高中数学函数与方程知识点总结、经典例题及解析、高考真题及答案
高考数学方程与函数知识点
高考数学方程与函数知识点一、一次函数一次函数是指函数的最高次数为1的函数,通常表达为y=ax+b 的形式,其中a称为斜率,b称为截距。
1. 斜率:斜率可以用来表示函数图像的增减趋势,斜率为正表示函数递增,斜率为负表示函数递减。
2. 截距:截距表示函数图像与y轴之间的交点,可以用来确定函数图像的位置。
二、二次函数二次函数是指函数的最高次数为2的函数,通常表达为y=ax^2+bx+c的形式,其中a、b、c均为常数。
1. 抛物线:二次函数的图像是一条抛物线,其开口方向由a的正负决定。
2. 零点:通过解方程y=0,可以求得二次函数的零点,即方程的根。
3. 非负性:当a>0时,二次函数的值大于等于c,当a<0时,二次函数的值小于等于c。
4. 顶点:二次函数的顶点坐标可以通过求得x=-b/(2a)来确定。
三、指数函数指数函数是指函数关系中包含以常数e为底数的指数函数。
1. 指数规律:指数函数的数学规律为a^x=a^y,当x=y时,指数函数取相同的值。
2. 增长与衰减:指数函数具有快速增长或衰减的特点,指数函数的指数为正时,函数递增;指数为负时,函数递减。
3. 自然指数函数:自然指数函数是指以常数e≈2.71828为底的指数函数,形式为f(x)=e^x。
四、对数函数对数函数是指函数关系中包含以常数e为底数的对数函数。
1. 对数规律:对数函数的数学规律为a^loga(x)=x,当x>0时,对数函数取正值。
2. 增长与衰减:对数函数具有递增但增长速度逐渐减小的特点。
3. 自然对数函数:自然对数函数是指以常数e≈2.71828为底的对数函数,形式为f(x)=ln(x)。
五、三角函数三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数,常用于解决与角度相关的问题。
1. 正弦函数:正弦函数表示一个角的对边与斜边的比值,通常表示为sin(x)。
2. 余弦函数:余弦函数表示一个角的邻边与斜边的比值,通常表示为cos(x)。
高一数学知识点归纳总结加例题
高一数学知识点归纳总结加例题高一是数学学科基础扎实的阶段,学生们开始接触更加复杂和抽象的数学知识。
为了帮助同学们更好地掌握高一数学知识,下面将对高一数学涉及的主要知识点进行归纳总结,并配以例题进行说明和讲解。
一、函数与方程1. 函数的基本概念函数是一种特殊的关系,它将一个自变量的值映射到唯一的因变量的值。
函数的定义域、值域以及函数图像的特点是我们研究函数的关键。
例题:给定函数 f(x) = 2x + 3,求函数图像在坐标系中的表达。
2. 一次函数与方程一次函数的表达式为 y = kx + b,其中 k 和 b 分别为常数。
一次方程是一次函数的表达式等于一个常数。
例题:已知直线 y = 3x + 1 与直线 y = 2x - 2 相交于点 A,求点 A 的坐标。
3. 二次函数与方程二次函数的标准形式为 y = ax^2 + bx + c,其中 a、b 和 c 是常数,且a ≠ 0。
例题:求解方程 x^2 + 4x + 3 = 0 的根。
二、平面向量与解析几何1. 平面向量的基本概念平面向量是具有大小和方向的量,我们可以用有向线段表示它。
平面向量的模、共线、平行以及平面向量的加减法是需要我们掌握的基本概念。
例题:已知向量 a = (2, 3) 和向量 b = (-1, 4),求向量 a 和向量 b 的和。
2. 解析几何的基本思想解析几何是利用代数方法研究几何的一个分支。
通过建立坐标系,我们可以通过代数运算来解决几何问题。
例题:在平面直角坐标系中,求点 A(3, 4) 和点 B(5, -2) 的中点坐标。
三、三角函数与三角恒等式1. 三角函数的基本概念正弦函数、余弦函数和正切函数是我们在高一学习的三角函数。
我们需要了解三角函数在单位圆上的定义和性质,并能够根据角度关系求出三角函数的值。
例题:已知角 A 的终边落在单位圆上的坐标为 (3/5, -4/5),求角 A的正切值。
2. 重要的三角恒等式三角恒等式是三角函数的基本性质之一,可以帮助我们简化和转化复杂的三角函数表达式。
专题12函数与方程--2022年(新高考)数学高频考点+重点题型(解析版)
专题12函数与方程--2022年(新高考)数学高频考点+重点题型一、关键能力学生应掌握函数的零点、方程的解、图象交点(横坐标)三者之间的灵活转化,以实现快速解决问题.二、教学建议从近三年高考情况来看,本讲一直是高考的热点,尤其是函数零点(方程的根)个数的判断及由零点存在性定理判断零点是否存。
常常以基本初等函数为载体,结合函数的图象,判断方程根的存在性及根的个数,或利用函数零点确定参数的取值范围等.也可与导数结合考查.题目的难度起伏较大.三、自主梳理1.函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y=f(x) (x∈D),把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x) (x∈D)的零点.(2)几个等价关系方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点.(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个__c__也就是方程f(x)=0的根.2.二次函数y=ax2+bx+c (a>0)的图象与零点的关系(☆☆☆)(x0),(x0)(x0)无交点四、高频考点+重点题型考点一、求解函数零点例1-1(直接求解函数零点)(2019·全国卷⇔)函数f(x)=2sin x-sin 2x在[0,2π]所有零点之和为【答案】3π【解析】由f(x)=2sin x-sin 2x=2sin x-2sin x cos x=2sin x·(1-cos x)=0得sin x=0或cos x =1,⇔x=kπ,k⇔Z,又⇔x⇔[0,2π],⇔x=0,π,2π,即零点有3个.例1-2(二分法求零点)用二分法求函数f(x)=3x-x-4的一个零点,其参考数据如下:据此数据,可得方程3x-x-4=0的一个近似解为________(精确到0.01)【答案】1.56【解析】注意到f(1.5562)=-0.029和f(1.5625)=0.003,显然f(1.5562)f(1.5625)<0,故区间的端点四舍五入可得1.56.对点训练1.(天津高考真题)已知函数,函数,则函数的所有零点之和为()A.2 B.3 C.4 D.5【答案】A【解析】当x<0时2−x>2,所以f(x)=2−|x|=2+x,f(2−x)=x2,此时函数f(x)−g(x)=f(x)+f(2−x)−3=x2+x−1的小于零的零点为x=−1+√5;当0≤x≤2时f(x)=2−2|x|=2−x,f(2−x)=2−|2−x|=x,函数f(x)−g(x)=2−x+x−3=−1无零点;当x>2时,f(x)=(x−2)2,f(2−x)=2−|2−x|=4−x,函数f(x)−g(x)=(x−2)2+4−x−3=x2−5x+5大于2的零点为x=5+√5,综上可得.故选A.2对点训练2.(2020·郸城县实验高中高一月考)如图是函数f(x)的图象,它与x轴有4个不同的公共点.给出的下列四个区间之中,存在不能用二分法求出的零点,该零点所在的区间是( )A .[-2.1,-1]B .[4.1,5]C .[1.9,2.3]D .[5,6.1]【答案】C 【解析】结合图象可得:ABD 选项每个区间的两个端点函数值异号,可以用二分法求出零点, C 选项区间两个端点函数值同号,不能用二分法求零点. 故选:C对点训练3.用二分法求函数()y f x =在区间()2,4上的近似解,验证()()240f f <,给定精度为0.1,需将区间等分__________次. 【答案】5 【解析】因为区间()2,4的长度为2,所以第一次等分后区间长度为1,第二次等分后区间长度为0.5,……第四次等分后区间长度为0.125<0.2,第五次等分区间后区间长度为0.0625<0.1,所以需要将区间等分5次. 故答案为5.考点二、判断函数零点个数 例2-1(直接求解零点)(2020·江苏省高三其他)设表示不超过实数的最大整数(如,),则函数的零点个数为_______.[]t t [ 1.3]2-=-[2.6]2=[]()21f x x x =--【答案】2 【解析】函数的零点即方程的根,函数的零点个数,即方程的根的个数..当时,. 当时,或或(舍). 当时,,方程无解. 综上,方程的根为,1. 所以方程有2个根,即函数有2个零点. 故答案为:2.例2-2(零点存在定理+单调性)(2021·北京清华附中高三其他模拟)函数()ln 6f x x x =+-的零点一定位于区间( ) A .()2,3 B .()3,4C .()4,5D .()5,6【答案】C 【解析】根据零点存在性定理,若在区间(,)a b 有零点,则()()0f a f b ⋅<,逐一检验选项,即可得答案. 【详解】由题意得()ln 6f x x x =+-为连续函数,且在(0,)+∞单调递增,(2)ln 240,(3)ln330f f =-<=-<,2(4)ln 42ln 20f e =-<-=,(5)ln 51ln 10f e =->-=,根据零点存在性定理,(4)(5)0f f ⋅<,[]()21f x x x =--[]21x x -=∴()f x []21x x -=[]210,0,0x x x -≥∴≥∴≥01x ≤<[]10,210,2x x x =∴-=∴=1x =[]1,211,211x x x =∴-=∴-=211,1x x -=-∴=0x =1x >[]2121x x x x -=->≥∴[]21x x -=[]21x x -=12[]21x x -=[]()21f x x x =--所以零点一定位于区间()4,5. 故选:C例2-3(2021·山东烟台市·高三二模)已知函数()f x 是定义在区间()(),00,-∞+∞上的偶函数,且当()0,x ∈+∞时,()()12,0221,2x x f x f x x -⎧<≤⎪=⎨-->⎪⎩,则方程()2128f x x +=根的个数为( ) A .3 B .4 C .5 D .6【答案】D 【解析】将问题转化为()f x 与228xy =-的交点个数,由解析式画出在(0,)+∞上的图象,再结合偶函数的对称性即可知定义域上的交点个数. 【详解】要求方程()2128f x x +=根的个数,即为求()f x 与228xy =-的交点个数,由题设知,在(0,)+∞上的图象如下图示,∴由图知:有3个交点,又由()f x 在()(),00,-∞+∞上是偶函数,∴在,0上也有3个交点,故一共有6个交点.故选:D.对点训练1.(2020·开原市第二高级中学高三)函数21()f x x x=+,(0,)x ∈+∞的零点个数是( ). A .0 B .1C .2D .3【答案】A 【解析】根据函数定义域,结合零点定义,即可容易判断和求解. 【详解】 由于20x >,10x>, 因此不存在(0,)x ∈+∞使得21()0f x x x=+=, 因此函数没有零点. 故选:A .对点训练2-1.(2020·海丰县彭湃中学高一期末)函数的零点所在的大致区间为( ) A . B . C . D .【答案】D 【解析】因为函数在R 上单调递减, ,,所以零点所在的大致区间为 故选:D对点训练2-2【多选题】(2021·湖北荆州市·荆州中学高三其他模拟)在下列区间中,函数()43x f x e x =--一定存在零点的区间为( )A .11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭B .(,3)e -C .10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D .11,e ⎛⎫- ⎪⎝⎭31()102f x x x =--+(1,0)-(0,1)(1,2)(2,3)31()102f x x x =--+(2)10f =>(3)0f <(2,3)【答案】ABD 【解析】本题首先可通过求导得出函数()f x 在()ln 4,+∞上是增函数、在(),ln 4-∞上是减函数以及()ln 40f <,然后通过函数()f x 的单调性以及零点存在性定理对四个选项依次进行判断,即可得出结果. 【详解】()43x f x e x =--,()4x f x e '=-,当()0f x '>时,ln 4x >,函数()f x 在()ln 4,+∞上是增函数; 当()0f x '<时,ln 4x <,函数()f x 在(),ln 4-∞上是减函数,()ln4ln 44ln 4314ln 40f e =--=-<,A 项:()1114310f e e--=-=+>+,1211435022f e ⎛⎫=-⨯-=< ⎪⎝⎭,因为()1102f f ⎛⎫-⨯< ⎪⎝⎭,所以函数()f x 在11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭内存在零点,A 正确;B 项:()430ef e e e -+-=->,()333123150f e e =--=>-,因为ln 43e,()ln 40f <,所以函数()f x 在(,3)e -内存在零点,B 正确;C 项:()00320f e =-=-<,102f ⎛⎫<⎪⎝⎭,()1002f f ⎛⎫⨯> ⎪⎝⎭, 因为1ln 42,所以函数()f x 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭内不存在零点,C 错误; D 项:()10f ->,11430e f e e e ⎛⎫=--< ⎪⎝⎭,()110f f e ⎛⎫-⨯< ⎪⎝⎭, 则函数()f x 在11,e ⎛⎫- ⎪⎝⎭内存在零点,D 正确, 故选:ABD.对点训练3.(2018·全国卷⇔)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧e x ,x ≤0,ln x ,x >0,g (x )=f (x )+x +a .若g (x )存在2个零点,则a 的取值范围是( )A .[-1,0)B .[0,+∞)C .[-1,+∞)D .[1,+∞)【答案】C【解析】令h (x )=-x -a ,则g (x )=f (x )-h (x ).在同一坐标系中画出y =f (x ),y =h (x )的示意图,如图所示.若g (x )存在2个零点,则y =f (x )的图象与y =h (x )的图象有2个交点,平移y =h (x )的图象,可知当直线y =-x -a 过点(0,1)时,有2个交点,此时1=-0-a ,a =-1.当y =-x -a 在y =-x +1上方,即a <-1时,仅有1个交点,不符合题意.当y =-x -a 在y =-x +1下方,即a >-1时,有2个交点,符合题意.综上,a 的取值范围为[-1,+∞).故选C.考点三、已知零点求参 例3-1(已知零点个数求参)(2021·广东茂名市·高三二模)已知函数()()12log 1,0,(1),0,x x f x f x x ⎧+≥⎪=⎨⎪+<⎩若函数()()g x f x x a =--有且只有两个不同的零点,则实数a 的取值可以是( )A .-1B .0C .1D .2【答案】B 【解析】作出函数()f x 的图象如下图所示,将原问题转化为函数()f x 的图象与直线+y =x a 有两个不同的交点,根据图示可得实数a 的取值范围. 【详解】作出函数()f x 的图象如下图所示,令()()0g x f x x a =--=,即()+f x x a =, 所以要使函数()()g x f x x a =--有且只有两个不同的零点,则需函数()f x 的图象与直线+y =x a 有两个不同的交点,根据图示可得实数a 的取值范围为(]10-,,故选:B.例3-2(已知零点所在区间求参)函数f (x )=2x-2x -a 的一个零点在区间(1,2)内,则实数a 的取值范围是( )A .(1,3)B .(1,2)C .(0,3)D .(0,2)【答案】C【解析】因为f (x )在(0,+∞)上是增函数,则由题意得f (1)·f (2)=(0-a )(3-a )<0,解得0<a <3,故选C 。
高三数学函数与方程知识点
高三数学函数与方程知识点函数与方程是高中数学的重要部分,也是高考数学考查的重点内容,掌握好函数与方程的知识对于考试成绩至关重要。
本文将以详细的方式介绍高三数学中的函数与方程的知识点,帮助学生深入理解和掌握这一部分内容。
一、函数的定义与性质函数是一种特殊的关系,它可以将一个自变量的取值映射到唯一的因变量的取值。
函数的定义通常以符号表达,如:y=f(x),其中x为自变量,y为因变量,f为函数的表达式。
函数的性质包括定义域、值域、单调性、奇偶性等。
1.1 定义域与值域函数的定义域是指自变量的取值范围,常用表示为D(f)。
值域是函数的所有可能的因变量取值的范围,常用表示为R(f)。
在求函数的定义域和值域时,需考虑到函数表达式中的分母不能为零等限制条件。
1.2 单调性函数的单调性是指函数在定义域内的取值随自变量的增加或减少而单调增加或单调减少。
函数可以是递增的(单调增加)、递减的(单调减少)或者具有不同的单调区间。
1.3 奇偶性函数的奇偶性是指函数在定义域内的取值与自变量取值的关系。
奇函数具有对称中心为原点,即f(-x)=-f(x);偶函数具有对称轴为y轴,即f(-x)=f(x)。
二、线性函数与一次函数线性函数是一种最基本的函数形式,它的函数表达式为f(x)=kx+b,其中k为斜率,b为截距。
一次函数是线性函数的一种特殊情况,当k=0时,即为一次函数。
线性函数与一次函数的性质包括斜率、截距、图像等。
2.1 斜率线性函数的斜率表示函数图像的倾斜程度,斜率为正表示函数递增,斜率为负表示函数递减。
斜率可以通过两点的坐标计算得出,也可以根据函数表达式的形式直接读取。
