方形的性质；折叠对称的性质；全等三角形的判定和性质；勾股定理；方程思想的应用.【分析】（1）根据正方形和折叠对称的性质，应用HL 即可证明△ABG ≌△AFG （HL ）.（2）根据全等三角形的性质，得到BG =FG ，设BG =FG =x ，将GC 和EG 用x 的代数式表示，从而在∆Rt CEG 中应用勾股定理列方程求解即可.4. （2015年广东汕尾11分）在Rt △ABC 中，∠A =90°，AC = AB = 4，D ，E 分别是边AB ，AC 的中点.若等腰Rt △ADE 绕点A 逆时针旋转，得到等腰Rt △AD 1E 1，设旋转角为α（0＜α≤180°），记直线BD 1与CE 1的交点为P .（1）如图1，当α=90°时，线段BD 1的长等于 ▲ ，线段CE 1的长等于 ▲ ；（直接填写结果）（2）如图2，当α=135°时，求证：BD 1 = CE 1 ，且BD 1⊥CE 1 ；（3）求点P 到AB 所在直线的距离的最大值．（直接写出结果）【答案】解：（1）25，25.（2）证明：当α=135°时，由旋转可知∠D 1AB = E 1AC = 135°.又∵AB =AC ，AD 1=AE 1，∴△D 1AB ≌△△E 1AC （SAS ）. ∴BD 1=CE 1 且 ∠D 1BA = ∠E 1CA .设直线BD 1与AC 交于点F ，有∠BFA =∠CFP .∴∠CPF =∠FAB =90°，∴BD 1⊥CE 1. （3）13+.【考点】面动旋转问题；等腰直角三角形的性质；勾股定理；全等、相似三角形的判定和性质. 【分析】（1）如题图1，当α=90°时，线段BD 1的长等于22224225AB AE +=+=；线段CE 1的长等于222214225AC AE +=+=.（2）由SAS 证明△D 1AB ≌△△E 1AC 即可证明BD 1 = CE 1 ，且BD 1⊥CE 1 .（3）如答图2，当四边形AD 1PE 1为正方形时，点P 到AB 所在直线的距离距离最大，此时112223AD PD PB ===+，，∵1ABD PBH ∆∆∽，∴1AD AB PH PB =. ∴2223PH =+.∴13PH =+. ∴当四边形AD 1PE 1为正方形时，点P 到AB 所在直线的距离距离的最大值为13+.5. （2015年广东珠海7分）已知,ABC AB AC D = ，将ABC D 沿BC 方向平移得到DEF D ．（1）如图1，连接,BD AF ，则BD ▲ AF （填“>”，“<”或“=”号）；（2）如图2，M 为AB 边上一点，过M 作BC 的平行线MN 分别交边,,AC DE DF 于点,,G H N ，连接,BH GF ．求证：BH GF =．【答案】解：（1）=.（2）证明： ∵将ABC D 沿BC 方向平移得到DEF D ，MN ∥AB ，∴根据平移的性质，得,,MG HN GC NF MGCHNF ==?? . ∵AB AC =，∴ABC ACB ??.又∵MN ∥AB ，∴四边形BCGM 是等腰梯形.∴,MB GC GMBMGC =?? . ∴,MB MF GMB HNF =?? .又∵MG HN =，∴MH GN =.在BMH D 和FNG D 中，∵,,MB MF HMBGNF MH NG =?? ， ∴BMH D ≌()FNG SAS D .∴BH GF =．【考点】面动平移问题；平移的性质，平行的性质；等腰梯形的判定和性质；全等三角形的判定和性质.【分析】（1）根据平移的性质，应用SAS 证明ABF D ≌DFB D 即可得出BD AF =的结论.（2）根据平移的性质，结合等腰梯形的判定和性质，应用SAS 证明BMH D ≌FNG D 即可得出BH GF =的结论.。

3.2旋转变换

如图所示，如果把钟表的指针看作四边形 AOBC，它绕O点按顺时针方向旋转得到四边形DOEF．在这个旋转过程中：
１．旋转中心是什么？２．经过旋转，点A，B 分别移动到什么位置？３．AO与DO的长有什么关系？BO与EO呢？ 4: B点运动的路线是什么？
在方格纸上画旋转后的图形
做一做
在方格纸上作出 “小旗子”绕 O点按顺时针方向旋转 90˚ 后的图案，并简述理由。
O
2、在下图中作出三角形”绕O点按逆时针旋转80°后的图案． B
A C
O
旋转变换的性质：
1：图形经过旋转变换所得的图形和原图形全等。
2：对应点到旋转中心的距离相等，任何一对对
应点与旋转中心连线所成的角度都等于旋转角度
[试一试]
如图，在一个10×10的正方形网格中有一个△ABC. ①在网格中△ABC经过怎样变化得到的△ A1B1C1。 ②在网格中△ABC经过怎样变化得到的△ A2B2C2。
B
C
A
A
E F D
H G
AE∥ BF∥ DH∥ CG B
C
旋转变换
学一学：分析现象的特征平来自变换旋转变换下图是风车风轮中的两只叶片A和B，它们关于某直线成轴对称吗？你有什么办法使这两个图形A和B重合呢？
A
. o
B
由一个图形变为另一个图形，在运动的过程中，原图形上的所有点都绕同一个固定的点，按同一个方向，转动同一个角度，这样的图形运动叫做图形的旋转变换，这个固定的点叫做旋转中心旋转中心旋转方向旋转角度
C A B' C'
B
A'
旋转变换三要素：
1、旋转中心； 2、旋转的方向； 3、旋转的角度. 三者缺一不可

