2019-2020年数学选修2-3课件课时分层作业：第2章课时分层作业13 正态分布(苏教版)

课时分层作业(十三)正态分布
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．把一正态曲线C1沿着横轴方向向右平移2个单位长度，得到一条新的曲线C2，下列说法中不正确的是()
A．曲线C2仍是正态曲线
B．曲线C1，C2的最高点的纵坐标相等
C．以曲线C2为概率密度曲线的总体的方差比以曲线C1为概率密度曲线的总体的方差大2
D．以曲线C2为概率密度曲线的总体的均值比以曲线C1为概率密度曲线的总体的均值大2
C[正态密度函数为φμ，σ(x)＝1
2πσ
e，x∈(－∞，＋∞)，正态曲线对
称轴为x＝μ，曲线最高点的纵坐标为φμ，σ(μ)＝1
2πσ
，所以曲线C1向右平移2个
单位长度后，曲线形状没变，仍为正态曲线，且最高点的纵坐标没变，从而σ没变，所以方差没变，而平移前后对称轴变了，即μ变了，因为曲线向右平移2个单位长度，所以均值μ增大了2个单位．故选C.]
2．已知三个正态分布密度函数φi(x)＝1
2πσi
e(x∈R，i＝1,2,3)的图象
如图所示，则()
A．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2>σ3B．μ1>μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3
C．μ1＝μ2<μ3，σ1<σ2＝σ3D．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3
D[因为正态曲线关于x＝μ对称，且μ越大图象越靠近右边，所以第一个曲线的均值比第二和第三个图象的均值小，且第二，三两个图象的均值相等，只能从A，D两个答案中选一个，σ越小图象越瘦长，得到第二个图象的σ比第三个
的σ要小．]
3．已知随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，若P(ξ>3)＝0.012，则P(－1≤ξ≤1)＝()
A．0.976B．0.024
C．0.488D．0.048
C[因为随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，故其正态曲线关于直线x＝1对
称．又P(ξ>3)＝0.012，故P(ξ<－1)＝0.012，因此P(－1≤ξ≤1)＝1
2－P(ξ<－1)＝
0.5－0.012＝0.488.]
4．某厂生产的零件外直径X～N(8.0,0.022 5)，单位：mm，今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为7.9 mm和7.5 mm，则可认为()
A．上、下午生产情况均为正常
B．上、下午生产情况均为异常
C．上午生产情况正常，下午生产情况异常
D．上午生产情况异常，下午生产情况正常
C[根据3σ原则，在(8－3×0.15,8＋3×0.15)，即(7.55,8.45)之外时为异常．结合已知可知上午生产情况正常，下午生产情况异常．]
5．某校高考的数学成绩近似服从正态分布N(100,102)，则该校成绩位于(80,120)内的人数占考生总人数的百分比约为()
A．22.8% B．45.6%
C．95.4% D．97.22%
C[设该校高考数学成绩为X，由X～N(100,102)知，正态分布的两个参数为μ＝100，σ＝10，所以P(80<X<120)＝P(100－20<X<100＋20)＝0.954.]
二、填空题
6．已知随机变量X服从正态分布N(3，σ2)，则P(X＜3)＝________.
1
2[由正态分布图象(图略)知，μ＝3为该图象的对称轴，P(X＜3)＝P(X＞3)
＝1
2.]
7．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1，σ2)(σ>0)．若ξ在(0,1)内
取值的概率为0.4，则ξ在(0,2)内取值的概率为________．0．8[由对称性知，P(1<ξ<2)＝P(0<ξ<1)＝0.4，
∴P(0<ξ<2)＝P(0<ξ<1)＋P(1<ξ<2)＝0.8.]
