《圆的切线》课件1-优质公开课-湘教9下精品
合集下载
《圆的切线》PPT课件(湘教版)
因此直线 l ⊥ OA.
切线的性质定理 圆的切线垂直于过切点的半径．
A
l
O
对于任意一条直线，如果具备下列 条件中的两个，就可以推出第三个结论： （1）垂直于切线； （2）经过切点； （3）经过圆心.
A
l
O
如图，AB 是⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点， BD 和过点 C 的切线 CD 垂直，垂足为D. 求证：BC 平分∠ABD．【教材P68页】
1. 如图，两个同心圆的圆心是 O，大圆的弦 AB 所在直线
切小圆于点 C.
求证：点 C 是线段 AB 的中点．【教材P69页】
证明：连接 OC，OA，OB.
∵ AB 是小圆的切线，切点为 C，
O
∴ OC⊥AB. 又∵在大圆中，OA＝OB，
A
C
B
∴ 点 C 是线段 AB 直径，AD 为弦，过点 B 的切线
切线 l 与半径 OA 垂直吗？
下面我们用反证法来证明这个结论.
AB
l
假设直线 l 与半径 OA 不垂直.
过圆心 O 作 OB ⊥ l 于点 B. 由于垂线段最短，
可得 OB ＜ OA，那么圆心 O 到直线 l 的距离
O
小于半径，即直线 l 与⊙O 相交. 这与已知直
线 l 是 ⊙O 的切线相矛盾.
1. （1）垂直于半径的直线一定是圆的切线吗？为什么？
（2）经过半径外端的直线一定是圆的切线吗？为什么？
【教材P67页】
A
A
l
k
O
O
2. 如图，已知直线 AB 经过⊙O 上的点 C， 并且 OA＝OB， AC＝BC． 求证： 直线 AB 是⊙O 的切线．【教材P67页】
证明： 连接 OC. ∵ OA＝OB， AC＝BC， ∴ OC⊥AB （等腰三角形“三线合一” ）. 又∵ 直线 AB 经过半径 OC 的外端点， ∴ 直线 AB 是⊙O 的切线.
圆的切线(复习课)课件
研究曲线的性质
在解析几何中，切线与曲线的交点是 曲线的重要性质之一，通过切线可以 研究曲线的增减性、极值点和拐点等 。
在实际问题中的应用
机械制造中的圆加工
在机械制造中，切线被广泛应用于圆形的加工和制造，如车削、铣削和磨削等 。
物理学中的圆周运动
在物理学中，切线是描述圆周运动轨迹的重要工具，如卫星轨道、物体旋转等 。
当一条直线与圆心的距离为零时，该直线被称为圆的切线。
切线的性质
切线与半径垂直
切线与半径的交点是切点
通过切点作半径垂直于切线，证明切 线与半径垂直。
切线与半径的交点是切点，这是切线 的定义决定的。
切线长度有限
切线的长度是有限的，等于圆的半径 。
切线的判定定理
01
02
03
判定定理一
如果一条直线通过圆上的 一点，并且该直线与圆的 半径垂直，则该直线是圆 的切线。
提高题目解析
知识应用能力的提升
提高题目要求学生在掌握基础知识的前提下，能够灵活运用 圆的切线性质解决实际问题，如求切线的长度、判断某直线 是否为圆的切线等。
竞赛题目解析
思维能力和创新能力的挑战
竞赛题目难度较大，不仅要求学生熟练掌握基础知识，还 要求他们具备严密的逻辑推理能力和创新能力，能够解决 一些较为复杂的圆的切线问题，如切线与圆的综合问题、 切线与其他几何图形的综合问题等。
切线和半径之间的距离是固定的
切线与半径之间的距离是固定 的，这个距离等于圆的半径。
切线到圆心的距离等于圆的半 径。
切线与经过切点的半径的夹角 为90度。
切线长定理
01
