达朗贝尔原理解剖

M0 Fie M0 FIi 0
应用动静法求解时，其解题步骤与静力学一样。 即：选取研究对象、画受力图、列平衡方程、求 解。
例 如图所示，定滑轮的半径为r，质量为m均匀 分布在轮缘上，绕水平轴Ｏ转动。垮过滑轮的
无重绳的两端挂有质量为m1和m2的重物（m１ >m2)，绳与轮间不打滑，轴承摩擦忽略不计， 求重物的加速度。
（平行于质量对称面）
假设刚体具有质量对称平面， 并且平行于该平面作平面运动 。此时，刚体的惯性力系可先 简化为质量对称平面内的平面 力系。
刚体平面运动可分解为：
绕质心轴的转动:
随质心C的平移：
M Ic JC
FIR maC （作用于质心C）
例 如图所示均质杆的质量为m，长为l，绕定轴 O转动的角速度为 ，角加速度为 。 求：惯性力系向点Ｏ简化的结果 （方向在图上画出）。
α 角随着加速度a的变化而变化，当a不变时， α 角 也不变。只要测出α 角，就能知道列车的加速度a 。
摆式加速计的原
动静法优点：
可以利用静力学研究平衡问题的方法研究动 力学问题；
给动力学问题提供了一种统一的解题格式。
§ 13-2 质点系的达朗贝尔原理
Fi FNi FIi 0
i 1,2,, n
解： FI1 m1a, FI 2 m2a
FIti mir mia , m1g m1a m2 g m2ar miar 0
由 miar mi ar mar
解得 a m1 m2 g m1 m2 m
例 飞轮质量为m，半径为Ｒ，以匀角速度 定 轴转动，设轮辐质量不计，质量均布在较薄 的轮缘上，不考虑重力的影响。
第十三章 达朗贝尔原理(动静法)
达朗贝尔是一位哲学家、数学家、 天文学家、力学家。
1743年，他发表了《论动力学》 一书，提出了达朗贝尔原理。
他假定：就整个物体而言，内部 反作用互相抵消了，对运动没有 任何贡献，而事实上另一组力把 运动传递给系统，使得有效力静 态地等于外力，这里说的“有效 力”即是惯性力。
FIR Fi e maC
１ 刚体平动 惯性力系向质心简化。
刚体平移时惯性力系合成为一过质心的合力。
2 刚体定轴转动 这里仅讨论具有垂直于转轴的质量 对称平面的简单情况。
直线i : 平移，过Mi点，F = −miai
空间惯性力系→平面惯性力系（质 量对称面内）
点O为转轴z与质量对称平面的交 点，向O点简化。
解：
FItO
m
l
2
FIOn
m
l 2
2
M IO
1 3
m l 2
例 如图所示，电动机定子及其外壳总质量为m1， 质心位于O处。转子的质量为m2，质心位于Ｃ 处，偏心矩ＯＣ＝e,图示平面为转子的质量对 称面。电动机用地角螺钉固定于水平基础上，
转O与水平基础间的距离为h。运动开始时，转
子质心Ｃ位于最低位置，转子以匀角速度
（1717-1783)
Let’s Go!!!
§ 13-1 惯性力·质点的达朗贝尔原理
ma F FN
F FN ma 0
令 FI ma 惯性力
有 F FN FI 0
质点的达朗贝尔原理：作用在质点的主动力、 约束力和虚加的惯性力在形式上组成平衡力系。
注意:
1. 惯性力是虚加的，并非真正作用在 质点上。
因
Fii 0,
M 0 Fi i 0,
有
Fi e FIi 0
M 0 Fie M 0 FIi 0
也称为质点系的达朗贝尔原理：作用在质点系上的外 力与虚加在每个质点上的惯性力在形式上组成平衡力系。
平面任意力系：
Fixe FIix 0 Fiye FIiy 0
质点系的达朗贝尔原理：质点系中每个质点上作用的
主动力，约束力和它的惯性力在形式上组成平衡力系。
记 Fi(e) 为作用于第i个质点上外力的合力。
Fi (i) 为作用于第i个质点上内力的合力。
则有
Fi e Fi i FIi 0
M0 Fie
M 0 Fi i
M 0 FIi 0
求：轮缘横载面的张力(不计辐条受力)。
解：FIi
mi ain
m
2R
RiR 2
Fx 0, FIi cos FA 0
Fy 0, FIi sin FB 0
令 i 0,
FA
2
m
R 2 cos
0 2
d
mR 2
2
FB
2
m R 2 sin
0 2
d
mR 2 2
§ 13-3 刚体惯性力系的简化
v
FT l sin 2
m
2.1m s
例 列车在水平轨道上行驶，车厢内悬挂一单摆， 当车厢向右作匀加速运动时，单摆左偏角度α ， 相对于车厢静止。求车厢的加速度a。
选单摆的摆锤为研究对象 虚加惯性力
FI = ma
由动静法，有
ΣFx=0
mg⋅sinα−FI cosα=0 解得 a=g⋅tgα
a=g⋅tgα
转动。
求：基础与地角螺钉 给电动机总的约束力。
解：FI m2e 2
Fx 0, Fx FI sin 0
Fy 0, Fy m1 m2 g FI cos 0
主矢： 主矩：
= −Joα （负号表示与α反向）
向铰链O简化：
例 均质杆长l ，质量m，与水平面铰接， 杆由 与水平面成ϕ0 角位置静止落下。求开始落下 时杆AB的角加速度及支座A的约束力。
选杆AB为研究对象 虚加惯性力系：（向铰链A简化）
用动力学普遍定理再求解此题：
３ 刚体作平面运动
2. 是形式上的平衡，质点实际上并不 平衡。
例 已知：m 0.1kg, l 0.3m, 60 求： v , FT .
解： FIn
man
m
l
v2 sin
mg FT FI 0
Fb 0, F1 cos mg 0
Fn 0, FT sin FIn 0
解得
FT
mg
cos
1.96N
Jean le Rond d’Alembert
（1717-1783)
达朗贝尔原理将动力学和静力学按统一的观 点来处理。它与虚位移原理一起为分析力学 的发展奠定了基础。
一位把微分看成是函数极限 的数学家
认为力学应该是数学家的主 要兴趣
第一次用微分方程表示场 偏微分方程论的创始人
Jean le Rond d’Alembert