2.2 截距线性函数的截距表示函数图像与y轴的交点位置,截距可以通过函数表达式中的常数项b直接读取。
2.3 图像线性函数的图像是一条直线,可以通过斜率和截距的值确定直线的倾斜程度和位置。
当斜率为正时,函数图像从左下方逐渐向右上方倾斜;当斜率为负时,函数图像从左上方逐渐向右下方倾斜。
高中数学高考总复习----函数与方程知识讲解及巩固练习题(含答案解析)
高中数学高考总复习----函数与方程知识讲解及巩固练习题(含答案解析)【考纲要求】1.了解函数的零点与方程根的联系,判断一元二次方程根的存在性及根的个数.2.根据具体函数的图像,能够用二分法求相应方程的近似解.3.理解函数与方程之间的关系,并能解决一些简单的数学问题。
【知识网络】【考点梳理】1.函数零点的理解(1)函数的零点、方程的根、函数图象与x 轴的交点的横坐标,实质是同一个问题的三种不同表达形式,方程根的个数就是函数零点的个数,亦即函数图象与x 轴交点的个数.(2)变号零点与不变号零点①若函数在零点x 0左右两侧的函数值异号,则称该零点为函数的变号零点.②若函数在零点x 0左右两侧的函数值同号,则称该零点为函数的不变号零点.③若函数在区间[a ,b]上的图象是一条连续的曲线,则是在区间(a ,b )内有零点的充分不必要条件.要点诠释:如果函数最值为0,则不能用此方法求零点所在区间。
2.用二分法求曲线交点的坐标应注意的问题(1)曲线交点坐标即为方程组的解,从而转化为求方程的根.(2)求曲线与的交点的横坐标,实际上就是求函数的零点,即求的根.要点诠释:如果函数的图象不能画出,应通过适当的变形转换成另外的函数。
3.关于用二分法求函数零点近似值的步骤需注意的问题函数与方程函数的零点二分法函数与方程的关系(1)第一步中要使:①区间长度尽量小;②、的值比较容易计算且.(2)根据函数的零点与相应方程根的关系,求函数的零点与求相应方程的根是等价的.对于求方程的根,可以构造函数),函数的零点即为方程的根.【典型例题】类型一、判断函数零点的位置例1.函数f(x)=2x+3x的零点所在的一个区间是()A.(-2,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,2)解析:∵f(0)=1>0,f(-1)=<0,∴选B.答案:B点评:求函数的零点就是求相应方程的实数根,一般可以借助求根公式或因式分解等方法,求出方程的根,从而得到函数的零点.举一反三:【变式】已知函数,当时,函数的零点,则..解:用数形结合法作出及的图象,作出及由图象可知,当内变动,内变动时,显然对数函数图象与直线的公共点皆在区间内,即函数的零点,故.类型二、确定函数零点的个数例2.二次函数中,,则函数的零点的个数是()A.1B.2C.0D.无法确定解法1:∴方程有两个不相等的实数根∴函数有两个零点,选B.解法2:,不论哪种情况,二次函数图象与x轴都有两个交点,所以函数有两个零点.选B.点评:可以利用函数图象或方程的判别式.举一反三:【变式】设函数f(x)=4sin(2x+1)-x,则在下列区间中函数f(x)不存在零点的是()A.[-4,-2]B.[-2,0]C.[0,2]D.[2,4]解析:本题判断f(x)=0在区间内是否成立,即4sin(2x+1)=x是否有解.如图:显然在[2,4]内曲线y=4sin(2x+1),当x=54π-12时,y=4,而曲线y=x,当x=54π-12<4,有交点,故选A.答案:A例3.(2015安徽三模)定义在上的奇函数,当时,,则关于的函数的所有零点之和为()A.B.C.D.答案:D【解析】当时,,当时,,为奇函数时,画出和的图像如图所示:共有5个交点,设其横坐标从左到右分别为,,,,,则,,而即即所以,故选D.举一反三:【变式1】(2015河东区一模)函数在定义域内零点的个数为()A.0B.1C.2D.3答案:C【解析】由题意,函数的定义域为;求函数在定义域内零点的个数等价于求函数和函数的图像在上的交点个数,在同一个坐标系下画出两个函数的图像如下:由图得,两个函数图像有两个交点,故对应函数有两个零点.故选C.【变式2】已知函数,.若方程有两个不相等的实根,求实数的取值范围。
高中数学函数与方程知识点及例题解析
肄高高中高高中数学函数与方程知识点及例题解析膂【知识梳理】蒆1、函数零点的定义芆(1 )对于函数y =f(x),我们把方程f(x) =0的实数根叫做函数y=f(x)的零点。
蒄(2)方程f (x) =0有实根二函数y = f (x)的图像与x轴有交点二函数y = f (x)有零点。
因此判断一个函数是否有零点,有几个零点,就是判断方程f(x)=0是否有实数根,有几个实数根。
函数零点的求法:解方程f(x) =0,所得实数根就是f(x)的零点薀(3 )变号零点与不变号零点蕿①若函数f(x)在零点X。
左右两侧的函数值异号,则称该零点为函数f(x)的变号零点。
芆②若函数f(x)在零点X。
左右两侧的函数值同号,则称该零点为函数f(x)的不变号零点。
蚁③若函数f(x)在区间a,b ]上的图像是一条连续的曲线,则f(a)f(b)c0是f(x)在区间(a,b)内有零点的充分不必要条件。
莂2、函数零点的判定芈(1)零点存在性定理:如果函数y =f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的曲线,并且有 f (a) f (b) :::0,那么,函数y =f(x)在区间a,b内有零点,即存在& (a,b),使得“畑=0,这个x°也就是方程f(x) =0的根。
莆(2)函数y二f(x)零点个数(或方程f(x) =0实数根的个数)确定方法肂① 代数法:函数y=f(x)的零点=f(x)=0的根;螀②(几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数y = f(x)的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点。
肇(3)零点个数确定菜厶.0:= y=f(x)有2个零点二f(x)=0有两个不等实根;蒃,■:- 0^ y = f(x)有1个零点二f(x) =0有两个相等实根;蒂也<0二y = f(x)无零点二f(x)=0无实根;对于二次函数在区间hb]上的零点个数,要结合图像进行确定•1、2、肀二分法薅(1)二分法的定义:对于在区间[a,b]上连续不断且f(a).f(b):::o的函数y=f(x),通过不断地把函数y = f(x) 的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值的方法叫做二分法;袄(2)用二分法求方程的近似解的步骤:羀① 确定区间[a,b],验证f(a) f (b) :::0,给定精确度;;衿②求区间(a,b)的中点c;蚅③计算f (c);芅(i )若f(c) =0,则c就是函数的零点;蚂(ii)若f (a) f (c) <0 ,则令b=c(此时零点沧(a,c));蚈(iii)若 f (c)(b) :::0,则令a = c(此时零点x0:=(c,b));螅④判断是否达到精确度S即a-b 则得到零点近似值为a(或b);否则重复②至④步莂【经典例题】腿1 •函数f(x)=2x+x‘ - 2在区间(0,1)内的零点个数是( )袅2•函数f(x)= 2x+ 3x 的零点所在的一个区间是 ()袁3•若函数f(x)二a x-x-a (a 0且a=1)有两个零点,则实数 a 的取值范围是 ____________________ .蒀4.设函数 f(x)(x :二 R)满足 f( -x )=f(x), f(x)=f(2 —X),且当 x :二[0,1]时,1 3则函数h (x)=g(x)-f(x)在 [- — ,—]上的零点个数为()2 2袅 A、5 B 、6 C 、7 D 、82膃5•函数f(X)=XCOSX 在区间[0,4]上的零点个数为( )艿 A 、4 B 、5 C 、6 D 、7膈6.函数 f(x) =、j x -COSX 在[0,::)内 ()羅A 、没有零点 B 、有且仅有一个零点 C 、有且仅有两个零点 D 、有无穷多个零点a, a — b 三122薄7•对实数a 和b ,定义运算?”: a?b =〈设函数f(x) = (x 2— 2)?(x — x 2), x € R ,若函数y =f(x)b, a — b>1.—c 的图象与X 轴恰有两个公共点,则实数 C 的取值范围是()肅8.已知函数f (x ) = log a x x -b(a> 0,且a = 1).当2 v a v 3 v b v 4时,函数f (x )的零点x ° (n, n 1), n N ,贝V n 二 ____ .羅9.求下列函数的零点:32葿(1) f(x)二x -2x -x 2 ;羀10.判断函数y = x 3— x — 1在区间[1,1.5]内有无零点,如果有,求出一个近似零点 (精确度0.1).螃 A 、(- 2, - 1) B 、( - 1,0)C 、(0,1)D 、 (1,2)3f(x)=x .又函数 g(x)= |xcos (二肁 A、(—汽一2] U (2) f(x)二x-£.XB 、(―汽—2] U羇C 、-1,3D 、3U膄【课堂练习】肂1、在下列区间中,函数 f(x)二e x• 4x -3的零点所在的区间为 (蝿2、若X 0是方程lg x x=2的解,贝y X o 属于区间芄A、 (0,1) B 、 (1,1.25) C 、 (1.25,1.75)蒃3、下列函数中能用二分法求零点的是袃 4、函数 f x =2x+3x 的零点所在的一个区间是莁 6、函数 f X = '. x -cosx 在[0, •::)内肃8、下列函数零点不宜用二分法的是()蒄9、函数f(x)=log 2X+2X-1的零点必落在区间C 、 *1D 、(1,2)薈 A . ( -2,-1) (-1, 0) C 、( 0, 1)(1 , 2)莄5、设函数f X =4sin (2x+1) -x ,则在下列区间中函数f X 不存在零点的是袄 A、[-4,-2]B 、[-2,0]C 、[0,2]D 、[2,4]1 膁 A 、(— — 0)4?1B 、匕C 、(1,1) 4 2D 、D 、 (1.75,2)莇 A 、没有零点 B 、有且仅有一个零点C 、有且仅有两个零点 有无穷多个零点蒄7、若函数f (x)的零点与g(x^4X2x -2的零点之差的绝对值不超过0.25, 则f (x)可以是()芅 A、 f (x) = 4x -12f(xH(x-1)f (x) = e x-11f (x)=ln(x-23莀A、 f(x)二x -8 B 、 f(x)=lnx 3C 、f(x)=x 22、、2x 22f (x) _ -x 4x11莃10、lg x 0有解的区域是( )x羁A、(0, 1] B、(1, 10] C、(10, 100]莆11、在下列区间中,函数f(x)=ex4x -3的零点所在的区间为()1 1 11 13蚅A、(-—,0)B、(0,;) C、(~ - ) D、(二,)4 4 4 2 2 4 肄12、函数f (x^ : x log 2 x的零点所在区间为( )蚀A、[0,1]8C、1D、[?1]螀13、设f x]=3x• 3x -8 ,用二分法求方程3x• 3x -8 =0在x三i:1,2内近似解的过程中得f 1 :: 0, f 1.5 0, f 1.25 ::: 0,则方程的根落在区间( )肅A、(1,1.25) B、(1.25,1.5) C (1.5,2) D、不能确定蒂14、设函数f(x) =4sin(2x,1)-x,则在下列区间中函数 f (x)不存在零点的是( )螂A、1-4, -2\B、[-2,ol C、〔0,21 D、12,4 1x2 +2x_3 x 兰0袀15、函数f (x) ,零点个数为(l—2+l nx,x:>0C、1 蒆16、若函数f(x) =x3 x2 -2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算,其参考数据如下:羀那么方程x3・X2-2X-2=0的一个近似根(精确到0.1)为 ( )羄A、1.2 B、 1.3 C、1.4 D、1.5莄17、方程2 -・x2=3的实数解的个数为 ________________ .聿18、已知函数f(x) =x2• (a2 -1)x a _2的一个零点比1大,一个零点比1小,求实数2聿19、判断函数f (x) =4x • x2 _^x3在区间[-1,1]上零点的个数,并说明理由。
(版)高考文科数学函数专题讲解及高考真题(含答案)
函数【】函数的概念〔1〕函数的概念①设A、B是两个非空的数集,如果按照某种对应法那么f,对于集合A中任何一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么这样的对应〔包括集合A,B以及A到B的对应法那么f〕叫做集合A到B的一个函数,记作f:A B.②函数的三要素:定义域、值域和对应法那么.③只有定义域相同,且对应法那么也相同的两个函数才是同一函数.〔2〕区间的概念及表示法①设a,b 是两个实数,且a b,满足ax b的实数x的集合叫做闭区间,记做[a,b];满足a x b的实数x的集合叫做开区间,记做(a,b);满足a xb,或ax b的实数x的集合叫做半开半闭区间,分别记做[a,b),(a,b];满足x a,x a,x b,x b的实数x的集合分别记做[a,),(a,),(,b],(,b).注意:对于集合{x|a x b}与区间(a,b),前者a可以大于或等于b,而后者必须b.3〕求函数的定义域时,一般遵循以下原那么:f(x)是整式时,定义域是全体实数.②f(x)是分式函数时,定义域是使分母不为零的一切实数.③f(x)是偶次根式时,定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合.④对数函数的真数大于零,当对数或指数函数的底数中含变量时,底数须大于零且不等于1.⑤y tanx中,x k(k Z).2⑥零〔负〕指数幂的底数不能为零.⑦假设f(x)是由有限个根本初等函数的四那么运算而合成的函数时,那么其定义域一般是各根本初等函数的定义域的交集.⑧对于求复合函数定义域问题,一般步骤是:假设f(x)的定义域为[a,b],其复合函数f[g(x)]的定义域应由不等式a g(x)b解出.⑨对于含字母参数的函数,求其定义域,根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论.⑩由实际问题确定的函数,其定义域除使函数有意义外,还要符合问题的实际意义.4〕求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法根本上是相同的.事实上,如果在函数的值域中存在一个最小〔大〕数,这个数就是函数的最小〔大〕值.因此求函数的最值与值域,其实质是相同的,只是提问的角度不同.求函数值域与最值的常用方法:①观察法:对于比拟简单的函数,我们可以通过观察直接得到值域或最值.②配方法:将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和,然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值.③判别式法:假设函数y f(x)可以化成一个系数含有y的关于x的二次方程a(y)x2b(y)x c(y)0,那么在a(y)0时,由于x,y为实数,故必须有b2(y)4a(y)c(y)0,从而确定函数的值域或最值.④不等式法:利用根本不等式确定函数的值域或最值.⑤换元法:通过变量代换到达化繁为简、化难为易的目的,三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题.⑥反函数法:利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值.⑦数形结合法:利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值.⑧函数的单调性法.【】函数的表示法5〕函数的表示方法表示函数的方法,常用的有解析法、列表法、图象法三种.解析法:就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.列表法:就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系.图象法:就是用图象表示两个变量之间的对应关系.〔6〕映射的概念①设A、B是两个集合,如果按照某种对应法那么f,对于集合A中任何一个元素,在集合B中都有唯一的元素和它对应,那么这样的对应〔包括集合A,B以及A到B的对应法那么f〕叫做集合A到B的映射,记作f:A B.②给定一个集合A到集合B的映射,且aA,b B.如果元素a和元素b对应,那么我们把元素b叫做元素a的象,元素a叫做元素b的原象.〗函数的根本性质】单调性与最大〔小〕值1〕函数的单调性①定义及判定方法函数的定义图象判定方法性质(版)高考文科数学函数专题讲解及高考真题(含答案)如果对于属于定义域 I 内〔1〕利用定义某个区间上的任意两个1yy=f(X)f(x 2)〔2〕利用函数 12<的单调性自变量的值x、x ,当x..函数的单调性x 2时,都有 f(x 1)<f(x2),.. .........那么就说 f(x) 在这个区间上是增函数. ...如果对于属于定义域 I 内某个区间上的任意两个 自变量的值 x 1、x 2,当x 1< .. x 2时,都有 f(x 1)>f(x2),.. .........那么就说 f(x) 在这个区 间上是减函数.... f(x 1)o x 1x 2xy y=f(X)f(x 1)f(x 2)o x 1 x 2x〔3〕利用函数图象〔在某个区间图象上升为增〕4〕利用复合函数1〕利用定义2〕利用函数的单调性3〕利用函数图象〔在某个区间图象下降为减〕〔4〕利用复合函数②在公共定义域内,两个增函数的和是增函数,两个减函数的和是减函数,增函数减去一个减函数为增函数,减函数减去一个增函数为减函数.