切线长定理：从圆外一点引出的 两条切线，它们的切线长相等。
02
这个定理可以用于证明一些几何 问题，例如角平分线的性质等。
在解析几何中，切线与曲线的交点是 曲线的重要性质之一，通过切线可以 研究曲线的增减性、极值点和拐点等 。
在实际问题中的应用
机械制造中的圆加工
在机械制造中，切线被广泛应用于圆形的加工和制造，如车削、铣削和磨削等 。
物理学中的圆周运动
在物理学中，切线是描述圆周运动轨迹的重要工具，如卫星轨道、物体旋转等 。
当一条直线与圆心的距离为零时，该直线被称为圆的切线。
切线的性质
切线与半径垂直
切线与半径的交点是切点
通过切点作半径垂直于切线，证明切 线与半径垂直。
切线与半径的交点是切点，这是切线 的定义决定的。
切线长度有限
切线的长度是有限的，等于圆的半径 。
切线的判定定理
01
02
03
判定定理一
如果一条直线通过圆上的 一点，并且该直线与圆的 半径垂直，则该直线是圆 的切线。
提高题目解析
知识应用能力的提升
提高题目要求学生在掌握基础知识的前提下，能够灵活运用 圆的切线性质解决实际问题，如求切线的长度、判断某直线 是否为圆的切线等。
竞赛题目解析
思维能力和创新能力的挑战
竞赛题目难度较大，不仅要求学生熟练掌握基础知识，还 要求他们具备严密的逻辑推理能力和创新能力，能够解决 一些较为复杂的圆的切线问题，如切线与圆的综合问题、 切线与其他几何图形的综合问题等。
切线和半径之间的距离是固定的
切线与半径之间的距离是固定 的，这个距离等于圆的半径。
切线到圆心的距离等于圆的半 径。
切线与经过切点的半径的夹角 为90度。
切线长定理
01
切线长定理：从圆外一点引出的 两条切线，它们的切线长相等。
02
这个定理可以用于证明一些几何 问题，例如角平分线的性质等。
湘教版九年级下册数学课件第2章2.5.2圆的切线
夯实基础
6．【2020·徐州】如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切 线上，OC⊥OA，OC交AB于点P.若∠BPC＝70°，则 ∠ABC的度数等于( B )
A．75° B．70° C．65° D．60°
夯实基础
7．【2020·温州】如图，菱形 OABC 的顶点 A，B，C 在⊙O 上，过点 B 作⊙O 的切线交 OA 的延长线于点 D.若⊙O 的半径为 1，则 BD 的长为( D ) A．1 B ．2 C. 2 D. 3
探究培优
在 Rt△ ADB 中，BD＝ AB2－AD2＝ 122－42＝8 2， ∵∠ADB＝∠OBC＝90°，且∠COB＝∠BAD， ∴△ADB∽△OBC. ∵AB＝12，∴OB＝6. ∴AODB＝DBCB，即46＝8BC2. ∴BC＝12 2.
探究培优
14．【中考·宜昌】如图，在四边形ABCD中，E是对角线 AC上一点，DE＝EC，以AE为直径的⊙O与边CD相切 于点D，点B在⊙O上，连接OB.
在△ ABC 中，∵AB＝5，BC＝3，AC＝4， ∴AC2＋BC2＝42＋32＝52＝AB2.∴∠ACB＝90°. ∴S△ ABC＝12AC·BC＝12AB·CD. ∴CD＝ACA·BBC＝4×53＝2.4. ∴⊙C 的半径为 2.4.
【答案】B
整合方法
11．【2020·湘潭】如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为 直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为点 E.