2015年(新)湘教版数学七年级下5.2旋转学案

52 旋转学习目标：1.认识图形的旋转变换，掌握旋转的基本性质；2.会按要求画旋转变换图形；3.学会自己设计图案、创造图案.一、快乐启航1.轴对称变换（轴反射）指____________________________________________________.2.轴对称变换（轴反射）的基本性质：（1）________________________________________________________________（2）________________________________________________________________二、我会自主学习阅读课本P1191.列举生活中我们熟知旋转实例________________________________________2.旋转的定义将一个平面图形上每一个点，绕这个平面内一定点（旋转中心）旋转同一个角α（旋转角），叫做旋转.（1）这个定点叫做_______；（2）同一个角α叫做_________；（3）在这一边换下，图形上每一个点与定点的连线绕定点旋转__________.三、我会探究1.根据下面操作图形，由旋转的定义可知：(1)OA=___ OP=___；(2)AOA '∠=∠______ =_____° （3）AB=_____,ACB ∠=∠_____；(4)△ABC 与△A B C '''的关系是__________.2.由上可得出，旋转的基本性质：（1）在旋转变换下，对应点到旋转中心的距离________，对应点与旋转中心的连线所成的角等于___________.（2）旋转不改变__________________________________.四、我会归纳总结这堂课我们学习了旋转的____________和_____________________________________.五、我会实践运用1.P121例题2.P121练习六、快乐摘星1.填空题（每小题3个★）（1）将ABC ∆绕点O 顺时针旋转转90°得到A B C '''∆,如果AOA '∠=90°,则BOB '∠=_________.（2）如图，等边三角形ABC 绕其中心O 旋转 _______度能与原位置图形重合.（3）课本P130第5题2.选择题（每小题3个★）（1）经过15分钟后，钟表的分针旋转的角为（）A.15°B.30 °C.60°D.90°(2) 12:45分时刻，钟表的时针与分针所成的角为（）A.90°B.100°C.112.5°D.120°（3）课本P122第5题3.动手操作作图题（5个★）如图，画出将ABC ∆绕BC 边的中点O ，顺时针旋转90°后得到的A B C '''∆。

平移旋转变换

平移旋转变换平移旋转变换是计算机图形学中常用的图形变换操作之一。

通过平移旋转变换，我们可以将一个图形对象从一个位置移动到另一个位置，或者在平面上围绕某一点进行旋转。

首先，我们来讨论平移变换。

平移变换可以将一个图形对象沿着指定的方向移动一定的距离。

在二维图形学中，平移变换通常使用一个平移向量来表示。

平移向量由两个表示平移距离的数值组成，分别表示在X轴和Y轴上的移动距离。

当一个图形对象进行平移变换时，它的每个顶点都会按照平移向量指定的距离在平面上移动。

接下来，我们来讨论旋转变换。

旋转变换可以将一个图形对象围绕一个指定的点进行旋转。

在二维图形学中，旋转变换通常使用一个角度来表示旋转的程度。

旋转角度可以是正数表示顺时针旋转，也可以是负数表示逆时针旋转。

当一个图形对象进行旋转变换时，它的每个顶点都会按照旋转角度围绕指定点进行旋转。

平移旋转变换的主要应用是在计算机图形学和计算机动画中。

通过对图形对象进行平移旋转变换，我们可以实现很多有趣的效果，比如在游戏中移动角色、旋转三维模型等。

在实际应用中，我们可以使用矩阵来表示平移旋转变换。

对于平移变换，我们可以使用一个平移矩阵来表示。

平移矩阵是一个3x3的矩阵，其中第一个行向量表示X轴上的平移、第二个行向量表示Y轴上的平移、第三个行向量表示Z轴上的平移。

对于旋转变换，我们可以使用一个旋转矩阵来表示。

旋转矩阵是一个3x3的矩阵，其中的元素是根据旋转角度计算得到的。

通过将平移矩阵和旋转矩阵相乘，我们可以得到一个综合的变换矩阵，用于同时进行平移和旋转变换。

除了平移旋转变换，还有其他一些常用的图形变换操作，比如缩放变换、翻转变换等。

缩放变换可以改变一个图形对象的大小，翻转变换可以沿着指定的轴翻转一个图形对象。

这些变换操作可以与平移旋转变换结合使用，实现更加复杂的图形效果。

总结来说，平移旋转变换是计算机图形学中一种常见的操作。

通过平移变换，我们可以将图形对象从一个位置移动到另一个位置；通过旋转变换，我们可以将图形对象围绕指定点进行旋转。