③对于复合函数yf [g(x)],令ug(x),假设yf(u)为增,u g(x)为增,那么y f[g(x)]为增;假设y f(u)为减,ug(x)为减,那么yf[g(x)]为增;假设y f(u)为增,ug(x)为减,那么yf[g(x)]为减;假设yf(u)为减,u g(x)为增,那么 y f[g(x)]为减. 〔2〕打“√〞函数 f(x) x a(a0)的图象与性质xf(x)分别在( , a]、[a,)上为增函数,分别在[a,0)、(0,a]上为减函数.〔3〕最大〔小〕值定义①一般地,设函数 y f(x)的定义域为I ,如果存在实数 M 满足:〔1〕对于任意yox的xI ,都有 f(x) M ;〔2〕存在x 0I ,使得f(x 0)M.那么,我们称M 是函数f(x)的最大值,记 作f max (x) M .②一般地,设函数yf(x)的定义域为I ,如果存在实数m 满足:〔1〕对于任意的xI ,都有f(x) m ;〔2〕存在x 0I ,使得f(x 0)m .那么,我们称m 是函数f(x)的最小值,记作f max (x)m .】奇偶性4〕函数的奇偶性①定义及判定方法函数的 定义图象 判定方法性质如果对于函数f(x)定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数...........f(x)叫做奇函数....函数的奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数..........f(x)叫做偶函数....②假设函数f(x)为奇函数,且在x 0处有定义,那么f(0)0.1〕利用定义〔要先判断定义域是否关于原点对称〕2〕利用图象〔图象关于原点对称〕1〕利用定义〔要先判断定义域是否关于原点对称〕2〕利用图象〔图象关于y轴对称〕③奇函数在y轴两侧相对称的区间增减性相同,偶函数在y轴两侧相对称的区间增减性相反.④在公共定义域内,两个偶函数〔或奇函数〕的和〔或差〕仍是偶函数〔或奇函数〕,两个偶函数〔或奇函数〕的积〔或商〕是偶函数,一个偶函数与一个奇函数的积〔或商〕是奇函数.〖补充知识〗函数的图象1〕作图利用描点法作图:①确定函数的定义域;②化解函数解析式;③讨论函数的性质〔奇偶性、单调性〕;④画出函数的图象.利用根本函数图象的变换作图:要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种根本初等函数的图象.①平移变换y f(x)②伸缩变换y f(x)y f(x)③对称变换h0,左移h个单位yf(xh)yf(x)k0,上移k个单位yf(x)k h0,右移|h|个单位k0,下移|k|个单位01,伸y f(x)1,缩0A1,缩y Af(x)A1,伸y f(x)y f(x)y f(x)yf(x) x轴f(x)y f()y轴y f() y x x原点f(x)y f(x)直线yxy f1(x) y去掉y轴左边图象y f(|x|)保存y轴右边图象,并作其关于y轴对称图象保存x轴上方图象y|f(x)|将x轴下方图象翻折上去2〕识图对于给定函数的图象,要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性,注意图象与函数解析式中参数的关系.3〕用图函数图象形象地显示了函数的性质,为研究数量关系问题提供了“形〞的直观性,它是探求解题途径,获得问题结果的重要工具.要重视数形结合解题的思想方法.第二章 根本初等函数 (Ⅰ)〗指数函数】指数与指数幂的运算〔1〕根式的概念①如果x na,a R,xR,n1,且n N ,那么x 叫做a 的n 次方根.当n 是奇数时,a 的 n 次方根用符号n a 表示;当n 是偶数时,正数a 的正的n 次方根用符号 n a 表示,负的n 次方根用符号 na表示;0的n 次方根是 0;负数a 没有n 次方根.②式子n a 叫做根式,这里n 叫做根指数,a 叫做被开方数.当n 为奇数时,a 为任意实数;当n 为偶数时,a 0 .③根式的性质:(n a)na ;当n 为奇数时,n a na ;当n 为偶数时,n a n|a|a(a0).a(a0)〔2〕分数指数幂的概念mn a m(a①正数的正分数指数幂的意义是:a n0,m,n N,且n 1).0的正分数指数幂等于0.mmn (1)m (a②正数的负分数指数幂的意义是:an(1)n 0,m,nN,且n1).0的负分数指数幂没aa有意义. 注意口诀:底数取倒数,指数取相反数.〔3〕分数指数幂的运算性质①a r a s a rs (a 0,r,sR)②(a r )s a rs (a0,r,sR)③(ab )r rb r (a 0,b 0,r )aR【】指数函数及其性质〔4〕指数函数函数名称指数函数定义函数ya x (a0且a1)叫做指数函数图象a 10 a1yya xyya xy1y1(0,1)(0,1)Ox Ox 定域R域(0,)定点象定点(0,1),即当x0,y1.奇偶性非奇非偶性在R上是增函数在R上是减函数a x1(x0)a x1(x0)函数的a x1(x0)a x1(x0)化情况a x a x1(x0)1(x0) a化象的影响在第一象限内,a越大象越高;在第二象限内,a越大象越低.〖〗数函数【】数与数运算〔1〕数的定①假设a x N(a0,且a 1),x叫做以a底N的数,作x log a N,其中a叫做底数,N叫做真数.②数和零没有数.③数式与指数式的互化:xlog a N a x N(a0,a1,N0).〔2〕几个重要的数恒等式log a10,log a a1,log a a b b.〔3〕常用数与自然数常用数:lgN,即log10N;自然数:lnN,即log e N〔其中e⋯〕.〔4〕数的运算性如果a0,a1,M0,N0,那么①加法:log a M log a N log a(MN)②减法:log a M log a Nlog a MN③数乘:nlog a M log a M n(n R)④a log a N N⑤log bM n nlogaM(b0,n)log a Nlog b N且b1)ab R⑥换底公式:(b0,log b a【】对数函数及其性质5〕对数函数函数名称对数函数定义函数ylog a x(a0且a1)叫做对数函数a10a1x1x1y ylog a x y ylog a x图象(1,0)O(1,0)x O x 定义域(0,)值域R过定点图象过定点(1,0),即当x1时,y0.奇偶性非奇非偶单调性在(0,)上是增函数在(0,)上是减函数log a x0(x1)log a x0(x1)函数值的log a x0(x1)log a x0(x1)变化情况log a x0(0x1)log a x0(0x1) a变化对图象的影响在第一象限内,a越大图象越靠低;在第四象限内,a越大图象越靠高.(6)反函数的概念设函数y f(x)的定义域为A,值域为C,从式子y f(x)中解出x,得式子x(y).如果对于y在C中的任何一个值,通过式子x(y),x在A中都有唯一确定的值和它对应,那么式子x(y)表示x是y的函数,函数x(y)叫做函数y f(x)的反函数,记作x f1(y),习惯上改写成yf1(x).〔7〕反函数的求法①确定反函数的定义域,即原函数的值域;②从原函数式y f(x)中反解出x f1(y);③将x f1(y)改写成y f1(x),并注明反函数的定义域.〔8〕反函数的性质①原函数y f(x)与反函数y f1(x)的图象关于直线yx对称.②函数y f(x)的定义域、值域分别是其反函数yf1(x)的值域、定义域.③假设P(a,b)在原函数y f(x)的图象上,那么P'(b,a)在反函数y f1(x)的图象上.④一般地,函数yf(x)要有反函数那么它必须为单调函数.〖〗幂函数〔1〕幂函数的定义一般地,函数y x叫做幂函数,其中x为自变量,是常数.〔2〕幂函数的图象〔3〕幂函数的性质①图象分布:幂函数图象分布在第一、二、三象限,第四象限无图象.幂函数是偶函数时,图象分布在第一、二象限(图象关于y轴对称);是奇函数时,图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称);是非奇非偶函数时,图象只分布在第一象限.②过定点:所有的幂函数在(0,)都有定义,并且图象都通过点(1,1).③单调性:如果0,那么幂函数的图象过原点,并且在[0,)上为增函数.如果0,那么幂函数的图象在(0,)上为减函数,在第一象限内,图象无限接近x轴与y轴.④奇偶性:当为奇数时,幂函数为奇函数,当为偶数时,幂函数为偶函数.当q〔其中p,q互pq q质,p和q Z〕,假设p为奇数q为奇数时,那么yx p是奇函数,假设p为奇数q为偶数时,那么yx p是偶q函数,假设p为偶数q为奇数时,那么y x p是非奇非偶函数.⑤图象特征:幂函数yx,x(0,),当1时,假设0x1,其图象在直线y x下方,假设x1,其图象在直线y x上方,当10x1yx上方,假设x1,其图象在直线时,假设,其图象在直线x下方.〖补充知识〗二次函数〔1〕二次函数解析式的三种形式①一般式:f(x)ax2bx c(a0)②顶点式:f(x)a(x h)2k(a0)③两根式:f(x)a(x x1)(x x2)(a0)〔2〕求二次函数解析式的方法①三个点坐标时,宜用一般式.②抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大〔小〕值有关时,常使用顶点式.③假设抛物线与x轴有两个交点,且横线坐标时,选用两根式求f(x)更方便.〔3〕二次函数图象的性质①二次函数f(x)ax2bx c(a0)的图象是一条抛物线,对称轴方程为x b,顶点坐标是2ab4acb2 (,).2a4a②当a0时,抛物线开口向上,函数在(,b]上递减,在[b,)上递增,当xb时,2a2a2af min(x)4acb 2;当a0时,抛物线开口向下,函数在(,b]上递增,在[b,)上递减,4a2a2a当x b4acb2时,f max(x)4a.2a③二次函数f(x)ax2bx c(a0)当b24ac0时,图象与x轴有两个交点M1(x1,0),M2(x2,0),|M1M2||x1x2||a|.〔4〕一元二次方程ax2bxc0(a0)根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容,这局部知识在初中代数中虽有所涉及,但尚不够系统和完整,且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理〔韦达定理〕的运用,下面结合二次函数图象的性质,系统地来分析一元二次方程实根的分布.设一元二次方程ax2bx c 0(a 0)的两实根为x1,x2,且x1x2.令f(x) ax2bx c,从以b 下四个方面来分析此类问题:①开口方向: a ②对称轴位置:x ③判别式:④端点函数2a值符号.〔5〕二次函数f(x)ax 2 bxc(a 0)在闭区间[p,q]上的最值设f(x)在区间[p,q]上的最大值为M,最小值为m ,令x 01(p q).〔Ⅰ〕当a0时〔开口向上〕2①假设bp ,那么mf(p) ②假设p bq ,那么mf( b ) ③假设b q ,那么mf(q)2a2a2a2affff(q)(p)(q)(p)OxOxOxfbbf((p)bf()f f())2a2a 2a(q)b Mf(q)bf(p)①假设x 0,那么②x 0,那么M2a2ax 0f(q)O gxff((p)b )(Ⅱ)当a02a时(开口向下)①假设bf(p)②假设pp ,那么M2af(b)2af(p)(p)Oxfb(q),那么mf(q)①假设x 0 2af(b ) f 2a(p)x 0gOxf (q)f(p)xgOxf f(b)2a(q)b q ,那么Mf( b)③假设b2a2a2af(b)2aff f (Ox(q)f(q)Ob x 0,那么mf(p).f②2a(p)f (b)2a(q)xgO xf (p)q ,那么Mf(q)) 2ax第三章 函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念:对于函数yf(x)(xD),把使f(x)0成立的实数x 叫做函数yf(x)(xD)的零点。
高中数学必考知识点函数与方程应用题解析及解题技巧总结
高中数学必考知识点函数与方程应用题解析及解题技巧总结高中数学必考知识点:函数与方程应用题解析及解题技巧总结在高中数学中,函数与方程应用题是必考的知识点之一。
通过运用函数与方程的知识,可以解决各种实际问题。
本文将解析一些常见的函数与方程应用题,并总结解题的技巧。
一、线性方程应用题1. 等速度问题在等速运动问题中,常会涉及到线性方程的应用。
假设某车以每小时50公里的速度行驶,若行驶t小时,求行驶的距离。
解题步骤:- 设行驶的距离为D,根据速度=距离/时间的关系,得到方程50 =D/t。
- 通过化简方程,可以求解出D = 50t。
2. 斜率问题斜率是线性方程中的一个重要概念,它描述了函数图像的变化趋势。
在应用题中,我们可以通过斜率来解决一些问题。
例如,在一个坡度为2/3的斜坡上,小明以每分钟1米的速度上升,求他上升2米需要多长时间。
解题步骤:- 设上升的时间为t分钟,根据速度=距离/时间的关系,得到方程1 = 2/3t。
- 通过化简方程,可以求解出t = 3/2分钟。
二、二次函数应用题1. 抛物线问题二次函数在物理学中有广泛的应用,常用于描述天体运动、抛体运动等。
在抛物线问题中,我们可以通过二次函数的性质解决一些实际问题。
例如,一个飞行器以初速度40米/秒从水平面上升,经过4秒钟后开始下降,请问其最高点的高度是多少?解题步骤:- 设最高点的高度为h,根据抛物线的性质,最高点的时间为0轴对称点的横坐标。
- 0轴对称点的横坐标为 t = 4/2 = 2秒。
- 将t = 2代入二次函数中得到高度,计算得到h = 40*2 - 9.8*2^2 = 40米。
2. 面积问题二次函数的图像可以形成一个抛物形状,通过求解该抛物线与x轴之间的面积,可以解决一些面积问题。
例如,一个花坛的形状是一个抛物线,已知顶点坐标为(2, 5),边长为4的正方形位于抛物线与x轴之间,求正方形的面积。
解题步骤:- 设正方形的边长为a,根据抛物线的性质,正方形位于x=2附近,边长为a的正方形与抛物线有两个交点。
数学高三数学函数与方程知识总结与应用
数学高三数学函数与方程知识总结与应用在高三数学学习过程中,数学函数与方程是非常重要的内容。
掌握了这些知识,不仅可以为学习其他数学课程提供基础,也能在解决实际问题时发挥重要作用。
下面将对高三数学函数与方程的知识进行总结并介绍其应用。
一、函数知识总结1.1 函数的定义与性质函数是一种特殊的关系,通常用f(x)表示。
其中,x是自变量,f(x)是因变量。
要使一个关系为函数,对于任意的x值,都必须有唯一的f(x)值与之对应。
函数也有定义域与值域的概念,分别表示自变量与因变量的可能取值范围。
1.2 基本函数类型高中数学中常见的函数类型有线性函数、二次函数、指数函数、对数函数和三角函数等。
每种函数类型都有其独特的特点和性质。
例如,线性函数的图像为直线,二次函数的图像为抛物线。
1.3 函数图像的性质通过函数的表达式,我们可以得到其图像的一些性质。
例如,对于一次函数y = kx + b,其中k和b为常数,我们知道其图像是一条直线,斜率k决定了直线的倾斜程度。
二、方程知识总结2.1 一元一次方程一元一次方程是形如ax + b = 0的方程,其中a和b是已知常数,x是未知数。
解一元一次方程的一般步骤是将方程化简为ax = b的形式,然后求出x的值。
2.2 一元二次方程一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0的方程,其中a、b和c是已知常数,x是未知数。
解一元二次方程的一般步骤可以通过配方法、因式分解法或求根公式等方式进行。
2.3 二元一次方程组二元一次方程组是形如{ax + by = c,dx + ey = f}的方程组,其中a、b、c、d、e和f是已知常数,x和y是未知数。
解二元一次方程组的一般步骤是使用消元法或代入法等方法,最终得到x和y的值。
三、函数与方程的应用3.1 函数的图像应用函数的图像不仅可以直观地展示函数的性质,还可以应用于实际问题的解决。
例如,在物理学中,我们可以通过绘制v - t图像,其中t表示时间,v表示速度,从图像中直观地了解物体的运动情况。
函数与方程高考知识点总结
函数与方程高考知识点总结一、函数的概念与性质1.函数的定义:函数是一个从一个集合到另一个集合的映射关系。
2.函数的表示方法:函数可以用函数解析式、函数图象、函数表等形式表示。
3.函数的性质:奇偶性、周期性、有界性、单调性、极值、最值等。
二、初等函数1.常数函数:y=c。
2. 一次函数:y=kx+b。
3. 二次函数:y=ax²+bx+c。
4.幂函数:y=xⁿ。
5.指数函数:y=aᵡ。
6. 对数函数:y=logₐx。
7.三角函数:正弦函数、余弦函数、正切函数等。
8.反三角函数:反正弦函数、反余弦函数、反正切函数等。
三、函数的运算1.函数的和、差、积、商的定义与性质。
2.复合函数的定义与性质。
3.反函数的定义与性质。
四、方程的概念与性质1.方程的定义:含有未知数的等式称为方程。
2.方程的根:使方程等式成立的未知数的值称为方程的根。
3.方程的解:满足方程的根的值的集合。
4.方程的性质:等价方程、可解性、唯一性等。
五、一元一次方程1.一元一次方程的定义与解的概念。
2.一元一次方程的解法:解方程的基本步骤、去分母、去项、整理方程等。
3.一元一次方程的应用:问题转化为一元一次方程。
六、一元二次方程1.一元二次方程的定义与解的概念。
2.一元二次方程的解法:配方法、因式分解法、求根公式、三角函数法等。
3.一元二次方程的判别式:判别式与方程根的关系。
七、一元高次方程1.一元高次方程的定义与解的概念。
2.一元高次方程的解法:因式分解法、整理方程法、二次根与系数关系、综合除法等。