整合方法
(1)求证：AB为⊙O的切线； 证明：过点O作OH⊥AB于点H，如图所示． ∵∠ACB＝90°，∴OC⊥BC. ∵BO为△ABC的角平分线，OH⊥AB， ∴OH＝OC.即OH为⊙O的半径， ∵OH⊥AB，∴AB为⊙O的切线．
最新圆的切线--课件教学讲义ppt
②，若CD与⊙O相切，且∠D＝30，BD＝ 10，求⊙O的半径。
练习引入： 如图，已知在△ABC中，∠BAC＝ 120°,AB＝AC,AB＝4,以A为圆心，2 为半径，做⊙A,试问直线BC与⊙A的 相切吗？说明原因 ？
答：相切
∵D＝2＝r
（4），如图，AB是⊙O的切线，A为切点， AC是⊙O 的弦，过⊙O作OH⊥AC于H，若 OH＝3，AB＝12，BO＝13，求弦AC的长为 _____________。
O C B
A
活动三：切线的性质
已知：直线CD是⊙O上的切线，切点为 B，那么半径OB与直线CD垂直吗？
切线的性质： 圆的切线垂直于过切点的半径。
∵L为⊙O的切线，B为切点 ∴L⊥OB
• 特征：
①、经过圆心垂直于切线的直线比经过切点。
②、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心 。
例题教学
例3：如图，直线AB是⊙O的直径，C为 ⊙O一点，AD和过C点的切线互相垂直， 垂足为D, 求证：AC平分∠DAB
➢运用设问：如说明文的题目《地球是 圆的吗？》、《花儿为什么这样红？》 等，议论文的题目《老实人总是吃亏 吗？》、《什么样的青春最美》、 《“顺境出人才”吗？》等，用设问 来引起读者的思索。
求证：AT是⊙O的切线
B
O
T
A
A l1
O O l2
B
小结：切线的性质
1、切线和圆只有一个交点。 2、圆心到切线的距离等于半径。 3、切线垂直于过切点的半径。 4、经过圆心垂直于切线的直线 必经过切点。 5、经过切点垂直于切线的直线 必经过圆心。
活动四：巩固新知
1、下列命题中正确的是：（ ） A、经过半径外端的直线是圆的切线。 B、直线和圆有公共点，则直线和圆相交。 C、经过圆上一点，有且仅有一条切线。 D、圆的切线垂直于半径。
练习引入： 如图，已知在△ABC中，∠BAC＝ 120°,AB＝AC,AB＝4,以A为圆心，2 为半径，做⊙A,试问直线BC与⊙A的 相切吗？说明原因 ？
答：相切
∵D＝2＝r
（4），如图，AB是⊙O的切线，A为切点， AC是⊙O 的弦，过⊙O作OH⊥AC于H，若 OH＝3，AB＝12，BO＝13，求弦AC的长为 _____________。
O C B
A
活动三：切线的性质
已知：直线CD是⊙O上的切线，切点为 B，那么半径OB与直线CD垂直吗？
切线的性质： 圆的切线垂直于过切点的半径。
∵L为⊙O的切线，B为切点 ∴L⊥OB
• 特征：
①、经过圆心垂直于切线的直线比经过切点。
②、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心 。
例题教学
例3：如图，直线AB是⊙O的直径，C为 ⊙O一点，AD和过C点的切线互相垂直， 垂足为D, 求证：AC平分∠DAB
➢运用设问：如说明文的题目《地球是 圆的吗？》、《花儿为什么这样红？》 等，议论文的题目《老实人总是吃亏 吗？》、《什么样的青春最美》、 《“顺境出人才”吗？》等，用设问 来引起读者的思索。
求证：AT是⊙O的切线
B
O
T
A
A l1
O O l2
B
小结：切线的性质
1、切线和圆只有一个交点。 2、圆心到切线的距离等于半径。 3、切线垂直于过切点的半径。 4、经过圆心垂直于切线的直线 必经过切点。 5、经过切点垂直于切线的直线 必经过圆心。
活动四：巩固新知
1、下列命题中正确的是：（ ） A、经过半径外端的直线是圆的切线。 B、直线和圆有公共点，则直线和圆相交。 C、经过圆上一点，有且仅有一条切线。 D、圆的切线垂直于半径。
湘教版九年级数学下册《圆的切线》精品课件