8．已知正态分布N(μ，σ2)的密度曲线是
P(x)＝1
2πσ
e，x∈R.给出以下四个命题：
①对任意x∈R，P(μ＋x)＝P(μ－x)成立；
②如果随机变量X服从N(μ，σ2)，且F(x)＝P(X<x)，那么F(x)是R上的增函数；
③如果随机变量X服从N(108,100)，那么X的期望是108，标准差是100；
④随机变量X服从N(μ，σ2)，P(X<1)＝1
2，P(X>2)＝p，则P(0<X<2)＝1－2p.
其中，真命题的序号是________．(写出所有真命题的序号)
①②④[画出正态分布N(μ，σ2)的密度曲线如图．
由图可得：
①图象关于x＝μ对称，故①正确；
②随着x的增加，F(x)＝P(ξ<x)也随着增加，故②正确；
③如果随机变量ξ服从N(108,100)，那么ξ的期望是108，标准差是10；
④由图象的对称性，可得④正确．故填①②④.]
三、解答题
9．已知某种零件的尺寸X(单位：mm)服从正态分布，其正态曲线在(0,80)上
是增函数，在(80，＋∞)上是减函数，且P(80)＝
1
82π
.
(1)求正态分布密度函数的解析式；
(2)估计尺寸在72 mm～88 mm之间的零件大约占总数的百分之几．
[解](1)由于正态曲线在(0,80)上是增函数，在(80，＋∞)上是减函数，所以
正态曲线关于直线x＝80对称，且在x＝80处取得最大值．
因此得μ＝80，1
2πσ
＝
1
82π
，所以σ＝8.
故正态分布密度函数的解析式是
P(x)＝
1
82π
e(x∈R)．
(2)由μ＝80，σ＝8，得μ－σ＝80－8＝72，μ＋σ＝80＋8＝88，
所以零件尺寸X在区间(72,88)内的概率是0.683.因此尺寸在72 mm～88 mm 间的零件大约占总数的68.3%.
10．设X～N(6,1)，求P(4＜X≤5)．
[解]由已知得μ＝6，σ＝1.
∵P(5＜X≤7)＝P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.683，
P(4＜X≤8)＝P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954.
如图，由正态分布的对称性知
P(4＜x≤5)＝P(7＜x≤8)．
∴P(4＜x≤5)＝1
2[P(4＜x≤8)－P(5＜x≤7)]
＝1
2×0.271＝0.135 5.
[能力提升练]
1．某校1 000名学生的某次数学考试成绩X服从正态分布，其正态密度曲线如图所示，则成绩X位于区间(52,68]内的学生数约为()
A．228 B．456
C．683 D．901
C[根据题意可知X～N(μ，σ2)，其中μ＝60，σ＝8，
∴P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝P(52<X≤68)≈0.683.∴成绩X位于区间(52,68]的学生约有0.683×1 000＝683(名)．]
2．设X～N(μ1、σ21)，Y～N(μ2、σ22)，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是()
A．P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)
B．P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)
C．对任意正数t，P(X≤t)≥P(Y≤t)
D．对任意正数t，P(X≥t)≥P(Y≥t)
C[由正态分布密度曲线的性质可知，X～N(μ1、σ21)，Y～N(μ2、σ22)的密度曲线分别关于直线x＝μ1，x＝μ2对称，因此结合题中所给图象可得，μ1<μ2，所以P(Y≥μ2)<P(Y≥μ1)，故A错误．又X～N(μ1，σ21)的密度曲线较Y～N(μ2、σ22)的密度曲线“高瘦”，所以σ1<σ2，所以P(X≤σ2)>P(X≤σ1)，故B错误．对任意正数t，P(X≤t)≥P(Y≤t)，P(X≥t)≤P(Y≥t)，故C正确，D错误．]
3．已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，则P(0<ξ<2)等于________．
0．3[∵P(ξ<4)＝0.8，
∴P(ξ>4)＝0.2.
由题意知图象的对称轴为直线x＝2，
P(ξ<0)＝P(ξ>4)＝0.2，
∴P(0<ξ<4)＝1－P(ξ<0)－P(ξ>4)＝0.6，
∴P(0<ξ<2)＝1
2P(0<ξ<4)＝0.3.]。