3.一元高次方程的应用:问题转化为一元高次方程。
八、二元一次方程组1.二元一次方程组的定义与解的概念。
2.二元一次方程组的解法:方法一、方法二、方法三等。
3.二元一次方程组的应用:问题转化为二元一次方程组。
九、二元二次方程组1.二元二次方程组的定义与解的概念。
2.二元二次方程组的解法:消元法、代入法、加减消元法、变量代换法等。
3.二元二次方程组的应用:问题转化为二元二次方程组。
高三数学函数与方程试题答案及解析
高三数学函数与方程试题答案及解析1.已知是定义在上且周期为3的函数,当时,,若函数在区间上有10个零点(互不相同),则实数的取值范围是 .【答案】【解析】作出函数的图象,可见,当时,,,方程在上有10个零点,即函数和图象与直线在上有10个交点,由于函数的周期为3,因此直线与函数的应该是4个交点,则有.【考点】函数的零点,周期函数的性质,函数图象的交点问题.2.函数f(x)=lnx-x-a有两个不同的零点,则实数a的取值范围是()A.(-∞,-1]B.(-∞,-1)C.[-1,+∞)D.(-1,+∞)【答案】B【解析】函数f(x)=lnx-x-a的零点,即为关于x的方程lnx-x-a=0的实根,将方程lnx-x-a=0,化为方程lnx=x+a,令y1=lnx,y2=x+a,由导数知识可知,直线y2=x+a与曲线y1=lnx相切时有a=-1,若关于x的方程lnx-x-a=0有两个不同的实根,则实数a的取值范围是(-∞,-1).故选B.3.已知函数f(x)=-x2+2ex+m-1,g(x)=x+ (x>0).(1)若g(x)=m有实数根,求m的取值范围;(2)确定m的取值范围,使得g(x)-f(x)=0有两个相异实根.【答案】(1)m≥2e(2)(-e2+2e+1,+∞)【解析】解:(1)∵g(x)=x+≥2=2e等号成立的条件是x=e,故g(x)的值域是[2e,+∞),因此,只需m≥2e,g(x)=m就有实数根.(2)若g(x)-f(x)=0有两个相异的实根,即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点,作出g(x)与f(x)的大致图象.∵f(x)=-x2+2ex+m-1=-(x-e)2+m-1+e2,∴其图象的对称轴为x=e,开口向下,最大值为m-1+e2.故当m-1+e2>2e,即m>-e2+2e+1时,g(x)与f(x)有两个交点,即g(x)-f(x)=0有两个相异实根.∴m的取值范围是(-e2+2e+1,+∞).4.已知f(x+1)=f(x-1),f(x)=f(-x+2),方程f(x)=0在[0,1]内有且只有一个根x=,则f(x)=0在区间[0,2014]内根的个数为()A.1006B.1007C.2013D.2014【答案】D【解析】由f(x+1)=f(x-1),可知f(x+2)=f(x),所以函数f(x)的周期是2.由f(x)=f(-x+2),可知函数f(x)关于直线x=1对称,因为函数f(x)=0在[0,1]内有且只有一个根x=,所以函数f(x)=0在区间[0,2014]内根的个数为2014,故选D.5.已知函数,集合,,记分别为集合中的元素个数,那么下列结论不正确的是()A.B.C.D.【答案】【解析】集合,均表示方程的解集,集合中元素的个数,就是方程解的个数.当时,有一解,无解,正确;当时,有一解,有一解,正确;当时,有两解,有两解,其不可能有三个解,正确,不正确.故选.【考点】1、新定义;2、集合的概念;3、函数与方程.6.偶函数f(x)满足f(x-1)=f(x+1),且在x∈[0,1]时,f(x)=x,则关于x的方程f(x)=x在x∈[0,4]上解的个数是________.【答案】4【解析】由f(x-1)=f(x+1)可知T=2.∵x∈[0,1]时,f(x)=x,又∵f(x)是偶函数,∴可得图像如图.∴f(x)=x在x∈[0,4]上解的个数是4个.7.关于x的方程e x ln x=1的实根个数是________.【答案】1【解析】由e x ln x=1(x>0)得ln x=(x>0),即ln x=x(x>0).令y1=ln x(x>0),y2=x(x>0),在同一直角坐标系内绘出函数y1,y2的图像,图像如图所示.根据图像可知两函数只有一个交点,所以原方程实根的个数为1.8.已知方程x=的解x∈,则正整数n=________.【答案】2【解析】在同一直角坐标系中画出函数y=x,y=的图像,如图所示.由图可得x∈(0,1),设f(x)=x-,因为f=-<0,f=->0,故n=2.9.(13分)(2011•湖北)设函数f(x)=x3+2ax2+bx+a,g(x)=x2﹣3x+2,其中x∈R,a、b为常数,已知曲线y=f(x)与y=g(x)在点(2,0)处有相同的切线l.(Ⅰ)求a、b的值,并写出切线l的方程;(Ⅱ)若方程f(x)+g(x)=mx有三个互不相同的实根0、x1、x2,其中x1<x2,且对任意的x∈[x1,x2],f(x)+g(x)<m(x﹣1)恒成立,求实数m的取值范围.【答案】(Ⅰ)x﹣y﹣2=0(Ⅱ)(﹣,0)【解析】(I)利用曲线y=f(x)与y=g(x)在点(2,0)处有相同的切线l,可得f(2)=g(2)=0,f'(2)=g'(2)=1.即为关于a、b的方程,解方程即可.(II)把方程f(x)+g(x)=mx有三个互不相同的实根转化为x1,x2是x2﹣3x+2﹣m=0的两相异实根.求出实数m的取值范围以及x1,x2与实数m的关系,再把f(x)+g(x)<m(x﹣1)恒成立问题转化为求函数f(x)+g(x)﹣mx在x∈[x1,x2]上的最大值,综合在一起即可求出实数m的取值范围.解:(I) f'(x)=3x2+4ax+b,g'(x)=2x﹣3.由于曲线y=f(x)与y=g(x)在点(2,0)处有相同的切线l.故有f(2)=g(2)=0,f'(2)=g'(2)=1.由此得,解得,所以a=﹣2,b=5..切线的方程为x﹣y﹣2=0.(II)由(I)得f(x)=x3﹣4x2+5x﹣2,所以f(x)+g(x)=x3﹣3x2+2x.依题意,方程x(x2﹣3x+2﹣m)=0,有三个互不相等的实根0,x1,x2,故x1,x2是x2﹣3x+2﹣m=0的两相异实根.所以△=9﹣4(2﹣m)>0,解得m>﹣.又对任意的x∈[x1,x2],f(x)+g(x)<m(x﹣1)恒成立,特别地取x=x1时,f(x1)+g(x1)<m(x1﹣1)成立,得m<0.由韦达定理得x1+x2=3>0,x1x2=2﹣m>0.故0<x1<x2.对任意的x∈[x1,x2],x﹣x2≤0,x﹣x1≥0,x>0.则f(x)+g(x)﹣mx=x(x﹣x1)(x﹣x2)≤0,又f(x1)+g(x1)﹣mx1=0.所以f(x)+g(x)﹣mx在x∈[x1,x2]上的最大值为0.于是当m<0,对任意的x∈[x1,x2],f(x)+g(x)<m(x﹣1)恒成立,综上得:实数m的取值范围是(﹣,0).点评:本题主要考查函数,导数,不等式等基础知识,同时考查综合运用数学知识进行推理论证的能立,以及函数与方程和特殊与一般的思想.10.用min{a,b)表示a,b两数中的最小值.若函数恰有三个零点,则t的值为( ).A.-2B.2C.2或-2D.1或-l【答案】D【解析】此题可以考虑数形结合:做出的图象,当过两函数交点时,恰有三个交点,即有三个零点,时,,,得到(舍)或,或,故选D.【考点】函数的零点11.已知函数,则下列说法错误的是( )A.若,则有零点B.若有零点,则且C.使得有唯一零点D.若有唯一零点,则且【答案】B【解析】令,当时,的图象如下图(1)所示,由图可知,有零点,故A正确.取,的图象如下图(2)所示,由图可知,有零点,故B错误.选B.【考点】函数的零点.12.已知是二次函数,不等式的解集是(0,5),且在区间[-1,4]上的最大值是12.(1)求f(x)的解析式;(2)是否存在正整数m,使得方程在区间内有且只有两个不等的实数根?若存在,求出所有m的值;若不存在,请说明理由.【答案】(1);(2)方程,设,则.当时,,是减函数;当时,,是增函数.因为.所以方程在区间,内分别有唯一实数根,而区间,内没有实数根.所以存在唯一的正数,使得方程在区间内有且只有两个不等的实数根.【解析】(1)由已知得0,5是二次函数的两个零点值,所以可设,开口方向向上,对称轴为,因此在区间上的最大值是,则,即,因此可求出函数的解析式;(2)由(1)得,构造函数,则方程的实数根转化为函数的零点,利用导数法得到函数减区间为、增区间为,又有,,,发现函数在区间,内分别有唯一零点,而在区间,内没有零点,所以存在唯一的正数,使得方程在区间内有且只有两个不等的实数根.(1)因为是二次函数,且的解集是,所以可设 2分所以在区间上的最大值是. 4分由已知,得,.. 6分(2)方程,设,则. 10分当时,,是减函数;当时,,是增函数. 10分因为.所以方程在区间,内分别有唯一实数根,而区间,内没有实数根. 12分所以存在唯一的正数,使得方程在区间内有且只有两个不等的实数根. 14分【考点】1.函数解析式;2.函数零点.13.函数的部分图象如图所示,则的解析式可以是A.B.C.D.【答案】C【解析】由图象可知函数定义域为实数集,故选项B不正确,又图象可知函数零点有,,,,,所以选项A,D不正确,C正确.故选C.【考点】1、函数的图象与性质;2、函数的零点.14.设定义域为R的函数若函数有7个零点,则实数的值为()A.0B.C.D.【答案】D【解析】代入检验,当时,,有2个不同实根,有4个不同实根,不符合题意;当时,,有3个不同实根,有2个不同实根,不符合题意;当时,,作出函数的图象,得到有4个不同实根,有3个不同实根,符合题意. 选D.【考点】1.函数图象;2.函数零点.15.设函数,则函数的零点个数为个.【答案】3【解析】将的图象向上平移个单位得的图象,由图象可知,有3个零点.【考点】函数的零点.16.已知函数f(x)=x2+ax+b的两个零点是-2和3,解不等式bf(ax)>0;【答案】(-3,2)【解析】由题意,得f=(x+2)(x-3)=x2-x-6,所以a=-1,b=-6,所以不等式bf(ax)>0,即为f(-x)<0,即x2+x-6<0,解得-3<x<2,所以解集为(-3,2).17.已知f(x)=2x,g(x)=3-x2,试判断函数y=f(x)-g(x)的零点个数.【答案】两个【解析】在同一坐标系内作出函数f(x)=2x与g(x)=3-x2的图象,两图象有两个交点,∴函数y=f(x)-g(x)有两个零点.18.若=x- (表示不超过x的最大整数),则方程-2013x=的实数解的个数是________.【答案】2【解析】方程可化为+[x]=2013x,可以构造两个函数:y=+[x],y=2013x,由图可知,两函数图象有2个交点,故方程有两个根.19.f(x)=|2x-1|,f1(x)=f(x),f2(x)=f(f1(x)),…,fn(x)=f(fn-1(x)),则函数y=f4(x)的零点个数为________.【答案】8【解析】f4(x)=|2f3(x)-1|的零点,即f3(x)=的零点,即|2f2(x)-1|=的零点,即f2(x)=或的零点,即|2f(x)-1|=或的零点,即f(x)=,,,的零点,显然对上述每个数值各有两个零点,故共有8个零点.20.方程的解的个数为()A.1B.3C.4D.5【答案】B【解析】本题中方程不可解,但方程解的个数可以借助于函数和的图象的交点的个数来解决,作出这两个函数的图象(如图),,,但当时,,而,故两个函数图象有三交点,即原方程有三个解.【考点】方程的解与函数图象的交点.21.已知函数,若函数在上有两个零点,则的取值范围是()A.B.C.D.【答案】D【解析】当时,函数,令,解得;当时,,此时函数在上有且仅有一个零点,等价转化为方程在上有且仅有一个实根,而函数在上的值域为,所以,解得,故选D.【考点】函数的零点22.函数在区间内的零点个数是()A.0B.1C.2D.3【答案】B.【解析】又在上单调递增,在内只有一个零点.【考点】函数的零点.23.已知函数,在上的零点个数有()A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B【解析】(数形结合)函数在上的零点个数,由函数与的图象在上的交点个数为2,故选B.【考点】函数的零点24.设函数,若实数满足,则( )A.B.C.D.【答案】A【解析】由已知得,,∴;,,∴,∴,∵,在上是单调增函数,∴.【考点】方程的根与函数的零点.25.对于任意定义在区间D上的函数f(x),若实数x0∈D,满足f(x)=x,则称x为函数f(x)在D上的一个不动点,若f(x)=2x++a在区间(0,+∞)上没有不动点,则实数a取值范围是_______.【答案】【解析】根据题意知只要①在上没有实数解就行,将①化简得,要使其在没有实数解,那么要满足或者解得.【考点】方程的根与系数的关系.26.若定义在R上的偶函数满足且时,则方程的零点个数是( )A.2个B.3个C.4个D.多于4个【答案】C【解析】试题分析:函数f(x)是以2为周期的周期函数,且是偶函数,根据上的解析式,图象关于y轴对称,可以绘制上的图象,根据周期性,可以绘制上的图象,而是个偶函数,绘制其在y轴右侧图象可知两图象右侧有两个交点,根据对称性可得共有四个交点,故选B.【考点】函数与方程.27.已知函数,其中表示不超过实数的最大整数.若关于的方程有三个不同的实根,则实数的取值范围是()A.B.C.D.【答案】B【解析】关于的方程有三个不同的实根,转化为两个函数图像有三个不同的交点,函数的图像(如图),函数恒过定点为,观察图像易得【考点】函数图象交点个数.28.函数是定义域为R的奇函数,且时,,则函数的零点个数是()A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】由题意知,当时,令,即,令,,当时,与有1个交点,即时有1个零点,又是定义域为R的奇函数,所以函数有3个零点.【考点】奇函数的性质、零点问题.29.已知,其中为常数,且.若为常数,则的值__________【答案】【解析】根据题意分别得到和的解析式,算出化简后等于k,根据合分比性质得到k即可。
高考数学函数 解析式的求解基础知识与典型例题讲解
高考数学函数()sin y A x ωϕ=+解析式的求解基础知识与典型例题讲解在有关三角函数的解答题中,凡涉及到()()sin f x A x ωϕ=+的性质时,往往表达式不直接给出,而是需要利用已知条件化简或求得,,A ωϕ得到,本讲主要介绍求解()sin y A x ωϕ=+解析式的一些技巧和方法一、基础知识:(一)表达式的化简:1、所涉及的公式(要熟记,是三角函数式变形的基础) (1)降幂公式:221cos21cos2cos,sin 22αααα+−==(2)2sin cos sin2ααα=(3)两角和差的正余弦公式()sin sin cos sin cos αβαββα+=+ ()sin sin cos sin cos αβαββα−=− ()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=− ()cos cos cos sin sin αβαβαβ−=+(4)合角公式:()sin cos a b αααϕ+=+,其中tan baϕ=(这是本讲的主角,也是化简的终结技)2、关于合角公式:()sin cos a b αααϕ+=+的说明书:(1)使用范围:三个特点:① 同角(均为α),②齐一次,③正余全(2)操作手册:如果遇到了符合以上三个条件的式子,恭喜你,可以使用合角公式将其化为()()sin f x A x ωϕ=+的形式了,通过以下三步:sin cos a b αααα⎫+=+⎪⎭② 二找:由221⎛⎫⎛⎫+=,故可看作同一个角的正余弦(称ϕ为辅助角),如cos ϕϕ==,可得:)sin cos cos sin sin cos a b ααϕαϕα+=+③ 三合:利用两角和差的正余弦公式进行合角:()sin cos a b αααϕ+=+(3)举例说明:sin y x x =+① 12sin 22y x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭②1cos sin 2cos sin sin cos 23333y x x ππππ⎛⎫==⇒=+ ⎪⎝⎭③ 2sin 3y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭(4)注意事项:① 在找角的过程中,一定要找“同一个角”的正余弦,因为合角的理论基础是两角和差的正余弦公式,所以构造的正余弦要同角② 此公式不要死记硬背,找角的要求很低,只需同一个角的正余弦即可,所以可以从不同的角度构造角,从而利用不同的公式进行合角,例如上面的那个例子:12sin 2y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,可视为1sin cos 266ππ==,那么此时表达式就变为: 2sin sin cos cos 66y x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,使用两角差的余弦公式:2cos 6y x π⎛⎫=− ⎪⎝⎭所以,找角可以灵活,不必拘于结论的形式。
高考数学专题复习《函数与方程》知识梳理及典型例题讲解课件(含答案)
√
解:因为函数 在区间 上单调递增,又函数 的一个零点在区间 内,则有 且 ,即 所以 .
(2) (2022届福建龙岩高三月考)若函数 在 <m></m> 上没有零点,则 的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
A. B. C. D.
解:由 得 .由 得 所以 的零点个数为2.故选C.
√
(2) 已知 则函数 的零点个数是__.
5
解:由 得 或 ,作出函数 的图象.
由图象知 与 的图象有2个交点, 与
的图象有3个交点.因此函数 的零点有5个.故填5.