O· A C· B
巩固提升
2. 如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且AD平分∠CAB，
过点D作AC的垂线，与AC的延长线相交于点E，与AB的延长线相
交于点F。
求证：EF与⊙O相切。
分析：当直线与圆有公共
点时，简说成“连半径，
证垂直”。所以只需要连
接OD，证明OD ⊥EF。
巩固提升
证明：连接OD， ∵AD平分∠CAB， ∴ ∠OAD=∠EAD. ∵ OD=OA , ∴ ∠ODA= ∠OAD. ∴ ∠ODA= ∠EAD. ∴ OD∥AE. ∵ ∠ODF= ∠AEF=90 °且D在⊙O上， ∴EF与⊙O相切。
③切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直这条半径的直 线是圆的切线。
新知讲解
已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB。
求证：直线AB是⊙O的切线。
O
分析：由于AB过⊙O上的点C，所以连接OC，
只要证明AB⊥OC即可。
A
C
B
证明：连结OC(如图)
∵ ⊿OAB中， OA＝OB , CA＝CB,
AC，∠BAD＝ ∠CAD。 求证： 直线 BC 是⊙O 的切线。
证明 ∵ AB=AC， ∠BAD＝ ∠CAD， ∴ AD⊥ BC． 又∵ OD 是⊙O 的半径， 且 BC经过点 D， ∴ 直线 BC 是⊙O 的切线．
新知讲解
三、判定直线与圆相切的方法 ①定义法：直线与圆有唯一公共点；
②数量法：直线到圆心的距离等于该圆的半径；
×
2. 与半径垂直的的直线是圆的切线（ ）
×
3. 过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（ ）
×
O l
r
O
r l
【湘教版】九年级下册数学优质公开课课件2.5.2 第1课时 切线的判定
圆心O到直线l的 距离等于半径OA.
l
l
知识要点
切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这
条半径的直线是圆的切线.
应用格式 OA为⊙O的半径
B Ｏ
A C
BC ⊥ OA于A
BC为⊙O的切线
判一判 下列各直线是不是圆的切线？如果不是，请说明为什么？ O . A
l
O .
O
l
A
l
(1) (1)不是，因为 没有垂直.
转动雨伞时飞出的雨滴，用砂轮磨刀时擦出的火花， 都是沿着什么方向飞出的？
都是沿切线方向飞出的.
讲授新课
一 切线的判定
合作探究 问题1 如图，OA是⊙O的半径， 经过OA 的外端点A ， 作一条直线l⊥OA，圆心O 到直线l 的距离是多少 ？ 直线l 和⊙O有怎样的位置关系？
l
l
由圆的切线定义可知直线l 与圆 O 相切.
距离等于半径(即d=r)时，直线与圆
相切；
d
r l
3.判定定理：经过半径的外端且垂直
于这条半径的直线是圆的切线.
O
A
l
做一做
用三角尺过圆上一点画圆的切线.
如下图所示，已知⊙O 上一点P，过点P 画⊙O 的切线．
画法：（1）连接OP，将三角尺的直角顶点放在点 P处， 并使一直角边与半径OP 重合； （2） 过点P 沿着三角尺的另一条直角边画直线l，则l 就是所要画的切线.如图所示. 为什么画出来的 直线l是⊙O的切 线呢？
典例精析 例1 已知：如图所示，AD是圆O的直径，直线BC经过 点D，并且AB=AC，∠BAD=∠CAD. 求证：直线BC是圆O的切线. 证明 因为 AB=AC，∠BAD=∠CAD， 所以 AD⊥BC. 又因为OD是圆O的半径，且BC经过点D， D
2022年湘教版数学九下《切线的性质》立体课件(公开课版)
简单地说，
两点之间线段最短。
走进生活
你能举出利用“两点之间线段最短”的例子吗？
勤于巩固2
村庄A
两点之间线段最短
大桥P
河流
村庄B
如图，村庄A, B之间有一条河流，要在河 流上建造一座大桥P, 为了使村庄A, B之间 的距离最短，请问：这座大桥P应建造在 哪里。为什么？请画出图形。
问题征答
下列说法正确的是( D )
A.过A、B两点的直线长是A、B两点间的距离
B.线段AB就是A、B两点间的距离
C.乘火车从杭州到上海要走210千米，这就是 说杭州站与上海站间的距离为210千米
D.连结A、B两点的所有线中，其中最短的线 的长度就是A、B两点间的距离
喜于收获： 这节课你学会了什么？ 1.线段的长短比较的方法。 2.两点之间的距离：两点之间线段的长度。 3.线段的基本性质：两点之间线段最短。
又∵AB是⊙O的直径，AP是切线，∴∠BAP=90°．
∴∠BAC=∠P=30°．
在Rt△PAB中，AB=2，∠P=30°，
∴BP=2AB=2×2=4．BC=
1 2
AB=1，
由勾股定理，得AC= ， AB 2BC 2 3
AP= ． BP 2AB 2 2 3
则CP=BP-BC=4-1=3；
（2）若D为AP的中点，求证：直线CD是圆O的切线．
（1）解：连接CD， ∵BC是⊙O的直径， ∴∠BDC=90°，即CD⊥AB， ∵AD=DB，OC=5， ∴CD是AB的垂直平分线， ∴AC=BC=2OC=10；
（2）求证：ED是⊙O的切线．
（2）证明：连接OD，如图所示， ∵∠ADC=90°，E为AC的中点， ∴DE=EC= 1 AC，∴∠1=∠2，
湘教版数学九年级下册第1课时 切线的判定课件
选自《创优作业》
3. 如图, AB 是☉O 的直径 , 下列条件中不能判定直线 AT 是☉O 的切线的是（ D ） A. AB＝4 , AT ＝3 , BT ＝5 B. ∠B＝45°, AB＝AT C. ∠B＝55°, ∠TAC＝55° D. ∠ATC＝∠B
（1）切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径 的直线是圆的切线．
湘教·九年级下册
切线的判定
1.转动雨伞，水珠顺着伞面边缘飞出后顺着什么方向飞出？ 2.转动细线系着的小球形成圆，小球脱落后顺着什么方向飞出？
点击打开
观察，工人用砂轮磨一把刀， 在接触的一瞬间，擦出的火花是 沿着砂轮的什么方向飞出去的？
如图，OA 是⊙O 的半径，经过 OA 的外端点 A，
作一条直线 l⊥OA ，圆心 O 到直线 l 的距离是多少？
直线 l 和 ⊙O 有怎样的位置关系？
A
l
O
切线的判定定理
经过半径的外端并且垂直于这条 半径的直线是圆的切线．
A
l
O
用三角尺过圆上一点画圆的切线.
画法：（1）连接 OP，将三角尺的直角 顶点放在点 P 处，并使一直角边与半径 OP 重合； （2）过点 P 沿着三角尺的另一条直角 边画直线 l ，则 l 就是所要画的切线.
（2）切线的画法
►如果我们不曾相遇，你的梦里就不会有我的出现，我们都在不断地 和陌生人擦肩;如果人生不曾相遇，我的生命里就不会有你的片段， 我们都在细数着自己的日子。 ►当离别的脚步声越来越清晰，我们注定分散两地，继续彼此未完的 人生，如果我说放不下，短短一个月的光景，你是否愿意相信，我的 真诚，我的执着，只源于内心深处那一份沉沉的不舍。
1. （1）垂直于半径的直线一定是圆的切线吗？为什么？
最新数学湘教版初中九年级下册2.5.2第2课时切线的性质公开课课件
首页
初中
数学优秀课件
2.如图，AB为⊙O的直径， C为⊙O上一点，AD和 过C点的切线互相垂直，垂足为D.
求证：AC平分∠DAB.
D C
3
2 1
A
O
B
课堂小结
1.切线性质： ①切线和圆有且只有一个公共点 ②切线和圆心的距离等于半径 ③圆的切线垂直于经过切点的半径
2.能运用切线性质定理进行计算与证明 3.掌握常见的关于切线辅助线作法
根据垂线段最短，得OM＜OA
OO
即圆心O到直线AT的距离d＜R
∴直线AT与⊙O 相交
AM T
这与已知“AT是⊙O 的切线”矛盾
∴假设不成立，即AT⊥OA.