(3) 若定义在 上的偶函数 满足 ,当 时, ,则函数 的零点个数是( )
注意:(1)定理不可逆(2)只能判断是否存在零点,不能判断零点有几个
2.用二分法求方程的近似解
(1)二分法:对于在区间 上图象连续不断且 的函数 ,通过不断地把它的零点所在区间一分为二,使所得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
(2)给定精确度 ,用二分法求函数 零点 的近似值的一般步骤如下: ①确定零点 的初始区间 ,验证_____________.
【教材梳理】
1.函数的零点与方程的解
(1)零点的定义:对于一般函数 ,我们把使_________的实数 叫做函数 的______.
(2)方程的解、函数的零点、函数的图象之间的关系:方程 有________ 函数 有零点 函数 的图象与 轴有________.
(1) 函数的零点就是函数的图象与 轴的交点. ( )
×
(2) 函数 在区间 内有零点(函数图象连续不断),则 . ( )
×
(3) 只要函数有零点,我们就可以用二分法求出零点的近似值. ( )
高中 函数与方程知识点+例题+练习 含答案
教学过程(2)零点存在性定理:利用定理不仅要函数在区间[a,b]上是连续不断的曲线,且f(a)·f(b)<0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点.(3)利用图象交点的个数:将函数变形为两个函数的差,画两个函数的图象,看其交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点.【训练1】(1)(2014·合肥模拟)函数f(x)=-1x+log2x的一个零点落在区间________.①(0,1);②(1,2);③(2,3);④(3,4).(2)(2012·北京卷改编)函数f(x)=-⎝⎛⎭⎪⎫12x的零点个数为________.考点二根据函数零点的存在情况,求参数的值【例2】已知函数f(x)=-x2+2e x+m-1,g(x)=x+e2x(x>0).(1)若y=g(x)-m有零点,求m的取值范围;(2)确定m的取值范围,使得g(x)-f(x)=0有两个相异实根.教学效果分析教学过程1.函数零点的判定常用的方法有:(1)零点存在性定理;(2)数形结合;(3)解方程f(x)=0.2.研究方程f(x)=g(x)的解,实质就是研究G(x)=f(x)-g(x)的零点.3.转化思想:方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题;已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题.创新突破2——函数的零点与函数极值点的交汇【典例】(2013·安徽卷改编)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1,x2.若f(x1)=x1<x2,则关于x的方程3(f(x))2+2af(x)+b=0的不同实根个数为________.[反思感悟] (1)强化函数零点的求法,函数与方程的转化技巧,本题的突破点是方程3(f(x))2+2af(x)+b=0的不同实根个数转化为f(x)=x1与f(x)=x2的根的个数之和.(2)本题把函数的零点与函数的极值点交汇在一起考查,体现了新课标高考的指导思想.【自主体验】(2014·广州测试)已知e是自然对数的底数,函数f(x)=e x+x-2的零点为a,函数g(x)=ln x+x-2的零点为b,则f(a),f(1),f(b)的大小关系为________.教学效果分析能力提升题组一、填空题1.(2014·烟台模拟)如图是函数f (x )=x 2+ax +b 的图象,则函数g (x )=ln x +f ′(x )的零点所在区间是________. ①⎝ ⎛⎭⎪⎫14,12; ②(1,2) ③⎝ ⎛⎭⎪⎫12,1; ④(2,3). 2.(2013·连云港检测)已知函数y =f (x )(x ∈R )满足f (x +1)=-f (x ),且当x ∈[-1,1]时,f (x )=|x |,函数g (x )=⎩⎪⎨⎪⎧sin (πx ),x >0,-1x,x <0,则函数h (x )=f (x )-g (x )在区间[-5,5]上的零点的个数为________. 3.(2013·天津卷改编)设函数f (x )=e x +x -2,g (x )=ln x +x 2-3.若实数a ,b 满足f (a )=0,g (b )=0,则g (a ),0,f (b )的大小关系为________. 二、解答题4.(2014·深圳调研)已知二次函数f (x )的最小值为-4,且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |-1≤x ≤3,x ∈R }. (1)求函数f (x )的解析式;(2)求函数g (x )=f (x )x -4ln x 的零点个数.。
高中函数知识点总结及经典题目
高中函数知识点总结及经典题目一、一阶导数与导数的应用1. 导数的定义导数是函数在某一点处的斜率,表示函数变化的速率。
2. 导数的计算给定函数$f(x)$,其导数记作$f'(x)$或$\frac{df(x)}{dx}$。
常见函数导数的计算公式如下:- $f(x) = k$,常数的导数为0;- $f(x) = x^n$,幂函数的导数为$nx^{n-1}$;- $f(x) = e^x$,指数函数的导数为$e^x$;- $f(x) = \ln(x)$,对数函数的导数为$\frac{1}{x}$;- $f(x) = \sin(x)$,正弦函数的导数为$\cos(x)$;- $f(x) = \cos(x)$,余弦函数的导数为$-\sin(x)$;3. 导数的性质常见导数的性质包括:- 导数为0的点是函数的极值点;- 相邻函数值异号的两点之间必存在导数为0的点(介值定理);- 复合函数的导数可以通过链式法则进行计算。
4. 应用举例函数导数的应用包括:- 判断函数的增减性与极值;- 计算曲线的切线方程;- 求函数的最值;- 模型的线性近似。
二、函数的图像与性质1. 函数图像的基本形态常见函数图像的基本形态包括:- 直线函数的图像是一条直线,表达线性关系;- 幂函数的图像形状由幂指数决定;- 指数函数的图像是递增的曲线;- 对数函数的图像是递增且无界的曲线;- 三角函数的图像是周期性的曲线。
2. 函数的对称性与周期性函数的对称性与周期性的特点如下:- 奇函数满足$f(-x)=-f(x)$,图像以原点对称;- 偶函数满足$f(-x)=f(x)$,图像以$y$轴对称;- 周期函数满足$f(x+T)=f(x)$,图像沿$x$轴重复。
3. 函数的极值与最值函数的极值与最值特点如下:- 函数在极大值点或极小值点处的导数为0;- 函数在增区间与减区间的交界处可能存在极值;- 函数的最值可能出现在区间端点。
三、经典题目1. 题目一已知函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1$,求其极值点及最值。
考点09 高中数学-函数与方程-考点总结及习题
考点09函数与方程【命题趋势】此知识点是高考考查的重点,常以指数函数、对数函数、幂函数、分段函数或者三角函数为背景进行考查,解题时注意数形结合思想的应用.具体要求为:(1)结合二次函数的图象,了解函数的零点与方程根的联系,判断一元二次方程根的存在性及根的个数.(2)根据具体函数的图象,能够用二分法求相应方程的近似解.【重要考向】一、函数零点(方程的根)所在区间的判断二、函数零点个数的判断三、函数零点的应用问题函数零点(方程的根)所在区间的判断1.函数零点的概念对于函数(),y f x x D =∈,我们把使()0f x =成立的实数x 叫做函数(),y f x x D =∈的零点.2.函数的零点与方程的根之间的联系函数()y f x =的零点就是方程()0f x =的实数根,也就是函数()y f x =的图象与x 轴的交点的横坐标即方程()0f x =有实数根⇔函数()y f x =的图象与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点.【注】并非所有的函数都有零点,例如,函数f (x )=x 2+1,由于方程x 2+1=0无实数根,故该函数无零点.3.二次函数2)( 0y ax bx c a =++>的零点0∆>0∆=0∆<二次函数2)( 0y ax bx c a =++>的图象与x 轴的交点(x 1,0),(x 2,0)(x 1,0)无交点零点个数214.零点存在性定理如果函数()y f x =在区间[a ,b ]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有()()0f a f b ⋅<,那么,函数()y f x =在区间(,)a b 内有零点,即存在c ∈(a ,b ),使得()0f c =,这个c 也就是方程()0f x =的根.【注】上述定理只能判断出零点存在,不能确定零点个数.1.二分法的概念对于在区间[a ,b ]上连续不断且()()0f a f b ⋅<的函数()y f x =,通过不断地把函数()f x 的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.2.用二分法求函数()f x 零点近似值的步骤给定精确度ε,用二分法求函数()f x 零点近似值的步骤如下:①确定区间[a ,b ],验证()()0f a f b ⋅<,给定精确度ε;②求区间(a ,b )的中点c ;③计算f (c );a .若f (c )=0,则c 就是函数的零点;b .若f (a )·f (c )<0,则令b =c (此时零点x 0∈(a ,c ));c .若f (c )·f (b )<0,则令a =c (此时零点x 0∈(c ,b )).④判断是否达到精确度ε:即若|a −b |<ε,则得到零点近似值a (或b );否则重复②③④.【巧学妙记】1.函数()e xf x x -=-的零点所在的区间为A .11,2⎛⎫--⎪⎝⎭B .1,02⎛⎫-⎪⎝⎭C .10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D .1,12⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D【解析】易知函数()exf x x -=-的图象是连续的,且通过计算可得()()11e 1e 10f -=--=+>,12111e 0222f ⎛⎫⎛⎫-=--=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,()00e 010f =-=>,12111e 0222f -⎛⎫=-=> ⎪⎝⎭,()111e 110ef -=-=-<,由函数零点存在性定理可得函数零点所在的区间为1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭.本题选择D 选项.2.在用二分法求方程3210x x --=的一个近似解时,现在已经将根锁定在区间(1,2)内,则下一步可以断定该根所在区间为___________.【答案】3,22⎛⎫⎪⎝⎭【解析】令()321f x x x =--,3275310288f ⎛⎫=--=-< ⎪⎝⎭,()120f =-<,()28530f =-=>,故下一步可以断定根所在区间为3,22⎛⎫⎪⎝⎭.故填3,22⎛⎫⎪⎝⎭.3.已知函数()32113f x x x =-+.(1)证明方程f (x )=0在区间(0,2)内有实数解;(2)请使用二分法,取区间的中点两次,指出方程f (x )=0,x ∈[0,2]的实数解x 0在哪个较小的区间内.【答案】31,2⎛⎫⎪⎝⎭.()1103f =>,由此可得()()1209f f ⋅=-<,则下一个有解区间为()1,2,31028f ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭,由此可得()3110224f f ⎛⎫⋅=-<⎪⎝⎭,则下一个有解区间为31,2⎛⎫⎪⎝⎭,综上所述,所求实数解0x 在较小区间31,2⎛⎫⎪⎝⎭内.函数零点个数的判断(1)解方程法:令f (x )=0,如果能求出解,则有几个解就有几个零点.(2)零点存在性定理法:利用定理不仅要求函数在区间[a ,b ]上是连续不断的曲线,且f (a )·f (b )<0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质.(3)数形结合法:转化为两个函数的图象的交点个数问题,先画出两个函数的图象,看其交点个数,其中交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点.【巧学妙记】4.函数f (x )2-2,x ≤0,x -6+ln x ,x >0的零点个数是.【答案】2【解析】当x ≤0时,令x 2-2=0,解得x =-2(正根舍去),所以在(-∞,0]上,f (x )有一个零点;当x >0时,f ′(x )=2+1x 恒成立,所以f (x )在(0,+∞)上是增函数.又因为f (2)=-2+ln 2<0,f (3)=ln 3>0,所以f (x )在(0,+∞)上有一个零点,综上,函数f (x )的零点个数为2.5.函数f (x )=|x -2|-ln x 在定义域内的零点的个数为()A .0B .1C .2D .3【答案】C 【解析】由题意可知f (x )的定义域为(0,+∞),在同一直角坐标系中画出函数y =|x-2|(x >0),y =ln x (x >0)的图象,如图所示.由图可知函数f (x )在定义域内的零点个数为2.6.函数f (x )=x -cos x 在[0,+∞)内()A .没有零点B .有且仅有一个零点C .有且仅有两个零点D .有无穷多个零点【答案】B【解析】当x ∈(0,1]时,因为f ′(x )=12x+sin x ,x >0,sin x >0,所以f ′(x )>0,故f(x)在[0,1]上单调递增,且f(0)=-1<0,f(1)=1-cos1>0,所以f(x)在[0,1]内有唯一零点.当x>1时,f(x)=x-cos x>0,故函数f(x)在[0,+∞)上有且仅有一个零点,故选B.函数零点的应用问题1.已知函数零点所在区间求参数或参数的取值范围根据函数零点或方程的根求解参数的关键是结合条件给出参数的限制条件,此时应分三步:①判断函数的单调性;②利用零点存在性定理,得到参数所满足的不等式;③解不等式,即得参数的取值范围.在求解时,注意函数图象的应用.2.已知函数零点的个数求参数或参数的取值范围一般情况下,常利用数形结合法,把此问题转化为求两函数图象的交点问题.3.借助函数零点比较大小或直接比较函数零点的大小关系要比较f(a)与f(b)的大小,通常先比较f(a)、f(b)与0的大小.若直接比较函数零点的大小,则可有以下三种常用方法:①求出零点,直接比较大小;②确定零点所在区间;③同一坐标系内画出函数图象,由零点位置关系确定大小.【巧学妙记】7.已知函数()1f x mx =+的零点在区间(1,2)内,则m 的取值范围是A .1(,)2-∞-B .11,2⎛⎫--⎪⎝⎭C .()1,-+∞D .1(,1)(,)2-∞--+∞ 【答案】B【解析】由题知f (x )单调,故(1)(2)0,f f ⋅<即(1)(21)0,m m ++<解得112m -<<-.故选B .8.已知函数f (x )x ≥1,,x <1,若关于x 的方程f (x )=k 有两个不同零点,则k 的取值范围是__________.【答案】(0,1)【解析】作出f (x )x ≥1,x <1的函数图象如图所示:方程f (x )=k 有两个不同零点,即y =k 和f (x )x ≥1,x <1的图象有两个交点,由图可得k 的取值范围是(0,1).9.已知函数f (x )=|x 2+3x |,x ∈R ,若方程f (x )-a |x -1|=0恰有4个互异的实数根,则实数a 的取值范围是________________.【答案】(0,1)∪(9,+∞)【解析】由题意知a >0.在同一直角坐标系中作出y =|x 2+3x |,y =a |x -1|的图象如图所示.由图可知f (x )-a |x -1|=0有4个互异的实数根等价于y =|x 2+3x |与y =a |x -1|的图象有4个不同的交点且4个交点的横坐标都小于1,=-x2-3x,=a(1-x)有两组不同解,消去y得x2+(3-a)x+a=0有两个不等实根,所以Δ=(3-a)2-4a>0,即a2-10a+9>0,解得a<1或a>9.又a>0,∴0<a<1或a>9.一、单选题1.方程12log x x =的解的个数为()A .0B .1C .2D .32.函数()662,0,log 12,0x x f x x x ⎧->=⎨+≤⎩的零点之和为()A .-1B .1C .-2D .23.已知函数()2log 3f x x x =+-在区间(),1a a +内有零点,则正数a 的取值范围为()A .()1,2B .()2,+∞C .()0,1D .()1,+∞4.已知函数()22,2,21219,2,x x f x x x x ⎧+<=⎨-+≥⎩若方程()0f x a -=的实根之和为6,则a的取值范围为()A .(]1,3B .[]1,3C .(]1,4D .()3,4二、多选题5.若函数()2f x x ax b =-+的两个零点是2和3,则函数()21g x bx ax =--的零点是()A .1B .12C .13-D .16-三、填空题6.函数1y x x=的零点为___________.7.若函数()xf x e =,则函数()1y f x =-的零点是___________.8.函数()2sin 213f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在(),ππ-上的零点之和为______.9.若方程30x m +=的根在()1,0-内,则m 的取值范围是_____.10.已知二次函数221y ax ax =++只有一个零点,则实数a =__________.11.用二分法求方程3250x x --=在区间[2,3]内的实根,由计算器可算得(2)1f =-,(3)16f =,(2.5) 5.625f =,那么下一个有根区间为_________.四、双空题12.已知2,0()22,0x x x f x x ⎧<=⎨-≥⎩,则f (f (―2))=________,函数f (x )的零点的个数为________.五、解答题13.方程20x x k ++=在(0,1)x ∈有解,求k 的取值范围.一、单选题1.(2014·北京高考真题(文))已知函数()26log f x x x=-,在下列区间中,包含()f x 零点的区间是A .()0,1B .()1,2C .()2,4D .()4,+∞2.(2019·全国高考真题(文))函数()2sin sin2f x x x =-在[]0,2π的零点个数为A .2B .3C .4D .53.(2010·浙江高考真题(文))已知0x 是函数1()21xf x x=+-的一个零点,若()()10201,,x x x x ∈∈+∞,则()A .1()0f x <,()20f x <B .1()0f x <,()20f x >C .()10f x >,()20f x <D .()10f x >,()20f x >4.(2010·福建高考真题(文))函数()223,0{ 2,0x x x f x lnx x +-≤=-+>的零点个数为()A .3B .2C .1D .05.(2014·重庆高考真题(文))已知函数13,(1,0](){,()()1,1]1,(0,1]x f x g x f x mx m x x x -∈-==---+∈且在(内有且仅有两个不同的零点,则实数的取值范围是A .91(,2](0,]42--⋃B .111(,2](0,]42--⋃C .92(,2](0,43--⋃D .112(,2](0,43--⋃6.(2011·福建(文))若关于x 的方程x 2+mx+1=0有两个不相等的实数根,则实数m 的取值范围是A .(﹣1,1)B .(﹣2,2)C .(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞)D .(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞)7.(2020·天津高考真题)已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx xk =--∈R 恰有4个零点,则k 的取值范围是()A.1,)2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭B.1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭C.(,0)-∞ D.(,0))-∞+∞ 8.