切线的性质定理： 1.圆的切线垂直于经过切点的半径
几何符号语言： ∵AT是⊙O的切线，A为切点 ∴AT⊥OA
O
A
T
按图填空：(口答) (1)如果AB切⊙O于A， 那么 OA⊥ AB.
①切线和圆有且只有一个公共点； ②切线和圆心的距离等于半径.
3.切线还有什么性质？
合作探究
观察下图： 如果直线AT是 ⊙O 的切线，A 为切点，那
么 AT和半径OA是不是一定垂直？
O
T A
首页
如果AT是 ⊙O的切线，A为切点，那么AT⊥OA.
你能说明理由吗？
反证法：假设AT与OA不垂直
则过点O作OM⊥AT,垂足为M
首页
同学们,加油！
Байду номын сангаас
2005年11月7日7时33分
初中
数学优秀课件
(2)如果半径OA⊥AB， 那么AB是 切线.
B A
O
(3)如果AB是⊙O的切线，OA⊥AB，那么A是 切点.
初中
数学优秀课件
2.如图，AB为⊙O的直径， C为⊙O上一点，AD和 过C点的切线互相垂直，垂足为D.
求证：AC平分∠DAB.
D C
3
2 1
A
O
B
课堂小结
1.切线性质： ①切线和圆有且只有一个公共点 ②切线和圆心的距离等于半径 ③圆的切线垂直于经过切点的半径
2.能运用切线性质定理进行计算与证明 3.掌握常见的关于切线辅助线作法
根据垂线段最短，得OM＜OA
OO
即圆心O到直线AT的距离d＜R
∴直线AT与⊙O 相交
AM T
这与已知“AT是⊙O 的切线”矛盾
∴假设不成立，即AT⊥OA.
切线的性质定理： 1.圆的切线垂直于经过切点的半径
几何符号语言： ∵AT是⊙O的切线，A为切点 ∴AT⊥OA
O
A
T
按图填空：(口答) (1)如果AB切⊙O于A， 那么 OA⊥ AB.
①切线和圆有且只有一个公共点； ②切线和圆心的距离等于半径.
3.切线还有什么性质？
合作探究
观察下图： 如果直线AT是 ⊙O 的切线，A 为切点，那
么 AT和半径OA是不是一定垂直？
O
T A
首页
如果AT是 ⊙O的切线，A为切点，那么AT⊥OA.
你能说明理由吗？
反证法：假设AT与OA不垂直
则过点O作OM⊥AT,垂足为M
首页
同学们,加油！
Байду номын сангаас
2005年11月7日7时33分
初中
数学优秀课件
(2)如果半径OA⊥AB， 那么AB是 切线.
B A
O
(3)如果AB是⊙O的切线，OA⊥AB，那么A是 切点.
湘教版九年级数学下册：切线的判定ppt演讲教学
湘教版九年级数学下册：切线的判定p pt演讲 教学
湘教版九年级数学下册：切线的判定p pt演讲 教学
获取新知
【归纳总结】判定圆的切线的常用辅助线的选择： (1)如果已知直线过圆上一点，那么连接这点和圆心，得到半径， 证明这条半径垂直于已知直线即可 可记为：有交点，作半径，证垂直； (2)如果已知直线与圆没有明确是否有公共点，那么过圆心作已 知直线的垂线段，证明垂线段的长等于半径即可 可记为：无交点，作垂线，证半径．
由圆的切线定义可知
直线l 与圆O 相切.
l
O A
发现：(1)直线 l 经过半径OA的外端点A；
(2)直线l垂直于半径OA．
湘教版九年级数学下册：切线的判定p pt演讲 教学
则:直线l与⊙O相切
湘教版九年级数学下册：切线的判定p pt演讲 教学
获取新知
这样就得到了从位置上来判定直线是圆的切线的方法——切线的判定定理．
经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
几何语言表达：
∵ OA是半径，l⊥OA，垂足为A ∴ l是⊙O的切线。
O r Al
湘教版九年级数学下册：切线的判定p pt演讲 教学
湘教版九年级数学下册：切线的判定p pt演讲 教学
随堂演练
判断:
1.过半径的外端的直线是圆的切线（ × ） 2.与半径垂直的的直线是圆的切线（ × ） 3.过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（ × ）
获取新知
判断一条直线是圆的切线，你现在有几种方法?
有三种方法: 1.利用切线的定义:与圆有唯一公共点的直线是圆的切线； 2.利用d与r的关系作判断:当d＝r时直线是圆的切线； 3.利用切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线
【最新】湘教版九年级数学下册第二章《切线的性质》公开课课件.ppt
(2)∵OH⊥AC，∴AH＝12AC，AH＝ OA2－OH2 ＝ 52－22＝ 21，∴AC＝2AH＝2 21
15．(14 分)如图，AB 是⊙O 的切线，B 为切点， 圆心在 AC 上，∠A＝30°，D 为B︵C的中点．
(1)求证：AB＝BC； (2)求证：四边形 BOCD 是菱形．
解：(1)∵AB 切⊙O 于 B，∴∠ABO＝90°，∴ ∠AOB＝90°－∠A＝90°－30°＝60°，∵OB＝ OC，∴∠ACB＝∠OBC，而∠ACB＋∠OBC＝∠AOB ＝60°，∴∠ACB＝30°＝∠A，∴AB＝BC (2)连接 OD，∵B︵D＝C︵D，∴∠BOD＝∠COD，∵∠AOB＝ 60°，∴∠BOC＝120°，∴∠BOD＝∠COD＝60°， 又 OB＝OD＝OC，∴△BOD 与△DOC 都是等边三角 形，∴OB＝BD＝CD＝OC＝OD，∴四边形 BOCD 是 菱形
13．如图，⊙M 与 x 轴相交于点 A(2，0)，B(8， 0)，与 y 轴相切于点 C，则圆心 M 的坐标是__(5，4)__．
三、解答题(共 40 分) 14．(12 分)如图，AB 是⊙O 的切线，A 为切点， AC 是⊙O 的弦，过 O 作 OH⊥AC 于点 H.若 OH＝2， AB＝12，BO＝13.求： (1)⊙O 的半径； 解：(1)∵AB 切⊙O 于 A，∴OA⊥AB，∴OA＝ (2)AC 的值． OB2－AB2＝ 132－122＝5，∴⊙O 的半径是 5
【综合运用】
16．(14 分)(2015·襄阳)如图，AB 是⊙O 的直径， 点 C 为⊙O 上一点，AE 和过点 C 的切线互相垂直， 垂足为 E，AE 交⊙O 于点 D，直线 EC 交 AB 的延长 线于点 P，连接 AC，BC，PB∶PC＝1∶2.
(1)求证：AC 平分∠BAD； (2)探究线段 PB，AB 之间的数量关系，并说明理 由； (3)若 AD＝3，求△ABC 的面积．
15．(14 分)如图，AB 是⊙O 的切线，B 为切点， 圆心在 AC 上，∠A＝30°，D 为B︵C的中点．
(1)求证：AB＝BC； (2)求证：四边形 BOCD 是菱形．
解：(1)∵AB 切⊙O 于 B，∴∠ABO＝90°，∴ ∠AOB＝90°－∠A＝90°－30°＝60°，∵OB＝ OC，∴∠ACB＝∠OBC，而∠ACB＋∠OBC＝∠AOB ＝60°，∴∠ACB＝30°＝∠A，∴AB＝BC (2)连接 OD，∵B︵D＝C︵D，∴∠BOD＝∠COD，∵∠AOB＝ 60°，∴∠BOC＝120°，∴∠BOD＝∠COD＝60°， 又 OB＝OD＝OC，∴△BOD 与△DOC 都是等边三角 形，∴OB＝BD＝CD＝OC＝OD，∴四边形 BOCD 是 菱形
13．如图，⊙M 与 x 轴相交于点 A(2，0)，B(8， 0)，与 y 轴相切于点 C，则圆心 M 的坐标是__(5，4)__．
三、解答题(共 40 分) 14．(12 分)如图，AB 是⊙O 的切线，A 为切点， AC 是⊙O 的弦，过 O 作 OH⊥AC 于点 H.若 OH＝2， AB＝12，BO＝13.求： (1)⊙O 的半径； 解：(1)∵AB 切⊙O 于 A，∴OA⊥AB，∴OA＝ (2)AC 的值． OB2－AB2＝ 132－122＝5，∴⊙O 的半径是 5
【综合运用】
16．(14 分)(2015·襄阳)如图，AB 是⊙O 的直径， 点 C 为⊙O 上一点，AE 和过点 C 的切线互相垂直， 垂足为 E，AE 交⊙O 于点 D，直线 EC 交 AB 的延长 线于点 P，连接 AC，BC，PB∶PC＝1∶2.