(2015·安徽高考真题(文))下列函数中,既是偶函数又存在零点的是()A .y =lnxB .21y x =+C .y =sinxD .y =cosx 9.(2015·天津高考真题(文))已知函数,函数,则函数的零点的个数为A .2B .3C .4D .510.(2013·安徽高考真题(文))已知函数32()f x x ax bx c =+++有两个极值点12,x x ,若112()f x x x =<,则关于x 的方程23(())2()0f x af x b ++=的不同实根个数为A .3B .4C .5D .6二、填空题11.(2016·天津高考真题(文))已知函数2(43)3,0()(01)log (1)1,0a x a x a x f x a a x x 且⎧+-+<=>≠⎨++≥⎩在R 上单调递减,且关于x 的方程|()|23xf x =-恰有两个不相等的实数解,则a 的取值范围是___________.12.(2015·湖南高考真题(文))若函数()22xf x b =--有两个零点,则实数b 的取值范围是_____.13.(2008·湖北高考真题(文))方程223x x -+=的实数解的个数为_____________.三、解答题14.(2018·全国高考真题(文))已知函数()()32113f x x a x x =-++.(1)若3a =,求()f x 的单调区间;(2)证明:()f x只有一个零点.一、单选题1.(2021·全国高三其他模拟)设x ∈R ,定义符号函数1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩,则方程2sgn 21x x x =-的解是()A .1B.1--C .1或1-D .1或1-+或1-2.(2021·内蒙古赤峰市·高三二模(文))已知函数()21()2f x a x x x =-+有且仅有两个零点,则实数a =()A .3227B .3227-C .2732D .2732-3.(2021·宁夏高三其他模拟(文))函数3()9x f x e x =+-的零点所在的区间为()A .()0,1B .()1,2C .()2,3D .()3,44.(2021·河南新乡市·高三三模(文))已知函数()231f x x x =++.若关于x 的方程()0f x a x -=恰有两个不同的实根,则a 的取值范围是()A .()1,5B .[]1,5C .()1}50{⋃,D .[]1}50{⋃,5.(2021·河南商丘市·高三月考(文))已知函数()22,01,0x x x f x x x⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩,若关于x 的方程()()3f x a x =+有四个不同的实数根,则实数a 的取值范围是()A.(,4-∞-B.()4++∞C.0,4⎡-⎣D.(0,4-6.(2021·晋中市新一双语学校高三其他模拟(文))若关于x的方程2sin2x x m -=-在区间,46ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有且只有一个解,则m 的值不可能为()A .2-B .1-C .12-D .07.(2021·全国高三其他模拟(文))已知函数()31,13,1x x f x x x -⎧->-⎪=⎨+≤-⎪⎩,当a b c <<时,有()()()f a f b f c ==,则()1f a -的取值范围是()A .()1,9B .()4,9C .()1,4D .[]4,98.(2021·新疆高三其他模拟(文))定义在()(),00,-∞⋃+∞上的函数()f x 满足()()f x f x -=,且0x >时,()ln xf x x=.若关于x 的方程()f x kx =有三个不相等的实数根,则实数k 的取值范围是()A .11,0,e e ⎛⎫⎛⎫-∞-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B .11,00,ee ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C .11,0,22e e ⎛⎫⎛⎫-∞-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D .11,00,22e e ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭9.(2021·四川宜宾市·高三二模(文))已知函数()()3log 911x f x x+=-,下列说法正确的是()A .()f x 既不是奇函数也不是偶函数B .()f x 的图象与sin y x =有无数个交点C .()f x 的图象与2y =只有一个交点D .()()21f f -<-二、填空题10.(2021·云南昆明市·高三三模(文))已知函数ln ()1xxf x ae x=--两个不同的零点,则实数a 的取值范围是___________.11.(2021·晋中市新一双语学校高三其他模拟(文))规定记号"Δ"表示一种运算,即()()22Δ12,,a b a b b a b =--∈R ,若0k >,函数()()Δf x kx x =的图象关于直线12x =对称,则k =___________.12.(2021·宁夏高三其他模拟(文))关于函数2()sin sin f x x x =-有下述四个结论:①()f x 是偶函数;②()f x 在区间0,6π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减;③()f x 在[,]-ππ有四个零点;④()f x 的值域是1,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦;⑤()f x 的周期为2π.其中所有正确结论的编号是___________.13.(2021·四川达州市·高三二模(文))已知函数21,0(),0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩,若()()g x f x a =-仅有两个不同零点,则实数a 的取值范围是_________.14.(2021·全国高三其他模拟(文))方程e ||10x x x --=的实数根的个数为___________.15.(2021·成都七中实验学校高三三模(文))已知函数2,1()169,1xx f x x x x x ⎧<⎪=-⎨⎪-+≥⎩,若方程()f x a =有四个不同的根1234,,,x x x x ,且1234x x x x <<<,则3411x x +的取值范围是___________.参考答案跟踪训练1.B 【分析】在同一坐标系内,作出y =12log y x =的图象,根据图象的交点个数即可求解.【详解】在同一坐标系内,作出y =12log y x =的图象,如图:由图象可知,方程只有一个解.故选:B 2.A 【分析】根据分段函数解析式,分别求得零点,结合对数式运算即可求得零点之和.【详解】函数()662,0,log 12,0x x f x x x ⎧->=⎨+≤⎩当0x >时,()62xf x =-,设其零点为1x ,则满足1620x -=,解得16log 2x =;当0x ≤时,()6log 12f x x =+,设其零点为2x ,则满足26log 120x +=,解得26log 12x =-;所以零点之和为1266log 2log 121x x +=-=-故选:A.【点睛】本题考查了分段函数的简单应用,函数零点的定义,对数式的运算性质,属于基础题.3.A 【分析】由题得(2)=0f ,且函数在定义域内()f x 单调递增,得21a a <<+,解不等式得解.【详解】由题得()22log 2230f =+-=,且函数在定义域内()f x 单调递增(增+增=增),所以21a a <<+,得12a <<.故选:A 【点睛】本题主要考查函数的零点问题,意在考查学生对这些知识的理解掌握是水平,属于基础题.4.A 【分析】作出()f x 图象,求方程()0f x a -=的实根之和为6,即求()y f x =与y a =图象交点横坐标之和为6,分别讨论a =1、12a <<、a =2、23a <≤、34a <<和a =4时y a =图象与()y f x =图象交点个数及性质,数形结合,即可得答案.【详解】作出()f x 图象,如图所示求方程()0f x a -=的实根之和为6,即求()y f x =与y a =图象交点横坐标之和为6,当a =1时,y a =图象与()y f x =图象只有一个交点(3,1),不满足题意;当12a <<时,y a =图象与()y f x =图象有2个交点,且从左至右设为12,x x ,由图象可得12,x x 关于x =3对称,所以1232x x +=,即126x x +=,满足题意;当a =2时,y a =图象与()y f x =图象有3个交点,且(0,2)为最左侧交点,设y a =与()y f x =图象另外两个交点为12,x x ,由图象可得12,x x 关于x =3对称,所以1232x x +=,即126x x +=,满足题意;当23a <≤时,y a =图象与()y f x =图象有4个交点,从左至右设为12,x x ,34,x x ,由图象可得12,x x 关于x =0对称,所以120x x +=,34,x x 关于x =3对称,所以3432x x +=,即346x x +=,满足题意;当34a <<时,y a =图象与()y f x =图象有3个交点,由图象可得不满足题意;当a =4时,y a =图象与()y f x =图象有2个交点,由图象可得不满足题意;综上:a 的取值范围为13a <£.故选:A 5.AD 【分析】由()f x 的零点求参数a 、b ,写出()g x 的解析式,进而可求其零点.【详解】由题设知:2,3是20x ax b -+=的两个根,∴235,236a b =+==⨯=,∴()2651g x x x =--,若()0g x =,可得零点为1x =或16x =-.故选:AD.6.1【分析】令10y x==求解.【详解】令10y x ==1x=,两边平方得:()310x x =>,解得1x =,所以函数1y x=的零点为1.故答案为:1.7.0【分析】求得函数()11xy f x e =-=-,令0y =,即可求解.【详解】由函数()xf x e =,可得()11xy f x e =-=-,令0y =,可得10x e -=,解得0x =,故函数()1y f x =-的零点是0.故答案为:0.8.3π-【分析】令()0f x =,得1sin 232x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭,再根据(),x ππ∈-,得到23x π-范围求解.【详解】()2sin 213f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,令()0f x =得,1sin 232x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭,因为(),x ππ∈-,所以752,333x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭,则11236x ππ-=-或76π-或6π或56π,解得34x π=-或512π-或4π或712π,所以12343x x x x π+++=-.故答案为:3π-9.()0,3【分析】设()3f x x m =+,利用零点存在定理可构造不等式求得结果.【详解】设()3f x x m =+,则()()()1030f f m m -⋅=-<,解得:03m <<,即m 的取值范围为()0,3.故答案为:()0,3.10.1【分析】先判断0a ≠,再利用判别式为零可得答案.【详解】因为221y ax ax =++是二次函数,所以0a ≠,又因为二次函数221y ax ax =++只有一个零点,所以二次方程2210ax ax ++=只有一个解,所以24400a a a ∆=-=⇒=(舍去),或1a =,故答案为:1.【点睛】本题主要考查函数的零点,考查了分类讨论思想与转化思想的应用,属于基础题.11.()2,2.5【分析】利用零点存在性定理判断.【详解】()210f =-< ,()2.5 5.6250f =>,()()2 2.50f f <,所以下一个有根区间为()2,2.5.故答案为:()2,2.512.141【分析】先求(2)f -,再求((2))f f -,令f (x )=0,直接解方程可得函数的零点【详解】根据题意得:2(2)(2)4f -=-=,则4((2))(4)2216214f f f -==-=-=;令f (x )=0,得到220x -=,解得:x =1,则函数f (x )的零点个数为1,故答案为:14;1.13.20k -<<【分析】转化为求二次函数2k x x =--,(0,1)x ∈的值域,可求得结果.【详解】由20x x k ++=得2k x x =--在(0,1)x ∈有解,当01x <<时,2211()24k x x x =--=-++为减函数,所以110k --<<,所以20k -<<.真题再现1.C【详解】因为(2)310f =->,3(4)202f =-<,所以由根的存在性定理可知:选C.考点:本小题主要考查函数的零点知识,正确理解零点定义及根的存在性定理是解答好本类题目的关键.2.B【分析】令()0f x =,得sin 0x =或cos 1x =,再根据x 的取值范围可求得零点.【详解】由()2sin sin 22sin 2sin cos 2sin (1cos )0f x x x x x x x x =-=-=-=,得sin 0x =或cos 1x =,[]0,2x π∈ ,02x ππ∴=、或.()f x ∴在[]0,2π的零点个数是3,故选B .【点睛】本题考查在一定范围内的函数的零点个数,渗透了直观想象和数学运算素养.采取特殊值法,利用数形结合和方程思想解题.3.B【分析】转化0x 是函数1()21x f x x=+-的一个零点为0x 是函数2x y =与11y x =-的交点的横坐标,画出函数图像,利用图像判断即可【详解】因为0x 是函数1()21x f x x=+-的一个零点,则0x 是函数2x y =与11y x =-的交点的横坐标,画出函数图像,如图所示,则当()101,x x ∈时,2x y =在11y x =-下方,即()10<f x ;当()20,x x ∈+∞时,2x y =在11y x =-上方,即()20f x >,故选:B【点睛】本题考查函数的零点问题,考查数形结合思想与转化思想4.B【解析】试题分析:当0x ≤时,令()2230f x x x =+-=,解得3x =-;当0x >时,令()2ln 0f x x =-+=,解得2x e =.综上可知()f x 的零点有2个.故B 正确.考点:1分段函数;2函数的零点.5.A【分析】试题分析:令,分别作出与的图像如下,由图像知是过定点的一条直线,当直线绕着定点转动时,与图像产生不同的交点.当直线在轴和直线及切线和直线之间时,与图像产生两个交点,此时或故答案选A .考点:1.函数零点的应用;2.数形结合思想的应用.6.C【详解】试题分析:利用题中条件:“关于x 的方程x 2+mx+1=0有两个不相等的实数根”由韦达定理的出m 的关系式,解不等式即可.解:∵关于x 的方程x 2+mx+1=0有两个不相等的实数根,∴△>0,即:m 2﹣4>0,解得:m ∈(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞).故选C .点评:本题考查一元二次方程的根的判别式与根的关系,属于基本运算的考查.7.D【分析】由(0)0g =,结合已知,将问题转化为|2|y kx =-与()()||f x h x x =有3个不同交点,分0,0,0k k k =<>三种情况,数形结合讨论即可得到答案.【详解】注意到(0)0g =,所以要使()g x 恰有4个零点,只需方程()|2|||f x kx x -=恰有3个实根即可,令()h x =()||f x x ,即|2|y kx =-与()()||f x h x x =的图象有3个不同交点.因为2,0()()1,0x x f x h x x x ⎧>==⎨<⎩,当0k =时,此时2y =,如图1,2y =与()()||f x h x x =有1个不同交点,不满足题意;当0k <时,如图2,此时|2|y kx =-与()()||f x h x x =恒有3个不同交点,满足题意;当0k >时,如图3,当2y kx =-与2y x =相切时,联立方程得220x kx -+=,令0∆=得280k -=,解得k =,所以k >综上,k 的取值范围为(,0))-∞+∞ .故选:D.【点晴】本题主要考查函数与方程的应用,考查数形结合思想,转化与化归思想,是一道中档题.8.D【详解】选项A :ln y x =的定义域为(0,+∞),故ln y x =不具备奇偶性,故A 错误;选项B :21y x =+是偶函数,但210y x =+=无解,即不存在零点,故B 错误;选项C :sin y x =是奇函数,故C 错;选项D :cos y x =是偶函数,且cos 02y x x k ππ==⇒=+,k z ∈,故D 项正确.考点:本题主要考查函数的奇偶性和零点的概念.9.A【详解】当0x <时22x ->,所以()22f x x x =-=+,()22f x x -=,此时函数()()()()2231f x g x f x f x x x -=+--=+-的小于零的零点为152x =-;当02x ≤≤时()22f x x x =-=-,()222f x x x -=--=,函数()()231f x g x x x -=-+-=-无零点;当2x >时,()()22f x x =-,()2224f x x x -=--=-,函数()()()2224355f x g x x x x x -=-+--=-+大于2的零点为552x +=,综上可得函数()()y f x g x =-的零点的个数为2.故选A.考点:本题主要考查分段函数、函数零点及学生分析问题解决问题的能力.10.A【解析】试题分析:求导得,显然是方程的二不等实根,不妨设,于是关于x 的方程3(f(x))2+2af(x)+b =0的解就是或,根据题意画图:所以有两个不等实根,只有一个不等实根,故答案选A.考点:导数、零点、函数的图象11.12[,)33【详解】试题分析:由函数()f x 在R 上单调递减得43130,01,31234a a a a --≥<<≥⇒≤≤,又方程()23x f x =-恰有两个不相等的实数解,所以232,3解得a a <<,因此a 的取值范围是12[,33.【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路:(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围;(2)分离参数法:先将参数分离,转化为求函数值域的问题加以解决;(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解.12.02b <<【详解】函数()22xf x b =--有两个零点,和的图象有两个交点,画出和的图象,如图,要有两个交点,那么13.2【解析】因为223x x -=-,作出函数22,3x y y x -==-的图像,从图像可以观察到两函数的图像有两个公共点,所以方程223x x -+=的实数解的个数为2.14.(1)f (x )在(–∞,33-),(323++∞)单调递增,在(33-,33+)单调递减.(2)见解析.【详解】分析:(1)将3a =代入,求导得2()63f x x x '=--,令()0f x '>求得增区间,令()0f x '<求得减区间;(2)令321()(1)03f x x a x x =-++=,即32301x a x x -=++,则将问题转化为函数32()31x g x a x x =-++只有一个零点问题,研究函数()g x 单调性可得.详解:(1)当a =3时,f (x )=3213333x x x ---,f ′(x )=263x x --.令f ′(x )=0解得x =33-或x =323+.当x ∈(–∞,323-323++∞)时,f ′(x )>0;当x ∈(323-,33+f ′(x )<0.故f (x )在(–∞,33-),(33+,+∞)单调递增,在(33-,33+递减.(2)由于210x x ++>,所以()0f x =等价于32301x a x x -=++.设()g x =3231x a x x -++,则g ′(x )=()()2222231x x x xx ++++≥0,仅当x =0时g ′(x )=0,所以g (x )在(–∞,+∞)单调递增.故g (x )至多有一个零点,从而f (x )至多有一个零点.又f (3a –1)=221116260366a a a ⎛⎫-+-=---< ⎪⎝⎭,f (3a +1)=103>,故f (x )有一个零点.综上,f (x )只有一个零点.