(1)求证：AC 平分∠BAD； (2)探究线段 PB，AB 之间的数量关系，并说明理 由； (3)若 AD＝3，求△ABC 的面积．
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
例4 证明：经过直径两端点的切线互相平行. 已知：如图所示AB是圆O的直径，l1， l2 分别是经过点A，B的切线. 求证：l1∥l2.
证明 因为OA是圆O的半径，l1是过点A的切线，
所以 l1 ⊥ OA. 同理 l2⊥ OB. 从而 l1⊥ AB，且l2 ⊥AB. 因此l1∥l2.
结
束
圆的切线
观察 观察下图， 工人用砂轮磨一把刀， 在接 触的一瞬间， 擦出的火花是沿着砂轮的什 么方向飞出去的？
生活中， 我们常常看到切线的实 例， 如何判断一条直线是不是⊙O 的 切线呢？
探究 如图，OA是⊙O的半径， 经过OA 的外端 点A， 作一条直线l⊥OA，圆心O 到直线l 的距 离是多少？ 直线l 和⊙O有怎样的位置关系？ l
我用量角器量得切线l 与半径OA所成的角为90°， 即切线l 与半径OA 垂直.
下面我们用反证法来证明这个结论. 假设直线l 与半径OA 不垂直. 过圆心O 作OB⊥l 于点B. 由于垂线段最短， 可得OB＜OA， 那么圆心O 到直线l 的距离小于 半径， 即直线l 与⊙O 相交. 这与已知直线l 是 ⊙O 的切线相矛盾.
例2 已知：如图所示，AD是圆O的直径，直线 BC经过点D，并且AB=AC，∠BAD=∠CAD. 求证：直线BC是圆O的切线.
D
证明 因为 AB=AC，∠BAD=∠CAD， 所以 AD⊥BC.
又因为OD是圆O的半径，且BC经过点D，
所以直线BC是圆O的切线.
D
探究 如图所示，直线l是圆O的切线，切点 为A，切线l与半径OA 垂直吗？
因此直线l⊥OA.
结论
由此，我们得出下面的结论： 圆的切线垂直于过切点的半径.
例3 如图所示，AB 是⊙O的直径，C 为⊙O上一 点，BD 和过点C 的切线CD 垂直，垂足为D. 求证： BC 平分∠ABD.
证明 连接OC. ∵ CD是⊙O的切线， ∴ OC⊥CD . 又 ∵ BD⊥CD ， ∴ BD∥OC . ∴ ∠ 1 =∠ 2. 又 OC = OB ， ∴ ∠ 1 = ∠ 3. ∴ ∠2 = ∠3，即BC平分∠ABD.
由圆的切线定义可知直线l 与圆 O 相切.
圆心O到直线l距离 等于半径OA.
l
结论
由此得出以下结论： 经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的 切线.
做一做
用三角尺过圆上一点画圆的切线.
如下图所示，已知⊙O 上一点P，过点P 画⊙O 的 切线． 画法：(1)连接OP，将三角尺的直角顶点放在点P 处， 并使一直角边与半径OP 重合； (2) 过点P 沿着三角尺的另一条直角边画直线l，则l 就是所要画的切线.如图所示. 为什么画出来的直 线l是⊙O的切线呢 ？