点睛:(1)用导数求函数单调区间的步骤如下:①确定函数()f x 的定义域;②求导数()'f x ;③由()0f x '>(或()0f x '<)解出相应的x 的取值范围,当()0f x '>时,()f x 在相应区间上是增函数;当()0f x '<时,()f x 在相应区间上是减增函数.(2)本题第二问重在考查零点存在性问题,解题的关键在于将问题转化为求证函数()g x 有唯一零点,可先证明其单调,再结合零点存在性定理进行论证.模拟检测1.C【分析】根据符号函数的定义,分三种情况讨论化简方程,然后解方程即可.【详解】解:当0x >时,方程2sgn 21x x x =-可化为221x x =-,化简得()210x -=,解得1x =;当0x =时,方程2sgn 21x x x =-可化为01=-,无解;当0x <时,方程2sgn 21x x x =-可化为221x x -=-,化简得2210x x +-=,解得1x =-(舍去)或1x =--;综上,方程2sgn 21x x x =-的解是1或1-.故选:C.2.C【分析】将函数()21()2f x a x x x =-+有且仅有两个零点,转化为()212a x x x =--由两个不同的根,在同一坐标系中作出(),y a y g x ==的图象,利用数形结合法求解.【详解】令()21()20f x a x x x =-+=,则()212a x x x =--由两个不同的根,令()()212g x x x x =--,则()()23342x g x x x -'=--,当0x <时,()0g x '>,当403x <<时,()0g x '<,当423x <<或2x >时,()0g x '>,当43x =时,()2732g x =,在同一坐标系中作出(),y a y g x ==的图象,如图所示:因为函数()21()2f x a x x x=-+有且仅有两个零点,由图象知:实数a =3227,故选:A 3.B 【分析】根据零点存在性定理,由3()9x f x e x =+-为增函数,带入相关数值判断即可得解.【详解】由x e 为增函数,3x 为增函数,故3()9x f x e x =+-为增函数,由(1)80f e =-<,2(2)10f e =->,根据零点存在性定理可得0(1,2)x ∃∈使得0()0f x =,故选:B.4.C 【分析】首先讨论0x =,在0x ≠时,利用分离参数的思想,画出13y x x=++的图像,利用数形结合判断出答案.【详解】当0x =时,()010f =≠,故0x =不是方程()0f x a x -=的根,当0x ≠时,由()0f x a x -=得,13a x x=++,方程()0f x a x -=恰有两个不同的实根等价于直线y =a 与函数13y x x=++的图像有两个不同的交点,作出函数()y f x =的大致图像如图所示,由图可知,0a =或15a <<.故选:C.【点睛】本题解题时利用了数形结合的思想,根据图像判断出结果.5.D 【分析】方程()(3)f x a x =+有四个不同的实数根,即直线(3)y a x =+与曲线()y f x =,作出函数图像,即转化为2(2)30x a x a +++=在()2,0-有两个不等实根,可得答案.【详解】设(3)y a x =+,该直线恒过点()3,0-,方程()(3)f x a x =+有四个不同的实数根如图作出函数()y f x =的图像,结合函数图象,则0a >,所以直线(3)y a x =+与曲线()22,2,0y x x x =--∈-有两个不同的公共点,所以2(2)30x a x a +++=在()2,0-有两个不等实根,令()2(2)3g x x a x a =+++,实数a 满足()()()22120220203020a a a g a g a ⎧∆=+->⎪+⎪-<-<⎪⎨⎪=>⎪-=>⎪⎩,解得04a <<-,所以实数a的取值范围是(0,4-.故选:D.【点睛】方法点睛:已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法:(1)直接法:直接求解方程得到方程的根,再通过解不等式确定参数范围;(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数的值域问题加以解决;(3)数形结合法:先对解析式变形,进而构造两个函数,然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,利用数形结合的方法求解6.B 【分析】化简可得cos 262m x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,转化为cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象和直线2m y =-只有1个交点,根据,46x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦结合三角函数的性质可求出.【详解】由2sin2x x m -=-可得1cos sin22xx m +-=,化简可得cos 262m x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,即cos 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象和直线2my =-只有1个交点.又,46x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,则2,632x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦.当263x ππ+=-,即4πx =-时,可得1cos ;32y π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭当206x π+=,即12x π=-时,可得1y =;当262x ππ+=,即6x π=时,可得0.y =要使得cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象和直线2my =-只有1个交点,可得12m-=或1022m -<,解得2m =-或10m -<.故选:B.【点睛】关键点睛:本题考查三角函数与方程的应用,解题的关键是化简将题目转化为cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象和直线2m y =-只有1个交点.7.B 【分析】作出函数()f x 的图象,求出a 的取值范围,由此可得出()12f a a -=的取值范围.【详解】当1x >-时,311x -->-,作出函数()f x 的图象如下图所示:设()()()t f a f b f c ===,由图可知,当01t <<时,直线y t =与函数()f x 的图象有三个交点,由()()30,1f a a =+∈,解得32a -<<-,因为()12f -=,因此,()()124,9f aa -=∈.故选:B.【点睛】方法点睛:已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法:(1)直接法:直接求解方程得到方程的根,再通过解不等式确定参数范围;(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数的值域问题加以解决;(3)数形结合法:先对解析式变形,进而构造两个函数,然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,利用数形结合的方法求解.8.D 【分析】根据函数为偶函数,通过求导先求0x >时函数的图像与性质,然后结合图像,求临界点时k 的值,即()f x 和直线kx 相切时的切线斜率,再根据对称性即可得解.【详解】当0x >时,令()21ln 0xf x x-'==,则e x =.即()0,x e ∈时,()f x 单调递增.(),x e ∈+∞时,()f x 单调递减.若关于x 的方程()f x kx =有三个不相等的实数根,如图,当0k >时,设过点()0,0做曲线的切线交曲线于点000ln ,x P x x ⎛⎫⎪⎝⎭,切线方程为:()000200ln 1ln x x y x x x x --=-切线又过点()0,0,则0000ln 1ln x x x x --=-,即0x e =又∵ln xy x=在()0,x e ∈时单调递增.∴0x e =,切线的斜率为12e ,∴10,2k e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭由对称性知:11,00,22k e e ⎛⎫⎛⎫∈-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选:D.【点睛】本题考查了函数方程问题,考查了利图象交点求参数范围,同时考查了利用导数研究函数的单调性,有一定的计算量,属于中档题.本题的关键点有:(1)利用导数研究函数的单调性,并能正确画出函数图像;(2)求临界值,掌握过某点求切线方程.9.C 【分析】A 根据函数奇偶性的定义即可判断()f x 的奇偶性;B 利用放缩法,当0x >易证()1f x >,由奇函数的对称性知0x <时()1f x <-,即可知()f x 与sin y x =的交点情况;C :由()2f x =变形可得112713x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭,设()11327x xg x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭只需判断()1g x =解得个数即可;D 根据函数解析式求出()()2,1f f --比较大小即可.【详解】A :()f x 定义域为{|0}x x ≠且()()()()()()333391log log 91log 91log 9191120x x x x x f x f x x x x x -⎛⎫+ ⎪+++⎝⎭-+=-+-=--=-,故()f x 为奇函数,错误;B :当0x >时有()3log 91211xf x x>-=-=,又()f x 为奇函数,则当0x <时,()1f x <-,即在R 上()f x ∈()(),11,-∞-⋃+∞,则()f x 的图象与sin y x =没有交点,错误,C :若()2f x =,则有()3log 9112x x+-=,即()3log 913x x +=,变形得9127x x+=,即112713xx⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭,设()11327x xg x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则()g x 为减函数且其值域为()0,+¥,则()1g x =有且只有一个解,即()f x 的图象与2y =只有一个交点,正确,D :()()2333182log 1log 2log 918181211222f -⎛⎫⎛⎫++ ⎪+ ⎪⎝⎭-=-=--=- ⎪- ⎪⎝⎭3182log 29=-⨯3log 3=-,而()333110101log 11log 1log 993f ⎛⎫⎛⎫-=-+-=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则有()()21f f ->-,错误.故选:C.【点睛】关键点点睛:A 利用奇偶性定义判断函数的奇偶性,B 放缩法及奇函数的对称性,结合正弦函数的性质判断交点情况,C 将交点问题,通过恒等变形转化为方程是否有解的问题,D 通过函数解析式求函数值,进而比较大小.10.10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】令ln ()10xxf x ae x=--=,转化为ln 0x axe x x --=有两个不同的根,令()ln x g x axe x x =--,转化为函数()g x 有两个零点,用导数法求解.【详解】令ln ()10xxf x ae x=--=,则ln 0x axe x x --=,令()ln x g x axe x x =--,则()()1111xxx g x ae axe x ae x x ⎛⎫'=--=+- ⎝+⎪⎭,当0a ≤时,()0g x '<在()0,∞+上恒成立,()g x 递减,不可能有两个零点,当0a >时,存在0x 使得()00g x '=,即01x aex =,当00x x <<时,()00g x '<,当0x x >时,()00g x '>,若()f x 两个不同的零点,即()g x 有两个零点,则()00g x <,即()0000001ln 1ln 1ln0x xg x ax e x x e x a=--=-=-<,解得10a e<<,故答案为:10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭11.1【分析】根据新运算的定义,得到函数解析式为()()()()112f x kx kx x x =-+-,再根据函数图象关于直线12x =对称,得到函数的四个零点两两对称,列出方程求解,即可得出结果.【详解】由题意可得:()()()()()()()222Δ12112f x kx x k x x x kx kx x x ==--=-+-,0k >,则函数()()()()112f x kx kx x x =-+-有四个零点,从大到小依次是1k -,0,1k,2,因为函数()f x 的图象关于直线12x =对称,所以1,0k ⎛⎫-⎪⎝⎭与()2,0关于直线12x =对称,1,0k ⎛⎫⎪⎝⎭与()0,0关于直线12x =对称,所以101,121,k k ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩,解得 1.k =故答案为:1.【点睛】关键点点睛:求解本题的关键在于由函数新定义得到函数解析式,确定函数零点,再由对称性,即可求解.12.②③⑤【分析】对于①,利用函数的奇偶性的定义进行判断即可;对于②,由于。
函数与方程例题和知识点总结
函数与方程例题和知识点总结在数学的学习中,函数与方程是非常重要的概念,它们不仅在数学领域有着广泛的应用,也在其他学科和实际生活中发挥着重要作用。
接下来,让我们通过一些具体的例题来深入理解函数与方程,并对相关知识点进行总结。
一、函数的概念函数是一种特殊的对应关系,给定一个非空数集 A,对于集合 A 中的任意一个数 x,按照某种确定的对应关系 f,在另一个非空数集 B 中都有唯一确定的数 y 与之对应,就称 f 是集合 A 到集合 B 的一个函数。
例如,函数 f(x) = 2x + 1,对于任意给定的 x 值,通过这个关系式都能唯一确定一个 y 值。
二、方程的概念方程是指含有未知数的等式。
例如,2x + 3 = 7 就是一个方程。
三、函数与方程的联系函数的零点就是方程 f(x) = 0 的实数解。
四、例题分析例 1:已知函数 f(x) = x² 2x 3,求函数的零点。
解:令 f(x) = 0,即 x² 2x 3 = 0因式分解得:(x 3)(x + 1) = 0解得:x = 3 或 x =-1所以函数 f(x) 的零点为 3 和-1。
例 2:判断函数 f(x) = x³ 3x + 1 在区间0, 1内是否有零点。
解:先计算 f(0) = 1 > 0,f(1) =-1 < 0因为函数 f(x) 在区间0, 1上是连续的,且 f(0) 和 f(1) 的值异号所以根据零点存在定理,函数 f(x) 在区间0, 1内至少有一个零点。
例 3:已知函数 f(x) = 2x + m 的图像与函数 g(x) = x² 4x + 1 的图像有一个交点,求 m 的值。
解:将两个函数联立得:2x + m = x² 4x + 1移项化为一元二次方程:x² 6x + 1 m = 0因为两个函数的图像有一个交点,所以方程有且仅有一个解即判别式Δ = 36 4(1 m) = 0解得:m =-8五、知识点总结1、函数零点的求法:令函数值为 0,求解方程的根。
高中数学函数与方程知识点总结、经典例题及解析、高考真题及答案
1 函数与方程【知识梳理】1、函数零点的定义(1)对于函数)(x f y =,我们把方程0)(=x f 的实数根叫做函数)(x f y =的零点。
(2)方程0)(=x f 有实根Û函数()y f x =的图像与x 轴有交点Û函数()y f x =有零点。
因此判断一个函数是否有零点,有几个零点,就是判断方程0)(=x f 是否有实数根,有几个实数根。
函数零点的求法:解方程0)(=x f ,所得实数根就是()f x 的零点(3)变号零点与不变号零点①若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值异号,则称该零点为函数()f x 的变号零点。
②若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值同号,则称该零点为函数()f x 的不变号零点。
③若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是一条连续的曲线,则0)()(<b f a f 是()f x 在区间(),a b 内有零点的充分不必要条件。
2、函数零点的判定(1)零点存在性定理:如果函数)(x f y =在区间],[b a 上的图象是连续不断的曲线,并且有()()0f a f b ×<,那么,函数)(x f y =在区间(),a b 内有零点,即存在),(0b a x Î,使得0)(0=x f ,这个0x 也就是方程0)(=x f 的根。
(2)函数)(x f y =零点个数(或方程0)(=x f 实数根的个数)确定方法①代数法:函数)(x f y =的零点Û0)(=x f 的根;②(几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点。
(3)零点个数确定0D >Û)(x f y =有2个零点Û0)(=x f 有两个不等实根;0D =Û)(x f y =有1个零点Û0)(=x f 有两个相等实根;0D <Û)(x f y =无零点Û0)(=x f 无实根;对于二次函数在区间[],a b 上的零点个数,要结合图像进行确定. 1、二分法(1)二分法的定义:对于在区间[,]a b 上连续不断且()()0f a f b ×<的函数()y f x =,通过不断地把函数()y f x =的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值的方法叫做二分法; (2)用二分法求方程的近似解的步骤: ①确定区间[,]a b ,验证()()0f a f b ×<,给定精确度e ; ②求区间(,)a b 的中点c ; ③计算()f c ; (ⅰ)若()0f c =,则c 就是函数的零点; (ⅱ) 若()()0f a f c ×<,则令b c =(此时零点0(,)x a c Î); (ⅲ) 若()()0f c f b ×<,则令a c =(此时零点0(,)x c b Î); ④判断是否达到精确度e ,即a b e -<,则得到零点近似值为a (或b );否则重复②至④步. 【经典例题】【经典例题】1.函数3()=2+2xf x x -在区间(0,1)内的零点个数是内的零点个数是 ( )A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 2.函数.函数 f (x )=2x+3x 的零点所在的一个区间是的零点所在的一个区间是( ) A 、(-2,-1) B 、(-1,0) C 、(0,1) D 、(1,2) 3.若函数=)(x f xa x a -- (0a >且1a ¹)有两个零点,则实数a 的取值范围是的取值范围是. 4.设函数f (x )()x R Î满足f (x -)=f (x ),f (x )=f (2-x ),且当[0,1]x Î时,f (x )=x 3.又函数g (x )= |x cos ()x p |,则函数h (x )=g (x )-f (x )在13[,]22-上的零点个数为上的零点个数为 ( )A 、5 B 、6 C 、7 D 、8 5.函数2()cos f x x x =在区间[0,4]上的零点个数为上的零点个数为 ( )A 、4 B 、5 C 、6 D 、7 6.函数()cos f x x x =-在[0,)+¥内 ( )A 、没有零点、没有零点B 、有且仅有一个零点、有且仅有一个零点C 、有且仅有两个零点、有且仅有两个零点D 、有无穷多个零点、有无穷多个零点7.对实数a 和b ,定义运算“⊗”:a ⊗b =îïíïìa ,a -b ≤1,b ,a -b >1.设函数f (x )=(x 2-2)⊗(x -x 2),x ∈R ,若函数y =f (x )-c 的图象与x 轴恰有两个公共点,则实数c 的取值范围是的取值范围是 ( )A 、(-∞,-2]∪èæøö-1,32B 、(-∞,-2]∪èæøö-1,-34C 、èæøö-1,14∪èæøö14,+∞D 、èæøö-1,-34∪ëéøö14,+∞8.已知函数f x ()=log (0a 1).a x x b a +-¹>,且当2<a <3<b <4时,函数f x ()的零点*(,1),,n=x n n n N Î+Î则 . 9.求下列函数的零点:.求下列函数的零点:(1)32()22f x x x x =--+; (2)4()f x x x=-. 10.判断函数y =x 3-x -1在区间[1,1.5]内有无零点,如果有,求出一个近似零点(精确度0.1).【课堂练习】【课堂练习】1、在下列区间中,函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为的零点所在的区间为 ( )A 、1(,0)4-B 、1(0,)4C 、11(,)42D 、13(,)242、若0x 是方程lg 2x x +=的解,则0x 属于区间属于区间 ( ) A 、(0,1) B 、(1,1.25) C 、(1.25,1.75) D 、(1.75,2)3、下列函数中能用二分法求零点的是、下列函数中能用二分法求零点的是 ( ) ( )4、函数f ()x =2x+3x 的零点所在的一个区间是的零点所在的一个区间是 ( )A .(-2,-1)B 、(-1,0)C 、(0,1)D 、(1,2)5、设函数f ()x =4sin (2x+1)-x ,则在下列区间中函数f ()x 不存在零点的是不存在零点的是( ) A 、[-4,-2] B 、[-2,0] C 、[0,2] D 、[2,4] 6、函数()x f =x -cos x 在[0,¥+﹚内﹚内 ( )A 、没有零点、没有零点B 、有且仅有一个零点、有且仅有一个零点C 、有且仅有两个零点、有且仅有两个零点D 、有无穷多个零点、有无穷多个零点 7、若函数()f x 的零点与()422xg x x =+-的零点之差的绝对值不超过0.25,则()f x 可以是(可以是( )A 、()41f x x =-B 、2()(1)f x x =- C 、()1xf x e =- D 、1()ln()2f x x =-8、下列函数零点不宜用二分法的是、下列函数零点不宜用二分法的是 ( )( )A 、3()8f x x =- B 、()ln 3f x x =+ C 、2()222f x x x =++ D 、2()41f x x x =-++ 9、函数f(x)=log 2x+2x-1的零点必落在区间的零点必落在区间 ( )A 、÷øöçèæ41,81B 、÷øöçèæ21,41C 、÷øöçèæ1,21 D 、(1,2) 10、01lg =-xx 有解的区域是有解的区域是 ( )A 、(0,1]B 、(1,10]C 、(10,100] D 、(100,)+¥11、在下列区间中,函数()e 43xf x x =+-的零点所在的区间为的零点所在的区间为 ( ) A 、1(,0)4- B 、 1(0,)4 C 、11(,)42 D 、13(,)24 12、函数2()log f x x x p =+的零点所在区间为(的零点所在区间为( )A 、1[0,]8 B 、11[,]84 C 、11[,]42D 、1[,1]213、设()833-+=x x f x,用二分法求方程()2,10833Î=-+x x x在内近似解的过程中得()()(),025.1,05.1,01<><f f f 则方程的根落在区间(则方程的根落在区间() A 、(1,1.25) B 、(1.25,1.5) C 、(1.5,2) D 、不能确定、不能确定 14、设函数()4sin(21)f x x x =+-,则在下列区间中函数()f x 不.存在零点的是(存在零点的是( ) A 、[]4,2-- B 、[]2,0- C 、[]0,2 D 、[]2,415、函数223,0()2ln ,0x x x f x x x ì+-£=í-+>î, 零点个数为(零点个数为( )A 、3 B 、2 C 、1 D 、0 16、若函数32()22f x x x x =+--的一个正数零点附近的函数值用二分法计算,其参考数据如下:的一个正数零点附近的函数值用二分法计算,其参考数据如下:f (1) = -2 f (1.5) = 0.625 f (1.25) = -0.984 f (1.375) = -0.260 f (1.4375) = 0.162 f (1.40625) = -0.054那么方程32220x x x +--=的一个近似根(精确到0.1)为)为 ( ) A 、1.2 B 、1.3 C 、1.4 D 、1.5 17、方程223xx -+=的实数解的个数为的实数解的个数为. 18、已知函数22()(1)2f x x a x a =+-+-的一个零点比1大,一个零点比1小,求实数a 的取值范围。
高中数学必修一函数与方程知识点总结
高中数学必修一函数与方程知识点总结函数思想,是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。
方程思想,是从问题的数量关系入手,运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型(方程、不等式、或方程与不等式的混合组),然后通过解方程(组)或不等式(组)来使问题获解。
从本质上讲,函数与方程没是没有什么区别,如函数y=f(x),就可以看作关于x、y的二元方程f(x)-y=0。
可以说,函数的研究离不开方程。
列方程、解方程和研究方程的特性,都是应用方程思想时需要重点考虑的。
典型例题1:很多时候,在高考数学学习中,如果我们能实现函数与方程的互相转化、接轨,就能达到解决问题的目的。
我们知道,哪里有等式,哪里就有方程;哪里有公式,哪里就有方程;求值问题是通过解方程来实现的等等;不等式问题也与方程是近亲,密切相关。
函数描述了自然界中数量之间的关系,函数思想通过提出问题的数学特征,建立函数关系型的数学模型,从而进行研究。
它体现了联系和变化的辩证唯物主义观点。
一般地,函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题,经常利用的性质是:f(x)、f(x)的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等,要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。
在解题中,善于挖掘题目中的隐含条件,构造出函数解析式和妙用函数的性质,是应用函数思想的关键。
对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时,才能产生由此及彼的联系,构造出函数原型。
另外,方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题,即用函数思想解答非函数问题。
典型例题2:典型例题3:函数知识涉及的知识点多、面广,在概念性、应用性、理解性都有一定的要求,所以是高考中考查的重点。
我们应用函数思想的几种常见题型是:遇到变量,构造函数关系解题;有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题,利用函数观点加以分析;含有多个变量的数学问题中,选定合适的主变量,从而揭示其中的函数关系;实际应用问题,翻译成数学语言,建立数学模型和函数关系式,应用函数性质或不等式等知识解答。
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函数与方程【知识梳理】1、函数零点的定义(1)对于函数)(x f y =,我们把方程0)(=x f 的实数根叫做函数)(x f y =的零点。
(2)方程0)(=x f 有实根⇔函数()y f x =的图像与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点。
因此判断一个函数是否有零点,有几个零点,就是判断方程0)(=x f 是否有实数根,有几个实数根。
函数零点的求法:解方程0)(=x f ,所得实数根就是()f x 的零点 (3)变号零点与不变号零点①若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值异号,则称该零点为函数()f x 的变号零点。
②若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值同号,则称该零点为函数()f x 的不变号零点。
③若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是一条连续的曲线,则0)()(<b f a f 是()f x 在区间(),a b 内有零点的充分不必要条件。
2、函数零点的判定(1)零点存在性定理:如果函数)(x f y =在区间],[b a 上的图象是连续不断的曲线,并且有()()0f a f b ⋅<,那么,函数)(x f y =在区间(),a b 内有零点,即存在),(0b a x ∈,使得0)(0=x f ,这个0x 也就是方程0)(=x f 的根。
(2)函数)(x f y =零点个数(或方程0)(=x f 实数根的个数)确定方法① 代数法:函数)(x f y =的零点⇔0)(=x f 的根;②(几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点。
(3)零点个数确定0∆>⇔)(x f y =有2个零点⇔0)(=x f 有两个不等实根; 0∆=⇔)(x f y =有1个零点⇔0)(=x f 有两个相等实根;0∆<⇔)(x f y =无零点⇔0)(=x f 无实根;对于二次函数在区间[],a b 上的零点个数,要结合图像进行确定.1、 二分法(1)二分法的定义:对于在区间[,]a b 上连续不断且()()0f a f b ⋅<的函数()y f x =,通过不断地把函数()y f x =的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值的方法叫做二分法; (2)用二分法求方程的近似解的步骤:① 确定区间[,]a b ,验证()()0f a f b ⋅<,给定精确度ε; ②求区间(,)a b 的中点c ;③计算()f c ;(ⅰ)若()0f c =,则c 就是函数的零点;(ⅱ) 若()()0f a f c ⋅<,则令b c =(此时零点0(,)x a c ∈); (ⅲ) 若()()0f c f b ⋅<,则令a c =(此时零点0(,)x c b ∈);④判断是否达到精确度ε,即a b ε-<,则得到零点近似值为a (或b );否则重复②至④步.【经典例题】1.函数3()=2+2x f x x -在区间(0,1)内的零点个数是 ( )A 、0B 、1C 、2D 、32.函数 f (x )=2x+3x 的零点所在的一个区间是 ( )A 、(-2,-1)B 、(-1,0)C 、(0,1)D 、(1,2) 3.若函数=)(x f x a x a -- (0a >且1a ≠)有两个零点,则实数a 的取值范围是 .4.设函数f (x )()x R ∈满足f (x -)=f (x ),f (x )=f (2-x ),且当[0,1]x ∈时,f (x )=x 3.又函数g (x )=|x cos ()x π|,则函数h (x )=g (x )-f (x )在13[,]22-上的零点个数为 ( ) A 、5 B 、6 C 、7 D 、8 5.函数2()cos f x x x =在区间[0,4]上的零点个数为 ( )A 、4B 、5C 、6D 、76.函数()cos f x x x =-在[0,)+∞内 ( )A 、没有零点B 、有且仅有一个零点C 、有且仅有两个零点D 、有无穷多个零点 7.对实数a 和b ,定义运算“⊗”:a ⊗b =⎩⎪⎨⎪⎧a ,a -b ≤1,b ,a -b >1.设函数f (x )=(x 2-2)⊗(x -x 2),x ∈R ,若函数y =f (x )-c 的图象与x 轴恰有两个公共点,则实数c 的取值范围是 ( )A 、(-∞,-2]∪⎝ ⎛⎭⎪⎫-1,32B 、(-∞,-2]∪⎝⎛⎭⎪⎫-1,-34C 、⎝ ⎛⎭⎪⎫-1,14∪⎝ ⎛⎭⎪⎫14,+∞D 、⎝ ⎛⎭⎪⎫-1,-34∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫14,+∞ 8.已知函数f x ()=log (0a 1).a x x b a +-≠>,且当2<a <3<b <4时,函数f x ()的零点*0(,1),,n=x n n n N ∈+∈则 .9.求下列函数的零点:(1)32()22f x x x x =--+; (2)4()f x x x=-.10.判断函数y =x 3-x -1在区间[1,1.5]内有无零点,如果有,求出一个近似零点(精确度0.1).【课堂练习】1、在下列区间中,函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为 ( ) A 、1(,0)4- B 、1(0,)4 C 、11(,)42 D 、13(,)242、若0x 是方程lg 2x x +=的解,则0x 属于区间 ( ) A 、(0,1) B 、(1,1.25) C 、(1.25,1.75) D 、(1.75,2)3、下列函数中能用二分法求零点的是 ( )4、函数f ()x =2x+3x 的零点所在的一个区间是 ( )A .(-2,-1)B 、(-1,0)C 、(0,1)D 、(1,2)5、设函数f ()x =4sin (2x+1)-x ,则在下列区间中函数f ()x 不存在零点的是 ( ) A 、[-4,-2] B 、[-2,0] C 、[0,2] D 、[2,4]6、函数()x f =x -cos x 在[0,∞+﹚内 ( )A 、没有零点B 、有且仅有一个零点C 、有且仅有两个零点D 、有无穷多个零点7、若函数()f x 的零点与()422xg x x =+-的零点之差的绝对值不超过0.25,则()f x 可以是( ) A 、()41f x x =- B 、2()(1)f x x =- C 、()1xf x e =- D 、1()ln()2f x x =- 8、下列函数零点不宜用二分法的是 ( )A 、3()8f x x =-B 、()ln 3f x x =+C 、2()222f x x x =++D 、2()41f x x x =-++9、函数f(x)=log 2x+2x-1的零点必落在区间 ( )A 、⎪⎭⎫ ⎝⎛41,81B 、⎪⎭⎫⎝⎛21,41C 、⎪⎭⎫⎝⎛1,21D 、(1,2)10、01lg =-xx 有解的区域是 ( ) A 、(0,1] B 、(1,10] C 、(10,100]D 、(100,)+∞11、在下列区间中,函数()e 43x f x x =+-的零点所在的区间为 ( )A 、1(,0)4-B 、 1(0,)4C 、11(,)42D 、13(,)2412、函数2()log f x x x π=+的零点所在区间为( )A 、1[0,]8B 、11[,]84C 、11[,]42D 、1[,1]213、设()833-+=x x f x,用二分法求方程()2,10833∈=-+x x x在内近似解的过程中得()()(),025.1,05.1,01<><f f f 则方程的根落在区间( )A 、(1,1.25)B 、(1.25,1.5)C 、(1.5,2)D 、不能确定 14、设函数()4sin(21)f x x x =+-,则在下列区间中函数()f x 不.存在零点的是( ) A 、[]4,2-- B 、 []2,0- C 、[]0,2 D 、[]2,415、函数223,0()2ln ,0x x x f x x x ⎧+-≤=⎨-+>⎩, 零点个数为( )A 、3 B 、2 C 、1 D 、016、若函数32()22f x x x x =+--的一个正数零点附近的函数值用二分法计算,其参考数据如下:那么方程32220x x x +--=的一个近似根(精确到0.1)为 ( )A 、1.2B 、1.3C 、1.4D 、1.5 17、方程223xx -+=的实数解的个数为 .18、已知函数22()(1)2f x x a x a =+-+-的一个零点比1大,一个零点比1小,求实数a 的取值范围。
19、判断函数232()43f x x x x =+-在区间[1,1]-上零点的个数,并说明理由。
20 、求函数32()236f x x x x =+--的一个正数零点(精确度0.1).【课后作业】1、下列函数图象与x 轴均有交点,但不宜用二分法求交点横坐标的是 ( )2、设2()3xf x x =-,则在下列区间中,使函数)(x f 有零点的区间是 ( )A 、[0,1]B 、[1,2]C 、[-2,-1]D 、[-1,0]3、已知)(x f 唯一的零点在区间(1,3)、(1,4)、(1,5)内,那么下面命题错误的 ( ) A 、函数)(x f 在(1,2)或[)2,3内有零点 B 、函数)(x f 在(3,5)内无零点 C 、函数)(x f 在(2,5)内有零点 D 、函数)(x f 在(2,4)内不一定有零点4、若函数3()3f x x x a =-+有3个不同的零点,则实数a 的取值范围是 ( )A 、()2,2-B 、[]2,2-C 、(),1-∞-D 、()1,+∞5、函数x x x f ln )(+=的零点所在的区间为 ( )A 、(-1,0)B 、(0,1)C 、(1,2)D 、(1,e ) 6、求函数132)(3+-=x x x f 零点的个数为 ( )A 、1B 、2C 、3D 、47、如果二次函数23y x x m =+++有两个不同的零点,则m 的取值范围是( ) A 、11(,)4+∞ B 、11(,)2-∞ C 、11(,)4-∞ D 、11(,)2+∞ 8、方程0lg =-x x 根的个数为 ( ) A 、无穷多 B 、3 C 、1 D 、09、用二分法求方程()0f x =在(1,2)内近似解的过程中得(1)0,(1.5)0,(1.25)0f f f <><f(1)<0,则方程的根在区间 ( )A 、(1.25,1.5)B 、(1,1.25)C 、(1.5,2)D 、不能确定10、设函数f(x)=13x -lnx(x >0),则y =f(x) ( )A 、在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ,1,(1,e)内均有零点B 、在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ,1,(1,e)内均无零点C 、在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ,1内有零点,在区间(1,e)内无零点D 、在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ,1内无零点,在区间(1,e)内有零点11、设函数21()ln 1(0)2f x x x x =-+>,则函数()y f x = ( ) A 、在区间(0,1),(1,2)内均有零点 B 、在区间(0,1)内有零点,在区间(1,2)内无零点 C 、在区间(0,1),(1,2)内均无零点 D 、在区间(0,1)内无零点,在区间(1,2)内有零点12、用二分法研究函数13)(3-+=x x x f 的零点时,第一次经计算0)5.0(0)0(><f f ,,可得其中一个零点∈0x , 第二次应计算 . 以上横线上应填的内容为 ( )A 、(0,0.5),)25.0(fB 、(0,1),)25.0(fC 、(0.5,1),)75.0(fD 、(0,0.5),)125.0(f 13、函数22)(3-+=x x f x在区间(0,1)内的零点个数是 ( )A 、0B 、1C 、2D 、314、(已知函数()log (0,1).a f x x x b a a =+->≠且当234a <<<是,函数()f x 的零点*0(,1),,x n n n N ∈+∈则n= .15、用二分法求函数()y f x =在区间(2,4)上的近似解,验证f(2)·f(4)<0,给定精确度ε=0.01,取区间(2,4)的中点x 1=2+42=3,计算得f(2)·f(x 1)<0,则此时零点x 0∈________.16、已知函数 f (x )={ 2x -1,x >0,-x 2-2x ,x ≤0,若函数 g (x )= f (x )-m 有3个零点,则实数m的取值范围是________. 17、函数65)(2+-=x x x f 的零点组成的集合是 .18、用“二分法”求方程0523=--x x 在区间[2,3]内的实根,取区间中点为5.20=x ,那么下一个有根的区间是19、函数()ln 2f x x x =-+的零点个数为 .20、证明方程6-3x =2x在区间[1,2]内有唯一一个实数解,并求出这个实数解(精确度0.1).函数与方程【考纲说明】2、 了解函数的零点与方程根的联系,能判断一元二次方程根的存在性及根的个数。